النهايات 1. بعض نهايات الدوال المرجعية -I lim x = lim x x = + lim x + x = + x + lim x x2 = + lim x + x2 = + lim x x3 = lim x + x3 = + lim x 1 x = 0 li

النسخ

1 النهايات. بعض نهايات الدوال المرجعية -I x = x x = + x + x = + x + x x = + x + x = + x x = x + x = + x x = x + x = x = x < x = + x >. نهاية دالة كثير حدود أو دالة ناطقة عند + أو النهاية عند (±) لدالة كثير حدود هي نهاية حد ها األعلى درجة عند (±) النهاية عند (±) لدالة ناطقة هي نهاية حاصل قسمة الحد ين األعلى درجة عند (±) مثال : x x + x + 7 = x x = + x +4x+4 x = مثال : + = x = x + x x + x x +. حاالت عدم التعيين ; ; ; 4 طرق إزالة حاالت عدم التعيين أ. التحليل واالختزال f(x) غالبا نستعمل هذه الطريقة عند حساب حيث = ) f(x ) = g(x x x g(x) في هذه الحالة نقوم بتحليل العبارتين f و g وكتابتهما على الشكل )Q(x) x) x من جديد. ثم نختزل الكسر ونحسب النهاية x x +8 x 4 = x 4x +x 7 x x +x = (x )(4x+7) = x (x )(x+) x (x+)(x x+4) x x+4 (x+)(x ) = x x 4x+7 = x+ 4 = 4 =.4 مثال : مثال : مالحظة : توجد ثالث طرق إليجاد عبارة Q(x) وهي: ) المطابقة : مثال: كتابة العبارة 7 x 4x + على الشكل )Q(x) (x بما أن Q(x) من الدرجة األولى فهو ي كتب على شكل x + منه : (x )Q(x) = (x )(x + ) = x + ( )x = 4 { = { = 4 = 7 4x + x 7 = (x )(4x + 7) = 7 الحظ أن ه لم ا يكون كثير الحدود من الدرجة الثانية يمكن تحليله مباشرة إلى جداء عاملين من الدرجة األولى على النحو التالي: نقسم 4x على x فنحصل على 4x ونقسم 7 على فنحصل على 7+ فتكون النتيجة : 4x + x 7 = (x )(4x + 7) 9

2 x + 8 x + x x x x + 4 x + 8 x + 4x 4x + 8 4x 8 ( القسمة اإلقليدية : ( خوارزمية هورنر: وهي أسهل الطرق على اإلطالق خاصة لم ا يكون كثير الحدود من الدرجة الثالثة فما فوق. x P(x) = 4x = مثال 7 : x + معامالت P(x) = 4 = c = 7 الجذر x = x معامالت Q(x) = 4 = 7 c = = = 4 { = x. + = (4) + = 7 4x + x 7 = (x )(4x + 7) c = x. + c = (7) 7 = x P(x) = x = مثال + 8 : معامالت P(x) = = c = d = 8 الجذر x = x معامالت Q(x) = = c = 4 d = = = = x. + = () + = { c = x. x + c = ( ) + = = (x + )(x x + 4) d = x. c + d = (4) + 8 = الحظ أن المعامل األخير يكون دائما معدوما ) c و d) x ( x )( x + ) = x x x (x )( x + ) x = x (x )( x + ) = x 5 x x x + 8 = ( 5 x )( 5 x + )( x ) x ( x + 8 )( x )( 5 x + ) استعمال المرافق )خاصة بالجذور التربيعية( ( x + ) = ( x)( x ) = x (x )( 5 x + ) = ( x ) x ( 5 x + ) = ب. مثال : مثال : مالحظة : لم ا يؤول x إلى إم ا أن نستعمل المرافق في حالة تساوي معامالت x داخل الجذر وخارجه )المثال ( أو نستعمل التحليل في حالة عدم تساوي المعامالت )المثال (

3 x + (x + x x + x )(x + + x + x ) + x = x + x + (x + + x + x ) (x + ) (x + x ) x + = x + x + + x ( + x = x + x ) x + + x + x x مثال : = x + x ( + x ) x ( + x + + x x ) (x + x = x) = x + + x + x + + x = x مثال : x + + x + x = x + + x ( + x x x x ) = x x + + x + x x = x + x + x x (x x = x) x = x x ( + x + x x ) = ج. استعمال العدد المشتق f(x) f(x ) وهذه النهاية تساوي العدد المشتق ) f (x الستعمال هذه الطريقة ال بد أن تكون النهاية من الشكل : x x x x مثال : x f(x) f() = = f () x x x x f(x) = x ; f() = ; f (x) = x ; f () = sin x x x = f(x) f() = f () x x f(x) = sin x ; f() = ; f (x) = cos x ; f () = مثال : u(x) = x f = v o u ; { x v(x) = c x f(x) = c 5. نهاية دالة مرك بة

4 4x x x ; 5x + f(x) { x + x + 4x x x = 4 5x + u(x) = x x 4 v(x) g(x) f(x) h(x) { g(x) = h(x) = l x + x + f(x) = x + f(x) = l x + مثال: مثال: النهايات بالمقارنة الحالة األولى: x+cos x احسب : x + +x x + cos x x + + x + x مالحظة المتراجحة عند القسمة على (x + ). cos x x x + cos x x + x + x : المتراجحة لم تتغي ر أل ن > x (x + ) + أما إذا كان x فإن < x + منه تتغي ر { x x + cos x x + + x + x + x x + x = x + x + { f(x) g(x) g(x) = + x + x + + x = x + x + cos x + x f(x) = + x + مثال: : = الحالة الثانية: x x + sin x احسب sin x sin x sin x sin x x sin x x cos x (x<) x { sin x x x x + = + { f(x) g(x) g(x) = x + x + x sin x = + f(x) = x + مثال: الحالة الثالثة: احسب : x + x cos x x x x cos x x x + x x + x cos x x x { x + x cos x x x x x x = x x + x cos x = مالحظة : غالبا ما نستعمل المقارنة لحساب نهايات الدوال المثلثية (x (sin x ; cos لم ا x يؤول إلى (±) حيث أن هذه الدوال ال تقبل نهاية عند (±). ولحصر f(x) دائما ننطلق من حصر الدالة المثلثية (x (sin x ; cos بين ( ) و( +) 7. المستقيمات المقاربة المستقيم x = مستقيم مقارب عمودي (يوازي محور التراتيب) = f(x) ) x المستقيم y = مستقيم مقارب أفقي (يوازي محور الفواصل) ) f(x) = x المستقيم y = x + مستقيم مقارب مائل = ) ) f(x) (x + x.6

5 x = 4 مالحظة : ) إذا كانت φ(x) f(x) = x + + و = φ(x) فإن المستقيم y = x + مستقيم مقارب مائل للمنحنى ) Cf ( x ) قد يكون للمنحنى ) (Cf مستقيمين مقاربين أحدهما بجوار ( ) واآلخر بجوار ( +) f(x) = x + x < 4 x + (x 4) = f(x) = = + ; f(x) = (x 4) (x 4) = + x < 4 x > 4 y = x > 4 x = 4 f(x) = (x 4) مثال : يقبل المنحنى (Cf) مستقيما مقاربا عموديا معادلته : وآخر أفقيا معادلته : (Cf) f(x) = ; f(x) = + ; f(x) (x ) = x < x > x + وآخر مائال x ( ): y = y = x + ( ): x = f(x) = x + x = x مثال : يقبل المنحنى (Cf) مستقيما مقاربا عموديا x < x < f(x) = x < f(x) = f(x) = f(x x x < x x > ) x + = ; x > ( ): x = f(x) = f(x) = f() x x الدالة f مستمرة عند = > x إذا وفقط إذا : x + -II االستمرارية واالشتقاقية. االستمرارية تكون الدالة f مستمرة عند ; x > x = f(x) = { x+ مثال : x + ; x x + f(x) = = ; f() = + = x > x +

6 x مماسا. االشتقاقية تكون الدالة f قابلة لالشتقاق عند x إذا وفقط إذا : f(x) f(x ) f(x) f(x ) = = l (l ) x x < x x x x > x x. التفسير الهندسي f(x) f(x ) f(x) f(x ) = f (x x x ) : يقبل المنحنى (Cf) عند النقطة ذات الفاصلة x < x = x x x x > y = f (x )(x x ) + f(x ) f(x) f(x ) f(x) f(x ) معادلته : : يقبل المنحنى (Cf) عند النقطة ذات الفاصلة x نصفي مماسين = l; = l x x < x x x x > x x ميليهما l و l على الترتيب y = f(x f ) : مماسا أفقيا معادلته عند النقطة ذات الفاصلة x (Cf) يقبل المنحنى : (x ) = f(x) f(x ) : يقبل المنحنى (Cf) عند النقطة ذات الفاصلة x نصف مماس عمودي )يوازي محور = x x x x التراتيب( )) : f ; f(x يقبل المنحنى (Cf) نقطة انعطاف ω(x وتتغير وضعية (Cf) بالنسبة للمماس عند (x ) = هذه النقطة. (T): y = x f (x x f(x) = x مثال : = = ) x + ; x > x = f(x) = { x+ مثال : x + ; x f(x) f() = x < x ; f(x) f() = x > x التفسير البياني للنتيجة : يقبل المنحنى (Cf) نصفي مماسين عند النقطة ذات الفاصلة مثال + : x f (x) = x x f(x) = x x (T (T f f ): y = ): y = 7 () = ( ) = 6 Dg = [ ; + [ مثال + :4 x g(x) = x + 5 g(x) x > x + = x + 5 x + 5 = x > x + x > x + = تفسير النتيجة بيانيا : الدالة g غير قابلة لالشتقاق عند النقطة ذات الفاصلة )-( ويقبل المنحنى (Cg) نصف مماس عمودي.

