أكادیمیة الجھة الشرقیة نیابة جدة مادة الریاضیات الا ستاذ : عثماني نجیب مذكرة رقم/ 6 مستى: السنة الثانیة من سلك الباكالریا شعبة العلم التجریبیة مسلك علم الحیاة الا رض مسلك العلم الفیزیاي یة مسلك العلم الزراعیة مذكرة رقم 6 في درس الدال اللغاريتمية محتى البرنامج دالة اللغاریتم النبیري. تعریف خصاي ص جبریة الرمز Ln: دراسة دالة اللغاریتم النبیري. نھایات اعتیادیة المشتقة اللغاریتمیة دالة اللغاریتم للا ساس. تعریف خصاي ص جبریة دالة اللغاریتم العشري القدرات المنتظرة التمكن من الحساب الجبري على اللغاریتمات التمكن من حل معادلات متراجحات نظمات لغاریتمیة معرفة تطبیق اللغاریتم العشري(خاصة في حل معادلات من نع : ( التمكن من النھایات اللغاریتمیة الا ساسیة تظیفھا التمكن من دراسة تمثیل دال تحتي صیغتھا على دالة اللغاریتم [ ; ],إذن تقبل دال أصلیة I. دالة اللغاریتم النبیري متصلة على المجال الدالة ; على [ ], تقبل دالة أصلیة حیدة تنعدم في تعریف:دالة اللغاریتم النبیري ھي الدالة الا صلیة للدالة., نرمز لھا بالرمز. على المجال.. ] ; [ ] ; [ [ ; ] التي تنعدم في ھي. نتاي ج مجمعة تعریف الدالة قابلة للاشتقاق على المجال. ] ; [. < b Û < b, الدالة الدالة تزایدیة قطعا على المجال نبحث عن الجذر D b c ( 9 8 > بما أنD فان لثلاثیة الحدد جذرین ھما: b D b D نحدد جدل الاشارة : منھ [:, ], [ ] D g È D h ( h { Î / > t { ¹ منھ : [ ; ] ;[ ] h خاصیة:لكل b من [ ; ] لدینا. b Û b لكل b من [ ; ] لدینا. > b Û > b أمثلة: حل في المعادلات المتراجحات التالیة : ( ( D È > ( ³ ( أجبة : ( المرحلة :ھذه المعادلة معرفة إذا فقط إذا كان: إذا كان: > اذن : [ ; ] D المرحلة :حل المعادلة: ( لكل b من [ ; ] إشارة الدالة Ln < Û < < > Û > Û مثال : حدد مجمعة تعریف كل من الدال التالیة: h: ( g: ( ( : ( ( D { / { ( أجبة : Î > D ], [ منھ >Û > g g ( { / { D Î > http:// yzmth.monsit.com
( b b [ ; ] لكل r من,لدینا: > 6 > S { } منھ ÎD ( ( ( المرحلة :ھذه المعادلة معرفة إذا فقط إذا كان: ] ; [ D > اذن : > > إذا كان: المرحلة :حل المعادلة: ( ( ì9 ü 9 S í ý منھ ÎD 9 îþ 6 ³ ( المرحلة :ھذه المتراجحة معرفة إذا فقط إذا كان: إذا كان: > اذن : [ ; ] D المرحلة :حل المتراجحة: 6 ³ 6 ³ é é Î ; ³ 6³ é é é é منھ [ ; ] Ç S ; S ; تمرین : حل في المعادلات التالیة : ( ( الجاب:. ( > المرحلة :ھذه المعادلة معرفة إذا فقط إذا كان: > ù é D إذا كان: > < اذن : ; û المرحلة :حل المعادلة: ìü S í ý îþ ÎD منھ > ( ( ( ھذه المعادلة معرفة إذا فقط إذا كان: إذا كان: > اذن : ; D >. In In Û : Î D S { } Û(. ( ھي: لیكن من [ ; ] Û إذن مجمعة حلل المعادلة.. تمرین : حل في المتراجحة : < الجاب: المرحلة :ھذه المتراجحة معرفة إذا فقط إذا كان: æ < ö أي > > ç > ; > è المرحلة :حل المعادلة: المرحلة :حل المتراجحة: خاصیات جبریة bمن. ; لدینا: b من. æö b èb لكل l n( خاصیة: æ ö è r r ( أمثلة : : إذا علمت أن, ; l n, ; l n l n(, l n( 8 l n(, l n( 6,,, l n l n( 6 A فاحسب ما یلي:, æ ö l n, l n è è, ( B 8 ( ( C الحل l n 6 l n l n l n ;,,;,8 l n l n l n l n ;, ;, l n 8 l n l n l n ;,;, ( n l n l l n ;,, ;,, ;, l æö n n( n,,, l l ; ; è l n æ ç ö l n ;, è l n( 6 l n( 6 ;,8 ;,9, ;, ;, ;,,;, ( ( ( ( ç ( ( è ;,,, ;,86 A ( æ ç ( ( ö è A ç ;, è B 8, B ;,,;,9 ( ( ( ( ( C ( C 6 ( B, تمرین : بسط A ( A ( الجاب: A 9 لیكن من [ ; ] ( ( < Û ( < ( >Û > Û < أي. ; S إذن: S ] ; [ Ç ] ; [ http:// yzmth.monsit.com
