عمادة الد ارسات العليا جامعة القدس أثر استخدام بوليا في است ارتيجية تحصيل طلبة الصف السادس األساسي في حل المسألة الهندسية وفي تفكيرهم التأملي بمدارس م

النسخ

1 عمادة الد ارسات العليا جامعة القدس أثر استخدام بوليا في است ارتيجية تحصيل طلبة الصف السادس األساسي في حل المسألة الهندسية وفي تفكيرهم التأملي بمدارس مديرية جنوب الخليل أسيد ناصر محمد الشرحة رسالة ماجستير القدس فلسطين 6172 م 7341 ه /

2 أثر استخدام است ارتيجية بوليا في تحصيل طلبة الصف السادس األساسي في حل المسألة الهندسية وفي تفكيرهم التأملي بمدارس مديرية جنوب الخليل إعداد: أسيد ناصر محمد الشرحة بكالوريوس أساليب تدريس رياضيات جامعة الخليل / فلسطين المشرف: الدكتور معين حسن جبر قدمت هذه الرسالة استكماال لمتطلبات درجة الماجستير في أساليب التدريس من كلية العلوم التربوية / عمادة الد ارسات العليا/ جامعة القدس 7341 ه / 6172 م

3

4 االهداء إلى من بلغ الرسالة وأدى األمانة ونصح األمة إلى نبي الرحمة ونور العالمين سيدنا محمد صلى الله عليه وسلم إلى الذي مد ذ ارعيه جس ار فعبرت إلى رمز العطاء الدائم أبي العزيز إلى من تجسدت السعادة في أحضانها وارتسمت الفرحة في عينيها إلى أحن وأغلى قلب إلى الحياة وبدونها ال حياة أمي الحبيبة إلى من سهل طريق د ارستي إلى من شجعني على إكمال هذا المشوار وأمدني بما أحتاجه عمي الفاضل إلى باقات األمل التي تضيء بيتنا إلى من سكنوا مكان الروح من الجسد إخوتي وأخواتي إلى رفقاء دربي أصدقائي إلى كل من ينتمي بصدق وإخالص إلى هذا الوطن إليهم جميعا أهدي ثمرة هذا الجهد المتواضع الباحث: أسيد ناصر محمد الشرحة

5 ب

6 الشكر والتقدير أوال وقبل كل شيء الشكر والحمد لله سبحانه وتعالى جل في عاله إليه ينسب الفضل كله في إكمال هذا العمل حيث أن الكمال لله وحده. قال تعالى: "و الل ه أ خ ر ج ك م م ن ب ط ون أ م ه ات ك م ال ت ع ل م ون ش ي ئ ا و ج ع ل ل ك م الس م ع و األ ب ص ار و األ ف ئ د ة ل ع ل ك م ت ش ك ر و ن")النحل :17(. أتقدم بخالص الشكر والتقدير إلى الدكتور معين حسن جبر الذي أشرف على رسالتي وقدم لي كل نصح وإرشاد طوال إعدادي وعملي بها ويشرفني أن أتقدم بالشكر لعضوي لجنة المناقشة على إش ارفهما وتكرمهما لمناقشة رسالتي: الدكتورة بعاد الخالص مناقشا داخليا والدكتور إب ارهيم الصليبي مناقشا خارجيا كما أقدم شكر خاص للمحكمين ألدوات الد ارسة على تعاونهم ونصحهم النافع. وجزيل الشكر إلى العاملين في مديرية التربية والتعليم جنوب الخليل الذين ساهموا وقدموا لي التسهيالت في تطبيق هذه الد ارسة كما أتوجه بالشكر إلى إدارة مدرسة ذكور طه الرجعي األساسية مدرسة وإدارة بنات األقصى األساسية وأخص بالذكر كل من المعلم أيمن الرجوب والمعلمة مي حماد على ما بذلوه من جهد وتعاون في تطبيق هذه الد ارسة كما أشكر كل من قدم لي المساعدة في إتمام رسالتي وأخص بالذكر عمي الفاضل المهندس عزمي وإخوتي وأخواتي األع ازء على ما تحملوه من مشقة وتعب وكل الشكر والعرفان لمن يستحق الشكر ولم تسعفني ذاكرتي على تقديم الشكر له. ب

7 الملخص: هدفت هذه الد ارسة إلى استقصاء أثر استخدام است ارتيجية بوليا في تحصيل طلبة الصف السادس األساسي في حل المسألة الهندسية وفي تفكيرهم التأملي بمدارس مديرية جنوب الخليل. وتكونت عينة الد ارسة من) 741 ( طالبا وطالبة من طلبة الصف السادس األساسي من مدارس مديرية جنوب الخليل في فلسطين للعام الد ارسي 5172/5172 وتم اختيار عينة الد ارسة بالطريقة القصدية حيث من )15( قام الباحث بتعيين مجموعتي الد ارسة بشكل عشوائي وهما: المجموعة الضابطة وتكونت طالبا وطالبة درسوا بالطريقة االعتيادية والمجموعة التجريبية وتكونت من) 12 ( طالبا وطالبة درسوا باستخدام است ارتيجية بوليا واتبع الباحث المنهج التجريبي في هذه الد ارسة ولتحقيق هدف الد ارسة أعد الباحث دليل المعلم واختبار تحصيلي في حل المسألة الهندسية و مقياس التفكير التأملي كأدوات للد ارسة وتم التحقق من صدقها وثباتها وبعد انتهاء فترة التجربة والتي مكثت حوالي )1( أسابيع تم تحليل البيانات وحساب المتوسطات الحسابية واالنح ارفات المعيارية واستخدام تحليل التغاير المصاحب (ANCOVA) وكشفت الد ارسة عن النتائج االتية: وجود فروق في متوسط تحصيل طلبة الصف السادس األساسي في حل المسألة الهندسية - تعزى لمتغير است ارتيجية التدريس ولصالح بوليا. است ارتيجية عدم وجود فروق في متوسط الهندسية تعزى لمتغير الجنس. عدم وجود فروق في متوسط تحصيل طلبة الصف السادس األساسي في حل المسألة تحصيل طلبة الصف السادس األساسي في حل المسألة - - الهندسية تعزى لمتغير التفاعل بين است ارتيجية التدريس والجنس. - وجود فروق في متوسط مستوى التفكير التأملي البعدي لدى أف ارد عينة الد ارسة تعزى لمتغير است ارتيجية التدريس ولصالح بوليا. است ارتيجية - وجود فروق في متوسط مستوى التفكير التأملي البعدي لدى أف ارد عينة الد ارسة تعزى لمتغير الجنس ولصالح اإلناث. ج

8 عدم وجود في متوسط مستوى التفكير التأملي البعدي لدى أف ارد عينة الد ارسة تعزى لمتغير - التفاعل بين است ارتيجية التدريس والجنس. وفي ضوء تلك النتائج أوصى الباحث بضرورة تدريب المعلمين والمعلمات على استخدام است ارتيجية بوليا في مادة الرياضيات وإج ارء د ارسات أخرى ومتغي ارت أخرى. مشابه للد ارسة الحالية على صفوف أخرى ومواد د ارسية د

9 The effect of using Polya Strategy on the 6th grade students' achievement in solving mathematical Geometric Question and their reflective thinking in the governmental schools in the Directorate of Education Southern Hebron. Prepared By: Osaid Alsharaha Supervised By: Dr. MuinJaber Abstract: This study aimed at investigating the effect of using Polya Strategy on the 6 th grade students' achievement in solving mathematical Geometric Question and their reflective thinking in the governmental schools in the Directorate of Education Southern Hebron. The purposive sample of the research study consisted of the sixth grade students (147 males and females) from the governmental schools in the Directorate of Education Southern Hebron in The study was applied on a purposeful sample of the 6 th grade student in the public schools. The researcher divided the students into two groups, control group (72 students) which was taught by using the traditional method of teaching and the other one is experimental group (75 students). Which was taught by using Polya Strategy. The researcher used the experimental method in his research. To achieve the aim of the study, the researcher prepared a teacher guide for the teachers. He also prepared two tools: an achievement test in solving mathematical Geometric Question and reflective thinking scale. Content validity and reliability were established for all tools. And in order to know the effect of using the Polya Strategy on the 6 th grade students' achievement in solving mathematical Geometric Question and their reflective thinking; the means, standard deviations and covariance (ANCOVA) analysis were used to compare the means of the students' performance in the achievement test and the students' reflective thinking. The results of the study shows that: - There are statistically differences in the sixth grade students' achievement in solving mathematical Geometric Question due to the teaching method in favor of using Polya Strategy. - There are no statistically differences in the sixth grade students' achievement in solving mathematical Geometric Question due to the students' gender - There are no statistically differences in the sixth grade students' achievement in solving mathematical Geometric Question due to the interaction between Polya Strategy and students' gender. ه

10 - There are statistically differences in the sixth grade students' reflective thinking level due to the teaching method in favor of using Polya Strategy - There are statistically differences in the sixth grade students' reflective thinking level due to the students' gender in favor of females. - There are no statistically differences in the sixth grade students' reflective thinking level due to the interaction between Polya Strategy and students' gender. In the light of the previous results, the researcher recommends the need to train teachers to use Polya Strategy in teaching math s, and to conduct more researches on other subjects, grades and variables. و

