قررت وزارة التعليم تدري س هذا الكتاب وطبعه على نفقتها 6 ريا ضيات الثانوي التعليم المقررات( )نظام العلوم الطبيعية( )م سار قام بالت أاليف والمراجعة فريق

النسخ

1 قررت وزارة التعليم تدري س هذا الكتاب وطبعه على نفقتها ريا ضيات الثانوي التعليم المقررات( )نظام العلوم الطبيعية( )م سار قام بالت أاليف والمراجعة فريق من المتخ ص صين طبعة 1٢ 0٢٠ 01.SA.MATH.SE.Itro.idd 1 0/0/00 10: AM

2 ح وزارة التعليم 19 ه فهرسة مكتبة امللك فهد الوطنية أثناء النرش وزارة التعليم رياضيات التعليم الثانوي نظام املقررات )مسار العلوم الطبيعية(. وزارة التعليم.- الرياض 19 ه 188 ص 1 سم 7.5 ردمك : الرياضيات - مناهج - السعودية - التعليم الثانوي - مناهج - السعودية أ. العنوان رقم الإيداع : 19/955 ردمك : ديوي 19/ حقوق الطبع والن شر حمفوظة لوزارة التعليم 01.SA.MATH.SE.Itro.idd 0/0/00 10: AM

3

4

5

6 äé éàªdg hc G π üø d áä«àdg äé éàªdg»a áeó e »KGóME G iƒà ùªdg»a äé éàªdg » NGódG Üô dg π üødg üàæe QÉÑàNG É HC G»KÓãdG AÉ ØdG»a äé éàªdg AÉ ØdG»a äé éઠd»gééj G Üô dgh» NGódG Üô dg á LGôªdGh á SGQódG π«d π üødg QÉÑàNG áñcôªdg GóYC Gh á«ñ dg äé«kgóme G »fÉãdG π üø d áä«àdg á«ñ dg äé«kgóme G ä É ª d á«jqéµjódg IQƒ üdgh á«ñ dg IQƒ üdg ôagƒªj ájô fh áñcôªdg GóYC G á LGôªdGh á SGQódG π«d π üødg QÉÑàNG

7 AÉ üme Gh ɪàM G ådéãdg π üø d áä«àdg á MÓªdG Y áªfé dgh á«ë ùªdgh á«ñjôéàdg äé SGQódG IQƒ ûæªdg äéfé«ñdg ºjƒ J :á«fé«ñdg áñ SÉëdG πª e -1 SƒJ »FÉ üme G π«ëàdg hô ûªdg ɪàM G π üødg üàæe QÉÑàNG á«déªàm G äé jrƒàdgh ɪàM G » «Ñ dg jrƒàdg äéæ«äªdgh»ñjôéàdg ƒfé dg :ôñédg πª e -5 SƒJ øjóëdg ägp äé jrƒàdg á LGôªdGh á SGQódG π«d π üødg QÉÑàNG É à T Gh äéjé ædg HGôdG π üø d áä«àdg Év«fÉ«H äéjé ædg ôjó J ÉvjôÑL äéjé ædg ÜÉ ùm æëæªdg π«e :á«fé«ñdg áñ SÉëdG πª e - ±É ûµà SG á éàªdg áyô ùdgh SɪªdG π üødg üàæe QÉÑàNG äé à ûªdg πeéµàdgh æëæªdg âëj ámé ùªdg πeéµàdgh π VÉØàdG»a á«sé SC G ájô ædg á LGôªdGh á SGQódG π«d π üødg QÉÑàNG RƒeôdGh «üdg

8 äé éàªdg Vectors :á VÉjQ m/s 0 0m/s :á HÉ S IAGôb 1 π üødg 8

9 1 π üø d áä«àdg ägôøªdg á LGôe»KGóME G iƒà ùªdg»a áaé ùªdg á «U (Distace Formula i The Coordiate Plae) A( 1, 1 ), B(, ) AB = ( - 1 ) + ( - 1 ) iƒà ùªdg»a ᪫à ùe á b üàæe»s«kgómeg á «U (Midpoit Formula i The Coordiate Plae)»KGóME G AB: B(, )A( 1, 1 ) _ 1 + _ 1 + M (, ) (Trigoometric Ratio) á«ã ãªdg áñ ùædg ÉjGhõ d á«ã ãªdg GhódG (Trigoometric Fuctios of Agels) P(, ) θ r P θ r = + P(, ) si θ = _ cos θ = _ r r ta θ = _, 0 csc θ = r_, 0 sec θ = r_, 0 cot θ = _, 0 (Law of Cosies) ΩɪàdG ܃«L ƒféb a, b, c ABC A, B, C A r c a = b + c - bc cos A b = a + c - ac cos B c = a + b - ab cos C (Law of Sies) ܃«édG ƒféb a, b, c ABC A, B, C c b θ B B a a C _ si A a = _ si B b = _ si c C ا وجد المسافة بين كل زوج من النقاط الا تية ثم ا وجد ا حداث يي نقطة منتصف القطعة المستقيمة الواصلة بينهما. (-5, ), (-5, 8) ( (1, ), (-, ) ( 1 (-, -1), (-, -8) ( (, -9), (-, -7) ( ا وجد قيمة في ك ل مما يا تي مق ر با الناتج ا لى ا قرب عش ر. 9 9 ( ( ( 8 ( : ƒdéh ا طلق بالون يحتوي على هواء ساخن في الفضاء. ا ذا كان البالون مربو طا بحبلين مشدودين يمسك بك ل منهما شخص يقف على سطح الا رض والمسافة بين الشخصين 5 ft بحيث كان قياس الزاوية بين ك ل من الحبلين والا رض 0 فا وجد طول ك ل من الحبلين ا لى ا قرب جز ء من عشرة. ا وجد جميع الحلول الممكنة لكل مثلث مما يا تي ا ن ا مكن وا ذا لم يوجد ح ل فاكتب لا يوجد ح ل مق ر با ا طوال الا ضلاع ا لى ا قرب عدد صحيح وقياسات الزوايا ا لى ا قرب درجة. a = 10, b = 7, A = 18 a = 15, b = 1, A = 17 a = 15, b = 18, A = 5 (9 (10 (11 (1 A b C 9 1 π üødg