(6 ( ( ( ( 6 B 6 B ( تمرین : حل في المعادلة المتراجحة التالیة:. ( ( n n l l الا جبة (: l n n l المرحلة :ھذه المعادلة معرفة إذا فقط إذا كان: > D ] ; [ : اذن < > إذا كان: > المرحلة :حل المعادلة: 6 l n l n S {} > ( فان : ( 6 6 b c فان ھذه المعادلة تقبل حلین ھما: ( D 6 > Ï ] ; [ بما أنD ( بما أن : ( المرحلة :ھذه المتراجحة معرفة إذا فقط إذا كان: æ ö ç > > أي > > è ù é D I منھ : ; û المرحلة :حل المتراجحة: لیكن منé ù ; û Û ( 9 Û ( ( b c Û D 9 9 9 8> بما أنD فان ھذه المعادلة تقبل حلین ھما: 9 9 é ù ù é ù ù إذن: ; ; ; S Ç û û û û الدالة. II.دراسة. نھایات اعتیادیة خاصیة : خاصیة : X برھان على الخاصیة :نضع : الجاب: ( ( ( : شكل غیر محدد لا ن æ ö è ( ( : لا ن ( ( ( لا ن : ( æ ö ( ç لا ن : è (6 [ ; ] نرمز لھذا الحل : لا ن : (. جدل تغیرات الدالة ( (" Î ], [ : l n ( " Î ], [ : l n فان > k. ], [ لدینا: بما أن > بالتالي الدالة تزایدیة قطعا على ( ( تقبل حلا حیدا في منھ الجدل: نتاي ج: ;. المعادلة بالرمز لكل عدد جذري k,لدینا:. k :,88 ; ھ العدد الحقیقي الذي یحقق ( العدد :. أمثلة : حل المعادلة ( 9 B ( S { } تمرین : أحسب بسط : A è الجاب: A è A B ( 9 ( ( ( ( 9( B ( ( ( تمرین 6 : حل في المعادلات التالیة: ( 6 ( ( ( X Û æ ö X X X è X X X لا ن: ( خاصیة : أمثلة : أحسب النھایات التالیة : ( http:// yzmth.monsit.com
X : نضع ( ( ç è X Û ( X ç ( X è X X لا ن: ( X ( ( > ( الجاب: المرحلة :ھذه المعادلة معرفة إذا فقط إذا كان: ù é D > اذن : ; û المرحلة :حل المعادلة: ( ( ( æ ç ö è ( ù ; é Î û. ( ( ( ì ü ï ï S í ý ï ï î þ ( ( 6 ھذه المعادلة معرفة إذا فقط إذا كان: نضع : المعادلة تصبح : > X X 6 X D b c 8 9 > بما أنD فان ھذه المعادلة تقبل حلین ھما: 9 X X X X ( ì ü S í, منھ : ý î þ ì y í النظمة î y ì ï y í ïî y تمرین : حل في الجاب: نجمع المعادلتین طرف لطرف فنجد : نعض في المعادلة الا لى فنجد : y y y y y ( ìæ öü S íç ; ý îè þ. نھایات اعتیادیة أخرى * n حیث{} nî حیث. n log لا ن : æ ö ç è خاصیة: * nî {} مثال: أحسب النھایات التالیة: نضع : X Û X Û X X Û X X X X X X لا ن: ( ( XX. الفرع اللانھاي یة لدینا: اذن منحنى الدالة یقبل فرعا شلجمیا اتجاھھ محر الا فاصیل بجار. لدینا:. لدینا محر الا راتیب مقارب لمنحنى الدالة. انشاء منحنى الدالة. III.المشتقة اللغاریتمیة لدالة تعریف لتكن uدالة قابلة للاشتقاق على مجال. " Î I; u¹ I لا تنعدم على I ( (حیث u ھي الدالة ( u تسمى المشتقة u الدالة: u اللغاریتمیة للدالة uعلى المجال. I u: مثال لنحدد المشتقة اللغاریتمیة للدالة:. : uقابلة للاشتقاق على لا تنعدم على الدالة. u " Î ; إذن المشتقة اللغاریتمیة لدینا:. 6 I. 6 للدالة uعلى ھي الدالة: خاصیة إذا كانت u دالة قابلة للاشتقاق على مجال I لا تنعدم على I قابلة للاشتقاق على المجال : ( فان الدالة Inu دالتھا المشتقة ھي المشتقة اللغاریتمیة للدالة u u (. (" Î I ; : u مثال : أحسب في كل حالة من الحالات التالیة: ( ( الا جبة : ضع : X ( ç è أجبة (: n : حسب الخاصیة log ( http:// yzmth.monsit.com
