و. الثانية بكالوريا علوم تجريبية الا ستاذ : الحيان حساب الاحتمالات Calcul des Probabilités Expérience aléatoire : تقديم ومصطلحات : 1. التجربة العشواي

النسخ

1 و الثانية بكالوريا علوم تجريبية الا ستاذ : الحيان حساب الاحتمالات Calcul des Probabilités Expérience aléatoire : تقديم ومصطلحات : التجربة العشواي ية : تعريف : نسمي آل تجربة لا يمكن التنبو بنتاي جها تجربة عشواي ية I ( éventualité ( pile : P ( Univers des éventualités ( évènement élémentaire ( évènement impossible ( évènement certain Card ( Ω = 6 Card ( Ω = 4 مثال : نرمي قطعية نقدية غير مغشوشة في الهواء لدينا نتيجتان ممكنتان : الوجه F ( face : و الظهر نقول إن P إمكانية لدينا F إمكانية,F =Ω { تسمى آون الا مكانيات المجموعة {P آل جزء من Ω مكون من عنصر واحد يسمى حدثا ابتداي يا = حدث ابتداي ي { P} هو الحدث المستحيل Ω هو الحدث الا آيد مثال : نرمي قطعتين غير مغشوشتين في الهواء آون الا مكانيات هو : FF Ω= PP, PF, FP, { FF } و { FP} { } { PF } و { PP} الا حداث الابتداي ية هي : و مثال : نرمي نردا مكعبا غير مغشوش في الهواء وجوهه مرقمة من إلى 6 Ω= {,,, 4,, 6} آون الامكانيات هو : } { و } { و } { و{ 4 { و } { و 6} { و الا حداث الابتداي ية هي : مثال : 4 نرمي نردين مكعبين غير مغشوشين في الهواء وجوه آل واحد منهما مرقمة نرد مكعب = Cubique Dés من إلى 6 Card ( Ω = 6 Ω إذن آون الامكانيات هو : = {,,, 4,,6} و /, ( ولدينا : نضع : { x y x y } Ω=Ω = Ω Ω حدد الحدث التالي : مجموع الرقمين المحصل عليهما هو 7 Card ( = 6 ولدينا: = {(,6;,;,4;4,;,;6, } الحدث المتمم للحدث هو : مجموع الرقمين المحصل عليهما يخالف 7 ونرمز له ( évènement complémentaire = { ω Ω / ω } C Ω أو Ω بالرمز أو تعريف : أ نقول إن و B حدثان مضادان إذا آلن الواحد منهما متمم للا خر ( B = (évènements contraires Card ( Ω = 6 = 6 - -

2 مثال : ب لكل حدث و حدثان مضادان نقول إن حدثين و B غير منسجمان إذا آان = B نقول أيضا : و B حدثان منفصلان incompatibles ( et B sont = و مثال : ت لكل حدث حدثان غير منسجمان آل مجموعة مكونة من نتيجة أو أآثر من بين النتاي ج الممكنة لتجربة عشواي ية تسمى حدثا في هذه التجربة Espaces Probabilisés Finis : الفضاءات الاحتمالية المنتهية : تعريف : لتكن Ω مجموعة منتهية غير فارغة تطبيق p من P Ω نحو المجال 0, نسمي احتمالا على Ω آل بحيث : P ( Ω من B p ( Ω = [ ] ( = + p B p p B لكل حدثين غير منسجمين و i ii ( Ω, p ( Ω المثلوث p, يسمى فضاء احتماليا منتهيا II ملاحظة : i احتمال الحدث الا آيد هو ii احتمال اتحاد حدثين غير منسجمين هو مجموع احتماليهما خاصيات : Ω ( Ω, p ( فضاء احتماليا منتهيا ليكن p, p : P ( Ω [ 0,] لكل و B من p Ω p ( لدينا: p ( = 0 B p p( B = p p ( = + ( p B p p B p B i ii iii iv p ( = 0 ( = ( = ( + ( ( B B = ( B و = p p p p i لدينا = إذن : برهان : إذن : ii بما أن B فا ن : p( B p = p( B 0 p ( B = p + p( B p p( B : إذن : وبالتالي فا ن و ومنه فا ن : ( = p Ω = p = p + p إذن : = Ω = = p p ومنه فا ن : iii - -

