أسس اإلحصاء للس نة ال ثال ثة بمرحلة الت عليم الثانوي ) القسم العلمي ( تأليف ا. ناجة رشيد الكيخيا مراجعةعلمية د. ا حمد محمد مامي مراجعة لغوية ا.محمد ال

الحجم: px
بدء العرض من الصّفحة:

Download "أسس اإلحصاء للس نة ال ثال ثة بمرحلة الت عليم الثانوي ) القسم العلمي ( تأليف ا. ناجة رشيد الكيخيا مراجعةعلمية د. ا حمد محمد مامي مراجعة لغوية ا.محمد ال"

النسخ

1 أسس اإلحصاء للس نةالثالثةبمرحلةالتعليمالثانوي )القسمالعلمي( تأليف ا. ناجة رشيد الكيخيا مراجعةعلمية د. ا حمد محمد مامي مراجعة لغوية ا.محمد الشلطامي ه م 1

2 جميع حقوق الطبع اولنشر محفوظة لمركز المناهجتلاعليمية والبحوث التربوية 2

3 املقدمة: 6 t وهللا املوفق 3

4 4

5 الفصلاألول نظريةاالحتماالت نظرية االحتماالت هي أساس اإلحصاء االستداللي فتمدنا بالطرق واألساليب الرياضية التي تساعدنا للوصول إلى أفضل االستنتاجات والقرارات التي تخضع لدرجة من عدم التأكد وذلك بسبب دراسة الجزء لالستدالل على صفات الكل. وقبل التطرق لنظرية االحتماالت سنعرض بعض المصطلحات اإلحصائية الهامة التي لها عالقة مباشرة بموضوع االحتماالت وهذه المصطلحات هي: ) 1-1 (التجربةالعشوائية: ت عرف التجربة العشوائية بأهنا أية عملية قد تعطى نتائج مختلفة حتى إذا أعيدت تحت نفس الظروف وال يمكن أن نتنبأ أو نحدد بشكل أكيد نتيجتها قبل إجرائها ولكننا نعرف مسبق ا كل النتائج التي يمكن الحصول عليها. مثال) 2-1 ( مثال) 1-1 ( عند إلقاء قطعة نقدية يف الهواء وتركها تعود يف هذه العملية نستطيع مسبق ا معرفة كل النتائج الممكن الحصول عليها وهي وجه أو ظهر ولكن ال نعرف مسبق ا أي نتيجة من هذه النتائج ستظهر حتم ا فهذه العملية يطلق عليها تجربة عشوائية. عند إلقاء مكعب نرد يف الهواء وتركه يعود يف هذه العملية نستطيع مسبق ا معرفة كل النتائج الممكن الحصول عليها وهي اإلعداد التالية 6,5,4,3,2,1 ولكن ال نستطيع مسبق ا تحديد أي نتيجة من هذه النتائج سنحصل عليها فهذه العملية يطلق عليها تجربة عشوائية. 5

6 11 طلبة وأردنا أن نختار منهم طالب ا واحدا عشوائي ا حيث مثال) 3-1 ( إذا كان لدينا المقصود باالختيار العشوائي هو اختيار الطالب بطريقة تضمن إعطاء نفس الفرصة لكل طالب من الطلبة العشرة ليكون هو الطالب المختار أي يجب أن يكون االختيار خاضع ا لعامل الصدفة المطلقة دون تدخل العامل البشري فيه ويتم ذلك بإعطاء رقم لكل طالب وتكتب هذه األرقام على بطاقات متماثلة تمام ا ثم نضع كل البطاقات يف وعاء ونخلطها جيدا ثم نسحب ونحن مغمضي العينين بطاقة فالرقم الذي على البطاقة هو رقم الطالب المختار يف هذه العملية نعرف مسبق ا انه سيظهر رقم أحد الطلبة العشرة ولكننا ال نستطيع أن نحدد مسبق ا رقم أي طالب من هؤالء الطلبة سيظهر وبالتالي فهذه العملية تسمى تجربة عشوائية. وتعتمد نظرية االحتماالت على التجارب العشوائية وبالتالي ستكون التجارب التي نتعامل معها يف موضوع هذا الكتاب كلها تجارب عشوائية. ) 2-1 (ف ارغالعينة: فراغ العينة لتجربة هو المجموعة التي تشمل كل النتائج التي يمكن الحصول عليها من إجراء هذه التجربة. عند القيام بأي تجربة تظهر لنا نتيجة واحدة فقط من النتائج التي يشملها فراغ العينة لهذه التجربة فال نستطيع الحصول على أكثر من نتيجة من هذه النتائج يف الوقت وبالطبع يختلف فراغ العينة من تجربة ألخرى. نفس 6

7 وعادة يرمز للمجموعة التي تمثل فراغ العينة بالحرف S وهي تقابل الفئة الشاملة يف موضوع المجموعات وتسمى كل نتيجة من النتائج التي يشملها فراغ العينة عنصر أو نقطة فراغ العينة. مثال) 4-1 (: يف تجربة إلقاء قطعة نقدية سنحصل على وجه أو ظهر فإذا رمزنا للوجهبالحرف H ورمزنا للظهر بالرمزT ففراغ العينة لهذه التجربة سنعرب عنه بالمجموعة التالية: S = { H, T} مثال) 5-1 (: يف تجربة إلقاء مكعب نرد مرة واحدة كل النتائج التي يمكن الحصول عليها هياألعداد: 6,5,4,3,2,1 وبذلك فإن فراغ العينة لهذه التجربة هو: S= {1,2,3,4,5,6} مثال) 6-1 (: يف تجربة إلقاء قطعة نقود مرتين فكل النتائج التي يمكن أن نحصل عليها هي وجه يف الرمية األولى ووجه يف الرمية الثانية) H H( أو وجه يف الرمية األولى وظهر يف الرمية الثانية) HT ( أو ظهر يف الرمية األولى ووجه يف الرمية الثانية) H T (أو ظهر يف الرمية األولى وظهر يف الرمية الثانية) T T(. النتيجة المكتوبة ناحية اليسار هي نتيجة الرمية األولى والنتيجة المكتوبة ناحية اليمين هي نتيجة الرمية الثانية إذن فراغ العينة S= { HH, HT,TH,TT } لهذه التجربة: 7

8 مالحظة: فراغ العينة لتجربة إلقاء قطعتي نقود هو نفسه فراغ العينة لتجربة إلقاء قطعة نقود مرتين فنتيجة القطعة األولى ستكون مقابلة لنتيجة الرمية األولى ونتيجة القطعة الثانية ستكون مقابلة لنتيجة الرمية الثانية. مثال )7-1(: إذا اخرتنا عشوائيا ثالث وحدات منتجة من آلة معينة لفحصها ما إذا كانت تالفة أو غير تالفة فإذا رمزنا للوحدة التالفة بالحرفD وللوحدة غير التالفة بالحرف N فسنعرب عن النتائج كما يلي فإذا كانت الوحدات الثالثة غير تالفة فسنكتب نتيجة الفحصNN N وإذا كانت الوحدة األولى تالفة والثانية والثالثة غير تالفتين فسنكتب النتيجةDNN وهكذا... وبالتالي سيكون فراغ العينة لهذه التجربة وهي تجربة فحص ثالث وحدات منتجة كما يلي : S= { NNN, DNN, NDN, NND, DDN, DND, NDD, DDD } مثال )8-1(: يف تجربة إلقاء مكعبي نرد فراغ العينة لهذه التجربة سيكون كما يلي : S= (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) 8

9 حيث العدد المكتوب ناحية اليسار يف كل نتيجة هو العدد الذي يظهر على المكعب األول والعدد المكتوب ناحية اليمين هو العدد الذي يظهر على المكعب الثاين فمثال النتيجة) 2,3 (تعني ظهور العدد 2 على المكعب األول وظهور العدد 3 على المكعب الثاين وتقرأ هذه النتيجة ( اثنان ثالثة (. ) 3-1 (الحدث: يف أية تجربة عشوائية قد نكون راغبين يف ظهور نتائج معينة من مجمل النتائج التي يمكن الحصول عليها من هذه التجربة أي من النتائج التي يشملها فراغ العينة لهذه التجربة دون النتائج األخرى وهذه النتائج المرغوب ظهورها أي حدوثها يطلق عليها مصطلح حدث ويعرب عن أي حدث بمجموعة ويرمز عادة للمجموعة التي تمثل الحدث بأحد الحروف C,, B, A... مع عدم استعمال الحرف S ألنه يستعمل كرمز لفراغ العينة. وبما أن النتائج التي تشملها المجموعة الممثلة ألي حدث هي جزء من النتائج الكلية التي يمكن الحصول عليها من التجربة فبالتالي المجموعة التي تمثل أي حدث يجب أن تكون مجموعة جزئية من فراغ العينة. ومن هنا يعرف الحدث كما يلي:. احلدث هو جمموعة جزئية من فراغ العينة S 9

10 4 (أنواعاألحداث: 1 -الحدثالبسيط: عندما تحتوي المجموعة الجزئية التي تمثل الحدث على نتيجة واحدة فقط من نتائج فراغ العينة يكون الحدث بسيط ا. مثال )9-1(: إذا القينا مكعب نرد ونرغب يف ظهور العدد 5 ففراغ العينة: S= {1,2,3,4,5,6} والحدث هنا هو ظهور العدد 5 وإذا رمزنا له بالحرفA فنعرب عنه كما يلي: A= { 5 } ونالحظ أن المجموعة الجزئية التي تمثل هذا الحدث تحتوي على نتيجة واحدة فقط من نتائج فراغ العينة إذن فهذا الحدث هو حدث بسيط. 1- الحدثالمركب: عندما تحتوي المجموعة الجزئية التي تمثل الحدث على أكثر من نتيجة من نتائج فراغ العينة يكون الحدث مركب ا. مثال )11-1(: إذا القينا مكعب نرد ونرغب يف ظهور عدد أكرب من 3 ففراغ العينة: S= {1,2,3,4,5,6} والحدث هنا هو ظهور عدد أكرب من 3 وإذارمزنا له بالحرفA فسنعرب عنه كما A= { 4, 5, 6 } يلي: 11

11 ونالحظ أن المجموعة الجزئية التي تمثل هذا الحدث تحتوي على أكثر من نتيجة من نتائج فراغ العينة إذن فهذا الحدث هو حدث مركب. الحدثالمؤكد: يسمى الحدث حدث ا مؤكدا عندما تحتوي المجموعة الجزئية التي تمثل -2 الحدث على كل نتائج فراغ العينة أي أن المجموعة الجزئية التي تمثل الحدث المؤكد تساوى فراغ العينة فإذا رمزنا للحدث المؤكد بالرمز A فإن: A = S ويعني ذلك أن كل نتائج التجربة تحقق الحدث المرغوب فيه وبالتالي فمن المؤكد أن يتحقق ومن هنا يطلق عليه الحدث المؤكد. إذا ألقينا مكعب نرد ونرغب يف ظهور عدد أقل من 7 ففراغ العينة لهذه التجربة: S= {1,2,3,4,5,6} مثال )11-1(: والحدث المطلوب هنا هو ظهور عدد أقل من 7 فإذا رمزنا لهذا الحدث بالرمز A فسنعرب عنه كما يلي: A= {1,2,3,4,5,6} ونالحظ أن المجموعة الجزئية التي تمثل هذا الحدث تساوي فراغ العينة. أي أن كل النتائج الممكن الحصول عليها من هذه التجربة تحقق هذا الحدث حيث أن من المؤكد أن نحصل على عدد أقل من 7 عند إلقاء مكعب نرد ألن كل األعداد الموجودة على مكعب النرد هي أعداد أقل من 7 ولذلك يسمى هذا الحدث بالحدث المؤكد. 11

12 3- الحدثالمستحيل: يسمى الحدث حدث ا مستحيال عندما تكون المجموعة الجزئية التي تمثل الحدث خالية من العناصر أي ال توجد أية نتيجة من نتائج فراغ العينة تحقق الحدث المطلوب أي أن كل النتائج الممكن أن نحصل عليها من التجربة ال تحقق الحدث المرغوب فيه. وبالتالي فمن المستحيل أن يتحقق هذا الحدث عند إجراء التجربة ولذلك سمى بالحدث المستحيل. ويرمز للحدث المستحيل بالمجموعة الخالية وبالطبع هذا ال يخل بتعريف الحدث فالمجموعة الخالية هي مجموعة جزئية ألية مجموعة. مثال )12-1(: إذا ألقينا مكعب نرد ونرغب يف الحصول على العدد 9 ففراغ العينة لهذه التجربة: S= {1,2,3,4,5,6} والحدث هنا هو الحصول على العدد 9 فإذا رمزنا لهذا الحدث بالرمزA فسنعرب عنه كما يلي: A = { } = ونالحظ أن المجموعة الجزئية التي تمثل هذا الحدث مجموعة خالية من العناصر. وذلك ألن كل النتائج الممكن الحصول عليها من هذه التجربة ال تحقق هذا الحدث فمن المستحيل أن نحصل على العدد 9 عند إلقاء مكعب نرد ألن العدد 9 ليس من األعداد الموجودة على مكعب النرد وبالتالي فهذا الحدث هو حدث مستحيل. 12

13 الحدثالمكمل: -5 لكل حدث حدثا مكمال له فالحدث المكمل للحدث A مثال هو الحدث الذي يحتوي على نتائج فراغ العينة التي ال يحتويها الحدثA وذلك كما هو موضح يف شكل) 1-1 (ويرمز لمكمل الحدثA وبالرمز ˋA ومن تعريف الحدث المكمل نستنتج أن أي حدث مكمل يجب أن يحقق الشرطين التاليين: اتحاد أي حدث والحدث المكمل له يجب أن يعطي فراغ العينة أي أن: A Aˋ = S تقاطع أي حدث والحدث المكمل له يجب أن يعطي مجموعة خالية أي أن: أ( ب( A Aˋ = φ S Aˋ A شكل) 1-1 ( مثال )13-1(: إذا القينا مكعب نرد مرة واحدة وكان الحدثA هو الحصول على عدد زوجي فما هو الحدث المكمل للحدث A الحل: فراغ العينة لهذه التجربة:{ 1,2,3,4,5,6 } =S A= { 2, 4, 6 } الحدث A: 13

14 إذن الحدث المكمل للحدثA هو الحدث الذي يحتوي على كل عناصر فراغالعينة غير الموجودة يفA وهي األعداد الفردية ونعرب عنه كما يلي : A`={ 1, 3, 5 } A A` = {1, 2, 3, 4, 5, 6 } = S A A` = { } = ونالحظأن: 6 -األحداثالمتنافية: تكون األحداث متنافية إذا كان ظهور أحدها يمنع األحداث األخرى من الظهور أي ال يمكن أن نحصل عليها كلها يف نفس الوقت. فمثال إذا كان الحدثانB متنافيين فيعني ذلك أن ظهور الحدثA,حدثين A يمنع الحدثB من الظهور وظهور الحدث B يمنع الحدث A من الظهور أي ال نستطيع أن نحصل على الحدثين B,A مع ا يف نفس الوقت. ونفهم من ذلك أنه ال توجد نتيجة من نتائج التجربة تحقق الحدثين مع ا يف نفس الوقت أي ال توجد عناصر مشرتكة بين المجموعة الجزئية التي تمثل الحدثA والمجموعة الجزئية التي تمثل الحدثB أي تقاطعهما مجموعة خالية: A B = ويكون الحدثان غير متنافيين إذا كان من الممكن أن يظهرا مع ا يف نفس الوقت أي توجد نتائج مشرتكة بينهما. أي أن تقاطعهما مجموعة غير خالية وذلك كما هوموضح يف شكل) 2-1 (. 14

15 S حدثانمتنافيان حدثانغيرمتنافيين A B S A B A B شكل) 2-1 ( يف تجربة إلقاء قطعتي نقود إذا كان الحدث A هو الحصول على وجهين والحدث B هو الحصول على ظهرين والحدثC هو الحصول على وجه أو أكثر. فأي حدثين متنافيين وأيهما غير متنافيين الحل: فراغ العينة لهذه التجربة:{ S = { HH, HT, TH, TT والمجموعات الجزئية التي تمثل األحداث هي: A = { HH } B = { TT } C = {HH, HT, TH } A S H H C شكل) 3-1 ( بما أنه ال توجد نتيجة تحقق الحدثينA B يف, نفس الوقت أي تقاطعهما يعطي HT TH TT مثال )14-1(: B A B = مجموعة خالية : 15

16 إذن الحدثان B حدثان, A متنافيان. بما انه توجد نتيجة تحقق الحدثينA C يف, نفس الوقت أي تقاطعهما ليس مجموعة خالية : A C = {HH} إذن الحدثانA, C حدثان غير متنافيين. بما انه ال توجد نتيجة تحقق الحدثينB C يف, نفس الوقت أي تقاطعهما مجموعة خالية : B C = إذن الحدثانB C حدثان, متنافيان. وشكل) 3-1 (يوضح ذلك. 7 -األحداثالمستقلة: يكون الحدثان B, A حدثين مستقلين إذا كان ظهور أحدهما ال يؤثر وال يتأثر بظهور أو عدم ظهور اآلخر. أي ال توجد أية عالقة بينهما. فمثال عند إلقاء قطعة نقود مرتين فظهور وجه يف الرمية األولى ال يؤثر وال يتأثر بظهور وجه يف الرمية الثانية أي ال توجد عالقة بينهما وبالتالي فحدث ظهور وجه يف الرمية األولى وحدث ظهور وجه يف الرمية الثانية هما حدثان مستقالن. يلزمنا يف دراسة االحتماالت تحديد عدد عناصر فراغ العينة وعدد عناصر المجموعة الجزئية الممثلة للحدث ويف بعض التجارب يحتوي فراغ العينة وكذلك المجموعة الجزئية الممثلة للحدث على عدد كبير جدا من العناصر ليس من السهل كتابتها كلها وعدها لذلك نستخدم بعض طرق العد التي تساعدنا يف الحصول على 16

17 عدد عناصر فراغ العينة وعدد عناصر المجموعة الجزئية للحدث دون كتابتها ومن أهم هذه الطرق ما يلي: ) 5-1 (طرقالعد: ) (قاعدةالضرب: إذا كانت التجربة تتم يف مرحلتين أو عمليتين وكان عدد النتائج التي نحصل عليها يف المرحلة أو العملية األولى تساوي 1 n وعدد النتائج التي نحصل عليها يف المرحلة أو العملية الثانية تساوي n فإن 2 عدد النتائج التي نحصل عليها يف المرحلتين أو العمليتين مع ا أي عدد النتائج الكلية لهذه التجربة تساوي n. 1 n 2 ويمكن تعميم هذه القاعدة فإذا كانت التجربة تتم يف k من العمليات وكان عدد النتائج يف هذه العمليات n 1 n, 2 n, 3 n,, K فإن عدد النتائج الكلية لهذه التجربة يساوي : n1,n2..nk عند إلقاء قطعتي نقود نجد أن فراغ العينة لهذه التجربة: S= { HH, HT, TH, TT } فنالحظ أن عدد النتائج الكلية يساوي 4 وباستخدام قاعدة الضرب نستطيع تحديد عدد النتائج الكلية لهذه التجربة بدون كتابة فراغ العينة فنجد أن لعملية إلقاء القطعة النقدية األولى نتيجتان أي 2 = n 1 ولعملية إلقاء القطعة النقدية الثانية نتيجتان أي 2=2 n إذن العدد الكلي للنتائج التي نحصل عليها من إلقاء القطعتين يساوي: n 1 n 2 = (2) (2) = 4 مثال )15-1(: 17

18 مثال )16-1(: عند إلقاء مكعبي نرد ما هو العدد الكلي للنتائج الممكنة الحل: العدد الكلي للنتائج التي نحصل عليها من المكعب األول) 1=6 n(. العدد الكلي للنتائج التي نحصل عليها من المكعب الثاني) 2=6 n(. إذن باستخدام قاعدة الضرب نجد أن العدد الكلي للنتائج التي نحصل عليها من تجربة إلقاء مكعبي نرد يساوي: n 1 n 2 = (6) (6) = 36 مثال )17-1(: عند إلقاء مكعب نرد وقطعة نقود مع ا ما هو العدد الكلي للنتائج الممكنة الحل: العدد الكلي للنتائج التي نحصل عليها من مكعب النرد) 1=6 n(. العدد الكلي للنتائج التي نحصل عليها من قطعة النقود) 2=2 n(. إذن باستخدام قاعدة الضرب نجد أن العدد الكلي للنتائج التي نحصل عليها من إلقاء مكعب نرد وقطعة نقود يساوي: n 1 n 2 = (6) (2) = 12 ) (التباديل: يمكن تعريف تباديل مجموعة من العناصر المختلفة بأهنا عدد الطرق P n r المختلفة التي يمكن أن نرتب هبا هذه العناصر ويرمز له بالرمز حيث P n r = n! (n r)! 18

19 اشرتيت مرجع ا من 5 أجزاء. وعلى رف من رفوف مكتبك ال يتوفر إال 3 أمكنة. بكم طريقة مختلفة يمكنك شغل هذه األماكن الثالثة المتوفرة بثالثة أجزاء تختارها من األجزاء الخمسة الحل: عدد الطرائق المختلفة لشغل األماكن الثالثة هو عدد متبادالت خمسة أشياء مأخوذ ثالثة منها يف وقت واحد وهو 3 P n r P= 5 حيث 61 = P 5 3= 5! (5 3)! = 5! 2! = (5)(4)(3)(2)(1) (2)(1) = أو 3=)5()4()3(=61 P 5 مثال )19-1(: كم عددا مكون ا من 3 أرقام يمكن تكوينه من األرقام من 1 إلى 11 مع عدم السماح مثال )18-1(: بالتكرار الحل: واضح أنه يف أي عدد )عينة( يراد تكوينه ال بد من مراعاة الرتتيب يف أرقامه حيث أن هذا العدد يتغير تبع ا لهذا الرتتيب فمثال العدد 312 يختلف عن العدد 321 كما أن السحب يتم دون إرجاع نظرا لعدم السماح بتكرار الرقم. أي أن: P n r 10 = P 3 = 10! = 10! = (10)(9)(8)(7)(6)(5)(4)(3)(2)(1) (10 3)! 7! (7)(6)(5)(4)(3)(2)(1) = =721 أو 11()9()8(=721 (= P n P 10 r = 3 = 10! (10 3)! = 10! 7! = (10)(9)(8)(7!) 7! 19

20 نتيجة: يسمى عدد تباديل n من العناصر المميزة المأخوذة سوية هو: n Pn =n(n-1)(n-2)..1=n! والفكرة األساسية لهذه القاعدة تعتمد على قاعدة الضرب فعند ترتيب هذه العناصر سيكون لدينا n من العناصر من الممكن وضع واحدة منها يف الرتتيب األول وسيكون لدينا) n-1 (من العناصر من الممكن وضع واحدة منها يف الرتتيب الثاين ألن واحدة من المفردات قد وضعت يف الرتتيب األول وهكذا... إلى أن نصل إلى الموضع األخير وهو يف هذه الحالة الموضع الخاص بالرتتيبn ويكون لدينا خيار واحد فقط إلجراء هذه العملية ألن) n-1 (من المفردات قد تم وضعها يف المواضع التي سبقتها. وبتطبيق قاعدة الضرب نجد أن عدد الطرق المختلفة لرتتيبn من المفردات هو: n (n-1) (n-2).1 وهذا العدد يطلق عليه مضروبn ويرمز له بالرمز! n مع العلم بأن: 0! = 1 1! = 1 مثال )21-1(: إذا طلبنا من شخص ما إن يرتب 3 كتب) A C (يف, B, رف فكل الطرق الممكنة يف هذه الحالة موضحة فيما يلي : S= { ABC, ACB,BAC, BCA, CAB, CBA } 21

21 أي توجد 6 طرق لرتتيب 3 كتب على رف وعدد هذه الطرق نستطيع تحديده باستخدام قاعدة التباديل حيث) n=3 ( وذلك كما يلي: P 3 =3!=3 2 1=6 3 وبنفس القاعدة نستطيع بسهولة تحديد العدد الكلي للطرق التي يمكن أن نرتب هبا أي عدد من المفردات دون كتابة فراغ العينة. ما العدد الكلي للطرق التي نستطيع هبا أن نرتب 7 أطفال يف صف الحل: باستخدام قاعدة التباديل حيث) n=7 ( نجد أن العدد الكلي للطرق يساوي: ) (التوافيق: 7!= =5141 مثال )21-1(: التوافيق هي عدد الطرق التي يتم هبا اختيارr من العناصر من بين مجموعة تحتوي علىn من العناصر بحيث أن) r n (مع إهمال عملية الرتتيب. ونرمز للتوافيق بالرمز C n r ويحسب كما يلي: C r n = n! r! (n r)! مثال )22-1(: إذا كان لدينا 3 موظفين: أحمد يوسف إبراهيم وأردنا أن نختار منهم لجنة تتكون من موظفين فما عدد الطرق الممكنة الختيار هذه اللجنة 21

22 { الحل: الطرق الممكنة الختيار هذه اللجنة هي: أحمد ويوسف أحمد وإبراهيم يوسف وإبراهيم } = s أي يوجد 3 طرق لتكوين هذه اللجنة وبالطبع هنا عملية الرتتيب ليس لها أية أهمية فمثال اللجنة المتكونة من أحمد ويوسف هي نفسها اللجنة المتكونة من يوسف وأحمد. وكما تالحظ أننا حددنا عدد الطرق التي يمكن أن نكو ن هبا اللجنة بكتابة كل الطرق الممكنة ثم عد ها ولكن هذه الطريقة من الصعب إتباعها عندما يكون العدد الكلي للموظفين كبيرا. فاألسهل هو استخدام قاعدة التوافيق حيث يف هذهالحالة )r=2( )n=3( وبالتالي عدد طرق اختيار شخصين من 3 أشخاص مع إهمال الرتتيب هو: C 3 3! = = 2! (3 2)! (2 1)(1) = 3 مثال )23-1(: مدرسة هبا 6 مدرساتو 3 مدرسين نريد اختيار لجنة تتكون من 4 أعضاء. 3 أ( ب( كم عدد اللجان المختلفة الممكن اختيارها كم عدد اللجان المختلفة الممكن اختيارها بحيث تحتوي اللجنة على مدرسات ومدرس واحد 22

23 أ. الحل: عدد اللجان المختلفة الممكن اختيارها أي عدد اللجان المختلفة التي تحتوي على 4 أشخاص مختارين من 9 أشخاص) 3+6 ( هو: C 9 4= 9! 4!(9 4)! = ! 4! 5! =126 أي سيكون لدينا 126 لجنة كل منها تختلف عن األخرى )مع إهمال الرتتيب(. ب. عدد اللجان المختلفة الممكن اختيارها بحيث تحتوي اللجنة على 3 مدرسات ومدرس واحد هو عدد الطرق التي يتم هبا اختيار 3 مدرسات من 6 مدرسات واختيار مدرس واحد من 3 مدرسين أي كأن االختيار يتم على مرحلتين فبتطبيق قاعدة الضرب وقاعدة التوافيق نجد أن عدد الطرق التي تحقق الحدث المطلوب هو: C 6 3 C 3 1= 6! 3! 3! 3! 1! 2! =21 3=61 23

24 يف أكتب فراغ العينة للتجارب التالية: أ( إلقاء مكعب نرد وقطعة نقدية مع ا مرة واحدة ب( إلقاء قطعة نقدية ثالث مرات. ج( إذا أخرتنا أسرة واحدة عشوائي ا من األسر التي لديها 4 أطفال وسألناها عن كل طفل من أطفالها هل هو ذكر أم أنثى. د( إذا أخرتنا ثالث نساء عشوائي ا وسألنا كل واحدة منهن هل تستخدم مسحوق تايد لغسل المالبس أم ال. 2. يف تجربة إلقاء قطعة نقدية ثالث مرات أكتب الفئات الجزئية التي تمثل األحداث التالية مع ذكر نوع الحدث: أ( الحصول على ظهريين أو أكثر. ب( الحصول على ثالثة أوجه. ج-الحصول على وجه يف الرمية األولى. د-الحصول على ثالثة أوجه أو أقل. ه -الحصول على أربعة أوجه 3. يف تجربة إلقاء قطعتي نقود مع ا ما هو الحدث المكمل لحدث الحصول على وجهين على األقل ( وجهين أو أكثر ) 4 تجربةإلقاء مكعبي نرد ما هو الحدث المكمل لحدث الحصول على مجموع يساوي 8 أو اقل 24

25 إذا ألقينا مكعبي نرد وكان الحدث A هو الحصول على مجموع أقل من 5.5 والحدث B هو الحصول على مجموع أكرب من 11 والحدثC هو الحصول على نفس العدد على المكعبين. فأي حدثين متنافيين وأيهما غير متنافيين 6. توجد 4 طرق تربط المدينة أ بالمدينة ب ويوجد طريقان يربطان المدينة ب بالمدينة ج فما عدد الطرق التي يمكن أن يسلكها المسافر من إلى أ ج مارا بالمدينة ب 7. بكم طريقة يمكننا أن نرتب 5 كتب مختلفة يف رف 8. بكم طريقة يمكن أن يجلس أستاذو 3 تالميذ يف صف بحيث: أ- يمكن أن يجلس األستاذ يف أي مقعد. ب- يجب أن يجلس األستاذ يف المقعد األول. 9. صندوقبه 11 كرات) 4 حم ارءو 6 بيضاء( يراد اختيار 5 كرات مع ا من هذا الصندوق فأحسب ما يلي: أ- عدد الطرق التي يمكن أن نختار هبا من هذا الصندوق 5 كرات. ب- عدد الطرق التي يمكن أن نختار هبا من هذا الصندوق كرة حمراء و 4 كرات بيضاء. 25

26 ) 6-1 (طرقحساباالحتماالت: االحتمال هو مقياس عددي يعرب عن مقدار ثقتنا يف إمكانية ظهور حدث ما غير مؤكد الحدوث عند إجراء تجربة معينة. وتوجد طريقتان لحساب االحتمال هما الطريقة التقليدية )الطريقة الكالسيكية( والطريقة التجريبية )طريقة التكرار النسبي(. ) (الطريقةالتقليدية: تستخدم هذه الطريقة عندما تكون كل نتائج التجربة لها نفس فرصة الظهور ويحسب احتمال حدث ما بقسمة عدد النتائج التي تحقق الحدث على عدد النتائج الكلية للتجربة أي بقسمة عدد عناصر الفئة الجزئية للحدث على عدد عناصر فراغ العينة. فإذا رمزنا لعدد عناصر فراغ العينة بالرمز( S ) n ورمزنا لعدد عناصر الفئة الجزئية التي تمثل الحدث A بالرمز (A) n فإن احتمال الحدثA ويرمز له بالرمز( P(A يحسب كما يلي : P(A) = = n(a) n(s) عدد ا لنتاي جالتيتحققالحدث A عددالنتاي جالكلل ةيلتجربة وال نستطيع حساب االحتمال التقليدي ألي حدث إال إذا توفر الشرطان التاليان: إذا كانت نتائج التجربة لها نفس فرصة الظهور. أن يكون فراغ العينة للتجربة العشوائية محدود أي نستطيع أن نحدد عدد عناصره.1.2.n(S) مثال )24-1(: عند إلقاء مكعب نرد مرة وحدة واعتبار أن الحدث A هو ظهور عدد أكرب من 4 فأحسب احتمال A. 26

27 الحل: فراغ العينة لهذه التجربة:{ { 1, 2, 3, 4, 5, 6 = S والفئة الجزئية التي تمثل الحدثA هي: } 6 { 5, = A n(a)=2 n(s)=6 وبالتالي فإن: احتمال A )احتمال ظهور عدد أكرب من 4 (هو: P(A) = n(a) n(s) = 2 6 مثال )25-1(: إذا ألقينا قطعة نقود غير متحيزة فما احتمال ظهور وجه P(A) = n(a) n(s) = 1 2 الحل: فراغ العينة لهذه التجربة:{ T S = { H, نفرض أن الحدثA هو ظهور الوجه أي أن: A=}H{ n)a(=1 n)s(=2 = 0. 5 واحتمال ظهور وجه هو: 27

28 مثال )26-1(: إذا اخرتنا عشوائيا أسرة من األسر التي لديها 3 أطفال وسألنا األسرة عن كل طفل من أطفالها هل هو ذكر أم أنثى وافرتضنا أن فرصة أن يكون المولود ذكرا تساوي فرصة أن يكون المولود أنثى فأحسب احتمال أن لدى األسرة بنتين. الحل: 1. إذارمزنا للطفل الذكر بالحرفb وللطفل األنثى بالحرفg فإنفراغالعينةلهذه التجربة كما يلي: S=}bbb, bbg,bgb,gbb, bgg,gbg, ggb, ggg{ والمقصود بالنتيجة bbb أن الطفل األول ولد والطفل الثاين ولد والطفل الثالث ولد والنتيجة bbg تعني الطفل األول ولد والطفل الثاين ولد والطفل الثالث بنت وهكذا... إذا فرضنا أن الحدثA هو أن لألسرة بنتين فإن الحدثA تحققه النتائج الموضحة فيما يلي: A=]bgg. gbg.ggb[ n)a(=3 n)s(=8 وبالتالي فإن االحتمال المطلوب هو: P(A) = n(a) n(s) = 3 8 ) (الطريقةالتجريبية)طريقةالتك اررالنسبي(: عند إجراء تجربة بالفعل وتكرار ها تحت نفس الظروف عددا من المرات فيعرف التكرار النسبي لحدث معين بأنه عدد المرات التي يظهر فيها هذا الحدث 28

29 مقسوم ا على العدد الكلي لمرات تكرار التجربة. واالحتمال التجريبي لوقوع حدث معين هو عبارة عن التكرار النسبي لظهوره وذلك عند تكرار إجراء التجربة تحت نفس الظروف عددا كبيرا من المرات. إن االحتمال المحسوب بطريقة التكرار النسبي قد يتغير عند زيادة تكرار التجربة وحصولنا على معلومات جديدة بخصوص الحدث المطلوب ولكن هذا التغيير يكون بسيط ا كلما زاد العدد الكلي لمرات تكرار التجربة. ويجب االنتباه أن االحتمال التجريبي هو تقريب لالحتمال الحقيقي الذي نحصل عليه من الطريقة التقليدية ويزداد قرب ا من االحتمال الحقيقي كلما زاد عدد مرات إجراء التجربة. إذا كررنا تجربة ما عددn من المرات تحت نفس الظروف وكان عدد مرات ظهور الحدثA هوm من المرات فيعرف االحتمال التجريبي للحدثA كما يلي: m n = عدد مرات ظهور الحدث A = A العدد الكليلمرات ا جراء التجربة ا.حتماللاترجيبي للحدث ألقى شخص ما قطعة نقود غير متحيزة 111 مرة وكان عدد مرات ظهور الوجه 48 مرة فإن االحتمال التجريبي لظهور الوجه هو: 48 = مثال )27-1(: وعندما زاد عدد مرات تكرار التجربة إلى 151 مرة كان العدد الكلي لظهور الوجه 73 مرة وأصبح االحتمال التجريبي لظهور الوجه هو: 73 =

30 يأ. ونالحظ أنه كلما زاد عدد المرات الكلية إلجراء التجربة كلما أقرتب االحتمال التجريبي من 1.51 وهو احتمال الحصول على وجه عند إلقاء قطعة نقود إذا استخدمنا الطريقة التقليدية كما يف مثال) 25-1 (.أي أنه إذا رمينا قطعة النقود عدد ا كبيرا من المرات فإن التكرار النسبي سوف يؤول إلى االحتمال الحقيقي الذي نحصل عليه من الطريقة التقليدية. ويجب االنتباه أن االحتمال التجريبي نحصل عليه بعد إجراء التجربة فعال بينما االحتمال التقليدي يحسب بدون إجراء التجربة. ) 7-1 (مسلماتاالحتمال: نستطيع أن نعرف أي احتمال رياضي ا بأنه دالة نطاقها فراغ العينة ومداها فئة األعداد الحقيقية من 1 إلى 1. وأي احتمال يجب أن يتمتع بالمسلمات التالية: 1. احتمال أي حدث A جيب أن تكون قيمته يف املدى من 1 إىل 1 أن : 0 P(A) 1 فأي احتمال ال تزيد قيمته عن 1 وال تقل عن 1 وسنفسر هذه المسلمة يف ضوء التعريف التقليدي لالحتمال فيما يلي: بماأن:( n(a P(A) = n(s) حيث:( n(s : عدد عناصر فراغ العينة. عناصر الفئة الجزئية التي تمثل الحدثA. ( n(a :عدد وبما أن عدد عناصر الفئة الجزئية ( n(a ألي حدث يجب أن يكون محصورا بين 1 و( n(s أي أن أقل قيمة يأخذها( n(a هي الصفر وذلك عندما ال تحتوي الفئة 31

31 الجزئية التي تمثل الحدث على أي عنصر وأكرب قيمة يأخذها هي n(s) وذلك عندما تحتوي الفئة الجزئية التي تمثل الحدث على كل عناصر فراغ العينة وبالتالي 0 n(a) n (s) فإن: وبقسمة األطراف الثالثة لهذه المتباينة على( n(s نحصل على : 0 n(s) n(a) n(s) n(s) n(s) 0 P(A) 1 احتمال احلدث املؤكد يساوي واحد واحتمال احلدث املستحيل يساوي صفر أي أن:.2 P( ) = 0 P(S) = 1 وتفسير هذه المسلمة كما يلي: إذا كان الحدثA حدث ا مؤكدا فإن: n(a) = n(s) وبالتالي فإن A = S P(A) = P(S) = n(s) n(s) =1 وإذا كان الحدثA حدث ا مستحيال فإن: n(a) = n( ) وبالتالي : فإن A= P(A) = P( ) = n( ) n(s) = 0 n(s) = 0 31

