حساب المثل ثات 10T1 حساب المثل ثات غير قائمة ال زاوية Non-Right-Angled Trigonometry TRIGONOMETRY المؤشر عند نهاية الوحدة الد راسي ة يكون الط الب قادر

النسخ

1 حساب المثل ثات 10T1 حساب المثل ثات غير قائمة ال زاوية Non-Right-Angled Trigonometry TRIGONOMETRY المؤشر عند نهاية الوحدة الد راسي ة يكون الط الب قادر ا على : تطبيق عالقات حساب المثل ثات بما في ذلك قانون مساحة المثل ث وقانون الجيب وقانون جيب التمام لحل المسائل. Indicator By the end of the grade, students will be able to: Apply trigonometric relationships including the area rule, sine rule and cosine rule to solve problems. يتعل م ال طالب أن : to Students learn مبتدئ متقدم Emerging Developing يستخدم عالقات حساب المثل ثات في ما يستخدام عالقات حساب المثل ثات يتعل ق بالز وايا المتم مة وللصيغة sin θ tan θ = cos θ في ما يتعل ق بالز وايا المتممة Use trigonometric relationships for complementary angles Use trigonometric relationships for complementary angles and for tan θ = sin θ cos θ Learning Outcomes متقن Mastered يستخدم عالقات حساب المثل ثات للز وايا sin θ المتم مة = θ tan وتحديد cos θ النسب المثل ثي ة للز وايا المنفرجة Use trigonometric relationships for complementary angles, tan θ = sin θ cos θ and determine trigonometric ratios for obtuse angles يوجد طول ضلع مجهول وزاوية مجهولة باستخدام حساب المثل ثات القائمة و يستخدمها في حل المسائل side and an unknown angle using right-angled trigonometry and use to solve problems يوجد مساحة مثل ث باستخدام ضلعين وال زاوية المحصورة بينهما و يستخدم ذلك في حل المسائل. Find the area of a triangle using two sides and the included angle and use to solve problems يوجد طول ضلع مجهول وزاوية مجهولة باستخدام قانون الجيب و يستخدم ذلك لحل المسائل side and an unknown angle using the Sine Rule and use to solve problems يوجد طول ضلع مجهول وزاوية مجهولة باستخدام قانون جيب التمام واستخدام ذلك لحل المسائل side and an unknown angle using the Cosine Rule and use to solve problems مخرجات الت علم مخر ج الت علم Learning Outcome يوج د طول ضلع مجهول وزاوية مجهولة باستخدام حساب المثل ثات القائمة الز اوية side and an unknown angle using right-angled trigonometry يوجد مساحة مثل ث باستخدام ضلعين والز اوية المحصورة بينهما و يستخدم ذلك في حل المسائل. Find the area of a triangle using two sides and the included angle يوجد طول ضلع مجهول وزاوية مجهولة باستخدام قانون الجيب side and an unknown angle using the Sine Rule يوجد طول ضلع مجهول باستخدام حساب المثل ثات القائمة الز اوية side using right-angled trigonometry يسمي األضالع والز وايا في مثل ث غير قائم الز اوية Label the sides and angles in a non-right-angled triangle يوجد طول ضلع مجهول باستخدام قانون الجيب side using the Sine Rule يوجد طول ضلع مجهول باستخدام قانون جيب الت مام side using the Cosine Rule يوجد طول ضلع مجهول وزاوية مجهولة باستخدام قانون جيب التمام side and an unknown angle using the Cosine Rule 10T1.1 10T1. 0T1.3 10T1.4 10T1.5

2 ل : to Students learn يتعل م ال طالب أن مبتدئ متقدم Emerging Developing يحدد القوانين الواجب استخدامها في يحدد القوانين الواجب استخدامها ويح المسائل المسائل Identify the rules to be used in Identify the rules to be used problems and solve problems Learning Outcomes متقن Mastered يحدد القوانين الواجب استخدامها ويح ل المسائل و يعطي اإلجابة في سياق المسألة األصلي ة Identify the rules to be used, solve problems and give the answer in the context of the original problem مخرجات الت علم مخر ج الت علم Learning Outcome 10T1.6 10T1.1 sin B = y z sin A = x z cos B = x z cos A = y z following: Find the value of x in the في ما يلي: أوجد قيمة = 50 x الحل: x sin 40 = cos أ( = 5 x الحل: x cos 65 = sin ب( ولذلك Therefore, sin A = cos B cos A = sin B مجموع زوايا المثل ث هو 180 The angles in a triangle add to 180 A + B + 90 = 180 B = 90 A sin A = cos(90 A) cos A = sin(90 A)

3 x = z sin θ y = z cos θ sin θ = x z cos θ = y z tan θ = x y z sin θ tan θ = z cos θ sin θ tan θ = cos θ Write each of the following in terms of tan θ اكتب ك ا ل مم ا يلي بداللة tan θ الحل 30 tan sin 30 cos 30 أ( tan 43 sin 43 cos 43 ب( الحل: sin θ = y 1 cos θ = x 1 sin(180 θ) = y 1 cos(180 θ) = x 1 tan θ = y x tan(180 θ) = y x sin(180 θ) = sin θ cos(180 θ) = cos θ tan(180 θ) = tan θ A. tan 40 B. tan 100 C. tan 40 D. tan 140 What acute angle has the same sine as 160? Solution: sin(180 A) = sin A 180 A = 160 A = 0 sin 0 = sin 160 Which of the following is the same as tan 140?

