البرمجة الخطية

218 217

فهرس المطبوعة 2 4 5 5 6 7 7 9 12 12 12 1 15 16 21 22 مقدمة... 1- تعريف... 2- اإلطار العام للمشاكل التي تعالجها... - افتراضات... 4- صياغة مشكلة... 1-4- الصيغة القانونية... 2-4- الصيغة القياسية... 5- حل مشكلة... 1-5- الطريقة البيانية... 2-5- طريقة السامبلكس... 6- تقييم استخدام أسلوب... 1-6- مزايا استخدام أسلوب... 2-6- صعوبات استخدام أسلوب... 7- مفاهيم أساسية... تمارين... الحلول... الخاتمة... المراجع... 1

مقدمة نظرا للتطورات الحاصلة في مجال االتصاالت ونظم المعلوماتية وإدارة المعرفة في الوقت الحالي وما نجم على المنظمات من التزامات وأعباء لمواكبة هذه التطورات لم تعد األساليب التقليدية في اتخاذ القرارات اإلدارية مجدية إذ ظهرت توجهات حديثة في اإلدارة تركز على ضرورة االعتماد على األساليب الكمية. وتعتبر األساليب الكمية في عملية اتخاذ القرارات األساس لتوضيح المشكلة من حيث المدخل الكمي والمعبر عنه باألرقام والمعادالت الرياضية والتي تسمى بالنموذج الرياضي وبالتالي يمكن تعريف األساليب الكمية بأنها مجموعة من االدوات أو الطرق التي تستخدم من قبل متخذ القرار لمعالجة مشكلة معينة أو لترشيد القرار اإلداري المتخذ بخصوص حالة معينة والمفروض توفر القدر الكافي من البيانات المتعلقة بالمشكلة. وهي النماذج الرياضية التي من خاللها يتم تنظيم كافة مفردات المشكلة االدارية أو االقتصادية والتعبير عنها بعالقات رياضية من معادالت ومتباينات وتفرض شروط للمتغيرات المستخدمة لبناء تلك المعادالت أو المتباينات ويتم دعم هذه المعادالت بالبيانات الالزمة )الموارد المتاحة( يتسم قسم منها في كونها ثوابت والبعض اآلخر متغيرات مما يناسب طبيعة المشكلة. وتعتبر إحدى هذه النماذج حيث تهدف إلى اإلجابة بأسلوب رياضي على بعض المسائل وحل المشاكل بما يحقق أكبر ربح ممكن أو أقل تكلفة ممكنة في ظل القيود والموارد المتاحة. 2

1- تعريف تعد أسلوبا من األساليب الكمية فهي أسلوب تحليلي كمي يتم استخدامه لمساعدة متخذ القرار في تحقيق هدف محدد )تعظيم أو تدنية أحد المتغيرات التابعة( بإدخال جملة من المتغيرات المستقلة التي تشكل مجموعة من القيود. وتهدف إلى تحليل البدائل المختلفة الختيار أفضلها من وجهة نظر المشروع وذلك على ضوء الهدف المرغوب في تحقيقه مع األخذ في االعتبار القيود المفروضة على المشروع. 2- اإلطار العام للمشاكل التي تعالجها هناك عدة عناصر ألي مشكلة تعالجها وهي كما يلي: 1-2- دالة الهدف يجب تحديد هدف واحد واضح قابل للقياس الكمي ودالة الهدف في مشكلة إما أن تكون تعظيما أو تدنية وهذا ما يسمى بمشاكل األمثلية ويعبر عن الهدف عادة في صورة متغير واحد أو أكثر وتخضع هذه المتغيرات جميعا لعالقة خطية ويخضع تحقيق الهدف إلى تنفيذ أنشطة ووظائف متعددة تسمى موارد متاحة بكميات محددة تشكل قيدا على تحقيق الهدف. 2-2- متغيرات القرار هي المتغيرات التي تدخل ضمن دالة الهدف المراد تعظيمه أو تدنيته وهي متغيرات من الدرجة األولى تكون إما صفرية أو موجبة. -2- القيود تتمثل القيود في موارد محدودة يتنافس على استغاللها واستخدامها في مجاالت مختلفة ويعبر عنها في مشكلة من خالل الكميات المتاحة منها بمعنى أنه يتم تعظيم أو تدنية المتغيرات الداخلة ضمن دالة الهدف في ظل قيود تتمثل في موارد محدودة ويعبر عن القيود في شكل معادالت خطية وهي كما يلي: متساوية : )=( متباينة : أقل من ) ( متباينة : أكبر من ) (. ومن أهم أشكال القيود ندرة عناصر اإلنتاج محدودية الطاقة للموارد المتاحة القدرة الفنية والتقنية القدرة االستيعابية للسوق العناصر الداخلة في المنتج وغيرها من أنواع القيود التي يمكن أن تواجهها المنشأة أثناء عملية اإلنتاج.