32 إذا كان احلدثان B, A حدثني متنافيني أي الفئة اجلزئية اليت متثل احلدث A منفصلة عن الفئة اجلزئية اليت متثل احلدث B فإن : P (A B) = P(A) + P(B).3 وتفسير هذه المسلمة كما يلي: P(A) = n(a) n(s) P(B) = n(b) n(s) بما أن: P(A B) = n(a B) n(s) وبما أن الحدثينB.A منفصالن أي ال توجد عناصر مشرتكة بينهما فإن عدد = العناصر الموجودة يف مجموعة االتحاد تساوي عدد العناصر الموجودة يف المجموعة A مضاف ا إليها عدد العناصر الموجودة يف المجموعةB أي أن: P(A B) = n(a B) n(s) = n(a) + n(b) n(s) = n(a) n(s) + n(b) n(s) = P(A) + P(B) وهذه المسلمة يمكن تعميمها إلى أكثر من حدثين متنافيين فمثال إذا كانت A1 هيأحداث A2, متنافية فإن:, A3 األحداثA4, P (A 1 U A 2 U A 3 UA 4 ) = P (A 1 ) + P(A 2 ) + P(A 3 ) + P(A 4 ) وهكذا... 32

33 2 1.1 إذا ألقينا قطعتي نقود مع ا فأحسب احتمال ظهور: أ- ب- نتائج متشاهبة على القطعتين. وجه أو أكثر. ج- 3 أوجه. 2. إذا ألقينا مكعب نرد فأحسب احتمال ظهور: أ- عدد أكرب من 3. ب- عدد محصور بين 1 و 6. ج-عدد أقل من 8. د-ظهور العدد إذا ألقينا 3 قطع نقدية مع ا فأحسب احتمال الحصول على: أ- ب- نتائج متشاهبة على القطع الثالث. وجهين أو أكثر. ج-وجهين أو أقل. إذا ألقينا مكعبي نرد مع ا فأحسب ما يلي:.4 أ- احتمال الحصول على مجموع يساوي 11. ب- احتمال الحصول على مجموع يساوي 9 أو أكثر. ج-احتمال أن يظهر العدد 3 على أحد المكعبين. إذا ألقينا قطعتي نقود ومكعب نرد مع ا فما احتمال الحصول على وجهين على.5 قطعتي النقود وعدد أكرب من 4 على مكعب النرد 33

34 4 اخرتنا إذا عشوائي ا عائلة واحدة من العائالت التي لديها أطفال فأحسب.6 االحتماالت التالية بافرتاض أن فرصة أن يكون المولود ذكر تساوي فرصة أن يكون المولود أنثى: أ- احتمال أن يكون الطفل األول ولد. ب- احتمال أن يكون عدد اإلناث يف العائلة يساوي عدد الذكور. 7. تم اختيار مجموعة تشمل 211 وحدة منتجة من سلعة ما ووجدنا 24 وحدة منها تالفة فإذا اخرتنا عشوائي ا مفردة من هذه المجموعة فما احتمال أن تكون تالفة 8. تم اختيار مجموعة تشمل 1211 رجال من سكان مدينة ما ووجدنا عدد المدخنين يف هذه المجموعة يساوي 721 رجال فإذا اخرتنا عشوائي ا رجال من هذه المجموعة فما احتمال أن يكون مدخن ا 9. أشرتك محمد وعلي يف لعبة وكرروها 25 مرة فاز محمد يف 11 مرات وفاز علي يف 8 مرات وتعادال يف الباقي فإذا لعبا محمد وعلي هذه اللعبة فأحسب ما يلي: أ- احتمال فوز محمد. ب- احتمال عدم فوز علي. 11.ما هي القيم التي ال تمثل احتماالت ولماذا القيم هي:

35 وأ ) 8-1 (قانونجمعاالحتماالت: قانون جمع االحتماالت هو القانون الذي نحسب منه احتمال اتحاد حدثين أو أكثر وسنتعرض فيما يلي لقانون جمع االحتماالت يف حالة حدثين غير متنافيين ويف حالة حدثين متنافيين. ) (قانونالجمعلحدثينغيرمتنافيين: إذا كان الحدثانA B غير, متنافيين أي أن الحدثينA B, يمكن أن يحدث ا مع ا يف نفس الوقت فإن احتمال حدوث الحدث) B A (يعني احتمال حدوثA أو B االثنين مع ا أي ظهور أحد الحدثين على االقل وهذا الحدث يمثله األجزاء.) المظللة يف شكل) 4-1 S A B شكل) 4-1 ( (A B) واحتمال حدوث الحدث يساوي عدد العناصر التي تحتويها مجموعة االتحاد B A مقسوم ا على عدد عناصر فراغ العينة وبما أن عدد عناصر مجموعة االتحاد يساوي عدد العناصر التي تحتويهاA مضاف ا إليه عدد العناصر التي تحتويهاB مطروح ا منه عدد العناصر التي تحتويها مجموعة التقاطع B A ألن عناصر مجموعة التقاطع (B n A) قد قمنا بجمعها مرتين جمعناها مرة مع 35

36 المجموعةA ومرة أخرى مع المجموعةB ولذا البد من طرحها مرة واحدة حتى نحصل على المجموع الصحيح أي أن : P(A B) = n(a B) n(s) = n(a) + n(b) n(a B) n(s) = n(a) n(s) + n(b) n(a B) = P(A) + P(B) P(A B) n(s) n(s) وبالتالي احتمال اتحاد أي حدثين غير متنافيينA B يحسب, من القانون التالي والذي يطلق عليه قانون جمع االحتماالت لحدثين غير متنافيين : P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) حيث: ا حتمال ظهور الحدث A أو الحدث B أو االثنين مع ا. احتمال أي :P(A B) ظهور أحد الحدثين على األقل. ظهور الحدثA. P :احتمال (A) ظهور الحدثB. P :احتمال (B) ظهور الحدثينA P(A :احتمال (B وB مع ا يف نفس الوقت. ) (قانونالجمعلحدثينمتنافيين: إذا كان الحدثانA,B متنافيين أي أن وقوع أحدهما يمنع وقوع األخر أي ال توجد نتائج مشرتكة بينهما أي ال توجد نتائج تحقق الحدثA وتحقق الحدثB يف 36

37 3 أن: نفس الوقت كما هو واضح يف شكل) 5-1 ( وبذلك استحالة حدوثهما مع ا أي S A B = P(A B) = 0 A B شكل) 5-1 ( وبالتالي عندما يكون الحدثان B A متنافيين فإن احتمال حدوث الحدث A يعني B احتمال ظهور الحدثA أو ظهور الحدثB ويحسب كما يلي : P(A B) = P(A) + P(B) الحظ أننا يف هذه الحالة ال نستعمل عبارة )أو االثنين مع ا( ألن الحدثين متنافيان وال يمكن الحصول عليهما مع ا. كما يجب االنتباه أن وجود أو يف االحتمال المطلوب يعني االحتمال المطلوب هو احتمال فئة االتحاد ونستطيع حسابه من قانون جمع االحتماالت. مثال )26-1(: عند إلقاء مكعب نرد مرة واحدة ما هو احتمال الحصول على رقم فردي أو رقم أكرب من 37

38 الحل: S= { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } فراغ العينة لهذه التجربة: لنفرض أن: الحدثA يمثل حدث ظهور رقم فردي. الحدثB يمثل حدث ظهور رقم أكرب من 3. A = {1, 3, 5 } P(A) = 3 6 B= {4, 5, 6 } P(B) = 3 6 A B = {5} وبماأن: 6 = 1 B) P(A وبما أن مجموعة التقاطع ليست مجموعة خالية إذن الحدثان غير متنافيين ولحساب االحتمال المطلوب نستخدم القانون التالي: P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) = = 5 6 مثال )27-1(: إذا علمت أن احتمال نجاح طالب ما يف مادة اإلحصاء يساوي 1.71 واحتمال أن ينجح يف مادة الرياضة 1.65 واحتمال أن ينجح يف المادتين مع ا 1.52 فأحسب احتمال أن ينجح يف إحدى المادتين على األقل. الحل: احتمال أن ينجح الطالب يف إحدى المادتين على األقل يعني احتمال أن ينجح يف اإلحصاء أو أن ينجح يف الرياضة أو أن ينجح يف المادتين مع ا فهنا حدث النجاح يف اإلحصاء وحدث النجاح يف الرياضة غير متنافيين. فإذا فرضنا أن: 38

39 الحدثA يمثل النجاح يف اإلحصاء. الحدثB يمثل النجاح يف الرياضة. فاالحتمال المطلوب هو:? = (B P(A واالحتماالت المعطاة هي: P(A)=0.70, P(B)= 0.65, P(A B) = وحيث أن الحدثينA B غير متنافيين فإن االحتمال المطلوب هو : P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) = =0.83 مثال )28-1(: عند إلقاء مكعب نرد مرة واحدة ما هو احتمال ظهور عدد زوجي أو 5 الحل: فراغ العينة لهذه التجربة:{ { 1, 2, 3, 4, 5, 6 S= لنفرض أن: الحدثA يمثل حدث ظهور عدد زوجي. الحدثB يمثل حدث ظهور العدد 5. A = {2, 4, 6 } P(A) = 3 6 B = {5} P(B) = 1 6 (A B) = { } P(A B) = 0 39

40 ح وبما أن مجموعة التقاطع مجموعة خالية إذن الحدثان متنافيان ولحساب االحتمال المطلوب نستخدم القانون التالي: P(A B) = P(A) + P(B) = = 4 6 = 2 3 ) 9-1 (االحتمالالشرطي: إذا كان الحدثان B,A دثين غير مستقلين أي أن ظهور أحدهما يؤثر يف احتمال ظهور األخر. فاالحتمال الشرطي هو احتمال ظهور أحدهما وليكنB إذا علمت أن الحدث اآلخر وليكن A قد ظهر فعال. ويرمز لهذا االحتمال بالرمز ( P(B/A ويقرأ احتمال ظهور الحدث B بشرط أن الحدث A قد ظهر فعال. أو احتمال ظهور الحدثB إذا علمت أن الحدثA قد ظهر فعال. ويحسب كما يلي: P(A B) P(B/A) = P(A) حيث: P(A)> 0 أما االحتمال الشرطي P(A/B) يقرأ احتمال ظهور الحدث A بشرط أن الحدثB قد ظهر فعال. أو احتمال ظهور الحدثA إذا علمت أن الحدثB قد ظهر فعال ويحسب كما يلي: P (A/B) = P(A B) P(B) حيث 0: P(B)> 41

41 4 الحظ أن الحدث الذي ظهر فعال أي تم وقوعه فعال يكتب على يمين الشرطة أي على يمين العالمة ( /( واحتماله يكون موجود يف المقام. وذلك كما هو واضح يف العالقتين السابقتين. أما إذا كان الحدثانA B حدثين, مستقلين أي أنه: إذا كان ظهور الحدثA ال يؤثر على احتمال ظهور الحدثB فإن: P(B/A) = P(B) وإذا كان ظهور الحدثB ال يؤثر على احتمال ظهور الحدثA فإن: P(A/B) = P(A) مثال )29-1(: إذا ألقينا مكعب نرد مرة واحدة ما هو احتمال ظهور عدد زوجي إذا علمت أنالعددالظاهر أكرب من الحل: فراغ العينة لهذه التجربة:{ 1,2,3,4,5,6 } =S لنفرض أن: الحدثA يمثل حدث ظهور عدد زوجي. الحدثB يمثل حدث ظهور عدد أكرب من 4. 41

42 كما ذكرنا سابق ا أن الحدث الذي ظهر فعال يوضع على يمين العالمة )/( وبما أن الحدث الذي علمنا أنه ظهر أعطيناه الرمزB إذن االحتمال المطلوب هو (A/B) P ويحسب كما يلي : P (A/B) = P(A B) P(B) A B = {6}, B = {5, 6} A = {2, 4, 6 } P (B) = 2 6 P (A B) = 1 6 بماأن: إذن: P (A/B) = P(A B) P(B) = = 1 2 مثال )31-1(: مدرسة هبا 51 مدرسة مصنفه حسب الجنسية والمستوى التعليمي كما يلي: الجنسية المستوىالتعليمي خريجة معهد خريجة جامعة اخترنا منهن مدرسة واحدة عشوائي ا. ليبية 11.. غيرليبية 6 4 أ- ب- إذا علمت أهنا ليبية فما احتمال أن تكون خريجة جامعة إذا علمت أهنا خريجة جامعة فما احتمال أن تكون ليبية الحل: نفرض أن: الحدثA هو أن تكون المدر سة ليبية. الحدث B هو أن تكون المدر سة خريجة جامعة. 42

43 أ- االحتمال المطلوب يف)أ( هو حيث P (B/A) ويحسب كما يلي : P(B/A) = P(A B) P(A) هو (A) P احتمال أن تكون المدر سة ليبية وهو يساوي عدد المدرسات ب- الليبيات مقسوم ا على العدد الكلي للمدرسات أي يساوي : P (A) = و( B P(A هو احتمال أن تكون المدرسة ليبية وخريجة جامعة يف نفس الوقت وهو يساوي عدد المدرسات الليبيات الخريجات من الجامعة مقسوم ا على العدد الكلي للمدرسات أي يساوي : إذن احتمال أن تكون خريجة جامعة مع العلم بأهنا ليبية هو: P(A B) = P(B/A) = P(A B) P(A) = 22/50 40/50 = 22 = االحتمال المطلوب يف)ب( هو( P(A/B ويحسب كما يلي : P(A/B) = P(A B) P(B) P(B) حيث هو احتمال أن تكون المدر سة خريجة جامعة وهو يساوي عدد المدرسات خريجات الجامعة مقسوم ا على العدد الكلي للمدرسات أي: P(B) = إذن احتمال أن تكون ليبية مع العلم بأهنا خريجة جامعة هو: 43

44 P(A/B) = P(A B) P(B) = 22/50 26/50 = 22 = مثال )31-1(: صندوق به 6 كرات بيضاءو 4 كرات حمراء فإذا سحبنا منه كرتين عشوائي ا وعملت أن الكرة األولى بيضاء فما احتمال أن تكون الثانية حمراء مع عدم ترجيع الكرة األولى قبل سحب الكرة الثانية. مع ترجيع الكرة األولى قبل سحب الكرة الثانية..1.2 الحل: نفرض أن: الحدثA هو أن تكون الكرة األولى بيضاء. الحدث B هو أن تكون الكرة الثانية حمراء. الصندوق يف هذه التجربة يعترب كأنه فراغ العينة ألنه يحتوي على كل الكرات التي يمكن أن تظهر لنا منها كرة )أي يحتوي على كل النتائج الممكنة(. االحتمال المطلوب هو ( P(B/A وهو احتمال أن تكون الكرة الثانية حمراء مع العلم بأن الكرة األولى التي سحبت من الصندوق كانت بيضاء. يف حالة أ. عدم ترجيع الكرة األولى قبل سحب الكرة الثانية لتحديد هذا االحتمال يجب معرفة ما تبقى يف الصندوق بعد عملية السحب األولى فهنا الحدثان B,A حدثان غير مستقلين وذلك ألننا لم نرجع الكرة المسحوبة يف المرة األولى إلى الصندوق مما يؤدي إلى تغير محتوياته وبالتالي يتأثر احتمال ظهور كرة حمراء. وحيث أن الباقي يف الصندوق 9 كرات هي: 5 بيضاءو 4 حمراء. فاحتمال أن تكون 44

45 الكرة المسحوبة يف المرة الثانية حمراء مع العلم أن األولى بيضاء يساوي عدد الكرات الحمراء المتبقية يف الصندوق مقسوم ا على العدد الكلي للكرات المتبقية أي االحتمال المطلوب هو: P(B/A) = 4 9 ب.يف حالة ترجيع الكرة األولى قبل سحب الثانية يكون الحدثان مستقلين أي أن ظهور كرة بيضاء يف السحبة األولى ال يؤثر يف احتمال أن تكون الثانية حمراء ألننا رج عنا الكرة األولى قبل سحب الثانية وبالتالي فمحتويات الصندوق لم تتغير فكأننا لم نسحب منه أي كرة ولذلك فإن: احتمال أن تكون الثانية حمراء= 4 10 مالحظة: يجب االنتباه إلى أن اختيار األشخاص دائم ا مع عدم اإلرجاع حتى إذا لم يذ كر ذلك صراحة. فليس من المنطق أن نعيد نفس األسئلة على نفس الشخص أكثر من مرة. ) 11-1 (قانونضرباالحتماالت: إذا كان الحدثان B, A أي حدثين يف فراغ العينة S (B P(A أي احتمال ظهورA وB مع ا يف نفس الوقت كما يلي: فإننا نستطيع الحصول على ) (قانونالضربلحدثينغيرمستقلين: علمنا أنه عندما يكون الحدثانA B غير, مستقلين والحدثA هو الذي تم ظهوره أوال فإن االحتمال الشرطي يحسب كما يلي : 45

46 و P(B/A) = P(A B) P(A) P(A) > 0 ومن هذه الصيغة نستنتج الصيغة الخاصة بحساب P(A B) = P(A). P (B A) P (A) > 0 فنجد أن: وبالتالي نجد انه إذا كان الحدث A هو الذي تم ظهوره أوال فإن احتمال الحصول على الحدثينA B مع ا يف نفس الوقت يحسب من الصيغة التالية التي يطلق عليها قانون ضرب االحتماالت لحدثين غير مستقلين: P(A B) = P(A). P (B A) P (A) > 0 ) (قانونالضربلحدثينمستقلين: أما إذا كان الحدثانA B مستقلين, فقد علمنا انه: P(B/A) = P(B) وبالتالي تصبح صيغة قانون ضرب االحتماالت عندما يكون الحدثان B A, مستقلين كما يلي: P(A B) = P(A). P(B) مالحظة: الحرف و مقرون ا بمفهوم التقاطع فالحدث الذي يقصد به ظهورA وB مع ا يعني ظهور الحدث A ونستطيع B حساب احتمال حدث من هذا النوع بتطبيق التعريف التقليدي لالحتمال مباشرة أي بقسمة عدد عناصر مجموعة التقاطع (B n(a على عدد عناصر فراغ العينة( n(s أو باستخدام قانون ضرب االحتماالت. 46

47 مثال )32-1(: صندوق به 5 كرات بيضاء و 11 كرات خضراء فإذا سحبنا منه كرتين عشوائي ا فما احتمال أن تكون األولى خضراء والثانية بيضاء أ. يف حالة السحب مع عدم اإلرجاع. ب. يف حالة السحب مع اإلرجاع. الحل: نفرضأن: الحدثA هو أن تكون الكرة األولى خضراء. الحدث B هو أن تكون الكرة الثانية بيضاء. االحتمال المطلوب هو: P(A B) =? أ- في حالة أن السحب تم مع عدم اإلرجاع تكون األحداث غير مستقلة ويحسب االحتمال المطلوب كما يلي: P(A B) = P(A). P(B/A) = = 5 21 ب- فيحالة أن السحب تم مع اإلرجاع تكون األحداث مستقلة ويحسب االحتمال P(A B) = P(A). P(B) = = 2 9 المطلوب كما يلي: 47

48 مثال )33-1( : صندوق به 6 كرات بيضاءو 14 كرة سوداء فإذا سحبنا منه كرتين عشوائي ا فما احتمال أن تكون الكرتان من نفس اللون أ. يف حالة السحب مع عدم اإلرجاع. ب. يف حالة السحب مع اإلرجاع. الحل: االحتمال المطلوب هو احتمال أن تكون الكرتان من نفس اللون أي احتمال أن تكون الكرتان بيضاء أو أن تكون الكرتان سوداء. نفرضأن: الحدث 1 W هو أن تكون الكرة األولى بيضاء. الحدث 2 W هو أن تكون الكرة الثانية بيضاء. الحدث 1 B هو أن تكون الكرة األولى سوداء. الحدث 2 B هو أن تكون الكرة الثانية سوداء. االحتمالالمطلوبهو: احتمال) 1 w و 2 W (أو) B و 2 1 B( وكما ذكرنا سابق ا أن حرف و يعني تقاطع وحرف أو يعني اتحاد إذن االحتمال المطلوب هو: P ((W 1 W 2 ) (B 1 B 2 ) ) =? 48

49 وبما أن حدث الحصول على كرتين بيضاء وحدث الحصول على كرتين سوداء هما حدثان متنافيان ألهنما ال يمكن أن يظهرا مع ا وباستخدام قانون جمع االحتماالت لحدثين متنافيين يكون االحتمال المطلوب مساوي ا ما يلي: P ((W 1 W 2 ) (B 1 B 2 )) = P (w1 w 2 ) + P(B 1 B 2 ) وبتطبيق قانون الضرب نحصل على االحتمال المطلوب حيث: أ- االحتمال المطلوب يف حالة السحب مع عدم اإلرجاع: P((w1 w 2 ) (B 1 B 2 )) = P(W 1 W 2 ) + P(B 1 B 2 ) =) (+) = P(w 1 )P(W 2 /W 1 ) + P(B 1 )P(B 2 /B 1 ) (= P((w 1 w 2 ) (B 1 B 2 )) = P(W 1 W 2 ) + P(B 1 B 2 ) = ب- االحتمال المطلوب يف حالة السحب مع اإلرجاع: = P(W 1 )P(W 2 ) + P(B 1 )P(B 2 ) =) (+) (= = فيما يلي نعرض بعض األمثلة التي نستعين لحلها بطرق العد المذكورة يف بداية هذا الفصل. مثال )34-1(: قفل خزنة يتكون من 4 خانات ولكي يفتح يجب أن ي حدد يف كل خانة عدد من األعداد الصحيحة من 1 إلى 9 فما احتمال سرقة هذه الخزنة 49

50 الحل: سنستعين لحل هذا المثال بقاعدة الضرب فهنا لدينا 4 خانات يأ 4 مراحل وكل خانة ممكن أن نضع فيها أي عدد من األعداد الصحيحة أي كل مرحلة ممكن إنجازها بعشرة طرق وبالتالي فإن n 4 = 10 n 3 = 10 n 2 = 10 n 1 = 10 ويكون العدد الكلي للحاالت التي يمكن أن نضبط عليها خانات قفل الخزنة )عدد عناصر فراغ العينة( يساوي: n1n2n3n4 = (10) (10) (10) (10) = أي توجد حالة يمكن أن نضبط عليها خانات قفل هذه الخزنة وبالطبع حالة واحدة فقط من هذه الحاالت هي التي تفتح قفل الخزنة )الحالة التي يستعملها صاحب الخزنة( إذن احتمال سرقة هذه الخزنة أي احتمال فتحها هو: 1 = مثال )35-1(: إذا طلبنا من أحد األشخاص أن يرتب جلو س مدير و 3 مدرسين و 3 طلبة يف مقاعد مرقمة من 1 إلى فأحسب ما يلي: أ- احتمال أن يجلس المدير والمدرسين الثالثة يف المقاعد األربعة األولى ثم الطلبة يف المقاعد الباقية. ب- احتمال ان يجلس المدير يف المقعد األول ثم يجلس المدرسين الثالثة يف المقاعد الثاين والثالث والرابع ثم يجلس الطلبة يف بقية المقاعد. 51

51 الحل: واضح يف هذا المثال أننا نهتم بالترتيب وبالتالي طريقة العد التي سنستعين هبا لحل هذا المثال هي قاعدة التباديل. فيكون: 7! عدد الطرق الكلية التي يمكن أن نرتب هبا 7 أشخاص يف صف = أ. الحدث المطلوب احتماله هو أن يجلس المدير والمدرسين الثالثة يف المقاعد األربعة األولى ويجلس الطلبة يف بقية المقاعد. فهنا كأن الحدث يتم على مرحلتين: : يقوم فيها برتتيب المدير والمدرسين الثالثة يف المقاعد األربعة األولى ويتم ذلك بعدد من الطرق =!4. : يقوم فيها برتتيب الطلبة الثالثة يف المقاعد الثالثة الباقية ويتم ذلك بعدد من الطرق=! 3. وبتطبيق قاعدة الضرب نحصل على عدد الطرق التي تحقق الحدث المطلوب )عدد عناصر الفئة الجزئية للحدث( وهو =)!3()!4(. إذن االحتمال المطلوب يساوي: (4!) (3!) = 1 7! 35 ب. الحدث المطلوب احتماله هو ان يجلس المدير يف المقعد األول والمدرسين الثالثة يف المقاعد الثاين والثالث والرابع ويجلس الطلبة يف بقية المقاعد فهنا كأن الحدث يتم على 3 مراحل: : يقوم فيها بوضع المدير يف المقعد األول ويتم ذلك بعدد من الطرق=! 1. يقوم فيها برتتيب المدرسين الثالثة يف المقعد الثاين والثالث : والرابع ويتم ذلك بعدد من الطر ق=! 3. 51

52 يقوم فيها برتتيب الطلبة الثالثة يف المقاعد الثالثة الباقية ويتم ذلك بعدد من الطرق =!3 وبتطبيق قاعدة الضرب نحصل على عدد الطرق التي تحقق الحدث المطلوب )عدد عناصر الفئة الجزئية للحدث( وهو=)! 1!()3!()3 (. إذن االحتمال المطلوب يساوي: (1!)(3!)(3!) 7! = مثال )36-1(: فصل دراسي يحتوي على 8 طالباتو 7 طلبة فإذا اخرتنا عشوائي ا من هذا الفصل مجموعة تتكون من 5 أشخاص )طبع ا االختيار تم مع عدم اإلرجاع( فما احتمال أن تحتوي هذه المجموعة على 3 طالبات وطالبين 3 الحل: االحتمال المطلوب هو احتمال اختيار مجموعة تتكون من طالبات وطالبين وبالطبع هنمل الرتتيب وهذا االحتمال يساوي عدد النتائج التي تحقق هذا الحدث مقسوم ا على العدد الكلي للنتائج الممكنة. واضح يف هذا المثال أننا هنتم باالختيار مع اهمال الترتيب وبالتالي طريقة العد التي سنستعين هبا لحل هذا المثال هي قاعدة التوافيق فيكون: العدد الكلي للنتائج الممكنة )عدد عناصر فراغ العينة( يساوي العدد الكلي للطرق التي يمكن أن نختار هبا 4 اشخاص من 15 شخص) 7+8 ( أي يساوي: C 5 15 = 15! ! = = ! (15 5)! 5! 10! 52

53 وعدد الطرق التي تحقق الحدث المطلوب يساوي عدد الطرق التي يتم هبا اختيار 3 طالبات من 8 طالبات واختيار طالبين من 7 طلبة أي كأن االختيار يتم على مرحلتين وبالتالي فبتطبيق قاعدة الضرب وقاعدة التوافيق نجد أن عدد الطرق التي تحقق الحدث المطلوب هو: 8 C 3 C 7 2 = 8! 3! 5! 7! 2! 5! = 1176 إذن االحتمال المطلوب هو: = 1176= ونستطيع حساب االحتمال المطلوب في خطوة واحدة كما يلي: = C C 2 15 C 5 = االحتمال المطلوب هو: مالحظة: عندما تتم عملية السحب العشوائي للمفردات بدون إرجاع نستطيع حساب أي احتمال مطلوب باستخدام قوانين االحتماالت أو باستخدام قاعدة التوافيق ونحصل على نفس النتيجة تمام ا. ألنه عند إيجاد التوافيق ال نختار نفس المفردة مرتين أي كأن السحب تم بدون إرجاع. فمثال نستطيع حساب االحتمال المطلوب يف)أ(الخاص بالمثال) 33-1 (باستخدام قاعدة التوافيق وذلك كما يلي: العدد الكلي للنتائج الممكنة )عدد عناصر فراغ العينة( يساوي العدد الكلي للطرق التي يمكن أن نختار هبا كرتين من 21 كرة بالصندوق) 14+6 ( أي يساوي: C 2 20 = 20! 2!(20 2)! = 20! 2! 18! = 190 ويتحقق الحدث المطلوب عندما تكون الكرتان بيضاء أو عندما تكون الكرتان سوداء وهما حدثان متنافيان وبالتالي: 53

54 احتمال أن تكون الكرتان من نفس اللون يساوي: احتمال أن تكون الكرتان بيضاوين + احتمال أن تكون الكرتان سوداوين. فبتطبيق قاعدة التوافيق نستطيع أن نحسب كال من هذين االحتمالين كما يلي: احتمال أن تكون الكرتان بيضاء يساوي عدد الطرق التي يمكن أن نختار هباكرتين بيضاء من 6 كرات بيضاء بالصندوق مقسوم ا على العد الكلي الختيار كرتين من 21 كرة بالصندوق أي يساوي: C 2 6 C 2 20 = واحتمال أن تكون الكرتان سوداوين يساوي عدد الطرق التي يمكن أن نختار هبا كرتين سوداوين من 14 كرات سوداء بالصندوق مقسوم ا على العد الكلي الختيار كرتين من 21 كرة بالصندوق أي يساوي: C 2 14 C 2 20 = إذن االحتمال المطلوب = = وهي نفس النتيجة التي حصلنا عليها بحل المثال عن طريق قانون الضرب يف حالة عدم اإلرجاع. وبالتالي يف حالة االختيار مع عدم اإلرجاع يستطيع الطالب أن يستخدم قانون الضرب أو التوافيق مع العلم بأن قاعدة التوافيق أسهل بكثير عندما يزيد عدد المفردات المختارة على أثنين. 54

55 ملخص الفصل األول تعرضنا يف هذا الفصل لتعريف مصطلحات هامة وهي التجربة العشوائية فراغ العينة الحدث وأنواعه ثم تطرقنا إلى الطرق التي تساعدنا يف معرفة عدد عناصر فراغ العينة وعدد عناصر الفئة الجزئية التي تمثل الحدث وهي )قاعدة الضرب التباديل التوافيق( ثم درسنا كيفية حساب االحتمال بالطريقة التقليدية والطريقة التجريبية حيث االحتمال التقليدي للحدث A يحسب كما يلي: عددالنتاي جالتيتحققالحدث A P(A) = عددالنتاي جلاكللةيلتجربة = n(a) n(s) أما االحتمال التجريبي للحدث A يحسب كما يلي : m عدد مرات ظهورالحدث n = A ا.حتمااللتجريبيللحدث A = العاددلكليلمرات ا جراءلتجربة تم عرضنا القوانين المستخدمة لحساب االحتماالت وهي: قانون جمع االحتماالت ويستخدم للحصول على احتمال اتحاد حدثين حيث: -1 عندما يكون الحدثان غير متنافيين( B P(A B) = P(A) + P(B) P(A -2 عندما يكون الحدثان متنافيين P(B P(A B) = P(A) + قانون االحتمال الشرطي( P(B/A وهو احتمال ظهور الحدث B بشرط أن الحدث A قد ظهر فعال. ويحسب كما يلي: 55

56 P(B/A) = P(A B) P(A) قانون ضرب االحتماالت ويستخدم لحساب احتمال تقاطع حدثين حيث:.1 عندما يكون الحدثان غير مستقلين( P(B/A P(A B) = P(A)..2 عندما يكون الحدثان متنافيين P(B) P(A B) = P(A). 56

57 إذا ألقينا مكعب نرد فاحسب احتمال الحصول على: أ- ب- عدد زوجي أو عدد أكرب من 4. عدد فردي أو العدد ا ذا ألقينا 3 قطع نقدية مع ا فاحسب ما يلي: أ- احتمال الحصول على نتائج متشاهبة أو 3 وجوه. ب-احتمال الحصول على وجهين أو ظهرين. 3. إذا ألقينا مكعبي نرد مع ا فأحسب ما يلي: أ- احتمال الحصول على مجموع أكرب من 11 أو نتائج متشاهبة على المكعبين. ب- احتمال الحصول على مجموع يساوي 8 أو مجموع يساوي إذا علمت أن: 0.45 = 0.65 P(A) ( P(B واحتمال = الحصول على الحدثين مع ا = 1.21 فاحسب احتمال ظهور أحد الحدثين على األقل. 5. إذا علمت أن احتمال أن ينجح طالب ما يف مادة اإلحصاء يساوي 1.71 واحتمال أن ينجح يف مادة الرياضية 1.62 واحتمال أن ينجح يف إحدى المادتين على األقل 1.89 فأحسب احتمال أن ينجح يف المادتين مع ا. 6. إذا ألقي مكعب نرد وعلمت أنه تم الحصول على عدد زوجي فما احتمال أن يكون هذا العدد أكرب من 7. ت ستخدم حافلتان لنقل موظفي شركة معينة فإذا علمت أن احتمال أن تكون الحافلة األولى عاطلة عن العمل 1.15 واحتمال أن تكون الحافلة الثانية عاطلة عن العمل 1.12 فأحسب احتمال أن تكون الحافلتان عاطلتين عن العمل. 57

58 8. صندوقبه 4 كرات صفراءو 6 كرات بيضاء. إذا سحبنا من هذا الصندوق كرتين فما احتمال أن تكون األولى صفراء والثانية بيضاء أ- إذا تم السحب مع اإلرجاع. ب -إذا تم السحب مع عدم اإلرجاع. 9. صندوقبه 7 كرات حمراء و 5 كرات بيضاء. إذا سحبنا من هذا الصندوق كرتين ما احتمال ان تكونا من نفس اللون. أ- إذا تم السحب مع اإلرجاع. ب-إذا تم السحب مع عدم اإلرجاع. 11. حقيبة سفر قفلها يتكون من 3 خانات ولكي تفتح يجب أن ي حدد يف كل خانة عدد صحيح من 1 إلى 9 فما احتمال سرقة أغراض من هذه الحقيبة. تتكون 11. أسرة من أب وأم 3 بنات و 4 أوالد جلسوا عشوائي ا يف صف به 9 مقاعد فأحسب االحتماالت التالية: أ-أن يجلس االب يف المقعد األول ويجلس بقية أفراد االسرة يف المقاعد األخرى. ب-أن يجلس األب واألم يف المقعدين األولين ويجلس بقية أفراد األسرة يف المقاعد األخرى. ج-أن يجلس األب يف المقعد األول وتجلس األم يف المقعد الثاين ويجلس بقية أفراد األسرة يف بقية المقاعد. د- أن يجلس األب يف المقعد األول وتجلس األم يف المقعد األخير ويجلس أطفالهم بينهما. 58

59 12.صندوق يحتوي 11 وحدات منتجة) 8 جيدة الصنعو 2 هبا تلف( فإذاسحبنا من هذا الصندوق 4 وحدات مع ا فأحسب ما يلي: أ-احتمال ظهور 3 وحدات جيدة ووحدة تالفة ب-احتمال أن تكون كل الوحدات المسحوبة جيدة 59

60 الفصلالثاني المتغي ارتالعشوائيةوتوزيعاتهااالحتمالية ) 1-2 (المتغيرالعشوائي: المقصود بالمتغير بصفة عامة هو الخاصية أو الظاهرة محل الدراسة والبحث وقد أطلق عليها مصطلح متغير ألن قيمتها تتغير من مفردة إلى أخرى فمثال إذا كانت دراستنا خاصة بأطوال طلبة المرحلة الثانوية ففي هذه الدراسة تكون المفردة هي الطالب والخاصية المستهدفة بالدراسة هي الطول وبما أن الطول يتغير من مفردة إلى أخرى أي من طالب إلى أخر فيسمى متغير. وإذا كانت التجربة التي نجريها هي تجربة عشوائية فسيكون اختيارنا للمفردة عشوائي ا أي خاضع لعامل الصدفة دون تدخل العامل البشري فيها وبما أن المفردة هي التي تحدد قيمة المتغير )يف المثال السابق الطالب هو الذي يحدد قيمة الطول( فإن المتغير ي سمى يف هذه الحالة المتغير العشوائي. كذلك يف بعض التجارب العشوائية ال هتمنا النتيجة التي نحصل عليها من التجربة يف حد ذاهتا ولكن ينصب اهتمامنا على متغير معين ترتبط قيمته بكل نتيجة من نتائج التجربة العشوائية فمثال عندما تكون التجربة العشوائية هي إلقاء 3 قطع نقدية ويكون اهتمامنا منصب ا على عدد األوجه التي نحصل عليها فهنا عدد األوجه هو متغير عشوائي ألنه يتغير من نتيجة إلى أخرى وقيمته التي سنحصل عليها تحددها النتيجة التي نحصل عليها من التجربة وبما أن ظهور أي نتيجة عشوائي إذن نطلق على عدد األوجه التي نحصل عليها عند إلقاء 3 قطع نقدية مصطلح المتغير العشوائي وبصفة عامة نستطيع تعريف المتغير العشوائي كما يلي: 61

61 ال متغير العشواي ي: هومتغير كمينعتمدفيتحديدقيمه علىكلتنيجة منالنتاي ج التييمكن ا ننحصل عليها من ا جراءتجربةعشواي ية ا ي علىكل عنصر من عانصرفراغالعينةلتجربة عشواي ية وابلاتليفا ن املتغيرالعشواي ي هودالةنطاقهافراغالعينة و مداها هوفي ة اعألداد الحقي قية. وأية قيمة من قيم المتغير العشوائي قد تحددها نتيجة واحدة أو أكثر من نتائج فراغ العينة. ولكن كل نتيجة من نتائج فراغ العينة تقابلها العشوائي. قيمة واحدة فقط للمتغير وكما وضح نا نستخدم كلمة عشوائي للداللة على أن القيم التي يمكن أن يأخذها المتغير تعتمد على نتائج تجربة عشوائية. ويرمز عادة للمتغير العشوائي بأحد... الحروفX Z, Y, ويمكن تصنيف المتغيرات العشوائية إلى نوعين: متغيرات عشوائية متقطعة )منفصلة(. متغيرات عشوائية مستمرة )متصلة(..1.2 وفيما يلي سنتعرض لكل نوع من هذين النوعين: ) (المتغي ارتالعشوائيةالمتقطعة)المنفصلة(: يعرف المتغير العشوائي المتقطع كما يلي: ف تعري المتغير الع وشاي ي املتقطع: هو متيغر عشواي يقيمه التييمكن انيا خذ ها منفصلة عنبعض ها وقابلةللعد. 61