11 الفصل األول خلفية الد ارسة وأهميتها 7.7 المقدمة: إن للتربية أهمية مميزة في حياة األف ارد والمجتمعات لما لها من دور هام في المحافظة على ت ارث المجتمع وهي أداة أساسية في تطور المجتمع وتقدمه ومن وظائفها تنمية جوانب شخصية الفرد جميعها وصوال إلى الغايات التي يرغب الفرد والمجتمع في تحقيقها وقد تعتبر الرياضيات من المواد الد ارسية المهمة لما لها من دور مهم في نهضة األمم ورقيها كما أن لها دور كبير في الصحوة العلمية والتكنولوجية التي يعيشها العالم اآلن )شبير 5177 (. وتشكل الرياضيات عنص ار أصيال في العملية التربوية برمتها حيث إن الفروع المعرفية األخرى تعتمد عليها فما من فرع من فروع المعرفة إال وهو بحاجة ماسة إلى الرياضيات لينتفع بها فالرياضيات هي أم العلوم وروحها )رصرص 5111 (. وتعرف الرياضيات بأنها علم تجريدي من إبداع العقل البشري تهتم بط ارئق التفكير وتتصف بأنها لغة عالمية تستخدم التعابير الرمزية المحددة بدقة ومن أهم خواصها أنها طريقة ونمط للبحث 1

12 تعتمد على المنطق والتفكير العقلي مستخدمة سرعة البديهة ودقة المالحظة حيث ت عنى بشكل خاص باألساليب والعمليات المنظمة للكشف عن الخصائص والعالقات بين الكميات أو األشياء وقياسها ولذلك فهي ت عد سيدة العلوم بال منازع ا نظر ودورها في ألهميتها الكبيرة في الحياة العملية المتعددة حل مشكالتها المختلفة فالكثير من الناس يستخدم الرياضيات في مجاالت الحياة المختلفة دون معرفته بالرياضيات 5171(. )أبو زينة وتتعدد فروع الرياضيات التي نستخدمها في حياتنا اليومية كعلم الجبر والحساب والهندسة ونظرية األعداد وغيرها فالحساب يعتبر لغة التداول في عالم المال واألعمال والتجارة واألسواق والبنوك والبورصات أما الجبر فيهتم بالمسائل الرياضية ويوظف الرموز لحل قضايا الحياة المختلفة في حين أن الهندسة ال تبعد عن حياتنا اليومية لحظة واحدة وألهميتها كتب أفالطون على باب منزله )ال يدخل هنا من ال يعرف الهندسة( وال يستطيع أحد تجاوزها سواء كان مهندسا عامل مصنع )النعواشي 5111 (. ا نجار أو أو إذ وتعود كلمة هندسة في اللغة األجنبية Metry( )Geo في أصلها إلى الكلمة اليونانية لGeo نعني بها األرض وMetry األرض )كساب.)5112 وبناء ونعني بها القياس على ذلك يكون المقصود من الكلمة قياس وعلم الهندسة هو العلم الذي يبحث في المفاهيم والتعميمات الرياضية المتعلقة بالتطابق والتكافؤ واألشكال الهندسية وفي تطبيق هذه العالقات في الحياة )عبد الله 5112(. وتكمن أهمية تدريس الهندسة في أنها تنمي قوة المالحظة عند الطلبة المبتدئين وتعودهم على الدقة وهي أيضا وسيلة لتنمية القد ارت االستداللية لدى الطلبة وتعمل على إعداد الطلبة الصغار لممارسة البرهان الرياضي وتنظم معلوماتهم الرياضية وتنمي تفكيرهم المنطقي )المصري 5112(. وقد ظهر علم الهندسة في مصر عندما كان المصريون القدماء يمسحون أ ارضيهم بعد فيضان نهر النيل ثم انتقل بعد ذلك إلى اليونانيين القدماء والهنود والعرب الذين أضافوا عليه إضافات متعددة وأسهموا في تطويره وخصوصا بعد أن استحدث العرب علم الجبر والمثلثات )أبو زينة 5171(. وبالرغم من كل التطو ارت التي حصلت لعلم الهندسة إال أن العلم بقي وألكثر من ألفي سنة في إطار النظرة اإلقليدية وحتى يقوم علم الهندسة بدوره في مجاالت الحياة المختلفة 2

13 وخصوصا في هذا التطور الحضاري المتسارع يجب أن يتعدى فهم خصائص األشكال وإد ارك العالقات والب ارهين إلى تطبيق ذلك بحل المسألة الهندسية )أبو زينة 5171(. وتلعب الهندسة وحل المسألة الهندسية في حياتنا دو ار بار از وفع اال في كثير من مواقف الحياة المعاصرة الرتباطها بالعال م الفيزيقي المحيط بنا لذلك كان لتدريسها أهمي ة ق صوى في تنمية مها ارت وأساليب تفكير الطلبة المختلفة وتطوير قد ارتهم المكاني ة لفهم العال م المحيط بهم )جبر.)5112 وتعد مهارة حل المسألة الهندسية من أهم المها ارت المستخدمة في مجال الرياضيات ا نظر لتمكينها المتعلم من البحث البتكار طريقة جديدة من المعرفة الرياضية وتنمية القدرة على فرض الفروض واختيار المالئم للقوانين الرياضية التي يحددها المتعلم وي رى أنها مفيدة للتوصل إلى الحلول الممكنة وي ع رف أسلوب حل المسألة الهندسية على أنه طريقة علمية الكتشاف جديد من المفاهيم الهندسية واألفكار والتعميمات الرياضية المرتبطة بها )عفانة 5115(. وكذلك فإن عملية حل المسألة الهندسية تعد نشاطا فهي مهما األساس لجميع األنشطة الرياضية فالمها ارت والمعارف والتعميمات الرياضية وكل موضوعات الد ارسات األخرى ليست هدفا في حد ذاتها إنما هي وسائل تساعد الفرد على حل مشكالته الحقيقية لذلك فإن ط ارئق حل المشكالت الرياضية تعد من الط ارئق الطبيعية لممارسة التفكير بوجه عام فال رياضيات بدون تفكير وال تفكير دون مشكالت )المصري 5112(. وبالمقابل فإن حل المسألة الهندسية ليست طريقة سهلة فهي ترتبط بعوامل عدة ترتبط بعوامل فرعية ولذلك فإن أي نظرة سطحية للمسألة الهندسية ال تكفي لحلها ا نظر لتعدد التصنيفات المرتبطة بطبيعتها من حيث إنها مسألة إيجاد كميات أو خصائص أم إثبات أو برهان لقضايا وبناء وأشكال ونظريات محددة وثيقا 3 ( ارشد عليه فإن قدرة المتعلم على حل المسألة الهندسية ترتبط ارتباطا الصفية والبيئة التعليمية بذكاء المعلم وأسلوبه المتبع في است ارتيجيات حلها في المواقف.)5112 ومن أهم أهداف است ارتيجيات حل المسألة الهندسية هو أن يصبح الطلبة أكثر ألفة مع تلك االست ارتيجيات وعلى األمد البعيد فإن الهدف منها هو توظيف الطلبة لها في مواجهة المشكالت

14 الحياتية ونحن كشعب فلسطيني وما نتعرض له من مشكالت متعددة بحاجة لتدريب طلبتنا على است ارتيجيات متنوعة لحل المسائل الهندسية وذلك التخاذ الق ار ارت السليمة في الزمن والمكان المناسبين)عابد 5112(. وثمة عدة است ارتيجيات في تدريس حل المسألة الهندسية منها: است ارتيجية بوليا وقد اشتق عن هذه االست ارتيجية مجموعة است ارتيجيات منها: است ارتيجية كروليك ورودنيك وضمت خمسة م ارحل وهي: ق ارءة المسألة وفهمها واالستكشاف)االستقصاء( واختيار است ارتيجية للحل وتنفيذ الحل وم ارجعة )أبو زينة الحل 5112(. وتعد است ارتيجية بوليا الدعامة األساسية لحل المشكالت الهندسية ويعتبر حل المشكلة الهندسية نشاطا إبداعيا ال يكلل بالنجاح دائما فطريقة التدريس الجيدة ال تتمثل في أداء المها ارت التي يجب أن تطبق بشكل صحيح يضمن النجاح وإنما باالست ارتيجيات والعمليات وأنماط التفكير المختلفة التي يستخدمها الفرد في حل المسألة الهندسية وهذا ما تركز عليه التربية الحديثة وهو تطوير أساليب التفكير لدى المتعلم وإكسابه للحقائق والمها ارت والمفاهيم من خالل هذه األساليب. ولقد قام بوليا بوضع الطرق والخطوات الرئيسة التي يمكن استخدامها في حل المسألة الهندسية وحدد أربع م ارحل لحل المسألة الهندسية وهي: فهم المشكلة وتمثيلها في شكل توضيحي ووضع الخطة من خالل اإلقت ارب من المشكلة وتحديد االست ارتيجيات الالزمة للتطبيق وتنفيذ الخطة من خالل تطبيق هذه االست ارتيجيات في محاولة لحل المشكلة وم ارجعة الحل والتأكد من صحته وإمكانية تعميمه )عبيد 5112(. وعفانة وترتبط عملية حل المسألة الهندسية بكثير من أنماط التفكير المختلفة التي تساعد المتعلم على حل المشكالت الهندسية مثل التفكير التأملي الذي يتطلب تحليل المسألة إلى عناصرها المختلفة والبحث عن عالقات داخلية بين هذه العناصر وعلى المعلم في هذه الحالة مساعدة المتعلمين على كيفية تحليل المسألة وربط العالقات فيما بينها باستخدام الحقائق والمفاهيم والتعميمات المرتبطة بها )النعواشي 5111(. ويعد التفكير التأملي أحد أنماط التفكير التي يجب على المعلم فهمها واستخدام الطرق المحفزة له لتشجيع الطلبة على ممارسته وهو ليس بعملية سهلة ألنه يحتاج إلى تركيز متواصل ليس فقط 4