4-2- شرط عدم السلبية أي أن جميع المتغيرات الواقعة في دالة الهدف يجب ان تكون اكبر من او تساوي الصفر. - افتراضات 1-- التأكد تقوم على افتراضات أساسية : يفترض في أن جميع المتغيرات وعددها وقيم معامالتها معلومة وأن القيود وعددها وقيم معامالتها معروفة ومحددة قبل الشروع في حلها. 2-- الخطية يفترض في وجود عالقات خطية بين متغيرات المشكلة المراد حلها واالفتراض هنا هو أن متغيرات المشكلة من الدرجة األولى وال يصح أن تكون مرفوعة إلى أكثر من واحد وبناء عليه فإن العالقة بين دالة الهدف والقيود تكون مستقيمة أو خطية. والعالقة الخطية بين المتغيرات تتفرع منها أو تتكامل معها بطريقة مباشرة الخصائص التالية لمتغيرات مشكلة وهي: -- التناسبية وهذه الخاصية متكاملة مع خاصية الخطية وتعني أن الزيادة أو النقص في قيم متغيرات دالة الهدف تتناسب طرديا مع الزيادة أو النقص في قيمة أي من المتغيرات المفردة. 4-- اإلضافية أو قابلية الجمع قابلية الجمع تعنى أنه إذا تغير أحد المتغيرات فإن ذلك ستظهر نتيجته في دالة الهدف ولهذه الخاصية أهمية في تحديد المزيج اإلنتاجي األمثل والذي يحقق أقصى العوائد أو أقل التكاليف بحيث ال يؤثر زيادة أو انخفاض إنتاج معين بعينه على تحقيق أفضل النتائج. 5-- قابلية القسمة عند تطبيق على متغيرات منفصلة قد تعطي حلول تتضمن قيما والكسور غير منطقية في هذه الحاالت. فيها كسور عشرية وللتخلص من إشكالية وجود كسر في قيمة المتغير المنفصل يمكن معالجة الكسر بإحدى طريقتين وذلك إما بتقريب الكسر للحد األدنى حيث أن الحد األقصى قد يتخطى منطقة اإلمكانيات المتاحة وإما بتطبيق أسلوب مطور من وهو البرمجة الكاملة التي تقوم على افتراض األرقام الصحيحة وعدم وجود الكسور العشرية. 4

4- صياغة مشكلة مشاكل األمثلية تأتي في شكل نموذج رياضي يعبر عن المشكلة ويتم إتباع الخطوات التالية في بناء النموذج الرياضي: وضع دالة الهدف تحديد مجموعة القيود احترام شرط عدم السالبية. ويمكن وضع الصيغة العامة للبرمجة الخطية كاألتي: MAX/MINz = n i=1 m j=1 n i=1 C j X j s/c : a ij X j (, =, )b i X j حيث أن: :a ij,b i, C j ثوابت المشكلة Z: دالة الهدف X: j المتغيرات المطلوب اتخاذ القرار بشأنها b: i تمثل الموارد المحددة a: ij كمية الموارد المحددة من النوع i إلنتاج وحدة واحدة من المنتج j. j إلنتاج وحدة واحدة من المنتج i تمثل الربح أو الكلفة نتيجة تخصيص الموارد C: j قبل البدء باستخدام أي طريقة من طرق الحل للوصول إلى الحل األمثل يجب أن تكون المشكلة بأحد الشكلين القانوني أو القياسي. 1-4- الصيغة القانونية الشكل العام لنموذج يتم وصفه في الشكل القانوني كاآلتي: دالة الهدف من نوع max فقط جميع القيود من نوع اصغر أو يساوي جميع متغيرات القرار موجبة. 5