10 a«الªتä é م دمة Itroductio to Vectors المحاولة الناجحة لتسجيل هدف في كرة القدم تعتمد على عدة عوامل منها سرعة الكرة بعد ضربها واتجاه حركتها. ويمكنك وصف ك ل من هذين العاملين باستعمال كمية واحدة ت سمى متجها ا. ال䫪µ ال» س»ة وال䫪µ الªتé ة يمكن وصف الكثير من الكميات الفيزيائية مثل الكتلة بقيمة عددية واحدة وعندئذ ت سمى كم ية قياسية (عددية) ويدل هذا العدد على مقدار الكمية أو قياسها. أما ال متجه فهو كمية لها مقدار واتجاه فمثلا سرعة الكرة المتجهة نحو المرمى جنوبا ا تمثل كل من: مقدار سرعة الكرة واتجاه حركتها ولذلك ت عتبر متجه والعدد المرتبط بمتجه يسمى ك ميةا متجهةا. 1 حد د الكميات المتجهة والكميات القياسية (العددية) في كل مما يأتي: a( يسير قارب بسرعة 15 mi / h في اتجاه الجنوب الغربي. بما أن لهذه الكمية اتجاها ا إذن هي كمي ة متجه ة. b( يسير شخص على قدميه بسرعة 75 m / mi جهة الغرب. بما أن لسرعة الشخص قيمة هي 75 m/mi واتجاها ا للغرب لذا فهي كمية متجهة.. 0 km قطعت سيارة مسافة قدرها c( بما أن لهذه الكمية قيمة وهي 0 km وليس لها اتجاه إذن هذه المسافة كمية قياسية. تë مø ª a حد د الكميات المتجهة والكميات القياسية (العددية) في كل مما يأتي: 1A( تسير سيارة بسرعة 0 mi / h وبزاوية 15 جهة الجنوب الشرقي mi / h هبوط مظل ي رأسي ا إلى أسفل بسرعة 1B(. 5 cm طول قطعة مستقيمة )1C سر ي سة قل سق يف ثثقم لا يف ث ) جدقرة سقبات ( ي يف قم يف ةمدقم بق سة قل جاق يف س يجثدق ه سق ي يف ةم يف جة يف ةقجه ي جسق ات يف ةمدقم ت ق ست ) هت( solar quatit جةم vector يف ت يف ةمدت vector quatit ت جسةا ت جةمدت directed lie segmet ات يفهيت iitial poit ات يفدقت termial poit يفس يفاق سا stadard positio يمق يف ةم directio ل يف ةم )يف اهير( magitude يمق يفبا quadrat bearig يمق يفااا true bearig يف ةمدقم يف ةيت parallel vectors يف ةمدقم يف ةسقت equal vectors يف ةمدق يف ةقسق opposite vectors يف ست resultat يف ث قهة triagle method يس جةي قهة parallelogram method يف ةم يفس zero vector يف قم compoets يف قم يف ةقجهة rectagular compoets تëديد ال䫪µ الªتé ة الªتä é : يمكن تمثيل المتجه هندسي ا بقطعة مستقيمة لها اتجاه (قطعة مستقيمة متجهة) أو سهم ي ظهر كل من المقدار واالتجاه. ويمث ل الشكل المجاور القطعة المستقيمة المتجهة التي لها نقطة البداية A ونقطة النهاية B. ويرمز لهذا المتجه بالرمز AB ÆÆÆ أو a أوa. أما ط ول المتجه فهو عبارة عن طول القطعة المستقيمة التي تمثله ففي الشكل المجاور إذا كان مقياس الرسم هو 1 cm = 5 ft/s فا ن طول المتجه a وي رمز له بالرمز a يساوي 5. أو. 1 ft/s يكون المتجه في الوض ع القياسي. إذا كانت نقطة بداية المتجه هي نقطة األصل ويعب ر عن ات جاه المتجه بالزاوية التي يصنعها مع االتجاه األفقي (االتجاه الموجب للمحور ). فمثلا : اتجاه المتجه a هو 5. A a A a 5 1 cm = 5 ft/sec B B 10 الفüسπ 1 يف ةمدقم