15 في الموضوع وإنما أيضا العادي)الحارثي ويعد.)5177 التفكير التأملي ا تفكير في طريقة تصور المعرفة السابقة والحالية وهذا ما يميزه عن التفكير موجها حيث يقوم بتوجيه العمليات العقلية إلى أهداف محددة في المشكلة المحددة التي تتطلب مجموعة معينة من استجابات هدفها الوصول إلى حل معين وبهذا.)5112 يكون التفكير التأملي نشاطا هادفا عقليا لحل المشكالت)سويد إن التفكير التأملي يساعد المتعلم على تخطيط وم ارقبة وتأمل أسلوبه من أجل اتخاذ الق ارر وهذا يساعد المعلم على اتباع خطوات متسلسلة في عملية التعلم وتساعده على إبقاء أثر التعلم في عقل المتعلم ويؤكد على التعلم ذي المعنى والمتمركز حول المتعلم وهو جوهر ما تركز عليه است ارتيجيات التدريس الحديثة لبناء المعرفة وتكوينها من قبل المتعلم وهذا بدوره قد يزيد من المستوى التحصيلي للمتعلمين )القط اروي 5171 (. اتفقت وقد د ارسة األسطل )5171( ود ارسة عابد )5112( ود ارسة مقاط )5112( ود ارسة أبو ناموس )5112( على تدني التحصيل في مادة الرياضيات. األمر الذي يستوجب معه البحث عن است ارتيجيات تدريسية تساهم في رفع المستوى التحصيلي للطلبة وإكسابهم القدرة على حل المسائل الهندسية وتنمية مها ارت التفكير الرياضي لديهم وتعد است ارتيجية بوليا من االست ارتيجيات المهمة التي تساعد في رفع المستوى التحصيلي للطلبة في حل المسائل الهندسية ولهذا جاءت هذه الد ارسة لتحاول الكشف عن أثر استخدام است ارتيجية بوليا في تحصيل طلبة الصف السادس األساسي في حل المسألة الهندسية وفي تفكيرهم التأملي بمدارس مديرية جنوب الخليل. 6.7 مشكلة الد ارسة: إن تعلم الرياضيات بشكل عام وحل المسألة الهندسية بشكل خاص تواجه صعوبات كثيرة وتشير الكثير من الد ارسات أن السبب في ذلك قد يرجع إلى االست ارتيجيات المتبعة من قبل المعلمين في ط ارئق تدريسها لذلك يرى الباحث أن استخدام است ارتيجيات تتمحور حول الطالب مثل است ارتيجية بوليا قد تساعد في حل هذا الضعف. 5

16 وتشير نتائج تحليل االختبار الدولي في الرياضيات والعلوم )2011 )TIMSS, أن نتائج دولة فلسطين جاءت بالمرتبة ال )22( تنازليا من أصل )42( دولة شاركت في اختبار الرياضيات والسابعة تنازليا من أصل )77( من بين الدول العربية. وهذه النتائج تضع فلسطين في صف الدول العشر األقل تحصيال في الرياضيات من الدول المشاركة وقد أشارت النتائج إلى أن نسبة مستوى الطلبة الذين يستطيعون التحليل والتفسير والتعميم بلغت )%7( في حين بلغ مستوى الطلبة الذين يستطيعون التطبيق في مواقف معقدة )%2( أما مستوى الطلبة الذين يستطيعون التطبيق في مواقف عادية فقد بلغ )%71( وأشارت النتائج أيضا أن )%12( من الطلبة تم مستوى الطلبة الذين لديهم معرفة في المفاهيم األساسية )عفونة 5175(. تصنيفهم من وأشارت إحصائيات مديرية تربية جنوب الخليل إلى أن نتائج االختبا ارت الموحدة في الرياضيات كشفت عن مستوى تحصيلي متدن للطلبة وخاصة في حل المسائل الهندسية والمسائل التي تتطلب مها ارت التفكير العليا. وللحد من الصعوبات التي تواجه الطلبة في حل المسائل الهندسة ظهرت ات جاهات عديدة تدعو إلى مساعدة المتعل م على اكتساب است ارتيجيات التفكير في حل المشكالت الهندسية فالطلبة يتعل مون محتوى الهندسة بعمق أكثر عندما يقومون بتوليد المعرفة الهندسي ة وتنظيمها وح ل مسائلها وتطبيقها بأنفسهم وألنفسهم بشكل يدعم تركيزهم على التأم ل واالستقصاء وات خاذ الق ارر مم ا ي ؤدي إلى تسهيل عملي ة استخدامهم لهذه المعرفة الهندسي ة وتوظيفها في مواقف مختلفة في بيئتهم المادي ة وي ساعدهم أيضا على تحسين تحصيلهم في في حلها ) NCTM,2000 جبر 5112(. حل المسألة الهندسية والتفكير التأملي وللتغلب على تلك الصعوبات يحاول الباحث استقصاء أثر استخدام است ارتيجية بوليا في تحصيل طلبة الصف السادس األساسي في حل المسألة الهندسية وفي تفكيرهم التأملي بمدارس مديرية جنوب الخليل. 6

17 4.7 أسئلة الد ارسة: تحاول هذه الد ارسة اإلجابة عن السؤال الرئيس التالي: ما أثر استخدام است ارتيجية بوليا في تحصيل طلبة الصف السادس األساسي في حل المسألة الهندسية وفي تفكيرهم التأملي بمدارس مديرية جنوب الخليل وقد انبثق عن هذا السؤال الرئيس السؤاالن الفرعيان اآلتيان: هل توجد فروق في متوسط تحصيل طلبة الصف السادس األساسي في حل المسألة الهندسية - تعزى إلى است ارتيجية التدريس والجنس والتفاعل بينهما هل توجد فروق في متوسط مستوى التفكير التأملي لدى طلبة الصف السادس األساسي تعزى - است ارتيجية إلى التدريس والجنس والتفاعل بينهما 3.7 فرضيات الد ارسة: ولإلجابة عن أسئلة الد ارسة صيغت الفرضيات اآلتية: ) في 1.12 α الفرضية األولى: ال توجد فروق ذات داللة إحصائية عند مستوى الداللة ( متوسط تحصيل طلبة الصف السادس األساسي في حل المسألة الهندسية تعزى لمتغير است ارتيجية التدريس. ) في 1.12 α الفرضية الثانية: ال توجد فروق ذات داللة إحصائية عند مستوى الداللة ( متوسط تحصيل طلبة الصف السادس األساسي في حل المسألة الهندسية تعزى لمتغير الجنس. ) في 1.12 α الفرضية الثالثة: ال توجد فروق ذات داللة إحصائية عند مستوى الداللة ( متوسط تحصيل طلبة الصف السادس األساسي في حل المسألة الهندسية تعزى للتفاعل بين است ارتيجية التدريس والجنس. ) في 1.12 α الفرضية ال اربعة: ال توجد فروق ذات داللة إحصائية عند مستوى الداللة ( متوسط مستوى التفكير التأملي لدى طلبة الصف السادس األساسي تعزى إلى است ارتيجية التدريس. 7

18 ) في 1.12 α الفرضية الخامسة: ال توجد فروق ذات داللة إحصائية عند مستوى الداللة ( متوسط مستوى التفكير التأملي لدى طلبة الصف السادس األساسي تعزى إلى الجنس. ) في 1.12 α الفرضية السادسة: ال توجد فروق ذات داللة إحصائية عند مستوى الداللة ( متوسط مستوى التفكير التأملي لدى طلبة الصف السادس األساسي تعزى للتفاعل بين است ارتيجية التدريس والجنس. 1.7 أهداف الد ارسة: تهدف الد ارسة إلى: - التعرف على أثر استخدام است ارتيجية بوليا في تحصيل طلبة الصف السادس األساسي في حل المسألة الهندسية بمدارس مديرية جنوب الخليل. استقصاء أثر استخدام است ارتيجية بوليا في مستوى التفكير التأملي لدى طلبة الصف السادس - األساسي بمدارس مديرية جنوب الخليل. - استقصاء وجود فروق دالة إحصائيا في متوسط تحصيل طلبة الصف السادس أساسي في حل المسألة الهندسية وفي تفكيرهم التأملي بمدارس مديرية جنوب الخليل تبعا لمتغير الجنس. 2.7 أهمية الد ارسة: تستمد الد ارسة أهميتها من خالل الموضوع الذي تتناوله بالبحث عن أثر استخدام است ارتيجية بوليا في تحصيل طلبة الصف السادس األساسي في حل المسألة الهندسية وفي تفكيرهم التأملي في مديرية جنوب الخليل. ولهذه الد ارسة أهمية على الصعيد النظري والعملي والبحثي فعلى الصعيد النظري تتمثل فيما تقدمه من إطار نظري حول أثر استخدام است ارتيجية بوليا في تحصيل طلبة الصف السادس األساسي في حل المسألة الهندسية وفي تفكيرهم التأملي في مديرية جنوب الخليل وأما على الصعيد العملي فقد تفيد معلمي ومعلمات الرياضيات في الصف السادس في تطوير أساليب تدريسهم والتعرف على أساليب حديثة في حل المسألة الهندسية وقد تفيد المشرفين التربويين في عقد دو ارت تدريسية لمعلمي ومعلمات الرياضيات وقد تنمي الد ارسة مها ارت التفكير 8