4 10T1. In Grade 9, students learnt to find sides and angles using right-angled trigonometry. In Grade 10, students have the opportunity to revise these skills as they are required to understand how the other trigonometric formulae have been generated and also need to be used in problems involving multiple steps and/or triangles. For Emerging, students must find the unknown side. Students need to be able to select and use the appropriate trigonometric ratio to find an unknown side of a right-angled triangle. To select an appropriate formula, they label the two sides they are working with as either adjacent (A), opposite (O) or hypotenuse (H). They then decide which of the mnemonics SOH, CAH, or TOA uses these two sides. They are finding any unknown side by substituting into the appropriate formula and then rearranging to solve. Students must realize that the sides opposite and adjacent vary, depending on what angle is selected e.g. تعل م الط لبة في ال صف 9 إيجاد األضالع وال زوايا باستخدام حساب المثل ثات القائمة الز اوية. وفي ال صف 10 سيكون لدى الط لبة الفرصة لمراجعة هذه المهارات حيث إن ها مطلوبة لفهم الكيفي ة ال تي ت م بها استنتاج صيغ حساب المثل ثات األخرى وهناك حاجة أيضا الستخدامها في المسائل ال تي تتضم ن خطوات متع ددة و/أو المثل ثات. بالن سبة للمستوى المبتدئ: يجب أن يجد الط لبة طول ضلع مجهول. يحتاج الط لبة إلى أن يكونوا قادرين على اختيار واستخدام الن سبة المثل ثي ة المناسبة اليجاد الض لع المجهول في مثل ث قائم ال زاوية. الختيار صيغة مناسبة فإن هم يقومون بتسمية الض لعين ال ذين يتعامالن معهما إ ما مجاور )A( أو مقابل )O( أو وتر )H(. وبعدها يقر ر الط لبة أي الر موز الت ذكيري ة الت الية CAH SOH أو TOA تستخدم هذين الض لعين. يجد الط لبة أ ي ضلع مجهول بالت عويض في ال صيغة المناسبة ث م بإعادة ترتيبها اليجاد الحل. يجب على الط لبة أن يدركوا أن األضالع المقابلة أو المجاورة تتغي ر تبع ا للز اوية ال تي يتم اختيارها ومثال ذلك: There are two types of equation that can arise when calculating a side from a right angled triangle. One type requires multiplication as the unknown side is the numerator in the ratio fraction. The other type requires division as the unknown side is the denominator in the ratio fraction e.g. Using SOH sin 40 = O H هناك نوعان من المعادالت ال تي تنشأ عند حساب ضلع مجهول من مثلث قائم ال زاوية. يتطل ب أحد الن وعين عملي ة ضرب حيث إن الض لع المجهول يكون هو البسط فيكسر الن سبة. ويتطل ب الن وع اآلخر إجراء القسمة حيث يكون الض لع المجهول هو المقام في كسر الن سبة ومثال ذلك: Using TOA sin 40 = x 1 1 sin 40 = x x = 7.71 cm tan 5 = O A tan 5 = 5 x x tan 5 = 5 5 x = tan 5 x = 10.7 cm

