8 جمهورية العراق وزارة التربية المديرية العامة للمناهج الجزء االول سلسلة كتب الرياضيات للمرحلة المتوسطة الرياضيات للصف الثاني المتوسط المؤلفون د. أمير

النسخ

1 جمهورية العراق وزارة التربية المديرية العامة للمناهج الجزء االول سلسلة كتب الرياضيات للمرحلة المتوسطة الرياضيات للصف الثاني المتوسط المؤلفون د. أمير عبد المجيد جاسم د. طارق شعبان رجب حسين صادق كاظم د. أحمد مولود عبد الهادي د. تغريد حر مجيد مروة فليح حسن شاكر حمود معيوف 9 ه / 0 م الطبعة الثانية

2 بنيت و صممت ) سل سلة كتب الريا ضيات للمرحلة المتو سطة( على أايدي فريق من المتخ ص صين في وزارة التربية/المديرية العامة للمناهج وبم شاركة متخ ص صين من اأ ستاذة الجامعات في وزارة التعليم العالي والبحث العلمي على وفق المعايير العالمية لتحقق اأهداف بناء المنهج الحديث المتمثلة في جعل الطالب: متعلمين ناجحين مدى الحياة. افرادا واثقين باأنف سهم. مواطنين عراقيين ي شعرون بالفخر. الم شرف العلمي على الطبع زينة عبد االمير ح سين الخبير اللغوي د.فاطمة ناظم مط شر الم شرف الفني على الطبع محمد سعدي عزيز م صمم الكتاب هبة صالح مهدي ت صميم الغالف والر سوم ساره خليل إابراهيم استنادا الى القانون يوزع مجانا ويمنع بيعه وتداوله في االسواق

3 ت ع د مادة الرياضيات م ن المواد الدراسية األساسية التي ت ساعد الطالب على اكتساب الكفايات التعليمية الالزمة له لت نمية ق دراته على التفكير و حل المشكالت ويساعده على التعامل مع المواقف الحياتية المختلفة. المقدمة و من م نط لق االهتمام الذي ت وليه وزارة التربية متمثلة بالمديرية العامة للمناهج لتطوير المناهج بصورة عامة والسيما مناهج الرياضيات لكي تواكب التطورات العلمية والتكنولوجية في مجاالت الحياة المختلفة ف ق د وض عت خطة لتأليف سلسلة ك تب الرياضيات للمراحل الدراسية الثالث وأ نجز ت منها كتب المرحلة االبتدائية و ب دأ العمل على استكمال السلسلة بتأليف كتب المرحلة المتوسطة. إن سلسلة كتب الرياضيات العراقية الجديدة ومن ضمن اإلطار العام للمناهج ت عزز القيم االساسية التي تتمثل بااللتزام بالهوية العراقية والتسامح واحترام الرأي والرأي اآلخر والعدالة االجتماعية وتوفير فرص متكافئة للتميز واإلبداع كما تعمل على تعزيز كفايات التفكير والتعلم والكفايات الشخصية واالجتماعية وكفايات المواطنة والعمل. ب ني ت سلسلة كتب الرياضيات العراقية على محورية الطالب في عمليتي الت عليم والت ع ل م و ع دة المحور الرئيس في العملية التربوية على وفق المعايير العالمية. ت ميز ت سلسلة كتب الرياضيات العراقية للمرحلة المتوسطة في تنظيم الدروس على ست فقرات : ت ع ل م ت أكد من ف هم ك ت در ب و ح ل التمرينات ت در ب وح ل مسائل حياتية ف ك ر ا كتب. يأتي كتاب الرياضيات للصف الثاني المتوسط مشتمال على أربعة محاور أساسية: محور األعداد والعمليات ومحور الجبر ومحور الهندسة والقياس ومحور اإلحصاء واالحتماالت من ض من األوزان النسبية لكل محور و ت ض م ن الكتاب جزأين: الجزء األول وهو مخصص للفصل الدراسي األول ويحتوي على أربعة فصول لكل فصل تمريناته أما الجزء الثاني فهو م خصص للفصل الدراسي الثاني ويحتوي على ثالثة فصول ولكل فصل تمريناته. ت ت ميز هذه الكتب بأنها تعرض المادة بأساليب حديثة ت ت وفر فيها عناصر الجذب والتشويق التي ت ساعد الطالب على التفاعل معها عن طريق ما ت قد مه من تدريبات وتمرينات ومسائل حياتية فضال عن ذلك و ضعت تمرينات الفصول في نهاية الكتاب وهي ت خ تلف عن التدريبات والتمرينات في الدروس وذلك لكونها موضوعية فاإلجابة عنها تكون عن طريق اختيار من متعدد وهذا بدوره يهي ئ الطالب للمشاركة في المسابقات الدولية. يمثل هذا الكتاب امتدادا لسلسلة ك تب الرياضيات المطورة للمرحلة االبتدائية ودعامة من دعائم المنهج المطور في الرياضيات إلى جانب دليل المدرس وعليه نأمل أن ي س ه م ت نفيذ ها في اكتساب الطالب المهارات العلمية والعملية و تنمية ميولهم لدراسة الرياضيات. اللهم وفقنا لخدمة عراق نا العزيز وأبنائ ه... المؤلفون

4 الف صل األعداد النسبية The Rational Numbers الدرس الدرس الدرس الدرس الدرس الدرس ترتيب العمليات على االعداد النسبية. القوى )األسس( السالبة والصورة العلمية للعدد. خصائص القوى )األسس(. الكسور الدورية والصورة العلمية للعدد )استعمال الحاسبة (. تبسيط الجمل العددية الكسرية. خطة حل المسألة )تحديد معقولية اإلجابة(. ]-[ ]-[ ]-[ ]-[ ]-[ ]-[ الح وت األز ر ق أو الم ن ار ة )االسم العلمي: )Balaenoptera musculus هو حيوان ثديي بحري ينتمي إلى تحت رتبة الحيتان البالينية وبسبب طوله البالغ 0 مترا ووزنه البالغ 0 طنا أو أكثر فإنه ي عد أكبر الحيوانات المعروفة على اإلطالق كان أكبر تجمع للحيتان الزرق قبل عمليات صيد الحيتان في المنطقة القطبية الجنوبية إذ بلغ عددها قرابة 0.9 حوت. هل تستطيع كتابة عدد الحيتان بالصورة الرقمية 9

5 Pretest عبر عن االعداد التالية بصيغة كسر اعتيادي : االختبار القبلي 9 =. = 0.9 =.=.= قارن بين االعداد النسبية مستعمال الرموز ( > < = ) : 0 رت ب األعداد النسبية التالية من األصغر الى األكبر : 9,, 0,, رت ب األعداد النسبية التالية من األكبر الى األصغر :, 9, 0, 0, جد ناتج ما يأتي : = =... (-.) + (-.) =... (.) (-) =... (. ) + (-.9) = =... جد النسبة المئوية التقديرية لكل مما يأتي: أكمل الجدول التالي مبينا نوع التناسب : 0 A B C قد ر الجذور اآلتية: 0

6 ترتيب العمليات على االعداد النسبية Ordering Operations on Rational Numbers ت ع ل م الدرس ]-[ فكرة الدرس استعمال ترتيب العمليات على االعداد النسبية لتبسيط جملة عددية. المفردات ترتيب العمليات. جملة عددية. يتدرب أوس وأيمن على رياضة التنس إذ يتدرب أوس يومين في األسبوع بواقع الساعة الساعة في اليوم األول و في اليوم الثاني ويتدرب أيمن يوما الساعة. كم واحدا في األسبوع بواقع تزيد المدة التي يتدربها أوس عن المدة التي يتدربها أيمن خالل األسبوع ]--[ تبسيط جملة عددية تحتوي على جمع وطرح أو ضرب وقسمة اعداد نسبية Simplifies Numerical Sentences Contains Addition and Subtraction or Multiplication and Division Rational Numbers تعلمت سابقا كيفية ايجاد ناتج جمع أوطرح أعداد نسبية وكذلك ضرب أوقسمة عددين نسبيين واآلن سوف تتعلم كيفية تبسيط جملة عددية تحتوي على عمليتين )جمع وطرح ) أو )ضرب وقسمة( ألعداد نسبية. مثال )( كم تزيد المدة التي يتدربها أوس عن المدة التي يتدربها أيمن خالل األسبوع + - = + - = 9 - = 9 - = نكتب الجملة العددية التي تمثل المسألة : نجري عملية الجمع اوال نجري عملية الطرح ثانيا يتدرب اوس مدة الساعة في االسبوع زيادة على ما يتدرب أيمن. استعمل جمع وطرح األعداد النسبية لتكتب كل مقدار بأبسط صورة : i) = - + = - + ii) + - = + - = + - = = iii) =. +.9 =. iv) =. -.0 = -. = = 9 مثال )( v) = = = 0.

7 استعمل ضرب وقسمة األعداد النسبية لتكتب كل مقدار بأبسط صورة: i) - = - = - = - = - 9 ii) = = - - = 9 iii).. (-.) =. (-.) = -. مثال )( iv) (- 0.0) =. (- 0.0) = - 0. ]--[ استعمال ترتيب العمليات لتبسيط جملة عددية تحتوي على اعداد نسبية Using Ordering Operations to Simplifies Numerical Sentences Contains Rational Numbers تعرفت سابقا إلى استعمال ترتيب العمليات على االعداد الصحيحة لتبسيط جمل عددية واالن سوف تتعرف إلى استعمال ترتيب العمليات لتبسيط جمل عددية تحتوي على اعداد نسبية وباتباع الخطوات اآلتية : ( ضع العمليات التي لها اولوية بين األقواس. ( أبدأ بالعمليات بين االقواس. ( اضرب وقسم من اليسار الى اليمين. ( اجمع وأطرح من اليسار الى اليمين. مثال )( استعمل ترتيب العمليات على األعداد النسبية لتكتب كل مقدار بأبسط صورة : i) = (- - ) + ( ) = + = + ii) = ( - ) - ( 9 - ) = = = -+ 9 iii) - + = ( ) - + = ( ) - + = - + = - = 9 iv) - - = - ( - ) = - ( - ) = + = 9 v) = (.0.) + (. 0.) =. +.9 =. vi) = (. 0.) - (. 0.) = - = - vii) = (0.09 ) + (. 0.) =. + 9 = 0.

8 9 استعمل جمع وطرح األعداد النسبية لتكتب كل مقدار بأبسط صورة : - + = = = = =... (- ) 9 =..... (-0. ) =... تأك د من فهم ك استعمل ترتيب العمليات على األعداد النسبية لتكتب كل مقدار بأبسط صورة : = األسئلة -( )... = = مشابهة للمثال )(... = = =... استعمل ضرب وقسمة األعداد النسبية لتكتب كل مقدار بأبسط صورة : -9 - = (- 0.0) = =... األسئلة ( - ) مشابهة للمثال )( األسئلة 0( - ) مشابهة للمثال )( تدرب وحل التمرينات استعمل جمع وطرح األعداد النسبية لتكتب كل مقدار بأبسط صورة : = = = = = =... استعمل ضرب وقسمة األعداد النسبية لتكتب كل مقدار بأبسط صورة : (- ) = = (-0. 0) = (-.00) =... استعمل ترتيب العمليات على األعداد النسبية لتكتب كل مقدار بأبسط صورة : = = = = = =...

9 تدرب وحل مسائل حياتية ف ك ر كرة قدم: بطولة كأس العالم لكرة القدم هي أهم مسابقة كرة قدم دولية يقيمها االتحاد الدولي لكرة القدم )الفيفا(. أقيمت البطولة ألول مرة عام 90 م وتقام كل سنوات حتى االن أقيمت البطولة 0 مرة وفاز المنتخب البرازيلي بالكأس مرات والمنتخب اإليطالي فاز مرات. ما الفرق بين نسبتي فوز الفريقين الى العدد الكلي لتنظيم البطولة رياضة الجري: قطع العداء الذي فاز بالمرتبة األولى في سباق الجري 000m الدورة الواحدة )00m( بمدة.sec وقطع العداء الذي فاز بالمرتبة الثانية الدورة الواحدة بمدة..sec فما الفرق بين الوقت الكلي لقطع مسافة السباق للعدائين طقس : كانت درجة الحرارة في منطقة القطب الشمالي - درجة سليزية وبدأت درجة الحرارة باالرتفاع التدريجي في الساعة 0 صباحا حتى الساعة بعد الظهر بمعدل 0. درجة سليزية بالساعة ثم عاودت باالنخفاض بمعدل. درجة سليزية بالساعة. كم اصبحت درجة الحرارة عند الساعة عصرا تحد : استعمل ترتيب العمليات على األعداد النسبية لتكتب كل مقدار بأبسط صورة: أصح ح الخطأ: بسط جمال الجملة العددية وكتبها بأبسط صورة : حدد خطأ جمال وص ححه. i) (- + 0 ) = = ii) ( 9 - ) - =... حس عددي : ما العدد الذي يجب كتابته في المربع لتكون الجملة العددية التالية صحيحة : i) - + = 0 ii) - = 0 ا كتب المقدار بأبسط صورة باستعمال ترتيب العمليات : =... 9

10 الدرس ]-[ القوى )األ سس( السالبة والصورة العلمية للعدد Scientific Notation and Negative Powers (Exponents)of Number Negative Powers of Numbers فكرة الدرس كيفية حساب مقادير تتضمن أسسسا سالبة. والتعبير عن عدد بالصورة العلمية. المفردات األس )القوة(. الصورة العلمية. الصورة الرقمية. ]--[ القوى السالبة للعدد ت ع ل م الباندا العمالقة أو الدب الصيني حيوان ضخم من عائلة الدب موطنه األصلي في الصين تشتهر بلونها االسود واالبيض وفروها السميك الذي يحميها من البرد.يأكل الباندا ما يعادل - 0 من وزنه يوميا. ما عدد الكيلوغرامات التي يأكلها دب الباندا الذي يزن 0kg تعلمت سابقا كيفية كتابة العدد بالقوى )األسس( الموجبة = 0 = 00 0 = وباألسلوب نفسه سوف تتعرف إلى كتابة العدد بالقوى )األ سس( السالبة : 0 - = 0, 0 - = = 0 00, 0 - = = 0 000,... مع مالحظة: أي عدد )عدا الصفر( لألس 0 يساوي العدد ألي أس موجب أو سالب يساوي العدد )-( ألي أس زوجي يساوي وألي أس فردي يساوي -. 0 =, (-) 0 =, =, - =, (-) =, (-) - =, (-) = -, (-) - = = = kg مثال )( جد عدد الكيلوغرامات التي يأكلها دب الباندا يوميا. يأكل الباندا ع ش ر وزنه يوميا لذا يأكل الباندا kg يوميا احسب األ سس السالبة لكل مما يأتي: مثال )( i) - = = 9 ii) - = = iii) - = = iv) - - = -( ) = - = - v) (-) - = ( - ) = = - استعمل ترتيب العمليات لتحسب كال مما يأتي : vi) + - -(-) - = + - ( (-) ) = + - vii) - -(-) = - - = - - = + - = 9 0 = -

11 ]--[ الصورة العلمية للعدد Scientific Notation of Number تعلمت سابقا كيفية كتابة االعداد الكبيرة بالصورة العلمية كعدد صحيح مضروب في احدى القوى الموجبة للعشرة 0 = واالن سوف نستعمل الصورة العلمية للعدد لكتابة االعداد التي قيمتها المطلقة كبيرة جدا أو صغيرة جدا. ولكتابة االعداد العشرية من الصورة العلمية للصورة الرقمية نالحظ اآلتي : ( إذا ضرب العدد في إحدى القوى الموجبة للعدد 0 فأن الفارزة العشرية تتحرك الى اليمين. ( إذا ضرب العدد في إحدى القوى السالبة للعدد 0 فأن الفارزة العشرية تتحرك الى اليسار. ( عدد المراتب التي تتحرك بها الفارزة العشرية هي القيمة المطلقة لألس. i). 0 = 00 ii). 0 = 000 iii) = 0.09 vi). 0 - = 0.00 مثال )( اكتب األعداد التالية بالصورة الرقمية : الفارزة العشرية تتحر ك ثالث مراتب الى اليمين الفارزة العشرية تتحر ك خمس مراتب الى اليمين الفارزة العشرية تتحر ك مرتبتين الى اليسار الفارزة العشرية تتحر ك اربع مراتب الى اليسار لتحويل االعداد العشرية من الصورة الرقمية إلى الصورة العلمية نالحظ اآلتي: ( حرك الفارزة العشرية ليكون موقعها على يمين اول مرتبة غير صفرية من اليسار. ( عد المراتب التي حركت بها الفارزة العشرية. ( جد قوة العدد عشرة فإذا كانت القيمة المطلقة للعدد األصلي بين الصفر و الواحد فإن األس يكون سالبا وإذا كان العدد أكبر من واحد فإن األس يكون موجبا. مثال )( اكتب األعداد التالية بالصورة العلمية: i) 00 = الفارزة العشرية تحر ك ت أربع مراتب الى اليسار =. 0 بما أن 00 اكبر من لذا فإن األس موجب ii) 0000 = الفارزة العشرية تحر ك ت خمس مراتب الى اليسار =.0 0 بما أن 0000 اكبر من لذا فإن األس موجب iii) 0.00 = الفارزة العشرية تحر ك ت ثالث مراتب الى اليمين بما أن 0.00 اكبر من 0 واصغر من لذا فإن األس سالب - 0. = iv) = الفارزة العشرية تحر ك ت اربع مراتب الى اليمين بما أن اكبر من 0 واصغر من لذا فإن األس سالب - 0. =

12 - =... - =... - = =... (-) - =... )-) - =... (-) - = =... )-9) 0 =... 9 ت أك د من فهم ك احسب األسس السالبة لكل مما يأتي : استعمل ترتيب العمليات لتحسب كال مما يأتي :... = - -(-) = (-) - األسئلة ( - )0... = - -(-) = - - -(-) 0 () مشابه الى المثال )( 0 األسئلة 9( - ) مشابه للمثال )( 0. 0 = = = =... اكتب األعداد التالية بالصورة الرقمية : األسئلة ( - ) مشابه الى المثال )( اكتب األعداد التالية بالصورة العلمية : 00 = =... األسئلة ( - ) مشابه الى المثال )(... = = 0.00 تدرب وحل التمرينات احسب األسس السالبة لكل مما يأتي : 0 - =... - =... - = =... (-) - =... (-) - =... )-) 0 = =... استعمل ترتيب العمليات لتحسب كال مما يأتي: (-) - - =... (-) - - (-) = (-) - - =... ))0 - (-) =... اكتب األعداد التالية بالصورة الرقمية :. 0 = = = = = =... اكتب األعداد التالية بالصورة العلمية : 0 00 = = = = = =...

13 تدرب وحل مسائل حياتية العنكبوت : العناكب فأنها تغزل خيط الحرير وهذا الخيط له وظائف وحسب االستعمال و تصنع اقراصا مخاطية الصقة attachment discs التي تعمل بوضعها أوتادا صلبه جدا تساعد على لصق الشبكة العنكبوتية في اماكن واسطح مختلفة ويبلغ قطر خيط الحرير 0 - mm. اكتب قطر خيط الحرير بالصورة الرقمية. حيتان : تقطع الحيتان مسافة km في كل رحلة تهاجر فيها ولكن الحوت الرمادي يقطع مسافة km زيادة عن الحيتان االخرى في كل رحلة. اكتب المسافة بالصورة الرقمية التي يقطعها الحوت الرمادي في كل رحلة. فضاء : ك وك ب األ رض ه و ث الث ك واك ب الم جموع ة الش مسي ة التي ي عد ج زء ا م ن م ج ر ة درب التب انة و ي ت خذ األ رض ش كال إ هليليجي ا وي عد ح جمه ص غير ا جد ا ع ند م قار ن ته ب ح جم الش مس المسافة التقريبية بين االرض والشمس m اكتب المسافة بالصورة العلمية. ف ك ر i) 0 - =... ii) تحد : اكتب األعداد التالية بالصورة الرقمية : 0 - =... iii) =... 9 أ صح ح الخطأ : استعملت سماح ترتيب العمليات على االعداد النسبية وكتبت االتي : حدد خطأ سماح وصححه. = (-) - - (-) 0 حس عددي : هل أن العدد يقع بين العددين وضح اجابتك =... ا كتب ناتج جمع العددين بالصورة العلمية :

14 Properties of Powers (Exponents) الدرس ]-[ خصائص القوى )األ سس( Product of two Powers with the same Base فكرة الدرس ضرب قوتين لهما األساس نفسه. قسمة قوتين لهما األساس نفسه. رفع قوة الى قوة. المفردات االساس. األس. تعلم ]--[ ضرب قوتين لهما نفس األساس األسد حيوان من الثدييات من فصيلة السنوريات وأحد السنوريات األربعة الكبيرة المنتمية إلى جنس النمر Panthera إذا كان األسد البالغ يحتاج الى kg من اللحم في الوجبة الواحدة فكم كيلوغرام يحتاج أسد في الوجبة الواحدة تعرفت سابقا إلى القوى الموجبة والسالبة للعدد واآلن سوف تتعرف إلى قوانين األسس: ) ضرب قوتين لهما األساس نفسه a n a m = a n+m إذ أن. a Q, n, m Z أي عند ضرب قوتين لهما األساس نفسه الناتج يكون األساس نفسه مرفوعا الى حاصل جمع األسين. مثال )( جد عدد الكيلوغرامات التي يحتاج إليها أسدا في الوجبة الواحدة. = + = ضع األساس نفسه وأجمع األسس لذا يحتاج اسدا الى كيلوغراما من اللحم. مثال )( بسط واكتب ناتج الضرب بوصفه قوة واحدة: i) = + = ii) 9 - = 9 - = iii) - - = - - = - iv) - = - = - v) - - = - - = -9 vi) ( )- ( )- ( ) = ( )- - + = ( )0 = vii) - = ( ) - = - = + - = - viii) - ( ) = ( ) ( ) = ( )+ = ( ) = -

15 Divide Two Powers with the same Base ]--[ قسمة قوتين لهما األساس نفسه. a Q, n, m Z إذ أن an ( قسمة قوة على قوة لهما األساس نفسه : n-m a m = a أي عند قسمة قوة على قوة لهما األساس نفسه الناتج يكون األساس نفسه مرفوع الى حاصل طرح أس المقام من أس البسط. مثال )( بسط واكتب ناتج القسمة بوصفها قوة واحدة : i) = - = ii) - = --(-9) = = -9 iii) - = - = - - = - iv) = = - - = - vi) ( ) ( = - = - + = vi) (-) 0 (-) = - 0 (- ) - ) = = - Raise a Power to a Power ]--[ رفع قوة الى قوة ) رفع قوة الى قوة ثانية لألساس نفسه : nm )a n ) m = a إذ أن a = 0, a Q, n, m Z عند رفع قوة الى قوة ثانية لألساس نفسه يكون الناتج األساس نفسه مرفوعا الى حاصل ضرب األس األول باألس الثاني. مثال )( بسط واكتب الناتج بوصفه قوة واحدة: i) ( ) = = ii) (9 - ) = 9 - = 9-0 iii) (0 0 - ) - = (0 - ) - iv) () = ( 9) = ( ) = = 0 0 = ( ) ( ) = vi) (-) (-9) - (- ) = (-) (- ) - (- ) = (- + ) ( ) - (- ) = (- ) = = = - - =

16 ت أك د من فهمك بسط واكتب ناتج الضرب بوصفه قوة واحدة: = = =... - =... األسئلة )-( مشابهة للمثال )( - (-) =... ( )- ( ) ( ) - =... = ( 9 ) =... بسط واكتب ناتج القسمة بوصفه قوة واحدة: 9 =... - ( ) =... ( ) - =... = =... ( ) ( =... ) ( - ) =... (-) (- ) = =... (-) - (-) 0 9 =... (0-0 ) - =... (-) (- ) - =... األسئلة )9-( مشابهة للمثال )( بسط واكتب الناتج بوصفه قوة واحدة: األسئلة -0( ) مشابه للمثال )( تدرب وحل التمرينات بسط واكتب ناتج الضرب بوصفه قوة واحدة: - = =... (-) - - =... - =... - ( ) =... - =... 9 ( )- ( ) ( )- =... - (-) (-) =... - =... - ( ) - =... = =... ( 9 ) - ( 9 =... ) بسط واكتب ناتج القسمة بوصفه قوة واحدة: - =... (-9) 9 - (-9) =... بسط واكتب الناتج بوصفه قوة واحدة: ( - ) - =... ( ) - =... (-) (-) - (- ) 9 (-) - (-9) - - (- )

