جمهورية العراق وزارة التربية املديرية العامة للمناهج الرياضيات للصف السادس العلمي الفرع الاحيائي تنقيح لجنة متخصصة في وزارة التربية الطبعة العاشرة 144

الحجم: px
بدء العرض من الصّفحة:

Download "جمهورية العراق وزارة التربية املديرية العامة للمناهج الرياضيات للصف السادس العلمي الفرع الاحيائي تنقيح لجنة متخصصة في وزارة التربية الطبعة العاشرة 144"

النسخ

1 جمهورية العراق وزارة التربية املديرية العامة للمناهج الرياضيات للصف السادس العلمي الفرع الاحيائي تنقيح لجنة متخصصة في وزارة التربية الطبعة العاشرة 440 ه / 09 م

2 المشرف العلمي على الطبع: د.أمير عبد المجيد جاسم المشرف الفني على الطبع: صلاح سعد محسن استنادا الى القانون يوزع مجانا ويمنع بيعه وتداوله في الاسواق

3 مقدمة لقد ظهرت في الكثير من دول العالم املتقدم مناهج حديثة في الرياضيات وطرائق جديدة لتناولها كانت سببا في حركة ديناميكية فع الة أثرت في العملية التعليمية في املدارس واجلامعات وأحدثت فيها تطويرا جذريا وعليه أصبح من الضروري أن يلتحق العراق بهذا الركب وان يسارع في العمل لتطوير مناهج التعليم واساليبه وخاصة في الرياضيات التي تلعب دورا طليعيا في إرساء دعائم احلضارة واملدنية فهناك عالقة طردية بني احتياجات التنمية الصناعية والزراعية واملدنية والتكنولوجيه واالقتصادية بصفة خاصة وبني مناهج الرياضيات في املو سسات التعليمية مبختلف مستوياتها. وفي ضوء خطة تطوير املناهج الدراسية بصورة عامة ومناهج الرياضيات بصورة خاصة مت تأليف هذا الكتاب ضمن مشروع تنويع التعليم لطلبة الصف السادس العلمي/ الفرع االحيائي. الذي هو آخر حلقة من سلسلة الرياضيات قبل اجلامعية اذ تقع مادة هذا الكتاب في ستة فصول تناول الفصل االول االعداد املركبة والعمليات عليها وايجاد اجلذور التربيعية وحل معادالت من الدرجة الثانية في مجموعة االعداد املركبة واالحداثيات القطبية واخيرا مقياس العدد املركب وسعته وكتابته بداللتيهما. اما الفصل الثاني فقد احتوى على القطوع املخروطية متضمنة القطوع املخروطية )املكافيء الناقص الزائد( واملعادلة القياسية لكل منها في حاالت خاصة واالختالف املركزي لكل قطع مخروطي. واشتمل الفصل الثالث على املشتقات العليا للدوال القابلة لالشتقاق واملعد الت الزمنية والقيم العظمى والصغرى المحلية ومبرهنة رول ومبرهنة القيمة املتوسطة والتقريب باستخدامها والتقعر والتحدب ورسم بيان بعض كثيرات احلدود واحلدوديات النسبية اما اشتقاق الدوال االسية واللوغارتمية فقد عرضت في الفصل الرابع الذي احتوى على موضوع التكامل وتطبيقاته اذ مت التطرق الى املبرهنة االساسية للتكامل. ثم التركيز على ايجاد تكامالت الدوال اجلبرية واللوغارتمية واالسية والدائرية وايجاد املساحة بني منحنيني وبني منحني ومحور السينات وحجوم املجسمات الدورانية واحتوى الفصل اخلامس على موضوع املعادالت التفاضلية والذي اقتصر على املفاهيم اخلاصة باملعادالت التفاضلية )الرتبة الدرجة احلل(. ولم يركز عند حل املعادالت التفاضلية اال على فصل املتغيرات واملعادالت املتجانسة. اما الفصل االخير فقد تضمن تكملة ملا درسه الطالب في الصف اخلامس العلمي من مادة الهندسة املجسمة واملتعلقة بالزاوية الزوجية واملستويات املتعامدة ومفاهيم االسقاط العمودي واملبرهنات املتعلقة بهذه املوضوعات. وقد روعي في هذا الكتاب وجود قدر كاف من التطبيقات احلياتية والفيزيائية واالمثلة واملسائل والتمرينات املنوعة وتوخينا جهد امكاننا ان تترابط موضوعات هذا الكتاب مع كتب الرياضيات للصفوف التي سبقته ومع ما يدرسه الطلبة في دراستهم الالحقة فضال عن مراعاة الفروق الفردية بني الطلبة. آملني ان نكون قد وفقنا في ذلك كله ومرحبني بكل نقد بناء من الطلبة واولياء امورهم او مدرسيهم او من ذوي االختصاص واالهتمام إلثراء الكتاب وتطويره والل ولي التوفيق جلنة التنقيح

4 المحتويات 4 الفصل االول )8( حصة 5 73 الفصل الثاني )8( حصة الفصل الثالث )48( حصة الفصل الرابع )36( حصة الفصل اخلامس )8( حصة الفصل السادس )( حصة 99 4

5 الاعداد المركبة Compl e x Numbe r s Gالول π üødg االعداد املركبة Complex Numbers ]-[ احلاجة الى توسيع مجموعة االعداد احلقيقية. ]-[ العمليات على مجموعة االعداد املركبة. ]-3[ مرافق العدد املركب. ]-4[ اجلذور التربيعية للعدد املركب. ]-5[ حل املعادلة التربيعية في C. ]-6[ التمثيل الهندسي لالعداد املركبة. ]-7[ الصيغة القطبية للعدد املركب. ]-8[ مبرهنة ديمواڤر. Chapter One المصطلح الجزء الحقيقي للعدد R (z):z الجزء التخيلي للعدد I :(z) z سعة العدد المركب z مقياس العدد المركب z الطرف الايسر الطرف الامين األعداد الكلية الاعداد الطبيعية الاعداد الصحيحة الاعداد النسبية الاعداد الحقيقية الاعداد المركبة الرمز او العلاقة الرياضية R(z) = x = r cos θ I (z) = y = r sin θ arg (z) = θ r = z = mod z LHS RHS w N Z Q R 5 C

6 االعداد املركبة Complex Numbers ]-[ احلاجة الى توسيع مجموعة االعداد احلقيقية. لقد درسنا في الصفوف السابقة حل املعادلة اخلطية Equation( )Linear وعرفنا انه يوجد حل واحد في مجموعة االعداد احلقيقية الية معادلة خطية. وعند دراستنا للمعادلة التربيعية تبني أنه لنوع معني منها حل في مجموعة االعداد احلقيقية ونوع آخر ال يوجد لها حل في هذه املجموعة مثل املعادالت 0(: = + )x + 4x+ 5 =0( ) x وكما تعلمت ان املعادالت التربيعية التي يكون مميزها 4ac( b( - عددا سالبا ال يوجد لها حل في مجموعة االعداد احلقيقية. ان ظهور مثل هذه املعادالت في العديد من التطبيقات الفيزياوية والهندسية ادى الى احلاجة الى توسيع مجموعة االعداد احلقيقية الى مجموعة اوسع منها هي مجموعة االعداد املركبة والتي سوف تكون موضوع دراستنا في هذا الفصل. إننا عندما نريد حل املعادلة )0=+ x( أو )-= x( الجند عددا حقيقيا مربعه يساوي )-( لذلك نفترض وجود عدد يساوي وهو غير حقيقي ونرمز له بالرمز )i( ويسمى الوحدة التخيلية Unit( )Imaginary وهو ليس من االعداد التي تقرن مع العد أو القياس. إن العدد )i( يحقق اخلواص اجلبرية لالعداد احلقيقية ما عدا خاصية الترتيب ولهذا نستطيع حساب قوى )i( كما في األمثلة اآلتية: i = - i 3 = i. i = )-(.i = -i i 4 = i. i = )-( )-( = i 7 = i 6.i = )i ( 3.i = )-( 3.i = -i i 8 = i 80.i= )i ( 40.i = )-( 40.i =.i = i i -7 = )i( -8.i = )i ( -4.i = )-( -4. i = i i -5 = i -6.i = )i ( -8.i = )-( -8. i = i 6

7 االعداد املركبة Complex Numbers وبصورة عامة يكون حيث r= 0,,, 3 i 4n+r = i r, n w, حيث w={0,,,...} whole Numbers وهذا يعني انه عند رفع )i( لعدد صحيح موجب فالناجت يكون احد عناصر املجموعة }, -, i -},i حيث نقسم أس )i( على )4( والباقي هو األس اجلديد الى )i(. فمثال : i i 5 = ألن ناجت قسمة 5 على 4 يساوي 6 والباقي. i 99 = i 3 = -i ألن ناجت قسمة 99 على 4 يساوي 4 والباقي. 3 )a( i 6 )b( i 58 )c( i n+93 )d( i -3 اكتب ما يلي في ابسط صورة: مثال- - احلل: )a( i 6 = i 4 )4( + 0 = i 0 = )b( i 58 = i 4 )4( + = i = - )c( i n+93 = )i 4 ( 3n. i 93 = )( 3n i 4)3(+ =)()i(=i )d( i -3 = = i6 =i 3 = -i i 3 i 3 مالحظة يمكننا كتابة اجلذور التربيعية ألي عدد حقيقي سالب بداللة i فمثال : 6 = 6. = 4 i 5 = 5. = 5 i =. = 3 i 5 = 5. = 5 i 7

8 االعداد املركبة Complex Numbers a = a. = a i, a 0 وبصورة عامة يكون = i واآلن بعد أن تعرفنا على العدد التخيلي ماذا نسمي العدد )a+bi( حيث a عدد حقيقي b عدد حقيقي تعريف ]-] يقال للعدد c = a+bi حيث a,b عددان حقيقيان = i عدد مركب Number( )Complex يسمى a جزؤه احلقيقي) ) Real Part ويسمى b جزؤه التخيلي a +bi ويقال للصيغة C ويرمز الى مجموعة االعداد املركبة بالرمز.)Imaginary Part( الصيغة العادية أو اجلبرية للعدد املركب. مالحظة ان اي عدد مركب c = a + bi يمكن جعله مناظرا للزوج املرتب الوحيد )a,b( اذ أن b,a عددان حقيقيان وبالعكس فالعدد احلقيقي a يمكن كتابته بالشكل a+0i أو )0,a(. وان العدد ) Imaginary Unit( i حيث ان: ( )0, i او. i= 0+i يقال للعدد, b( bi )0 عدد تخيلي بحت ( Number )pure Imaginary والعدد. )Pure Real Number( إنه عدد حقيقي بحت )a, 0( a= a+0i فالعدد - + 3i عدد مركب جزؤه احلقيقي - وجزؤه التخيلي 3 والعدد - عدد مركب جزؤه احلقيقي - وجزؤه التخيلي 0 اما العدد 3i- فهي عدد مركب جزؤه احلقيقي 0 وجزؤه التخيلي 3-8

9 االعداد املركبة Complex Numbers اكتب األعداد اآلتية على صورة : a+bi مثال- - a) 5 b) 00 c) 3 d) a) 5 = ii b) 00 = 00 = 0 i = 0 +0 i c) 3 = 3 i = 3 i + 5 d) 4 = 4 5 i + 4 = i 4 احلل: مبا ان كل عدد حقيقي a يمكن كتابته بالشكل +a 0i أو )0, a( اي يمكن كتابته على صورة عدد مركب جزؤه التخيلي صفر فان هذا يبني أن : مالحظة مجموعة االعداد الحقيقية R هي مجموعة جزئية من مجموعة االعداد املركبة C اي ان. R C c = a + b i, c = a + b i اذا كان : c = c a = a, b = b فا ن : تعريف ]-] اي يتساوى العددان المركبان اذا تساوى جزءاهما الحقيقيان وتساوى جزءاهما التخيليان وبالعكس. 9

10 االعداد املركبة Complex Numbers جد قيمة كل من y, x احلقيقيتني اللتني حتققان املعادلة في كل مما يأتي. مثال- - 3 a( x - +i = +)y+(i. b( 3x+4i = +8yi c( )y+( - )x-(i = -8+ 3i احلل: a( x- +i = +)y+(i x - = x = x = = y+ y = - y= b( 3x+4i = + 8yi 3x =, 4 = 8y x= 3, y = 4 8 = c( )y+( - )x-(i = i y+ = - 8, - )x - ( = 3 y = -9 y = 9, -x =, x = - 0

11 االعداد املركبة Complex Numbers ]-[ العمليات على مجموعة االعداد املركبة. اولا : عملية الجمع على مجموعة الاعداد المركبة : c فان, c c حيث = a + b i, c = a + b ليكن i c + c = )a + a ( + )b + b ( i ) a الن مجموعة االعداد احلقيقية مغلقة + a ( R )b +b وكما تعلم أن: R ( )a + a ( + )b + b ( i C C حتت عملية اجلمع. اي ان مجموعة االعداد املركبة مغلقة حتت عملية اجلمع. تعريف ]-3] a)3+ 4 i, i 5 ii جد مجموع العددين املركبني في كل مما يأتي : مثال- 4- b)3, 5ii c) i, i 3ii احلل : a)(3+ 4 i)+(5i i)= i (3+5)+(4 )i i =8+ ii b)(3)+( 5i)= i (3+0i)+(i 5i) i = (3+)+(0 5)i i = 5 5ii c)( i)+ i 3i i= ( i)+(0 i + 3i) i = (+0)+( + 3)i i =+i i

12 c, c, c 3 االعداد املركبة Complex Numbers خواص عملية الجمع على مجموعة الاعداد المركبة C تتمتع عملية اجلمع على االعداد املركبة باخلواص اآلتية: فان: )( c + c = c + c * اخلاصية االبدالية. )Commutativity( )( c + )c +c 3 ( = )c + c ( +c 3 * اخلاصية التجميعية. )Associativity( )3( * النظير اجلمعي. Inverse( )Additive c C, c = a + bi z C : c + z = z + c = 0 z = c = a bi *العنصر المحايد اجلمعي. Additive Identity يرمز له بالرمز e وي عرف )4( e = 0 = 0 + 0i C مالحظة ان طرح ا ي عدد مركب من ا خر يساوي حاصل جمع العدد املركب االول مع النظير اجلمعي للعدد املركب الثاني. )7-3i( - )9+4i( )7-3i( - )9+4i( =)7-3i( + )-9-4i( =)7-9( + )-3-4(i = - - 7i جد ناجت : مثال- 5- احلل :

13 االعداد املركبة Complex Numbers حل املعادلة: مثال- 6- )-4i( +x=-5+i x حيث C احلل : )-4i( +x= -5+i باضافة النظير اجلمعي للعدد )-4i( للطرفني )-5+i(+)-+4i( )-4i(+)-+4i(+x = x = )-5+i(+)-+4i( = )-5-(+)+4(i x = -7+5i ثانيا : عملية ال سرب على جمموعة االعداد املركبة : اليجاد عملية ضرب عددين مركبني نقوم بضربهما بصفتهما مقدارين جبريني ونعوض بدال من i العدد )-( كما يأتي: c فان = a + b i, c = a +b i اذا كان c. c = )a +b i( )a + b i( = a a + + a b i + a b i + b b i = a a + a b i + a b i - b b = )a a - b b (+ )a b + a b (i c = a + b i فان m c = m a + m b i m R مالحظة اذا كان 3

14 االعداد املركبة Complex Numbers C c فان :,c c حيث = a + b i, c = a + b ليكن i c. c = )a a - b b ( + )a b + a b (i )a الن b + a b ( R وان )a a - b b وكما تعلم : R ( لذلك فان R مغلق حتت عملية الضرب c. c أي ان مجموعة االعداد املركبة مغلقة حتت عملية الضرب. تعريف ]-4] C a)( 3i)(3 5i) i i b)(3+ 4i) i c)i(+i) i i d) 5 (4+3i) i جد ناجت كال مما يأتي : مثال- 7- e)(+i) i +( i) i احلل : a)( 3i)(3 i 5i) i = (6 5)+ ( 0 9)ii = 9 9i i او يمكن ايجاد حاصل الضرب بالتوزيع )-3i()3-5i(=6-0i-9i+5i = -9-9i b)(3+ 4i) i = 9+4i i+6ii = 9+4ii 6 = 7+4ii (3+4i) = (3+4i)(3+4i) = (9-6) + (+) i = -7 +4i c)i(+i)= i i i+ii = +ii ا و 4

15 االعداد املركبة Complex Numbers d) 5 (4+3i)= 0 5 i i e)(+i) i +( i) i =(+i+i i i )+( i+i i i ) = i+)-i(= 0 خواص عملية الضرب على مجموعة الاعداد المركبة تتمتع عملية الضرب على االعداد املركبة باخلواص اآلتية: c, c, c 3 C )( c c = c c * اخلاصية االبدالية. )Commutativity( )( c )c c 3 ( = )c c ( c 3 * اخلاصية التجميعية. )Associativity( * يتوفر العنصر المحايد الضربي Identity( )Multiplicative وهو )+0i( = )3( * النظير الضربي Inverse( )Multiplicative )4( c 0 + 0i, z 0 + 0i : c z = z c = z = c اي ان لكل عدد مركب cعدا الصفر يوجد له نظير ضربي )يختلف عن الصفر( ينتمي الى c مجموعة االعداد املركبة. ]-3[ مرافق العدد املركب Conjugate Number a, b R تعريف ]-5] مرافق العدد املركب c=a+bi هو العدد املركب c = a-bi فمثال : i+3 هو مرافق العدد i-3 وبالعكس وكذلك مرافق )i( هو )i-( وبالعكس. وان 5-4i مرافق 5+4i وبالعكس وكذلك مرافق العدد 7 هو. 7 5

16 الاعداد المركبة Complex Numbers مالحظة يتضح من تعريف املرافق ا نه يحقق الخواص اآلتية: ) c ± c = c ± c ) c g c = c g c 3) c = c اذا كان c = a + bi فان 4) c. c = a + b اذا كان c R فان 5) c = c 6) c c = c, c 0 c c فتحقق من : = + i, c اذا كان = 3 - i () c ± c = c ± c () c g c = c g c مثال- 8- الحل: () c + c = (+ i)+ (3 i) i = (4 i)= i 4+ii c + c = (+ i) + (3 i) i = ( i)+(3+i) i i = 4+ii c + c = c + c () c g c = (+i)(3 i) i i = 3 i i+ 3ii ii = 5 + i = 5 i c. c = (+ i) (3 i) i = (- i) ( 3+i) c g c = c g c c c = c تا كد بنفسك ان c = (3+ )+ ( 3)i i = 5 i i 6

17 الاعداد المركبة Complex Numbers جد النظير الضربي للعدد c = - i وضعه بالصيغة العادية للعدد المركب. مثال- 9- c = ii c النظير الضربي للعدد c هو الحل: = + ii + ii + ii = = i i + i i = i 3 i i بالصيغة العادي ة للعدد المركب.. x, y R مترافقان فجد قيمة كل من x yi =, 3 i اذا ضعكان العدد + 5i 5 + ii 3 i = x yi 3 i ii = 3 + i 5i i 5 i i i = x 5 + yi i 5 i i 5i xi + yi (5 )+ ( 3 0)ii 3 3ii = = 3 5i i +0i = xi y = 7 7i5 + 6 x = 7 = i = y = 7 مثال- 0- الحل: c c = c c فتحقق من : = + i, c اذا كان = 3 - i c مثال- - c c = 3 i i + i الحل : 7

18 االعداد املركبة Complex Numbers = 3 i i i 3 3ii i i + ii = + i i + 5ii = = 5 i = + 5 i c c = 3 i i + i = 3+ ii i = 3+ i + i i 3+ 3i i + i i+ ii = i + i + = c = c c + 5ii c = + 5 i i مالحظة c حيث c على العدد املركب الجراء قسمة العدد املركب c فاننا نضرب بسط ومقام املقدار c مبرافق املقام فيكون: 0 c c c = c c c c ضع كال مما يأتي بالصورة :a+bi مثال- - a( + i i b( i 3+ 4i i c( + ii + i 8

19 االعداد املركبة Complex Numbers a( + i = + i + i i i + i + i i + i = = i i + = i = 0 + i احلل: b( 3+ 4i = i i 3 4ii 6 8ii 3i i + 4ii = = i i i 3+ 4i i 3 4ii = 5 5 i c( + i + i = + + i i i i 4ii ii = = 5i i = i i = 0 i i i i مالحظة يمكن حتليل x y+ الى حاصل ضرب عددين مركبني كل منهما من الصورة a+bi وذلك : x +y = x - y i = )x-yi()x+yi( حلل كال من العددين 53 0 الى حاصل ضرب عاملني من صورة a+bi حيث b,a عددين نسبيني. مثال- 3- احلل: = +9 0 او + 9 = 0 = 9-i = -9i = )3-i()3+i( = )-3i()+3i( = او = 53 = 49-4i = 4-49i = )7 - i ( )7 + i( = )-7i()+7i( 9

20 االعداد املركبة Complex Numbers تمارين )-(. ضع كال مما يأتي بالصيغة العادية للعدد املركب: i 5, i 6, i 4, i 999, i 4n+ n w, )+3i( + )+i( )0 + 3i()0 + 6i(, )+i( 4 - )-i( 4, + i i, 3+ 4i i 3 4i i 3 i + 3i,, 3+ i + 3i + 4i, i i i + i i 4 + i., )+i( 3 + )-i( 3. جد قيمة كل من y, x احلقيقيتني اللتني حتققان املعادالت اآلتية: a( y+ 5i i = (x + i)(x + i) i b( 8i i = (x + i)(y+ i i)+i c( i + (x + yi) i = (+ i) i d( i + + x + 3 i + y = i i i i a( ( ) ( + ) = 8 5 ( i ) i b( i i + i ( + + i ) i = 3. اثبت ان : c( ( i)( i )( i 3 ) = 4 4. حلل كال من االعداد الى حاصل ضرب عاملني من الصورة +a bi حيث,b a عددان نسبيان. 3+ i مترافقان. i, 6 x + yi 5- جد قيمة y, x احلقيقيتني اذا علمت ان 0

21 االعداد املركبة Complex Numbers ]-4[ اجلذور التربيعية للعدد املركب. لقد تعلمت أنه اذا كان a عددا حقيقيا موجبا فانه يوجد عددان حقيقيان هما ± a يحقق كل منهما املعادلة x = a ويسمى ± a اجلذرين التربيعيني للعدد a. أما اذا كان = 0 a فان له جذر واحد هو 0. واآلن سنتناول دراسة اجلذور التربيعية للعدد املركب. (x + yi) i = 8 + 6ii x + xyi i+ i y = 8 + 6ii (x y )+ xyi i = 8 + 6ii جد اجلذور التربيعية للعدد.c = 8 + 6i نفرض ان اجلذر التربيعي للعدد c هو x + yi مثال- 4- احلل: x y = 8...() xy = 6 y = 3 x...() x 3 x = 8 x 9 x = 8 من تعريف تساوي عددين مركبني وبالتعويض من املعادلة )( في املعادلة )( ينتج : بضرب الطرفني في 0 x ينتج : x 4 8x 9 = 0 (x 9)(x +) = 0 x = ±3 or او x = ) x R تهمل الن ( x = y = 3 ±3 y = ± وبالتعويض في املعادلة )( عن قيمة x نحصل على : x 3-3 y - c = 3 + i و c = -3 - i أي أن جذري العدد c هما -i, 3 + i -3

22 االعداد املركبة Complex Numbers جد اجلذور التربيعية لالعداد : i 8i, مثال- 5- احلل: a( c = 5 نفرض ان : c = ± 5 = ± 5i i = ±5ii b( c = 7 نفرض ان : c = ± 7 c = ± 7 i نفرض ان )x+yi( هو اجلذر التربيعي للعدد )c i- (x + yi) i = ii x + xyi + y i = 0 - i x y = 0...() xy = y = x...() وبالتعويض من املعادلة )( باملعادلة )( ينتج: x 4x 0 = بضرب الطرفني في 0 4x ينتج : 0 = 4x 4 = 0 (x )(x +) = 0 )x R يهمل الن ( x = اما y = ±)( ±x وبالتعويض في )( عن قيمة x جند : x = ± او y = +

23 االعداد املركبة Complex Numbers x y ± جذرا العدد i- التربيعيان هما i d( (x + yi) i = 8ii نفرض ان x+yi هو اجلذر التربيعي للعدد 8i x + xyii y = 0+8i x y = 0...() xy = 8 y = 4 x...() x 6 x = 0 وبالتعويض من املعادلة )( في املعادلة )( ينتج : وبضرب الطرفني في 0 x ينتج: x 4 6 = 0 (x 4)(x + 4) = 0 اما -4 = ( x يهمل الن )x R x = 4 x = ± y = 4 وبالتعويض في املعادلة )( عن قيمة x ينتج: ± = ± او x - y - جذرا العدد 8i التربيعيان هما )+i( ± 3

24 االعداد املركبة Complex Numbers ]-5[ حل املعادلة التربيعية في )C ). تعلمت من املرحلة املتوسطة ان للمعادلة = 0 c ax + bx + حيث 0 a وان a, b, c R حلني يمكن ايجادهما بالدستور : x = b± b 4ac a وعرفت أنه اذا كان املقدار املميز = b 4ac سالبا فانه ال يوجد للمعادلة حلول حقيقية ولكن يوجد لها حالن في مجموعة االعداد املركبة. حل املعادلة = x x + في مجموعة االعداد املركبة. مثال- 6- x = b± = b 4ac a 4 ± 6 (4)()(5) () احلل: حسب القانون )الدستور(: = = = 4 ± ± 4 4 ± ii = ± i } i, + اذا مجموعة حل املعادلة هي: } i مالحظة من الدستور نعلم ان جذري املعادلة التربيعية = 0 c ax + bx + التي معامالتها حقيقية هما : x. x = c a x = b b 4ac x = b+ b 4ac a a x وحاصل ضرب اجلذرين هو : + x ومجموع اجلذرين هو : b = a 4

25 االعداد املركبة Complex Numbers ويمكن االفادة من هذه اخلواص كما يأتي : اوال : اذا كان (y 0) x + yi احد جذري املعادلة a 0 a,b,c R, ax +bx+c = 0, فان x - yi هو اجلذر اآلخر لها. ثانيا : بقسمة طرفي املعادلة = 0 +bx+c ax على a 0 نحصل على = 0 a x + b a x + c والتي هي عبارة عن: = 0 ( حاصل ضرب اجلذرين( + x ( مجموع اجلذرين( - x جد املعادلة التربيعية التي جذراها )+i( ±. مثال- 7- )+i()--i( = )-( + )-( i = 0 احلل: مجموع اجلذرين هو: )+i()--i( = -)+i( = -)4 + 8i + 4i ( = -8i x 0x + ( 8i) = 0 x 8i i = 0 x = 8ii حاصل ضرب اجلذرين هو : املعادلة التربيعية هي : كو ن املعادلة التربيعية التي معامالتها حقيقية وأحد جذريها. 3-4i مثال- 8- مبا أن معامالت املعادلة حقيقية وأحد جذريها 3-4i اجلذر االخر هو املرافق له وهو 3+4i احلل : مجموع اجلذرين = 6 وحاصل ضربهما = 5 x - 6x + 5 = 0 املعادلة هي : 5

26 االعداد املركبة Complex Numbers تمارين )-(. حل املعادالت التربيعية اآلتية وبني اي منها يكون جذراها مترافقني a( z = b( z 3z+ 3+ i = 0 c( z 5z+3 = 0 d( z + z+ i( i) = 0 e( 4z + 5 = 0 f( z - z i + 3=0. كون املعادلة التربيعية التي جذراها M,L حيث: a( M= + L = b( m= 3 i i i M, L = (3 i) i + i 3. جد اجلذور التربيعية لالعداد املركبة االتية: a( -6i b( i c( 4 3 i 4. ما املعادلة التربيعية ذات املعامالت احلقيقية وأحد جذريها هو: a( i b( 5 i c( + 3ii 4-5 اذا كان + i 3 هو احد جذري املعادلة = 0 5i) x ax + (5 + فما قيمة a C وما هو اجلذر االخر 6

27 االعداد املركبة Complex Numbers ]-6[ التمثيل الهندسي لالعداد املركبة. Geometric Representation of Complex Numbers. اذا كان E )او R( يمثل املستوي االقليدي املتعامد المحورين. فانه باقران كل عدد مركب x+yi )حيث )x,y R بالنقطة )x,y( في E نحصل على تطبيق تقابل من E الى. R وفي هذا املستوي سنمثل هندسيا بعض العمليات اجلبرية البسيطة في اجلمع والطرح في E والتي تقابل هندسيا العمليات في E )او.)R سوف نتناول في هذا البند والبنود الالحقة تمثيل بعض العمليات على االعداد املركبة هندسيا والتي سنطلق على االشكال التي تمثلها اشكال ارجاند نسبة الى العالم ( Argand,.J( R. وسمي املستوي باسم العالم االملاني الشهير غاوس مبستوي غاوس ( )C.F. Gauss أو بشكل Imaginary axis 0 مبسط املستوي املركب ( Plane )Complex y اذ يسمى المحور السيني )x-axis( بالمحور P )x,y( احلقيقي حيث يمثل عليه اجلزء احلقيقي للعدد املركب اما المحور الصادي axis( y( - فيطلق عليه اسم المحور التخيلي والذي يمثل عليه اجلزء التخيلي θ للعدد املركب. وبالتالي فان العدد املركب x Real axis الشكل )-( z = x + y i, z = x + y لو كان i y p 3 )z +z ( عددان مركبان ممثالن بالنقطتين p فان : )x, y (, p )x, y ( z + z = (x +x ) + (y +y )i p )z ( z بالنقطة + z ويمكن تمثيل p 3 (x + x, y + y ) 0 p )z ( x مستخدمني المعلومات المتعلقة باملتجهات. كما في الشكل ) -( : الشكل )-( uuu v uuu v uuu v اي ان 0 p + 0 p = 0 p3 7

28 االعداد املركبة Complex Numbers uuu v ان العدد املركب x + yi يمكن تمثيله باملتجه 0 p وعليه يكون جمع عددين مركبني هو جمع متجهني. uuu v - z فا ن p هي ناجتة من دوران 0 p حول 0 نصف دورة وعليه p يمثل العدد املركب اذا اعتبرنا فا ن : z - z = z +)-z ( 0p كما p 3 p يشابه متوازي االضالع 0p p 4 p p 4 حيث والذي يقترن بالنقطة في الشكل )-3(. y p )z ( p 3 )z +z ( 0 p )z ( x p 4 )z - z ( p )- z ( 0 uuu p v uuuu v uuu v uuu v 4 = p p = 0 p 0 p الشكل )-3( أي أن 8

29 الاعداد المركبة Complex Numbers مث ل العمليات الاتية هندسيا في شكل ارجاند: مثال- 9- a) (3+4i) + (5 + i) b) (6 - i) - ( - 5i) a) (3 + 4i) + (5 + i) = 8 + 6i z = 3 + 4i p (z ) = p (3, 4) z = 5 + i p (z ) = p (5, ) الحل: y 0 p (z ) p (z ) p 3 (z 3 ) x لاحظ : 3 0 p + 0 p = 0 p وهو مشابه الى جمع المتجهات. 0p p 3 p ويكون متوازي اضلاع قطره هو op 3 الشكل (-4) b) (6 - i) - ( - 5i) = (6 - i) + (- + 5i) = 4 + 3i z = 6 - i p (z ) = p ( 6, -) z = - + 5i p (z ) = p (-, 5) y p (z )= p (-, 5) p 3 (z 3 )= p 3 (4, 3) الشكل (-5) 0 x p (z ) = p (6, -) z 3 = 4 + 3i p 3 (z 3 ) = p 3 (4, 3) 9

30 االعداد املركبة Complex Numbers تمارين )-3(. اكتب النظير الجمعي لكل من االعداد اآلتية ثم مث ل هذه االعداد ونظائرها الجمعية على شكل z = + 3i, z = - + 3i, z 3 = -i, z 4 = i ارجاند.. اكتب العدد المرافق لكل من األعداد االتية ثم مث ل االعداد ومرافقاتها على شكل ارجاند. z = 5 + 3i, z = -3 +i, z 3 = - i, z 4 = -i 3. اذا كان z = 4 + i فوضح على شكل ارجاند كال من : z, z, -z -3z, z, z - z, z + z z فوضح على شكل ارجاند كال من: = + i, z.4 اذا كان = 4 - i 30

31 االعداد املركبة Complex Numbers ]-7[ الصيغة القطبية Polarللعدد Form املركب. في البنود السابقة درسنا العدد المركب بصيغته الجبرية z=x +yi والديكارتية ( y z =,x( وفي هذا البند سندرس صيغة اخرى للعدد المركب تدعى بالصيغة القطبية. وتحويل احدهما الى االخرى. فلو كان لدينا العدد المركب z = x + yi ومث لناه بالنقطة ( )x,y p كما في الشكل )-6( فان: (r,θ) هما االحداثيان القطبيان للنقطة p حيث 0 يمثل القطب و ox يمثل الضلع االبتدائي وهذا يعني أن : r = op وان op uvu uvu ويكون قياس θ من ox الى بأتجاه عكس عقارب الساعة اذا كان القياس موجبا ومع اتجاه عقارب الساعة اذا كان القياس سالبا ويكون بالقياس الدائري وعليه فأن : 0 y r θ P (x,y) الشكل )-6( x R)z( = x = r cos θ...)( I)z( = y = r sin θ...)( حيث) R)z يرمز للجزء الحقيقي للعدد المركب z بينما ( z( I يرمز للجزء التخيلي للعدد المركبz z يسمى مقياس العدد المركب r r = z = )Modulus of Complex Number( وهو عدد حقيقي غير سالب ويقرأ z mod او مقياس z ويرمز له z حيث x + y ومن العالقتين )( و )( نحصل على: x y cosθ = x r = x z 3 sinθ = y r = y z اما θ فقياسها يسمى سعة العدد المركب Number( )Argument of Complex واختصارا تكتب بالشكل arg(z) θ =