7 مثال = f(x) f ( ) = f (x) = x f (x) = x x x x x + :5 ( ω نقطة انعطاف. ; ) 4. مبرهنة القيم المتوسطة أ. لبيان أن المعادلة g(x) = c تقبل حال وحيدا α في المجال ] ;[ نبي ن أن الدالة g مستمرة ورتيبة على المجال ] ;[ وأن g() g() < c < إذا كانت g متزايدة أو g() g() < c < إذا كانت g متناقصة. إذا كانت المعادلة = g(x) يكفي أن نبي ن أن الدالة g مستمرة ورتيبة على المجال ] ;[ وأن :.g() g() < ب. لتعيين حصر للحل α g ( + فنأخذ نصف المجال الذي يشمل α ونلغي النصف ال ثاني نقوم بتقسيم المجال ] ;[ من خالل حساب ثم نواصل العملية حتى نصل إلى الحصر المطلوب. )انظر الملحق الخاص بكيفية استعمال الحاسبة لحصر الحل α في نهاية الكتاب( ج. لكتابة f(α) بداللة α وتعيين حصر للعدد f(α) ننطلق دائما من المعادلة = g(α) لكتابة α أو e α أو ln α بداللة α ثم نعو ض العبارة المتحصل عليها في الدالة f. f(x) = x +x مثال: 4 x g(x) = x x. بيان أن المعادلة = g(x) تقبل حال وحيدا α حيث α ; = g(). g() = 4 الدالة g مستمرة ورتيبة على المجال g() g() < ; منه المعادلة ; على المجال α تقبل حال وحيدا g(x) =. تعيين حصر للعدد α بالتقريب إلى g() = g() = g() = { g(, 5) 4, { g(, 5), 64 { g(, ), 4 g() = 4 g(,5) 4, g(, ), 5 من النتائج السابقة نستنتج أن :, < α <, f(α) = α+4. بيان أن : g(α) = α α 4 = α = α + 4 f(α) = α + α α = α ( + α ) (α + 4) ( + α = α ) = α + α + 8 α α + 4 α α + 4 f(α) = (α + )(α + 4) (α + ) = α + 4, < α <, 6, < α < 6,6, < α + 4 <,6, < α + 4 5,5 < f(α) < 5, ) تعيين حصر ل f(α) <,6.4

8 -III الشفعية والتناظر f( x) = : فإن x Df متناظر بالنسبة إلى ثم نبي ن أن ه من أجل كل Df زوجية نتحق ق أوال أن f لبيان أن الدالة.f(x) في هذه الحالة يقبل المنحنى (Cf) محور تناظر. f( x) = : فإن x Df متناظر بالنسبة إلى ثم نبي ن أن ه من أجل كل Df فردية نتحق ق أوال أن f لبيان أن الدالة. f(x) في هذه الحالة يقبل المنحنى (Cf) مركز تناظر.. لبيان أن المستقيم ذي المعادلة x = محور تناظر للمنحنى (Cf) نتحق ق أوال أن ه من أجل كل x Df فإن ( x) Df ثم نبي ن أ ن : f(x).f( x) =. لبيان أن النقطة ( ω(; مركز تناظر للمنحنى (Cf) نتحق ق أوال أن ه من أجل كل x Df فإن ( x) Df ثم نبي ن أن :.f( x) + f(x) = مثال : Dg = R g(x) = x Dg متناظر بالنسبة إلى ومن أجل كل x R فإن : g(x) g( x) = ( x) = x = منه الدالة g زوجية Df = R { ; } f(x) = x x مثال : Df متناظر بالنسبة إلى ومن أجل كل x Df فإن : = f( x) منه الدالة f فردية ( x) = x = f(x) ( x) x (4 x) Df ) (Cf إذا وفقط إذا : { f(4 x) = f(x) x Df x {; } x { ; } 4 x {; } 4 x Df f(4 x) = (4 x) 8(4 x) + 7 (4 x) 4(4 x) + = x 6x + + 8x + 7 x 8x x + = x 8x + 7 x 4x + = f(x) f(x) = x 8x+7 Df = R {; } مثال : x 4x+ بيان أن المستقيم = x :( ) محور تناظر ل ) (Cf يكون المستقيم = x :( ) محور تناظر ل Df = R {} f(x) = x +4x+ x ω(; 6) مثال 4: بيان أن النقطة مركز تناظر ل ) (Cf ( x) Df { تكون (6 ;)ω مركز تناظر ل ) (Cf إذا وفقط إذا : f( x) + f(x) = x Df x x x x Df

9 f( x) + f(x) = ( x) + 4( x) + x = x 4x x + x = x + 8x 4 + x + 4x + x + x + 4x + x + x + 4x + x x x = = (x ) x = -IV استعمال التمثيل البياني وجدول التغي رات. القراءة البيانية مثال: من المنحنى المقابل يمكننا استنتاج ما يلي: تعيين : f() f () ; (f f) () ; f () ; f () ; (نقطة انعطاف) = f"() ); مماس أفقي) = () f f() = ; f () = ; (f f) () = (f f)() f () = f () f () = ( ) =. حل بيانيا المتراجحتين: < f(x) f (x) أ( < f(x) S = [ ; [ ]; 4[ : ب( f (x) S = [ ; ] [; 5] :. كتابة معادلة المماس (T) للمنحنى عند النقطة ذات الفاصلة y = f ()(x ) + f() = (x ) (T): y = x + 4 جدول تغيرات الدالة f..4 بيان أن المعادلة = f(x) تقبل حال وحيدا في المجال [5 ;] الدالة f مستمرة ورتيبة على المجال [5 ;] و (5)f ()f < < منه المعادلة = f(x) تقبل حال وحيدا في المجال [5 ;] حسب مبرهنة القيم المتوسطة. g(x) = f(x) g(x) = f(x) Dg = [ ; ] [4; 5] ; g (x) = f (x) f(x) جدول تغيرات الدالة g المعر فة ب: g( ) = f( ) = ; g () = f () f() = = ; g() = f() =,5,45 ;,5 g() = f() = ; g(4) = f(4) = ; g(5) = f(5) =,46.5.6

10 = c + c { 4 = = c استنتاج عبارة دالة من خالل تمثيلها البياني أو جدول تغي راتها g(x) = x + + c مثال : x+ g c (x) = (x + ) g() = + c = { g () = { c g 4 = () = c = = { c = 4 g(x) = x + 4 x + = f (x) = c (x+d) f(x) = x + + c x+d مثال :. Df = R { } + d = d = f () = c 4 = = c 4 = { f() = + c = f() = + + c = c { = c { = 4 f(x) = x { 4 = x + c = 4. المناقشة البيانية لمناقشة بيانيا حسب قيم الوسيط الحقيقي m عدد وإشارة حلول معادلة ما ال بد من استخراج عبارة الدالة الم مث لة بيانيا من المعادلة وتكون المعادلة النهائية على أحد األشكال التالية: : m = f(x) في هذه الحالة ندرس تقاطع المنحنى ) (Cf مع المستقيم المتحرك الموازي لمحور الفواصل. : x + m = f(x) في هذه الحالة ندرس تقاطع ) (Cf مع المستقيم المتحرك الموازي للمستقيم الذي ميله )غالبا ما يكون مستقيما مقاربا مائال أو مماسا(. مع المستقيم المتحرك الموازي m = f(x) أو f(x) m = : في هذه الحالة ندرس تقاطع المنحنى ) (Cf لمحور الفواصل مع مراعاة أن تكون بداية الدراسة من محور الفواصل وليس من األسفل كما هو الحال في المناقشتين السابقتين. : mx = f(x) في هذه الحالة ندرس تقاطع المنحنى ) (Cf مع المستقيم الذي يدور حول المبدأ. إذا كانت نقطة التقاطع على يسار مالحظات :. ت حد د قيم m من خالل تقاطع المستقيم المتحرك مع المنحنى ) (Cf. يكون الحل موجبا إذا كانت نقطة التقاطع على يمين محور التراتيب ويكون سالبا محور التراتيب.. إذا كان المستقيم المتحرك مماسا للمنحنى ) (Cf يكون الحل مضاعفا.

11 x = يقبل مستقيما مقاربا عموديا معادلته (Cf) y = يقبل مستقيما مقاربا أفقيا معادلته (Cf) y = x + يقبل مستقيما مقاربا مائال معادلته (Cf) ;) f()) يقبل مماسا أفقيا عند النقطة (Cf) ;) f()) يقبل نصف مماس عمودي عند النقطة (Cf) المنحنيان (Cf) و (Cg) متقاربان بجوار الدالة f فردية و (Cf) يقبل مركز تناظر )المبدأ( الدالة f زوجية و (Cf) يقبل محور تناظر )التراتيب( المستقيم : x = محور تناظر ل (Cf) النقطة ( ω(; مركز تناظر ل (Cf) المنحنيان (Cf) و (Cg) متطابقان (Cf) و (Cg) متناظران بالنسبة لمحور التراتيب (Cf) و (Cg) متناظران بالنسبة لمحور الفواصل (Cf) و (Cg) متناظران بالنسبة للمبدأ باالنسحاب الذي شعاعه u ( ) (Cf) صورة (Cg) الدالة g زوجية من أجل > x g(x) = f(x) : (Cf) و (Cg) متطابقان من أجل < x : نكمل رسم (Cg) بالتناظر المحوري )بالنسبة لمحور التراتيب( g(x) = f(x) : f(x) من أجل > (Cf) و (Cg) متطابقان g(x) = f(x) : f(x) من أجل < (Cf) و (Cg) متناظران بالنسبة لمحور الفواصل )المنحنى (Cg) دائما فوق محور الفواصل( f(x) = x f(x) = x + [f(x) (x + )] = x + f(x) f() = x x f(x) f() = x x [f(x) g(x)] = x f( x) + f(x) = f( x) f(x) = f( x) = f(x) f( x) + f(x) = g(x) = f(x) g(x) = f( x) g(x) = f(x) g(x) = f( x) g(x) = f(x + ) + g(x) = f( x ) g(x) = f(x) تعيين تقاطع (Cf) مع محور الفواصل تعيين تقاطع (Cf) مع محور التراتيب كتابة معادلة المماس عند النقطة ذات الفاصلة نح ل المعادلة = f(x) نحسب ()f (T): y = f (x )(x x ) + f(x ) x حيث f (x ) = ثم نكتب معادلة المماس x كتابة معادلة المماس الذي معامل توجيهه كتابة معادلة المماس الذي يشمل النقطة ( ;) نعي ن نعي ن x حيث ) = f (x )( x ) + f(x ثم نكتب معادلة المماس عند النقطة ذات الفاصلة x 9

12 توجد دالة وحيدة f قابلة لالشتقاق على R تحق ق f = f و = ()f نرمز إليها بالرمز f(x) = e x وت سمى الدالة األس ية. العدد e هو صورة العدد بالدالة األس ية حيث )e,78(.f() = e خواص الدالة األس ية : e = ; e x = e x ; ex. e y = e x+y ; ex e y = ex y ; (e x ) n = e nx (e x + e x ) = e x + e x + e x. e x = e x + e x + = e4x + e x + e x e x x ex = ; x + ex = + ; = x x 4 x + e x x = + ; 5 x xex = ) x + ex e x = x + ex (e x ) = + ) x ex + e x 4 = 4 ) ( x x)e + = ( x x e x e X 4) ; X = x ; x x X X 5) x + e x+ = x + e x x 6) x (x + x + )e x = x ex+ = + = ; x e x = ) = x x e x + xe x + e x = مثال : نهايات الدالة األس ية : مثال : اتجاه تغي ر الدالة األس ية : الدالة األس ية قابلة لالشتقاق على [e u(x) ] = u (x)e u(x) (e x ) = e x : R الدالة األس ية متزايدة تماما على R منه نستنتج أن : u(x) = v(x) تكافئ المعادلة e u(x) = e v(x) المعادلة u(x) > v(x) تكافئ المتراجحة e u(x) > e v(x) المتراجحة u(x) < v(x) تكافئ المتراجحة e u(x) < e v(x) المتراجحة ) f(x) = e x + e x+ x ; f (x) = e x e x+ ) f(x) = e x e x + 4 ; f (x) = e x + e x ) f(x) = ex e x ; f (x) = ex (e x ) e x. e x (e x ) = ex (e x + ) (e x ) 4) f(x) = e x + e x ; f (x) = e x ( + e x ) + e x ( e x ) ( + e x ) = مثال : حساب المشتقات 4e x ( + e x )

