النسخ

1 معك حنو التخرج Syria Math Team التحليل 3 احملاضرة 11 و 12 و 13 تطلب من مكتبة ماهر للخدمات الطالبية - جانب بناء الفيزياء للتواصل : هاتف واتساب : جمموعة الفيسبوك Syria Math 3rd year:

2 دكتور املادة : حييى قطيش احملاضرة : العاشرة عنوان احملاضرة : متسلسالت التوابع احملتوى العلمي : أهال بكم أصدقائي سندرس في هذه المحاضرة : -1 متسلسالت القوى -2 طرق إيجاد منطقة التقارب متسلسالت التوابع -1 حدود متسلسلة القوى معرفة و مستمرة و قابلة لالشتقاق على مجال تقاربها -2 كل متسلسلة قوى مثل 𝑛)𝑎 𝑐𝑛 (𝑥 متقاربة من أجل المركز 𝑎 = 𝑥 -3 يمكن رد أي متسلسلة قوى مركزها 𝑎 مثل 𝑛)𝑎 𝑐𝑛 (𝑥 إلى متسلسلة قوى مركزها 𝑥 = 0 و ذلك بوضع 𝑎 𝑦 = 𝑥 سنقوم بدراسة كل ما يخص متسلسالت القوى على المتسلسالت التي مركزها الصفر و ذلك ألن حسب النتيجة األخيرة يمكن رد أي متسلسلة قوى إلى متسلسلة قوى مركزها الصفر مبرهنة : لتكن 𝑛 𝑥 𝑛𝑐 متسلسلة قوى معرفة على 𝐼 : -1 إذا كانت هذه المتسلسلة متقربة من أجل قيمة معينة 𝑥 = 𝑥0 0 فإنها تتقارب من أجل جميق قيم x التي تحقق المتراجحة 𝑥 < 𝑥0 : و التي تكافئ أن : [ 𝑥0 < 𝑥 < 𝑥0 𝑥 ] 𝑥0, 𝑥0 و من ثم ندرس المتسلسلة عند طرفي المجال و ذلك لنتبين فيما إذا كان إحدى طرفي المجال أو كالهما ينتمي إلى مجال التقارب أم ال -2 إذا كانت المتسلسلة 𝑛 𝑥 𝑛𝑐 متباعدة من أجل قيمة معينة 𝑥 = 𝑥0 0 فإنها تتباعد من أجل جميق قيم x التي تحقق المتراجحة 𝑥 > 𝑥0 : و التي تكافئ أن : [ 𝑥 > 𝑥0 𝑜𝑟 𝑥 < 𝑥0 𝑥 ], 𝑥0 [ ] 𝑥0, +

3 إذا كان ρ = 0 فإن مجال تقارب المتسلسلة 𝑛)𝑎 𝑐𝑛 (𝑥 هو ]𝑎 [𝑎, أي هي متقاربة فقط عند المركز و يمكن أن نصطلح أنه إذا كان ρ = 0 فنقول عن المتسلسلة أنها متباعدة. خالصة : ألي متسلسلة قوى 𝑛 𝑥 cn لها ثالث حاالت : -1 إذا كان مجال تقارب المتسلسلة [ ], فإن نصف قطر تقاربها 𝜌 = + -2 إذا كان مجال تقارب المتسلسلة هو 𝐼 فإن المتسلسلة تكون متقاربة فقط داخل المجال و متباعدة عند كل نقطة 𝑥 من 𝐼 𝑅 -3 إذا كانت متقاربة فقط عند المركز 𝑥 = 0 و متباعدة فيما عدا ذلك فإن ρ = 0 طرق إيجاد نصف قطر التقارب : يمكن استعمال اختبار داالمبير أو اختبار الجذر النوني كما يأتي : متسلسلة قوى بحيث أن 𝑐𝑛 0 من اجل جميع قيم 𝑛 0 لتكن 𝑥 𝑛𝑐 𝑛=0 وبفرض وجود النهاية 𝑐𝑛+1 𝑛𝑐 𝐷 = lim ومن ثم : 𝑐𝑛+1. 𝑥 𝑛+1 lim 𝐷 = 𝑥. 𝑛 𝑥 𝑐𝑛. متقاربة حسب معيار دالمبير يجب أن تكون قيمة و لناقش ما يلي : حتى تكون المتسلسلة 𝑥 𝑛𝑐 𝑛=0 النهاية السابقة أصغر من الواحد أي 𝑥. 𝐷 : و لنميز الحاالت التالية : -1 إذا 𝐷 = 0 فنجد أن 𝑥. 𝐷 = 0 𝑥 𝑅 : فتكون متقاربة و مجال تقاربها هو [ 𝑅 =], + و نصف قطر التقارب هنا ρ = + -2 إذا كان 𝐷 0 فتتقارب المتسلسلة عندما و فقط عندما 𝑥. 𝐷 < 1 و هذا يكافئ : <𝑥< 𝐷 𝐷 1 1 و بالتالي يكون مجال التقارب في هذه الحالة [ ], و نصف قطر التقارب هو 𝐷 𝐷 𝐷 = ρ -3 أما إذا كان 𝑥. 𝐷 > 1 فتكون المتسلسلة متباعدة