32 االعداد املركبة Complex Numbers مالحظة يمكن ان تاخذ θ عددا غير منته من القيم التي تختلف كل منها عن االخرى بعدد صحيح من الدورات. فاذا كانت θ سعة عدد مركب فان كال من االعداد : nπ θ + حيث n عدد صحيح يكون ايضا سعة لنفس العدد المركب. اما اذا كانت (0,π] θ الدالة على سعة العدد المركب فيقال لها القيمة االساسية لسعة العدد المركب ( Value.)principle z = + فجد المقياس والقيمة االساسية لسعة. z اذا كان 3 i مثال- 0- احلل: mod z = z = x + y = + 3 = cos θ = x z = sin θ = y z = 3 نستنتج ان θ في الربع االول arg ) z( = π 3 اذا كان z = - - i فجد المقياس والقيمة االساسية لسعة. z مثال- - احلل : mod z = z = + = cos θ = x z = sin θ = y z = نستنتج ان θ في الربع الثالث arg ) z( = π + π 4 = 5π 4 3

33 االعداد املركبة Complex Numbers مالحظة (ان سعة العدد املركب = 0 z غير معرفة وذلك الن املتجه الصفري ليس له اتجاه. ( ممكن االفادة من املقياس والقيمة االساسية لسعة العدد املركب بكتابة العدد املركب z = x+yi بصورة اخرى تسمى الصيغة القطبية Polar From وكما يا تي : z = (r cos θ + ir sin θ) = r(cos θ + i sin θ) او ) ( z = z cos(arg z)+ i sin(arg z) حيث θ = arg )z( r = mod z= z هي سعة العدد المركب a) + i b) 3 i عبر عن كل من االعداد اآلتية بالصيغة القطبية : مثال- - احلل : a) let z = + i mod z = z = = cos θ = = sin θ = = arg ) z( = π π 4 = 3π 4. θ تقع في الربع الثاني الصيغة القطبية للعدد المركب z هي : z = r(cos θ + i sin θ) z = (cos 3π 4 + i sin 3π ( 4. 33

34 b) z = 3 i االعداد املركبة Complex Numbers mod z = + 4 = 6 = 4 cos θ = 3 4 = 3 sinθ = 4 = θ تقع في الربع الرابع arg ) z( = π π 6 = π 6 z = 4 (cos π 6 + i sin π الصيغة القطبية للعدد المركب z هي : ) 6 34

35 االعداد املركبة Complex Numbers عبر عن كل من االعداد االتية بالصيغة القطبية: a( b( i c( - d( -i الحظ االشكال اآلتية : مثال- 3- احلل : y y )a( ),0( p)z ( = ),0(= +0i x )b( )0,( p)z ( = )0,(= 0+i mod z = x arg z = π z = )cos 0 +i sin 0( π π z = )cos +i sin ( y y )c( x )-,0( p)z 3 ( =)-,0(=-+0i mod z 3 = arg z 3 = π )d( )0,-( x p)z 4 ( = )0,-(=0-i mod z 4 = arg z 4 = 3π z 3 = )cos π +i sin π ( z 4 = )cos 3π +i sin 3π ( الشكل )-7( 35

36 االعداد املركبة Complex Numbers = (cos0 + i sin 0) = (cosπ + i sin π) من املثال السابق نستنتج االتي: i = (cos π + i sin π ) i i = (cos 3π + i sin 3π ) 3 = 3 = (3(cos0 + i sin 0) وبتطبيق االستنتاج السابق يمكن أن نضع : = ( ) = (cosπ + isin π) 5i = 5 i = 5(cos π + i sin π ) 7i = 7 ( i) i = 7(cos 3π + i sin 3π ) De Moivre s Theorem ]-8[ مبرهنة ديمواڤر. z = cosφ + sinφ, z = cosθ + sinθ يمكن ان تكتب بصورة: z, z z z = (cosθ + isinθ)(cosφ + isinφ) (cosθ + i sinθ) = ولو كان (θ φ) = فان العالقة تصبح ويمكن برهنتها كما يأتي: = (cosθ + isinθ) = (cos θ + ii sinθ cosθ sin θ) = (cos θ -+ + sin θ)+ θ + i(sinθ cosθ) = cos θ + i sin θ =RHS وقد توصل العالم ديمواڤر ) ( الى تعميم العالقة والتي سميت بمبرهنة ديمواڤر. 36

37 االعداد املركبة Complex Numbers مبرهنة ديمواڤر لكل θ R, n N فا ن (cosθ + i sinθ) n = cos n θ + i sin n θ البرهان: )لالطالع فقط( سنتوصل الى برهان هذه المبرهنة بطريقة االستقراء الرياضي وكما يأتي : ( لنعتبر = n فان العالقة تصبح: (cosθ + i sinθ) = cos θ + i وهي عبارة صحيحة. sin θ ) لنأخذ k ونفترض ان العالقة صحيحة لكل. n = k (cosθ + i صحيحة فرضا. أي ان sinθ) k = cos k θ + isin k θ 3( يجب ان نثبت ان العالقة صحيحة عندما + k n = (cosθ + i sinθ) k+ = (cosθ + isinθ) (cosθ + i sinθ) k = (cosθ + isinθ)(cos kθ + isin kθ) = cos(θ + kθ)+ i sin(θ + kθ) = cos(k +)θ + i sin(k +)θ وعليه فاذا كانت العالقة صحيحة عند n أي k n=k, فهي كذلك صحيحة عند + k n = وبواسطة االستقراء الرياضي فان المبرهنة تعتبر صحيحة لجميع قيم n. (cos 3 8 π + i sin 3 8 π)4 احسب مثال- 4- = (cos 3 8 π + i sin 3 8 π)4 π π = cos 3π + i sin 3π = = 0 + i( i) i = ii احلل: 37

38 االعداد املركبة Complex Numbers بين انه لكل θ R, n N فان: مثال- 5- (cosθ i sinθ) n = cos n θ isin n θ احلل : Q x = r cosθ, y = r sinθ الطرف االيسر وبجعل φ = θ تصبح العالقة [ ] n = cosφ + i sinφ = cos n φ + i sin n φ = cos( n θ)+ i sin( n θ) = cos n θ i sin n θ الطرف االيمن )و. ه. م( n z نتيجة ملبرهنة ديمواڤر: فان = r لكل + NZ θ R, n θ θ + πk + sin θ + πk cos i n n n k = 0,,,..., n (+ i) احسب باستخدام مبرهنة ديموافر مثال- 6- احلل: z = + i Qmod z =, cosθ =, sinθ = 38

39 z = (cos π 4 + i sin π 4 ) االعداد املركبة Complex Numbers (+ i)" = ( )" (cos π 4 + i sin π 4 )" = (cos π 4 + i sin s π π 44 ) ) = (cos 3π 4 + i sin 3π 4 ) = ( + i ) [ ] = (cosθ i sinθ) ( cosθ + i sinθ) = cos( θ)+ isin( θ) i مالحظة [ cosθ + isinθ] n = cos n θ i sin n θ ويمكن تعميم هذه العالقة بالشكل االتي: حل المعادلة x C حيث x 3 + = 0 مثال- 7- x 3 + = 0 x 3 = x 3 = cosπ + isin π 3 x = (cosπ + isin π) x = cos π + nπ k + sin π + nπ k i 3 3 n k= 0,, 39 احلل: حيث

40 االعداد املركبة Complex Numbers = cos π 3 + i sin π 3 بوضع =k 0 يكون = + 3 i بوضع k= يكون = cosπ + i sin π = + i(0) = x = cos 5π 3 + i sin 5π 3 بوضع =k يكون = 3 i + 3,, 3 i i اذا مجموعة الحل للمعادلة هي : + (i i 3 ( ثم جد الجذور الخمسة له اوجد الصيغة القطبية للمقدار : مثال- 8-6 z = 3+ = π π = 3 cosθ sinθ = 4 = z نضع z بالصيغة القطبية: 3 + i ليكن احلل: θ = π 6 arg(z) = π 6 40

41 = + = z = cos π 6 + i sin π 6 z = 4 cos π 3 + i sin π 3 االعداد املركبة Complex Numbers (z ) 5 5 = 4 cos π 3 + sin π 5 i 3 π 5 = 4 cos 3 + nπ π + sin 3 + nπ k k i 5 5 z = (cos π 6 + i sin π 6 ) z 5 5 = 4 cos π 5 + i sin π 5 z 5 5 = 4 cos 7π 5 z 5 5 = 4 cos 3π 5 = 0,,,3,4 k النه جذر خامس 7π + i sin 5 3π + i sin 5 حيث وبوضع 0=k يكون وبوضع =k يكون وبوضع =k يكون z 5 5 = 4 cos 9π 5 z 5 5 = 4 cos 5π 5 5 = 4 cos 5π 3 9π + i sin 5 5π + i sin 5 5π + i sin 3 وبوضع 3=k يكون وبوضع 4=k يكون 4

42 االعداد املركبة Complex Numbers ªJارjن )-4( a) cos 5 4 π + sin 5 4 π i b) cos 7 π + sin 7 π i 4 3. احسب ما يأتي: a) ( i) 7 b) ( 3 + i). احسب باستخدام مبرهنة ديموافر )او التعميم(ما يأتي: -9 a) 3. بسط ما يأتي: (cos θ + i sin θ)5 (cos 3θ + sin 3θ ( b) (cosθ + i sinθ) 8 (cosθ i sinθ) 4 i Hint : x 4 y 4 = (xy) i بأستخدام نتيجة مبرهنة ديموافر ثم الطريقة 4. جد الجذور التربيعية للعدد المركب المعروضة في البند ]-4[. 5. بأستخدام نتيجة مبرهنة ديموافر جد الجذور التكعيبية للعدد 7i. 6. جد الجذور االربعة للعدد )6-( بأستخدام نتيجة مبرهنة ديموافر. 7. جد الجذور الستة للعدد (64i ) i بأستخدام نتيجة مبرهنة ديموافر. 4

43 القطوع املخروطية Conic Sections dgثéين π üødg Chapter Two القطوع املخروطية Conic Sections تعريف القطع املخروطي. ]-[ القطع املكافئ. ]-[ القطع الناقص. ]-3[ القطع الزائد. ]-4[ الرمز او العلاقة الرياضية F المصطلح البؤرة e = c a الاختلاف المركزي a العدد الثابت 43

44 القطوع املخروطية Conic Sections القطوع المخروطية واهمية دراستها: لنبحث اوال عن وجود مثل هذه القطوع في الكون والطبيعة سوف ترى الكواكب والنجوم تتحرك على مدارات اهليلجية.)اي المدارات تشبه القطع الناقص( وفي الذرة وااللكترون يالحظ المختصون بان االلكترونات تدور حول النواة على مدارات اهليلجية ايضا ومن التطبيقات االخرى للقطوع المخروطية استخدامها في انتشار الصوت حيث نالحظها في االت تكبير الصوت الحديثة وكذلك تستخدم في انتشار الضوء كما في ضوء السيارة فهو مجسم مكافئ وضع في بو رته مصباحا. عندما ينطلق شعاع ضوئي من المصباح ينعكس هذا الشعاع على السطح المجسم وبصورة افقية. وكذلك جميع االشعة المنطلقة من المصباح مما يو دي الى انارة الطريق امام السيارة. ومن التطبيقات االخرى نالحظها من خالل الصور التالية: 44

45 القطوع املخروطية Conic Sections نالحظ مما سبق مدى اهمية القطوع المخروطية التي اصبحت دراستها محل اهتمام الرياضيين والفلكيين وعلماء الفضاء والميكانيكيين وكان للحضارة العربية االسالمية دور هام في مواصلة هذه الدراسات بعد اطالعهم على اعمال الرياضيين االغريق امثال مينشم وابولتيوس وبابوس. ومن العلماء العرب الذين اهتموا بالقطوع المخروطية ثابت بن قرة وابو جعفر الخازن واباسهل الكوهي وابن الهيثم وغيرهم كثيرون. سبق وتعرفنا في الصف الخامس العلمي على كيفية تولد القطوع المخروطية: الدائرة - القطع المكافئ- القطع الناقص- القطع الزائد. حيث يتم الحصول على هذه القطوع هندسيا وكاالتي: اذا قطع سطح المخروط الدائري القائم مبستو عمودي على محور املخروط الدائري القائم وال يحوي رأس املخروط الدائري القائم فان املقطع يمثل شكال هندسيا يسمى دائرة.)Circle( مبستو مواز ألحد مولداته فأن املقطع يمثل شكال هندسيا يسمى القطع املكافئ Parabola. مبستو غير مواز لقاعدته وال يوازي احد مولداته فأن القطع يمثل شكال هندسيا يسمى القطع الناقص. Ellipse مبستو يوازي محور املخروط الدائري القائم ويقطع مولدين من مولدات املخروط الدائري القائم فان املقطع يمثل شكال هندسيا يسمى القطع الزائد Hyperbola. الحظ االشكال التالية للقطوع املخروطية : دائرة مكافئ ناقص زائد 45 الشكل )-(

46 ]-[ القطع املخروطي: القطوع املخروطية Conic Sections تعريف ]-] x( نقطة ثابتة في المستوي وليكن = 0 c ax + by + مستقيما ثابتا في المستوي نفسه,y لتكن ( x( الى بعدها عن المستقيم, y عندئذ مجموعة كل النقاط التي نسبة ب عد كل منها عن النقطة ( = 0 c+ ax +by تساوي عددا ثابتا )e( تكون شكل هندسي يسمى بالقطع المخروطي. مما سبق نالحظ ان لكل قطع مخروطي )ما عدا الدائرة( ثالثة مفاهيم اساسية يتعين بها هي:. Focus تسمى بو رة القطع المخروطي x(,y - النقطة الثابتة ( - المستقيم الثابت = 0 +c ax +by يسمى دليل القطع المخروطي. Directrix 3- النسبة )e( تسمى باالختالف المركزي. Eccentricity «Parabola» في القطع املكافئ e = «Ellipse» في القطع االناقص e <.. 0 < e < «Hyperbola» في القطع الزائد e > مالحظة ]--[ المعادلة العامة للقطع المخروطي: من تعريف القطع المخروطي نستنتج المعادلة العامة وذلك كما يأتي: )x هي :, y لتكن )y,x( نقطة على القطع المخروطي عندئذ المسافة بين )y, x( والبو رة ( 46

47 (x x ) + (y y ) القطوع املخروطية Conic Sections ax + by+ c a + b والبعد بين y( )x, والدليل = 0 +c ax +by هي : وبموجب تعريف القطع المخروطي فان النسبة بين هاتين المسافتين تساوي )e( اي ان (x x ) + (y y ) ax + by+ + c a + b (x x ) + (y y ) = e. (x x ) + (y y ) = e. = e ax + by+ c a + b ( ax + by+ c) a + b وبتربيع الطرفين نحصل على معادلة القطع المخروطي العامة وهي معادلة من الدرجة الثانية مالحظة : سنطبق هذه المعادلة على القطع المكافئ ألنه قد تم تعريف الدليل ]-[ القطع املكافئ: Parabola تعريف ]-] القطع المكافئ هو مجموعة النقط ( y M)x, في المستوي والتي يكون ب عد كل منها عن نقطة ثابتة F)p,0( تسمى البو رة حيث <P 0 مساويا دائما لبعدها عن مستقيم معلوم D يسمى y الدليل ال يحوي البو رة. Q)-p,y( M)x,y( اي ان MF = MQ الحظ الشكل ( - ) : وتسمى النقطة O برأس القطع المكافئ Vertex D O F)p,0( الشكل )-( x MF MQ ويسمى المستقيم )x( المار بالبو رة والعمود على الدليل بمحور القطع المكافئ.حيث الحظ ان = = e 47

48 القطوع املخروطية Conic Sections ]--[ معادلة القطع المكافئ الذي بو رته تنتمي لمحور السينات) x-axis ( والرأس في نقطة األصل D y y D Q)-p,y( M)x,y( M)x,y( Q )p,y( O F)p,0( x F)-p,0( O x x = p x = -p A B الشكل )-3( في المستوي الديكارتي المتعامد المحورين وبناءا على تعريف القطع المكافئ يمكن ايجاد معادلة القطع المكافئ في ابسط صورة ممكنة وكما يأتي: لتكن النقطة F)p,0( هي بو رة القطع المكافئ والمستقيم D هو دليل القطع المكافئ والنقطة Q)-p,y( نقطة على الدليل حيث MQ عمودي على المستقيم D والنقطة M)x,y( من نقط منحني القطع المكافئ والرأس في نقطة االصل )0,0(. كما في الشكل) -3 ( ( A(. من تعريف القطع المكافئ. MF = MQ 48

49 القطوع املخروطية Conic Sections (x p) + (y 0) = (x + p) + (y y) x px + p + y = x + xp+ p x px + p + y = x + xp+ p بتربيع الطرفين بالتبسيط > y = 4 px, p 0 )المعادلة القياسية للقطع المكافئ الذي رأسه نقطة االصل وبو رته تنتمي لمحور السينات ) y Q)-p,y( M)x,y( ومعادلة الدليل x=-p O F)p,0( x D الشكل )-4( جد البو رة ومعادلة دليل القطع المكافئ y = 8x- مثال - - y = -8x بالمقارنة مع المعادلة القياسية y = -4px 4p = 8 p = 8 4 = > 0 p = F ( p,0) = = F (,0) معادلة الدليل x p= x = 49

50 القطوع املخروطية Conic Sections جد معادلة القطع المكافئ اذا علم: مثال - - أ( بو رته )3,0( والرأس نقطة االصل. ب( معادلة الدليل = x ورأسه نقطة االصل. احلل أ( )3,0( = )p,0( p = 3 )المعادلة القياسية( y = 4px y = )4( )3( x = x y = x = x من معادلة الدليل ب( x = 6 x = 3 = 3 p )بفضل التعريف( بتطبيق المعادلة القياسية y = -4px y = )-4( )3( x = - x y = -x جد بو رة ومعادلة دليل القطع المكافئ y = 4x ثم أرسمه: مثال 3- - احلل بالمقارنة مع معادلة القطع المكافئ : y = 4px 4p = 4 p = البو رة 0( ), F معادلة الدليل - = x y = 4x y = ± x 50

51 القطوع املخروطية Conic Sections D y x = - ),( x 0 y 0 ± ± O F),0( x ),-( الشكل )-5( باستخدام التعريف جد معادلة القطع المكافئ اذا علم ان بو رته ) ( نقطة األصل. 3,0 والرأس في مثال 4- - احلل البو رة (3,0 ( F ولتكن النقطة) M)x,y من نقط منحني القطع المكافئ والنقطة (y )Q,3 هي نقطة تقاطع العمود المرسوم من M على الدليل D sr ومن تعريف القطع المكافئ. )بتربيع الطرفين( y) (x 3) + (y 0) = (x + 3) + (y (x 3) + y = (x + 3) x 3x + 3+ y = x + 3x + 3 D )بالتبسيط( y = 4 3x Q( 3, y) )معادلة القطع المكافئ( الشكل )-6( 0 y M)x,y( F ( 3,0) x x = 3 5

52 القطوع املخروطية Conic Sections ]--[ معادلة القطع المكافئ الذي بو رته تنتمي لمحور الصادات) y-axis ( والرأس في نقطة األصل y y 0 F)0,p( M)x,y( x D M)x,y( Q )x,p( O y = p x D y = -p Q )x,-p( F)0, -p( A B الشكل )-7( في المستوي الديكارتي المتعامد المحورين لتكن النقطة ( F)0,p هي بو رة القطع المكافئ والمستقيم D دليل القطع المكافئ والنقطة) Q)x,-p هي نقطة تقاطع العمود المرسوم من M على الدليل والنقطة A )-7( من نقط منحني القطع المكافئ والرأس في نقطة االصل )0,0( كما في الشكل M)x,y ( وبناءا على تعريف القطع المكافئ فان MF = MQ (x 0) + (y p) = p) (x x) + (y+ )بتربيع طرفي المعادلة( x + (y p) = (y+ p) x + y py+ p = y + py+ p )بالتبسيط( x = py+ py x = 4 py, p > 0 المعادلة القياسية للقطع المكافئ الجدول االتي يمثل المعادلة القياسية للقطع المكافئ الذي رأسه في نقطة االصل حيث 0<P املعادلة البو رة الدليل المحور فتحة القطع x = 4py (0, p) y= -p y- axis نحو االعلى x = - 4py (0, - p) y = p y- axis نحو االسفل y = 4px (p, 0) x = -p x- axis نحو اليمني y = - 4px (-p, 0) x = p x- axis نحو اليسار 5

53 القطوع املخروطية Conic Sections جد البو رة ومعادلة دليل القطع المكافئ = 0 4y 3x. - مثال 5- - احلل [ بقسمة طرفي المعادلة على )3( ] 0 = 4y 3x - x = 8y x = 4py بالمقارنة مع المعادلة القياسية للقطع المكافئ 4p = 8 p= ومن قيمة P نجد البو رة )0,( F معادلة الدليل - = y جد معادلة القطع المكافئ اذا علم ان :- أ( بو رته )0,5( ورأسه نقطة االصل. ب( معادلة الدليل = 7 y ورأسه نقطة االصل. مثال 6- - احلل )أ( F )0,5( p =5 x = 4py x = 0y المعادلة القياسية )معادلة القطع المكافئ( احلل )ب( y = 7 p = 7 )المعادلة القياسية( x =- 4py x = -8y 53

54 القطوع املخروطية Conic Sections جد معادلة القطع المكافئ الذي يمر بالنقطتين ),4( )4-, ( ورأسه نقطة االصل. مثال 7- - y = 4 px, p > 0 احلل النقطتان متناظرتان حول المحور السيني. اذا المعادلة القياسية نعوض احدى النقطتين اللتين تحققان المعادلة القياسية ولتكن النقطة )4, ( 6 = (4)( p)() 6 = 8 p p = 6 8 p = نعوض = p في المعادلة القياسية y = (4)()x معادلة القطع المكافئ y = 8x جد معادلة القطع المكافئ الذي رأسه نقطة االصل ويمر دليل القطع المكافئ بالنقطة )3,-5( مثال 8- - يوجد احتمالين للمعادلة القياسية لعدم تحديد موقع البو رة هما: احلل ثانيا : البو رة تنتمي لمحور السينات y = 4px اوال : البو رة تنتمي لمحور الصادات x = 4py = 3 x معادلة الدليل -5 = y معادلة الدليل p = 3 p = 5 )المعادلة القياسية( y = - 4px y = -x x = 4py x = 0y 54

55 القطوع املخروطية Conic Sections ªJارjن )-(. جد المعادلة للقطع المكافي في كل مما يا تي ثم ارسم المنحني البياني لها. أ- البو رة (0 5), والرأس نقطة الاصل. ب- البو رة (4-, 0) والرأس نقطة الاصل. ج- البو رة (,0) والرأس نقطة الاصل. د- معادلة دليل القطع المكافي = 0 3-4y والرأس نقطة الاصل.. في كل مما يا تي جد البو رة والرأس ومعادلتي المحور والدليل للقطع المكافي :- a) x = 4y b) x + 6y = 0 3. جد معادلة القطع المكافي الذي يمر بالنقطتين (5 -, -) (5-, ) والراس في نقطة الاصل. 4. اذا كان دليل القطع المكافي يمر بالنقطة (4, 3-) والرأس في نقطة الاصل جد معادلته علما ان بو رته تنتمي لا حد المحورين. 5. قطع مكافي معادلته =8y+ 0 Ax يمر بالنقطة (,) جد قيمة A ثم جد بو رته ودليله و أرسم القطع. 6. باستخدام التعريف. جد معادلة القطع المكافي أ- البو رة (0, 7) والرأس نقطة الاصل. ب- معادلة الدليل = 3 y. والرأس نقطة الاصل. 55

56 القطوع املخروطية Conic Sections ]-3[ القطع الناقص :Ellipse تعريف ]-3] القطع الناقص مجموعة من النقط في املستوي التي يكون مجموع بعديها عن نقطتني ثابتتني )البو رتان( عدد ثابت. ]-3-[ قطع ناقص بو رتاه على محور السينات ومركزه نقطة االصل. y p)x,y( كما في الشكل )8 - ( F )-c,0( )0,0( F )c,0( x الشكل )-8( c > 0, a > 0, a والعدد الثابت هو F )-c, 0(, F بو رتا القطع الناقص هما ( 0,c( تسمى النقطة التي تقع في منتصف القطعة المستقيمة الواصلة بين البو رتين بمركز القطع الناقص )Center( ويسمى المستقيم المار بالبو رتين بالمحور البو ري axis( )Focal ويقطع القطع الناقص في نقطتين تسميان رأسا القطع وتسمى قطعة المستقيم الواصلة بين الرأسين بالمحور الكبير axis( )Major وطولها )a( ايضا ويساوي مجموع بعدي اي نقطة ( y P)x, من نقاط القطع الناقص p F + pf = a عن البو رتين اي ان: 56 وتسمى القطعة المستقيمة الواصلة بين نقطتي تقاطع المستقيم العمود على المحور الكبير من مركز القطع الناقص

57 القطوع املخروطية Conic Sections مع القطع الناقص بالمحور الصغير axis( ) Minor وطولها )b( حيث 0<b ونهايتاه تسميان y القطبين. )b,0( قطب p)x,y( v )-a,0( F )-c,0( )0,0( F )c,0( v )a,0( رأس رأس x )b-,0( قطب الشكل )-9( ]-3-[ معادلة القطع الناقص الذي بو رتاه على محور السينات ومركزه نقطة االصل. PF + PF = a + (x c) + (y 0) + (x + c) + (y 0) = a (x c) + y + (x + c) + y = a (x c) + y = + a (x + c) + y الحظ الشكل 9( - ) )بتربيع طرفي المعادلة( (x c) + y + = 4a 4a (x + c) + y + (x + c) + y x cx + c + y = 4a 4a (x + c) + y + x + cx + c + y 4a a (x + c) + y = 4a + 4cx (x + c) + y = a + cx )بقسمة طرفي المعادلة على 4( )بتربيع طرفي المعادلة( [ ] = a 4 + a cx + c x a x + cx + c + y a x + a cx + a c + a y = a 4 + a cx + c x a x c x + a y = a 4 a c x (a c )+ a y = a (a c )...() 57 بالتبسيط

58 القطوع املخروطية Conic Sections بما ان a> c دائما فان > 0 a - c وبفرض ان b = a -c حيث b> 0 b = a c...() x b + a y = a b نعوض في بقسمة طرفي المعادلة على a b x a + y b = تمثل المعادلة القياسية للقطع الناقص الذي بو رتاه على محور السينات ومركزه نقطة االصل. باالختالف المركزي. c وتسمى النسبة a أي ان e = c ويكون دائما اقل من الواحد. a ]-3-3[ معادلة القطع الناقص الذي مركزه نقطة االصل والبو رتان تنتميان لمحور الصادات. )-b,0( )0,0( y v )0,a( F )0, c( F )0, -c( الحظ الشكل 0( - ) بنفس خطوات االشتقاق السابق لمعادلة القطع الناقص الذي بو رتاه على )b,0( محور السينات ومركزه نقطة االصل وباستخدام التعريف x x b + y a = نحصل على المعادلة: حيث البو رتان على محور الصادات والمركز في نقطة االصل. نلخص ما سبق بالجدول اآلتي : v )0,-a( الشكل )-0( 58

59 القطوع املخروطية Conic Sections قطع ناقص بو رتاه على محور قطع ناقص بو رتاه على محور السينات ومركزه نقطة االصل. الصادات ومركزه نقطة االصل. x ( a + y b = x b + y المعادلة = a ( F )c,0(, F )-c,0( F )0,c(, F البو رتان )c-,0( 3( V )a, 0(, V )-a,0( V )0,a(, V الرأسان )a-,0( 4( c = a b 5( a > c, a > b طول المحور الكبير = a )6 طول المحور الصغير = b )7 المسافة بين البو رتين = c )8 مساحة منطقة القطع الناقص ويرمز لها )9 =A abπ = )Area( A 0( P= π a + b ( e = c a = a b a محيط القطع الناقص ويرمز له, π = )Perimeter( P 7, ) e < ( االختالف المركزي ويكون دائما اقل من الواحد e في كل مما يأتي جد طول كل من المحورين واحداثي كل من البو رتين والرأسين مثال 9- - ( x 5 + y 6 = واالختالف المركزي. ( 4x + 3y =

60 القطوع املخروطية Conic Sections حيث. a > b x a + y احلل )( بالمقارنة مع المعادلة القياسية = b = 0 a a = 5 a = 5 وحدة = 8 b b = 6 b = 4 وحدة c = a b = 5 6 = 9 = 3 c = 3 F (3,0), F ( 3,0) V (5,0), V ( 5,0) V V طول المحور الكبير طول المحور الصغير البو رتان الرأسان )االختالف المركزي( < c e = a = 3 5 4x + 3y = 4 3 3x + 9y 4 = x 3 + y 4 9 = 3 احلل )( بضرب طرفي المعادلة ب 4 a = 4 9 a = 3 a = 4 3 b = 3 b = 3 b = 3 طول المحور الكبير طول المحور الصغير وحدة وحدة c = a b c = = 9 = b 3 0, 3, 0, F F 3 0, 3, 0, V V 3 البو رتان الرأسان e = c a = 3 3 = )االختالف المركزي( < 60

61 القطوع املخروطية Conic Sections F ورأساه النقطتان )-3,0(, F جد معادلة القطع الناقص الذي بو رتاه ( 3,0( مثال 0- - V ومركزه نقطة االصل. )-5,0(, V )5,0( x a + y b = c = 3 c = 9 a = 5 a = 5 احلل البو رتان والرأسان يقعان على محور السينات والمركز في نقطة االصل: c = a b b = a c = 5 9 = 6 x 5 + y معادلة القطع الناقص = 6 جد معادلة القطع الناقص الذي مركزه نقطة االصل وينطبق محوراه على المحورين االحداثيين ويقطع من محور السينات جزءا طوله 8 وحدات ومن محور الصادات جزءا طوله وحدة ثم جد المسافة بين البو رتين ومساحة منطقته ومحيطه. مثال - - b = 8 b = 4 b = 6 a = a = 6 a = 36 x 6 + y 36 = c = aa b b = 36 6 = 5 المسافة بين البو رتين وحدة = 4 5 c b=8 y a احلل A = abπ مساحة منطقة القطع الناقص =a b b x A )وحدة مربعة( = (6)(4)π = 4π π = 7 a P= P = π 6 π a + b محيط القطع الناقص وحدة = π 5 = π 6 الشكل )-(

62 القطوع املخروطية Conic Sections لتكن = 36 kx + 4y معادلة قطع ناقص مركزه نقطة االصل واحدى بو رتيه 3,0) ( جد قيمة.K R مثال - - احلل kx + 4y = 36 [ 36] x 36 k 4 = 9 من البو رة 3,0) ( + y c = 3 c = 3 x a + y b = a = 36 k...(), = c = a - b... )( 3 = 36 k 9 k = 3 وبالمقارنة مع المعادلة القياسية b = 9, c = 3... )( بالتعويض عن )( في ) ) جد معادلة القطع الناقص الذي مركزه في نقطة االصل وبو رتاه على محور السينات مثال 3- - والمسافة بين البو رتين )6( وحدات والفرق بين طولي المحورين يساوي )( وحدة. c = 6 c = 3 a b = [ ] a -= b = a = + b...() c = a b 9 = (+ b) b 9 = + b+ b b 9 = + b b = 4...() احلل بالتعويض 6

63 القطوع املخروطية Conic Sections a = + 4 = 5 تعويض )( في )( a = 5 x 5 + y معادلة القطع الناقص = 6 جد معادلة القطع الناقص الذي مركزه نقطة االصل واحدى بو تيه بو رة القطع المكافئ مثال 4- - =0 x, y - وطول محوره الصغير يساوي )0( وحدات. احلل y x = 0 y = x )بالمقارنة مع المعادلة القياسية( y = 4px 4 p = p = 3 F F (3,0), F F بو رتا القطع الناقص هما : (3,0 ) c = 3 c = 9 b = 0 b = 5 b = 5 c = a 5 9 = a 5 a = 34 x 34 + y معادلة القطع الناقص = 5 63

64 القطوع املخروطية Conic Sections باستخدام التعريف جد معادلة القطع الناقص الذي بو رتاه : مثال 5- - F والعدد الثابت = 6 )-,0(, F ),0 ( pf PF + +PF pf = a (y pp p(x, تنتمي للقطع الناقص: (z x ) + y + (x + ) + y = 6 احلل (x ) + y = 6 (x + ) + y بتربيع الطرفين (x ) + y = 36 (x + ) + y + (x + ) + y x 4x y = 36 (x + ) + y + x + 4x y x (x + ) + y = x 3 (x + ) + y = 9 + x [ ] = 8+ 36x + 4x 9 x + 4x y 9x + 36x y = 8+ 36x + 4x 5x + 9y = x + 9y = 45 x 9 + y 5 = بالقسمة على 4 بتربيع الطرفين معادلة القطع الناقص ]-4-4[ طريقة رسم القطع الناقص.Graph The Ellipse معادلة قطع ناقص بو رتاه تنتميان لمحور السينات ولرسم هذا القطع : a + y لتكن = b V )a, 0(, V. نعين النقطتين ( )-a,0 x M )0, b(, M. نعين النقطتين ( )0,-b V M V M على الترتيب بمنحني متصل. 3. نصل بين النقاط االربعة F )c, 0(, F.4 نعين البو رتين ( )-c,0 64