13 مثال : حل المعادالت والمتراجحات ) e 5x = e 5x = x = 5 ) e x+ (e x ) = e x+ = e x x + = x x = ) e x e x = ; X = e x ; X X = X = أو 4 X = 5 (الحل 4 مرفوض ألن > x e x = 5 x = ln 5 (e 4) e x e 5x+ x 5x + x 5x = 49 ; x = ; x" = ; S = [ ; ] المعادالت التفاضلية : c R y = ce x : هي y = y حلول المعادلة التفاضلية c R y = ce x : هي y = y + حلول المعادلة التفاضلية مثال : f() و = f = f f = f f(x) = ce x ; f() = c = f(x) = e x f() و = f f = 4 f f = 4 f = f + 4 f(x) = ce x 4 = cex f() = ce = c = e = e f(x) = e e x = (e x ) f () و = f f + = f f + = f = f f(x) = ce x + f () = ce () = c = c = f(x) = e x

14 من أجل كل عدد حقيقي موجب تماما يوجد عدد حقيقي وحيد x حيث : e x = ي سم ى العدد x اللوغاريتم النيبيري للعدد حيث : x = ln الدالة اللوغاريتمية f(x) = ln x م عر فة على المجال ] + ;[ خواص الدالة اللوغاريتمية : ln x = y x = e y ; e ln x = x (x > ) ; ln e x = x (x R) 4 ln(xy) = ln x + ln y ; 5 ln ( x y ) = ln x ln y ; 6 ln xn = n ln x... 7 ln ( x ) = ln x ; 8 ln x = ln x مثال : ) ln e ln ( e ) = ln e + ln e = + = ) e ln ln 5+ln 5 = e ln 5 +ln 5 = e ln( 5 5) = e ln 9 = 9 ln x ln x = ; ln x = + ; x > x + x + x = ln( + x) ln x 4 x ln x = ; 5 = ; 6 x > x x x x = 4. نهايات الدالة اللوغاريتمية : ) x + +ln x ) x > x ln x x = x + x(ln x ) = + x + = ln (x ) +) ln[x(x+ x = )] ln x = x + x x + x x + x x = 4) x > x ln x x = x > 5) x ln ( + x + x ) = X X > x ln x ln( + X) = X > [ln u(x)] = u (x) u(x) ) f(x) = ln(x + 4x 5) ; f (x) = x+4 x +4x 5 + ln(x+ x ) x = مثال : ln( + X) = ; (X = X x ) اتجاه تغي ر الدالة اللوغاريتمية : الدالة اللوغاريتمية قابلة لالشتقاق على + [ ]; : = x) (ln x الدالة اللوغاريتمية متزايدة تماما على R منه نستنتج أن : u(x) = v(x) تكافئ المعادلة ln u(x) = ln v(x) المعادلة u(x) > v(x) تكافئ المتراجحة ln u(x) > ln v(x) المتراجحة u(x) < v(x) تكافئ المتراجحة ln u(x) < ln v(x) المتراجحة.5 مثال : حساب المشتقات

15 ) f(x) = x ln x ln(ln x) ; f (x) = ln x + x x x ln x ) f(x) = x + ln ( x x+ ) ; f (x) = + 4) f(x) = ln x + (ln x) ; f (x) = 4 (x+) x x+ = + x ln x + = ln x x = ln x + x ln x 4 = 4x + (x+)(x ) 4x ln x ln x + x ln x x ) ln(x ) = ln(x ) + ln 5 { x > x > {x > D = ]; + [ x > ln(x ) = ln(x ) + ln 5 ln(x ) = ln 5(x ) x = 5x 5 x = x = 4 ; 4 D S = {4} ) ln(x 5) ln(4 x) = ln { x 5 > 4 x > {x ] ; 5[ ] 5; + [ D x ] ; 4[ D x D D D = ] ; 5[ ] 5; 4[ ln(x 5) ln(4 x) = ln ln x 5 4 x = ln 4 x 5 4 x = 4 x 5 = 6 4x x + 4x = (x )(x + 7) = 7 D x أو = x = 7; { S = { 7; } D ) (ln x) ln x 6 = x > D = ]; + [ ; ln x = X (ln x) ln x 6 = X X 6 = (X )(X + ) = X أو = X = x = أو e x = e ; { e D e D S = {e ; e } 4) ln(x + ) < 4 ; D = ] ; + [ ln(x + ) < 4 x + < e 4 x < e4 S = ] ; e4 [ 5)(ln x) ; D = ]; + [ (ln x) (ln x )(ln x + ) ln x e x e S = [e ; e] مثال : حل المعادالت والمتراجحات

16 الجزء األول : مكعب ضلعه ABCDEFGH AB. CH AB. DG احسب الجداء السلمي بداللة لكل من: AB. BF AG. DF AG. EG AC. AG AC. DF. AB. BF = (AB BF (ألن ; AB. DG = AB. CH = نسقط H على (ABC) AC. DF = نسقط F على (ADC) AC. AG = نسقط G على (ABC) AG. EG = AG. DF = نسقط A على (EFG) AB. CD = AC. DB = نسقط G على (ABD) AB. DC = مرتبطان خطيا وفي نفس االتجاه مرتبطان خطيا ومتعكسان في االتجاه (قطرا المربع متعامدان) متعامدان عالقة شال. = AC. AC = AC = (AC = AB + BC ) EG. EG = EG = (EG = EF + FG ) (AC DB ) (AC BF ) (CG DB ). = (AC + CG ). (DB + BF ) = AC. DB + AC. BF + CG. DB + CG. BF (CG BF ) = مالحظة هامة : طريقة اإلسقاط تعتمد على اختيار مستوي يشمل ثالث نقط من األربعة المكو نة للجداء السلمي واسقاط النقطة الرابعة على هذا المستوي. وال يصح اسقاط نقطتين في آن واحد بل نستعمل عالقة شال ولو أسقطنا كال من G و F على المستوي (ABC) في المثال األخير لكانت النتيجة : = AG. DF = AC. DB وهذا خطأ. بي ن أن = EG DF. و = DF. EB ثم استنتج أن المستقيم (DF) عمودي على المستوي (BEG) DF. EG = نسقط D على (EFG) HF. EG = متعامدان ; DF. EB = نسقط D على (EFB) AF. EB = متعامدان بما أن DF عمودي على EG و EB وهما شعاعان غير مرتبطين خطيا من المستوي (BEG) استنتج أن المستقيم (BEG) عمودي على المستوي (DF). عي ن طبيعة المثلث DBG واحسب مساحته. cm) ) = بما أن أضالع المثلث DBG هي أوتار للمربعات المتقايسة CDHG, BCGF, ABCD نستنتج أن : DB = DG = BG [DB] على G هي المسقط العمودي للنقطة I حيث S DBG = DB GI منه المثلث DBG متقايس األضالع ومساحته هي : )أي مركز المرب ع.)ABCD DB = DA + AB = DB = = cm GI = GD DI = GD ( DB) = GD 4 DB = DB 4 DB = 4 DB = 4 (8) = 6 GI = 6 S DBG = 6 = = cm

17 الجزء الثاني : نعتبر في الفضاء المنسوب إلى معلم متعامد ومتجانس ) k (O, i, j, النقط ) ; A(; C(; ; ) B(; ; ) D( 4; ; ). بي ن أن النقط,C,B A تعين مستويا و AC غير مرتبطين خط يا AB ( ) ; AC ( ) ; 4 لبيان أن النقط,C,B A تعي ن مستويا )أو أن ها في استقامية( نبي ن أن الشعاعين AB النقط C, B, A تعي ن مستويا AB و AC غير مرتبطين خطيا. عي ن شعاعا ناظميا للمستوي (ABC) ليكن ( n ( شعاعا ناظميا للمستوي (ABC) فهو إذن عمودي على كل من الشعاعين AB و AC منه : c { n. AB = + + 4c = + + 4c = { { + 6c = نجمع المعادلتين = c 4 + نضرب المعادلة في n. AC = + c = = c 4c + c = = c n ( ) نعو ض في المعادلة من أجل =c. استنتج معادلة ديكارتية للمستوي (ABC) إذا كان ) n ( شعاعا ناظميا للمستوي (ABC) فإن هذا األخير يقبل معادلة من الشكل : = d x + y + cz + c طريقة أولى : (ABC): x y + z + d = ; A (ABC) + d = d = نعو ض إحداثيات A في معادلة (ABC) (ABC): x y + z = طريقة ثانية : M(x; y; z) (ABC) n. AM = (x ) y + (z + ) = x y + z = أثبت أن المثلث ABC قائم إلثبات أن المثلث ABC قائم نستعمل الجداء السلمي أو النظرية العكسية لفيثاغورس المثلث ABC قائم في AB. AC = () + () + 4( ) = + 4 = AB AC A.4 طريقة أولى : طريقة ثانية : AB = ² + ² + 4² = ; AC = ² + ² + ( )² = 6; BC = ² + ( )² + ( 5)² = 7 المثلث ABC قائم في BC = AB + AC A S ABC = AB AC x +y +cz +d + +c أحسب مساحة المثلث ABC مساحة المثلث تساوي القاعدة االرتفاع = ² + ² + 4² ² + ² + ( )² 6 = = 4 u. عي ن بعد النقطة D عن المستوي (ABC) ثم احسب حجم رباعي الوجوه DABC بعد النقطة z ) M (x ; y ; عن المستوي = d (P): x + y + cz + هو :.5.6

18 d[d, (ABC)] = ( 4) () + + ( ) + = 4 4 = 4 حجم رباعي الوجوه يساوي مساحة القاعدة االرتفاع V DABC = S h = = 4 S ABC d[d,(abc)] = 7 u. v عين ω مركز سطح الكرة (S) الذي معادلته = 5 6z x + y + z + y لتعيين مركز ونصف قطر سطح كرة نكتب معادلته على الشكل : (x x ) + (y y ) + (z z ) = r x + y + z + y 6z 5 = x + (y + ) + (z ) 5 = d[ω, (ABC)] = x + (y + ) + (z ) = 5 ω(; ; ) ; r = 5 = 5 () ( ) + = 5 + ( ) + 4 = أحسب بعد النقطة ω عن المستوي (ABC) 9. اعط تمثيال وسيطيا للمستقيم ( ) الذي يشمل النقطة ω و يعامد المستوي (ABC) x = x + αt α التمثيل الوسيطي لمستقيم يشمل نقطة ) M (x ; y ; z و شعاع توجيهه β) u ( هو : R { y = y + βt ; t z = z + γt γ بما أن (ABC) ( ) فإن u ( ) = n أي إن الشعاع الناظمي للمستوي (ABC) هو شعاع توجيه للمستقيم ( ) x = t x = t M(x; y; z) ( ) ωm n ωm = t. n { y + = t ( ): { y = t ; t R z = t z = + t. عي ن طبيعة و خصائص تقاطع المستوي (ABC) و سطح الكرة (S) لتعيين طبيعة تقاطع مستوي (P) و سطح الكرة (S) مركزها ω ونصف قطرها r نقارن [(P) d[ω, و : r (ال يتقاطعان) = (S) d[ω, (P)] > r (P) (يتماس ان في نقطة وحيدة) {ω } d[ω, (P)] = r (P) (S) = (يتقاطعان وفق دائرة) ) ;r d[ω, (P)] < r (P) (S) = C (ω حيث ω هي نقطة تعامد المستقيم الذي يشمل ω والمستوي (P) و r يعطى بالعالقة : r = r d.7.8 الحالة األولى : r d[ω, (P)] > الحالة الثانية : r d[ω, (P)] = الحالة الثالثة : r d[ω, (P)] < (P) (S) = C (ω ;r ) (P) (S) = {ω } (P) (S) =

