Microsoft Word - nombres et calculs

النسخ

1 األعداد الحساب I- المجمعات األساسية لألعداد: نشاط رقم 1 : تمرين 15 ص π ( 0.5 ) I-1- مجمعة االعداد الطبيعية: أعداد طبيعية يرمز إلى مجمعة األعداد الطبيعية بالرمز محمعة غير منتھية كل عدد طبيعي n متبع بعدد طبيعي (1+n). لكن المعادلة :51+. ليس لھا حل في مجمعة ألنه ال يجد عدد طبيعي يحقق ھذه المعادلة لدى يستجب البحث عن مجمعة أكبر بحيث يكن للمعادلة السابقة حل. I-- مجمعة األعداد الصحيحة:. أعداد صحيحة. يرمز إليھا بالرمز,,..-,-,-1, 0, 1, مجمعة غير منتھية. ألنه عندما نقسم 1 على ال تتحصل على عدد صحيح إنما على عدد المعادلة :1+. ليس لھا حل في كسري. لذى يستجب البحث عن مجمعة أكبر بحيث يكن للمعادلة السابقة حل. -I -األعداد الناطقة: p حيث: p Ζ q Ζ يرمز لھا بالرمز q تعريف: نسمي عددا ناطقا كل عدد من الشكل أمثلة: (* أعداد ناطقة *) عدد ناطق ألنه يمكن كتابته على الشكل كل عدد صحيح n ھ عدد ناطق ألنه يمكن كتابته على الشكل : A D E B C L n n 1. d π ليس عددين ناطقين. تطبيق: برھن أن ليس عدد ناطق. الحل: ABCD مربع طل ضلعه 1. ننشئ مربع ACDE حيث. AC d مساحة المربع ACLE ھي d بما أن مساحة ACLE ھي ضعف مساحة ABCD إذن

2 ماھ العدد الناطق الذي مربعه لذلك: نفرض أن d عدد ناطق إذن: d حيث أليان فيما بينھما ] إذن: يعني: عدد زجي منه زجي يعني c مع c عدد طبيعي منه : c إذن أ زجي منه زجي. لدينا: عددان زجيان فرضا كسر غير قابل لإلختزال ھذا تناقض. كسر غير قابل لالختزال].( ) نكتب: منه ال يجد عدد ناطق مربعه. مما أدى إلى انشاء االعداد الصماء يرمز للعدد األصم الذي مربعه ب خاصية: نقل عن عدد أنه ناطق اذا فقط اذا كان ) يكافئ) كانت كتابته العشرية تتضمن درا. مثال: (006 يتكرر في الجزء العشري) إذن ھ عدد ناطق. االنتقال من الكتابة العشرية لعدد ناطق إلى الكتابة الكسرية: مثال: Ζ -I -األعداد العشرية: مثال: من بين االعداد الناطقة مثال: جزءه العشري منته: جزءه العشري غير منته:...0. تعريف: 1 نسمي عددا عشريا كل عدد ناطق جزءه العشري منته. يرمر لمجمعة األعداد العشرية ب أمثلة : أعداد عشرية كل عدد صحيح ھ عدد عشري عددان غير عشريان n Ν n مع 10 خاصية: نقل عن عدد ناطق أنه عشري إذافقط إذا أمكن كتابته على الشكل طريقة معرفة إن كان عدد ناطق عدد عشري: 1) كتابة العدد على شكل كسر غير قابل لإلختزال. حيث p, q عددان طبيعيان ( فھ عدد عشري. p q 5 ) ) إذا أمكن كتابة المقام على الشكل :