17 تدرب وحل مسائل حياتية الفهد : ي عد الفهد الصياد الذي يعيش في قارتي آسيا وأفريقيا من الحيوانات الثدية الم عرضة لإلنقراض والتي تنتمي إلى عائلة السنوريات أو القططيات وهو أسرع الحيوانات األرضية على اإلطالق إذ تصل سرعته القصوى إلى. اكتب عدد االمتار التي يقطعها الفهد خالل m/min 0 -. min 0 ) برميال من النفط الخام خالل 9 إنتاج: انتج العراق - ) 0 اشهر في احدى السنوات اكتب انتاج العراق من النفط بالصورة الرقمية. مكعب روبك: مكعب روبيك هو لغز يتمثل في مكعب ثالثي األبعاد يتكون من اوجه وكل وجه يحمل ملصقات اللون نفسه ويحمل أوجه مكعب روبيك علي األلوان الرئيسة وهي األحمر واألبيض واألخضر واألزرق والبرتقالي واألصفر مخترع مكعب روبيك هو النحات المجري إرنو روبيك. اكتب عدد الملصقات في مكعبات على صورة اعداد ذات قوة واحدة. ف ك ر تحد : بسط واكتب الناتج بوصفه قوة واحدة: أ صح ح الخطأ: بسط جميل المقدار التالي وكتب الناتج كما يأتي : i) (-0) (-0 - ) =... ii) - (-) =... حدد خطأ جميل وصححه. - = )- ( ) ( )- 9 ( يقع بين العددين - - وضح اجابتك. - حس عددي : هل أن العدد 0 - (-) (-) =... اكتب الناتج على صورة كسر اعتيادي :

18 الدرس ]-[ فكرة الدرس استعمال الحاسبة في تبسيط جملة عددية تحتوي على: كسور عشرية دورية وصورة علمية للعدد. المفردات حاسبة. كسر عشري دوري. الكسور العشرية الدورية والصورة العلمية للعدد )استعمال الحاسبة( Recurring Decimal Fractions and Scientific Notation of Number (using Calculator) ت ع ل م الزرافة من الحيوانات الثدية التي تتغذى على األعشاب وأوراق األشجار والفواكه والخضروات وت عد الزرافة أطول الحيوانات على اإلطالق الزرافة تشرب الماء مرتين في االسبوع فإذا شربت احدى الزرافات لتر في المرة االولى وفي المرة الثانية لتر. اكتب عدد ألتارالماء التي شربتها الزارفة في االسبوع بصورة كسر عشري. ]--[ تبسيط جملة عددية تحتوي على كسور عشرية دورية باستعمال الحاسبة Using Calculator to Simplify Numerical Sentence Contain Recurring Decimal Fractions. تعلمت سابقا كيفية تبسيط جملة عددية باستعمال ترتيب العمليات على االعداد النسبية واالن سوف تتعلم كيفية تبسيط جملة عددية تحتوي على كسور عشرية دورية )استعمال الحاسبة ) وكاالتي : إذا كانت الجملة العددية مكتوبة على صورة كسور اعتيادية فقط فيمكن اجراء العمليات كما تعلمت سابقا ثم كتابة الناتج على شكل كسر عشري منته أو دوري. 0 + = 0 + = =... =. إما إذا كانت الجملة مكتوبة على صورة كسورعشرية دورية فسوف تترك الى المراحل الالحقة. + مثال )( اكتب عدد التار الماء التي شربتها الزارفة في االسبوع بالصورة العشرية. = + اجمع الكسور االعتيادية بسط الناتج بأبسط صورة = + اكتب الناتج على شكل كسر عشري دوري = 9 =... =. مثال )( استعمل الحاسبة لتكتب ناتج الجمع و الطرح على صورة كسر عشري : i) + = + 0 = 0 ii) = - iii) = - -0 =... =. = - 0 = = - 0 =.0... =.0 = = -.9

19 مثال )( استعمل الحاسبة لتكتب ناتج الضرب والقسمة على صورة كسر عشري : i) = = =... =. ii) 9 - = 9 - = 9 - = = 0... = - 0. iii) 9 = 0 9 = 0 9 = 0 9 = = 0... = 0. iv) - = - = - = - 9 = = -.0 ]--[ تبسيط جملة عددية تحتوي على اعداد بالصورة العلمية باستعمال الحاسبة Using Calculator to Simplify Numerical Sentence Contain Scientific Notation of Numbers تعلمت سابقا كيفية كتابة العدد بالصورة العلمية من الصورة القياسية )الرقمية ) وبالعكس.واالن سوف تتعلم كيفية تبسيط جملة عددية تحتوي على ضرب وقسمة أعداد بالصورة العلمية )استعمال الحاسبة ) وكاالتي : ( أجري العمليات على الكسور العشرية اوال وحسب الترتيب )باستعمال الحاسبة(. ( جد ناتج قوى العشرة. ( حرك الفارزة بما يتطلبه الناتج. مثال )( استعمل الحاسبة لتكتب ناتج الضرب والقسمة بالصورة العلمية للعدد : احصر بين االقواس العمليات ذات األولوية ) - 0 ( 0.) (. = ) - 0. )( 0 (. i) جد ناتج قسمة الكسور العشرية وناتج قوى العشرة 0. = حر ك الفارزة بحيث يبقى العدد الصحيح من مرتبة واحدة 0. = ii) ( )( ) = (.0 0.9) ( ) = = iii) (. 0 - )( )=(. 9.0)(0-0 )=. 0 =. 0 iv) v) = ( ) (0 0 - ) = 0 =. 0 احصر بين االقواس العمليات ذات األولوية جد ناتج قسمة الكسور العشرية وناتج قوى العشرة حر ك الفارزة بحيث يبقى العدد الصحيح من مرتبة واحدة = ( ) ( 0-0 ) = =. 0-9

20 - = =... =... 9 = =... - = =... تأكد من فهمك استعمل الحاسبة لتكتب ناتج الجمع و الطرح على صورة كسر عشري : + =... األسئلة ) - ( مشابهة الى المثال) ( استعمل الحاسبة لتكتب ناتج الضرب والقسمة على صورة كسر عشري : األسئلة ) - ( مشابهة الى المثال )( استعمل الحاسبة لتكتب ناتج الضرب والقسمة بالصورة العلمية للعدد : 9 (. 0 )(. 0 - ) =... 0 ( )( ) = = = األسئلة 9) - ( مشابهة الى المثال )( تدرب وحل التمرينات استعمل الحاسبة لتكتب ناتج الجمع و الطرح على صورة كسر عشري : + 9 =... - = = =... 9 =... =... استعمل الحاسبة لتكتب ناتج الضرب والقسمة على صورة كسر عشري : = =... استعمل الحاسبة لتكتب ناتج الضرب والقسمة بالصورة العلمية للعدد : (. 0 - )( ) =... ( )(0. 0 ) = = =... 0

21 تدرب وحل مسائل حياتية حوت : الحوت هو أضخم الحيوانات الحي ة على اإلطالق بما فيها البرية والبحرية وهو من الحيوانات الثدية وضعت انثى الحوت اربعة عجول طول اثنين منهما نسبة لطول الحوت االم هو متر. اكتب مجموع طول العجلين بكسر عشري. سلطة خضار : عملت ساره صحن سلطة خضار واضافت اليه حبات فراولة وزن كل واحدة 0. - kg و حبة زيتون وزن الواحدة 0 - kg 0.0. اكتب الوزن الكلي المضاف الى السلطة بالصورة العلمية. تعليم : كانت نسبة النجاح النهائية للدورين األول والثاني في احدى المدارس الثانوية 9 مانسبة النجاح في الدور الثاني إذا كانت نسبة 0 النجاح للدور األول هو 9 اكتب العدد بصورة كسر. ف ك ر تحد : استعمل الحاسبة لتكتب الناتج على صورة كسرعشري: i) =... ii) 0 - =... أ صح ح الخطأ: استعملت خلود الحاسبة وكتبت ناتج المقدار كما يأتي: 9 (. 0 )(. 0 - ) =. 0 - حدد خطأ خلود وصححه. يقع بين العددين 0 وض ح اجابتك حس عددي : هل أن العدد =... ا كتب الناتج على صورة كسر عشري :

22 Simplifies Fraction Numerical Sentences الدرس ]-[ تبسيط الجمل العددية الكسرية فكرة الدرس تبسيط جملة عددية كسرية تحتوي على جذور وقيم مطلقة وقوى وصورة علمية للعدد. المفردات جذر. مربع كامل. تعلم مثال )( على احدى رحالت شركة الخطوط الجوية العراقية من بغداد الى اسطنبول باعت الشركة تذكرة الدرجة األولى بسعر 0. دينار والدرجة السياحية 0. دينار. إذا كانت الطائرة تتسع 0 كرسيا منها للدرجة األولى والباقي للدرجة السياحية ما المبلغ الذي تجنيه الشركة إذا بيعت كل التذاكر ]--[ تبسيط جملة عددية تحتوي على قوى وصورة علمية للعدد Simplifies Numerical Sentence Contain Powers and Scientific Notation Number تعلمت سابقا كيفية تبسيط جملة عددية تحتوي على ضرب وقسمة فقط ألعداد بالصورة العلمية واالن سوف تتعلم كيفية تبسيط جملة عددية تحتوي على جمع وطرح فضال عن الضرب والقسمة ألعداد بالصورة العلمية وإليجاد ناتج جمع أو طرح حدين يحتويان على صورة علمية للعدد نتبع إحدى الطريقتين: الطريقة األولى: مساوات قوى العشرة للحدين واخراجها بوصفها عامال مشتركا ثم اجراء عملية الجمع أو الطرح للكسرين العشريين بعد حصرهما بين قوسين وكتابة ناتجهما مضروبا في قوى العشرة ثم تعديل قوى العشرة بما يتطلبه كتابة بالصورة العلمية. الطريقة الثانية: كتابة كل عدد بالصورة الرقمية من الصورة العلمية له ثم اجراء عملية الجمع أو الطرح وبعدها ارجاع العدد الى الصورة العملية أو بحسب يتطلبه السؤال. جد المبلغ الذي تجنيه الشركة إذا باعت جميع تذاكر السفر للطائرة. الطريقة األولى: مساوات قوى العشرة للحديين سعر تذاكر الدرجة األولى سعر تذاكر الدرجة السياحية اخراج قوى العشرة بوصفها عامال مشتركا المبلغ الكلي للتذاكر بالدينار العراقي الطريقة الثانية: سعر تذاكر الدرجة األولى سعر تذاكر الدرجة السياحية المبلغ الكلي للتذاكر بالدينار العراقي كتابة العدد بلصورة العلمية. 0 = = 0. 0 = = ( +.) 0 =. 0 = = 0 = = 0 = = =. 0 مالحظة: يمكنك استعمال الحاسبة في اجراء العمليات على الكسور العشرية.

23 مثال )( بسط الجمل العددية الكسرية التالية واكتب الناتج بالصورة العلمية : i) = = (. +.) 0 - = = ii) = = (.-.) 0 - =. 0 - iii) = =.0 =.0 0 iv) =.00-0 = = v) (. 0 )(. 0 - ) = (..) (0 0 - ) =. 0 - =. 0 - ]--[ تبسيط جملة عددية كسرية تحتوي على جذور وقيم مطلقة وقوى Simplifies Numerical Sentence Contain Roots and Absolute Values and Powers تعلمت سابقا كيفية تبسيط جملة عددية تحتوي على اعداد نسبية باستعمال ترتيب العمليات واآلن سوف تتعلم كيفية تبسيط جملة عددية كسرية تحتوي على جذور وقيم مطلقة وقوى ألعداد وسوف نتبع الخطوات السابقة نفسها التي تعلمتها في تبيسط الجمل العددية وهي : - تبسيط كل حد من الحدود بأبسط صورة وذلك بالتخلص من الجذور والقيم المطلقة للعدد وتبسيط القوى. - استعمال ترتيب العمليات لتبسيط المقدار مع إعطاء األولية للعمليات داخل األقواس. مثال )( بسط الجمل العددية الكسرية التالية واكتب الناتج بأبسط صورة : i) - - = = ( - ) - - إيجاد قيم الجذور وكتابة الكسور بابسط صورة حصر العمليات التي لها أولوية بين قوسين = - + = - + = جمع الكسرين وإيجاد الناتج ii) ( ) - = ( - ) - = ( 0 - = ( ) - = - = - iii) = ( - 0 ) + ( 9 - ) = - = - iv) (-) = ( - ) ( - - ) + - v) (-) - - (-) 0 + = + - = = = - + ( - ) = 0 + ( - ) = -

24 = = = = = =... (9.9 0 )(. 0 - ) =... (. 0 )(. 0-9 ) =... ت أك د من فهم ك بسط الجمل العددية الكسرية التالية واكتب الناتج بالصورة العلمية: األسئلة )-( مشابهة للمثال )( بسط الجمل العددية الكسرية التالية واكتب الناتج بأبسط صورة: = =... 0 ( - - ) - = =... األسئلة )9-( مشابهة للمثال )( - - (-) =... (-) - - (-9) =... تدرب وحل التمرينات بسط الجمل العددية الكسرية التالية واكتب الناتج بالصورة العلمية: = = = = = =... (. 0 - )(9. 0 ) =... (. 0 )(. 0 - ) =... 0 بسط الجمل العددية الكسرية التالية واكتب الناتج بأبسط صورة: =... - ( ) + - = = = (-) =... (-) - - (-) =...

25 تدرب وحل مسائل حياتية طحالب : تنمو الطحالب على سطوح البرك الراكدة والصخور التي على ساحل البركة. إذا كانت كتلة الطحلب على الصخرة االولى 0 - Kg. والصخرة الثانية Kgا ما مجموع كتلة الطحالب على الصخرتين 9 الضوء : تبلغ المسافة التي يقطعها الضوء في سنة واحدة 0 9. km. كم تبلغ المسافة التي يقطعها الضوء في 0. سنة 0 الذرة : البروتون من مكونات الذرة وله شحنة كهربية موجبة تعادل تماما الشحنة التي يحملها اإللكترون إال أن اإللكترون شحنته سالبة وكتلة البروتون تقريبا 0. - kg وكتلة األلكترون تقريبا Kgا ما الفرق بين كتيليهما ف ك ر تحد : بسط الجمل العددية الكسرية التالية واكتب الناتج بأبسط صورة: i) =... ii) =... أصح ح الخطأ: استعملت سندس الحاسبة وكتبت ناتج المقدار بالصورة العلمية: (. 0 - )(. 0 - ) = حدد خطأ سندس وصححه. - حس عددي : هل أن العدد 0. اجابتك يقع في منتصف المسافة بين العددين 0 0 وضح (-) - - (-) ( )0 =... ا كتب الناتج على صورة كسر عشري :

26 الدرس ]-[ فكرة الدرس استعمال تحديد معقولية االجابة في حل المسألة. خطة حل المسألة )تحديد معقولية اإلجابة ) ت ع لم Problem solving Plan (Determining Feasibility Answer) اذا كان % من الرحالت السياحية في احدى البلدان تضمن رحالت بحرية علما ان عدد الرحالت جميعها 0 رحلة فهل تمثل رحلة تقديرا معقوال ام 0 رحلة افهم ما المعطيات في المسألة : عدد الرحالت جميعها 0 رحلة اما الرحالت البحرية فهي تمثل % رحلة من مجموع الرحالت. ما المطلوب في المسألة : عدد الرحالت البحرية أهي ام. 0. خطط حل كيف تحل المسألة بما ان % اي هي رحالت بحرية فيمكن تقسيم العدد على أربعة اقسام متساوية قر ب 0 الى = 0 اقر ب الى 0 من 0 لذا فان من المعقول ان يكون عدد الرحالت البحرية رحلة. جد % من 0 0 = تحقق لذا التقدير المعقول هو رحلة.

27 Problems م سائل حل المسائل التالية باستراتيجية ( تحديد معقولية االجابة ) رياضة : يمثل الشكل التالي نسب انواع من النشاطات الرياضية التي يفضلها طالب الصف الثاني المتوسط وعددهم 0 طالبا ما التقدير المعقول لعدد الطالب الذين اليفضلون كرة القدم هو % كرة قدم % كرة منضدة % كرة سلة. توفير : توفر زينب 0 دينار كل اشهر ما المبلغ الذي توفره زينب خالل شهر أيكون التقدير المنطقي 0 ام 0 مدرسة : باع حانوت مدرسة 0 قطعة حلوى ثمن كل منها 00 دينار اذا كانت حصة المدرسة % من مبيعات الحانوت. هل تقدير حصة المدرسة 0000 أم 0000 دينار تعليم : يمثل الجدول التالي نجاح الطالب ب مواد وكان العدد الكلي للطالب 0 طالب ما التقدير المعقول لعدد الطالب الناجحين في مادة الرياضيات أهو 0 ام. 0 انكليزي علوم رياضيات 0% 0% 0%

28 المفردات مراجعة الف صل Chapter Review عربي English عربي English االعداد النسبية Rational Numbers صورة رقمية Digital Notation ترتيب العمليات Ordering Operations أساس Base Digital Calculator Numerical Sentence حاسبة رقمية جملة عددية Recurring Decimal كسر عشري دوري Division قسمة Fraction Multiplication ضرب Recurring Addition دوري جمع Decimal Subtraction عشري طرح Fraction Power كسر قوة )أس( Finite Decimal Fraction صورة علمية Scientific Notation كسر عشري منته خصائص Properties Simplify Raise تبسيط رفع حاسبة يدوية Calculator يحتوي Contain ترتيب العمليات على االعداد النسبية الدرس ]-[ مثال : استعمل جمع األعداد النسبية وطرحها لتكتب كل مقدار بأبسط صورة: - - = - - = - - = - مثال : استعمل ضرب األعداد النسبية وقسمتها لتكتب كل مقدار بأبسط صورة: تدريب : استعمل جمع األعداد النسبية وطرحها لتكتب كل مقدار بأبسط صورة: i) =..... ii) =... تدريب : استعمل ضرب األعداد النسبية وقسمتها لتكتب كل مقدار بأبسط صورة: = = - 9 = 9 = 9 9 = 9 9 =

29 الدرس ]-[ القوى )األسس( السالبة والصورة العلمية للعدد مثال : احسب األسس السالبة لكل مما يأتي: تدريب : احسب األسس السالبة لكل مما يأتي: i) - - =... ii) (-9) - =... i) - - = - = - 9 ii) (-) - = = (-) - = - مثال : اكتب األعداد التالية بالصورة الرقمية: تدريب : اكتب األعداد التالية بالصورة الرقمية: i). 0 =... ii).0 0 =... i). 0 = 000 ii).0 0 = 0000 مثال : اكتب األعداد التالية بالصورة العلمية: تدريب : اكتب األعداد التالية بالصورة العلمية: i) 0000 =... ii) 0000 =... i) 00 =. 0 ii) 9000 =.9 0 خصائص القوى )األسس( الدرس ]-[ مثال : اضرب واكتب ناتج الضرب بوصفه قوة تدريب : اضرب واكتب ناتج الضرب بوصفه قوة واحدة: واحدة: i) - 0 = ii) (-) - = i) - - = - - = - ii) (-) - = - - = - - مثال : اقسم واكتب ناتج القسمة بوصفه قوة i) 9 = = 9 - = 9 - ii) (-) (-) = (- ) (- ) = - = - 9 = - -9 = - - واحدة: تدريب : اقسم واكتب ناتج القسمة بوصفه قوة واحدة: i) - =... ii) (-) (-9) =... 9

30 الدرس ]-[ الكسور الدورية والصورة العلمية للعدد )استعمال الحاسبة( مثال : استعمل الحاسبة لتكتب ناتج الجمع أو الطرح على صورة كسرعشري: تدريب : استعمل الحاسبة لتكتب ناتج الجمع أو الطرح على صورة كسرعشري: - 9 = = - 0 = 0 = 0.0 (. 0 ) (. 0 - ) = مثال : استعمل الحاسبة لتكتب ناتج الضرب بالصورة العلمية: تدريب : استعمل الحاسبة لتكتب ناتج الضرب بالصورة العلمية: (. 0 ) (. 0 - ) = =.9 0 =.9 0 الدرس ]-[ تبسيط الجمل العددية الكسرية ( ) - 0 = مثال : بسط الجمل العددية الكسرية التالية واكتب الناتج بأبسط صورة: تدريب : بسط الجمل العددية الكسرية التالية واكتب الناتج بأبسط صورة: = = - 0 تدريب : بسط الجمل العددية الكسرية التالية واكتب الناتج بالصورة العلمية: = مثال : بسط الجملة العددية الكسرية التالية واكتب الناتج بالصورة العلمية: = = (.0-0.) 0 =. 0 0

31 Chapter Test اختبار الفصل استعمل ترتيب العمليات على األعداد النسبية لتكتب كل مقدار بأبسط صورة : = = =... استعمل ترتيب العمليات لتحسب كال مما يأتي: (-) - =... (-)- - () = (-) - =... (-) 0 - (-) =... اكتب األعداد التالية بالصورة الرقمية: 9. 0 = = =... اكتب األعداد التالية بالصورة العلمية: 0000 = = =... بسط واكتب ناتج الضرب بوصفه قوة واحدة : - =... (-) - - = ( ) =... 0 =... ( 9 - ) - = ( )- ( )- ( ) =... - (-) () =... - (-) (-9) - (- ) = = =... = =... 0 =... (. 0 - )(. 0 - ) =... 9 بسط واكتب الناتج بوصفه قوة واحدة : =... (-) - (- - ) =... - ( ) استعمل الحاسبة لتكتب الناتج على صورة كسر عشري : استعمل الحاسبة لتكتب ناتج الضرب والقسمة بالصورة العلمية للعدد : =... بسط الجمل العددية الكسرية التالية واكتب الناتج بأبسط صورة : = =...