b 2-4- الصيغة القياسية تعتبر هذه الصيغة أفضل من السابقة ألنها تستخدم في الطريقة العامة المعتمدة في تحليل البرامج الخطية )سامبلكس( وأهم خصائص هذه الصيغة: دالة الهدف من نوع Max أو Min الجانب األيمن للقيود كمية موجبة i جميع القيود يعبر عنها بمعادالت ما عدا قيود عدم السالبية جميع المتغيرات تكون موجبة j X. في هذا الشكل يجب تغيير جميع القيود التي تكون على شكل متباينات إلى قيود على شكل معادالت مساواة وذلك بجمع أو طرح متغير غير سالب من الجهة اليسرى لجميع القيود كما يلي: إذا كان القيد من نوع ( ) أصغر أو يساوي يتم إضافة المتغير الموجب إلى الجانب األيسر من القيد ويسمى بالمتغير الراكد وهو يمثل النقص في الجانب األيسر للقيد مقارنة بما هو متوفر للجانب األيمن إذا كان القيد من نوع ( ) أكبر أو يساوي يتم طرح المتغير الموجب من الجانب األيسر ويسمى بالمتغير الفائض وهو يمثل الزيادة في الجانب األيسر على الجانب األيمن. مثال تقوم شركة أثاث بتصنيع عدة منتجات من األخشاب يتمثل أهمها في الكراسي والطاوالت حيث يبلغ ثمن الكرسي الواحد في السوق 1 دج ويحتاج إلى ساعة عمل واحدة في قسم النشر وساعة عمل واحدة في قسم التجميع بينما يبلغ ثمن الطاولة 4 دج وتحتاج إلى ساعتين عمل في قسم النشر وخمسة ساعات عمل في قسم التجميع وال يستطيع مدير الشركة الحصول شهريا على أكثر من مائة ساعة عمل في قسم النشر كما ال يستطيع الحصول على أكثر من مائة وخمسين ساعة عمل في قسم التجميع. في هذه الحالة يحتاج مدير الشركة إلى أن يحدد مزيج اإلنتاج من الكراسي والطاوالت الذي يحقق لمؤسسته أعلى عائد. 1- حدد النموذج الرياضي لهذه المشكلة. الحل 1- النموذج الرياضي للمشكلة لصياغة المشكلة يتم اتباع الخطوات التالية: 2 x تحديد الهدف: تعظيم العوائد تحديد المتغيرات: الكراسي والطاوالت الترميز: يعبر عن الكراسي ب وعن الطاوالت ب 6

وضع البيانات الموضحة للمشكلة في جدول: الموارد المتاحة 1 سا 15 سا x 2 2 1 قسم النشر 5 1 قسم التوزيع 4 دج 1 دج سعر البيع وضع البيانات في شكل معادالت: MAX Z= 1 + 4x 2 s/c : + 2x 2 1 + 5x 2 15, x 2 5- حل مشكلة يتم تحليل مسائل من أجل تحديد قيم المتغيرات المطلوب اتخاذ القرار بشأنها أي تحديد قيم )n,.,1,2= X( j والتي تعظم أو تقلل قيمة دالة الهدف وذلك باستخدام الطريقة البيانية في حالة وجود متغيرين أو باستخدام الطريقة العامة لتحليل البرامج الخطية )سامبلكس( عند وجود متغيرين فأكثر. 1-5- الطريقة البيانية تعتبر طريقة الرسم البياني طريقة سهلة وبسيطة وواضحة في معالجة مشاكل أي المشاكل التي ال يزيد فيها عدد المتغيرات عن متغيرتين )2( والتي تحتوي على عدد بسيط من القيود. ويمكن تلخيص خطوات الحل بهذه الطريقة في ما يلي: صياغة المشكلة رياضيا تحديد نقاط قيم المتغيرات عند كل قيد رسم معلم متعامد متجانس نقل البيانات إلى المعلم أي رسم المستقيمات المعبرة عن القيود تحديد منطقة الحل تحديد الحل األمثل. مثال المثال السابق 2- أوجد حل للمشكلة بيانيا 7

الحل 2- حل المشكلة بيانيا أوال: تحويل القيود إلى معادالت + 2x 2 = 1 + 5x 2 = 15 ثانيا: رسم مستقيمات القيود المستقيم األول x 2 5 المستقيم الثاني 1 x 2 15 ثالثا: الرسم البياني X 2 5 a 16.7 b o o 66.7 c 1 15 X 1 منطقة اإلمكانيات المتاحة هي التي تحقق كال المستقيمين وفي هذه الحالة هي المنطقة o a b c حيث يستطيع المنتج إنتاج أي كمية داخل هذه المنطقة وفق القيدين وهما : الوقت المتاح من العمل والوقت المتاح من اآللة. رابعا: تحديد النقطة التي عندها تحقق أقصى عائد الهدف من حل هذه المشكلة هو تحقيق أعلى عائد ممكن لذلك يتم اختبار دالة الهدف عند هذه النقاط o a b c 8

