الرياضيات سلطان البركاتي طارق سالمة صفوت الطناني 0
بسم هللا الرحمن الرحيم
مقدمة عزيزي الطالب عزيزتي الطالبة: مؤسسة امللك عبدالعزيز ورجاله للموهبة واإلبداع "موهبة هي مؤسسة حضارية غير هادفة للربح أسسها خادم الحرمين الشريفين امللك عبدهللا بن عبدالعزيز آل سعود - رحمه هللا عام 49 ه / 999 م تسعى إلى إيجاد بيئة محفزة للموهبة واإلبداع وتعزيز الشغف بالعلوم واملعرفة لبناء قادة املستقبل من خالل منهجية وفق أحدث األساليب العلمية وأفضل املمارسات العاملية في تعليم املوهوبين واملبدعين الستثمار طاقاتهم وتمكينهم كونهم الرافد األساس الزدهار االنسانية وتسعى موهبة إلى دعم الرؤية بعيدة املدى لإلبداع واملوهبة ورعايتها في اململكة بما يوائم تطلعات وطموح أهداف رؤية 00 في تطوير القدرات البشرية املوهوبة واعداد جيل قادم يكون عماد اإلنجاز وأمل املستقبل وعليه تؤمن موهبة بأن االستثمار في تعليم املوهوبين ليس رفاهية وال عمال نخبوي ا بل ضرورة لالرتقاء بمعايير عالية الجودة في تعزيز قدراتهم حتى يسهموا في بناء مجتمعهم ليصبحوا قادة املستقبل كما تتمتع موهبة بخبرات طويلة في تنفيذ العديد من البرامج للطلبة املوهوبين واملبدعين فهي تمثل دورا رئيس ا في املنظومة املؤسساتية الحالية الداعمة لتعليم املوهوبين في اململكة وتتكامل مع نظام التعليم الوطني من خالل برامج التعرف والرعاية الشاملة واملتكاملة للموهوبين وتبادل الخبرات بما يخص التخطيط والتطبيق القي م مع املعنيين مثل وزارة التعليم واملؤسسات األكاديمية العاملية حول كيفية تصميم البرامج واملبادرات وتقديمها من خالل ممارسات تربوية متقدمة. ونظرا ألن املسابقات العلمية لم تعد ترفا يمكن االستغناء عنه بل أصبحت معادال موضوعيا للتفوق والتقدم في املجاالت العلمية وألنه مع زخم املنافسة للصعود على منصات التتويج أصبح على كل من يريد أن يحقق ذلك أن يسلك كافة السبل التي تتيح له ليس فقط الوصول إلى تلك املنصات بل حجز مكان دائم عليها. وفي هذا السياق تأتي مسابقة موهوب كمسابقة علمية سنوية تستهدف الطلبة من الصف السادس االبتدائي الى الصف األول الثانوي كأداة الكتشاف الطلبة املتميزين في العلوم والرياضيات واملعلوماتية والفيزياء والكيمياء واألحياء بهدف إلحاقهم بالبرامج التدريبية املتخصصة لتأهيلهم للمشاركة في املسابقات الدولية في العلوم والرياضيات. هذا وتتكون مسابقة موهوب من ثالث مراحل تتم جميعها عن بعد : اختبار موهوب تدريب موهوب اختبار موهوب 0 ساعة