32 الف صل األعداد احلقيقية The Real Numbers الدرس الدرس الدرس الدرس الدرس الدرس مفهوم األعداد الحقيقية وتمثيلها على مستقيم األعداد. خصائص األعداد الحقيقية. تبسيط الجمل العددية التي تحتوي على جذور تربيعية. تطبيقات على نظرية فيثاغورس. المستوى االحداثي. خطة حل المسألة )تحديد معقولية األجابة (. ]-[ ]-[ ]-[ ]-[ ]-[ ]-[ الحرباء )خمايليون )Chameleon حيوان بيوض من الزواحف توجد في كل أنحاء العالم تقريبا تعرف الحرباء بقدرتها على تغيير لونها ويبلغ أكبر طول لذكر الحرباء.cm إن هذا العدد هو عدد نسبي ويمكنك كتابته بصيغة كسر اعتيادي أو عدد كسري. 9

33 Pretest - + االختبار القبلي = استعمل جمع وطرح األعداد النسبية لتكتب كل مقدار بأبسط صورة: + - = - - = = = = = استعمل ضرب وقسمة األعداد النسبية لتكتب كل مقدار بأبسط صورة: - - = 9..0 (-.) = (-) - = - - (-) = (-) - = (9) 0 - (-) - - =. 0 =.0 0 =. 0 - =. 0 - = 00 = = 0.00 = = = 0 - = - - = = - = = = إذا كان a b فإن a + c b + c إذا كان a > b وأن < 0 c فإن a c < b c a c b c 0 = - = + 9 استعمل ترتيب العمليات لتحسب كل مما يأتي: أكتب األعداد التالية بالصورة الرقمية: أكتب األعداد التالية بالصورة العلمية: بسط واكتب ناتج الضرب والقسمة كقوة واحدة: = استعمل الحاسبة لتكتب ناتج الجمع و الطرح على صورة كسرعشري: + استعمل الحاسبة لتكتب ناتج الضرب والقسمة على صورة كسرعشري: + - = 0 - = أكتب مثاال واحدا لكل خاصية من الخواص اآلتية : لكل a,b,c Q لكل a,b,c Q لكل a,b,c Q إذا كان a b وأن < 0 c فإن

34 مفهوم األعداد الحقيقية وتمثيلها على مستقيم األعداد Concept of Real Numbers and Represent on a Number Line الدرس ]-[ فكرة الدرس مفهوم إلى التعرف األعداد الحقيقية وتمثيلها األعداد مستقيم على ومقارنتها وترتيبها. المفردات العدد النسبي. العدد غير النسبي. العدد الحقيقي. ت ع ل م رسم أحمد لوحة فنية تمثل احدى المعالم األثرية وفي اعلى مقدمة البناء يظهر المثلث القائم الزاوية واطوال الضلعين القائمين في اللوحة هو m m جد طول الوتر وبين أهو عدد نسبي أم ال ]--[ مفهوم األعداد الحقيقية Concept of Real Numbers تعرفت سابقا إلى األعداد النسبية والتي يمكن كتابتها على شكل كسر أو عدد عشري منته أو عدد عشري.9 =. =. = دوري مثال :. = إما األعداد غير النسبية فتكتب بوصفها أعدادا عشرية غير منتهية وغير دورية وأن كل عدد طبيعي اليكتب على شكل مربع كامل يكون جذره التربيعي عددا غير نسبي. مثال : = =. وكذلك العدد غير النسبي اليمكن كتابته على صورة الكسر a إذ 0 b. b مجوعةاألعدادالحقيقية )R( تتألفمنأتحادمجموعةاألعدادالنسبية )Q( ومجموعةاألعدادغيرالنسبية )H(. R = Q H جد طول الوتر وبين أهو عدد نسبي أم ال نفرض أن طول الوتر هو المتغير x وبتطبيق نظرية فيثاغورس فإن : x = + x = + 9 x = x = مثال )( مثال )( وبأستعمال اآللة الحاسبة فإن : x = =.0... نالحظ أن قيمة الجذرالتربيعي للعدد هو عدد ع شري غير دوري لذا هو عدد غير نسبي )عدد حقيقي(. صنف العدد من حيث كونه عددا نسبيا أو غير نسبي أو غير حقيقي : عدد غير نسبي عدد حقيقي.= ii) عدد صحيح عدد نسبي عدد حقيقي = 9 (i iii) 0 عدد صحيح عدد نسبي عدد حقيقي =0 iv) عدد نسبي عدد حقيقي = 9 غير معرف vi) عدد غير حقيقي - (v 0 vii) =.0 عدد غير نسبي عدد حقيقي viii) 0 عدد نسبي عدد حقيقي. = ix) - عدد غير نسبي عدد حقيقي.- = -(x عدد نسبي عدد حقيقي.- =

35 ]--[ تمثيل األعداد الحقيقية على مستقيم األعداد Represent The Real Numbers on a Number Line تتمتع األعداد الحقيقية بخاصية الكثافة وهي أن بين كل عددين حقيقيين يوجد على االقل عدد حقيقي آخر والتنطبق هذه الخاصية على األعداد الطبيعية أو األعداد الصحيحة. ويمكن تمثيل األعداد الحقيقية على مستقيم األعداد ونحتاج الى تقريب األعداد غير النسبية ألقرب جزء من العشرة ( ع شر( لتمثيلها على مستقيم األعداد. جد عددا حقيقيا بين العددين ومثله على مستقيم األعداد. ( + ) اجمع العددين واقسم على = = إذن العدد هو العدد الذي يقع بين العددين = مثال )( i) =. ii) - = -. ق در الجذور التربيعية التالية ألقرب ع شر. ثم مثلها على مستقيم األعداد : مثال )( ]--[ مقارنة األعداد الحقيقية وترتيبها Coparison and Arrangement of Real Numbers تعلمت سابقا مقارنة األعداد النسبية وترتيبها وباألسلوب نفسه سوف تقارن األعداد الحقيقية وترتيبها بعد كتابتها بالصورة العشرية مقربة ألقرب جزء من العشرة )ع شر(. قارن بين األعداد الحقيقية مستعمال الرموز ( < > = ) : i) >, =..., =.... <. ii) <.9, =...,.9 =.... >. i( رت ب األعداد الحقيقية التالية من األصغر الى األكبر :,, مثال )( مثال )( =..., =..., =...,, -, - )ii رت ب األعداد الحقيقية التالية من األكبر الى األصغر :.9-, - = -..., - = -., -.9 -, -, -.9

36 صنف العدد من حيث كونه عددا نسبيا أو غير نسبي أو غير حقيقي : تأك د من فهم ك األسئلة -0( ) مشابهة للمثالين), (... قدر الجذور التربيعية التالية بالتقريب ألقرب ع شر. ثم مثلها على مستقيم األعداد: األسئلة -( ) مشابهة للمثال )( قارن بين األعداد الحقيقية مستعمال الرموز ( < > = ) : األسئلة -( ) مشابهة للمثال )( األسئلة,( ) رتب األعداد الحقيقية التالية من األصغر الى األكبر:,..., مشابهة للمثال )( رتب األعداد الحقيقية التالية من األكبر الى األصغر:.-, -, - تدرب وحل التمرينات صنف العدد من حيث كونه عددا نسبيا أو غير نسبي أو غير حقيقي : قدر الجذور التربيعية التالية بالتقريب ألقرب ع شر.ثم مثلها على مستقيم األعداد : قارن بين األعداد الحقيقية مستعمال الرموز ( < > = ) : رت ب األعداد الحقيقية التالية من األصغر الى األكبر :,,... -, - رت ب األعداد الحقيقية التالية من األكبر الى األصغر :.0-,

37 تدرب وحل مسائل حياتية ساحة التحرير : ساحة التحرير احدى الساحات الرئيسة في وسط مدينة بغداد صممت بشكل دائري محيطها m وقطرها m. بين أيمثل حاصل قسمة محيط الساحة على قطرها عددا نسبيا أم عددا غير نسبي دالفين: نزلت ثالثة دالفين باألعماق التالية تحت سطح الماء: m, -0 m, -0 9 m -0 9 ر ت ب أعماق الدالفين بالنسبة الى مستوى سطح الماء من األقرب الى سطح الماء الى األبعد عمقا وباألعداد العشرية. لوحة فنية : رسمت لوحة فنية على قطعة زجاج مستطيلة الشكل بعداها.0cm 0cm جد قطر اللوحة الفنية وأيمثل عددا نسبيا أم عددا غير نسبي 0 ف ك ر تحد : تعلمت سابقا أن محيط الدائرة مقسوما على قطرها يساوي النسبة الثابتة π وهي عدد غير نسبي. ما قطر الدائرة التي محيطها cm وضح اجابتك. يمثل عددا نسبيا في حين أن العدد 9 عدد غير أصح ح الخطأ : قالت شيماء إن العدد نسبي حدد خطأ شيماء وصححه. يقع بين العددين 9 ح س عددي : هل أن العدد ا كتب ناتج جمع العددين الحقيقين بعد تقريبهما ألقرب ع شر :... +

38 Properties of Real Numbers الدرس ]-[ خصائص األعداد الحقيقية فكرة الدرس التعرف إلى خصائص األعداد الحقيقية. المفردات خاصية األبدال. خاصية التجميع. خاصية التوزيع. العنصر المحايد. النظير الجمعي. النظير الضربي. ت ع ل م قيمة الجذر LW تمثل المساحة 00 السطحية لجسم األنسان إذ إن L يمثل طول األنسان بالسنتميتر وW يمثل كتلة جسم األنسان بالكيلوغرامات وتستعمل المساحة السطحية لجسم األنسان في حساب لجسم رجل كتلته 0kg وطوله. 0cm ]--[ خاصية األبدال والتجميع والتوزيع Commutative Property, Accusative Property, Distributive Property تعرفت سابقا إلى خواص األعداد الصحيحة واألعداد النسبية وباألسلوب نفسه سوف تتعرف إلى خواص األعداد الحقيقية وهي : خاصية األبدال خاصية التجميع خاصية التوزيع العنصر المحايد النظير الجمعي النظير الضربي وتبدأ بالخواص الثالث األولى وهي: الرمز يعني لكل خاصية األبدال خاصية التجميع خاصية التوزيع i) a+b = b+a, ab = ba, a,b ii) a+(b+c) = (a+b)+c, a(bc) = (ab) c, a,b,c iii) a ( b+c) = ab + ac, a,b,c R جراعات األدوية. جد المساحة السطحية R R مالحظة : عملية الجمع ال تتوزع على عملية الضرب. BSA = LW 00 مثال )( جد المساحة السطحية لجسم شخص كتلته 0kg وطوله. 0cm القانون الذي يمثل المساحة السطحية لجسم األنسان هو : BSA = LW 00 BSA مختصر ( Area ) Body Surface وهي مساحة سطح الجسم. واآلن بالتعوض عن المتغيرات بالقيم المعطاة : اكتب 0 على شكل) 00+0( BSA = BSA = (00+ 0) 0 00 BSA = استعمل خاصية التوزيع BSA.9cm

39 i) a+b = b+a, ab = ba, a,b ii) a+(b+c) = (a+b)+c, a(bc) = (ab) c, a,b,c + ( + ) =( + )+,,, مثال )( اكتب مثاال لكل خاصية من الخواص اآلتية : R + = + ;, R iii) a(b+c)= ab+ac, a,b,c R ( + ) = +, نشاط: اطلب الى الطالب إعطاء مثال للجزء الثاني من كل خاصية.,, R R ]--[ العنصر المحايد النظير الجمعي والنظير الضربي Identity Element, Additive Inverse and Multiplicative Inverse iv) a+0 = 0+a =a, a a = a = a, a R R v) a+(-a) = (-a)+a =0, a, -a vi) a a = a a =, a R R, a 0 العدد 0 هو المحايد لعملية الجمع )المحايد الجمعي( العدد هو المحايد لعملية الضرب )المحايد الضربي( R النظير الجمعي النظير الضربي اكتب مثاال لكل خاصية من الخواص اآلتية: iv) a+0 = 0+a =a, a R +0 = 0+ =, R مثال )( a = a = a, a R = =,, R v) a+(-a) = (-a)+a =0, a,-a R + (- )=(- )+ =0,,- R vi) a a = a a =, a R, a 0 = =, R مثال )( جد النظير الجمعي لألعداد الحقيقية اآلتية: i) + ii) - iii) - + نظير + هو )= )+( - -)=( ++(- i) نظير - هو )= + )+(- - )=( + +(- - ii) نظير + - هو - 0 )= - )+( + )=(- - +( + - iii) iv) v) - + vi) - iv) = = v)(- +) - + = vi) - - = نظير هو هو جد النظير الضربي لألعداد الحقيقية اآلتية : نظير نظير +) (- هو 9

40 ت أك د من فهم ك اكتب مثاال لكل خاصية من الخواص اآلتية : a+b = b+a, ab = ba, a,b R األسئلة ( - ) a+(b+c) = (a+b)+c, a(bc) = (ab) c, a,b,c R مشابه للمثال )( a(b+c) = ab+ac, a,b,c R جد النظير الجمعي لألعداد الحقيقية اآلتية: األسئلة 9( - ) مشابه الى المثال )( جد النظير الضربي لألعداد الحقيقية اآلتية : األسئلة ( - )0 مشابه الى المثال )( تدرب وحل التمرينات اكتب مثاال لكل خاصية من الخواص اآلتية: a+0 = 0+a =a, a R a = a = a, a R a+(-a) = (-a)+a =0, a, -a R 9 a a = a a =, a R, a 0 جد النظير الجمعي لألعداد الحقيقية اآلتية: جد النظير الضربي لألعداد الحقيقية اآلتية : ق د ر النظير الضربي للجذور التربيعية التالية بالتقريب ألقرب ع شر :

41 تدرب وحل مسائل حياتية شاشة تلفاز: اشترت مروه تلفاز طول شاشته cm وعرض ها.cm جد النظير الجمعي لقطر شاشة التلفاز. غو ص : نزل ثالثة غواصين باألعماق التالية تحت سطح الماء: - m, - m, -0 9 m ر ت ب النظير الضربي ألعماق الغواصين بالنسبة إلى مستوى سطح الماء من األبعد عمقا الى األقرب الى سطح الماء. س م ك ة القرش: النظير الضربي لطولي سمكتي قرش هو قارن بين طوليهما الحقيقين.. m,. m ف ك ر تحد : رتب النظير الجمعي للقيمة التقديرية للجذور التربيعية التالية بالتقريب إلى أقرب ع شر من األصغر الى األكبر : أ ص ح ح الخطأ : قال ياسين إن ( + )- هو النظير الجمعي للعدد + - ( - +.) ح د د خطأ ياسين وصح حه. - + ألن : = ح س عددي : أيساوي حاصل ضرب أي عدد حقيقي في المقلوب السالب له العدد ا كتب الخاصية التي ت ع ب ر عن المثال اآلتي : +(- ) =(- ) + = 0,, - R

42 الدرس ]-[ تبسيط الج م ل العددية التي تحتوي على جذور تربيعية Simplifying the Numerical Sentences which contain Square Roots فكرة الدرس تبسيط الج م ل العددية التي تحتوي على جذور تربيعية. المفردات تنسيب المقام. تعلم العنكبوت هي انثى العنكب وهي التي تبني بيت العنكبوت وتصل عدد الخيوط الى 00 الف خيط وطول الخيط الواحد.0cm رسم بسام لوحة فنية لبيت العنكبوت على لوح زجاجي مستطيل طوله cm وعرضه. cm ما محيط اللوحة الفنية تعلمت سابقا تبسيط الجمل العددية التي تحتوي على اعداد نسبية باستعمال خواص األعداد وباألسلوب نفسه سوف تتعلم تبسيط الجمل العددية التي تحتوي على جذور تربيعية باستعمال الخواص )األبدال ) ويمكن استعمال الخواص اآلتية: (i ab = a b, a,b 0 والتجميع والتوزيع ج د محيط اللوحة الفنية المستطيلة الشكل التي أبعاد ها cm cm التي مثال )( رسمها بسام. P = ( L+ W ) المتغيرات تمثل : المحيط P الطول L العرض W = ( + ) استعمل خاصية التوزيع = + = = 0 + = 0 + = ]--[ تبسيط الجمل العددية باستعمال الخواص ( األبدال والتجميع و التوزيع( Simplifying the Numerical Sentences by using the properties (Commutative, accusative, distributive( ii) a a = a, a 0 iii) عوض عن بما يساويها هو 9 عوض عن 9 بما يساويها هو تبسيط المقدار بجمع الحدود المتشابهة إذن طول محيط اللوحة الفنية هو cm مثال )( ب س ط الجمل العددية التالية باستعمال الخواص )األبدال والتجميع والتوزيع ( : i) - = - ii) ( 0 + ) = 0 + = - = 0 + = - = + = ( ) - ( ) = + = 0 - = + a b = a b, a 0, b > 0

43 ]--[ تبسيط الجمل العددية باستعمال الخواص )العنصر المحايد النظير الجمعي والنظير الضربي ) Simplifying the Numerical Sentences by using the properties (Identity Element, Additive Invers, Multiplicative Inverse) سوف تتعلم تبسيط الجمل العددية التي تحتوي على جذور تربيعية باستعمال الخواص )العنصر المحايد النظير الجمعي النظيرالضربي ( وفي حالة الكسر الذي مقامه جذر تربيعي فسوف تستعمل عملية تنسيب المقام وهو تحويل مقام الكسر الى مقدار ليس فيه جذر وذلك بأن تضرب الكسر بالمحايد الضربي )العدد ( ثم تعوض عنه بكسر مناسب ). بسط الجمل العددية التالية باستعمال الخواص )العنصر المحايد النظير الجمعي مثال )( والنظيرالضربي ) : + + = اضرب الكسر في العدد )المحايد الضربي( + = عو ض عن العدد بالكسر )ضرب البسط والمقام( = (+ ) استعمل خاصية التوزيع = + بسط المقدار إذ إن =. = + مثال )( بسط الج مل العددية التالية باستعمال خصائص األعداد الحقيقية : i) (- ) = - ii) ( + ) = + = - = + 9 = - = + 9 = iii) + - iv) + - = - = ( + - ) v) = 0 - = = ( - = = = = - vi) 9 - = 9 - = - = ) =

44 ت أك د من فهمك بسط الج مل العددية التالية باستعمال الخواص )األبدال التجميع التوزيع ( : - 9 ( + ) - األسئلة )-( ( + ) (- ) مشابهة للمثالين ( ( ( - ) بسط الج مل العددية التالية باستعمال الخواص )العنصر المحايد النظير الجمعي والنظير الضربي ) : األسئلة )-( مشابهة للمثال )( بسط الج مل العددية التالية باستعمال خصائص األعداد الحقيقية : ( - ) ( + ) + - األسئلة -( ) مشابهة للمثال )( تدرب وحل التمرينات بسط الج مل العددية التالية باستعمال الخواص )األبدال التجميع التوزيع ( : (+ ) ( 0 - ) ( - ) ( - ) ( - ) بسط الجمل العددية التالية باستعمال الخواص )العنصر المحايد النظير الجمعي النظير الضربي( : ( + ) - + ( - ) 9 بسط الجمل العددية التالية باستعمال خصائص األعداد الحقيقية : 0 ( + 0) - + ( - ) 9 0

45 تدرب وحل مسائل حياتية C cm cm cm { { { A B هندسة : الشكل الهندسي المجاور مكون من ثالثة أقسام: القسم A يمثل مربع وهو مطابق الى القسم B القسم C يمثل مستطيال. جد المساحة الكلية للشكل الهندسي. سيارة الحريق: توقفت سيارة الحريق على بعد 0m من عمارة سكنية فرفعت سلم الحريق بزاوية معينة وبكامل طوله البالغ m فوصل الى احد طوابق العمارة. ما ارتفاع الطابق الذي وصل اليه سلم الحريق على اعتبار سيارة الحريق مع العمارة تمثل مثلث قائم الزاوية جد الناتج بالتقريب ألقرب ع شر. m { { خيمة: واجهة الخيمة تمثل مثلثا متساوي الساقين وتحتاج كل خيمة الى عمودين واحد للواجهة األمامية وواحد للواجهة الخلفية لتثبيتها إذا كان طول قاعدة الواجهة األمامية للخمية هو m وطول حرفها المائل m. ما طول األعمدة التي نحتاج إليها لتركيب خيم ف ك ر تحد : بسط الج مل العددية التالية باستعمال خصائص األعداد الحقيقية : هو + - أ صح ح الخطأ: قال منير أن ناتج تبسيط الجملة العددية 0 حدد خطأ منير وصححه. 0 حس عددي : ما احتمالية طول كل ضلع من الضلعين القائمين في مثلث قائم الزاوية طول الوتر فيه cm اكتب جملة عددية فيها جذور حقيقية وبسطها باستعمال خاصية التوزيع.

46 الدرس ]-[ فكرة الدرس إيجاد الجذرين التربيعين الموجب والسالب لعدد. عكس نظرية فيثاغورس. تمثيل األعداد غيرالنسبية على مستقيم األعداد. المفردات الجذر التربيعي األساسي. تطبيقات على نظرية فيثاغورس ت ع ل م Application for Pythagoras Theorem نقش أثري يمثل جوانب من الحياة اليومية في الدولة السومرية )00-0 ق.م.( ونالحظ اختالط فن النحت ببدايات فن الفسيفساء وتجميع الحجارة الملونة. اللوحة مربعة الشكل مساحتها 9m جد طول ضلع اللوحة. ]--[ ايجاد الجذرين التربيعين الموجب والسالب لعدد Finding the Positive and Negative Square Roots for Number تعلمت سابقا ايجاد الجذر التربيعي الموجب لعدد والجذر التربيعي لعدد ما هو العملية العكسية لتربيع جذر هذا العدد: = 9 أي = 9 واالن سوف تتعلم بان لكل عدد موجب جذران تربيعيان احدهما موجب واآلخر سالب : الجذر الموجب للعدد هو ألن = والجذر السالب هو - ألن -= - ويمكن كتابته على شكل ± = ± أي أن: + = + - = - عند استعمال اآللة الحاسبة فأنه يظهر فقط الجذر التربيعي الموجب ويسمى بالجذر التربيعي األساسي للعدد. وعليه فأن مثال )( ج د طول ضلع اللوحة الفنية المربعة الشكل التي مساحتها 9m. L = 9 المتغيرL يمثل طول ضلع اللوحة الفنية المربعة = طول ضلع اللوحة الفنية هو m = = + نالحظ أن : - - = 9-9 = - وكذلك ولكن الجذر التربيعي السالب يهمل ألنه اليوجد طول حقيقي بالسالب. ج د الجذرين التربيعين الموجب والسالب لألعداد اآلتية : { { =, = = 9, 9 9 = i) ii) - = -, - - = - = -9, -9-9 = مثال )( iii) 9 { 9 =, = 9 {.=.,..=. - 9 iv). = -, - - = 9 -. = -.,-. -.=.

47 The Corvers of Pythagoras Theorem ]--[ عكس نظرية فيثاغورس تعرفت سابقا إلى نظرية فيثاغورس التي تصف العالقة بين طولي الساقين والوتر في مثلث قائم الزاوية )مربع طول الوتر يساوي مجموع مربعي طول ساقيه(. واآلن سوف تتعرف إلى عكس نظرية فيثاغورس )في أي مثلث إذا كان مربع طول أحد اضالعه يساوي مجموع مربعي طول الضلعين اآلخرين فإن المثلث يكون قائم الزاوية(. إذا كانت قياسات األضالع الثالثة لمثلث هي : cm. cm, cm, حدد فيما إذا كان المثلث قائم الزاوية أم ال مثال )( اكتب م ربع طول كل ضلع من أضالع المثلث = =, = 9, وبما أن = +9 لذا فأنه يحقق عكس نظرية فيثاغورس اي المثلث قائم الزاوية ]--[ تمثيل األعداد غير النسبية على مستقيم األعداد Represent The Irrational Numbers on Number Line تعلمت سابقا كيفية تمثيل األعداد النسبية على مستقيم األعداد وكذلك تعلمت في الدرس األول من هذا الفصل كيفية تمثيل الجذور التربيعية لألعداد على مستقيم األعداد بعد كتابة قيمتها مقربة ألقرب ع شر. واآلن سوف تتعلم كيفية تمثيل العدد غير النسبي على مستقيم األعداد بشكل دقيق ومن دون تقريب. مثال )( مث ل العدد على مستقيم األعداد بشكل دقيق. = + = + وحدات 0 الخطوة : جد عددين مربعين مجموعهما. طول وتر لمثلث قائم الزاوية طول ساقية هو الخطوة : ارسم على ورق المربعات مثلثا قائم الزاوية طول ساقيه وحدة الخطوة : افتح الفرجال بطول الوتر ثم ضع رأسه عند العدد صفر وارسم قوسا يقطع مستقيم األعداد في نقطة تمثل العدد 0

48 تأكد من فهمك جد الجذرين التربيعين الموجب والسالب لألعداد اآلتية : 9 األسئلة ) - ( 9 مشابهة الى المثالين ( ).. حدد ما إذا كان كل مثلث باألضالع المعطاة هو مثلث قائم الزاوية. وتحقق من إجابتك: 9 0 cm, 9 cm, cm 0 cm, cm, cm cm, cm, 0 cm cm, cm, cm األسئلة ) - (9 مشابهة الى المثال )( جد طول الضلع القائم بتقريب الناتج ألقرب ع شر إذا ع لم ت طول الوتر وضلع قائم لكل مثلث مما يأتي: cm, cm,... 0 cm, 0 cm,... م ثل األعداد التالية على مستقيم األعداد بشكل دقيق : األسئلة ) - ( مشابهة الى المثال ( ( تدرب وحل التمرينات جد الجذرين التربيعين الموجب والسالب لألعداد اآلتية : حدد ما إذا كان كل مثلث باألضالع المعطاة هو مثلث قائم الزاوية. وتحقق من إجابتك: cm, cm, cm cm, cm, 0 cm 0 cm, cm, cm cm, cm, 0 cm جد طول الضلع القائم بتقريب الناتج ألقرب ع شر إذا ع لم ت طول الوتر وضلع قائم لكل مثلث مما يأتي: 9cm, cm,... 0 cm, cm,... م ثل األعداد التالية على مستقيم األعداد بشكل دقيق :

49 تدرب وحل مسائل حياتية m طائرة ورقية : تعد الطائرة الورقية احدى اللعب المفضلة عند كثير من األطفال. في الشكل المجاور أذا كان ارتفاع الطائرة الرأسي عن سطح األرض m وطول الخيط المثبتة به الطائرة من طرف وبيد الطفل من طرف آخر هو m. ما نوع المثلث الذي تشكل من m { ارتفاع الطائرة و الخيط والمسافة األفقية جد طول المسافة األفقية. مركب شراعي : الشكل المجاور لمركب شراعي يطفو على سطح 0m 0m الماء. جد عمق الماء مقربا ألقرب ع شر إذا علم ت طول الوتر والضلع القائم كما مثبته في الشكل. 9 منطاد: المنطاد هو بالون كبير الحجم متصل بأسفله بسلة لنقل الناس أو البضائع وله استخدامات عديدة كوسيلة نقل. الشكل المجاور يمثل 00m منطادا هوائيا. ج د ارتفاعه عن سطح األرض. 0m ف ك ر تحد : جد الجذرين التربيعين الموجب والسالب لألعداد اآلتية : 0 أ صح ح الخطأ: قالت سندس أن المثلث الذي اضالعة.cm,.cm,.cm يمثل مثلثا قائم الزاوية. حدد خطأ سندس وصححه. حس عددي : هل يمكن رسم مثلث قائم الزاوية قياس اطول اضالعه كما يلي موضحا اجابتك : cm, cm, cm. cm,. cm,. cm ا كتب معادلة يمكن إيجاد طول الضلع المجهول فيها لمثلث قائم الزاوية فيه قياس طول الوتر 0cm وضلع القائم.cm 9