19 التأملي لدى الطلبة وأما على الصعيد البحثي فقد تفتح المجال أمام د ارسات أخرى تتناول متغي ارت مختلفة لم تتطرق إليها الد ارسة الحالية. 1.7 حدود الد ارسة: تم تعميم نتائج الد ارسة ضمن الحدود اآلتية: الحدود البشرية: اقتصرت حدود هذه الد ارسة على طلبة الصف السادس األساسي في مدرستي ذكور طه الرجعي األساسية وبنات األقصى األساسية في مديرية جنوب الخليل. الحدود المكانية: اقتصرت حدود هذه الد ارسة على المدارس الحكومية التابعة لمديرية جنوب الخليل. الحدود الزمانية: طبقت هذه الد ارسة في الفصل الثاني من العام الد ارسي 5172/2015. الحدود المفاهيمية: اقتصرت نتائج هذه الد ارسة على المصطلحات والمفاهيم الواردة فيها. الحدود اإلج ارئية: اقتصرت نتائج هذه الد ارسة على األدوات المستخدمة فيها وعلى مدى صدقها وثباتها. الحدود الموضوعية: اقتصرت نتائج هذه الد ارسة على الوحدة األولى )الهندسة والقياس( من كتاب الرياضيات الجزء الثاني المقرر للصف السادس األساسي للعام الد ارسي 5172/ مصطلحات الد ارسة: است ارتيجية بوليا: هي است ارتيجية أو خط عمل حل المشكلة والتي تعد دليال هاما لتسهيل طرق اكتشاف الحل وهي على أربعة م ارحل: 7. فهم المشكلة. 5. وضع خطة حل. 2. تنفيذ الحل. 4. م ارجعة الحل )بدوي 5112 (. ويعرفها الباحث إج ارئيا بأنها است ارتيجية لحل المشكالت الهندسية في الرياضيات والتي تم استخدامها في حل تدريبات وتمارين ومسائل الوحدة األولى )الهندسة والقياس( من كتاب 9

20 وذلك الرياضيات الجزء الثاني المقرر للصف السادس األساسي للعام الد ارسي 5172/2015 من خالل أربعة م ارحل وهي: فهم المشكلة وضع خطة حل وتنفيذ الحل وم ارجعة الحل. الطريقة االعتيادية: هي طريقة تعليم تستند بالدرجة األساسية على دليل المعلم في تدريس وحدة الهندسة والقياس المقررة للصف السادس في كتاب الرياضيات الجزء الثاني للصف السادس األساسي للعام الد ارسي 5172/2015. المسألة الهندسية: هي موقف جديد ومميز يتعرض له المتعلم وال يكون لهذا الموقف حل جاهز عند هذا المتعلم في حينه 5111(. (سالمة ويعرفها الباحث إج ارئيا بأنها مشكلة هندسية تواجه الطالب وتتطلب منه التفكير فيها وتحليلها واستخدام ما تعلمه سابقا للوصول إلى الحل الصحيح. التحصيل الد ارسي: نشاط عقلي يتم عن طريقه اكتساب المعلومات والمعارف والحقائق والقيم واالتجاهات المتعلقة بالجوانب المعرفية واالجتماعية والدافعية عن طريق آليات منظمة سواء كانت مدرسة أو مؤسسة تعليمية ويستدل عليه بالدرجات التي يحصل عليها نتيجة االختبا ارت المقننة والتحصيلية )بارود )5171 ويعرفه الباحث إج ارئيا بأنه قدرة طلبة الصف السادس األساسي في مدرستي ذكور طه الرجعي األساسية وبنات األقصى األساسية على التفكير وحل المسائل الهندسية الواردة في االختبار التحصيلي في وحدة الهندسة والقياس والذي تم إعداده من قبل الباحث. التفكير التأملي: هو مستوى تأمل الفرد للمواقف الرياضية المحددة وتحليلها إلى عناصرها ورسم الخطط الالزمة لفهمها حتى يصل إلى النتائج وتقويمها )عبيد وعفانة 5112(. 10

21 ويعرفه الباحث إج ارئيا بأنه مستوى تأمل طالب الصف السادس األساسي للمواقف الرياضية الهندسية المحددة في استبانة مكونة من) 71 ( فقرة تم تطويرها باالعتماد على األدب النظري ود ارسة )أبو عواد وعياش 5175( تقيس كل فقرة منها مستوى التفكير التأملي لدى المتعلم من خالل استجابته على تلك الفق ارت. 11

22 الفصل الثاني اإلطار النظري والد ارسات السابقة: المقدمة: تضمن هذا الفصل من الد ارسة اإلطار النظري والد ارسات السابقة المرتبطة بالد ارسة ويحتوي اإلطار النظري على ماهية الرياضيات وأهميتها وخصائصها وفروعها وماهية الهندسة وتطور علمها وأهداف تدريسها وأسباب تدريسها وأهمية تعلمها باإلضافة الحتوائه على ماهية المسألة الهندسية والشروط التي يجب توافرها فيها وماهية حلها وأهمية حلها والشروط الواجب على المعلم م ارعاتها عند حلها والصعوبات التي يتعرض لها الطلبة أثناء حلها واست ارتيجيات حلها والتي من ضمنها است ارتيجية بوليا والتي تعد محور هذه الد ارسة وم ارحل است ارتيجية بوليا وأهميتها وممي ازتها وماهية التفكير وأساليبه والتفكير التأملي الذي يعتبر المحور الثاني من محاور هذه الد ارسة ومفهومه وخصائصه والعمليات العقلية المتضمنة فيه ومها ارته ومستوياته وأهميته وم ارحله ودور المعلم في تنميته واألمور الواجب م ارعاتها عند تدريب الطلبة على استخدامه في حل المسائل الهندسية. 12

23 1.2 اإلطار النظري: يرى شبير) 5177 ( بأن الرياضيات لغة عالمية لجميع الثقافات والحضا ارت وهي من أهم األنشطة التعليمية التي تقدم لجميع الطلبة في مستويات التعليم المختلفة لما لها من إنجا ازت في النهضة العلمية المعاصرة ومن المهم أن يعي معلم الرياضيات بطبيعة المادة التي يعلمها لطلبته ألن هذا اإلد ارك يساعد على اختيار أفضل األساليب واالست ارتيجيات لتعليم طلبته وهذا بدوره يؤدي إلى مساعدة الطلبة على تحقيق األهداف المرجوة من تعليم الرياضيات بأسهل الطرق المتاحة ماهية الرياضيات: تطور علم الرياضيات مع مرور الزمن والتطور التكنولوجي فالرياضيات القديمة تختلف عن الرياضيات الحديثة في موضوعاتها وطريقة ومنهج البحث فيها وت ع رف الرياضيات بشكل عام على أنها د ارسة البنى المجردة باستخدام المنطق والتدوين الرياضي وبشكل أكثر عمومية ت ع رف بأنها د ارسة األعداد وأنماطها وهي تتعامل مع الكميات المجردة مثل: العدد والشكل والرمز والعمليات وبذلك فالرياضيات هي علم تجريدي من إبداع العقل البشري ويهتم هذا العلم بأنماط التفكير وط ارئق الحل والرياضيات لغة عالمية تعتمد على سرعة البديهة وسعة الخيال ودقة المالحظة لذلك قيل: إن الرياضيات هي سيدة العلوم بال منازع وبالوقت ذاته هي خادمة هذه العلوم)أبو عقيل 5174( أهمية الرياضيات: دخلت الرياضيات في العديد من المجاالت فهي تجمع ما بين الصعوبة والتسلية فصعوبتها قد تك من في كونها تحتاج إلى التفكير وط ارئق التنظيم وأسلوبها المنطقي الذي له دوره في إيقاظ الفكر وشحذ المواهب وتنمية المها ارت العقلية. وتلعب الرياضيات دو ار مهما في الحياة العملية فهي لغة العلوم ويصعب بدون استخدام أدواتها التعبير عن كثير من المفاهيم العلمية وفي جميع المجاالت كما اعت برت دول متقدمة مثل بريطانيا والواليات المتحدة الرياضيات عامال مؤث ار في التقدم والتنمية حتى وصفت بسفينة الدول المتقدمة )الكبيسي 5111(. ويرى النعواشي )5111( أنه يمكن حصر أهمية الرياضيات في: 13

24 - إن الرياضيات هي لغة العلوم وهي تدخل في معظم العلوم في علم الفيزياء وعلم الكيمياء جزء أساسيا لموضوعات كثيرة فيها. وعلم الفلك وعلم اإلحصاء حيث تعد مسائل الرياضيات - إن الفضل يعود للرياضيات في تحديد منهجية كل من طريقة االستدالل االستنتاجي وطريقة االستدالل االستق ارئي بشكل واضح وهذا بدوره أدى الى اكتشاف طرق تعلم وتعليم مفيدة في الرياضيات والمواد الد ارسية األخرى. - تعمل الرياضيات على بناء التفكير المنطقي والبرهان الصحيح والدقة في االستنتاج والنقد البناء لدى الطلبة. - تنمي لدى الطالب الثقة بالنفس وتقديره لذاته فهي تنمي في الطالب قيم ارقية واتجاهات صحيحة كالصبر وسعة الصدر وزيادة التركيز والسعادة عندما يحل المسائل الن طبيعة المسائل في الرياضيات فيها نوع من التحدي واإلنسان لديه ميل للتغلب عليها. - إن التجريد في الرياضيات مؤشر لتطور العقل البشري والفكر اإلنساني والبد من أن يتناسب مستوى التجريد مع عمر الطالب المتلقي للمعرفة الرياضية فمثال ال يجب أن نبالغ كثي ار في التجريد بالنسبة لطلبة المرحلة األساسية ومن الجدير بالذكر أن نذكر أن التجريد أدى إلى تطوير المزيد من الرياضيات ونموها بسرعة مذهلة إذ كلما انفصلت الرياضيات عن الواقع استطاعت أن تتبنى قواعد وقوانين جديدة يمكن أن نجد لها تطبيقات في المستقبل. - تشكل الرياضيات التكنولوجيا العقلية للعلم وتعمل على تقديم األدوات الذهنية للعال م حيث ي عتبر الحاسوب مدين للرياضيات في جميع جوانبه وقد كان لها دور ليس فقط في إعداد الب ارمج وإنما في أج ازء الحاسوب ومكوناته خصائص الرياضيات: يرى الطنة )5111( أن للرياضيات عدة خصائص هي: - التجريد: وهو االنع ازل عن الواقع والبعد التام عنه وهذه الخاصية مميزة للرياضيات وبه تعلم الرياضيات كمنهج للتفكير وكلغة. 14

