سلسلة محاضرات الفيزياء الحديثة( 2 ) (المحاضرة الثالثة) الدكتور محمد احمد آلجاللي قسم الفيزياء كلية المعلمين جامعة الطائف تكميم كمية الحركة الزاوية الم

الحجم: px

بدء العرض من الصّفحة:

Download "سلسلة محاضرات الفيزياء الحديثة( 2 ) (المحاضرة الثالثة) الدكتور محمد احمد آلجاللي قسم الفيزياء كلية المعلمين جامعة الطائف تكميم كمية الحركة الزاوية الم"

صهيب طقش
منذ 2 سنوات سابقة
المشاهدات:

تكميم كمية الحركة الزاوية المدارية Quantization of The orbita anguar momentum Reationship between force (F), torque (τ), and momentum vectors (p and

كمية الحركة الزاوية المدارية المكممة أثر المجال المغناطيسي الخارجي على كمية الحركة الزاوية المدارية المكممة 1.

1 تكميم كمية الحركة الزاوية المدارية Quantization of The orbita anguar momentum Reationship between force (F), torque (τ), and momentum vectors (p and ) in a rotating system *كمية الحركة الزاوية المدارية تسمى في بعض الكتب العزم الحركي المداري نظرا لتشابھھا مع قانون عزم القوة المحتوى: الكالسيكية كمية الحركة الزاوية المدارية المكممة أثر المجال المغناطيسي الخارجي على كمية الحركة الزاوية المدارية المكممة 1. الدراسة الكالسيكية: كمية الحركة الزاوية المدارية كمية متجھة نطبق عليھا نظام المتجھات توضح العالقات أدناه كيفية التعامل الرياضي مع جداء(ضرب) متجھتين إتجاھيا(راجع كتاب الفيزياء العامة) (1) () 1

(3) تعطى كمية الحركة الزاوية المدارية لجسم يتحرك على مسار ما بالنسبة إلى نقطة مرجعية(الشكل تحت العنوان)

مسارھا ففي حال حركة األرض حول الشمس فإنھا عندما تقترب تزداد سرعتھا الخطية وينقص نصف قطر الدوران والعكس عند

2 (3) تعطى كمية الحركة الزاوية المدارية لجسم يتحرك على مسار ما بالنسبة إلى نقطة مرجعية(الشكل تحت العنوان) بالعالقة التالية: r r r r = r p = m( v) (4) حيث كمية الحركة الزاوية المدارية m كتلة الجسيم r نصف قطر الدوران v السرعة. في حال كون كمية الحركة الزاوية محفوظة(خاضعة لقوانين حفظ الطاقة وكمية الحركة) فإنھا تكون ثابتة في كل نقطة من مسارھا ففي حال حركة األرض حول الشمس فإنھا عندما تقترب تزداد سرعتھا الخطية وينقص نصف قطر الدوران والعكس عند االبتعاد بحيث تكون المساحات المقطوعة متساوية خالل أزمنة متساوية (الخط الواصل من الكوكب إلى الشمس يمسح مساحات متساوية خالل أزمنة متساوية) (قانون كبلر للمساحات) انظر الشكل( 1 ). وبتطبيق العالقة () على العالقة (4) نجد:

3 p x p y p z r r r i j k r = x y z (5) ومنه نجد من (5) مسقط كمية الحركة الزاوية على المحاور الديكارتية: x y z = yp = zp = xp z x y zp xp yp x y z (6) الدراسة المكممة: (7) يلزمنا ھنا أن نتعامل مع المؤثرات في ميكانيكا الكم ومع ھاملتون الطاقة ويفترض بالدارس أن يكون على إطالع بھذه المواضيع ولذلك سوف نأخذ النتائج لكي ال نفقد المعاني الفيزيائية لدراستنا في ھذا الصدد وسوف نتعامل مبدئيا مع ذرة الھيدروجين. تعطى معادلة شرودينجر بالعالقة التالية: Ηˆ ψ = Eψ h ( m + U( r)) ψ = Eψ. وفي اإلحداثيات الكروية الشكل (3) تعطى معادلة شرودينجر بالعالقة التالية: 3