62 عند إلقاء مكعب نرد مرة واحدة فإن فراغ العينة كما عرفنا هو: S={1, 2, 3, 4, 5, 6 } مثال )1-2(: فإذا كان المتغير العشوائي X يمثل عدد النقاط التي نحصل عليها عند إلقاء مكعب نرد سنجد أن القيم التي يمكن أن يأخذها هذا المتغير العشوائي هي: فنالحظ أن هذه القيم منفصلة عن بعضها فالمتغير يمكن أن يأخذ القيمة أو القيمة 2 ولكن ال يمكن أن يأخذ القيم التي بين هاتين القيمتين فمثال ال يمكنه أن يأخذ القيمة 1.67 وكذلك يمكنه أن يأخذ القيمة 2 والقيمة 3 ولكن ال يمكنه أن يأخذ القيم التي بينهما وهكذا... فنجد أن القيم التي يمكن أن يأخذها هذا المتغير منفصلة عن بعضها ولذلك يسمى بالمتغير المنفصل أو المتقطع. وبما أن القيم منفصلة عن بعضها فتكون قابلة للعد فنجد أن عدد القيم التي يمكن أن يأخذها هذا المتغير يساوي 6 قيم. X يمثل عدد األوجه التي يمكن أن نحصل عليها مثال )2-2(: إذا كان المتغير العشوائي عند إلقاء قطعتي نقود فإن فراغ العينة لهذه التجربة: S = ( HH,HT,TH,TT ) من فراغ العينة نستطيع تحديد القيم التي يمكن أن يأخذها المتغير X وهي:.) ( ذلك عند ظهور النتيجة T T عدم الحصول على وجه X = 0.) ( وذلك عند ظهور النتيجة H T أوH T الحصول على وجه واحد X = 1.) ( وذلك عند ظهور النتيجة H H الحصول على وجهين X = 2 62

63 سم فإن المتغير العشوائي X يمكنه أن يأخذ قيم وهي القيم وبما أن قيم المتغير منفصلة وقابلة للعد إذن فالمتغير الذي يمثل عدد األوجه التي نحصل عليها عند إلقاء قطعتي نقود هو متغير متقطع. وبصفة عامة فكل المتغيرات التي نحصل على قيمها عن طريق العد هي متغيرات متقطعة )منفصلة(. ) (المتغي ارتالعشوائيةالمستمرة)المتصلة(: يعرف المتغير العشوائي المستمر كما يلي: تعرفيالمتغير ا لعشواي ي المستمر )المتصل(: هوال متغيرالعشواي يالذييمكن ا نيا خذ ا يةقيمةفيفترة معينة ا يتكون القيم ال تييمكن ا نيا خذهاالمتغير العشواي ي متصلة ببعضها ا ي مستمر ةفيفترة معينة وبالتاليف هي غيرقابلةللعد. مثال )3-2(: إذا كان المتغير العشوائي يمثل أطوال طلبة إحدى الجامعات خالل سنة معينة فلوفرضنا أن أقصر طالب قامته 155 سمو طأ ولهمقامة 171 سم فإذا كانت التجربة العشوائية هي اختيار طالب ا واحدا عشوائي ا من هذه الجامعة فهنا المتغير وهو طول الطالب المختار عشوائي ا يمكنه أن يأخذ أية قيمة يف المدى من 155 سم إلى 171 سم فمثال يمكنه أن يأخذ القيمة سم ويمكنه أن يأخذ القيمة وهكذا... وبالتالي فإنه يمكن أن يأخذ أية قيمة يف الفرتة من 155 إلى 171.وبالتالي فالقيم التي يمكن أن يأخذها هذا المتغير هي قيم متصلة أي مستمرة يف الفرتة من

64 وأ إلى 171 ولذلك يطلق على هذا النوع من المتغيرات اسم المتغيرات المتصلة أو المستمرة. مثال )4-2( : مجموعة من الطلبة أوزاهنم محصورة ما بين القيمتين 55 كيلو جرام و 115 كيلو جرام فإذا اخرتنا من هؤالء الطلبة طالب ا واحدا عشوائي ا ورمزنا لوزن الطالب المختار بالمتغير العشوائي X فسنجد أن المتغير العشوائي X يمكنه أن يأخذ القيمة 55 القيمة 115 أو أية قيمة محصورة بينهما وبالتالي سنجد أن القيم التي يمكن أن يأخذها هذا المتغير عددها الهنائي وال يمكن كتابتها كقيم منفصلة نستطيع عدها فقيمة مستمرة ومتصلة ببعض. فهذا المتغير يمكنه أن يأخذ أية واقعة يف الفرتة من 55 إلى 115. وبصفة عامة فكل المتغيرات التي نحصل على قيمها بالقياس هي متغيرات مستمرة. ) 2-2 (التوزيعاتاالحتمالية: كما علمنا أن المتغيرات العشوائية تنقسم إلى نوعين وهما المتغيرات العشوائية المتقطعة والمتغيرات العشوائية المستمرة وبالتالي ستنقسم التوزيعات االحتمالية هي األخرى إلى نوعين فإذا كان التوزيع االحتمالي خاص بمتغير عشوائي متقطع فيسمي توزيع احتمالي متقطع وإذا كان التوزيع االحتمالي خاص بمتغير عشوائي مستمر فيسمي توزيع احتمالي مستمر. وفيما يلي سنتعرض لتعريف كل نوع من هذين النوعين. 64

65 يأ ) (التوزيعاالحتماليالمتقطع)المنفصل(. التوزيع االحتمالي المتقطع عبارة عن جدول يحتوي على كل القيم التي يمكن ان يأخذها المتغير العشوائي المتقطع مقرونة باحتماالهتا وأحيانا يعرب عن التوزيع االحتمالي بصيغة رياضية معينة تسمي دالة كتلة االحتمال ويرمز لها بالرمز. وهي تعطي االحتماالت التي تأخذها القيم المختلفة للمتغير العشوا يئ f)x( المتقطع.X فإذا كان لدينا المتغير العشوائي المتقطع X فتستطيع التعبير عن التوزيع االحتمالي بدالة كتلة االحتمال كالتالي. f)x(=p)x= x( وبالتعويض يف دالة كتلة االحتمال عن اية قيمة من قيم المتغير العشوائي نحصل عن احتمال الحصول على تلك القيمة أي أن قيمة دالة كتلة االحتمال هي : احتمال فمثال) 5 ( f هو احتمال أن يأخذ المتغير العشوائي المتقطع X القيمة 5 f(5) = P (X=5) تعريفالتوزيعاالحتماليالمتقطع: هو عبارة عن جدول يشمل كل القيم التي يمكن أن يأخذها المتغير العشوائي المتقطع مقرونة باحتماالتها ويعبر عن احتماالت القيم التي يمكن أن يأخذها المتغير العشوائي المتقطع بصيغة رياضية تسمي دالة كتلة االحتمال. مثال )5-2(: إذا ألقينا مكعب نرد مرة واحدة وكان المتغير العشوائي X يمثل العدد الذى يظهر على الوجه. فهنا القيم التي يمكن أن يأخذها هذا المتغير العشوائي هي القيم: 6,5,4,3,2,1 65

66 والتوزيع االحتمالي )دالة كتلة االحتمال( لهذا المتغير يمثله جدول) 1-2 (. جدول) 1-2 ( x f)x( 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 ويمكن التعبير عن هذا التوزيع االحتمالي بالصيغة الرياضية) x ( f والتي يطلق عليها دالة كتلة االحتمال حيث : 1 x = 1, 2, 3, 4, 5, 6 6 f(x) = { 0 otherwise حيث المقصود بكلمة )otherwise( ألية قيمة أخرى أي قيمة دالة كتلة االحتمال تساوي صفر ألية قيمة أخرى غير القيم المحددة وهي ويجب ان يتحقق يف أي توزيع احتمالي متقطع )أي يف أية دالة كتلة احتمال( الشرطان التاليان: 1 f(x) 0 ألن( f(x تمثل احتمال ونعلم ان أي احتمال يجب أال يكون )1( سالبا وال يزيد عن الواحد الصحيح. 1= f(x) ألن f(x) هو عبارة عن مجموع احتماالت كل القيم التي )2( يمكن ان يأخذها المتغير العشوائي المتقطع والتي تعتمد على كل نتائج فراغ العينة أي أن: f(x) = P(S) = 1 شرطيالتوزيعاالحتماليالمتقطع:.x ألي قيمة 0 f(x) 1 )1( f(x) = 1 ).( 66

67 من دالة كتلة االحتمال للمتغير العشوائي المتقطع X نستطيع تحديد احتمال أية قيمة يمكن ان يأخذها هذا المتغير العشوائي X وذلك بالتعويض مباشرة يف دالة كتلة االحتمال بالقيمة المراد حساب احتمال أن يأخذها المتغير العشوائي المتقطع. X مثال )6-2(: إذا ألقينا قطعة نقدية واحدة مرتين وكان المتغير العشوائيX يمثل عدد المرات التي نحصل فيها على وجه. أ. ب. ج. حدد القيم التي يمكن ان يأخذها المتغير العشوائ X.ي اوجد التوزيع االحتمالي لهذا المتغير العشوائ ي. عرب عن هذا التوزيع االحتمالي بصيغة رياضية لدالة االحتمال( f(x. د. الحل: أحسب االحتماالت التالية: P(x 1), p(x > 1), p(x = 0) أ. لتحديدالقيم التي يأخذها المتغير العشوائي يجب أوال كتابة فراغ العينة لهذه التجربة العشوائية وهي رمى قطعة نقدية مرتين حيث: S = { HH, HT, TH,TT } القيم x التي يمكن ان يأخذها المتغير العشوائي موضحة يف جدول) 2-2 ( جدول) 2-2 ( x النتيجة HH. HT, TH 1 TT 0 إذن القيم التي يمكن أن يأخذها المتغير العشوائي الذي يمثل عدد المرات التي نحصل فيها على وجه عند إلقاء قطعة نقدية مرتين هي:

68 ب. التوزيع االحتمالي لهذا المتغير العشوائي يوضحه جدول) 3-2 ( حيث احتمال أي قيمة) f)x هو عدد نتائج فراغ العينة المناظرة لهذه القيمة مقسوما على عدد النتائج الكلية )عدد عناصر فراغ العينة(. جدول) 3-2 ( x 0 1. f)x( 1/4./4 1/4 ج. الصيغة الرياضية لهذا التوزيع االحتمالي المتقطع أي دالة كتلة االحتمال( f(x 1/4 f(x) = { 2/4 0 هي: x = 0, 2 x = 1 otherwise د.االحتماالت المطلوبة: P(X = 0) = f (0) = 1 4 P(X > 1) = f (2) = 1 4 P(X 1) = f(1) + f (2) = = 3 4 ) (التوزيعاالحتماليالمستمر)المتصل(: حيث أن المتغير العشوائي المستمر يتعامل مع فرتات وليس مع قيم منفصلة فال نستطيع التعبير عن التوزيع االحتمالي للمتغير العشوائي المستمر بجدول بينما.f(x) حيث نعرب عنه بدالة تسمي دالة كثافة االحتمال ويرمز لها كذلك بالرمز المساحة المحصورة بين منحني هذه الدالة ومحور السينات فوق فرتة معينة يساوي احتمال أن يقع المتغير العشوائي المستمر داخل هذه الفرتة فمثال احتمال أن يأخذ 68

69 [a, b] المتغير المستمر أية قيمة داخل فرتة معينة ولتكن الفرتة مساويا للمساحة المحصورة بين محور السينات ومنحنى دالة كثافة االحتمال لهذه الفرتة وذلك كما هو واضح يف شكل.)1-2( Y P(a < X < b) Y = f(x) a b شكل) 1-2 ( X وبصفة عامة دالة كثافة االحتمال هي دالة متصلة )مستمرة( ومعرفة عند جميع قيمx يف المجال) -(ويجب أن يتوفر فيها ما يلي: شرطيدالةكثافةاالحتمال: x لجميع قيم المتغير العشوائي المستمر f(x) 0 المساحة الكلية المحصورة بين المنحني الذي يمثل دالة كثافة االحتمال ومحور السينات مساوية الواحد الصحيح. )1( ).( إذا كانت دالة كثافة االحتمال دالة خطية فنستطيع الحصول على المساحة التي تمثل االحتمال المطلوب من الرسم الن يف هذه الحالة سيكون الشكل المراد الحصول على مساحته شكال منتظما )مثلثا أو مربعا أو مستطيال أو شبة منحرف( وكل هذه األشكال نعرف القوانين التي نحسب منها مساحتها. اما إذا كانت دالة كثافة االحتمال دالة غير خطية فنحسب المساحة عن طريق تكامل دالة كثافة 69

70 االحتمال ولن نتعرض لدوال غير خطية ألن موضوع التكامل خارج موضوع هذا الكتاب. وحيث أن المتغير المستمر يتعامل مع فرتات وال يتعامل مع قيم معينة وبالتالي فاحتمال أن يأخذ المتغير العشوائي المستمر( X ) قيمة معينة ولتكن( a ) يساوي دائما صفر وذلك ألن المساحة فوق قيمة معينة عبارة عن خط والخط ليس لديه مساحة. وبما ان احتمال ان يساوي المتغير المستمر قيمة معينة يساوي صفر إذن عندما يكون المتغير( X )متغيرا مستمرا تكون االحتماالت األربعة التالية متساوية. P(a < X < b) = P(a X < b) = P(a < X b) = P(a X b) وهذا يعني أن الفرتة التي نحسب احتمالها تشمل الحد األدين أو الحد األعلى أوكليهما او ال تشملهما ال يؤثر ذلك على قيمة االحتمال يف حالة المتغير العشوائي المستمر. مثال )7-2(: إذا كانت دالة كثافة االحتمال للمتغير العشوائي المستمرX كما يلي: f(x) = { 1/4 0 1 x 5 otherwise ارسم دالة كثافة االحتمال لهذا المتغير. احسب) 5 X.P)

71 ي و الحل: لرسم دالة االحتمال نجعل المحور السيني يمثل القيم التي يمكن أن يأخذها المتغير العشوائي ) X (بينما المحور الصادي يمثل قيم دالة كثافة االحتمال( f(x. وبما ان الدالة خطية فالصورة البيانية لها عبارة عن خط مستقيم ونالحظ أن قيمة الدالة يف الفرتة من 1 إلى 5 هي قيمة ثابتة تساوي 1 4 يمثل الدالة يف هذه الفرتة هو خط يوازي محور السينات مرسوم ا عند وبالتالي فإن الخط الذي f(x)= 1 4 اما بالنسبة ألي فرتة أخرى فسيكون الخط الذي يمثل الدالة منطبقا على محور السينات الن دالة كثافة االحتمال تساوي صفر بالنسبة ألي فرتة أخرى غير الفرتة من 1 إلى 5. وشكل )2-2( وضح الصورة البيانية لهذه الدالة. f(x) 1/4 P(2 X 5) x شكل) 2-2 ( االحتمال المطلوب هو المساحة المحصورة بين المحور األفقي والخط -2 المستقيم الذي يمثل الدالة وبين المستقيمين x=2 5=x.وهي المساحة المظللة يف شكل) 2-2 (.وألن الدالة خطية فنستطيع حساب المساحة من الرسم فنجد أن طوله 3 إذن: 1 المساحة المظللة مستطيل عرضه 4 المساحة المظللة )االحتمال المطلوب(=العرض الطول= 3 =

72 كما مثال )8-2(: إذا كانت دالة كثافة االحتمال للمتغير المتصلX يلي: f(x) = { x/2 0 0 x 2 otherwise أ. ب. ارسم دالة كثافة االحتمال لهذا المتغير. أحسب( 1 X P(0 الحل بما ان الدالة خطية فالصورة البيانية لها هي عبارة عن خط مستقيم ولرسم هذا الخط المستقيم يلزمنا تحديد االحداثي f(x)) x )الي, نقطتين من النقط التي يمر هبا فنجد انه: عندما x=1 بالتعويض يف دالة كثافة االحتمال نجد أن f)1(=1 أذن: النقطة) 1 1 (تقع على الخط المستقيم. عندما x=2 بالتعويض يف دالة كثافة االحتمال نجد نا 1=)2(f النقطة) 2 1 (هي كذلك تقع على الخط المستقيم. إذن: بتحديد هاتين النقطتين والتوصيل بينهما نحصل على الخط المستقيم الذي يمثل دالة كثافة االحتمال يف الفرتة من 1 إلى 2 اما بالنسبة ألي فرتة اخري فسيكون الخط الذي يمثل الدالة منطبقا على محور السينات الن دالة كثافة االحتمال تساوي صفر )3 2( f(x) 1 1 بالنسبة ألي فرتة اخرى غير الفرتة المذكورة. وشكل لهذه الدالة. يوضح الصورة البيانية 1 2, 1 h = x شكل) 3-2 ( b = 1 f(x) = x 2 )1.( 72

73 ..االحتمال المطلوب هو المساحة المحصورة بين المحور األفقي والخط المستقيم الذي يمثل الدالة وبين المستقيمين 1=x 1= x وهي المساحة المظللة يف شكل )3-2(. ويف هذه الحالة الن الدالة خطية فنستطيع حساب المساحة من الرسم فنجد ان المساحة المظللة هي مثلث إبعاده كما يلي: قاعدته) 1=1 1=)b 1 ارتفاعه) f)1(=)h = 2 بما ان مساحة المثلث= 1/2 )القاعدة( )االرتفاع(. إذن المساحة المظللة )االحتمال المطلوب(=) 1 4 = (1 2 )(1)(1 2 73

74 1 2 اذكر مع التعليل أيا من الجداول التالية يمثل توزيع ا احتماليا متقطعا وأيا منها ليس.1 كذلك مع توضيح السبب: أ. x f(x) 1/1 3/1 1/1-1/1 x ب. f(x) 1/1 4/10./10 1/1 ج. x f(x) 1/. 1/. 3/../../. 2. عند إلقاء 3 قطع نقدية واعتبار أن المتغير العشوائيX يمثل عدد األوجه التي نحصل عليها. أ. ب. ج. أوجد التوزيع االحتمالي لهذا المتغير العشوائي. عرب عن هذا التوزيع االحتمالي بصيغة رياضية لدالة االحتمال.f)x( احسب االحتماالت التالية: P(0 < X 2) P (X 2) P(X = 1) 3. عند إلقاء مكعبي نرد واعتبار أن المتغير العشوائي X يمثل مجموع العددين الظاهرين على المكعبين أوجد التوزيع االحتمالي لهذا المتغير. 74

75 4. اوجد قيمة الثابت b التي تجعل الجدول التالي يمثل توزيعا احتماليا متقطعا. x f(x) 2 1/1 3./1 4 3/1 5 b 6 1/1 5. إذا كانت دالة االحتمال للمتغير العشوائي المتقطعX كما يلي: f(x) = { 1/k 0 x = 1, 2, 3, 4, 5 otherwise أ. أوجد قيمة k. ب. أحسب االحتماالت التالية: P(X = 6) P(0 < X 2.5) P(X 4) P(1 < X 3) إذا كانت دالة كثافة االحتمال للمتغير العشوائي المستمرX كما يلي: f(x) = { 1/5 0 3 x 8 otherwise..6 أحسب( 7 X P(2 إذا كانت دالة كثافة االحتمال للمتغير العشوائي المستمرX كما يلي : 4 x f(x) = { x 4 otherwise.7 أحسب( 2 P(X 75

76 ) 3-2 (وصفالتوزيعاتاالحتمالية: توجد مقاييس إحصائية لوصف التوزيعات االحتمالية الخاصة متغير ألى عشوائي سواء كان متقطعا أو مستمرا. وذلك لمعرفة الخواص العامة لتغيرات الظاهرة محل الدراسة التي يمثلها المتغير العشوائي. وحيث أن التوزيع االحتمالي يتحدد من كل القيم التي يمكن أن يأخذها المتغير العشوائي والتي تعتمد على كل النتائج الممكن الحصول عليها من تجربة عشوائية وبالتالي فإن أي توزيع احتمالي لمتغير عشوائي يمثل توزيع احتمالي للمجتمع الذي يتكون من كل القيم التي يمكن أن يأخذها هذا المتغير. فمثال إذا كانت دراستنا بأطوال طلبة خاصة كلية االقتصاد يف سنة معينة فسيتكون المجتمع من أطوال كل طلبة االقتصاد يف السنة المعنية بالدراسة. فإذا رمزنا للظاهرة المستهدفة بالدراسة يف هذه الحالة وهي ظاهرة الطول بالرمز X فالتوزيع االحتمالي للمتغير العشوائي X يسمي التوزيع االحتمالي لمجتمع االطوال. توزيعالمجتمع: هو التوزيع االحتمالي للبيانات المجمعة عن كل مفردات المجتمع. واي مقاييس إحصائية خاصة بالمجتمع ككل كمقاييس النزعة المركزية )المتوسط الحسابي الوسيط المنوال...( أو مقاييس التشتت )التباين االنحراف المعياري...( او اية مقاييس إحصائية اخرى تسمي معالم ألهنا تصف لنا المجتمع وتحدد معالمه فتحسب المعلمة باستخدام بيانات عن كل مفردات المجتمع دون استثناء. تعريفالمعلمة: هي أي مقياس إحصائي يحسب من كل بيانات المجتمع. 76

77 والمعالم عبارة عن قيم ثابتة ال تتغير الن المجتمع محل الدراسة ثابت ال يتغير أثناء إجراء الدراسة ولذلك يطلق على المعالم احيانا الثوابت اإلحصائية. وعادة تستخدم الحروف اليونانية للتعبير عن المعالم فيرمز للوسط الحسابي للمجتمعبالحرف μ )ميو( ولتباين المجتمع بالرمز 2 σ )سيجما تربيع( ولالنحراف المعياري للمجتمع بالحرف σ )سيجما( وهكذا... ومن اهم المقاييس التي يهتم هبا علم اإلحصاء هي مقاييس النزعة المركزية ومقاييس التشتت حيث تعرض الطالب يف منهج السنة الثانية حساهبا من لكيفية التوزيعات التكرارية اما يفهذا المنهج فإننا سنتعرض لكيفية حساب أهم مقياس من مقاييس النزعة المركزية وهو الوسط الحسابي واهم مقياسين للتشتت وهما التباين واالنحراف المعياري من التوزيعات االحتمالية. حيث ) (الوسطالحسابي. إذا كان لدينا مجتمع يتكون من قيم يمثلها المتغير العشوائي المتقطع X التوزيع االحتمالي لهذا المجتمع كما يلي: x f(x) x 1 x 2... x r f(x 1 ) f(x 2 )... f(x r ) فنرمز للوسط الحسابي للمجتمع بالرمز μ ويحسب باستخدام الصيغة التالية: i=r μ = x i f(x i ) i=1 أي أن الوسط الحسابي لتوزيع احتمالي متقطع هو مجموع حاصل ضرب كل قيمة من القيم التي يمكن أن يأخذها المتغير العشوائي يف االحتماالت المناظرة لتلك القيم. 77

78 أما أذا كان التوزيع االحتمالي مستمرا فعند حساب الوسط الحسابي نستخدم التكامل بدال من المجموع ولكننا لن نتعرض لهذا الموضوع. مثال )9-2( : أذا كان لدينا مجتمع يتكون من درجات 01 طلبة وكانت الدرجات كما يلي: أوجد التوزيع االحتمالي لهذا المجتمع ثم إحسب منه الوسط الحسابي للمجتمع )الوسط الحسابي للدرجات(. الحل: الظاهرة المستهدفة بالدراسة )المتغير العشوائي( يف هذا المثال هي الدرجة فإذا رمزنا لها بالرمز x بما أن المتغير العشوائي هو متغير متقطع فنحصل على التوزيع االحتمالي لهذا المجتمع بكتابة القيم المختلفة للمتغير العشوائي وأمام كل قيمة نكتب احتمالها حيث القيم المختلفة التي يأخذها هذا المتغير العشوائي )الدرجة( هي : ونحسب احتمال كل قيمة من هذه القيم بقسمة عدد مرات تكرار القيمة ع ىل العددالكلي للقيم فمثال عندهاx=4 فإن: f(4) = P(X = 4) = 2 = وهكذا... فسيكون التوزيع االحتمالي لهذا المجتمع كما يلي: 78

79 x f(x) المجموع جدول) 4-2 (التوزيعاالحتماليللمجتمع ومن التوزيع االحتمالي للمجتمع نحسب الوسط الحسابي للمجتمع كما يلي: i=4 μ = x i f( x i ) i=1 = (4)(0. 2) + (5)(0. 3) + (6)(0. 3) + (7)(0. 2) = 5. 5 أي أن الوسط الحسابي للدرجات هو 5.5 درجة مثال )11-2(: إذا كان التوزيع االحتمالي للمتغير العشوائي X كما يلي: x f(x) أحسب الوسط الحسابي لهذا التوزيع االحتمالي. الحل من التوزيع االحتمالي نحسب الوسط الحسابي μ كما يلي: i=5 μ = x i f( x i ) i=1 = (0)(0. 01) + (1)(0. 15) + (2)(0. 29) + (3)(0. 35) + (4)(0. 20) = X أذا ألقينا قطعة نقدية واحدة مرتين وكان المتغير العشوائي يمثل عدد مثال )11-2(: المرات التي نحصل فيها على وجه احسب الوسط الحسابي لهذا المتغير. 79

80 الحل: نوجد أوال التوزيع االحتمالي لهذا المتغير ثم نحسب منه الوسط الحسابي وإليجاد التوزيع االحتمالي يجب كتابة فراغ العينة لهذه التجربة العشوائية. حيث: S = { HH, HT, TH, TT } إذن القيم التي يمكن ان يأخذها المتغير العشوائي الذي يمثل عدد المرات التي. نحصل فيها على وجه عند إلقاء قطعة نقدية مرتين هي: 1 0. والتوزيع االحتمالي لهذا المتغير العشوائي يوضحه الجدول التالي: x f(x) 1 1/4 1./4 2 1/4 ومن التوزيع االحتمالي نحسب الوسط الحسابي كما يلي: i=3 μ = x i f( x i ) i=1 = (0)(1/4) + (1)(2/4) + (2)(1/4) = 4/4 = 1 ) (القيمةالمتوقعة: إذا كان لدينا المتغير العشوائي X فالقيمة المتوقعة لهذا المتغير يرمز لها بالرمز (X) E وهي عبارة عن الوسط الحسابي لقيم المتغير العشوائي X مرجحة باحتماالهتا. وبالتالي فالقيمة المتوقعة للمتغير العشوائي المنفصل X تحسب كما يلي: i=3 E(X) = x i f( x i ) i=1 81

81 وهذه نفسها الصيغة المستخدمة لحساب الوسط الحسابي من التوزيعات االحتمالية المتقطعة وبالتالي فالقيمة المتوقعة للمتغير العشوائي المتقطع X هي عبارة عن تسمية اخرى للوسط الحسابي أي أن: ويف بعض االحيان نجد أن استخدام مصطلح القيمة المتوقعة يوضح المقصود أكثر من استخدام مصطلح الوسط الحسابي وذلك كما هو واضح يف المثال التالي: إذا كانت القيمة االسمية لبوليصة التامين عن حوادث السيارات لشركة تامين معينة 1111 دينار ليبي وكان قسط التأمين السنوي يساوي 55 دينار ليبي فإذا كانت نسبة السيارات المتعرضة سنويا للحوادث هي %4 فما هي القيمة المتوقعة ألرباح هذه الشركة من حامل عقد التأمين يف سنة الحل: E(X) = μ مثال )12-2(: إذا اخرتنا من حاملي عقود التأمين واحدا عشوائيا وجعلنا المتغير العشوائي X يرمز للربح الذي تجنيه الشركة من هذا الشخص يف سنة واحدة. فسنجد انه إذا لم يتعرض الشخص لحادث فسرتبح الشركة يف السنة قيمة القسط وهو 55 دينار يأ 55=X أما إذا تعرض الشخص لحادث فستدفع له الشركة مبلغ 1111 دينار فستكون خسارة الشركة يف هذه الحالة) =-945 -(أي انX=-945 )االشارة السالبة تعني خسارة( وحيث أن احتمال وقوع حادث= 41.1 )النسبة هي احتمال( إذن احتمال عدم وقوع حادث= 1.96 ويكون التوزيع االحتمالي لربح الشركة يف سنة كما يلي: x f(x)

82 ونالحظ هنا ان المتغير العشوائي X متغير متقطع إذن فالقيمة المتوقعة لربح هذه الشركة من شخص واحد يف سنة يحسب كما يلي: i=2 E(X) = μ = x i f(x i ) = (55)(0. 96) + ( 945)(0. 04) = 15 i=1 ويعني ذلك ان الشركة تتوقع أن يكون ربحها من حامل عقد التأمين الواحد يفسنة 15 دينار. أي متوسط ربح الشركة من الشخص الواحد يف سنة 15 دينار. وبالتالي إذا كان عدد عقود التأمين المربمة مع هذه الشركة 75 ألف عقد فستتوقع الشركة ان تكون أرباحها الكلية السنوية تساوي = دينار. أي سيكون متوسط األرباح الكلية السنوية لهذه الشركة مليون ومائة وخمسة وعشرون ألف دينار. ) (التباين: التباين هو مقياس لدرجة تشتت قيم المتغير العشوائي حول وسطها الحسابي ويعرف التباين بانه الوسط الحسابي لمربعات انحرافات القيم عن وسطها الحسابي. ويرمز لتباين التوزيع االحتمالي )لتباين المجتمع( بالرمز 2 σ )سيجما تربيع(. ويحسب التباين يف حالة التوزيعات االحتمالية المتقطعة كما يلي: i=r σ 2 = (x i μ) 2 f(x i ) i=1 μ وحيث ان التباين يقيس مدي تشتت قيم التوزيع حول وسطها الحسابي فعليه إذا كانت قيمة التباين كبيرة فيعني ذلك ان قيم المتغير العشوائي لهذا التوزيع متباعدة عن وسطها μ أما إذا كانت قيمة التباين صغيرة فيعني ذلك أن قيم المتغير العشوائي قريبة ومتمركزة حول وسطها الحسابي μ وبالتالي فعندما يساوي التباين 82

83 الصفر فيعني ذلك أنه ال يوجد تشتت أي أن جميع قيم التوزيع تساوي الوسط الحسابي μ فمثال إذا كان لدينا توزيع احتمالي لدرجات طلبة يف مادة اإلحصاء وعلمت أن الوسط الحسابي لهذا التوزيع μ=62 وتباين التوزيع = 0 2 σ فيعني ذلك أن جميع الطلبة درجاهتم 62. يجب االنتباه أن التباين هو مقياس مربع وبالتالي قيمته ستكون صفر أو قيمة موجبة أيأن 1.σ 2 والصيغة السابقة لحساب التباين تسمى صيغة االنحرافات عن الوسط الحسابي ومنها نستطيع استنتاج صيغة أخرى لغرض تسهيل العمليات الحسابية وخاصة عندما تكون قيمة الوسط الحسابي كسرا وتسمى صيغة القيم مباشرة وهي: i=r σ 2 = x i 2 f(x i ) i=1 μ 2 وبالطبع تعطي الصيغتان نفس النتيجة تمام ا. وبما أن التباين يتعامل مع مربع انحرافات القيم عن وسطها الحسابي إذن ستكون وحداته هي مربع وحدات القياس األصلية وكثيرا ما تكون غير ذات معني فمثال إذا كان المتغير العشوائي المدروس يمثل عدد األطفال فستكون وحدات التباين طفل تربيع وإذا كان المتغير يمثل الوقت بالساعات فستكون وحدات التباين ساعة تربيع وكلها ليس لها أي معنى وهذا يمثل صعوبة يف تفسير التباين. وللتخلص من هذه الصعوبة ن رجع الوحدات إلى أصلها بأخذ الجذر الرتبيعي للتباين ويسمى المقياس الجديد باالنحراف المعياري. 83

84 ) (االنح ارفالمعياري: االنحراف المعياري هو الجذر الرتبيعي الموجب للوسط الحسابي لمربعات انحرافات القيم عن وسطها الحسابي الموجب للتباين ويرمز له بالرمز σ : أي االنحراف المعياري هو الجذر الرتبيعي σ = σ 2 مثال )13-2(: أحسب التباين واالنحراف المعياري للتوزيع االحتمالي المتقطع التالي: x f(x) الحل: لحساب التباين يجب أوال حساب الوسط الحسابي μ حيث: i=5 μ = x i i=1 i=5 f(x i ) = 2(0. 05) + 4(0. 15) + 6(0. 25) + 8(0. 35) + 10(0. 20) = 7. 0 ونحسب التباين باستخدام صيغة االنحرافات عن الوسط الحسابي كما يلي: σ 2 = (x i μ) 2 i=1 + ( f(x i ) = (2 7) 2 (0. 05) + (4 7) 2 (0. 15) + (6 7) 2 (0. 25) 8-7 ) 2 (0. 35) + (10 7) 2 (0.20) =5.0 ونستطيع حساب التباين باستخدام صيغة القيم مباشرة كما يلي: i=5 σ 2 = x i 2 i=1 f(xi) μ 2 = [(2) 2 (0. 05) + (4) 2 (0. 15) + (6) 2 (0. 25) + (8) 2 (0. 35) + (10) 2 (0. 20)] (7) 2 = = 5. 0 إذن االنحراف المعياري لهذا المتغير العشوائي يساوي: σ = σ 2 = 5 =

85 مثال )14-2(: إذا ألقينا قطعة نقدية واحدة مرتين وكان المتغير العشوائي X يمثل عدد المرات التي نحصل فيها على وجه أحسب التباين واالنحراف المعياري لهذا المتغير. الحل: من مثال ).-6( علمنا أن التوزيع االحتمالي لهذا المتغير العشوائي كما يلي: x f(x) 1 1/4 1./4 2 1/4 ومن التوزيع االحتمالي نحسب الوسط الحسابي μ كما يلي: i=3 μ = x i f(x i ) = (0)(1/4) + (1)(2/4) + (2)(1/4) = 4/4 = 1 i=1 حساب التباين باستخدام صيغة االنحرافات عن الوسط الحسابي: i=3 σ 2 = (x i μ) 2 f(x i ) i=1 = (0 1) (1 2 1)2 4 + (2 1 1)2 4 = = 1 2 ونستطيع حساب التباين باستخدام صيغة القيم مباشرة كما يلي: i=3 σ 2 = [ i=1 x 2 i f(x i )]-μ 2 =[(0) 2 ( 1 ) + 4 (1)2 ( 2 ) + ( 4 2)2 ( 1 )] 4 (1)2 = = 1 2 إذن االنحراف المعياري لهذا المتغير العشوائي يساوي: σ = σ 2 = 1 =

86 ملخص الفصل الثاني عرفنا يف هذا الفصل المتغير العشوائي بأنه متغير كمي نعتمد يف تحديد قيمه على كل نتيجة من النتائج التي يمكن أن نحصل عليها من إجراء تجربة عشوائية ويوجد نوعان من المتغيرات العشوائية وهما المتغير العشوائي المتقطع )المنفصل( وهو متغير عشوائي قيمه التي يمكن أن يأخذها منفصلة عن بعضها وقابلة للعد. والمتغير العشوائي المستمر )المتصل( وهو متغير عشوائي يمكنه أن يأخذ أية قيمة يف فرتة معينة أي تكون القيم التي يمكن أن يأخذها متصلة ببعضها أي مستمرة يف فرتة معينة وبالتالي فهي غير قابلة للعد. وإذا كان المتغير العشوائي متقطع ا فتوزيعه االحتمالي يسمى توزيع احتمالي متقطع ونعرب عنه بالدالة( f(x وتسمي دالة كتلة االحتمال حيث قيمتها عند قيمة معينة x هي احتمال أن يأخذ المتغير هذه القيمة أي f(x): P(X = (x = ويجب أن يتوفر يف دالة كتلة االحتمال الشرطان التاليان: 1 f(x). f(x) = 0 1 أما إذا كان المتغير العشوائي مستمرا فتوزيعه االحتمالي يسمى توزيع احتمالي مستمر ونعرب عنه بالدالة( f(x وتسمي دالة كثافة االحتمال. واحتمال أن يأخذ المتغير المستمر أية قيمة داخل فرتة معينة مساوي ا للمساحة المحصورة بين محور السينات ومنحني دالة كثافة االحتمال لهذه الفرتة. ويجب أن يتوفر يف دالة كثافة االحتمال الشرطان التاليان: 0 f(x) والمساحة الكلية المحصورة بين منحنى دالة كثافة االحتمال ومحور السينات تساوي 1. 86

87 ثم تعرضنا لوصف التوزيعات االحتمالية )المجتمعات( بحساب بعض معالمها الهامة وقد حسبنا هذه المعالم عندما يكون توزيع المجتمع توزيع ا احتمالي ا مقطع ا حيث: i=r μ = i=1 ي حسب الوسط الحسابي للمجتمع μ كما يلي: ) i x i f(x وي حسب تباين المجتمع σ 2 بإحدى الصيغتين التاليتين: i=r i=r σ 2 = [ x 2 i f(x i )] μ 2 σ 2 = (x i μ) 2 f(x i ) i=1 i=1 σ = σ 2 أما االنحراف المعياري σ فهو الجذر الموجب للتباين أي: 87

