محاضرات 011 احص " مقدمة في اإلحصاء" احص " مقدمة في اإلحصاء"

النسخ

1 محاضرات 011 احص " مقدمة في اإلحصاء" 0

2 بسم هللا الرحمن الرحيم مقدمة في اإلحصاء األول الفصل مقدمة في علم اإلحصاء واإلحتماالت, وذلك تعريف علم اإلحصاء : هو العلم الذي يختص بالطرق العلمية لجمع البيانات وتنظيمها وتلخيصها وتحليلها للوصول إلى نتائج مقبولة وقرارات سليمة على ضوء هذا التحليل. ينقسم علم اإلحصاء إلى : اإلحصاء الوصفي : ويختص بتنظيم البيانات وتلخيصها, والغرض من التنظيم هو المساعدة على فهم البيانات, ويشتمل اإلحصاء الوصفي على توزيعات تكراريه ورسوم بيانيه وطرق حساب النزعة المركزية ومقاييس التشتت ومختلف القياسات األخرى. اإلحصاء اإلستداللي : ويختص بعملية اتخاذ القرارات المناسبة بشأن المجتمع بناء على المعلومات التي تم الحصول عليها من العينة المتغيرات : المتغير : هو أي ظاهرة أو خاصية أو حدث تقوم بقياسها و تتغير قيمتها من عنصر إلى آخر. بعض األمثلة على المتغيرات : الوزن لمجموعة من األطفال تحت السادسة, الطول لطلبة الجامعة الحالة التعليمية لمجموعة من المتزوجات, أما القيم التي يأخذها المتغير فتسمى بالبيانات وهي عبارة عن مجموعة المشاهدات أو المالحظات المأخوذة أثناء الدراسة. 1

3 تنقسم البيانات إلى : بيانات وصفية : وهي تلك البيانات التي تصف األفراد والمجتمع وال يمكن قياسها مباشرة باألرقام العددية مثل لون الشعر أو العينين وغيرها. )0 وتنقسم البيانات الوصفية إلى : أ- بيانات وصفية يمكن ترتيب الصفات فيها مثل الحالة التعليمية و التقدير في أحد المواد. ب- بيانات وصفية ال يمكن ترتيب الصفات فيها مثل تخصصات مجموعة من الطالبات. بيانات كمية أو رقمية : وهي تلك البيانات التي يمكن قياسها مباشرة بأرقام عددية مثل الطول أو الوزن أو العمر. )2 وتنقسم البيانات الكمية إلى : أ- بيانات مستمرة أو متصلة وفيها تأخذ البيانات أي قيمة رقمية وتكون ألي درجة من الدقة وتكون ناتجة عن استخدام جهاز أو أداة القياس مثل الطول, الوزن و درجة الحرارة. ب- بيانات متقطعة أو منفصلة وتأخذ المشاهدة فيها أعداد صحيحة ناتجة عن عملية عد أو تعداد مثل عدد األطفال في أسرة, عدد الثمار على االنباتات, عدد الطلبة في مقرر الرياضيات... وهكذا. المجتمع اإلحصائي والعينة اإلحصائية : المجتمع : عبارة عن جميع القيم أو المفردات التي يمكن أن يأخذها المتغير, أيضا يعرف على أنه جميع األفراد أو األشياء محل الدراسة. فمثال إذا كانت دراستنا متعلقة بأطوال طلبة جامعة ما فإن المجتمع في هذه الحالة هو جميع الطلبة في تلك الجامعة. 2

4 ينقسم المجتمع اإلحصائي إلى : محدود: وهو الذي يكون فيه عدد محدود من األفراد مثل عدد طالب 100 إحص في الفصل الدراسي األول لعام 1432 ه. غير محدود : وهو الذي يكون فيه عدد األفراد غير منته )غير محدود( مثل عدد طالب 100 إحص للسنوات العشر القادمة )على فرض استمرار المقرر( في معظم األحيان يكون من الصعب أو االستحالة مالحظة بيانات جميع أفراد المجتمع مثل البحث الذي يجري لمعرفة نسبة األمية في دولة أو مدينة و البحث الذي يهدف إلى حصر حبات القمح المحصود, وللتغلب على ذلك يمكن اختيار جزء من المجتمع يسمى بالعينة. وتعرف العينة: على أنها جزء من المجتمع تختار بحيث تمثل المجتمع تمثيال جيدا. أسباب ضرورة دراسة العينة بدال من المجتمع : صعوبة أو استحالة فحص المجتمع بالكامل وذلك بسبب: أ( كبر حجمه كما في تقدير الثروة السمكية في مجتمع ما. ب( الفحص قد يكون متلفا للوحدات كما في فحص عمر لمبات إلنتاج مصنع معين. ت( الفحص قد يكون مؤذيا للوحدات مثل فحص دم المريض. التكاليف واإلمكانيات )فحص المجتمع كله يكلف كثير من الجهد والمال( في إظهار النتائج. دقة البيانات والمعلومات وذلك بسبب إمكانية استخدام اشخاص ذوي كفاءة عالية ومدربين

5 المعلمة واإلحصاءة : للمجتمع مقاييس متعددة كالوسط الحسابي والتباين, كما أن للعينة مقاييس متشابهة. يميز عادة بين قيم هذه المقاييس, فكل قيمة من القيم التي تتعلق بخصائص المجتمع تسمى معلمة أما تلك التي تتعلق بالعينة فتسمى إحصاءه ومن ثم يمكن القول أن: المعلمة : مقياس ( أو قيمة عددية ) يتم الحصول عليها من المجتمع مثل المتوسط ألطوال طالب جامعة الملك سعود في العام الحالي ويرمز له بالرمز μ كذلك تباين هؤالء الطالب. أما اإلحصاءة : فهي مقياس )أو قيمة عددية ) يتم الحصول عليها من العينة مثل أطوال عينة من. طالب جامعة الملك سعود ويمز له بالرمز وكذلك تباين العينة مصادر جمع البيانات اإلحصائية : المصدر األول تاريخي : وهو مايؤخذ من السجالت المحفوظة مثل سجالت المواليد وغيرها. المصدر الثاني ميداني : وهو عبارة عن البيانات المجموعة من أفراد المجتمع كله أو جزء منه باإلتصال المباشر ( المقابة الشخصية ) أو غير المباشر مثل البريد أو التليفون. )1 )2 4

6 الثاني الفصل المقاييس اإلحصائية تنقسم المقاييس اإلحصائية إلى قسمين: مقاييس النزعة المركزية. مقاييس التشتت..0.2 أوالا: مقايسس النزعة المركزية الوسط الحسابي وهو من أهم مقاييس النزعة المركزية واألكثر استخداما في اإلحصاء و في الحياة العملية. )1 ( تعريف: إذا كان لدينا مجموعة من المشاهدات للمتغير X وهي ويرمز له ) يساوي مجموع المشاهدات مقسوما على عددها. فإن الوسط الحسابي مثال )1( أوجدي الوسط الحسابي للمشاهدات التالية : 2, 3, 5, 7, 10 5