25 - تمتاز لغة الرياضيات عن اللغة العادية بدقة التعبير ووضوحه واختصاره. - تمتاز الرياضيات بوضوح حقائقها وخلوها من العوامل العاطفية التي تؤثر في استخالص النتائج. - تعد الرياضيات اللغة التي تتكلم بها العلوم الطبيعية وهي الطريق إلى التفكير في هذا العالم. - تعتمد الرياضيات اعتمادا كليا على اللغة الدقيقة والمنطق السليم لذا فهي تعود الطالب على التفكير السليم والوصول إلى النتائج المرجوة بأسهل طريقة فروع الرياضيات: للرياضيات عدة فروع منها: الحساب: - هو العلم الذي يعالج األرقام واألعداد والعمليات الحسابية وخواصها ولقد شملت د ارسة على الحساب بناء الخوارزميات إلج ارء العمليات الحسابية والبحث عن تماثالت أعداد ذات خصائص مميزة كاألعداد األولية. - التحليل الرياضي: هو الد ارسة المنظمة للعمليات الالنهائية وتعتبر طرق التكامل التي وضعها العالم ريمان وطرق التفاضل المعتمدة على مفاهيم النهاية التي وضعها العالم نيوتن األساس للتحليل الرياضي المعاصر وقديما مصدر حيرة وازعاج للرياضيين القدامى. كانت فكرة الالنهاية وفكرة الكميات المتناهية في الصغر الجبر: - است خدم علم الجبر منذ القدم وحتى يومنا هذا فالجبر الكالسيكي كان عبارة عن د ارسة موسعة ومجردة لألعداد واألسئلة التي يتناولها متعلقة بأشياء ملموسة وقد كانت ألشياء مادية وقد كانت اإلجابة عليها تتم بطرق مناسبة منها طريقة الرسم البياني وطريقة الحذف وطريقة التعويض وغيرها من الطرق وأما بالنسبة للجبر الحديث فهو نظام مجرد واستنباطي مبني على المسلمات والبنيات الرياضية التي يضمها كالزمرة والحلقة غاية في العمومية فالنظريات في هذه البنيات تنطبق على حاالت خاصة 5171(. )أبو زينة - الهندسة: تعد الهندسة أحد فروع الرياضيات المهمة التي تربطه بالعالم الحقيقي حيث يتم تطبيق معلوماتها في شتى مجاالت الحياة كما أنها تعتبر من المواد التي تساعد الطلبة على تحسين 15

26 أساليب تفكيرهم عن طريق التدريب على ربط العالقات والحقائق واستخدام أساليب البرهان المتعددة للوصول إلى الحل الصحيح وهذا بدوره يساعد الطلبة على أساليب التفكير اكتساب السليمة وتزداد أهمية الهندسة نتيجة التساع كمية المعلومات وما يصاحبها من اكتشافات وإضافات مستمرة وتغي ارت سريعة في كافة مجاالت الحياة )الطنة 5111(. ماهية الهندسة: جاءت كلمة الهندسة من اللغة الالتينية والتي تعني علم قياس األرض وبما أن الف ارغ شكل من أشكال العالم الفيزيائي الذي نعيشه اليوم فإن الهندسة ترتبط بالجانب التطبيقي لها في علم الفيزياء فمثال الجسم الفيزيائي كالحجر االسطواني الشكل يرتبط به مفهومان مجردان عن الجسم أولهما: الف ارغ الذي يشغله الجسم وثانيهما: شكله االسطواني فاألول ي رجع إلى الف ارغ الفيزيائي والثاني ي رجع إلى الف ارغ الرياضي و يرجع الفضل في تأسيس علم الهندسة إلى العالم إقليدس الذي ووض ألف كتاب سماه األصول ع به مبادئ الهندسة اإلقليدية التي ال غنى عنها الرياضيات)شواهين وبدندي 5171 (. في مادة أبدا ومن الصعب تحديد تعريف للهندسة ألن المادة التي تتناولها كثيرة متنوعة وذات أقسام وفروع عديدة ويمكن القول بأن الهندسة: هي علم د ارسة الف ارغ والمقدار وهي تهتم بموضوع شكل ومساحة األشكال والمجسمات الهندسية ولكن ال تتطرق الى خواصها المادية الفيزيائية وحجم )عبد الله 5112(. وت عرف طافش )5177( الهندسة على أنها أحد فروع الرياضيات الذي ي بحث عن سمات األشكال الهندسية والعالقة بينها بطريقة استنباطية اعتمادا على المسلمات والنظريات التي تشتق منها بطريقة علمية. تطور علم الهندسة: يعود تاريخ الهندسة كما ت ذكر المصادر إلى البابليون حيث كانت الهندسة عندهم تتعلق بعمليات القياس فقد كانوا ي عرفون القواعد العامة لحساب مساحة العديد من األشكال الهندسية مثل: المستطيل والمثلث وشبه المنحرف كما كانوا يعرفون أن محيط الدائرة يساوي ثالثة أمثال القطر 16

27 "ط" أن على اعتبار تساوي ثالثة ثم جاء بعد ذلك المصريين القدماء وقد كانوا يقومون بتقسيم أ ارضيهم بعد فيضان نهر النيل الى أشكال هندسية مختلفة وقاموا ببناء األه ارمات على أسس هندسية وكانت الهندسة ت عني عندهم قياس األرض ثم جاء اإلغريق وحولوا الهندسة إلى شيء آخر غير قياس األرض وجعلوا الهندسة تعتمد على التفكير المنطقي وبدأت على يد طاليس وهو أول من استخدم البرهان المنطقي في د ارسة الهندسة. جاء بعد طاليس عالم إغريقي يعد من أشهر علماء الهندسة وهو فيتاغورس وقام أتباعه بإنشاء ما يسمى بالمدرسة الفيتاغورثية التي قدمت أهم وأعظم اإلنجا ازت الهندسية حتى يومنا هذا حيث درسوا خواص الخط المستقيم والمستقيمات المتوازية وأثبتوا أن مجموع زوايا المثلث يساوي 711 درجة وبدأوا بهندسة المسلمات وأول من نجح ببناء تلك الهندسة هو إقليدس صاحب كتاب العناصر الذي احتوى على عدد محدود من المسلمات والبديهيات التي استخدمها في تصميم هندسة جديدة. بعد ذلك ظهرت الهندسة الالإقليدية في منتصف القرن التاسع عشر على يد العديد من العلماء.)7222 وقد ضمت الهندسة الالإقليدية: أهداف تدريس الهندسة: هندسة التحويالت واإلسقاطية والتبولوجي)سالمة ويلخص كساب )5112( أهم أهداف تدريس الهندسة بما يأتي: - امتالك المعلومات المالئمة عن األشكال الهندسية في المستوى والف ارغ نظ ار ألهميتها في مواضيع أخرى مثل: التفاضل والتكامل إلى جانب ارتباطها بالعا لم الفيزيقي المحيط بالطلبة وذلك على م ارحل متسلسلة تبدأ بالرسم والقياس وعمل النماذج الهندسية بطرق عملية ثم التسلسل منها نحو الد ارسة االستنتاجية المبنية على المسلمات والنظريات والبرهان. - امتالك الطلبة لمهارة تطبيق الطريقة االستداللية كالتفكير والبرهان في المواقف الرياضية المختلفة. - إتاحة الفرصة أمام الطلبة لممارسة التفكير االبتكاري وتشجيعهم على التفكير واألصالة 17 والمبادأة.