65 القطوع املخروطية Conic Sections ªJارjن )-(. عين كل من البو رتين والرأسين والقطبين والمركز ثم جد طول ومعادلة كل من المحورين والاختلاف المركزي للقطوع الناقصة المبينة معادلتها في كل مما يا تي: a) x + y = b) 9x +3y = 7. جد المعادلة القياسية للقطع الناقص الذي مركزه في نقطة الاصل في كل مما يا تي ثم أرسمه: أ. البو رتان هما النقطتان (0, 5) و (0, 5-) وطول محوره الكبير يساوي () وحدة. ب. البو رتان هما(, ±) 0) ويتقاطع مع محور السينات عند ±4 = x. ج. احدى بو رتيه تبعد عن نهايتي محوره الكبير بالعددين 5 وحدة على الترتيب. د. الاختلاف المركزي = وطول محوره الصغير () وحدة طولية. ه. المسافة بين بو رتيه تساوي (8) وحدات ونصف محوره الصغير يساوي ( 3 )وحدة. 3. باستخدام التعريف جد معادلة القطع الناقص اذا علم: أ. بو رتاه النقطتان (±,0) ورأساه النقطتان (±3,0) ومركزه نقطة الاصل. ب.المسافة بين البو رتين( 6 )وحدة والعدد الثابت( 0 )والبو رتان تقعان على محور السينات ومركزه نقطة الاصل. 4. جد معادلة القطع الناقص الذي مركزه نقطة الاصل واحدى بو رتيه هي بو رة القطع المكافي الذي معادلته = 0 8x y + علما بان القطع الناقص يمر بالنقطة 3).( 3, 65

66 القطوع املخروطية Conic Sections 5. جد معادلة القطع الناقص الذي مركزه نقطة االصل وبو رتاه على محور السينات ويمر بالنقطتين.)3,4(, )6, ( 6. جد معادلة القطع الناقص الذي مركزه نقطة االصل وبو رتاه نقطتا تقاطع المنحني. y = x مع محور الصادات ويمس دليل القطع المكافئ x + y -3x = 6 7. جد معادلة القطع الناقص الذي بو رتاه تنتميان الى محور السينات ومركزه في نقطة االصل وطول محوره الكبير ضعف طول محوره الصغير ويقطع القطع المكافئ = 0 8x y + عند النقطة التي احداثيها السيني يساوي )-(. 8. قطع ناقص معادلته = 36 hx + ky ومركزه نقطة االصل ومجموع مربعي طولي محوريه يساوي )60( واحدى بو رتيه هي بو رة القطع المكافئ الذي معادلته y = 4 3x ما قيمة كل من h,k R 9. جد معادلة القطع الناقص الذي مركزه نقطة االصل واحدى بو رتيه هي بو رة القطع المكافئ x = 4y ومجموع طولي محوريه )36( وحدة. F والنقطة Q تنتمي للقطع الناقص )-4,0( F 0. جد معادلة القطع الناقص الذي بو رتيه )4,0( QF يساوي) 4 ( وحدة. F بحيث ان محيط المثلث 66

67 القطوع املخروطية Conic Sections ]-4[ القطع الزائد. Hyperbola تعريف ]-4] القطع الزائد هو مجموعة النقط في املستوي التي تكون القيمة املطلقة لفرق بعدي اي منها عن نقطتني ثابتتني )البو رتان( يساوي عددا ثابتا. كما في الشكل ) - ( y F )c, 0(, F البو رتان هما ( 0,c-( )0,b( P)x,y( V )a, 0(, V الرأسان هما ( 0,a-( والنقطة ( P)x,y نقطة من نقاط منحني F )-c,0( O v )-a,0( v )a,0( القطع الزائد ومن التعريف ]6 - [ F )c,0( x PF - PF = a )b-,0( حيث a عددا ثابتا يمثل طول المحور الحقيقي للقطع الزائد الذي تقع عليه البو رتين والرأسين وكل من pf يسميان طولي نصفي, pf الشكل )-( القطرين البو ريين المرسومين من نقطة F هي البعد بين F )p( والمسافة البو رتين وتساوي c وطول المحور المرافق او التخيلي هو )b( )وهو المحور العمودي على المحور الحقيقي والمار بمركز القطع(. 67

68 القطوع املخروطية Conic Sections ]-4-[ معادلة القطع الزائد الذي بو رتاه على محور السينات ومركزه نقطة االصل. PF -PF = a من الشكل ) - ( وتبعا لتعريف القطع الزائد: PF pf PF pf = ±a (x c) + y (x + c) + y = ±a (x c) + y = ±a + (x + c) + y وبتربيع الطرفين والتبسيط كما مر في معادلة القطع الناقص الذي مركزه نقطة االصل والبو رتان على x a + y a c = محور السينات نحصل على المعادلة: من الشكل ( - ) فان: c > 0, a > 0, c > a c - a > 0 b = c وبفرض ان - a x a y b = وبتعويض عن a - c = b- في المعادلة القياسية السابقة نحصل على: 68

69 القطوع املخروطية Conic Sections ]-4-[ معادلة القطع الزائد الذي بو رتاه على محور الصادات ومركزه نقطة االصل. y F )0,c( v )0,a( اذا كانت البو رتان على محور الصادات suuur ومحورالسينات هو العمود على F F من نقطة االصل كما في الشكل) 3 - ( )-b,0( )b,0( وبنفس الطريقة السابقة نجد المعادلة x القياسية للقطع الزائد. v )0,-a( F )0,-c( y a x وهي: = b الشكل )-3( مالحظة االختالف املركزي e للقطع الزائد يكون ا كبر من واحد ا ي e = c a > ]-4-3[ طريقة رسم القطع الزائد. Graph The Hyperbola x معادلة قطع زائد بو رتاه تنتميان لمحور السينات ولرسم هذا القطع : a y لتكن = b. نعين النقطتين ( 0, )-a )a, 0(,.. نعين النقطتين b(,-b(, )0,.)0 3. نكون مستطيال من هذه النقط أضالعه توازي المحورين كما في الشكل )4 - (. 69

70 القطوع املخروطية Conic Sections y 4. نرسم قطري المستطيل )0,b( كما في الشكل )4 - ( فهما يمثالن V )-a,0( )0,-b( V )a,0( x المستقيمين المحاذيين لمنحني القطع الزائد. الشكل )-4( F ثم نرسم ذراعي القطع الزائد كما في الشكل )5 - (. )c, 0(, F.5 نعين البو رتين ( )-c,0 y F )-c,0( F )c,0( x الشكل )-5( 70

71 القطوع املخروطية Conic Sections عين البو رتين والرأسين وطول كل من المحورين الحقيقي والمرافق للقطع الزائد ثم x 64 y 36 = مثال -6- أرسمه. y x a x y b = a = 64 a = 8 a = 6 b = 36 b = 6 b = c = a + b c = c = 00 c = 0 y احلل بالمقارنة مع المعادلة القياسية طول المحور الحقيقي طول المحور المرافق V )8, 0(, V رأسا القطع الزائد هما ( 8,0-( F )0, 0(, F والبو رتان هما ( 0,0-( وحدة وحدة )0, 6( F )-0,0( V )-8,0( V )8,0( F )0,0( x )0, -6( الشكل )-6( جد معادلة القطع الزائد الذي مركزه نقطة االصل وطول محوره الحقيقي = 6 وحدات واالختالف المركزي يساوي )( والبو رتان على محور السينات. a = 6 a = 3 a = 9 مثال -7- احلل e = c a = c 3 c = 6 c = a + b 36 = 9 + b b = 36 9 b = 7 x 9 y 7 = 7 معادلة القطع الزائد القياسية

72 القطوع املخروطية Conic Sections جد معادلة القطع الزائد الذي مركزه نقطة االصل وطول محوره المرافق 4 وحدات F (0, 8), F وبو رتاه هما النقطتان: (8,0) مثال -8- y a x احلل بما ان البو رتين على محور الصادات فمعادلته القياسية = b y F (0, 8 ) (0, ) (, 0) (, 0) (0, ) x b = 4 b = = b = 4 c = 8 c = 8 Qc 8 = a + b 8 = a + 4 a = 4 y 4 x 4 = F (0, 8) الشكل )-7( في هذا المثال طول المحور الحقيقي مساو الى طول المحور المرافق مثل هذا النوع من القطوع الزائدة يدعى بالقطع الزائد القائم او )المتساوي االضالع( الن النقاط االربع تشكل رؤوس مربع وفيه يكون االختالف المركزي )e( مقدار ثابت قيمته ( ). 7

73 القطوع املخروطية Conic Sections ªJارjن )-3(. عين كل من البو رتين والرأسين ثم جد طول كل من المحورين واالختالف المركزي للقطوع الزائدة a) x 4y = 48 b) 6x 9y = 44 االتية :. اكتب معادلة القطع الزائد في الحاالت االتية+ ثم ارسم القطع : أ. البو رتان هما النقطتان (±5,0) ويتقاطع مع محور السينات عند ±3 = x ومركزه نقطة االصل. ب. طول محوره الحقيقي )( وحدة وطول محوره المرافق )0( وحدات وينطبق محوراه على المحورين االحداثيين ومركزه نقطة االصل. ج. مركزه نقطة االصل وبو رتاه على محور الصادات وطول محوره المرافق وحدة واختالفه المركزي يساوي )3(. 3. جد باستخدام تعريف معادلة القطع الزائد الذي مركزه نقطة االصل وبو رتيه (0 ), (0 ) وينطبق محوراه على المحورين االحداثيين والقيمة المطلقة للفرق بين, بعدي اية نقطة عن, بو رتيه يساوي )4( وحدات. 4. قطع زائد طول محوره الحقيقي )6( وحدات واحدى بو رتيه هي بو رة القطع المكافئ الذي رأسه نقطة االصل ويمر بالنقطتين (5,), (5,). جد معادلتي القطع المكافئ الذي رأسه نقطة االصل والقطع الزائد الذي مركزه نقطة االصل. 5. قطع زائد مركزه نقطة االصل ومعادلته = 90 hx - ky وطول محوره الحقيقي ( 6) وحدة وبو رتاه تنطبقان على بو رتي القطع الناقص الذي معادلته = 576 9x + 6y جد قيمة كل من h, k التي تنتمي الى مجموعة االعداد الحقيقية. 6. اكتب معادلة القطع الزائد الذي مركزه نقطة االصل اذا علمت ان احد راسيه يبعد عن البو رتين بالعددين, 9 وحدات على الترتيب وينطبق محوراه على المحورين االحداثيين. 7. جد معادلة القطع الناقص الذي بو رتاه هما بو رتا القطع الزائد الذي معادلته = x - 3y والنسبة بين طولي محوريه = 5 ومركزه نقطة االصل. تنتمي الى القطع الزائد الذي مركزه نقطة االصل ومعادلته = x 3y- جد كال من: 3.8 النقطة L( p)6, أ. قيمة. L ب. طول نصف القطر البو ري للقطع المرسوم في الجهة اليمنى من النقطة P. 9. جد معادلة القطع الزائد الذي بو رتاه هما بو رتي القطع الناقص = المكافئ = 0 y. x + x ويمس دليل القطع 9 + y 5, 73

74 تطبيقات التفاVضلDifferentiation Application of dgثdéث π üødg 3 Chapter Three تطبيقات التفاVضل ]3-[ املشتقات ذات الرتب العليا ]3-[ املعدالت املرتبطة ]3-3[ مبرهنتا رول والقيمة املتوسطة ]3-4[ اختبار التزايد والتناقص للدالة باستخدام املشتقة االولى ]3-5[ النهاية العظمى والنهاية الصغرى امللية ]3-6[ تقعر وحتدب املنحنيات ونقط االنقالب ]3-7[ اختبار املشتقة الثانية لنقط النهايات العظمى والصغرى امللية ]3-8[ رسم املخطط البياني للدالة ]3-9[ تطبيقات عملية على القيم العظمى او الصغرى. المصطلح المشتقات العليا التغير التقريبي عند a الرمز او العلاقة الرياضية y (n) = dn y dx n = f (n) (x) h f (a), h = b a 74

75 تطبيقات التفاVضلDifferentiations Applications of تطبيقات التفاضل متهيد : لقد سبق أن تعلمت في الصف اخلامس العلمي متى تكون الدالة قابلة لالشتقاق وتعرفت على قواعد ايجاد مشتقات الدوال اجلبرية والدائرية والتفسير الهندسي والفيزيائي للمشتقة وفي هذا الفصل سنتناول بعض املفاهيم االخرى وبعض استعماالت وتطبيقات حساب التفاضل ]3-[ املشتقات ذات الرتب العليا) Dedrivatives )Higher- Order إذا كانت (x) y = f دالة تتوافر فيها شروط االشتقاق فان مشتقتها األولى Derivative( )First y = dy وتمثل دالة جديدة هي (x) dx = f والدالة اجلديدة هذه إذا توافرت فيها شروط االشتقاق أيضا فا ن مشتقها دالة جديدة تمثل املشتقة الثانية y = d y وهذه االخيرة ايضا دالة جديدة dx = f ويرمز لها بالرمز( x ) )Second Derivative ( في املتغيرx وإذا توافرت فيها شروط االشتقاق فا ن مشتقتها تسمى املشتقة الثالثة y = d3 y dx = f (x) ويرمز لها :)Third Derivative( 3 وعلى هذا املنوال يمكن ايجاد مشتقات متتالية وبدءا من املشتقة الثانية يطلق على هذه املشتقات باملشتقات العليا Derivatives( Higher (وتكتب املشتقة من الرتبة n كما يأتي: y (n) = dn y حيث n عدد صحيح موجب. dx = f (n) (x) n 75

76 تطبيقات التفاVضلDifferentiations Applications of ولنتعرف على رموز مختلفة للمشتقات املتتالية وكما يأتي: f '(x), f ''(x), f '''(x), f (4) (x)...,,..., f (n) (x) y', y'', y''', y (4),..., y (n) dy dx, d y dx, d3 y dx, d4 y 3 dx,..., dn y 4 dx n d y dx = d dy dx dx ومن تعريف املشتقات العليا يتضح لنا أن : وأن : d 3 y dx 3 = d d y,... dx dx وكمثال للمشتقات املتتالية نأخذ الدالة االتية: ( s=f)t حيث s تمثل إزاحة جسم متحرك عند أي زمنt d s تمثل السرعة اللحظية لذلك اجلسم واملشتقة الثانية (t) dt = f ds فاملشتقة األولى (t) dt = f تمثل معدل تغير السرعة أي التعجيل) Acceleration ( للجسم املتحرك. فتمثل املعدل اللحظي لتغير التعجيل d 3 s أما املشتقة الثالثة لإلزاحة بالنسبة للزمن dt = f ( t ),t 3 ومن األمثلة الفيزيائية األ خرى حساب درجة األمان في نظام فرامل سيارة ما يتوقف على أقصى تباطو ) Deceleration (يمكن أن حتدثه الفرامل)وهو تعجيل سالب(. وعند اطالق صاروخ للفضاء فا ن رائد الفضاء الذي في املركبة داخل الصاروخ يتعرض لتأثيرات صحية وهذه التأثيرات تعتمد على التعجيل الذي يتعرض له هذا الرائد. وتستعمل املشتقة الثالثة لدراسة ما يتعرض له راكب قطارات األنفاق. 76

77 تطبيقات التفاVضلDifferentiations Applications of dy = sin x dx d y dx = () cos x d 4 y إذا كانت y= cos x فجد dx 4 مثال- - احلل d 3 y dx 3 = 3 sin x d 4 y dx 4 = 4 cos x y d3 y dx3 + 3 d y dx. dy إذا علمت بأن = y +x فبرهن على أن : 0 = dx 3 مثال- - احلل نشتق العالقة املعطاة اشتقاقا ضمنيا أي نشتق الطرفني بالنسبة للمتغير x y dy :ومن قسمة طرفي املعادلة على نحصل على = 0 x dx + ثم نشتق الطرفني بالنسبة للمتغير x y dy dx + x = 0 والتنسى ان احلد االول هو حالة ضرب متغيرين y d y dx + dy dx. dy dx + = 0 y d y dx + (dy dx ) + = 0 y d3 y dx3 + 3 d y dx. dy dx + dy d y dx dx + 0 = 0 3 y d3 y dx3 + 3 d y dx. dy dx = 0 3 وبهذا يتم املطلوب 77

78 تطبيقات التفاضلDifferentiations Applications of تمارين ( - 3 ) a( y = x, x < d y لكل مما يلي:. جد dx b( )y = x + x, x c( xy 4y+ 5 = 0, y 0, x. جد () ʹʹʹ f لكل مما يأتي: a) f (x) = 4 6 x, x < 3 b) f (x) = xsin π x c) f (x) = 3 x, x x (n+)π, n حيث, Z d y dx.3 إذا كانت, y = tan x فبرهن أن ) y = y( +.4 إذا كانت y=x sin x فبرهن أن = 0 x y (4 ) y + 43cos 78

79 تطبيقات التفاVضلDifferentiations Applications of إذا وجد أكثر من متغير بحيث تتوقف قيمة كل من هذه املتغيرات على متغير واحد يسمى )بارامتر( ومثاله الزمن فتتغير كل املتغيرات تبعا لتغيره وحيث أن العالقة هي ارتباط فا ننا نسمي املعدالت الزمنية هذه باملعدالت الزمنية املرتبطة واحيانا باملعدالت املرتبطة أو املعدالت الزمنية فقط فمثال اذا كان y = g(t), x = f (t) فاملتغيران x,y متغيرين تابعني كل منهما مرتبط باملتغير املستقل t فمن املمكن ربط املتغيرين ببعضهما dx والناجتان يمثالن املعدلني dt = f dy (t), ويمكن أن جند معدل تغير كل منهما وكما يأتي: g dt = (t) الزمنيني لتغير كل من y,x وقد يتوافر الربط بني املتغيرين في مسألة ما مبعادلة وفي هذه احلالة نشتق الطرفني بالنسبة للزمن t فعلى سبيل املثال من املعادلة -4y+6x=0 x y+ يمكن ايجاد املعدل الزمني لتغير كل من x,y وكما يلي: فيكون : املعدل الزمني لتغير y يساوي واملعدل الزمني لتغير x يساوي d dt (x + y 4y+ 6x) = d dt (0) x dx dy + y dt dt 4 dy dt + 6 dx dt = 0 dy dt ]3-[ املعدالت املرتبطة Related Rates dx dt مالحظة حلل أي سؤال يتعلق باملعدالت املرتبطة حاول إتباع ما يلي إن أمكن: ( ارسم مخططا للمسألة )أن احتجت الى ذلك(وحدد املتغيرات والثوابت وضع لها الرموز وحدد العالقة الرئيسية في حل السو ال. ( حاول إيجاد عالقة أخرى بني املتغيرات لكي تقلل من عدد املتغيرات. 3( نشتق الطرفني بالنسبة للمتغير )الزمن( t. 4( عوض معطيات السو ال من املتغيرات بعد االشتقاق. واالمثلة التالية توضح ذلك: 79

80 تطبيقات التفاVضلDifferentiations Applications of مثال- - خزان مملوء باملاء على شكل متوازي سطوح مستطيلة قاعدته مربعة طول ضلعها m يتسرب منه املاء مبعدل 0.4m 3 h/ جد معدل تغير انخفاض املاء في اخلزان عند أي زمن t. h احلل ليكن حجم املاء في اخلزان عند أي زمن t هو v)t( )تسرب( dv dt = 0.4 )االشارة السالبة تعني نقصان( وليكن ارتفاع املاء في اخلزان عند أي زمن هو h واملطلوب إيجاد أن املاء يأخذ شكل متوازي سطوح مستطيلة قاعدته مربعة dh dt مساحة القاعدة = A V = Ah, V=)()(h V= 4h dv dt = 4 dh dt 0.4 = 4 dh dt dh dt = 0. m / h معدل تغير انخفاض املاء في اخلزان 0.m/h m مثال- - صفيحة مستطيلة من املعدن مساحتها تساوي. 96cm يتمدد طولها مبعدل.8cm تبقى مساحتها ثابتة جد معدل النقصان في عرضها وذلك عندما يكون عرضها cm/sبحيث احلل في أية حلظة ما نفرض طول املستطيل = x dx dt = cm/s وعرض املستطيل= y معدل تغير الطول 80

81 تطبيقات التفاVضلDifferentiations Applications of معدل تغير العرض dy dt =? A = xy 96 = xy. y = 8 x = d dt (96) = d dt (xy) 0 = x. dy dx + y. dt dt 0 = dy dt + 8() dy dt = 6 = 4 3 cm/ sec نشتق طرفي العالقة بالنسبة الى t مثال- 3- مكعب صلد طول حرفه 8cm مغطى بطبقة من اجلليد بحيث شكله يبقى مكعبا فا ذا بدأ اجلليد بالذوبان مبعدل 6cm 3 s/ فجد معدل النقصان بسمك اجلليد في اللحظة التي يكون فيها هذا السمك.cm احلل العرض يتناقص مبعدل 4 3 cm/ s في تلك اللحظة 8cm عندما x= dx dt نفرض سمك اجلليد في أية حلظة = x واملطلوب حساب حجم اجلليد = حجم املكعب املغطى باجلليد- حجم املكعب األصلي V=)8+x ( dv = 3(8 + x)( () dx dt dt = - 0 وبالتعويض عن القيم املعطاة نحصل على: 6 = 3(8 + ()()). dx dt dx dt = 0.0ccm/s معدل نقصان سمك اجلليد = 0.0cm/s

82 تطبيقات التفاVضلDifferentiations Applications of مثال- 4- سلم طوله 0m يستند طرفه األسفل على أرض أفقية وطرفه العلوي على حائط رأسي فا ذا انزلق الطرف األسفل مبتعدا عن احلائط مبعدل m/s عندما يكون الطرف األسفل على بعد 8m عن احلائط جد: ( معدل انزالق الطرف العلوي. ( سرعة تغير الزاوية بني السلم واألرض. احلل نفرض عند أية حلظة : بعد الطرف االسفل عن احلائط=, x = بعد الطرف األعلى عن األرض =y. dx dt قياس الزاوية بني السلم واألرض = θ )نصف قطرية( بتطبيق مبرهنة فيثاغورس نحصل على : حائط ( 0m y x θ ارض x + y = 00 x = 8, y = 6 d dt (x + y ) = d dx dy (00) x + y dt dt dt = 0 وبالتعويض عن القيم املعلومة نحصل على: ()(8)()+ ()(6) dy dt = 0 dy dt = 8 3 m/ s 8 معدل انزالق الطرف العلوي 3 /m s 8

83 تطبيقات التفاVضلDifferentiations Applications of ( sinθ = y 0 d dt ) sinθ( y = d ) ( dθ cosθ = 0 = dt dt 0 dy dt 8 0 x 0 = 0 dy dt dy نحصل على: dt = 8 3 dθ dt = ( 0 )( 8 3 ) dθ dt = rad / sec s 63 dθ dt cosθ = x ينتج 0 وبالتعويض عن ومن التعويض بقيمة 8=x وعن قيمة سرعة تغير الزاوية مثال- 5- مرشح مخروطي قاعدته ا فقية ورأسه لألسفل ارتفاعه يساوي 4cmوطول قطر قاعدته 6cm يصب فيه سائل مبعدل 5cmبينما 3 s/ يتسرب منه السائل cm 3 s/ جد معدل تغير 6 عمق السائل في اللحظة التي يكون فيها عمق السائل. cm r احلل نفرض بعدي املخروط املائي )نصف القطر= r واالرتفاع= h( عند أية حلظة نفرض حجم السائل عند أية حلظة v)t( في الشكل املجاور من استعمال tanθ أو من تشابه مثلثني نحصل على 4 h tanθ = r h = 8 4 r = 3 h θ t الطرفني بالنسبة للزمن vنشتق = 3 π 3 h v = 3 πr h h = 7 πh3 83

84 تطبيقات التفاVضلDifferentiations Applications of dv dt = dh 9 πh dt...() معدل تغير حجم السائل في املخروط =معدل الصب -معدل التسرب. dv dt = 5 = 4 cm3 /s 4 = 9 π() dh dt dh dr dt = 4π cm/ sec وبالتعويض في )( ينتج مثال- 6- لتكن M نقطة متحركة على منحني القطع املكافئ y 4x= بحيث يكون معدل ابتعادها عن النقطة) 7,0 ( يساوي 0.unit/s جد املعدل الزمني لتغير االحداثي السيني للنقطة M عندما يكون 4=x. لتكن M)x,y( ولتكن )7,0(N ولتكن املسافة MN تساوي S احلل S = (x 7) + (y 0) S = x 4x y وبالتعويض عن y 4x= ينتج S = x 0x + 49 ds dt = x 0 x 0x dx dt dx dt = unit / sec 0. = dx dt 84

85 تطبيقات التفاVضلDifferentiations Applications of تمارين ( - 3 ). سلم يستند طرفه األسفل على أرض أفقية وطرفه األعلى على حائط رأسي فاذا أنزلق الطرف األسفل مبتعدا عن احلائط مبعدل m/s فجد معدل انزالق الطرف العلوي عندما يكون قياس الزاوية بني السلم. π 43 واألرض تساوي. عمود طوله 7.m في نهايته مصباح يتحرك رجل طوله.8m مبتعدا عن العمود وبسرعة 30m/min جد معدل تغير طول ظل الرجل. 3. لتكن M نقطة تتحرك على القطع املكافئ y=x جد احداثيي النقطة M عندما يكون املعدل الزمني ألبتعادها عن النقطة ),0) 3 يساوي ثلثي املعدل الزمني لتغير االحداثي الصادي للنقطة M..4 جد النقط التي تنتمي للدائرة = 08 8y x + y + 4x والتي عندها يكون املعدل الزمني لتغير x يساوي املعدل الزمني لتغير y بالنسبة للزمن. t 5. متوازي سطوح مستطيلة أبعاده تتغير بحيث تبقى قاعدته مربعة الشكل يزداد طول ضلع القاعدة مبعدل 0.3cm/s وارتفاعه يتناقص مبعدل 0.5cm/s جد معدل تغير احلجم عندما يكون طول ضلع القاعدة. 3cm واالرتفاع 4cm 85

86 تطبيقات التفاVضلDifferentiations Applications of ]3-3[ مبرهنتا رول والقيمة املتوسطة Rolle s and Mean Value Theorems قبل أن نتعرف في هذا البند الى مبرهنتي رول والقيمة املتوسطة نذكر بعض التعاريف واملبرهنة التي تمهد لهاتني املبرهنتني: )لالطالع( تعريف ]3-[ إذا كانت f دالة معرفة على الفترة املغلقة ]a,b[ فا ن: (f تأخذ قيمة عظمى عند c حيث ]a,b[ c اذا وفقط اذا x [a,b لكل] f (c) f (x) ( f تأخذ قيمة صغرى عند c حيث ]a,b[ c اذا وفقط اذا x [a,b لكل] f)c( f)x( مبرهنة) 3- ( إذا كانت f دالة معرفة على الفترة املغلقة ]a,b[ وكان : فان للدالة f قيمة عظمى أو صغرى عند c حيث (a,b) c وأن (c) f موجودة f (c) = 0 y f (c) = 0 وسنكتفي بتوضيح هذه املبرهنة هندسيا كما يأتي: a c b x 86

87 تطبيقات التفاVضلDifferentiations Applications of عند النقطة c املختلفة عن a,b والتي تأخذ عندها الدالة قيمة عظمى أو صغرى يكون املماس للمنحني البياني للدالة افقيا )اي موازي لمحور السينات( واالن يمكن أن تفكر في اجابة للسو ال االتي: اذا كان للدالة f قيمة عظمى أو قيمة صغرى عند c حيث (a,b) c فهل يشترط أن يكون = 0 (c) f ولالجابة على السو ال اليك املثال االتي: y لتكن f :[,] R, f (x) = x مثال -- وكما تالحظ في الشكل أدناه فا ن الدالة f تمتلك اعظم قيمة عند كل من - = x x = وتمتلك اصغر قيمة عند = 0 x وانت تعلم من دراستك السابقة أن الدالة f غير قابلة لالشتقاق عند = 0 x اي ان (0) f غير موجودة. ال يشترط أن يكون = 0 (c) f x كان تعريف] 3- [ لتكن الدالة f معر فة عند العدد. c يقال عن العدد c بأنه عدد حرج Number( )Critical اذا f (c) = 0 او ان الدالة غير قابلة لالشتقاق في c وتسمى النقطة ( (c),c( f بالنقطة احلرجة f :[,] R f (x) = x ففي املثال السابق : تالحظ أن الدالة معرفة عند صفر وان (0) f غير موجودة لذا يقال أن العدد صفر هو العدد احلرج للدالة f وان النقطة ) ( (0) f 0, هي النقطة احلرجة. 87

88 تطبيقات التفاVضلDifferentiations Applications of مبرهنة رول Rolle s Theorem مبرهنة رول: لقد وضع العالم الفرنسي )متشل رول( مبرهنة مبسطة إليجاد نقط تمثل نقطا حرجة للدالة في الفترة املعطاة وسميت هذه املبرهنة باسمه. )3-( مبرهنة رول y = f (x) f = 0 f = 0 f (a) f = 0 إذا كانت الدالة : f ( مستمرة في الفترة املغلقة ]a,b[ ( قابلة لالشتقاق في الفترة املفتوحة )a,b( f (b) c f)b(=f)a( )3 c c 3 فا نه يوجد على األقل قيمة واحدة c تنتمي الى )a,b( وحتقق : 0 = (c) f مثال- - بني هل أن مبرهنة رول تتحقق لكل من الدوال التالية وجد قيمة c املمكنة: a(f)x( =)-x(, x ]0,4[ b(f)x(=9x+3x -x 3, x ]-,[ c(f)x(= x +, x ]-,[ -, x ]-4,-( d( f)x(=k, x ]a,b[ a(f)x( =)-x(, x ]0,4[ احلل الشرط االول : الدالة مستمرة على الفترة املغلقة ]0,4[ ألنها كثيرة احلدود. الشرط الثاني : الدالة قابلة لالشتقاق على الفترة املفتوحة )0,4( ألنها كثيرة احلدود. f)0(=)-0( =4 الشرط الثالث: f)4(=)-4( =4 f)0(=f)4( الدالة ضمن الفترة املعطاة حتقق مبرهنة رول. 88

89 تطبيقات التفاVضلDifferentiations Applications of f (x) = ( x) f (c) = ( c) f (c) = 0 ( c) = 0 c = )0,4( b(f(x)=9x+3x -x 3, x ]-,[ احلل الشرط االول: الدالة مستمرة على الفترة املغلقة ],-[ ألنها كثيرة احلدود. الشرط الثاني: الدالة قابلة لالشتقاق على الفترة املفتوحة ),-( ألنها كثيرة احلدود. f(-)=-9+3+=-5 الشرط الثالث: f()=9+3-= f ( ) f () التتحقق مبرهنة رول ألن الشرط الثالث لم يتحقق. c( f (x) = x + lim (x +) = = L x ( ) x + + lim ( ) = = L x x ( ) x [, ] x 4, d( f)x(=k, x ]a,b[ [ ]( احلل مجال الدالة = ]4,-[ الشرط االول: L في الفترة ]-4,[ L الدالة لسيت مستمرة ألن ال حتقق مبرهنة رول احلل الشرط االول: الدالة مستمرة على ]a,b[ النها دالة ثابتة. الشرط الثاني: الدالة قابلة لالشتقاق على الفترة.)a,b( الشرط الثالث: f )a( = f )b( = k الدالة حتقق مبرهنة رول. وان قيمة c يمكن ان تكون اي قيمة ضمن الفترة )b,a(. 89

90 تطبيقات التفاVضلDifferentiations Applications of ) 3-3 (مبرهنة القيمة المتوسطة إذا كانت f دالة مستمرة في الفترة املغلقة ]a,b[ وقابلة لالشتقاق على الفترة املفتوحة )a,b( ( ) f ( a) f ( c) = f b b a فا نه يوجد على األقل قيمة واحدة c ينتمي الى )a,b( وحتقق: او a) f (b) f (a) = f (c)(b واملخطط التالي يعطي التفسير الهندسي ملبرهنة القيمة املتوسطة: املماس يوازي الوتر AB ميل املماس = (c) f f (c ) = m AB = f (c ) الوتر B ( b, f (b)) ( ) a, f (a) y = f (x) A c c x y x = f (b) f (a) b a ميل الوتر املار بالنقطتني A,B يساوي ميل املماس للمنحني عند = c املشتقة االولى للدالة f عند ( f (c) ), c ( ) f ( a) f ( c) = f b b a لكن املماس والوتر متوازيان لذا يتساوى ميالهما 90

91 تطبيقات التفاVضلDifferentiations Applications of مالحظة أن مبرهنة رول هي حالة خاصة من مبرهنة القيمة املتوسطة ففي مبرهنة رول يجب توافر شرط ثالث هو: (b) f (a) = f أي أن الوتر واملماس يوازيان محور السينات أي فرق الصادات =0 لذا يصبح امليل =0 فنحصل على : 0 = (c) f برهن ان الدوال االتية حتقق شروط مبرهنة القيمة املتوسطة واوجد قيم c: مثال- 3- a) f ( x) = x 6x + 4., x b) f ( x) = 5 x., x.[,7 ].[ 4,0] a) f ( x) = x 6x + 4., x.,7 احلل الشرط األول يتحقق : الدالة مستمرة في الفترة ]7, -[ ألنها كثيرة احلدود. الشرط الثاني يتحقق: الدالة قابلة لالشتقاق على الفترة )7, -( النها دالة كثيرة احلدود. f (x) = x 6 f (c) = c 6 [ ] ميل املماس f (b) f (a) b a = f (7) f ( ) 7 + = 8 = 0 ميل الوتر ميل املماس = ميل الوتر 0 = c 6 c = 3 [(, 7) 9

92 تطبيقات التفاضلDifferentiations Applications of b) f ( x) = 5 x.,. 4,0 مجال = f مجموعة حل املتباينة 0 x 5 اي [ 5,5] I بعدها )( استمرارية f في 0] [ 4, : نثبت االستمرارية اوال في الفترة املفتوحة 0) ( 4, = [ ] -5 a x [ ] احلل عن طرفي الفترة. f (a) = الن a ضمن مجال الدالة 5 a R لتكن a I I lim x a f (x) = lim x a 5 x = 5 a f (a) = lim x a f (x) lim x 4 + f (x) = lim 5 x = 5 6 = 3 = f ( 4) x 4 + مستمرة في (4,0 ) lim x 0 f (x) = lim 5 x = 5 0 = 5 = f (0) x 0 f ʹ(x) = f مستمرة عند طرفي الفترة [4,0 ] f مستمرة على الفترة املغلقة [4,0 ] x 5 x )( قابلية االشتقاق: مجال ʹ f f (5.5 ), = قابلة لالشتقاق في الفترة (4,0 ) النها محتواة f ʹ( x) = f (b) f (a) b a c = x 5 x f ʹ( c) = c 5 c f (0) f ( 4) = = = 5 c = c 5 )-4,0( c = 5 )-4,0( = c 5 c 5 c = 4c c = 5 c = ± 5 كليا في مجال مشتقة f )3( ميل املماس ميل الوتر ميل املماس = ميل الوتر القاطع املماس (0,5) ( 5, 0) 4 c (5, 0) y x 9