4 -4 في حالة D = + عندئ ذ تكون المتسلسلة متباعدة من أجل جميع قيم x R و متقاربة فقط عند المركز x = 0 خالصة : يمكن حساب نصف قطر أي متسلسلة قوى باالستفادة من معيار دالمبير من العالقة : 𝐧𝐜 𝟏 = 𝟏 𝐜𝐧+ 𝐃 𝐦𝐢𝐥 = 𝛒 𝐧 ((تحقق أن هذه العالقة تحقق الحاالت السابقة كلها )) متسلسلة قوى بحيث أن 𝑐𝑛 0 من اجل جميع قيم 𝑛 0 لتكن 𝑥 𝑛𝑐 𝑛=0 وبفرض وجود النهاية 𝑛𝑐 𝐶 = lim ومن ثم : 𝐶 𝑥 = 𝑛𝑐 lim 𝑐𝑛 𝑥 𝑛 = 𝑥 lim و نناقش نفس الحاالت السابقة و نخلص إلى أن : 𝐶 = ρ = lim 𝑛𝑐 𝑛 قبل البدء بدراسة أي متسلسلة قوى و تطبيق أي معيار يجب أن نأخذ سلسلة القيم المطلقة و نطبق عليها دراستنا ألنه و كما نعلم أن جميع المعاير السابقة تتطبق على المتسلسالت ذات الحدود الموجبة. أوجد منطقة التقارب لكل من متسلسالت القوى اآلتية : 𝑛𝑥 =. 𝑥 𝑛 𝑛=1 ) 1 𝑛+1 𝜌 = lim = lim 𝑛 = lim =1 𝑛 𝑐𝑛+1 𝑛+1 𝑛𝑐 مجال تقارب المتسلسلة [ (( ] 1,1 حسب القاعدة [𝜌 ))]𝑎 𝜌, 𝑎 + ندرس التقارب عند 𝑥 = 1 يتم الحصول على المتسلسلة المتباعدة 3

5 𝑛=1 وعندما 𝑥 = 1 يتم الحصول على المتسلسلة المتقاربة شرطيا ) ( 1 𝑛 𝑛=1 ) ( 1 متقاربة شرطيا : سبب أن المتسلسلة 𝑛=1 متباعدة. نطبق معيار ليبنتز : 𝑛) ( 1 = = 0 )1 lim 𝑛 𝑛 𝑎𝑛 𝑎𝑛+1 )2 𝑛+1 ) ( 1 متقاربة شرطيا. متناقصة ومنه متباعدة 𝑛=1 إذا فمنطقة التقارب لهذه المتسلسلة هي [ [ 1,1 وكما قلنا سابقا مغلق عند 1 ألنه متقارب شرطيا عندها. 𝑛=0 𝑛=0 𝑛𝑥 ) 2 𝑛𝑥 =.!𝑛!𝑛!) (𝑛 + 1!𝑛 (𝑛 + 1). = lim = lim (𝑛 + 1) = +!𝑛!𝑛 𝜌 = lim مجال التقارب هو ], +[= ℝ 𝑛 ( 1)𝑛 1 ) 3 𝑥. ) 𝑛(𝑛 2 𝑛=3 ) (𝑛 + 1)(𝑛 1 =1 ) 𝑛(𝑛 2 = lim 𝑛𝑐 𝑐𝑛+1 𝜌 = lim مجال التقارب هو [ ] 1,1 ندرس تقارب المتسلسلة عند طرفي المجال : عندما 𝑥 = 1 يتم الحصول على المتسلسلة 𝑛 1 ) ( 1 ) 𝑛=3 𝑛(𝑛 2 4