3 B = ( B ( B = B = ( B و ( = + ( B = ( B ( B و p B p p B إذن : و iv p ( B = p( B + p( B p( B = p( B p( B إذن : p ( B = p + p( B p( B وعليه فا ن : Hypothèse d Equiprobabilités : فرضية تساوي الاحتمال : * ( n ( Card ( Ω = n : حيث Ω= { ω, ω,, ωn} Ω ( Ω, P ( فضاء احتماليا منتهيا نضع : ليكن,p تعريف : } k = p( { ω حسب فرضية تساوي الاحتمال ({ ω} ({ ω} ({ ω} ({ ω4} ({ ω} ({ ω6} Ω= { ω} + { ω} + { ω} + { ω4} + { ω} + { ω6} : { ω} ω ω ω ω ω نضع : p = p = p = p = p = p = k ( ({ } ({ } ({ 4} ({ } ({ 6} = p Ω = p + p + p + p + p + p = n p( { ω} p( { ω} = = n Card k {,,, n} : p( { ωk } = = n Card ( Ω ( Ω ولدينا إذن : نقول إن آون الا مكانيات Ω مزود باحتمال منتظم إذا آانت آل الا حداث الابتداي ية متساوية الاحتمال ومنه فا ن : وبالتالي فا ن : مجموع احتمالات الا حداث الابتداي ية هو احتمال حدث هو عدد محصور بين 0 و إذا آان تطبيق 0, Ω p : P يحقق الشرطين التاليين : p ( = 0 [ ] احتمال الحدث المستحيل هو 0 مجموع صور الا حداث الابتداي ية بالتطبيق p هو فا ن p احتمال على Ω احتمال حدث هو مجموع احتمالات الا حداث الابتداي ية التي توجد ضمن ملاحظة : ملاحظة : III مبرهنة هامة: في حالة تساوي الاحتمال في فضاء احتمالي منته Ω ( Ω, P (,p P = Card Card Ω احتمال حدث هو : { } = a, a,, ak برهان : ليكن حدثا Ω نضع : k Card p = p( { a} + p( { a} + + p( { ak } = k = = Card Ω Card Ω Card Ω - -

4 4 تمرين تطبيقي : في صندوق توجد آرتان لونهما أحمر وثلاث آرات لونها أخضر وأربع آرات لونها أبيض وآرتان لونهما أصفر نقوم بسحب آرتين في ا ن واحد وبطريقة عشواي ية من هذا الصندوق أ- ما هو احتمال سحب آرتين لونهما أحمر ب- ما هو احتمال سحب آرتين لونهما أبيض ج- ما هو احتمال سحب آرتين لونهما أصفر د- ما هو احتمال سحب آرتين لونهما أخضر ما هو احتمال سحب آرتين من نفس اللون ما هو احتمال سحب آرتين مختلفتي اللون 4 ما هو احتمال سحب آرتين لونهما ليس أبيض ولا أصفر ما هو احتمال أن تكون إحداهما على الا قل خضراء تثبيت الصنف : السحب الا ني لكرتين يدل على التا ليفات لكرتين من بين الجواب : هو : : سحب آرتين لونهما أحمر احتمال الحدث أ- نعتبر الحدث Card ( C p Card ( Ω = C B هو : : B سحب آرتين لونهما أبيض احتمال الحدث ب- نعتبر الحدث Card ( B C 4 6 p( B Card ( Ω = C C هو : :C سحب آرتين لونهما أصفر احتمال الحدث ج- نعتبر الحدث Card ( C C p( C Card ( Ω = C D هو : : D سحب آرتين لونهما أخضر احتمال الحدث د - نعتبر الحدث Card ( D C p( D Card ( Ω = C احتمال الحدث M هو : : M سحب آرتين من نفس اللون نعتبر الحدث C + C4 + C + C p( M C لا حظ أن : D M = B C و و B و C و D غير منسجمة مثنى مثنى إذن : 6 p( M = p + p( B + p( C + p( D = = نعتبر الحدث : N سحب آرتين مختلفتي اللون بملاحظة أن الحدث N هو الحدث 4 p( N = p( M = p( M = = N هو : المضاد للحدث M فا ن احتمال الحدث 4 نعتبر الحدث : F سحب آرتين لونهما ليس أبيض ولا أصفر احتمال الحدث F هو : p F C 0 C نعتبر الحدث :G سحب آرتين إحداهما على الا قل خضراء احتمال الحدث G هو : ( VV أو VV p G La Probabilté Conditionnelle : C C + C C الاحتمال الشرطي : مثال : يحتوي صندوق على ثلاث آرات حمراء وآرتين بيضاوين نسحب آرتين الواحدة تلو الا خرى دون إرجاع الكرة المسحوبة إلى الصندوق نعتبر الحدثين : : الكرة المسحوبة الا ولى حمراء الكرة المسحوبة الثانية بيضاء : B p ( B أحسب ما يلي : p IV