50 الدرس ]-[ فكرة الدرس تمثيل جدول قيم في المستوي اإلحدائي. إيجاد المسافة بين نقطتين. المفردات الزوج المرتب. المستوي اإلحداثي. نقطة األصل. محور السينات. محور الصادات. جدول قيم. األرباع. مثال )( المستوي االحداثي تعلم النمر) Tiger ( حيوان ضخم مفترس من الثدييات آكلة اللحوم من فصيلة السنوريات واألسم العلمي له Panthera.Tigers تلد النمرة )انثى النمر( من جرو الى ثمانية جراء يظلو ن في رعاية أمهم مدة اسابيع ثم يعتمدون على أنفس هم. الجدول التالي يبين عدد الجراء وكمية الحليب التي يحتاجون اليها الجراء في اليوم الواحد. مثل عدد الجراء الكمية )لتر( الجدول في المستوي اإلحداثي. Coordinate Plane ]--[ تمثيل جدول قيم في المستوي اإلحداثي Representing Values Table in the Coordinate Plane تعرفت سابقا إلى المستوي اإلحداثي الذي يتكون من مستقيمين متعامدين في نقطة تسمى نقطة األصل المستقيم األفقي يعرف بمحور السينات والمستقيم العمودي يعرف بمحور الصادات والمستوي مقسم على أربعة أرباع. وكذلك تعلمت كيفية تمثيل ازواج مرتبة في المستوي اإلحداثي واآلن سوف تتعلم كيفية تمثيل جدول قيم في المستوي األحداثي يتضمن اعدادا نسبية وذلك بكتابة األزواج المرتبة اوال من الجدول ثم تمثيلها على المستوي اإلحداثي. مثل جدول القيم التالي في المستوي اإلحداثي. Y (,) عدد الجراء (,) (,) (,) الكمية )لتر( اكتب االزواج مرتبة:,( ) ( ), ( ), ( ), X مثل كل زوج بنقطة في المستوي اإلحداثي. كل االزواج المرتبة تقع في الربع االول. (-,) Y (,) -X X (-,0) (,0) -Y مثل جدول القيم التالي في المستوي اإلحداثي وحدد الشكل مثال )( الهندسي الذي يمثله. X - - Y 0 0,( )- ( ), 0( )-, 0( ), اكتب األزواج المرتبة: مثل كل زوج بنقطة في المستوي اإلحداثي ثم صل بين النقاط الشكل الذي يمثله جدول القيم هو مستطيل. 0

51 ]--[ إيجاد المسافة بين نقطتين في المستوي اإلحداثي Finding the Distance between two Points in the Coordinate Plane تعلمت في الجزء األول من الدرس على كيفية كتابة األزواج المرتبة من جدول قيم ثم كيفية تمثيلها في المستوي اإلحداثي واآلن سوف تتعلم كيفية إيجاد المسافة بين نقطتين في المستوي اإلحداثي وكذلك إيجاد البعد بشكل تقريبي بين المدن باستعمال نظرية فيثاغورس. مثال )( مثل الزوجين المرتبين ),0-( ),-( في المستوي اإلحداثي ثم جد المسافة بينهما. Y اوال : مثل النقطتين بالمستوي اإلحداثي. a= ثانيا : ارسم مثلثا قائم الزاوية كما في الشكل المجاور. ثالثا : جد طول كل ضلع من الضلعين القائمين. C = b وحدات = a وحدات X رابعا : استعمل نظرية فيثاغورس إليجاد طول الوتر c المسافة بين نقطتين c = a +b c = a + b c = 9 + دائما موجبة Y c = c = لذا المسافة بين النقطتين هو وحدات مالحظة : يمكن الحصول على المثلث القائم الزاوية كما يأتي: - من تقاطع المستقيمين المرسومين من النقطتين موازيان للمحورين. - من تقاطع العمودين المرسومين من النقطتين على المحورين. b= C a= b= X مثال )( مثل كل زوج من الزوجين المرتبين }),0( )-, ({ })0,0( ),-({ في المستوي اإلحداثي ثم جد المسافة بينهما مقربة ألقرب ع شر. Y اوال : مثل كل نقطتين بالمستوي اإلحداثي. ثانيا : ارسم مثلثات قائمة الزاوية كما في الشكل المجاور. ثالثا : جد طول كل ضلع من الضلعين القائمين لكل مثلث. X المثلث في الربع الرابع : وحدات =a وحدات =b C المثلث في الربع الثاني: وحدات =a وحدات =b رابعا : استعمل نظرية فيثاغورس إليجاد طول الوتر c المثلث في الربع الرابع : c = a +b c = a + b Y c = + C c = 9 c. لذا المسافة بين النقطتين هو. وحدات تقريبا. X المثلث في الربع الثاني: c = a +b c = a + b c = 9 +9 c = c. لذا المسافة بين النقطتين هو. وحدات تقريبا.

52 ت أك د من فهم ك مث ل كل جدول من الجداول التالية في المستوي اإلحداثي : X Y X Y األسئلة )-( مشابهة للمثالين ) ( X Y X Y مث ل كل زوج من الزوجين المرتبين في المستوي اإلحداثي ثم جد المسافة بينهما مقربة ألقرب ع شر {(, 0) (, )} {(-, -) (-, -)} {(0, 0) (-, )} {(-, -) (0, 0)} األسئلة )-0( مشابهة للمثالين ) ( {(, ) (, )} 9 0 {(-, 0) (0, )} تدرب وحل التمرينات مث ل كل جدول من الجداول التالية في المستوي اإلحداثي وحدد الشكل الهندسي الذي يمثله جدول القيم: X Y X Y اكتب األزواج المرتبة من الشكل ثم رت بها في جدول قيم : Y Y -X X -X X -Y -Y مث ل كل زوج من الزوجين المرتبين في المستوي اإلحداثي ثم جد المسافة بينهما مقربة ألقرب ع شر إذا كانت التمثل عددا صحيحا : {(, 0) (0, )} {(, ) (, )} {(-, 0) (0, )} {(0, 0) (-, -)} 9 0 {(, -) (, 0)} {(-, -) (-, -)}

53 تدرب وحل مسائل حياتية الموصل Y خريطة : تمث ل كل وحدة على الخريطة km من المسافة الحقيقية. -X تقع مدينة الموصل في النقطة ),-( ومدينة بغداد على نقطة األصل. ما المسافة التقريبية بين بغداد و الموصل بغداد X -Y Y صيد : تمثل كل وحدة على الش كل البياني 0m من المسافة الحقيقية. إذا وقف الصياد في النقطة ),( ووج ه بندقيته الى طير في النقطة -X X ),-( ما المسافة التقريبية بين الط ير والص ياد -Y Y -X غواصة : تمث ل كل وحدة على الش كل البياني km من المسافة X الحقيقية. غواصة تحت الماء تقف في النقطة )-,-( تريد أن تصيب هدفا في النقطة ),0(. ما المسافة التقريبية بين الهدف -Y والغواصة ف ك ر تحد : مثل كل جدول من الجداول التالية في المستوي اإلحداثي وحدد الشكل الهندسي الذي يمثل ه. X Y X Y أصح ح الخطأ: قال خالد أن اإلحداثي الصادي )Y( لنقطة تقع على محور السينات )X( يمثل المسافة بين النقطة ونقطة األصل. حدد خطأ خالد وصححه. حس عددي: هل أن جدول القيم التالي يمثل شكال مضلعا سداسيا عند تمثيله على المستوي X اإلحداثي ولماذا Y - 0 X Y ا كتب أسم الشكل الهندسي الذي يمثله جدول القيم التالي عند تمثيله في المستوي اإلحداثي.

54 الدرس ]-[ فكرة الدرس استعمال تحديد معقولية االجابة في حل المسألة. افهم خطط خ طة ح ل المسألة )تحديد معقولية االجابة ) ت ع لم ما المعطيات في المسألة : ارتفاع النخلة m ووضع سل م بشكل مائل على النخلة بحيث أن قاعدة السلم تبعد من االنخلة بمقدار m نهاية الس لم على قلب النخلة. ما المطلوب في المسألة : ايجاد طول الس ل م. كيف تحل المسألة بما أن إجابة احمد تقديرية فجد طول الس ل م باستعمال نظرية فيثاغورس وقارن بين طولي الس ل م و النخلة. Problem solving Plan (Determining Feasibility Answer) أراد أحمد أن يق طف عرج تمر من نخلة في حديقة المنزل فوضع أحمد سلما على النخلة قاعدة الس لم على االرض تبعد مسافة m من النخلة ونهايته على قل ب النخلة الذي يرتفع عن االرض بمقدار m. يقول احمد إن طول الس لم مساو لطول النخلة تقريبا. هل اجابته معقولة m m حل الس ل م مع النخلة يصنع مثلثا قائم الزاوية أطوال ضلعيه القائمين هي m و m وطول الوتر فيه هو طول الس ل م ويمكن ايجاد طول الس ل م بتطبيق نظرية فيثاغورس. نرمز الى طول الس ل م L = + بالرمز L. L = 9 + L = L.9...m بتقريب الناتج الى ألقرب ع شر L. m إذن طول الس ل م هو.m وهو قريب من طول النخلة لذا اجابة احمد معقولة. تحقق (.) م ن نظرية فيثاغورس - =. - 9 = وهو مقارب لطول النخلة لذا إجابة أحمد معقولة.

55 Problems م سائل ح ل المسائل التالية باستراتيجية ( تحديد معقولية االجابة ) شراء: اشترت سرى تلفاز بعدا شاشته.cm cm قال البائع ان قطر شاشة التلفاز 0cm تقريبا. هل اجابته معقولة برج االتصاالت : برج االتصاالت هو برج سياحي يقع في منطقة اليرموك في العاصمة بغداد ش ي د سنة 99 م بارتفاع 0m. وفيه المطعم الدوار )المتحرك( على ارتفاع 0m قاسم وحسن يرغبان في الصعود الى المطعم الد وار وهما يقفان على بعد 00m من قاعدة البرج قال قاسم إن المطعم يبعد منا 0m تقريبا وقال حسن ال يبعد 0m. بين أيهما تقديره معقول. كرة القدم : شاهدت نسرين معلب البصرة الدولي الذي يقع ضمن المدينة الرياضية في مدينة البصرة والذي يتسع ل 0000 متفرج وقالت إن قطر ساحة كرة القدم 90m تقريبا. هل تقدير ها معقول إذا علمت أن ابعاد الساحة هي 0m 0m رياضة : المسبح األولمبي يكون طوله 0m مترا وعرضه m ويكون مقسما على حارة وعمقه أكبر من عشرة أمتار إذ أن رياضة القفزالهوائي من المنصة تحتاج إلى عمق كبير وذلك ألمان الالعب. قد ر باسل قطر المسبح بستة وخمسين مترا. هل تقديره معقول

56 المفردات مراجعة الف صل Chapter Review English عربي English عربي Ordered Pair Rational Number الزوج المرتب العدد النسبي coordinate Plane Irrational Number المستوى اإلحداثي العدد غير النسبي Origin Real Number نقطة األصل العدد الحقيقي X-axis Number Line محور السينات مستقيم األعداد Y-axis pro. Commutative محور الصادات خاصية األبدال Values Table pro. Additive جدول القيم خاصية التوزيع First Quadrant pro. Associative الربع األول خاصية التجميع Second Quadrant Identity Element الربع الثاني العنصر المحايد Third Quadrant Additive Inverse الربع الثالث النظير الجمعي Fourth Quadrant Displacer Dominator الربع الرابع تنسيب المقام Numerator الجذرالتربيعي األساسي Principal Square Root بسط الكسر Denominator Multiplicative Inverse مقام الكسر النظير الضربي الدرس ]-[ مفهوم األعداد الحقيقية وتمثيلها على مستقيم االعداد مثال : صنف العدد من حيث كونه عددا نسبيا أو غير نسبي أو غير حقيقي : عدد صحيح عدد نسبي عدد حقيقي = (i عدد غير نسبي عدد حقيقي...= 0 ii) عدد نسبي عدد حقيقي iii) 9 = مثال :رتب األعداد الحقيقية التالية من األصغر إلى األكبر تدريب : صنف العدد من حيث كونه عددا نسبيا أو غير نسبي أو غير حقيقي : i).... ii) iii) تدريب :رتب األعداد الحقيقية التالية من األصغر إلى األكبر...,, ,, =..., =.9... الترتيب :...,,

57 الدرس ]-[ خصائص األعداد الحقيقية مثال : اكتب مثاال لكل خاصية من الخواص اآلتية: تدريب : اكتب مثاال لكل خاصية من الخواص اآلتية: i) a+b = b+a, ab = ba, a,b R ii) a(b+c)= ab+ac, a,b,c R تدريب :جد النظير الجمعي لألعداد الحقيقية اآلتية: i) ii) i) a+(-a) = (-a)+a =0, a, -a R +(- )=(- )+ =0;,- R ii) a a = a a =, a R, a 0 = = ; R مثال : جد النظير الجمعي لألعداد الحقيقية اآلتية: i) +, ii) - i) + + ( - -) = ( - )+ ( - ) = = 0 لذا نظير العدد + هو العدد - - ii) - + (- + ) = ( - )+(- + ) = = 0 لذا نظير العدد - هو العدد + - تبسيط الجمل العددية التي تحتوي على جذور تربيعية الدرس ]-[ مثال : بسط الجملة العددية التالية باستعمال الخواص تدريب :بسط الجملة العددية التالية باستعمال الخواص )األبدال والتجميع والتوزيع( : تدريب : بسط الجملة العددية التالية باستعمال الخواص )العنصر المحايد النظير الجمعي والنظيرالضربي ) : )األبدال والتجميع والتوزيع( : - = - 9 = - 9 = ( ) -( ) = - مثال : بسط الجملة العددية التالية باستعمال الخواص )العنصر المحايد النظير الجمعي والنظيرالضربي(: - = - = - = (- ) = - -

58 الدرس ]-[ تطبيقات على نظرية فيثاغورس مثال : جد الجذرين التربيعين الموجب والسالب لألعداد اآلتية : تدريب : جد الجذرين التربيعين الموجب والسالب لألعداد اآلتية : i) 9 9 = =.... =... i). -. =... تدريب : حدد ما إذا كان المثلث باألضالع المعطاة هو مثلث قائم الزاوية. وتحقق من إجابتك: i) cm, cm, cm ii) 0cm, cm, cm i) =, = - = -, - -= 9 = = 9 ii) 9-9 = = 9 مثال : حدد ما إذا كان المثلث باألضالع المعطاة هو مثلث قائم الزاوية. وتحقق من إجابتك: cm, cm, cm اكتب مربعات اطوال اضالع المثلث = 9, =, = وبما أن + = 9 لذا فأنه يحقق عكس نظرية فيثاغورس اي المثلث قائم الزاوية. المستوي اإلحداثي الدرس ]-[ مثال: مثل الجدول التالي في المستوي اإلحداثي وحدد الشكل الهندسي الذي يمثله جدول القيم. تدريب: مثل الجدول التالي في المستوي اإلحداثي وحدد الشكل الهندسي الذي يمثله جدول القيم. X Y X Y اكتب األزواج المرتبة: Y (,),(-,),(-,-),(,-) يمثل الشكل متوازي اضالع. X (-,) Y (,) X (-,-) (,-)

59 Chapter Test اختبار الفصل 0 صنف العدد من حيث كونه عددا نسبيا أو غير نسبي أو غير حقيقي : قدر الجذور التربيعية التالية بالتقريب ألقرب ع شر.ثم مثلها على مستقيم األعداد : قارن بين األعداد الحقيقية مستعمال الرموز ( < > = ) : رتب األعداد الحقيقية التالية من األصغر الى األكبر:,.,... رتب األعداد الحقيقية التالية من األكبر الى األصغر: a = a = a, a R a a = a a =, a R, a , -, -. اكتب مثاال لكل خاصية من الخواص اآلتية: جد النظير الجمعي لألعداد الحقيقية اآلتية: 0 - جد النظير الضربي لألعداد الحقيقية اآلتية : قدر النظير الضربي للجذور التربيعية التالية بالتقريب ألقرب ع شر : 9 -. بسط الجمل العددية التالية باستعمال خصائص األعداد الحقيقية: (9+ ) - ( - ) ( 0 - ) جد الجذرين التربيعين الموجب والسالب لألعداد اآلتية : حدد ما إذا كان كل مثلث باألضالع المعطاة هو مثلث قائم الزاوية. وتحقق من إجابتك: cm, cm, cm cm, cm, cm cm,.cm,.cm مثل كل زوج من الزوجين المرتبين في المستوي اإلحداثي ثم جد المسافة بينهما مقربة ألقرب ع شر إذا كانت التمثل عددا صحيحا. {(, 0) (0, )} {(-, 0) (0, )} {(-, ) (-, )} {(, -) (, -)} {(0, 0) (-, -)} 9 {(-, -) (-, )} 9

60 الف صل Polynomials احلدوديات الدرس الدرس الدرس الدرس الدرس الدرس جمع المقادير الجبري ة وطرح ها. ضرب حد جبري في مقدار جبري. ضرب المقادير الجبري ة. قسمة مقدار جبري على حد جبري. تحليل المقادير الجبري ة. خطة حل المسألة )الخطوات االربع(. ]-[ ]-[ ]-[ ]-[ ]-[ ]-[ حوض كبير لالسماك في أحد المجمعات التجارية قاعدته مربعة الشكل. ما أرتفاع الحوض اذا كان حجم ه 9m وعرض قاعدته m 9

61 Pretest اكتب المعامل )م( والمتغير )غ( في الحدود الجبري ة االتية : المتغير.. المعامل. - xy, المتغير.. المعامل., h k المتغير.. المعامل. h, 0w المتغير..المعامل. 0r v y, z المتغير.. المعامل., w z المتغير.. المعامل. جد ناتج جمع الحدود الجبري ة االتية : االختبار القبلي h k +0h k + h k + - h k x y z + x y z + x y z 9 r v+ r v + r v + - r v 0 - a b + a b + a b 0xy + 0 xy+ xy + xy a b z+ - a b z+9a b z x y + x y + - x y g h + g h + g h جد ناتج طرح الحدود الجبري ة االتية : 9 h k -h k - h k - - h k xy- 0 xy - - xy - z v - - z v - z v 0 r v - r v - r v 0a b - a b - a b w z - w z - 9w z جد ناتج ضرب الحدود الجبري ة االتية : (x)(0y) 0y(x+0z+) (z )(v ) ( -0 z)(r v ) 0z ( v + v y+ 0 mn) y(0m n+) 9 z y +zy +w; w=, z=, y= جد القيمة العددية للمقادير الجبري ة االتية : h k - h + ; h=, k= - r v + v +; r=,v= 0 xy - xy + ; x=, y=0 جد المخرجات لقاعدة الدالة للمدخالت االتية: المخرجات قاعدة الدالة + x المدخالت - 0

62 جمع المقادير الجبري ة وطرحها Addition and subtraction of Algebraic Expression الدرس ]-[ فكرة الدرس جمع المقدار الجبري. طرح المقدار الجبري. المفردات جمع. طرح. ت ع ل م حمولتان من المواد الغذائية تحتوي الحمولة االولى على الرز والسكر والطحين بالكيلوغرامات وعلى الترتيب x, y, 0z والحمولة الثانية من المواد نفسها x, 0y, z فما مجموع الحمولتين وما الفرق بينهما ]--[ جمع المقادير الجبري ة Addition an Algebraic Expressions تعلمت سابقا جمع الحدود الجبري ة المتشابهة اما في هذا الدرس سنتعرف إلى جمع المقادير الجبري ة )لكي نجمع مقدارين جبري ن( نستعمل خصائص التبديل والتجميع في جمع الحدود المتشابهة. جد مجموع الحمولتين االولى والثانية معا. الحمولة االولى ( )x + y + 0z الحمولة الثانية ( )x + 0y + z مثال )( = (x +y + 0z ) + (x + 0y +z ) مجموع الحمولتين = (x + x ) + (y +0y ) + (0z +z ) استعمل خاصية التجميع = 90x + y + z اجمع الحدود المتشابهة لذا مجموع الحمولتين بالكيلو غرام هو 90x + y + z مثال )( جد ناتج جمع المقادير الجبري ة االتية : i) ( - w z + r v + h k ) + ( w z+ r v + h k ) استعمل خاصية التجميع - ( = w z + w z) + ( r v + r v ) + ( h k + h k ) = ( w z) + ( r v ) + ( h k ) = w z + r v + h k اجمع الحدود المتشابهة ناتج جمع المقدارين ii) ( xy + xy + x y) + ( xy - xy + x y) استعمل خاصية التجميع ( + ) ( xy + xy = xy - xy) + ( x y + x y) = xy x y = xy + x y اجمع الحدود المتشابهة ناتج جمع المقدارين

63 iii)( - m n + gh + 0 r v ) + ( - m n + 0gh + 0 r v ) استعمل خاصية التجميع ) ( - m n+ - m n) + (gh+0gh) + ( 0 r v + 0 r v = = (m n+m n) + (gh+0 gh) + ( 0 r v + 0 r v ) = 0m n + gh + 0 r v اجمع الحدود المتشابهة ناتج جمع المقدارين محيط مثلث متساوي االضالع هو + y n + ومحيط مربع هو 0+y+ n اكتب المقدار الجبري الذي يمثل مجموع محيطي المثلث والمربع. مثال )( n + y + n +y+0 (n +y+) + (n + y+0) = (n + n ) + (y + y) + (+ 0) = n + 0y + n + 0y + Subtraction an Algebraic Expressions استعمل خاصية التجميع اجمع الحدود المتشابهة ناتج جمع المقدارين لذا مجموع محيطي المثلث والمربع باالمتار ]--[ طرح المقادير الجبري ة تعلمت سابقا طرح الحدود الجبري ة المتشابهة اي عند طرح حد جبري من حد جبري اخر اجمع الحد الجبري جبري من االول مع النظير الجمعي للحد الجبري الثاني وسوف نتعلم طرح المقادير الجبري ة ولطرح مقدار مقدار جبري اخر اعكس إشارة كل حد من حدود المقدار الجبري الثاني )اي النظير الجمعي للمقدار الجبري (. مثال )( م ن فقرة تعل م جد الفرق بين الحمولتين. ) (x, y, 0z الحمولة االولى ) (x, 0y, z الحمولة الثانية x + y + 0z )الحمولة االولى ) x + 0y + z = (x +y +0z ) - ( x + 0y + z ) = (x +y +0z )+(-x - 0y - z ) = (x - x ) +(y - 0y )+(0z - z ) )الحمولة الثانية ) اجد الفرق بين الحمولتين تغيير اشارة الحدود الجبري ة قي المقدار الثاني استعمل خاصية التجميع لذا الفرق بين الحمولتين =x + y + z x + y + z

64 جد ناتج طرح المقادير الجبري ة االتية : i) ( xy - - zw - r v ), ( xy-0zw+r v ) = ( xy - - zw - r v ) - ( xy-0zw+r v ) = ( xy - zw - r v ) + (- xy + 0zw) - (r v )) = ( xy - xy) + ( -zw+0zw) + ( -r v - r v ) = xy+zw-r v ii) (x - y - ) - (x -9y + ) = (x -y -) + (-x + (+9y) + (-)) = (x + (-x )) + (-y + 9y) + (- - ) = -x - y - مثال )( اطرح المقدار الثاني من االول نافورة مربعة الشكل مساحتها -( m )m - اضافة النظيرالجمعي اجمع الحدود المتشابهة اجمع الحدود المتشابهة مترمربع تقع في منتصف حديقة مستطيلة الشكل مساحتها ) + m m( - متر مربع ما مساحة الحديقة مثال )( المحيطة بالنافورة = (m - m -) - (m - m +) مساحة الحديقة اضافة النظير الجمعي ) - m (m - m - ) + (-m + = اطرح الحدود المتشابهة - - m = m - m - m + = - m + m - اجد المقدار لذا مساحة الحديقة المحيطة بالنافورة + m m - مترا مربعا تأك د من فهم ك جد جمع المقادير الجبري ة االتية: (0x y + z w + ), (0x y + z w +0) ( h +k y +9), ( h + k y +) األسئلة ( - ) مشابهة للمثالين - ( - m n + r v + ), ( m n + r v + ) جد طرح المقادير الجبري ة االتية: (m n + y + ), (m n + 9 y + ) (a b +0z - ), ( a b + z + ) األسئلة ) - ) مشابهة للمثالين - ( hk + y - 9), (hk - y -) x + y + x + x + y + x + ما محيط الشكل المجاور السؤال )( مشابهة للمثال

65 اجمع المقادير الجبري ة االتية: ( - x y z + ab + ), (x y z + ab - ) 9 ( r v + hk + ), ( r v + hk + ) تدرب وحل التمرينات 0 ( 0 zw +0x + ), ( zw + 0x + ) جد طرح المقادير الجبري ة االتية: (m n - y + ), (m n + y - ) a b + 0z -, a b + z + ( hk + x -9), ( hk - 0x -) تدرب وحل مسائل حياتية كهربائية : في احدى محال االجهزة الكهربائية بيعت في شهر آذار + ( x دينار وأجهزه اجهزة الغساالت بمبلغ +) yz التبريد بمبلغ +) yz ( x + دينار ما مجموع المبيعات للمحل في شهر آذار محطات : انطلق قطاران من المحطة نفسها باتجاهين متعاكسين اصبح احدهما على بعد )0+y+ x ) كيلومتر من المحطة في حين أصبح القطار الثاني على بعد )+0y+ x( كيلو متر من المحطة ج د المسافة بين القطارين. x+y y - x + ف ك ر تحد : اذا كان محيط المثلث المجاور + y x + متر فما طول الضلع المجهول تطبيق هندسي : في الشكل المجاور مساحة المربع الكبير )+ x x( + متر مربع ومساحة المربع الصغير )+ x ) x - متر مربع ما الفرق بين مساحة x + z + المربع الكبير والمربع الصغير حس عددي: ما المقدار الذي تطرحة من ) + x( - y لتحصل على الناتج )+ x ( ا كتب مسألة من واقع الحياة عن جمع وطرح المقدارين الجبري ين.