88 أحسب الوسط الحسابي والتباين واالنحراف المعياري لكل من التوزيعات التالية: أ- x f(x) ب- x f(x) ج- x f(x) 1/12 1/12 2/12 4/12 2/12 2/12 2. عند إلقاء 3 قطع نقدية واعتبار أن المتغير العشوائي X يمثل عدد األوجه التي نحصل عليها أحسب الوسط الحسابي والتباين واالنحراف المعياري لهذا المتغير. 3. أحسب الوسط الحسابي والتباين واالنحراف المعياري للتوزيع االحتمالي 1 f(x) = { 7 0 x = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 otherwise المتقطع التالي: إذا كان التوزيع االحتمالي للمتغير العشوائي X الذي يمثل المبيعات األسبوعية من السيارات لوكالة معينة كما يلي:.4 88

89 x f(x) أحسب القيمة المتوقعة لعدد السيارات التي تبيعها هذه الوكالة أسبوعي ا. 5. إذا كان لدينا التوزيع االحتمالي المتقطع التالي: x f(x) k c.c E(X) = وكانت 146 فأوجد قيمة K و 89

90 الفصلالثالث توزيعاتاحتماليةهامة ) 1-3 (توزيعاتاحتماليةمتقطعةهامة: لقد درسنا التوزيعات االحتمالية بصفة عامة وعرفنا كيفية تحديد صفاهتا وذلك باستخدام مقاييس للنزعة المركزية ومقاييس للتشتت. ويف هذا البند سنتعرض لدراسة توزيعين احتماليين من النوع المتقطع نظرا ألهميتها والتي تأيت من تطبيقهما بشكل واسع يف الدراسات اإلحصائية وهما توزيع ذات الحدين وتوزيع بواسون. ) (توزيعذاتالحدين: إذا كررنا تجربةn من المرات المستقلة حيث يطلق على كل مرة محاولة وكان احتمال النجاح ثابت يف جميع المحاوالت فهذه التجربة يطلق عليها تجربة ذات الحدين أي أن أية تجربة عشوائية تتوفر فيها الشروط التالية تسمى تجربة ذات الحدين: تجربة عشوائية تتكون من n من المحاوالت المتماثلة. كل محاولة تصنف نتيجتها إلى نجاح أو فشل حيث المقصود بالنجاح هو ظهور )1 )2 نتيجة مرغوب فيها والمقصود بالفشل هو ظهور نتيجة غير مرغوب فيها. 3( جميع المحاوالت مستقلة عن بعضها البعض. احتمال النجاح أي احتمال ظهور النتيجة المرغوب أخرى. فيها ثابت من محاولة إلى )4 91

91 والمتغير العشوائي X الذي يمثل عدد المحاوالت الناجحة يسمى متغير ذات الحدين وتوزيعه االحتمالي يطلق عليه توزيع ذات الحدين. والقيم التي يمكن أن يأخذها المتغير العشوائي X هي: فعندما يأخذ المتغير 1,1,2,3,,n 1 القيمة X يعني ذلك أن عدد المحاوالت الناجحة يساوي صفر أي أن كل المحاوالت فاشلة وعندما تكون قيمة المتغير X تساوي 1 يعني ذلك أن محاولة واحدة فقط كانت ناجحة وهكذا... وإذا كانت قيمة المتغيرX تساويn يعني ذلك أن كل المحاوالت كانت ناجحة. وبما أن القيم التي يمكن أن يأخذها هذا المتغير العشوائي هي قيم منفصلة وقابلة للعد فعددها يساوي ) n+1 (قيمة إذن متغير ذات الحدين هو متغير متقطع. وبالتالي توزيعه االحتمالي هو توزيع احتمالي متقطع ودالة كتلة االحتمال لتوزيع ذات الحدين كما يلي: دالةكتلة االحتمال توزيع ذاتلاحدينتا خذ ا لصيغاةلاتلية: f(x; n, p) = c n x p x q n x x = 0, 1, 2 n P n, هماالمعلمتانلالتانيعتمد لعيهماتزويع ذاتالحدين. حيث: n: عدد المحاوالتلاكلية. P: احتمال ا لنجحا فيالم احولة الواحدة. q. = (p-1) احتمال ا لفشلفيالم احولة الواحدة : q : x عددالمحاوالتالناجحة. الوسط الحسابي والتباين لتوزيع ذات الحدين: إذا كان المتغير العشوائي X يتبع توزيع ذات الحدين فإن: μ = np σ 2 =n p q = n p(1-p) الوسط الحسابي: التباين: 91

92 إذا كان المتغير العشوائي X يتبع توزيع ذات الحدين بمعلمتين: مثال )1-3( : P=1/3 n=5 f(x; n, p) = C x n P x q n x x = 0, 1, 2.. n أ( أحسب احتمال أن يساوي المتغير القيمة 1. ب( أحسب الوسط الحسابي والتباين لهذا التوزيع. أ. الحل: بما أن المتغير يتبع توزيع ذات الحدين إذن: وبما أن P=1/3 n=5 إذن يف هذه الحالة دالة كتلة االحتمال كما يلي: f(x; 5, 1/3) = C x 5 ( 1 3 )x ( 2 3 )5 x x = 0, 1, 2, 3, 4, 5 وبالتعويض يف صيغة دالة كتلة االحتمال بالقيمة = 1 x نحصل على االحتمال المطلوب وذلك كما يلي: P(X = 1) = f(1) = C 1 5 ( 1 3 )1 ( 2 3 )4 = = μ = np = (5)( 1 3 ) = 5/3 = ب. الوسط الحسابي: σ 2 =npq = (5)(1/3)(2/3) = 10= التباين: طلبة يف امتحان يف مادة الرياضيات فإذا كان احتمال النجاح يف هذا مثال )2-3(: أشرتك 7 االمتحان 1.61 أحسب: 92

93 أ( ب( احتمال أن ينجح 4 طلبة. احتمال أن ينجح كل الطلبة. الحل: يف هذا المثال نالحظ أن التجربة العشوائية المذكورة تتوفر فيها شروط توزيع ذات الحدين حيث ان عدد المحاوالت الكلية = العدد الكلي للطلبة المشرتكين يف االمتحان أي أن :7=n واحتمال النجاح = 0.60 P بما أن دالة كتلة االحتمال لتوزيع ذات الحدين يف هذا المثال كما يلي: f(x; 7, 0. 6) = C 7 x (0. 6) x (0. 4) 7 x x = 0, 1, 2,.. 7 أ( نحصل على احتمال أن ينجح 4 طلبة بالتعويض يف صيغة دالة كتلة االحتمال بالقيمة وذلك كما يلي: P(X = 4) = f(4) = C 4 7 (0. 6) 4 (1 0. 6) 7 4 7! = (0. 6 4!(7 4)! )4 (0. 4) 3 = ب( نحصل على احتمال ان ينجح كل الطلبة بالتعويض يف صيغة دالة كتلة االحتمال بالقيمة = 7 x وذلك كما يلي: P(x = 7) = f(7) = C 7 7 (0. 6) 7 (1 0. 6) 7 7 = 7! 7!(7 7)! (0.6) 7 (0.4) 0 = (0.6) 7 =

94 0410 من اإلنتاج الكلي يف مصنع معين إنتاجا تالف ا فإذا سحبنا مثال )3-3(: إذا كان عشوائي ا من هذا اإلنتاج 6 وحدات فما احتمال أن يكون عدد الوحدات التالفة أقل من 3 وحدات X متغير الحل: بفرض أن المتغير العشوائي X يمثل عدد الوحدات التالفة فسيكون واالحتمال المطلوب: عشوائي يتبع توزيع ذات الحدين بالمعلمتين 6=n 0.10=P P(X < 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) حيث: وبالتعويض يف دالة كتلة االحتمال لتوزيع ذات الحدين نحصل على P(X < 3) االحتماالت التالية: P(X = 0) = f(0) = C 6 0 (0. 10) 0 ( ) 6 0 6! = 0! (6 0)! (1)(0. 90)6 = P(X = 1) = f(1) = C 6 1 (0. 10) 1 ( ) 6 1 6! = 1! (6 1)! (1. 10)(0. 90)5 = P(X = 2) = f(2) = C 6 2 (0. 10) 2 ( ) 6 2 6! = 2! (6 2)! (1. 10)2 (0. 90) 4 = P(X < 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) = = إذن االحتمال المطلوب هو: 94

95 مثال )4-3(: إذا ألقينا مكعب نرد 4 مرات فما احتمال ظهور العدد 3 مرتين أو أكثر الحل: هنا تعترب الرمية أي المحاولة ناجحة إذا ظهر العدد 3 فاحتمال الحصول على مرتين أو أكثر المقصود به أن يكون عدد المحاوالت الناجحة 2 أو أكثر أي العدد 3 يكون المتغير العشوائيx الذي يمثل عدد المحاوالت الناجحة يساوي 2 أو أكثر بما أن هذا المتغير يتبع توزيع ذات الحدين بمعلمتين: 4=n )عدد المحاوالت الكلية(. 1/6=P )احتمال النجاح = احتمال ظهور العدد 3 يف محاولة واحدة(. إذن دالة االحتمال لهذا المتغير العشوائي x: f(x; 4, 1/6) = C x 4 ( 1 6 )x ( 5 6 )4 x x = 0, 1, 2, 3, 4 واالحتمال المطلوب يحسب كما يلي: P(X 2) = f(2) + f(3) + f(4) حيث: P(X = 2) = f(2) = C 2 4 ( 1 6 )2 ( 5 6 )2 = P(X = 3) = f(3) = C 3 4 ( 1 6 )3 ( 5 6 ) = P(X = 4) = f(4) = C 4 4 ( 1 6 )4 ( 5 6 )0 = إذن االحتمال المطلوب: P(X 2) = f(2) + f(3) + f(4) = =

96 مالحظة: بما ان f(x)=1 إذن نستطيع حساب االحتمال المطلوب يف هذا المثال كما يلي: P(X 2) = 1 P(X < 2) ويكون من السهل الحل باستخدام هذه الطريقة عندما يكون العدد الكلي للمحاوالت nكبيرا فمثال إذا كانت 10=n فإن( 2 P(X أسهل من حسابه كما يلي: يحسب كما يلي: P(X 2) = 1 P(X < 2) = 1 [f(0) + f(1)] P(X 2) = f(2) + f(3) + f(4) + f(5) + f(6) + f(7) + f(8) + f(9) + f(10) X ) (توزيعبواسون: التجارب العشوائية التي تعطينا نتائجها قيمة المتغير العشوائي الذي يمثل العدد الكلي لمرات الحصول على حدث ما يف فرتة زمنية معينة قد تكون هذه الفرتة ثانية أو دقيقة أو ساعة أو يوم ا أو... الخ. أو يف منطقة محددة قد تكون هذه المنطقة صفحة من كتاب أو مرتا مربع ا من مساحة... الخ بحيث يكون ظهور الحدث يف هذه الفرتة أو المنطقة عشوائي ا هذه التجارب يطلق عليها تجارب بواسون نسبة للعالم الفرنسي سيمون بواسون والمتغير العشوائي X يطلق عليه متغير بواسون وتوزيعه االحتمالي يسمى توزيع بواسون. ومن األمثلة على تجربة بواسون عدد الزبائن الذين يدخلون محل تجاري معين يف الساعة عدد السيارات التي تمر من أمام أحد الفنادق يف الساعة عدد حوادث السيارات يف مدينة ما شهري ا عدد األخطاء المطبعية يف صفحة من كتاب عدد الفئران يف هكتار من منطقة زراعية وبما أننا نحصل على قيم متغير بواسون عن طريق العد إذن متغير بواسون هو متغير عشوائي متقطع وبالتالي سيكون له دالة كتلة احتمال وهي كما يلي: 96

97 دالةكتلة االحتملا لتوزيعب اوسونتا خذ ا لصيغاةلاتلية: f(x; λ) = e λ λ x x = 0,1,2, x! عيتمدلاتوزيععلى معلمة واحد ة وهي λ حيث: : λ هي معدل وقوعالحدثفي وحدة زمنية ا و مكانية واحدة هوي تساوي الوسطلاحسابيلتوزيعبواسون. x :العددلاكلي لمرات ظهور ظاهرة مافيفترة زمنية معينة e الوسط الحسابي والتباين لتوزيع بواسون: إذا كان المتغير العشوائي X يتبع توزيع بواسون فإن: μ=λ σ 2 =λ وسطه الحسابي: وتباينه : أي أن الوسط الحسابي للتوزيع=تباينه= λ مثال )5-3(: ما يلي: إذا علمت أن الزبائن يدخلون محل للمالبس بمعدل 6 زبائن يف الساعة فأحسب أ( احتمال أن يدخل المحل 8 زبائن خالل الساعة القادمة. ب( احتمال أن يدخل المحل ما بين 3 و 7 زبائن خالل الساعة القادمة. ج( احتمال أن يدخل المحل أكثر من 4 زبائن خالل الساعة القادمة. الحل: المتغير العشوائي الذي يمثل عدد الزبائن الذين يدخلون المحل يف الساعة الواحد هو λ= μ = 6 متغير بواسون حيث: إذن: P(X = 8) = f(8) = e 6 (6) 8= ! P(3 < X < 7) = f(4) + f(5) + f(6) أ( ب( 97

98 = e 6 (6) 4 4! + = 1 f(x) إذن e 6 (6) 5 5! + e 6 (6) 6 6! = = ج( بما أن توزيع بواسون كأى توزيع متقطع يجب أن يكون P(X > 4) = 1 [f(0) + f(1) + f(2) + f(3) + f(4)] نستطيع حساب االحتمال المطلوب كما يلي: = 1 [ e 6 (6) 0 0! + e 6 (6) 1! + e 6 (6) 2 2! + e 6 (6) 3 3! + e 6 (6) 4 ] 4! =1-[ ]= إذا علمت أن ب دالة ما امعة تستقبل يف فرتة دوام الموظفين يف المتوسط مثال )6-3( : مكالمتين يف الدقيقة الواحدة فأحسب ما يلي: أ( احتمال أن تستقبل هذه البد الة مكالمة واحدة يف الدقيقة القادمة. ب( احتمال ان تستقبل هذه البد الة مكالمتين أو أكثر يف الدقيقة القادمة. الحل: المتغير العشوائي الذي يمثل عدد المكالمات التي تستقبلها البد الة يف الدقيقة P(X = 1) = f(1) = e 2 (2) 1! P(X 2) = 1 [f(0) + f(1)] = 1 [ e 2 (2) 0 0! + e 2 (2) 1! λ = μ = 2 = = 1 [ ] = الواحدة هو متغير بواسون حيث: أ. ب. ] 98

99 إذا إلقينا قطعة نقود 5 مرات فأحسب احتمال الحصول على وجه أكثر من مرتين. 2. إذا إلقينا زهرة نرد 8 مرات فأحسب ما يلي: أ- احتمال الحصول على العدد 6 أربع مرات. ب- احتمال الحصول على عدد أكرب من 4 ثالث مرات. ج- احتمال الحصول على العدد 5 أكثر من مرتين. د- احتمال الحصول على عدد زوجي مرتين أو أقل. إذا علمت أن احتمال أن تكون وحدة تالفة يف إنتاج مصنع ما يساوي 1.14 فإذا.3 استلمنا طلبية من إنتاج هذا المصنع تحتوي على 7 وحدات فأحسب احتمال أن تحتوي هذه الطلبية على وحدة فقط تالفة. 4. يف التمرين السابق إذا كانت الطلبية تحتوي على الحسابي وتباين عدد الوحدات التالفة يف هذه الطلبية. 111 وحدة فأحسب الوسط 5. أشرتك 6 طلبة يف امتحان مادة الرياضة فإذا كان احتمال النجاح يف هذا االمتحان 1.72 أحسب ما يلي: أ( احتمال أن ينجح 4 طلبة. ب( احتمال أن ينجح كل الطلبة. ج( احتمال أن ال ينجح أحد. د( احتمال أن ينجح أكثر من 5 طلبة. 6. إذا كان معدل الوحدات التي هبا عيوب يف إنتاج آلة يف الساعة الواحدة يساوي 2 فأحسب ما يلي: أ.احتمال أن تنتج هذه اآللة 4 وحدات هبا عيوب يف الساعة القادمة. 99

100 ب.احتمال أن ال تنتج هذه اآللة أية وحدة هبا عيوب يف الساعة القادمة. 7. إذا علمت أن الوسط الحسابي لألخطاء اإلمالئية التي يرتكبها طالب يف السنة الخامسة االبتدائية يساوي 5 أخطاء يف الصفحة الواحدة فإذا طلبنا من طالب يف السنة الخامسة أن يكتب صفحة واحدة فما احتمال أن يكون عدد األخطاء التي يرتكبها 2 أو أقل 8. إذا علمت أن تباين عدد الزبائن الذين يدخلون محل مواد غذائية يف الدقيقة الواحدة 3 زبائن فأحسب ما يلي: أ.احتمال أن يدخل المحل 4 زبائن يف الدقيقة القادمة. ب.احتمال أن يدخل المحل ما بين 2 و 5 زبائن يف الدقيقة القادمة. ج.احتمال أن يدخل المحل أكثر من 3 زبائن يف الدقيقة القادمة. 111

101 ) 2-3 (توزيعاتاحتماليةمستمرةهامة: يوجد عدد ال هنائي من التوزيعات المستمرة ولكن أهمها هو التوزيع الطبيعي والتي سنقوم وبعض التوزيعات المستمرة األخرى المتعلقة به مثل توزيع t بدراستها فيما يلي : )1-2-3( التوزيعالطبيعي: التوزيع الطبيعي من أهم التوزيعات االحتمالية المستمرة واكثرها استعماال يف التطبيقات اإلحصائية وقد سمى بالتوزيع الطبيعي ألن الكثير من الظواهر المشاهدة يف العلوم الطبيعية تتبع هذا التوزيع أو يستعمل كتقريب لتوزيعاهتا ومن هذه الظواهر )المتغيرات( األطوال األوزان مستوى الذكاء... الخ. والمنحني الذي يمثل دالة كثافة االحتمال لهذا التوزيع االحتمالي المستمر يسمى المنحني الطبيعي وهو منحني ناقوسي الشكل أي وحيد المنوال ويمتد طرفاه إلى ماالهناية ومتماثل حول قيمة الوسط الحسابي وذلك كما هو موضح يفشكل) 1-3 (. االنحراف المعياري الوسط= μ σ x شكل) 1-3 ( يطلق على المتغير العشوائي المستمر X الذي يتبع هذا التوزيع المتغير العشوائي الطبيعي. وتعتمد دالة كثافة االحتمال لهذا التوزيع على معلمتين هما الوسط الحسابي للتوزيع μ وتباينالتوزيع σ

102 ودالة كثافة االحتمال للتوزيع الطبيعي تأخذ الصورة التالية: f(x) = 1 2πσ 2 e 1 2 (x μ σ )2 - < x < σ 2 μ هما المعلمتان اللتان يعتمد عليهما التوزيع الطبيعي حيث : : μ الوسط الحسابي للتوزيع الطبيعي. : σ 2 تباين التوزيع الطبيعي. e = π = وتوجد عائلة من التوزيعات الطبيعية تختلف باختالف الوسط الحسابي والتباين حيث الوسط الحسابي يحدد لنا مركز التوزيع وبما أن التوزيع الطبيعي هو توزيع متماثل فسنجد أن الوسط الحسابي = الوسيط = المنوال وبالتالي ستكون قيمة الوسط الحسابي هي قيمة X التي تحت موضع قمة المنحني الطبيعي. فإذا كان لدينا توزيعان مختلفان يف قيمة الوسط الحسابي ومتساويان يف التباين فيكون المنحنيان متماثلين تمام ا واالختالف بينهما هو موقع كل منهما فالتوزيع الذي وسطه الحسابي أكرب يكون موقعه على يمين المنحني اآلخر وذلك كما هو واضح يف شكل) 2-3 (. σ = 5 σ = 5 σ = 5 μ = 20 μ = 30 μ = 40 x شكل) 2-3 ( 112

103 أما إذا كان المنحنيان متساويين يف الوسط الحسابي ومختلفين يف التباين فسيكون المنحنيان يف نفس الموقع ولكن المنحني الذي يمثل التوزيع األكثر تباين ا ستكون قمته منخفضة ومتسعة أكثر واضحيف شكل) 3-3 (. من المنحني الذي يمثل التوزيع اآلخر وذلك كما هو μ = 50 شكل) 3-3 ( وبالطبع قد يختلف التوزيعان يف الوسط الحسابي والتباين وذلك كما هو واضحيف μ 1 < μ 2, σ 1 < σ 2 x σ = 5 σ = 10 σ = 16 شكل) 4-3 (. σ 1 σ 2 μ1 μ2 x شكل) 4-3 ( ) (خواصالتوزيعالطبيعي: 1. المنحني الذي يمثل دالة كثافة االحتمال للتوزيع الطبيعي منحنى متصل لجميع قيممنإلىويأخذ شكال ناقوسي ا وحيد المنوال ومتماثال حول قيمة x الوسط الحسابي وهي القيمة المقابلة لقمة المنحني وذلك كما هو واضح يف شكل 113

104 )4-3( وحيث أن المساحة الكلية المحصورة بين منحني أية دالة كثافة احتمال والمحور األفقي = 1 إذن فالمساحة على يمين الوسط الحسابي = المساحة التي على يساره = الوسط الحسابي للتوزيع = المنوال = الوسيط. يمتد طرفا 3. المنحني إلى ما ال هناية ويزداد اقرتاهبما من المحور األفقي كلما بعدت النقطة عن الوسط الحسابي ولكن ال يلتقيان به. بما أن التوزيع الطبيعي توزيع متماثل إذن أي معامل لاللتواء يساوي 1. المعامل العزمي للتفرطح للتوزيع الطبيعي= 3 أي أن التوزيع الطبيعي هو توزيع.4.5 معتدل ولذلك يسمى أحيان ا بالتوزيع المعتدل. 6. المساحة تحت المنحني الطبيعي والمحصورة بين σ μ تمثل 68.26% σ μ + من المساحة الكلية والمساحة بين 2σ μ,2σ μ + تمثل% والمساحة بين 3σ μ,3σ μ + تمثل% وذلك كما هو واضح يف شكل) 5-3 (. وبما أن المساحات تحت دالة كثافة االحتمال تمثل احتماالت إذن: P(μ σ < X < μ + σ) = P(μ 2σ < X < μ + 2σ) = P(μ 3σ < X < μ + 3σ) = % 95.44% 99.74% μ σ μ μ + σ μ 2σ μ μ + 2σ μ 3σ μ μ + 3σ X X شكل) 5-3 ( ونستطيع حساب احتمال أن يأخذ المتغير العشوائي الطبيعي أية قيمة بين قيمت ني x 2.x 1 بحساب المساحة المحصورة بين المنحنى ومحور السينات 114

105 والواقعة بين 1 X وذلك = x 2, X = x بتكامل دالة كثافة االحتماالت وذلك كما هو موضح يف شكل) 6-3 (. P( x 1 X x 2 ) x 1 μ x 2 x شكل) 6-3 ( ولكن هذه الدالة ليس من السهل تكاملها ولتسهيل حساب االحتمال بالنسبة ألي توزيع طبيعي نقوم بتحويل المتغير العشوائي الطبيعي X إلى متغير عشوائي طبيعي معياري نرمز له بالرمز Z الطبيعي المعياري. ويطلق على توزيع المتغير العشوائي Z التوزيع ) (التوزيعالطبيعيالمعياري: هو توزيع طبيعي وسطه الحسابي 0 = μ وتباينه 1 = 2 σ. ونقوم بتحويل المتغير العشوائي الطبيعيx إلى المتغير العشوائي الطبيعي المعياري z كما يلي: Z = X μ x σ x بالتعويض يف دالة كثافة االحتمال الخاصة بأي متغير عشوائي طبيعي X عن الوسط الحسابي μ بصفر وعن التباين σ 2 بالقيمة واحد نحصل على دالة كثافة االحتمال للمتغير العشوائي الطبيعي المعياريZ الموضحة يف شكل) 7-3 (والتي f(z) = 1 2π e 1 2 z2 < z < تأخذ الصورة التالية: 115

106 μ = 0 σ = z شكل) 7-3 ( والمساحات تحت المنحني الطبيعي المعياري من السهل الحصول عليها بتكامل دالة كثافة االحتمال f(z) وقد ح سبت هذه المساحات وعرضت يف جدول وذلك مثل جدول رقم ( م. 0( يف ملحق الجداول اإلحصائية. واحتمال أن يأخذ المتغير العشوائي الطبيعي Z أية قيمة يف الفرتة) z (يساوي 1 z 2 المساحة المحصورة بين المنحنى الطبيعي المعياري والمحور األفقي وبين المستقيمين Z.ونستخدم = z 2 Z = z 1 جدول)م. 1 (لحساب هذه المساحة أي حساب ) 2.P( z 1 < Z < z والبيانات داخل هذا الجدول تمثل المساحات المحصورة بين المنحنى الطبيعي المعياري والمحور األفقي وبين المستقيم = 0 Z والمستقيم المرسوم عند القيمة المعطاة للمتغير Z وقيم هذا المتغير يمثلها العمود األول والسطر األول يف الجدول فالعمود األول يمثل العدد الصحيح والعدد العشري األول للمتغير Z أما السطر األول فيحدد العدد العشري الثاين لهذا المتغير وإذا كانت قيمة المتغير Z تحتوي على أكثر من رقمين عشريين يجب تقريبها إلى رقمين عشريين أوال ثم نستخدم هذا الجدول. واعتمادا على خاصية التماثل التي يتمتع هبا المنحني الطبيعي المعياري نستطيع حساب أي مساحة مرغوب فيها بين المنحني والمحور األفقي وذلك كما سنبينها من خالل األمثلة التالية : 116

107 و Z إذا كان المتغير العشوائي يتبع التوزيع الطبيعي المعياري فأحسب مثال )7-3( : االحتماالت التالية: د. 12)P(0 P( Z 1. Z 1. 43) ه P(1. 12 Z 1. 41)P(Z 1. 43) و. 28)P( 1. P(Z Z 1. 43). أ- أ. ب. ج. الحل: االحتمال المطلوب P(0 Z 1. 43) يساوي المساحة بين المنحني الطبيعي المعياري ومحور السينات والمحصورة بين المستقيمين 0= Z 1.43=Z وذلك كما هو واضح من شكل) 8-3 ( ومن جدول)م. 1 ( نجد أن هذه المساحة مساوية للقيمة أي أن: = ) 1. Z P(0 شكل) 8-3 ( ب- االحتمال المطلوب (43.1 P(Z يساوي المساحة بين المنحنى الطبيعي z المعياري ومحور السينات والتي على يسار القيمة 1.43 أي المساحة من إلى 1.43 وهي تساوي المساحة من إلى 1 مضاف ا إليها المساحة 1 إلى 1.43 وذلك كما هو موضح يف الشكل) 9-3 ( وبما أن المساحة من إلى 1 تساوي 117

108 1.51 والمساحةمن 1 إلى 1.43 تساوي منجدول)م. 1 ( إذن االحتمال المطلوب يساوي: = = 0. 43) 1. P(Z شكل) 9-3 ( ج-االحتمال المطلوب( 43.1 Z. P( 1 يساوي 43 المساحة بين المنحنى الطبيعي المعياري ومحور السينات والمحصورة بين المستقيمين 43.1 = Z و 43 =.1 Z وبما أن المساحةمن 1 إلى 1.43 تساويالمساحة من إلى 1 كماهو واضح من شكل) 11-3 ( وذلك ألن المنحنى الطبيعي المعياري متماثل إذن االحتمال المطلوب : P( Z 1. 43) = = z P( < z < 0) P(0 < z < 1. 43) شكل) 11-3 ( Z 118

109 د- االحتمال المطلوب( 12.1 Z.0 )P 57 يساوي المساحة بين المنحنى الطبيعي المعياري ومحور السينات والمحصورة بين المستقيمين Z و = Z=1.12 وهي تساوي المساحة من إلى 1 مضاف ا إليها المساحة من 1 إلى 1.12 وذلك كما هو موضح يف الشكل) 11-3 ( وبما ان المساحة من إلى 1 تساويالمساحةمن 1 إلى 1.57 ألنالمنحنى متماثل فمن جدول)م. 1 (نجد أن: المساحةمن 1 إلى =1.57. المساحةمن 1 إلى =1.12. إذن االحتمال المطلوب: P( Z 1. 12) = = شكل) 11-3 ( ه -االحتمال المطلوب 1.41) Z P(1.12 يساوي المساحة بين المنحنى Z الطبيعي المعياري ومحور السينات والمحصورة بين المستقيمينZ=1.12 و 1.41=Z وهي تساوي المساحة من 1 إلى 1.41 مطروح امنهاالمساحةمن 1 إلى 1.12 وذلك كما هو موضح يف الشكل) 12-3 ( وبما أن: المساحةمن 1 إلى =1.41 المساحةمن 1 إلى =

110 إذن االحتمال المطلوب: P(1. 12 Z 1. 41) = = Z شكل) 12-3 ( و-االحتمال المطلوب (28.1 P(Z يساوي المساحة بين المنحنى الطبيعي من 1.28 إلى الميعاري ومحور السينات والتي على يمين القيمة 1.28 أي المساحة وبما أن المساحة على يمين 1 تساوي 1.51 إذن المساحة التي تمثل االحتمال المطلوب تساوي 1.51 مطروح ا منه المساحة من 1 إلى 1.28 وذلككما هو موضح يف الشكل) 13-3 ( ومن جدولZ نجد أن المساحة من 1 إلى 1.28 = إذن االحتمال المطلوب يساوي: P(Z 1. 28) = = شكل) 13-3 ( Z 111

111 وباستخدام التوزيع الطبيعي المعياري نستطيع تحديد أي احتمال ألي متغير عشوائيطبيعي X وذلك ألن المساحة المحصورة تحت دالة كثافة االحتمال للمتغير X = x 2, X = x 1 والمحور األفقي وبين القيميتن هي نفسها المساحة X المحصورة تحت دالة كثافة االحتمال للمتغير Z وبين القيمتين Z = z 2 Z = z 1 حيث 1 z هيالقيمةالمعيارية للقيمة x والقيمة 2 1 z هي القيمة المعيارية للقيمة x أي 2 أن: z 1 = x 1 μ x σ x z 2 = x 2 μ x σ x وذلك كما هو موضح يف شكل) 14-3 ( P(x 1 < X < x 2 ) = P( z 1 < Z < z 2 ) x 1 x 2 μ x z 1 z 2 σ x شكل) 14-3 ( x Z المساحة المظلة تحت المنحني الطبيعي األصلي = المساحة المظلة تحت المنحنىالمعياري. P( x 1 < X < x 2 ) = P(z 1 < Z < z 2 ) z 1 = x 1 μ x σ x z 2 = x 2 μ x σ x حيث : 111

112 قدره إذا كانت أوزان وحدات منتجة من سلعة ما تتبع توزيع ا طبيعي ا بوسط حسابي جرام وتباين قدره 25 فأحسب احتمال أن يكون وزن وحدة مختارة مثال )8-3( : 65 عشوائي ا من هذه السلعة: محصوربين جرامو جرام. أقل من جرام. أكثر من جرام. الحل: المطلوب احتمال أن يكون الوزن محصورا بين و جرام أي P( < X < ) =? االحتمال المطلوب هو: بماأن:( P( < X < ) = P(z 1 < Z < z z 1 = = z 2 = = P( < X < ) = P( < Z < 0. 50) أي أن االحتمال المطلوب يساوي احتمال أن يقع المتغير بين القيمتين وهو يساوي المساحة المحصورة بين هاتين القيمتين وباستخدام جدول )م. 0 (وكما هو واضح يف شكل )15-3( نجد أن: P( < X < ) شكل) 15-3 ( Z حيث: 112

113 P( < X < ) = P( < Z < 0. 5) = = المطلوب احتمال أن يكون وزن الوحدة أقل من جرام أي: P(X < ) =? نحسب القيمة المعياري ة Z المقابلة للقيمة حيث: Z = x μ x = = σ x 5 إذن: 2266 = = 0. 75) 0. < P(Z P(X < ) = Z شكل) 16-3 ( 3 -المطلوب هو احتمال أن يكون وزن الوحدة أكثر من جرام أي: P(X > ) =? نحسب القيمة المعيارية المقابلة للقيم ة حيث: z = x μ x σ x = = P(X > ) = P(Z > 1. 25) = = Z إذن: شكل) 17-3 ( 113

114 ) (توزيع t : يعترب توزيع t من التوزيعات االحتمالية المستمرة الهامة التي لها استخدامات كثيرة يف موضوع اإلحصاء االستداللي ونستطيع تعريفه كما يلي: تعريف توزيع : t إذا كان z متغريا عشوائيا يتبع التوزيع الطبيعي املعياري وأن Y متغري عشوائي يتبع χ 2 توزيع بدرجات حرية v فإن املتغري العشوائي التالي : T = z Y/v هو متغري عشوائي مستمر توزيعه االحتمالي يطلق عليه توزيع t بدرجات حرية v. تعتمد دالة كثافة االحتمال لهذا التوزيع على معلمة واحدة وهي درجة الحرية v ويرمز لتوزيع t عند درجة حرية v بالرمز( t(v. ومنحنى توزيع t يشبه منحنى التوزيع الطبيعي المعياري فهو ناقوسي الشكل ومتماثل حول وسطه الحسابي الذي يساوي الصفر ولكن الفرق بينهما هو أن التوزيع الطبيعي المعياري تباينه يساوي الواحد الصحيح بينما توزيع t تباينه أكرب من الواحد الصحيح أي أن توزيع t أكثر تشتتا من التوزيع الطبيعي المعياري.وشكل ) 18-3 (يوضحذلك. شكل) 18-3 ( المنحنيالطبيعيالمعياري μ = 0 t منحنيتوزيع 114

115 ومن جدول)م. 2 (يف ملحق الجداول اإلحصائية نستطيع الحصول على قيمة التي على يمينها مساحة قدرها α والتابعة لدرجة الحرية ν فالعمود األول يف t الجدول يمثل درجات الحرية v والسطر األول يف الجدول يمثل المساحة التي على. يمين القيمة t أما داخل الجدول فتوجد قيم t مثال )9-3( : أوجد قيمة t التابعة لدرجة الحرية 10 = ν والتي على يمينها مساحة قدرها الحل: نبحث يف الجدول عن القيمة التي يتقاطع عندها العمود الذي يمثل مساحة قدرها 1.15 مع الصف الذي يمثل درجة حرية = 10 υ فنجدها هي القيمة كماهو موضح يف شكل )19-3( ويعني ذلك أن احتمال أن يأخذ المتغيرT عند درجة حرية 11 قيمةأكربمن يساوي 1.15 أي أن: P(t (10) > ) = ν = شكل) 19-3 ( v t إذا كانت ) ν t ( ترمز لمتغير عشوائي يتبع توزيع بدرجات حرية فباستخدام مثال )11-3( جدول)م. 2 (أوجد ما يلي :.P(t (3) > ) -1.P(t (11) < ) -2.P( t (15) < )

116 و P( t (3) > ) هو عبارة عن المساحة على يمين الحل: 1- االحتمال المطلوب القيمة عند درجة حرية 3 = V وبما أن جدول)م. 2 (يعطي المساحة على يمين القيمة إذن بالبحث يف هذا الجدول عن القيمة يف السطر الخاص بدرجة حرية 3 = V سنجد المساحة على يمين هذه القيمة مكتوبة أعلى القيمة يف السطر األول من الجدول وتساوي 1.11 أي أن :.P(t (3) > ) = االحتمال المطلوب( 796 <.1 (11) t )P هو عبارة عن المساحة على يسار القيمة بما أن جدول)م. 2 (يعطى المساحة التي على يمين القيمة فنوجد المساحة التي على يمين القيمة ثم نطرحها من الواحد الصحيح ( ألن المساحة الكلية تحت دالة كثافة االحتمال= 1 (فنحصل على المساحة التي على اليسار أي أن: 796) 1. (11) t P(t (11) < ) = 1 P( وبالبحث يف جدول)م. 2 (عن القيمة يف السطر الخاص بدرجة حرية ν تساوي 11 نجد المساحة على يمين هذه القيمة موجودة أعلى القيمة يف السطر األول من الجدول وتساوي 1.15 إذن االحتمال المطلوب: P(t (11) < ) = 1 P(t (11) ) = = االحتمال المطلوب( 602 < 2. (15) t. P( 1 يساوي 753 المساحة المحصورة بين منحنى دالة كثافة االحتمال لتوزيع t عند درجة حرية= 15 والمحوراألفقي وبين المستقيمين 602 = 2. (15) 753 t t فمن (15) = 1. جدول)م. 2 (نستطيع الحصول على المساحة على يمين القيمة حيث: P(t (15) > ) =

117 وكذلك نستطيع الحصول على المساحة على يمين القيمة حيث: P(t (15) > ) = وبما أن منحنى توزيع t متماثل فالمساحة على يمين القيمة هي نفسها P(t (15) < ) = P(t (15) > ) = المساحة على يسارالقيمة أي أن: P( t (15) < ) وبالتالي فاالحتمال المطلوب يساوي: = 1 ( ) = كما هو موضح يف شكل )3 20 ) ν = t شكل 20 3( ) 117