3 p 5 q مثال: 9599 ھل العدد عددع عشري منه : p1 مع q p 5 q المقام من الشكل 9599 عدد عشري ليس بعدد عشري ألن المقام ليس من الشكل تمرين: نعتبر المعادلة:.ھل ھذه المعادلة تقبل حل في الجاب ال ألنه ال يجد عدد ناطق مربعه..لذى تجب البحث عن مجمعة أكبر... 5-I -االعداد الحقيقية: تعريف: االعداد الحقيقية ھي األعداد التي يمكن تمثيلھا على مستقيم مزد بمعلم نرفق بكل نقطة من المستقيم عدد حقيقي حيد يسمى فاصلة النقطة. يرمز بمجمعة األعداد الحقيقية ب مقارنة مجمعة األعداد: 11 7 Z - - D Q n -II القى الصحيحة: عدد حقيقي كيفي. 1 بصفة عامة n عدد طبيعي :

4 6 5 كذلك : غير معدم. n أحسب الحساب التالي : 1 1 ( ) ) 1 ( ) ( ( ) 5 عددان صحيحان. p, n خاص:, عداد حقيقيان غير معدمان n ( ) n n ( ) p n p n p احسب باستعمال قى األعداد أ ( ), 5 -III األعداد االلية: نشاط رقم 6 ص 0: الكتاب المدرسي. تعريف: العدد الطبيعي ا ألي اذافقط اذا قبل قاسمين مختلفين فقط ھما 1 نفسه. أمثلة: - كل من األعداد 7 5 ھ عدد ألي. - العدد 8 ليس اليا النه يقبل أكثر من قاسمين ) قاسمه 8) 1 - العدد 1 ليس اليا النه يقبل قاسما احد فقط ھ 1. - العدد 0 ليس أليا ألنه يقبل اكثر من قاسمين. قائمة االعداد االلية: صفحة 16 كتاب المدرسي أداب. تحليل عدد طبيعي الى جداء عامل ألية. -III -مبرھنة : كل عدد طبيعي غير الي اكبر من يكتب على شكل جداء عامل الية. أمثلة: تطبيق:حلل االعداد التالية الى جداء عامل ألية: اختبار الية عدد طبيعي: لمعرفة الية عدد طبيعي n نتبع مايلي: 1- نختبر قابلية قسمة العدد n على االعداد االلية االصغر منه. - نتقف عن عمليات القسمة عندما نجد حاصال أصغر من القاسم ا يسايه. - إذاكان الباقي في كل مرة غير معدم فالعدد n ألي. - تطبيق: ھل العدد 51 أللي القاسم المشترك االكبر لعددين:مثال: القاسم المشترك األكبر للعددين 5 60 PGCD(5, 60 ) المضاعف المشترك االصغر لعددين: مثال: المضاعف المشترك االصغر للعددين 60 5 ھ PPCM (5, 60 ) تطبيق : تمرين رقم 7 ص

5 الجذر التربيعي: تعريف: يسمى الجذر التربيعي للعدد الحقيقي نرمز له ب عدد حقيقي مجب. العدد الحقيقي المجب الذي مربعه تطبيق: بسط الجذر التربيعية التالية: خاص: عددان حقيقيان مجبان. ( ) + + انتبه: تحيل مقام إلى عدد ناطق: 1) في الحالة التالية نضرب البسط المقام في المقام: ) في الحاالت التالية نضرب البسط المقام في مرافق المقام: القيمة المضبطةالقيم المقربة: 1) مدر عدد طبيعي: ) تعريف (الكتابة المدرسي) مثال: المدر الى المدر الى المدر الى المدر الى المدر الى الحدة