19 بما أن d[ω, (ABC)] < r فإن المستوي (ABC) يقطع سطح الكرة (S) وفق دائرة مركزها ω ونصف قطرها r حيث ω r = أي r = r d = 5 5 هي نقطة تقاطع المستوي (ABC) والمستقيم ( ) و 4 لدراسة الوضع النسبي لمستقيم ( ) ومستوي (P) نعو ض التمثيل الوسيطي للمستقيم ( ) في المعادلة الديكارتية للمستوي (P) فنحصل على معادلة من الدرجة األولى ذات المجهول t )الوسيط( ونمي ز ثالث حاالت : (P) المعادلة ال تقبل حلوال ( = عدد) : المستقيم ( ) يوازي المستوي المعادلة تقبل حال وحيدا (عدد = t) : المستقيم ( ) يقطع المستوي (P) في نقطة وحيدة (P) المعادلة تقبل ما ال نهاية من الحلول ( = ) : المستقيم ( ) محتوى في المستوي لتعيين إحداثيات ω نعو ض التمثيل الوسيطي للمستقيم ( ) في المعادلة الديكارتية للمستوي (ABC) : (t) ( t) + + t = 4t = 5 t = 5 4 ω ( 5 7 ; 4 ; 7 4 ). ليكن (P) المستوي الذي معادلته: = z.x + y + بي ن أن المستويين (P) و (ABC) متعامدان n. n = () () + () = n n (ABC) (P) ) ; (; n شعاعا ناظميا للمستوي.(P) لدينا :. اعط التمثيل الوسيطي للمستقيم ( ) تقاطع (P) و (ABC) M(x; y; z) ( M (ABC) x y + z = ) { { x 4y = x = 4y M (P) x + y + z = بتعويض x في المعادلة نجد : = z 4y + y + منه + 5y z = وبوضع t y = نحصل على التمثيل الوسيطي للمستقيم ( ). ليكن ( ): { x = 4t y = t ; t R z = 5t. عين بعد النقطة D عن المستوي (P) ثم استنتج المسافة بين D و ( ) ( 4) + () + () d[d, (P)] = = + + = بما أن المستويين (P) و (ABC) متعامدان فإن المسافات (ABC)] d[d, [(P) d[d, و [( ) d[d, هي أطوال أضالع مثلث قائم طول وتره هو [( ).d[d, d [D, ( )] = d [D, (ABC)] + d [D, (P)] = = 46 d[d, ( )] = 46 = 8 (P) ( ) (ABC)

20 4. ادرس الوضع النسبي للمستقيمين ( ) و ( ) ليكن u و u شعاعي توجيه المستقيمين ( ) و ( ) على الترتيب. 4 u ( ) ; u ( ) ; 4 5 بما أن الشعاعين u و u غير مرتبطين خط يا فإن المستقيمين ( ) و ( ) متقاطعان أو ال ينتميان لنفس المستوي. لتحديد الوضع النسبي للمستقيمين ( ) و ( ) نحل الجملة التالية حيث ( ) M و( ) M: { x M = x M t = 4t y M = y { t = 4t M t = t { { t = t t = في نضرب المعادلة t = 4t 4t = 4 { 7 t = 7 ( 4 ; ; ; 9 ; 4 ( و ) بتعويض t و t في التمثيلين الوسيطيين ل ( ) و ( ) نحصل على النقطتين ) بما أن M z M z نستنتج أن المستقيمين ( ) و ( ) ال ينتميان إلى نفس المستوي. 5. اعط المعادلة الديكارتية ل (Q) المستوي المحوري للقطعة [EF] حيث ( ; ;)E و ( ; ; )F المستوي المحوري للقطعة [AB] منتصف [AB] هو المستوي الذي يعامد هذه القطعة في منتصفها فهو إذن يعامد AB ويشمل I EF( ; ; ) ; I(; ; ) ; M(x; y; z) (Q) x + z + d = ; I (Q) + d = d = (Q): x + z = 6. عي ن تقاطع المستويات الثالث (P) (Q) و (ABC) لتعيين تقاطع المستويات الثالث (P) (Q) و (ABC) ندرس تقاطع المستوي (Q) والمستقيم ( ) M (Q) (P) (ABC) M (Q) ( ) ; (4t ) + ( 5t ) = 8t = ( ) t = (Q) (P) (ABC) = {I(; ; )} نعو ض t في التمثيل الوسيطي ل ) ).7 عي ن إحداثيات النقطتين G و G' حيث G مركز ثقل المثلث ABC و G' مرجح الجملة )} (C; {(A; ), (B; ); إذا كان γ α + β + فإن الجملة المثقلة γ)} {(A; α), (B; β); (C; تقبل مرجحا وحيدا G حيث : αga + βgb + γgc = G ( αx A+βx B +γx C α+β+γ ; αy A+βy B +γy C α+β+γ M ; αma + βmb + γmc ; αz A+βz B +γz C ) α+β+γ = (α + β + γ)mg هي النقطة G هي سطح كرة مركزها G ونصف قطرها k هي المستوي المحوري للقطعة ] [GG ويعامد AB مجموعة النقط M التي تحق ق : = MG مجموعة النقط M التي تحق ق : ) > k(k MG = مجموعة النقط M التي تحق ق : MG MG = [GG ] هي سطح كرة قطرها MG. MG = : التي تحق ق M مجموعة النقط G هي المستوي الذي يشمل النقطة MG. AB = : التي تحق ق M مجموعة النقط ABC هو مركز ثقل المثلث {(A; ), (B; ); (C; )} مرجح الجملة [AB] هو منتصف القطعة {(A; ), (B; )} مرجح الجملة إذا كان = γ α + β + فإن الشعاع αma + βmb + γmc مستقل عن M G{(A; ), (B; ); (C; )} G ( x A + x B + x C ; y A + y B + y C ; z A + z B + z C ) G(; ; )

21 G {(A; ), (B; ); (C; )} G ( x A x B + x C G ( 4 ; ; 8 ) ; y A y B + y C ; z A z B + z C ) 8. عي ن في كل حالة من الحاالت التالية مجموعة النقط M من الفضاء التي تحقق : أ. MA + MB + MC = 6 MA + MB + MC = 6 MG = 6 MG = 6 MG = MG ب. مجموعة النقط M التي تحق ق المعادلة هي سطح كرة مركزها G ونصف قطرها MA + MB + MC = MA MB + MC MA + MB + MC = MA MB + MC MG = MG = 6 MG = MG MG MG مجموعة النقط M التي تحق ق المعادلة هي المستوي المحوري للقطعة ] [GG ج. MA + MB + MC = MA MB MC MA + MB + MC = MA MB MC MG = MA (MA + AB ) (MA + AC ) MG شعاع مستقل عن M MG = (AB + AC ) MG = AB + AC AB ( ) ; AC ( ) AB + AC ( ) AB + AC = MG = 4 مجموعة النقط M التي تحق ق المعادلة هي سطح كرة مركزها G ونصف قطرها (MA + MB + MC )(MA MB + MC ) = (MA + MB + MC )(MA MB + MC ) = (MG )(MG ) = MG. MG = مجموعة النقط M التي تحق ق المعادلة هي سطح كرة قطرها ] [GG (MA MB + MC )(MA MB ) = (MA MB + MC )(MA MB ) = MB ويعامد AB =MA +AB (MG ) ( AB ) = MG. AB = د. ه. مجموعة النقط M التي تحق ق المعادلة هي المستوي الذي يشمل النقطة G 9

22 MA + MB + MC = MA + MB + MC = MA + MB + MC = (MG + GA ) + (MG + GB ) + (MG + GC ) = و. GA ( ; ; ) GB (; ; ) { GC (; ; ) MG + GA + GB + GC + MG (GA + GB + GC ) = MG = GA GB GC GA = ( ) + ( ) + ( ) = { GB = () + () = MG = MG = 4 GC = () + ( ) = 5 مجموعة النقط M التي تحق ق المعادلة هي سطح كرة مركزها G ونصف قطرها 9. ادرس الوضع النسبي لسطح الكرة (S) و المجموعة )أ( )السؤال السابق( لدراسة الوضع النسبي لسطحي كرة (S) و( S ) نقارن المسافة بين مركزيهما ) ω d(ω; مع مجموع نصفي قطريهما r r + (S) : d(ω; ω ) > r + r و( S ) منفصلتان (S) : d(ω; ω ) = r + r و( S ) متماستان (S) : d(ω; ω ) < r + r و( S ) متقاطعتان لدينا : سطح الكرة (S) مركزها ω ونصف قطرها 5 و سطح الكرة ( S) مركزها G ونصف قطرها منه : d(ω; G) = ωg = + + ( ) = 7 ; r + r = 7 بما أن r d(ω; G) < r + فإن (S) و( S ) متقاطعتان. بي ن أن مجموعة النقط ) z M(x ; y ; من الفضاء التي تحقق = ) z (x + y z + ) + (x + y + هي مستقيم (D) يطلب تعيين شعاع توجيه له المعادلة = x + y تكافئ = x و = y (x + y z + ) + (x + y + z ) x + y z + = + 4y z + 6 = = { {x x + y + z = x + y + z = 5x + 5y + 5 = { + x + y + z = { x = y x = y = y { {x ( y ) + y + z = z = y + 4 z = y + بوضع : t y = نستنتج أن مجموعة النقط M من الفضاء التي تحقق = ) z (x + y z + ) + (x + y + x = t { والموج ه بالشعاع ) ( (D) u y = t z = + t هي المستقيم (D) المعر ف بتمثيله الوسيطي : R ; t z) M(x ; y ; من الفضاء التي تحقق = ) z (x + y z + ) (x + y +. بين أن مجموعة النقط هي اتحاد مستويين ( P) و ( Q) يطلب إعطاء معادلتين ديكارتيتين لهما (x + y z + ) (x + y + z ) = [(x + y z + ) (x + y + z )][(x + y z + ) + (x + y + z )] = ( x + y z + )(4x + y + z + ) = x + y z + = (P ) أو 4x + y + z + = (Q ) M (P ) (Q ). لتكن المستويات ) m (π المعر فة بالمعادلة : = 6 6m m)x + y + mz + ( حيث m R أ. بي ن أن المستويات ) m π) تشمل مستقيما ثابتا ( D) ي طلب تعيين معادلته الديكارتية وتمثيله الوسيطي العبارة : من أجل كل m + = : m R تكافئ = و = m R ( m)x + y + mz + 6m 6 = x + z + 6 = m R m( x + z + 6) + (x + y 6) = (D ): { x + y 6 =

