Determinants

النسخ

1 قسم الهندسة الزراعية د/ خالد ف ارن طاهر الباجورى استاذ الهندسة الز ارعية المساعد Mobil:

2 المقدمة ماهي المصفوفة جمع الضرب الكمي للمصفوفات ضرب منقول المصفوفة محدد المصفوفة معكوس المصفوف

3 Matrixالمصفوفة المصفوفة هي محموعة اعداد مرتبة بشكل مستطيل محصورة بين قوسين وتخضع لمجموعة من العمليات والقواعد. تتكون المصفوفة من الصفوف )M( واالعمدة )N( وحاصل ضرب الصفوف في االعمدة يسمى رتبة المصفوفة. انظر الى هذه االمثلة من )3x2( الرتبة )3x4( الرتبة

4 خطوات جمع في اكسل شرط جمع : لكي نستطيع جمع مصفوفتين يجب ان يكون كال المصفوفتين من نفس الرتية أي عدد صفوف واعمدة المصفوفة االولى يكون مساويا لعدد صفوف واعمدة المصفوفة الثانية. نضع المصفوفتان في ورقة اكسل وكما في الشكل االتي مثال لدينا المصفوفة (2x3) ذات رتبة B والمصفوفة (3x2) ذات رتبة A

5 جمع بعد ادخال المصفوفتين في اكسل نقوم بتحديد مكان المصوفة الجديدة والتي هي عبارة عن جمع A+B وطبعا سوف تكون من نفس رتبة المصفوتين = نقوم بتحديد خاليا وكما في الشكل. وبعدها ننقر عالمة 6 الخاليا المحددة لممصوفة الجديدة الناتجة من جمع A+B

6 جمع + وننقر عالمة ثم نحدد خاليا المصفوفة Aنختار بزر الماس االيسر خاليا المصفوفة B. سوية وستظهر لنا المصفوفة الجديدة Shift+Ctrl+Enterنضغط عمى المفاتيح وكما في الشكل االتي :

7 الضرب الكمي لممصفوفات يقصد بالضرب الكمي لممصفوفات هو ضرب المصفوفة برقم او ثابت مثال لدينا المصفوفة C ذات رتبة (2x2) نريد ضربها بالكمية او الرقم 5 نقوم بادخال المصفوفة في اكسل.. C مكان خاليا المصفوفة الجديدة وهي نفس عدد خاليا المصفوفة نحدد ننقر عالمة = ثم نختار خاليا المصفوفة C بزر الماوس االيسر. ننقر عمى عالمة الضرب * ثم ندخل الرقم 5

8 الضرب الكمي لممصفوفات سوية فنحصل عمى Shift+Ctrl+Enterواخي ار نضغط عمى المفاتيح المصفوفة الجديدة وكما يمي

9 ضرب لكي يتم ضرب مصفوفتين البد ان يكون عدد اعمدة المصفوفة االولى مساويا لعدد صفوف المصفوفة الثانية كما ان رتبة المصفوفة الجديدة ستكون عبارة عن حاصل ضرب صفوف المصفوفة االولى في اعمدة المصفوفة الثانية. اذا كانت لدينا المصفوفتان A ذات رتبة (2x3) والمصفوف B ذات رتبة (3x2). نالحظ هنا انه يمكن ضرب المصفوفتين النه عدد اعمدة المصفوفة A يساوي عدد صفوف المصفوفة. B المصفوفة الناتجة ستكون من رتبة (2x2) النه عدد صفوف المصوفة االولى يساوي 2 وعدد اعمدة المصفوفة الثانية يساوي 2.

10 ضرب المضفوفات خطوات ضرب مصفوفتين 1. نقوم بادخال المصفوتين في اكسل كما في الشكل االتي : شرط الضرب عدد اعمدة Aالمصفوفة يساوي عدد Bصفوف المصفوفة الجديدة رتبة المصفوفة الجديدة تساوي حاصل ضرب Aصفوف المصفوفة Bفي اعمدة المصفوفة ( 2x2 )أي تكون

11 ضرب خطوات ضرب مصفوفتين نحدد خاليا المصفوفة الجديدة وكما قمنا ان رتبة المصفوفة الجديدة.2. أي نحدد اربعة خاليا في اكسل. ( 2x2 )سيكون ننقر عمى عالمة =.3