118 ملخص الفصل الثالث درسنا يف هذا الفصل توزيعين احتماليين متقطعين هامين هما توزيع ذات الحدين وتوزيع بواسون حيث دالة كتلة االحتمال لتوزيع ذات الحدين هي: f( x; n, p) = C n x P x q n x x = 0, 1, 2, n P,n هما المعلمتان اللتان يعتمد عليهما توزيع ذات الحدين: والوسط الحسابي والتباين لتوزيع ذات الحدين هما: الوسطالحسابي μ np التباين 2 = npq = σ أما دالة كتلة االحتمال لتوزيع بواسون فتأخذ الصيغة التالية: f (x ; λ ) = e λ λ x x! x = 0, 1, 2,. يعتمد التوزيع على معلمة واحدة وه ي λ والوسط الحسابي للتوزيع = تباين التوزيع =λ كذلك تطرقنا ألهم توزيع مستمر وهو التوزيع الطبيعي ودالة كثافة االحتمال لهذا f(x) = 1 2πσ 1 e 2 (x μ 2 σ )2 < x < التوزيع تأخذ الصيغة التالية: ولحساب( P(x يجبتحويل 1 1 < X < x 2 x إلى 2. x قيم معيارية 1 z 2. z z 2 = x 2 μ X σ X, z 1 = x 1 μ X σ X ) 2, P(x 1 < X < x 2 ) = P(z 1 < Z < z و حيث: كما درسنا توزيع مستمر آخر هام وله عالقة مباشرة بالتوزيع الطبيعي وهو توزيع t. 118

119 2 3 يتبع التوزيع الطبيعي المعياري فأحسب ما يلي: 1. إذا علمت أن المتغير العشوائي Z P(Z < 1), P(Z 1. 5), P(Z > 1. 5), P(Z 2), P( 1. 0 Z 1. 5) 2. إذا علمت أن المتغير العشوائي Z يتبع التوزيع الطبيعي المعياري فأحسب ما يلي مع التوضيح بالرسم: P(Z < 1. 23), P(Z 1. 57), P(Z > 1. 23), P(Z 2. 75), P( Z 1. 13), P(Z = 1. 32) 3. إذا كان المتغير العشوائي X يتبع توزيع ا طبيعي ا بوسط حسابي 9 وتباين 4 فأحسب االحتماالت التالية: P(X < 8), P(X = 8), P(8 X 11), P(X > 10. 5) 36 يتبع توزيع ا طبيعي ا بوسط حسابي 111 وتباين 4. إذا كان المتغير العشوائي X P(X < 116), P(95 X 120), P(X > 115) فأحسب االحتماالت التالية: 5. إذا كانت أطوال طلبة المرحلة الثانوية تتوزع توزيع ا طبيعي ا بمتوسط قدره 165 سم وتباين يساوي 9.إذا اخرتنا من طلبة هذه المرحلة طالب ا واحدا عشوائي ا فأحسب ما يلي: أ. احتمال أن يكون طوله يرتاوح بين 163 سم 168 سم ب. احتمال أن يكون طوله أقل م ن 162 سم ج.احتمال أن يكون طوله أكثر من 171 سم 119

120 و 6.إذا كان الدخل الشهري العائلي يف مدينة ما يتبع توزيع ا طبيعي ا بوسط حسابي قدره 251 دينار وانحراف معياري يساوي 21 دينار. إذا اخرتنا من هذه المدينة عائلة واحدة عشوائي ا فأحسب ما يلي: أ.احتمال أن يكون الدخل الشهري للعائلة أكثر من 311 دينار ب.احتمال أن يكون الدخل الشهري للعائلة أقل من 211 دينار ج.احتمال أن يرتاوح الدخل الشهري للعائلة بين أوجد قيم ) t (التالية: 221 دينار أ. (12) t التي على يسارها مساحة قدرها ب.( 11 ) t التي على يمينها مساحة قدرها ج.( 20 ) t التي على يمينها مساحة إذا كانت( v ) t ترمز لمتغير عشوائي يتبع توزيع t بدرجات حرية v فباستخدام جدول)م. 2 (أوجد ما يلي : أ.( 771 > 1. (13) t.p( ب.( 08 > 2. (21) t.p( ج.( 821 < 2. (9) t.p(

121 الفصلال اربع ) 1-4 (مقدمة: توزيعاتالمعاينة البيانات اإلحصائية هي المعلومات التي يجمعها الباحث عن الظاهرة التي يقوم بدراستها وتشكل البيانات المادة الرئيسية يف أي بحث إحصائي فعلي قدر صحتها تتوقف دقة البحث والتحليل اإلحصائي ويقوم الباحث بجمع البيانات باتباع أحد أسلوبين وهما: ) (أسلوبالحصرالشامل: يتطلب أسلوب الحصر الشامل جمع البيانات عن كل أفراد المجتمع اإلحصائي محل الدراسة. حيث المقصود بالمجتمع اإلحصائي هو مجموعة كل المفردات التي يهتم هبا موضوع البحث وقد تكون هذه المفردات أشخاص أو أسر أو شركات أو حيوانات أو أشياء. ومن أمثلة الحاالت التي يستخدم فيها هذا األسلوب هي التعدادات العامة للسكان حيث يتم جمع بيانات عن كل مفردة من مفردات المجتمع سواء كانت المفردة شخص ا أو أسرة أو مزرعة... الخ. وإذا كان مجتمعنا اإلحصائي يشمل جميع طالب جامعة ما مثال فعند جمع البيانات باستخدام أسلوب الحصر الشامل يجب جمع بيانات عن كل طالب من طالب هذه الجامعة. وإذا كانت دراستنا خاصة بالدخل الشهري للعائالت القاطنة يف مدينة ما فالمجتمع اإلحصائي يشمل كل العائالت القاطنة يف هذه المدينة وعند استخدام أسلوب الحصر الشامل يجب أن نجمع بيانات من كل عائلة من هذه العائالت. 121

122 ) (أسلوبالمعاينة)أسلوبالعينات(: المقصود بأسلوب المعاينة هو تجميع البيانات عن جزء فقط من مفردات المجتمع اإلحصائي محل االهتمام والدراسة ويطلق على هذا الجزء مصطلح العينة. ونستطيع تعريف العينة كما يلي: تعريف العينة: العينة هي جزء يتم اختياره من اجملتمع حمل الدراسة وذلك لغرض دراسة اجملتمع من خالهلا ألن دراسة اجملتمع ككل غري ممكنة. يف اية دراسة إحصائية يجب أن يكون الهدف هو دراسة المجتمع ككل وليس دراسة العينة ولكن ت ستخدم العينة يف الدراسة ألن الباحث ال يستطيع أن يجمع بيانات عن كل مفردات المجتمع محل الدراسة وذلك لألسباب التالية: ) (أسباباستخدامأسلوبالمعاينة: هناك أسباب تحتم علينا استخدام أسلوب العينات بدال من أسلوب الحصر الشامل ويمكن تلخيص هذه األسباب فيما يلي: 1 -اإلمكانيات المادية والفنية للباحث التي قد ال تسمح له بدراسة المجتمع بأكمله والمقصود باإلمكانيات المادية والفنية هو المال المخصص للبحث واألشخاص المتدربين تدريب ا جيدا على جمع البيانات. 2 -عندما يكون المجتمع محل الدراسة مجتمع ا ال هنائي ا أي عدد مفرداته غير محدود فال يستطيع الباحث جمع معلومات عن كل مفردة من مفرداته مثل مجتمع الطيور واألسماك والحيوانات... الخ. 122

123 3 -عندما يؤدي أسلوب الحصر الشامل إلى فناء المجتمع محل الدراسة وذلك عندما يؤدي فحص المفردات إلى هالكها فمثال عند فحص طلبية من البيض فالبيضة هنا هي المفردة ولفحصها نضطر إلى كسرها مما يؤدي إلى إتالفها وبالتالي ال يمكن اتباع أسلوب الحصر الشامل بل نكتفي بفحص جزء من هذه الطلبية أي نتبع أسلوب العينات. 4 -توفير الوقت فقد يستدعي األمر أحيان ا الحصول على نتائج البحث يف وقت قصير بحيث يصعب اتباع أسلوب الحصر الشامل. 5 -يف حالة المجتمعات المتجانسة أي تكون مفردات المجتمع متشاهبة تمام ا فإن أسلوب الحصر الشامل يصبح إهدارا للوقت والجهد فمثال يكفي اختيار قطعة من قماش الثوب بدال من الثوب كله إذا كان القماش متجانس ا تمام ا. ) 2-4 (عمليةالمعاينة: هي عملية اختيار جزء من المجتمع محل الدراسة ويسمى هذا الجزء بالعينة لالستدالل على معالم وخواص المجتمع ككل فهي عملية استنتاج إحصائي تقوم على التعميم من الجزء إلى الكل. والغاية األساسية من إجراء عملية المعاينة هي تقدير القيم الحقيقية للمقاييس اإلحصائية الخاصة بالمجتمع والتي يطلق عليها "معالم" من خالل بيانات العينة المختارة والمدروسة. وتوجد عدة طرق الختيار عينة من مجتمع بحيث تكون ممثلة له تمثيال سليم ا وباختالف طريقة االختيار تنتج أنواع مختلفة من العينات وسنتعرض يف هذا الكتاب إلى أهمها وهي العينة العشوائية البسيطة والتي يمكن تعريفها كما يلي: 123

124 العينة العشوائية البسيطة هي العينة اليت تسحب من اجملتمع حبيث يكون لكل مفردة من مفردات اجملتمع نفس فرصة الظهور يف العينة أي أن احتمال ظهور أية مفردة من مفردات اجملتمع يف العينة يكون متساويا. والختيار العينة بطريقة تضمن إعطاء نفس الفرصة لجميع مفردات المجتمع يجب أن يكون االختيار خاضع ا لعامل الصدفة المطلقة دون تدخل العامل البشري فيه وهذا ما يطلق عليه االختيار العشوائي والذي تعرضنا لتعريفه يف الفصل األول. عندما تكون العينات عشوائية نستطيع استخدام األساليب اإلحصائية المختلفة ونظرية االحتماالت لتحليل البيانات التي نحصل عليها من العينة لالستدالل على معالم المجتمع الذي سحبت منه هذه العينة وذلك بحساب مقاييس معينة من العينة يطلق عليها إحصاءة. وتستخدم اإلحصاءة لتقدير معالم المجتمع المجهولة أو اتخاذ القرارات بخصوص صفات وخواص المجتمع الذي سحبت منه العينة. وتعرف اإلحصاءة كما يلي: هي أي مقياس إحصائي حتسب قيمته من العينة املسحوبة من اجملتمع حمل الدراسة. فمثال الوسط الحسابي للعينة عبارة عن إحصاءة ويرمز لها بالرمز X وتباين العينة عبارة عن إحصاءة ويرمز له بالرمز S 2 وهكذا... وحيث أن قيمة اإلحصاءة تعتمد على العينة المسحوبة وبما أننا نستطيع أن نسحب أكثر من عينة من نفس المجتمع فسنجد أن قيمة اإلحصاءة ستتغير من عينة إلى أخرى وبالتالي فإن 124

125 اإلحصاءة عبارة عن متغير وهذا هو الفرق الجوهري بين المعلمة واإلحصاءة فالمعلمة عبارة عن قيمة ثابتة بينما اإلحصاءة عبارة عن متغير. وبما أن اإلحصاءة عبارة عن متغير فستكون متغيرا متقطع ا أو متغيرا مستمرا وسيكون لها توزيع احتمالي والتوزيع االحتمالي ألية إحصاءة يسمى توزيع معاينة. توزيع املعاينة هو التوزيع االحتمالي ألية إحصاءة حتسب قيمها من كل العينات العشوائية ذات احلجم املتساوي واملمكن سحبها من اجملتمع. فإذا سحبنا من المجتمع كل العينات العشوائية الممكنة ذات الحجم n ولكل عينة حسبنا قيمة الوسط الحسابي X فالتوزيع االحتمالي لإلحصاءة X يسمى توزيع S 2 المعاينة للوسط الحسابي X وإذا حسبنا لكل عينة قيمة التباين فالتوزيع وهكذا... فتوزيع S 2 االحتمالي لإلحصاءة يسمى توزيع المعاينة للتباين S 2 المعاينة يوضح لنا نمط تغيير تلك اإلحصاءات وبالتالي نتمكن من إجراء استنتاج أو استدالل إحصائي حول القيم المناظرة لها يف المجتمع. سنعرض أمثلة توضح كيفية إيجاد توزيعات المعاينة وعالقة هذه التوزيعات بتوزيع المجتمع األصلي الذي سحبت منه العينات. ) 3-4 (توزيعالمعاينةللوسطالحسابيللعينة X : σ 2 μ N كان لدينا إذا مجتمع محدود حجمه ووسطه الحسابي وتباينه وسحبنا منه كل العينات العشوائية البسيطة الممكنة المتساوية يف الحجم وليكن 125

126 حجمها n وحسبنا الوسط الحسابي X لكل عينة ثم وضعنا هذه المتوسطات يف جدول توزيع احتمالي فهذا التوزيع االحتمالي يطلق عليه توزيع المعاينة للوسط الحسابي للعينة. X تعريف املعاينة للوسط احلسابي للعينة : هو التوزيع االحتمالي للوسط احلسابي للعينة X مثال )1-4( : شركة هبا 5 أقسام وفيما يلي عدد الموظفين يف كل قسم: 16, 12, 10, 8, 4 أ( أوجد التوزيع االحتمالي للمجتمع ومنه أحسب الوسط الحسابي للمجتمع وتباين المجتمع. ب( فإذا اخرتنا من هذا المجتمع كل العينات العشوائية التي تشمل قسمين )االختيار مع عدم اإلرجاع( فأكتب توزيع المعاينة للوسط الحسابي للعينة X وأحسب منه الوسط الحسابي والتباين لالحصاءة. X الحل: أ( المجتمع اإلحصائي )الشركة( يحتوي على 5 مفردات )أقسام( والمتغير محل الدراسة هنا هو عدد الموظفين فإذا رمزنا لهذا المتغير العشوائي المتقطع بالرمز X فبحساب دالة االحتمال f(x) لكل قيمة من قيم المتغير نحصل على توزيع المجتمع والموضح يف جدول )1-4(. 126

127 يف جدول )1-4(: التوزيع االحتمالي للمجتمع x f(x) 1/5 1/5 1/5 1/5 16 1/5 ومن جدول )0-4( نحسب الوسط الحسابي والتباين لهذا المجتمع كما يلي: μ = x f (x) = (4) (8) (10) (12) (16) 1 5 = 10 σ 2 = (x μ) 2 f(x) = (4 10) (8 10) (10 10) (12 10)2 1 5 ب- = )2 +(16 1 إذا سحبنا من هذا المجتمع مع عدم اإلرجاع كل العينات الممكنة ذاتالحجم = 2 n سيكون العدد الكلي للعينات الممكن سحبها هو: C 2 5 = 5! 2! 3! = 10 فإذا حسبنا لكل عينة من هذه العينات العشرة وسطها الحسابيX حيثX يساوي n مجموع كل قيم العينة i x مقسوما على حجم العينة n أي أن: X = n i=1 x i i=1 n سنحصل على النتائج الموضحة يف جدول) 2-4 (. ومن هذا الجدول نستطيع تكوين جدول توزيع المعاينة للوسط الحسابي للعينة X حالة السحب مع عدم اإلرجاعوالموضح يف جدول) 3-4 (. 127

128 جدول) 2-4 ( العينات ذات الحجم 2 الممكن سحبها من المجتمع مع عدم اإلرجاع مقرونة بأوساطها الحسابية. العينة X العينة X 4,8 4,10 4,12 4,16 8, ,12 8,16 10,12 10,16 12, جدول )3-4(: توزيع المعاينة للوسط الحسابي X x f(x ) 1/11 1/11 1/11 1/11 2/11 1/11 1/11 1/11 1/11 ونستطيع حساب μ x و x 2 σ لتوزيع المعاينة من الصيغ التي استخدمناها عند حساب الوسط الحسابي وتباين المجتمع مع مالحظة أن المتغير الذي نتعامل معه يف توزيع المعاينة هوX بينما المتغير الذي نتعامل معه يف حالة المجتمع هو X وبالتاليتكون الصيغ كما يلي: f(x ) σ x 2 = (x μ x ) 2 f (x ), μ x = x والجدول التالي يوضح العمليات الحسابية الالزمة للحصول على هذين المقياسين. x f(x ) x f(x ) (x μ x ) 2 (x μ x ) 2 f(x ) 6 1/11 6/ /11 7 1/11 7/11 9 9/11 8 1/11 8/11 4 4/11 9 1/11 9/11 1 1/ /11 21/ /11 11/11 1 1/11 128

129 12 1/11 12/11 4 4/ /11 13/11 9 9/ /11 14/ /11 111/11 61/11 μ x = x f(x ) = = 10 إذن: σ x 2 = (x μ x ) 2 f (x ) = 60 μ x = μ 10 = 6 نالحظ أن: σ x 2 σ 2 بينما: σ 2 N n n N 1 ولكن إذا حسبنا: σ حيث: x 2 فسنجده يساوي تباين توزيع المعاينة σ 2 n N n N 1 = = 6 σ x 2 = σ2 N n n N 1 إذن: N n N 1 ويطلق على المقدار معامل التصحيح. وإذا كانت عملية السحب تمت مع اإلرجاع فسنجد أن العالقة بين تباين توزيع المعاينة للوسط الحسابي للعينة وتباين المجتمع كما يلي: σ x 2 = σ2 n وعندما يكون حجم المجتمع كبيرا جدا أو عندما تكون نسبة حجم العينة إلى حالة ( N n حجم المجتمع) n/n ( أقل من أو تساوي 0401 يؤول معامل التصحيح ) N 1 إلى الواحد الصحيح. وتكون العالقة يف حالة عدم اإلرجاع هي نفسها يف σ x 2 = σ2 n اإلرجاع وهي: 129

130 والنظرية التالية تلخص هذه العالقات: نظرية ( -4 1 :) إذا كان لدينا مجتمع محدود حجمه N ووسطه الحسابي μ وتباينه σ 2 وسحبنا منه كل العينات العشوائية الممكنة ذات الحجم n فإن الوسط الحسابي μ x والتباين σ x 2 لتوزيع المعاينة للوسط الحسابي للعينة يرتبط بالوسط الحسابي للمجتمع وتباين حسب العالقات التالية: μ X = μ يف حالة السحب مع اإلرجاع أو كان حجم المجتمع كبيرا أو 0.0. N : n المجتمع : n N σ 2 x = σ2 n ويف حالة السحب مع عدم اإلرجاع و 0.0. > σ 2 N n 2 σ x = N N 1 ) 4-4 (:المعاينةمنمجتمعيتبعالتوزيعالطبيعي: سندرس فيما يلي توزيع المعاينة للوسط الحسابي عندما يكون المجتمع الذي سحبت منه العينات يتبع التوزيع الطبيعي وذلك يف حالتين: ) (المجتمعيتوزعتوزيعاطبيعيابتباين 2 σ معلوم: إذا كان لدينا مجتمع يتوزع توزيعا طبيعيا وسطه الحسابي μ وتباينه 2 σ وسحبنا منه كل العينات العشوائية الممكنة ذات الحجم n فتوزيع المعاينة للوسط الحسابي 2 σ x إذن: للعينة X سيتوزع توزيع ا طبيعي ا بوسط حسابي قدره μ x وتباين قدره z = x μ x σ x 131

131 ستتوزع توزيعا طبيعي ا معياريا ويكون هذا صحيح ا بغض النظر عن حجم العينة كبيرا أم صغيرا. مالحظة: يجب االنتباه هنا إلى أن المتغير الذي نحوله إلى المتغير المعياري Z هو المتغير X وبالتالي يجب أن نطرح منه وسطه الحسابي μ X المعياري X σ مثال )2-4( ونقسم على انحرافه إذا علمت أن أوزان مجتمع كبير جدا من الطلبة تتوزع توزيع ا طبيعي ا بوسط حسابي قدره 65 كيلو جرام وتباين قدره 25 فإذا سحبنا مع عدم اإلرجاع من هذا المجتمع عينة هبا 16 طالب ا فما احتمال أن يكون الوسط الحسابي ألوزان هذه العينة أكرب من 67 كيلو جرام P(X > 67) =? الحل: االحتمال المطلوب: يف هذه الدراسة المتغير محل الدراسة X هو الوزن وبما أن مجتمع األوزان تتوزع توزيع ا طبيعي ا إذن توزيع المعاينة للوسط الحسابي للعينة سيكون توزيع ا طبيعي ا بغض النظر عن حجم العينة وسيكون متوسط هذا التوزيع وتباينه كما يلي: σ x 2 = σ2 n = 25 16, μ x = μ = 65 عند حساب تباين توزيع المعاينة لم نستخدم معامل التصحيح بالرغم من أن السحب تم مع عدم اإلرجاع ألن المجتمع كبير. 131

132 بما أن توزيع المعاينة توزيع طبيعي إذن لحساب االحتمال المطلوب نحسب القيمةالمعيارية المقابلة للقيمة 67 = x وذلك كما يلي: وبالتالي فإن: z = x μ x σ x = = = P(X > 67) = P(Z > 1. 60) = = مثال )3-4( : إذا علمت أن درجات 111 طالب ا يف امتحان يف مادة اإلحصاء تتوزع توزيع ا طبيعي ا بوسط حسابي قدره 71 وتباين قدره 9 فإذا سحبنا من هؤالء الطلبة عينة عشوائية تشمل 25 طالب ا حيث السحب تم مع عدم اإلرجاع فما احتمال أن يكون الوسط الحسابي لهذه العينة أكرب من 71 الحل: يف هذا المثال يتكون المجتمع من كل الطلبة المشرتكين يف هذا االمتحان أما المتغير العشوائي X محل الدراسة فهو درجة الطالب. و المطلوب:?= 71) > P(X بما أن المجتمع يتوزع توزيع ا طبيعي ا فإن توزيع المعاينة للوسط الحسابي للعينة سيتوزع هو اآلخر توزيع ا طبيعي ا بمتوسط حسابي وتباين قدرهما على التوالي كما يلي: σ X 2 = σ2 n N n N 1 = = μ X = μ =

133 عدم اإلرجاع هنا استخدمنا معامل التصحيح عند حساب التباين وذلك ألن السحب تم مع n N = 25 = > ولحساب االحتمال المطلوب نحسب القيمة المعيارية المقابلة للقيمة 71 فنجد أن: z = X μ X σ X = = P(X > 71) = P(Z > 1. 92) = = ) (المجتمعيتوزعتوزيعا طبيعيا بتباين 2 σ مجهول: علمنا مما سبق أنه إذا كانت العينات العشوائية مسحوبة من مجتمع يتوزع توزيع ا طبيعي ا وسطه الحسابي μ وتباينه سيتوزع توزيع ا طبيعي ا معياري ا. σ 2 فإن المتغير العشوائيZ حيث: Z = X μ σ 2 /n أما إذا كان تباين المجتمع σ 2 مجهوال فنستعمل تباين العينة S 2 كتقدير لتباين المجتمع المجهول σ 2 حيث تباين العينة يحسب كما يلي : (X 2 S 2 X ) = n 1 وسنحصل على المتغير العشوائي التالي: T = X μ S 2 /n وهذا المتغير يتبع توزيع t بدرجات حرية )1-n( وقد قمنا بدراسة هذا التوزيع يف الفصل الثالث. مثال إذا كان المتغير العشوائي X يمثل أوزان علب نوع معين من العصير التي ينتجها أحد المصانع وأن هذا المتغير يتبع التوزيع الطبيعي بوسط حسابي يساوي 111 : ) 4-4 ( 133

134 جرام.س حبت عينة من إنتاج هذا المصنع حجمها 9 علب وكان تباينها يساوي 16 ما هو احتمال أن يزيد الوسط الحسابي لهذه العينة عن جرام الحل: نالحظ هنا ان تباين المجتمع 2 σ مجهول وحجم العينة صغير)أقلمن 31 ( وأن المتغير العشوائيX يتبع التوزيع الطبيعي إذن : يتبع توزيع t T = X μ S 2 /n بدرجات حرية( n-1 ) حيث: (n 1) = 9 1 = 8 T = X μ = = S 2 /n 16/9 إذن االحتمال المطلوب: P(X > ) = P(t (8) > 2. 89) = مثال إذا كانت قيمة أرصدة الحسابات الجارية يف أحد المصارف تتبع توزيع ا : ) 5-4 ( طبيعي ا بوسط حسابي يساوي 21 ألف دينار فإذا اخرتنا عينة عشوائية تشمل 25 حساب ا وعلمت أن تباينها يساوي 36 فما احتمال أن يكون الوسط الحسابي لألرصدة الجارية التي تضمها العينة: أ( ب( أقل من ألف دينار. أقل من ألف دينار. الحل: نالحظ هنا أن تباين المجتمع σ مجهول 2 وحجم العينة صغير)أقلمن 31 ( وأن المتغير العشوائيX يتبع التوزيع الطبيعي إذن: T = X μ S 2 /n 134

135 يتبع توزيع t بدرجات حرية( n-1 ) حيث: (n 1) = 25 1 = 24 أ- لحساب احتمال أن يكون الوسط الحسابي للعينة أقل من ألف دينار أي حساب 50) < 17. P(X نحسب قيمةt المقابلةلقيمة 50 =.17 X وذلك كما يلي : T = X μ = = S2 n وبما أن منحنى توزيع t متماثل إذن: P(X < ) = P(t (24) < 2. 08) = P(t (24) > 2. 08) ب- لحساب احتمال أن يكون الوسط الحسابي للعينة أقل من ألف دينار أي نحسب قيمة t المقابلة لقيمة = X وذلك كما يلي: حساب( 50 < 21. P(X T = X μ S2 n = = P(X < ) = P(t (24) < 1. 25) 24 بالبحث يف جدول )م. 2 ( مقابل درجة الحرية عن أقرب قيمة للقيمة 1.25 فسنجدهاهي القيمة وبما أن الجدول يتعامل مع المساحة التي على يمين القيمة والمساحة الكلية تحت المنحنى تساوي 1 إذن: P(t (24) < ) = 1 P(t (24) > ) = = إذن االحتمال المطلوب: P(X < ) = P(t (24) < 1. 25)

136 ) 5-4 (المعاينةمنمجتمعاليتبعالتوزيعالطبيعي: إذا كان حجم العينة كبيرا )أكربمن 31 ( فإن توزيع المعاينة للوسط الحسابي للعينة نحصل عليه باستخدام نظرية النهاية المركزية. حيث منطوق هذه النظرية كما يلي: نظرية )2-4( ( نظرية النهاية املركزية (: إذا كان لدينا جمتمع وسطه احلسابي μ وتباينه σ 2 وسحبنا منه كل العينات العشوائية املمكنة ذات احلجم الكبري )n أكرب من أو يساوي 31( فتوزيع املعاينة للوسط احلسابي للعينة X σ X 2 سيكون توزيعا قريبا من التوزيع الطبيعي مبتوسط قدره وتباين قدره وعليه فإن : μ X Z = X μ X σ X ستتوزع توزيعا قريبا من التوزيع الطبيعي املعياري. ونظرية النهاية المركزية لها أهمية كبيرة يف االستدالل اإلحصائي فباستخدامها نعترب توزيع المعاينة للوسط الحسابي للعينة توزيعا قريب ا من التوزيع الطبيعي وبالتالي نستطيع تطبيق خواص التوزيع الطبيعي دون الحاجة إلى معرفة التوزيع االحتمالي للمجتمع طالما أن حجم العينة كبير.(n 30) مثال )6-4( : إذا علمت أن الوسط الحسابي لدرجات امتحان يف اإلحصاء أشرتك فيه عدد كبير من الطلبة يساوي 73 وبتباين 25 فإذا اخرتنا من الطلبة الذين اشرتكوا يف هذا االمتحان عينة عشوائية تشمل 100 طالب )حيث السحب تم مع عدم اإلرجاع( فما احتمال أن يكون الوسط الحسابي لدرجات الطلبة الذين تشملهم هذه العينة أكثر من

137 الحل: (n > 30) بما أن توزيع المجتمع ليس توزيعا طبيعي ا ولكن حجم العينة كبير فإن توزيع المعاينة للوسط الحسابي للعينة X هو توزيع قريب من التوزيع الطبيعي )نظرية النهاية المركزية( بمتوسط وتباين قدرهما على التوالي: σ X 2 = σ2 n = , μ x = μ = 73 عند حساب تباين توزيع المعاينة لم نستخدم معامل التصحيح بالرغم أن السحب تم مع عدم اإلرجاع ألن حجم المجتمع كبير. ولحساب االحتمال المطلوب نحسب القيمة المعيارية المقابلة للقيمة) 74 ( Z = x μ x σ x = = 1 = وذلك كما يلي : وبالتالي فإن االحتمال المطلوب: P(X > 74) = P(Z > 2. 00) = =

138 ملخص الفصل الرابع علمنا أن االحصاءة هي أي مقياس إحصائي نحسب قيمته من العينة المسحوبة من المجتمع محل الدراسة وبما أن قيمة االحصاءة تتغير من عينة عشوائية إلى أخرى فهي متغير عشوائي ولها توزيع احتمالي يطلق عليه توزيع المعاينة وقد درسنا توزيع المعاينة للوسط الحسابي للعينة بإسهاب ووجدنا أن هناك عالقة تربط الوسط الحسابي وتباين توزيع المعاينة للوسط الحسابي للعينة مع الوسط الحسابي وتباين توزيع المعاينة للوسط الحسابي للعينة مع الوسط الحسابي وتباين المجتمع الذي سحبت منه العينات حيث: μ x = μ يف حالة السحب مع اإلرجاع أو كان حجم المجتمع كبيرا: σ X 2 = σ2 n يف حالة السحب مع عدم اإلرجاع وكان حجم المجتمع صغيرا: σ X 2 = σ2 n N n N 1 وعرفنا أنه إذا كان توزيع المجتمع الذي سحبت منه العينات يتوزع توزيع ا طبيعي ا بتباين معلوم فإن توزيع المعاينة للوسط الحسابي للعينة سيتبع هو اآلخر توزيع ا طبيعي ا أما إذا كان توزيع المجتمع ليس توزيع ا طبيعي ا فإن توزيع المعاينة للوسط الحسابي للعينة سيتوزع توزيع ا قريب ا من التوزيع الطبيعي إذا كان حجم العينة كبيرا أي 30 n )نظرية النهاية المركزية(. ويكون المتغير العشوائي التالي: Z = X μ X σ X 138

139 يتوزع توزيعا قريب ا من التوزيع الطبيعي المعياري. s 2 وعندما يتوزع المجتمع توزيع ا طبيعي ا بتباين مجهول فنستعمل تباين العينة كتقدير لتباين المجتمع المجهول σ 2 ونحصل على المتغير العشوائي التالي: T = X μ s 2 n وهذا المتغير يتبع توزيع t بدرجات حرية )1- n(. 139

140 4 تكلم عن أساليب جمع البيانات اإلحصائية. ما أسباب استخدام أسلوب المعاينة أذكر الفرق بين المعلمة واإلحصاءة. أذكر منطوق نظرية النهاية المركزية ومدى أهمية هذه النظرية يتكون مجتمع من القيم التالية: 14,6,2 أ( أوجد التوزيع االحتمالي للمجتمع ومنه أحسب الوسط الحسابي للمجتمع وتباين المجتمع. إذا اخرتنا من ب( هذا المجتمع كل العينات العشوائية التي تشمل مفردتين )االختيار مع عدم اإلرجاع( فأوجد توزيع المعاينة للوسط الحسابي. X للعينة X وأحسب منه الوسط الحسابي والتباين لإلحصاءة ج( تحقق من صحة العالقة التي تربط بين الوسط الحسابي للمجتمع μ والوسط الحسابي لتوزيع المعاينة للوسط الحسابي للعينة μ X ومن صحة العالقة التي تربط بين تباين المجتمع σ 2 للعينة وتباين توزيع المعاينة للوسط الحسابي.σ X 2 أ( يتكون مجتمع من القيم التالية: 18,12,9,3 أوجد التوزيع االحتمالي للمجتمع ومنه أحسب الوسط الحسابي للمجتمع -6 وتباين المجتمع. 141

141 ب( إذا اخرتنا من هذا المجتمع كل العينات العشوائية التي حجمها 3 )االختيار مع عدم اإلرجاع( فأوجد توزيع المعاينة للوسط الحسابي للعينة X. μ ج( وأحسب منه الوسط الحسابي والتباين لإلحصاءة. X تحقق من صحة العالقة التي تربط بين الوسط الحسابي للمجتمع والوسط الحسابي لتوزيع المعاينة للوسط الحسابي للعينة μ X ومن صحة العالقة التي تربط بين تباين المجتمع σ 2 وتباين توزيع المعاينة للوسط الحسابي للعينة.σ X 2 7- إذا كان التوزيع االحتمالي للمتغير العشوائي كما يلي: x f(x) إذا سحبنا من هذا المجتمع كل العينات العشوائية ذات الحجم 4=n مع اإلرجاع فأوجد الوسط الحسابي والتباين واالنحراف المعياري لتوزيع المعاينة للوسط الحسابي للعينة X. 8- إذا كان لدينا مجتمع وسحبنا منه مع اإلرجاع كل العينات العشوائية ذات الحجمn=5 فوجدنا أن توزيع المعاينة للوسط الحسابي للعينة X كما يلي: x f(x ) أحسب الوسط الحسابي والتباين واالنحراف المعياري لهذا المجتمع. 9- إذا سحبنا عينة عشوائية حجمها) 16 (مع اإلرجاع من مجتمع يتوزع توزيع ا طبيعي ا وسطه الحسابي 111 وتباينه 49. أ( أحسب احتمال أن يقع الوسط الحسابي للعينة بين , 141

142 س.11 إذا كانت أوزان 1511 طالب بمدرسة ثانوية تتبع توزيع ا طبيعي ا بوسط حسابي قدره 35 كيلو جرام وتباين قدره 16 إذا اخرتنا من هذه المدرسة مع عدم اإلرجاع عينة عشوائية تشمل 111 طالب فأحسب ما يلي: أ( احتمال أن يكون الوسط الحسابي لهذه العينة أكثرمن 34 كيلوجرام. ب( احتمال أن ترتاوح قيمة الوسط الحسابي للعينة بين كيلوجرام 11.إذا كانت أطوال 1111 طالب تتوزع توزيعا طبيعيا بوسط حسابي قدره سم وتباين قدره 25 إذا اخرتنا منهم مع عدم اإلرجاع عينة عشوائية تشمل 64 طالبا فأحسب ما يلي: أ(احتمال أن يكون الوسط الحسابي لهذه العينة أقل من 162 سم. ب(احتمال أن يرتاوح الوسط الحسابي للعينة بين 162 و 165 م. 12.مصنع للمواد الغذائية أنتج قطعة حلوى من نوع معين وكان متوسط أوزان هذه القطع المنتجة 41 = μ جراما فإذا سحبنا من إنتاج هذا المصنع عينة عشوائية تحتوى على 9 قطع وكان تباينها يساوى 1.44 جراما فأحسب احتمال أن يكون الوسط الحسابي للعينة أكثر من 42.3 جراما. 13.مصنعبه 511 عامل وكان عدد الوحدات المنتجة من قبل العامل يوميا يتبع توزيعا طبيعيا بوسط حسابي قدره وحدة فإذا اخرتنا عينة عشوائية تشمل عامال من هذا المصنع مع عدم اإلرجاع وكان تباين هذه العينة يساوى 4 فما احتمال أن يكون وسطها الحسابي أقل من إذا كان المتغير العشوائيX وسطه الحسابي 111 وتباينه 111 سحبت منه مع اإلرجاع عينه عشوائية حجمها 64 أحسب احتمال أن يزيد الوسط الحسابي لهذه العينة عن

143 15.قرية هبا 811 عائلة وكان الوسط الحسابي للدخل الشهري لهذه العائالت 211 دينار شهريا بانحراف معياري 51 دينار فإذا اخرتنا من هذه القرية 111 عائلة )مع عدم اإلرجاع( فما احتمال أن يكون الوسط الحسابي للدخل الشهري لهذه العينة أكثر من 215 دينار. 143

144 الفصلالخامس التقديراإلحصائي ) 1-5 (مقدمة: يف أغلب الدراسات ال نستطيع معرفة القيمة الحقيقية لمعلمة المجتمع محل البحث وذلك ألنه لكي نحسب قيمة معلمة يجب أن يكون لدينا بيانات عن كل مفردات المجتمع دون استثناء ولكن يف أغلب الدراسات ال يمكننا جمع بيانات عن كل مفردات المجتمع. فمن أهم المواضيع التي يهتم هبا االستنتاج اإلحصائي هي كيفية تقدير معالم المجتمع المجهولة )المعالم المجهولة للتوزيعات االحتمالية( مثل الوسط الحسابي للمجتمع أو تباين المجتمع أو أي مقياس إحصائي آخر خاص بالمجتمع باستخدام بيانات نتحصل عليها عينة عشوائية مسحوبة من ذلك المجتمع. ) 2-5 (أنواعالتقدير: يوجد نوعان من التقدير اإلحصائي للمعالم المجهولة هما: التقديربقيمة. التقديربفترة. وسنقوم بعرض كل منهما فيما يلي..1.2 ) (التقديربقيمة: المقصود هبذا النوع من التقدير هو تقدير معلمة المجتمع المجهولة بإحصاءة نحسب قيمتها من بيانات عينة عشوائية مسحوبة من هذا المجتمع أي نقوم بتقدير المعلمة بقيمة واحدة فقط تحسب من العينة ولذلك يسمى التقدير بقيمة فمثال نقدر الوسطالحسابيللمجتمع μ بالوسط الحسابي للعينة X ونقدر تباين المجتمع 2 σ بتباينالعينة 2 S وهكذا

