حل نظام املعادالت التفاضليه اجلزئيه بأستخذام االستقراية د. عل حس ن شعاع الطائ جامعة واسط كل ة العلوم خالصة البحث: م. م. جل ل طلب عبد هللا جامعة واسط كل ة االدارة واالقتصاد تى انبحث ل بحم أ ظ ت ان ؼبدالث انتفبظه اندز ئ بأستخذاو غشق االستمشاس stability سبػ ز انخبص ببنحم انؼذد numerical solution ت ف ز انبشايح ي ب MAPLE and MATLAB ح ث ت ثم انم ى انزات Eigen values اسبسب" الخت بس انشش غ االبتذائ initial conditions نهحم انؼذد Model of Partial differential االشبس ان استخذاو ز اال ظ numerical solution equations ف كث ش ي انتخصصبث انؼه. املقذمه: ا نه ؼبدالث انتفبظه ت اندزئ ت د س كب ش ف حم كث ش ي ان سبئم ان ؼمذ ف اغهب انتخصصبث ان ذس انف ز بئ انك بئ االحصبئ اظبفت ان انبب ن خ ح ث انت خ اندذ ذ انز تؼبيم يغ ان برج انش بظ ف حم كث ش ي ان شبكم ان شظ ت خبصت ايشاض انسشغب انفطش بث. نصؼ بت حم يثم اال ظ تى انهد ء نطش م يبسط س هت تؼط تبئح تمش ب خ ذ ك االستفبد ي ب ف حم ز ان شبكم. تؼت ذ ػه ظبو االستمشاس stability ح ث تؼبيم يغ تحه م انم ى انزات نه تد بث انت بذ س ب تس م اخت بس انشش غ االبتذائ initial conditions نت ف ز انبشايح اث بء استخذاو انحم انؼذد. numerical solution ثى تحه م ان تبئح ظغ انسبم انكف ه نحم ان شبكم ف اغهب انتخصصبث انؼه ان زك سة اػال. االستقرارية :Stability نتسه ػ انع ء ػه االستمشا ك ب اخز بؼط انبذ بث ح ل ان ظ ع, ارا كب J a c b d (1) ي ان ؼش ف ا : يحذد ان صف ف J determinant of matrix : Det( J) ad cb () اثش ان صف ف trace of matrix
tr( J) a d (3) انم ى انزات eigenvalues ن J : ( a )( d ) bc 0 ( a d) ( ad bc) 0 1 1 ( ( a d)) ( a d) 4( ad bc) 1 ( ( a d)) ( a d) 4( ad bc) (4) من ذلك نست طع توض ح حاالت االستقرار ه وفق الجدول االت :[7],[4],[] Status Unstable Stable Saddle Saddle 1 يالحظ : ا ان ؼه يبث ان اسد ف اندذ ل ت طبك ػه ان صف ف, X ايب ف حبنت ان صف ف 3X3 فب ب ستخذو ا ببالحش ؼت ذ ػه انم ى انزات.Eigenvalues أيب انشسى ان ذس نهحبالث يب ف انشكم 1. شكل 1 " حاالت االستقرار ه وهذه االسهم تمثل المتجهات الذات ه Eigenvectors الذات ه [1],[3],[5]." eigenvalues باالعتماد على الق م اجلانب التطبيقي لالستقراريه :Applied of stability
ان من اكثر الجوانب التطب ق ه لالستقرار ه ه معادلة ف شر Fisher Equation وه كاالت [8],[6] u u D ku(1 u) (5) t x Fisher Equation (1973) هذه المعادله تسمى معادلة. constants ح ث D, k ثوابت تعر ف : الموجه : wave ه شكل ثابت ومقدارالسرعه c : كون ثابتا" من وقت الخر كما ف الشكل ادناه الشكل وضح شكل الموجه ح ث تكون سرعة الموجه متساو ه من وقت الخر. و مكن كتابة موجة الحل travelling wave solution من المعادالت التفاضل ه الجزئ ه PDEs الى المعادالت التفاضل ه االعت اد ه ODEs وتاخذ الص غه االت ه : ح ث z x ct ب نما u( x, t) U( z), (6) ( حركة الموجه من ال سار لل م ن ) الشكل 3 ( حركة الموجه من ال م ن الى ال سار ) z x ct