28 - د ارسة أساليب التفكير المختلفة عند حل المسائل الهندسية. أسباب تدريس الهندسة: هناك سببان رئيسيان لتدريس الهندسة وهما: - تساعدنا الهندسة على وصف عالمنا الطبيعي وفهمه وتمثيله من جهة وذلك المصنوع من قبل اإلنسان من جهة أخرى فهي جزء أساسي من حياتنا اليومية وكذلك تعتبر جزء أساسي من أعمال المعمارين والمهندسين وغيرهم. - ي مكن للهندسة أن تعزز القوة الرياضية بثالث طرق وهي: حسن موقف الطلبة نحو الرياضيات. أ. ي مكن أن يكون العمل في الهندسة مسليا وهذا بدوره ي ب. ي مكن أن ت عطي الهندسة فرصا المسائل والتفكير. كثيرة للطلبة لالنخ ارط في عمليات االستقصاء الرياضي وحل ج. تعمل النماذج الهندسية على جعل المواضيع الرياضية أكثر شموال )السواعي 5114 (. أهمية تعلم الهندسة: تعد الهندسة عنص ار هاما في منهاج الرياضيات تربط الطالب بالعال م الحقيقي حيث يتم تطبيق معلوماتها في شتى مجاالت الحياة وتكمن أهمية تعلم الهندسة في النقاط اآلتية: - تعد الهندسة بوصفها علم الف ارغ ذات أهمية خاصة في واقع الحياة فعلى سبيل المثال: إذا أردنا إيجاد مساحة قطعة أرض فإننا نقوم بتقسيمها إلى مثلثات معتمدين على قانون مساحة المثلث. - تشغل الهندسة مكانا ممي از بين علوم االستدالل فطريقة عرض الهندسة التي تعتمد على الفرض واالستنتاج تعود المبتدئين على الدقة وت نمي فيهم قوة المالحظة. تعد الهندسة وسيلة لتنمية القد ارت االستنتاجية إذ ال بد من إعداد طلبة المرحلة االبتدائية - للممارسة البرهان الرياضي ويجب أن يصل طالب المرحلة االبتدائية إلى اقتناع بأن ما يبدو له 18

29 واضحا الوضوح. ليس من المهم أن يكون صحيحا فالبد أن يقيم الحجة والبرهان إلثبات صحة هذا - تعد الهندسة لغة هامة للكشف واالستدالل ولذلك من المهم أن يتمتع الطلبة بميزة تعلمها فالطلبة غالبا يلجأون إلى الرسم البياني لمساعدتهم على التفكير الحدسي فاستخدام طريقة الرسم البياني مهمة ألنه من خاللها يمكن اكتشاف صحة نتيجة. الهندسة هي فن التحويل إذ أصبحت منذ القرن التاسع عشر علم التحويالت إذ ت د رس - تعديالت األشكال الهندسية فابتداء من االبتدائية يمكن د ارسة التماثل من خالل الورق المقوى )شعث 5172(. وترى الطنة) 5111 ( أن أهمية تعلم الهندسة تكمن في كونها وسيلة لتوفير فرص كبيرة للطلبة لكي ينظروا ويقارنوا ويقيسوا ويبنوا العالقات الجديدة مما يؤدي إلى توفير مجال خصب لتنمية التفكير لديهم وهذا بدوره ينمي الذكاء عندهم ويجعلهم يستخدمون طرق التفكير الصحيحة المالئمة من استق ارء واستنباط لحل المسائل الهندسية المسألة الهندسية: حازت المسألة الهندسية على الكثير من اهتمام العلماء والتربويين إلى حد أن أصبحت عملية تعليم الطلبة الست ارتيجيات حل المسألة الهندسية في المدارس هدف من األهداف الحديثة في مادة الرياضيات ولقد أقرت اللجنة القومية لمرشدي الرياضيات األمريكية عام )7212( بأن تعليم الطلبة لحل المسألة الهندسية هو القاعدة األساسية لتدريس الرياضيات وأن حل المسألة الهندسية يعد الطريقة لتطبيق المعرفة السابقة لدى الطلبة عن الرياضيات على وضع جديد وغير مألوف)نواهضة 5112(. ماهية المسألة الهندسية: يعر ف أبو زينة) 5171 ( المسألة الهندسية أنها موقف جديد يواجه المتعلم وليس له حل جاهز في حينه ويتطلب منه أن يفكر فيه ويحلله ومن ثم يستخدم ما تعلمه سابقا ليتمكن من حله. 19

30 ي عر ف بينما علوان) 5112 ( أن المسألة الهندسية بأنها موقف يواجه الفرد ويتطلب منه حله عن طريق عقله ومحاو ارته في الوصول إلى ذلك الحل المطلوب وبما يتالءم مع الموقف الذي يواجهه. وي عرف بدوي) 5112 ( المسألة الهندسية على أنها موقف كمي تم وضعه في صورة كلمات ويحتوي على سؤال يحتاج إلجابة وال يدل الموقف على العمليات والخطوات المطلوبة للوصول إلى اإلجابة ويستخدم فيه التفكير السليم للوصول إلى عالقات تربط بين عناصر الموقف. بينما ي عرفها دياب) 5114 ( بأنها موقف جديد يتعرض له الطالب ألول مرة دون أن يكون لديه استجابة جاهزة لهذا الموقف ويحتاج مها ارت عقلية عليا للوصول إلى الحل الصحيح. وي عرف الباحث المسألة الهندسية بأنها مشكلة هندسية تواجه الطالب وتصاغ بصيغة لفظية وحل هذه المشكلة يتطلب من الطالب استخدام المفاهيم والقوانين والمها ارت المتنوعة الالزمة لحلها. الشروط التي يجب توافرها في كل مسألة هندسية: أن تبين المسألة الهندسية معلومات وهدفا يكون اإلجابة عليه مستندا على تلك المعلومات. - - أن يكون هدف المسألة الهندسية قابال للتحقيق عن طريق ترجمة المعلومات المتوفرة إلى حدود رياضية أو تطبيق القوانين في مجاالت رياضية متنوعة. - أن تكون المحاولة الفردية لحل المسألة الهندسية أو تحقيق الهدف الم ارد منها غير جاهز في ذاكرة الطالب أو عمل إج ارءات حل المسألة الهندسية بمجرد رؤيتها)عفانة 5115(. حل المسألة الهندسية وماهيتها: ينبثق حل المسألة الهندسية من كونها عملية دينامية متطورة تكمن فيها مجموعة من العمليات الفردية المكتسبة التي يستحضرها الفرد ليستخدمها في الموقف الذي يجابهه فحل المسألة الهندسية هو أداء عقلي يتميز بالقدرة على إد ارك العالقات بين عناصر الموقف الداخلية بين ما هو معطى وما هو مطلوب وذلك عن طريق التطبيق المنظم لمعرفة الفرد وتفكيره وإعادة تشكيله 20

31 للعناصر المتضمنة في الموقف لتعرف ما بينها من عالقات تؤدي بالمتعلم إلى تفسير وإثبات المطلوب والحصول على إجابة للمسألة)جبر 5112 (. وي عرف عفانة) 5115 ( حل المسألة الهندسية على أنها طريقة علمية في التفكير الستنباط األفكار والمفاهيم الرياضية الجديدة. بينما ي عرفها إب ارهيم) 5112 ( باإلد ارك السليم لعالقات محددة في الموقف سواء أكان هذا الموقف على صورة كمية أو رمزية ونتيجة لهذا اإلد ارك يستطيع الطلبة حل المسألة إيجاد الحل الصحيح. ويرى المجلس الوطني لمعلمي الرياضيات في أمريكا) NCTM,2000 ( أن حل المسألة الهندسية ما هو إال عملية تطبيق للمعرفة الهندسية المكتسبة في مواقف جديدة غير مألوفة وهذا الوصف ربما يكون مناسبا عند التمييز بين اإلجابة التي يقدمها الطلبة للمسألة الهندسية وبين األساليب أو الخطوات واإلج ارءات التي يستخدمونها في الوصول إلى تلك اإلجابة فاألساليب واإلج ارءات المستخدمة في عملية حل المسألة الهندسية هي الجوهر التي ت بنى عليها مناهج الرياضيات بما فيها منهاج الهندسة)بدوي 5112 (. وتشير الد ارسات إلى أن حل المسألة الهندسية يسهم في تنمية المها ارت العلمية لدى الطلبة مثل: طرح األسئلة والمالحظة)م ارقبة األشياء بدقة( واكتشاف التشابه واالختالف)المقارنة( والتصنيف والتسجيل)الكتابة والتمثيل باألشكال( والتفسير )ق ارءة األشكال والرسومات والجداول للحصول على معلومات( والتحليل)در اسة المعلومات الستخالص أجوبة عن أسئلة الباحث( واالستنتاج )الحصول على معلومات لم تكن معروفة( والتنبؤ )طرح أسئلة عن حدوث شيء في المستقبل انطالقا من معلومات سابقة معروفة( واقت ارح التعليالت )اقت ارح تعليل أو تفسير لكيفية حدوث شيء ما( وتوظيف المعلومات في الحياة العملية)تطبيق( والتفكير الواقعي وحب االستطالع )جبر 5112 (. 21

32 أهمية حل المسألة الهندسية: تكمن أهمية حل المسألة الهندسية في أنها العملية التي بوساطتها يتعلم فيها الطلبة مفاهيم وحقائق وتعميمات ومها ارت هندسية تساعد في تحسين قد ارتهم التحليلية واستخدامها في مواقف مختلفة وتزيد من دافعيتهم نحو الهندسة مما يجعل محتواها أكثر إثارة ومتعة لهم. وتعد عملية حل المسألة الهندسية وسيلة إلثارة الفضول العقلي وحب االستطالع حيث يكتسب المتعلم من خاللها مفاهيم وقوانين وتعميمات يقوم بتطبيقها في مواقف جديدة كما أنها وسيلة لتدريب الفرد على مواجهة المشكالت التي تواجهه في حياته اليومية وتعمل على إثارة دافعية الطلبة وتحفيزهم نحو عملية التعليم )أبوزينة 5112 (. إن حل المسألة الهندسية ليست بسهولة تطبيق المبادئ والقوانين الهندسية لكنها عملية تتطلب من المتعلم استدعاء المفاهيم والمبادئ الهندسية التي تعلمها سابقا وإيجاد عالقات بينها وتجريب الفروض المناسبة للموقف المتمثل في المسألة وبالتالي فإن حل المسألة الهندسية بهذا الشكل ما هو إال عملية ت نتج تعلما جديدا أي أن حل المسألة الهندسية يعني االستجابة المناسبة لوضع جديد لم يتعرض له المتعلم من قبل وليست لديه حلول جاهزة له وهذا يتطلب من المتعلم أن يفكر في المسألة الهندسية ويحللها ويستخدم ما تعلمه سابقا والكسواني 5117 (. ليتمكن من حلها )البكري وكما تحتل الهندسة في مناهج الرياضيات بالمرحلة األساسية العليا مكانة مهمة وتحقق الخب ارت الهندسية أهدافها التربوية في هذا العصر المتغير كان البد من استخدام است ارتيجيات تدريسية تتناسب وهذه الخب ارت لجعلها أكثر تشويقا في تعليمها وتعلمها نظريا وعمليا بما يتالءم مع طبيعة المتعلمين وقد ارتهم) Baharvand,2001 (. الشروط الواجب على المعلم م ارعاتها عند حل المسائل الهندسية في غرفة الصف: - تعريض الطلبة للعديد من المسائل الهندسية بحيث تكون تحركاتهم في حل تلك المسائل أكثر ومرونة. تقدما - تعليم الطلبة است ارتيجيات حل المسائل الهندسية المختلفة والتخطيط في طريقة حلها. 22