6 و متقاربة فهي متقاربة بإطالق ما يلي : ( 1)𝑛 1 = ) 𝑛(𝑛 2 ) 𝑛(𝑛 2 𝑛=3 ) 𝑛(𝑛 2 = 𝑛𝑏 𝑛2, = 𝑛𝑎 نطبق معيار نهاية النسبة : 𝑛𝑎 𝑛2 ) 𝑛(𝑛 2 lim = lim = 2 =1 𝑛𝑏 𝑛 𝑛 𝑛 2 𝑛2 المتسلسلتين من نوع واحد وحسب معيار نهاية النسبة وألن : 2 متقاربة. وبالتالي ) 𝑛(𝑛 2 متقاربة ومنه : ( 1)𝑛 1 ) 𝑛(𝑛 2 𝑛=3 متقاربة بإطالق عند.𝑥 = 1 عندما 𝑥 = 1 يتم الحصول على المتسلسلة 𝑛=3 𝑛=3 𝑛=3 𝑛=3 ( 1)𝑛 1 ( 1)2𝑛 1 = 𝑥 𝑐𝑛. = ). ( 1 = ) 𝑛(𝑛 2 ) 𝑛(𝑛 2 ) 𝑛(𝑛 2 وهي متقاربة وبالتالي مجال التقارب هو ] [ 1,1 𝑛) (𝑥 + 2 ) 𝑛(5𝑛 + 1 𝑛=1 5

7 مركزها 𝑎 = 2 بفرض 𝑦 = 𝑥 + 2 تأخذ هذه المتسلسلة الشكل : ) ( 𝑛𝑦 ) 𝑛 ( 5𝑛 + 1 𝑛=1 ) (𝑛 + 1)(5𝑛 𝜌 = lim = lim. 𝑛 𝑐𝑛+1 ) 𝑛 𝑛(5𝑛 + 1 𝑛𝑐 ) 𝑛 5𝑛 (5 + 𝑛+1 5𝑛 𝑛+1 5 = lim. lim = lim. lim 𝑛+1 𝑛 𝑛 𝑛 5 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 ) 𝑛 5 (1 + 5 =1 5=5 فمجال التقارب للمتسلسلة [ 𝐼 =] 5,5 ولكن عندما 𝑦 = 5 يتم الحصول من المتسلسلة (*) على المتسلسلة المتباعدة 𝑛 5 ) 𝑛(5𝑛 + 1 𝑛=1 ذلك ألنه لو طبقنا معيار نهاية النسبة كما يلي : 𝑛 5 ) 𝑛 ( 5𝑛 + 1 lim =1 فهي متباعدة وعندما y = 5 يتم الحصول من المتسلسلة (*) على المتسلسلة المتقاربة 𝑛 ( 1)𝑛 5 حسب اليبتنز ) 𝑛(5𝑛 + 1 𝑛=1 إذا فمنطقة تقارب المتسلسلة (*) هي [ [ 5,5 وهذا يعني أن المتسلسلة(*) ال تتقارب إال من أجل جميع قيم 𝑦 التي تحقق الشرط : 5 𝑦 < 5 ومنه فالمتسلسلة األصلية ال تتقارب إال من اجل قيم 𝑥 التي تحقق الشرط : 5 < 𝑥 + 2 < 5 6

8 a n lim = lim n b n n 5 n n(5 n + 1) 1 n 5 2 x < x < 3 5 < y < 5 5 < x + 2 < 5 7 < x < 3 ] أي ومنه فمنطقة تقارب المتسلسلة األصلية هي ]7,3 ] 5 n n(5 n +1) 5 n = lim n 5 n + 1 = lim n ( 1) n 5 n n(5 n +1) أو إليجاد منطقة التقارب: بعد إيجاد نصف قطر التقارب ρ نقول: مجال التقارب هو: ومنه مجال التقارب هو ]7,3 ] من أجل = 3 x نحصل على المتسلسلة متباعدة. متباعدة حسب نهاية النسبة 5 n 5 n (1 + 1 = 1 5 n ) المتسلسلتين من نوع واحد 5 n n(5 n +1) 1 n متباعدة من أجل 7 = x نحصل على المتسلسلة متقاربة حسب اليبتنز ومتسلسلة القيم المطلقة متباعدة وبالتالي هي متقاربة شرطيا ومنه فمجال التقارب هو [ 7,3[ ))بمعنى أنه يمكن دراسة حاالت الشكل على المتسلسلة األصلية أو المتسلسلة الناتجة عن تغيير المتحول(( 3) ( 1)n 1 x n n=2 n Maths_WhatsApp : Facebook_Page : IOM F.B Group : Syria Math 2 nd year 7