4 (8) تحل ھذه المعادلة بطريقة فصل المتغيرات ويعبر عن الحل بالدالة الموجية التالية: (9) بتعويض العالقة (9) في (8) نحصل على المعادلة التالية : (10) القسم األول من المعادلة (10) يعبر عن الجزء القطري وله الشكل التالي: (11) عدد يحدد من الشروط الحدية لحل المعادلة (10) وأھم نتائج حل الجزء القطري ھو إعطائنا قيم الطاقة مكممة حيث ولھا الشكل التالي: كدالة للعدد الكمي n (1) وھي تتوافق مع عالقة بور. القسم الثاني من المعادلة (10) يعبر عن الجزء الزاوي ويمكن الحصول عليه بالعودة إلى العالقة( 6 ) ولكن بلغة المؤثرات (راجع المؤثرات في الفضاء ثالثي األبعاد) نجد أن: 4

5 ˆ ˆ = ˆ x = h + ˆ y + ˆ z 1 1 sinθ + sinθ θ θ sin θ φ (13) وبتأثير العالقة (13) على الدالة الموجية (9) بعد اختزال القسم القطري نجد : ˆ 1 1 ψ ( θ, φ) = h sinθ + ( θ) ( φ) = ( + 1) h ψ ( θ, φ) sinθ θ θ p F sin θ φ (14) بالمقارنة بين العالقة( 14 ) مع العالقة (10) والعالقة (11) نجد وفق عالقات المؤثرات العالقة التالية : m ( θ, φ) = ( + 1) h ψ ( θ, φ) (15) ˆ m ψ من العالقة (15) نجد أن القيمة الذاتية (المميزة الخاصة (Eigen vaue لكمية الحركة الزاوية المدارية لھا الشكل التالي: = ( + 1) h = ( + 1). h where = 0,1,,3,... n 1 (16) يسمى العدد بالعدد الكمي المداري لكمية الحركة الزاوية المدارية ويأخذ القيم الموضحة في العالقة (16) حصريا والعالقة (16) تعبر عن تكميم جديد يختلف ويتناقض مع فرض بور ) nh ). = وبالتالي انطالقة نحو تفسير ما عجزت عنه النظريات السابقة. من العالقة (10) القسم الثاني يمكن معالجته بطريقة فصل المتغيرات لنحصل على عالقتين من الشكل: (17) والجزء األيمن من العالقة( 17 ) يساوي إلى: (18) العالقة (18) تسمى عادة الجزء ألسمتي equation) (azimuthay ولھا دور مھم في توجھات كمية الحركة الزاوية بوجود المجال المغناطيسي الخارجي وكذلك ھي معادلة تفاضلية من المرتبة الثانية تقبل حال مشروطا ) C )من الشكل: φ = m (18) 5

بالعودة إلى المؤثر على المحور z لكمية الحركة الزاوية المدارية نحصل على العالقة (18) وبلغة المؤثرات: ˆ z F ( φ ) = m hf ( φ ) (19 ) من العالقة (19) نحصل على القيم الذاتية لمركبة كمية الحركة الزاوية

.. (0) بالعدد الكمي المغناطيسي المداري لكمية الحركة الزاوية المدارية ويساعدنا بشكل جلي في فھم m يسمى العدد توجھات كمية الحركة الزاوية المدارية بوجود مجال مغناطيسي موجه نحو المحور z.