11 ويمكن التعبير عن اتجاه المتجه أيضا ا باستعمال زاوية الات جاه الربعي φ وت قرأ فاي وهي زاوية قياسها بين 0 و 90 شرق أو غرب الخط الرأسي (خط شمال جنوب). فمثلا زاوية االتجاه الربعي للمتجه v في الشكل المجاور هي 5 جنوب شرق وت كتب. S 5 E كما يمكن استعمال زاوية الاتج اه الحقيقي حيث ت قاس الزاوية مع عقارب الساعة بدءا ا من الشمال. وي قاس االتجاه الحقيقي بثلثة أرقام فمثلا ي كتب االتجاه الذي يحد د زاوية قياسها 5 من الشمال مع عقارب الساعة باستعمال االتجاه الحقيقي على الصورة 05. استعمل مسطرةا ومنقلةا لرسم متجه لكل من الكميات اآلتية واكتب مقياس الرسم في كل حالة: W N φ S 15 v E a = 0 ft /s )a باتجاه 00. استعمل مقياس الرسم 1 cm = 10 ft/s وارسم سهما ا طوله 10 0 أو cm بزاوية قياسها 0 من الشمال وفي اتجاه عقارب الساعة. الë» «ا ت é Rاوية يي يا ق يت بثت يرق ف ي جقم يمقت يسقلت لقدق يت يمق ااا ل ث يت يمق يفااا ف ةم v لا يفس يف مقر ا 15 تπ«ãª الªتé هæد س» v W N 0 S a 1 cm = 10 ft/s E الæ»وتø ج يفاة فاق هة ف بقف قرة N س لا يفةا يفاة ةة 1 kg فةس سقر ق 1 m/s جاهير v 1 cm = 5 N 10 v = 75 N )b بزاوية قياسها 10 مع الاتجاه األفقي. استعمل مقياس الرسم 1 cm = 5 N وارسم سهما ا طوله 5 75 أو cm في الوضع القياسي وبزاوية قياسها 10 مع االتجاه الموجب للمحور. W. S 0 W باتجاه z = 0 mi / h )c استعمل مقياس الرسم 1 i = 0 mi / h وارسم سهما ا طوله = 1.5 i 0 0 بزاوية قياسها 0 في اتجاه جنوب غرب. تë مø ª a استعمل مسطرة ومنقلة لرسم متجه لكل من الكميات اآلتية واكتب مقياس الرسم في كل حالة: z 1 i = 0 mi/h 0 N S E t = 0 ft/s )A باتجاه 05.. S 5 E باتجاه u = 15 mi/h )B m = 0 N )C بزاوية قياسها 80 مع االتجاه األفقي. الطو يف ةم ل ث ي جسقلت ي تس ي ة تس ةم يف جث يي لق ف ث يف سقلت يف ات a b عند إجرائك العمليات على المتجهات فا نك تحتاج إلى األنواع الشائعة اآلتية من المتجهات: المتجه ات المتوازية لها االتجاه نفسه أو اتجاهان متعاكسان وليس بالضرورة أن يكون لها الطول نفسه. فمثلا في الشكل المجاور. a ǁ b ǁ c ǁ e ǁ f المتج هات المتساوية لها االتجاه نفسه والطول نفسه. ففي الشكل المجاور,a c لهما الطول واالتجاه نفساهما لذا هما متساويان ويع بر عنه بالرموز: a. = c الحظ أن a b ألن b a d, a ألن لهما اتجاهين مختلفين. المتج هان المتعاكسان لهما الطول نفسه لكن اتجاهيهما متعاكسان. يكتب المتجه المعاكس للمتجه a على الصورة -a ففي الشكل المجاور. e = -a c e f d الدر س جاهجت لا يف ةمدقم 11

12 عند جمع متجهين أو أكثر يكون الناتج متجها ا و يسمى المح ص لة. ويكون لمتجه المحص لة التأثير نفسه الناتج عن تأثير المتجهين األصليين عند تطبيقهما واحدا ا تلو اآلخر. ويمكن إيجاد المحص لة هندسي ا باستعمال قاع دة المثلث أو قاعدة متو ازي األضالع. اEيé الüëªس ة ا أVسÓ متواR IدYb الå 㪠IدYb a b a, b يف ةمد ت جس مق ي يف ية a, b يف ةمد ت جس مق يت يفيم ي a b b الخطوI 1 ي يسقبق ف ةم b ب ةاا ات بهية ج ات دقت يف ةم a الخطوI 1 ي يسقبق ف ةم b ب ةاا ات بهية ج ات بهيت يف ةم. a a b a b a a + b الخطوI ي ر س جةي يس يف. a, b قس الخطوI جست يف ةمد a, b ج س يف يف ةم ا ات بهيت a يف ات b دقت الخطوI جست يف ةمد ا يف ةم يف ث جةي يس a a + b b اEيé مüëس ة متø«é ريVسة ال ªس«: قطع عبد الل ه في سباق للمشي مسافة 10 m باتجاه N 50 E ثم مسافة 80 m في اتجاه الشرق. كم يبع د عبد الله عن نقطة البداية وما هي زاوية الاتجاه الربعي افترض أن المتجه p يمث ل المشي 10 m في االتجاه N 50 E وأن المتجه q يمث ل المشي 80 m باتجاه الشرق. ارسم شكلا يمث ل p, q باستعمال مقياس الرسم. 1cm = 50 m استعمل مسطرة ومنقلة لرسم سهم طوله =. cm ويصنع زاوية قياسها 50 شمال شرق لي مث ل المتجه p وارسم سهما ا ا خر طوله = 1. cm في اتجاه الشرق لي مث ل المتجه q. N p 50. cm E 1 cm = 50 m N q 1. cm E الüëªس ة ج يث جست مق جةمد بق سة قل قهة جةي يس يقة يف س يث ج جة في ج ي سد لا يفقفت ي سة قل ات جسقبدت فاقهة يف ث ف بس ات بهيت جةم ه ات اس يف يف ةم دقت ي قاعدة المثلث الطري ة قاعدة متوازي األضلع الطري ة 1 v 1 v v اعمل انسحابا ا للمتجه q بحيث تلتقي نقطة بدايته مع نقطة نهاية المتجه p ثم ارسم متجه المحصلة p + q كما في الشكل أدناه. اعمل انسحابا ا للمتجه q بحيث تلتقي نقطة بدايته مع نقطة بداية p ثم أكمل متوازي األضلع وارسم قطره الذي يمث ل المحصلة p + q كما في الشكل أدناه. v 1 + v + v p q p + q p q p + q N p + q.7 cm 1 cm = 50 ft E نحصل في كلتا الطريقتين على متجه المحصلة p + q نفسه. قس طول p + q باستعمال المسطرة ثم قس الزاوية التي يصنعها هذا المتجه مع الخط الرأسي كما في الشكل المجاور. تجد أن طول المتجه يساوي.7 cm تقريبا ا وي مث ل = 185 m وعليه يكون عبد الله على بعد 185 m من نقطة البداية باتجاه. N E 1 الفüسπ 1 يف ةمدقم