23 x + z + 6 = x = z + 6 x = z + 6 x = 6 + t M (D ) { { { x + y 6 = y = x + 6 y = z 6 (D ): { y = 6 t ; t R z = t ب. بي ن أن المستويات ) m π) تقطع المستوي (yoz) وفق مستقيم ي طلب تعيين تمثيله الوسيطي (yoz) x = ; (xoz) y = ; (xoy) z = ( M(x; y; z) (π m ) (yoz) m)x + y + mz + 6m 6 = y + mz + 6m 6 = { { x = x = x = { y = 6 6m mt ; t R z = t ج. اكتب معادلة سطح الكرة ("S) التي مركزها ( ; ;)"ω ونصف قطرها M(x; y; z) (S") (x ) + (y ) + (z ) = x + y + z 4x y 4z = د. ناقش حسب قيم m الوضع النسبي للمستويات ) m π) بالنسبة إلى ("S) ثم استنتج المستويات المماسية ل ("S) ( m) + + m + 6m 6 6m d[ω", (π m )] = = ( m) + + m m 4m + 5 ; (m 4m + 5 > ) d[ω", (π m )] = d [ω", (π m )] = 9 AM t ( 8m + 4m 44 = ; m = m ] ; 6 [ ] + 6 m ] 6 m { 6 + t t + t AM t = 9t + t + 6 (6m ) m 4m + 5 = 9 9(m 4m + 5) = (6m ) 6 ; m = + 6 المستويات ) m (π منفصلة عن (S") : d[ω", (π m )] > + [ ; ; + 6 [ : d[ω", (π المستويات ) m (π متقاطعة مع (S") m )] < ; + 6 } : d[ω", (π المستويات ) m (π مماسية ل (S") m )] = x = + t نعتبر النقطة ) ; A( ; والمستقيم ( ) الممثل وسيطيا بالجملة : R { y = t ; t z = + t أ. لتكن نقطة كيفية من المستقيم ( ). عب ر عن AM t بداللة t ثم احسب المسافة d ) AM t = ( + t) + ( t) + ( + t) = 9t + t + 6 M t حساب المسافة d لتكن الدالة f المعر فة على R ب : 6 + t.f(t) = 9t + لدينا : f 8t + (t) = 9t + t + 6 = 9t + 9t + t + 6 ; f (t) = 9t + = t = 9 المسافة d هي القيمة الحد ية الصغرى للدالة f(t) أي ) ( f منه : 9. d = f ( 9 ) = 9 ( 9 ) + ( 9 ) + 6 = = 5 9 d = 5 عي ن إحداثيات المسقط العمودي H للنقطة A على المستقيم ( ) ثم احسب المسافة d مرة ثانية + t H ( ) H( + t; t; + t) AH ( t + t ) ب.

24 AH ( ) u ( ). AH = ( + t) ( t) + ( + t) = t = 9 H (7 9 ; 9 9 ; 6 9 ) d = AH = ( ) + ( 9 9 ) + ( 6 9 ) = ( 6 9 ) + ( 9 ) + ( 9 ) حساب المسافة d d = 5 ج. اكتب معادلة ديكارتية للمستوي (P) الذي يشمل النقطة A ويعامد ( ) n = u ( ) n ( ) ليكن n شعاعا ناظميا للمستوي (P). لدينا : M(x; y; z) (P) n. AM = (x + ) (y ) + (z ) = x y + z = AM ( بي ن أن النقطة M تنتمي إلى ( ) ثم احسب t هي النقطة من ( ) من أجل = M (; ; ) AM ) AM = () + () + ( ) = 6 والمستوي (P). لدينا : () + () d = = 9 d = d d = 6 9 = 5 9 d = 5 M استنتج المسافة d مرة ثالثة المسافة AM و d المسافة بين النقطة 4. من أجل كل عدد حقيقي α من المجال [π ;π [ نعتبر ) α S) مجموعة النقط (z M(x; ;y من الفضاء التي إحداثياتها تحقق العالقة : = z x + y + z x cos α y sin α + أ. بي ن أن ) α S) سطح كرة ي طلب تعيين مركزها ω α ونصف قطرها r x + y + z x cos α y sin α + z = (x cos α) cos α + (y sin α) sin α + (z + ) = (x cos α) + (y sin α) + (z + ) = ω α (cos α ; sin α ; ) ; r = نسمي d ب. عي ن حسب قيم α تقاطع سطح الكرة ) α (S والمستوي (P") ذي المعادلة : = + z y sin α + d[ω α ; (P")] = = (sin α + ) (sin α + ) = sin α = sin α = sin π { α = α = π sin α = d[ω α ; (P")] = r متماسان و(" P ) (S α ) π + kπ α = (π π α = ) + kπ α ] π; π] π sin α > d[ω α ; (P")] > r منفصالن و(" P ) (S α ) d d d ( ) (P) π

25 Re(z) = الحقيقي) x (الجزء ; Im(z) = التخي لي) y (الجزء ; i = z = { x = y = ; z = x + iy x = x ; z = z { y = y z + z = x ; z. z = x + y z = z حقيقي z ; z = z تخي لي صرف z z = x + iy z = x iy r = z = x + y z = z ; z = z. z ; z. z = z z ; z n = z n ; z z z = z cos θ = x r ; sin θ = y r rg(z) = θ + kπ الشكل الجبري لعدد مرك ب : rg(z ) = rg(z) ; rg(z. z ) = rg(z) + rg(z ) ; rg ( z z ) = rg(z) rg(z ) rg(z n ) = n. rg(z) rg(z) = kπ حقيقي z ; rg(z) = π + kπ تخي لي صرف z الشكل مرافق عدد مرك ب : طويلة عدد مرك ب : عمدة عدد مرك ب : z = r(cos θ + i sin θ) المثل ثي لعدد مرك ب : z = x + iy = r ( x r + i y r ) = r(cos θ + i sin θ) ; (cos θ + i sin θ)n = cos (nθ) + i sin (nθ) z = re iθ z = re iθ ; z. z = r. r e i(θ+θ ) ; z z = r r ei(θ θ ) ; (re iθ ) n = r n. e inθ الشكل األس ي لعدد مرك ب : re iπ = i r ; re iπ = r z AB = z B z A ; AB = z B z A ; z I = z A + z B ([AB] منتصف I) z G = αz A + βz B + γz C (G{(A; α), (B; β), (C; γ}) α + β + γ z C z A = AC z B z A AB ; rg (z C z A ) = (AB ; AC ) z B z A z C z A z C z A AB AC تخي لي صرف ; A C, B, على استقامة واحدة حقيقي z B z A z B z A التفسير الهندسي لألعداد المرك بة : مثال : z C = i و z B = i z A = : ثالث نقط من المستوي لواحقها على الترتيب C, B, A z B z A = i ( + i)( + i) = z C z A i ( i)( + i) = 5i 5 = i z B z A z C z A عي ن طويلة وعمدة العدد المرك ب ثم استنتج طبيعة المثلث.ABC

26 { z B z A z C z A = rg ( z B z A z C z A ) = π AB = AC { المثلث ABC متساوي الساقين و قائم في (AC ; AB ) = π A مثال :,E,D,C,B A نقط من المستوي لواحقها على الترتيب : z A = i ; z B = i ; z C = + i ; z D = i ; z E = + i مث ل النقط : E D C B A z C z A = + i z D z A i = i = z C z B = + i z D z B i تنتمي إلى الدائرة التي z ω = z C + z D = اثبت أن النقط D C B A تنتمي إلى دائرة يطلب تعيين مركزها ونصف قطرها π ei المثلث ACD قائم في A π المثلث BCD قائم في i = ei B = بما أن المثلثين ACD و BCD قائمان ولهما نفس الوتر (CD) نستنتج أن النقط,D,C,B A + i + i = ω(; ) مركزها ω منتصف [CD] ونصف قطرها.r = CD r = CD = z D z c = i i = 4 i = (4 ) r = z C z B = + i z E z B + i = + i + i = i z C z B = e i π z E z B z C z B = e i π { z E z B z C z B z E z B = rg ( z C z B z E z B ) = π z C z BEC استنتج طبيعة المثلث B = e iπ ثم z E z B BE = BC { المثلث BEC متقايس األضالع π (BE ; BC ) = بي ن أن

27 مثال : +z L = و z عدد مركب حيث - z. و لتكن M صورة العدد المركب z في المستوي المنسوب إلى ليكن L عدد مركب حيث : z+ معلم متعامد و متجانس (v,o). u,. عي ن الجزء الحقيقي و التخيلي للعدد المركب L L = z + x iy + (x + iy)(x + iy) (x + iy) = = = z + x + iy + (x + + iy)(x + iy) (x + ) + y = (x + ) y iy(x + ) (x + ) + y ني L = (x + ) y y(x + ) (x + ) + y (x + ) + y i ع مجموعة النقط M من المستوي بحيث يكون L حقيقيا. y(x + ) = { L حقيقي (x + ) + y { y = ( ) (x; y) ( ; ) أو { x = ( ) (x; y) ( ; ) M ( ) ( ) {( ; )}. ع ني مجموعة النقط M من المستوي بحيث يكون L تخيليا صرفا = L { (x + ) y تخيلي صرف (x + ) + y { y = (x + ) = x + (D) {y (x; y) ( ; ) (x; y) ( ; ) أو {y = x (D ) (x; y) ( ; ) M (D) (D ) {( ; )} M(z) ; M (z ) ; ω(z ) ; U () التحويالت النقطية : التحويل النقطي العبارة المرك بة T(M) = M z = z + h(m) = M z z = k(z z ) R(M) = M z z = e iθ (z z ) S(M) = M z z = ke iθ (z z ) االنسحاب T الذي شعاعه U التحاكي h الذي مركزه ω و نسبته k الدوران R الذي مركزه ω و زاويته θ التشابه المباشر S الذي مركزه ω نسبته k و زاويته θ مثال : نعتبر في المستوي المرك ب المنسوب إلى معلم متعامد ومتجانس (v ;O) u, النقطتين A و B الحقتيهما على الترتيب : z B = + i و z A = i عي ن النقطة C صورة النقطة B باالنسحاب T الذي شعاعه ) ( U C = T(B) z C = z B + z U = + i + + i z C = + i عي ن النقطة D صورة النقطة C بالتحاكي h الذي مركزه A و نسبته D = h(c) z D z A = (z C z A ) z D = z C z A = ( + i) + i z D = + 6i π عي ن النقطة E صورة النقطة D بالدوران R الذي مركزه O و زاويته E = R(D) z E z O = e iπ (z D z O ) z E = iz D = i( + 6i) z E = 6 + i π عي ن النقطة F صورة النقطة E بالتشابه المباشر S الذي مركزه ( ;)ω نسبته و زاويته F = S(E) z F z ω = eiπ (z E z ω ) z F = i(z E z ω ) + z ω = i(6 + i i) + + i = i(4 + i) + + i = i + + i z F = + i....4

