Introduction to Probability Laws مقدمة في قوانين اإلحتماالت Probability theory plays a central role in statistics تلعب نظرية اإلحتماالت دورا مركزيا في اإلحصاء After all, statistical analysis is applied to a collection of data in order to discover something about the underlying events قبل كل يطبق التحليل اإلحصائي للبيانات المجمعة بغرض إستكشاف شي عن األحداث التي تحتويها These events may be connected to one another هذه األحداث قد تكون مرتبطة ببعضها Sampling a population at random and make inferences about the population as a whole from the sample by using statistical analysis أخذ عينة عشوائية من العشيرة وإعمل إستدالالت عن العشيرة ككل من العينة بإستخدام التحليل اإلحصائي
Introduction to Probability Laws مقدمة في قوانين اإلحتماالت Experiment: An experiment is any activity from which results are obtained التجربة: عبارة عن نشاط يتم الحصول على نتائج منها A random experiment is one in which the outcomes, or results, cannot be predicted with certainty التجربة العشوائية هي التي اليمكن التكهن القاطع بمخرجاتها أو نتائجها Examples: أمثلة: 1. Flip a coin 1. إطالق عملة معدنية في الهواء 1. Flip a coin 3 times 2. إطالق عملة معدنية في الهواء ثالث مرات Trial: A physical action, the result of which cannot be predetermined المحاولة: هي فعل طبيعي اليمكن حساب نتائجه
Example: Use the chart below showing the gender and the year in school for 30 students in a biology class مثال: الجدول أدناه يبين توزيع 30 طالب وطالبة في فصل األحياء قدامي جدد الجنس 7 9 إناث 6 8 ذكور What is the probability that a randomly selected student is إذا تم إختيار عشوائي لطالب ما هو إحتمال أن يكون 1- a female? 1- أنثي 2- a male? 2- ذكر What is the probability that a randomly selected student is ما هو إحتمال ان يكون الطالب المختار من 1- a senior? 1- القدامي 2- a junior 2- الجدد
What is the probability that a randomly selected student is ما هو إحتمال ان يكون الطالب المختار أنثي و a female and 1- a senior? 1- من القدامي 2- a junior 2- من الجدد What is the probability that a randomly selected male ما هو إحتمال أن يكون الطالب المختار ذكر و student is 1- a senior? 1- من القدامي 2- a junior? 2- من الجدد
Classic Theory of Probability النظرية الكالسيكية لإلحتماالت The theory states: تنص النظرية على: the chance of a particular outcome occurring is determined by the ratio of the number of favorable outcomes (or successes ) to the total number of outcomes تتحدد فرصة نتيجة حدوث حدث ما بعدد فرص حدوث هذا الحدث للعدد الكلي لألحداث إحتمال حدوث الحدث = عدد مرات حدوث الحدث/العدد الكلي لألحداث
The classic theory pertains only to outcomes that are mutually exclusive (or disjoint), which means that those outcomes may not occur at the same time تختص النظرية الكالسيكية فقط باألحداث المتعارضة (المتضادة غير المرتبطة ببعضها) وهذا يعني األحداث التي اليمكن لها أن تحدث في وقت واحد For example, one coin flip can result in a face or a back, but one coin flip cannot result in a face and a back مثال عند إطالق عملة معدنية في الهواء فينتج عنها إما وجه أو ظهر وال يمكن أن ينتج اإلثنان معا في وقت واحد
Relative Frequency Theory نظرية التكرار النسبي if an experiment is repeated an extremely large number of times and a particular outcome occurs a percentage of the time, then that particular percentage is close to the probability of that outcome إذا أ عيدت تجربة لعديد من المرات وكانت النتائج المئوية المتحصل عليها هي نفسها في كل مرة فإن نسبة هذا الحدث هي نفسها إحتمالية حدوث هذا الحدث For example, if a machine produces 10,000 cups one at a time, and 1,000 of those cups are defected, the probability of that machine producing a defected cup is approximately 1,000 out of 10,000, or 0.10 مثال ماكينة تنتج أكوابا بمعدل 10000 كوب كل مرة ومن بين هذه األكواب يكون هناك 1000 كوب معطوبة إذن فإحتمالية إنتاج أكواب معطوبة بواسطة هذه الماكينة تقريبا هي 1000 من 10000 أو 0.10