Les points x 2 1 + 4x 2 Z O 1. + 4. A 1. + 4. 12 B 66.7 16.7 1. 66.7 + 4. 16.7 15 C 1 1.1 + 4. 1 يالحظ أن أعلى عائد يحقق عند النقطة b أي يجب إنتاج 66.7 كرسي و 16.7 طاولة لتحقيق عائد قدره 15 دج ونتيجة ألنه ال يمكن إنتاج كسور من الكراسي أو الطاوالت يتم التقريب للقيمة األدنى حتى تكون ضمن منطقة اإلمكانيات المتاحة أي 66 كرسي و 16 طاولة ليحقق أعلى عائد قدره 1. 2-5- طريقة السامبلكس تستخدم الطريقة البيانية لحل نموذج الذي يحتوي على األكثر متغيرين ولكن عندما يزيد عدد المتغيرات عن )2( يصبح من الصعب حل النموذج باستخدام الطريقة البيانية ولهذا يتم استخدام الطريقة السامبلكس وهي طريقة رياضية مرنة ذات كفاءة عالية في استخراج الحل األمثل لمشاكل البرمجة الخطية مهما تعددت المتغيرات وتتعامل هذه الطريقة مع القيود من نوع أصغر أو يساوي ) ( فقط وتتمثل خطوات هذه الطريقة كما يلي: تحويل نموذج إلى الشكل القياسي وتصفير دالة الهدف إنشاء جدول للحل األساسي المقبول البدء بالحل يتطلب توفر شرطين أساسيين: - شرط األمثلية أي تحديد المتغير الداخل من المتغيرات غير األساسية في دالة الهدف وهو أعلى معامل بالسالب في حالة دالة الهدف من نوع max )أصغر قيمة( وأعلى معامل بالموجب بالنسبة لدالة الهدف من نوع Min )أكبر قيمة( وذلك للوصول إلى األمثلية بأسرع وقت وجهد ممكن )للوصول إلى الحل األمثل بأقل عدد من الجداول(. - شرط اإلمكانية أي تحديد المتغير الخارج من المتغيرات األساسية وذلك من خالل قسمة الطرف األيمن للقيود على العناصر المناظرة له في المتغير الداخل مع إهمال القيم السالبة والصفرية لعمود المتغير الداخل وذلك ألن الحل لن يكون ضمن منطقة الحلول الممكنة ويكون المتغير الخارج ناتج أقل نسبة قسمة. تحسين الحل األساسي المقبول حيث يجب إيجاد حل أساسي مقبول جديد يعطي قيمه أقل لدالة الهدف ولغرض بيان تأثير انتقال المتغير غير األساسي إلى أساسي على دالة الهدف يتم استخدام طريقة المستطيل مرحلة التوافق أي أنه ال يوجد حل أمثل مناظر )إال في بعض الحاالت االستثنائية( ويتوقف عن الحل عندما: - تكون جميع معامالت دالة الهدف صفرية أو موجبة في حالة Max - تكون جميع معامالت دالة الهدف صفرية أو سالبة في حالة.Min 9

مثال استخدم طريقة السامبلكس لحل المشاكل التالية: Max Z = + 9x 2 + x s/c : + 2x 2 + x 9 + 2x 2 + 2 x 15, x 2, x الحل أوال: تحويل المتباينات إلى الصيغة القياسية بإضافة المتغيرات المتممة: + 2x 2 + x + x 4 =9 + 2x 2 + 2 x + x 5 = 15 Z - + 9x 2 + x + x 4 + x 5 = ثانيا: تكوين جدول السامبلكس من الصيغة القياسية كما يلي: x 2 x b 9 2 = 4.5 x 4 1 2 * 9 15 2 = 7.5 x 5 Z -1 2-9 2-1 15 Min (b ij /a ij ) > يتم اختيار أصغر قيمة من الصف األفقي ) Z ( تقسم قيم الصف العمودي ( ij b( على قيم الصف العمودي الموافق ألصغر قيمة من الصف األفقي )Z( التي تم اختيارها ( ij a ( (b ij /a ij ) يتم اختيار القيمة ( ij a( الموافقة ألصغر قيمة موجبة وغير معدومة وتسمى هذه القيمة ب Pivot 1