28 تعيين طبيعة التحويل النقطي المعر ف بعبارته المرك بة : z = z + وذكر عناصره الممي زة العناصر الممي زة للتحويل طبيعة التحويل z U = انسحاب شعاعه U = z ω = ; k = تحاكي مركزه ω ونسبته k R {} z ω = ; θ = rg() θ وزاويته ω دوران مركزه C ; = z ω = ; k = ; θ = rg() θ وزاويته k نسبته ω تشابه مباشر مركزه C ; مثال : عي ن طبيعة التحويالت النقطية المعر فة بالعبارات المرك بة التالية واذكر عناصرها الممي زة z = z + i. U أي ( z U = i حيث U التحويل هو انسحاب شعاعه : = ) z = z + + i. ω( ; ) أي z ω = = +i = i : ونسبته حيث ω التحويل هو تحاكي مركزه : = z = ( + i) z + i. = ω z أي ) ω( ; وزاويته i i = + i : التحويل هو دوران مركزه ω حيث : = + i = (cos θ = ; sin θ = ) θ = rg = π + kπ : حيث θ z = iz + i. 4 k = نسبته = ω(; ) أي z ω = i = i = : التحويل هو تشابه مباشر مركزه ω حيث : = i وزاويته θ حيث : kπ (cos θ = ; sin θ = ) θ = rg = π + العمليات على الشكل الجبري : مثال : اكتب األعداد المرك بة التالية على شكلها الجبري z = ( + i) = ² + i² + 4i = 4 + 4i = + 4i z = (4 + i)(4 i) = 4 (i) = 6 4i = 6 4( ) = z = ( i) ( + i) = [( i)( + i)] = ( + 4i i i ) = (4 + i) = i = 7 + 4i z 4 = ( i) = () (i) + ()(i) (i) = 7 54i 6 + 8i = 9 46i z 5 = ( + i ) = ( ) + ( ) (i ) + ( ) (i ) + (i ) = i i = 8 8 = z 6 = 4 6i = (4 6i)( i) = 8i 8i = 6i = 6i = i +i (+i)( i) (i) 9+4 z 7 = +i i = (+i)(+i ) = +i +i+i ( i )(+i ) (i ) = +(+ )i = +(+ )i = 9+ z 8 = ( +i i )4n = [ (+i)(+i) ( i)(+i) ]4n = ( +i+i+i ) 4n i i = ( )4n = (i) 4n = z 9 = (cos θ+i sin θ) (cos θ i sin θ) (cos θ+i sin θ)(cos θ+i sin θ) (cos θ+i sin θ)(cos θ+i sin θ) = = (cos θ i sin θ)(cos θ+i sin θ) (cos θ) +(sin θ) = (cos θ) (sin θ) + i cos θ sin θ = cos θ + i sin θ + (+ ) i

29 z = 8 6i ; z = x + iy z = (x + iy) = x y 8 + xy 6 تعيين الجذرين التربيعيين لعدد مركب : i; z = x + y = = x + y = z = 8 6i { x y = 8 { x = 8 x = 9 xy = { y = { x = = x} أو y = y = xy = 6 x الجذرين التربيعيين للعدد 8 6i هما : i z = و (z = z = 8 6i).z = + i z = 5 + 8i ; z = x + iy z = (x + iy) = x y x + y = 7 z = 5 + 8i { x y = 5 xy = 8 (z = z = 5 + 8i ).z = 4i 5 + xy { x = x = xy = 4 { y = 4 x z = + 4i و 8 i; z = ( 5) + 8 = 7 { x = = x} أو y = 4 y = 4 الجذرين التربيعيين للعدد 5 + 8i هما : حل معادالت من الدرجة األولى : z + i = ( + i)z i z ( + i)z = i + i ( i)z = i ( i)z = i z = i ( i)( + i) + i 6i i = = i ( i)( + i) i = 5 5i = i 5 ( 4i)z = iz ( 4i)z iz = z[( 4i)z i] = z ( أو = 4i)z i = ( 4i)z = i z = i i( + 4i) = = 4 4i i ; S = { ; i} z + i = i z + = i(z ) z iz = i z( i) = i z = z i ( i)( + i) i i + 4 z = = = 4i = ( i)( + i) i حل معادالت من الدرجة الثانية : z + z + 5 = ; = 6 = (4i) 4i + 4i ; z = = i ; z = = + i z 4z 5 = (x + iy) 4(x iy) 5 = x y + ixy 4x + 4iy 5 = x y 4x 5 + iy(x + ) = { x y 4x 5 = y(x + ) = y = x 4x 5 = x = أو x = 5 z = ; z = 5 x = y = 7 y = أو 7 y = 7 z = + 7i ; z 4 = 7i S = { ; 5 ; + 7i ; 7i} z = + i ; z = + = 8 = ; cos θ = x z = = cos θ = sin θ = { θ = π 4 + kπ z = (cos π 4 + i sin π 4 ) = eiπ 4 االنتقال بين األشكال الثالثة )الجبري المثل ثي األس ي( لعدد مركب : مثال : y ; sin θ = z = =

30 z = π e i 6 = [cos ( π 6 ) + i sin( π )] = 6 [ i ] z = 4 4 i z = 4 (cos π 4 i sin π 4 ) ليس شكال مثل ثيا z = 4 ( i) = i z 4 = (cos π + i sin π ) ليس شكال مثل ثيا = 4 [cos ( π 4 ) + i sin ( π 4 )] = 4e iπ 4 = ( cos π i sin π ) = [cos (π + π ) + i sin (π + π )] = (cos 4π + i sin 4π ) = ei4π ; z 4 = ( i) = i z 5 = 5 (sin π 6 + i cos π 6 ) ليس شكال مثل ثيا = 5 [cos ( π π 6 ) + i sin (π π 6 )] = 5 (cos π + i sin π ) = 5eiπ z 5 = 5 ( + 5 i) = + 5 i : i طريقة ثانية لحساب z 5 = 5 (sin π 6 + i cos π 6 ) = 5 ( + i) = 5 (cos π + i sin π ) = π 5ei = مثال : i نعتبر العددين المرك بين z و z حيث : i z = i z = + اكتب z و z على الشكل األس ي z = + = z = { cos θ = ; sin θ = { rg(z ) = 5π z = e i 5π 6 6 z = + = z = { cos θ = ; sin θ = { rg(z ) = π z = e i π 4 4 L = +i استنتج الطويلة وعمدة للعدد المرك ب L حيث : i L = z L = z L = L = { z z { rg(l) = θ θ rg(l) = 5π 6 + π { rg(l) = π 4 اكتب العدد المرك ب L على الشكل الجبري + i L = i L = 6 4 ( + i)( + i) 6 = L = + ( i)( + i) i = cos π π + i sin 4 { 6 + i 4 cos π sin π sin π z 5 cos π استنتج قيمتي و = 6 4 = 6 + 4

31 9 I- المتتالية الحسابية : العالقة التراجعية : u n+ = u n + r عبارة الحد العام : u n = u p + (n p)r ; u n = u + nr ; u n = u + (n )r الوسط الحسابي : إذا كانت األعداد c,, حدود متتابعة لمتتالية حسابية فإن : + c = تنبيه : لحل مسائل الوسط الحسابي ننطلق دائما من معادلة المجموع ) = c ) + + وتعويضها بالمعادلة ) = ( لتعيين قيمة ثم نعو ض في معادلة الجداء ) = c ( فنحصل على معادلة من الشكل ) = c ) ثم نكتب و c بداللة و r فنحصل على معادلة من الدرجة الثانية ذات المجهول r من الشكل ] = r) [( r)( + التي تكافئ ) = ( r ونعي ن قيمتي r )الموجبة والسالبة( مع التركيز جي دا على طبيعة المتتالية المعطاة في السؤال )متزايدة أم متناقصة( لمعرفة أي القيمتين نأخذ ثم نحسب الحد ين و c. مثال : { u + u + u = عي ن الحدود الثالثة األولى u u u لمتتالية حسابية حيث : u u u = 4 u + u + u = u = u = u u = u = 4 u u r u = 4 ( r)( + r) = 4 r = 4 r = 5 u +r بما أن السؤال لم يحد د طبيعة المتتالية ) n (u فإن 5 = r أو = 5 r r = 5 u = ( 5) = 6 ; u = + ( 5) = 4 (u, u, u ) = (6,, 4) r = 5 u = 5 = 4 ; u = + 5 = 6 (u, u, u ) = ( 4,,6) u + u + u = = ; u u u = 6 ( 4) = 4 u + u + u = 4 u = 4 u = 8 { u + u + u = 4 لمتتالية حسابية متناقصة حيث : u + u + u = u u u التحقيق : مثال : عي ن الحدود u + u + u = u + u = 64 (8 r) + (8 + r) = 46 r = 9 بما أن المتتالية ) n (u متناقصة فإن = r منه : = r u = u و = 5 r u = u + التحقيق : u + u + u = = 4 ; = = حساب المجاميع : n p + S n = u p + u p+ + + u n = (u p + u n ) u + u + + u n = n + (u + u n ) u + u + + u n = n (u + u n ) u = ; r = ; S = u + + u 9 = (u + u 9 ) = 5( + 8) = 5 9 = 45 u +9r مثال :....4