5 ( p ( B p ما هو احتمال الحدث B علما أن الحدث محقق نرمز له بالرمز ماذا تستنتج السحب المتتابع بدون إحلال يدل على Card ( 4 4 = الترتيبات إذن : Card Ω 4 الحل : أي : الكرة المسحوبة الا ولى حمراء والكرة المسحوبة الثانية من الكرات المتبقية الكرة المسحوبة الا ولى حمراء والكرة المسحوبة الثانية بيضاء : B و Card ( B p( B = Card ( Ω 4 0 إذن : p( B = 0 = p ومنه فا ن : p ( B 4 4 احتمال الحدث B علما أن الحدث محقق هو : الحدث محقق يعني أن الصندوق يحتوي على آرتين حمراوين وعلى آرتين الاحتمال المطلوب هو احتمال بيضاوين U الحصول على آرة بيضاء من الصندوق p ( B p ( B = p نستنتج مما سبق أن : p حيث 0 P ( Ω ( B p p ( Ω, p تعريف : ليكن أو فضاء احتماليا منتهيا وليكن حدثا من احتمال حدث B علما أن الحدث محقق هو : ونكتب : ونرمز له بالرمز p ( B = ( B p p ( / p B p ( B p ( B Card = Card ملاحظات : في حالة فرضية تساوي الاحتمال يكون ( B احتمال حدث B علما أن الحدث محقق هو: الاحتمال الشرطي بالنسبة لحدث هو التطبيق : p : P ( Ω [ 0,] B p ( B مثال : تضم إحدى الثانويات 0 تلميذا موزعين إلى داخليين و خارجيين آما يلي : 4 اخترنا عشواي يا تلميذا من بين 0 تلميذ لجميع التلاميذ نفس الاحتمال لكي يتم اختيارهم - -

6 أحسب احتمالات الا حداث التالية : اختيار تلميذ ذآر :G اختيار تلميذة أنثى : F اختيار تلميذ خارجي : E اختيار تلميذ داخلي : I إذا آان التلميذ المختار ذآرا فما هو الاحتمال لكي يكون خارجيا الجواب : Card ( G 00 4 p( G Card Ω 0 p F p E p I ( Ω ( Ω ( Ω Card F 0 Card 0 Card E 0 Card 0 Card I 40 4 Card 0 80 pg إذا آان التلميذ المختار ذآرا فا ن الاحتمال لكي يكون خارجيا هو: = = E ( 00 صيغة الاحتمالات المرآبة : : Composées Formule des Probabilités خاصية : إذا آان و B حدثان احتمالاهما غير منعدمين فا ن : ( = = p B p p B p B p B ( B p ( B p( B p p B = p B = p p B B ( p p = p B = p B p ( B برهان : استنتاج : و إذا آان و B حدثان احتمالاهما غير منعدمين فا ن : p pb = p B p B Les Probabilités Totales : الاحتمالات الكلية : Partition d un ensemble : تجزيي مجموعة : و 6} {, = و } { = مثال : نعتبر الفضاء{ 6 {,,, 4,, Ω= ونعتبر الا حداث التالية:{ 4,6 {, = Ω= و و = و = = Ω غير منسجمة مثنى مثنى واتحادها و و الا حداث Ω تكون تجزيي ا للفضاء و و نقول إن الا حداث * تعريف : ليكن p ( Ω, فضاء احتماليا منتهيا وليكن n n تكون تجزيي ا للفضاء Ω إذا آانت غير و و و نقول إن الا حداث منسجمة مثنى مثنى واتحادها Ω أي : و j n حيث i j i n لكل = أ- Ω= n i j ب- V - 6 -