9 =1 𝑛𝑐 𝑐𝑛+1 ρ = lim فمجال التقارب هو [ ] 1,1 و لندرس المتسلسلة عند طرفي المجال : ( 1)𝑛 1 عندما 𝑥 = 1 نحصل على المتسلسلة و هي متقاربة شرطيا حسب اليبتنز 𝑛=2 = عندما 𝑥 = 1 نحصل على المتسلسلة 𝑛=2 2𝑛 1 ) ( 1 𝑛=2 = 𝑛 1 ) ( 1 ) ( 1 𝑛=2 و هي متباعدة فمجال التقارب هو ] 1,1]: 𝑛 𝑥 )!𝑛( ) 4 𝑛=1 =0 𝑛𝑐 𝑐𝑛+1 ρ = lim فهي متقاربة فقط عند المركز x=0 " انهتت احملارضة " لنبدأ بالمحاضرة 12 و : 13 خواص متسلسالت القوى : -1 متسلسلة القوى تكون متقاربة باطالق على أي مجال مغلق محتوى تماما في مجال تقاربها [𝜌 ] 𝜌, + -2 متسلسلة القوى 𝑛 𝑥 𝑛𝑐 تتقارب بانتظام على أي مجال مغلق محتوى تماما في مجال تقاربها [𝜌 ] 𝜌, + -3 مجموع متسلسلة القوى 𝑛 𝑥 𝑛𝑐 هو تابع مستمر على[𝜌 ( ] 𝜌, + مر معنا مثال على ذلك و هو 𝑛𝑥 𝑥 = 𝑒 و هو مستمر على مجال التقارب )R!𝑛 -4 إذا كان 𝑥 𝑛𝑏 = 𝑥 𝑛𝑐 أيا كانت x I فإن 𝑛𝑏 = 𝑛𝑐 أيا كانت n -5 يمكن مكاملة متسلسلة القوى حدا حدا على أي مجال مغلق محتوى تماما في مجال تقاربها [𝜌 ] 𝜌, + فإذا كان : 8

10 S(x) = c n x n ] F(x) = S(x)dx = ( c n x n ) dx = c n x n dx = c n n + 1 xn+1 + c (1) F(0) = c n n + 1 (0)n+1 c لنضع = 0 x ))مركز المتسلسلة(( + c F(0) = c. (2) و لحساب الثابت و حتى ال نجد صعوبة في حساب الثابت لنالحظ ما يلي : بطرح( 2 ) من (1) : F(x) F(0) = x c n n + 1 xn+1 [F(t)] t=x t=0 = c n t n dt 0 أي أننا لنتخلص من حساب الثابت نقوم بإجراء المكاملة من 0 إلى x. يمكننا اشتقاق حدود المتسلسلة حدا حدا على أي مجال مغلق محتوى تماما في مجال تقاربها ] ρ, +ρ[ c n x n ( c n x n ) ( c n x n ) = c 1 x 1 + c 2 x 2 + c 3 x 3 + = c 1 + 2c 2 x + 3c 3 x 2 + = nc n x n 1 = 2c c 3 x +. = n(n 1)c n x n 2 n= Maths_WhatsApp : Facebook_Page : IOM F.B Group : Syria Math 2 nd year 9

11 ] (k) ( c n x n ) = n(n 1)(n 2) (n k + 1)c n x n k n=k و هي صيغة المشتق من المرتبة k ألي متسلسلة قوى. S(x) = 1 + 2x + 3x 2 +. (n + 1)x n + أوجد كل من المجاميع التالية : 1 + x + x 2 + x 3 + x n + x n+1 + = 1 1 x x < x + 3x 2 +. (n + 1)x n + = x + x x x = S(x) S (x) = 1 + x 2 + x x = (x 2 ) n=0-1 الحل : نعلم أن : باشتقاق الطرفين : 1 (1 x) 2 S(x) = 1 (1 x) 2-2 لننطلق من هذا المجموع للوصول إلى الناتج : = 1 1 ( x 2 ) = 2 2 x S(x) = 2 2 t dt = 2[ln 2 t ] x 0 = 2 ln 2 x + 2ln2 0 x نكامل الطرفين : Maths_WhatsApp : Facebook_Page : IOM F.B Group : Syria Math 2 nd year 10