32 -II المتتالية الهندسية : العالقة التراجعية : v n+ = v n q عبارة الحد العام : v n = v p q n p ; v n = v q n ; v n = v q n الوسط الهندسي : إذا كانت األعداد c,, حدود متتابعة لمتتالية هندسية فإن : c = تنبيه : لحل مسائل الوسط الهندسي ننطلق دائما من معادلة الجداء ) = c ) وتعويضها بالمعادلة ) = ( لتعيين قيمة ثم نعو ض في معادلة المجموع ) = c ( + + فنحصل على معادلة من الشكل ) = c ) + ثم نكتب و c بداللة و q فنحصل على معادلة من الدرجة الثانية ذات المجهول q من الشكل التي تكافئ = q q + )نضرب طرفي المعادلة في q( ونعي ن قيمتي q مع التركيز v + v 6 + v = 56 v u + v q u.q [ q + q = ] جي دا على طبيعة المتتالية المعطاة في السؤال [رتيبة ( > q) غير رتيبة ( < q) متزايدة ( > q) متناقصة c. و وإشارة حدودها لمعرفة أي القيمتين نأخذ ثم نحسب الحد ين )] > q > ( مثال : v { v = 56 عي ن الحدود v v v لمتتالية هندسية متزايدة حدودها موجبة حيث : v + v + v = 56 (ألن حدود المتتالية ) n (v موجبة) = 6 v v = 56 v = 56 v = 4 6 q + 6q = 4 6q 4q + 6 = q 5q + = q = متزايدة) (v n ) المتتالية (ألن v = v q = 8 ; v = v. q = التحقيق : v v = 8 = 56 ; v + v + v = = 56 مثال : v { v 5 = 6 ) n (v متتالية هندسية حيث : v + v + v 4 = 6 اثبت أن v v 5 = v ثم احسب الحدود v 5, v 4, v, v, v v v 5 = v q v. q = v v v 5 = 6 v = 6 v أو = 4 v = 4 v = 4 v + v + v 4 = 6 v + v 4 = v q + v. q = 4 q + 4q = (حالة مرفوضة) 5 = ; = + q 4q q + 4 = q v = 4 v + v + v 4 = 6 v + v 4 = v + v q. q = 4 4q = q 4q + q + 4 = q + 5q + = q = أو q = q = v = v = 6 ; v q = v = 8 ; v q = 4 ; v 4 = v. q = ; v 5 = v. q = q = v = v = ; v q = v = ; v q = 4 ; v 4 = v. q = 8 ; v 5 = v. q = 6 S n = v p + v p+ + + v n = v ( qn+ q ) = v ( qn+ q ) v + v + + v n = v ( qn p+ ) = v q p ( qn p+ ) q حساب المجاميع :....4

33 v + + v n = v ( qn q ) = v ( qn q حساب الجداءات : ). 5 P n = v v v n = v v. q v. q v. q n = v n+. q ++ +n = v n+. q n(n+) -III المتتالية المشتملة على الدالة األس ية أو اللوغاريتمية : تنبيه : دراسة هذا النوع من المتتاليات يتطلب معرفة جي دة بخواص الدالتين األس ية واللوغاريتمية فراجعها. مثال : ) n u) متتالية هندسية حدودها موجبة تماما حيث : ln u + lnu 4 = 5 ; lnu ln u 4 =. عي ن أساس المتتالية (un) و حدها األول u.. أكتب un بداللة n ثم احسب الجداء : n.p n = u u u v n = ln u n+ ln u n : ب N* متتالية عددية معرفة على (vn). أثبت أن (vn) متتالية حسابية ي طلب تعيين أساسها و حدها األول..4 احسب بداللة n المجموع : n.s n = v + v + + v تعيين أساس المتتالية (un) و حدها األول u lnu ln u 4 = ln ( u ) = u = e u 4 = e q = e u 4 u 4 u lnu + ln u 4 = 5 ln(u. e ) + ln(u. e ) = 5 ln u + ln e + ln u + ln e = 5 ln u + 5 = 5 ln u = u = u n = u. q n u n = e n بداللة n ثم حساب الجداء : n P n = u u u P n = u u u n = e e n = e ++ +n P n = e n(n ). اثبات أن ) n v) متتالية حسابية ي طلب تعيين أساسها و حدها األول v n+ = ln u n+ ln u n+ = ln (u n+. e) ln (u n. e) = ln u n+ + ln e ln u n ln e = ln u n+ ln u n v n+ = v n كتابة un منه نستنتج أ ن المتتالية ) n (v حسابية أساسها = r وحد ها األول = v = ln u ln u = ln e ln v n = v + (n )r v n = n حساب بداللة n المجموع : n S n = v + v + + v S n = v + v + + v n = n (v + v n ) = n ( + n) S n = n ( n) مثال : u { + u = e ) n u) متتالية هندسية حدودها موجبة تماما حيث : ln(u ) ln(u 4 ) + ln = عي ن u و q أساس المتتالية ) n (u. عب ر عن u n بداللة n. احسب بداللة n المجموع : n S n = u + u + + u. نعتبر المتتالية ) n (v المعر فة على N كما يلي : ) n+ v n = ln(u n+ ) + ln(u. 4 اكتب v n بداللة n ثم بي ن أن المتتالية ) n v) حسابية ي طلب تعيين حدها األول وأساسها r أ. عي ن العدد الطبيعي n حيث :.v + v + + v n = + 48 ln ب....4

34 تعيين u و q أساس المتتالية ) n u) ln(u ) ln(u 4 ) + ln = ln(u 4 ) ln(u ) = ln ln ( u 4 u ) = ln ln ( u. q u ) = ln ln q = ln ln q = ln q = u + u = e u + u. q = e u = e u = e u n = u. q n u n = e. n u n = n. e بداللة n. حساب بداللة n المجموع : n S n = u + u + + u S n = u + u + + u n = u ( qn q ) S n = e (n ) v n = ln(u n+ ) + ln(u n+ ).4 أ. كتابة v n بداللة n v n = ln(u n+ ) + ln(u n+ ) = ln( n+. e) + ln( n+. e) = ln( n+ ) + ln(e) + ln( n+ ) + ln(e) v n = (n + ) ln + (n + ) ln + v n = (n + ) ln + بيان أن المتتالية ) n v) حسابية يطلب تعيين حدها األول وأساسها r v n+ = (n + 5) ln + = (n + ) ln + + ln = v n + ln منه نستنتج أن المتتالية ) n (v حسابية أساسها r = ln وحدها األول + v = ln تعيين العدد الطبيعي n حيث : v + v + + v n = + 48 ln v + v + + v n = + 48 ln n + (v + v n ) = + 48 ln n + [ ln + + (n + ) ln + ] = + 48 ln n + [(n + ) ln + 4] = + 48 ln (n + ) = (n + )[(n + ) ln + ] = + 48 ln { (n + )(n + ) = 48 n = 5 عبارة u n ب... -IV دراسة تغي رات متتالية وتقاربها : لدراسة تغي رات متتالية عددية نتبع إحدى الطرق التالية : المتتالية ) n (u متزايدة > n u n+ u. ندرس إشارة الفرق u n+ u n ونستنتج ما يلي : المتتالية ) n (u متناقصة < n { u n+ u المتتالية ) n (u ثابتة = n u n+ u المتتالية ) n (u متزايدة > u n+ u n u n+ u n نقارن النسبة < u n+ مع )لم ا > n )u ونستنتج ما يلي : المتتالية ) n (u متناقصة < u n u n+ (u ثابتة = المتتالية ) n { u n ندرس تغي رات الدالة f(n) = u n على المجال ] + ;] ونستنتج تغي رات المتتالية ) n u) )نفس التغي رات( لبيان أن المتتالية ) n u) متقاربة نتبع إحدى الطرق التالية : نبي ن أن n = l n. نبي ن أن المتتالية ) n (u محدودة من األعلى M) (u n < ومتزايدة. نبي ن أن المتتالية ) n (u محدودة من األسفل m) (u n > ومتناقصة...

35 جدول توضيحي يبي ن العالقة بين أساس المتتالية وتغي راتها المتتالية الحسابية المتتالية ) n (u األساس r متزايدة > r متناقصة < r ثابتة r = المتتالية الهندسية المتتالية ) n (v األساس q متزايدة > q متناقصة < q < ثابتة q = غير رتيبة < q V- االستدالل بالتراجع : لبيان أن خاصية P(n) محققة من أجل كل عدد طبيعي n n نستعمل االستدالل بالتراجع باتباع الخطوات التالية : تحقيق التراجع : نتحقق أن الخاصية P(n) محققة من أجل n = n. فرض التراجع : نفرض أن الخاصية P(n) محققة من أجل n. برهان التراجع : نبرهن أن الخاصية P(n) محققة من أجل + n. ) n (u متتالية عددية معر فة على N بحدها األول u n+ = 5 u u = α حيث α عدد حقيقي 6 والعالقة التراجعية : 5 + n عي ن العدد الحقيقي α حيث تكون المتتالية ) n u) ثابتة نضع : 9 = α أ. برهن بالتراجع أن من أجل كل عدد طبيعي u n : n ب. بي ن أن المتتالية ) n u) متزايدة على N. ماذا تستنتج تعيين العدد الحقيقي α حيث تكون المتتالية ) n u) ثابتة المتتالية ) n (u ثابتة يعني u n+ = u n = u = α منه + 5 α α = 5 أي = 6 5 = α 6 α = 9. أ. برهان بالتراجع أن من أجل كل عدد طبيعي u n : n تحقيق التراجع : u )محق قة ألن = 9 )u فرض التراجع : نفرض أن : n u برهان التراجع : نبرهن أن : n+ u u n 5 6 u n 5 6 () 5 6 u n u n + 5 u n+ ب. بيان أن المتتالية ) n u) متزايدة على N u n+ u n = 5 6 u n + 5 u n = 5 6 u n = u n 6 بما أن n u فإن n u منه المتتالية ) n (u متزايدة على N االستنتاج : المتتالية ) n u) محدودة من األعلى ومتزايدة فهي إذن متقاربة. مثال :...

36 I- الدوال األصلية : تعريف : لتكن f دالة عددية معر فة على مجال I. نقول إن الدالة F هي دالة أصلية للدالة f على المجال I إذا تحق ق الشرطان التاليان : I قابلة لالشتقاق على المجال F F (x) = f(x) : x I من أجل كل خواص : كل دالة مستمرة على مجال تقبل دالة أصلية على هذا المجال إذا كانت F دالة أصلية للدالة f على المجال I فإن جميع الدوال األصلية للدالة f معر فة على I بما يلي : x F(x) + k ; k R y R و x I حيث F(x ) = y : تحق ق الشرط I على المجال f للدالة F توجد دالة أصلية وحيدة إذا كانت F و G دالتين أصليتين للدالتين f و g على الترتيب على المجال I فإن : I على المجال f + g دالة أصلية للدالة F + G I على المجال kf دالة أصلية للدالة kf F(x) جدول الدوال األصلية لبعض الدوال المألوفة : الدالة f(x) الدالة األصلية المجال I R c, c R R kx + c k R x + c x R x n+ n + + c x n, n [ ] ; أو + [ ]; ln x + c x x + c x [ ] ; أو + [ ]; + c, n (n )xn xn ]; + [ R R x + c cos x + c sin x + c x sin x cos x ] π tn x + c + tn x + kπ; π + kπ[ e x R e x + c

37 استعمال صيغ االشتقاق لتحديد بعض الدوال األصلية : F(x) الدالة f(x) الدالة األصلية u + v + c uv + c u v c u n+ u + v u v + uv u v uv v u. u n n + + c u ln u + c u u u + c u u u + c e u + c sin(x + ) + c sin(x cos(x + ) + c u u e u cos(x + ) + ) ) f(x) = x + F(x) = x + x + c أمثلة على حساب الدوال األصلية : المجموعة األولى : ) f(x) = x 4 + 6x F(x) = ( x5 5 ) + 6 (x4 4 ) x + c = x5 + x4 x + c ) f(x) = (x )(x + ) = x + x F(x) = x + x x + c 4) f(x) = x x F(x) = x x + c 5) f(x) = 4 x 5 = 4 x 5 F(x) = 4 (x 4 4 ) + c = x 4 + c 6) f(x) = x + x F(x) = x + x + c 7) f(x) = sin x cos x F(x) = cos x sin x + c ) f(x) = (x + ) 4 (x + )5 F(x) = + c 5 u u المجموعة الثانية : من الشكل u. u n ) f(x) = 6(4x ) = 4 4 (4x ) (4x )4 F(x) = 4 + c = (4x ) 4 + c 4 ) f(x) = (x + 7) 6 = (x + 7) 6 F(x) = u u u u (x + 7)7 7 + c = (x + 7)7 + c 4