7 خصائص الوسط الحسابي 0. المجموع الجبري إلنحرافات القيم عن وسطها الحسابي يساوي صفر. إذا جمعنا أو طرحنا من المشاهدات األصلية جميعها قيمة ثابتة ولتكن a فإن الوسط الحسابي للمشاهدات بعد الجمع يساوي الوسط الحسابي قبل الجمع مضافا إليه الثابت. a أي أن الوسط الحسابي )بعد الجمع( = الوسط الحسابي )قبل الجمع( +a الوسط الحسابي )بعد الطرح( = الوسط الحسابي )قبل الطرح( -a.2 إذا ضربنا أو قسمنا من المشاهدات األصلية جميعها قيمة ثابتة ولتكن b فإن الوسط الحسابي للمشاهدات بعد الضرب يساوي الوسط الحسابي قبل الضرب مضروبا في الثابت b. أي أن الوسط الحسابي )بعد الضرب( = الوسط الحسابي )قبل الضرب( *b الوسط الحسابي )بعد القسمة( = الوسط الحسابي )قبل القسمة( \ b.3 مميزات الوسط الحسابي مقايس سهل ويخضع للعمليات الجبريه بسهوله. يأخذ في اإلعتبار جميع القيم محل الدراسة. هو أكثر المقاييس فهما في اإلحصاء عيوب الوسط الحسابي يتأثر بالقيم المتطرفة ( وهي القيم الكبيرة جدا أو الصغيرة جدا ) يصعب حسابه في حالة البيانات الوصفية. يصعب حسابه في حالة الجداول التكرارية المفتوحة حيث يتطلب معرفة مركز كل فئة

8 الوسيط عند ترتيب البيانات تصاعديا أو تنازليا يكون الوسيط هي القيمة التي تقع قبلها 50% من المشاهدات في الترتيب و 50% من المشاهدات بعدها في الترتيب أي أنها القيمة التي تقسم البيانات إلى قسمين متساويين ( المشاهدة التي تقع المنتصف (. )2 مميزات الوسيط ال يتأثر بالقيم المتطرفة. يمكن حسابه في حالة البيانات الوصفية التي يمكن ترتيبها. يمكن حسابه في حالة الجداول التكرارية المفتوحة للبيانات الكمية عيوب الوسيط ال يأخذ جميع القيم في اإلعتبار عند حسابه. ال يسهل التعامل معه في التحاليل اإلحصائية والرياضية..0.2 المنوال وهو القيمة األكثر تكرارا بين البيانات )المشاهدات(. وينقسم المنوال إلى: 0. عديم المنوال ( أي ال يوجد منوال (. 2. وحيد المنوال ( أي يوجد منوال واحد فقط (. 3. متعدد المنوال ( أي يوجد أكثر من منوال(. )3 مميزات المنوال هو مقياس من السهل حسابه. يمكن إيجاده للبيانات الكمية والوصفية واالتوزيعات التكرارية المفتوحة..0.2 عيوب المنوال ال يأخذ جميع القيم في اإلعتبار عند حسابه. قد يكون لبعض البيانات أكثر من منوال وبذلك ال يمكن تحديد قيمة واحدة للمنوال. بعض البيانات ال يكون لها منوال

9 ثانياا: مقاييس التشتت مقاييس النزعة المركزية غير كافية للمقارنة بين طبيعة البيانات اإلحصائية فبالتالي مقايسس التشتت وهي وجدت المدى وهو الفرق بين أكبر قيمة وأصغر قيمة في مجموعة البيانات. المدى = أكبر قيمة أصغر قيمة )1 مثال )2( أحسبي المدى للقيم التالية : 80 90, 110, 50, 100, = = المدى مميزات المدى من السهل حسابه. يعطي فكرة سريعه عن طبيعة البيانات. يستخدم كثيرا لمراقبة اإلنتاج ووصف األحوال الجوية عيوب المدى يعتمد على قيمتين فقط ويهمل باقي البيانات. يتأثر بالقيم المتطرفة فهو مقياس تقريبي ال يعتمد عليه ( نصف المدى الربيعي هو نصف الفرق بين أكبر ربيع وأصغر ربيع نصف المدى الربيعي = 8

10 حيث هناك ثالث ربيعات ( Quartiles ) وهي كالتالي ) و 75% ( القيمة التي تكون فيها 25% من البيانات أقل منها قبلها من : الربيع األول : البيانات أكبر منها ( بعدها (. ) و 50% ( :الربيع الثاني : القيمة التي تكون فيها 50% من البيانات أقل منها قبلها من البيانات أكبر منها ( بعدها ) وهو يساوي الوسيط. ) و 25% ( :الربيع الثالث : القيمة التي تكون فيها 75% من البيانات أقل منها قبلها من البيانات أكبر منها ( بعدها (. مميزات نصف المدى الربيعي يتخلص من القيم المتطرفة. يمكن حسابه للتوزيعات التكرارية المفتوحة..0.2 عيوب نصف المدى الربيعي ال يأخذ جميع القيم في اإلعتبار عند حسابه. ال يسهل التعامل معه في التحاليل اإلحصائية..0.2 )3 التباين ( Variance ) و اإلنحراف المعياري ( St.deviation ) : اإلنحراف المعياري هو متوسط مربع انحرافات القيم عن وسطها الحسابي ويرمز له بالرمز )S( وهو الجذر التربيعي للتباين والذي يرمز له بالرمز ( 2 S(. أي أن التباين= 2 )اإلنحراف المعياري(. خصائص اإلنحراف المعياري 9

11 إذا جمعنا )أو طرحنا( مقدار ثابت من جميع القيم فإن اإلنحراف المعياري الجديد بعد الجمع )أو الطرح( هو نفس اإلنحراف المعياري قبل الجمع )أو الطرح( وكذلك بالنسبة للتباين. إذا ضربنا )أو قسمنا( مقدار ثابت وليكن a من جميع القيم فإن اإلنحراف المعياري الجديد بعد الضرب )أو القسمه( يساوي اإلنحراف المعياري قبل الضرب )أو القسمه( مضروب )أو مقسوم( في )على( a. أي أن اإلنحراف المعياري )الجديد( = اإلنحراف المعياري )قبل الضرب(* a. اإلنحراف المعياري )الجديد( = اإلنحراف المعياري )قبل القسمه( / a. إذا ضربنا )أو قسمنا( مقدار ثابت وليكن a من جميع القيم فإن التباين الجديد بعد الضرب )أو القسمه( يساوي التباين قبل الضرب )أو القسمه( مضروب )أو مقسوم( في )على(.a 2 أي أن التباين )الجديد( = التباين )قبل الضرب(* a. 2 التباين )الجديد( = التباين )قبل القسمه( / 2 a ( معامل اإلختالف هو مقياس ال يعتمد على وحدات المقارنة, ويستخدم إليجاد أي المتغيرين أو المجموعتين أكثر تشتتا أو أكثر إختالفا أو أقل تجانسا. مثال على ذلك مقارنة الطول مع الوزن. ويرمز له بالرمز C.V وتحسب قيمته بطريقتين 0. معامل اإلختالف = اإلنحراف المعياري \ الوسط الحسابي. 2. معامل اإلختالف = )الربيع الثالث الربيع األول( \ )الربيع الثالث + الربيع األول( 10

12 )وتستخدم أي من الطريقتين حسب معطيات السؤال( مثال )3( إذا كان لدينا المجموعتان: المجموعة الثانيه المجموعة األولى 68.2 الوسط الحسابي اإلنحراف المعياري 8.07 أي من المجموعتان أكثر تشتتا أو أقل تجانسا مالحظة : ال يمكن المقارنة عن طريق التباين ألن الو حدات في هذا السؤال غير معروفة. اإلجابة : بما أن الوحدات غير معروفة وأن فيمكن استخدامه في هذا المثال. معامل اإلختالف هو مقياس ال يعتمد على وحدات المقارنة معامل اإلختالف )المجموعة األولى( = اإلنحراف المعياري \ الوسط الحسابي معامل اإلختالف )المجموعة الثانيه( = اإلنحراف المعياري \ الوسط الحسابي بما أن قيمة معامل اإلختالف للمجموعة األولى أكبر فإن المجموعة األولى هي األكثر تشتتا وأقل تجانسا من المجموعة الثانيه. 5( الدرجه المعياريه 11