12 التكامالت المعتلة التكامالت المعتلة من النوع األول : لتكن الدالة)𝑥(𝑓 دالة معرفة و مستمرة على المجال [ [𝑎, و لنفرض أن )𝑥(𝑓 قابال للمكاملة على أي مجال محدود من الشكل ]𝐴 [𝑎, أي بمعنى أن التكامل 𝑥𝑑)𝑥(𝑓 𝑎 موجود من أجل أي قيمة لـ 𝐴 𝑎, يقال عن التكامل𝑥𝑑)𝑥(𝑓 + 𝑎 إنه تكامل معتل من النوع األول ويقال عن التكامل السابق إنه متقارب إذا و فقط إذا كانت النهاية : + 𝑥𝑑)𝑥(𝑓 = 𝑥𝑑)𝑥(𝑓 𝑚𝑖𝑙 = )𝐴(𝐼 𝑚𝑖𝑙 𝐴 + 𝐴 + موجودة و محدودة (أي نهاية وحيدة ال تساوي النهاية) و يقال عن قيمة هذه النهاية الموجودة و المحدودة بأنها قيمة التكامل 𝑥𝑑)𝑥(𝑓 + 𝑎 و نقول أن التابع )𝑥(𝑓قابل للمكاملة على المجال [ [𝑎, أما إذا كانت النهاية المذكورة آنفا غير موجودة أو إنها تساوي الالنهاية (غير محدودة ) فيقال أن التكامل 𝑥𝑑)𝑥(𝑓 + 𝑎 متباعد. التكامالت المعتلة من النوع األول هي التكامالت التي تأخذ أحد األشكال التالية : -1 التكامالت من الشكل 𝑥𝑑)𝑥(𝑓 𝑎 𝑚𝑖𝑙 = 𝑥𝑑)𝑥(𝑓 -2 التكامالت من الشكل -3 التكامالت من الشكل + 𝑎 𝐴 + 𝑥𝑑)𝑥(𝑓 𝐴 𝑚𝑖𝑙 = 𝑥𝑑 )𝑥(𝑓 𝐴 + 𝑥𝑑)𝑥(𝑓 𝐴 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑙𝑖𝑚 𝐴 + حيث 𝐴 𝑎 أيا كانت a,b أعداد حقيقية فإن : 𝑏 𝑥𝑑)𝑥(𝑓 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + 𝑏 يمكن رد الشكل ( )2 إلى الشكل ( )1 بإجراء التحويل 𝑡 𝑥 = + 𝑎 𝑡𝑑 )𝑡 𝑑𝑥 = 𝑑𝑡 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑓( 𝑡) 𝑑𝑡 = 𝑓( 𝑎 + 11

13 احسب قيمة التكامل : 1 + 𝑥2 + =𝐼 يمكن تقسيم هذا التكامل إلى تكاملين كما يلي : + =𝐼 + = 𝐼1 + 𝐼2 1 + 𝑥2 1 + 𝑥2 و لنحسب كل تكامل منهما على حدى : = 𝐼1 = 𝑚𝑖𝑙 1 + 𝑥 2 𝐴 1 + 𝑥 2 = ) = 𝑙𝑖𝑚 [𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑥)]0𝐴 = 𝑙𝑖𝑚 [𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(0) 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝐴)] = ( 𝐴 𝐴 بنفس األسلوب : + = 𝐼2 = 𝑚𝑖𝑙 1 + 𝑥 2 𝐴 𝑥 2 = ]) = 𝑙𝑖𝑚 [𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑥)]0𝐴 = 𝑙𝑖𝑚 [𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝐴) 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(0 𝐴 + 𝐴 + و عليه يكون : 𝜋 𝜋 𝜋= = 𝐼 = 𝐼1 + 𝐼2 = ) 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛(+ 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛( ) = فالتكامل المعطى متقارب و قيمته 𝜋. كان باإلمكان حل التكامل السابق دون تقسيمه إلى تكاملين ((حاول ذلك )) ادرس تبعا لقيم 𝜆 تقارب و تباعد التكامل المعتل اآلتي : 12

14 𝜆𝑥 𝑅𝜖𝜆 𝑎 > 0, + =𝐼 لنميز الحالتين اآلتيتين : -1 من أجل 𝜆 1 عندئ ذ : + 𝜆 𝑥 1 𝜆 [ 𝑚𝑖𝑙 = 𝑥𝑑 𝑥 𝑚𝑖𝑙 = 𝜆 = 𝐼 ) 𝜆 𝑙𝑖𝑚 (𝐴1 𝜆 𝑎1 = ] 𝐴 + 𝜆 𝐴 + 1 𝐴 + 𝜆 𝑥 𝜆 1 ={ 1 𝜆 𝜆 >1 𝜆<1-2 من أجل 𝜆 = 1 يكون : + =𝐼 𝑚𝑖𝑙 = = 𝑙𝑖𝑚 (𝑙𝑛 𝐴 𝑙𝑛𝑎) = + 𝐴 + 𝐴 + 𝑥 𝑥 و يتباعد فيما عدا ذلك 𝜆 > 1. يتقارب من أجل 𝑥𝑑 + 𝑎 مما 𝜆𝑥 سبق نجد أن التكامل ادرس تقارب التكامل : + 𝑎>0 𝑥𝑑 𝑥 𝑎 𝐼 = 𝑒 في الحقيقة إن وجود القيمة المطلقة في التابع المكامل و كون مجال المكاملة هو [ ], + فال بد أن نتخلص من القيمة المطلقة و ذلك كما يلي : لما كان : 𝑥 𝑥 0 { = 𝑥 𝑥 𝑥 < 0 يمكن تقسيم مجال المكاملة كما يلي : + + 𝐼 = 𝑒 𝑎 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒 𝑎𝑥 𝑑𝑥 + 𝑒 𝑎𝑥 𝑑𝑥 = 𝐼1 + 𝐼2 و لنحسب كل منهما على حدى أيضا : 13