13 تë مø ª a أوجد محصلة كل زوج من المتجهات اآلتية مستعمالا قاعدة المثلث أو متوازي األضالع. ثم حد د اتجاهها بالنسبة لألفقي. a b )B )A v w C( ل بة اأWف : رمى طفل كرةا صغيرةا في لعبة مخصصة لألطفال بسرعة 7 i/s باتجاه 10 فارتدت باتجاه 055 وبسرعة. i/s أوجد مقدار محصلة حركة الكرة واتجاهها. (قرب طول المحصلة إلى أقرب بوصة واالتجاه إلى أقرب درجة) عند جمع متجهين متعاكسين لهما الطول نفسه فا ن المحصلة هي المتج ه الصفري.ويرمز له بالرمز 0 أو 0 وطوله صفر وليس له اتجاه. وعملية طرح المتجهات تشبه عملية طرح األعداد. لا يجاد p - q اجمع معكوس q إلى p أي أن:( q -). p - q = p + و كذلك يمكن ضرب المتجه في عدد حقيق ي. يي س يف ةم v لا ه ااا k لق ل يف ةم هة k v k v يمق بقسقرة k يي ق k > 0 لق يمق k v يمق س v - _ يي ق k < 0 لق يمق k v يمق. v ارسم المتجه _ - حيث, متجهان كما في الشكل المجاور. ثم مث ل المتجه + _ (- ) على صورة حاصل جمع متجهين - أعد كتابة المتجه _ برسم متجه طوله أمثال المتجه وباالتجاه نفسه كما في الشكل طول وفي اتجاه معاكس التجاه كما في - ارسم متجها ا طوله ولتمثيل المتجه الشكل 1.1. ثم استعمل قاعدة المثلث لرسم متجه المحصلة كما في الشكل تë مø ª a ال سπµ _ - _ ال سπµ 1.1. ال سπµ ارسم المتجه الذي ي مث ل ك ال مما يأتي : m - 1_ p )B a - c + b )A a -a a + (-a) = 0 p الªتä é الªتواRية a«ا ت é نف س جس ت ق جةمد ي يث فدق يمق س جةم ف سق جم ييل يف ةمدقم يمق يمق يف ةمدقم يست س Vسرب الªتé دY a«ح» «a m/sec a + b 5 m/sec b m/sec يا k يفا ت يف ات فه يفااا k v يف ةم ل ث v ال 䫪 Y الªتä é الªت é الªتواRي الªت ك س جست ق جةمد جةي جةقس جةم ف سق يفا ت يف ات ف ب فا يف ةمد يمق يمق يف ةم ي a 7d b d a + b d m a b c الدر س جاهجت لا يف ةمدقم 1

14 r تطب» ä الªتä é : ي سمى المتجهان الل ذان ناتج جمعهما المتجه r مركب تي. r ومع أن مركبتي المتجه يمكن أن تكونا في أي اتجاه إال أنه من المفيد غالبا ا تحليل المتجه إلى مركب تين متعامدتين واحدة أفقية واألخر رأسية. ففي الشكل المجاور يمكن اعتبار القوة r المبذولة لسحب العربة بصفتها مجموع مركبتين هما أفقية تحرك العربة إلى األمام ورأسية تسحب العربة إلى أعلى. übس ال سب: يدفع علي عربة قص قياسها 5 مع سطح األرض. العشب بقوة مقدارها 50 N وبزاوية 5 a( ارسم شكالا يوض ح تحليل القوة التي يبذلها علي إلى مركبتين متعامدتين. يمكن تحليل قوة الدفع إلى مركبتين أفقية إلى األمام ورأسية إلى أسفل كما في الشكل أدناه. تπ«ë ال وI اEل مركبت» ø مت مدت» ø 50 N 5 50 N 5 يفدبق جةق يفس ة N جاهيرق ة يفس سقل يفاة يفةا بدق يفمقبت يرست لا يفس قل قا 00 N يفاة يف فت ج رل ياقل اق 000 N سق b( أوجد مقدار كل من المركبتين األفقية والرأسية للقوة. تكو ن كل من القوة ومركبتاها األفقية والرأسية مثلثا ا قائم الزاوية. استعمل تعريف الجيب أو جيب التمام لا يجاد مقدار كل قوة منهما. si 5 = _ 50 = 50 si 5 7 يفة ق يفم يف بقفست ي سة يفت يفق ست cos 5 = _ 50 = 50 cos 5 5 مقدار المركبة األفقية 5 N تقريبا ا ومقدار المركبة الرأسية 7 N تقريبا ا. تë مø ª a 5( كرI :Ωدb يركل الع ب كرة قدم من سطح األرض بسرعة مقدارها ft/s وبزاوية قياسها مع سطح األرض كما في الشكل أدناه. ft/sec A( ارسم شكلا يوض ح تحليل هذه السرعة إلى مركبتين متعامدتين. B( أوجد مقدار ك ل من المركبتين األفقية والرأسية للسرعة. 1 الفüسπ 1 يف ةمدقم