66 ضرب حد جبري في مقدار جبري Multiplying an Algebraic Expression by an Algebraic Term الدرس ]-[ ت ع ل م فكرة الدرس ضرب حد جبري في صنع احمد صندوقا من الخشب قاعدته مستطيلة الشكل إذا كان حد جبري. ضرب حد جبري في طول الصندوق بالسنتمترات مقدار جبري. ( ) 0m n وعرضه المفردات بالسنتمترات ( ) m n ما حد جبري. مقدار جبري. مساحة قاعدة الصندوق ]--[ ضرب حد جبري في حد جبري Multiplying an Algebraic Term by an Algebraic Term تعلمت سابقا ضرب حد جبري في حد جبري اذا كانت المتغيرات مختلفة اما في هذا الدرس سوف نتعلم ضرب حد جبري في حد جبري باستعمال الخواص اآلتية: a n. a m = a n+m )ii a nm = (a n ) m )i a 0 = )iii إذ إن a عدد حقيقي وال يساوي صفرا. A= 0m n m n = ) 0 ( m. m. n. n = ( 0 ) m +. n + مثال )( مساحة قاعدة الصندوق = الطول العرض اضرب المعامالت والمتغيرات خواص االعداد الحقيقية عند الضرب تجمع االسس = 0m n = m n لذا مساحة المستطيل m n بالسانتمترات المربعة جد ناتج الضرب في كل مما ياتي : i) (x y )(x y ) = ( ) (x x )(y y ) = x + y + = x y 9 مثال )( ii) (9h k)(-h k) = (9 -)(h h )(k k) = -h k iii) ( - r v)( - r vn) = ( )r + v + n = r v n iv) ( z w )(zk) = ()()z + w k = z w k v) ( g h )( g) = ( ) ( ) (g. g) (h ) = g h vi) ( a b ) ( 9 a- b - ) = ( 9 ) a+(-) b +(-) = ab0 = a = a

67 ]--[ ضرب حد جبري في مقدار جبري Multiplication an Algebraic Term by an Algebraic a Mount تعلمت سابقا ضرب حد جبري بمقدار جبري باستعمال خاصية التوزيع اذا كانت المتغيرات مختلفة واآلن سوف نتعلم ضرب حد جبري بمقدار جبري اذا كانت األساسات متشابهة أو مختلفة باستعمال خاصية التوزيع ايضا. مثال )( جد ناتج الضرب في كل مما ياتي : i) -h k(h k + h k)= -h k(h k )+(-h k)(h k) باستعمال خاصية التوزيع والتجميع = (-)()(h h ) (k. k ) +(-)() (h. h ) (k. k) = -h + k + + (-0)h + k + عند الضرب تجمع االسس = -h k - 0h k ii) m n ( - mn ) =m n ()-( m n )( mn ) = () ( m n ) - ()() m. m. n. n = m n - m + n + =m n - m n 9 باستعمال خاصية التوزيع والتجميع عند الضرب تجمع االسس iii) x y( xy z +x - yz) = x y ( xy z) + ( x y)( x - yz) باستعمال خاصية التوزيع والتجميع = ( )( ). (x x)(y. y. z) + ( عند الضرب تجمع االسس z) )()(x x - ) (y. y.. = x y z + zy iv) ( z w + zw + ) = () z w + ( ) zw + = z w + zw + باستعمال خاصية التوزيع والتجميع عند الضرب تجمع االسس v) x y ( x - y - - x - y ) = ( ) ( ) x x -. yy - - ( )( ) x x - yy = xy 0 - x 0 y = x - y باستعمال خاصية التوزيع والتجميع عند الضرب تجمع االسس

68 مثال )( ملعب مستطيل الشكل طوله باالمتار) x( وعرضه باالمتار) - x( - xy ما مساحة الملعب مساحة المستطيل = الطول العرض A = x (x - xy-) باستعمال خاصية التوزيع )() = x (x )-(x )(xy)-(x = x - x y - x لذا مساحة الملعب x - x y - x ت أك د من فهم ك جد ناتج الضرب في كل مما يأتي: ( m n)(m ) (0x - yz)(0xy) (r v )( - r v+r v ) x y ( xy -y ) z w(z - wy+ z w y) h k ( h - kr + h k - r + ) تدرب وحل التمرينات جد ناتج الضرب في كل مما ياتي : األسئلة ( - ) مشابه للمثال )( األسئلة ( - ) مشابه للمثال )( (m n)(m n - ) a b c ( a ) 9 -r vy (rv y ) 0 - x y ( - xyz) 9 0 ( y-) (xy) (w-) (w - ) ab c (a - b - c - ) hk (h k - h y + zy) - r (r - r vy) x - (x-x y + x - ) - r v ( rv + ) 9 gh(g h + gh +) ( - z)wx z - -xy z (x y + xy z - x y z ) (a b + a b- abc ) a - b x y (- -x y) ab (a b - abc) m - (m+nz + ) yz (y z + yz + ) - z w ( - z - w - + z- w - )

69 x y - xy xy تدرب وحل مسائل حياتية هندسة : مثلث طول قاعدته بالسنتمترات ( )xy وارتفاعه بالسنتمترات xy( )x y - ما مساحة المثلث تكنلوجيا: اشترك احمد في خدمة االنترنت بسرعة x y في حين تزيد سرعة اشتراك محمد بمقدار - xy عن سرعة اشتراك أحمد. فما سرعة اشتراك أنور التي تمثل حاصل ضرب سرعتي اشتراك أحمد ومحمد أحياء : اذا كان عدد أفراد مملكة النحل 0w z وتضاعفت بمقدار z فكم اصبح عدد النحل 9 ف ك ر 0 أصح ح الخطأ: كتب علي ناتج ضرب المقدار k( h k ( h k - h على شكل h k - h k جد خطا علي وصححه. فيكون الناتج تحد : ما الحد الجبري الذي نضربه في المقدار - x x y + 0x y + 0x y -x y تحد : صندوق على شكل منشور رباعي مساحة قاعدته z وحدة مربعة وارتفاعه ) + ) z وحدة ما حجم المنشور احصائيات : اذا كان عدد سكان محافظة ديالى ( x( - y نسمة في حين سكان محافظة بغداد ( 0x( - y مرة من عدد سكان محافظة ديالى. فما عدد سكان محافظة بغداد أكتب حاصل ضرب حد جبري في مقدار جبري وجد ناتج الضرب. 9

70 Multiplying Algebraic Expressions الدرس ]-[ ضرب المقادير الجبري ة فكرة الدرس ضرب مقدارين كل مقدار من حدين ضرب مقدارين االول من حدين والثاني من ثالثة حدود. المفردات حدانية. ثالثة حدود. ضرب عامودي. ضرب افقي. تعلم زرع فالح ارضا للخضروات على شكل مستطيل طول االرض باالمتار y+x( ) x وعرضها باالمتار y+( ) x ما مساحة االرض Multiplying Algebraic Expression by Two Terms ]--[ ضرب مقدارين جبري ن كل منهما من حدين تعلمت سابقا ضرب حد جبري في مقدار جبري وسوف تتعل م في هذا الدرس ضرب مقدار جبري في مقدار جبري كل منهما يتكون من حدين باستعمال خاصية التوزيع هناك نوعان من الضرب األفقي والعمودي. مثال )( مساحة المستطيل )الخضراوات ) = )الطول العرض ) A= ( x y+x)( x y+) مساحة المستطيل )الخضراوات( = ( x y x y) + x y() + x( x y) + ()(x) = ( x y x y) + ( x y) + (x y) + (x) باستعمال خاصية التوزيع باستعمال الضرب االفقي مساحة االرض باالمتارالمربعة = x y + x y + x y +x i) ( x +y ) (x + y ) مثال )( جد ناتج الضرب )االفقي ) في كل مما يأتي : = ( x. x + x. y ) + (y. x + y. y ) = x + x y + x y + y باستعمال خاصية التوزيع باستعمال الضرب االفقي ii) ( - ab + - bc) ( + ab) = ( )ab + a b + ( )bc + ab c = ab + a b + bc + ab c باستعمال خاصية التوزيع باستعمال الضرب االفقي 0

71 i) (th - ( ) + th ( )th -( مثال )( جد ناتج الضرب )العمودي( لكل ممايأتي: ) + th ( th - -th + t h th - + t h اضرب بالطريقة العمودية ( )th في القوس الثاني اضرب بالطريقة العمودية )-( في القوس الثاني اضع الحدود المتشابهة تحت بعض اجمع الحدود ii) ( 9 z w +( )wz + ) ( 9 z w +) )zw + ) z w + zw + 9 z w + z w + 9 z w + zw + اضرب بالطريقة العمودية ( ) 9 z w في القوس الثاني اضرب بالطريقة العمودية )( في القوس الثاني اضع الحدود المتشابهة تحت بعض اجمع الحدود ملعب كرة طائرة بعداه باألمتار )-y) (+y( ) مساحة الملعب = الطول العرض A= )y+) (y-( مثال )( ما مساحة الملعب باستعمال خاصية التوزيع باستعمال الضرب االفقي - y = y - y + مساحة الملعب باالمتار المربعة ( - -y ) y = ]--[ ضرب مقدارين االول من حدين والثاني من ثالثة حدود Multiplying an Algebraic Expression by Two Terms and by Three Terms تعلمت سابقا في البند االول من هذا الدرس ضرب مقدار جبري في مقدار جبري باستعمال خاصية التوزيع بالضرب العمودي واالفقي وسوف تتعلم ضرب مقدار جبري يتكون من حدين مع مقدار جبري يتكون من ثالثة حدود باستعمال الضرب االفقي والعمودي. i) (-x - )(x + x - ) = -x (x +x-) - (x +x-) = -x - x + x - x - x + = -x - 0x + x - x + مثال )( جد ناتج الضرب )االفقي ) في كل مما يأتي : باستعمال خاصية التوزيع باستعمال الضرب االفقي

72 ii) ( y - z )( y + z - w) = ( y )( y +z- w) - (z)( y + z- w) =y + zy -wy - zy - z + zw =y - zy -wy -z + zw باستعمال خاصية التوزيع باستعمال الضرب االفقي i) (z + )(z - z + ) (z + ) (z - z + ) اضرب )z( في القوس الثاني z - z + z اضرب )( في القوس الثاني + z z - اجمع الحدود z + z -z + جد ناتج الضرب )العمودي( لكل مما يأتي: ii) (x + y)(x - xy + y ) (x + y) (x - xy + y ) x - x y + xy xy - xy + y x + xy - x y +y مثال )( اضرب )x( في القوس الثاني اضرب )y( في القوس الثاني اجمع الحدود ت أك د من فهمك جد ناتج الضرب افقيا لكل مما يأتي: (x-)(x+) (a b- )( ab - b) ( x-)( x - ) (-m n - mn )(mn -m) األسئلة )-( مشابهة للمثال )( (x-)(-x +y-) (a-y)(y +z-) (x y-)(xy -z-w) (x -x)(x +x-) جد ناتج الضرب عموديا لكل مما يأتي: األسئلة )-( مشابهة للمثال )( تدرب وحل التمرينات جد ناتج الضرب افقيا لكل مما يأتي: 9 0 (x y-z)(y+) (x+y)(x+) ( y-z)( yw+z) ( w +)( z +) (ab+c)(a+c) (m+)(x -x-) (m-)( 0 m -n) ( m-x)(m-x) (h k+)(rv+) جد ناتج الضرب عموديا لكل مما يأتي: (xy-)(y+z) 9 ( m +m)(m -m+) 0 ( x +y-)( x -y) (x-)(x +x-) ( - +y)( - zw+y) ( x -y)(y +0y+)

73 تدرب وحل مسائل حياتية x+ x- هندسة: ما مساحة مثلث اذا كان طول قاعدته )+x( وارتفاعه )-x( باالمتار هندسة: يحيط ممر عرضه x بحديقة مستطيلة الشكل طولها أمتار وعرضها أمتار ما المساحة الكلية للحديقة والممر x+ قوالب : قالب للكيك مصنوع من االلمنيوم قاعدته مستطيلة الشكل ما مساحة قاعدته اذا علمت أن بعديه بالسنتمترات في الشكل المجاور x+ x+ جد مساحة المنطقة المظللة في الشكل المجاور x+ ف ك ر تحد : جد ناتج ما يأتي: i) (y m + y n )(y m- - y n- + y n ( ii) ( - z )( + z + z ), n, m iii) ( t - ) iv) (x+ y) (x - y) أصح ح الخطأ: كتبت سعاد ناتج المقدار )+x( بالشكل اآلتي: - x+ x اكتشف خطأ سعاد وصححه. مسألة مفتوحة: اكتب مقدارا يحتوي على حدين ومقدارا يحتوي على ثالثة حدود ثم جد ناتج ضربهما. 9 0 أكتب مقدارين كل منهما من حدين ثم جد ناتج الضرب بالطريقة العمودية واالفقية.

74 Dividing by an Algebric Term Expression الدرس ]-[ قسمة مقدار جبري على حد جبري ت ع ل م فكرة الدرس قسمة حد جبري على حد في العاب االسهم ينطلق السهم افقيا جبري. x إذ إن x= h n قسمة مقدار جبري على بحسب القانون h حد جبري. يمثل سرعة السهم ويرمزh الى ارتفاع المفردات السهم باالمتار ويرمزn الى الزمن قسمة. حد جبري. بالثواني جد سرعة السهم اذا كانت قيمة. h=, n= ]--[ قسمة حد جبري على حد جبري Dividing an Algebric Term by an Algebric Term an = a إذ أن a عدد حقيقي وان ال يكون المقام يساوي صفرا. اما تعلمت سابقا قسمة االسس اي ان a m n-m في هذا الدرس سوف تدرس قسمة المقادير الجبري ة اي حد جبري على حد جبري اي اقسم معامل الحد االول على معامل الحد الثاني ثم اطرح االسين في كل قوتين لهما األساس نفسه. x = h n h x =h h - n x =()() x =0 m/s x= h n لحساب سرعة انطالق السهم h اقسم الحد على h نعوض قيمة h, n لذا سرعة السهم عند اطالقه 0 مترا في الثانية. مثال )( i) x y x y = x- y - = x y اقسم المعامل على المعامل ثم اطرح االسين ii) -h k = h - h- k = - h k جد ناتج القسمة لكل مما يأتي إذ أن المقام ال يساوي صفرا : v) a b a b = ab- = a مثال )( vi) -m n -m n = - - m- n - = m n iii) iv) r v rv = r- v - = r v zw z = z- w = 9 z- w = w 9z vii) -0 x y z 0x y = 0 0 x- y - z = x 0 y z = y z

75

76 تأكد من فهمك جد ناتج القسمة لكل مما يأتي إذ إن المقام ال يساوي صفرا : m n m n -x y x y z -z األسئلة )-( مشابهة الى المثال )( h k 0 -h k -r v -r v x y x y األسئلة -) ( مشابهة الى المثال )( -x y + x y x y m - m +m m 9 h - gh 0h 0 z w y -z w y x y -m n + m n m n - v - 0v v تدرب وحل التمرينات جد ناتج القسمة لكل مما يأتي إذ إن المقام ال يساوي صفرا : b b -m n -m n x y -yx x y z x y z m n m n 9r v r v 9 9r v rv 0 h k hk y w -yw -r v - r v r v w z + 9w z w z h k +9h k h k a 9 b c - a b c a b c x x - x y + x y 9x y m + m +m m - z + z +z z 9 n - n - n 9n m n + 9m n + m n m n 0 y - y + y y r b + r b - rb rb

77 تدرب وحل مسائل حياتية هندسة: علبة معدنية على شكل اسطوانة اذا كان قانون m- Πr =h إذ m المساحة الكلية للعلبة المعدنية Πr.h جد قيمة m= 0cm r = cm نصف قطر قاعدت ها r Z= n - m n هندسة: اذا كان جد قيمة المقدار Z اذا علمت ان =m =n.. r v - r v - r v r v - v - r + اثبت أن المقدار الجبري ال يحتوي على متغير ألعاب نارية: انطلق سهم ناري عموديا نحو االعلى وفقا للقانون )m/sec( يمثل سرعة السهم عند االنطالق v إذ =v h + t t ويرمز h الى االرتفاع الذي بلغه السهم )m( ويرمز t الى الزمن m جد سرعة انطالق السهم اذا علمت أنه بلغ ارتفاع )sec( خالل ثواني. ف ك ر تحد : ضع المقدار الجبري في أبسط صورة : -z -0z + z z + z + z + z z 0x y + x y + xy فكان الناتج القسمة أ صح ح الخطأ: قسم احمد المقدار الجبري xy هو x y + x y - x بين خطأ أحمد وصححه. 9 ا كتب مثاال واحدا على قسمة مقدار جبري من ثالثة حدود على حد جبري وجد الناتج.

78 Factoring an Algebraic Expressions الدرس ]-[ تحليل المقادير الجبري ة فكرة الدرس تحليل المقدار باستعمال العامل المشترك. تحليل المقدار باستعمال الفرق بين مربعين. تحليل المقدار باستعمال الفرق بين مقدارين مربعين. المفردات العامل المشترك. الفرق بين مربعين. الفرق بين مقدارين مربعين. تعلم يقع الهرم االكبر )هرم خوفو( في مصر إذ ان الهرم رباعي منتظم المساحة الكلية له m=x +xy إذ ان x تمثل طول قاعدة الهرم y يمثل االرتفاع احد االوجه كيف اجد العامل المشترك االكبر للمقدار الذي يمثل المساحة الكلية للهرم ]--[ تحليل مقدار جبري باستعمال العامل المشترك Factoring an Algebraic Expression by a Common Factor تعلمت سابقا ضرب حد جبري في مقدار جبري وضرب مقدار جبري في مقدار جبري وفي هذا الدرس سوف تتعلم التحليل بأستخراج العامل المشترك االكبر ويرمز له )ع. م. أ( وهو عكس عملية الضرب والعامل المشترك االكبر يتضمن المعامل العددي والمتغيرات المشتركة بأصغر أس. x + xy x x + xy x x+y x + xy = x(x+y) x(x+y) = x + xy مثال )( جد العامل المشترك االكبر الذي يمثل المساحة: اجد العامل المشترك االكبر للمقدار وهو x نقسم كل حد جبري على العامل المشترك فيكون التحليل التحقق من ص حة الحل هو ضرب الناتج مع العامل المشترك االكبر ح لل المقدار الجبري باستعمال العامل المشترك االكبر وتحقق من صح ة الحل : i)c d + d - cd =d ( c d d + - d d =d (c d cd ) d(c d cd ) =c d + d - cd ii)h k - k + = ( h k k - + = (h k - k + ) )ع. م. أ( = d cd d ) (h k - k + ) = h k - k + ) التحقق )ع. م. أ( = التحقق iii) z w + zw + zw zw zw + = z w zw( zw + = zw (zw + + w ) zw(zw + + w ) = z w + zw + zw مثال )( )ع. م. أ( = zw zw zw ) التحقق

79 ]--[ تحليل مقدارجبري باستعمال الفرق بين مربعين Factoring Using Difference of Two Sequares تعلمت سابقا تحليل المقدار الجبري باستعمال العامل المشترك االكبر وسوف تتعلم في هذا البند التحليل i) a - b = (a+b)(a-b) ii) ka - kb = k(a - b ) = k (a+b)(a-b) باستعمال الفرق بين المربعين أو الطريقتين معا حيث i) x -y = (x) - (y) = (x+ y)(x-y) iv) y - = (y) - ( ) = (y- )(y+ ) ii) z - = (z) - () =(z-)(z+) ح لل كل مقدار باستعمال الفرق بين مربعين v) m n - a b )ع. م. أ( = مثال )( iii) h - w = (h) - (9w) =(h-9w)(h+9w) =(9m n -a b ) = (mn-ab) (mn+ab) vi) h -a )ع. م. أ( = = (h -a ) = ( h -a)( h +a) vii) z w -= (zw) - ( ) = (zw- )(zw+ ) ]--[ تحليل مقدار جبري باستعمال فرق بين مقدارين مربعين Factoring Using Difference of Two Sequares Expression سبق ان تعلمت التحليل باستعمال الفرق بين مربعين ولتحليل المقادير االكثر تعقيدا يمكن استعمال تحليل i) (x +y) - (x +z) = [(x+y) +(x+z)] [(x+y)-(x+z)] = (x+y+x+z) (x+y-x-z) = (x+y+z) (y-z) ii) (m+) - (m-) = [(m+)+(m-)][(m+)-(m-)] = (m++ m -)(m+ -m +) = (m-)(-m+) iii) (w+) - (w+) = [(w+)+(w+)][(w+)-(w+)] = (w++w+)(w+-w-) = (w+9)(w+) الفرق بين مقدارين مربعين لتسهيل بعض العمليات. مثال )( ح لل المقدار باستعمال الفرق بين مقدارين مربعين استعمال قاعدة الفرق بين المربعين رفع االقواس بسط المقدار استعمال قاعدة الفرق بين المربعين رفع االقواس بسط المقدار استعمال قاعدة الفرق بين المربعين رفع االقواس بسط المقدار 9

80 ت أك د من فهم ك x+9 y- m+ z -z + n m +m- h - h ح لل المقدار باستعمال العامل المشترك االكبر: األسئلة (-( مشابه للمثال )( ح لل المقدار باستعمال الفرق بين مربعين: h - y x - 0 a - b 9 -y h - 9k - r z - األسئلة -( ) مشابه للمثال )( ح لل المقدار باستعمال الفرق بين مقدارين مربعين: (m+) - (n+) (x+y) - (x+y) (x-) - (x+) (-z) - (-z) األسئلة )-) مشابهة للمثال )( 9 تدرب وحل التمرينات ح لل المقدار باستعمال العامل المشترك األكبر ومن ثم تحقق من ص حة الحل: x -x +0x 0 -y +y -y z w -z w +zw h k -hk m n +mn +m n r v +r v +r v x +x +9 m n +mn+ x -x - ح لل المقدار باستعمال الفرق بين مربعين: x - 9 -n 0 z -w h - 9a - 9r v - b - k - t - ح لل المقدار باستعمال العامل المشترك األكبر ومن ثم الفرق بين المربعين y -0 x - 9 z v r v w - k - m - n 0h-hk ح لل المقدار باستعمال الفرق بين مقدارين مربعين (x+) -(x+) (y-) -(-y) (z+) -(z-) (m+n) -(m+n) (z+) -(w+) (x- ) -(x+ ) 9 0 0

81 تدرب وحل مسائل حياتية اذا كانت المساحة الكلية للشكل المجاور تعطى بالقانون =x r + Πr ح لل المقدار x باستعمال العامل المشترك األكبر وجد قيمة xعندما =r. إذا كان لدينا مربع طول ضلعه x ومثلث قائم الزاوية طول الضلعين x القائمين +x x جد مساحة المربع والمثلث معا ثم ح لل المقدار. علبة على شكل اسطوانة المساحة الكلية لها Πh + r Π ب س ط المقدار باستعمال العامل المشترك االكبر ثم جد المساحة عندما =r,=h. ف ك ر تحد : اذا كان المقدار + z = x - 0x -, y = x - x جد ناتج جمع المقدارين ثم ح لل الناتج باستعمال العامل المشترك االكبر وهل يمكن تحليل كل من مقدارz y., مربع طول ضلعه y cm ومستطيل يزيد طوله cm على طول ضلع المربع وينقص عرضه cm عن طول ضلع المربع ما مساحة المستطيل وهل المساحة تمثل الفرق بين مربعين أين الخطأ: ح لل حسام وقاسم المقدار m 00n- باستعمال الفرق بين مربعين وكتب الناتج كما يأتي: حل حسام حل قاسم m -00n (m +0n)(m -0n) m -00n (m -0n)(m -0n) بين ايهما كتب الناتج صحيح. (x - y ) ا كتب طريقتين مختلفتين لتحليل المقدار الجبري االتي:

82 الدرس ]-[ فكرة الدرس حل مسألة باستعمال )الخطوات االربع(. افهم خطة حل المسألة )الخطوات االربع( ت ع لم Problem Solving Plan (The Four Steps) اشترت هبة قطعة من القماش مستطيلة الشكل لعمل ثوب لها فاذا كان طول قطعة القماش هو )0+x( سنتمترا وعرض القطعة هو )+x ) سنتمتر جد مساحة قطعة القماش. ما المعطيات في المسألة: قطعة قماش مستطيلة الشكل ابعادها )0+x) ) (+x سنتمتر. ما المطلوب في المسألة : ايجاد مساحة قطعة القماش. خطط كيف تحل المسألة أفضل طريقة اليجاد الناتج هو استعمال الخطوات االربع. مساحة قطعة القماش المستطيلة = الطول العرض A= )x+0( ( x+) استعمال خاصية التوزيع x+90x+00 = x + حل = x + x+00 لذا مساحة المستطيل x+00 = x + x+0 تحقق استعمال الطريقة العمودية للتحقق من ص حة الحل: x+ x + 90x x+00 لذا الحل صحيح +00 x x + 90x + x +00 = x +