6 بالعودة إلى المؤثر على المحور z لكمية الحركة الزاوية المدارية نحصل على العالقة (18) وبلغة المؤثرات: ˆ z F ( φ ) = m hf ( φ ) (19 ) من العالقة (19) نحصل على القيم الذاتية لمركبة كمية الحركة الزاوية على المحور z وھي: z = m h where m =, + 1, = 0, ± 1, ±... (0) بالعدد الكمي المغناطيسي المداري لكمية الحركة الزاوية المدارية ويساعدنا بشكل جلي في فھم m يسمى العدد توجھات كمية الحركة الزاوية المدارية بوجود مجال مغناطيسي موجه نحو المحور z. مالحظة :ھناك العديد من الطرق للحصول على ما سبق (من الضروري جدا مراجعة كتب ميكانيكا الكم) موجز ما سبق: األعداد الكمية الناتجة من حل معادلة شرودينجر لذرة الھيدروجين Quantum Numbers from Hydrogen Equations The hydrogen atom soution requires finding soutions to the separated equations which obey the constraints on the wavefunction. The soution to the radia equation can exist ony when a constant which arises in the soution is restricted to integer vaues. This gives the principa quantum number: نتائج حل القسم القطري العدد الكمي الرئيسي Simiary, a constant arises in the coatitude equation which gives the orbita quantum number: نتائج حل القسم الزاوي(القطبي) العدد الكمي المداري Finay, constraints on the azimutha equation give what is caed the magnetic quantum number: نتائج حل القسم ألسمتي العدد الكمي المغناطيسي 6

3. أثر المجال المغناطيسي الخارجي على كمية الحركة الزاوية المدارية المكممة: وجدنا في الفقرة السابقة

.. n 1 < n ( ) والعتبارات طيفية(الذرية واألطياف) أخذت األرقام السابقة شكل رموز أي العدد 0 يرمز له

7 3. أثر المجال المغناطيسي الخارجي على كمية الحركة الزاوية المدارية المكممة: وجدنا في الفقرة السابقة أن القيمة العددية لكمية الحركة الزاوية المدارية المكممة قد أعطيت العالقة التالية: = ( + 1) h = ( + 1). h where = 0,1,,3,... n 1 (1) حيث العدد الكمي المداري(الثانوي) ويرتبط مع العدد الكمي الرئيسي n بالعالقة: = 0,1,,3,... n 1 < n ( ) والعتبارات طيفية(الذرية واألطياف) أخذت األرقام السابقة شكل رموز أي العدد 0 يرمز له S والعدد 1 رمز له d و 3 رمز له f وھكذا كما في التمثيل التالي: يرمز له p و = 0,1,,3,... n 1 < s, p, d, f n ( 3 ) وبعص الكتب أعطت تلك الرموز التسميات أدناه نسبة إلى السالسل الطيفية : المتسلسلة الرئيسية principa وتتم فيھا االنتقاالت من الحاالت المثارة P للحالة األساسية. S المتسلسلة الحادة sharp وتتم فيھا االنتقاالت من الحاالت المثارة Sللحالة األرضية(األساسية) p. -1-7

8 المتسلسلة المنتشرة diffuse وتتم فيھا االنتقاالت من الحاالت المثارة D للحالة األرضية(األساسية) P. المتسلسلة األولية fundamenta وتتم فيھا االنتقاالت من الحاالت المثارة F للحالة األرضية(األساسية) -3-4 األحرف الكبيرة تشير إلى الحدود الطيفية (راجع ذرية وأطياف). ولكي تتم االنتقاالت من الحاالت المثارة إلى الحاالت األساسية فإنھا تخضع لشروط صارمة تسمى قواعد االصطفاء (االنتقاء)( rues (seection تعطى بالعالقة التالية: Δ Δm = ± 1 = 0, ± 1 (4) أما العدد الكي الرئيس n فال يوجد عليه قيود في االنتقاالت. نعود اآلن إلى وصف الظاھرة الفيزيائية الناجمة عن وجود مجال مغناطيسي خارجي يؤثر على الذرة فكيف تتصرف الذرة تجاه ذلك المجال وھل المغناطيسية متأصلة في الذرة إذا لم تكن كذلك لن يحصل تفاعل ولماذا ركزنا على كمية الحركة الزاوية. إن المغناطيسية متأصلة في الذرة من خالل الوصف البسيط التالي: اإللكترون في مداره حول النواة يشكل دائرة كھربائية صغيرة وكما نعلم فكل دائرة كھربائية تنشر حولھا مجال مغناطيسي(تجربة أورستد)يشبه مجال ثنائي قطب مغناطيسي (مغناطيس ذو قطبين شمالي وجنوبي) يتحدد قطبه الشمالي بوضع أصابع اليد اليمنى مع التيار فتكون جھة اإلبھام القطب الشمالي وفي حال وجود مجال مغناطيسي خارجي B فمن المؤكد أن دائرة اإللكترون الذري سوف تتفاعل مع ذلك المجال الخارجي مما يؤثر على توجھات كمية الحركة الزاوية المدارية ومن الملفت للنظر أن مركبات على اتجاه المجال المغناطيسي الخارجي ليست اعتباطية بل مكممة وإذا اعتبرنا أن اتجاه المجال المغناطيسي باتجاه المحور z فان ذلك سوف يتوافق مع الدراسة السمتية في الفقرة السابقة أي : z = m h where m =, + 1, = 0, ± 1, ±... (5) والشكل (4) شكل تخطيطي يبين مسقط على اتجاه المجال المغناطيسي z. 8