15 حد د الكميات المتجهة والكميات القياسية في كل مما يأتي: )مثال 1( ركوب الزوارق: غادر زورق أحد المواني باتجاه N 0 W فقطع مسافة 1 ميلا بحري ا ثم غي ر قائد الزورق اتجاه حركته إلى N 5 E فقطع مسافة 15 ميلا بحري ا. أوجد ب عد الزورق واتجاه حركته في موقعه الحالي بالنسبة إلى الميناء. )مثال ) حد د مقدار المحصلة الناتجة عن جمع المتجهين واتجاهها في كل مما يأتي: )مثال ) 18 N لألمام ثم 0 N للخلف. )17 )18 )1 طول محمد. 15 cm ) مساحة مربع.0 m ( يركض غزال بسرعة 15 m/s باتجاه الغرب. ( المسافة التي قطعتها كرة قدم. 5 m 100 m للشمال ثم 50 m للجنوب. )19 5( إطار سيارة وزنه 7 kg معلق بحبل. 17 mi شرقا ا ثم 1 mi جنوبا ا. )0 ( رمي حجر رأسي ا إلى أعلى بسرعة. 50 ft/s 15 m/ s باتجاه زاوية قياسها 0 مع األفقي ثم 9.8 m/ s إلى األسفل. )1 استعمل المسطرة والمنقلة لرسم متجه لكل من الكميات اآلتية ثم اكتب مقياس الرسم في كل حالة. )مثال ( استعمل المتجهات اآلتية لرسم متجه يمث ل كل عبارة مما يأتي: )مثال ) h = 1 i/s باتجاه 05 N 70 W باتجاه g = km/h )7 )8 m p j = 5 ft/s وبزاوية قياسها 00 مع األفقي. )9 d = 8 km وبزاوية قياسها 5 مع األفقي. )10 m - ) S 55 E باتجاه R = 0 m )11 + _ 5 p ) = m/s باتجاه 00 )1 p + - m m - + 1_ p ) )5 أوجد محصلة كل زوج من المتجهات اآلتية باستعمال قاعدة المثلث أو قاعدة متوازي األضالع قر ب المحصلة إلى أقرب جزء من عشرة من السنتمتر ثم حد د اتجاهها بالنسبة لألفقي مستعمالا المسطرة والمنقلة: )مثال ) ارسم شكالا يوض ح تحليل كل متجه مما يأتي إلى مركبت يه المتعامدتين ثم أوجد مقدار كل منهما. )مثال 5( d ) 1 ) 1 a باتجاه 10 مع األفقي. 1_ 8 i/s ) c b.n 9 E باتجاه 1.5 cm )7 _ باتجاه 55. i/mi )8 m ) 1 ) 15 h k الدر س تاهجتملا يف ةمدقم 15