7 * n مبرهنة الاحتمالات الكلية : ليكن p (,Ω فضاء احتماليا منتهيا وليكن n تجزيي ا للفضاء Ω و و و و نعتبر B حدثا من Ω احتمال الحدث B هو : = p B p p B p p B p p B n n n تجزيي ا للفضاء Ω بما أن B Ω فا ن : و و و برهان : B = B Ω B = B ( n B = ( B ( B ( B n B و و B و n غير منسجمة مثنى مثنى فا ن الا حداث و و و بما أن الا حداث p ( B = p( B + p( B + + p( B n B n غير منسجمة مثنى مثنى إذن : = p B p p B p p B p p B n n تمرين تطبيقي : نعتبر نردا مكعبا غير مغشوش في الهواء تحمل وجوهه الستة الا رقام التالية : ونعتبر صندوقين : : يحتوي على ثلاث آرات حمراء وآرتين بيضاوين : يحتوي على أربع آرات حمراء وثلاث آرات بيضاء نرمي النرد مرة واحدة في الهواء : U إذا ظهر الرقم نسحب آرة من U إذا ظهر الرقم نسحب آرة من ما هو احتمال الحصول على آرة بيضاء ما هو احتمال الحصول على آرة حمراء U علما أن الكرة المسحوبة بيضاء ما هو احتمال أن تكون من الصندوق الجواب : U : ظهور الرقم عند رمي النرد أي: اختيار الصندوق نعتبر الحدثين التاليين : U : ظهور الرقم عند رمي النرد أي: اختيار الصندوق Ω إذن فهي تكون تجزيي ا للفضاء Ω حدثان غير منسجمان واتحادهما و لدينا نعتبر الحدث : B : سحب آرة بيضاء حسب صيغة الاحتمالات الكلية احتمال الحدث 4 p( B = p p ( B + p( p B = + = 0, : R سحب آرة حمراء حسب صيغة الاحتمالات الكلية احتمال الحدث 4 6 p( R = p p ( R + p( p R = + = 0, pb ( = U U B هو : نعتبر الحدث : R هو : U هو علما أن الكرة المسحوبة بيضاء احتمال أن تكون من الصندوق p B pb p p حسب صيغة الاحتمالات المرآبة B p( p ( B p B = 0,6 p B نلخص النتاي ج السابقة في شجرة الا مكانيات التالية : إذن :

8 L indépendance : الاستقلالية : تعريف : ليكن فضاء احتماليا نقول إن حدثان و B مستقلان إذا آان : ( = p B p p B ( Ω, p VI p B = p B مستقلان B p 0 ملاحظة : تمرين تطبيقي : إذا آان فا ن : و نرمي نردا مكعبا غير مغشوش في الهواء تحمل وجوهه الستة الا رقام من إلى 6 مرتين متتاليتين نعتبر الا حداث التالية : الحصول على العدد في الرمية الا ولى : الحصول على عددين مجموعهما 7 : B الحصول على عددين زوجيين :C أحسب الاحتمالات التالية: p و B و p B ثم استنتج أن : p C هو : ( Ω Card 6 6 = Card و B حدثان مستقلان هل الحدثان و Cمستقلان الجواب : احتمال الحدث C هو : {(,6;,;,4;4,;,;6, } = B إذن احتمال الحدث ( Ω ( B Card ( Ω Card B 6 p( B Card 6 6 Card p( B 6 6 و B = {(, } إذن : فا ن B حدثان مستقلان ( = بما أن: p B p p B ( C p p C ( Ω Card C 9 = Card احتمال الحدث C هو : C = {(, } إذن احتمال الحدث C هو : Card ( C Card Ω 6 6 = = p( C p ( p C = 6 بما أن : فا ن : و إذن و Cحدثان غير مستقلان ( p C p p C

9 ب : aléatoires L indépendance des épreuves استقلالية الاختبارات العشواي ية: تمهيد : أ رمي قطعة نقود n مرة متتالية يمكن اعتبار آل رمية اختبارا عشواي يا ( i ( n m آرة بالتتابع وبدون إحلال m آرة من بين n سحب (ii آل سحبة يمكن اعتبارها اختبارا عشواي يا ( سحب n آرة من بين m آرة بالتتابع وبا حلال (iii (iv رمي نرد مكعب n مرة متتالية بعض التجارب العشواي ية تتكون من اختبار واحد أو عدة اختبارات عشواي ية ونلاحظ أن في بعض التجارب لا تو ثر نتاي ج اختبار على الاختبار الموالي له iv ( و iii ( و تجارب ( i مثال : في حين تو ثر نتاي ج اختبار على الاختبار الموالي في التجربة ii ( (لا نعيد الكرة المسحوبة فيتغير عدد الا مكانيات ( إذا آانت نتاي ج اختبار ما لا تو ثر على نتاي ج الاختبار الموالي نقول إن التجربة تتكون من اختبارات عشواي ية مستقلة Les épreuves répétées : الاختبارات المتكررة : أمثلة : نرمي نردا مكعبا غير مغشوش في الهواء خمس مرات متتالية نرمي قطعة نقدية غير مغشوشة في الهواء ثلاث مرات متتالية نسحب أربع آرات من آيس يحتوي على n آرة بالتتابع وبا حلال مثال : نرمي نردا مكعبا غير مغشوش في الهواء خمس مرات متتالية أحسب احتمال الحصول على عدد قابل للقسمة على أربع مرات بالضبط الجواب : تتكون هذه التجربة من تكرار الاختبار : رمي نرد في الهواء خمس مرات :S الحصول على عدد قابل للقسمة على طريقة : نعتبر الحدث: p( S = = و S = {, 6} 6 في آل رمية إما أن يتحقق الحدث S وإما أن لا يتحقق 4 C إمكانية لاختيار الا مكنة التي سيتحقق فيها الحدث S p S = احتمال الحدث S هو واحتمال الحدث E : هو = S ( p( S p( S p( E = p( S = p( S = = 4 4 احتمال الا مكانية SESSS هو : = ومنه فا ن : احتمال الحصول على رقم قابل للقسمة على أربع مرات بالضبط هو : C = 0, 4 4 طريقة : هذه التجربة تدل على السحب المتتابع با حلال لخمسة أرقام من بين الا رقام الستة المكونة للنرد وهذا يدل على الترتيبات لخمسة عناصر نعتبر الحدث : الحصول على رقم قابل للقسمة على أربع مرات بالضبط احتمال الحدث هو :