15 = ] 𝐴𝑎 𝑒 𝑙𝑖𝑚 [𝑒 𝑎𝑥 ]0𝐴 = [1 𝑎 𝐴 = 𝐴 𝑙𝑖𝑚 [𝑒 𝑎𝑥 ]0𝐴 == 𝑙𝑖𝑚 [𝑒 𝑎𝐴 1]0 𝑎 𝐴 + 𝑎 𝐴 + = 𝑥𝑑 𝑥𝑎 𝑒 𝑚𝑖𝑙 = 𝑥𝑑 𝑥𝑎 𝑒 = 𝐼1 𝐴 + 𝐼2 = 𝑒 𝑎𝑥 𝑑𝑥 = 𝑙𝑖𝑚 𝑒 𝑎𝑥 𝑑𝑥 = 𝐴 + وبالتالي : = 𝐼 = 𝐼1 + 𝐼2 فالتكامل المعطى متقارب و قيمته. + 𝑥𝑑 𝑥 𝑛𝑖𝑠 =𝐼 𝐴 = lim 𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑑𝑥 = lim [ cos 𝑥]0 𝐴 + 𝐴 + 0 غير موجود = ] = lim [ cos 𝐴 + cos 0 𝐴 + فالتكامل متباعد. 𝑛𝐴 𝑥𝑑 )𝑥(𝑓 𝐴 𝑎 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑎 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 + 𝐴 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 + + 𝑛 1 )1 ليكن )𝑥(𝑓 تابع معرف على [ [𝑎, + حيث 𝑎 > 0 يكون التكامل 𝑥𝑑 )𝑥(𝑓 + 𝑎 متقاربا إذا وفقط إذا كان التكامل 𝑥𝑑 )𝑥(𝑓 𝑎 محدودا على ]𝐴 [𝑎, أي عندما وفقط عندما يوجد عدد ثابت موجب مثل L بحيث يكون : 𝑎>𝐴 𝐿 < 𝑥𝑑)𝑥(𝑓 )2 معيار المقارنة : لتكن التكامالت 𝑥𝑑 )𝑥(𝑓 𝑎 𝑥𝑑)𝑥(𝑔 𝑎 موجودة مهما كانت 𝑎 > 𝐴 ويحققان 𝐴 < 𝑎 و 𝑥 < 𝑎 14

16 )𝑥(𝑔 0 𝑓(𝑥) < 𝑐. حيث 𝑐 عدد موجب عندئ ذ : + )1 إذا كان التكامل 𝑥𝑑)𝑥(𝑔 𝑎 متقاربا فإن التكامل 𝑥𝑑)𝑥(𝑓 + 𝑎 متباعد فإن التكامل 𝑥𝑑)𝑥(𝑔 + )2 إذا كان التكامل 𝑥𝑑)𝑥(𝑓 + 𝑎 متقارب. 𝑎 متباعد. أدرس التقارب 𝑥 2 + sin أيا كان 𝐴 من [ [, + فإن التكاملين 3 𝑥𝑑 𝐴 𝜋 و 𝑥𝑑 + =𝐼 𝑥 𝐴 2+sin 𝜋 موجودان ومتسمران على ]𝐴 [, عندما 𝑥 وكذلك فإن 𝑥 2+sin ألن أكبر قيمة لـ 𝑥 sin هي ) (1 وبالتالي 3 = 2+1 𝑥 2+sin = 𝜋] 𝑑𝑥 = 3 [ 𝑥 متقارب + 3 إذا حسب معيار المقارنة التكامل متقارب 𝑥 2 + sin 6 + مثال : ادرس تقارب التكامل : 𝑅 𝑡 𝑥𝑑 𝑡 𝑥 𝑥 𝐼 = 𝑒 نأخذ [ 𝑏 [1, نجد أن التكاملين : 𝑏 𝑥𝑑 𝑡 𝑥 𝑥 & 1 𝑒 𝑥𝑑 𝑏 1 فحسب معيار نهاية النسبة : 𝑡 𝑥 𝑥 𝑒 𝑥 𝑡+2 lim = lim 𝑥 = 0 𝑥 𝑒 𝑥 𝑥 و بما أن 𝑥𝑑 𝑏 1 متقارب, فإن التكامل المطلوب متقارب حسب معيار نهاية النسبة 15