145 مثال )1-5( : إذا سحبنا عينة عشوائية تشمل 10 عائالت من العائالت القاطنة يف مدينة ما وكان اإلنفاق الشهري بالدينار لكل عائلة من هذه العائالت كما يلي: باستخدام بيانات هذه العينة قد ر الوسط الحسابي لإلنفاق الشهري لكل العائالت القاطنة يف هذه مدينة. الحل: يف هذه الدراسة نجد أن المجتمع هو كل العائالت القاطنة يف مدينة هذه والمطلوب تقدير الوسط الحسابي إلنفاق هذه العائالت أي المطلوب تقدير الوسط الحسابي للمجتمع.μ فنستطيع تقدير المعلمة المجهولة وهي الوسط الحسابي للمجتمع بقيمة واحدة تحسب من العينة وهي الوسط الحسابي للعينة X حيث: X = x n = = 207 إذن نقدر الوسط الحسابي لإلنفاق الشهري للعائالت القاطنة يف هذه مدينة بالقيمة 217 دينار وهذه القيمة ليست هي القيمة الحقيقية للوسط الحسابي للمجتمع وإنما هي تقدير لهذا الوسط ونرمز للقيمة المقد رة للوسط الحسابي للمجتمع بالرمز μ أي أن : μ = 207 اإلشارة ^ تعنى يف علم اإلحصاء القيمة المقد رة. وأحيانا نجد أكثر من إحصاءة يمكن استخدام قيمتها كتقدير للمعلمة المجهولة لذلك توجد معايير تساعدنا على اختيار اإلحصاءة التي تعترب أفضل من غيرها لتقدير المعلمة المجهولة أي توجد خصائص يجب أن تتوفر يف المقد ر حتى يكون مقد را جيدا ولكن لن نتعرض لها يف هذا الكتاب. 145

146 ) (التقديربفترة: بدال من تحديد قيمة واحدة تستخدم لتقدير المعلمة المجهولة فإننا يف هذا النوعمنالتقدير نحدد فرتة معينة تقع فيها المعلمة المجهولة فمثال إذا رمزنا للمعلمة المجهولة بالرمز θ حيث θ قد تكون الوسط الحسابي μ أو التباين 2 σ أو النسبةP أو أي مقياس إحصائي آخر خاص بالمجتمع فإننا نحدد فرتة تقع فيها هذه المعلمة كما يلي : θ E θ θ + E حيث: : θ E اإلحصاءة المستخدمة كأفضل مقد ر بالقيمة. :قيمة نعتمد يف حساهبا على بيانات العينة وحجم العينة ومستوى الثقة يف التقدير. وتسمى هذه الفرتة بفرتة الثقة للمعلمة θ ويسمى المقدار( E θ )بالحد - األدنى لفرتة الثقة والمقدار( E θ )بالحد + األعلى لفرتة الثقة. وإذا كان معامل الثقة α) - 1 )حيث 1 > 0<α فيعنى ذلك أن : p(θ E θ θ + E) = 1 والمقصود بذلك أن احتمال احتواء الفرتة (E θ + و E θ ) على المعلمة 1 المجهولة θ هو (1- ). فمثال إذا كان = 0.95 α فيعنى ذلك أنه إذا سحبنا كل العينات العشوائية من 5% المجتمع )أو عددا كبيرا جدا من العينات العشوائية من المجتمع( وحسبنا لكل عينة فرتة الثقة فسنجد أن% 95 من هذه الفرتات تحتوى على المعلمة المجهولة θ وأن من الفرتات ال تحتوى على θ وتسمى النسبة% 95 بمستوى الثقة. وسنقوم فيما يلي باستعراض كيفية حساب فرتة الثقة للوسط الحسابي للمجتمع. 146

147 ) 3-5 (فترةالثقةللوسطالحسابيللمجتمع μ : ) (عندمايكونتباينالمجتمع 2 σ معلوما: علمنا من دراستنا السابقة وفقا لنظرية النهاية المركزية أنه إذا كان لدينا مجتمع وسطه μ وتباينه 2 σ )ليس من الضروري أن يكون توزيعه توزيعا طبيعيا( وسحبنا منه كل العينات العشوائية الممكنة ذات الحجم n بحيث n تكون كبيرة بما فيه الكفاية (30< n) فإن توزيع المعاينة للوسط الحسابي للعينة X سيكون قريبا من التوزيع الطبيعي بوسط حسابي وتباين قدرهما : σ 2 x = σ2 μ n X = μ أما إذا كان المجتمع يتوزع توزيعا طبيعيا فإن توزيع المعاينة للوسط الحسابي للعينة X سيكون توزيعا طبيعيا وذلك سواء كان حجم العينةn صغيرا أو كبيرا ويف هذه الحاالت المذكورة نستطيع تحويل X إلى المتغير المعياريZ حيث: X μ Z = σ 2 n ويكون توزيع المتغير Z طبيعيا معياريا. فمثال نستطيع من جدول)م. 1 ( الحصول على قيمة Z التي على يمينها مساحة قدرها وبالتالي المساحة بينها وبين الصفر تساوى فسنجدها مقابلة للقيمة 1.96 كذلك نستطيع الحصول على القيمة التي على يسارها يف المساحة فسنجدها مقابلة للقيمة ونالحظ أن القيمة المطلقة للقيمتين متساوية واالختالف بين القيمتين يف اإلشارة فقط وبصفة عامة يف حالة التوزيع الطبيعي المعياري إذا كانت لدينا قيمتان متساويتان يف القيمة المطلقة ومختلفتان يف اإلشارة 147

148 فقط فستكون المساحة التي على يمين القيمة الموجبة تساوى المساحة التي على يسار القيمة السالبة ألن المنحنى الطبيعي المعياري متماثل. وبما أن المساحة على يمين القيمة 1.96 تساوي والمساحة على يسار القيمة تساوي إذن المساحة بين القيمتين ستكون : 1 ( ) = وشكل) 1-5 (يوضح ذلك وحيث أن المساحة تحت المنحنى االحتمالي هي عبارة عن احتماالت فيعنى ذلك أن احتمال أن يأخذ المتغيرZ قيمة محصورة بين القيمتين و 1.96 يساوى 1.95 ونعرب عن ذلك كما يلي : P( Z 1. 96) = Z شكل) 1-5 ( إذن نستطيع التعبير عن االحتمال السابق كما يلي: X μ P ( ) = σ 2 n وبصفة عامة إذا رمزنا للمساحة 1.95 بالرمز α 1 وبالتالي ستكون المساحة مساوية للمساحة α 2 وتكون القيمة 1.96 هي قيمة Z التي على يمينها مساحة 2 α ونرمز لهذه القيمة بالرمز 2 Zα بالطبع سنرمز للقيمة بالرمز Zα 2 وهكذا نستطيع التعبير عن االحتمال السابق بصفة عامة كما يلي : P( Z X μ 2 σ 2 n Z 2 )= 1 - α 148

149 وشكل )1-.( يوضح ذلك. 2 2 Z 2 Z 2 0 شكل) 2-5 ( وبإجراء بعض العمليات الجربية على الحدود الثالثة للمتباينة الموجودة بين القوسين بحيث نجعل الحد األوسط للمتباينة يحتوى على المعلمة المجهولة μ فقط نحصل على : P X Zα σ 2 n μ X + Zα σ2 /n = 1 α 2 2 ويعنى ذلك أن احتمال وقوع الوسط الحسابي للمجتمع μ )المجهول(بين القيمة X + Zα σ2 n) 2 (والقيمة (يساوى) 1-α (. X Zα σ2 n( 2 X Z σ2 n 2 ويسمىالمقدار بالحداألدنىلفرتةالثقة.. X + Z σ2 n 2 ويسمىالمقدار بالحد األعلى لفرتة الثق ة أما االحتمال )α-1( فيسمى معامل الثقة وعادة نعرب عنه بنسبة مئوية أي يكتب 1-α(111% (ويسمى مستوى الثقة وقد تكون أية نسبة ولكن النسب الدارجة االستعمال 99% 95% 91%. وبالتالي فإن فرتة الثقة للوسط الحسابي للمجتمع μ عندما يكون تباين المجتمعمعلوما وعند مستوى ثقة 1-α(111% (هي: X Zα σ2 n X + Zα σ2 n

150 مثال )2-5( : إذا علمت أن تباين أوزان كل الطلبة المسجلين يف إحدى الجامعات يف سنة معينة يساوى 144 وسحبنا من هؤالء الطلبة عينة عشوائية تشمل 111 طالب ووجدنا أن الوسط الحسابي ألوزاهنم يساوى 64 كيلو جرام فمن هذه البيانات قدر الوسط الحسابي ألوزان كل طلبة المسجلين يف هذه الجامعة تلك السنة وذلك باستخدام فرتة ثقة بمستوى قدرة 99%. هذه الحل: المجتمع يف هذه الدراسة يتكون من أوزان كل الطلبة المسجلين يف الجامعة يف تلك السنة وتباينه معلوم وهنا بالرغم من عدم ذكر توزيع المجتمع فنستطيع استعمال المتغير الطبيعي المعياريZ للحصول على فرتة الثقة المطلوبة ألن حجم العينة كبير) n<31 (وذلك وفقا لنظرية النهاية المركزية. والفرتة هي: ) X Zα σ2 n X + Zα σ2 2 2 n) حيث: 144 = 2 α)100% = 99% X = 64 n = 100, σ (1 1 α = α = α 2 = , Z α 2 = Z = إذن: وبالتعويض يف الحد األدنى والحد األعلى لفرتة الثقة نحصل على: الحد األدنى لفترة الثقة: X Z σ2 /n = 64 (2.58) 2 144/100 = = الحد األعلى لفترة الثقة: X + Z σ2 /n = 64 + (2.58) 2 144/100 = =

151 إذن فرتة الثقة للوسط الحسابي ألوزان كل الطلبة المسجلين يف هذه الجامعة يف تلك السنة عند مستوى ثقة 99 %هي: ) ( أي نستطيع القول بثقة 99% بأن الوسط الحسابي الحقيقي ألوزان كل الطلبة المسجلين يف تلك السنة يقع بين كيلوجرامو كيلوجرام. إذا كان المبلغ المودع يف الحسابات الجارية يف أحد المصارف يتبع توزيعا ما بانحراف معياري قدره 3151 دينار فإذا اخرتنا من هذا المصرف عينة عشوائية تشمل 111 حساب جارى ووجدنا أن الوسط الحسابي للمبالغ المودعة يف الحسابات التي تشملها العينة 8525 دينار. فقدر الوسط الحسابي للمبالغ المودعة يف كل الحسابات الجارية يف هذا المصرف وذلك باستخدام فرتة ثقة عند مستوى ثقة 95%. الحل: بما أن المجتمع محل الدراسة توزيعه االحتمالي غير معروف وحجم العينة كبير n=100 فبتطبيق نظرية النهاية المركزية حيث أن تباين المجتمع فنحسب فرتة الثقة المطلوبة من الفرتة التالية : σ 2 معلوم مثال )3-5( : ) X Z 2 σ2 n X + Z σ2) 2 n حيث: )1- (111% = 95% X=8525 n=100 σ=3150 α Z =1.125 = α = =Z 0.025= وبالتعويض يف الحد األدنى والحد األعلى مع االنتباه أن القيمة التي عندنا هيقيمة االنحراف المعياري σ وليس 2 σ نحصل على: 151

152 الحد األدنى لفترة الثقة: X Z σ2 2 n = 8525 (1. 96) (3150)2 = = الحد األعلى لفترة الثقة: X + Z σ2 2 n = (1. 96) (3150)2 = = إذن فرتة الثقة للوسط الحسابي للمبالغ المودعة يف كل الحسابات الجارية يف هذا المصرف عند مستوى ثقة% 95 هي: أي نستطيع القول بثقة قدرها ) ( 95% بأن الوسط الحسابي للمبالغ المودعة يف كل الحسابات الجارية يف هذا المصرف تقع بين القيمتين و ) (عندمايكونتباينالمجتمع 2 σ مجهوال: إذا كان لدينا مجتمع يتوزع توزيعا طبيعيا وكان تباينه σ 2 مجهوال فلكي نحصل على فرتة الثقة للوسط الحسابي للمجتمع μ نستخدم تباين العينة 2 S كمقد ر بالقيمة للتباين المجهول 2 σ حيث تباين العينة ي حسب كما يلي : S 2 = (X X)2 n 1 وإذا استعملنا قيمة 2 S بدالمن 2 σ سنحصل على المتغير العشوائي التالي : T = X μ S2 n ويتبع هذا المتغير توزيعt بدرجةحريةV=n-1 وقد درسنا هذا التوزيع يف الفصل السابق فقد علمنا أن توزيع t توزيع متماثل حول وسطه الحسابي الذي يساوى صفرا ويعنى ذلك أنه إذا كانت لدينا قيمتان للمتغير العشوائي T وكانت 152

153 المساحة على يمين إحدى هاتين القيمتين تساوى المساحة على يسار القيمة األخرى فستكون القيمتان متساويتين يف القيمة المطلقة ومختلفتين يف اإلشارة. وبصفة عامة إذا رمزنا للمساحة بين قيمتين للمتغير العشوائيT بالرمز - 1 بحيث تكون المساحة على يمين القيمة الكربى تساوى المساحة التي على يسار القيمةالصغرى تساوى كال منهما α/2. فستكون هاتان القيمتان متساويتين يف القيمة المطلقة ومختلفتين يف اإلشارة وسنرمزللقيمة الكربى التي على يمينها المساحة α/2 بالرمز 2 tα وبالتالي سنرمز للقيمة األخرى التي على يسارها المساحة α/2 بالرمز 2 tα - وذلك كما هو واضح يفشكل) 3-5 (. وبما أن المساحة تحت أي منحنى احتمالي هي عبارة عن احتماالت فيعنى ذلكأناحتمال أن يأخذ المتغير العشوائيT عند درجة حريةV قيمة محصورة بين -و 2 tα القيمتين 2 tα يساوى α 1 ونعرب عن ذلك كما يلي : P ( tα (ν) T t α (ν)) 2 = 1 2 α 2 t t 2 شكل) 3-5 ( T = X μ S2 n بما أن: إذن نستطيع كتابة االحتمال السابق كما يلي: 153

154 X μ P( tα (ν) 2 S2 n tα (ν)) = 1 2 α بإجراء بعض العمليات الجربية على الحدود الثالثة للمتباينة الموجودة بين القوسين سنحصل على الصورة التالية لالحتمال: P(X tα (ν) S2 2 n μ X + t α (ν) S2 2 n ) = 1 α وبالتالي فإن فرتة الثقة للوسط الحسابي للمجتمع μ مجهوال وعند مستوى ثقة 1-α(111% (هي: عندما يكون تباين المجتمع )X tα X + t (ν) S2 (ν) S2 ( 2 n 2 n مثال )4-5( : إذا علمت أنه خالل فرتة معينة كانت أوزان أكياس المكرونة المصنعة يف أحد المصانع تتوزع توزيع طبيعيا فإذا سحبنا من هذا المجتمع عينة تشمل كيس 25 مكرونة ووجدنا أن الوسط الحسابي ألوزان األكياس المسحوبة جرام بتباين 1.69 فقد ر متوسط أوزان كل أكياس المكرونة المصنعة يف هذا المصنع خالل هذه الفرتةوذلكباستخدام فرتة ثقة عند مستوى ثقة %91. الحل:يتكون المجتمع يف هذه الدراسة من أوزان كل األكياس المصنعة يف هذا المصنع خالل هذه الفرتة والتي تتبع توزيعا طبيعيا بتباين مجهول ولذلك سنستعمل فرتة الثقة التالية: 154

155 ) X tα X + tα (ν) S2 (ν) S2 ( 2 n 2 n )1- (111%=91% S 2 = X = n=25 α/2 = 0.05 α = α=1.91 t α 2 (ν) = t 0.05 (24) = v=n-1=25-1=24 حيث: إذن: وبالتعويض يف الحد األدنى والحد األعلى لفرتة الثقة نحصل على: الحد األدنى لفترة الثقة: X tα (ν) S2 69 = (1. 711) 1. = = n 25 الحد األعلى لفترة الثقة: X + tα (ν) S2 69 = (1. 711) 1. = = n 25 إذن فرتة الثقة لمتوسط أوزان كل األكياس عند مستوى ثقة 91 %هي: ) ( أي نستطيع القول بثقة قدرها 91 %بأن الوسط الحسابي الحقيقي ألوزان كل األكياس المصنعة يف هذا مصنع يقع بين القيمتين جرام و جرام. إذا علمت أن قيمة المبيعات اليومية ألحد المحالت التجارية تتبع توزيعا طبيعيا والبيانات التالية تبين قيمة المبيعات اليومية خالل 8 أيام اختيرت عشوائيا مثال )5-5( : يف سنة معينة: 155

156 باستخدام هذه البيانات قد ر الوسط الحسابي لكل المبيعات اليومية لهذا المحل يف هذه السنة وذلك باستخدام فرتة ثقة %95. الحل: يتكون المجتمع يف هذه الدراسة من قيم كل المبيعات اليومية خالل تلك السنة المعنية بالدراسة وحيث أن هذه القيم )المجتمع( تتبع توزيعا طبيعيا بتباين مجهول )X tα X + tα (ν) S2 (ν) S2 ( 2 n 2 n )1-α) 100% = 95% n=8 α لذلك سنستعمل فرتة الثقة التالية: 2 = α = α = 0.95 tα (v) = t v=n 1=8-1= (7) = حيث: إذن: أما قيمة الوسط الحسابي للعينة وتباين العينة يجب حساهبما من البيانات المعطاة X = S 2 = n i=1 Xi = n (X X)2 n = 133 = ( )2 + ( ) ( ) وذلك كما يلي: = وبالتعويض يف الحد األدنى والحد األعلى لفرتة الثقة نحصل على: الحد األدنى لفترة الثقة يساوى: X tα (ν) S2 73 = 133 (2. 365) = = n 8 الحد األعلى لفترة الثقة تساوى: 156

157 X + tα 2(ν) S2 n = (2. 365) = = إذن فرتة الثقة للوسط الحسابي لكل المبيعات اليومية لهذا المحل خالل السنة المعنية بالدراسة وعند مستوى ثقة 95 %هي: ) ( أي نستطيع القول بثقة قدرها 95 %بأن الوسط الحسابي لكل المبيعات اليومية لهذا المحل يف تلك السنة يقع بين القيمتين دينارو دينار. 157

158 ملخص الفصل اخلامس التقدير هو أحد فرعى االستنتاج اإلحصائي فهو يهتم بكيفية تقدير معالم مجتمع باستخدام بيانات نحصل عليها من عينة عشوائية مسحوبة من هذا المجتمع ويوجد نوعان من التقدير: 1.التقديربقيمة: هو تقدير معلمة المجتمع بإحصاءة نحسب قيمتها من العينة أي نقدر المعلمة المجهولة بقيمة واحدة فقط وأفضل مقد ر بالقيمة للوسط الحسابي للمجتمع μ هو الوسط الحسابي للعينة X وأفضل مقد ر بالقيمة لتباين المجتمع 2 σ هو تباين العينة.S 2 2.التقديربفترة: المقصود به استخدام التقدير بقيمة إلنشاء فرتة نعتقد وقوع المعلمة المجهولة بداخلها بدرجة ثقة معينة فوجدنا أنه عندما يتبع المجتمع التوزيع الطبيعي أو حجم العينة كبير فإن فرتة الثقة للوسط الحسابي للمجتمع عندما يكون تباين المجتمع معلوما وعند مستوى ثقة 1-α(111% (هي: ) X Zα σ2 /n 2 X + Zα σ2 /n) 2 وفرتة الثقة للوسط الحسابي للمجتمع عندما يكون تباين المجتمع مجهوال وعندمستوى ثقة 1-α(111% (: ) X tα (ν) S2 /n 2 X + tα (ν) S2 /n) 2 مع العلم أن: طول أية فرتة = الحد األعلى الحد األدنى. 158

159 5 ما المقصود بالتقدير بقيمة ما المقصود بالتقدير بفرتة إذا كان مجتمع وسطه الحسابي مجهو ال وسحبنا منه العينة العشوائية التالية: قدر بقيمة الوسط الحسابي لهذا المجتمع. 4. إذا كان الدخل الشهري للعائالت القاطنة يف مدينة ما يتبع توزيعا طبيعيا بوسطحسابي مجهول وتباين يساوى 411 فإذا اخرتنا من هذه المدينة عينة عشوائية تشمل 25 عائلة ووجدنا أن الوسط الحسابي للدخل الشهري لهذه العينة يساوي 191 دينار. فقد ر الوسط الحسابي للدخل الشهري لكل العائالت القاطنة يف هذهالمدينة وذلك: i: بالتقدير بقيمة. ii :باستخدام فرتة ثقة عند مستوى ثقة 95%. 5. إذا كان وزن إنتاج شجيرات الطماطم يف إحدى المزارع يتبع توزيعا طبيعيا بوسط حسابي مجهول وتباين= 4 اختيرت عينة عشوائية تحتوي على 36 شجيرة فوجد أن الوسط الحسابي لوزن إنتاجها 13.5 كيلو جرام. فقد ر الوسط الحسابي لوزن إنتاج شجيرات كل المزرعة وذلك باستخدام فرتة ثقة عند مستوى ثقة 91%. 6. إذا كان المبلغ الشهري لفاتورة الكهرباء يف مدينة معينة يتبع توزيعا ما تباينهيساوى 16 فإذا اخرتنا من هذه المدينة عينة عشوائية تشمل 111 عائلة ووجدنا أن الوسط الحسابي للمبلغ الشهري لفاتورة الكهرباء لهذه العينة يساوى 75 دينار. فقد ر الوسط الحسابي للمبلغ الشهري لفاتورة الكهرباء لكل العائالت القاطنة يف هذه المدينة وذلك باستخدام فرتة ثقة عند مستوى ثقة 95%. 159

160 7. إذا كان طول األنابيب المنتجة من مصنع لألنابيب يتبع توزيعا طبيعيا بوسط حسابي وتباين مجهولين واخرتنا عينة عشوائية تحتوى على 5 أنابيب وكانت أطوالها كما يلي: فقد ر الوسط الحسابي ألطوال كل األنابيب المصنوعة يف هذا المصنع وذلك: :i بالتقدير بقيمة. :ii باستخدام فترة ثقة عند مستوى ثقة 99%. 8. إذا كان عدد السيارات التي تبيعها وكالة من وكاالت السيارات أسبوعيا يتبع توزيعا طبيعيا بوسط حسابي وتباين مجهولين فإذا اخرتنا عينة عشوائية تشمل المبيعات األسبوعية لهذه الوكالة لمدة 11 أسابيع خالل سنة معينة وكانت البيانات كما يلي: قد ر الوسط الحسابي لعدد السيارات المباعة أسبوعيا من قبل هذه الوكالة خالل تلك السنة وذلك باستخدام فرتة ثقة i :عند مستوى ثقة 91%. ii :عند مستوى ثقة 95%. 161

161 الفصلالسادس اختبا ارتالفروض ذكرنا لقد أن مادة اإلحصاء االستداللي تنقسم إلى نوعين هما التقدير واختبارات الفروض وقد عرضنا يف الفصل السابق موضوع التقدير ويف هذا الفصل سنعرضموضوع اختبارات الفروض اإلحصائية. ) 1-6 (تعريفالفروضاإلحصائية: الفرضية اإلحصائية هي عبارة عن تخمينات أو تعبيرات حول معلمة مجهولة من معالم المجتمع اإلحصائي وقد سميت بالفروض ألهنا قد تكون صحيحة أو غير صحيحة. وسوف نتطرق فيما يلي إلى أنواع الفروض اإلحصائية وخطوات اختبارها. ) 2-6 (أنواعالفروضاإلحصائية: يوجد نوعان من الفروض اإلحصائية هما: فرض العدم والفرض البديل ويمكنتعريفهما كما يلي: 1.فرضالعدم: فرض العدم هو التخمين أو التعبير الذي يأمل الباحث اإلحصائي أن يرفضه وهو الفرض الذي يعطى للمعلمة قيمة يعتقد الباحث أهنا ليست القيمة الحقيقية للمعلمة ولذلك قام بإجراء االختبار ومن هنا جاءت تسميته بفرض العدم أي عدم تمثيل التعبير المذكور يف هذا الفرض للقيمة الحقيقية للمعلمة وفرض العدم هو الفرض الذي يحتوى على إشارة المساواة فهو يدل عادة على عدم االختالف فإذا كان االختبار خاصا بمعلمة واحدة فيفرتض الفرض مساواة هذه المعلمة لقيمة معينة 161

162 وإذا كان الفرض خاصا بمقارنة معلمتين يف مجتمعين فيفرتض فرض العدم تساوى هاتين المعلمتين وهكذا... ويرمز لفرض العدم بالرمز. H 0 2.الفرضالبديل: هو الفرض الذي ي قبل كبديل لفرض العدم عند رفض فرض العدم ويرمز له بالرمز. H 1 فإذا كان الوسط الحسابي لمجتمع معين μ غير معروف ونريد أن نخترب أن قيمة هذا الوسط الحسابي تساوى قيمة معينة ولتكن μ 0 هذه الحالة كما يلي : أم ال فتكتب الفروض يف قيمة معينة H 0 : μ = μ 0 H 1 : μ μ 0 وإذا كان فرض العدم يعترب أن الوسط الحسابي المجهول μ أقل من أو يساوى μ 0 ففي هذه الحالة تكتب الفروض اإلحصائية كما يلي : H 0 : μ μ 0 H 1 : μ > μ 0 ونستطيع يف هذه الحالة أن نكتب يف فرض العدم إشارة المساواة فقط أي H 0 : μ = μ 0 وحيث أن الفرض البديل يحتوي على إشارة أكبر من فقط فنفهم ضمنيا أن إشارة أقل من يجب أن تكون يف فرض العدم حتى إذا لم تذكر صراحة. أما إذا كان فرض العدم يعترب أن الوسط الحسابي المجهول μ أكرب من أو يساوى قيمة معينة ففي هذه الحالة نكتب الفروض اإلحصائية كما يلي : H 0 : μ μ 0 H 1 : μ < μ 0 162

163 ويف هذه الحالة أيضا نستطيع أن نكتب يف فرض العدم إشارة المساواة فقط أي H 0 : μ = μ 0 وحيث أن الفرض البديل يحتوي على إشارة )أقل من( فقط فنفهم ضمنيا أن إشارة )أكرب من( يجب أن تكون يف فرض العدم حتى إذا لم تذكر صراحة. ويعتمد رفض فرض العدم أو عدم رفضه على أساس قاعدة يضعها متخذو القرارات استنادا على خربهتم السابقة وعلى أساس البيانات المتوفرة من العينة المسحوبة. فإذا كانت نتائج العينة تؤيد فرض العدم وفقا للقاعدة الموضوعة فإننا ال نرفض فرض العدم )نقبله( لعدم وجود دليل كاف لرفضه وإذا كانت بيانات العينة ال تؤيد فرض العدم وفقا للقاعدة الموضوعة فإننا نستطيع أن نرفض فرض العدم. والتخاذ القرار برفض أو قبول فرض العدم H 0 نعتمد على ما يسمى بإحصاءة االختبار حيث تعرف كما يلي : ) 3-6 (تعريفإحصاءةاالختبار: هي متغير عشوائي يجب أن يكون توزيعه االحتمالي معلوما عندما يكون فرض العدم H 0 صحيحا ونحسب قيمتها من بيانات العينة وتستخدم قيمة إحصاءة االختبار المحسوبة من بيانات العينة العشوائية المسحوبة من المجتمع محل الدراسة والتي يطلق عليها القيمة المشاهدة إلحصاءة االختبار التخاذ القرار برفض أو قبول فرض العدم. H 0 ويتم تقسيم كل القيم التي يمكن أن تأخذها إحصاءة االختبار لمجموعتين غير متداخلتين أحدهما للنتائج التي إذا ظهرت نقبل فرض العدم وتسمى منطقة القبول واألخرى للنتائج التي إذا ظهرت نرفض فرض العدم وتسمى منطقة الرفض. أي أن يقسم توزيع المعاينة إلحصاءة االختبار إلى منطقتين: 163

164 1. منطقة القبول: هي المنطقة التي تحتوى على قيم إحصاءة االختبار التي تؤدى إلى قبول فرض العدم. H 0 منطقة الرفض: هي المنطقة التي تحتوى على قيم إحصاءة االختبار التي تؤدى إلى رفض فرض العدم. H 0.2 والقيمة التي تفصل بين هاتين المنطقتين تسمى بالقيمة الحرجة. يكون القرار رفض فرض العدم إذا كانت القيمة المشاهدة إلحصاءة االختبار تقع يف منطقة الرفض وقبول فرض العدم إذا وقعت القيمة المشاهدة إلحصاءة االختبار يف منطقة القبول. ) 4-6 (أنواعاألخطاء: حيث أن اتخاذ القرار يعتمد على القيمة المشاهدة إلحصاءة االختبار أي على القيمة المحسوبة من العينة المختارة وقد تكون هذه العينة ال تمثل المجتمع الذي سحبت منه تمثيال صحيح ا مما يؤدى إلى وقوع متخذ القرار يف خطأ من اثنين: 1.خطأمنالنوعاألول: يحدث هذا الخطأ إذا كان فرض العدم يف الحقيقة صحيحا ولكن بيانات العينة تظهر أنه غير صحيح أي أن نتائج العينة تؤدى إلى رفض فرض العدم مع أنه يف الواقع صحيح. ويرمز الحتمال وقوع خطأ من النوع األول أي الحتمال رفض فرض العدم مع أنه يف الواقع صحيح بالرمز α ويطلق عليه مستوى المعنوية أي أن: )ارتكاب خطأ من النوع األول( α=p )فرض العدم صحيح / رفض فرض العدم( P = 164

165 2.خطأمنالنوعالثاني: يحدث هذا الخطأ نتيجة لقبول فرض العدم مع أنه يف الواقع غير صحيح أي أن بيانات العينة تؤيد فرض العدم مع أن فرض العدم يف الحقيقة غير صحيح ويرمز إلى احتمال وقوع خطأ من النوع الثاين أي احتمال قبول فرض العدم مع أن فرض العدم يف الواقع خطأ بالرمز β أي أن : )ارتكاب خطأ من النوع الثاين( β=p )فرض العدم خطأ / رفض فرض العدم( P = ويمكن تلخيص الحاالت التي يتعرض لها متخذ القرار يف الجدول التال ي: جدول) 1-6 ( H 0 صحيح H 0 H 0 الق ارر قبول رفض ق ارر سليم خطأ من النوع األول غير صحيح خطأ من النوع الثاني ق ارر سليم H 0 H 0 وعادة تحدد قيمة α بالقيمة 1.11 أو 1.15 أو 1.11 واالختيار بين هذه القيم يعتمد على االعتقاد الشخصي لمتخذ القرار ومدى خربته وبالطبع كلما زادت خطورة رفض فرض العدم كلما قلت قيمة α المستعملة. وحيث أن α تمثل احتمال رفض فرض العدم مع صحته ونعلم أن أي احتمال هو مساحة وبالتالي فإن تمثل مساحة منطقة الرفض فبمعرفة α نستطيع تحديد منطقة الرفض على الشكل الذي يمثل توزيع المعاينة إلحصاءة االختبار عندما يكون 165

166 H 0 صحيحا وحيث أن المساحة الكلية تحت منحنى دالة كثافة االحتمال تساوى الواحد الصحيح فنستطيع تحديد منطقة القبول وتكون هي المنطقة تحت المنحنى المكملة لمنطقة الرفض ومساحتها) 1-α (. وعند تحديد منطقة الرفض سنتعرض إلى الحاالت الثالثة التالية: 1.تكون منطقة الرفض موزعة على طريف التوزيع االحتمالي إلحصاءة االختبار إذا كانت الفروض اإلحصائية كما يلي: H 0 : μ = μ 0 H 1 : μ μ 0 ويسمى االختبار يف هذه الحالة اختبار ذو طرفين. 2.تكون منطقة الرفض كلها يف الطرف األيمن للتوزيع االحتمالي إلحصاءة االختبار إذا كانت الفروض اإلحصائية كما يلي: H 0 : μ = μ 0 H 1 : μ > μ 0 ويسمى االختبار يف هذه الحالة اختبار ذو طرف واحد أيمن. 3.تكون منطقة الرفض كلها يف الطرف األيسر للتوزيع االحتمالي إلحصاءة االختبار إذا كانت الفروض اإلحصائية كما يلي: H 0 : μ = μ 0 H 1 : μ < μ 0 ويسمى االختبار يف هذه الحالة اختبار ذو طرف واحد أيسر. وبعد تحديد منطقة الرفض ومنطقة القبول على الشكل الذي يمثل التوزيع االحتمالي إلحصاءة االختبار نحسب القيمة المشاهدة إلحصاءة االختبار وهي قيمة إحصاءة االختبار المحسوبة من واقع بيانات العينة فإذا وقعت القيمة H 0 وإذا وقعت المشاهدة إلحصاءة االختبار يف منطقة القبول نقبل فرض العدم القيمة المشاهدة إلحصاءة االختبار يف منطقة الرفض نرفض فرض H 0 العدم 166

167 باستخداممستوى معنوية α فيجب ذكر مستوى المعنوية عند اتخاذ القرار وذلك ألن القرار قد يختلف باختالف مستوى المعنوية المستخدم. ويمكن تلخيص خطوات اختبارات الفروض اإلحصائية فيما يلي: ) 5-6 (خطواتاختبا ارتالفروضاإلحصائية: 1. صياغة فرض العدم والفرض البديل. 2. تحديد مستوى المعنوية α )مساحة منطقة الرفض(. 3. اختيار إحصاءة االختبار المناسبة وهي اإلحصاءة التي تعتمد على أفضل مقد ر بالقيمة للمعلمة المجهولة التي نجرى االختبار بخصوصها ويجب معرفة التوزيع االحتمالي لهذه اإلحصاءة عندما يكون H 0 صحيحا وذلك لتحديد منطقة الرفض ومنطقة القبول. 4. حساب القيمة المشاهدة إلحصاءة االختبار أي حساب قيمة إحصاءة االختبار من واقع البيانات المشاهدة التي نحصل عليها من العينة وذلك مع افرتاض صحة فرض العدم. 5. اتخاذ القرار المناسب ويكون أحد القرارين التاليين: H 0 أ. نرفض فرض العدم إذا وقعت القيمة المشاهدة إلحصاءة االختبار يف منطقة الرفض. ب. نقبل فرض العدم H 0 إذا وقعت القيمة المشاهدة إلحصاءة االختبار يف منطقة القبول. 167

168 μ ) 6-6 (اختبا ارتللوسطالحسابيللمجتمع μ : ) (عندمايكونتباينالمجتمع 2 σ معلوما: نعلم أن أفضل مقد ر بالقيمة للوسط الحسابي للمجتمع المجهول هو الوسط الحسابي للعينة X وأن توزيع المعاينة للوسط الحسابي للعينة X توزيع طبيعي إذا كان المجتمع المسحوبة منه العينة يتوزع توزيعا طبيعيا وأن توزيع المعاينة للوسط الحسابي للعينة قريبا من التوزيع الطبيعي إذ كان حجم العينة أكرب من ثالثين) n<31 ( وذلك بغض النظر عن توزيع المجتمع المسحوبة منه العينة )وفقا لنظرية النهاية المركزية(. وحيث أننا عند التعامل مع أي متغير طبيعي يجب تحويله إلى صيغته المعيارية فتكون إحصاءة االختبار المناسبة إلجراء اختبار الوسط الحسابي للمجتمع عندما يكون σ 2 معلوما هي المتغير العشوائي الطبيعي المعياري Z حيث Z= X μ σ 2 /n وعند استخدام مستوى معنوية يساوى α فيعنى ذلك أن مساحة منطقة الرفض تحت منحنى التوزيع الطبيعي المعياري تساوى α الثالثة التالية: وسنتعرض إلحدى الحاالت 1.إذا كان االختبار ذا طرفين فستكون مساحة منطقة الرفض α مقسومة إلى منطقتين منطقة يف الطرف األيمن لتوزيع المعاينة إلحصاءة االختبار )التوزيع الطبيعي المعياري( ومنطقة أخرى مساوية لها يف الطرف األيسر للتوزيع وبالتالي ستكون مساحة كل منطقة تساوى α 2 وتكون المساحة بين هاتين المنطقتين هي منطقة القبول. ونحدد القيم الحرجة التي تفصل منطقة القبول عن منطقتي الرفض من جدول (م. 1 )فتكون القيمة الحرجة التي على اليمين هي قيمة Z الجدولية التي على يمينها مساحة قدرها 2 α ونرمز لها 2 Zα وتكون القيمة الحرجة التي على اليسار 168