إلعداد الجدول الموالي يتم اتباع الخطوات التالية: يستبدل Pivot بمقلوب قيمته يقسم الصف األفقي على قيمة Pivot يقسم الصف العمودي على القيمة السالبة لل Pivot تحسب القيم المتبقية بتشكيل مربع في الجدول السابق رؤوسه ال Pivot ومكان القيمة المراد حسابها. x 4 x b x 2 ½ ½ /2 9/2 x 5 2-1 -1 6 Z 7/2 9/2 25/2 81/2 Val = - ( 2.1 2 ) = 2 9.1 Val = (-1) - ( ) = 7 2 2 Val = 2 - ( 2. 2 ) = (-1) Val = (-1) - (. 9 2 ) = 25 2 Val = 15 - ( 9.2 2 ) = 6 Val = - ( 9. 9 2 ) = 81 2 نظرا ألن الصف األفقي )Z( كل قيمه موجبة فهذا يدل على أنه قد تم التوصل إلى الحل األمثل: X* 2 = 9/2 X* 1 = x* = x* 4 = x* 5 = Z * = + 9(9/2) = 81/2 11

6- تقييم استخدام أسلوب 1-6- مزايا استخدام أسلوب تعتبر أحد أهم وأسهل األساليب الرياضية التي القرار ومن أهم المزايا التي تتمتع بها: يتم االعتماد عليها في عملية اتحاذ إمكانية اإلستعمال األفضل لعوامل اإلنتاج في المؤسسة فاستخدام يتيح لنا دراسة جميع عوامل اإلنتاج في المؤسسة المتعلقة بالمشكلة من مواد أولية وأيدي عاملة وآالت كما يعطينا األساس العلمي اإلقتصادي للوصول إلى أعلى األرباح أو أقل التكاليف في المشكلة المعروضة تحسين نوعية القرارات المتخذة في المؤسسة ف تجبر اإلداري على أن يكون موضوعيا البرمجة أساس على قراراته إتخاذ من بدال شخصي فالبيانات والمعلومات مشكلة لتكوين تجمع التي الخطية وحلها في بيانات موضوعية مرتبطة بالمشكلة وتساعد المدير على تفهم المشكلة وإمكانية إيجاد الحل الموضوعي لها فالمسير البرمجة عليه أن يتفهم النموذج الخطية وهذا يزيد من تعد وسيلة لتعليم المسيرين وزيادة مهاراتهم األساسي للبرمجة الخطية وأن يقوم بتحليل مشاكل المؤسسة في نموذج معلوماته وقدراته المرتبطة بمشاكل المؤسسة في حلها األمثل تعبر عن كل اإلسهام الحدي والمتطلبات من عوامل اإلنتاج الخاصة بكل منتج ولقد ساعد على سرعة إنتشارها وسهولة تطبيقها إنتشار الحاسبات اإللكترونية ذات المقدرة العالية على القيام بالعمليات الحسابية المعقدة وإن كثرت المتغيرات أو القيود. 2-6- صعوبات استخدام أسلوب رغم المزايا التي يمتاز بها أسلوب فهي تواجه العديد من الصعوبات من بينها: يتطلب استخدام نموذج أن تكون العالقات خطية بين كافة عناصر المشكلة بينما يالحظ أن معظم العالقات الموجودة في الحياة العملية عالقات غير خطية األمر الذي يصعب معه استخدام نموذج لحل مثل هذه المشاكل فوضعها في صورة خطية يجعلها بعيدة عن الواقع بدرجات متفاوتة فمثال بخصوص شرط الخطية فإنه يتطلب توفر صفة إفتراض الخطية على وجه التقريب وليس شرطا مطلقا فحتى يمكن أن نقابل شرط الخطية فإنه يجب أن يتوافر لدى المنشأة نظام للمحاسبة التحليلية لتوفير المعلومات 12