5 For Developing, students need to also be able to find an unknown angle. Students need to be able to select and use the appropriate trigonometric ratio to find an unknown angle of a right-angled triangle. To select an appropriate formula, they label the two sides they are working with as either adjacent (A), opposite (O) or hypotenuse (H). They then decide which of the mnemonics SOH, CAH, or TOA uses these two sides. They convert the trigonometric ratio into an angle by using the inverse trig keys on their calculator (sin 1 A, cos 1 A or tan 1 A) e.g. Using CAH بالن سبة للمستوى المتقدم: يحتاج الط لبة أيض ا إلى أن يكونوا قادرين على إيجاد زاوية مجهولة. ينبغي على الط لبة أن يكونوا قادرين على اختيار واستخدام الن سبة المثل ثي ة المناسبة إليجاد زاوية مجهولة من زوايا مثل ث قائم ال زاوية. لتحديد صيغة مناسبة عليهم تسمية الض لعين الل ذين يتعامالن معهما إ ما مجاور )A( أو مقابل )O( أو وتر )H(. ويقر رون بعدها أي الر موز الت ذكيري ة SOH أو CAH أو TOA تستخدم هذين الض لعين. يحو ل الط لبة الن سبة المثل ثي ة إلى زاوية باستخدام مفاتيح الن سب المثل ثي ة العكسي ة على اآللة الحاسبة الخا صة بهم A) (sin 1 A, cos 1 A or tan 1 ومثال ذلك: cos X = A H cos X = 6. 1 X = cos 1 ( 6. 1 ) X = 58.9 For Mastered, students must have the opportunity to solve problems in context for both finding a side and finding an angle e.g. Finding a side: sin 5 = O H sin 5 = h 6 6 sin 5 = h h =.5 m Students should also have the opportunity to do practical measuring tasks using measuring equipment and calculate unknown lengths using trigonometry. e.g. A ship at sea observes a building on top of a 50 m cliff at an angle of 8ᵒ. How far out to sea is the ship? بالن سبة للمستوى المتقن: يجب أن تتاح للط لبة فرصة لحل مسائل في سياق كل من إيجاد ضلع مجهول وإيجاد زاوية مجهولة مثال ذلك: إيجاد الضلع: A builder is constructing a slide. - The slide is 6 m long. - The slide meets the ground at an angle of 5ᵒ. How high is the top of the slide above the ground? يقوم عامل بناء بتشييد حلبة منزلقة. يبلغ طول الحلبة 6 أمتار. تصنع الحلبة مع األرض زاوية قياسها 5ᵒ ما هو ارتفاع قمة الحلبة فوق سطح األرض يمكن أن تحتوي المسائل أيض ا على زوايا األرتفاع وزوايا االنخفاض. وقد تم دراستها للمر ة األولى في الص ف 9 ومثال ذلك: الحظ طاقم سفينة في عرض البحر مبنى على قمة جرف ارتفاعه 50 مترا وبزاوية 8ᵒ. ما هو بعد السفينة في عرض البحر Students should also have the opportunity to do practical measuring tasks using measuring equipment and calculate unknown lengths using trigonometry. e.g. Stand 30 m from a tree (flagpole, building) and use a clinometer to find the angle of elevation to the top of the tree. Then use trigonometry to find the height of the tree. ينبغي أيض ا أن تتوف ر للط لبة فرصة للقيام بقياسات عملي ة باستخدام أجهزة قياس وحساب أطوال مجهولة باستخدام حساب المثل ثات ومثال ذلك: قف على ب عد 30 متر ا من شجرة )سارية علم أو مبنى( واستخدم كلينومتر )مقياس الميل( إليجاد زاوية االرتفاع إلى أعلى الش جرة. ثم استخدم حساب المثل ثات إليجاد ارتفاع ال شجرة.

6 Finding an angle: sin A = O H sin A = A = sin 1 ( ) A wheelchair ramp is 7 metres long. It rises 0.75 m. What angle does the ramp make with the ground? إيجاد الز اوية: يبلغ طول منحدر للكراسي المتح ركة 7 أمتار. ويرتفع بمقدار 0.75 متر. ما قياس الز اوية ال تي يصنعها المنحدر مع األرض بالن سبة للمستوى المتقن يجب أن ي عطى الط لبة فرصة لحل المسائل ال تي يحتاجون فيها إلى رسم المخط طات الخاص ة بهم وكذلك المسائل ال تي تتضم ن خطوات متعد دة ومثال ذلك: ي عطى الط لبة المعلومات... خطوات متعد دة و/أو المثل ثات ويجب أن يرسموا المخ طط قبل القيام بالحل A = 6. (sf) For Mastered, students should have the opportunity to solve problems where they need to draw their own diagram and also problems that involve multiple steps e.g. Students are given the And they must draw the information diagram before solving Example 1: مثال 1: A 4.5 m ladder is used to ي ستخدم سل م يبلغ طوله 4.5 متر للوصول إلى نافذة ارتفاعها 3 أمتار reach a window 3 m above فوق سطح األرض. على أي ارتفاع the ground. What angle must يجب وضع السل م للوصول إلى الن افذة the ladder be placed at if it is to reach the window? Example : مثال : A set of stairs for a deck مجموعة درجات تصل إلى سطح ارتفاعه 5 أمتار وتصنع زاوية 35 مع which is 5 metres high, make األرض. إلى أي بعد )أفقي( من الس طح an angle of 30ᵒ with the ground. How far out from the تصل تلك الد رجات deck do the stairs reach? Multiple steps and/or triangles Example 3: Saeed s class is outside measuring for a mathematics project. They measure a tree as 1.6 m tall and then they measure its shadow as.5 m long. A short time later, they measure the shadow again and now it is 1.9 m long. What change has there been to the angle of elevation to the sun during this time? Solution θ 1 = tan 1 ( ) θ 1 = 3.6 في الخارج سعيد مثال 3: يتواجد طلبة صف إلجراء قياسات خاص ة بمشروع الر ياضي ات. قام الط لبة بقياس طول 1.6 متر وبعد ذلك قاموا شجرة فكان بقياس طول ظل الش جرة فكان.5 متر. بعد وقت قصير قاموا بقياس طول ظل الش جرة مرة أخرى فكان 1.9 متر. ما الت غي ر الذي حدث لزاوية االرتفاع إلى الش مس خالل هذه الفترة θ = tan 1 ( ) θ = 40.1 θ θ 1 = = 7.5