kî مع F ( ( k ( ( k F( ( F ( ( k منھ : دالة تحتي على IV.دراسة مثال: g بحیث: g لتكن الدالة العددیة.I D g D g أحسب نھایات g عند محدات. حدد g أعط جدل تغیرات g. أحسب (. استنتج أن: " >, > ì ï, : بحیث لتكن الدالة العددیة.II í ï î. بین أن ; D k ( (», [ [ ( ( ( ( مثال :حدد الدال الا صلیة للدالة على المجال I في كل حالة من الحالتین التالیتین: I ;. I ] ;; [. In ( الا جبة : لدینا حیث: Î k F k اذن : > لا ن : F ( k ( : ( اذن : k F حیث: تمرین 8 : نعتبر الدالة المعرفة ب: k Î. حدد D مجمعة تعریف الدالة حدد عددین حقیقیین ( " b Î D ; b بحیث:. استنتج الدال الا صلیة للدالة على المجال ] ; [ ] ;[ حدد الدالة الا صلیة F للدالة على بحیث. بین أن متصلة في الصفر على الیمین. أحسب : C قابلة للاشتقاق في الصفر على الیمین. بین أن " Î ] ; [, ( (. بین أن : 6. أعط جدل تغیرات المستقیم y ( D :. حدد نقط تقاطع, C بین أن یقطع محر الا فاصیل في نقطة خد», ù é ; û O rr ;; i j.8 أفصلھا ینتمي إلى C أنشي في معلم D g ; g أجبة : æ ö : لا ن g ç è : لا ن g ] ; [ ] ; [ " Î " Î Î ] ; [ g ( g ھي اشارة : لا ن : تقبل قیمة دنیا عند : " Î ; g اذن : < g ] ; [ Î " اذن : ( اشارة جدل تغیرات الدالة نلاحظ أن g ( g < اذن : اذن : ì > دالة معرفة ¹ ï (.II í ï î حسب ماسبق جدنا أن < اذن : ¹ لدینا لدیھ صرة اذن : ; D [ [.9.I. F( أجبة : D { ¹ { Î / نبحث عن الجذر D b c ( 8 9> بما أن D فان لثلاثیة الحدد جذرین ھما: b D b D D / ; { } ( b( bb ( b b ( ( ( ( ( ( نجد أن : بالمقارنة مع الكتابة : b بجمع المعادلتین طرف لطرف نجد : 6 ì í î b b بتعیض بقیمتھا في المعادلة الا لى نجد أن : b ھي : منھ الكتابة الجدیدة لصیغة الدالة ( D ; ( ( (" Î D ; ( مع kî منھ : k F <: اذن < Î ] ; [ بما أن : بالتالي : مجمعة الدال الا صلیة ھي: منھ : < < http:// yzmth.monsit.com
æ ö è æ ö ç è لا ن اذن : متصلة في الصفر على الیمین ( منھ æ ö è æ ö ç è مقارب لمنحنى الدالة y : مبیانیا ( d قابلة للاشتقاق في الصفر على الیمین ( لا ن : ( منھ ( 6 ( ¹.. اللغاریتم للا ساس V.دالة تعریف:لیكن عددا حقیقیا مجبا قطعا مخالفا للعدد Log دالة اللغاریتم للا ساس ھي الدالة التي یرمز لھا بالرمز. Log المعرفة على. [ ; ] بما یلي: Log نتاي ج:, Log, Log( log " Î ] ; [;log ( اذن خاصیة: من. لكل y من من {} *, لدینا: r 8 6 [ ; ], لكل ( y ( y æö log log, log log log y è y logلكل, log æ ö ( rlog log log y èy.الدالتان Log لھما نفس الخاصیات الجبریة البرھان : البرھان على الخاصیة( ( y ( y ( y log( y log log( y ( ( ( ( (یمكن البرھان على الخاصیات الا خرى باستعمال الخاصیات الجبریة للدالة ( جدل تغیرات دالة اللغاریتم للا ساس الحالة > : y 6 8 ( ( ( ( æ ö è ( ( ç ç è è ( ( " Î ( ] ; [ ( ( : ھي اشارة 6 اشارة ( > Û > Û > Û > منھ جدل الاشارة التغیرات : log < < é ù ; û ھي ; A( منھ متصلة على ( ( D : y ( ( اذن نقطة تقاطع المستقیم [ ; [ D C دالة متصلة على المجال (8 æö ç è ç è æö < è ( ( > ( منھ حسب مبرھنة القیم السیطیة فان المعادلة الا قل على المجال حلا على ù é ; û ù é ; û یقطع محر الا فاصیل في نقطة أفصلھا ینتمي إلى الحالة : ( log8( log أمثلة :أحسب بسط ما یلي : æö A log log ( ( log 9 ( log è log طریقة : log أجبة (: log log log طریقة : C أي : (9 http:// yzmth.monsit.com 6