6 تقدير نتيجة: أ) الكتابية العلمية: تعريف: (الكتاب المدرسي) ( ازاحة الفاصلة 5 مراتب نح اليسار 6 مراتب نح اليمين أملثة: االعداد الكتابة العلمية / n / 10 n 10 رتبة مقدار عدد: تعريف: رتبة مقدار عدد عشري مكتب على الشكل العلمي المدر الى الحدة للعدد. أمثلة: تطبيق: ھي العدد حيث : ھ الترتيب في نشاط 1: عمميات: 0 تقرأ" مجب تماما " أ " أكبر تماما من."0 0 تقرأ" مجب " أ " أكبر أ يساي من."0 0 تقرأ" سالب تماما " أ " أصغر تماما من."0 0 تقرأ" سالب " أ " أصغر أ يساي من."0 تعريف: نقل أن ) أكبر تماما من ( يعني 0 مالحظة: - مقارنة عددين يعني القل أي العددين األكبر أ األصغر. - الترتيب التصاعدي: يعني ترتيب األعداد من األصغر إلى األصغر. - الترتيب التنازلي: يعني ترتيب األعداد من األكبر إلى األصغر. - مقارنة عددين عشريين: طريقة: لمقارنة عددين عشريين: 1) نقارن بين جزئيھا الصحيح. ) إذاكان لھا نفس الجزء الصحيح.تقارن بين كل رقم في الكتابة العشرية لھما احد األخر من اليسار الى اليمين. تطبيق: قارن بين األعداد التالية: A) B)..1 C) D) E)-1. - إذن: 1.01 الحل: A) نقارن بين جزئيھا الصحيح: بمأن 10 1 فإن: B) لھما نفس الجزء الصحيح: نقارن بين األرقام المكتبة في الجزء العشري: بمأن 1 فإن:.1.. C) لھما نفس الجزء الصحيحلھما نفس الرقم األل بعد الفاصلة. لھما نفس الرقم الثاني بعد الفاصلة.بمأن

7 اذن D) عندما يكن العددان سالبان:يمكن أن تجمع : إذن: نضرب في 1- : E) كذلك بالنسبة ل إذن نضرب في : مقارنة عددين ناطقين - لمقارنة عددين ناطقين ندرس إشارة الفرق يعني - إذا: - يعني اذا: تمرين: قارن بين األعداد التالية:. 5 0 ) 5.00 c ) d. 10 ) 1.0 ; 1. ) ) e الحل: 1.0 ) نقارن بين جزئيھا الصحيح: بما أن 10 1 فإن: فإن.1 ) لھما نفس الجزء الصحيح: نقارن بين األرقام المكتبة في الجزء العشري: بما أن c) لھما نفس الجزء الصحيحلھما نفس الرقم األل بعد الفاصلة إذن: لھما نفس الرقم الثاني بعد الفاصلة.بما ان d) عندما يكن العددان سالبان ( 5 ( e) كذلك بالنسبة ل اذن 1.01 نضرب في 1- : ( مقارنة عددين ناطقين ندرس إشارة الفرق يعني اذا: 0 يعني اذا: 0 c) 5 تمرين: قارن بين األعداد التالية: n n + 1 nمع N n + 1 n + الحل: تحديد اشارة منه تحديد إشارة ) حالة خاصة: عندما يكن لھما نفس المقام أ نفس البسط يمكن تبسيط الطريقة. - كذلك يمكن مقارنة األعداد بالنسبة ل 1 أ 0.5. تمرين: قارن األعداد التالية ) بدن حاسبة) ) ) c) ) d

8 الحل: 5000 ) نالحظ اصغر من نصف العدد 5000 إذن كذلك أكبر من نصف العدد اذن يعني: منه منه : منه ( إذن : لھا نفس المقام: بما أن: إذن : قسمة العدد 1 على أكبر العددين النتيجة تكن أصغر. بما أن إذن : الترتيب العمليات: d,,c أعداد حقيقية. (1 اذاكان c فان c ( اذا كان فان + c + c c c ( اذاكان c d فان + c + d ( اذاكان c 0 فان c c (5 اذاكان 0 c فان c c (6 اذاكان 0 c d 0 فان c d تمرين: المتراجحتين: حل في ) + 1 ) الحل: + 1 ( الى الطرفين نجد: نضيف ( ( 1 + نضيف (-1) لطرفين نقسم على نحصل على: حلل المتراجحة ھي االعداد الحقيقية االصغر تماما من ( نضيف ( ( الى الطرفين نجد: + نضيف ( -) لطرفين نقسم على نحصل على:

9 حلل المتراجحة ھي االعداد الحقيقية االصغر تماما من ترتيب الجذر التربيع المقلب: عددان حقيقيان: يكافئ 0 (1 يكافئ 0 ( 1 يكافئ يكافئ 0 0 عددان مجبان إذن : ) من اجل ) من اجل برھان : يكافئ مجدان مجبان يعني: يكافئ ( ) ( ) حسب ) لدينا : تطبيق: 0 عدد حقيقي حيث عدد حقيقي حيث 1 قارن بين + 8 قارن بين من اجل 0 قارن بين 0 0 ( 1 ) 8 (1 ( ( الحل: (1 مجب تماما 0 : نضرب المتراجحة في منه نجد ( Xمجب تماما 16 نضيف (-) نجد: أي: 1 منه : ) خاصية المقلب) ( منه

10 : حيث 0 مقارنة (1 اذاكان: 0 أ 1 فان ( اذاكان 1 0 فان فان ( اذاكان 1 تمرين:. قارن دن إجراء الحساب بين: 10 : 0 1 المجاالت في نشاط: أنقل ثم اكمل الجدل مجمعة األعداد الحقيقية التمثيل على المستقيم العددي المجال [, 5] 5,, 1 [ [ [ 1, + [ ], [ : نشاط: اكتب على شكل مجاالت R R R R + R R

11 تذكير بالمستقيم العددي: تعريف: المستقيم العددي ھ مستقيم مدرج مرفق بمبدأ 0 كل نقطة من ھذا المستقيم معلمة بعدد حقيقي حيد يسمى فاصلة ھذه النقطة.عكسيا كل عدد حقيقي مرفق بنقطة حيدة من ھذا المستقيم. تعريف ترميز: عددان حقيقيان حيث, [, ] تسمى مجاال مغلقا من يرمز له ب. مجمعة االعداد الحقيقية حيث +, حدا المجال ] [, طله ) ( مركزه : نصف قطره نلخص أناع المجاالت في الجدل التالي مع تمثيلھا على المستقيم العددي:. I أ J المجال التمثيل المتراجحة "ھ مجمعة األعداد الحقيقية التي تنتمي إلى [, ] ], [ [, [ ], ] [, + [ ], + [ ], ] ], [ إتحاد تقاطع المجاالت: تعريف : مجالين. J I " I J يقرأ I إتحاد المجالين J I يرمز له ب رياضيا: J أ I يعني I J مثال: لتعيين اتحاد المجالين تمثيل ھذا المجالين بطلين مختلفين على المستقيم العددي إتحادJ [ 0, + [ [, 5[ [, 5[ [ 0, + [ [, + [. I أ J " يقرأ I تعريف: مجالين. J I I J تقاطع المجالين J I يرمز له ب: رياضيا:. J I يعني I J مثال: تعيين تقاطع المجالين تقاطع " J ھ مجمعة األعداد الحقيقية التي تنتمي إلى 5[, [ [ +, 0 [

12 [, 5[ [ 0, + [ [ 0, 5[ القيمة المطلقة: نشاط 1 : على المستقيم العددي نعتبر: النقطة الفاصلة A 5 B C -1 D - E F G -5 6 مثل ھذه النقط على المستقيم العددي احسب المسافات: (1 ( A B A C A D A E A F A G B F C E ) أتمم الجدل التالي: النقطة الفاصلة بعد النقطة عن المبدأ 0 A B C D E F G المسافة بين عددين حقيقيين: ھي المسافة على المستقيم العددين بين نقطتين فاصلتاھما تعريف: المسافة بين عددين حقيقين لھا ب( d(,.يرمز d(,) MN * على المستقيم العددي نعتبر النقطتين M N ذات الفاصلتين على الترتيب اذا - اذاكان فان 0 d(,) - اذاكان فان d(,) - d(,) - - اذاكان فان d(,) d(,) الحظ : زمن المسافة متناظر اى: القيمة المطلقة لعدد حقيقي : تعريف: عدد حقيقي. القيمة المطلقة ل يرمز لھا ب ھي المسافة بين 0. خاصية 1: عدد حقيقي. -اذاكان 0 فان - اذاكان 0 فان إثبات: على المستقيم العددي.نعتبر النقطة M ذات الفاصلة اذاكان 0 فان d(, 0) أي اذاكان 0 فان d(, 0) - أي -