7 Short height of ladder: sin 51 = O H sin 51 = O 3 3 sin 51 = O O =.33 m Long height of ladder: sin 63 = O H sin 63 = O sin 63 = O O = 5.17 m في حالة أقل ارتفاع للس ل م: sin 51 = O H sin 51 = O 3 3 sin 51 = O O =.33 m في حالة أقصى ارتفاع للسل م: sin 63 = O H sin 63 = O sin 63 = O O = 5.17 m Example 4: An extension ladder measures 3 m at its shortest and when resting against the wall makes an angle of 51ᵒ. When fully extended to 5.8 m, the angle increases by 1ᵒ. How much further up the wall will the ladder reach when it is fully extended? مثال 4: يبلغ طول سل م مداد 3 متر في أقل طول له وعند وضعه مقابل جدار يصنع زاوية قياسها 51ᵒ. عند تمديد السل م كلي ا إلى 5.8 متر تزداد الز اوية بمقدار 1ᵒ. أوجد االرتفاع ال ذي يصل إليه السل م على الجدار عندما يتم تمديده كلي ا x = x = x =.84 m x =.84 m Students should also have the opportunity to do practical measuring tasks using measuring equipment and calculate unknown angles using trigonometry. The example above could be carried out as a practical measuring task. Students need to learn to reduce rounding error where possible. This means in all calculations, students should keep the full number on their calculator and use it in all calculations. If students round early and use rounded numbers in further calculations, they risk introducing rounding error. Students also need to round answers sensibly at the end of calculations. م يجب أيض ا منح الط لبة الفرصة للقيام بقياسات عملي ة باستخدام أجهزة قياس وحساب ال زوايا المجهولة باستخدام حساب المثل ثات. يمكن تنفيذ المثال أعاله كمه مة قياس عملي ة. يحتاج ال طلبة إلى تعل م كيفي ة الت قليل من أخطاء الت دوير كل ما أمكن ذلك. وهذا يعني أن ه ينبغي على الط لبة في جميع العملي ات الحسابي ة الحفاظ على العدد الكامل في اآللة الحاسبة واستخدامه في جميع العملي ات الحسابي ة. إذا ما أجرى الط لبة عملي ة تدوير مب ك را واستخدموا األرقام ال تي ت تدويرها في مزيد من العملي ات الحسابي ة فهم يجازفون بإدخال خطأ تدوير. يحتاج الط لبة إلى تدوير إجاباتهم بعقالني ة في نهاية العملي ات الحسابي ة.

8 10T1.3 In previous grades, students learnt to find the area of a triangle when they were given the base and the perpendicular height. This is the first time that students have learnt to find the area of a triangle using two sides and the included angle. It is very important that students understand that they must have two sides and the included angle when using this formula. The included angle means the one that is between the two known sides. For Emerging, students need to be able to correctly label the sides and angles in a triangle. Students should have the opportunity to use a variety of letters and not always to use A, B and C. When labelling, capital letters are used for the angles and corresponding small letters for the sides opposite the angles e.g. من المه م جد ا أن يفهم الط لبة أن ه يجب أن يكون لديهم ضلعان وال زاوية المحصورة عند استخدام هذه ال صيغة. ال زاوية المحصورة هي الز اوية بين الض لعين المعلومين. بالن سبة للمستوى المبتدئ: يحتاج الط لبة إلى تسمية األضالع والز وايا في مثل ث بشكل صحيح. يجب منح الط لبة الفرصة الستخدام مجموعة متنو عة من الحروف وعدم استخدام B A و C دائم ا. عند الت سمية ت ستخدم الحروف الكبيرة لل زوايا والحروف ال صغيرة المناظرة لألضالع المقابلة للز وايا ومثال ذلك: It is useful for students to understand that the longest side is opposite the largest angle, the medium side is opposite the medium angle and the smallest side is opposite the smallest angle. This allows students to consider whether their answer is reasonable when performing calculations. Students should have the opportunity to see where the area formula is derived from. It is not required for students to reproduce this explanation e.g. سيكون من المفيد للط لبة أن يفهموا أن ال ضلع األطول يكون مقاب ال لل زاوية األكبر وال ضلع المتو سط يكون مقاب ال لل زاوية المتو سطة والض لع األصغر يكون مقاب ال ألصغر زاوية. ذلك يتيح للط لبة اعتبار إن كانت إجابتهم معقولة عند إجراء العملي ات الحسابي ة. ينبغي إتاحة الفرصة للط لبة لرؤية كيفي ة اشتقاق صيغة مساحة المثل ث. وليس مطلوب ا منهم إعادة كتابة هذا الش رح ومثال ذلك: Area = 1 base height مساحة المثل ث The area of ABC is: ABC Area = 1 BC AD وباستخدام حساب المثل ثات نعرف أن : : Using trigonometry, we know that: sin C = AD AC So, AD = AC sin C نعو ض بذلك في صيغة المساحة: We substitute this into the area formula: Area = 1 BC AC sin C وفي الر سم نستطيع أن نرى أن : In the diagram we can see that: BC = a and AC = b Therefore, Area = 1 a b sin C Area = 1 ab sin C