13 هي مقارنة بين شخص أو مفردة في المجموعة األولى مع شخص أو مفردة في المجموعة الثانيه, مثال على ذلك مقارنة طول فاطمة بين طالبات فصلها مع طول أختها أسماء بين طالبات فصلها. تعريف والتي متوسطها )وسطها إذا كان لدينا مجموعه من المشاهدات للمتغير X وهي الحسابي( هو وانحرافها المعياري S فإن الدرجة المعياريه Z تحسب عن طريق الدرجة المعياريه = )القيمة وسطها الحسابي(\ انحرافها المعياري مثال )4( حصل طالب على 22 درجة في مقرر اإلحصاء حيث متوسط الدرجات لإلحصاء هو 57 وانحراف معياري 01 درجات, وحصل على 28 درجة في مقرر الرياضيات وكان متوسط الدرجات للرياضيات هو 20 واالنحراف المعياري 01 درجة. في اي المقررين كانت درجة استيعاب هذا الطالب أعلى مثال )5( في دراسة على أعمار عينة من طالبات الجامعة, وجد أن متوسط عمر الطالبة في كلية اآلداب هو 20 سنة واإلنحراف المعياري لها هو 7 سنوات, بينما يبلغ متوسط عمر الطالبة في كلية العلوم 08 سنة والتباين لها 8 سنوات. أي من المجموعتين أكثر تجانسا في العمر إذا كان عمر طالبة في كلية اآلداب هو 22 سنة وعمر طالبة في كلية العلوم هو 21 سنة فأي الطالبتين يعتبر عمرها أعلى من المعدل

14 مثال )6( إذا كان المستوى التعليمي لعدد من الزوجات هو: ثانوي ابتدائي ثانوي جامعي متوسط ابتدائي ابتدائي. احسبي الوسيط لمستوى التعليم مثال )7( أوجدي الوسيط لكل من البيانات التالية: 60, 72, 40, 80, 63 3, 2, 5, 4, 1, مثال )8( البيانات التالية لعينة من 01 طالبات في أحد معاهد اللغات حسب اللغة التي تدرسها: فرنسي إنجليزي أسباني أسباني إنجليزي إنجليزي فرنسي ألماني إيطالي احسبي منوال اللغة مثال )9( أوجدي المنوال لكل من البيانات التالية: 3, 5, 2, 6, 5, 9, 5, 2, 8, , 48.7, 50.3, 49.5,

15 2, 4, 6, 2, 6, 1, 7-3 الفصل الثالث تنظيم البيانات وعرضها جدولياا مقدمة: عند جمع البيانات الخاصة بدراسة ظاهرة ما فإنها تكون بيانات أولية ال يمكن االستفادة منها, لذلك فإنها غالبا ما تنظم وتلخص في جداول مبسطة أو يعبر عنها في صورة أشكال ورسوم بيانية لكي يسهل فهمها ودراستها وتحليلها. أول مرحلة للتحليل اإلحصائي تتكون من تصميم جدول التوزيع التكراري وهو عبارة عن جدول يلخص البيانات األولية فيوزعها على فئات ويحدد عدد األفراد الذين ينتمون إلى كل فئة. تكوين جدول التوزيع التكراري للبيانات الوصفيه: لتكوين جدول التوزيع التكراري ينبغي أن يعمل أوال جدول يتم فيه تفريغ البيانات اإلحصائية, وهو يتكون من ثالث خانات: األولى : تكتب فيها الصفة للبيانات الوصفيه وتوضع فيها الصفات التي لدينا ( مرتبة إذا أمكن (. الثانية : العالمات وهي عبارة عن حزم مكونه من 7 خطوط أربعة رأسية والخامسه مائله ( وبذلك تصبح الحزمة على الصورة ) وهي تمثل البيانات التي لدينا. أما الخانة الثالثة : فهي مجموع العالمات وتسمى بالتكرار. ومن هذا الجدول نكون جدوال أخر يسمى بالجدول التكراري أو جدول التوزيع التكراري وهو يتكون من الخانة األولى والثالثة من جدول تفريغ البيانات اإلحصائية. التكرار النسبي : 14

16 هو حاصل قسمة التكرار على المجموع الكلي للتكرارات. التكرار النسبي = التكرار المجموع التكرار المئوي: هو حاصل قسمة التكرار على المجوع الكلي للتكرارات مضرب في مائه. التكرار المئوي = التكرار المجموع المتغير التكرار التكرار النسبي التكرار المئوي المجموع حجم العينة = n مثال )1( : عينة مكونة من 01 طبيبة في مستشفى الملك خالد الجامعي كانت تخصصاتهن كالتالي: باطني أطفال أنف و أذن عيون أطفال أنف وأذن باطني باطني أطفال باطني اسم المتغير : التخصص حجم العينة : 01 أنف وأذن أنف وأذن أطفال عيون باطني باطني أطفال باطني باطني أطفال أنف و أذن أطفال باطني عيون باطني باطني عيون باطني أنف و أذن أطفال أنف و أذن أنف و أذن باطني عيون أطفال المجتمع: طبيبات مستشفى الملك خالد الجامعي نوع البيانات : وصفي عيون باطني أطفال باطني أطفال جدول تفريغ البيانات اإلحصائية التخصص أطفال العالمات التكرار 11 15

17 15 باطني 6 عيون 8 أنف وأذن المجموع جدول التوزيع التكراري. التخصص التكرار التكرار النسبي التكرار المئوي أطفال باطني عيون أنف وأذن المجموع التمثيل البياني : االعمدة البيانية أطفال باطني عيون أنف وأذن 0 ماهو عدد الطبيبات الالتي تخصصهن أنف وأذن ماهو عدد الطبيبات الالتي تخصصهن عيون ما نسبة الطبيبات الالتي تخصصهن باطني ما التكرار النسبي للطبيبات الالتي تخصصاتهن أطفال و عيون ما النسبة المئوية للطبيبات الالتي تخصصهن عيون )0 )2 )3 )0 )7 16

18 1( احسبي المنوال مثال )2( سئلت مجموعة من الطالبات عن مستوى اختبار ما فكانت إجاباتهن كالتالي: متوسط, متوسط, متوسط, سهل, صعب, فوق المتوسط, صعب, فوق المتوسط, صعب, متوسط, سهل, صعب, فوق المتوسط, سهل, صعب. 0( مستوى اإلختبار األكثر شيوعا. 2( الوسيط لمستوى اإلختبار. 3( إعرضي هذه البيانات في جدول تكراري ثم مثليه بيانيا. مثال )3( في دراسة لنوع العصير المفضل لدى األطفال أخذت عينة من 02 طفل في المرحلة االبتدائية من إحدى مدارس الرياض وكانت البيانات التالية: عصير تفاح عصير مانجو عصير فراولة عصير برتقال عصير فراولة عصير مانجو عصير تفاح عصير فراولة عصير ليمون عصير مانجو عصير مانجو عصير فراولة عصير فراولة عصير ليمون عصير برتقال عصير مانجو عصير فراولة عصير مانجو. 0( إعرضي هذه البيانات في جدول توزيع تكراري. 2( أحسبي المقياس المناسب من مقاييس النزعة المركزية. 17