169 α وبما أن المنحنى الطبيعي هي القيمة الجدولية التي على يسارها مساحة قدرها 2 المعياري متماثل فستكون هي نفسها القيمة الحرجة التي على اليمين مع اختالف اإلشارة وبالتالي نرمز لها بالرمز 2 -Zα الشكل )1-6( يوضح منطقتي الرفض القبول يف هذه الحالة ونرفض فرض العدم H 0 إذا كانت القيمة المشاهدة إلحصاءة االختبار تقع يف منطقة الرفض أي إذا كانت القيمة المشاهدة إلحصاءة االختبار )القيمةالمحسوبة Z (أكرب من القيمة الجدولية الموجبة أو أقل من القيمة الجدولية السالبة أي: z منطقةالرفض z z 2 z z أو 2 شكل) 1-6 (اختبارذوطرفين z منطقة الرفض الحالة )1( 2. أما إذا كان االختبار ذو طرف أيمن فستكون منطقة الرفض كلها ناحية اليمين z 2 2 منطقة القبول ومساحتها تساوى α وتكون القيمة الحرجة التي تفصل بين منطقة الرفض ومنطقة القبول هي القيمة الجدولية التي على يمينها مساحة قدرها α ويرمز لها بالرمز α Z وشكل) 2-6 (يوضح ذلك ونرفض فرض العدم H 0 إذا كانت القيمة المشاهدة إلحصاءة االختبار أكرب من القيمة الجدولية أي: 169

170 Z Z 0 z منطقةالرفض حالة ).( z منطقة القبول شكل) 2-6 (اختبارذوطرفأيمن 3.أما إذا كان االختبار ذو طرف أيسر فستكون منطقة الرفض كلها ناحية اليسار ومساحتها تساوى α وتكون القيمة الحرجة التي تفصل بين منطقة الرفض ومنطقة القبول هي القيمة الجدولية التي على يسارها مساحة قدرها α ويرمز لها بالرمز Z- وشكل) 3-6 (يوضح ذلك ونرفض فرض العدم إلحصاءة االختبار أقل من القيمة الجدولية أي أن: H 0 إذا كانت: القيمة المشاهدة Z Z α منطقة 0 الحالة )3( ا لقبول اختبارذوطرفأيسر شكل) 3-6 ( z منطقة الرفض z 171

171 مثال )1-6( : يد عى مدير مصنع لصناعة األنابيب إن صناعة هذه األنابيب يف مصنعه دقيقة جدا ومطابقة للمواصفات وأن الوسط الحسابي ألطوال كل األنابيب المنتجة 61 سم بتباين 2.25 وللتأكد من صحة قوله سحبت عينه عشوائية من اإلنتاج الكلى للمصنع تحتوي على 16 أنبوب ا فكان الوسط الحسابي ألطوالها 58.8 سم فإذا كانت أطوال األنابيب تتبع توزيعا طبيعيا فاخترب صحة ادعاء مدير المصنع باستخدام مستوى معنوية الحل: المجتمع يف هذه الدراسة يتكون من أطوال كل األنابيب المنتجة يف هذا المصنع وعند وضع الفروض سيفرتض الفرض H 0 أن إدعاء المدير صحيح واإلنتاج يف المصنع مطابق للمواصفات أي أن الوسط الحسابي ألطوال كل األنابيب المنتجة يف المصنع μ يساوى 61 سم أما الفرض البديل فسيفرتض الحالة البديلة وهي أن االدعاء غير صحيح أي أن اإلنتاج يف المصنع غير مطابق للمواصفات فقد يكون الوسط الحسابي ألطوال كل األنابيب المنتجة يف المصنع μ أقل أو أكرب من 61 سم وتكتبهذه الفروض كما يلي : H 0 : μ = 60 H 1 : μ 60 وبما أن المجتمع يتوزع توزيعا طبيعيا وتباينه معلوم )2.25 =2 σ( إحصاءة االختبار المناسبة لهذه الحالة هي اإلحصاءة التالية : Z = X μ σ 2 /n وتوزيع المعاينة لهذه اإلحصاءة توزيع طبيعي معياري. إذن 171

172 وحيث أن االختبار ذو طرفين ومستوى المعنوية 1.15=α نستطيع الحصول على القيمة الحرجة للطرف األيمن وهي: فمن جدول)م. 1 ( Z = Z α وبالتالي تكون القيمة الحرجة للطرف األيسر تساوى = والمساحة بين هاتين القيمتين تمثل منطقة القبول أما المساحة على الطرفين فتمثل منطقة الرفض وذلك كما هو واضح يف الشكل) 4-6 (. Z منطقةقبول منطقة رفض منطقة رفض شكل) 4-6 ( وبعد تحديد منطقة القبول والرفض نقوم بحساب القيمة المشاهدة إلحصاءة االختبار وهي قيمة االحصاءة بعد أن نعو ض فيها ببيانات العينة فنجد أن القيمة المشاهدة إلحصاءة االختبار هي: X μ Z = = = = σ2 n H 0 وبما أن القيمة المشاهدة إلحصاءة االختبار تقع يف منطقة الرفض إذن نرفض بمستوى معنوية 1.15 ويعنى ذلك أن إدعاء مدير المصنع غير صحيح أي إن الوسط الحسابي ألطوال كل األنابيب المنتجة يف المصنع ال يساوى 61 سم. وبالطبع هذا القرار الذي اتخذناه ليس صحيحا %111 بل نتوقع ارتكاب خطأ ألننا اعتمدنا يف قرارنا على بيانات عينة وقد تكون هذه العينة ال تمثل المجتمع تمثيال سليما 172

173 واحتمال أن يكون هذا القرار خاطئ يساوى مستوى المعنوية= 1.15 )احتمال وقوع خطأ من النوع األول(. إذا علمت من دراسة إحصائية سابقة أن أطوال كل طلبة مدرسة ثانوية ما تتبع توزيعا طبيعيا بوسط حسابي 165 سموتباينقدره 9 ويف السنوات األخيرة يعتقد أن الوسط الحسابي ألطوال كل طلبة هذه المدرسة قد زاد ولذلك اختيرت عينة عشوائية تشمل 16 طالبا من طلبة هذه المدرسة ووجد أن الوسط الحسابي لهذه العينة يساوى سم فأخترب هذا االعتقاد وذلك باستخدام مستوى معنوية 0401 = α. مثال )2-6( : نكتب فروض هذا االختبار كما يلي: H 0 : μ = 165 H 1 : μ > 165 وبما أن األطوال تتوزع توزيعا طبيعيا وتباين المجتمع معلوم فإن إحصاءة االختبار المناسبة هي: X μ Z = σ 2 /n وتوزيع المعاينة لهذه اإلحصاءة توزيع طبيعي معياري. وحيث أن االختبار ذو طرف أيمن ومستوى المعنوية α 1.15 فمن جدول )م. 1 (نستطيع الحصول على القيمة الحرجة 64 = Z a = Z وتكون المساحة على يمين هذه القيمة تمثل منطقة الرفض والمساحة على يسارها تمثل منطقة القبول وذلك كما هو واضح يف الشكل) 5-6 (. 173

174 HO منطقة رفض HO Z شكل) 5-6 ( ثم نحسب القيمة المشاهدة إلحصاءة االختبار حيث: منطقةقبول X μ Z = σ 2 /n = /16 (0. 75)(4) = = وبما أن القيمة المشاهدة إلحصاءة االختبار تقع يف منطقة القبول) 1.64>1.1 ( إذن سيكون قرارنا هو قبول H 0 بمستوى معنوية α يساوى أي أن الوسط الحسابي ألطوال كل طلبة المدرسة الثانوية لم يزد. مثال )3-6( : تد عى شركة إلنتاج الدقيق المعبأ يف أكياس بأن الوسط الحسابي ألوزان كل األكياس المنتجة يساوى 99 جرام بتباين 4 ولكن المسؤل ني على الرقابة يشك ون يف ذلك ويعتقدون أن الوسط الحسابي لوزن األكياس المنتجة أقل من 99 جرام ولذلك اختاروا من إنتاج هذه الشركة عينة عشوائية تحتوى 111 كيس وكان الوسط الحسابي لهذه العينة 98 جرام فهل تؤيد هذه العينة ادعاء الشركة اخترب ذلك باستخدام مستوى معنوية الحل: تكتب فروض هذا االختبار كما يلي: H 0 : μ = 99 H 1 : μ <

175 وبما أن حجم العينة كبير وتباين المجتمع معلوم فإن إحصاءة االختبار المناسبة هي: X μ Z = σ 2 /n وتوزيع المعاينة لهذه اإلحصاءة توزيع طبيعي معياري. وحيث أن االختبار ذو طرف أيسر ومستوى المعنوية α=0.12 فمن جدول -Z α وتكون )م. 1 (نستطيع الحصول على القيمة الحرجة = 0.02 Z = المساحة على يسار هذه القيمة تمثل منطقة الرفض والمساحة على يمينها تمثل منطقة القبولوذلك كما هو واضح يف الشكل) 6-6 (. شكل) 6-6 ( ثم نحسب القيمة المشاهدة إلحصاءة االختبار حيث : X μ Z = σ 2 /n = /100 = = 5. 0 وبما أن القيمة المشاهدة إلحصاءة االختبار تقع يف منطقة الرفض ألن )5.0 > 05.2 ) إذن فسيكون قرارنا هو رفض α بمستوى معنوية = H 0 ويعني ذلك أن الوسط الحسابي لوزن أكياس الدقيق المنتجة من هذه الشركة أقل من 99 أي أن إدعاء الشركة غير صحيح. = z ) (اختبارات للوسط الحسابي للمجتمع μ عندما يكون تباين المجتمع σ 2 مجهوال: إذا كان تباين المجتمع σ 2 مجهوال فنقدره بأفضل مقد ر له وهو تباين العينة S حيث: 2 175

176 س (X S 2 X)2 = n 1 وتكون إحصاءة االختبار المناسبة يف هذه الحالة هي المتغير العشوائي T حيث : X μ T = S 2 /n ويتبع توزيعt بدرجات حرية) V=n-1 (. وبالطبع يف هذه الحالة نحصل على القيم الحرجة من جدول توزيع t جدول)م. 2 (. مثال) 4-6 (: يف دراسة إحصائية سابقة وجد أن الوسط الحسابي لإلنتاج السنوي للعامل يف مصنع للسجاد 14 جادة فإذا اتبع أسلوب جديد لإلنتاج يف هذا المصنع واخرتنا عينة عشوائية تحتوى على 9 عاملين وكان إنتاجهم السنوي كما يلي : بافرتاض أن اإلنتاج يف المصنع يتبع توزيعا طبيعيا أخترب ما إذا كانت الطريقة الجديدة أدت إلى زيادة الوسط الحسابي لإلنتاج السنوي لكل العاملين يف هذا المصنع وذلك باستخدام مستوى معنوية 05 =.0 α. الحل: الفروض اإلحصائية لهذا االختبار كما يلي : H 0 : μ = 14 H 1 : μ > 14 بما أن المجتمع يتوزع توزيعا طبيعي ا وتباين المجتمع مجهوال فإن إحصاءة االختبار المناسبة يف هذه الحالة هي: وتوزيعها االحتمالي هو توزيع t X μ T = S 2 /n بدرجات حرية) V=n-1=9-1=8 (. 176

177 وحيث أن االختبار ذو طرف أيمن ومستوى المعنوية 0.05 = α فمن جدول t α وتكون المساحة )م. 2 (نحصل على القيمة الحرجة 86 = 1. (8) 0.05 (v) = t على يمين هذه القيمة تمثل منطقة الرفض والمساحة على يسارها تمثل منطقة القبول وذلك كما هو واضح يف الشكل) 7-6 (. ولكي نحسب القيمة المشاهدة إلحصاءة االختبار يجب أوال حساب الوسط X = ΣX n الحسابيللعينة X وتباين العينة S 2 وذلك كما يلي : = = 16 9 (X S 2 X)2 = n 1 = (11 16)2 + (16 16) (18 16) 2 = إذن : 75 = 14. t = X μ S 2 /n = /9 = 2 = ا أن وبم القيمة المشاهدة إلحصاءة االختبار تقع يف منطقة القب و ل ألن 56( > )1. إذن يكون قرارنا هو قبول H 0 بمستوى معنوية = 0.05 α ويعنى ذلك أن الوسط الحسابي لإلنتاج السنوي للعامل لم يزد أي أن الطريقة الجديدة لم تؤدى إلى زيادة الوسط الحسابي لإلنتاج السنوي للعامل. منطقةارلفض منطقة القبول = t شكل) 7-6 ( 177

178 مثال )5-6( : عينة عشوائية تشمل 16 عائلة اختيرت من مدينة ما وكان الوسط الحسابي لدخول هذه العائالت يساوى 215 دينار وتباينها يساوى 911 فإذا علمت أن دخول كل العائالت يف هذه المدينة تتبع توزيعا طبيعيا فباستخدام بيانات هذه العينة أخترب ما إذا كان الوسط الحسابي لدخول كل العائالت يف هذه المدينة أقل من 211 دينار وذلك عند مستوى معنوية يساوى الحل: فروض االختبار المطلوب كما يلي: H 0 : μ = 210 H 1 : μ < 210 بما أن المجتمع يتوزع توزيعا طبيعيا وتباين المجتمع مجهول فإن إحصاءة االختبار المناسبة يف هذه الحالة هي: وتوزيعها االحتمالي هو توزيع t X μ T = S 2 /n بدرجات حرية) 1=15 -.)V=n-1=16 وحيث أن االختبار ذو طرف أيسر ومستوى المعنوية =.0 10 α فمن جدول)م. 2 (نحصل على قيمة t التي على يمينها مساحة قدرها 1.11 وهي: = (15) 0.10 t والقيمة α (v) = t الحرجة يف هذا المثال هي قيمة t التي على يسارها مساحة قدرها 1.11 وبما أن منحنىt متماثل إذن القيمة الحرجة تساوي وتكون المساحة على يسار هذه القيمة تمثل منطقة الرفض والمساحة على يمينها تمثل منطقة القبول وذلك كما هو واضح يف الشكل) 8-6 (. 178

179 منطقةالرفض =. 10 منطقة ا لقبول شكل) 8-6 ( ثم نحسب القيمة المشاهدة إلحصاءة االختبار حيث: t = X μ = S2 n = ( 5)(4) 30 = t وبما أن القيمة المشاهدة إلحصاءة االختبار تقع يف منطقة القبول إذن يكون قرارنا هو قبول 0 H عند مستوى معنوية α يساوى 1.11 ويعنى ذلك أن الوسط الحسابي لهذا المجتمع ليس أقل من 211 دينار أي أن الوسط الحسابي لدخول كل العائالت القاطنة يف هذه المدينة ليس أقل من 211 دينار. 179

180 ملخص الفصل السادس الفروض اإلحصائية هي الفرع الثاين من فرعي اإلحصاء االستداللي وهي تخمينات حول قيمة معلمة مجهولة وهذه التخمينات نعب ر عنها يف شكل فرضين هما : 1( فرض العدم 0 H وهو التخمين الذي يأمل الباحث أن يرفضه.. 2( الفرض البديل H 1 وهو الذي يقبل كبديل ل H 0 عند رفض H 0 ويعتمد رفض H 0 أو قبوله على أساس قاعدة يضعها متخذ القرار وعلى بيانات العينة التي نحسب منها القيمة المشاهدة إلحصاءة االختبار وبما أن اتخاذ القرار يعتمد على القيمة المحسوبة من العينة وقد تكون العينة ال تمثل المجتمع تمثيال سليما مما يؤدى إلى وقوع خطأ من اثنين هما خطأ من النوع األول ويحدث عندما تؤدى نتائج العينة إلى رفض H 0 مع أن H 0 يف الواقع صحيح ونرمز الحتماله بالرمز α وخطا من النوع الثاين ويحدث عندما تؤدى بيانات العينة إلى قبول H 0 مع أن يف الواقع خطأ ونرمز الحتماله بالرمز H 0 β. وإحصاءة االختبار الخاصة باختبار الوسط الحسابي للمجتمع عندما يتوزع المجتمع توزيعا طبيعيا بتباين معلوم أو يكون حجم العينة كبيرا هي : Z = X μ σ2 n وتتبع توزيع طبيعي معياري وعندما يتوزع المجتمع توزيعا طبيعيا بتباين مجهول فإحصاءة االختبار هي X μ: T وتتبع = S2 n توزيعt بدرجاتحرية) n-1 (. 181

181 6 1. عرف فرض العدم والفرض البديل. تكلم عن األخطاء التي من الممكن أن يقع فيها الباحث عند اتخاذ القرار. عرف إحصاءة االختبار. سحبت عينة عشوائية حجمها 9 من مجتمع يتبع التوزيع الطبيعي تباينه 36 وذلك الختبار الفرضية التالية: H 0 : μ = 25 H 1 : μ 25 ما هو القرار السليم الذي يجب اتخاذه عند مستوى المعنوية 1.11 = α إذا علمت أن الوسط الحسابي للعينة هو إذا كان وزن إنتاج شجيرات الطماطم يف إحدى المزارع له وسط حسابي 12 = μ كيلو جرام وتباين 4 فإذا استخدم نوع جديد من السماد واختيرت عينة عشوائية تحتوى على 36 شجيرة فوجد أن الوسط الحسابي إلنتاجها 13.5 كيلو جرام فهل النوع الجديد من السماد أدى إلى زيادة الوسط الحسابي إلنتاج الشجيرات أخترب ذلك باستخدام مستوى معنوية 1.15 =. α 6. إذا علمت أن الوقت الذي ينتظره الزبون يف أحد المصارف يتبع توزيعا طبيعيا بوسط حسابي يساوى 25 دقيقة وانحراف معياري يساوى 8 دقائق واتبع المصرف نظاما للعمل جديدا لتقليل وقت االنتظار وبعد اتباع هذا النظام اخرتنا عينة عشوائية تشمل 111 شخص فكان الوسط الحسابي للوقت الذي ينتظره هؤالء األشخاص يساوى 22 دقيقة فأخترب فاعليه نظام العمل الجديد وذلك باستخدام مستوى معنوية. α =

المحاضرة الثانية عشر مقاييس التشتت درسنا في المحاضرة السابقة مقاييس النزعة المركزية أو المتوسطات هي مقاييس رقمية تحدد موقع أو مركز التوزيع أو البيانات

المحاضرة الثانية عشر مقاييس التشتت درسنا في المحاضرة السابقة مقاييس النزعة المركزية أو المتوسطات هي مقاييس رقمية تحدد موقع أو مركز التوزيع أو البيانات المحاضرة الثانية عشر مقاييس التشتت درسنا في المحاضرة السابقة مقاييس النزعة المركزية أو المتوسطات هي مقاييس رقمية تحدد موقع أو مركز التوزيع أو البيانات وهي مهمة في حالة المقارنة بين التوزيعات المختلفة وكان

المزيد من المعلومات

المحاضرة الرابعة التكامل المحدد Integral( (Definite درسنا في المحاضرة السابقة التكامل غير المحدد التكامل المحدد لها. ألصناف عدة من التوابع وسندرس في ه

المحاضرة الرابعة التكامل المحدد Integral( (Definite درسنا في المحاضرة السابقة التكامل غير المحدد التكامل المحدد لها. ألصناف عدة من التوابع وسندرس في ه المحاضرة الرابعة التكامل المحدد Integrl( (Deinite درسنا في المحاضرة السابقة التكامل غير المحدد التكامل المحدد لها. ألصناف عدة من التوابع وسندرس في هذه المحاضرة مفهوم التكامل المحدد ليكن () تابعا مستمرا

المزيد من المعلومات

Microsoft Word - Sample Weights.doc

Microsoft Word - Sample Weights.doc ورشة العمل الا قليمية حول تصميم العينات الدوحة ١٥-١٧ ا يار/ مايو ٢٠٠٧ ترجيح العينات ا عداد خميس رد اد مستشار العينات ١ المحاضرة الثامنة ترجيح العينات مقدمة ان عملية ترجيح العينة تعنى عملية اعادة وضع العينة

المزيد من المعلومات

) NSB-AppStudio برمجة تطبيقات األجهزة الذكية باستخدام برنامج ( ) برمجة تطبيقات األجهزة الذكية باستخدام برنامج ( NSB-AppStudio الدرس األول ) 1 ( الدرس

) NSB-AppStudio برمجة تطبيقات األجهزة الذكية باستخدام برنامج ( ) برمجة تطبيقات األجهزة الذكية باستخدام برنامج ( NSB-AppStudio الدرس األول ) 1 ( الدرس ) NSB-AppStudio ) 1 ( أهداف الدرس : بعد انتهاء هذا الدرس ستكون الطالبة قادرة على أن : )1 توضح مميزات برنامج ( NSB-AppStudio ) 2( تعدد لغات البرمجة المستخدمة في برنامج ( NSB-AppStudio ) 3( تذكر خطوات كتابة

المزيد من المعلومات

correction des exercices pendule pesant Ter

correction des exercices pendule pesant Ter تصحيح تمارين النواس الوازن تمرين نطبق العلاقة الا ساسية للديناميك على المجموعة S جرد القوى المطبقة على المجموعة : S S وزن المجموعة : P S تا ثير المحور على المجموعة : R M F && بما أن المجموعة قابلة للدوران

المزيد من المعلومات

Microsoft Word - new.doc

Microsoft Word - new.doc الدرس الاول فى الماتلاب عنوان الدرس : ما هو الماتلاب الماتلاب هو لغة ذات مستوى عالى للحسابات والبرمجة و تمتاز بوجود برنامج يسهل عملية التعامل مع هذه اللغة. ويشمل البرنامج على: الحسابات الرياضية عمل الالجوريثمات

المزيد من المعلومات

Microsoft Word - e.doc

Microsoft Word - e.doc حرارة التفاعل الكيمياي ي - قانون حفظ الطاقة : (Exothermic) (Endothermic) ا نواع الطاقة طاقة الحركة طاقة الوضع الطاقة الحرارية - التفاعلات المنتجة (الطاردة) للحرارة - التفاعلات الماصة (المستهلكة) للحرارة

المزيد من المعلومات

I تفريغ مكثف في وشيعة. 1 التركيب التجريبي: L = 40mH وشيعة معامل تحريضها C = 1μF مكثف سعته E = 6V العدة: مولد قوته الكهرمحركة ومقاومتها الداخلية r = 10

I تفريغ مكثف في وشيعة. 1 التركيب التجريبي: L = 40mH وشيعة معامل تحريضها C = 1μF مكثف سعته E = 6V العدة: مولد قوته الكهرمحركة ومقاومتها الداخلية r = 10 I تفريغ مكثف في وشيعة. التركيب التجريبي: = 4H وشيعة معامل تحريضها = μf مكثف سعته = 6V العدة: مولد قوته الكهرمحركة ومقاومتها الداخلية r = Ω وموصل أومي مقاومته.R = 3Ω يشحن المكثف عند وضع قاطع التيار K في

المزيد من المعلومات

doc11

doc11 الجزء األول من الكتاب المدرسي (3 ع ت 3 ت ر ر ( التطورات الزمنية الرتيبة تطور جملة كيميائية نحو حالة التوازن الوحدة 4 DAHEL MT Lycée benalioui salah SETIF ***********************************************************

المزيد من المعلومات

Microsoft Word - intégral 2sc exp.doc

Microsoft Word - intégral 2sc exp.doc الثانية سلك بكالريا علم تجريبية التكامل إلى من. I- تكامل مجال - تعريف ترميز لتكن مجال I عنصرين من. I إذا آانت F G دالتين أصليتين للدالة على I.F()-F()=G()-G() أي أن العدد الحقيقي F()-F() غير مرتبط باختيار

المزيد من المعلومات

وزارة التربية والتعليم مجلس االمارات التعليمي 1 النطاق 3 مدرسة رأس الخيمة للتعليم الثانوي Ministry of Education Emirates Educational Council 1 Cluster

وزارة التربية والتعليم مجلس االمارات التعليمي 1 النطاق 3 مدرسة رأس الخيمة للتعليم الثانوي Ministry of Education Emirates Educational Council 1 Cluster أوال : أجب عن األسئلة التالية )1 يسحب شخص مكعب ا خشبي ا كتلته ( )8.75kg على أرض إسمنتية نحو اليمين بوساطة حبل يميل فوق األفقي بزاوية ( )27 انظر الشكل جانب ا فإذا كانت قوة الشد في الحبل ( ) 1.00 102 N وعانى

المزيد من المعلومات

الأول في السي شارب((c#للمبتدائين

الأول في السي شارب((c#للمبتدائين شباب التنميه والبداع : امحد ياسني شلش ذ د الدرس األول: فتح فيوجل ستوديو وشرحه 2012 1 -هذا هوه البرنامج نقوم بفتحه نسخه 2012 فيوجل استوديو new )نضغط علي - 2 اي مشروع جديد( project المتبنأ هذه لغه فيوجل

المزيد من المعلومات

ص)أ( المملكة العرب ة السعود ة وزارة التعل م اإلدارة العامة للتعل م بمحافظة جدة الب ان النموذج ة ( تعل م عام ) انفصم اندراسي األول انفترة انثانثت العام

ص)أ( المملكة العرب ة السعود ة وزارة التعل م اإلدارة العامة للتعل م بمحافظة جدة الب ان النموذج ة ( تعل م عام ) انفصم اندراسي األول انفترة انثانثت العام ص)أ( المملكة العرب ة السعود ة وزارة التعل م اإلدارة العامة للتعل م بمحافظة جدة الب ان النموذج ة ( تعل م عام ) انفصم اندراسي األول انفترة انثانثت العام الدراس - 8 المعلمة المرحلة الصف المادة وفاء المالكي

المزيد من المعلومات

بسم هللا الرحمن الرحيم المادة: مقدمة في بحوث العمليات )100 بحث ) الفصل الدراسي األول للعام الدراسي 1439/1438 ه االختبار الفصلي الثاني اسم الطالب: الرق

بسم هللا الرحمن الرحيم المادة: مقدمة في بحوث العمليات )100 بحث ) الفصل الدراسي األول للعام الدراسي 1439/1438 ه االختبار الفصلي الثاني اسم الطالب: الرق بسم هللا الرحمن الرحيم المادة: مقدمة في بحوث العمليات ) بحث ) الفصل الدراسي األول للعام الدراسي 9/8 ه االختبار الفصلي الثاني اسم الطالب: الرقم الجامعي: أستاذ المقرر: الدرجة: أكتب اختيارك لرمز اإلجابة الصحيحة

المزيد من المعلومات

الحل المفضل لموضوع الر اض ات شعبة تقن ر اض بكالور ا 2015 الحل المفص ل للموضوع األو ل التمر ن األو ل: 1 كتابة و على الشكل األس. إعداد: مصطفاي عبد العز

الحل المفضل لموضوع الر اض ات شعبة تقن ر اض بكالور ا 2015 الحل المفص ل للموضوع األو ل التمر ن األو ل: 1 كتابة و على الشكل األس. إعداد: مصطفاي عبد العز الحل المفص ل للمضع األ ل التمر ن األ ل: كتابة على الشكل األس k ' cos s cos s e e ب( تع ن ق م العدد الطب ع بح ث كن العدد حق ق ا e e e arg حق ق معناه k منه k عل ه k ' k ح ث e ج( عدد مركب ح ث حساب ط لة العدد

المزيد من المعلومات

طبيعة بحته و أرصاد جوية

طبيعة بحته و أرصاد جوية طبيعة بحته و أرصاد جوية 3 206-2007 الضوء محاضرة 3 قوانين األنعكاس واألنكسار المرايا العدسات التلسكوب الفلكي قوانين األنعكاس و األنكسار عند سقوط شعاع ضوئي علي سطح فاصل بين وسطين ينعكس جزء منة و ينكسر جزء

المزيد من المعلومات

ABU DHABI EDUCATION COUNCIL Abu Dhabi Education Zone AL Mountaha Secondary School g-12 science section Mathematics Student Name:.. Section: How Long i

ABU DHABI EDUCATION COUNCIL Abu Dhabi Education Zone AL Mountaha Secondary School g-12 science section Mathematics Student Name:.. Section: How Long i ABU DHABI EDUCATION COUNCIL Abu Dhabi Education Zone AL Mountaha Secondary School g-12 science section Mathematics Student Name:.. Section: How Long is the Average Chord of a Circle?/ 2009-2010 Second

المزيد من المعلومات

عرض تقديمي في PowerPoint

عرض تقديمي في PowerPoint .1.2.3 أولا هذا اإلجراء يقوم به أمين مركز مصادر التعلم بعد الدخول للصفحة الرئيسية من حسابه في نظام نور ثم إختيار مصادر التعلم يتم إضافة أوعية مصادر التعلم ) الكتب أقراص الليزر( من قبل أمين مركز المصادر

المزيد من المعلومات

المحاضرة العاشرة الجديده لالساليب الكميه في االداره الفصل الثاني لعام 1439 ه للدكتور ملفي الرشيدي يجب الرجوع للمحاضره المسجله لفهم الماده وامثلتها تحل

المحاضرة العاشرة الجديده لالساليب الكميه في االداره الفصل الثاني لعام 1439 ه للدكتور ملفي الرشيدي يجب الرجوع للمحاضره المسجله لفهم الماده وامثلتها تحل المحاضرة العاشرة الجديده لالساليب الكميه في االداره الفصل الثاني لعام 1439 ه للدكتور ملفي الرشيدي يجب الرجوع للمحاضره المسجله لفهم الماده وامثلتها تحليل القرارات الجزء األول Decision Analysis- Part I عناصر

المزيد من المعلومات

اجيبي علي الاسئلة التالية بالكامل:

اجيبي علي الاسئلة التالية بالكامل: أساليب توزيع السكان وكثافتهم أوال: التوزيع السكاني Population Distribution التوزيع السكاني هو عبارة عن توزيع البشر األعداد المطلقة على الرقعة المساحية. إن التوزيع الجغ ارفي للسكان هو الجغ ارفية. انعكاس

المزيد من المعلومات

1 درس :

1 درس : 1 درس : ثانية االمام البخاري التأهيلية المستى: الجدع المشترك العلمي المكن : الهندسة المرجع: في رحاب الرياضيات المادة: الرياضيات الجدادة: رقم 2 71 فبراير االسبع: من الدرس الى 32 فبراير 3172 المستقيم في

المزيد من المعلومات

صفوت مصطفي حميد ضهير مدرسة الدوحة الثانوية ب أي خطأ طباعي أو إثناء التحويل من صيغة آلخري يرجي إبالغي به والخطأ مني ومن الشيطان أما توفيقي فمن هللا عرف

صفوت مصطفي حميد ضهير مدرسة الدوحة الثانوية ب أي خطأ طباعي أو إثناء التحويل من صيغة آلخري يرجي إبالغي به والخطأ مني ومن الشيطان أما توفيقي فمن هللا عرف أي خطأ طباعي أو إثناء التحويل من صيغة آلخري يرجي إبالغي به والخطأ مني ومن الشيطان أما توفيقي فمن هللا عرف المصطلحات التالية: الكميات الفيزيائية القياسية: هي كميات التي يعبر عنها بعدد ووحدة قياس مثل "درجة

المزيد من المعلومات

الشريحة 1

الشريحة 1 1 4 > < فيما سبق درست حل معادالت خطية باجلمع والطرح. اآلن.. أحل متباينات خطية باجلمع أحل متباينات خطية بالطرح المفردات الصفة املميزة للمجموعة. . لماذا تبين المعلومات الواردة في الجدول أدناه أن المخصصات

المزيد من المعلومات

الدرس : 1 مبادئ ف المنطق مكونات المقرر الرسم عناصر التوج هات التربو ة العبارات العمل ات على العبارات المكممات االستدالالت الر اض ة: االستدالل بالخلف ا

الدرس : 1 مبادئ ف المنطق مكونات المقرر الرسم عناصر التوج هات التربو ة العبارات العمل ات على العبارات المكممات االستدالالت الر اض ة: االستدالل بالخلف ا الدرس : 1 مبادئ ف المنطق مكونات المقرر الرسم عناصر التوج هات التربو ة العبارات العمل ات على العبارات المكممات االستدالالت الر اض ة: االستدالل بالخلف االستدالل بفصل الحاالت االستدالل بالتكافؤ نبغ تقر ب

المزيد من المعلومات

اردوينو – الدرس الثامن – تغيير درجة الالوان لـ RGB LED

اردوينو – الدرس الثامن – تغيير درجة الالوان لـ RGB LED اردوينو الدرس الثامن تغيير درجة الالوان ل RGB LED في هذا الدرس ستقوم بتطبيق ماتعلمته بالدرس السابع والرابع وذلك لاستخدام الازرار في تغيير درجة الالوان في RGB Led القطع المطلوبة لاتمام هذا الدرس عليك توفير

المزيد من المعلومات

التحليل 4 دكتور املادة: هدى الشماط احملاضرة السابعة عشر )األخرية( عنوان احملاضرة :متارين و تطبيقات احملتوى العلمي : أهال بكم أصدقائي, سندرس محاضرتنا األخيرة النهايات و قابلية االشتقاق و إيجاد المشتقات

المزيد من المعلومات

المملكة العربية السعودية م ق س ..../1998

المملكة العربية السعودية م ق س ..../1998 SFDA.FD 2483 /2018 الدهون )األحماض الدهنية( المتحولة Trans Fatty Acids ICS : 67.040 تقديم الهيئة جهة مستقلة الغرض األساسي لها هو القيام بتنظيم وم ارقبة الغذاء والدواء واألجهزة الطبية ومن مهامها وضع اللوائح

المزيد من المعلومات

ن 3 اإلمتحان الوطين املوحد لنيل شهادة البكالوريا الدورة اإلستدراكية 2013 اململكة املغربية وزارة الرتبية الوطنية و التعليم العالي و تكوين األطر و البحث

ن 3 اإلمتحان الوطين املوحد لنيل شهادة البكالوريا الدورة اإلستدراكية 2013 اململكة املغربية وزارة الرتبية الوطنية و التعليم العالي و تكوين األطر و البحث ن اإلمتحان الوطين املوحد لنيل شهادة الكالوريا الدورة اإلستدراكية اململكة املغرية وزارة الرتية الوطنية و التعليم العالي و تكوين الطر و الحث العلمي املركس الوطين للتقويم و اإلمتحانات مادة الرياضيات شعة العلوم

المزيد من المعلومات

2.3 ألعاب احتامل ستلعبون يف هذه الفع الي ة ألعاب احتامل بأزواج وستحل لونها. مالحظة: يجب أن يكون معكم يف هذه الفع الي ة زوج من مكع بات الل عب )حجارة ال

2.3 ألعاب احتامل ستلعبون يف هذه الفع الي ة ألعاب احتامل بأزواج وستحل لونها. مالحظة: يجب أن يكون معكم يف هذه الفع الي ة زوج من مكع بات الل عب )حجارة ال . ألعاب احتامل ستلعبون يف هذه الفع الي ة ألعاب احتامل بأزواج وستحل لونها. مالحظة: يجب أن يكون معكم يف هذه الفع الي ة زوج من مكع بات الل عب )حجارة الن د(. ميكنكم أيض ا أن تتوج هوا إىل مواقع تقوم مبحاكاة

المزيد من المعلومات

Microsoft Word - Suites_Numériques_1_sm.doc

Microsoft Word - Suites_Numériques_1_sm.doc الا ستاذ الا لى علم رياضية المتتاليات العددية - I عمميات 4 ; 8 ; ; 6 ; ; ; أمثلة تمهيدية مثال أتمم بشكل منطقي ما يلي نقترح تخصيص رمز لكل من هذه الا عداد لهذا نضع u 4 ; u 8 ; u ; u 6 ; 4 5 فيكن لدينا I

المزيد من المعلومات

Microsoft Word - QA-Reliability

Microsoft Word - QA-Reliability اختبار صلاحية الاستبانات Questionnaires Reliability Analysis لتقويم ا دوات جمع البيانات الميدانية (الاستبانات) باستخدام قياس ليكرت لدرجة الموافقة Likert Scale من نوعان هناك الاختبارات التي لها تخضع ا ن

المزيد من المعلومات

أمثلة محلولة على الفصل الثانى السلوك الش ارئي للمستهلك مثال )1(: الجدول التالى يوضح لهذا المستهلك ومثل ذلك بيانيا المنفعة الكلية إلستهالك البرتقال لمس

أمثلة محلولة على الفصل الثانى السلوك الش ارئي للمستهلك مثال )1(: الجدول التالى يوضح لهذا المستهلك ومثل ذلك بيانيا المنفعة الكلية إلستهالك البرتقال لمس أمثلة محلولة على الفصل الثانى السلوك الش ارئي للمستهلك مثال )(: الجدول التالى يوضح لهذا المستهلك ومثل ذلك بيانيا إلستهالك البرتقال لمستهلك ما احسب الحدية الستهالك البرتقال حبات البرتقال و الحدية إلستهالك

المزيد من المعلومات

8 مادة إثرائية وفقا للمنهاج الجديد األساسي الثامن للصف الفصل الدراسي األول إعداد املعلم/ة: أ. مريم مطر أ. جواد أبو سلمية حقوق الطبع حمفوظة لدى املكتبة

8 مادة إثرائية وفقا للمنهاج الجديد األساسي الثامن للصف الفصل الدراسي األول إعداد املعلم/ة: أ. مريم مطر أ. جواد أبو سلمية حقوق الطبع حمفوظة لدى املكتبة 8 مادة إثرائية وفقا للمنهاج الجديد الساسي الثامن للصف الفصل الدراسي الول إعداد املعلم/ة:. مريم مطر. جواد و سلمية حقوق الطع حمفوظة لدى املكتة الفلسطينية رقم إيداع )017/614( من وزارة الثقافة تطل من املكتة

المزيد من المعلومات

سلسلة تمارين حول القوة المطبقة من طرف جسم نابض

سلسلة تمارين حول القوة المطبقة من طرف جسم نابض سلسلة تمارين حول القوة المطبقة من طرف جسم نابض- دافعة أرخميد س F 4N التمرين رقم 1 ص 58 من الكتاب المدرسي مرشدي في الفيزياء: يخضع جسم صلب S آتلته مهملة لتا ثيرين ميكانيكيين من طرف ديناموميترين D 1 و D فيشير