12 ضرب خطوات ضرب مصفوفتين نختار خاليا المصفوفة االولى A ننقر عالمة الضرب بزر الماوس االيسر *.4.5 : نختار خاليا المصفوفة الثانية B بزر الماوس االيسر نضغط المفاتيح Shift+Ctrl+Enter سوية ونحصل عمى.6.7 المصفوفة الجديدة من ( 2x2 )رتبة

13 منقول المصفوفة يقصد بمنقول المصفوفة: هو قمب صفوف المصفوفة الى اعمدة ايجاد المنقول بسهول في اكسل.. ويمكن خطوات ايجاد منقول المصفوفة في اكسل (3x4) ندخل المصفوفة الى اكسل لنفترض المصفوفة A وهي برتبة.1 2. نختار ونظمل خاليا المصفوفة A ننقر قائمة ونختار االمر تحرير نسخ.3

14 منقول المصفوفة.4 نضع مؤشر الماوس في مكان اخر من اكسل.5 ننقر عمى قائمة تحرير ونختار االمر لصق خاص.6 ومن نافذة لصق خاص نقر عمى مربع تبديل الموضع ثم ننقر موافق..7 وكما في الشكل ( 4x3 )ورتبتها تكون Aستظهر لنا مصفوفة جديدة وهي تمثل منقول المصفوفة االتي : من رتبة Aالمصفوفة (3x4) من Aمنقول المصفوفة ( 4x3 )رتبة

15 محدد المصفوفة خطوات ايجاد محدد المصفوفة. 1. ندخل المصفوفة الى اكسل مثال المصفوفة A 2. ننقر في خمية فاغة في اكسل نقوم بادخال دالة (MDETERM) من زر ادارج الدوال.3

16 محدد المصفوفة خطوات ايجاد محدد المصفوفة ومن فئة الدوال الرياضية نختار دالة MDETERM() تظهر لنا نافذة تحديد خاليا المصفوفة فنختار خاليا المصفوفة A موافق. ثم ننقر.3.4

17 محدد المصفوفة ستظهر قيمة المحدد وكما في الشكل االتي محدد المصفوفة

18 معكوس المصفوفة خطوات ايجاد معكوس المصفوفة. (3x3) ندخل المصفوفة في اكسل مثال المصفوفة A من رتبة.1 2. نحدد مكان خاليا معكوس المصفوفة انظر الشكل :

19 .3 ننقر عمى عالمة معكوس المصفوفة =.4 ننقر عمى زر اد ارج الدوال دالة (MINVERSE) في الخاليا المحددة ومن فئة الدوال الرياضية نختار ستظهر لنا النافذة االتية :

20 معكوس المصفوفة : نحدد بواسطة زر التحديد خاليا المصفوفة A وكما في الشكل االتي.5

21 .6 معكوس المصفوفة نضغط عمى المفاتيح Shift+Ctrl+Enter معكوس المصفوفة كما في الشكل االتي : سوية وسيظهر لنا معكوس المصفوفة

22 As can be seen, the amount of work is extensive, just to calculate the inverse of a matrix!. Therefore, it will now be shown how to obtain the same inverse matrix A -1 of matrix A now using Excel. 1. Determinant of matrix A, using Excel. Fill the numbers of the matrix in an excel sheet, using a cell for each element of the matrix. 22 Module 5 Analysis الفرقة Controllability الثانية

23 2. Calculate the matrix determinant, this will be done using cofactors of the first row. Each cofactor must be calculated using the appropriate formula as shown in the Excel formula bar. Pay attention on cofactor C (12) because it must be negative, as it has been shown previously. - + Elements C (11), C (12) and C (13) are the cofactors of each element of the first row, which are elements a 11, a 12 and a 13 according to matrix A: A 23 Module 5 Analysis الفرقة Controllability الثانية...- a a a a a a a a a

24 3. Calculate the matrix determinant, using the formula shown on the excel sheet. Remember that the cofactor of element a 12 must be negative! The determinant of this matrix is not equal to zero. For this reason it is possible to obtain its inverse matrix. 24 Module 5 Analysis الفرقة Controllability الثانية