93 تطبيقات التفاVضلDifferentiations Applications of [ ] R : f ( x) = x 3 4x f : 0,b اذا كانت مثال- 4-. b فجد قيمة c = 3 وكانت f حتقق مبرهنة القيمة املتوسطة عند احلل f ( x) = 3x 8x f ( c) = 3c 8c f 3 ميل املماس 4 = = 4 f (b) f (a) b a ميل املماس = ميل الوتر = f (b) f (0) b 0 = b3 4b 0 b ميل الوتر = b 4b b 4b = 4 b 4b+ 4 = 0 ( b ) = 0 b = نتيجة مبرهنة القيمة المتوسطة 93 إذا كانت f دالة مستمرة ومعرفة على ]a,b[ وقابلة لالشتقاق في )a,b( ولو اعتبرنا h = b a فأن b = a + h حيث h h,0 R فانه مبوجب مبرهنة القيمة املتوسطة نحصل على: f (a + h) f (a) f (c) = h f (a + h) = f (a)+ h f (c) وعندما يكون اقتراب b من a قربا كافيا تكون في هذة احلالة h صغيرة ويصبح الوتر صغيرا ونهايتيه قريبتان من a أي أن املماس عند c سيكون مماسا للمنحني عند نقطة قريبة جدا من النقطة حيث x=a f ( a + h) f ( a) + h f ( a) ولذلك يصبح : يقال للمقدار (a) h f التغير التقريبي للدالة. التقريب باستخدام نتيجة مبرهنة القيمة املتوسطة

94 تطبيقات التفاVضلDifferentiations Applications of مالحظة:- سوف نقتصر في حل تمارين التقريب باستخدام نتيجة مبرهنة القيمة املتوسطة فقط مثال- 5- جد باستخدام نتيجة مبرهنة القيمة املتوسطة تقريبا مناسبا للعدد 6 y = f (x) = x... الدالة x 0 احلل لتكن h = b a = f (a) = f (5) = 5 = 5 f (x) = x f (a) = 0 = 0. نفرض = 5 a )اقرب مربع كامل من العدد ) 6 b = 6 القيمة السهلة... 5 = a h= =b - a f (b) f (a) + (b a) f (a) f (a + h) f (a) + h f (a) ومن النتيجة: 6 = f (5 +) f (5) + ()x f (5) ( ) = 5. 94

95 تطبيقات التفاVضلDifferentiations Applications of اذا كان + 5 4x f ( x) = x 3 + 3x + فجد بصورة تقريبية مثال- 6- f (.00) f ( ) = = 3 f ( x) = 3x + 6x + 4 f ( ) = = 3 f ( a + h) ; f ( a) + h f ( a) f(.00) ( ) = f ( ( ) + ( 0.00) ) f ( ) = 3 + ( 0.00) ( 3) = 3.03 b =.00 a = h= b-a =0.00 احلل مثال- 7- مكعب طول حرفه 9.98cm جد حجمه بصورة تقريبية باستخدام نتيجة مبرهنة القيمة املتوسطة. احلل ليكن V حجم املكعب الذي طول حرفه )x ) x v(x) = x 3 x [9.98,0] b = 9.98 a = 0 h = b a = 0.0 اي ان الدالة تكون على الصيغة ( ) = 0 3 = 000 ( ) + ( ) = 3)( ( 0) ) = 300 = ( ) = ) 000 = + ( 0.0) ( 300) 994 v 0 v ( x) = 3x v 0 v 9.98 cm 3 95

96 تطبيقات التفاVضلDifferentiations Applications of مثال- 8- لتكن f (x) = 3 x فاذا تغيرت x من 8 إلى 8.06 فما مقدار التغير التقريبي احلل للدالة الدالة : f :[ 8,8.06] R, f ( x) = 3 x b =8.06 a= 8= 3 h= b-a =0.06 f ( x) = 3 3 x f '(a) = f '(8) = = 3 = املشتقة: h f (8) (0.06) 3 التغير التقريبي = 0.0 مثال- 9- يراد طالء مكعب طول ضلعه 0cm فادا كان سمك الطالء 0.5cm اوجد حجم الطالء بصورة تقريبية وباستخدام نتيجة مبرهنة القيمة املتوسطة. b =0.3 a= 0 v(x) = x 3 v x v ( ) = 3x ( a) = v ( 0) = ( 3) ( 0) = 300 ( ) ( )( ) = حجم الطالء بصورة تقريبية h= b-a = 0.3 h v (0) (0.3)(300) = 90cm 3 احلل 96

97 تطبيقات التفاVضلDifferentiations Applications of باستخدام نتيجة مبرهنة القيمة املتوسطة جد وبصورة تقريبية ومقربا لثالث مراتب a) 5 ( 0.98) 3 + ( 0.98) b) 7.8 مثال 0 عشرية على االقل كال من: 4 3 c) d) 0. a) 5 ( 0.98) 3 + ( 0.98) f (x) = 3 5 x 5 + 4x 3 3 f (x) = x 5 + x احلل الدالة: املشتقة: 3 f (a) = f () = = 5 تعويض بالدالة: f ( a) = f ( ) = 3 5 ( ) 5 + ( 4) ( ) 3 = 4.6 تعويض باملشتقة : تعويض بالقانون f (a + h) f (a)+ h f (a) f (0.98) = f ()+ ( 0.0). f () ( ) = +5 + ( 0.0). ( 4.6) ( ) = = f 0.98 f 0.98 ( 0.98) ( ) b = 0.98 a= h= b-a =

98 تطبيقات التفاVضلDifferentiations Applications of b( b =7.8 a= 8= 3 h= b-a = -0. f ( x) = f (x) = احلل 3 الدالة: x املشتقة: 3 3 x 3 f (a) = f (8) = 8 = التعويض بالدالة : f ( a) = f 8 ( ) = = = التعويض باملشتقة: f f ( a + h) f ( a) + h نحصل على وبالتعويض بالقانون : a) ( f ( 7.8) = f ( 8) + ( 0.) f ( 8) ( 0.) ( 0.083) = = = = = : 4 c) احلل f ( x) = x 4 الدالة: لتكن + x f ( x) = x x 4 f (6) = ( 4 ) + ( 4 ) 4 = 4 + = 6 b =7 a= 6 h=b-a = 7-6= املشتقة: تعويض بالدالة : ( ) f ( 6) = ( ) 3 4 = ( ) + ( ) 4 3 = 0.5 تعويض باملشتقة:

99 تطبيقات التفاVضلDifferentiations Applications of f (6) = (0.5)(0.5) + (0.5)(0.5) 3 = (0.5)(0.5)+ (0.5)(0.5) f ( a ( + h+ ) ) f ( a( ) + ) h + f ( a ( ) ) ( f ( 7 ) ) ( f ( 6 ) + ) + () ( f ( 6 ) ) f ( 7) 6 + ( ) ( 0.56) f (6) = = 0.56 التعويض بالقانون نحصل على d) 3 0. احلل 3 الدالة f (x) = x f ( x) = 3 x 3 املشتقة f (0.5) = ((0.5) 3 ) 3 = 0.5 تعويض بالدالة f (0.5) ( )3 = = 3 = ( 3 ) تعويض باملشتقة = = 4 وبالتعويض بالقانون نحصل على : f ( a + hb ) f a ( ) + h. f ( a) ( ) f ( 0.5) ( ) ( ) f 0. f 0. f ( )..333 ( ) b =0.0 a= 0.5 h= b-a =

100 تطبيقات التفاVضلDifferentiations Applications of ªJارjن )3-3( a) f ( x) = x 3 9x b) f x c) f x ( ) = x + x ( ) = ( x 3) 3 a) ( ) + ( ),x,x,x [ 3, 3],. اوجد قيمة c التي تعينها مبرهنة رول في كل مما يا تي : [,]. جد تقريبا لكل مما يلي باستخدام نتبجة مبرهنة القيمة+ المتوسطة: b) (.04) 3 + 3(.04) 4 c) d) e) كرة نصف قطرها 6cm طليت بطلاء سمكه 0.cm جد حجم الطلاء بصورة تقريبية باستخدام نتيجة مبرهنة القيمة المتوسطة. 4. كرة حجمها 84π cm 3 جد نصف قطرها بصورة تقريبية باستخدام نتيجة القيمة المتوسطة. 5. مخروط داي ري قاي م ارتفاعه يساوي طول قطر قاعدته فاذا كان ارتفاعه يساوي.98cm فجد حجمه بصورة تقريبية باستخدام نتيجة مبرهنة القيمة المتوسطة. 6. بين أن كل دالة من الدوال التالية تحقق مبرهنة رول على الفترة المعطاة ازاء كل منها ثم جد قيمة : c ( ) = ( x ) 4 [ ] a) f x,,3 b)h ( x ) = x 3 x, [,[, ] ] c)g( x) = x 3x, x, [, [ 4] ] d) f ( x ) = cos x + cos x, x, + [ 0,π ] [ π ] 7. اختبر امكانية تطبيق القيمة المتوسطة للدوال التالية على الفترة المعطاة إزاءها مع ذكر السبب وإن تحققت a) f (x) = x 3 x b)h x c)g x d)b x ( ) = x 4x + 5, ( ) = 4 x + ( ) = ( x + ) [ ] [ ] [ ],, 5,, 5,,,[ 3 [, 7] المبرهنة جد قيم c الممكنة. 00

101 تطبيقات التفاضلDifferentiations Applications of ]3-4[ اختبار التزايد والتناقص للدالة باستخدام املشتقة االولى. The First Derivative Test For Increasing And Decreasing of a Function ان من النتائج املهمه ملبرهنة القيمة املتوسطة هي النتيجة االتية : لتكن f مستمرة في الفترة املغلقة a,b] [ وقابلة لالشتقاق في الفترة املفتوحة a,b) ( فا ذا كانت - f ʹ(x) > 0, x ( a,b) f - f ʹ( x) < 0, x a,b. y = f جد مناطق التزايد والتناقص ( ) f نتيجة Increa Increasing g متزايدة Decrea Decreasing g متناقصة أما بقية احلاالت فسوف النتطرق لها في هذه املرحلة. مثال- - لتكن ( x) = x y = f ( x) = x y ʹ = x y ʹ = 0 x = y ʹ = x اشارة احلل Q f ʹ( x) > 0, x > 0 { } ( ) < 0, x < 0 { x : x < 0} x : x > 0 Q f ʹ x fمتزايدة في f متناقصة في 0

102 تطبيقات التفاVضلDifferentiations Applications of جد مناطق التزايد والتناقص لكل من الدالتني االتيتني: مثال- - a( f ( x) = 9x + 3x x 3 b) f ( x) = 3 x احلل a( f ( x) = 9x + 3x x 3 f ( x) = 9+ 6x 3x 0 = 9+ 6x 3x ( ) 0 = 3 x x 3 0 = ( x 3) ( x +) x = 3, x = x = 3, x = نختبر على خط األعداد إشارة املشتقة األولى بالتعويض بقيم مجاورة للعددين : اشارة x) f ( { ( ) { x : x < } <,{ x : x > 3} متناقصة : في f f متزايدة : في الفترة املفتوحة,3) ( b) f ( x) = x 3 y = x y 3 f ( x) = 3 3 x احلل x) f ( غير معرفه اذا كانت = 0 x, اي = 0 x عدد حرج )0( اشارة x) f ( x { x : x > 0} { x : x < 0} f متزايدة في f متناقصة في 0

103 تطبيقات التفاVضلDifferentiations Applications of ]3-5[ النهاية العظمى والنهاية الصغرى امللية f = x ومتناقصة الحظ في الشكل أدناه أن الدالة x) y = f ( متزايدة على الفترة a,c) ( ألن > 0 ) ( على الفترة c,d) ( الن < 0 x) f ( ثم تتزايد في الفترة )d,b(. كما أن = 0 f عند كل من x=c, x=d (c )p,c f ( نقطة نهاية عظمى محلية وإن (c f ( هي النهاية العظمى المحلية تسمى نقطة ) d) ( d, f ( نقطة نهاية صغرى محلية وان d) f ( هي Maximum( )Local وتدعى النقطة ) النهاية الصغرى المحلية Minimum( )Local a c d b اشارة (x) + f a,b وقابلة لالشتقاق عند x=c التي تنتمي الى الفترة املفتوحة تعريف )3-3( لتكن f دالة مستمرة على الفترة ] [ a,b) ( فاذا كانت: ) f ( xc ) < 0; x c,b f c f ( ) ( x) > 0; x ( a,c) ( c) = 0 ) f ( xc ) > 0; x c,b f ( xc ) < 0; x ( a,c) f c ( ) = 0 ( ) a c b f نهاية عظمى محلية f نهاية صغرى محلية فا ن c) ( a c b فا ن c) ( اشارة '(x) f اشارة '(x) f 03

104 تطبيقات التفاVضلDifferentiations Applications of مالحظة لكي نختبر القيمة العظمى والصغرى المحلية للدالة f بواسطة املشتقة االولى للدالة f نتبع اخلطوات االتية: جند االعداد احلرجة وذلك بحل املعادلة = 0 (x) * f وليكن x = x هو أحد هذه األعداد احلرجة x < موجبة x f ( x) فاذا كانت إشارة x = x نختبر إشارة (x) f بجوار x > x وسالبة x نقطة نهاية عظمى محلية, f x x < x f سالبة x > x وموجبة ( ( فهذا يعني أن النقطة (( أما إذا كانت اشارة (x ( نقطة نهاية صغرى محلية x, f x x فال يكون للدالة نقطة نهاية عظمى والصغرى عند التغير قبل وبعد f x y y فهذا يعني أن (( ( ( أما إذا كانت اشارة ) ( هذه النقطة f (x) < 0 f (x) > 0 f (x) > 0 f (x) < 0 0 x x 0 x x نقطة نهاية صغرى محلية نقطة نهاية عظمى محلية y y f (x) < 0 f (x) > 0 f (x) > 0 0 x x 0 x f (x) < 0 x ال توجد نهايات * سنقتصر في بحثنا على الدوال القابلة لالشتقاق. 04

105 تطبيقات التفاVضلDifferentiations Applications of جد نقط النهايات العظمى والصغرى المحلية للدالة fفي حالة وجودها اذا علمت أن: a) f x b) f x c) f x ( ) = + ( x ) ( ) = ( x ) ( ) = x 3 9x + 4x مثال- 3- احلل a) f x f ( ) = + ( x ) ( x) = ( x ) when f ( x) = 0 x f () = + ( ) = ( ) = 0 x = (, ) اشارة '(x) f b) f x f ( ) = ( x ) ( x) = ( x ) when f ( x) = 0 x = f متزايدة في f متناقصة في تزايد, تمثل نقطة نهاية صغرى محلية. تناقص f () = ( ) = { x : x > } { x : x < } ( ) = ( ), f ( ) النقطة ) ( = اشارة '(x) f تناقص تزايد 05

106 تطبيقات التفاVضلDifferentiations Applications of النقطة (, ( تمثل نقطة نهاية عظمى المحلية متزايدة في } < x { x : متناقصة في } > x { x : f f c) f x f ( ) = x 3 9x + 4x ( x) = 3x 8x + 4 when f ( x) = 0 ( ) = 0 3 x 6x + 8 ( )( x ) = 0 3 x 4 x = 4, x = f (4) = 6, f () = اشارة '(x) f تزايد تناقص تزايد y { x : x < }and, x : x > 4 ( ) f متزايدة في } { f متناقصة في الفترة املفتوحة )4, ( (, 0) (4,6) نقطة النهاية العظمى المحلية (,0 ( نقطة النهاية الصغرى المحلية (4,6 ( 4 x 06

107 تطبيقات التفاVضلDifferentiations Applications of ]3-6[ تقعر وحتدب املنحنيات ونقط االنقالب y y منحني محدب واملشتقة متناقصة (B) x x منحني مقعر واملشتقة متزايدة (A) تعريف ]3-4[ إذا كانت f دالة قابلة لالشتقاق في الفترة املفتوحة )a,b( فيقال عن الدالة f بأنها محدبة اذاكانت f متناقصة خالل تلك الفترة وتسمى مقعرة اذا كانت f متزايدة خالل تلك الفترة. مالحظة املنحني مقعر في )a,b( )Concave up( املنحني يقع فوق جميع مماساته في )a,b( واملنحني محدب في )b ( Concave down(,a( املنحني يقع حتت جميع مماساته في ) A ( ) B الحظ الشكلني) )a,b( اذا كانت f معرفة في ]a,b[ ولها مشتقة أولى وثانية على )a,b( فا نها تكون مقعرة على )a,b( اذا حققت الشرط االتي : تكون محدبة على )a,b( اذا حققت الشرط االتي : x 07 x (a,b) f ( ) < 0 f ( x) > 0, مبرهنة )3-4( لكل لكل (a,b) x

108 تطبيقات التفاVضلDifferentiations Applications of a) f x b) f x مثال- - إدرس تقعر وحتدب كل من الدالتني: ( ) = x احلل = x 3 ) ( a) f (x) = x a) f ( x)x =x y = x f ( x) = الدالة f مقعرة على f ( x) > 0, x R R y x b) f (x) = x 3 f (x) = 3x f (x) = 6x f (x) = 0 6x = 0 x = 0 f (0) = 0 y x اشارة حتدب تقعر محدبة في} x:x<0 { f f (x) مقعرة في} x:x>0 { f في هذا املثال )b( الحظ أن املنحني في }0 }x:x< محدب وفي }x:x>0{ مقعر. أي قبل النقطة (0,0) = (0)) f (0, املنحني محدب وبعدها مقعر. تسمى هذه النقطة نقطة انقالب Inflection( )Point of 08

109 تطبيقات التفاVضلDifferentiations Applications of تعريف ]3-5[ تدعى النقطة التي تنتمي ملنحني دالة والتي يتغير عندها منحني الدالة )من تقعر الى حتدب( أو بالعكس )من حتدب الى تقعر( بنقطة انقالب لهذا املنحني. y y y f = f = 0 x x x مثال- - جد نقطة االنقالب للمنحني: + x f (x) = x 3 3x احلل f (x) = x 3 3x x + f (x) = 6x 6x f (x) = x 6 f (x) = 0 x 6 = 0 x = f ( ) = اشارة تقعر حتدب f (x) لندرس اآلن اشارة (x) f في جوار = x ( هي نقطة انقالب., النقطة ) تكون (x) f موجبة تكون (x) f سالبة نالحظ عن يمني وعن يسار 09

110 تطبيقات التفاVضلDifferentiations Applications of جد مناطق التحدب والتقعر ونقط االنقالب إن وجدت للدوال التالية: مثال- 3- a) f (x) = 4x 3 x 4 b) f (x) = x + x, x 0 h)x( = 4-)x+( 4 c) 4(x + ) 4 d) f (x) = 3 x x e) f (x) = x 4 + 3x 3 y احلل a) f (x) = 4x 3 x 4 f ( x) = x 4x 3 f x ( ) = 4x x (3, 7) f (x) = 0 0 = x( x) x = 0, x = f (0)=0, f() = 6 (0,0), (, 6) محدبة محدبة مقعرة اشارة انقالب انقالب f (x) x نقطتا االنقالب هما :,),6( )0,0( } x:x <0{ و } x:x >{ محدبة في f f مقعرة في الفترة املفتوحة: )0,( 0

111 تطبيقات التفاVضلDifferentiations Applications of b( f ( x) = x + x, x 0 احلل f (x) = x f ( x) = غير معرفة x 3 f (0) اشارة (x) f مقعر محدب } x:x<0{ محدبة : في f } x:x >0{ مقعرة : في f التوجد نقطة انقالب ألن 0 الينتمي ملجال الدالة. c( h(x) = 4 (x + ) 4 y احلل h (x) = 4(x + ) 4 h ( x) = ( x + ) h (x) = 0 3 x 0 = ( x + ) x = يمكن للطالب بالرجوع الى اختبار املشتقة االولى ليجد ان للدالة نقطة نهاية عظمى محلية عند )4 -(, إشارة h''(x) محدبة محدبة الدالة h محدبة في x:x<-{ } و >-{ x:x } التوجد نقطة انقالب عند - =x ألن الدالة محدبة على جهتيها

112 تطبيقات التفاVضلDifferentiations Applications of d) f (x) = 3 x x f ( x) = x احلل f (x) = < 0 f الدالة محدبة في R لذا التوجد نقطة انقالب. e( f ( x) = x 4 + 3x 3 احلل جلميع قيم f ( x) = 4x 3 + 6x f ( x) = x + 6 > 0 x R الدالة f مقعرة في R. لذا التوجد نقطة انقالب ]3-7[ اختبار املشتقة الثانية لنقط النهايات العظمى والصغرى امللية بدال من مالحظة كيفية تغير اشارة f عند املرور بالنقطة احلرجة حيث = 0 (x) f فانه بامكاننا استخدام االختبار التالي لنقرر فيما إذا كانت النقطة احلرجة تمثل نقطة نهاية عظمى أو نهاية صغرى محلية. وذلك باستخدام اختبار املشتقة الثانية وكما يأتي: )( اذا كان = 0 (c) f وإن < 0 (c) f فا ن f تمتلك نهاية عظمى محلية عند. x=c )( اذا كان = 0 (c) f وإن > 0 (c) f فا ن f تمتلك نهاية صغرى محلية عند.x=c )3( اذا كانت = 0 (c) f او (c) f غير معرفة فال يصح هذا االختبار )ويعاد االختبار باستخدام املشتقة االولى(.

113 تطبيقات التفاVضلDifferentiations Applications of باستخدام اختبار املشتقة الثانية ان أمكن جد النهايات المحلية للدوال اآلتية: مثال- - a( f ( x) = 6x 3x c( f (x) = x 3 3x 9x b( f (x) = x 4 x, x 0 d( f (x) = 4 (x +) 4 احلل a( f ( x) = 6x 3x f ( x) = 6 6x f (x) = 0 0 = 6 6x x = f ( x) = 6 f ( ) = 6 < 0 b( f ( x) = x 4, x 0 x f ( x) = + 8 x, 3 f (x) = 0 مبا أن : 0 = () f و < 0 () f. اذا توجد نهاية عظمى محلية عندx= النهاية العظمى المحلية هي: 3 = 6 = ) ( f 0 = + 8 x 3 x = 0 x = f (x) = + 8 x 3 f (x) = 4 x 4 f ( ) = 4 6 < 0, 3

114 تطبيقات التفاVضلDifferentiations Applications of c( f x f مبا أن : 0 = ) ( f و < 0 ) ( f f توجد نهاية عظمى محلية عند النقطة x=- f ( ) = x 3 3x 9x ( x) = 3x 6x 9 f (x) = 0 0 = 3( x x 3) 0 = 3( x 3) ( x +) او x=3 x=- f ( x) = 6x 6 النهاية العظمى المحلية هي : 3 = = ) ( عندما = 3 x فان > 0 = 6 8 = (3) f توجد نهاية صغرى محليةهي 7 = = (3) f f وعندما - x= فان 0 < = 6 6 = ) ( توجد نهاية عظمى محلية هي 5=)-(f d( f (x) = 4 (x + ) 4 f ( x) = 4 x + f (x) = 0 0 = 4 x + f f ( ) 3 ( ) 3 x = ( x) = ( x +) ( ) = 0 هذه الطريقة ال تصح نعود الى مالحظة تغير اشارة f بجوار -=x تزايد تناقص اشارة (x) f 4

115 تطبيقات التفاضلDifferentiations Applications of 4 f ( ) = 4 ( + ) = 4 ومبا أن f متزايدة في }x:x<-{ ومتناقصة في }x:x>-{ توجد نهاية عظمى محلية هي : f لتكن ( x) = x + a x, x 0, a R مثال- - فجد قيمة a علما أن الدالة تمتلك نقطة انقالب عند = x ثم بني أن الدالة f التمتلك نهاية عظمى محلية. f ( x) = x f ʹ( x) = x a + a x x f ʹʹ() = + a ( = 0 ) 3 f ʹʹ(x) = + a x 3 احلل + a = 0 a = f = ( x) = x + a x f ʹ( x) = x + a x f ʹ( x) = 0 x + a x = 0 x 3 = a x x 3 a 3 = x = 3 f ʹʹ(x) = x3 ) f ʹʹ(x) = 3 f ʹʹ(x) = 6 > 0, x R 5 توجد نهاية صغرى محلية عند 3 = x التملك f نهاية عظمى محلية

116 تطبيقات التفاVضلDifferentiations Applications of عني قيمتي الثابتني b,a لكي يكون ملنحني الدالة y = x 3 + ax + bx نهاية عظمى y = x 3 + ax + bx dy dx = 3x + ax + b dy ] = 0 dx = x = 0= 3 مثال- 3- محلية عند = x ونهاية صغرى محلية عند = x ثم جد نقطة االنقالب. dx x = ( ) + a ( ) + b 0 = 3 a + b... = ( ) احلل مبا أن للدالة نهاية عظمى محلية عند dy ] = 0 dx = 0= 3 a = 3 ( ) + a ( ) + b,b = 6 y = x 3 3 x 6x ( ) 0 = + 4a + b... = مبا أن للدالة نهاية صغرى محلية عند = x وبحل املعادلتني )( و )( آنيا جند ان : dy dx = 3x 3x 6 dy d y dx = 6x 3 dy y dx = 0 6x 3 = 0 x = f ( ) = 6 8 = 3 4 حتدب x : x < اشارة تقعر ومحدبة في f (x) x : x > مبا أن f مقعرة في نقطة انقالب,

117 تطبيقات التفاVضلDifferentiations Applications of f اذا كان منحني الدالة : c ( x) = ax 3 + bx + مثال- 4-3, فجد قيم االعداد احلقيقية. c,b,a مقعر في } < x { x : ومحدب في } > x { x : ويمس املستقيم : 8 = 9x y + عند النقطة ) ( الدالة مستمرة ألنها كثيرة احلدود مقعرة في } < x { x : ومحدبة في } > x { x : فهي تمتلك f ( x) = 3ax + bx f ( x) = 6ax + b احلل نقطة انقالب عند = x f ( ) = 0 6a +b = 0 3a + b = 0 b = 3a...( ) dy dx = ميل املماس = 8 9x y + هو 9 x عند = 3 f هو ميل املماس ملنحني الدالة f ( 3) f ( 3) = 7a + 6b - 9=7a+6b 3-3 = 9a + b y = f 7 ( )... 3, حتقق معادلة منحني الدالة ( x) = ax 3 + bx + c النقطة ) (

118 تطبيقات التفاVضلDifferentiations Applications of = 7a + 9b+ c...(3) وبالتعويض من ( ( في ( ( ينتج: - 3 = 9a + ( 3a) a = - b=- 3(-)= 3 وبالتعويض في املعادلة (3 ( ينتج : = c c = f نهاية عظمى محلية تساوي 8 ونقطة f ( ) = 0 اذا كان للدالة ( x) = ax 3 + 3x + c مثال- 5- انقالب عند = x فجد قيمة.a,c R احلل: احلل عند = x توجد نقطة انقالب f ( x) = 3ax + 6x f (x) = 6ax + 6 f () = 0 0 = 6a + 6 a = f ( x) = x 3 + 3x + c f ( x) = - 3x + 6x f x ( ) = 0 3x + 6x = 0 3x x حرجتان = x x = 0, 0 = ) ( اشارة (x)( f f ( x) = x 3 + 3x + c 8 = c c = 4 x تمتلك نهاية عظمى محلية عند = f,8 نهاية عظمى محلية و حتقق معادلة منحني الدالة : النقطة ) ( 8

119 تطبيقات التفاVضلDifferentiations Applications of ªJارjن )3-4(. لتكن f (x) = ax 6x + b حيث ان a { 4,8},b R جد قيمة a اذا كانت : أ( الدالة f محدبة ب( الدالة f مقعرة. a,b R فجد قيمة f. اذا كانت ),6( نقطة حرجة ملنحني الدالة b) 4 ( x) = a ( x وبني نوع النقطة احلرجة..3 اذا كان g( x) = x, f ( x) = ax 3 + bx + cx وكان كل من g,f متماسان عند نقطة انقالب املنحني f وهي )-, ( فجد قيمة الثوابت.a,b,c R c R فجد قيمة f.4 اذا كانت 6 تمثل نهاية صغرى محلية ملنحني الدالة ( x) = 3x x 3 + c ثم جد معادلة مماس املنحني في نقطة انقالبه. 5.اذا كان f ( x) = ax 3 + bx + cx وكانت f مقعرة x > ومحدبة > x وللدالة f نقطة نهاية عظمى محلية هي ),5-( فجد قيمة الثوابت.a,b,c R f.6 لتكن 0 x ( x) = x a, x a R / {0}, برهن أن الدالة f ال تمتلك نهاية عظمى محلية. 7. املستقيم 3x-y=7 يمس املنحني y=ax +bx+c عند )-, ( وكانت له نهاية محلية = x جد قيمة a,b,c R وما نوع النهاية. عند 9

120 تطبيقات التفاVضلDifferentiations Applications of ]3-8[ رسم املخطط البياني للدالة Graphing Function ولكي نرسم املخطط البياني لدالة معطاة نتبع اخلطوات االتية : ( نحدد أوسع مجال للدالة: فاذا كانت الدالة حدودية )Polynomial( فا ن أوسع مجال لها هو R اما اذا كانت دالة نسبية g(x) f (x) = فان اوسع مجال لها هو 0} h(x) {x R : h(x) ( نبني نوع التناظر للمنحني هل هومع محور الصادات أم مع نقطة االصل )i( f : A B متناظر حول محور الصادات x A A ( X ) A f ( x) = f (x) )ii( f : A B متناظر حول نقطة االصل x A A ( X ) A f ( x) = f (x) 3( نبني إن كان منحني الدالة يقطع المحورين أم ال اي جنعل 0=x وجند قيمة y )ان امكن( فجد بذلك نقط التقاطع مع محور الصادات. وجنعل 0=y وجند قيمة أو قيم x )ان امكن( فجد بذلك نقط التقاطع مع محور السينات 4( جند املستقيمات المحاذية اال فقية والعمودية في الدوال النسبية إن وجدت: x وجند قيم h(x)= جنعل 0 y = g(x) فاذا كانت )i( h(x) ولتكن x=a فهي تمثل معادلة املستقيم المحاذي العمودي Asymptote( )Vertical )ii( واذا كانت n(y) x = جنعل 0 = ( m)y وجند قيمة y( ) )ان امكن( ولتكن y= b فهي تمثل m(y) المحاذي االفقي )Horizontal Asymptote( 5( جند (x) f (x), f ومنهما جند مناطق التزايد والتناقص والنقاط احلرجة ونوعها ومناطق التقعر والتحدب ونقط االنقالب إن وجدت. 6( جند نقط اضافية إن احتجنا الى ذلك ثم نرسم منحني الدالة. 0

121 تطبيقات التفاVضلDifferentiations Applications of f(x)=x 5 ارسم باالستعانة مبعلوماتك في التفاضل منحني الدالة : مثال - - احلل )( اوسع مجال = R x R, x ( ) R f ( x) = ( x) 5 = x 5 f)-x( = f ( x) )( )0,0( نقطة التقاطع مع المحورين اإلحداثيني. )3( املنحني متناظر حول نقطة االصل ألن: )4( المحاذيات : ال توجد ألن الدالة ليست نسبية. f ( x) = 5x 4 )5( ( ) f ( x) = 0 x = 0 0, اشارة (x) f { x : x < 0} { x : x > 0} متزايدة في كل من f f ( x) = 0x 3 f x ( ) = 0 x = (0,0 ( نقطة حرجة ال تمثل نقطة نهاية. اشارة تقعر حتدب f (x) { x : x > 0} مقعرة في f x : x < 0 نقطة االنقالب 0,0 { } محدبة في f ( )

122 تطبيقات التفاVضلDifferentiations Applications of x y y (,) (0,0) x (-,-) مثال - - ارسم بالاستعانة بالتفاضل منحني الدالة : 4 + y = x 3 3x ( اوسع مجال = R x = 0 y = 04 (0,0) 4 ) التقاطع مع محور الصادات 3) التناظر x R, ( x) R f ( x) = ( x) 3 3( x) + 4 f (x) = الحل = x 3 + 3x + 4 f (x) لا يوجد تناظر مع محور الصادات او نقطة الاصل لا ن ( x) f ( x) f (x), f (x) f 4) المحاذيات لا توجد لا ن الدالة ليست نسبية. x 3 3x + 4 f ʹ(x) = 3x 6x (5 f ʹ(x) = 0 3x 6x = 0 x = 0, x = f (0) = 4 (0, 4) f () = 0 (,0) f ʹ(x) اشارة (

123 تطبيقات التفاVضلDifferentiations Applications of f (x) = 6x 6 f (x) = 0 6x 6 = 0 x = f () = (,) {x : x < 0}, {x : x > } متزايدة في كل من f f متناقصة في الفترة ( )0, )4,0( نقطة نهاية عظمى محلية )0 (نقطة, نهاية صغرى محلية f مقعرة في f محدبة في اشارة تقعر حتدب f (x) {x : x > } {x : x < } ),( نقطة انقالب. x y ( اجلدول y )0,4( )-,0( ),0( x 3