4 وبين يديك اآلن الحقيبة الخاصة بمسابقة موهوب والتي من خاللها نتعرف بشكل مبدئي على طبيعة موضوعات وأسئلة املسابقات الدولية وبعض األساسيات التي تتكامل مع موضوعات املناهج الدراسية الواجب توافرها حتى ندخل في مرحلة االتقان التي تضعك على أول طريق املنافسة لنيل شرف تمثيل الوطن في املسابقات الدولية. ولقد حرصنا في هذه الحقيبة أن نقدم لكم املادة العلمية بلغة سهلة وجذابة تدفع شغفكم الى نقاط ابعد وعوالم أخرى من التحدي واالستمتاع بالتعلم. كما أننا ننصح بأال تكون هذه املادة هي مصدرك الوحيد فعليك البحث واالطالع بشكل مستمر فإن هذا هو ما يصنع الفارق دائما في قدرتك على مواصلة الطريق.. - - ولطالب الرياضيات على وجه الخصوص هناك بعض اإلرشادات الهامة: - ال يسمح الحاسبة في أي مسابقة دولية لذا لن يكون من املناسب نهائيا استخدمها في أي مرحلة من مراحل املسابقة أو التدريب. العبارات الرياضية )التي تحوي أرقاما وربما رموزا( يجب قراءتها من اليسار لليمين. طبيعة أسئلة املسابقات في عمومها أنها ليست تقليديه ودائما ما تتطلب مهارات تفكير عليا. وملزيدا من املعلومات يمكنكم الدخول على الرابط التالي. https://www.mawhiba.org/ar/programs/competitions/mawhoob/pages/default. asp
5 املحتويات املوضوع مقدمة األعداد الصحيحة وخواصها األعداد الصحيحة الزوجية والفردية مجموعة األعداد النسبية املستقيمات والزوايا املثلثات املضلعات اختبارتجريبي املراجع الحلول األعداد الصحيحة وخواصها األعداد الصحيحة الزوجية والفردية مجموعة األعداد النسبية املستقيمات والزوايا املثلثات املضلعات اختبارتجريبي رقم الصفحة 6 6 4 0 4 9 56 رقم الصفحة 45 48 50 5 54 55 55
6,,, 4,... W 0,,,, 4,......,,, 0,,,, 4,...,,,...,,,... 5, 5 a, a
7 a a 5 5, 5 5, 0 0 a a ab, a b a b b a ab ba ( a b) c a ( b c) ( ab) c a( bc) ac bc ( a b) c c( a b) a b ab, a b a b a b a 0 0 a a a a a a ( a) ( a) a 0
8 n a a a a... a n mn, y, 0 m (). () ()( ) n n n n n n (4)( y) y (5)( ) n y y m n m n m n m n mn () ( y) y, ( y) y () ( y) y, ( y) y y, () ( y) ( ) y y, ( )( y) y n ( ) n ( ) n n (4) a) ( ) b) ( ) ( 6) 5 c) d) ( 5) ( 4) e) ( 4) 8 f ) ( ) () a) ( ) 0 b) ( ) ( 6) 5 [( ) ( 6)] 5 ( 9) 5 4 c) ( ) 45 d) ( 5) ( 4) 0 e) ( 4) 8 f ) ( ) 4