25 4. Calculate the cofactors of matrix A for the second and third rows. Now remember, the cofactors for the elements C (21), C (23), and C (32), are: (select one) POSITIVE NEGATIVE As you can see in the Excel sheet, it is necessary to include the sign for each cofactor, and it arithmetically appears on the cell that calculates the matrix determinant (red one). Do not confuse this sign with the one that has been written in front of the matrix in the excel sheet (blue one). The latter one is just to show the sign of the cofactor. Module 5 25 Analysis الفرقة Controllability الثانية...-

26 5. Create the cofactors matrix C placing each cofactor in the corresponding place of the element of which it has been calculated, as the excel formula bar shows. Do the same with the second and third rows of matrix C. 26 Module 5 Analysis الفرقة Controllability الثانية

27 6. Calculate the adjoint of matrix A, this will be done just transposing the matrix C (matrix of cofactors). 27 Module 5 Analysis الفرقة Controllability الثانية

28 6. Calculate the inverse of matrix A (A -1 ). To do this, divide the Adjoint matrix by the determinant of matrix A, already calculated. And do the same for the remaining elements of matrix A Module 5 Analysis الفرقة Controllability الثانية

29 7. Check by matrix multiplication that matrix A multiplied by A -1 gives the Identity Matrix. And do the same for the rest of elements of matrix A Module 5 Analysis الفرقة Controllability الثانية

30 Now it will be shown how to use some Excel functions to manipulate matrices. 1. Determinant of matrix A, using an Excel functions. Fill the numbers, as before, of the matrix in an Excel sheet, using a cell for each element of the matrix. Select the cell where the determinant is to appear. Select function/insert and choose the function mdeterm. 30 Module 5 Analysis الفرقة Controllability الثانية

31 2. Next, it is necessary to select the range of the matrix data. This way, the determinant of A is easily calculated. 31 Module 5 Analysis الفرقة Controllability الثانية

32 3. Now the transpose matrix of A will be calculated. Select the cell where the first element a 11 T is to appear. Select function/insert and choose the function transpose. Next, select the range of the matrix, as the next slide shows. 32 Module 5 Analysis الفرقة Controllability الثانية

33 4. Select the range of the matrix, as shown below. Once the range of the matrix has been selected press OK. 33 Module 5 Analysis الفرقة Controllability الثانية

34 5. No values appear in the cell because it is necessary to introduce the formula as an array. To do that, select the range that the transpose matrix will occupy and press F2. Then, press shift+ctrl+enter. The Excel sheet should look like the one below. 34 Module 5 Analysis الفرقة Controllability الثانية

35 6. It is possible to obtain directly the inverse of a matrix. Select the cell where the first element a 11-1 is to appear. Select function/insert and choose the function minverse. Then, select the range of the matrix, as shown on the next slide. 35 Module 5 Analysis الفرقة Controllability الثانية

36 7. Select the range of the matrix, as shown below. Once the range of the matrix has been selected press OK. 36 Module 5 Analysis الفرقة Controllability الثانية

37 8. Again no values appear in the cell because it is necessary to introduce the formula as an array. To do that, select the range that the inverse matrix will occupy and press F2. Next, press shift+ctrl+enter. The Excel sheet must look like the one below. 37 Module 5 Analysis الفرقة Controllability الثانية

38 The determinant, transpose and inverse of matrix A can easily be obtained. To verify if the Identity matrix is obtained, the function MMULT of excel is used. Matrix A can be multiplied by Matrix A Multiplying matrices. Select the cell where the element I 11 is to appear. Select function/insert and select the function mmult. 38 Module 5 Analysis الفرقة Controllability الثانية

39 10. Next, select the range of each matrix to be multiplied, as shown below. Once the ranges of the matrices have been selected, press OK. 39 Module 5 Analysis الفرقة Controllability الثانية

40 11. No values appear in the cell because it is necessary to introduce the formula as an array. To do that, select the range that the identity matrix will occupy and press F2. Next, press shift+ctrl+enter. The Excel sheet should look like the one below. 40 Module 5 Analysis الفرقة Controllability الثانية

41 Despite the great help that Excel can provide, some limitations must be specified. These limitations are: Determinant. The size of the array must not exceed 73 rows by 73 columns. Multiplication. The size of the resulting array must not be equal or greater than a total of cells. Inverse. The size of the array must not exceed 52 columns by 52 rows 41 Module 5 Analysis الفرقة Controllability الثانية

42 المصدر احمد العاني - الع ارق )الشمري(

43 Enough to Blow you Away