33 تشجيع الطلبة على حل المسائل الهندسية المختلفة باست ارتيجية محددة ثم تزويدهم - باست ارتيجيات مختلفة لحل نفس المسائل المقدمة. إعطاء الطلبة فرصة للقيام بتحليل المواقف الرياضية لتشكيل مسائل حقيقية. التأكد من أن الطلبة يستطيعون اختيار المعلومات والبيانات الالزمة لحل المسائل الهندسية إعطاء الطلبة الوقت الكافي لممارسة واستخدام االست ارتيجيات وفحص مردود المسائل الهندسية. - تقديم المسائل الهندسية للطلبة على أساس م ارعاة مستويات صعوبتها مقارنا بقدرتهم على حلها. - بعد الوصول الى الحل شجع الطلبة على التأكد من صدق تفكيرهم ومالحظة هل لديهم حلول أخرى للمسألة الهندسية أم ال)عفانة 5115 (. يرى أبو لوم) 5115 ( أن حل المسألة الهندسية يعمل على تحسين قد ارت الطلبة التحليلية وإتقان تعلم الطلبة للحقائق والمفاهيم والقوانين والنظريات والمها ارت الرياضية وتحسين دافعيتهم وإثارة اهتمامهم فحل المسألة عمل صعب ومربك يتعرض له الطالب وال يوجد لديه حل جاهز له. وقد تعود أسباب صعوبة حل المسألة الهندسية إلى أن بعض المتغي ارت البنائية في تكوين المسألة تسهم في صعوبتها وتؤثر في مقدرة الطلبة على حلها. الصعوبات التي يتعرض لها الطلبة أثناء حل المسائل الهندسية: بين النعواشي )5111( أن معظم أسباب الضعف تكمن في اآلتي: - عدم إتقان مهارة الق ارءة ووجود عادات سيئة فيها باإلضافة إلى ضعف في حصيلة المفردات اللغوية ذات العالقة. - العجز في استيعاب المسألة الهندسية وعدم القدرة على تمييز الحقائق الكمية والعالقات المتضمنة في المسألة الهندسية وتفسيرها. - ضعف خطة معالجة المسألة الهندسية وعدم ترتيبها. - الصعوبة في انتقاء الخطوات التي ستتبع في حل المسألة الهندسية. 23

34 - ضعف التمكن من المفاهيم والقوانين والتعميمات والمها ارت األساسية. - العجز في اختيار األساليب المناسبة. - ضعف القدرة على التفكير االستداللي والتتابع في الحل. - ضعف قدرة المتعلم على التخمين والتقدير للحصول على إجابة سريعة. تعتبر عملية تكوين است ارتيجية لحل المسألة الهندسية عملية مهمة يعتمد عليها نجاح حل المسألة الهندسية فمعظم الطلبة الذين يواجهون صعوبة في حل المسألة الهندسية ليس لديهم است ارتيجية واضحة لحل المسألة الهندسية ونتيجة للجهود المبذولة من قبل الباحثين والمعنيين تم تحديد العديد من االست ارتيجيات لحل المسألة الهندسية في شتى فروع الرياضيات)عابد 5112 ( است ارتيجيات حل المسألة الهندسية: وتعرف بأنها مجموع الطرق والخطوات التي يقوم بها الطالب لمواجهة عائق أو موقف يحتاج حال له وغالبا يكون غير مباشر ويتطلب جهد عقلي وتصوري وإد اركي)توبة 5174 (. وهناك العديد من االست ارتيجيات التي يمكن استخدامها في حل المسائل الهندسية ومعظم هذه االست ارتيجيات جاءت لتوضح معيار حل المسألة الهندسية الذي ورد في وثيقتي المجلس الوطني لمعلمي الرياضيات في الواليات المتحدة عامي وتبنت مشاريع الرياضيات المختلفة في الواليات المتحدة هذه المعايير واقترحت عددا الهندسية منها )أبو زينة 5112 (: من االست ارتيجيات لحل المسائل - است ارتيجية خمن واختبر: كما هو مبين من عنوان هذه االست ارتيجية فإن طريقة االستخدام هو أن نخمن الحل ثم نتأكد منه أو نختبره حتى نرى إذا كان الحل صحيحا )المليجى 5112 (. - است ارتيجية عمل قائمة منظمة أو جدول: لتنظيم المعلومات الواردة في المسألة ي ستحسن وضعها في قائمة منظمة أو جدول إذ يمكننا ذلك من اكتشاف عالقة ما أو نمط للمعلومات الواردة في المسألة. 24

35 مثال: ما هو مجموع األعداد الفردية العشرين األولى: )إرشاد: نظم البيانات التالية في الجدول االتي:( العدد األعداد الفردية المجموع هل الحظت أن مجموع أول 2 أعداد فردية مثال= است ارتيجية البحث عن قاعدة أو قانون لحل المسألة: كما هو مالحظ من عنوان هذه االست ارتيجية فإن طريقة االستخدام هي البحث عن قاعدة أو قانون ما لحل المسألة الرياضية م %71 يتضاءل مثال: إنتاج بئر من الماء سنويا إذا كان إنتاجه في السنة األولى فما مجموع ما يستخرج من البئر حتى نفاذ كمية الماء فيه )إرشاد: القانون الذي يستخدم هو قانون مجموع حدود المتتالية الهندسية( - است ارتيجية البحث عن النمط: ت كون األعداد أو األشكال في بعض األحيان على شكل نمط محدد وهذا النمط يوجهنا إلى قاعدة ت ستخدم للتوصل إلى الحل. 25

36 مثال: تم تكوين األشكال األتية من مثلثات متساوية األضالع صغيرة: أرسم الشكل السابع الذي يتكون من مثلثات صغيرة وبنفس الطريقة. ما عدد المثلثات التي يتكون منها هذا الشكل )إرشاد: يتكون الشكل األول من مثلث واحد في سطر واحد(. يتكون الشكل الثاني من 4 مثلثات في سطرين. 2 يتكون الشكل الثالث من 2 مثلثات في أسطر. النمط: يتكون الشكل السابع من... في 1 أسطر. - است ارتيجية حل المسألة أسهل: تعد هذه االست ارتيجية من االست ارتيجيات التي تستعمل لتبسيط المواقف أو المسائل الصعبة نسبيا حيث تستعمل أرقام سهلة وبسيطة أو أشكال مألفة من عناصر بسيطة أو مألوفة. مثال: كم عدد مكون من منازل يمكن تكوينه من األرقام التالية: مع عدم تك ارر الرقم 2 نفسه )إرشاد: مسألة أبسط : كم عدد مكون من منزلتين يمكن تكوينه من األرقام التالية: مع عدم تك ارر الرقم نفسه ( العدد هو 5 2=2 - است ارتيجية عمل نموذج أو شكل هندسي: تقوم هذه االست ارتيجية على تمثيل الموقف أو المسألة بنموذج أو شكل هندسي وهي طريقة منظمة في توضيح العالقات بين عناصر الموقف أو المسألة وتسهم في التوصل إلى الحل السليم. 26

37 مثال: شارع على شكل دائرة حول منطقة سكنية طول قطرها= 211 م إذا كان عرض 1 الشارع= 71 م فما تكلفة تعبيده وتزفيته إذا كان المتر المربع الواحد يكلف دنانير )إرشاد: أرسم الشكل الذي يمثل المسألة احسب مساحة المنطقة السكنية )الدائرة الداخلية( واحسب مساحة المنطقة السكنية مع الشارع )الدائرة الخارجية(( - است ارتيجية السير بطريقة عكسية: في معظم األحيان تقدم معطيات المسألة بشكل متسلسل وفي است ارتيجية السير بطريقة عكسية تكون نقطة البداية في الحل هي المعطيات األخيرة في المسألة وهكذا حتى نصل إلى نقطة البداية. مثال: ينفق موظف %51 من ارتبه على السكن و %52 على األكل والشرب و %72 على المالبس وأما المصاريف األخرى ينفق عليها ربع ارتبه ويوفر 15 ذلك الموظف دينا ار في الشهر. ما ارتب )إرشاد: يوفر الموظف 15 دينا ار وهي تشكل ما نسبته %711-)%52+%72+%52+%51( %72=%12 -%711 = 15 أي أن %72 من ارتب الموظف يعادل دينار. - است ارتيجية الحذف أو المحاولة والخطأ: وفي هذه االست ارتيجية يتم التحقق من الحل الصحيح من خالل طريقتين: إما اقت ارح عدد من الحلول أو حذف الحلول الغير الممكنة. مثال: مستطيل مساحته= 15 وما هو عرضه 5 سم يزيد طوله عن عرضه بمقدار 2 سم فما هو طول المستطيل 27