19 3( مثلي هذه البيانات بيانيا. الفصل الرابع مباديء اإلحتماالت مقدمة نطرية اإلحتمال تعتبر أساس علم اإلحصاء, وكلمة إحتمال تستخدم كثيرا في حياتنا اليوميه فمثال يقال أن هناك إحتمال كبير أن تظهر نتيجة اإلختبار غدا. أو يقال إحتمال نجاحي في هذه المادة ضعيف وغيره من األمثلة. أما من الناحية العلمية فإن إحتمال وقوع حدث ما هو قيمة عددية بين الصفر والواحد كلما إقترب من الواحد كلما زاد فرصة وقوعه وكلما إقترب من الصفر قلت فرصة حدوثه. هذا ومعظم أمثلة اإلحتماالت مبنية على التجارب التالية: تجارب حجر النرد:وهو عبارة عن مكعب له ستة أوجه كل وجه يأخذ رقما من 0 إلى 1. تجارب قطعة النقود: لقطعة النقود وجهان الصورة ونرمز لها ب H والكتابه ونرمز لها ب T. تجارب صندوق الكرات: وهو صندوق يحتوي على كرات مختلفة األلوان. )0 )2 )3 مصطلحات وتعاريف التجربة العشوائية: هي التجربة التي تكون جميع نتائجها معلومة مسبقا ولكن ال يمكن ألحد التنبؤ بحدوث أي من هذه النتائج أوال. أمثلة على التجربة العشوائية 0- رمي قطعة النقود. 2- رمي حجر النرد. 3- قياس ضغط الدم لمريض. 0- نوع المولود )ولد أو بنت(. )0 18

20 فضاء أو فراغ العينة : هو مجموعة جميع النتائج الممكنة للتجربة العشوائية ويرمز له بالرمز S. مثال : عند رمي حجر النرد مرة واحدة فإن {6,1}=S,2,3,4,5. )2 في التجربة العشوائية التي تمر بأكثر من مرحلة يمكن إيجاد فراغ العينة بأحد الطرق التالية: الشجرة البيانية. الجداء الديكارتي. الشبكة التربيعية مثال )1( أوجدي فراغ العينة عند رمي قطعة نقود مرتين مثال )2( أوجدي فراغ العينة لتجربة عشوائية مكونة من إلقاء حجر نرد ثم سحب كرت عشوائيا من بين 3 كروت عليها األرقام,1.,3 5 مثال )3( أوجدي فراغ العينة لتجربة عشوائية مكونة من إختيار بطاقتين مع إعادة من مجموعة من ثالث بطاقات عليها األرقام.,1,2 3 وأوجدي فراغ العينة إذا كان اإلختيار بدون إعادة. 19

21 مثال )4( ثالث سيدات ينتظرون الوالدة, إكتبي فراغ العينة لنوع المواليد الثالث. تمرين واجب: يرغب مكتب الستقدام األيدي العاملة في استقدام أفراد بالشروط التالية: النوع ( ذكر أنثى (. المؤهل ( جامعي متوسط (. اللغة ( عربي انجليزي (. )0 )2 )3 اكتبي فراغ العينة الذي يمثل اإلمكانيات المختلفة لخصائص الفرد المطلوب. أنواع فراغ العينة فراغ منته وهو الذي يحتوي على عدد محدود من العناصر. فراغ غيرمنتهي وقابل للعد, مثال: {,2,0}=S,1. فراغ غير منتهي وغير قابل للعد, مثال: {عدد حقيقي.S={X: )0 )2 )3 وسوف ندرس فقط فراغ العينة من النوع األول أي فراغ منته. الحادثة أو الحدث تعرف الحادثة A بأنها مجموعة جزئية من فراغ العينة S. ويقال أن الحادثة قد وقعت إذا ظهر )عند إجراء التجربة( واحد أو أكثر من النتائج المحتملة للتجربة التي تكون الحادثة A. مثال : إذا كان فراغ العينة {6,,2,1}=S النتائج من رمي حجر نرد مرة واحدة وكانت الحادثة B تمثل ظهور عدد زوجي فإن {6,2}=B,4 وتكون. 20

22 , مالحظة : فراغ العينة S يعتبر مجموعة جزئية من نفسه, أي أن وتكون S هي حدث وتسمى الحادثة األكيدة. وكذلك وتسمى بالحادثة المستحيلة. مثال )5( أحسبي الحوادث التالية وعدد عناصر كل حادثة بالنسبة للتجربة العشوائية المتمثلة في رمي قطعة نقود مرتين. } الحصول على صورة من الرمية األولى }=A } الحصول على كتابة من الرمية األولى }=B } الحصول على صورة واحدة على األقل }=C } الحصول على كتابة على األكثر }=D خالل دراسة اإلحتماالت نحتاج إلى الحوادث التالية: اتحاد الحادثتين A و B أي : تتكون الحادثة من عناصر فراغ العينة S الموجودة إما في A أو B أو في اإلثنين معا. وقوع الحادثة يعني وقوع إحداهما على األقل ( حدوث إحداهما أو كالهما (. تقاطع الحادثتين A و B أي : تتكون الحادثة من عناصر فراغ العينة S الموجودة في كال من A و B. وقوع الحادثة يعني وقوع A ووقوع ( B وقوع اإلثنين معا (. الحادثة المكملة : )1 )2 )3 21

23 تتكون من عناصر فراغ العينة S الغير موجودة في الحادثة A. يعني عدم وقوع وقوع. A ويرمز له ايضا بالرمز. مثال )6( احسبي الحوادث التالية وعدد عناصرها بالنسبة لفراغ العينة S متتاليتين : الرمية األولى = X, الثاني =.Y الناتج من رمي حجر نرد مرتين A={(x,y): X+Y < 4} B={(x,y): x=y} C={(x,y): x=5} D={(x,y): x+y =1} E={(x,y): x>y } ثم أحسبي األحداث التالية : وعدد عناصرها. 22

24 مثال )7( معرفتان على فراغ العينة لتجربة عشوائية. عبري بكلمات واضحة للحوادث الحادثتان A و B التالية: تمرين واجب رمي حجر نرد وقطعة نقود, إكتبي فراغ العينة للحواث التالية وعدد عناصرها: : A ظهور عدد زوجي على حجر النرد. : B ظهور H على قطعة النقود. : C ظهور H على قطعة النقود و عدد أقل من 3 على حجر النرد. : D ظهور T على قطعة النقود وعدد اليقل عن 3 على حجر النرد. 23

25 ثم أحسبي قبل الدخول في تعريف اإلحتمال نعرض بعض الحاالت الحاالت المواتية ( المفضلة ) : هي الحاالت التي تؤدي إلى تحقيق الحادث المراد دراسته. مثال: في حالة رمي حجر النرد فإذا كان الحادث المطلوب هو الحصول على عدد زوجي فالحاالت التي تحقق ظهور هذه الحادثة هي الحصول على 2 أو 4 أو 6 فهذه الحاالت الثالثة تسمى الحاالت المواتية. الحاالت المتماثلة أو المتساوية الفرص : هي الحاالت التكافئة و المتساوية في إمكانية حدوثها. أمثلة: رمي قطعة نقود متزنة, رمي حجر نرد متجانس, سحب كرة من صندوق به مجموعة من الكرات المتساوية في الحجم والكثافة والملمس. الحاالت المتنافية: يقال عن الحادثتين A و B متنافيتين إذا إستحال وقوع الحدثين معا أي عندما يكون وتمثل بأشكال فن. S )1 )2 )3 A B 4( الحوادث الشاملة : 24