38 4) f(x) = (6x ) u (x 5 (x x + ) 6 x + ) F(x) = + c 6 u 5) f(x) = x ( + 4 x ) = [ x ( + 4] x ) F(x) = 5 ( + 5 x ) + c 6) f(x) = sin x u. cos x u u F(x) = sin x + c 4 ) f(x) = u ( + 4x) u F(x) = + 4x + c 6 ) f(x) = (x + ) = u (x + ) u F(x) = x + + c ) f(x) = (4x + ) = 4 4 u (4x + ) u F(x) = 4(4x + ) + c 4) f(x) = ( x) u u F(x) = x + c 5) f(x) = u u المجموعة الثالثة : من الشكل u (4 x) = u (4 x) u F(x) = ( 4 x ) = (4 x) + c x + 6) f(x) = u (x + x + ) u F(x) = x + x + + c 4x 7) f(x) = (x 5x + 6) = x 5 u (x 5x + 6) u F(x) = x 5x c cos x 8) f(x) = u sin x u F(x) = sin x + c sin x sin x 9) f(x) = cos = u x cos x u F(x) = cos x + c u u المجموعة الرابعة : من الشكل u ) f(x) = F(x) = x + + c x + u ) f(x) = 5x = 5 5 u 5x u F(x) = 5 5x + c = 4 5x + c 5 ) f(x) = x = u x u F(x) = x + c = x + c 4) f(x) = x + u x + x + u F(x) = x + x + + c x 5) f(x) = x = x u x u F(x) = x + c = x + c cos x u 6) f(x) = F(x) = + sin x + c + sin x u

39 u u المجموعة الخامسة : من الشكل ) f(x) = x 5x + x F(x) = x 5 x + ln x + c ) f(x) = x + x + = x + + x x F(x) = x + x + ln x + c ) f(x) = 7 x + 5 x + x F(x) = 7 ln x + x x + c 4) f(x) = F(x) = ln x 4 + c x 4 5) f(x) = ; I = ] ; [ F(x) = ln x + x + + c = ln( x ) + c < 6) f(x) = x + ; I = ] ; + [ F(x) = ln x + + c = ln(x + ) + c > 7) f(x) = x x 4 ; I = ] ; [ F(x) = ln x 4 + c = ln(x 4) + c 8) f(x) = x 5 = x 5 ; I = [; + [ F(x) = ln x 5 + c = ln(x 5) + c > x + 9) f(x) = x + x + = (x + ) x + x + F(x) = ln x + x + + c ) f(x) = x x = = ln(x + x + ) + c > x x ; I = ] ; [ F(x) = ln x + c = ln( x ) + c cos x ) f(x) = sin x ; I = ]; π [ F(x) = ln sin x + c = ln(sin x) + c > ) f(x) = x ln x = x ln x ) f(x) = tn x = ; I = ]; + [ F(x) = ln ln x + c = ln(ln x) + c > sin x sin x = cos x cos x ; I = ]π ) f(x) = 4 ex F(x) = 4 ex + c ) f(x) = e x = ( e x ) F(x) = e x + c ) f(x) = e x+ = (ex+ ) F(x) = ex+ + c > < ; π[ F(x) = ln cos x + c = ln( cos x) + c < المجموعة السادسة : من الشكل u. e u 4) f(x) = xe x = (xex ) F(x) = ex + c 5) f(x) = ex u e x + u F(x) = ln ex + + c = F(x) = ln(e x + ) + c >

40 -II الحساب التكاملي :. تعريف : لتكن f دالة مستمرة على مجال [ ;] و F دالة أصلية للدالة f على المجال [ ;]. تكامل الدالة f من إلى هو العدد الحقيقي : f(x)dx = [F(x)] = F() F() f(x)dx f(x)dx = = f(x)dx kf(x)dx = k f(x)dx ; k R [f(x) + g(x)]dx f(x)dx c = f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx c x [; ]: f(x) f(x)dx + g(x)dx خواص التكامل : الخط ية : عالقة شال : التكامل والترتيب : x [; ]: f(x) g(x) f(x)dx g(x)dx القيمة المتوسطة : لتكن f دالة مستمرة على مجال [ ;]. القيمة المتوسطة للدالة f على المجال [ ;] هي العدد الحقيقي : f(x)dx ) (x 4)dx إذا و جد عددان حقيقيان m و M بحيث من أجل كل ] m f(x) M x [; فإن : m( ) f(x)dx M( ) 5. المكاملة بالتجزئة : لتكن f و g دالتين قابلتين لالشتقاق على مجال [ ;] بحيث تكون f و g مستمرتين على المجال [ ;] f (x). g(x)dx = [f(x). g(x)] f(x). g (x)dx = [ x 4x] = 9 = أمثلة على الحساب التكاملي : ) (x + x) dx = [x x x ] = (4 ) ( ) = + = 5 ) (x + ) dx = [ x + ] = (من الشكل (u 5 = = ( ) 5 u

41 4 4 dx 4) (4 x) = (4 x) dx 5) = 4 x dx = 4 x [ 4 x] 6) dx = [ln x + ] = [ln(x + )] x + = ln ln = ln 7) x + dx = 4 > 4 x + dx dx = [ 4 4 x ] = 4 [ x 4 ] = ( 8 ) = 8 = [ln x + ] < 9 4 = [ 4 x] = 6 = [ln( x )] 4 = (ln ln ) = ln 8) x + x x dx = ( + x x) dx = [x + ln x + x ] = + ln = ln 4 9) ( 4 + x 4 x + ) dx = [ 4 4 x ln x 4 ln x + ] 5 ) e x dx ) (e x + e x )dx ln ) e x (e x )dx ln ) e x dx 4) e x = ( ln 4 ln 6) ( 4 ln 4 ln 5) = ln 4 ln ln 5 4 = [e x ] 5 = e 5 e = (e x + e x )dx = [ ex + e x x] = ( e4 + e 6) + ( e + e ) = e4 e + e + ln( x) x dx = [ (ex ) ] ln ln (من الشكل (u. u = 49 = 49 = e x (e x )dx = [ (e x ) ] = (e ) + = ln( x) dx = [ ln x ] = + ln () = ln () x 5) x dx = ( x + )dx π = + ( + ) = 5 6) cos x sin x dx = [ sin x ] = π + (x )dx ( ) = = [ x + x] 7) (x + )e x dx ; u = x + u = ; v = e x v = e x (x + )e x dx = [(x + )e x ] π e x dx 8) (x + ) sin x dx ; u = x + u = ; v = sin x v = cos x π (x + ) sin x dx = π + π = [ (x + ) cos x] π cos x dx + [ x x] = [(x + )e x ] [e x ] = [(x + )e x ] = = [ (x + ) cos x] π + [sin x] π

42 9) x xdx = x( x) dx x xdx = [ x( x) ] ; u = x u = ; v = ( x) v = ( x) π ( x) dx = [ x( x) ] + [ 4 5 ( x)5 ] ) ln ( x x + ) dx ; u = ln ( x x + ) u = ln ( x x + ) dx = [x ln ( x x + )] = 4 5 x(x + ) ; v = v = x x + dx = [x ln ( x x + )] [ln x + ] = ln ln ln + ln = ln ln + ln ln = 4 ln ln ) (x + x)e x dx ; u = x + x u = 4x + ; v = e x v = e x (x + x)e x dx = [(x + x)e x ] I u = 4x + u = 4 ; v = e x v = e x J = [(4x + )e x ] 4 e x dx (4x + )e x dx = [(4x + )e x ] + 4[e x ] = 7 e I = [(x + x)e x ] (7 e) = e 7 + e = e 7 e ) (ln x) dx ; u = (ln x) u ln x = ; v x = v = x e (ln x) dx = [x(ln x) ] e ln x dx I u = ln x u = x ; v = v = x e J e J = [x ln x] e dx = [x ln x] e [x] e = e (e ) = I = [x(ln x) ] e = e -III حساب المساحات :. وحدة المساحة : وحدة المساحة في مستوي منسوب إلى معلم متعامد (j ;O),i هي مساحة الرباعي المحد د بالنقطة O والشعاعين i و j u. A = i j J

43 ) (Cf محور الفواصل ) (Cf و ) (Cg محور حساب مساحة حي ز : لتكن f دالة مستمرة على مجال [ ;]. مساحة الحي ز المحصور بين المنحنى والمستقيمين اللذين معادلتاهما : x = و x = هي : ( f(x) dx) u. A لتكن f و g دالتين مستمرتين على مجال [ ;]. مساحة الحي ز المحصور بين المنحنيين الفواصل والمستقيمين اللذين معادلتاهما : x = و x = هي : ( f(x) g(x) dx) u. A حاالت خاصة : الرسم مالحظات مساحة الحي ز الرمادي في الرسم.. ( f(x)dx) u. A ;] [ موجبة على المجال f ) (Cf ( f(x)dx) u. A ;] [ سالبة على المجال f ) (Cf c ( f(x)dx + f(x)dx) u. A c ;] [c موجبة على المجال f وسالبة على المجال [ ;c] ) (Cf ( [f(x) g(x)]dx) u. A ) (Cg على المجال [; ] ) (Cf فوق ) (Cg ) (Cf c [f(x) g(x)]dx + [g(x) f(x)]dx ( c ) u. A ) (Cf فوق ) (Cg على المجال (Cg ) تحت (Cf و( [; c] على المجال [ ;c] ) (Cg ) (Cf

44 حساب الحجوم : حجم المجس م المول د بدوران المنحنى ) (Cf حول محور الفواصل دورة كاملة في مجال [ ;] هو : V = [ π(f(x)) dx] u. v.4 ) (Cf x x مثال على حساب المساحات : ; x { = f(x) وليكن لتكن الدالة f المعر فة على R كما يلي : xe x+ + ; x احسب مساحة الحي ز المظلل في الشكل. ) (Cf تمثيلها البياني المبي ن أسفله. A = (xe x+ + )dx I = 4 4 I ( x x ) dx (xe x+ + )dx = xe x+ dx I = [xe x+ ] 4 J = 4 4 e x+ dx = 5e + J + dx ; u = x u = ; v = e x+ v = e x+ 4 + [x] 4 = [xe x+ ] 4 [e x+ ] 4 + [x] 4 = [(x )e x+ + x] 4 ( x x ) dx = [ 6 x + x x] = 6 A = I J = 5e = 5e + 9 u.