الشكل 3 وضح حركة الموجه من ال سار الى ال م ن وعند التعو ض بالمعادله االصل ه نحصل على u u du du c cu, t t dz dz u u du du 1 U, x x dz dz u d U U. t dz (7),x )u الى U(z) أضافة الى تحو ل النظام بدون ابعاد ( عن اختزال بعض المتغ رات ) لذلك تم تحو ل (t Nonodimensionlise ح ث t * * k kt, x x( ), D 1 (8) من ذلك نحصل على المعادلة بص غتها النهائ ه u t u x u(1 u) (9) u 0 و u 1 هذه الق م تمثل حالة االستقرار ح ث كونان غ ر. Travelling wave solution ف هذه الحاله الخاصه المتجانسه كون مستقر ن. لذلك نقترح استخدام الموجه,x )u ح ث z x ct وان ال c مثل سرعة الموجه المفترض تكون موجبه t) U( لذلك نفرض (z وبذلك نحصل على المعادلة التفاضل ه االعت اد ه كاالت U cu U( 1U) 0 (10) هنا نفرض ان:
U V f ( u, v) V U (1 U) cv (11) g( u, v) هنا U 0 or U 1 من ذلك تب ن ان (9) تحقق : limu ( z) 0 z limu ( z) 1 z ( Unstabelity ) (1) ( Stabelity ) االن نختبر المعادلة (11) مستو االحداث ات : من ذلك أن الخط الوح د المسار Trajectory ضمن المستوى Phase plane مثل الحل : dv du U(1 U) cv V (13) الشكل 4 ( 0,0) and النظام (11) له نقطت ن هما (0,1) وذلك باستخدام الجوكوب ان سوف نختبر استقرار تهم اما الق م الذات ه Eigenvalues : Jacobin J f u g u f v g v (14) وهذا ؤدي J 0 1 u 1 c (15) االن نختبر الجكوب ان عند النقطه (0,0) فنحصل على : 0 1 J (16) 1 c 1 1, c ان الق م الذات ه هنا, c 4 هذه النقاط ه نقطه مستقره رأس ه Stable node اذا. c Stable spiral أو ه نقطه مستقره حلزون ه c أما النقطه (1,0) فنحصل على :
. c اذا Saddle node ان الق م الذات ه هنا c c 4, هذه النقاط ه نقطه سرج ه 1 1, (0,1) وواضح من خالل الرسم المسار احلل العذدي للمعادالت : والنقطة Initial الشكل 4 plane Phase وضح النقاط 0) (0, الواصل ب ن النقطت ن. باستخدام البرمجه وباالخص MATLAB عبر برنامج pdepe وبدا ة تم اخت ار الشروط االبتدائ ه condition problems باالعتماد على النقاط 0) (1, and 0,0) ( كما موضح ف الشكل 5 وباالستمرار ه عبر الوقت فان سلوك المتغ ر ن تستمر بنفس الشكل وبنفس التغ ر ما سمى بموجة الحل. الشكل 5 وضح سلوك المتغ ر u اللون االحمر والمتغ ر v اللون االسود. حل نظام املعادالت التفاضليه اجلزئيه: للتوض ح اكثر لموضوع االستقرار ه ف حل انظمة المعادالت التفاضل ه الجزئ ه نسلط الضوء على النظام االت وهو بطب عة الحال دخل ف مجال التطب ق البا ولوج او الف ز ائ او الهندس :
u u v, t v v rvm Dn u(1 v), t x t m m v Dm v t x x (17) من النظام system اعاله نجد النقاط المستقره ح ث ( 1,0,0) and (0,0,1) m : 0 1 v : 0 0 عندما 0 هذا عن ان u : 1 0 وكذلك اضافة الى v اللون االزرق مثل المتغ ر u احلل العذدي :Numerical solution Initial والشكل 6 ب ن الشروط االبتدائ ه للحل العددي الشكل 6 ب ن الشروط االبتدائ ه ح ث مثل اللون االحمر سلوك المتغ ر واللون االخضر مثل سلوك المتغ ر m pdepe وبدا ة تم اخت ار الشروط االبتدائ ه (1,0,0 and ( كما موضح ف الشكل 6 باستخدام البرمجه وباالخص MATLAB عبر برنامج condition problems باالعتماد على النقاط (0, 0, 1)