17 + مبرهنة : 4 معيار كوشي : الشرط الالزم و الكافي لكي يكون التكامل 𝑥𝑑)𝑥(𝑓 𝑎 متقاربا هو أن يوجد لكل ε > 0 عدد موجب (𝐴0 𝑎) A0 بحيث أيا كانت A, A يحققان A 𝐴 𝐴0 فإن : 𝐴 𝐴 𝜀 < 𝑥𝑑)𝑥(𝑓 = 𝑥𝑑)𝑥(𝑓 Φ(A ) Φ(𝐴) = 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 حيث 𝑥𝑑)𝑥(𝑓 𝑎 = ) Φ(A اإلثبات : بفرض 𝑥𝑑)𝑥(𝑓 𝑎 متقارب, أي أن )( lim Φ(𝐴) = Φ موجودة و محدودة 𝐴 و بالتالي يكون لكل 𝜀 > 0 يوجد عدد حقيقي ) A0 𝑎 ( 𝐴0 بحيث يكون 𝜀 < )𝐴( Φ(𝐴 ) Φ ألجل كل A A A0 𝜀 و بالعكس ألجل كل ε > 0 يوجد ) 𝐴0 max(𝑎, 0 بحيث يكون < )𝐴( Φ(A ) Φ عندما A A A0 نثبت A و نجعل A تسعى إلى الالنهاية : 𝜀 𝜀< < 𝑥𝑑)𝑥(𝑓 = 𝑥𝑑)𝑥(𝑓 Φ() Φ(𝐴) = 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 معيار آبل لدراسة تقارب تكامل معتل : + لتكن )𝑥(𝑔 𝑓(𝑥), تابعان معرفان على المجال [, [𝑎, + يكون التكامل 𝑥𝑑)𝑥(𝑔)𝑥(𝑓 𝑎 متقاربا إذا تحقق ما يلي : -1 التكامل 𝑥𝑑)𝑥(𝑓 + متقاربا -2 التابع ) g(x مطرد و محدود أي 𝑔(𝑥) < 𝐿 𝐿 > 0 : حيث 𝑥 𝑎 معيار ديركليه لدراسة تقارب تكامل معتل : لتكن )𝑥(𝑔 𝑓(𝑥), تابعان معرفان على المجال [, [𝑎, + يكون التكامل 𝑥𝑑)𝑥(𝑔)𝑥(𝑓 + 𝑎 متقاربا إذا تحقق ما يلي : -1 التابع )𝑥(𝑓 قابل للمكاملة على كل مجال من الشكل ]𝐴 [𝑎, حيث A>a -2 التابع ) g(x مطرد و يحقق أن lim 𝑔(𝑥) = 0 : 𝑥 مثال : ادرس التكامل : 16

18 𝑥𝑛𝑖𝑠 𝜆𝑥 𝜆>0 =𝐼 نستخدم معيار ديركليه حيث يكتب التكامل المعطى بالشكل : 𝜆 𝑥 𝑥𝑛𝑖𝑆 = 𝐼 )𝑥(𝑓 )𝑥(𝑔 نالحظ أن : 𝐴𝑎]𝑥𝑠𝑜𝑐 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑑𝑥 = [ 1+1=2 𝐴𝑠𝑜𝑐 𝑐𝑜𝑠𝑎 + 𝑐𝑜𝑠𝜃 1 𝐴𝑠𝑜𝑐 = 𝑐𝑜𝑠𝑎 𝑦 𝑥 𝑦 𝑥 + و بالتالي فإن التابع 𝑥𝑛𝑖𝑠 = )𝑥(𝑓 قابل للمكاملة على هذا المجال, من جهة أخرى فإن التابع 𝜆𝑥 = )𝑥(𝑔 متناقص و يحقق أن lim 𝑔(𝑥) = 0 بالتالي و حسب معيار ديركليه يكون التكامل 𝑥 𝑥𝑛𝑖𝑠 𝜆𝑥 𝜆>0 =𝐼 متقاربا. (( بنفس األسلوب تتم دراسة التكامل 𝑥𝑠𝑜𝑐 ((𝐼 = 1 𝜆 𝑑𝑥 𝜆 > 0 𝑥 1 𝑥𝑑 𝐼1 = 𝑥. 𝑒 𝑥. 1 𝑥𝑑 = lim 𝑥. 𝑒 𝑥. 𝑎 𝑎 1 1 𝑥𝑑 = lim 2𝑥. 𝑒 𝑥. 𝑎 𝑎 2 17