124 تطبيقات التفاVضلDifferentiations Applications of f (x) = 3x x + باالستعانة بالتفاضل ارسم منحني الدالة: مثال- 3 - احلل ) اوسع مجال للدالة : = x x + = 0 اوسع مجال للدالة هو { } R ( مبا أن ينتمي الى مجال الدالة لكن )-( الينتمي الى مجال الدالة لذلك فاملنحني غير متناظر مع x = 0 y = (0, ), محور الصادات وغير متناظر مع نقطة االصل. 3( نقاط التقاطع مع المحورين االحداثيني: y = 0 3x x + = 0 x = 3 هما نقطتا التقاطع مع المحورين (0, ), 3 x=- x + = 0 املستقيم المحاذي الشاقولي )4 f (x) = y = 3x x + yx + y = 3x yx 3x = y x(y 3) = y x = y y 3 y 3 = 0 y = املستقيم المحاذي االفقي 3 f (x) = = (x + )(3) (3x )() (x + ) 3x + 3 3x + 4 = (x + ) (x + ) ) اشارة (x)( f x R { } f (x) > 0 الدالة متزايدة في } < x {x : x > }, {x : والتوجد نقاط حرجة. f (x) = 4 (x +) f (x) = -8 (x + ) 3 () = -8 4 (x + ) 3 4

125 تطبيقات التفاVضلDifferentiations Applications of اشارة (x) y'' حتدب تقعر y الدالة مقعرة في }x:x<-{ الدالة محدبة في }x:x>-{ الدالة التمتلك نقطة انقالب الن )-( ال ينتمي الى املجال. y= x x=- مثال- 4- باستخدام معلوماتك في التفاضل ارسم املنحني: f (x) = x x + احلل ( اوسع مجال للدالة =R ( نقاط التقاطع مع المحورين: عندما 0=x فا ن 0=y وبالعكس. x R, ( x) R f ( x) = ( x) ( x) + = x x + = f (x) )0 0(, نقطة التقاطع مع المحورين. )3 التناظر : املنحني متناظر حول محور الصادات 5

126 تطبيقات التفاVضلDifferentiations Applications of x + 0 x f (x) = + y = y yx + y = x x + x (y ) = y x = y y y = 0 y = )4 المحاذيات : لذلك اليوجد محاذي عمودي املستقيم المحاذي االفقي f (x) = (x +)(x) x (x) = (x +) f (x) = 0 x (x +) x = 0 x = 0 f (0) = 0 (0,0) (x +) اشارة (x)( f )5 تزايد تناقص f (x) = (x +) () x()(x +)(x) (x +) 4 = x + 8x = 6x (x +)3 (x +)3 = 0 x = ± {x : x > 0} متزايدة في f(x ) {x : x < 0} متناقصة في f(x ) )0, 0( نقطة نهاية صغرى محلية اشارة (x) f حتدب تقعر حتدب y {x : x < 3 },{x : x > 3 } محدبة في f )x( y= X )x( f مقعرة في الفترة املفتوحة ), 3 ( 3 f (± = 4 ( 3, 4 ),( 3, 3 ) نقطتا االنقالب هما: ) 4 6

127 تطبيقات التفاVضلDifferentiations Applications of ªJارjن )3-5( أرسم بأستخدام معلوماتك في التفاضل الدوال التالية : ) f (x) = 0 3x x ) f (x) = x + 4x + 3 3) f (x) = ( x) 3 + 4) f (x) = 6x x 3 5) f (x) = x 6) f (x) = x - x + 7) f (x) = (x + )(x ) 8) f (x) = x x + 9) f (x) = x x 4 0) f (x) = 6 x + 3 7

128 تطبيقات التفاVضلDifferentiations Applications of ]3-9[ تطبيقات عملية على القيم العظمى او الصغرى. ظهرت في القرن السابع عشر الكثير من االسئلة دفعت الى تطور حساب التفاضل والتكامل ومن امثلة ذلك املسائل التي وردت في بحوث الفيزياء مثل اقصى ارتفاع تصله قذيفة اطلقت بزوايا مختلفة او اقصى ارتفاع يصله جسم مقذوف شاقوليا الى اعلى اواقل زمن وأقل كلفة ومسائل من الصناعات مثل أقل مساحة وأكبر حجم وأقل محيط... الخ. وحلل هذه املسائل نتبع اخلطوات اآلتية :. نرسم مخططا للمسألة )إن امكن ) ونعني عليه األجزاء املهمة في املسألة.. نكو ن الدالة املراد ايجاد قيمتها العظمى او الصغرى ونحدد مجالها على ان تكون في متغير واحد. 3. اذا كان املجال فترة مغلقة جند االعداد احلرجة وقيم الدالة في اطراف الفترة وفي االعداد احلرجة. فأي ها اكبر هي القيمة العظمى وأ ي ها أصغر هي القيمة الصغرى. جد العدد الذي اذا اضيف الى مربعه يكون الناجت اصغر ما يمكن. مثال- - f (x) = + x, f (x) = > 0 احلل ليكن العدد = x مربع العدد = x ولتكن f(x) = x+x f (x) = 0 x = f ( ) = > 0 x = توجد نهاية صغرى محلية عند. العدد هو 8

129 تطبيقات التفاVضلDifferentiations Applications of مثال- - احلل صنع صندوق مفتوح من قطعة من النحاس مربعة الشكل طول ضلعها cm وذلك بقص أربعة مربعات متساوية األبعاد من أركانها األربعة ثم ثني األجزاء البارزة منها. ما هو احلجم األعظم لهذة العلبة x - x x v = ( x) x ( ) x) ( ( ) V = f ( x) = x 44 48x + 4x 4 V = f ( x) = 44x 48x + 4x 3 dv dx = f x ( ) = 44 96x +x dv - x نفرض طول ضلع املربع املقطوع يساوي x cm أبعاد الصندوق هي: x ; x; x احلجم = حاصل ضرب أبعاده الثالثة: حيث 0 < x < 6 - x dx = 0 0=(-8x+x ) (6-x)(-x)=0 النقط احلرجة = 6 x x =, ; x الحظ من الشكل أن 6 يهمل النه غير معقول عند توجد نهاية عظمى للحجم وتساوي v = f () = ( 4) = 8cm 3 9

130 تطبيقات التفاVضلDifferentiations Applications of جد بعدي أكبر مثلث متساوي الساقني يمكن أن يوضع داخل دائرة نصف قطرها cm 3 3 4π مثال- 3- ثم برهن أن نسبة مساحة املثلث إلى مساحة الدائرة كنسبة احلل h x h - x نفرض بعدي املثلث : h b = x, قاعدة املثلث )املتغيرات( x + h لنجد عالقة بني املتغيرات: مبرهنة فيثاغورس: = 44 ) ( x + h 4h+44 = 44 x = 4h h x = 4h h A = (b)(h) الدالة: )مساحة املثلث( A = (x)(h) = hx A = f التعويض : ( h) = h 4h h A = f (h) = h (4h h ) A = f ( h) = 4h 3 h 4 الحظ املجال: 4 h 0 وهذا يعني أن h موجبة فيمكن توحيد اجلذر da dh = f (h) = 7h 4h 3 املشتقة 4h 3 h 4 جند النقطة احلرجة لدالة املساحة f (h) = 0 7h 4h 3 = 0 4h ( 8 h) = 0 h = 8cm وعندما 30

131 تطبيقات التفاVضلDifferentiations Applications of االرتفاع h=8 8cm x = 4h h x = 4(8) 8 x = 8( 4 8) = 8(6) = 6 3cm طول القاعدة b = x= 3cm A = π r A مس الدائرة: = π() = 44π cm A = bh A = 6 3(8) = 08 3cm مس املثلث: مساحة املثلث مساحة الدائرة A = = 08 3 A 44π = 3 3 4π جد بعدي أكبر مستطيل يمكن أن يوضع داخل مثلث طول قاعدته 4cm وارتفاعه مثال- 4-8cm بحيث أن رأسني متجاورين من رؤوسه تقعان على القاعدة والرأسني الباقيني تقعان على ساقيه. احلل - نفرض طول كل من بعدي املستطيل: x,y cm 3

132 تطبيقات التفاضلDifferentiations Applications of b 8 t 8 - x a r x c p q y 4 العالقة بني املتغيرات: املثلثان: btr, bcq متشابهان لتساوي زواياهما املتناظرة لذا تتناسب أضالعهما tr cq = ba bp y 4 = 8 x 8 y = 4 ( 8 8 x ) y = 4 ( 3 8 x ) املتناظرة وكذلك ارتفاعاهما. A = xy الدالة: مساحة املستطيل = حاصل ضرب بعديه A = x 4 (8 x). 3 التحويل بداللة متغير واحد: f ( x) = A =A 4 3 ( 8x x التبسيط قبل املشتقة: ) f ʹ( x) = 4 3 f ʹ(x) = 0 x = 9 جند النقط احلرجة: (x ( 8 3

133 تطبيقات التفاVضلDifferentiations Applications of f ʹʹ ( x) = 4 3 f ʹʹ ( 9) = 8 3 < 0 ( ) = 8 3 وهذا يعني لدالة المساحة نهاية عظمى محلية عند =x 9 cm ويمثل أحد البعدين. y = 4 ( 3 8 x ) y = 4 ( البعد الا خر = cm ) مجموع محيطي داي رة ومربع يساوي 60cm أثبت أنه عندما يكون مجموع مساحتي مثال- 5- الشكلين أصغر ما يمكن فا ن طول قطر الداي رة يساوي طول ضلع المربع. الحل الفرضية: نفرض نصف قطر الداي رة = cm r ونفرض طول ضلع المربع = cm x 60 = 4x + πr العلاقة: محيط المربع + محيط الداي رة = cm 60 r = π (30 x) الدالة هي : مساحة الداي رة + مساحة المربع A = x + π π A = f ( x) = x + π ( 30 x) ( 900 0x + 4x ) التحويل لمتغير واحد : f ʹ( x) = x + π 0+8x نشتق: ) ( f ʹ(x) = 0 0 = x + ( وعندما ) 0+8x π 0 = πxπ x+ 4x = πxπ x + 4x 33

134 تطبيقات التفاVضلDifferentiations Applications of x(π + 4) = 60 x = 60 π + 4 cm r = 0 (30 π π + 4 ) r = 30 π + 4 cm x = z r ) و. ه. م) > 0 (8) π ʹʹ f (x) = + الدالة تمتلك نهاية صغرى محلية جد نقطة أو نقاط تنتمي للقطع الزاي د = 3 y x بحيث تكون أقرب ما يمكن مثال- 6- للنقطة (0,4) x = y _ 3... () الحل نفرض أن النقطة p(x,y) هي من نقط المنحني = 3 y x فتحقق معادلته. s = (x 0) + (y 4) s = x + y 8y+6... () s = f (y) = y 8y+3 f ʹ(y) = 4y 8 y 8y+3 بالتعويض من المعادلة في ينتج : f ʹ(y) = 0 4y 8 = 0 y = Q x = y 3 x = 4 3 = x = ± (,),(,) 34

135 تطبيقات التفاVضلDifferentiations Applications of ªJارjن )3-6(. جد عددين موجبني مجموعهما 75 وحاصل ضرب أحدهما في مربع االخر أكبر ما يمكن.. جد ارتفاع اكبر اسطوانة دائرية قائمة توضع داخل كرة نصف قطرها. 4 3cm 3. جد بعدي اكبر مستطيل يوضع داخل نصف دائرة نصف قطرها. 4 cm 4. جد اكبر مساحة ملثلث متساوي الساقني طول كل من ساقيه. 8 cm 5. جد اقل محيط ممكن للمستطيل الذي مساحته 6. cm 6. جد حجم اكبر مخروط دائري قائم يمكن وضعه داخل كرة نصف قطرها 3. cm 7. جد معادلة املستقيم الذي يمر من النقطة )6,8( والذي يصنع مع المحورين في الربع االول أصغر مثلث. 8. جد بعدي اكبر مستطيل يوضع داخل املنطقة المحددة بالدالة ( (x = x من رؤوسه على املنحني والرأسان االخران على محور السينات ثم جد محيطه. f ومحور السينات رأسان 9. جد ابعاد اكبر اسطوانة دائرية قائمة توضع داخل مخروط دائري قائم ارتفاعه 8cm وطول قطر قاعدته. cm 0. جد اكبر حجم ملخروط دائري قائم ناجت من دوران مثلث قائم الزاوية طول وتره 6 3 cm دورة كاملة حول احد ضلعيه القائمني.. علبة اسطوانية الشكل مفتوحة من األعلى سعتها (5π) cm 3 جد أبعادها عندما تكون مساحة املعدن املستخدم في صنعها اقل مايمكن.. خزان على شكل متوازي سطوح مستطيلة طول قاعدته ضعف عرضها فاذا كانت مساحة املعدن املستخدم في صناعته 08 m جد ابعاد اخلزان لكي يكون حجمه اكبر ما يمكن علما ان اخلزان ذو غطاء كامل. 35

136 التكامل Integration 4 dgرgبع π üødg Chapter Four التكامل Integration النظرية االساسية للتكامل - الدالة املقابلة. ]4-[ خواص التكامل املدد. ]4-[ التكامل غير املدد. ]4-3[ اللوغاريتم الطبيعي. ]4-4[ إيجاد مساحة منطقة مستوية. ]4-5[ احلجوم الدورانية. ]4-6[ 36

137 التكامل Integration ]4-[ النظرية االساسية للتكامل - الدالة املقابلة: b طريقة إيجاد قيمة للتكامل المحدد f (x)dx حيث f دالة مستمرة على الفترة المغلقة ]a,b[ a والمبرهنة اآلتية تساعدنا في إيجاد قيمة التكامل المحدد. مبرهنة :)4-( اذا كانت f دالة مستمرة على الفترة ]a,b[ فانه توجد دالة F مستمرة على الفترة ]a,b[ بحيث : F (x) = f (x), x (a,b) b f (x)dx = F b a ويكون: a) F ( ) ( تسمى F الدالة المقابلة للدالة )Antiderivative of The Function ( f على الفترة [a,b] فمثال : اذا كانت f :[, ] R, f (x) = x فان F :[, ] R, F (x) = x F (x) = x = f (x), x ),( f (x)dx = F () F () وعليه فان : = 4 = 3 [ F (x)] () F F () تكتب بالصورة مالحظة نشير الى أن 37

138 التكامل Integration مثال - - إذا كانتf(x)d دالة مستمرة على الفترة ],5[ بحيث F)x( = 3x دالة مقابلة 5 للدالة f فجد f (x)dx. 5 f ( x) = dx = F (5) F () = 3(5) 3() = 75 3 = 7 احلل 5 f ( x) dx 5 = F ( x) = 3x 5 = 75 3 = 7 ويمكن ان نكتب ذلك بالصورة اآلتية : إذا كانت f دالة مستمرة على الفترة ],0] π وإن الدالة المقابلة للدالة f هي : مثال - - F (x) = sin x, F :[0, π ] R فأوجد: f (x)dx 0 π π π = [ F (x) f ] = F π ( x) dx = 0 0 F (0) = sin π أثبت فيما إذا كانت + 3 F :],3 [ R, F (x) = x f هي دالة مقابلة للدالة: ( x) = 3x احلل R دالة مستمرة وقابلة لالشتقاق على Ff sin 0 = 0 = ( x) = x 3 + مثال - -3 احلل )النها دالة كثيرة الحدود( F مستمرة على ],3[ وقابلة لالشتقاق على ),3(. F (x) = 3x = f (x), x (, 3) F هي دالة مقابلة للدالة f على],3 [. 38

139 التكامل Integration أثبت أن الدالة: F : R R, F (x) = sin x هي دالة مقابلة للدالة مثال - -4 f : R R, f (x) = cosx 4 ثم اوجد cos x dx 0 π احلل Q f (x) = cosx, f : R R هي دالة مستمرة وقابلة لالشتقاق على R كما تعلمنا في الصف الخامس العلمي كذلك فان : F (x) = sin x هي دالة مستمرة وقابلة لالشتقاق على R Q F ʹ(x) = (cosx)() = cosx = f (x), x R Q b a π 4 0 f هي دالة مقابلة للدالة F f (x)dx = F (b) F (a) حسب المبرهنة )4-( cos x dx = x= π 4 sin x = sin π sin 0 = 0 =. x=0 وفي ما يلي جدول مساعد يبين الدالة f والدالة المقابلة لها F في حاالت خاصة. وبا مكانك عزيزي F ʹ(x) = f (x) الطالب أن تتحقق من صحة ذلك با ثبات أن : 39

140 التكامل Integration وفيما يلي جدول مساعد يبي ن الدالة f والدالة المقابلة لها F الدالة f)x( a ax n, n ax n+ الدالة +n املقابلة لها F الدالة f [ f (x)] n. f (x), n الدالة املقابلة لها) F)x ax x n, n x n+ n+ [ f (x)] n+ n+ sin )ax+b( a cos)ax+b( cos)ax+b( sec )ax+b( a a sin )ax+b( tan )ax+b( csc )ax+b( a cot )ax+b( sec ax tan ax csc ax cot ax sec ax a csc ax a مجموعة الدوال المقابلة الية دالة f كما في الجدول هي F + C حيث C عدد ثابت حقيقي. 40

141 التكامل Integration 4 أوجد sec x dx 0 π مثال - -5 π 4 0 sec 4 x dx = [ tan x] 0 π احلل = 0 = 0 = tan π 4 tan أوجد csc x dx π 4 π مثال - -6 π π 4 csc x dx = [ cot x] π π 4 = cot π + cot π 4 احلل. = + 0 = 3 أوجد sec x tan x dx 0 π مثال - -7 π sec x tan x dx = [ sec x] 0 π احلل = = 0 = sec π 3 sec 3 جد x 3 dx مثال x 3 dx = x4 4 3 = = 8 احلل = 0 4 =

142 التكامل Integration ]4-[ خواص التكامل املدد: b a f ( x) dx فان 0 f ( x) 0, [ a,b] اوال :. f دالة مستمرة على ]a,b[ فاذا كانت : a) f (x) = x 0, x [,] : ألن x dx 0 فمثال : b) f x c) ألن:,3] [, 0 > 3 = ) ( 3 3dx > 0 3 f (x) = (x +) > 0, x [, 3] ألن: ( x +) dx > 0 = + b f (x)dx فان 0 f (x) 0, x [a,b] فاذا كانت: ]a,b[ دالة مستمرة على f. a فمثال : a) f ( x) =,3f ( x) = 0, x [,] : الن ( )dx < 0 > b) f x x) 0, x,,[ الن : ] ( ) =,3f ( x) = > x dx < 0 b b c. f(x)dx = c f(x)dx عددا حقيقيا ثابتا فان: c ]a,b[ دالة مستمرة على f a a ثانيا : 5 5 اذا كان = 8 (x)dx f فأوجد 5f (x)dx. مثال f (x)dx 5 = 5 f(x)dx = 5(8) = 40 احلل b b b ) ( f + f ) = f a + f a a f مستمرتين على الفترة ]a,b[ فان:, f إذا كانت الدالتان ثالثا : ويمكننا تعميم هذه الخاصية على مجموع أي عدد محدد من الدوال المستمرة على ]a,b[ 4

143 التكامل Integration 3 3 f (x)dx فأوجد كال من: = 5, f (x)dx= 7 اذا كانت 3 ( f (x) + f (x)) dx, 3 ( f (x) f (x)) dx مثال - -0 احلل ( f (x) + f (x)) dx = f (x)dx + f (x)dx = 5 +7 = 3 3 ( f (x) f (x)) dx = 3 f (x)dx 3 f (x)dx = 5 7 = اذا كانت f (x) = 3x + x فأوجد f (X )dx مثال - - احلل f (x)dx = (3x + x)dx = 3x dx + x dx = [x3 ] +[x ] = (8 )+ (4 ) = = 0 رابعا : اذا كانت (x) f دالة مستمرة على الفترة [a,b[ وكانت (a,b) c فان : b c f (x)dx = f (x)dx + a a c b f (x)dx اذا كانت = 8 (x)dx f (x)dx = 5, f فأوجد f (x)dx 3 مثال f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx = = 3 3 احلل 43

144 التكامل Integration 4 لتكن x f (x) = اوجد f (x)dx 3 مثال - -3 f (x) = x, Ax 0 x, Ax < 0 احلل f دالة مستمرة على ]4, 3-[ ولها قاعدتان هما : f (x)dx = ( x)dx + xdx = x x 4 0 = = = 5 فأوجد x +, x f (x) = 3, x< اذا كانت: مثال f (x)dx معرفة =)(+=3 f)( )i( )ii( lim x f (x) = lim(x +) = 3 = L x + + lim 3 = 3 = L x احلل f مستمرة على الفترة ]5, 0[ وذلك النها: مستمرة عند = x ألن: L =L lim x f (x) موجودة = 3 lim x f (x) = f () 44

145 التكامل Integration كذلك الدالة مستمرة على كل من } > x.{ x : x < }, { x : وبما ان الدالة مستمرة على ]0,5[ f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx = 3dx + (x +)dx = 3x 5 5 [ ] x + x = [ 3 0]+ [ 5 + 5] [ ] = 3+ 8 = 3 5 a a) f (x)dx = 0 b) b a f (x)dx = f (x)dx a a b خامسا : 3 a) x dx x = 9 9 = 0 مثال : 3 3 x dx = 0 او اختصارا وحسب القاعدة b) 3 x dx = 3 3 = [ x 3 3 ] 3x dx = [7] + [8] = 9 45

146 التكامل Integration ªJارjن )4-( a) ( 3x ) dx ( ) c) x 4 + 4x 3 0 dx e) ( x + cos x) dx π b) x + x + dx d) x dx 0 ( ) ( ) x 3 f ) x dx g) 3 3. احسب كال من التكامالت االتية: x 3 4x + 5 x dx. أثبت أن F(x) هي دالة مقابلة للدالة f)x( حيث F (x) = sin x + x حيث F :[0, π 6 ] R 4 π. 6 f (x)dx ثم احسب f :[0, π ] R حيث, f (x) = + cos x 0 6 a) (x )(x +) dx b) x +dx 3. أوجد كال من التكامالت االتية: c) 3 x 4 x dx d) x( x + ) dx 0 4 f (x)dx جد f (x) = x, x 3 6, x < 3 4. إذا كانت 3 f (x)dx جد f (x) = 3x, x 0 x, x < 0 5. إذا كانت 46

147 التكامل Integration ]4-3[ التكامل غير املدد: Indefinite Integral عرفنا في النظرية االساسية للتكامل أنه إذا كانت f دالة مستمرة على الفترة a,b] [ فانه توجد دالة F (x) = f (x), ) F :[, 3] R, F (x) = x + مقابلة F مستمرة على [a,b[ بحيث أن: (a,b) x. f (x) = x هي دالة مقابلة للدالة F :,3 فمثال : [ ] R, F (X ) = X ولكن هل F (x) = x دالة مقابلة وحيدة للدالة F (X ) = X وقبل االجابة عن هذا السو ال نتأمل الدوال اآلتية: ) F :[, 3] R, F (x) = x + 3) F 3 :[, 3] R, F 3 (x) = x 4) F 4 :[, 3] R, F 4 (x) = x 5 F لها صفات F نفسها أي أن كال منها:,F, F 3, F 4 اننا نالحظ أن كال من )i( مستمرة على ],3[ كثيرة احلدود )ii( قابلة لالشتقاق على ),3(. F (x) = F (x) = F 3 (x) = F 4 (x) = x, x (, 3) )iii(.f دالة مقابلة الى F,F, F 3, F 4 وبناءا على ذلك يمكن القول بان كال من: أي انه توجد اكثر من دالة مقابلة للدالة المستمرة على ],3[ والفرق بين أي دالتين مقابلتين للدالة f يساوي عددا ثابتا الحظ أن: F (x) F (x) = (x +) (x + ) = F (x) F 4 وهكذا = 6 5) (x) = (x +) (x 47

148 التكامل Integration وبصورة عامة اذا كانت للدالة f المستمرة على ]a,b[ دالة مقابلة F فان يوجد عدد النهائي من الدوال المقابلة للدالة f كل منها تكون من الصورة : C F + حيث C عددا ثابتا والفرق بين أي إثنتين منها يساوي عددا ثابتا. تسمى مجموعة الدوال المقابلة التي على الصورة F + C بالتكامل غير المحدد للدالة f المستمرة على x. إذا كان رمز المتغير f (x)dx ويرمز لها بالرمز ]a,b[ كما يصطلح على كتابة التكامل غير المحدد على الصورة : f (x)dx = F (x)+ C...,C عدد ثابت R a) f (x) = 3x + x + أوجد f (x)dx اذا علمت أن: مثال - - b) f (x) = cos x + x c) f (x) = x + sec x tan x d)f (x) = sin(x + 4) a) (3x + x +)dx = 3x3 3 + x + x + c = x3 + x + x + c b) (cos x + x )dx = sin x + x + c = sin x x + c c) (x + sec x tan x)dx = x + sec x + c d) sin(x + 4)dx = cos(x + 4)+ c احلل 48

149 التكامل Integration a. (x + 3) (x)dx f (x) = x + 3 f (x) = x جد التكامالت لكل مما يأتي: لنفرض أن مثال - - احلل [ ] (x + 3) (x)dx = f (x) f (x)dx = 3 [ f (x)] 3 + c b. (3x + 8x + 5) 6 (3x + 4)dx f (x) = 3x + 8x + 5 f (x) = 6x + 8 (3x + 8x + 5) 6 (3x + 4)dx = [ f (x)] 6 [ ] 7 f (x)dx = f (x) 7 = 3 (x + 3) 3 + c نفرض أن : (3x + 8x + 5) 6 (6x + 8)dx + c = 4 (3x + 8x + 5) 7 + c c. sin 4 x cos xdx f (x) = sin x f (x) = cos x نفرض أن : [ ] 4. sin 4 x cos xdx = f (x) f (x)dx = [ f (x) ] c = 5 sin5 x + c d. tan 6 x sec xdx f (x) = tan x f (x) = sec x نفرض أن : tan 6 x sec xdx = f (x) 49 [ ] 6 f (x)dx = [ f (x) ] c = 7 tan7 x + c

150 . sec θ dθ = tanθ + c التكامل Integration تكÉمπ dgدوgل ŸGثلثيá dgرتبي يá. csc θ dθ = cotθ + c 3. tan θ dθ = (sec θ )dθ = sec θ dθ dθ = tanθ θ + c 4. cot θ dθ = (csc θ )dθ = cotθ θ + c 5. sin θ dθ = cos θ dθ = dθ 4 cos θ()dθ == θ - sin θ + c 4 6. cos θdθ = + cos θ dθ = θ + sin θ + c 4. 9sin 3xdx = 3 3sin 3xdx = 3cos 3x + c أمثلة جد تكامالت كل مما يأتي :. x sin x 3 dx = 3 3x sin x 3 dx = 3 cos x3 + c 3. sin xdx = sin x sin x cos x + cos xdx = = ± (sin x cos x) dx = ±(cos x + sin x)+ c 4. sin 4 x dx = = 4 ( cos x) dx = 4 4 dx 4 dx 4 cos xdx + 8 cos xdx + dx + 3 (sin x cos x) 4 4 cos 4xdx cos xdx dx = 4 x 4 sin x + 8 x + 3 sin 4x + c = sin x + sin 4x + c 3 50

151 التكامل Integration (sin x cos 5. (sin x cos x) 7 x)8 (cos x + sin x)dx = tan x tan 3 x dx = tan 3 xsec xdx = tan x + c = + c tan x + c 7. cos 3 xdx = cos x( sin x)dx = cos xdx sin x cos xdx = sin x sin3 x + c 3 8. tan x cos x dx = tan xsec xdx = tan x + c 9. sin 6x cos 3xdx = (sin 3x cos 3x)cos 3xdx = cos 3 3xsin 3xdx = 3 cos4 3x 4 + c = 6 cos4 3x + c 0. = cos 4x dx = cos x sin x cos x sin x cos x sin x (cos x sin x)(cos x + sin x) dx cos x sin x dx ( = cos x + sin x)d )dx = sin x cos x + c. sin 3xdx = sin 6x + c. cot 5xdx = 5 3. tan cos cot 5x + (x)+ c 7xdx = tan 7x x + c 7 5

152 التكامل Integration ªJارjن ªJارjن )4-4( )4-( (x 3) 9 dx. x (3 5x) 7 dx 7x cos 3 x dx 4. csc x cos x dx sin x x 3 dx 6. x +0x + 5dx (3x + 5) 4 7. sin 3 xdx (3x +) dx 0.. (+ cos 3x) dx. 3. csc x dx cot x dx 6. cos x 7. sin 8x dx 8. cos x dx x 4 x x dx x 3 sec 4x dx tan 8x dx cos x dx cos 4 3x dx جد تكامالت كل مما يلي ضمن مجال الدالة : 5

153 التكامل Integration ]4-4[ اللوغارمت الطبيعي The Natural Logarithmic درسنا دواال مألوفة نوعا ما. فكثيرات احلدود والدوال النسبية وغيرها من الدوال اجلبرية تنتج عن عمليات مألوفة في احلساب واجلبر ويمكن مطابقة قيم الدوال املثلثية باحداثيات نقط على دائرة الوحدة. اما االن فندرس دالة اللوغارمت الطبيعي التي تعتمد على حساب التفاضل والتكامل حتى في تعريفها. تعريف ]4-[ يعر ف لوغارمت x الطبيعي ويرمز له ب )x )ln بأنه : ln x = x t dt ; x > 0... )( t ومن االسفل بالمحور y = t يمثل هذا التكامل لكل x اكبر من املساحة المحدودة من االعلى باملنحني ومن اليسار باملستقيم = t ومن اليمني باملستقيم t = x اي اذا كان = x تطابق احلدان االيمن وااليسر للمساحة واصبحت املساحة صفرا. ln = t dt = 0 a a f (x)dx = 0 اما اذا كانت x اصغر من واكبر من الصفر فعندئذ يكون احلد االيسر هو املستقيم t = x واحلد االيمن هو =t وفي هذه احلالة يكون التكامل: ln x = x t dt = x t dt مساويا للقيمة السالبة للمساحة حتت املنحني بني x و. )67-550( * ينسب اول اكتشاف للوغاريتم الطبيعي الى النبيل االسكتلندي John Napier 53

154 التكامل Integration وفي كل الحالات x عددا موجبا فانه يمكن حساب قيمة التكامل المحدد في المعادلة () الى اي عدد F x ( x) = t dt, ( x > 0 نرغب فيه من الارقام العشرية. وبما ان الدالة F(x) = ln x معرفة بالتكامل ʹ F (x) = x فانه من المبرهنة الاساسية لحساب التكامل في البند (4-4) نعلم ان: d dx ln x ( ) = x اي ان: كما يمكننا الحصول على صيغة أعم عندما يكون لدينا ln u حيث u دالة موجبة قابلة للاشتقاق d dx ln u d ( dx ln u) = u d ( u ) ( ) = d ln u du. du dx. du dx d ln u ( ) = u du بالنسبة ل x فقاعدة السلسلة للمشتقات Rule) (Chain تعطينا : dy dx = ( ) 3x + 4. d 3x + 4 dx dy dx مثال - - اذا كان 4) + y = ln( 3x فاوجد الحل = 6x 3x + 4 وبشرط ان تكون u موجبة du ان الصيغة d( ln u) = u du تقودنا الى u = ln u + c 54

155 u = + sinθ du = cosθ du = cosθdθ dθ cosθdθ + sinθ = du u = ln u + c Integration = ln + sinθ + c التكامل cosθdθ جد + sinθ نفرض مثال - - احلل ]4-4-[ دالة اللوغارمت الطبيعي. y = ln x لتكن {( x, y) : y = ln x,, x > 0 } لو ابدلنا y, x في مجموعة االزواج املرتبة: x) = ln ( yx), y > 0, x R حلصلنا على دالة نرمز لها x = e y ln )x ( هو مدى ln ( xy ويكون مجال ) نتيجة : الدالة األسية e x )اساس e( هي عكس دالة اللوغاريتم الطبيعي وتستنتج جميع خواصها من هذه احلقيقة. 55

156 التكامل Integration y = e x d ( dx ex ) = e x y x = ln y = y. dy dx dy dx = y = ex d ( ) dx eu = e u. du dx مبرهنة ]4-[ البرهان لتكن x وبصورة عامة dy مثال - -3 لتكن y = e tan x فجد. dx d(e tan x ) dx d(tan x) = e tan x. dx dy dx = etan x.sec x احلل مالحظة ان صيغة التفاضل du تقودنا الى صيغة التكامل : c e u du = e u + d( e u ) = e u dx جد xe x dx مثال - -4 x = u xdx = du احلل نفرض ان : e x xdx = eu du = eu + c = + c ex تعريف ( - )4 اذا كان a عددا موجبا فان a u = e uln au 56

157 التكامل Integration da u dx = au. du dx ln a مبرهنة ]4-3[ da u ( ) dx = d dx euln a البرهان : = e uln a. d (u ln a) dx. dau dx = au. du dx.ln a لكل مما يأتي : dy dx مثال - 5- جد a) y = 3 x 5 b) y = x c) y = 5 sin x a) y = 3 x 5 dy dx = 3 x 5 ().ln 3 = ( ln 3) 3e x 5 b) y = x dy dx = x ( x).ln c) y = 5 sin x dy dx = 5sin x = ( x ln )( x ) ( ).cos x..ln 5 احلل = (lim.ln 55).5 sin x.cos x 57

158 التكامل Integration ªJارjن )4-3( a( y = ln 3x b( y = ln x لكل مما يأتي: dy dx - جد c( y = ln( x ) d( y = ( ln x) e( y = ln x f( y = ln cos x g( y = e 5 x +3x+5 h( y = 9e x x i( 4 y = e7 j( y = x e x a( 3 x + dx b( ( ) x x + 9 dx ln 5 c( e x ln dx d( e x dx ln 3 e( ( + e x )e x dx f( g( 0 4 e x dx h( x π cos x i( dx j( cot 3 5x dx sin x π π 4 π 4 3x + 4 dx x 3 + 4x + sec x dx ( + tan x) 3 - جد التكامالت االتية: k( e cos x sin x dx l( x e ln x dx 0 π 58