9 For Developing, students need to be able to label the triangle and use the formula to calculate the area of the triangle e.g. بالنسبة للمستوى المتقدم: يحتاج الط لبة إلى أن يكونوا قادرين على تسمية المثل ث واستخدام الص يغة لحساب مساحته ومثال ذلك: Area = 1 ab sin C Area = sin 38 Area = 5.17 km For Mastered, students need to be able to solve problems which may include drawing the diagram and /or multiple steps e.g. A builder has been asked to make a merry-go-round and needs to calculate how much wood he will require. From the centre to the outside corner is 1.5 m and the angle of each triangle at the centre is 60. Find the total area of the merry-go-round. بالن سبة للمستوى المتقن: يحتاج الط لبة إلى أن يكونوا قادرين على حل المسائل ال تي قد تتضم ن رسم المثل ث و/أو خطوات متعد دة ومثال ذلك: ط لب من عامل بناء إنشاء لعبة الد و ار الخشبي ة ويحتاج إلى حساب كم ي ة الخشب ال ذي سيستخدمه. المسافة من المركز وحت ى الر كن الخارجي 1.5 متر وزاوية كل مثل ث عند المركز 60. أوج د المساحة الكل ي ة لهذه الل عبة. Merry-go-round in a children s playground Solution Area of one triangle: Total area of the merrygo-round: View of the merry-goround from above منظر جهاز الل عبة من األعلى الحل لعبة الد و ار في ملعب األطفال مساحة مثل ث الواحد المساحة الكل ي ة للعبة الد و ار الخشبي ة Area = 1 ab sin C Area = sin 60 Area = 0.97 m Total area = Total area = 5.8 m

10 10T1.4 This is the first time students have learnt how to find the length of a side or an angle in a non-rightangled triangle. In Cycle, students were not introduced to Greek letters. In Cycle 3, they will have opportunities to use common Greek letters e.g. θ, α, β, μ, σ etc. Students need to label the triangle with capital letters for the angles and the opposite sides with the corresponding lower case letter as for the previous LO (10T1.3). Students need to understand that the Sine Rule can be used when (including the unknown) you have sides and angles. This will become clearer once they have learnt the Cosine Rule in the next LO. Students should have the opportunity to see where the area formula is derived from. It is not required for students to reproduce this explanation e.g هذه هي الم رة األولى ال تي يتعل م فيها الط لبة كيفي ة إيجاد ضلع أو زاوية في مثل ث غير قائم ال زاوية. لم يتم شرح الحروف اليوناني ة للط لبة في الحلقة. وفي الحلقة 3 ستتاح لهم فرص استخدام الحروف اليوناني ة الش ائعة مثل β α θ σ μ وغيرها. يحتاج الط لبة لتسمية المثل ث باستخدام الحروف الكبيرة لل زوايا وباستخدام الحروف الص غيرة المناظرة لألضالع ال تي تقابلها كما هو الحال في م خرج الت عل م الس ابق )T1.310(. يحتاج الط لبة إلى فهم أن ه يمكن استخدام قانون الجيب )بما في ذلك المجهول( في حال معرفة ضلعين وزاويتين. وسيكون هذا األمر أكثر وضوح ا بعد تعل مهم قانون جيب التمام في مخرج الت عل م القادم. يجب أن تتاح الفرصة للط لبة لرؤية كيفي ة اشتقاق قانون الجيب. وليس مطلوبا منهم إعادة كتابة هذا الش رح ومثال ذلك: In ACD: sin A = h b h = b sin A In BCD: It is important that students understand that there are two forms of the Sine Rule, one that is useful when finding unknown sides and the other is useful for finding unknown angles e.g. For finding a side: إليجاد الز اوية sin A a sin B = b = sin C c sin B = h a h = a sin B Since h = b sin A and h = a sin B: b sin A = a sin B Therefore a sin A = and sin A b sin B sin B = a b من الض روري أن يفهم الط لبة أ ن هناك صورتين لقانون الجيب إحداهما ت ستخدم إليجاد الض لعين المجهولين واألخرى ت ستخدم إليجاد ال زوايا المجهولة ومثال ذلك: For finding an angle: a sin A = b sin B = c sin C إليجاد الض لع بالن سبة للمستوى المبتدئ: يحتاج الط لبة إلى حساب طول ضلع مجهول For Emerging, students need to calculate the length of an unknown side e.g. مثال ذلك: Find the length of x أوجد طول x