Probability of Simple Events إحتمال األحداث البسيطة Example مثال What is the probability of simultaneously flipping three coins ½ $, ½ Euro and ½ Sterling pound and having all three land faces? ماهو اإلحتمال إلطالق ثالث ع مالت معدنية- 1/2 دوالر أمريكي ½ يورو ½ جنيه إسترليني في الهواء- وكل الثالث تظهر الوجه Using the classic theory, determine the ratio of the number of favorable outcomes to the number of total outcomes بإستخدام النظرية الكالسيكية إحسب نسبة حدوث الحدث المراد للعدد الكلي لألحداث
The table below lists all possible outcomes جدول يبين النتائج المحتملة لثالث عمالت معدنية ½ جنيه إسترليني ½ يورو ½ دوالر أمريكي النتيجة وجه وجه وجه 1 ظهر وجه وجه 2 وجه ظهر وجه 3 ظهر ظهر وجه 4 وجه وجه ظهر 5 ظهر وجه ظهر 6 وجه ظهر ظهر 7 ظهر ظهر ظهر 8 There are eight different outcomes, only one of which is favorable (Outcome 1, all three coins landing Faces); therefore, the probability of three coins landing Faces is 1/8 or 0.125 هناك ثمان نتائج مختلفة فقط واحد منها هو المراد (النتيجة رقم 1 تظهر الثالث عمالت وجها ) لذلك فإحتمال ان الثالث عمالت تظهر وجها هي 1/8 أو 0.125
What is the probability of exactly two of the three coins landing Faces? ماهو إحتمال ان إثنان من الثالث ع مالت تظهر الوجه there are the eight total outcomes, but in this case only three favorable outcomes (outcomes 2, 3, and 5); thus, the probability of exactly two of three coins landing Faces is 3/8 0r 0.375 هناك ثمان نتائج كلية ولكن منها ثالث فقط هي المرادة (النتائج 2 3 و 5 ) لذلك فإحتمال 2 من 3 عمالت تظهر الوجه هي 3/8 أو 0.375
Independent Events األحداث المستقلة Each of the three coins being flipped in the preceding example is what is known as an independent event تعرف أحداث إطالق العمالت المعدنية في الهواء كما في المثال السابق باألحداث المستقلة Independent events are defined as outcomes that are not affected by other outcomes. In other words, the flip of the ½ USD does not affect the flip of the ½ Euro, and vice versa وت عرف األحداث المستقلة بأن نواتج أي منها الثؤثر على األ خريات بمعني آخر إطالق نصف الدوالر اليؤثر على إطالق نصف اليرو وهكذا
Dependent Events األحداث غير المستقلة outcomes that are affected by other outcomes النتائج فيها تؤثر على بعضها البعض Example مثال What is the probability of randomly drawing an ace from a deck of cards and then drawing an ace again from the same deck of cards, without returning the first drawn card back to the deck? ما هو إحتمال سحب آس عشوائيا من ورق اللعب ومن ثم ماهو إحتمال سحب آس مرة أخري من نفس الورق بدون إرجاع اآلس المسحوب أوال
For the first draw, the probability of a favorable outcome is 4/52 في المرة األولى: اإلحتمال هو 4/52 after that first card has been drawn, the total number of outcomes is no longer 52, but now 51 because a card has been removed from the deck بعد السحب األول العدد الكلي لألحداث لم يعد 52 ولكن صار 51 بعد إزاحة الورقة األولي And if that first card drawn resulted in a favorable outcome (an ace), there would now be only three aces in the deck وإذا نتج عن السحب األول الورقة المرجوة ) سآ ( سيبقي هناك فقط ثالث آسات في ورق اللعب
If that first card drawn was not an ace, the number of favorable outcomes would remain at four. So, the second draw is a dependent event because its probability changes depending upon what happens on the first draw إذا كانت الورقة المسحوبة ليست آسا فسيبقي عدد األحداث المضادة كما هي أربعة. لذلك فإن السحب األول حدث غير مستقل الن إحتمال تغير حدوثه يعتمد على ما يحدث في السحب األول.