9 a) ( ) c) ( a ) a b ) ( ) d) = () a) ( ) 0 b ) ( ) 9 6 c) ( a ) a a a a 6 9 d) = 4 a { 4b 4a 7 b ( 4 a b) 5 a} () a { 4b 4a 7 b ( 4 a b) 5 a} a { 4b 4a 7b 4a b 5 a} a { 4b 8a 6b 5 a} a { 4b 8a 6b 5 a} a {b a} b (a a) b a) ( 4) 9 g) ( 4) ( 8) b) 4 7 h) 8 ( 5) c d e 5 ) () = i) 4 + 7= ) ( 4) = )( 5) = k) 6 j) 4 6 5 f) 0 = m) 7 ()
0 () a) a a = c) ( a ) 5 4 b) = d) ( ) ( ) 7 4 5 a a a a (e) = f ) a a a a 7 4 5 6 6 () ( a)( 7) ( ) ( 4) ( 5) ( 8) ( 8) ( b)( 5) 6 ( ) 44 99 00 ( ) ( ) ( )... ( ) ( ) 4 9999... () () () 5{(a ) 7(4a ) 0 } ( 8 a) 7 (4) 6 (5) 00 (6) N N (7) (8) 4... 00 0
466 (9). 4 5 4 (0)
n n n n 6 40 0 4 6 0 5,4 6 7 40 5 7 40 5 8
,, 5, 7,,,7,9,,9,, 7,... 9. 6 9. 9 9. 9 5. 9 9. 8. 0,,4,6,8 9 9 5 5 0 7 7 4
4 8 4 0 4 6 4 8 8 6 0, 0 0,,,..., n n 6 5 9 5 () 9 4 () n m m n () 5 8n n (4) 56 4 800 (5)
5 m 800 5 4 4 56 () () () (4) (5) () 07 6 7 () () 5,7 00 (4) X 6X 904 (5) 0 9 000 (6) (7) 09 N (8) N abc abc abcba 5 a,, b c cbabc (9)
6 a b 0 ab, a b b 5 4 0 5, 4,0 5 5 7 0 0.,.7,.0 0 0 00 0... 0., 0.555... 0.5 7.4 0.456745677589... 7 5 8 ( ) ( ) 5( ) 7 7 7
7 5 7 7 7 7 ( ) 7 a a k a k b b k b k k a b 5 4 6 0... 8 9 4 4,5 5 5 0 5 5 5 5 5 5
8 50 00 50 00. ( ) 7 4 4 7 4 7 ( ) 4 4 00 50 50 7 7 4 a c ac b d bd a c, b d a c a d ad b d b c bc a c, b d
9 b a a b a b b a b a a b 0.7 0.7 0.7777... 0 7.7777... 7 0.777... 0 0 7 9 7 7 9 9 0 00 0.7
0 7 7 7 0,7,0.7, 0.7,... 9 99 999 0.7 0. 0.07 7 = 0 0 9 7 = 0 90 9 7 = 90 90 6 = 908 = 45 () a) = f) 5 6 9 0 b) = g) ( ) 4 6 ( 5) = 4 6 c) = h) = 8 9 5 7 d) 5 = i) ( ) 5 e) 4 5 = () a) 0. b) 0.7 c).8
() (4) 0., 0., (5) 7 a) b) c) d) e) 0 6 6 0 60 9 f ) g) h) i) 90 0 5 a) 97 () () b) 99 a b d c 8 c) 0. 0 0 8 0 0 99 6 c d 98, 7 7 0 0, 70 70 9,,.., 70 70 70 a b c d () (4) 00 00, 700 700
, 0., 0. (5) 6 () 8 N 0.5 8 N () 5 () ( ) ( ) ( )... ( ) 4 9 0 4 79 4 5 80 (4) (5) (6) (7) (8)
(9) (0) () ()
4 AB l B A B A B A C AB CB CA AB AB B A B AB A AB B B A A B A AC AB A AB AC CAB BAC
5 90 90 90 80 90 80 4 m n 60 m n
6 D BAC BAD DAC AD BAC 5 4 6 7 8 6 4 5 8 4 7 6 5 m n ( 5),( 4 8) k ( 6),( 7)
7 ( 5) m mn, n ( 7) k ( 6) ( 4 8) k n 4 m a, b, c, d, e, f, g k n m a 4 b 56 c 4 d c d b d e f g 56 56 4 56 () m m m m 4 m 0 5 m 7 5 8 6 m 9 90 6 m 90 m 7 m 0 m ( ( ( (4 (5 (6 (7