13 ( ) π d (, ) ألن 5 0 ألن 0.5 مثال: 5 5 ( π ) π π ألن 0 خاصية: X عددان حقيقيان. يكافئ 0 0 (1 يكافئ أ 0 ( ( ( اثبات : اذاكان نفرض الخاصية محققة. من جھة اذن 0 0 نفرض 0 اذن : أى لدينا من جھة d (, ) 0 خاصية: عددان حقيقيان لدينا اثبات: d (, ) اذا : يعني 0 اذا يأتي منه ). d (, كذلك 0 اذن ( ) 0 d (, ) ). d (, كذلك إذا: منه أي إذن d (, ) : منه : خاصية: عددان حقيقيان (1

14 , 0 لدينا 0 بما أن يأتي: 0 ( ( اثبات ): - نفرض 0 0 اذا نفرض: يكن لدينا تجد حالتان: اذا 0 + يكن 0 اذا نفرض: يكن : لدينا تجد حالتان: اذا 0 يكن : طريقة حل معادلة متراجحة تتضمن قيمة مطلقة: خاص: عدد حقيقي r عدد حقيقي مجب. r r ا r r r ااr - - r (1 r r ( ( اثبات على المستقيم العدد النقط: P,N,M القل ان: يعني ذات الفاصل : -r,r, على الترتيب: أ r d (, ) OM r r r r (1 أي M منطبق على P ا على N يعني : d (,0) [ PN ] OM r [ PN ] r r القل : أي أي يعني القل أن OM r معناه M يسمح القطعة r r القل r يعني,0) d ( أي r ) (PN باستثناء القطعة أ r معناه M المستقيم أي r حل في الحل: المعادالت :

15 - تحليليا: أ أ 6 - ھندسيا: على المستقيم العددي نعتبر النقطتين: A M فاصلتاھما:. - من اجل كل من : AM M يجد نقطتان M 1 فاصلتاھما: - 6 تحققان المسااة AM مستحيلة أ ( 5) أ 5 تحليليا: ھندسيا: على المستقيم العددي نعتبر النقط: C,B,A ذات الفاصل: 1-5 على الترتيب: من أجل كل من : AM BM [ AB] منتصف M M فاصلة :M تطبيق: حل في المتراجحات: ( الحل: + تحليليا:من اجل كل : اى على الترتيب: اى 6 6, ذات الفاصلتين: - M [ ] + ( ) AM AM مجمعة حلل المتراجحة ھي المجال ھندسيا: على المستقيم العددي نعتبر النقط :A من أجل كل من : M M تجد نقطتان 1 تحققان فاصلتاھما على الترتيب : -1.7 [ ] M 1 باستثناء القطعة M ( M M 1 M تمسح المستقيم ) + 1 ( القيمة المطلقة لعدد حقيقي دما مجبة معدمة. في ھذه الحالة محققة دما.

16 A القيمة المطلقة المجاالت: عددان حقيقيان r عدد حقيقي مجب ا معدم. الفاصل التالية متكافئة. r + r يكافئ d (, ) r يكافئ r يكافئ r] [ r, حيث :,) d ( يكافئ يكافئ 1 مثال: + +1 [, يكافئ [1 الحصر: تعريف : X عدد حقيقي. تحقيق حصرا معناه ايجاد عددين حقيقين