83 Problems م سائل استعمل استراتيجية الخطوات االربع لحل المسائل اآلتية: حديقة : حديقة مستطيلة الشكل طولها 0mوعرضها m محاطة بممر عرضه. x ما المساحة الكلية للحديقة والممر x- هندسة : طول قاعدة مثلث )+x( وارتفاعه )-x( ما مساحة المثلث باالمتار)استعمل الطريقة العمودية واالفقيه(. x+ هندسة : متوازي المستطيالت طوله x وعرضه )+x( وارتفاعه )-x(. ما حجم متوازي المستطيالت حديقة : لدى احمد حديقة كل من طولها وعرضها x متر ويريد زيادة متر الى الطول متر الى العرض. ما مساحة الحديقة الجديدة علبة : لدى علي قطعة مقوى طوله ا 0 سنتمترا وعرضها سنتمترا استعمل هذه القطعة لصنع علبة وقام بقص مربع طول ضلعه y سنتمترعند كل زاويه ما مساحة قاعدة العلبة

84 المفردات مراجعة الف صل Chapter Review عربي English عربي English Dividing an Algebraic Expression Greatest common factor(gcf) Difference of two squares Difference of two Expression squares حد جبري مقدار جبري ضرب مقدارين جبري ن Algebraic term قسمة مقدار جبري Algebraic Expression العامل المشترك اال كبر )ع. م. أ( Multiplying an Algebraic الفرق بين مربعين Expression Dividing an Algebraic الفرق بين مقدارين مربعين Expression قسمة حدين جبري ن ثالث حدود جبري ة Three Algebraic terms تحليل Factoring قسمة حد جبري Dividing an Algebraic term تحليل المقادير Factoring Expression الدرس ]-[ جمع المقادير الجبري ة وطرحها مثال : أجمع المقادير الجبري ة: i)(x-) + (x-)=x+x-- اجمع الحدود المتشابهة =x+x-- =x - ii) (n - xn+) +(0n -9xn-) =n - xn++0n - 9xn- =n +0n - xn- 9nx+- =n -nx - تدريب : أجمع المقادير الجبري ة: i) (y -y-)+( y -y+) ii) (x -)+(-x +) تدريب : أطرح المقادير الجبري ة: i) (mn-)-(m -mn+)..... ii) (n +n-)-(-n +9n+) مثال : أطرح المقادير الجبري ة: i)(x-) - (x-) =x - - x - اطرح - x =x - x - -= ii) (x - x+)-(x + x+) اطرح + x =x - x+ - x + =x - x -x + x + + = x - x+

85 الدرس ]-[ ضرب حد جبري في مقدار جبري مثال : جد ناتج الضرب في كل مما يأتي: تدريب : جد ناتج الضرب في كل مما يأتي: i) ( h k ) ( h - k - )... ii) ( m- n - ) (m n ).... تدريب : جد ناتج الضرب في كل مما يأتي: i) 0mn ( + m n + mn)... ii) (z w + zw + )... i) (-r v ) (r - v) = (-00r - v ) ii) ( x y ) ( 9 xy) = ( 9 ) x y = x y مثال : جد ناتج الضرب : -xy ( x y + xz + ) =(-xy) ( x y)+(-xy) ( xz) + (-xy) = - x y - x yz - xy ضرب المقادير الجبري ة الدرس ]-[ مثال : جد ناتج الضرب : ( h + r)( h - r) = ( h - hr + rh -r ) = h - hr + rh- r تدريب : جد ناتج الضرب : (zw +) (zw+).... = h + hr - r مثال : جد ناتج الضرب : (9m + m -) (m -m) = m (9m +m-) - m (9m + m-) = m + m -m - m - m + m = m - m - m + m تدريب : جد ناتج الضرب : (hk -0)(hk - )

86 الدرس ]-[ قسمة مقدار جبري على حد جبري i) x y 9xy ii) r - v - - r v +0rv rv = r- v - rv مثال : جد ناتج القسمة في كل مما يأتي: = xy g h gh = 9 - r v rv = r - v - - r v + 0 g h gh = 9g h مثال : جد ناتج القسمة : تدريب : جد ناتج القسمة في كل مما يأتي: i) 0 x y -x - y - = ii) 9 zw z w = 00h k + 0h k +0 0hk تدريب : جد ناتج القسمة : rv rv تحليل المقادير الجبري ة الدرس ]-[ مثال : ح لل المقدار باستعمال العامل المشترك : m n - m n + mn العامل المشترك االكبر هو mn 9 تدريب : ح لل المقدار باستعمال العامل المشترك : i)r v + rv ii) g h + g h + gh.... تدريب : ح لل المقدار باستعمال الفرق بين مربعين: i) (r v -m ) ii) (a -) = 9 mn ( m n 9 mn - m n 9 mn + = 9 mn ( m n 9 mn + m n 9 mn + mn 9 mn ) = 9 mn ( m n - mn + ) مثال : ح لل المقدار باستعمال الفرق بين مربعين: i) (9x y -) = (xy-)(xy+) ii) (z -) = (z- )(z+ ) mn 9 mn ) تستعمل قانون قسمة الكسور

87 Chapter Test اختبار الفصل جد ناتج جمع او طرح المقادير الجبري ة االتية : ( x y + xy-)+( xy- xy+) ( 9 rv + gh-) + ( 00 rv- gh+) ( m n + hk+)+( m n +9hk-) ( h k - 0x+)+( h k + x -) ( ab +b+)-(ab + b-) ( rv- h -)-( rv- h +) (x y)(xy) ( gh)(gh) ( a b )(a b ) 0 ( 000 )h k (0)hk 9 rv( r v +rv+ ) 9 wz(w- z - +zw+) -0z w ( 00 zw+0) جد ناتج ضرب المقدارين الجبري ين لكل مما يأتي : (x+y)(x+y) (zw+)(zw+) ( gh-)( gh-) (x+)(x + x+ ) (9r-)(r - r+ ) 9 (m n -n)(m - n - -n+) ( a b + )(a b - ) (y -y )(-y +y+) (z - w - + )(zw+) 0 جد ناتج الضرب للحدود الجبري ة االتية : جد ناتج ضرب المقدارين الجبري ين باستعمال الطريقة العمودية لكل مما يأتي: -x y x - y m n -m n + mn 00 r 0v -h r - v - h - -zw +0zw - zw 9 0 جد ناتج القسمة للمقادير الجبري ة اآلتية: - ab -a 9b ح لل المقادير الجبري ة باستعمال العامل المشترك األكبر : y + y- z w - z w +zw 00c d +0c d + cd ح لل المقادير الجبري ة باستعمال الفرق بين مربعين : z - x - r - g h - v - 9 0z x - xy w - 9w ح لل المقادير باستعمال العامل المشترك األكبر ثم الفرق بين مربعين:

88 الف صل املعادالت واملتباينات Inequalities and Equations الدرس الدرس الدرس الدرس الدرس الدرس ح ل معادالت من الدرجة االولى بمتغير واحد بخطوتين في. R ح ل معادالت من الدرجة االولى بمتغير واحد بخطوات متعددة في. R ح ل معادالت من الدرجة الثانية بمتغير واحد في. R ح ل المتباينات الجبرية ذات خطوتين في. R ح ل المتباينات الجبرية متعددة الخطوات في. R خطة حل المسألة )التخمين والتحقق(. ]-[ ]-[ ]-[ ]-[ ]-[ ]-[ في حديقة الحيوان بحيرتين لتربية التماسيح عدد التماسيح في البحيرة األولى ضعف عدد التماسيح في البحيرة الثانية ومجموع التماسيح في البحيرتين 0 تمساحا باستعمال المعادلة = 0 x x + يمكن حساب عدد التماسيح في كل بحيرة إذ يمثل المتغير x عدد التماسيح في البحيرة الثانية. 9

89 االختبار القبلي Pretest x +, x = (n- ), n = y -, y = جد قيمة العبارة الجبرية في كل م ما يأتي باستعمال قيمة المتغير المعطاة : (y - ) 0, y = - ( d) - (- d), d= v - -, v = - حل معادالت الجمع و الطرح باستعمال الحساب الذهني : x + = y - 9 = 9 0 z = x = m- =0 9 - n = 0 حل معادالت الجمع و الطرح باستعمال العالقة بين الجمع والطرح : w + = m- = - y + = -0 x = - - h = d+ = 9 k = - m = حل معادالت الضرب والقسمة باستعمال العالقة بين الضرب والقسمة : 0 S = y = - n = - x = 0 حل المعادالت التالية في Q: y = m = - 9 x = - h = (-9) 0 x 9 = + z - = 0 y - 0 < + h y < -0 إذا كان a b فإن a + c b + c إذا كان a > b وأن < 0 c فإن a c < b c a إذا كان a b وأن > 0 c فإن c b c x + x > x + 0 < - 9 أكتب مثاال واحدا لكل خاصية من الخواص اآلتية : 9 لكل a,b,c Q لكل a,b,c Q لكل a,b,c Q استعمل خصائص المتباينات لحل كل متباينة من المتباينات اآلتية : 9 + m 0 - y 9 - ( n )

90 حل معادالت من الدرجة االولى بمتغير واحد بخطوتين في R Solving Two-Steps First Degree Equations with One Variable in R الدرس ]-[ فكرة الدرس حل معادلة من الدرجة االولى بمتغير واحد بخطوتين. المفردات معادلة بمتغير واحد. معادلة من الدرجة االولى. حل المعادلة. التحقق. ت ع ل م لدى أحمد أقفاص من طيور الكناري ولدى فراس أقفاص من الطيور. اخرج أحمد طيور من آقفاصه واضافها الى طيور فراس ليصبح لدى كل منهما عدد الطيور نفسه إذا وزعت الطيور بشكل متساو على األقفاص فجد عدد الطيور في كل قفص. ]--[ حل المعادالت باستعمال الجمع والطرح Solving the Equations by using Addition and Subtraction المعادلة من الدرجة األولى بمتغير واحد هي المعادلة التي فيها متغير واحد ومن القوة واحد. حل المعادلة يعني إيجاد قيمة المتغيرفيها ولحل المعادلة ضع المتغير في طرف واألعداد في الطرف اآلخر. 90 مثال )( جد عدد الطيور في كل قفص. افرض عدد الطيور في كل قفص هو x لذا المعادلة التي تمثل المسألة هي الطريقة األولى: الطريقة الرأسية أكتب المعادلة اضف الى كل طرف اضف + الى كل طرف لذا عدد الطيور في كل قفص هو طيرا الطريقة الثانية: الطريقة االفقية أكتب المعادلة اضف الى كل طرف x- اضف + الى كل طرف x - = x + x - = x + -x - x -x لذا عدد الطيور في كل قفص هو طيرا التحقق: عوض عن قيمة المتغير ( =x( التي حصلت عليها من الحل بالمعادلة : x- = x = x - = x + x - -x = x -x+ x- = x- + = + x = x - = x + )(- )( + =

91 حل المعادالت التالية باستعمال الجمع والطرح : i) y - = y - -0 y-y - = y- y- -0 y- + = -0+ y = - ii) 0 + h = h h - h = h - 9 -h = h h = 9 مثال )( iii) x + = x- x + - x = x- x x + = - x + - = - - x = - iv) - m = 0 - m m = 0 + m m -m = 0 +m m m = 0 ]--[ حل المعادالت باستعمال الضرب والقسمة Solving the Equations by using Multiplication and Division استعمل العالقة بين الضرب والقسمة إليجاد قيمة المتغير في معادالت الدرجة االولى بمتغير واحد اقالم تلوين: اشترت سرى علب اقالم تلوين فاحتفظت لنفسها اقالم من كل علبة ووزعت الباقي على اخواتها األربع بالتساوي فكان حصة كل واحدة من اخواتها قلما. ما عدد األقالم في كل علبة مثال )( ( n - ) = (n-) = (n-) () = () افرض عدد األقالم في كل علبة هو n لذا المعادلة التي تمثل المسألة هي أضرب كل طرف في (n - ) = 0 n - = 0 n - + = 0 + n = n = 9 أضرب في داخل القوس أضف + الى كل طرف أقسم كل طرف على لذا عدد األقالم في كل علبة هو قلما التحق ق : عوض عن قيمة المتغير ( =n( التي حصلت عليها من الحل بالمعادلة : ( n - ) = ( - ) = مثال )( حل المعادالت التالية باستعمال الضرب والقسمة : i) x = () = x x = () x = ii) y = - y = y = 0 y = 0 y = 0 y =

92 حل المعادالت اآلتية : i) y + = y - y -y = - - y = - y = مثال )( ii) x - = 9 x x - = x x - - x = x -x x - = 0 x- + = 0+ x = iii) (t + ) = (t +) t + = 9t + t -9t = - iv) x = 0 x() = () 0 9t = t = 9 x = t = x = () x = تأك د من فهم ك حل المعادالت التالية باستعمال الجمع والطرح وتحق ق من صحة الحل : x - 0 = x +0 + m = m - y + = y - - x = - +x d - d = - 9 األسئلة -( ) y = y - مشابهة للمثالين ),( h + = h + 9 x = - + x حل المعادالت التالية باستعمال الضرب و القسمة وتحق ق من صحة الحل : x = 9 0 m - 9 = m x = (h + ) = y - = z = y = - n = (-9) األسئلة 9-( ) مشابهة لألمثلة ),( 0 y - 0 = y + 9 تدرب وحل التمرينات حل المعادالت التالية باستعمال الجمع والطرح وتحق ق من صحة الحل : f = +f x + = x - z - = z + - h = - h x = -9 + x 9 y = x 9 = (k + ) = حل المعادالت التالية باستعمال الضرب و القسمة وتحق ق من صحة الحل : y = h = 0 - n = (-) x = x z - = v - = - v 9

93 تدرب وحل مسائل حياتية شراء: اشترى أنور سيارة بقيمة مليون دينار. دفع ماليين دفعة أولى وقس ط الباقي على شهرا. أكتب معادلة تمثل المسألة وحل ها لكي تجد قيمة القسط الشهري. غوص : نزلت غواصة ابحاث من سطح البحر فقطعت 0 من عمق البحر وتوقفت. على اي عمق يقع قاع البحر إذا كانت الغواصة قد توقفت على عمق 0 m من سطح البحر حديقة الحيوان : حل المعادلة + n n + = اليجاد قيمة n التي تمث ل عدد القرود في حديقة الحيوان. حدائق : ز ر ع ت منطقة مستطيلة الشكل بالورد طولها ثالثة أمثال عرض ها. ما أبعاد المنطقة المزروعة بالورد إذا كان محيط ها m ف ك ر تحد : حل المعادالت اآلتية : x - = - x - f = +f وكتبت v= v = أصح ح الخطأ : حلت ايمان المعادلة اآلتية : حدد خطأ ايمان وصححه. حس عددي : عمر سمير ضعف عمر سعد بعد مرور سنوات ي صبح عمر سمير سنة. ما عمر سعد قبل سنوات 9 n - 0 = 0 ا كتب مسألة حياتية تمثل المعادلة التالية وجد حل ها : 9

94 الدرس ]-[ حل معادالت من الدرجة االولى بمتغير واحد بعدة خطوات في R Solving Multi-Step First Degree Equations with One Variable in R فكرة الدرس حل معادلة من الدرجة االولى بمتغير واحد بعدة خطوات. المفردات خاصية التوزيع. خاصية التجميع. ت ع ل م على الساحل 00 فقمة زادت عددها نتيجة الوالدة وبعد تعرضها الى هجوم من قبل الحيتان الزرق قل عد دها الى 0 فقمة. ماعدد الفقمات المفقودة ]--[ حل المعادالت التي تتضمن متغيرا في أحد طرفيها أو كليهما Solving the Equations Which has variable in one side or both sides لحل المعادلة التي تحتوي على متغير واحد اعزل الحد الذي يحتوي على المتغير في أحد طرفيها ثم اجعل معامله واحدا باستعمال خواص االعداد الحقيقية )التوزيع التجميع... ). إليجاد عدد الفقمات المفقودة افرض أن عدد الفقمات المفقودة هو n 00 - n = 0 المعادلة التي تمثل المسألة هي جد ناتج n = n = 0 - n = n = -0 مثال )( n = 0 لذا عدد الفقمات المفقودة هو 0 فقمة. التحق ق : عو ض عن قيمة المتغير) n=0 ( التي حصلت عليها من الحل بالطرف األيسر) LS (من المعادلة : n = 0 اعزل حد المتغير في طرف اضرب طرفي المعادلة في )-( LS = 00 + (الطرف األيمن) - n = = 0 = RS 00 مثال )( حل المعادالت التالية باستعمال خواص االعداد الحقيقية : i) (z -) + = - z- + = z = z = z = ii) (x - ) = x - x - 0 = x - x - x = 0 - x = iii) (y + 0)- = (y - ) y + - = y - y - y = - y = - y = - 9

95 ]--[ حل المعادالت التي تتض من القيمة المطلقة Solving the Equations containing Absolute Value إن حل المعادلة التي تحتوي على القيمة المطلقة للمتغير مثل = x يعني ايجاد المسافة بين x و العدد 0 على مستقيم األعداد وحدات وحدات لذا فإن حل المعادلة = x هو إما = x أو - = x ومجموعة الحل هي {,- } مثال )( حديقة الحيوان : المعادلة = -x تمثل درجة حرارة المكان المخصص لألفاعي. جد درجة الحرارة العظمى والصغرى لمكان األفاعي في حديقة الحيوان. x - = الحالة األولى : x = + x = 9 x - = - x = - x = لذا درجة الحرارة العظمى هي 9 درجة سليزية الحالة الثانية : لذا درجة الحرارة الصغرى هي درجة سليزية ويمكن تمثيل الحل بيانيا على مستقيم األعداد : درجة درجة 9 مجموعة الحل للمعادلة هي { } 9, أكتب معادلة القيمة المطلقة التي تمثيلها البياني على مستقيم األعداد هو : 9 0 مثال )( جد نقطة تبعد المسافة نفسها بين العدد والعدد وهذه النقطة هي منتصف المسافة بين العددين أي العدد وحدات وحدات لذا المعادلة المطلوبة هي = x- 9 0 y+9 = y = - أو = 9 + y i) y+9 = - y = - n- = - n= n = مثال )( حل المعادالت اآلتية : مجموعة الحل للمعادلة مجموعة الحل ii) n - = أو = n n- = n= } -,-{, iii) x - = - يعني أن المسافة بين x و تساوي - وبما أنه ال يمكن ان تكون المسافة سالبة لذا فإن مجموعة الحل لهذه المعادلة هي المجموعة الخالية. 9

96 ت أك د من فهم ك حل المعادالت التالية باستعمال خواص األعداد الحقيقية : y - = y z = z + ( y + ) = y x = x - ( n + ) = y = ( y - )+ األسئلة ( - ) مشابه للمثال )( حل المعادالت التالية باستعمال الخواص وتحق ق من صحة الحل : (x + 0) = (x - 0) y - = (t - v )+ = (- t ) = v x - = y + 0 = 9 m + 9 = z - 9 = األسئلة 0( - ) مشابه الى المثالين ),( حل المعادالت اآلتية: األسئلة ( - ) مشابه الى المثالين ),( تدرب وحل التمرينات حل المعادالت التالية باستعمال خواص األعداد الحقيقية : x + = x - - n = + n 9 ( t + ) = t - - y = y - ( v + ) = 0 9 z = ( z - 0) + حل المعادالت التالية باستعمال الخواص وتحق ق من صحة الحل : (y - ) = (y + ) z -9 = (x - ) + = (x - ) m = m + - حل المعادالت اآلتية: y - = 9 x - 0 = m + 9 = y - = - أكتب معادلة القيمة المطلقة التي تمثيل ها البياني على مستقيم األعداد هو:

97 تدرب وحل مسائل حياتية طقس : معدل درجة الحرارة في شمال العراق في شهر شباط درجة سلسيزية تزيد أو تنقص بمقدار درجة سليزية. أكتب معادلة تمثل درجة الحراراة الصغرى والعظمى لشهر شباط. مترو األنفاق : معدل سرعة قطار مترو اآلنفاق 0 km/h وتقل سرعته عند المنعطفات بمقدارkm/h 0 وتزداد عندما يكون الطريق مستقيما بمقدارkm/h 0. أكتب معادلة إليجاد أكبرسرعة وأصغرسرعة للقطار. شراء : يريد وليد شراء جهاز حاسوب بثمن 0000 دينار لديه في الوقت الحاضر دينار ويوفر كل اسبوع 0000 دينار. بعد كم أسبوع سيجمع وليد مبلغ جهاز الحاسوب ف ك ر تحد : حل المعادالت اآلتية: x = x + - y - 9 = - أ صح ح الخطأ: حلت هبة المعادلة اآلتية: (z - ) = (z - ) وكتبت = z. حدد خطأ هبة وصححه. ح س عددي : أكتب معادلة القيمة المطلقة التي تمثيلها البياني على مستقيم األعداد هو: ا كتب مسألة حياتية تمثل معادلة القيمة المطلقة التي تمثيلها البياني هو :

98 الدرس ]-[ ح ل معادالت من الدرجة الثانية بمتغير واحد في R Solving Second Degree Equations with One Variable in R فكرة الدرس حل معادلة من الدرجة الثانية بمتغير واحد في.R المفردات معادلة من الدرجة الثانية. خاصية الضرب الصفري. تعلم يقع برج بغداد في منطقة اليرموك غرب بغداد وب ني سنة 99 ويبلغ ارتفاعه 0m ومساحة قاعدة البرج المربعة m جد طول ضلع قاعدة البرج. ]--[ حل المعادالت باستعمال الجذر التربيعي Solving the Equations by Using Square Root المعادلة من الدرجة الثانية بمتغير واحد هي المعادلة التي فيها أكبر قوة للمتغير هي القوة الثانية مثال = x x = 0 x وحلها يعني ايجاد قيمتين للمتغير. x مثال )( مساحة قاعدة البرج هو m جد طول ضلع القاعدة. x = x أو = x = - x أو = x = - المعادلة التي تمثل مساحة القاعدة هي يوجد جذران تربيعيان للعدد و - هما جذرا العدد لذا طول ضلع قاعدة البرج هو m والقيمة - = x ت همل الن طول القاعدة اليمكن ان يكون سالبا. حل المعادالت التالية باستعمال الجذر التربيعي : i) y = y أو = y = - y أو = y = - مثال )( ii) z = ( z ) = z = z = أو z = - z أو = z = - iii) x = (x ) = x = x = - = x أو x أو = x = - x = - = x أو iv) t = t = t أو = t = - t أو = t = - 9

99 ]--[ حل المعادالت باستعمال خاصية الضرب الصفري Solving the Equations by Using Zero Product Property خاصية الضرب الصفري : إذا كان نتيجة ضرب عددين يساوي صفرا فإنه يجب أن يكون أحد العددين يساوي صفرا مثال =0 0 = 0 0 ولذا فإنه إذا كان = 0 ab يؤدي الى a=0 أو b=0. رياضة : يمثل القانون =L t- + 0t أرتفاع سهم باألمتار الذي أطلقه مختار في الهواء إذ تمثل t الزمن بالثواني. احسب الزمن الالزم لكي يعود السهم من االرتفاع الذي انطلق منه. مثال )( L = 0 يكون السهم عند االرتفاع الذي انطلق منه عندما يكون -t + 0t = 0 لذا t (-t + ) = 0 نحلل باستخراج العامل المشترك t = 0 t = 0 خاصية الضرب الصفري -t + = 0 t = أو = 0 t هو زمن انطالق السهم بالثواني. = t هو الزمن الذي استغرقه السهم للعودة الى االرتفاع الذي انطلق منه بالثواني. حل المعادالت التالية باستعمال خاصية الضرب الصفري : مثال )( i) ( x - ) ( x + ) = 0 x - أو = 0 x+ = 0 x أو = x = - ii) ( t + ) ( t + ) = 0 t + أو = 0 t+ = 0 t = أو - t = - t = - iii) ( y - ) ( y 9) = 0 y - أو = 0 y - 9 = 0 y أو = y = 9 iv) ( z - ) ( z + ) = 0 z - أو = 0 z + = 0 z أو = z = - v) ( n + ) ( n - ) = 0 n + أو = 0 n - = 0 n = أو - n = vi) x - x = 0 x ( x - ) = 0 x أو = 0 x - = 0 x أو = 0 x = vii) y - y = 0 y( y - ) = 0 y أو = 0 y - = 0 y أو = 0 y = viii) z - z = 0 z( - z) = 0 z أو = 0 - z = 0 z أو = 0 z = ix) h + h = 0 h + h = 0 h ( h + ) = 0 h أو = 0 h + = 0 h أو = 0 h = - 99