159 التكامل Integration - 3 اثبت ان: a) 8 3 x dx = 3 x 4 b) 3x 6 dx = 30 3 وكان 6 f (x) dx دالة مستمرة على الفترة 6[ ]-, فاذا كان = 6 f)x (- 4 f (x) dx فجد [f (x)+ 3] dx = 3-5 جد قيمة a R اذا علمت أن - 6 لتكن f)x( = x +x+k حيث k R دالة نهايتها الصغرى تساوي )-5( جد f (x)dx a (x + )dx = sec xdx - 7 إذا كان للمنحني + 3 3) (x f (x) = نقطة انقالب )a,b( جد القيمة العددية للمقدار b f (x)dx f (x)dx 0 π 4 0 a

160 التكامل Integration ]4-5[ إيجاد مساحة املنطقة املستوية. Plane Area by Definite Integral ]4-5-[ ]4-8-[ مساحة املنطقة املستوية املددة مبنحني ومحور السينات The area between a Curve and the x-axis لتكن (x) y = f دالة مستمرة على الفترة a,b] [ ولتكن A مساحة املنطقة التي يحدها منحني الدالة A = b ومحور السينات واملستقيمني : x = a, x = b اذا كانت > 0 (x) f فان املساحة A تساوي : (x)dx f a b إذا كانت < 0 (x) f فان املساحة A تساوي : (x)dx A = f a الشكل )4-( وعندما يقطع منحني الدالة) y=f)x محور السينات في x=a x=b نتبع اخلطوات االتية : خطوات ايجاد املساحة عندما f تمتلك قيم موجبة وقيم سالبة على الفترة :]a,b[. جند النقاط عندما f)x(=0.. نستخدم قيم x التي جتعل f)x(=0 كموقع على ]a,b[ لتحصل على فترات جزئية من ]a,b[. 3. جنري عملية التكامل على كل فترة جزئية. 4. جنمع القيم املطلقة للتكامالت في اخلطوة )3(. 60

161

162

163

164 التكامل Integration A = (x )dx 3 x = x3 جند التكامالت : A = _ x 3 x x 3 x = + = A = (x )dx 3 x = x3 A = x 3 x x 3 x = + + = A 3 = 3 (x )dx = x3 3 x A 3 = [9-3 ] - [ - ] 3 3 = = 3 A= A + A + A 3 جنمع القيم املطلقة للتكامالت : 4 = A = 9 3 وحدة مساحة 64

165 0 التكامل Integration مثال - -5 π,π جد مساحة املنطقة المحددة مبنحني الدالة y = sin x ومحور السينات وعلى الفترة. π,π احلل جند نقاط تقاطع الدالة مع محور السينات وعلى الفترات sin x = 0 x = 0 + nπ, n Z n = 0 x= n = x= n = x= n =- x= n =- x= 0 π,π π π,π π π,π π π,π π π,π ] π π جنزيء فترة التكامل الى الفترات اجلزئية االتية: ] y + منحني اجليب π 3π π π 0 A A π π 3π π x - الشكل )4-5( 65

166 التكامل Integration A = 0 π A = -+0 = - sin x dx = [ cos x] 0 π = cos(0)+ cos( π ) = π ثم جند التكامل كما يأتي : π π A = sin x dx = [ cos x] 0 = cos π + cos 0 0 A = += = + = π + A= A + A A = + = وحدة مساحة =A 3 مثال -6 مثال - -6 جد مساحة املنطقة المحددة مبنحني الدالة y = cos x ومحور السينات وعلى الفترة π,π] [ n = 0 x= n = - x= n = x= احلل احلل جند نقاط تقاطع الدالة مع محور السينات: cos x = 0 x = π + nπ, n n Z π I [ π,π ] π [ π,π ] 3π π,π [ ] n = - x= 3π [ π,π ] جنزيء فترة التكامل الى الفترات اجلزئية االتية π, π, π, π, π,π 66

167

168 التكامل Integration ]4-5-[ ]4-8-[ مساحة املنطقة املددة مبنحنيني سبق وأن درسنا كيفية أيجاد املساحة بني منحني دالة ومحور السينات ومستقيمني واآلن سندرس كيفية إيجاد مساحة املنطقة المحصور بني منحنيني :,a b فان مساحة املنطقة A المحصورة بني املنحنيني b لتكن (x) g(x), f دالتني مستمرتني على الفترة ] [ جندها كما يأتي: A = (اذا كان ( )x f )x( > g في الفترة ]a,b[ فاملساحة A هي [f (x) g(x)]dx a b (اذا كانت ( )x f )x( < g في الفترة ]a,b[ فاملساحة A هي A = - [f (x) g(x)]dx a 3( اذا تقاطع املنحنيان بني ]a,b[ جند نقاط التقاطع وذلك بجعل ( x( f )x( = g ثم جند قيم x التي تنتمي الى )a,b( وجنزئة ]a,b[ الى فترات جزئية ثم جند تكامل الفرق بني الدالتني في كل فترة جزئية ثم بعد ذلك جند مجموع مطلق التكامالت والتي تمثل املساحة املطلوبة. y y = f (x) y = g(x) x A = [a,b] في الفترة f (x) > g(x) b a [ f (x) g(x)]dx c A = A + A A= [ f (x) g(x)]dx + [g(x) f (x)]dx a b c 68

169 التكامل Integration الشكل )4-7( x 3 = x مثال - - جد مساحة املنطقة المحصورة بني املنحني y = x 3 y = x احلل تقاطع الدالتني واملستقيم x 3 x = 0 x(x )(x + ) = 0 x = 0, x =, x = [,0],[ 0,] A = A + A = 4 x = x ( 0 (x 3 x)dx + (x 3 x)dx 4 x + x4 0 0 = 0 ( 4 + ( 4 (0) = = ( 0 وحدة مساحة الشكل )4-8( 69

170 التكامل Integration y x 70

171

172 التكامل Integration b) s 3 = (t 4)dt = [t 3 4t] = [9 ] [ 4] = 0 5 c) d = (t 4)dt = [t 5 4t] 4 4 = [ 5, 0] [ 6 6] = 5m 4 d) s = (t 4)dt = [t 4t] 4 0 = [6 6] [ 0] = مثال جسم يتحرك على خط مستقيم بتعجيل قدره (8 /m sec s ( فأذا كانت سرعته قد أصبحت (8 /m s ( بعد مرور 4 ثواني من بد احلركة جد: a (املسافة خالل الثانية الثالثة b (بعده عن نقطة بدء احلركة بعد مرور 3 ثواني احلل (a V = a t dt V = 8dt احلل ( ) V = 8t + c V = 8,t = 4 8 = ( 8 4) + c c = 0 V = 8t + 0 8t + 0 > 0 V > 0 مبا أن 3 d = ( 8t + 0)dt = 9t + 0t 3 = [ 8+ 30] [ ] = 55m 3 S = ( 8t +0)dt = 9t 3 b) +0t = = + = 0 [ ] [ 0] =m 7

173 التكامل Integration ªJارjن )4-6( )4-4(. جد املساحة المحددة باملنحني y = x 4 x ومحور السينات واملستقيمني x=-. x=,,3] [ ومحورالسينات..جد املساحة المحددة بالدالة 4 f ( x) = x 4 3x وعلى الفترة f ومحور السينات..3 جد املساحة المحددة بالدالة ( x) = x 4 x 4. جد املساحة المحددة باملنحني y=sin 3x ومحور السينات وعلى الفترة π,0.5 جد املساحة المحددة باملنحني cos y = ومحور السينات وعلى الفترة ].[0, π.6 جد املساحة المحددة بالدالتني x y = x, y = وعلى الفترة,5] [.7 جد املساحة المحددة بالدالتني 4. y = x, y = x.8 جد املساحة المحددة بالدالتني g( x) = sin xcos x, f ( x) = sin x حيث ] 0,π x [ x 0, 3π g x حيث.9 جد املساحة المحددة بالدالتني + x = sin x, f ( x) = sin ) (.0 جد املساحة المحددة بالدالة y = x 3 + 4x + 3x ومحور السينات. 73

174 التكامل Integration. جسم يتحرك على خط مستقيم بسرعة ) /m s ( + 3 6t v( t) = 3t إحسب: a( املسافة املقطوعة في الفترة [,4 [ 0,5 b( االزاحة في الفترة ] [. جسم يتحرك على خط مستقيم بتعجيل قدره ( 4t + ( /m s وكانت سرعته بعد مرور )4( ثواني تساوي /90m s إحسب: السرعة عندما =t a( b (املسافة خالل الفترة ],[ c( االزاحة بعد )0( ثواني من بدء احلركة 3. تتحرك نقطة من السكون وبعد t ثانية من بدء احلركة أصبحت سرعتها 00t) 6t ) /m s أوجد الزمن الالزم لعودة النقطة الى موضعها االول الذي بدأت منه ثم احسب التعجيل عندها 74

175 التكامل Integration ]4-6[ احلجوم الدورانية: Volumes of Revolution y = f املستمرة من. حلساب حجم الشكل املتولد من دوران املنطقة المحددة بني منحني الدالة (x ( x=a الى x=b حول محور السينات V = π b y dx نطبق العالقة التالية a x = f املستمرة من. حلساب حجم الشكل املتولد من دوران املنطقة المحددة بني منحني الدالة (y ( =y a الى y=b حول محور الصادات V = π b x dy نطبق العالقة التالية: a مثال - - = y ومحور السينات دارت حول محور السينات جد حجمها. x املنطقة المحددة بني املنحني 4 x 0, احلل v = π y dx a b 4 = π( x) 4 dx = π x dx 0 = π x 4 0 = 8π 0 = 8π 0 وحدة مكعبة 75

176 التكامل Integration x = y دارت حول محور الصادات. جد املنطقة المحددة بني املنحني 4 y حجمها. مثال - - v = π x dy = 4 4 π y 4 وحدة مكعبة = π ln 4 0 = π ln ] [ dy = π ln y احلل مثال - -3 y أوجد احلجم الناجت من دوران املساحة المحددة بالقطع املكافئ الذي معادلته = 8x واملستقيمني 0=x x= حول, المحور السيني. احلل b v = π π y dx = π 8x dx = 4π x 0 = 6π a 0 وحدة مكعبة مثال - -4 y = x احلل اوجد احلجم الناجت من دوران املساحة المحددة بالقطع املكافئ الذي معادلته واملستقيم = 5 x x = 0, حول المحور السيني. b v = π π 5 y dx = π 4x 4 dx a = 4π 0 5 x = 4π 5 وحدة مكعبة = 500π

177 التكامل Integration مثال - -5 y = 4x واملستقيمني y=6 y=0 حول, اوجد احلجم الناجت من دوران املساحة المحددة بالقطع املكافئ المحور الصادي. احلل v = π b a x dy v = π 6 0 y 4 dy = π 8 y [ ] 6 0 = π 8 [ 6 6] = 3π وحدة مكعبة مثال اوجد احلجم الناشيء من دوران املنطقة المحصورة بني محور الصادات ومنحني الدالة = y x. دورة كاملة حول المحور الصادي y 43 y y = 3 3 y = x ), 3( احلل v = π b a x dy y = )3, ( v = π 3 dy == π y y 3 9 = t 3 y 3 x = = 9π + = 3 6π Unit y = x 77 3 x

178 التكامل Integration ªJارjن )4-5(. اوجد احلجم الدوراني املتولد من دوران املساحة المحددة بالقطع املكافئ y = x واملستقيمني = x x =, حول المحور السيني.. اوجد احلجم الناجت من دوران املساحة المحصورة بني منحني الدالة + y = x واملستقيم 4=y حول المحور الصادي. 3. احسب احلجم املتولد من دوران املساحة المحصورة بني املنحني = x y + واملستقيم 0=x حول المحور الصادي..4 احسب احلجم املتولد من دوران املساحة المحصورة بني املنحني y = x 3 واملستقيمان = x x = 0, حول المحور السيني. 78

179 املعادالت التفاVضلية االعتيادية 5 ùeéÿg π üødg Chapter Five املعادالت التفاVضلية االعتيادية ]5-[ مقدمة. ]5-[ حل املعادلة التفاضلية. ]5-3[ احلل اخلاص والعام للمعادلة التفاضلية االعتيادية. ]5-4[ املعادالت التفاضلية االعتيادية من املرتبة االولى. ]5-5[ بعض طرق حل املعادالت التفاضلية. المصطلح الرمز او العلاقة الرياضية O. D. E y = f y x المعادلة التفاضلية الاعتيادية المعادلة المتجانسة 79

180 ااملعادالت التفاVضلية االعتيادية ]5-[ مقدمة يعتبر موضوع املعادالت التفاضلية من املواضيع االساسية في الرياضيات التطبيقية لكثرة ظهورها في املسائل العلمية والهندسية. في هذا الفصل سنتطرق وبشكل مبسط للمعادلةالتفاضلية وكيفية حلها. تعريف ]5-[ املعادلة التفاضلية Equation( )Differential هي املعادلة التي حتتوي على مشتقة واحدة او أكثر للدالة املجهولة في املعادلة )اي للمتغير التابع في املعادلة( مالحظة املعادلة التفاضلية االعتيادية هي عالقة بني متغير مستقل )y( ودالته غير املعروفة )x( وليكن )Independt Variable( )x( بالنسبة الى )y( وبعض مشتقات )Dependt Variabie( ويرمز لها O. D. E والتي هي مختصر الى )Ordinary Differential Equation( ( dy dx = 3y 4x 4( y + x y+ x = y مثال : ( x y + 5x y x 3 y = 0 5(( y ) 3 + y + x ln x = 5 3( d3 y dx + dy 3 dx = y 4 6( y (4 ) + cos y+ x y y = 0 كلها معادالت تفاضلية اعتيادية الن املتغير y يعتمد فقط على املتغير X 80

181 Ordinary Differential Equations تعريف ]5-[ املرتبة او )الرتبة( :Order تعرف رتبة املعادلة التفاضلية بانها رتبة اعلى مشتقة. الدرجة :Degree تعرف درجة املعادلة التفاضلية بأنها: اكبر قوة )أس( مرفوعة له اعلى مشتقة في املعادلة التفاضلية. ( dy dx + x 7y = 0 ( d y االولى 3xy+ 7 = 5x dx 3( ( y ) 3 + y y = 0 مثال : من الرتبة االولى والدرجة االولى من الرتبة الثانية والدرجة من الرتبة الثالثة والدرجة الثالثة من الرتبة الثانية والدرجة االولى = 0 3 ) y 4( y + y( 5( ( dy من الرتبة االولى والدرجة الرابعة 5 3 dx )4 = x 6( x ( dy dx )4 + ( d3 y dx 3 ) + d y من الرتبة الثالثة والدرجة الثانية = 0 dx فهي من الرتبة الرابعة والدرجة االولى = 0 y 7( y (4 ) + cos y+ x y مالحظة درجة املعادلة التفاضلية التي تكون جبرية في مشتقاتها هي الدرجة اجلبرية للمشتقة ذات اعلى رتبة تظهر في املعادلة. فمثال املعادلة ( y ) = + ( y ) التفاضلية : من الرتبة الثانية الن اعلى مشتقة فيها y حيث يمكن ازالة اجلذور او االسس الكسرية ونحصل على : ] [ ( y ) 4 = + ( y ) وبذلك تكون درجة املعادلة التفاضلية الرابعة 8

182 ااملعادالت التفاVضلية االعتيادية ]5-[ حل املعادلة التفاضلية االعتيادية Solution of an Ordinary Differential Equation ان الغاية من دراسة املعادالت التفاضلية هي كيفية أيجاد حلوال لها ويتم ذلك بأيجاد عالقة بني املتغير التابع )غير املستقل ) y واملتغير املستقل x بحيث تكون العالقة خالية من االشتقاقات وان حتقق املعادلة التفاضلية عند التعويض تعريف ]5-3[ حل املعادلة التفاضلية هو اية عالقة بني متغيرات املعادلة التفاضلية بحيث ان هذه العالقة : أ( خالية من املشتقة ب( معرفة على فترة معينة ج( حتقق املعادلة التفاضلية اي ان احلل للمعادلة التفاضلية االعتيادية هو اي دالة ملجهول )املتغير التابع ) بداللة املتغير املستقل حتقق املعادلة التفاضلية. مثال - - بني ان العالقة y = x + 3x حال للمعادلة التفاضلية x y = x + y احلل y = x + 3x جند y فيكون: y = x + 3x... y = x نعوض )( و )( في الطرف االيمن وااليسر للمعادلة التفاضلية وكما يلي : LHS= x y = x(x + 3) =x + 3x RHS = x + y = x + x + 3x 8 اذا العالقة املعطاة هي حل للمعادلة التفاضلية اعاله = x + 3x = LHS

183 Ordinary Differential Equations ]3 5[ - احلل اخلاص والعام للمعادلة التفاضلية االعتيادية: ان حل املعادلة التفاضلية االعتيادية كما اسلفنا هو اي عالقة بني y,x حتقق املعادلة غير ان احلل العام الي معادلة تفاضلية هو احلل املشتمل على عدد من الثوابت االختيارية مساو لرتبة املعادلة فاذا كانت املعادلة من الرتبة االولى وجب ان يكون حلها العام مشتمال على ثابت اختياري واحد هو ثابت التكامل الذي يظهر عند اجراء خطوة التكامل الوحيدة ملعادالت الرتبة االولى. اما اذا كانت املعادلة من الرتبة الثانية وجب اشتمال حلها على ثابتي تكامل نظرا الجراء خطوتي تكامل عند حل معادلة الرتبة الثانية وهكذا... فعلى سبيل املثال : dy 5y = 0 dx تعتبر معادلة تفاضلية من الرتبة االولى ويحققها احلل اخلاص y = e 5x كما يبدو من التعويض في املعادلة التفاضلية غير ان حلها العام يجب ان يشتمل على ثابت اختياري واحد c فيكون y =ce 5x d فهي من الرتبة الثانية وحتققها احللول اخلاصة : y اما املعادلة التفاضلية = 0 y dx + y = sin,x y = cos x غير ان حلها العام يجب ان يشتمل على ثابتي تكامل اختياريني كان يكونا y = Asin x + B cos x ويصبح احلل العام عندئذ بالصورة A,B x dy dx = x + y, x > 0...() مثال - - اثبت ان y=x ln x - x احد حلول املعادلة : احلل ان املعادلة y = x ln x -x خالية من املشتقات ومعرفة في 0< x ولكي نثبت انها احد حلول املعادلة التفاضلية )( نقوم بالتعويض املباشر في )( LHS = x dy dx = x(x. + ln x () ) xx = x.( + ln x ) = x ln x RHS = x + y = x + x ln x x = x.ln x اذا الدالة املعطاة هي احد احللول اخلاصة للمعادلة التفاضلية )(. 83

184 ااملعادالت التفاVضلية االعتيادية مثال - -3 y بني ان a R ln y = x + a حال للمعادلة = 0 y احلل ln y = x + a ln y = x + a y y = y y y = 0 ( y ) = a ln y = x + حال للمعادلة اعاله مثال - -4 d y dx هل x y = x 3 + حال للمعادلة التفاضلية = 6x احلل y y = x 3 + x dy dx = 3x + d dx = 6x d y dx وعليه x y = x 3 + هو حال للمعادلة = 6x 84

185 Ordinary Differential Equations مثال - -5 برهن ان y = 3cos x + sin x هو حال للمعادلة التفاضلية = 0 4y. y + احلل y = 3cos x + sin x... y = 6 sin x + 4 cos x y = cos x 8 sin x... LHS = بالتعويض عن في الطرف االيسر للمعادلة التفاضلية ينتج: ( cos x 8 sin x)+ 4( 3cos x + sin x) الطرف االيمن = 0 x cos x 8 sin x + cos x + 8 sin = RHS وعليه فان y = 3cos x + sin x هو حال للمعادلة اعاله. مثال - -6 y y y + هل y = 3x + x 3 هو حال للمعادلة = 5 3x ) ( 85 احلل y = 3x + x 3 y y = 6x + 3x y ( y )+ y ( ) y = 6 + 6x بالقسمة على الطرف االيمن 5 3 = 3x y y + ( y ) = 3+ 3x LHS= y y + ( y y) = RHS وعليه فان y = 3x + x 3 ليس حال للمعادلة اعاله

186 ااملعادالت التفاVضلية االعتيادية مثال y + y بني ان y = e x + e 3x هو حال للمعادلة التفاضلية = 0 6y y = e x + e 3x y = e x 3e 3x y = 4e x 9+9e 3x LHS= y + y 6y = ( 4e x + 9e 3x )+ e x 3e 3x احلل وبالتعويض في الطرف االيسر للمعادلة ( ) 6 ( e x + e 3x ) = 4e x + 9e 3x + e x 3e 3x 6e x 6e 3x الطرف االيمن = 0 = =RHS y = e x + e 3x حال للمعادلة اعاله وعليه يكون 86

187 Ordinary Differential Equations تمارين )5-( a( (x y )+ 3xy dy dx = 0 b( d y dx + x dy dx 5y = 7. بني رتبة ودرجة كل من املعادالت التفاضلية اآلتية: c( ( y ʹʹʹ ) 3 y ʹ+ 8y = x 3 + cos x d( ( d3 y dx 3 ) ( dy dx )5 + 3y = 0. برهن ان y = sin x هو حل للمعادلة = 0 y y ʹʹ + d s.3 برهن ان العالقة s = 8 cos 3t + 6 sin 3t هي حل للمعادلة = 0 9s + dt.4 هل ان + x y = حال للمعادلة y ʹʹ + 3y ʹ+ y = x بني ذلك y ʹʹ = y( + y بني ذلك.5 هل y = tan x حال للمعادلة ).6 هل = x + y حال للمعادلة = ʹʹ y y 3 بني ذلك.7 هل yx = sin 5x حال للمعادلة 0 = xy ʹʹ + y ʹ+ 5yx بني ذلك.8 بني ان y = ae x هو حال للمعادلة = 0 y y ʹ+ حيث a R.9 بني ان c R, ln y = x + c هو حال للمعادلة y ʹʹ = 4x y+ y 87

188 ااملعادالت التفاVضلية االعتيادية ]5-4[ املعادالت التفاضلية االعتيادية من املرتبة االولى والدرجة االولى مقدمة : ان حل املعادلة التفاضلية هو عمل معاكس لعملية التفاضل أي يقوم على عمليات التكامل ومن املعروف انه ال يمكن ايجاد عكس تفاضل )الصورة املباشرة( لكل دالة. اي ال نتوقع ان يكون لكل معادلة تفاضلية حل عام بداللة الدوال االولية املعروفة. وعليه فاملعادالت التفاضلية التي يمكن حلها تقسم الى انواع متعددة حسب طريقة احلصول على حلها العام. وفي هذا الفصل سوف نستعرض املعادالت التفاضلية من الرتبة االولى والدرجة االولى مبتغيرين. y, x ومع ان هذا النوع من املعادالت التفاضلية قد تبدو بسيطة إال أنه ليس من املمكن ايجاد حل عام الي منها بصورة عامة وال توجد طريقة عامة للحل. وعليه فسوف نقسم هذه املعادالت والتي يمكن ايجاد حلها بطريقة مباشرة الى عدة انواع اهمها :. املعادالت التي تنفصل متغيراتها.. معادالت تفاضلية من النوع املتجانس. 3. معادالت تفاضلية تامة. 4. معادالت تفاضلية خطية - معادلة برنولي. وفي هذا الفصل سنقتصر على النوعني ) ) و ) ) وطرائق حليهما. فمثال تأخذ املعادلة التفاضلية من املرتبة االولى والدرجة االولى الشكلني االتيني: ) dy dx = F )M x, y ( x, y ) ( ) dx + N ( x, y) dy = 0 حيث 0 y) N(x, y) 0, M (x, dy مث ال dx = 3xy x + y فاملعادلة التفاضلية : يمكن ان تكتب بالشكل ( 3xy) dx = ( x + y) dy (3xy).dx - (x+y).dy=0 M = 3xy, N = (x+y) 88 حيث ان في البند الالحق سندرس بعض طرق حل املعادلة التفاضلية.

189 Ordinary Differential Equations ]5-5[ بعض طرق حل املعادالت التفاضلية اوال : املعادالت التي تنفصل متغيراتها Separation of Variables في هذا النوع من املعادالت وكما يظهر من اسمها نستطيع ان نعزل كل احلدود التي حتتوي على x فقط مع dx في جانب واحلدود التي حتتوي على y فقط مع dy في اجلانب االخر فنحصل على: f(x).dx = g(y)dy... )( ثم نكامل طرفي املعادلة )( فيكون g(y)dy = f (x)dx + c حيث c ثابت اختياري Constant( )Arbitrary dy dx dy = x + 5 = x + 5 dy = ( x + 5) dx ( ) dx y = x + 5x + c ydy = (x )dx ydy = ( x ) dx y = x x + c dy حل املعادلة + 5 x dx = dy dx = x y مثال - - احلل حل املعادلة جنعل املعادلة بالصورة g(y)dy = f (x)dx مثال - - احلل اي: باخذ التكامل للطرفني : y = x x + c y = ±(x x + c) = ±(x x + c ) )c )لكون c ثابت اختياري فان c ثابت اختياري ايضا اسميناه 89

190 ااملعادالت التفاVضلية االعتيادية مثال - -3 حل املعادلة التفاضلية dy = sin x cos y dx حيث 0 y y (n+ ) π,cos احلل جنعل املعادلة بالشكل g(y)dy = f (x)dx dy = sin xddx اي: cos y sec ydy = sin xdx باخذ التكامل sec ydy = sin xddx حيث c ثابت اختياري tan y = cos x + c x=, عندما y= 9 y x مثال - -4 اوجد حل املعادلة التفاضلية = 0 y y x y = 0 dy dx xy = 0 dy dx = xy y dy = xdx y dy = xdx 9 = () + c 6 = + c c = 4 y = x + 4 y = ( 4 x + ) y = x + c احلل بالتعويض عن y= 9 x=, ينتج احلل هو 90

191 Ordinary Differential Equations dy dx = e x.e y e y dy = e x dx e y ( )dy = e x ()dx حيث 0=y عندما 0=x dy dx = e x+y حل املعادلة بالتعويض عن = 0 y x = 0, ينتج e y = ex + c مثال - -5 احلل e 0 = e0 + c = + c c = 3 e y = e x 3 e y = (3 e x ) اذن احلل هو : e y 3 ex = e y = n 3 e x y = ln 3 e x dy y = dx x + ln y = ln(x +) + c ln y ln(x +) = c ln 9 وبأخذ ln للطرفني ينتج : (x +) dy جد احلل العام للمعادلة التفاضلية : y dx = مثال - -6 y (x +) = c y (x +) = ec. ثابت اختياري c حيث = e c y = e c (x +) y = ±C (x +) dy = y dx x + احلل

192 ااملعادالت التفاVضلية االعتيادية ªJارjن )5-( - حل املعادالت التفاضلية االتية بطريقة فصل املتغيرات: a( y cos 3 x = sin x b( dy dx + xy = 3x xy, x = 0, y = dy c( dx = (x +)(y ) d( (y + 4y ) y = x x + 3 e( y y = 4 (+ y ) 3 f( e x dx y 3 dy = 0 g( y = e x y 3, x = 0, y = a( xy dy dx + y = y - جد احلل العام للمعادالت التفاضلية االتية : b(sin x cos y dy + cos x sin y = 0 dx c( x cos y dx + tan y dy = 0 d( tan y dy = sin 3 x dx e( dy dx = cos x cos y f( dy dx = cos x 3y + e y g( e x+ y + y = 0 9

193 Ordinary Differential Equations ثانيا : المعادلة التفاضلية المتجانسة Homogeneous Differential Equation قد تكون المعادلة التفاضلية ليست قابلة لفصل المتغيرات فيها ولكن قد تكون في الوقت نفسه بصورة معينة نستطيع تحويلها الى معادلة قابلة للفصل وذلك باستخدام بعض التحويلات ومن هذه الصور المعادلة dy dx = f ( y x ) التفاضلية المتجانسة وهي المعادلة التي يمكن كتابتها على الصورة dy dx = y x + y 4 x x) يمكن كتابتها على الصورة الاتية: 4 + y 4 ) dy فمثلا المعادلة : y dx = x3 وذلك بالقسمة على 0 4 x مثال - - بين اي المعادلات التفاضلية الا تية متجانسة yx + + = dy dx = x3 + x y 3 + xy 3x + y x + + = x x x ( y dy + = dx = + x ) + + 3x( = y x ) xy y y x x + x x = 0 ( y x ) y ( y x ) + = 0 dy dx = + x3 + =yx y 3 xy 3x y x () المعادلة التفاضلية x ينتج بقسمة البسط والمقام عل 0 المعادلة متجانسة xy y () المعادلة التفاضلية = 0 y + x بقسمة المعادلة على 0 x ينتج: المعادلة متجانسة dy dx = f y x dy dx = y = x y (3) المعادلة التفاضلية x 3 هذه المعادلة غير متجانسة لانه لايمكن كتابتها بالصورة : 93

194 ااملعادالت التفاVضلية االعتيادية á ùfééàÿg ádoé ŸG πm á jôw اذا كانت المعادلة التفاضلية متجانسة فاننا لغرض حلها نتبع الخطوات الاتية: x متغير جديد وهو دالة ل v حيث y = vx او v = y x = ثم نعوض عن dy dx = f y ( نكتبها بالصورة x x dv dx + v = f (v) dy dx = x dv ( نشتق y = vx بالنسبة ل x فنحصل على dx + v x dv dx = f (v) v dv f (v) v = dx x 3) بالربط بين و ينتج 4) بعد فصل المتغيرات نحصل على نحصل على الحل العام بدلالة v, x dv f (v) v = dx (5 با خذ تكامل الطرفين + c x,y. x فنحصل على حل المعادلة بدلالة المتغيرين v = y x y = 3y x xy 6) نعوض بعد ذلك عن مثال - - حل المعادلة التفاضلية الحل بقسمة البسط والمقام بالطرف الايمن على x 0 نحصل على : y 3( dy اي ان المعادلة متجانسة dx = x ) ( y...( ) x ) v = y dy تصبح المعادلة () بالشكل x بوضع dx = 3v... () v y = vx dy dx = x dv dx + v... ( 3 ) بالتعويض عن (3) في () ينتج 94

195 Ordinary Differential Equations x dv dx + v = 3v x dv v dx = 3v v v x dv dx = v v x dx = v v dv بفصل املتغيرات ينتج: x dx = v v dv ln x = ln v + ln c ln x = ln c(v ) x = ±c(v ) v = y x x = c y x x 3 ± c = ± y x dy مثال - - dx = y + x احلل حل املعادلة التفاضلية y x بقسمة طرفي املعادلة على (0 x) تصبح املعادلة : y dy dx = x +...() y x Qv = y x dy dv = (v ) + x dx dx...() نعوض من )( في )( : v + x dv dx = v + v x dv dx = v + v v x dv dx = v v + v 95 ln v v + v v v + dv = dx x = ln cx ln v v v + dv = dx x ln v v + = ln x + ln c v v + = ln cx

196 ااملعادالت التفاضلية االعتيادية v v + = cx = v v + = c x = x + xy y = k حل املعادلة (3x y) y ʹ = x + y مثال - -3 y ʹ = x + y + y 3x y y ʹ = x 3 y x بالقسمة على 0 x احلل dy dx = + v 3 v v = y x x dv d dx + v = + v 3 v...) ( dy y = xv dx = x dv dx + v... ) ( نعوض من )( في )( ينتج: x dv dx = + v 3 v v x dv dx = v v+ x dv 3 v dx = (v ) 3 v 3 v [(v ) ] dx = dv x dx = x dx = (v ) dv x (v ) dv + ln x = ln y x + c y x ln y x = x y x + c (v ) (v ) dv ln x = ln v v + c 96

197 Ordinary Differential Equations x dy dx = x + y جد احلل العام للمعادلة التفاضلية مثال - -4 dy dx = x + y K () احلل املعادلة التفاضلية يمكن كتابتها على الصورة االتية : x وفي هذه املعادلة يمكن التحقق من ان كال من البسط واملقام في الطرف االيمن هو دالة متجانسة ومن الدرجة dy dx = v+ x dv نعوض من )( في )( ينتج () K dx v+ x dv dx = x + x v x x dv + v = v + dx x dv + - v+ v = dx x dv dx = (v ) dv (v ) =. dx x v = ln x + c v = ln x + c = x (+ v ) x الثانية لذلك نعوض عن : vx y = وبالتالي فان : فبفصل املتغيرات نحصل على االتي: حيث c ثابت اختياري اي ان : وباخذ التكامل للطرفني جند ان v = y وبوضع c c = في املعادلة االخيرة نحصل على : x x y = x = - ln x + c وبالتعويض عن 97

198 ااملعادالت التفاVضلية االعتيادية ªJارjن )5-3(. y = y y x + e x حل كال من املعادالت التفاضلية االتية:. (y xy)dx + x dy = 0 3. (x + y)dx + (x + 3y)dy = 0 4. dy dx = x + y xy 5. (y x )dx + xydy = 0 6. x ydx = (x 3 + y 3 )dy 7. x( dy dx tan y x ) = y 98

199 Space Geometry الفضائية الهندسة 6 SOÉ ùdg π üødg Chapter Six Space Geometry á«fé ØdG á Sóæ dg متهيد ]6-[ الزاوية الزوجية واملستويات املتعامدة. ]6-[ االسقاط العمودي على مستو. ]6-3[ المصطلح الرمز او العلاقة الرياضية (x) - AB - (y) الزواية الزوجية بين (y) (x) (x) المستوي x 99

200 الهندسة الفضائية Space Geometry ]6-[ متهيد. سبق وان علمنا أن كال من املستقيم واملستوي مجموعة غير منتهية من النقط وأن كل نقطتني تعينان مستقيما واحدا وواحدا فقط وكل ثالث نقط ليست على استقامة واحدة تعني مستويا واحدا فقط وكل اربعة نقط ال تقع في مستو واحد تعني فضاء. اي أن املستقيم يحتوي على نقطتني على اقل تقدير واملستوي يحتوي على ثالث نقط على اقل تقدير ال يحتويها مستقيم واحد والفراغ يحتوي على على اربع نقط على اقل تقدير ليست جميعها في مستو واحد. كما تعرفنا في الصف اخلامس العلمي على عالقات بني املستقيمات واملستويات وبرهنا بعض املبرهنات التي يمكن االفادة منها في مبرهنات جديدة ستتعرف عليها في هذا الفصل. ولكي تتمكن من التواصل معنا وتتعرف على عالقات جديدة بني املستقيمات واملستويات واملستويات واملستويات وتكتسب مفاهيم جديدة وتبرهن مبرهنات اخرىما عليك اال الرجوع الى مراجعة ما درسته في هذا املوضوع في السنة السابقة. 00