19 ] = lim [𝑒 𝑥 ]𝑎 2 𝑎 1 2 lim [𝑒 1 𝑒 𝑎 ] 2 𝑎 1 1 = [𝑒 1 ] = 2 2𝑒 = هذا يعطي. أن التكامل متقارب 𝐼2 = 1 𝑑𝑥 𝑥 𝑏 = lim 𝑏 1 𝑑𝑥 𝑥 = lim [ln 𝑥 ]1𝑏 𝑏 = lim [ln 𝑏 ln 1] 𝑏 = +. فالتكامل متباعد 𝐼3 = 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 0 𝑏 = lim 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 𝑏 0 = lim [𝑠𝑖𝑛𝑥]𝑏0 𝑏 = lim [𝑠𝑖𝑛𝑏 𝑠𝑖𝑛0] 𝑏 = lim (sin 𝑏) = غير معي ن 𝑏 Maths_WhatsApp : Facebook_Page : IOM F.B Group : Syria Math 2nd year

20 وبالتالي فالتكامل متباعد 𝑥 𝑥2 + = 𝐼4 + 𝑥 2 𝑥 2 𝑥 2 = 𝑥2 1 + 𝑥2 𝑥 1 + نأخذ التكامل 𝑥𝑑 + 𝑥 من الطرف األيمن : 1+𝑥 2 𝑥 2 𝑥 2 = lim 𝐴 𝑑𝑥 = lim [ln 1 + 𝑥 2 ]0 𝑥 𝐴 𝐴 + 𝑥 1+ + ] = lim [ln(1 + 𝐴2 ) ln 1 𝐴 = lim [ln(1 + 𝐴2 )] = + 𝐴 + إذا التكامل 𝑥𝑑 𝑥 𝑥 2 0 متباعد وبالتالي التكامل 𝑥𝑑 𝑥 𝑥 2 متباعد. )3 معيار نهاية النسبة : ليكن لدينا التكاملين 𝑥𝑑 )𝑥(𝑓 𝑎 و 𝑥𝑑 )𝑥(𝑔 𝑎 موجودين من أجل جميع قيم 𝐴 حيث 𝑎 > 𝐴 ولدينا شرط : 𝑓(𝑥) 0 و 𝑔(𝑥) 0 عندما 𝑎 𝑥 وبفرض أن : عندئ ذ : )1 إذا كان 𝑐 > 0 فإن التكاملين من نوع واحد أي متقاربين معا أو متباعدين معا )2 إذا كان 𝑐 = 0 فإن تقارب 𝑥𝑑 )𝑥(𝑔 𝑎 يقتضي تقارب 𝑥𝑑 )𝑥(𝑓 𝑎 مثال إضافي : + 𝑥 1 + 𝑥 2 نطبق معيار نهاية النسبة حيث نختار التكامل : 𝑥𝑑 + 1 فنجد أن : 19

21 )𝑥(𝑓 𝑚𝑖𝑙 = = 𝑙𝑖𝑚 𝑥 1 +2𝑥 = 1 > 0 )𝑥(𝑔 𝑥 𝑥 𝑥 1/ فالتكامالن + & + 𝑥 1 + 𝑥 2 𝑥𝑑 + 1 متقاربا فإن التكامل المعطى سيكون متقارب. من نفس النوع ولما كان 𝑥 تمرين : 3 𝑥𝑑 𝑥 𝑥2 أيضا يمكن تطبيق معيار نهاية النسبة حيث نختار التكامل 𝑥𝑑 =𝐼 و نحسب النهاية : 3 + 𝑥 lim = lim =1>0 𝑥 𝑥 1 + 𝑥 2 3 و + 1 𝑥𝑑 + 𝑥 2 فالتكامالن 1 1 𝑑𝑥, 1 1+𝑥 2 من نفس النوع و لكون 𝑥𝑑 1 متباعد فإن التكامل المعطى يكون متباعد. انتهت المحاضرة نذير تيناوي - رنا شوربة 20