100 ت أك د من فهمك حل المعادالت التالية باستعمال الجذر التربيعي : x = n - = y = + m = z = x = 9 األسئلة )-( مشابهة للمثال )( ( y - ) ( y + ) =0 ( - m) ( - m ) = ( x - ) ( x + 9 ) = 0 حل المعادالت التالية باستعمال خاصية الضرب الصفري : (x + 0) ( x + 0 ) = 0 ( h - ) ( h - ) = 0 ( v + ) ( v - ) = 0 األسئلة )-( مشابهة للمثال )( y - y = 0 t - t = 0 z + z = 0 x + x = 0 األسئلة -( ) مشابه للمثال )( تدرب وحل التمرينات حل المعادالت التالية باستعمال الجذر التربيعي : y = 9 t - = 0 z = 9 z = + n = v - = x = x = m - = حل المعادالت التالية باستعمال خاصية الضرب الصفري : 9 0 ( x - ) (x + ) = 0 ( - n) ( - n ) = 0 ( t - ) ( t + ) = 0 ( - v ) ( + v) = 0 z - z = 0 n - n = 0 v + v = 0 9 (y - ) ( y - ) = 0 ( z + 9) ( z + ) = 0 ( x + ) ( x - ) = 0 ( y + ) ( y - ) = 0 x - x = 0 y - y = 0 x - x = 0 00

101 تدرب وحل مسائل حياتية س ج اد : غرفة مربعة الشكل طول ضل عها x متر ف ر شت في وسط ارضيتها سجادة مربعة الشكل مساحتها m فكان مساحة المنطقة غير المغطاة بالسجادة m. ما طول ضلع الغرفة ك رة الريشة : ضربت دينا كرة الريشة بالمضرب نحو األعلى بسرعة 0 m/sec إذا كان القانون H = -t + t يعبر عن ارتفاع كرة الريشة في الهواء باألمتار بداللة الزمن بالثواني. احسب الزمن الذي استغرقته ك رة الريشة للعودة الى سطح األرض. رماية : يمثل القانون + 0t H= -t + أرتفاع السهم الذي اطلقه خالد في الهواء إذ تمثل t الزمن بالثواني. جد ارتفاع السهم بعد ثانية من اطالقه وما الزمن االزم لكي يعود السهم الى ارتفاع m 0 ف ك ر تحد : حل المعادالت اآلتية : (z + )( z - )= 0 x - = y - = 0 أ صح ح الخطأ: حلت جميلة المعادلة اآلتية : x - x + = 0 x=. حدد خطأ جميلة وصححه. وكتبت x= أو ح س عددي : أثبت أن - +y ( y+ ) ( y ) = y ثم جد حل المعادلة :. y +y = x ( x + ) = 0 أكتب مسألة حياتية تمثل المعادلة اآلتية : 0

102 Solving Two-steps Algebraic Inequalities in R الدرس ]-[ فكرة الدرس ح ل المتباينات الجبرية ذات الخطوتين باستعمال العمليات األربع وتمثيل الحل على مستقيم األعداد. المفردات المتباينة الجبرية. مجموعة الحل. حل المتباينات الجبرية ذات الخطوتين في R ت ع ل م ياسين عمره سنة يتدرب على كرة القدم ويفكر في المشاركة في الفريق الوطني. أكتب متباينة وحلها لتحديد بعد كم سنة يمكنه األنضمام للفريق الوطني. فريق الناشئين )العمر - ( الفريق الوطني )العمر فما فوق( فريق الشباب )العمر - (. ]--[ حل المتباينات الجبرية ذات الخطوتين باستعمال الجمع والطرح Solving Two-steps Algebraic Inequalities by Using addition and subtraction تسمى المتباينة التي تحتوي على متغير أو أكثر متباينة جبرية وكل عدد يجعل المتباينة صحيحة هو حل للمتباينة وتسمى مجموعة الحلول للمتباينة بمجموعة الحل ويمكن تمث يلها على مستقيم األعداد الحقيقية. من خواص المتباينات على األعداد الحقيقية : ) خاصية الجمع : لكل a, b,c R إذا كان a b فإن a + c b + c ) خاصية الطرح : لكل a, b,c R إذا كان a b فإن a - c b - c العالقات ) و ( تبقى صحيحة في حالة استبدال بالعالقات ( > < ) أكتب متباينة تمثل المسألة وحلها إليجاد عدد السنوات التي ينتظرها ياسين ليتمكن من االنظمام للفريق الوطني. مثال )( x + المتباينة التي تمثل المسألة هي x اضف - الى طرفي المتباينة x يتمكن ياسين بعد سنة في األقل من االنظمام الى الفريق الوطني. حل المتباينات التالية في R باستعمال خواص الجمع والطرح ومثل ه على مستقيم األعداد : i) x - x - x -x - x... مثال )( ii) z - > z - z -z > - z > حل المتباينات التالية في R باستعمال خواص الجمع والطرح : 0 مثال )( i) (y - ) < y + y - <y + y- y < + y< ii) t + t - t - t - - t t t iii) ( h+ ) < 0 h + < 0 h + < 0 h < - iv) ( m + ) > 0( m - ) m + > 0 m - 0 m > -

103 ]--[ حل المتباينات الجبرية ذات الخطوتين باستعمال الضرب والقسمة : Solving Two-steps Algebraic Inequalities by Using multiplication and division يمكن حل المتباينات الجبرية باستعمال خواص الضرب والقسمة على األعداد الحقيقية : ) خاصية الضرب : )i لكل a, b,c R إذا كان > 0 c a b فإن a c b c a c b c فإن a b c إذا كان < 0 a, b,c R لكل )ii a c b c ) خاصية القسمة : )i لكل a,b,c R إذا كان a b وأن < 0 c فإن a c b فإن c وأن > 0 a b إذا كان a,b,c R لكل )ii c حل المتباينات التالية فيR باستعمال خواص الضرب والقسمة ومثل ه على مستقيم األعداد : i) y < y - > - y > - ii) x - - x - طيور : لدى أنور طائرا ولدى أثير 9 طائرا يريد أنور مثال )( أن يضاعف عدد الطيور ليكون عددها أكثر من عدد طيور اثير بمقدار 0 طيور في األقل. كم مرة يجب ان يضاعف أنور عدد الطيور التي لديه x 0 9 اكتب المتباينة التي تمثل المسألة x اضف 0 الى طرفي المتباينة x 0 اقسم طرفي المتباينة على x يجب أن ي ضاعف انور عدد طيوره مرات في األقل + x - x - مثال )( مثال )( حل المتباينات التالية في R باستعمال خواص الضرب والقسمة : i) 9x < 9x 9 < 9 x < x< x < ii) -t -t -t -t (-) (-) t - حل المتباينات التالية في R باستعمال خواص المتباينات على األعداد الحقيقية : iii) z > ( z ) z > z z z > - z > - z > - iv) m < - m < - m < - m < -0 v) -9 k -9 9 k 9 - k k - k - 0

104 9 0 تأكد من فهمك حل المتباينات التالية في R باستعمال الخواص ومثل ه على مستقيم األعداد : y - y - x - < x - األسئلة ) - ( t + t - مشابهة الى األمثلة ( ) 9 - z > 0 حل المتباينات التالية في R باستعمال خواص الجمع والطرح : ( x - ) < x + ( m + 0 ) < 0 t y+ - y - 9 ( z - ) > 0 ( z + ) األسئلة ) - ( مشابهة الى المثال )( حل المتباينات التالية في R باستعمال خواص الضرب والقسمة : -x األسئلة ) - (9 < y مشابهة الى المثال )( حل المتباينات التالية في R باستعمال خواص المتباينات على األعداد الحقيقية : (v + ) v - 9 ( x + 9 ) > 0 -h < - z + - < z - األسئلة ) - ( ( t - ) > ( t + ) مشابهة الى األمثلة ( ( x + - تدرب وحل التمرينات 9 0 9( z - ) < z - ( m + ) < 0 حل المتباينات التالية في R باستعمال خواص الجمع والطرح : v- v + ( x- ) > ( x -) حل المتباينات التالية في R باستعمال خواص الضرب والقسمة : p - -x 9 < - m حل المتباينات التالية في R باستعمال خواص المتباينات على األعداد الحقيقية : 9 (x - ) x - ( x - ) 0 n - - > - 0 y+ < y - (z +) > ( z + ) k - - 0

105 تدرب وحل مسائل حياتية خرز : تريد صبا أن تهدي أختها في عيد ميالدها عقدا من خرز اللؤلؤ يتألف من 00 خرزة ويتطلب صنعه ساعات إذا كان في العقد خرزة فما أقل عدد من الخرز ينبغي لها ادخاله في كل ساعة ألكمال العقد ك رة القدم : في مباراة الدوري ألندية الدرجة األولى لكرة القدم فاز فريق القوة الجوية في مباريات وخسر في مباريات وبقى أ مامه مباراة. ما أقل عدد من المباريات الباقية يجب أن يفوز بها الفريق لكي يفوز بأكثر من نصف العدد الكلي للمباريات مدينة األلعاب : يحتاج شباك التذاكر في مدينة األلعاب الى دينار لتغطية نفقاته التشغيلية يوميا. إذا باع بمبلغ 0000 دينار حتى الظهر بسعر التذكرة 0 دينارا فكم تذكرة عليه بيعها في األقل لئال يقع تحت العجز المالي ف ك ر تحد : حل المتباينات اآلتية : y - < - ( z -) > ( x - ) (+ ) 0 v أ صح ح الخطأ: حل عثمان المتباينة التالية: - - وكتب مجموعة الحل هي : }...,,,{ حدد خطأ عثمان وصححه. ح س عددي : أثبت أن قيم h التي تجعل المتباينة التالية صحيحة وهي اعدادا سالبة فقط : h + < x ا كتب مسألة حياتية تمثل المتباينة اآلتية : 0

106 Solving Multi-step Algebraic Inequalities in R الدرس ]-[ حل المتباينات الجبرية متعددة الخطوات في R فكرة الدرس حل المتباينات الجبرية متعددة الخطوات باستعمال الخواص وتمثيل الحل على مستقيم األعداد. المفردات المتباينة الجبرية. المتغير. تعلم إذا أراد جنود الصعود الى المروحية ويحمل كل واحد منهم 0kg من معداته الشخصية. أكتب متباينة وحلها اليجاد الوزن األضافي المسموح به لكل جندي على أن التزيد حمولت هم الكلية على.0kg ]--[ حل المتباينات الجبرية متعددة الخطوات والتي تتضمن متغيرا في أحد طرفيها. Solving Multi-steps Algebraic Inequalities Which has variable in one side لحل متباينة تحتوي على متغير في احد طرفيها استعمل الخواص لعزل الحد الذي يحتوي على المتغير في طرف المتباينة ثم اجعل معامله واحدا باستعمال خاصية الضرب او القسمة وجد مجموعة الحل للمتباينة ويمكن تمثل مجموعة الحل على مستقيم األعداد الحقيقية. أكتب متباينة تمثل المسألة وحل ها اليجاد عدد الكيلوغرامات االضافية المسموح بها الى لكل (w + 0) 0 w w 0 w 90 i) (y-) - y- y 9 y 0 مثال )( جندي. نفرض أن المتغير w يمثل الوزن االضافي المسموح به لكل جندي اضف - 0 الى طرفي المتباينة اقسم طرفي الميتباينة على يستطيع كل جندي أن يحمل 90kg من الوزن األضافي الى المروحية حل المتباينات التالية في R باستعمال الخواص ومثل ه على مستقيم األعداد :... ii) (x - )+ x > -0 x + x > -0 + x > - مثال )( مثال )( حل المتباينات التالية في R باستعمال خواص المتباينات على األعداد الحقيقية : i) (z - ) 0 ( - ) z - - z - + z - ii) v v < - v - v - < - v < v > - iii) 9 - > (x -) 9 + > x - > x - > x x < iv) - ( h + ) < 0 - h + - < 0 -h -< 0 -h < h > -

107 ]--[ حل المتباينات الجبرية متعددة الخطوات والتي تتضمن متغيرا في طرفيها : Solving Multi-step Algebraic Inequalities Which has variable in both sides لحل المتباينات الجبرية متعددة الخطوات والتي تتضمن متغيرا في طرفيها أتبع ما يأتي : - استعمل خاصية التوزيع للتخل ص من األقواس إن وجدت. - احصر المتغير في طرف واحد من المتباينة. - استعمل ترتيب العمليات لتبسيط المتباينة. - استعمل الخواص اليجاد مجموعة الحل للمتباينة. حيوانات : وزن الدب 00kg قبل مرحلة السبات وزنه الطبيعي ال يقل من 0kg يمكن أن يفقد من وزنه kg في األسبوع عند السبات. فكم اسبوعا يستطيع أن يصمد في السبات 00 - x 0 - x x -0 x 0 مثال )( ليصل الى وزنه الطبيعي نفرض ان المتغيرx يمثل عدد االسابيع اكتب المتباينة التي تمثل المسألة اضف الى طرفي المتباينة 00- اقسم طرفي المتباينة على - يستطيع الدب أن يصمد 0 اسبوعا على االكثر. حل المتباينات التالية في R باستعمال الخواص ومثل ه على مستقيم األعداد : i) x < (x-9) x < x- x < 0 x-0 0 < x 0 < x x > 0 مثال )( ii) (y - ) ( - y) y y y +y 0 + y y حل المتباينات التالية في R باستعمال خواص المتباينات على األعداد الحقيقية : i) (t - ) < (t - ) t - < t - t - t < - t < - مثال )( ii) -x x (-x) x -x x 0 x +x 0 9x x 0 iii) (z + ) > ( - z) z + > - z z + z > - z > - z > - iv) h + h - + h - h h h h v) - - y - y - - y -y y - y + -y y - 0

108 ت أك د من فهم ك حل المتباينات التالية في R باستعمال الخواص ومثل ه على مستقيم االعداد : (x-) - - (z - ) + z - t > ( - t) (n - ) 9( - n) األسئلة )-) مشابه لالمثلة ) ( حل المتباينات التالية في R باستعمال خواص المتباينات على األعداد الحقيقية : (x - ) (- ) - - ( z -) y y < - - ( m + ) > 0 األسئلة )-) مشابه للمثال )( 9 0 ( - h) ( h - ) 9 (x - ) < ( - x) - - k - k -z + z n + > n - (y - ) ( + y) األسئلة )9-) مشابهة للمثالين ) ( تدرب وحل التمرينات حل المتباينات التالية في R باستعمال خواص المتباينات على األعداد الحقيقية : 9 (y+) < 9- - x ( x) (z - ) < ( - ) k - ( k -) 0 (t - ) + t - (h + ) > ( - h) m m -9 - ( x + ) > 0 9( + y) < ( y - ) (z - ) ( - z) - x > - - x -n + n h + < h + 9 (y+ ) ( - y) 0

109 تدرب وحل مسائل حياتية حديقة الحيوان : باع شباك التذاكر في حديقة الحيوان تذاكر بمبلغ 0000 دينار بسعر التذكرة 00 دينار لحد الظهر ويحتاج شباك التذاكر الى مبلغ 0000 دينار يوميا لتغطية نفقاته التشغيلية. ما أقل عدد من التذاكرعليه بيعها لتغطية النفقات التشغيلية 9 كرة السلة : ضمن مباريات الدوري لكرة السلة فاز الفريق األصفرفي مباراة وخسر 0 مباريات وبقى أمامه 0 مباراة ليخوض ها. ما أقل عدد من المباريات الباقية التي ينبغي للفريق الفوز بها لكي يفوز بأكثر من نصف العدد الكلي من المباريات 0 طائرات ورقية : تريد نادية عمل طائرة ورقية من قطعة ورقية مستطيلة الشكل يزيد طول ها بمقدار cm على عرض ها. ما اقل طول للقطعة الورقية بحيث يكون محيط ها أكبر من 0cm ف ك ر تحد : حل المتباينات اآلتية: x x > - ( y - )(+ - ) y أصح ح الخطأ: حلت وردة المتباينة اآلتية: ( h + ) - وكتبت مجموعة الحل هي : }, -,-,-{ حدد خطأ وردة وصح حه ح س عددي : أثبت أن قيم z التي تجعل المتباينة التالية صحيحة هي اعداد سالبة فقط. z - < - - ا كتب مسألة حياتية تمثل المتباينة اآلتية : ( x + ) 0 09

110 الدرس ]-[ فكرة الدرس استعمال التخمين والتحقق في حل المسألة افهم خطة حل المسألة )التخمين والتحقق ) ت ع لم ما المعطيات في المسألة : يأكل العجل الصغير kg من العلف يوميا وتأكل البقرة kg من العلف يوميا ومجموع استهالك الحقل يوميا 00kg من العلف مجموع األبقار والعجول. 0 ما المطلوب في المسألة : إيجاد عدد العجول وعدد األبقار في الحقل. Problem solving Plan (Guess and Check) في حقل تربية األبقار يأكل العجل الصغير kg من العلف يوميا وتأكل البقرة kg من العلف يوميا ومجموع استهالك الحقل من العلف 00kg يوميا. إذا كان مجموع األبقار والعجول هو 0. فما عدد كل منهما خ ط ط كيف تحل المسألة خم ن وتحق ق وع دل التخمين حت ى تصل الى اإلجابة الصحيحة. حل استهالك الحقل من العلف يوميا 00kg عدد العجول x عدد االبقار y التحقق x + y = 00 0 < 00 (0) + (0) = < 00 (0) + (90) = صحيح (0) + (00) = لذا يوجد 0 عجال و 00 بقرة في الحقل. = مجموع األبقار والعجول في الحقل وأن )0()( + =)()00( 00 لذا التخمين صحيح. تحق ق 0

111 Problems م سائل استعمل استراتيجية التخمين والتحق ق لحل المسائل اآلتية: نقود : تسل م اياد مبلغ نصف مليون دينار من المصرف منها فئة خمسة االف وفئة عشرة آالف فإذا كانت فئة الخمسة آالف ثالثة أمثال فئة العشرة آالف فما عدد كل منهما صالة تزلج : باع شباك التذاكر لصالة الت زلج تذاكر بمبلغ 0000 دينار حتى الظهر بسعر 00 دينار للشخص الواحد ويجب على شباك التذاكر أن يبيع في األقل بمبلغ 0000 دينار يوميا لتغطية النفقات التشغيلية للصالة فكم عدد التذاكر التي يبيعها في األقل لتغطية المبلغ كرة القدم : ضمن مباريات الدوري لكرة القدم فاز فريق القوة الجوية في مباراة وخسر مباراة وبقى أمامه مباراة ليخوض ها. ما أقل عدد من المباريات الباقية التي ينبغي للفريق الفوز بها لكي يفوز بأكثر من ثلثي العدد الكلي من المباريات مسرح : مسرح يتسع ل 0 شخصا حجزت أماكن ل شخصا في المقدمة لمشاهدة عرض مسرحي وضع المنظمون صفا من الكراسي. ما العدد األقصى للكراسي في كل صف

112 المفردات مراجعة الف صل عربي English عربي English خاصية الضرب الصفري Pro. Zero Product األعداد الحقيقية Real Numbers الجذر التربيعي Square Root معادلة Equation متباينة Inequality حل المعادلة solving equation متباينة جبرية Algebraic Inequality متغير Variable خطوتان Two - steps الدرجة األولى First Degree القوة power معادلة الدرجة األولى First Degree Equation مجموعة الحل Soul - Set خاصية التوزيع Distributive Property متعدد الخطوات Multi- Step خاصية التجميع Addition Property التخمين Guess القيمة المطلقة Absolutely Value التحقق Check مستقيم األعداد الحقيقية Real Line مسائل Problems الدرجة الثانية Second Degree خطة Plan معادلة الدرجة الثانية Equ. Second Degree الطرف االيسر (L.S) Left Side المجموعة الخالية Set Empty Right Side (R.S) الطرف االيمن تدريب : حل المعادالت التالية باستعمال الجمع والطرح i) y - = y ii) - h = h تدريب : حل المعادالت التالية باستعمال الضرب و القسمة i) y = ii) x - = x Chapter Review الدرس ]-[ حل المعادالت من الدرجة األولى بمتغير واحد بخطوتين في R مثال : حل المعادالت التالية باستعمال الجمع والطرح i) z - = z + -0 z-z = +0 z = ii) t + = t - + = t - t 9 = t مثال : حل المعادالت التالية باستعمال الضرب و القسمة i) (y -) = (y+9) y-=0y+ y -0y = + y = y = = ii) x = 9 x() = () (9) x = x = = 9

113 الدرس ]-[ حل المعادالت من الدرجة األولى بمتغير واحد بخطوات متعددة في R مثال : حل المعادالت التالية باستعمال خواص االعداد الحقيقية : i) (x-) += - x - += x- = x = x = 9 ii) (z +) -0 = ( z) z +- 0= z z = z = مثال : حل المعادلة اآلتية : تدريب : حل المعادالت التالية باستعمال خواص االعداد الحقيقية : i) (x- ) = x ii) (y + 0) - = ( y)..... تدريب : حل المعادلة اآلتية : z - = n - = n - = n= n = n - = - n = n = { مجموعة الحل }, أو الدرس ]-[ حل المعادالت من الدرجة الثانية بمتغير واحد في R مثال : حل المعادالت التالية باستعمال الجذر التربيعي : i) x = أو x= x = - أو x= y = - ii) t = (t ) = t = t= - = t أو t= - = t أو مثال : حل المعادالت التالية باستعمال خاصية تدريب : حل المعادالت التالية باستعمال الجذر التربيعي : i) z = ii) z -= تدريب : حل المعادالت التالية باستعمال خاصية الضرب الصفري : i) (x - )(x - ) = ii) z + z = الضرب الصفري : i) (x-)( x+) =0 x- أو =0 x+ = 0 x أو = x = - ii) y - y = 0 y(- y) = 0 أو y= 0 - y= 0 أو y=0 y=

114 الدرس ]-[ حل المتباينات الجبرية ذات الخطوتين في R تدريب : حل المتباينات التالية في R باستعمال خواص الجمع والطرح : ii) t + t i) ( y+ ) < تدريب : حل المتباينات التالية في R باستعمال خواص المتباينات على األعداد الحقيقية : i) (n ) < (n ) ii) -x x مثال : حل المتباينات التالية في R باستعمال خواص الجمع والطرح : i) (y- )<y y - < y y - y< y< ii) ( y+ )< 0 y+ < 0 y + < 0 y < - مثال : حل المتباينات التالية في R باستعمال الحقيقية : خواص المتباينات على األعداد > (9+z) ( -z) z+> - z z+ z> - z > - الدرس ]-[ حل المتباينات الجبرية متعددة الخطوات في R مثال : حل المتباينات التالية في R باستعمال مثال : حل المتباينة التالية في R باستعمال خواص المتباينات على األعداد الحقيقية : i) (x- ) (- ) x - - x - + x x x ii) - - < ( y-) + <y - 9 < y- <y < y خواص المتباينات على األعداد الحقيقية : تدريب : حل المتباينات التالية في R باستعمال خواص المتباينات على األعداد الحقيقية : i) n n < ii) - ( z - ) تدريب : حل المتباينة التالية في R باستعمال خواص المتباينات على األعداد الحقيقية : ( y + ) > ( - y) t +t - +t +t t t + t

115 Chapter Test اختبار الفصل 0 9 z = ( h - ) = h - -z = z - y = 0 (y-) + (x-0) = (x+0) t + - = t حل المعادالت التالية باستعمال الخواص األعداد الحقيقية وتحق ق من صحة الحل : +z m - = m + h = - + h z = h = 9y x -9 = x 9 = = حل المعادالت التالية في R باستعمال الخواص : y - = (z-) + = (z - 0 ) y - = v - = n + = 0 x - = - z - = 9 z = z حل المعادالت التالية في R باستعمال الجذر التربيعي : x = 9y = t = n = 0 - z = - k = 9 y = 9 9 h - = 0 (y - ) (y + ) = 0 (z-) ( z- ) = 0 ( x + ) (x- ) = 0 حل المعادالت التالية في R باستعمال خاصية الضرب الصفري : ( -h) ( +h) = 0 (t+)(t ) = 0 z - z = 0 x + x = 0 n - n = 0 y - y = 0 حل المتباينات التالية باستعمال خواص المتباينات على األعداد الحقيقية : 9 (x - ) x - 0 9z+ - <0z - ( y - 0 ) 0 t - > - - (z- )+ z - (h- ) ( -h) 9 m (x+) < - y ( - y) (x+) > (- x) m + < m y > - - y