16 تæ»ف: يدفع حسن عصا مكنسة التنظيف بقوة مقدارها 190 N وبزاوية قياسها مع سطح األرض كما في الشكل المجاور. )جثقل 5( أوجد طول واتجاه المتجه الموازن للمتجهين: a = 15 mi/h باتجاه 15 b = 1 mi/h باتجاه 05 ) 190 N )9 ) a( ارسم شكلا يوض ح تحليل هذه القوة إلى مركبتيها المتعامدتين. كرI حديدية: ع ل قت كرة حديدية بحبلين متساويين في الطول كما في الشكل أدناه b( أوجد مقدار ك ل من المركبة األفقية والمركبة الرأسية. 1 ل ب اأWف : يدفع محمد عربة أخته بقوة مقدارها 100 N وباتجاه 1 مع األفقي أوجد مقدار المركبة الرأسية للقوة إلى أقرب عدد صحيح. تäӫ㪠مت دI : في هذه المسألة ستستقصي ضرب متجه في عدد حقيقي. a( إذا كانت T 1, T ت مث لن قوت ي الشد في الحبلين وكانت T 1 = T فارسم شكلا ي مث ل وضع التوازن للكرة. )0 )1 :v«ن«h a( ارسم المتجه a على المستو الا حداثي بحيث تكون نقطة بدايته عند نقطة األصل. واختر قيمة عددية ل k ثم ارسم متجها ا ناتجا ا عن ضرب k في المتجه األصلي على المستو الا حداثي نفسه. وكر ر العملية مع أربعة متجهات أخر,b,c,d e واستعمل قيمة k نفسها في كل مرة. T 1 + أعد رسم الشكل باستعمال قاعدة المثلث لتجد T b( c( استعمل الشكل في الفقرة b وحقيقة أن محصلة T 1 + T هي المتجه الموازن لوزن الكرة لحساب مقدار ك ل من T 1, T Lدول» v : b( انسخ الجدول أدناه في دفترك ثم اكتب البيانات المناسبة داخله لكل متجه رسمته في الفرع a. أوجد طول كل متجه واتجاهه مما يأتي بمعلومية مركبت يه األفقية والرأسية والمد الممكن لزاوية كل منها: ) األفقية 0. i الرأسية < θ < i 90. ن طة ال æية ل ªتé م سرو kh a«ال د k ن طة ال æية ل ªتé الªتé a )5 األفقية.1 ft الرأسية < θ < 90. ft 0. b c ) األفقية. cm الرأسية < θ < cm 70. d e c( ت v««ë : إذا كانت ) b (,a نقطة النهاية للمتجه a فما إحداثيات نقطة النهاية للمتجه k a الªتé الªواR هو متجه يساوي متجه المحصلة في المقدار ويعاكسه في الاتجاه بحيث إن ناتج جمع متجه المحصلة مع المتجه الموازن يساوي المتجه الصفري والمتجه الموازن للمتجه a + b هو (b a)- + ارسم ثالثة متجهات,a,b c لتوضح صحة كل خاصية من الخصاي ص اآلتية هندس يا: )7 الخاصية الا بدالية a + b = b + a )8 الخاصية التجميعية c) (a + b) + c = a + (b + b a )9 الخاصية التوزيعية k(a + b) = k a + k b حيث - 0.5, =, k -(a + b) 1 الفüسπ 1 يف ةمدقم

17 م س ألة مفتوحة: لديك متجه مقداره 5 وحدات باالتجاه الموجب لمحور حل ل المتجه إلى مركبتين متعامدتين على أال تكون أي منهما أفقية أو رأسية. تبرير: حد د ما إذا كانت العبارة اآلتية صحيحة أحيانا ا أو صحيحة دائما ا أو ليست صحيحة أبدا ا وبر ر إجابتك. من الممكن إيجاد مجموع متجهين متوازيين باستعمال طريقة متوازي األضلع. تبرير: بفرض أن: b a + b a + a( عب ر عن هذه العبارة بالكلمات. b( هل هذه العبارة صحيحة أم خاطئة بر ر إجابتك. اكت شف الخط أ: حاول كل من حسين ومصطفى إيجاد محصلة المتجهين. a, b أيهما كانت إجابته صحيحة بر ر إجابتك. ح ل المثلث اآلتي مقر با ا الناتج إلى أقرب ع شر إذا لزم ذلك. )مهارة سابقة( A 1 B 110 ح ل المعادلة: 0 = si - cos لجميع قيم. )مهارة سابقة( b a 8 C )9 )50 )51 )5 نزهة: قام حسان بنزهة خارج مخيمه الكشفي فقطع مسافة.75 km في اتجاه الشرق من المخيم حتى وصل أحد المساجد ثم سار شماالا قاصدا ا حديقةا عامةا فقطع مسافة 5. km حد د موقع الحديقة بالنسبة للمخيم طارت طائرة لعبة تسير باستعمال جهاز التحكم عن ب عد بزاوية قياسها مع األفقي وبسرعة 8 ft/s كما في الشكل أدناه. أي مما يأتي ي مث ل مقدار المركبتين األفقية والرأسية لسرعة الطائرة على الترتيب a b a )0 )1 ) ) a + b b a + b 8 ft/sec تبرير: هل من الممكن أن يكون ناتج جمع متجهين مساويا ا ألحدهما بر ر إجابتك. ) 5. ft/s, 0.7 ft/s A اكتب: قارن بين قاعدت ي متوازي األضلع والمثلث في إيجاد محصلة متجهين. )5 0.7 ft/s, 5. ft/s B 5. ft/s, 90. ft/s C 90. ft/s, 5. ft/s D 0 10 أوجد قيمة في كل مما يأتي مقر با ا الناتج إلى أقرب ع شر إذا لزم ذلك. )مهارة سابقة( ) ) 8 ) الدر س تاهجتملا يف ةمدقم 17