ب u الشكل 6 أ متساو ه. وضح سلوك المتغ ر ح ث نالحظ ان الموجات متشابهه وسرعة الموجه c تكون v الشكل 6 متساو ه. وضح سلوك المتغ ر ح ث نالحظ ان الموجات متشابهه وسرعة الموجه c تكون m الشكل 6 ج متساو ه. وضح سلوك المتغ ر ح ث نالحظ ان الموجات متشابهه وسرعة الموجه c تكون
من الحل العددي نستط ع معرفة سلوك كل متغ ر دون اللجوء الى التكامالت المعقده وف بعض االح ان عجز الر اض ن عن حل بعض االمثله والمسائل المعقده لذا فان اللجوء لالستقرار ه هو الحل االمثل لمثل هذه االنظمه والت تعط نتائج تقر ب ه ولكن بواقع ه ج ده وخاصة ف المسائل التطب ق ه. االستنتاجات والتوصيات : من خالل مجر ات البحث وخاصة الجانب التطب ق نستنتج ما ل : تطب ق هذه الطر قه على كث ر من المشاكل الهندس ه والف ز او ه والكم ائ ه واالحصائ ه الت تتضمن مشكلة ف حل انظمة المعادالت التفاضل ه الجزئ ه على وجه الخصوص. عتمد على النقاط المستقره ف تحد د الشرط االبتدائ للحل العددي باستخدام انظمة الربمجه مثل. MATLAB ف المستوى الثالث او الرباع ال مكن تحد د استقرار ة النقاط باالعتماد على اثر المصفوفه Trace of Matrix او محدد المصفوفة Determinant of Matrix لذا عتمد على الق م الذات ه. Eigenvalues مكن اجراء الحل العددي مباشرة بعد معرفة حالة االستقرار Steady states للنقاط اذا تعذر تحد د االستقرار ه باالعتماد على ال Jacobin كما مر سلفا". 1 3 4 املصادر: 1Bartton, N. F. (1986). Reaction Di_usion Equations and their Applications to Biology. Academic Press, New York. Davidson, F. A., Sleeman, B. D., Rayner, A. D., Grawford, J., and Ritz, K. (1996). Contex dependent macroscopic patterns in growing and interacting mycelial networks. Proc. R. Soc. Lond, B 63:873880. 3DuChateau, P. and Zachmann, D. (1989). Applied Partial Di_erential Equations. Colorado State University, New York. 4Falconer, R. E., Bown, J. L., White, N. A., and Crawford, J. W. (008). Modelling interactions in fungi. J. R. Soc. Interface, 5:603 615. 5Jones, D. S. and Sleeman, B. D. (1983). Di_erential Equatons and Mathematical Biology. Department of Mathematical Sciences, University of Dundee. 6Murray, J. D. (00). Mathematical Biology I.: An Introduction. New York: Springer. 7Ruan, W. H. (1996). Positive steadystate solutions of a competing reaction di_usion system with large crossdi_usion coe_cients. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 197():558578.
8Yanze and Krishnan, E. V. (006). Exact travelling wave solutions for a class of nonlinear partial di_erential equtions. International Journal of pure and Applied Mathematical Sciences, 3:110.