201 الهندسة الفضائية Space Geometry ]6-[ الزاوية الزوجية واملستويات املتعامدة. تعريف ]6-[ الزاوية الزوجية: احتاد نصفي مستويني لهما حافة )Edge( مشتركة. تسمى احلافة املشتركة ب ( حرف االزاوية الزوجية )Edge of Dihedral ويسمى كل من نصفي املستويني ب )وجه الزاوية الزوجية( كما فى الشكل )6-( A A X X A X B Y B Y B Y الشكل )6-( حيث AB هو حرف الزاوية الزوجية )X( و )Y( هما وجهاها ويعبر عن الزاوية الزوجية بالتعبير: )Y( )X( A- B - وقد يعبر عنها بحرف الزاوية الزوجية ان لم يكن مشتركا مع زاوية اخرى. مثال : الزاوية الزوجية Y )X( - A B - )Z( X A )X( - A B - )Y( B الشكل )6-( Z )Y( - A B - )Z( وال يمكن ان تكتب الزاوية الزوجية بشكل A B في هذا املثال ألن احلرف AB مشترك في اكثر من زاوية زوجية. 0

202 الهندسة الفضائية Space Geometry مالحظة عندما تكون اربع نقاط ليست في مستو واحد نكتب الزاوية الزوجية A - B C - D او الزاوية الزوجية بني املستويني )DBC( )ABC(,. كما في الشكل )6-3( A D B C الشكل )6-3( وتقاSس الزاوية الزوجية كا آلتي:نأخذ نقطة D على احلافة املشتركة AB ونرسم منD العمود D C في )X( والعمود D E في )Y( على احلرف AB فيكون قياس الزاوية الزوجية بني املستويني هو قياس الزاوية C D E وتسمى الزاوية C D E الزاوية العائدة للزاوية الزوجية. )كما في الشكل ))6-4( X Y C D A E B الشكل )6-4( بعبارة اخرى لدينا الزاوية الزوجية )X( - A B - )Y( 0

203 الهندسة الفضائية Space Geometry ولدينا D C )X(, D E )Y( D C A B, D E A B )X( - AB -)Y( او A B هي الزاوية العائدة للزاوية الزوجية C D E تعريف ]6-[ الزاوية املستوية العائدة لزاوية زوجية: هي الزاوية التي ضلعاها عموديان على حرف الزاوية الزوجية من نقطة تنتمي اليه وكل منهما في أحد وجهي الزاوية الزوجية أو هي احتاد شعاعني عموديني على حرف الزاوية الزوجية من نقطة تنتمي اليه وكل منهما في احد وجهي الزاوية الزوجية ومن تعريف الزاويتني العائدة والزوجية ميكن اSستنتاج ا آلتي ( قياس زاوية عائدة لزاوية زوجية ثابت ( قياس الزاوية الزوجية يساوي قياس الزاوية العائدة لها وبالعكس. تعريف ]6-3[ اذا كانت الزاوية الزوجية قائمة فان املستويني متعامدان وبالعكس Y قياس 90 = )Y( )X( )Y( )X( - A B - A X الشكل )6-5( 03 B

204 الهندسة الفضائية Space Geometry مبرهنة )7(: اذا تعامد مستويان فاملستقيم املرسوم في احدهما والعمودي على مستقيم التقاطع يكون عموديا على املستوي اآلخر B C D Y A E X اي انه: اذا كان ) (Y (X ) (X ) (Y ) = AB CD (Y ),CD AB في D فان ) (X CD املعطيات: في نقطة (X ) (Y ), (X ) (Y ) = AB, CD (Y ),CD AB D CD (X ) املطلوب اثباته: الربهان: )في املستوي الواحد يمكن رسم مستقيم وحيد عمودي على مستقيم فيه من نقطة معلومة( في )X( نرسم DE AB )معطى( CD (Y ),CD AB عائدة للزاوية الزوجية )Y( (X ) - AB - )تعريف الزاوية العائدة( CDE 90 = CDE m )قياس الزاوية الزوجية يساوي قياس الزاوية العائدة لها وبالعكس( CD DE CD (X ) )اذا كان قياس الزاوية بني مستقيمني 90 فان املستقيمني متعامدان وبالعكس( )املستقيم العمودي على مستقيمني متقاطعني من نقطة تقاطعهما يكون عموديا على مستويهما( و. ه. م 04

205 الهندسة الفضائية Space Geometry نتيجة مبرهنة )7(: اذا تعامد مستويان فالمستقيم المرسوم من نقطة في احدهما عموديا على المستوي اآلخر يكون محتوى فيه. C Y اي انه: A X E B Y D E A D X B C CD (X ),C (Y ),(Y ) (X ) CD (Y ) مبرهنة )8(: أو كل مستو مار مبستقيم عمودي على مستو آخر يكون عموديا على ذلك املستوي يتعامد املستويان اذا احتوى احدهما على مستقيم عمودي على اآلخر Y A C AB (X ) AB (Y ) A A اي انه: (Y ) (X ) المعطيات: 05 X D B E AB (X ) AB (Y )

206 المطلوب اثباته: البرهان: الهندسة الفضائية Space Geometry (Y ) (X ) ليكن (X ) (Y ) = CD B CD في )X( نرسم )يتقاطع المستويان بخط مستقيم( )مستقيم التقاطع يحتوي النقاط المشتركة( BE CD )في المستوي الواحد يوجد مستقيم وحيد عمودي على مستقيم فيه من نقطة معلومة( AB (X )معطى( ) BE AB CD, )المستقيم العمودي على مستوي يكون عموديا على جميع المستقيمات AB (Y ) ABE المحتواة في المستوي والمارة من أثره( )معطى( عائدة للزاوية الزوجية CD )تعريف الزاوية العائدة( ) AB BE )الن m ABE =90 قياس الزاوية الزوجية 90 = ) (X (Y ) CD )قياس الزاوية الزوجية يساوي قياس الزاوية العائدة لها وبالعكس( ( X) Y) ) )اذا كان قياس الزاوية الزوجية 90 فان المستويين متعامدان وبالعكس( مبرهنة )9(: و. ه. م من مستقيم غير عمودي علىمستو معلوم يوجد مستو وحيد عمودي على املستوي املعلوم. B Y A اي انه: )X( غير عمودي على AB فيوجد مستوي وحيد يحتوي AB وعمودي على )X( C Z X المعطيات: )X( غير عمودي على AB 06

207 الهندسة الفضائية Space Geometry المطلوب اثباته: ايجاد مستو وحيد يحوي AB وعمودي على )X( البرهان: من نقطة )A( نرسم ) X) AC )يوجد مستقيم وحيد عمودي على مستو معلوم من نقطة ال تنتمي اليه( AC AB, متقاطعان يوجد مستو وحيد مثل )Y( يحويهما )لكل مستقيمين متقاطعين يوجد مستو وحيد يحويهما( ) (X (Y ) )مبرهنة )8 ولبرهنة الوحدانية: ليكن )Z( مستوي اخر يحوي AB وعمودي على )X( ) (X AC )بالبرهان( (Z) AC )نتيجة مبرهنة )7 (Y ) = (Z) )لكل مستقيمين متقاطعين يوجد مستو وحيد يحويهما( و. ه. م نتيجة مبرهنة )9(: و. ه. م اذا كان كل من مستويين متقاطعين عموديا على مستو ثالث فان مستقيم تقاطعهما يكون X A Y عموديا على المستوي الثالث. المعطيات: (X ) (Y ) = AB (X ),(Y ) (Z) المطلوب اثباته: AB (Z) B البرهان: Z ان لم يكن AB عموديا على )Z( لما وجد اكثر من مستوي يحوي AB وعمودي على )Z( )مبرهنة 9( و. ه. م AB (Z) 07 نشاط: توجد طرق اخرى لبرهان هذه المبرهنة حاول ذلك.

208 الهندسة الفضائية Space Geometry مثال - - في ABC BD (ABC ), m A = 30 AB = 0 cm, BD = 5cm جد قياس الزاوية الزوجية D AC B BD (ABC ), m BAC = 30, AB =0 cm, BD = 5 cm املعطيات: املطلوب اثباته: ايجاد قياس الزاوية الزوجية D AC B الربهان: في املستوي )ABC( نرسم BE AC في نقطة E )في املستوي الواحد يوجد مستقيم وحيد عمودي ) (ABC BD )معطى( AC DE )مبرهنة االعمدة الثالثة( على آخر من نقطة معلومة( B DE عائدة للزاوية الزوجية AC )تعريف الزاوية العائدة( DB BE )املستقيم العمودي على مستوي يكون عموديا على جميع املستقيمات المحتواة في املستوي واملارة من اثره( Sin30 = BE BA = BE 0 B قائم الزاوية في DBE القائم الزاوية في E BE A في BE = 5cm في DBE القائم الزاوية في B: قياس 45 = D tan )BED) = 5 5 = m BE قياس الزاوية الزوجية 45 = B D AC )قياس الزاوية الزوجية هو قياس الزاوية العائدة لها وبالعكس( و. ه. م 08

وزارة الرتبية الوطنية امتحان بكالوراي التعليم الثانوي الشعبة: تقين رايضي اختبار يف مادة: الرايضيات اجلمهورية اجلزائرية الدميقراطية الشعبية الديوان الو

وزارة الرتبية الوطنية امتحان بكالوراي التعليم الثانوي الشعبة: تقين رايضي اختبار يف مادة: الرايضيات اجلمهورية اجلزائرية الدميقراطية الشعبية الديوان الو وزارة الرتبية الوطنية امتحان بكالوراي التعليم الثانوي الشعبة: تقين رايضي اختبار يف مادة: الرايضيات اجلمهورية اجلزائرية الدميقراطية الشعبية الديوان الوطين لالمتحاانت واملسابقات 710 املدة: دورة: 10 د و 01

المزيد من المعلومات

المحاضرة الرابعة التكامل المحدد Integral( (Definite درسنا في المحاضرة السابقة التكامل غير المحدد التكامل المحدد لها. ألصناف عدة من التوابع وسندرس في ه

المحاضرة الرابعة التكامل المحدد Integral( (Definite درسنا في المحاضرة السابقة التكامل غير المحدد التكامل المحدد لها. ألصناف عدة من التوابع وسندرس في ه المحاضرة الرابعة التكامل المحدد Integrl( (Deinite درسنا في المحاضرة السابقة التكامل غير المحدد التكامل المحدد لها. ألصناف عدة من التوابع وسندرس في هذه المحاضرة مفهوم التكامل المحدد ليكن () تابعا مستمرا

المزيد من المعلومات

صفوت مصطفي حميد ضهير مدرسة الدوحة الثانوية ب أي خطأ طباعي أو إثناء التحويل من صيغة آلخري يرجي إبالغي به والخطأ مني ومن الشيطان أما توفيقي فمن هللا عرف

صفوت مصطفي حميد ضهير مدرسة الدوحة الثانوية ب أي خطأ طباعي أو إثناء التحويل من صيغة آلخري يرجي إبالغي به والخطأ مني ومن الشيطان أما توفيقي فمن هللا عرف أي خطأ طباعي أو إثناء التحويل من صيغة آلخري يرجي إبالغي به والخطأ مني ومن الشيطان أما توفيقي فمن هللا عرف المصطلحات التالية: الكميات الفيزيائية القياسية: هي كميات التي يعبر عنها بعدد ووحدة قياس مثل "درجة

المزيد من المعلومات

الحل المفضل لموضوع الر اض ات شعبة تقن ر اض بكالور ا 2015 الحل المفص ل للموضوع األو ل التمر ن األو ل: 1 كتابة و على الشكل األس. إعداد: مصطفاي عبد العز

الحل المفضل لموضوع الر اض ات شعبة تقن ر اض بكالور ا 2015 الحل المفص ل للموضوع األو ل التمر ن األو ل: 1 كتابة و على الشكل األس. إعداد: مصطفاي عبد العز الحل المفص ل للمضع األ ل التمر ن األ ل: كتابة على الشكل األس k ' cos s cos s e e ب( تع ن ق م العدد الطب ع بح ث كن العدد حق ق ا e e e arg حق ق معناه k منه k عل ه k ' k ح ث e ج( عدد مركب ح ث حساب ط لة العدد

المزيد من المعلومات

التحليل 4 دكتور املادة: هدى الشماط احملاضرة السابعة عشر )األخرية( عنوان احملاضرة :متارين و تطبيقات احملتوى العلمي : أهال بكم أصدقائي, سندرس محاضرتنا األخيرة النهايات و قابلية االشتقاق و إيجاد المشتقات

المزيد من المعلومات

طبيعة بحته و أرصاد جوية

طبيعة بحته و أرصاد جوية طبيعة بحته و أرصاد جوية 3 206-2007 الضوء محاضرة 3 قوانين األنعكاس واألنكسار المرايا العدسات التلسكوب الفلكي قوانين األنعكاس و األنكسار عند سقوط شعاع ضوئي علي سطح فاصل بين وسطين ينعكس جزء منة و ينكسر جزء

المزيد من المعلومات

Microsoft Word - examen national corexctio

Microsoft Word - examen national corexctio ( ) z = 3 ( 3 )i = ( 3 i) z = 3 ( 3 )i= i( 3 ( 3 )i) = iz 3 π ( 3 i) = 8( i) = 8, 6 z π = 8, ( r= 3 ' = 9 9= y'' 6y' 9y = r 6r 9= التمرين الا ل ( نعتر المعادلة التفاضلية لدينا المعادلة المميزة هي إذ ن

المزيد من المعلومات

Microsoft Word - intégral 2sc exp.doc

Microsoft Word - intégral 2sc exp.doc الثانية سلك بكالريا علم تجريبية التكامل إلى من. I- تكامل مجال - تعريف ترميز لتكن مجال I عنصرين من. I إذا آانت F G دالتين أصليتين للدالة على I.F()-F()=G()-G() أي أن العدد الحقيقي F()-F() غير مرتبط باختيار

المزيد من المعلومات

Microsoft Word - dériv sc maths.doc

Microsoft Word - dériv sc maths.doc الاشتقاق تطبيقاته دراسة الدال الثانية سلك بكالريا ع ف ع ح أ - الاشتقاق في نقطة- الدالة المشتقة ( A أنشطة نشاط باستعمال التعريف ادرس اشتقاق الدالة في حدد العدد المشتق في إن جد ثم حدد معادلة المماس أ نصف

المزيد من المعلومات

تصحيح مادة الرياضيات شعبة الرياضيات التمرين األول : و أي ان تكون النقط بما أن و و و α β α β α β و منه الشعاعان و غير مرتبطان خطيا إذن النقط من نفس الم

تصحيح مادة الرياضيات شعبة الرياضيات التمرين األول : و أي ان تكون النقط بما أن و و و α β α β α β و منه الشعاعان و غير مرتبطان خطيا إذن النقط من نفس الم تصحيح مادة الرياضيات شعبة الرياضيات التمرين األل : تكن النقط بما أن β β β منه الشعاعان غير مرتبطان خطيا النقط من نفس المستي يعني أجد عددين حقيقين β من بطرح منه بالتعيض في β بتعيض القيمتين في استقامية β

المزيد من المعلومات

212 phys.

212 phys. فيز 211 الميكانيكا 1 Phys 211 Mechanics 1 المحاضرة الثالثة Lecture 3 Motion i n Two And Three Dimentions المراجع لهذه المحاضرة Book: Fundamentals of physics By Jearl walker P 58-72 + P 75 But 4-8 and proof

المزيد من المعلومات

8 مادة إثرائية وفقا للمنهاج الجديد األساسي الثامن للصف الفصل الدراسي األول إعداد املعلم/ة: أ. مريم مطر أ. جواد أبو سلمية حقوق الطبع حمفوظة لدى املكتبة

8 مادة إثرائية وفقا للمنهاج الجديد األساسي الثامن للصف الفصل الدراسي األول إعداد املعلم/ة: أ. مريم مطر أ. جواد أبو سلمية حقوق الطبع حمفوظة لدى املكتبة 8 مادة إثرائية وفقا للمنهاج الجديد الساسي الثامن للصف الفصل الدراسي الول إعداد املعلم/ة:. مريم مطر. جواد و سلمية حقوق الطع حمفوظة لدى املكتة الفلسطينية رقم إيداع )017/614( من وزارة الثقافة تطل من املكتة

المزيد من المعلومات

المحاضرة الثانية عشر مقاييس التشتت درسنا في المحاضرة السابقة مقاييس النزعة المركزية أو المتوسطات هي مقاييس رقمية تحدد موقع أو مركز التوزيع أو البيانات

المحاضرة الثانية عشر مقاييس التشتت درسنا في المحاضرة السابقة مقاييس النزعة المركزية أو المتوسطات هي مقاييس رقمية تحدد موقع أو مركز التوزيع أو البيانات المحاضرة الثانية عشر مقاييس التشتت درسنا في المحاضرة السابقة مقاييس النزعة المركزية أو المتوسطات هي مقاييس رقمية تحدد موقع أو مركز التوزيع أو البيانات وهي مهمة في حالة المقارنة بين التوزيعات المختلفة وكان

المزيد من المعلومات

Slide 1

Slide 1 الفصل 25: الجهد الكهربي فرق الجهد الكهربي والجهد الكهربي فرق الجهد الكهربي لمجال كهربي منتظم -1-2 -3 الجهد الكهربي وطاقة الوضع الكهربية لمجموعة من الشحنات النقطية. Slide 1 Fig 25-CO, p.762 : فرق الجهد

المزيد من المعلومات

1 درس :

1 درس : 1 درس : ثانية االمام البخاري التأهيلية المستى: الجدع المشترك العلمي المكن : الهندسة المرجع: في رحاب الرياضيات المادة: الرياضيات الجدادة: رقم 2 71 فبراير االسبع: من الدرس الى 32 فبراير 3172 المستقيم في

المزيد من المعلومات

المستوى : 3 ع ت ثانوية محفوظ سعد الفرض االول في للثالثي االول في مادة الرياضيات g(x) = x 3 3x 4 دالة معرفة على R ب g 1/ ادرس تغيرات الدالة g 2/ بين ان

المستوى : 3 ع ت ثانوية محفوظ سعد الفرض االول في للثالثي االول في مادة الرياضيات g(x) = x 3 3x 4 دالة معرفة على R ب g 1/ ادرس تغيرات الدالة g 2/ بين ان المستوى : 3 ع ت ثانوية محفوظ سعد الفرض االول في للثالثي االول في مادة الرياضيات g() = 3 3 4 دالة معرفة على R ب g / ادرس تغيرات الدالة g 2/ بين ان المعادلة = 0 g() وحيدا تقبل حال α حيث 225 α 2 3/ استنتج

المزيد من المعلومات

I تفريغ مكثف في وشيعة. 1 التركيب التجريبي: L = 40mH وشيعة معامل تحريضها C = 1μF مكثف سعته E = 6V العدة: مولد قوته الكهرمحركة ومقاومتها الداخلية r = 10

I تفريغ مكثف في وشيعة. 1 التركيب التجريبي: L = 40mH وشيعة معامل تحريضها C = 1μF مكثف سعته E = 6V العدة: مولد قوته الكهرمحركة ومقاومتها الداخلية r = 10 I تفريغ مكثف في وشيعة. التركيب التجريبي: = 4H وشيعة معامل تحريضها = μf مكثف سعته = 6V العدة: مولد قوته الكهرمحركة ومقاومتها الداخلية r = Ω وموصل أومي مقاومته.R = 3Ω يشحن المكثف عند وضع قاطع التيار K في

المزيد من المعلومات

الشريحة 1

الشريحة 1 2 األشكال الثالثية األبعاد 4 الف ص ل السادس 5 6 ن 2 : املئ الجدول بالرقم المناسب عدد أضالع القاعدة 4 ن 3 8 عدد أحرف المجس م 6 كانت إذا قاعدة الهرم مثلثة الشكل ذ فكم عدد أضالعها كم حرف ا كانت إذا للهرم

المزيد من المعلومات

correction des exercices pendule pesant Ter

correction des exercices pendule pesant Ter تصحيح تمارين النواس الوازن تمرين نطبق العلاقة الا ساسية للديناميك على المجموعة S جرد القوى المطبقة على المجموعة : S S وزن المجموعة : P S تا ثير المحور على المجموعة : R M F && بما أن المجموعة قابلة للدوران

المزيد من المعلومات

ص)أ( المملكة العرب ة السعود ة وزارة التعل م اإلدارة العامة للتعل م بمحافظة جدة الب ان النموذج ة ( تعل م عام ) انفصم اندراسي األول انفترة انثانثت العام

ص)أ( المملكة العرب ة السعود ة وزارة التعل م اإلدارة العامة للتعل م بمحافظة جدة الب ان النموذج ة ( تعل م عام ) انفصم اندراسي األول انفترة انثانثت العام ص)أ( المملكة العرب ة السعود ة وزارة التعل م اإلدارة العامة للتعل م بمحافظة جدة الب ان النموذج ة ( تعل م عام ) انفصم اندراسي األول انفترة انثانثت العام الدراس - 8 المعلمة المرحلة الصف المادة وفاء المالكي

المزيد من المعلومات

سلسلة العمل الذاتي لمادة الریاضیات رقم (01) المستوى: 3 ثانوي علوم تجريبية الا ستاذ :عبداالله بالرقي المتتالیات العددیة 1 )المتتالیة الحسابیة التمرین(

سلسلة العمل الذاتي لمادة الریاضیات رقم (01) المستوى: 3 ثانوي علوم تجريبية الا ستاذ :عبداالله بالرقي المتتالیات العددیة 1 )المتتالیة الحسابیة التمرین( سلسلة العمل الذاتي لمادة الریاضیات رقم (0) المستوى: ثانوي علوم تجريبية الا ستاذ :عبداالله بالرقي المتتالیات العددیة )المتتالیة الحسابیة التمرین( ):( u )متتالية حسابية حيث: =8 u 0 +u و 4 = u +u 5 )ا وجد

المزيد من المعلومات

19_MathsPure_GeneralDiploma_1.2_2015.indd

19_MathsPure_GeneralDiploma_1.2_2015.indd تنبيه: األسئلة يف ( 15 ) صفحة. امتحان دبلوم التعليم العام للعام الدرايس 1436/1435 ه - 2014 2015 / م زمن اإلجابة: ثالث ساعات. اإلجابة يف الورقة نفسها. تعليامت وضوابط التقدم لالمتحان: الحضور إىل اللجنة قبل

المزيد من المعلومات

ABU DHABI EDUCATION COUNCIL Abu Dhabi Education Zone AL Mountaha Secondary School g-12 science section Mathematics Student Name:.. Section: How Long i

ABU DHABI EDUCATION COUNCIL Abu Dhabi Education Zone AL Mountaha Secondary School g-12 science section Mathematics Student Name:.. Section: How Long i ABU DHABI EDUCATION COUNCIL Abu Dhabi Education Zone AL Mountaha Secondary School g-12 science section Mathematics Student Name:.. Section: How Long is the Average Chord of a Circle?/ 2009-2010 Second

المزيد من المعلومات

Full Mark الفرعين : األدبي والفندقي السياحي الوحدة : األولى النهايات واالتصال إعداد وتصميم األستاذ : خالد الوحش مدرسة أبو علندا الثانوية للبنين

Full Mark الفرعين : األدبي والفندقي السياحي الوحدة : األولى النهايات واالتصال إعداد وتصميم األستاذ : خالد الوحش مدرسة أبو علندا الثانوية للبنين الفرعين : األدبي والفندقي السياحي الوحدة : األولى النهايات واالتصال إعداد وتصميم األستاذ : خالد الوحش مدرسة أبو علندا الثانوية للبنين 0798016746 http://www.youtube.com/uer/moonkaled http://khaledalwahh.wordpre.com/

المزيد من المعلومات

المستوى : 3 ع ت ثانوية محفوظ سعد الفرض االول في للثالثي االول في مادة الرياضيات g(x) = x 3 3x 4 دالة معرفة على R ب g 1/ ادرس تغيرات الدالة g 2/ بين ان

المستوى : 3 ع ت ثانوية محفوظ سعد الفرض االول في للثالثي االول في مادة الرياضيات g(x) = x 3 3x 4 دالة معرفة على R ب g 1/ ادرس تغيرات الدالة g 2/ بين ان المستوى : 3 ع ت ثانوية محفوظ سعد الفرض االول في للثالثي االول في مادة الرياضيات g() = 3 3 4 دالة معرفة على R ب g / ادرس تغيرات الدالة g 2/ بين ان المعادلة = 0 g() وحيدا تقبل حال α حيث 225 α 2 3/ استنتج

المزيد من المعلومات

ammarimaths collège

ammarimaths collège 1/5 مدخل الى الدال : 1) الدال الحددية: (2 تمثيلها المبياني مستقيم يمر من x) )=ax تعرفنا في السنات الماضية على الدال الخطية هي الدال التي تكتب على شكل تمثيلها المبياني مستقيم ل b+ x) )=ax أصل المعلم تعرفنا

المزيد من المعلومات

37 2- أسئلة المباشرة المحاضرة االولى {3.4.5.x.w} =B والمجموعة الكلية = { x.y.w.z }فأوجد مايلي :- B. وليست في A

37 2- أسئلة المباشرة المحاضرة االولى {3.4.5.x.w} =B والمجموعة الكلية = { x.y.w.z }فأوجد مايلي :- B. وليست في A المحاضرة االولى {...x.w} B والمجموعة الكلية {...x.y.w.z }فأوجد مايلي :- B. وليست في A يسمى بالفرق وهو مجموعة كل العناصر الموجودة A-B y} A{... x. و اذا كانت -: A-B - {...x.y.w} {x.y.w} {..y} A B تقاطع المجموعتين

المزيد من المعلومات

serie

serie الدعم و التقوية المادة : الفيزياي ية الاولى باك ع ر الموضوع: الدوران و الشغل المستوى : تمرين- ( شعاعها 55mm و بواسطة سير نربط هذه على مرود محرك آهرباي ي نثبت بكرة ).ω ad زاوية دوران مرود المحرك. 00mm شعاعها

المزيد من المعلومات

المعادالت التف اضلية 2 احملاضرة :الثانية عشر املادة: ملك مارديين عنىان احملاضرة :املعادالت الحفاضلية اجلزئية دكحىرة احملتوى العلمي : 1- تتمة منشأ المعادالت التفاضلية الجزئية 2- المغلف 3- الحل الشاذ للمغلف

المزيد من المعلومات

ن 3 اإلمتحان الوطين املوحد لنيل شهادة البكالوريا الدورة اإلستدراكية 2013 اململكة املغربية وزارة الرتبية الوطنية و التعليم العالي و تكوين األطر و البحث

ن 3 اإلمتحان الوطين املوحد لنيل شهادة البكالوريا الدورة اإلستدراكية 2013 اململكة املغربية وزارة الرتبية الوطنية و التعليم العالي و تكوين األطر و البحث ن اإلمتحان الوطين املوحد لنيل شهادة الكالوريا الدورة اإلستدراكية اململكة املغرية وزارة الرتية الوطنية و التعليم العالي و تكوين الطر و الحث العلمي املركس الوطين للتقويم و اإلمتحانات مادة الرياضيات شعة العلوم

المزيد من المعلومات

ص)أ( المملكة العرب ة السعود ة وزارة الترب ة والتعل م اإلدارة العامة للترب ة والتعل م بمحافظة جدة الب ان النموذج ة ( تعل م عام ) انفصم اندراسي األول ان

ص)أ( المملكة العرب ة السعود ة وزارة الترب ة والتعل م اإلدارة العامة للترب ة والتعل م بمحافظة جدة الب ان النموذج ة ( تعل م عام ) انفصم اندراسي األول ان ص)أ( المملكة العرب ة السعود ة وزارة الترب ة والتعل م اإلدارة العامة للترب ة والتعل م بمحافظة جدة الب ان النموذج ة ( تعل م عام ) انفصم اندراسي األول انفترة انثانثت العام الدراس - 1 18 ه االسم المرحلة الصف

المزيد من المعلومات

اجيبي علي الاسئلة التالية بالكامل:

اجيبي علي الاسئلة التالية بالكامل: أساليب توزيع السكان وكثافتهم أوال: التوزيع السكاني Population Distribution التوزيع السكاني هو عبارة عن توزيع البشر األعداد المطلقة على الرقعة المساحية. إن التوزيع الجغ ارفي للسكان هو الجغ ارفية. انعكاس

المزيد من المعلومات

19_MathsPure_GeneralDiploma_1.2_2016.indd

19_MathsPure_GeneralDiploma_1.2_2016.indd تنبيه: األسئلة يف )11( صفحة. امتحان دبلوم التعليم العام للعام الدرايس 1437/1436 ه - 2015 2016 / م زمن اإلجابة: ثالث ساعات. اإلجابة يف الورقة نفسها. تعليامت وضوابط التقدم لالمتحان: الحضور إىل اللجنة قبل

المزيد من المعلومات

10) série d'exercices chute libre d'un corps solide

10) série d'exercices   chute libre d'un corps solide سلسلة تمارين حول السقوط الحر لجسم صلب ) تمرين رقم 7 الصفحة 9 الكتاب المدرسي فضاء الفيزياء السقوط الحر الرأسي يسقط جسم آروي من سطح عمارة وفق حرآة سقوط حر رأسي. - ما شكل مسار مرآز قصور الجسم - أعط القوى

المزيد من المعلومات

ondelum

ondelum - www.svt-assilah.com I- حيود الموجة الضوي ية: 1- الانتشار المستقيمي للضوء: ينتشر الضوء في الاوساط الشفافة وفق خطوط مستقيمية وهو ما يسمى مبدأ الانتشار المستقيمي للضوء 2- ظاهرة حيود الضوء : عندما نضيء شقا

المزيد من المعلومات

تحليلية الجداء السلمي وتطبيقاته

تحليلية الجداء السلمي وتطبيقاته . المرجح القدرات المنتظرة استعمال المرجح في تبسيط تعبير متجهي إنشاء مرجح n نقطة 4) n 2 ( استعمال المرجح لا ثبات استقامية ثلاث نقط من المستى استعمال المرجح في إثبات تقاطع المستقيمات استعمال المرجح في حل

المزيد من المعلومات

النهايات 1. بعض نهايات الدوال المرجعية -I lim x = lim x x = + lim x + x = + x + lim x x2 = + lim x + x2 = + lim x x3 = lim x + x3 = + lim x 1 x = 0 li

النهايات 1. بعض نهايات الدوال المرجعية -I lim x = lim x x = + lim x + x = + x + lim x x2 = + lim x + x2 = + lim x x3 = lim x + x3 = + lim x 1 x = 0 li النهايات. بعض نهايات الدوال المرجعية -I x = x x = + x + x = + x + x x = + x + x = + x x = x + x = + x x = x + x = x = x < x = + x >. نهاية دالة كثير حدود أو دالة ناطقة عند + أو النهاية عند (±) لدالة كثير

المزيد من المعلومات

Microsoft Word - Suites_Numériques_1_sm.doc

Microsoft Word - Suites_Numériques_1_sm.doc الا ستاذ الا لى علم رياضية المتتاليات العددية - I عمميات 4 ; 8 ; ; 6 ; ; ; أمثلة تمهيدية مثال أتمم بشكل منطقي ما يلي نقترح تخصيص رمز لكل من هذه الا عداد لهذا نضع u 4 ; u 8 ; u ; u 6 ; 4 5 فيكن لدينا I

المزيد من المعلومات

Présentation PowerPoint

Présentation PowerPoint P. Benameur nabil : قياس املرونات الفصل 2 1.مفهوم املرونة 2. مرونة الطلب السعرية والعوامل املؤثرة 3. مرونة الطلب الدخلية 4. املرونة التقاطعية للطلب 5. مرونة العرض السعرية والعوامل املؤثرة فيها فيها. لفظ

المزيد من المعلومات

الدرس : 1 مبادئ ف المنطق مكونات المقرر الرسم عناصر التوج هات التربو ة العبارات العمل ات على العبارات المكممات االستدالالت الر اض ة: االستدالل بالخلف ا

الدرس : 1 مبادئ ف المنطق مكونات المقرر الرسم عناصر التوج هات التربو ة العبارات العمل ات على العبارات المكممات االستدالالت الر اض ة: االستدالل بالخلف ا الدرس : 1 مبادئ ف المنطق مكونات المقرر الرسم عناصر التوج هات التربو ة العبارات العمل ات على العبارات المكممات االستدالالت الر اض ة: االستدالل بالخلف االستدالل بفصل الحاالت االستدالل بالتكافؤ نبغ تقر ب

المزيد من المعلومات

5-

5- قسم الفيزياءوالفلك اسم الطالب: ممتاز الرقم الجامعي: 0000 رقم الشعبة: إجابة االختبار الفصيل ملقرر 000000 فيز ( الفصل الدرايس الصيفي 44/43 ه ) مع تمنياتي للجميع التوفيق والنجاح A 3î, B 4ĵ, C -ĵ A B - C (Ax

المزيد من المعلومات

Microsoft Word - BacCorr2008SVT_WEB.doc

Microsoft Word - BacCorr2008SVT_WEB.doc א تحديد خارج تفاعل حمض الا سكوربيك مع الماء بقياس ph O.. آتابة معادلة التفاعل H8O( q + H ( 7 ( q + l + ( q.. الجدول الوصفي H8O( q + HO ( H7O ( q HO+ l + ( q معادلة التفاعل آميات mol ( التقدم حالة المجموعة

المزيد من المعلومات

منتديات طموحنا * ملتقى الطلبة و الباحثين *

منتديات طموحنا * ملتقى الطلبة و الباحثين * منتديات طموحنا * ملتقى الطلبة و الباحثين * wwwtomohacom الكفاءات المستهدفة استعمال التمثيل البياني لتخمين سلوك ونهاية متتالية عددية دراسة سلوك ونهاية متتالية معرفة واستعمال مفهوم متتاليتين متجاورتين حل