9 مثال:بفرض أن 1=Ɩ (1) و( 5 ) نجدان: نجد أن قيم 1,0-=m 1 وبالتالي ھناك ثالثة قيم محتملة لمسقط على المحور z ووفقا للعالقة = ( + 1 ). h = 1 (1 + 1 ) h = z = m h = h, 0, h h ( 6 ) إن لقيمة قيمة واحدة ولكن مسقطھا على المحو z يمكن أن يأخذ ثالثة قيم أنظر الشكل( 5 ) حيث =Ɩ الحظ أنه وف شروط التكميم ال يمكن ل أن تنطبق على z وان عدد التوجھات الممكنة في حال وجود المجال المغناطيسي الخارجي ھو 1+Ɩ ففي مثالنا نجد 3=1+Ɩ. الشكل (6) يوضح التوجه الفضائي لكمية الحركة الزاوية ومسقطھا على اتجاه المجال المغناطيسي. إن المثال والشكل (5) تعبيرا واضحا عن انشطار مستوي بور األساسي n وھو ما عجزت عنه نظرية بور. إلى عدة مستويات تحدد من العالقات أعاله 9

10 ما ھو السر في دراسة مسقط كمية الحركة الزاوية المدارية على اتجاه المجال المغناطيسي علما أن عالقة كمية الحركة ال تحوي أثار للمجال المغناطيسي وبمعنى أخر فان المجال المغناطيسي الخارجي ال يتفاعل إال مع مغناطيس ونحن ھنا ركزنا على كمية الحركة الزاوية لإللكترون (ولم نناقش التفاعل المغناطيسي بين المغنطيسين الخارجي والذري) في الذرة دون أن نبين التفاعل صراحة وعالجنا الموضوع ونحن واثقين من دراستنا. ھذا الموضوع ھو موضوع المحاضرة القادمة بعون الله. 10

ملفّات مشابهة

صفوت مصطفي حميد ضهير مدرسة الدوحة الثانوية ب أي خطأ طباعي أو إثناء التحويل من صيغة آلخري يرجي إبالغي به والخطأ مني ومن الشيطان أما توفيقي فمن هللا عرف

صفوت مصطفي حميد ضهير مدرسة الدوحة الثانوية ب أي خطأ طباعي أو إثناء التحويل من صيغة آلخري يرجي إبالغي به والخطأ مني ومن الشيطان أما توفيقي فمن هللا عرف أي خطأ طباعي أو إثناء التحويل من صيغة آلخري يرجي إبالغي به والخطأ مني ومن الشيطان أما توفيقي فمن هللا عرف المصطلحات التالية: الكميات الفيزيائية القياسية: هي كميات التي يعبر عنها بعدد ووحدة قياس مثل "درجة