8 () d () (4) y, (5) RST RX, TY S (6) AB GF ECD (7) 40, GFC 00
9 BA EF ABC 45, BCD 85, DEF 50 CDE (8) B 00 AB DC (9) EG BEG, EF DEG BEC EF
0 C B A CA BC AB C B A 60
80 80 80,, 4, 5, 4, 5 90 m 6? m 40, m 60 () m 5? m 45, m 70 () m 4? m 50, m 65 () m? m 4 5, m 60 (4) m? m 5 0, m 40 (5) m 4 m 5 6? (6) (7)
(8) (9) (0) QPR PQR QTP QT, QS () () P S PT RS T
TU TV RS QUV PQ SWV 0 () DE ACB BC EDC, B CD 70 BDC ACB 40 (4) ABC A D BDC ACE 0 (5) (6)
4 ABCD 80 EFGH 80 ( n ) 80 n n ( n ) 80 ( n ) 80 n n ABCD AB BC CD DA 60
5 90 90 A h ( d d ) A h m
6 DE EF C DE, BF () AB HD HDC 40, CFE 0 HAB 0, ABC 60 CFE 0 C FEC FCE 80 (0 90 ) 60 DCB 60 ABCDH ( n ) 80 (5 ) 80 80 540 H H H 540 (0 60 60 40 ) 540 470 70 H A 70 0 80 AH AB HD
7 CDH 50 A 70 BC H ABCD BHD () ABCD C A 70 DHB C DHC CDH DHB DHB 50 70 DHB 0 AMB 58, MBC AB CD M ABCD () ABCD CAD 6 AMD AMB MBC MCB AMB 58 MCB MCB 6 CAD MCB AB CD AD BC ABCD
8 BDH ARD ACB FRC 60 HDR ABC 80, BAC 75 HFR () () 0 5 () 00 (4) EF BD ACBF, ACDE ABCD (5)
9 60 0 0 0 0 0 0 () ( A) 5 ( B) 8084 ( C) 0 5 ( D) 0 ( E) 0 0 () ( A) 5 ( B) 4 ( C) 6 ( D) 400 ( E) 65 9,6,5 cm cm cm () ( A) 0 ( B) 5 ( C) 0 ( D) 0 ( E) 60 4,,,,4,5,6,7,8 (4) ( A) 4 ( B) 5 ( C) 6 ( D) 7 ( E) 9 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 5 6 7 8 9 ( A) ( B) 0 ( C) 9 0 ( D) 7 5 ( E) 0 (5)
40 80 0 4 (6) ( A) 00 ( B) 44 ( C) 5 ( D) 400 ( E) 65 ( A) ( B) 4 ( C) ( D) 4. ( E) 4 5 (7) BAE AEC 0 CD EF, EG AB DCE 60 (8) FEG ( A) 0 ( B) 5 ( C) 0 ( D) 40 ( E) 60 (9) ( A) 8 ( B) ( C) 8 ( D) 4 ( E) 44 (0) ( A) ( B) ( C) ( D) ( E) 7 6 5 4
4 5 () ( A) ( B) 4.5 ( C) 0.5 ( D) 8 ( E) 7 ( A) 9 ( B) ( C) 9 0 ( D) 7 ( E) () ( A) y ( B) y ( C) y y ( D) y ( E) y () (4) ( A) 5 ( B) 45 ( C) 0 ( D) 7 ( E) 8 (5) ( A) 0.5 ( B) 0. ( C) 0.5 ( D) 0.5 ( E) 0.75 50 9 7 (6) ( A) 4 ( B) 44 ( C) 46 ( D) 4 ( E) 8
4 0 (7) ( A) ( B) ( C) ( D) ( E) 4 (8) ( A) ( B) ( C) ( D) ( E) 4 6 48 60 7 (9) 00 ( A) 5 ( B) 0 ( C) 40 ( D) 50 ( E) 55 (0) ( A) ( B) ( C) ( D) ( E) 4% 0% % 5% 0%
4 D AB = AC ABC () ACB BD = BC. AC ABD = 4 ( A) 4 ( B) 44 ( C) 60 ( D) 68 ( E) 7 cm () ( A) 9 ( B) 0 ( C) ( D) ( E) 5 ( A) 44 ( B) 40 ( C) ( D) ( E) () 40 4 44 48 56 (4) 5 7 9 5 7 9 5 7 9 ( A) ( B) 96 ( C) 089 ( D) 5 ( E) 69