يقوم نموذج على فرض عامل التأكد وهو فرض صعب القبول في الحياة العملية لذا فقد استخدم أسلوب تحليل الحساسية للتغلب على ظاهرة عدم التأكد التي تالزم الحياة االقتصادية التي قد تضطر الشخص القائم بإعداد النموذج إلى إعادة تغيير بعض القيم واستخداماتها في الحصول على الحل األمثل يصعب في بعض األحيان إستخدام أسلوب التقريب لحل نموذج وهذا للمشاكل التي تكون متغيراتها منفصلة والتي تتسم بعدم قابليتها للتجزئة وقد أمكن من إستخدام تحت ظروف المتغيرات المنفصلة هذا بإتباع أسلوب برمجة األعداد الصحيحة بالنسبة نموذج هناك بعض اإلعتبارات الكيفية التي تؤثر بدرجة كبيرة على إتخاذ القرارات والتي ال تأخذها تقنية في الحسبان نظرا ألنه اليمكن إعطائها قيما عددية عند إجراء التحليل لذلك يجب تعديل الحل األمثل بما يضمن أخذ هذه اإلعتبارات في الحسبان البرمجة نموذج إستخدام يتطلب قد الخطية كمية ضخمة على الحصول المعلومات من قد والتي يصعب الحصول عليها في الظروف العادية في الوحدات الصغيرة والمتوسطة. 7- مفاهيم أساسية الحل المقبول: الحل المقبول لمسألة هو متجه ) n X j = X) 1 X, 2 X,., التي تحقق كافة القيود الواردة في المشكلة الحل األساسي المقبول: يسمى الحل المقبول حل أساسي مقبول إذا كان عدد المتغيرات الموجبة فيه ال يتجاوز عدد القيود الحل األساسي المقبول غير المفكك: يكون الحل األساسي المقبول حال غير مفكك إذا احتوى بالضبط على m من المتغيرات الموجبة الحل األمثل: هو الحل المقبول )أي الذي يحقق كافة القيود( الذي يجعل قيمة دالة الهدف في نهايتها العظمي أو نهايتها الصغرى تحليل الحساسية: هو دراسة تأثير التغيرات في معامالت البرنامج الخطي على الحل األمثل وباستخدام تحليل الحساسية يمكن اإلجابة على األسئلة التالية: أ- ما هو تأثير التغير في معامالت دالة الهدف على الحل األمثل )أي تغير ربح الوحدة الواحدة أو التغير في تكلفة الوحدة الواحدة( ب- ما هو تأثير التغير في المصادر أو الكميات أو الطاقات )أي األمثل الجانب األيمن للقيود( على الحل كما يتضمن تحليل الحساسية أيضا حساب المدى األمثل لقيم معامالت المتغيرات في دالة الهدف وكذلك المدى الممكن للقيم على الجانب األيمن للقيود وأسعار الظل وتتم عمليات تحليل الحساسية على جدول الحل األمثل النهائي من جداول السمبالكس. 1

ةيطخلا ةجمربلا 14 جذومنلا لباقملا )قفارملا( يف ةجمربلا :ةيطخلا دنع ةشقانم لكاشم ةجمربلا ةيطخلا دبلا نم ةشقانم ةلكشم ىرخأ نم اهلكاشم يهو ةيئانثلا ثيح نرتقي امئاد لكب ةلكشم ةيلوأ جذومن رخآ قلطي هيلع ةلكشملا ةلباقملا وأ ةيئانثلا ينعيو اذه هنأ ناكملإاب ليوحت ةيأ ةلكشم يف ةجمربلا ةيطخلا ىلإ ام اهلباقي نم جذومن نمضتيو مادختسا جذومنلا ىلع لباقملا ةديدع دئاوف :اهنم ةلوهس -أ ةعرسو لصوتلا ىلإ لحلا لثملأا ثيح دق بلطتي ىدحإ لكاشملا تاءارجإ لح ةلوطم قفو ةقيرطلا ةطسبملا جذومنلل لباقملا ىلعو سكعلا نم كلذ دقف فصتت لح ةلكشملا جذومنلاب لباقملا هيلع ةبوعصلاب اهلح نوكي دنع لهسأ اهليوحت ىلإ جذومنلا يلصلأا -ب دعاست ىلع ةرادلإا ةفرعم ةميق لئادبلا ىرخلأا.رارقلل دبلا نم ةاعارم ضعب طاقنلا دنع ةيلمع ليوحتلا نم جذومن يلوأ ىلإ لباقم وأ سكعلاب اذإف تناك ةلكشملا فدهت ىلإ ميظعت حبرلا ضرتفيف نأ نوكت عيمج تانيابتملا هاجتاب دحاو رغصأ( وأ )يواسي امنيب نوكت تانيابتملا ربكأ( وأ )يواست يف ةلاح نوك ةلكشملا فدهت ىلإ ليلقت فيلاكتلا امأ اذإ تدجو ضعب تانيابتملا فلاخت ام كلذ لاف دب نم اهليوحت ىلإ هاجتلاا بولطملا و كلذ اهبرضب.)1-(يف