11 Solution: Step 1: Label the triangle a sin A = b sin B = c sin C x sin 51 = 13 sin sin 51 sin 76 x = 10.4 cm x = We know the largest side is opposite the largest angle e.g. 13 cm is opposite 76, so side x needs to be smaller than 13 cm since it is opposite a smaller angle. Therefore 10.4 cm is a reasonable answer for the length of side x. الحل الخطوة 5: هل اإلجابة منطقي ة Step 5: Is the answer reasonable? بالن سبة للمستوى المتقدم: يحتاج الط لبة أيض ا إلى حساب قياس زاوية مجهولة ومثال ذلك: الخطوة : 1 ابدأ بتسمية المثل ث الخطوة : قر ر أي ة صورة للص يغة ست ستخدم Step : Choose which form of the formula to use الخطو 3: عو ض بالقيم في الص يغة Step 3: Substitute the values into the formula الخطوة 4: أوجد الحل للمتغي ر x Step 4: Solve for x For Developing, students also need to calculate the size of an unknown angle e.g. أوجد قياس الز اوية θ Find the size of angle θ نحن نعلم أن أكبر ضلع يكون مقاب ال ألكبر زاوية فمثال 13 سم تقابل 76 ولذلك يجب أن يكون الض لع أقل من 13 سم ألن ه يقابل زاوية أصغر. ولذلك فإن 10.4 سم ت عد إجابة منطقي ة لطول الض لع Solution: Step 1: Label the triangle sin A sin B = a b = sin C c sin θ = sin sin 38 sin θ = 15 sin θ = θ = sin θ = 64.6 We can expect angle θ to be larger than 38 because the side opposite θ is cm which is larger than 15 cm (opposite 38 ). It is reasonable for angle θ to be الحل : الخطوة 5: هل اإلجابة منطقي ة Step 5: Is the answer reasonable? الخطوة : 1 ابدأ بتسمية المثل ث الخطوة : قر ر أي ة صورة لل صيغة ست ستخدم Step : Choose which form of the formula to use الخطو 3: عو ض بالقيم في الص يغة Step 3: Substitute the values into the formula الخطوة 4: أوجد الحل للمتغي ر x Step 4: Solve for x يمكننا أن نتوق ع أن تكون ال زاوية θ أكبر من 38 ألن الض لع المقابل للز اوية θ طوله سم وهو أكبر من 15 سم )مقابل 38 (. من المنطقي أن تكون ال زاويةθ هي 64.6

12 For Mastered, students need to solve problems involving finding unknown sides and angles e.g. Khalifa sees his falcon flying at an angle of elevation of 37. Khalifa also sees a houbara on the ground 5 m away. The angle of elevation of the falcon from the houbara is 43. Find the distance from the houbara to the falcon (x) and from Khalifa to the falcon (y). بالن سبة للمستوى المتقن: يحتاج الط لبة إلى حل المسائل ال تي تتضم ن إيجاد أضالع وزوايا مجهولة. يرى خليفة صقره يح قل بزاوية ارتفاع تبلغ 37. يرى خليفة أيض ا طائر الحبارى على األرض على ب عد 5 متر ا. وتبلغ زاوية ارتفاع ال صقر من الحبارى 43. أوجد المسافة من طائر الحبارى لل صقر )x ) والمسافة من خليفة إلى ال صقر )y (. Solution: We need to find the third angle in the triangle. We know that the sum of the angles in a triangle is 180. Find the length of side x Find the length of side y Angle F = Angle F = 100 الحل : نحتاج إلى إيجاد الز اوية الث الثة في المثل ث. ونعلم أن مجموع زوايا المثل ث هو 180 أوجد طول الض لع x أوجد طول الض لع y Students also need to be aware of the ambiguous case when using the Sine Rule. Ambiguous means capable of two meanings. In the situation with the Sine Rule, this means that there are two possible triangles that can be drawn with the given measurements and two possible values for the angle e.g. A triangle has the measurements: A = 36, a = 4 cm and c = 6 cm. There are two possible ways to draw this triangle e.g. x sin 37 = 5 sin sin 37 x = sin 100 x = 15.3 m y sin 43 = 5 sin sin 43 y = sin 100 y = 17.3 m يحتاج الط لبة أيض ا إ لى أن يكونوا مدركين الحالة الغامضة عند استخدام قانون الجيب. وكلمة )غامضة( تعني "تحتمل معنيين". في حالة قانون الجيب هذا يعني أ ن هناك مثل ثين محتملين يمكن رسمهما باستخدام القياسات المعطاة وقيمتين محتملتين للز اوية مثال: مثل ث له القياسات الت الية:. A = 36, a = 4 cm, c = 6 cm هناك طريقتان محتملتان لرسم هذا المثل ث هما: In this triangle, angle C is an obtuse angle In this triangle, angle C is an acute angle في هذا المثل ث تكون الز اوية Cزاوية منفرجة في هذا المثل ث تكون الز اوية Cزاوية حاد ة sin C c = sin A This answer (C = 61.8 ) is acute and so it fits the second triangle. The two possible answers for angle C add to 180. This means we can find angle C for the first triangle e.g a sin C = sin C = C = 61.8 sin 36 6 C = C = هذه اإلجابة( = 61.8 C ) تدل على أن الز اوية حاد ة وتناسب المثل ث الث اني. اإلجابتان المحتملتان للز اوية C مجموعهما 180. وهذا يعني أن نا نستطيع إيجاد الز اوية C في المثل ث األو ل كما يلي:

13 10T1.5 In the previous LO (10T1.4), students were introduced to calculating the length of unknown sides and the size of unknown angles in non-right-angled triangles. In Cycle, students were not introduced to Greek letters. In Cycle 3, they will have opportunities to use common Greek letters e.g. θ, α, β, μ, σ etc. Students need to label the triangle with capital letters for the angles and the opposite sides with the corresponding lower case letter as for the previous two LOs (10T1.3 and 10T1.4). Students need to understand that the Cosine Rule can be used when (including the unknown) you have 3 sides and 1 angle. This can be compared with the Sine Rule from the previous LO. Students should have the opportunity to see where the area formula is derived from. It is not required for students to reproduce this explanation e.g. في ال مخرج الت عل مي ال سابق )T1.410( تعر ف الط لبة على كيفي ة حساب أطوال أضالع مجهولة وقياسات زوايا مجهولة في مثل ثات غير قائمة ال زاوية. لم يتم شرح الحروف اليوناني ة للط لبة في الحلقة. وفي الحلقة 3 ستتاح لهم فرص استخدام الحروف اليوناني ة الش ائعة مثل α θ σ μ β وغيرها. يحتاج الط لبة إلى تسمية المثل ث باستخدام الحروف الكبيرة لل زوايا وتسمية األضالع المقابلة باستخدام الحروف الص غيرة المناظرة كما ورد في م خرجي الت عل م الس ابقين (10T1.4 10T1.3). and يحتاج الط لبة إلى فهم أن ه يمكن استخدام قانون جيب التمام )بما في ذلك المجهول( في حال وجود 3 أضالع وزاوية واحدة. ويمكن مقارنة ذلك بقانون الجيب في مخرج الت عل م الس ابق. يجب أن تتاح الفرصة للط لبة لرؤية كيفي ة اشتقاق قانون جيب التمام. وليس مطلوب ا منهم إعادة كتابة هذا الش رح ومثال ذلك: في المثل ث BCD وباستخدام نظري ة فيثاغورس In BCD, using Pythagoras Theorem: a = (c x) + h a = c cx + x + h في المثل ث ACD وباستخدام نظري ة فيثاغورس In ACD, using Pythagoras Theorem: b = x + h نعو ض b في المعادلة الس ابقة Substitute b into the previous equation: a = b + c cx في المثل ث In ACD: ACD For finding an angle: cos A = b + c a bc cos A = x b x = b cos A نعو ض x في المعادلة الس ابقة Substitute x into the previous equation: a = b + c bc cos A من الض روري أن يفهم الط لبة أ ن هناك صورتين لقانون جيب التمام إحداهما تفيد إليجاد األضالع المجهولة واألخرى تفيد إليجاد ال زوايا المجهولة. ويمكن إيجاد صيغة الز اوية بإعادة ترتيب صيغة الض لع وجعل cos A هي موضوع المعادلة ومثال For finding a side: a = b + c bc cos A ذلك: إليجاد الض لع إليجاد الز اوية

14 For Emerging, students need to calculate the length of an unknown side e.g. أوجد طول x Find the length of x بالنسبة للمستوى المبتدئ: يحتاج الطلبة إلى حساب طول الض لع المجهول مثال ذلك: Solution: Step 1: Label the triangle a = b + c bc cos A x = cos 54 x = x = x = 6.87 cm The value for x is quite similar to the values for the other two sides. The triangle is close to an equilateral triangle and so the value for x is reasonable. الحل الخطوة 5: الخطوة 1: إبدأ بتسمية المثل ث الخطوة : قر ر أي ة صورة لل صيغة ست ستخدم Step : Choose which form of the formula to use الخطو 3: عو ض بالقيم في الص يغة Step 3: Substitute the values into the formula الخطوة 4: أوجد الحل للمتغي ر x Step 4: Solve for x For Developing, students also need to calculate the size of an unknown angle e.g. أوجد قياس الزاوية θ Find the size of angle θ قيمة x مشابهة إلى حد كبير لقيمتي الض لعين اآلخرين. المثل ث قريب الش به بمثل ث متساوي األضالع وبالت الي فإ ن قيمة x منطقي ة. هل اإلجابة منطقي ة Step 5: Is the answer reasonable? بالن سبة للمستوى المتقدم: يحتاج الط لبة أيض ا إلى حساب قياس الز اوية المجهولة ومثال ذلك: Solution: Step 1: Label the triangle cos A = b + c a bc cos θ = cos θ = θ = cos θ = 56.8 الحل الخطوة 1: إبدأ بتسمية المثل ث الخطوة : قر ر أي ة صورة لل صيغة ست ستخدم Step : Choose which form of the formula to use الخطو 3: عو ض بالقيم المعطاة في الص يغة Step 3: Substitute the values into the formula الخطوة 4: أوجد الحل للز اوية θ Step 4: Solve for θ