26 إذا كان لدينا مجموعة من الحوادث عند إجراء تجربة عشوائية ما فإنه يقال لهذه الحوادث السابقة شاملة إذا كان البد من حدوث أحدهم عند إجراء هذه التجربة أي. عندما يكون : مثال: عند إلقاء حجر نرد فإن الحوادث البسيطة {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6} تعتبر حوادث شاملة. التعريف التقليدي لالحتمال إذا كان لدينا تجربة عشوائية جميع نتائجها متماثلة أي أنها متساوية الفرصة في الظهور وكان فراغ العينة S يحتوي على عدد منته من العناصر فإن حيث عدد عناصر الحدث A. عدد عناصر فراغ العينة. مثال )8( اعتبري التجربة العشوائية مكونة من رمي قطعة نقود وزهرة نرد. 0( إكتبي فراغ العينة. 2( احسبي اإلحتماالت لألحداث التالية: : A الحصول على صورة. : B الحصول على الوجه الذي عليه رقم 3. 25

27 : C الحصول على صورة ورقم أكبر من 4. : D الحصول على صورة ورقم أقل من 3. ثم احسبي مثال )9( أعلنت الجامعة عن حاجتها إلى عدد من الموظفات وبعد تصنيف المتقدمات لهذه الوظيفة وفقا للمؤهل ولسنوات الخبرة حصلنا على الجدول التالي: المجموع ال تحمل شهادة جامعية تحمل شهادة جامعية لديها خبرة ليس لديها خبرة المجموع اخترنا شخصا بصورة عشوائية ما احتمال أن تكون ممن يحملن شهادة جامعية. ما احتمال أن تكون لديها خبرة و ال تحمل شهادة جامعية. )0 )2 26

28 مسلمات اإلحتماالت إحتمال الحدث A ويرمز له بالرمز وهو عدد يحقق المسلمات التالية:. لكل حادثة A فإن حيث S هو فراغ العينة فإن. يأ من 0 و 2 فإن ) متنافية مثنى ( لكل متتابعة من األحداث فإن وهذا يعني أن الحوادث المتنافية إحتمال اتحادها يساوي مجموع احتماالتها. )0 )2 )3 بعض النتائج األساسية لمسلمات اإلحتمال 1) 2) 3) 4) 27 " مقدمة في اإلحصاء" مثال )11( 011 احص

29 إذا كان إحتمال نجاح طالبة في مقرر ما هو. ماهو إحتمال رسوبها في هذا المقرر مثال )12( إذا كان احسبي اإلحتماالت التالية مثال )13( إذا كان إحتمال النجاح في مقرر A هو و إحتمال النجاح في مقرر B هو واحتمال النجاح في مقرر واحد على األقل هو. 0.9 احسبي اإلحتماالت التالية: إحتمال النجاح في مقرر A ومقرر B. إحتمال النجاح في مقرر A فقط. إحتمال النجاح في مقرر B وعدم النجاح في مقرر A. إحتمال عدم النجاح في مقرر A وقرر B. إحتمال النجاح في مقرر B أو عدم النجاح في مقرر A. )0 )2 )3 )0 )7 تمرين واجب من بين 200 طالبة من طالبات العلوم وجد أن 100 طالبة منهن يدرسن الرياضيات, 90 يدرسن الكيمياء, 20 ال يدرسن أي من الرياضيات أو الكيمياء, اختيرت طالبة عشوائيا ما إحتمال أن تكون: 28

30 تدرس الكيمياء فقط. تدرس الكيمياء والرياضيات. تدرس الكيمياء أو الرياضيات. )0 )2 )3 مالحظة ذكرنا سابقا أن األحداث المتنافية هي التي يستحيل حدوثهما معا, فإذا كان A و B حدثان متنافيان. وينتج عنه وينتج عنه فإن مثال )14( إذا كان فأوجدي إحتمال B إذا كانت A و B حدثين متنافيين. اإلحتمال الشرطي فإذا كان ويسمى إن دراسة اإلحتمال الشرطي تعني حساب إحتمال حادث ما إذا علم حدوث حادث آخر. A و B حدثين فإن إحتمال حدوث A علما بأن B قد حدث فعال يعبر عنه باإلحتمال الشرطي ل A إذا كانت B قد حدثت ويعرف ب بشرط أن يكون. الحدث B في هو فراغ العينة الجديد ويسمى الفراغ المختزل. نوضح حساب اإلحتمال الشرطي باإلحتماالت التالية. مثال )15( 29

31 اعتبري التجربة العشوائية المكونة من رمي حجر نرد ولتكن : A حادثة الحصول على 2. : B حادثة الحصول على عدد زوجي. احسبي احتمال A إذا علمتي بوقوع B. مثال )16( صنفنا مائة شخص وفقا للنوع ( ولد, بنت ) ووفقا لإلصابة بعمى األلوان فكانت النتيجة المجموع احسبي اإلحتماالت التالية غير مصاب مصاب ولد بنت المجموع إذا علنا أن الشخص المختار بنت ماإحتمال أن تكون مصابة بمرض عمى األلوان. ما إحتمال أن الشخص المختار ولد إذا علمنا أمه مصابا. )0 )2 تمرين واجب إذا علم أن أحسبي 30

32 مثال )17( صنفت مجموعة من 100 مريض راجعوا قسم اإلسعاف خالل شهر في أحد المستشفيات في مدينة الرياض حسب النوع وحسب تقرير الطبيب إذا كانت الحالة مستعجلة أم ال. فحصلنا على الجدول التالي ذكر النوع انثى تقرير الطبيب M F المجموع E مستعجلة E C غير مستعجلة المجموع إذا تم اختيار أحد المراجعين عشوائيا فإن 0( إحتمال أن تكون المراجعة أنثى وحالتها غير مستعجلة هو ( ) 2( إحتمال أن يكون المراجع ذكر أو حالته مستعجلة هو ( ) إحتمال أن تكون المراجعة أنثى إذا علم أن حالتها غير مستعجلة هو ( ) إحتمال أن يكون المراجع ذكر أو أنثى هو )3 )0 مثال )18( إذا علم أن P(B)=0.6 P(A)=0.3, 0( إذا كان فإن الحدثتان A و B تكونا... 2( إذا كان 31

33 فإن الحدثتان A و B تكونا... 3( إذا كان فإن الحدثتان A و B تكونا... 0( هل الحادثتان A و B شاملتان ولماذا مثال )19( إحتمال أن يحصل مشترك في المسابقة لتجويد القرآن وتفسيره على جائزة التجويد هو 0.16, وأن يحصل على جائزة التفسير هو 0.30, وإحتمال أن يحصل عليهما معا هو أحسبي إحتمال أن المشترك سوف ال يحصل على جائزة التجويد علما أنه حصل على جائزة التفسير. )0 إحتمال أن المشترك سوف يحصل على جائزة التفسير علما أنه لم يحصل على جائزة التجويد. )2 الحوادث المستقلة الحادثتين A و B اآلخر. أي أن حدثين مستقلين إذا كان حدوث أحدهما ال يؤثر على حدوث أو عدم حدوث ومن نستنتج إذا كان الحدثين A و B حدثين مستقلين فإن 32

34 .. B C و A >= حدثين مستقلين B و A C A و B حدثين مستقلين =< A C و B C حدثين مستقلين. حدثين مستقلين =< مثال )22( إذا كان هل الحدثين A و B حدثين مستقلين مثال )21( إذا كان أوجدي قيمة إذا كان A و B حدثين متنافيين. )0 A و B حدثين مستقلين. )2 B. مجموعة جزئية من A )3 33

35 مثال )22( إذا كان A و B حدثين مستقلين وكان فأوجدي كال من. مثال )23( إذا كان إحتمال أن يصيب محمد هدفا معين هو أوجدي اإلحتماالت التالية: و إحتمال أن يصيب أحمد الهدف نفسه هو 0( إحتمال أن يصيبا الهدف معا. 2( على األقل يصيب الهدف أحدهما. 3( محمد يصيب الهدف وأحمد ال يصيبه. 0( إذا علم أن محمد لم يصيب الهدف, ما إحتمال أن يصيبه أحمد. تمرين واجب إذا كان A و B حدثين معرفين على فراغ العينة S وكان 34