18 a«الiƒà ùª ا MEداK «الéઠاä Vectors i the Coordiate Plae تو ث ر الرياح في سرعة الطاي رة واتجاه حركتها لذا يستعمل قاي د الطاي رة مقاييس مد رجة لتحديد السرعة واالتجاه الذي يجب على الطاي رة السير فيه لمعادلة أثر الرياح وعادة ما يتم إجراء هذه الحسابات باستعمال المتجهات في المستو اإلحداثي. الéઠاä a«الiƒà ùª ا MEداK «في الدرس 1-1 تعلمت إيجاد طول )مقدار( المحص لة واتجاهها لمتجهين أو أكثر هندس يا باستعمال مقياس رسم. وبسبب عدم دقة الرسم فا ننا نحتاج إلى طريقة جبرية باستعمال نظام اإلحداثيات المتعامدة للمواقف التي تحتاج إلى دق ة أكثر أو التي تكون فيها المتجهات أكثر تعقيد ا. ويمكن التعبير عن P ÆÆÆ في الوضع القياسي في المستو اإلحداثي كما في الشكل 1..1 بصورة وحيدة وذلك با حداث يي نقطة نهايته (. P(, وهذه الصورة هي, حيث إن, هما المركبتان المتعامدتان ل ÆÆÆ P لذا t p v w الπµ û 1.. ت سمى, الص ورة الا حداثية للمتجه. P الπµ û 1..1 P(, ) وحيث إن المتجهات التي لها الطول واالتجاه نفساهما متكافي ة فا نه با مكاننا التعبير عن كثير من المتجهات باإلحداثيات نفسها فمثال المتجهات,p,t,v w في الشكل 1.. متكافي ة إذ يمكن التعبير عن أي منها بالصورة, وإليجاد الصورة اإلحداثية لمتج ه مرسو م في وض ع غير قياسي استعمل إحداثيي نقط تي بدايته ونهايته. A( 1, 1 ) - 1 B(, ) - 1 الƒ üرi ا MEداá«K لéઠA( 1, 1 ) AB ÆÆÆ ر B(, ) - 1, - 1 ر س ر س ) -1 (1 ر compoet form uit vector stadard uit vectors liear combiatio ا وجد الصورة الا حداثية ل AB ÆÆÆ الذي نقطة بدايته ( -)A, ونقطة نهايته (5-,)B. ر ( 1, 1 ) = (-, ), (, ) = (, -5) AB ÆÆÆ = - 1, - 1 = - (-), -5 - = 7, -7 تح مø ª a ا MEداá«K بالƒ üرi الéઠøy الà ب»ر 1 ا وجد الصورة الا حداثية ل AB ÆÆÆ ال معطاة نقطتا بدايته ونهايته في ك ل م ما يأتي: A(0, 8), B(-9, -) )1B A(-, -7), B(, 1) )1A 18 الفπ ü 1

19 يمكن إيجاد طول المتجه في المستو اإلحداثي باستعمال قانون المسافة بين نقطتين. ( 1, 1 ) v - 1 (, ) - 1 (, ) ( 1, 1 ) v v v = ÇÇÇÇÇÇÇÇÇ ( - 1 ) + ( - 1 ) vر a, b الª»ار ر ر ا MEداK «الiƒà ùª a«الéઠطƒل v = ÇÇÇ a + b مéà طƒل اEيéاد ا وجد طول AB ÆÆÆ الذي نقطة بدايته ) A(-, ونقطة نهايته -5) B(,. ( 1, 1 ) = (-, ), (, ) = (, -5) AB ÆÆÆ = ÇÇÇÇÇÇÇÇÇ ( - 1 ) + ( - 1 ) = ÇÇÇÇÇÇÇÇÇ [ - (-)] + (-5 - ) = Ç AB ÆÆÆ = ÇÇÇÇÇ الàح علمت من المثال 1 أن: -7 7, = ÆÆÆ AB وعليه فا ن: Ç 98 = (-7) + 7 تح مø ª a ا وجد طول AB ÆÆÆ المعطاة نقطتا بدايته ونهايته في ك ل م ما يأتي: A(0, 8), B(-9, -) )B A(-, -7), B(, 1) )A تشبه عمليات الضرب في عدد حقيقي والجمع والطرح على المتجهات العمليات نفسها على المصفوفات. الéઠاä Y ى ال ª»اä k a = a 1, a, b = b 1, b a + b = a 1 + b 1, a + b مø«éà ªL a - b = a 1 - b 1, a - b طرì مø«éà k a = ka1, ka» «M Yددm»a مm éà Üر V س ا وجد كلا مما يأتي للمتجهات 1 -, = c : a =, 5, b = -, 0, c + a )a س c + a = -, 1 +, 5 = - +, = -, b - a )b b - a = b + (-)a = -, 0 + (-), 5 = -, 0 + -, -10 = -7, -10 تح مø ª a الéઠاä Y ى ال ª»اä ا وجد كلا مما يأتي للمتجهات: 1 -, = c : a =, 5, b = -, 0, c + a - b )C -c )B c + b )A الàح ب»اv«fا a الدر س

20 مéà اä الMƒدI : ي سم ى المتجه الذي طوله 1 متجه الوحدة ويرمز له بالرمز u وإليجاد متجه الوحدة u الذي له نفس اتجاه المتجه v اقسم المتجه v على طوله v. u = v_ v = 1_ v v وبذلك يكون v. u = v ونكون قد عب رنا عن المتجه غير الصفر ي v في صورة حاصل ضرب متجه وحدة بنفس اتجاه v في عد د حقيقي. اEيéاد مéà IدMh ل fفùس ا تéا لm éઠم k ى ا وجد متجه الوحدة u الذي له نفس اتجاه,- = v. v u = 1_ v v س a, b = ÇÇÇÇ a + b = 1_ -, -, 1 = (-) ÇÇÇÇÇ -, + = = = 1_ -, 1 Ç _-, 1 Ç Ç 1 _ - Ç 1 Ç 1, 1 1 hي»اω رhان هام» ƒàن ( ) ر الàح بما أن u تمثل حاصل ضرب v في عدد موجب فا ن له اتجاه v نفسه. تحق ق من أن طول u هو. 1 = ÇÇÇÇÇÇÇ _- ( Ç 1 ) + _ u ( Ç 1 ) = ÇÇÇÇ _ 1 + 9_ 1 = Ç 1 = 1 تح مø ª a ا وجد متجه الوحدة الذي له نفس اتجاه المتجه ال معطى في ك ل م ما يأتي: = -, -8 )B w =, - )A ي رمز لمتجهي الوحدة باالتجاه الموجب لمحور واالتجاه الموجب لمحور بالرمزين 1 0, = j i = 1, 0, على الترتيب كما في الشكل. 1.. كما ي سم ى المتجهان i, j مت ج هي الوحدة القياسيين. bj ai v = a, b الπµ û 1.. الπµ û 1.. ويمكن استعمال هذين المتجهين للتعبير عن أي متجه b v =,a على الصورة v = a i + b j كما في الشكل 1.. وذلك ألن: ر v = a, b ر = a, 0 + 0, b = a 1, 0 + b 0, 1 1 j i 1 1, 0 = i, 0, 1 = j = a i + b j مéà الMƒدiI i i i i 0 الفπ ü 1