تمارين تمرين )1( تقوم الشركة الصناعية العامة بإنتاج نوعين من الدفاتر المدرسية: دفاتر كتابة وكراس الرسم وإلتمام العملية اإلنتاجية البد من استخدام آلة وعدد معين من ساعات العمل والوقت المتاح لآللة هو 24 ساعة بينما الوقت المتاح لعنصر العمل هو 16 ساعة تحتاج كل وحدة منتجة من دفاتر الكتابة إلى ساعتين من اآللة وساعتين من العمل بينما تحتاج كل وحدة من كراس الرسم إلى ساعات من اآللة وساعة واحدة من العمل. ويبلغ سعر كل وحدة مباعة من دفاتر الكتابة 12 دج ومن كراس الرسم 14 دج. 1- حدد كمية اإلنتاج من السلعتين التي تحقق للشركة أعلى عائد. تمرين )2( شركه تقوم بإنتاج نوعين من هياكل الدرجات النوع األول فاخر والثاني لدراجات المحترفين ويتم إنتاجها باستخدام نوعين من المواد الخام وهي األلمنيوم والحديد. الحديد األلمنيوم 4 2 الهياكل الفاخرة 2 4 هياكل دراجات المحترفين كان ربح الوحدة من الهياكل الفاخرة يقدر ب 1 دج والثاني لهياكل الدراجات المحترفين يقدر ب 15 ج. علما بأن إجمالي األلمنيوم المستخدم في األسبوع ال يتعدى 1 كجم وأن إجمالي الحديد الصلب المستخدم في األسبوع 8 كجم وذلك لتعظيم ربح الشركة. 1- كون النموذج الرياضي للمشكلة 2- ما هو عدد الهياكل التي يجب على الشركة انتاجها لتحقيق أعظم ربح. تمرين )( c b a وقدرت الشركة ربح كل وحدة ب 12 15 تنتج شركة أدوات كهربائية ثالث منتجات 9 على الترتيب وتمر المنتجات بثالثة مراحل وهي التصنيع التجميع واختبار الجودة والجدول اآلتي يوضح عدد الساعات الالزمة إلنتاج وحدة واحدة من هذه المنتجات: اختبار الجودة التجميع التصنيع المنتج 1 2 a.75 2 b.75 2 4 c 2 سا 7 سا 45 سا الوقت المتاح 1- ضع المسألة الصورة العامة للبرمجة الخطية 2- حدد كمية اإلنتاج التي تحقق للشركة أكبر ربح. 15

الحلول تمرين )1( 1- تحديد كمية اإلنتاج من السلعتين التي تحقق للشركة أعلى عائد أوال: صياغة المشكلة MAX Z= 12 + 14 x 2 s/c : 2 + x 2 24 2 + x 2 16, x 2 ثانيا: تحويل القيود إلى معادالت 2 + x 2 = 24 2 + x 2 = 16 ثالثا: رسم مستقيمات القيود المستقيم األول 12 x 2 8 المستقيم الثاني 8 x 2 16 رابعا: الرسم البياني X 2 16 a 8 b o c 8 12 X 1 Les points O A B C * = 6 ; x * 2 = 4 ; Z * = 128. 6 8 x 2 8 4 12 + 14 x 2 12. + 14. 12. + 14. 8 12. 6 + 14. 4 12.8 + 14. Z 112 128 96 16

تمرين )2( 1- تكوين النموذج الرياضي للمشكلة x: 1 الهياكل الفاخرة x: 2 هياكل دراجات المحترفين األلمنيوم: القيد األول الحديد: القيد الثاني. MAX Z= 1 + 15 x 2 s/c : 2 + 4x 2 1 +2 x 2 8, x 2 2- عدد الهياكل التي يجب على الشركة انتاجها لتحقيق أعظم ربح أوال: تحويل القيود إلى معادالت 2 + 4x 2 = 1 4 +2 x 2 = 8 ثانيا: رسم مستقيمات القيود المستقيم األول 2 x 2 25 المستقيم الثاني 8 x 2 4 ثالثا: الرسم البياني x 2 4 a 25 b o c 2 5 X 2 17

Les points O A B C x * 1 = 1 ; x * 2 = 2 ; Z * = 4. 1 2 x 2 25 2 1 + 15 x 2 1. + 15. 1. + 15. 25 1. 1 + 15. 2 1.2 + 15. Z 75 4 2 تمرين )( 1- النموذج الرياضي للمشكلة x: 1 كميه اإلنتاج من المنتج a x: 2 كميه اإلنتاج من المنتج b x: كميه اإلنتاج من المنتج c الهدف: تعظيم الربح ساعات العمل في مرحلة التصنيع: القيد األول ساعات العمل في مرحلة التجميع: القيد الثاني ساعات العمل في مرحلة اختبار الجودة: القيد الثالث MAX Z= 15 + 12 x 2 + 9 x s/c : 2 + x 2 + 4x 45 + 2x 2 + 2x 7 +.75x 2 +.75x 2, x 2, x 1- تحديد عدد األيام المطلوب تشغيل العمال فيها من كل منجم للوفاء بالتزام الشركة أوال: تحويل المتباينات إلى الصيغة القياسية بإضافة المتغيرات المتممة: 2 + x 2 + 4x + x 4 = 45 + 2x 2 + 2x + x 5 = 7 +.75x 2 +.75x + x 6 = 2 Z - 15-12 x 2-9 x = ثالثا: تكوين جدول السامبلكس من الصيغة القياسية كما يلي: 45 2 = 225 7 =12. 2 1 =2 x 4 x 5 x 6 Z 2 * 1-15 x 2 2.75-12 x 4 2.75-9 b 45 7 2 Min (b ij /a ij ) > 18