116 Mutiple Choice Ordering Operations on Rational Numbers االختيار من متعد د الدرس ]-[ ترتيب العمليات على االعداد النسبية اختر اإلجابة الصحيحة لكل مما يأتي: استعمل جمع وطرح األعداد النسبية لتكتب كل مقدار بأبسط صورة : - + =... a) - b) c) d) =... a) b) - c) d) =... a) - b) - c) d) = a). b). c) -. d). استعمل ضرب وقسمة األعداد النسبية لتكتب مقدار بأبسط صورة : (- ) =... a) b) - c) d) =... a) - b) c) d) -.. (-0. ) = a) -.9 b)-.9 c)-90 d)-.90 استعمل ترتيب العمليات على األعداد النسبية لتكتب مقدار بأبسط صورة : =... a) - b) c) d) =... a) - 0 b) 0 c) 0 d) =... a) - 0 b) 0 c) 0 d) - 0

117 Mutiple Choice االختيار من متعد د الدرس ]-[ القوى )األسس ) السالبة والصورة العلمية للعدد Scientific Notation and Negative Powers (Exponents) of Number اختر اإلجابة الصحيحة لكل مما يأتي: احسب األسس السالبة لكل مما يأتي: - a) - b) - c) d) - a) b) - c) d) a) b) - c) - d) (-) - a) - b) c) - d) (-) 0 a) 0 b) - c) d) - استعمل ترتيب العمليات لتحسب كال مما يأتي: (-) - - =... a) (-) - - (-9) 0 - =... a) () - - (-) =... a) - 9 b) b) b) - 9 c) - c) - c) 9 d) - d) - d) 9 اكتب األعداد التالية بالصورة الرقمية : =... a) 0000 b) 0000 c)0000 d) =... a) 000 b) 000 c)000 d) =... a) 0.00 b) 0.00 c) 0.00 d) =... a) 0.09 b) c) d) اكتب األعداد التالية بالصورة العلمية : 00 =... a). 0 b). 0 c). 0 d) =... a) 9. 0 b) 9. 0 c) 9. 0 d) =... a). 0 - b). 0 - c). 0 - d) =... a). 0 - b). 0 - c). 0 - d). 0 -

118 Mutiple Choice Properties of Powers (Exponents) االختيار من متعد د الدرس ]-[ خصائص القوى )األسس ( اختر اإلجابة الصحيحة لكل مما يأتي: اضرب واكتب ناتج الضرب كقوة واحدة: - - =... a) b) - c) - d) - =... a) - b) - c) d) =... a) - b) 0 c) - 0 d) - - (-) - =... a) b) 0 c) - d) (-) =... a) - - b) - c) - d) - - ( - ) (-9) 0 =... a) - b) - - c) - - d) - اقسم واكتب ناتج القسمة كقوة واحدة: 9 0 =... a) - b) - c) - d) - (-) =... (-9) a) - b) - - c) - d) (-) 0 =... (-) a) - b) 0 c) - - d) (-) (-) =... a) - 9 b) - 9 c) 9 d) 9 قدر النظير الضربي للجذور التربيعية التالية بالتقريب ألقرب ع شر : - =... a) - b) c) (-) (-) =... a) b) - c) - d) - - d) =... a) b) c) (-) (-) d)

119 Mutiple Choice االختيار من متعد د الدرس ]-[ الكسور الدورية والصورة العلمية للعدد )باستعمال الحاسبة( Recurring Decimal Fractions and Scientific Notation of Number (using Calculator) اختر اإلجابة الصحيحة لكل مما يأتي: استعمل الحاسبة لتكتب ناتج الجمع على صورة كسر عشري : + =... a) =... a) 0. b) 0.90 b) - 0. c) 0.90 c) 0. d) 0.90 d) - 0. استعمل الحاسبة لتكتب ناتج الضرب والقسمة على صورة كسر عشري : 9 - =... a). b) -. c). d) =... a) -.0 b) -.0 c).0 d).0 استعمل الحاسبة لتكتب ناتج الضرب والقسمة بالصورة العلمية : (. 0 )(. 0 - ) =... a). 0 b). 0 c). 0 d). 0 (. 0 - )(. 0 - ) =... a). 0-9 b). 0-0 c). 0 - d). 0 - ( )(. 0 ) =... a). 0 b). 0 - c). 0 - d). 0 (. 0 - )(. 0 - ) =... a). 0 - b). 0 - c). 0 d) =... a). 0 b). 0 - c). 0 - d) =... a). 0 - b). 0 c). 0 - d). 0 9

120 Mutiple Choice االختيار من متعد د الدرس ]-[ تبسيط الجمل العددية الكسرية Simplifies Fraction Numerical Sentences اختر اإلجابة الصحيحة لكل مما يأتي: بسط الجمل العددية الكسرية التالية واكتب الناتج بأبسط صورة : =... a) - 9 b) 9 c) 9 d) - 9 ( ) =... a) -0 0 b) c) - 0 d) =... a) - b) - c) d) =... a) - 9 b) 9 c) 9 d) (+ ) =... a) - b) - c) d) (-) - ( ) - =... a) - b) - c) - 0 d) 0 (-) - - (-) =... =... a) - b) c) d) - بسط الجمل العددية الكسرية التالية واكتب الناتج بالصورة العلمية: a) 0. 0 b) 0. 0 c) 0. 0 d) =... a). 0 - b). 0 - c). 0 - d) =... a). 0 - b). 0 - c). 0 - d). 0 - (. 0 )(. 0 - ) =... a). 0 - b). 0 - c). 0 - d). 0-0

121 Mutiple Choice االختيار من متعد د الدرس ]-[ مفهوم األعداد الحقيقية وتمثيلها على مستقيم األعداد Concept of Real Numbers and Represent on Number Line اختر اإلجابة الصحيحة لكل مما يأتي: 9 0 صنف العدد من حيث كونه عددا نسبيا أو غير نسبي أو غير حقيقي : عدد صحيح (d عدد غير نسبي (c عدد طبيعي (b عدد نسبي (a عدد نسبي (d عدد غير نسبي (c عدد غير حقيقي (b عدد صحيح (a عدد صحيح (d عدد حقيقي (c عدد غير حقيقي (b عدد طبيعي (a - 9 عدد صحيح (d عدد نسبي (c عدد غير حقيقي (b عدد غير نسبي (a a) a) a) b) b) اكتب الجذور التربيعية التالية بأبسط صورة : c) c) d) b) c) d) قدر الجذور التربيعية التالية بالتقريب ألقرب ع شر. رتب األعداد الحقيقية التالية من األكبر الى األصغر : d).. a). b). c). d)... a) -. b). c) -. d)... a) b). c) d) -... a). b). c). d). -, -, -.0 a) -.0, -, - b) -.0, -, - c) -, -, -.0 c) -, -, -.0,, a),, b),, c),, d),,

122 Mutiple Choice Properties of Real Numbers االختيار من متعد د الدرس ]-[ خصائص األعداد الحقيقية اختر اإلجابة الصحيحة لكل مما يأتي: اكتب مثاال لكل خاصية من الخواص اآلتية: a+(-a) = 0, a, -a R a) + = 0 b) + (- ) = 0 c) + = 0 b) + (- ) = 0 a a =, a R,a 0 a) = b) - = - a) + b) - - c) c) = b) (- ) = جد النظير الجمعي لألعداد الحقيقية اآلتية: - d) a) + b) - c) - d) a) - a) b) a) a) - b) - b) جد النظير الضربي لألعداد الحقيقية اآلتية : قدر النظير الضربي للجذور التربيعية التالية بالتقريب ألقرب ع شر : c) - c) - d) b) - c) c) 0 d) d) d) a) a).. b). c) b). -. c) -. d) -. d) -.

123 Mutiple Choice االختيار من متعد د الدرس ]-[ تبسيط الجمل العددية التي تحتوي على جذور تربيعية Simplifying the Numerical Sentences which contain Square Roots اختر اإلجابة الصحيحة لكل مما يأتي: بسط الجمل العددية التالية باستعمال خصائص األعداد الحقيقية : ( - ) a) - b) + c) + d) a) b) c) - d) - ( - ) a) - b) + c) - d) - (+ 0 )- a) b) - c) d) - - ( + )+ a) -9 b) 0 - c) 0-9 d) ( - ) a) - - a) - b) 9 b) + c) - c) - d) - d) + بسط الجمل العددية التالية باستعمال خاصية تنسيب المقام : - a) - b) + c) - d) a) b) c) d) a) b) - c) d) a) 0 b) 0 c) -0 d) -0

124 Mutiple Choice االختيار من متعد د الدرس ]-[ تطبيقات على نظرية فيثاغورس Application for Pythagoras Theorem اختر اإلجابة الصحيحة لكل مما يأتي: جد الجذرين التربيعين الموجب والسالب لألعداد اآلتية : 9 a) ± b) ± c) d) - a) b) ± c) ± d) a) b) ± c) - d)± a) ± b) - c) ± d) ± a) ± 9 a) ± b) ± b) ± c) ± c) ± d) ± d) ±. a) ±. b) ±. c) ±. d) ±..09 a) ± 0. b) ±.0 c) ± 0. d) ±. جد طول الضلع القائم إذا علمت أن طول الوتر والضلع القائم لكل مثلث مما يأتي: 9 0 cm, cm,? a) b) c) - d) - cm, cm,? a) b) - c) - d) 0 جد عددين مجموع مربعيهما هو العدد : 0 a), b), c), d), a), b), c), d), 9 a), b), c), d), a), b), c),9 d) 9,

125 Mutiple Choice االختيار من متعد د الدرس ]-[ المستوى اإلحداثي Coordinate Plane اختر اإلجابة الصحيحة لكل مما يأتي: عند تمثيل جدول قيم الدالة التالي في المستوي االحداثي فإن الشكل الهندسي الذي يمث له X - - هو: Y - - شبه منحرف (d مربع( c مثلث( b مستطيل( a X Y X Y X Y X Y مستطيل( a مربع( c متوازي اضالع( b شبه منحرف (d سداسي( a مثلث( c متوازي اضالع( b شكل رباعي (d قطعة مستقيم( a مستطيل( b سباعي( c شبه منحرف (d مربع( a مثلث( b خماسي (d قطعة مستقيم( c مثل كل زوج من الزوجين المرتبين التاليين في المستوى اإلحداثي ثم جد المسافة بينهما مقربة ألقرب ع شر إذا كانت التمثل عددا صحيحا : {(,0) (,)} a). b) c). d) {(-,0) (0,)} a). b) c). d). {(,-) (,0)} a). b). c) d). {(,) (-,-)} a). b). c). d) {(-,) (-,-)} a). b) c). d). {(0,0) (,-)} a) b) c). d).

126 Mutiple Choice االختيار من متعد د الدرس ]-[ جمع المقادير الجبرية وطرح ها Addition and subtraction an Algebraic Expression اختر اإلجابة الصحيحة لكل مما يأتي: حل المقادير الجبرية التالية باستعمال الجمع : (x + x+)+(x +x+) a) x + x+0 b) x + x+ c) x + x+ d) x +x+ ( y x +) + ( x y + 9y+) a) y x + 0 b) y x + 9y+0 c) y x + 0y d) y x +9y+0 ( - z w +k+ ) + ( 0 z w - 0k + ) a) z w+k+ b) -z w-k+ c) z w - k + d) -z w -k+ ( h k +gh-) + ( h k -0gh+) a) 0 h k -gh+ b) 0 h k -gh - c) h k -gh+ d) 0 h k -gh+ حل المقادير الجبرية التالية باستعمال الطرح: (m n -) - (m n +x+) a) m n + x + b) m n - x - c) m n - x+ d) m n - x - ( g h + z + 0) - ( g h - z +) a) g h + z + b) g h + z + c) - g h - z +0 d)- g h +z + ( - yz +x +) - (yz -x - ) a) 0yz +x + b) -yz -x + c) yz +x + d) yz -x + ( x +mn -) - ( x -0mn -) a) - x - mn + b) x + mn - c) x -mn - d) x + mn -

127 Mutiple Choice االختيار من متعد د الدرس ]-[ ضرب حد جبري في مقدار جبري Multiplying an Algebraic Expression by an Algebraic Term اختر اإلجابة الصحيحة لكل مما يأتي: جد ناتج الضرب لكل مما يأتي: (m n )(m n) a) 0m n b) m n c) 0m n d) 0m n (-x y z)(xy) a) -00x y b) 00x y z c) 00x y z d) -00x y z ( z w ) ( 9 zw ) a) z w b) z w c) z w d) z w ( h k )( ( h k ) a) h k b)k c) k d)k ( - g h)( ( g h ) a) -gh b) - g h c) g h d) g h x y (x + x +) a) 0x y +x y +0x y b) 0x + x + c) 0x y +x y + d) 9x y + x + m n (mn+) a) m n + mn b) m n + c) mn + m n d) m n + m n y (y - x+) a) y - 0y x +y b) 9y - y x + 9y c) y -0yx + 9y d) y - y x +y 9 (-g h ) (-g h - gh -) a) g h - g h +0g h b) -g h - g h -90g h c) g h + g h + 9g h d) -gh - g h + 9g h

128 Mutiple Choice 9 االختيار من متعد د الدرس ]-[ ضرب المقادير الجبرية Multiplying an Algebraic Expression اختر اإلجابة الصحيحة لكل مما يأتي: جد ناتج الضرب لكل مما يأتي: (x-)(x+) a) x + b) x - c) x -0x + d) x +x - ( m - 9 )( m + ) a) 9 m - m + b) 9 m +m + c) 9 m - m - d) 9 m - m - ( n +0 )( n - ) a) n -0n -0 b) n -0n +0 c) n +0n -0 d) n +0n +0 (z- )( z+ ) a) z - b) z + c) z + z + d) z - z - ( - gh -) ( gh+) a)g h +gh +9 b) g h -gh +9 c)g h +9 d) g h -9 (-x + )(x +x-) a) x +x +x + x+ b) -x -x + x +x - ( x -)( x + x + 9) c) -x -x +x + x+ d) x -x - x -x + a) x + b) x + c) x - d) x - (w + )(w -w- ) a) w +w + w - w+ b) w -w + w + w- c) w -w + w - w- d) w +w + w + w- (k+ ) (9k - k + ) a) (k + ) b) (k + ) c) (k - ) d) (k - ) 0 (y-) (y + y +) a) y - b) y - c) y + d) y +

129 Mutiple Choice االختيار من متعد د الدرس ]-[ قسمة مقدار جبري على حد جبري Dividing an Algebraic Expression by an Algebraic Term اختر اإلجابة الصحيحة لكل مما يأتي: جد ناتج القسمة لكل مما يأتي: x a) x x b) x c) x d) x z w 9zw a) z w b) zw c) zw d) z w g h g - h - a) g h b) g 9 h 9 c) g - h - d) g -9 h -9 m n a) m - n - mn b) c) m0 n 0 d) m-0 n -0 9x - y x - y - a) xy b) x - y c) x - y d) xy x y z a) x y z b) xy z c) x - y z d) x y z x g - h - + g h g h a) +g h b) g h 9 +g h c) +g h d) g - h - +g - h - x y - x y + 0x y x y a) x y -x y +x b) xy - xy- + x c) x y -xy +x y d) xy- xy+x y 9 z w + z w + z w 9z w a)zw+z w +z - w - b) zw - + z w + zw c) zw - + z w - +z - w - d) zw+z w +z w 0 m n - m n - m n m n a) m 9 n 9 - m 0 n 9 -m n b) m n - m n -mn c) m n - m n - m n d) m n - m n - mn 9

130 Mutiple Choice االختيار من متعد د الدرس ]-[ تحليل المقادير الجبرية Factoring Algebraic Expression اختر اإلجابة الصحيحة لكل مما يأتي: حلل المقدار الجبري اآلتي: xy + x a) 9x(9y+) b) 9(9xy-) c) 9x(9xy-9) d) 9x(9xy+9) z - z a) z (z + ) b) z (z + ) c) z (z - ) d) z (z - ) 9g h + gh a) gh(gh+) b) gh(gh-) c) (gh+) d) (g h +gh+) m n - m n - mn a) mn(m n - mn-) b)mn(m n -mn-) c) mn(m n-mn-) d) (m n -mn-) 0r v + rv+r v a) rv(r v+ +rv) b) rv(rv+rv-) c) rv(rv+) d) rv(r v++rv) m -n a) (m-n) (m+n) b) (m+n) (m+n) c) (m-n)(m-n) d) (m+n) z - 9w a) (z-w)(z-w) b) (z-w)(z+w) c) (z+w)(z+w) d) (z+w) r - v a) (r+v)(r+) b) (r-v)(r+v) c) (r-v)(r-) d) (r+) 9 g h - a) (9gh+)( 9gh-) b) (9gh-)(9gh-) c) (9gh+)(9gh+) d) (9gh+) 0 0x - a) (x+)(x+) b)(x +) c) (x-)(x+) d) (x-)(x-) 0

131 Mutiple Choice االختيار من متعد د الدرس ]-[ حل معادالت من الدرجة االولى بمتغير واحد بخطوتين في R Solving Two-Step First Degree Equation with One Variable over R اختر اإلجابة الصحيحة لكل مما يأتي: حل المعادالت التالية باستعمال الجمع و الطرح : x+ 0 = x -0 a) x = 0 b) x = 0 c) x = -0 d) x = -0 y +9 = y - 9 a) y = 0 b) y = c) y = - d) y = - z = +z a) z = b) z = c) z = - d) z = - n + =n - a) n = - b) n = -0 c) n = d) n = 0 t - = t - a) t = b) t = - c) t = -0 d) t = 0 - f = - f a) f = - b) f = c) f = - d) f = x+= - +x a) x = b) x = -0 c) x =0 d) x = - حل المعادالت التالية باستعمال الضرب والقسمة : z = a) z = 9 b) z = 9 c) z = - 9 d) z = x - = a) x = - 0 b) x = 0 c) x = 0 d) x = t = t a) t = - b) t = c) t = - d) t = y = (-) a) y= - b) y = c) y = - d) y = m = - a) m = - b) m = c) m = d) m = - (k - )= a) k = 0 b) k = - c) k = - d) k = - h = (-) a) h = 9 b) h = - 9 c) h = - 9 d) h = 9

132 Mutiple Choice االختيار من متعد د الدرس ]-[ حل معادالت من الدرجة االولى بمتغير واحد بخطوات متعد دة في R Solving Mlti-Step First Degree Equation with One Variable in R اختر اإلجابة الصحيحة لكل مما يأتي: حل المعادالت التالية باستعمال خواص االعداد الحقيقية : - + x = -x a) x = - b) x = - c) x = d) x = (y+ ) = y + a) y = - b) y = - c) y = d) y = (z- ) = a) z = h = (h -0) + a) h = - b) z = - c) z = - b) h= - c) h = d) z = d) h = (n-) = (n- 9) a) n= - b) n= c) n = d) n =- x - = a) x =- y = y + - a) y = - b) x = c) x = b) y = 0 c) y = d) x =- d) y = حل المعادالت اآلتية : z - = a) s ={-9,-} b) s={-9,} c) s={9,-} d) s={9,} 9 y-0 = a) s ={, } b) s={, } c) s={ -, - } d) s={, } 0 t - = - a) s={,0} b) s={,-} c) s={0,-} d) y= Ø k+ = a) s ={-,} b) s ={-,-} c) s ={,-} d) s ={,} اكتب معادلة القيمة المطلقة التي تمثيل ها البياني على مستقيم األعداد هو: a) x + = b) x- = c) x + = d) x - =

133 Mutiple Choice االختيار من متعد د الدرس ]-[ حل معادالت من الدرجة الثانية بمتغير واحد في R Solving Second Degree Equation with One Variable in R اختر اإلجابة الصحيحة لكل مما يأتي: حل المعادالت التالية باستعمال الجذر التربيعي : 9y = a)s={, - } b) s={ 9, -9 } c)s={ -, -9 } d)s={, 9 } x = a)s={, - } b)s={, } c)s={, - } d)s={ -, } t = a)s={,0} b) s={-,0} c)s={,-} d)s={,-} +h = a)s={,- } b) s={,- } c)s={,- } d)s={, } n - = a)s={, - } b)s={, - } c)s={, - } d)s={, - } حل المعادالت التالية باستعمال خاصية الضرب الصفري : (x-)(x+) =0 a)s={-,-} b)s={,} c)s={,-} d)s={,-} (t-)(t+9) =0 a)s={, 9 } b)s={, 9 } c)s={,-9} d)s={ -,9} x -x =0 a)s={0,-} b)s={,} c)s={,-} d)s={0,} 9 z -z =0 a)s={0,} b)s={0,-} c)s={,-} d)s={,-} 0 v - v =0 a)s={0, } b)s={0,- } c)s={0, } d)s={0,- } r- r =0 a)s={0, } b)s ={0, - } c)s={0, - } d)s={0, } (x+ )(x- )=0 a)s={, } b)s={-, } c)s={,- } d)s={-,- }

134 Mutiple Choice االختيار من متعد د الدرس ]-[ حل المتباينات الجبرية ذات الخطوتين في R Solving Two-step Algebraic Inequalities in R اختر اإلجابة الصحيحة لكل مما يأتي: حل المتباينات التالية في R باستعمال خواص الجمع والطرح : (x- ) < x+ a)s={x R,x< } b)s={x R,x> } c)s={x R,x } d)s ={x R,x } y- y+ - a) y - b) y - c) y d) y ( z+ ) < 0 a) z <-0 b)z < 0 c) z > 0 d) z < - 0 (v-) >0(v-) a)s={v R,v< - 9} b)s={v R,v> -9} 9 0 h - x < - n 9 c)s={v R,v -9} d)s ={v R,v -9} حل المتباينات التالية في R باستعمال خواص الضرب والقسمة : a) x > 0 a) n 9 a)s={h:h R,h } b)s={h:h R,h - } c)s={h:h R,h - } d)s ={h:h R,h } b) x -0 b) n 9 c) x -0 c) n -9 d) x < -0 d) n -9 حل المتباينات التالية في R باستعمال خواص المتباينات على األعداد الحقيقية : y+ - > y- a)y ( - z) 0 a)z - k - - a)k (x+0)< a)x > -0 b)y - b)z c)y - c)z b)k 0 c)k b)x > 0 c)x < -0 d)y > d)z d)k 0 d)x < 0

135 Mutiple Choice االختيار من متعد د الدرس ]-[ حل المتباينات الجبرية متعد دة الخطوات في R Solving Multi-step Algebraic Inequalities in R اختر اإلجابة الصحيحة لكل مما يأتي: حل المتباينات التالية في R باستعمال خواص المتباينات على األعداد الحقيقية : (y+) - a) s={y:y R, y - } b) s={y:y R, y } c) s={y:y R, y } d) s ={y:y R, y } (x - ) + x <- a)x < b)x> 0 c)x< 0 d)x> - z ( 9 - z) a)z - b)z - c)z d)z 9 (v- ) >(v- ) a)v <- b)v > c)v >- d)v < n- - n - a)n < b)n c)n - d)n< - h- > (h+) a)h > b)h < c)h > d)h < ( x+ ) 0 a)x (- y)<( + y) a)y > b)x b)y < (z- ) ( -z) a)z b)z t - < t + a)t > b)t< -r > - - r a)r> (m+9) ( -m) a) s={m R, m c) s={m R, m b)r< - c)x c)y> - d)x - d)y> c)z d)z c)t< c)r< } b) s={m R, m } d) s={m R, m d)t> d)r> } }

136 المحتويات الف صل : الأعداد الن سبية الدرس االول: الدرس الثاني: الدرس الثالث: الدرس الرابع: الدرس الخامس: الدرس السادس: الف صل : الأعداد احلقيقية الدرس االول: الدرس الثاني: الدرس الثالث: الدرس الرابع: الدرس الخامس: الدرس السادس: الف صل : احلدوديات الدرس االول: الدرس الثاني: الدرس الثالث: الدرس الرابع: الدرس الخامس: الدرس السادس: الدرس االول: الدرس الثاني: الدرس الثالث: الدرس الرابع: الدرس الخامس: الدرس السادس: ترتيب العمليات على االعداد النسبية. القوى )االسس( السالبة والصورة العلمية للعدد. خصائص القوى )االسس(. الكسور العشرية الدورية والصورة العلمية للعدد )استعمال الحاسبة(. تبسيط الجمل العددية الكسرية. خطة حل المسألة )تحديد معقولية االجابة(. مفهوم األعداد الحقيقية وتمثيلها على مستقيم األعداد. خصائص األعداد الحقيقية. تبسيط الجمل العددية التي تحتوي على جذور تربيعية. تطبيقات على نظرية فيثاغورس. المستوى االحداثي. خطة حل المسألة )تحديد معقولية األجابة (. جمع المقادير الجبرية وطرحها. ضرب حد جبري في مقدار جبري. ضرب المقادير الجبرية. قسمة مقدار جبري على حد جبري. تحليل المقادير الجبرية. خطة حل المسألة )الخطوات االربع(. الف صل : املعادلت واملتباينات مترينات Content حل معادالت من الدرجة االولى بمتغير واحد بخطوتين في. R حل معادالت من الدرجة االولى بمتغير واحد بخطوات متعد د ة في. R حل معادالت من الدرجة الثانية بمتغير واحد في. R حل المتباينات الجبرية ذات خطوتين في. R حل المتباينات الجبرية متعد د ة الخطوات في. R خطة حل المسألة )التخمين والتحقق(.