44
45 a)5 b) 6 c) d) 64 e) 5 f ) 0 g) h) i) j)8 k)6 m) 4 a) a b) c) a d) 7 4 6 0 0 0 9 a a (e) a f) 8 9 a a ( a) 7 4 5 8 8 66 ( b) 5 6 () () () (... ) 0 4(0000 ) 00term 4 0000 4 40000 4 8766 5{a 7(4a ) 0} 8a 5{a 8a 7 0} 8a 5 6a 4 8a 0a 0 8a a 7 7 4 () () () (4)
46 (5) (6) 9 0 0 (7) ( ) + ( 4) +... + (99 00) + 0 = ( ) + ( ) + + ( ) + 0 = 5 مر ة 50 (8)
47 y, y, y (9) 9 7 0,,,4,5,6,7,8,9,,...,9 0 y 9 9 6 4 (05 : 00 05 : 59) 60 0 (5 : 00 5 : 59) (0)
48 n n, n, n () 88 6 79 07 88 7 () () 5 5,7 5 6,7,8,9,,,4 5 5 7 (4) 70,7,7,7,74 4 5 5 4 X 6X 904 (5) X X X 5 (6) (0,60,90,...) 90,80,... 00
49 7007 7 (7 ) (7 ) 77 9 (7) 09 N (8) 5 N N 4 9 9 09 9 4 N 99...9 4 00..0 4 4 4 abcba ab 000 cba (9) c 0
50 k k 0 N 5 0 0 k N 5 6 0 0.5 4 8 4 5 0 0 5 () () () 9 0 0 80 (4) (5) (6) c 4 c A 7 9 0 9 d b 9 9, e 7 (7) 4 4 8 (8) 5 6 6
5 (9) 59 (0) = () 6 4 9 5 6 4 9 4 9 6 4 9 8 6 4 9
5 ()
5 AU NT RU AT, OU RA AT AU RU NT m m m m 4 m 0 5 m 7 5 8 6 m 9 90 6 m 90 ( ( ( (4 (5 (6 m 7 m 0 m (7 () OX SN XOS OS, 80 (60 45 50 ) 5 OY AG SH CA, ACK CL CAG YOP FD HSO AC NSO 05 80 (40 70 ) 70 ACL BAG 40 80 (75 65 ) 40 ( ( ( ( () a b 0 a 0 () d c c 80 b 80 0 60 60 b c 60 (4) y 6 60 (5) R, T RST (80 0 ) (80 60 ) 80 (6) AB, GF C (7) 0
54 AB, EF CD, (8) CDE 50 40 90 BEF CEF 80 40 BEC 80 (9) DEG 50 B BEG 50 QTP QUV 00 5 5 75 80 60 70 45 00 00 00 5 () () () (4) (5) (6) (7) (8) (9) (0) () () () EDC 0, BDC 90 (4) 80 A 60 (5) (6) 0
55 70 HFR 0 () () () (4) AC FB, AC FB () AC ED, AC ED () FB ED, FB ED ACBF ACDE (),() (5) EF BD DBFE A () A () C (4) B () D (5) D () A (6) C (4) E (7) A (5) B (8) E (6) C (9) A (7) A (0) C (8) D () B (9) D () D (0) E () B () B (4) C ()
56 البركاتي سلطان سعود مبادا أساسية ألوملبياد الرياضيات مطابع الحميض ي الطبعة األولى 4 ه ) 0 م(. [] البركاتي سلطان سعود شحاتة طارق سالمة مبادا أساسية ألوملبياد الرياضيات مطابع الحميض ي الطبعة األولى 47 ه ) 06 م(. [] شحاتة طارق سالمة صابر وآخرون رياضيات األوملبياد " الهندسة" دار الخريلي لل شر والتوزاع الطبعة األولى 44 ه ) 0 م(.