10 p C 6 C 4 Card C = Card Ω خاصية : ليكن ( Ω, p اختبار عشواي ي إذا أعيد هذا الاختبار فضاء احتماليا منتهيا وليكن * n n مرة فا ن احتمال وقوع الحدث وليكن S p حدثا احتماله S k مرة بالضبط في حيث : ( k k n k Cn p p ( هو : 0 k n تمارين قام هذا الرامي بعشر محاولات ما هو ج تمرين تطبيقي : الاحتمال لكي يصيب رام الهدف هو الاحتمال لكي يصيب الهدف ست مرات بالضبط يحتوي آيس على ست بيدق تحمل الرقم 0 وعلى أربع بيدقات تحمل الرقم و بيدقة واحدة تحمل الرقم نسحب بالتتابع وبا حلال ست بيدقات من الكيس ماهو احتمال الحصول بالضبط على خمس بيدقات تحمل الرقم تطبيقية تمرين تطبيقي رقم : يحتوي صندوق B على ثلاث آرات بيضاء وآرتين سوداوين ويحتوي صندوق B على خمس آرات بيضاء وآرة سوداء نعتبر التجربة التالية : سحب آرة واحدة من B وآرة من B أحسب احتمال آل من الحدثين التاليين : الكرتان المسحوبتان بيضاوان E: الكرتان المسحوبتان سوداوان : F ليكن S الحدث : الكرتان المسحوبتان لهما نفس اللون 7 أ- تحقق أن : = S p( 0 ب- نعيد التجربة السابقة خمس مرات متتالية مع إعادة آل آرة إلى الصندوق الذي سحبت منه قبل القيام بالسحبة الموالية ما هو احتمال الحصول على الحدث S ثلاث مرات بالضبط تمرين تطبيقي رقم : يحتوي صندوق على أربع آرات حمراء وثلاث آرات خضراء لا يمكن التمييز بين جميع الكرات باللمس ( نسحب آرة من الصندوق : إذا آانت حمراء نسحب تا نيا آرتين من بين الكرات المتبقية : إذا آانت خضراء نسحب بالتتابع وبدون إحلال آرتين من بين الكرات المتبقية حدد عدد الا مكانيات أ- ب- أحسب احتمال الحصول على ثلاث آرات من نفس اللون إذا علمت أنه حصلنا على آرتين خضراوين بالضبط أحسب احتمال أن تكون الكرة الا ولى المسحوبة خضراء تمرين تطبيقي رقم : نعتبر مجتمعا مكونا من 60% من الرجال و 40% من النساء نعلم أن 0% من الرجال و 0% من النساء يتكلمون اللغة الفرنسية اخترنا عشواي يا شخصا من هذا المجتمع ما هو الاحتمال لكي يكون هذا الشخص : رجلا ويتكلم الفرنسية أ رجلا ولا يتكلم الفرنسية ب امرأة وتتكلم الفرنسية ج امرأة ولا تتكلم الفرنسية د علما أن الشخص المختار يتكلم الفرنسية ما هو احتمال أن يكون رجلا علما أن الشخص المختار لا يتكلم الفرنسية ما هو احتمال أن يكون امرأة VII - 0 -