36 أوجدي و هل مستقالن, هل A و B متنافيين, هل A و B حدثين شاملين. تمرين واجب إذا كان أوجدي هل A و B مستقلين ولماذا, هل A و B متنافيين ولماذا, هل A و B حدثين شاملين ولماذا نظرية بيز إذا كان لدينا مجموعة الحوادث الشاملة والمتنافية أي أن وكان B حدث معرف على فراغ العينة نفسه بحيث كما في الرسم التالي B نستنتج ومنه يسمى باإلحتمال الكلي وأيضا وعادة نمثل األحداث و احتماالتها بالشجرة البيانية التالية: 35

37 مثال )24( تنوي أسرة قضاء إجازة نهاية األسبوع في أحد األماكن السياحية A أو B أوC إذا كان إحتمال وقوع المطر في A هو 0.6 وفي B هو 0.7 وفي C هو. 0.5 إذا إختارت األسرة مكان اإلجازة عشوائيا أحسبي 0( إحتمال أن تقضي األسرة إجازة ممطرة. إذا علمتي أن األسرة قضت إجازة ممطرة, فما هو إحتمال أن إجازتها كانت في المكان.A )2 إذا علمتي أن األسرة لم تقضي إجازة ممطرة, فما هو إحتمال أن إجازتها كانت في المكان B. )3 إذا علمتي أن األسرة قضت إجازة ممطرة, فما هو إحتمال أن إجازتها كانت في المكان.C )0 إذا علمتي أن األسرة قضت إجازة ممطرة, فما هو إحتمال أن إجازتها كانت في المكان.B أو C )7 36

38 مثال )25( صندوقان األول به 4 كرات بيضاء و 6 كرات سوداء, والصندوق الثاني به 8 كرات بيضاء و 3 كرات سوداء. إختير أحد الصناديق عشوائيا واختيرت منه كره. أوجدي 0( إحتمال أن تكون الكرة المسحوبة سوداء. 2( إذا إختيرت كرة ووجد أنها سوداء, ماهو إحتمال أن تكون من الصندوق األول. 3( إذا إختيرت كرة ووجد أنها بيضاء, ماهو إحتمال أن تكون من الصندوق الثاني. 37

39 الفصل الخامس المتغيرات العشوائية تعريف المتغير العشوائي هو دالة ذات قيم عددية حقيقية معرفة على فراغ العينة S. أي أن المتغير العشوائي هو تطبيق مجاله فراغ العينة S ومجاله المقابل )أي القيم الممكنة( هو مجموعة األعداد الحقيقية R. مثال )1( رميت قطعة عملة مرتين متتاليتين. اعتبري المتغير العشوائي هو عدد الصور الناتجة. أوجدي القيم الممكنة للمتغير العشوائي X. المتغير العشوائي المتقطع أو المنفصل 38

40 هو المتغير الذي تكون مجموعة قيمه الممكنة هي مجموعة متقطعة أي إذا كان مجاله المقابل قابل للعد ( قيمه الممكنة قابلة للعد (. دالة الكتلة اإلحتمالية ( دالة التوزيع اإلحتمالي ) إذا كان X متغير عشوائي متقطع ويأخذ القيم الممكنة القابلة للعد فإن خالف ذلك تسمى دالة الكتلة اإلحتمالية للمتغير العشوائي X. توضع القيم الممكن للمتغير عشوائي ودالة الكتلة اإلحتمالية في جدول كالتالي x ونوضح بمثال كيفية حساب دالة الكتلة اإلحتمالية للمتغير العشوائي مثال )2( أوجدي دالة الكتلة اإلحتمالية للمتغير العشوائي X والذي يمثل عدد مرات ظهور الكتابة مطروحا منه واحد عند رمي قطعة نقود 3 مرات ثم احسبي وارسمي دالة الكتلة اإلحتمالية 39

41 تمرين واجب تجربة عشوائية مكونة من إلقاء حجر نرد ثم سحب كرت عشوائيا من بين ثالث كروت عليها األرقام.1, 3, 5 مثلي فراغ العينة. إذا عرف المتغير العشوائي X على أنع الفرق المطلق بين عدد النقاط التي تظهر على حجر النرد والرقم الذي يظهر على الكرت. الرقم على الكرت عدد النقاط على النرد = X أوجدي القيم الممكنة ل X ودالة الكتلة اإلحتمالية وارسميها ثم إحسبي )0 )2 )3 خصائص دالة الكتلة اإلحتمالية تحقق دالة الكتلة اإلحتمالية للمتغير العشوائي X الخصائص التالية 1) 40

42 2) مثال )3( أوجدي قيمة الثابت C والتي تجعل هذه الدوال دوال كتلة إحتمالية 1) x C 2C 3C 4C 2) دالة التوزيع التراكمية تعرف دالة التوزيع التراكمي للمتغير العشوائي X على أنها مثال )4( احسبي دالة التوزيع التراكمي بالجداول التالية للمتغير العشوائي X والتي له دوال الكتلة اإلحتمالية معطاة 1) x

43 2) المجموع x 1 خصائص دالة التوزيع التراكمي 1) 2) دالة التوزيع التراكمي متزايدة ( غير متناقصة ) (3 4) التوقع للمتغير العشوائي التوقع للمتغير العشوائي X )أو المتوسط ) ويرمز له بالرمز E(X) أو ويعرف كما يلي حيث x القيم الممكنة للمتغير العشوائي دالة الكتلة اإلحتمالية. مثال )5( احسب التوقع للمتغير العشوائي X والتي دالة الكتلة اإلحتمالية معطاة بالجدول x

44 مثال )6( أحسبي التوقع للمتغير العشوائي X والتي دالة الكتلة اإلحتمالية هي بعض خصائص التوقع 1) E(C)=C 2) E(aX)= ae(x) E(aX+C)= ae(x) + C 3) حيث C عدد ثابت حيث a عدد ثابت من 1 و >= 2 حيث g(x) دالة في x بالرجوع إلى مثال )1( إحسبي التوقع ل 5-2X وكذلك.E(-2X+3) التباين للمتغير العشوائي تباين المتغير العشوائي X يرمز له بالرمز V(X) أو ويعطى بالعالقة 43

45 حيث بأخذ الجذر التربيعي للتباين محصل على اإلنحراف المعياري ويرمز له بالرمز. لحساب التباين نستخدم حيث هو التوقع ل ويعطى بالعالقه مثال )7( احسبي التوقع والتباين واإلنحراف المعياري للمتغير العشوائي X والتي دالة الكتلة اإلحتمالية له. هي بعض خصائص التباين 1) V(C)=0 2) V(aX)=a 2 V(X) V(aX+C)= a 2 V(X) ألي عدد ثابت C حيث a عدد ثابت من 1 و 2 بالرجوع إلى مثال )1( إحسبي التباين ل 5-2X وكذلك.V(-2X+3) 44

46 مثال )8( بالرجوع إلى المثال السابق احسبي التباين (2-3X) و. V(-6X+2) مثال )9( اعتبري للمتغير العشوائي X والذي له دالة الكتلة اإلحتمالية على النحو التالي x C أوجدي قيمة C. أوجدي F(x). احسبي اإلحتماالت التالية 45