المزيد من المعلومات

جامعة العقيد الحاج لخضر - باتنة - 1 كلية العلوم االقتصادية والتجارية وعلوم التسيير قسم التعليم األساسي مادة II دروس وتطبيقات الرياضيات لطلبة السنة األ

جامعة العقيد الحاج لخضر - باتنة - 1 كلية العلوم االقتصادية والتجارية وعلوم التسيير قسم التعليم األساسي مادة II دروس وتطبيقات الرياضيات لطلبة السنة األ جامعة العقيد الحاج لخضر - باتنة - 1 كلية العلوم االقتصادية والتجارية وعلوم التسيير قسم التعليم األساسي مادة II دروس وتطبيقات الرياضيات لطلبة السنة األولى الثاني السداسي إعداد أساتذة المادة الفهرس العام

المزيد من المعلومات

درس 02

درس 02 ع دI و تحولاتها المادة المجال أفراد هندسة 02 الوحدة الا نواع الآيمياي ية بعض م ع ت ج المستوى 1 02 رقم الدرس ( المادة و التفاعلات الآيمياي ية بنية ) أفراد بعض الا نواع الآيمياي ية هندسة رقم 2 الوحدة المفاهيم

المزيد من المعلومات

الكيمياء : استعمالات حمض البنزويك الجزء الاول : تحديد النسبة المائوية لحمض البنزويك الخالص C 6 H 5 COOH (aq) + H 2 O (l) C 6 H 5 COO (aq) pk A = logk

الكيمياء : استعمالات حمض البنزويك الجزء الاول : تحديد النسبة المائوية لحمض البنزويك الخالص C 6 H 5 COOH (aq) + H 2 O (l) C 6 H 5 COO (aq) pk A = logk الكيمياء استعمالات حمض البنزويك الجزء الاول تحديد النسبة المائوية لحمض البنزويك الخالص C 6 H 5 COOH (aq) + H O (l) C 6 H 5 COO (aq) pk A = logk A pk A = log(6, 31. 10 5 ) = 4, 0 1 -معادلة التفاعل بين حمض

المزيد من المعلومات

بسم الله الرحمان الرحيم سلسلة تمارين حول توازن جسم صلب قابل للدوران حول محور ثابت

بسم الله الرحمان الرحيم      سلسلة تمارين حول توازن جسم صلب قابل للدوران حول محور ثابت بسم االله الرحمان الرحيم سلسلة تمارين حول توازن جسم صلب قابل للدوران حول محور ثابت تمرين رقم : أجب بصحيح أو بخطا على ما يلي : Σ يكون الجسم في حرآة. Σ ولا يتحقق الشرط أ) عندما يتحقق الشرط Σ لازمين لتحقيق

المزيد من المعلومات

سلسلة تمارين حول القوة المطبقة من طرف جسم نابض

سلسلة تمارين حول القوة المطبقة من طرف جسم نابض سلسلة تمارين حول القوة المطبقة من طرف جسم نابض- دافعة أرخميد س F 4N التمرين رقم 1 ص 58 من الكتاب المدرسي مرشدي في الفيزياء: يخضع جسم صلب S آتلته مهملة لتا ثيرين ميكانيكيين من طرف ديناموميترين D 1 و D فيشير

المزيد من المعلومات

تجربة السقوط الحر

تجربة السقوط الحر 1. أهداف التجربة: أهداف التجربة: اهلدف األساسي يف هذه التجربة هو قياس مركب احلقل املغناطيسي املوازي لسطح األرض. إال أن هلذه التجربة توجد أهداف أخرى أهما: أ. التعرف على بعض قوانني املغناطيسية. ب. التعرف

المزيد من المعلومات

Circuit RLC Série/ المتوالية RLC الدارة

Circuit RLC Série/ المتوالية RLC الدارة ircui RL Série/ المتوالية RL الدارة االطار المرجعي: الدارة RL المتوالية الموارد )معارف مهارات( معرفة األنظمة الثالثة للتذبذبات الدورية وشبه الدورية و الالدورية. تعرف وتمثيل منحنيات تغيرات التوتر بين مربطي

المزيد من المعلومات

أمثلة محلولة على الفصل الثانى السلوك الش ارئي للمستهلك مثال )1(: الجدول التالى يوضح لهذا المستهلك ومثل ذلك بيانيا المنفعة الكلية إلستهالك البرتقال لمس

أمثلة محلولة على الفصل الثانى السلوك الش ارئي للمستهلك مثال )1(: الجدول التالى يوضح لهذا المستهلك ومثل ذلك بيانيا المنفعة الكلية إلستهالك البرتقال لمس أمثلة محلولة على الفصل الثانى السلوك الش ارئي للمستهلك مثال )(: الجدول التالى يوضح لهذا المستهلك ومثل ذلك بيانيا إلستهالك البرتقال لمستهلك ما احسب الحدية الستهالك البرتقال حبات البرتقال و الحدية إلستهالك

المزيد من المعلومات

ثنائي القطب ثنائي القطب س 4 مادة العلوم الفيزيائية الكهرباء مميزات بعض ثنائيات القطب غير النشيطة الجذع المشترك الفيزياء جزء الكهرباء مميزات بعض ثنائيا

ثنائي القطب ثنائي القطب س 4 مادة العلوم الفيزيائية الكهرباء مميزات بعض ثنائيات القطب غير النشيطة الجذع المشترك الفيزياء جزء الكهرباء مميزات بعض ثنائيا ثنائي القطب ثنائي القطب س 4 الجذع المشترك الفيزياء جزء الكهرباء مميزات بعض ثنائيات القطب غري النشيطة Caractéristiques de quelques dipôles passifs 1- ثنائيات القطب : -1-1 نشاط : صل مربطي كل ثنائي قطب بجهاز

المزيد من المعلومات

بسم الله الرحمان الرحيم سلسلة تمارين حول توازن جسم صلب قابل للدوران حول محور ثابت

بسم الله الرحمان الرحيم      سلسلة تمارين حول توازن جسم صلب قابل للدوران حول محور ثابت بسم االله الرحمان الرحيم سلسلة تمارين حول توازن جسم صلب قابل للدوران حول محور ثابت تمرين رقم ص 7 من الكتاب المدرسي مرشدي في الفيزياء والكيمياء أجب بصحيح أو بخطا على ما يلي : Σ يكون الجسم في حرآة. Σ ولا

المزيد من المعلومات

وزارة التربية والتعليم مجلس االمارات التعليمي 1 النطاق 3 مدرسة رأس الخيمة للتعليم الثانوي Ministry of Education Emirates Educational Council 1 Cluster

وزارة التربية والتعليم مجلس االمارات التعليمي 1 النطاق 3 مدرسة رأس الخيمة للتعليم الثانوي Ministry of Education Emirates Educational Council 1 Cluster أوال : أجب عن األسئلة التالية )1 يسحب شخص مكعب ا خشبي ا كتلته ( )8.75kg على أرض إسمنتية نحو اليمين بوساطة حبل يميل فوق األفقي بزاوية ( )27 انظر الشكل جانب ا فإذا كانت قوة الشد في الحبل ( ) 1.00 102 N وعانى

المزيد من المعلومات

املستوى : الثالثة ثانوي إعدادي من إعداد األستاذ : املهدي عنيس : : مترين 1) لنحل جربيا النظمات اآلتية : أ) - باستعمال طريقة التعويض : 3x y 5 (1) */ حل

املستوى : الثالثة ثانوي إعدادي من إعداد األستاذ : املهدي عنيس : : مترين 1) لنحل جربيا النظمات اآلتية : أ) - باستعمال طريقة التعويض : 3x y 5 (1) */ حل املستى الثالثة ثاني إعدادي من إعداد األستاذ املهدي عنيس مترين 1) لنحل جربيا النظمات اآلتية أ) - باستعمال طريقة التعيض 3x 5 (1) */ حل النظمة x59 () /- لنحدد بداللة x يف املعادلة (1) 5 3 x يعين أن 3x5 x

المزيد من المعلومات

ראייה מרחבית א-ב

ראייה מרחבית א-ב بناء مضلعات مختلفة من قطعة ذات طول معي ن تطوير مفاهيم حول حفظ المحيط بالرغم من تغيير أنواع المضلعات لقاء جماعي من أجل تطوير القدرة الحسابية والقدرة على الرؤية في الفراغ صفوف أولثان ترجمة: كواكب سيف مركز

المزيد من المعلومات

الشريحة 1

الشريحة 1 1 4 > < فيما سبق درست حل معادالت خطية باجلمع والطرح. اآلن.. أحل متباينات خطية باجلمع أحل متباينات خطية بالطرح المفردات الصفة املميزة للمجموعة. . لماذا تبين المعلومات الواردة في الجدول أدناه أن المخصصات

المزيد من المعلومات

Microsoft Word - Sample Weights.doc

Microsoft Word - Sample Weights.doc ورشة العمل الا قليمية حول تصميم العينات الدوحة ١٥-١٧ ا يار/ مايو ٢٠٠٧ ترجيح العينات ا عداد خميس رد اد مستشار العينات ١ المحاضرة الثامنة ترجيح العينات مقدمة ان عملية ترجيح العينة تعنى عملية اعادة وضع العينة

المزيد من المعلومات

أكاديمیة الجھة الشرقیة تمارین محلولة:المنطق المستوى : الا ولى باك علوم تجریبیة الا ستاذ: نجیب عثماني p q p : ((- 2 ) 2 ¹ 4 ) q : p عبا

أكاديمیة الجھة الشرقیة تمارین محلولة:المنطق المستوى : الا ولى باك علوم تجریبیة الا ستاذ: نجیب عثماني p q p : ((- 2 ) 2 ¹ 4 ) q : p عبا أكاديمیة الجھة الشرقیة تمارین محللةالمنطق المستى الا لى باك علم تجریبیة الا ستاذ نجیب عثماني ¹ عبارة ( Ï تمرین أنقل الجدل التالي ثم ضع العلامة "" في الخانة المناسبة. كل زجي قابل للقسمة على مجمع عددین فردیین

المزيد من المعلومات

ماجستيرالعلوم في الرياضيات يحتوي على ثالث مسارات تخصصية : الرياضيات البحتة الرياضيات التطبيقية اإلحصاء الكلية : كلية العلوم بالدمام. احلرم اجلامعي : ا

ماجستيرالعلوم في الرياضيات يحتوي على ثالث مسارات تخصصية : الرياضيات البحتة الرياضيات التطبيقية اإلحصاء الكلية : كلية العلوم بالدمام. احلرم اجلامعي : ا ماجستيرالعلوم في الرياضيات يحتوي على ثالث مسارات تخصصية : الرياضيات البحتة الرياضيات التطبيقية اإلحصاء الكلية : كلية العلوم بالدمام. احلرم اجلامعي : الدمام القسم : قسم الرياضيات املسار : العلمي و اإلداري

المزيد من المعلومات

Microsoft Word - متوازي الأضلاع .docx

Microsoft Word - متوازي الأضلاع .docx التوازي والتعامد التماثل المركزي المكتسبات القبلیة الكفایات توجیھات تربویة التعرف على متوازي الا ضلاع و خاصیاتھ المتعلقة بالا ضلاع و الزوایا ربط خاصیات متوازي الا ضلاع بالتماثل المركزي. یعتبر التماثل المركزي

المزيد من المعلومات

Microsoft Word - new.doc

Microsoft Word - new.doc الدرس الاول فى الماتلاب عنوان الدرس : ما هو الماتلاب الماتلاب هو لغة ذات مستوى عالى للحسابات والبرمجة و تمتاز بوجود برنامج يسهل عملية التعامل مع هذه اللغة. ويشمل البرنامج على: الحسابات الرياضية عمل الالجوريثمات

المزيد من المعلومات

الحركات المستوية : حركة الكواكب و األقمار االصطناعية ) 1 قوانين كيبلر. بين 9061 و 9091 نشر كيبلر ) Kepler ( في كتابه أسترونوميا نوفا ثالثة قوانين اعتب

الحركات المستوية : حركة الكواكب و األقمار االصطناعية ) 1 قوانين كيبلر. بين 9061 و 9091 نشر كيبلر ) Kepler ( في كتابه أسترونوميا نوفا ثالثة قوانين اعتب الحركات المستوية : حركة الكواكب و األقمار االصطناعية ) 1 قوانين كيبلر. بين 9061 و 9091 نشر كيبلر ) Keple ( في كتابه أسترونوميا نوفا ثالثة قوانين اعتبرت ثورية آنذاك و مكنت من وصف حركة الكواكب حول الشمس.

المزيد من المعلومات

3 ème Collège _ CE9 Trigonométrie Série :1-A Page : 1/6 Exercice.1 Maths-Inter.ma التمرين. tan.. tan tan. sin sin cos sin cos فاحسب : فاحسب : فاحسب :

3 ème Collège _ CE9 Trigonométrie Série :1-A Page : 1/6 Exercice.1 Maths-Inter.ma التمرين. tan.. tan tan. sin sin cos sin cos فاحسب : فاحسب : فاحسب : ème Collège _ CE9 Trigonométrie Série :- Page : /6 sin sin cos sin cos ( a 0) sin cos cos لي ن قيا يا حا a a إ ا عل ت أ : إ ا عل ت أ : إ ا عل ت أ : إ ا عل ت أ : ) ) ( ) cos cos نعت قيا يا حا, ن ع : 0 أحسب

المزيد من المعلومات

Microsoft Word doc

Microsoft Word doc تمديدات الزمرة (n C بمساعدة الزمرة دانا صالح و عبد اللطيف هنانو قسم الرياضيات كلية العلوم جامعة دمشق سورية تاريخ الا يداع 2/7/27 قبل للنشر في 2//29 المل خص ( n C C C C.. = تبحث هذه الورقة العلمية تمديدات

المزيد من المعلومات

الواجب المنزلي: اسم الطالب: السؤال األول : أكمل العبارات التالية بما يناسبها: 1- نصف المسافة بين نواتي ذرتين متجاورتين )...( 2- الطاقة الالزمة لنزع اإ

الواجب المنزلي: اسم الطالب: السؤال األول : أكمل العبارات التالية بما يناسبها: 1- نصف المسافة بين نواتي ذرتين متجاورتين )...( 2- الطاقة الالزمة لنزع اإ الواجب المنزلي: اسم الطالب: السؤال األول : أكمل العبارات التالية بما يناسبها: 1- نصف المسافة بين نواتي ذرتين متجاورتين )...( 2- الطاقة الالزمة لنزع اإللكترون من الذرة المفردة وهي في الحالة الغازية )...(

المزيد من المعلومات

توازن جسم صلب خاضع لقوتين)تذكير(.I : عندما يكون جسم صلب في توازن تحت تاثير قوتين فان و )شرط الزم لتوازن مركز القصور G(. للقوتين نفس االتجاه.)شرط الزم

توازن جسم صلب خاضع لقوتين)تذكير(.I : عندما يكون جسم صلب في توازن تحت تاثير قوتين فان و )شرط الزم لتوازن مركز القصور G(. للقوتين نفس االتجاه.)شرط الزم توازن جسم صلب خاضع لقوتين)تذكير( I : عندما يكون جسم صلب في توازن تحت تاثير قوتين فان و )شرط الزم لتوازن مركز القصور G( للقوتين نفس االتجاه )شرط الزم لغياب الدوران( ملحوظة : نعلاام ان اذا كااان = مستقيمية

المزيد من المعلومات

مختبر البرمجة والتحليل العددي قسم علوم الجو جمل التحكم والشرط والتكرار المرحلة الثانية PROGRAM CONTROL, CONDITION AND LOOP STATEMENTS الجمل الشرطية :-

مختبر البرمجة والتحليل العددي قسم علوم الجو جمل التحكم والشرط والتكرار المرحلة الثانية PROGRAM CONTROL, CONDITION AND LOOP STATEMENTS الجمل الشرطية :- جمل التحكم والشرط والتكرار PROGRAM CONTROL, CONDITION AND LOOP STATEMENTS الجمل الشرطية :- تقسم جمل الشرط الى نوعين وهي :- -1 جملة اذا الشرطية ) statement ( if -2 جملة التوزيع ) case ( switch -1 جملة اذا

المزيد من المعلومات

الفصل الثاني

الفصل الثاني 1 برنامج MINTAB 17 105 احص إعداد أ- ريم المبطي 2 الفصل الثاني ( اختبارات الفروض وفترات الثقة ) لمعالم مجتمع واحد أوال : اختبار المتوسط : لدينا حالتين : نستخدم اختبار Z عندما : N كبيرة و معلومة أو مجهولة

المزيد من المعلومات

الفصل األول : مفاهيم أساسية حول علم اإلحصاء األساتذة: العشي هارون و بوراس فايزة تعريف اإلحصاء: هو مجموعة الطرق العلمية التي تسمح بجمع البيانات المتعلق

الفصل األول : مفاهيم أساسية حول علم اإلحصاء األساتذة: العشي هارون و بوراس فايزة تعريف اإلحصاء: هو مجموعة الطرق العلمية التي تسمح بجمع البيانات المتعلق الفصل األول : مفاهيم أساسية حول علم اإلحصاء تعريف اإلحصاء: هو مجموعة الطرق العلمية التي تسمح بجمع البيانات المتعلقة بظاهرة معينة وتبوبيها في جداول إحصائية وعرضها في صورة أشكال بيانية وتحليلها باستخدام

المزيد من المعلومات

الفصل الثاني عشر: النظرية الكمية للضوء The quantum theory of light الظاىرة الكهروضوئية Photoelectric effect لم تستطع الفيزياء الكالسيكية ونظرية موجية

الفصل الثاني عشر: النظرية الكمية للضوء The quantum theory of light الظاىرة الكهروضوئية Photoelectric effect لم تستطع الفيزياء الكالسيكية ونظرية موجية الفصل الثاني عشر: النظرية الكمية للضوء The quantu thery f light الظاىرة الكهروضوئية Phtelectric effect لم تستطع الفيزياء الكالسيكية ونظرية موجية الضوء تفسير العديد من الظواىر الفيزيائية ومنها: طيف أشعة

المزيد من المعلومات

doc11

doc11 الجزء األول من الكتاب المدرسي (3 ع ت 3 ت ر ر ( التطورات الزمنية الرتيبة تطور جملة كيميائية نحو حالة التوازن الوحدة 4 DAHEL MT Lycée benalioui salah SETIF ***********************************************************

المزيد من المعلومات

) NSB-AppStudio برمجة تطبيقات األجهزة الذكية باستخدام برنامج ( ) برمجة تطبيقات األجهزة الذكية باستخدام برنامج ( NSB-AppStudio الدرس األول ) 1 ( الدرس

) NSB-AppStudio برمجة تطبيقات األجهزة الذكية باستخدام برنامج ( ) برمجة تطبيقات األجهزة الذكية باستخدام برنامج ( NSB-AppStudio الدرس األول ) 1 ( الدرس ) NSB-AppStudio ) 1 ( أهداف الدرس : بعد انتهاء هذا الدرس ستكون الطالبة قادرة على أن : )1 توضح مميزات برنامج ( NSB-AppStudio ) 2( تعدد لغات البرمجة المستخدمة في برنامج ( NSB-AppStudio ) 3( تذكر خطوات كتابة

المزيد من المعلومات

بسم هللا الرحمن الرحيم المادة: مقدمة في بحوث العمليات )100 بحث ) الفصل الدراسي األول للعام الدراسي 1439/1438 ه االختبار الفصلي الثاني اسم الطالب: الرق

بسم هللا الرحمن الرحيم المادة: مقدمة في بحوث العمليات )100 بحث ) الفصل الدراسي األول للعام الدراسي 1439/1438 ه االختبار الفصلي الثاني اسم الطالب: الرق بسم هللا الرحمن الرحيم المادة: مقدمة في بحوث العمليات ) بحث ) الفصل الدراسي األول للعام الدراسي 9/8 ه االختبار الفصلي الثاني اسم الطالب: الرقم الجامعي: أستاذ المقرر: الدرجة: أكتب اختيارك لرمز اإلجابة الصحيحة

المزيد من المعلومات

متوسطة عيسى الصحبي دائرة تنيرة والية سيدي بلعباس مذكرات الجيل الثاني المستوى: 03 متوسط األستاذ: حمزة محمد

متوسطة عيسى الصحبي دائرة تنيرة والية سيدي بلعباس مذكرات الجيل الثاني المستوى: 03 متوسط األستاذ: حمزة محمد متوسطة عيسى الصحبي دائرة تنيرة والية سيدي بلعباس مذكرات الجيل الثاني المستوى: 03 متوسط األستاذ: حمزة محمد العمليات على األعداد النسبية الكسور و حاالت تقايس مثلثين المقطع التعلمي األول: العمليات على األعداد

المزيد من المعلومات

دولة إسرائيل وزارة الت ربية والت عليم قوانين ومعطيات في الفيزياء ملحق لجميع امتحانات البچروت بمستوى 5 وحدات تعليمي ة الفهرس قوانين صفحة الميكانيكا 2 ا

دولة إسرائيل وزارة الت ربية والت عليم قوانين ومعطيات في الفيزياء ملحق لجميع امتحانات البچروت بمستوى 5 وحدات تعليمي ة الفهرس قوانين صفحة الميكانيكا 2 ا دولة إسرائيل وزارة الت ربية والت عليم قوانين ومعطيات في الفيزياء ملحق لجميع امتحانات البچروت بمستوى 5 وحدات تعليمي ة الفهرس قوانين صفحة الميكانيكا الكهر مغناطيسي ة 3 األشع ة والماد ة 5 فعالي ات مختبري

المزيد من المعلومات

. رصد حضور المرأة في وسائل اإلعالم المحلية 2017

. رصد حضور المرأة في وسائل اإلعالم المحلية 2017 . رصد حضور المرأة في وسائل اإلعالم المحلية 2017 المقدمة : عينة الدراسة الصحافة المطبوعة : الرأي والغد والدستور والسبيل. المواقع اإللكترونية : عمون وسرايا وخبرني والوكيل. التلفزيون : التلفزيون األردني ورؤيا.

المزيد من المعلومات

1029 مدارس المحور الدولية M.I.S االمتحان النهائي للعام الدراسي / 1028 المبحث : الكيمياء الصف : الثاني ثانوي علمي الشعبة : ( ) التاريخ : / / 4119 العال

1029 مدارس المحور الدولية M.I.S االمتحان النهائي للعام الدراسي / 1028 المبحث : الكيمياء الصف : الثاني ثانوي علمي الشعبة : ( ) التاريخ : / / 4119 العال 029 مدارس المحور الدولية M.I.S االمتحان النهائي للعام الدراسي / 028 المبحث : الكيمياء الصف : الثاني ثانوي علمي الشعبة : ( ) التاريخ : / / 49 العالمة : ( / 4 ) االسم :... )24 عالمة( السؤال األول : انقل

المزيد من المعلومات

Microsoft Word - T Square & Triangles

Microsoft Word - T Square & Triangles تثبيت لوحة الرسم إلى الطاولة أول مھمة تواجه الرسام قبل بدئه جلسة الرسم الھندسي ھي تثبيت لوحة الرسم إلى الطاولة بالمسطرة T والورق الالصق شكل 1. أوال : الطاولة (أو لوح خشبي مستطيل) حافتھا اليسرى مستقيمة.

المزيد من المعلومات

Microsoft Word - CO_RT10

Microsoft Word - CO_RT10 إعداد : تقديم الشكل أسفله يمثل مضخم يعتمد على ترانزيستور. فھو يحتوي على شبكة من المقاومات تمكن من تقطيب و مكثفات تعمل على ربط المضخم بأخر وذلك بتمرير اإلشارات المتناوبة. R1 100k 1µF 1µF (Load) Rc (charge)

المزيد من المعلومات

الرقابة الداخلية والرقابة الخارجية

الرقابة الداخلية والرقابة الخارجية الرقابة الداخلية - التدقيق الداخلي الرقابة الخارجية القاضي أفرام الخوري الرقابة الداخلية - التدقيق الداخلي والرقابة الخارجية الفقرة االولى : المقاييس العامة ألي نظام رقابي 1 هدف الرقابة : الرقابة على الوسيلة

المزيد من المعلومات

les ondes mecaniques progressives cours

les ondes mecaniques progressives cours الموجات الميكانيكية المتوالية Les ondes mécaniques progressives I الموجات الميكانيكية المتوالية 1 الموجة الميكانيكية النشاط التجريبي 1 نعرض التجارب التالية بواسطة فيديو أو القيام بها داخل القسم في حالة

المزيد من المعلومات

المملكة العربية السعودية م ق س ..../1998

المملكة العربية السعودية م ق س ..../1998 SFDA.FD 2483 /2018 الدهون )األحماض الدهنية( المتحولة Trans Fatty Acids ICS : 67.040 تقديم الهيئة جهة مستقلة الغرض األساسي لها هو القيام بتنظيم وم ارقبة الغذاء والدواء واألجهزة الطبية ومن مهامها وضع اللوائح

المزيد من المعلومات

و ازرة التعليم العالي والبحث العلمي جامعة القادسية كلية التربية قسم الرياضيات بحث مقدم الى قسم الرياضيات كجزء من متطلبات نيل شهادة البكالوريوس علوم ري

و ازرة التعليم العالي والبحث العلمي جامعة القادسية كلية التربية قسم الرياضيات بحث مقدم الى قسم الرياضيات كجزء من متطلبات نيل شهادة البكالوريوس علوم ري و ازرة التعليم العالي والبحث العلمي جامعة القادسية كلية التربية قسم الرياضيات بحث مقدم الى قسم الرياضيات كجزء من متطلبات نيل شهادة البكالوريوس علوم رياضيات من قبل الطالبة نور محمد حسن بأش ارف د. كوركيس

المزيد من المعلومات

Microsoft Word - Grade 9 T3 ADEC Exam revision questions

Microsoft Word - Grade 9 T3 ADEC Exam revision questions Name: School: Class: G9 Practice Questions Revision for ADEC T3 Mathematics Exam 4/25/2011 Produced at Tahnoon School, Al Ain Students are expected to use their knowledge and understanding of the content

المزيد من المعلومات

مذكرة رقم 5 الا ھداف القدرات المنتظرة من الدرس : في درسالدوال اللوغاريتمية مذكرة رقم : 5 الا ستاذ : عثماني نجیب تعریف: الا ستاذ : عثماني نجیب l 2 1 n

مذكرة رقم 5 الا ھداف القدرات المنتظرة من الدرس : في درسالدوال اللوغاريتمية مذكرة رقم : 5 الا ستاذ : عثماني نجیب تعریف: الا ستاذ : عثماني نجیب l 2 1 n مذكرة رقم 5 الا ھداف القدرات المنتظرة من الدرس : في درسالدوال اللوغاريتمية مذكرة رقم : 5 تعریف: l n æ ç æ = n n ( 5),,,9 =- ( 5) ; -, 5 l - l ; - ; - è5ø.i توجد دالة تسمى دالة اللوغاریتم النبیري یرمز لھا

المزيد من المعلومات

نموذج توصيف المقرر الدراسي

نموذج توصيف المقرر الدراسي المركز الوطني للتقويم واالعتماد األكاديمي National Center for Academic Accreditation and Evaluation الدراسي المقرر توصيف اسم المقرر: الطرائق الرياضية رمز المقرر: ريض 9 ه- 8 م ب د ج ه نموذج توصيف مقرر دراسي

المزيد من المعلومات

بعض تطبيقات توازن جسم صلب خاضع لقوتين Quelques applications de l équilibre d un solide soumis à deux forces األدهاا *التذكير بشرطي توازن جسم صلب خاضع

بعض تطبيقات توازن جسم صلب خاضع لقوتين Quelques applications de l équilibre d un solide soumis à deux forces األدهاا *التذكير بشرطي توازن جسم صلب خاضع بعض تطبيقات توازن جسم صلب خاضع لقوتين Quelques applications de l équilibre d un solide soumis à deux forces األدهاا *التذكير بشرطي توازن جسم صلب خاضع لقوتين. *معرفة و تطبيق العالقة =T. K *تعريف دافعة أرخمياس

المزيد من المعلومات

اردوينو – الدرس الثامن – تغيير درجة الالوان لـ RGB LED

اردوينو – الدرس الثامن – تغيير درجة الالوان لـ RGB LED اردوينو الدرس الثامن تغيير درجة الالوان ل RGB LED في هذا الدرس ستقوم بتطبيق ماتعلمته بالدرس السابع والرابع وذلك لاستخدام الازرار في تغيير درجة الالوان في RGB Led القطع المطلوبة لاتمام هذا الدرس عليك توفير

المزيد من المعلومات

قررت وزارة التعليم تدري س هذا الكتاب وطبعه على نفقتها الريا ضيات لل صف االأول االبتدائي الف صل الدرا سي الثاين كتاب التمارين قام بالت أاليف والمراجعة

قررت وزارة التعليم تدري س هذا الكتاب وطبعه على نفقتها الريا ضيات لل صف االأول االبتدائي الف صل الدرا سي الثاين كتاب التمارين قام بالت أاليف والمراجعة قررت وزارة التعليم تدري س هذا الكتاب وطبعه على نفقتها الريا ضيات لل صف االأول االبتدائي الف صل الدرا سي الثاين كتاب التمارين قام بالت أاليف والمراجعة فريق من المتخ ص صين طبعة 9 0 ه 08 09 م ح وزارة التعليم

المزيد من المعلومات

Determinants

Determinants قسم الهندسة الزراعية د/ خالد ف ارن طاهر الباجورى استاذ الهندسة الز ارعية المساعد khaledelbagoury@yahoo.com Mobil: 01222430907 المقدمة ماهي المصفوفة جمع الضرب الكمي للمصفوفات ضرب منقول المصفوفة محدد المصفوفة

المزيد من المعلومات

و ازرة التعليم العالي والبحث العلمي جامعة القادسية كلية التربية قسم الرياضيات بحث تقدم به الطالب احمد عادل رزوقي وهو جزء من متطلبات نيل شهادة البكالور

و ازرة التعليم العالي والبحث العلمي جامعة القادسية كلية التربية قسم الرياضيات بحث تقدم به الطالب احمد عادل رزوقي وهو جزء من متطلبات نيل شهادة البكالور و ازرة التعليم العالي والبحث العلمي جامعة القادسية كلية التربية قسم الرياضيات بحث تقدم به الطالب احمد عادل رزوقي وهو جزء من متطلبات نيل شهادة البكالوريوس في قسم الرياضيات بأش ارف ندى زهير م.د. 1439 ه 2018

المزيد من المعلومات

)حل أسئلة اختبار االحصاء( المتغير النوعي هو البيانات التي ال يمكن التعبير عنها بعدد يعني غير رقميهمثل نوع او لون السيارات او الحالة االجتماعية اعزب مت

)حل أسئلة اختبار االحصاء( المتغير النوعي هو البيانات التي ال يمكن التعبير عنها بعدد يعني غير رقميهمثل نوع او لون السيارات او الحالة االجتماعية اعزب مت )حل أسئلة اختبار االحصاء( المتغير النوعي هو البيانات التي ال يمكن التعبير عنها بعدد يعني غير رقميهمثل نوع او لون السيارات او الحالة االجتماعية اعزب متزوج المتغير الكمي المتقطع هو البيانات التي يعبر عنها

المزيد من المعلومات

مبادئ أساسية في الكهرباء الساكنة والتيار الكهربائي Fundamental principles in the electrostatics, and the electric current البحث 10 1 التيار ال

مبادئ أساسية في الكهرباء الساكنة والتيار الكهربائي Fundamental principles in the electrostatics, and the electric current البحث 10 1 التيار ال مبادئ أساسية في الكهرباء الساكنة والتيار الكهربائي Fundamental principles in the electrostatics, and the electric current البحث 0 التيار 0.00 الكهربائي :The electric current يطلق اسم التيار الكهربائي على

المزيد من المعلومات

اسم المفعول

اسم المفعول اسم المفعول اسم المفعول اسم ي شتق من الفعل المتعدي المبني للمجهول المتعدي وهي تدل على وصف من يقع عليه الفعل. يصاغ اسم المفعول على الن حو التالي : 1 الفعل الثالثي : على وزن م ف ع ول مثل: ك ت ب : م ك ت وب

المزيد من المعلومات

Bac blanc physique chimie2a.bac SBIRO

Bac blanc physique chimie2a.bac    SBIRO =أولاد تايمة= أبريل 009 موضوع الامتحان التجريبي شعبة العلوم الزراعية بسم االله الرحمان الرحيم التمرين الا ول فيزياء ( 6 ن) 1- ترآيب لاقط الرطوبة: -1 -أعط وصفا للتذبذبات المحصل عليها.ثم عين نظام تطور التوتر

المزيد من المعلومات

عرض تقديمي في PowerPoint

عرض تقديمي في PowerPoint Dr./ Ahmed Mohamed Rabie Sayed 1 2 صندوق االدوات صندوق االدوات Tools Box يحتوى اظهار وإخفاء Tools Box من قائمة على االدوات Window الرئيسية الالزمة النشاء واختيار.Tools وتعديل التصميم. ويمكن 3 Move Tool

المزيد من المعلومات

PowerPoint Presentation

PowerPoint Presentation مشروع التسويق ولوجيستيات االعمال الزراعية المتقدمة التحليل المالي كيبف تحدد سعر التكلفة والسعر النهائي الى أي مدى يعكس السعر الجودة 50 قرش للكيلو جنيه للكيلو هل التكاليف هي المكون الوحيد للسعر 3 مالذي

المزيد من المعلومات

Microsoft Word - Study Plan _ Arabic

Microsoft Word - Study Plan _ Arabic البرنامج الا سترشادي لطلبة قسم الهندسة الميكانيكية السنة الا ولى (جميع التخصصات: قوى حرارية ميكاترونكس طيران) رمز ورقم رمز ورقم المساق المساق - لغة عربية ع 101 - مهارات الحاسوب ن م 100 ر 101 تفاضل وتكامل

المزيد من المعلومات