X 9X نضع : X log المعادلة تصبح : D b c > 9 6 8 8 log : log8 ( 8 log log log log ( یمكن استعمال طریقة أخرى log 9 log log æö A log ( log log log log logç è è A log log log log log log ( log ( تمرین 9 : أحسب ما یلي: æö log log ( è أجبة : ( æ ö æ ö log log log ç log è è æö log logç log log ç è è VI.دالة اللغاریتم العشري تعریف:دالة اللغاریتم العشري ھي الدالة اللغاریتمیة للا ساس. تكتب logعض logلكل ( : log من [ ; ]. " rî ;log r r, log ( نتاي ج:, log دراسة دالة اللغاریتم للا ساس log قابلة للاشتقاق على [ ; ] الدالة بما أن D فان ھذه المعادلة تقبل حلین ھما: 9 9 X X log log ìï ü, ï S منھ : í ý ïî ïþ مثال : حل في المتراجحة التالیة : ³ log è الجاب : المتراجحة معرفة إذا كان: ù é D I > > اذن : ; û log log log ³ ç ³ è è è ù é ù ù S ] ;] منھ : إذن: ; ; Ç û û û تمرین : I نعتبر الدالة العددیة ( تمارین للبحث المعرفة بما یلي: إذا كانت ¹ D حدد أحسب: أحسب أحسب ( ثم استنتج اتصال الدالة على الیمین في ثم أعط تا یلا ھندسیا.... أدرس قابلیة اشتقاق على الیمین في للنتیجة المحصل علیھا أل النتیجة مبیانیا. أحسب: ( " > تحقق أن حدد جدل تغیرات الدالة. عند النقطة الذي أفصلھا 8. حدد معادلة مماس منحنى الدالة تمرین : (. أحسب: ( المعرفة بما یلي:. أحسب مشتقة الدالة تمرین : أحسب log log ( log log ( log log ( log log 9 log ( log تمرین :حل في المعادلات التالیة: log ( log ( log log ( log log 6 ( log log ( حیث log ھ اللغاریتم العشري المعرفة بما یلي: تمرین :حدد الدال الا صلیة للدالة على المجال ]; [.6 ] ; [;( log ( مثال : log, بسط ما یلي: " Î log, A log( log log( الجاب : log log log log, log log A log( log log( log( log( log( A log log ( log log log log log ( log l log 9 A log log log مثال : حل في المعادلات التالیة : log ( log. ( log حیث log ھ اللغاریتم العشري 9log. أجبة : المرحلة :ھذه المعادلة معرفة إذا فقط إذا كان: > > إذا كان: > > اذن : [ ; ] D log ( log المرحلة :حل المعادلة: log( أ log( ( log أ log log ( log ì ü أ أ منھ ý: S í ; î þ log 9log ( ] ; [ D > اذن : ھذه المعادلة معرفة إذا فقط إذا كان: http:// yzmth.monsit.com
( شكل غیر محدد حساب : مباشرة : ( ( ( ( t حساب : نضع : إذا كان : فا ن : t ( t منھ : t t ( t بما أن : فا ن : t t ( منھ : ( تمرین :تحدد '( بحیث : ( الجاب : ' ( æ ö ç è D ' ( ' ( ( ( ( ' ' ( 6 ' ( 6 ( ( ( ( ( 6 6 6 إذن : S [ ;[ ( تمارین محللة أخرى : المتراجحة : تمرین : حل في الجاب : تحدید D مجمعة تعریف المتراجحة : ì ü D í Î / > ý î þ ÎD نعتبر : ;[ ] D Û Û Û Û [ U[; Î ] ; [ إذن : [ U[; S ];[ I ] ; [ إذن : منھ : t ( تمرین : احسب النھایات التالیة : ( ( ( أجبة : حساب : شكل غیر محدد ( مباشرة : ( ( ( نضع : t : فا ن tt t t حساب : إذا كان : منھ : شكل غیر محدد t بما أن : ttفا ن : ( إذن : t t ( ( حساب : مباشرة : ( ( t æ ö ç è ( æ ö ç è حساب : نضع : فا ن : t منھ : إذن : فا ن : ( t إذا كان : t t بما أن : æ ö ç è http:// yzmth.monsit.com 8