If, however, you replace that drawn card back into the deck and shuffle well again before the second draw, then the probability for a favorable outcome for each draw will now be equal (4/52), and these events will be independent إذا تم إرجاع الورقة المسحوبة وخلطت مع بقية األوراق جيدا قبل السحب الثاني فإن اإلحتمال للسحب الثاني يصبح 4/52 وتكون األحداث مستقلة
Probability of Joint Occurrences إحتمال األحداث المترابطة Another way to compute the probability of all three flipped coins landing faces is as a series of three different events: First flip the ½ USD, then flip the ½ Euro, and then flip the ½ STP. Will the probability of landing three faces still be 0.125? طريقة أ خري لحساب إحتمال إطالق ثالث عمالت معدنية في الهواء وتقع الثالث على الوجه أوال إطلق نصف الدوالر األمريكي ثم نصف اليرو ثم نصف الجنيه اإلسترليني. هل سيكون اإلحتمال كما هو 0.125
1. Multiplication rule 1. قانون الضرب To compute the probability of joint occurrence (two or more independent events all occurring), multiply their probabilities لحساب إحتمال األحداث المترابطة (إثنان أو أكثر من األحداث المستقلة) إضرب إحتمالياتهما For example, the probability of the ½ USD landing faces is 1/2, or 0.5; the probability of the ½ Euro next landing heads is 1/2, or 0.5; and the probability of the ½ STP landing faces is 1/2, or 0.5. Thus, note that مثال إحتمال ان نصف الدوالر يظهر الوجه هو ½ أو 0.5 واليورو أيضا ½ أو 0.5 واإلسترليني ½ أو 0.5 لذلك فإحتمال الثالث تظهر الوجه هو 0.5 0.5 0.5 = 0.125
The notation for joint occurrence is P(A B) = P(A) P(B) The probability of A and B both happening is equal to the probability of A times the probability of B
For determination of the probability of drawing two aces in a row from a deck of cards. The only way to draw two aces in a row from a deck of cards is for both draws to be favorable لحساب إحتمال سحب آسين من ورق اللعب For the first draw, the probability of a favorable outcome is 4/52 في السحب األول اإلحتمال هو 4/52 But because the first draw is favorable, only three aces are left among 51 cards والن الحدث األول هو المطلوب سيبقي ثالث آسات والعدد الكلي لألوراق سيصبح 51 So, the probability of a favorable outcome on the second draw is 3/51 إحتمال سحب آس آخر من المتبقي هو 3/51
For both events to happen لحدوث الحدثين معا simply multiply those two probabilities together: إضرب إحتماليهما معا 4/52 X 3/51= 12/2652=0.0045
Note that these probabilities are not independent. If, however, you had decided to return the initial card drawn back to the deck before the second draw, then the probability of drawing an ace on each draw is 4/52 الحظ أن اإلحتماالت ليست مستقلة ولكن إذا قررت إرجاع الورقة األولي قبل السحب الثاني فسيصبح اإلحتمال الثاني كما هو 4/52 because these events are now independent. Drawing an ace twice in a row, with the odds being 4/52 بما أن هذه األحداث اآلن مستقلة يصبح إحتمال سحب آس مرتين في هذه الحالة هو 4/52 X 4/52=16/2704=0.0059
2. Additional rule 2. قانون الجمع For a given mutually exclusive events, finding the probability of at least one of them occurring is accomplished by adding their probabilities لألحداث المتعارضة فإن إحتمال حدوث أحدهم على األقل يتطلب جمع اإلحتماالت معا For example, what is the probability of one coin flip resulting in at least one face or at least one back? مثال ما هو إحتمال إطالق عملة معدنية على أن ينتج منها على األقل مرة واحدة وجه أو ظهر
The probability of one coin flip landing heads is 0.5, and the probability of one coin flip landing tails is 0.5 إحتمال الحصول على وجه= 0.5 وإحتمال الحصول على ظهر= 0.5 therefore, you can determine the probability of at least one head or one tail resulting from one flip by adding the two probabilities: 0.5 + 0.5 = 1 (or certainty) لذلك فإن إحتمال الحصول على وجه أو ظهر على األقل ينتج من جمع اإلحتمالين معا 1=0.5+0.5
Example 1 What is the probability of at least one spade or one club being randomly chosen in one draw from a deck of cards? مثال: ما هو إحتمال سحب ورقة إسبيد أو هارت على األقل من ورق اللعب