47 ثم احسبي التوقع والتباين واإلنحراف المعياري. مثال )12( إذا كان Y متغير عشوائي منفصل دالة كتلته اإلحتمالية هي 0( أوجدي قيمة الثابت k. 2( أكتبي جدول التوزيع اإلحتمالي للمتغير Y.. 3( أوجدي دالة التوزيع التراكمي )التجميعي( للمتغير Y: 46

48 أحسبي التوقع والتباين للمتغير العشوائي Y. )0 الفصل السادس أهم التوزيعات المتقطعة توزيع ذي )1( الحدين مقدمة يعتبر توزيع ذي الحدين من أهم التوزيعات المتقطعة. ويستخدم هذا التوزيع في التجارب التي يمكن تصنيف جميع نتائجها إلى نتيجتين فقط. النتيجة التي تهمنا تسمى بالنجاح واألخرى بالفشل وكلمة النجاح تستعمل فقط لتسهيل وصف ظهور الحادثة. تعريف ( في التجارب المتكررة n من المرات المستقلة والتي تصنف نتائجها إلى صنفين: الحدث نجاح الذي يهمنا ), أو الفشل ( الحدث اآلخر (. 47

49 فإذا رمز الحتمال وقوع النجاح ب p والفشل ب (1-p)=q مرات النجاح فإن دالة الكتلة اإلحتمالية تعطى بالعالقة وكان المتغير العشوائي يمثل X عدد خالف ذلك. ويقال أن X تتبع توزيع ذي الحدين أما التوقع والتباين للمتغير العشوائي X الذي يتبع توزيع ذي الحدين فيعطى بالعالقات مالحظات عندما 1=n فإن توزيع ذي الحدين يسمى توزيع برنولي. معالم توزيع ذي الحدين n و p حيث n هي عدد المحاوالت و p المحاولة الواحدة. هو احتمال النجاح في )0 )2 مثال )1( إذا كان إحتمال فوز طالبة من كلية العلوم في المسابقة الثقافية هو إشتركت 5 طالبات في, 0.8 هذه المسابقة. 0( إكتبي دالة الكتلة اإلحتمالية لعدد الطالبات الفائزات. 2( ما إحتمال عدم فوز أي طالبة منهن. 48

50 3( ما إحتمال فوز طالبتين منهن. 0( ماإحتمال فوز طالبة على األقل. 7( ماإحتمال فوز طالبتين على األكثر. 1( إحسبي التوقع واإلنحراف المعياري لعدد الطالبات الفائزات. 5( إحسبي التوقع والتباين لعدد الطالبات الغير فائزات. مثال )2( إذا كان 20% من إنتاج المصنع هو إنتاج تالف, أخذت عينة من 4 وحدات أوجدي اإلحتماالت التالية 0( الوحدات المختارة تالفة. 2( على األكثر توجد وحدتين تالفتين. 3 من الوحدات المختارة جيدة. )3 0( التوقع والتباين لعدد الوحدات التالفة. 7( التوقع والتباين لعدد الوحدات الجيدة. 49

51 مثال )3( ) صندوق يتضمن ثمان تفاحات إثنان منها تالفة, سحبنا عشوائيا ( مع اإلعادة ثالث منها وكان المتغير العشوائي X يمثل التفاحات التالفة التي حصلنا عليها. إكتبي دالة الكتلة اإلحتمالية للمتغير العشوائي X. مثال )4( إذا كان 7% من األشخاص المسافرين عبر المحيط األطلنطي يصابون بدوار البحر, أخذت عينة من 5 أشخاص مسافرين عبر المحيط األطلنطي. 0( إكتبي دالة الكتلة اإلحتمالية لعدد األشخاص في العينة الذين يصابون بدوار البحر. 2( إحتمال أن يصاب ثالثة منهم بدوار البحر هو ( ) إحتمال أن يصاب أربعة على األكثر بدوار البحر هو ( ) )3 50

52 إحتمال ن ال يصاب أربعة منهم بدوار البحر هو ( ) )0 التوقع لعدد األشخاص الذين يصابون بدوار البحر هو ( ) )7 التباين لعدد األشخاص الذين يصابون بدوار البحر هو ( ) )1 )2( توزيع فوق الهندسي تعريف يستخدم هذا التوزيع في حالة المجتمعات الصغيرة التي يكون حجمها محدود N ومقسمة إلى صنفين عدد وحدات الصفة األولى a وعدد وحدات الصفة الثانية (a+b=n) b وسحبت عينة عشوائية حجمها n )المحاوالت غير مستقلة ) ويكون المتغير العشوائي X يمثل عدد وحدات العينة التي تحمل الصفة األولى متغير له توزيع فوق هندسي وتكون دالة كتلته اإلحتمالية على الصورة معالم التوزيع هي ) n ( a, b,. ويكون التوقع ( المتوسط ) لعدد الوحدات التي تحمل الصفة األولى هو 51

53 والتباين لعدد الوحدات التي تحمل الصفة األولى هو واإلنحراف المعياري لعدد الوحدات التي تحمل الصفة األولى مثال )5( معرض للسيارات به 15 سيارة جديدة و 6 سيارات مستعملة, سيارات من هذا المعرض فإن أخذت عينة عشوائية مكونة من 5 0( دالة الكتلة اإلحتمالية لعدد السيارات الجديدة في العينة هي 2( إحتمال أن تحتوي العينة على 3 سيارات جديدة هو 3( إحتمال أن تحتوي العينة على سيارة واحدة على األكثر جديدة هو 0( إحتمال أن تحتوي العينة على أربعة سيارات مستعملة هو 7( متوسط عدد السيارات الجديدة في العينة هو 52

54 1( التباين لعدد السيارات الجديدة في العينة هو 5( متوسط عدد السيارات المستعملة في العينة هو مثال )6( في إحدى المسابقات الثقافية ترشح 10 علماء و 12 أديب من دول مختلفة, إذا إختير 7 مرشحين عشوائيا فإن 0( دالة الكتلة اإلحتمالية لعدد األدباء في العينة هي 2( إحتمال أن يشمل اإلختيار 4 أدباء 3( إحتمال أن يشمل اإلختيار 5 علماء 0( إحتمال أن يشمل اإلختيار 6 أدباء على األقل 53

55 7( التوقع لعدد العلماء المختارون 1( اإلنحراف المعياري لعدد األدباء المختارون )3( توزيع بواسون تعريف هو توزيع لمتغير كمي منفصل يمثل عدد مرات حدوث حدث عشوائي في فترة زمنية محددة أو مكان محدد. أمثلة : عدد المرضى الذين يدخلون حجرة اإلنتظار في عيادة خاصة خالل ساعة. عدد حوادث المرور في أحد الميادين خالل اليوم. عدد الحوادث الخطيرة التي تحدث في أحد المصانع خالل عام. 54

56 إذا كان المتغير العشوائي X يمثل عدد مرات حدوث حدث ما خالل فترة زمنية محددة أو مساحة λ مكانية محددة فإن المتغير X يكون له توزيع بواسون بمتوسط وتكون دالة كتلته اإلحتمالية على الصورة λ λ هي معلمة توزيع بواسون وهي أيضا تمثل متوسط وتباين بواسون. متوسط ( التوقع ) لعدد مرات حدوث الحدث = λ. التباين لعدد مرات حدوث الحدث = λ.. اإلنحراف المعياري لعدد مرات حدوث الحدث = λ مثال )7( إذا كان X هو عدد الحاالت الطارئه التي يستقبلها أحد المستشفيات خالل ليلة واحدة متغير عشوائي له توزيع بواسون (3) فإن 0( دالة الكتلة اإلحتمالية للمتغير العشوائي X تكون 2( إحتمال أن يستقبل المستشفى 4 حاالت طارئه خالل ليلة واحدة هو 3( إحتمال أن يستقبل المستشفى أقل من حالتين طارئه خالل ليلة واحدة هو 0( إحتمال أن ال يستقبل المستشفى أي حالة طارئه خالل ليلة واحدة هو 55