122 185 92 x 4 x 6 Z x 5-2/ 1/ -1/ 5 x 2 5/ * 2/ 1/12-2 x 8/ 2/ 1/12 1 b 61/ 7/ 2/ 185 Val = - ( 2.2 ) = 5 Val = 4- ( 2.2 ) = 8 Val = 45- ( 7.2 ) = 61 Val =.75- ( 2.1 ) = 1 12 Val =.75- ( 2.1 ) = 1 12 Val = 2- ( 7.1 ) = 2 Val = (-12) - ( 2. 15 Val = - ( 2. 15 ) = 1 Val = (-9) - ( 7. 15 ) = -2 ) = 185 Min (b ij /a ij ) > 26.25 24.2 14.41 x 2 x 6 Z x 5 -.4.6 -. 42 x 4.6 -.4 -.5 12 x 1.6 -.4 -.5 42 b 122 42 66.5 294 Val = 1 - ( 2. 2 5 Val =- 1 - ( 1 12. 2 5 ) =.6 ) =. Val = 5- ( ( 2). 2 5 ) = 42 Val = 2 2 - (.8 ) =.4 5 Val = 1 12 - ( 1 12.8 5 ) =.5 Val = 1- ( ( 2).8 5 ) 42 Val = 7 - ( 2.61 5 ) = 42 19

Val = 2 - ( 1 12.61 5 ) = 66.5 Val = 185- ( ( 2).61 5 ) =294 * = 42 x 2 * = 122 x *, x 4 *, x 5 *, x 6 * = Z * = 294 كل قيم الصف األفقي ل Z موجبة وبالتالي تم التوصل إلى الحل األمثل: 2

خاتمة أسلوب رغم ما يواجهه من صعوبات في بعض مجاالت التطبيق سواء تعلقت هذه الصعوبات بافتراضات األسلوب أو عدم توفر ما يتطلبه من بيانات إال أن نطاق استخدامها واسع في المجاالت المختلفة للتخطيط وإتخاذ القرارات فدخول الحاسبات اإللكترونية ساعد كثيرا على تطوير استخدام واعتمادها في عملية اتخاذ القرار. الطبيعة الرياضية لألسلوب تتطلب وضع المشكلة المراد حلها في شكل نموذج رياضي يتضمن ثالث أركان رئيسية )دالة الهدف القيود الموضوعية وشرط عدم السلبية( ويقوم على افتراضات تتمثل في الوجود عالقة خطية بين المتغيرات والتأكد من صحة البيانات والمعلومات المتوفرة إضافة إلى قبلية الجمع والقسمة والتناسبية. ويرجع اتساع نطاق استخدام أسلوب في عملية اتخاذ القرار إلى ما توفره من وقت وجهد باإلضافة إلى الدقة في اتخاذ القرارات. وقد تطور أسلوب حيث أصبح يعالج اعتمادا على برامج آلية من بينها برنامج winqsb وهو برنامج متطور يعالج مشاكل ومشاكل اتخاذ القرار آليا مما يوفر الدقة في النتائج وسرعة وسهولة التوصل إليها. 21

المراجع 1 -سهيلة عبد هللا سعيد. األساليب الكمية وبحوث العمليات. دار الراية للنشر والتوزيع عمان: األردن. 26. 2- حمدي طه. مقدمة في بحوث العمليات ترجمة أحمد حسين علي حسين. دار المريخ للنشر الرياض: م ع السعودية. -علي هادي جبرين. االتجاهات واألدوات الكمية في اإلدارة. دار الثقافة للنشر والتوزيع عمان: االردن. 28. 4- صديق نصار "" الجامعة اإلسالمية كلية التجارة قسم إدارة األعمال فلسطين.28 5- كارزان مهدي غفور "درس " الجامعة السليمانية كلية اإلدارة واإلقتصاد قسم إدارة األعمال األردن 212/211. 22