38 )إرشاد: ليكن االقت ارح األول هو: عرض المستطيل= 4 سم وطوله= 71 سم إذن مساحته= 41 5 سم )اقت ارح خاطئ( قم باقت ارح ثاني واختبره(. - است ارتيجية التبرير المنطقي أو البرهان: في هذه االست ارتيجية نستخدم التسلسل المنطقي أو البرهان في الوصول إلى حل المسائل الرياضية. مثال: مثلث قائم ال ازوية طول ضلعي القائمة فيه 2 سم و 75 أرس القائمة إلى منتصف الوتر سم. ما طول المستقيم الواصل من 72 )إرشاد: طول وتر المثلث القائم ال ازوية = سم(. وهناك نظرية نصها: " المستقيم الواصل من أرس القائمة إلى منتصف الوتر يساوي نصف الوتر". إذن طول المستقيم= 5/72=2.2 سم )أبو زينة 5112 (. - است ارتيجية حل المشكالت: تعتبر است ارتيجية حل المشكالت من االست ارتيجيات التي تستخدم لتشجيع الطلبة على التوصل إلى الحلول في الرياضيات بأنفسهم من خالل البحث والتنقيب والتجريب وتمثل هذه االست ارتيجية قمة النشاط العلمي الذي يقوم به العلماء وإن نجاح الطلبة في حل المشكالت سوف يعدهم للنجاح في معالجة القضايا والمشاكل التي تواجههم في حياتهم اليومية وإن أفضل طريقة لحل المشكالت الرياضية التي يقوم بها المعلم يجب أن تقوم على أسس صحيحة ولكي يتم ذلك ال بد من استخدام است ارتيجية من است ارتيجيات حل المشكالت التي تتعامل مع المشكلة على أسس منهجية ي ارعى فيها التسلسل المنطقي لعملية التفكير في حل المشكلة الرياضية )شبير 5177 (. ويوجد عدد من نماذج است ارتيجيات حل المشكالت ومنها المشكالت الرياضية ومن هذه النماذج: نموذج كرولك وردنك: ويتكون من الخطوات األتية: - ق ارءة المشكلة. 28

39 استكشاف المشكلة. اختيار األسلوب المالئم لحل المشكلة. حل المشكلة الم ارجعة وتقييم حل المشكلة )رصرص 5111 (. - نموذج فريدريك بيل: ويضم خمسة خطوات وهي: طرح المشكلة في شكل عام. - إعادة صياغة المشكلة تعريف إج ارئي. تكوين الفروض والخطوات البديلة التي تعد طريقة مالئمة لحل المشكلة. اختبار الفروض والقيام بالخطوات للحصول على حل أنسب من الحلول البديلة. تعزيز أي من الحلول الممكنة أنسب أو التأكد من أن هناك حال واحدا صحيحا نموذج جون ديوي: ويتكون من خمسة خطوات وهي: اإلحساس بالمشكلة. تحديد المشكلة وتعريفها. وضع الفروض أو الحلول المقترحة للمشكلة. اختبار صحة الفروض. الوصول إلى حل للمشكلة نموذج ف ارنك ليستر: ويضم خمسة خطوات وهي: - االنتباه للمشكلة اإللمام بالمشكلة.

40 تحليل الهدف. تطوير الخطة. تنفيذ الخطة نموذج شونفيلد: ويتكون من خمس خطوات وهي: معرفة المشكلة. التحقق من فهم أبعاد المشكلة قبل البدء في حلها. تخطيط الحل. تتبع مسار عمليات حل المشكلة. تحديد مصادر الدعم واتخاذ الق ارر أثناء حل المشكلة نموذج ماير: ويبين أن هناك أربعة أنماط للمعرفة الالزمة لحل المشكالت الرياضية وهي: الترجمة: وتتطلب المعرفة اللغوية التي تسمح للطلبة بفهم المشكلة. التكامل: أي يقوم الطالب بدمج كل جملة في تمثيل مت اربط وأن يكون لدى الطالب المعرفة - - التنظيمية الخاصة والتعرف على حل المشكالت ومعالجتها. - التخطيط والمتابعة: ويتطلبان المعرفة باالست ارتيجيات التي تركز على كيفية حل المشكلة ووضع خطة للحل. - تنفيذ الحل: ويتطلب أن يقوم الطالب باستخدام المعرفة اإلج ارئية لتطبيق القواعد الحسابية بدقة ووضوح )شبير 5177 (. وتعتبر است ارتيجية بوليا من أهم است ارتيجيات حل المسألة الهندسية ولذلك تناول الباحث هذه االست ارتيجية لتكون محور الد ارسة. 30

41 7.1.2 است ارتيجية بوليا: يعتبر حل المسألة الهندسية من أصعب ما يتعرض له الطلبة في مادة الرياضيات والعائق اللغوي هو الذي يقف حاج از أمام حل الطالب للمسألة ويرى جورج بوليا في كتابه البحث عن الحل أن من أهم مهمات المعلم هم مساعدة الطالب مساعدة عادية بحذر ال إقحام فيها فيقوم المعلم بإلقاء أسئلة وتوجيهات عامة تهدي الطالب إلى الطريق الذي يجب أن يسلكه لحل المسألة الهندسية وقد حدد بوليا أربع خطوات لحل المسألة وهي: الخطوة األولى: ق ارءة المسألة وفهمها: ويقصد بها أن يق أر الطالب المسألة بلغته الخاصة بدقة وعناية وفهم والق ارءة عن فهم تعتبر من األمور الهامة جدا في حل المسائل ومما يعوق الفهم أن تحتوي المسألة على كلمات غير موجودة في حصيلة الطالب من مفردات فلن يستطيع الطالب اإلجابة عن مسألة ال يفهمها لذا البد أن تكون لغتها مفهومة لديه ويعيد صياغتها بلغته الخاصة كما يجب أن يعرف عناصر المسألة األساسية عن طريق تحديد المعطيات والمطلوب والشروط وتحديد ما بها من بيانات وقد يكون المطلوب في نهاية المسألة ويجب أن يحدد المطلوب في بعض المسائل بعد الق ارءة األولى للمسألة مباشرة. الخطوة الثانية: التخطيط للحل: تعتبر من أصعب الخطوات لذا يجب على المعلم مساعدة الطلبة في الحصول على فكرة لحل المسألة وذلك من خالل طرح العديد من األسئلة وتقديم توجيهات عامة للطلبة كربط المسألة بمسألة سابقة وال بد أن تكون هذه الفكرة مبنية على خب ارت سابقة لدى الطلبة ويقوم المعلم بتوجيه الطلبة إلى مسائل ذات صلة بالمسألة المطلوب حلها أو وضع مسألة مكافئة بأرقام صغيرة يستطيع الطالب حلها ذهنيا والتوصل إلى عمليات نوعية الحل فمثال إذا كانت المسألة جبرية من المهم أن يحدد المعلم العمليات وترتيبها لحل المسألة فهل العملية جمع أو طرح أو ضرب أو قسمة وأحيانا تحتوي المسألة على أكثر من عملية فإذا كان المطلوب لحل المسألة 31

42 هو القيام بعدة عمليات فقد ال يعرف الطالب ترتيب أج ازئها مما يساعده في كثير من الحاالت عن البحث عن الكلمات التي توجهه وترشده للحل وليس من الضروري أن يعتمد الطالب اعتمادا كبي ار على مثل هذه الكلمات. الخطوة الثالثة: تنفيذ الحل: في هذه الخطوة تكون الخطة التي وضعها الطالب للحل جاهزة للتنفيذ وقد يفهم الطالب معنى المسألة وطريقة حلها ولكنه قد يجد صعوبة في إج ارء العمليات الحسابية المطلوبة فمثال قد يستلزم حل المسألة قسمة كسرين وقد يعجز الطالب عن القيام بذلك لذا يجب أن يكون الطالب ملما بالحقائق والعمليات ليستطيع حل المسألة حال صحيحا. الخطوة ال اربعة: م ارجعة والتحقق من صحة الحل: تتم م ارجعة والتحقق من صحة حل المسألة من خالل السير بخطوات الحل عكسيا أو من خالل التعويض أو تجريب طرق أخرى في الحل فمثال إذا كانت العملية الحسابية المستخدمة في حل العملية بعكس يكون فالتحقق الضرب هي ما مسألة )القسمة( تكون الحل معقولية من والتحقق بالتقدير أو المنطق فمثال إذا كان المطلوب من المسألة ما إيجاد معامل االرتباط وكان ناتجه أكبر بناء على من واحد صحيح فإن الحل غير صحيح ألن معامل االرتباط ال يزيد عن الواحد صحيح حكم المنطق )أبو عقيل 5174(. است ارتيجية عشر اثني بوليا حدد وقد ت ع ف ر المسألة بحل خاصة باالست ارتيجيات لتوجيه التنقيبية مسا ارت تفكير التالميذ نحو الحل الصحيح للمسألة. وقد اقترح "بوليا مجموعة من األسئلة ذات التلميحات التي تتطابق مع العمليات الفعلية المستخدمة في الم ارحل األربعة لحل المسألة )بدوي 5112(: المرحلة األولى: فهم المسألة 32 - ما هو المطلوب)المجهول( - ماهي المعطيات)البيانات(