المزيد من المعلومات

مكثف الثالثة الوحدة البوابات املنطقية 1 هاتف : مدارس األكاد م ة العرب ة الحد ثة إعداد المعلم أحمد الصالح

مكثف الثالثة الوحدة البوابات املنطقية 1 هاتف : مدارس األكاد م ة العرب ة الحد ثة إعداد المعلم أحمد الصالح مكثف الثالثة الوحدة البوابات املنطقية هاتف : 798226 النظ ري الج زء و الثاني األ ول للد رسين وضح ان قصىد ت ا يهي : انرعثير انعالئقي ج هح خثريح ذكى قي رها إيا صىاب )( و إيا خطأ )( ان عايم ان طقي راتط يسرخذو

المزيد من المعلومات

بعض تطبيقات توازن جسم صلب خاضع لقوتين Quelques applications de l équilibre d un solide soumis à deux forces األدهاا *التذكير بشرطي توازن جسم صلب خاضع

بعض تطبيقات توازن جسم صلب خاضع لقوتين Quelques applications de l équilibre d un solide soumis à deux forces األدهاا *التذكير بشرطي توازن جسم صلب خاضع بعض تطبيقات توازن جسم صلب خاضع لقوتين Quelques applications de l équilibre d un solide soumis à deux forces األدهاا *التذكير بشرطي توازن جسم صلب خاضع لقوتين. *معرفة و تطبيق العالقة =T. K *تعريف دافعة أرخمياس

المزيد من المعلومات

طور المضغة

طور المضغة طىر المضغة ف خ ل ق ن ب ال ع ل ق ة م ض غ ة أد/ حنف محمىد مذبىل عضى الهيئة العبلمية لإلعجبز العلم ف القرآن والسنة يتم التحول سريع ا من علقة إلى مضغة خالل يومين )من اليوم 24 إلى اليوم 26( لهذا وصف القرآن

المزيد من المعلومات

وزارة الرتبية الوطنية امتحان بكالوراي التعليم الثانوي الشعبة: تقين رايضي اختبار يف مادة: الرايضيات اجلمهورية اجلزائرية الدميقراطية الشعبية الديوان الو

وزارة الرتبية الوطنية امتحان بكالوراي التعليم الثانوي الشعبة: تقين رايضي اختبار يف مادة: الرايضيات اجلمهورية اجلزائرية الدميقراطية الشعبية الديوان الو وزارة الرتبية الوطنية امتحان بكالوراي التعليم الثانوي الشعبة: تقين رايضي اختبار يف مادة: الرايضيات اجلمهورية اجلزائرية الدميقراطية الشعبية الديوان الوطين لالمتحاانت واملسابقات 710 املدة: دورة: 10 د و 01

المزيد من المعلومات

ראייה מרחבית א-ב

ראייה מרחבית א-ב بناء مضلعات مختلفة من قطعة ذات طول معي ن تطوير مفاهيم حول حفظ المحيط بالرغم من تغيير أنواع المضلعات لقاء جماعي من أجل تطوير القدرة الحسابية والقدرة على الرؤية في الفراغ صفوف أولثان ترجمة: كواكب سيف مركز

المزيد من المعلومات

الشريحة 1

الشريحة 1 2 األشكال الثالثية األبعاد 4 الف ص ل السادس 5 6 ن 2 : املئ الجدول بالرقم المناسب عدد أضالع القاعدة 4 ن 3 8 عدد أحرف المجس م 6 كانت إذا قاعدة الهرم مثلثة الشكل ذ فكم عدد أضالعها كم حرف ا كانت إذا للهرم

المزيد من المعلومات

ammarimaths collège

ammarimaths collège 1/5 مدخل الى الدال : 1) الدال الحددية: (2 تمثيلها المبياني مستقيم يمر من x) )=ax تعرفنا في السنات الماضية على الدال الخطية هي الدال التي تكتب على شكل تمثيلها المبياني مستقيم ل b+ x) )=ax أصل المعلم تعرفنا

المزيد من المعلومات

Microsoft Word - dériv sc maths.doc

Microsoft Word - dériv sc maths.doc الاشتقاق تطبيقاته دراسة الدال الثانية سلك بكالريا ع ف ع ح أ - الاشتقاق في نقطة- الدالة المشتقة ( A أنشطة نشاط باستعمال التعريف ادرس اشتقاق الدالة في حدد العدد المشتق في إن جد ثم حدد معادلة المماس أ نصف

المزيد من المعلومات

ص)أ( المملكة العرب ة السعود ة وزارة الترب ة والتعل م اإلدارة العامة للترب ة والتعل م بمحافظة جدة الب ان النموذج ة ( تعل م عام ) انفصم اندراسي األول ان

ص)أ( المملكة العرب ة السعود ة وزارة الترب ة والتعل م اإلدارة العامة للترب ة والتعل م بمحافظة جدة الب ان النموذج ة ( تعل م عام ) انفصم اندراسي األول ان ص)أ( المملكة العرب ة السعود ة وزارة الترب ة والتعل م اإلدارة العامة للترب ة والتعل م بمحافظة جدة الب ان النموذج ة ( تعل م عام ) انفصم اندراسي األول انفترة انثانثت العام الدراس - 1 18 ه االسم المرحلة الصف

المزيد من المعلومات

Microsoft Word - CO_RT10

Microsoft Word - CO_RT10 إعداد : تقديم الشكل أسفله يمثل مضخم يعتمد على ترانزيستور. فھو يحتوي على شبكة من المقاومات تمكن من تقطيب و مكثفات تعمل على ربط المضخم بأخر وذلك بتمرير اإلشارات المتناوبة. R1 100k 1µF 1µF (Load) Rc (charge)

المزيد من المعلومات

Slide 1

Slide 1 الفصل 25: الجهد الكهربي فرق الجهد الكهربي والجهد الكهربي فرق الجهد الكهربي لمجال كهربي منتظم -1-2 -3 الجهد الكهربي وطاقة الوضع الكهربية لمجموعة من الشحنات النقطية. Slide 1 Fig 25-CO, p.762 : فرق الجهد

المزيد من المعلومات

الــــــرقم الــــقياسي لتكاليف اإلنــــشاءات مــشاريع األبـــــــراج ﺍﻟـــﺮﺑــﻊ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ 2017 )سنة األساس (2013 ﺗﺎﺭﻳﺦ ﺍﻹﺻﺪﺍﺭ : ﻣﺎﺭﺱ 2018 الـرقم الــــق

الــــــرقم الــــقياسي لتكاليف اإلنــــشاءات مــشاريع األبـــــــراج ﺍﻟـــﺮﺑــﻊ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ 2017 )سنة األساس (2013 ﺗﺎﺭﻳﺦ ﺍﻹﺻﺪﺍﺭ : ﻣﺎﺭﺱ 2018 الـرقم الــــق الــــــرقم الــــقياسي لتكاليف اإلنــــشاءات مــشاريع األبـــــــراج ﺍﻟـــﺮﺑــﻊ ﺍﻟﺮﺍﺑﻊ )سنة األساس (2013 ﺗﺎﺭﻳﺦ ﺍﻹﺻﺪﺍﺭ : ﻣﺎﺭﺱ 2018 الـرقم الــــقياسي لتكاليف اإلنشاءات 1 مفصال حسب : مجموعات المواد والخدمات

المزيد من المعلومات

الفصل الثاني

الفصل الثاني 1 برنامج MINTAB 17 105 احص إعداد أ- ريم المبطي 2 الفصل الثاني ( اختبارات الفروض وفترات الثقة ) لمعالم مجتمع واحد أوال : اختبار المتوسط : لدينا حالتين : نستخدم اختبار Z عندما : N كبيرة و معلومة أو مجهولة

المزيد من المعلومات

10) série d'exercices chute libre d'un corps solide

10) série d'exercices   chute libre d'un corps solide سلسلة تمارين حول السقوط الحر لجسم صلب ) تمرين رقم 7 الصفحة 9 الكتاب المدرسي فضاء الفيزياء السقوط الحر الرأسي يسقط جسم آروي من سطح عمارة وفق حرآة سقوط حر رأسي. - ما شكل مسار مرآز قصور الجسم - أعط القوى

المزيد من المعلومات

الــــــرقم الــــقياسي لتكاليف اإلنــــشاءات مــشاريع األبـــــــراج ﺍﻟـــﺮﺑــﻊ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ 2017 )سنة األساس (2013 ﺗﺎﺭﻳﺦ ﺍﻹﺻﺪﺍﺭ : ﺩﻳﺴﻤﺒﺮ 2017 الـرقم الـــ

الــــــرقم الــــقياسي لتكاليف اإلنــــشاءات مــشاريع األبـــــــراج ﺍﻟـــﺮﺑــﻊ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ 2017 )سنة األساس (2013 ﺗﺎﺭﻳﺦ ﺍﻹﺻﺪﺍﺭ : ﺩﻳﺴﻤﺒﺮ 2017 الـرقم الـــ الــــــرقم الــــقياسي لتكاليف اإلنــــشاءات مــشاريع األبـــــــراج ﺍﻟـــﺮﺑــﻊ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ 2017 )سنة األساس (2013 ﺗﺎﺭﻳﺦ ﺍﻹﺻﺪﺍﺭ : ﺩﻳﺴﻤﺒﺮ 2017 الـرقم الــــقياسي لتكاليف اإلنشاءات 1 مفصال حسب : مجموعات المواد

المزيد من المعلومات

(Microsoft Word - \307\341\305\315\325\307\301.doc)

(Microsoft Word - \307\341\305\315\325\307\301.doc) اإلحتمال التجربة العشوائية : ھى تجربة نستطيع معرفة جميع نواتجھا الممكنة قبل إجرائھا ولكن ال يمكنتحديد الناتج الذى سيحدث فعال فضاء العينة : ھو مجموعة جميع النواتج الممكنة للتجربة العشوائية و عدد عناصرھا

المزيد من المعلومات

المعادالت التف اضلية 2 احملاضرة :الثانية عشر املادة: ملك مارديين عنىان احملاضرة :املعادالت الحفاضلية اجلزئية دكحىرة احملتوى العلمي : 1- تتمة منشأ المعادالت التفاضلية الجزئية 2- المغلف 3- الحل الشاذ للمغلف

المزيد من المعلومات

سلسلة العمل الذاتي لمادة الریاضیات رقم (01) المستوى: 3 ثانوي علوم تجريبية الا ستاذ :عبداالله بالرقي المتتالیات العددیة 1 )المتتالیة الحسابیة التمرین(

سلسلة العمل الذاتي لمادة الریاضیات رقم (01) المستوى: 3 ثانوي علوم تجريبية الا ستاذ :عبداالله بالرقي المتتالیات العددیة 1 )المتتالیة الحسابیة التمرین( سلسلة العمل الذاتي لمادة الریاضیات رقم (0) المستوى: ثانوي علوم تجريبية الا ستاذ :عبداالله بالرقي المتتالیات العددیة )المتتالیة الحسابیة التمرین( ):( u )متتالية حسابية حيث: =8 u 0 +u و 4 = u +u 5 )ا وجد

المزيد من المعلومات

ثنائي القطب ثنائي القطب س 4 مادة العلوم الفيزيائية الكهرباء مميزات بعض ثنائيات القطب غير النشيطة الجذع المشترك الفيزياء جزء الكهرباء مميزات بعض ثنائيا

ثنائي القطب ثنائي القطب س 4 مادة العلوم الفيزيائية الكهرباء مميزات بعض ثنائيات القطب غير النشيطة الجذع المشترك الفيزياء جزء الكهرباء مميزات بعض ثنائيا ثنائي القطب ثنائي القطب س 4 الجذع المشترك الفيزياء جزء الكهرباء مميزات بعض ثنائيات القطب غري النشيطة Caractéristiques de quelques dipôles passifs 1- ثنائيات القطب : -1-1 نشاط : صل مربطي كل ثنائي قطب بجهاز

المزيد من المعلومات

تطبيق عل الانتاج والتكاليف

تطبيق عل الانتاج والتكاليف تطبيق حل )الفصل و ( السؤال االول :إذا أعطيتي الجدول التالي لمنشأة تعمل في المنافسة الكاملة : السعر الكمية االيراد االرباح ربح الوحدة الكلي الثابتة المتغيره الحدي الحدية الواحدة ATC MC TC VC FC P Q π/q

المزيد من المعلومات

كيفية تفعيل خدمة IIS ونشر موقع ويب على الشبكة احمللي السالم عليكم اصدقائي الكرام في هذا الكتاب سنتناول ما هي خدمة المعلومات وكيفية التفعيل ونشر الموقع

كيفية تفعيل خدمة IIS ونشر موقع ويب على الشبكة احمللي السالم عليكم اصدقائي الكرام في هذا الكتاب سنتناول ما هي خدمة المعلومات وكيفية التفعيل ونشر الموقع كيفية تفعيل خدمة IIS ونشر موقع ويب على الشبكة احمللي السالم عليكم اصدقائي الكرام في هذا الكتاب سنتناول ما هي خدمة المعلومات وكيفية التفعيل ونشر الموقع وتجربته وفي النهاية ستجدون روابط المثال مع شرح فيديو

المزيد من المعلومات

المحاضرة الثانية

المحاضرة الثانية المحاضرة الثان ة أنواع الب انات)المتغ رات و الثوابت( محتو ات المحاضرة أنواع الب انات اإلعالن عن المتغ رات الثوابت إسناد الق م إلى المتغ رات واجهة برنامج Visual Studio 2010 2 أنواع الب انات كلمات لغة ال

المزيد من المعلومات

19_MathsPure_GeneralDiploma_1.2_2016.indd

19_MathsPure_GeneralDiploma_1.2_2016.indd تنبيه: األسئلة يف )11( صفحة. امتحان دبلوم التعليم العام للعام الدرايس 1437/1436 ه - 2015 2016 / م زمن اإلجابة: ثالث ساعات. اإلجابة يف الورقة نفسها. تعليامت وضوابط التقدم لالمتحان: الحضور إىل اللجنة قبل

المزيد من المعلومات

الشريحة 1

الشريحة 1 القيادة 1 القيادة -الم ادة - تعر فات الم ادة -الفرق ب ن الم ادة واإلدارة - عناصر الم ادة اإلدار ة - نظر ات الم ادة اإلدار ة 2 القيادة تنطوي الم ادة على عاللة تبادل ة ب ن من بدأ بالفعل وب ن من نجزه وهذه

المزيد من المعلومات

Full Mark الفرعين : األدبي والفندقي السياحي الوحدة : األولى النهايات واالتصال إعداد وتصميم األستاذ : خالد الوحش مدرسة أبو علندا الثانوية للبنين

Full Mark الفرعين : األدبي والفندقي السياحي الوحدة : األولى النهايات واالتصال إعداد وتصميم األستاذ : خالد الوحش مدرسة أبو علندا الثانوية للبنين الفرعين : األدبي والفندقي السياحي الوحدة : األولى النهايات واالتصال إعداد وتصميم األستاذ : خالد الوحش مدرسة أبو علندا الثانوية للبنين 0798016746 http://www.youtube.com/uer/moonkaled http://khaledalwahh.wordpre.com/

المزيد من المعلومات

( اختبارات الفروق لعينتين مستقلتين Samples) 2) Independent مان- ويتني( U (Mann-Whitney ب( نحتاج الى ھذا القانون الغراض المقارنة بين مجموعتين او عينتين

( اختبارات الفروق لعينتين مستقلتين Samples) 2) Independent مان- ويتني( U (Mann-Whitney ب( نحتاج الى ھذا القانون الغراض المقارنة بين مجموعتين او عينتين ( اختارات الفروق لعينتين مستقلتين Samples) 2) Independent مان ويتني( U (MannWhitney ( نحتاج الى ھذا القانون الغراض المقارنة ين مجموعتين او عينتين مستقلتين مثال المقارنة ين عينة للذكور م ع عينة لالناث او

المزيد من المعلومات

الدليل التدريبي لتسجيل منتج البوابة االلكترونية للمطابقة )سابر( الدليل التدريبي لتسجيل منتج 0

الدليل التدريبي لتسجيل منتج البوابة االلكترونية للمطابقة )سابر( الدليل التدريبي لتسجيل منتج 0 البوابة االلكترونية للمطابقة )سابر( 0 جدول المحتويات 2 2 4 6 7 8 9 11 وصف النظام تسجيل المنتج إضافة منتج عن طريق الرمز المنسق الجمركي HS code إضافة منتج عن طريق الكلمات الداللية إضافة منتج عن طريق البحث

المزيد من المعلومات

الدوال في اكسل الدوال: هي صيغ معرفة مسبقا تقوم بإجراء عمليات حسابية بإستخدم قيم محددة ووسائط مسماة في ترتيب بنية معينة بناء الدالة: إغالق. يبدأ بناء ا

الدوال في اكسل الدوال: هي صيغ معرفة مسبقا تقوم بإجراء عمليات حسابية بإستخدم قيم محددة ووسائط مسماة في ترتيب بنية معينة بناء الدالة: إغالق. يبدأ بناء ا الدوال في اكسل الدوال: هي صيغ معرفة مسبقا تقوم بإجراء عمليات حسابية بإستخدم قيم محددة ووسائط مسماة في ترتيب بنية معينة بناء الدالة: إغالق. يبدأ بناء الدالة بعالمة المساواة )=( ثم اسم الدالة وقوس فتح ويتم

المزيد من المعلومات

اململكة العربية السعودية وزارة التعليم العالي جامعة اجملمعة عماده خدمه اجملتمع كليه الرتبية بالزلفي دبلوم التوجيه واالرشاد الطالبي ملخص منوذج توصيف مق

اململكة العربية السعودية وزارة التعليم العالي جامعة اجملمعة عماده خدمه اجملتمع كليه الرتبية بالزلفي دبلوم التوجيه واالرشاد الطالبي ملخص منوذج توصيف مق اململكة العربية السعودية وزارة التعليم العالي جامعة اجملمعة عماده خدمه اجملتمع كليه الرتبية بالزلفي دبلوم التوجيه واالرشاد الطالبي ملخص منوذج توصيف مقرر )نظريات التعلم ) 435/434 ه منوذج توصيف مقرر دراسي

المزيد من المعلومات

اسم المفعول

اسم المفعول اسم المفعول اسم المفعول اسم ي شتق من الفعل المتعدي المبني للمجهول المتعدي وهي تدل على وصف من يقع عليه الفعل. يصاغ اسم المفعول على الن حو التالي : 1 الفعل الثالثي : على وزن م ف ع ول مثل: ك ت ب : م ك ت وب

المزيد من المعلومات

استخدام الفحص المبتور في تحديد معلمات خطة المعاينة المفردة لفحص المنتوج تحت فرضية التوزيع اللوغاريتمي المنطقي م. بيداء اسماعيل م. سهيل نجم عبود مركز ا

استخدام الفحص المبتور في تحديد معلمات خطة المعاينة المفردة لفحص المنتوج تحت فرضية التوزيع اللوغاريتمي المنطقي م. بيداء اسماعيل م. سهيل نجم عبود مركز ا م. بيداء اسماعيل م. سهيل نجم عبود مركز الحاسبة االلكترونية- كلية االدارة واالقتصاد/ جامعة بغداد الخالصة في هذا البحث تم تصميم مجموعات خطط عينات القبول لفحص المنتوج بشكل مجاميع عددها وحجم كل منها r وعندئذ

المزيد من المعلومات

عرض تقديمي في PowerPoint

عرض تقديمي في PowerPoint المحاكاة وتمثيل األدوار أوال : مفهوم طريقة تمثيل األدوار : أن يقوم الطالب بدور شخصية أخرى, سواء كانت هذه الشخصية تاريخية أو خيالية أو واقعية, ويعبر عن آرائها وأفكارها في الموضوع أو القضية المطروحة.] 1

المزيد من المعلومات

1029 مدارس المحور الدولية M.I.S االمتحان النهائي للعام الدراسي / 1028 المبحث : الكيمياء الصف : الثاني ثانوي علمي الشعبة : ( ) التاريخ : / / 4119 العال

1029 مدارس المحور الدولية M.I.S االمتحان النهائي للعام الدراسي / 1028 المبحث : الكيمياء الصف : الثاني ثانوي علمي الشعبة : ( ) التاريخ : / / 4119 العال 029 مدارس المحور الدولية M.I.S االمتحان النهائي للعام الدراسي / 028 المبحث : الكيمياء الصف : الثاني ثانوي علمي الشعبة : ( ) التاريخ : / / 49 العالمة : ( / 4 ) االسم :... )24 عالمة( السؤال األول : انقل

المزيد من المعلومات

استمارة تحويل طالب يتعلم في الصف العادي لجنة التنسيب إلى )التقرير التربوي( استمارة لتركيز المعلومات حول العالج المسبق الذي حصل علية الطالب\ة الذي يتعل

استمارة تحويل طالب يتعلم في الصف العادي لجنة التنسيب إلى )التقرير التربوي( استمارة لتركيز المعلومات حول العالج المسبق الذي حصل علية الطالب\ة الذي يتعل استمارة تحويل طالب يتعلم في الصف العادي لجنة التنسيب إلى )التقرير التربوي( استمارة لتركيز المعلومات حول العالج المسبق الذي حصل علية الطالب\ة الذي يتعلم في صف عادي, قبل تحويله إلى لجنة التنسيب.يجب تعبئة

المزيد من المعلومات

الموضوع الثالث تحليل التباين ANOVA) (Two Way الثنائي One Depended نلجأ الى ھذا القانون عند توفر متغيرين يتوقع بينھما تداخل او تفاعل (في تحليل التباين

الموضوع الثالث تحليل التباين ANOVA) (Two Way الثنائي One Depended نلجأ الى ھذا القانون عند توفر متغيرين يتوقع بينھما تداخل او تفاعل (في تحليل التباين الموضوع الثالث تحليل التباين ANOVA) (Two Way الثنائي One Depended نلجأ الى ھذا القانون عند توفر متغيرين يتوقع بينھما تداخل او تفاعل (في تحليل التباين االحادي كنا نقارن بين ثالث مجاميع في متغير واحد مثال

المزيد من المعلومات

تحليلية الجداء السلمي وتطبيقاته

تحليلية الجداء السلمي وتطبيقاته . المرجح القدرات المنتظرة استعمال المرجح في تبسيط تعبير متجهي إنشاء مرجح n نقطة 4) n 2 ( استعمال المرجح لا ثبات استقامية ثلاث نقط من المستى استعمال المرجح في إثبات تقاطع المستقيمات استعمال المرجح في حل

المزيد من المعلومات

212 phys.

212 phys. فيز 211 الميكانيكا 1 Phys 211 Mechanics 1 المحاضرة الثالثة Lecture 3 Motion i n Two And Three Dimentions المراجع لهذه المحاضرة Book: Fundamentals of physics By Jearl walker P 58-72 + P 75 But 4-8 and proof

المزيد من المعلومات

التعريف بعلم الإحصاء

التعريف بعلم الإحصاء ٨ مقدمة هي أحد وظاي ف علم الا حصاء ويشمل : التقدير الا حصاي ي: Statistical Estimati اختبارات الفروض: Hyptheses Tests وهناك بعض المفاهيم التي يجب التعرف عليها ويكثر استخدمها في مجال : المعلمة :Parameter

المزيد من المعلومات

19_MathsPure_GeneralDiploma_1.2_2015.indd

19_MathsPure_GeneralDiploma_1.2_2015.indd تنبيه: األسئلة يف ( 15 ) صفحة. امتحان دبلوم التعليم العام للعام الدرايس 1436/1435 ه - 2014 2015 / م زمن اإلجابة: ثالث ساعات. اإلجابة يف الورقة نفسها. تعليامت وضوابط التقدم لالمتحان: الحضور إىل اللجنة قبل

المزيد من المعلومات

Microsoft Word - 1-NURSE CALL SYSTEM

Microsoft Word - 1-NURSE CALL SYSTEM أنظمة التيار الخفيف 1 -نظام استدعاء الممرضات Eman.A (نظام استدعاء الممرضات) NURSE CALL SYSTEM الھدف من النظام : تسھيل عملية الرعاية الصحية للمرضي, مساعدته في حالة الطوارء. تسھيل التواصل بين فريق العالج

المزيد من المعلومات

جامعة العقيد الحاج لخضر - باتنة - 1 كلية العلوم االقتصادية والتجارية وعلوم التسيير قسم التعليم األساسي مادة II دروس وتطبيقات الرياضيات لطلبة السنة األ

جامعة العقيد الحاج لخضر - باتنة - 1 كلية العلوم االقتصادية والتجارية وعلوم التسيير قسم التعليم األساسي مادة II دروس وتطبيقات الرياضيات لطلبة السنة األ جامعة العقيد الحاج لخضر - باتنة - 1 كلية العلوم االقتصادية والتجارية وعلوم التسيير قسم التعليم األساسي مادة II دروس وتطبيقات الرياضيات لطلبة السنة األولى الثاني السداسي إعداد أساتذة المادة الفهرس العام

المزيد من المعلومات

)حل أسئلة اختبار االحصاء( المتغير النوعي هو البيانات التي ال يمكن التعبير عنها بعدد يعني غير رقميهمثل نوع او لون السيارات او الحالة االجتماعية اعزب مت

)حل أسئلة اختبار االحصاء( المتغير النوعي هو البيانات التي ال يمكن التعبير عنها بعدد يعني غير رقميهمثل نوع او لون السيارات او الحالة االجتماعية اعزب مت )حل أسئلة اختبار االحصاء( المتغير النوعي هو البيانات التي ال يمكن التعبير عنها بعدد يعني غير رقميهمثل نوع او لون السيارات او الحالة االجتماعية اعزب متزوج المتغير الكمي المتقطع هو البيانات التي يعبر عنها

المزيد من المعلومات

Présentation PowerPoint

Présentation PowerPoint P. Benameur nabil : قياس املرونات الفصل 2 1.مفهوم املرونة 2. مرونة الطلب السعرية والعوامل املؤثرة 3. مرونة الطلب الدخلية 4. املرونة التقاطعية للطلب 5. مرونة العرض السعرية والعوامل املؤثرة فيها فيها. لفظ

المزيد من المعلومات

متوسطة عيسى الصحبي دائرة تنيرة والية سيدي بلعباس مذكرات الجيل الثاني المستوى: 03 متوسط األستاذ: حمزة محمد

متوسطة عيسى الصحبي دائرة تنيرة والية سيدي بلعباس مذكرات الجيل الثاني المستوى: 03 متوسط األستاذ: حمزة محمد متوسطة عيسى الصحبي دائرة تنيرة والية سيدي بلعباس مذكرات الجيل الثاني المستوى: 03 متوسط األستاذ: حمزة محمد العمليات على األعداد النسبية الكسور و حاالت تقايس مثلثين المقطع التعلمي األول: العمليات على األعداد

المزيد من المعلومات

برمجة NXT والخوارزميات تتبع الخط سلسلة دروس الروبوت التعل م قسم برمجة NXT والخوارزم ات تتبع الخط )حساس الضوء واأللوان( 1

برمجة NXT والخوارزميات تتبع الخط سلسلة دروس الروبوت التعل م قسم برمجة NXT والخوارزم ات تتبع الخط )حساس الضوء واأللوان(   1 سلسلة دروس الروبوت التعل م قسم برمجة NXT والخوارزم ات )حساس الضوء واأللوان( www.talents.edu.sa 1 اإلصدار 1,1 سبتمبر 2111 شركة المواهب الوطن ة للتدر ب والتعل م 2111 بعض الحقوق محفوظة. باستثناء المواضع الت

المزيد من المعلومات

دليل المستخدم لبوابة اتحاد المالك التفاعلية

دليل المستخدم لبوابة اتحاد المالك التفاعلية دليل المستخدم لبوابة اتحاد المالك التفاعلية الشاشة الرئيسية 3 إنشاء مستخدم جديد 4 أوال: التسجيل كفرد 5 - نوع الهوية «سعودي» : 5 - نوع الهوية «مقيم :» 6 - نوع الهوية «خليجي» : 7 : التسجيل كمنشأة : 9 ثانيا

المزيد من المعلومات

les ondes mecaniques progressives cours

les ondes mecaniques progressives cours الموجات الميكانيكية المتوالية Les ondes mécaniques progressives I الموجات الميكانيكية المتوالية 1 الموجة الميكانيكية النشاط التجريبي 1 نعرض التجارب التالية بواسطة فيديو أو القيام بها داخل القسم في حالة

المزيد من المعلومات

الرقابة الداخلية والرقابة الخارجية

الرقابة الداخلية والرقابة الخارجية الرقابة الداخلية - التدقيق الداخلي الرقابة الخارجية القاضي أفرام الخوري الرقابة الداخلية - التدقيق الداخلي والرقابة الخارجية الفقرة االولى : المقاييس العامة ألي نظام رقابي 1 هدف الرقابة : الرقابة على الوسيلة

المزيد من المعلومات

الاتصال الفعال بين المعلم والطالب

الاتصال الفعال بين المعلم والطالب ) 10-10 مدرسه التعاون ( بحث إجرائي عن االتصال الفعال وإثارته لدافعية التعلم لدي الطالب في مدرسة التعاون االتصال عامل هام من العوامل التي تقوم عليها حياة الناس وكل فرد منا يمارس االتصال مع من حوله من أفراد

المزيد من المعلومات

تصحيح مادة الرياضيات شعبة الرياضيات التمرين األول : و أي ان تكون النقط بما أن و و و α β α β α β و منه الشعاعان و غير مرتبطان خطيا إذن النقط من نفس الم

تصحيح مادة الرياضيات شعبة الرياضيات التمرين األول : و أي ان تكون النقط بما أن و و و α β α β α β و منه الشعاعان و غير مرتبطان خطيا إذن النقط من نفس الم تصحيح مادة الرياضيات شعبة الرياضيات التمرين األل : تكن النقط بما أن β β β منه الشعاعان غير مرتبطان خطيا النقط من نفس المستي يعني أجد عددين حقيقين β من بطرح منه بالتعيض في β بتعيض القيمتين في استقامية β

المزيد من المعلومات

كيفية استخدام موقع 4shared لرفع الملفات وتنظيمها على النترنت للمبتدئين. والمتقدمين في الحاسب. كتاب ل ابراهيم شاهين

كيفية استخدام موقع 4shared   لرفع الملفات وتنظيمها على النترنت للمبتدئين. والمتقدمين في الحاسب. كتاب ل ابراهيم شاهين كيفية استخدام موقع 4shared www.4shared.com لرفع الملفات وتنظيمها على النترنت للمبتدئين. والمتقدمين في الحاسب. كتاب ل ابراهيم شاهين بسم ال الرحمن الرحيم مقدمة بسيطة موقع 4shared.com هو موقع لرفع الملفات

المزيد من المعلومات

Microsoft Word - examen national corexctio

Microsoft Word - examen national corexctio ( ) z = 3 ( 3 )i = ( 3 i) z = 3 ( 3 )i= i( 3 ( 3 )i) = iz 3 π ( 3 i) = 8( i) = 8, 6 z π = 8, ( r= 3 ' = 9 9= y'' 6y' 9y = r 6r 9= التمرين الا ل ( نعتر المعادلة التفاضلية لدينا المعادلة المميزة هي إذ ن

المزيد من المعلومات

جامعة حضرموت

جامعة حضرموت جاهعة حضرهوت التسجيل االلكتروني لمرحلة التنسيق بالجامعة عبر الموقع www.hu-registration.com الصفحة الرئيسية زر الدخول على النظام ف حالة التسج ل سابقا ولد ك اسم مستخدم وكلمة مرور زر تسج ل متقدم جد د اذا

المزيد من المعلومات

درس 02

درس 02 ع دI و تحولاتها المادة المجال أفراد هندسة 02 الوحدة الا نواع الآيمياي ية بعض م ع ت ج المستوى 1 02 رقم الدرس ( المادة و التفاعلات الآيمياي ية بنية ) أفراد بعض الا نواع الآيمياي ية هندسة رقم 2 الوحدة المفاهيم

المزيد من المعلومات

مختبر البرمجة والتحليل العددي قسم علوم الجو جمل التحكم والشرط والتكرار المرحلة الثانية PROGRAM CONTROL, CONDITION AND LOOP STATEMENTS الجمل الشرطية :-

مختبر البرمجة والتحليل العددي قسم علوم الجو جمل التحكم والشرط والتكرار المرحلة الثانية PROGRAM CONTROL, CONDITION AND LOOP STATEMENTS الجمل الشرطية :- جمل التحكم والشرط والتكرار PROGRAM CONTROL, CONDITION AND LOOP STATEMENTS الجمل الشرطية :- تقسم جمل الشرط الى نوعين وهي :- -1 جملة اذا الشرطية ) statement ( if -2 جملة التوزيع ) case ( switch -1 جملة اذا

المزيد من المعلومات

Allomani Warehouse User Guide

Allomani Warehouse User Guide المخزن warehouse.allomani.com دليل المستخدم اللوماني للخدمات البرمجية www.allomani.com / 11 اكتوبر / 2010 1 P a g e المحتويات اضافة و اعداد موقعك في المخزن... 3 اعداد بيانات ال...FTP 3 اعدادات بيانات حقوق

المزيد من المعلومات

الكيمياء : استعمالات حمض البنزويك الجزء الاول : تحديد النسبة المائوية لحمض البنزويك الخالص C 6 H 5 COOH (aq) + H 2 O (l) C 6 H 5 COO (aq) pk A = logk

الكيمياء : استعمالات حمض البنزويك الجزء الاول : تحديد النسبة المائوية لحمض البنزويك الخالص C 6 H 5 COOH (aq) + H 2 O (l) C 6 H 5 COO (aq) pk A = logk الكيمياء استعمالات حمض البنزويك الجزء الاول تحديد النسبة المائوية لحمض البنزويك الخالص C 6 H 5 COOH (aq) + H O (l) C 6 H 5 COO (aq) pk A = logk A pk A = log(6, 31. 10 5 ) = 4, 0 1 -معادلة التفاعل بين حمض

المزيد من المعلومات

دولة فلسطين و ازرة التربية والتعليم العالي المبحث: تكنولوجيا المعلومات / النظري بسم هللا الرحمن الرحيم مدة االمتحان : ساعتان نموذج تجريبي مجموع العالم

دولة فلسطين و ازرة التربية والتعليم العالي المبحث: تكنولوجيا المعلومات / النظري بسم هللا الرحمن الرحيم مدة االمتحان : ساعتان نموذج تجريبي مجموع العالم دولة فلسطين و ازرة التربية والتعليم العالي المبحث: تكنولوجيا المعلومات / النظري بسم هللا الرحمن الرحيم مدة االمتحان : ساعتان نموذج تجريبي مجموع العالمات )70( عالمة مالحظة: عدد األسئلة خمسة أسئلة وعلى الطالب

المزيد من المعلومات

عرض تقديمي في PowerPoint

عرض تقديمي في PowerPoint Dr./ Ahmed Mohamed Rabie Sayed 1 2 صندوق االدوات صندوق االدوات Tools Box يحتوى اظهار وإخفاء Tools Box من قائمة على االدوات Window الرئيسية الالزمة النشاء واختيار.Tools وتعديل التصميم. ويمكن 3 Move Tool

المزيد من المعلومات

ondelum

ondelum - www.svt-assilah.com I- حيود الموجة الضوي ية: 1- الانتشار المستقيمي للضوء: ينتشر الضوء في الاوساط الشفافة وفق خطوط مستقيمية وهو ما يسمى مبدأ الانتشار المستقيمي للضوء 2- ظاهرة حيود الضوء : عندما نضيء شقا

المزيد من المعلومات

لقانون العام للمساواة في المعاملة - 10 أسئلة وأجوبة

لقانون العام للمساواة في المعاملة - 10 أسئلة وأجوبة القانون العام للمساواة في المعاملة Allgemeines Gleichbehandlungsgesetz (AGG) 10 أسئلة وأجوبة Arabisch 1 ما أهداف قانون AGG يستهدف قانون AGG منع أي شكل من أشكال التمييز بسبب: األصل العرقي العمر الجنس الهوية

المزيد من المعلومات

WHAT’S NEW

WHAT’S NEW الجديد في انجز تطبيق إصدارات X.4 المحتويات المحتويات... 1 المواصفات الجديدة بالنظام... 3.1.1.1 عدد المهام التي يجب إنجازها... 3 انشاء مهمة... 3.1.2 2. تعديل تكليف المهمة... 3 تاريخ حالات المهمة... 4.2.1.2.2.3

المزيد من المعلومات

Microsoft Word - moneybookers

Microsoft Word - moneybookers الرحيم الرحمن االله بسم א א א ãããaewt{tuaçxà دليل المستخدم العربي في MONEYBOOKERS شرح بنك أوال عن البنك: :معلومات وقلربيزدنيعلما من بريطانيا. 1- البنك جنسيته المناسبة للعمل بھا. به تختار العملة -2 من 5

المزيد من المعلومات

PowerPoint Presentation

PowerPoint Presentation مشروع التسويق ولوجيستيات االعمال الزراعية المتقدمة التحليل المالي كيبف تحدد سعر التكلفة والسعر النهائي الى أي مدى يعكس السعر الجودة 50 قرش للكيلو جنيه للكيلو هل التكاليف هي المكون الوحيد للسعر 3 مالذي

المزيد من المعلومات

Slide 1

Slide 1 تصميم السيرة الذاتية كصفحات الويب د. احمد عادل اسماعيل عمادة المركز الجامعي لخدمة المجتمع و التعليم المستمر. WWW.Dr-Ahmed.Info Info@Dr-Ahmed.Info -------------- المرجع: www.support.office.com اهداف المحاضرة

المزيد من المعلومات