57 7( متوسط عدد الحاالت الطارئه التي يستقبلها المستشفى خالل ليلة واحدة 1( التباين لعدد الحاالت الطارئه التي يستقبلها المستشفى خالل ليلة واحدة مثال )8( إذا كان المتغير العشوائي X يمثل عدد األشعات من نوع خاص التي يعملها أحد مراكز األشعة خالل ساعة له توزيع بواسون (2.3) فإن 0( دالة الكتلة اإلحتمالية للمتغير العشوائي X تكون 2( إحتمال أن يعمل المركز 3 اشعات من هذا النوع خالل ساعة هو 3( إحتمال أن يعمل المركز اشعتين على األقل خالل ساعة هو 0( متوسط عدد األشعات من النوع الخاص التي يعملها المركز خالل ساعة 7( اإلنحراف المعياري لعدد األشعات من النوع الخاص التي يعملها المركز خالل ساعه. الفصل السابع المتغير العشوائي المستمر )المتصل( سبق لنا دراسة المتغير العشوائي المتقطع ( أو المنفصل ) وذكرنا أن المجال المقابل له يكون قابال للعد ( منته أو غير منته (. والمتغير العشوائي المتصل ( المستمر ) هو الذي يكون مجاله المقابل غير منته وغير قابل للعد ويكون عباره عن جميع القيم داخل فترة.(a,b) دالة الكثافة اإلحتمالية ألي متغير عشوائي متصل توجد دالة تسمى دالة الكثافة اإلحتمالية والتي تحقق الشروط التالية 56

58 1) 2) دالة التوزيع التراكمي إذا كان X متغير عشوائي متصل فإن الدالة المعطى بالعالقة التالية تسمى دالة التوزيع التراكمي للمتغير العشوائي X. التوقع والتباين للمتغير العشوائي المتصل μ التوزيع الطبيعي التوزيع الطبيعي هو عبارة عن توزيع له شكل الجرس وتأتي أهمية هذا التوزيع لكونه يقارب بشكل جيد توزيعات الكثير من القياسات المختلفة التي منها األطوال واألوزان ودرجات اإلمتحان. وتعطى دالة الكثافة للمتغير العشوائي X والذي يتبع التوزيع الطبيعي كالتالي بعض خواص التوزيع الطبيعي 57

59 F(X) قيم المتوسط μ واإلنحراف المعياري σ تعين المكان ودرجة التشتت الطبيعي شكل )0( ) X شكل )0( يمثل أشكال التوزيع الطبيعي لقيم مختلفة للمتوسط واإلنحراف المعياري التوزيع الطبيعي متناظر حول المتوسط μ. منحنى التوزيع الطبيعي يقترب طرفاه أكثر فأكثر من المحور األفقي ولكنه يقطعه أبدا. المساحة الكلية تحت المنحنى تساوي واحدا صحيحا. معالم التوزيع الطبيعي ال يمسه أو )2 )3 )0 )7 ونرمز للمتغير العشوائي الموزع توزيعا طبيعيا بالرمز μ هي متوسط حيث للمتغير العشوائي X و هي اإلنحراف المعياري للمتغير العشوائي X. وهكذا نقول أن X له σ توزيع طبيعي بمتوسط μ وانحراف معياري σ. 58

60 التوزيع الطبيعي القياسي μ كما ذكرنا سابقا أن التوزيع الطبيعي للمتغير العشوائي X يعتمد على متوسطه وانحرافه معياري σ, وهاتان القيمتان تؤثران على مكان التوزيع وعلى مقدار تشتته فلكل قيمة للمتوسط وكل قيمة لإلنحراف المعياري يتغير شكل ومكان التوزيع. ويوجد توزيع طبيعي واحد ثابت ومجدول يمكن تحويل جميع التوزيعات الطبيعية األخرى إليه ويسمى بالتوزيع الطبيعي القياسي. وهو توزيع ذو متوسط صفر وانحراف معياري يساوي واحدا صحيحا وعادة يرمز للمتغير ودالة الكثافة العشوائي الذي يتبع التوزيع الطبيعي القياسي بالرمز Z أي أن اإلحتمالية للمتغير العشوائي Z هي 59

61 دالة التوزيع التراكمي يرمز لها بالرمز ϕ ϕ ) σ μ جميع القيم غير القياسية ( أي تتبع أي توزيع طبيعي متوسطه وانحرافه معياري يمكن تحويلها إلى قيم قياسيه بإستخدام العالقة مثال )1( إذا علم أن أطوال مجموعة من الطالب يتبع التوزيع الطبيعي بمتوسط مقداره 155 سم وانحراف معياري 5 سم. أوجدي القيم المعياريه )القياسيه( ألطوال الطالب., مثال )2( بإستخدام بيانات المثال السابق أوجدي األطوال الحقيقية للطالب إذا علم أن أطوالهم القياسية هي : , 0.82 ** ولقد قام اإلحصائيين بعمل جداول لحساب المساحات تحت المنحنى الطبيعي القياسي في الفترة -3.4 إلى مثال )3( أوجدي المساحة تحت منحنى التوزيع الطبيعي القياسي التي تقع )0 بين Z=0 و.Z=

62 على يمين 0.48=Z. على يسار 0.79=Z. على يسار 3.59-=Z. )2 )3 )0 مثال )4( أحسبي P(Z=1.9)= P(Z 1.72)= P(Z<-0.54)= P(Z>1.07)= P(Z 0.29)= P( )= مثال )5( إذا كانت درجة الحرارة خالل فترة من العام في بلد ما تتبع التوزيع الطبيعي بمتوسط 20 وانحراف معياري. 3 أوجدي اإلحتماالت التاليه أن تساوي درجة الحرارة 30. o أن ال تزيد درجة الحرارة عن. 23 o أن تكون درجة الحرارة بين 26 o و. 15 o أن ال تقل درجة الحرارة عن. 20 o )0 )2 )3 )0 61

63 132 مليمترا مثال )6( إن كانت أطوال 500 ورقة من أوراق نبات معين لها توزيع طبيعي بمتوسط وانحراف معياري 10 مليمترا. أوجدي عدد األوراق التالية: مابين 130 mm و. 140 mm أكبر من 150. mm أقل من. 130 mm )0 )2 )3 12 مثال )7( فترة الحمل التامة في اإلنسان تعتبر متغير عشوائي بمتوسط 266 يوم. ماهي نسبة السيدات االتي يستمر حملهن بين 260 و 270 يوم. يوم وانحراف معياري مثال )8( إذا كان عدد الطلبة المتقدمين لاللتحاق بإحدى الكليات العسكرية تتبع التوزيع الطبيعي بمتوسط 170 سم و انحراف معياري 10 سم طالب وكانت أطوالهم 0( مانسبة الطلبة المتقدمين الذين أطوالهم أكبر من 150 سم. إذا كانت الكلية تقبل الطالب الذين تتراوح أطوالهم بين سم. و 185 فما هو عدد 150 )2 الطلبة المحتمل قبولهم. 62 " مقدمة في اإلحصاء" مثال )9( 011 احص

64 إذا كان Z متغير عشوائي له توزيع طبيعي قياسي أوجدي اإلحتماالت التاليه 1) 2) ( ) ( ) 3) 4) ( ) ( ) تم بحمد هللا,,, مع تمنياتنا لكن بالتوفيق والنجاح,,, 63

65 نماذج اإلختبارات الفصلية والنهائية 64