15 For Mastered, students need to solve problems involving finding unknown sides and angles e.g. Ahmed and Rashid are kayaking in the mangroves. They leave the launch point and paddle in different directions. Ahmed paddles for 80 m and Rashid paddles for 10 m. When they stop, they are 14 m apart. What is the angle (α) between the courses of the two kayaks? Solution: تحتاج إلى رسم المثل ث وتسمية األضالع والز وايا Need to draw the diagram and label the angles and sides بالن سبة للمستوى المتقن: يحتاج الط لبة إلى حل المسائل ال تي تتضم ن إيجاد أضالع وزوايا مجهولة ومثال ذلك: يستقل أحمد وراشد قاربيهما بين أشجار القرم. انطلقا من نقطة البداية وجد فا في ات جاهين مختلفين. جد ف أحمد لمسافة 80 متر ا وجد ف راشد لمسافة 10 متر ا. عندما توق فا كانت المسافة الفاصلة بينهما 14 متر ا. ما قياس ال زاوية )α( بين مساري القاربين الحل: cos A = b + c a bc cos α = cos α = α = cos α = 88.1 اختر أي هما ستستخدم معادلة األضالع أم معادلة الز وايا Choose whether to use the side or angle formula عو ض بالقيم وأوجد قيمة α Substitute the values and solve for α

16 10T1.5 This LO allows the students to combine all the different rules they have learnt in a problem solving context. Although students have not used Pythagoras Theorem so far in this unit, it may be required during this LO. Students are not told what rules to use in this LO and all problems must include at least one calculation that involves the use of a non-rightangled trigonometric formula. For Emerging, students need to be able to identify what rules they need to use to solve the problem. They may be asked to find an area or to calculate a distance or an angle. It may be helpful to use a flow chart when finding sides and angles e.g. يتيح هذا الم خرج الت عل مي للط لبة الجمع بين القوانين المختلفة ال تي تعل موها في سياق حل المسائل. ورغم أن الط لبة لم يستخدموا نظري ة فيثاغورس في هذه الوحدة حت ى اآلن إال أن ها قد تكون مطلوبة خالل هذا ال مخرج الت عل مي. ال يت م توجيه الط لبة للقانون ال ذي ينبغي استخدامه في هذا ال مخرج الت عل مي ويجب أن تحتوي جميع المسائل عملي ة حسابي ة واحدة على األقل تتضم ن صيغة من صيغ حساب مثل ثات غير قائمة ال زاوية. بالن سبة للمستوى المبتدئ: يحتاج الط لبة إلى أن يكونوا قادرين على تحديد القوانين ال تي هم بحاجة الستخدامها في حل المسألة. قد ي طلب منهم إيجاد المساحة أو حساب مسافة أو زاوية. وقد يكون من المفيد استخدام مخط ط توضيحي عند إيجاد قيمة األضالع والزوايا مثال: For Developing and Mastered, students need to also solve the problem e.g. A flagpole in the UAE has a point F that is 7 m above level ground. The flagpole is secured from F by two straight wires measuring 13 m and 11 m to two points X and Y on the ground. Angle XZY is 15. What is the distance from X to Y? بالن سبة للمستوى المتقدم والمستوى المتقن: يحتاج الطلبة أيض ا إلى حل المسألة ومثال ذلك: سارية علم في دولة اإلمارات العربي ة المت حدة بها الن قطة F ال تي ترتفع 7 أمتار عن مستوى األرض. يتم تأمين سارية العلم من الن قطة F بواسطة سلكين طولهما 13 متر ا و 11 متر ا بحيث يكون طرفاهما عند الن قطتين X و Y على األرض. ويبلغ قياس ال زاوية 15. XZY ما هي المسافة من X إلى Y

17 Solution: At the Emerging level, students need to recognise that first Pythagoras Theorem must be used to find the length of XZ and YZ and then the Cosine Rule needs to be used to find the length of XY. At the Developing level, students use the rules described for Emerging to solve the problem. الحل : بالن سبة للمستوى المبتدئ: يجب أن يدرك الط لبة أن عليهم استخدام نظري ة فيثاغورس أو ال إليجاد طولي XZ و YZ ثم استخدام قانون جيب التمام إليجاد طول.XY بالن سبة للمستوى المتقد م: يستخدم الط لبة القوانين الموض حة في المستوى الم بتدئ لحل المسألة. a = c b XZ = 13 7 XZ = 10 XZ = 10 XZ = m a = c b YZ = 11 7 YZ = 7 YZ = 7 YZ = 8.49 m a = b + c bc cos A XY = cos 15 XY = XY = 17.8 m At the Mastered level, students need to give the answer in the context of the original problem e.g. The distance from X to Y (the ends of the two wires supporting the flagpole) is 17.8 m. بالن سبة للمستوى المت قن: يحتاج الط لبة إلى إعطاء إجابة في سياق المسألة األصلي ة مثال: "المسافة من X إلى Y )نهايتي ال سلكين الل ذين يدعمان سارية العلم( هي 17.8 متر ا".