21 تسمى الصورة a i + b j تواف قا خطيا ا للمتجهين. i, j وي قصد بها كتابة المتجه بداللة متج هي الوحدة i, j إذا كانت نقطة بداية المتجه DE ÆÆÆ هي ( -)D, ونقطة نهايته (5 )E, فاكتب DE ÆÆÆ على صورة تواف ق خط ي لمتج هي الوحدة. i, j أوال أوجد الصورة اإلحداثية ل. DE ÆÆÆ الMƒدI ل éઠ«N «تƒاa Iرƒ U Y ى مm éà àcابá 5 ر DE ÆÆÆ = - 1, - 1 ( 1, 1 ) = (-, ), (, ) = (, 5) = - (-), 5 - =, ثم أعد كتابة المتجه على صورة تواف ق خطي لمتج هي الوحدة. ر a, b = ai + bj DE ÆÆÆ =, = i + j تح مø ª a اكتب المتجه DE ÆÆÆ ال معطى نقطتا بدايته ونهايته على صورة تواف ق خط ي لمتج هي الوحدة i, j في ك ل م ما يأتي : D(-, -8), E(7, 1) )5B D(-, 0), E(, 5) )5A (a, b) v v si θ θ v cos θ الπµ û 1..5 ويمكن كتابة المتجه b v =,a باستعمال زاوية االتجاه التي يصنعها v مع االتجاه الموجب لمحور. فمن الشكل 1..5 يمكن كتابة v على الصورة اإلحداثية أو على صورة تواف ق خطي لمتج هي الوحدة,i j كما يأتي: ر س i, j v = a, b = v cos θ, v si θ = v (cos θ) i + v (si θ) j ا وجد الصورة الا حداثية للمتجه v الذي طوله 10 وزاوية اتجاهه 10 مع الا فقي. v, θ vر v = 10, θ = 10 1 cos 10 = -, si 10 = Ç اEيéاد الƒ üرi ا MEداá«K v = v cos θ, v si θ = 10 cos 10, 10 si 10 = 10 (- 1 Ç ) ), 10 ( = -5, 5 Ç مéà الMƒدI ر v = v cos θ, v si θ س vر u = 1 cos θ, 1 si θ = cos θ, si θ (-5, 8.7) v 10 الàح مث ل بيان يا: 8.7-5, v = -5, 5 Ç تجد أن قياس الزاوية التي يصنعها v مع االتجاه الموجب لمحور هي 10 كما في الشكل المجاور v = ÇÇÇÇÇÇ (-5) + (5 Ç ) = 10 تح مø ª a ا وجد الصورة الا حداثية للمتجه v ال معطى طوله وزاوية اتجاهه مع الا فقي في ك ل م ما يأتي : v =, θ = 10 )B v = 8, θ = 5 )A الدر س - 1 1

22 من الشكل (1..5) تستنتج أنه يمكن إيجاد زاوية اتجاه المتجه b v =,a مع االتجاه األفقي )الموجب لمحور (. ta θ = b_ a أو ta θ = _ v si θ ب ح ل المعادلة المثلثية: v cos θ ل éઠاä ا تéا hrايا (, 7) الπµ û 1.. الπµ û 1..7 (, -5) ا وجد زاوية اتجاه ك ل من المتجهات اآلتية مع الاتجاه الموجب لمحور. p = i + 7 j )a ta θ = b_ a a =, b = 7 ta θ = 7_ -1 θ θ = ta 7_ من خالل الصورة اإلحداثية للمتجه = = 7 فا ن المتجه يقع في الربع األول إذن: θ.8 أي أن زاوية اتجاه المتجه p هي.8 تقريب ا كما في الشكل. 1.. r =, -5 )b ta θ = b_ a -5 a =, b = -5 ta θ = _ -1 θ θ = ta _ (- 5 من خالل الصورة اإلحداثية للمتجه < 0-5 = = > 0 فا ن المتجه يقع في الربع الرابع وبالتالي زاويته θ -51. بما أن r يقع في الربع الرابع كما في الشكل 1..7 فا ن: 08.7 = θ ) ta θ ta θ = ta(θ + 180) ta θ θ ta θ θ س ر س 180 تح مø ª a ا وجد زاوية اتجاه ك ل من المتجهين اآلتيين مع الاتجاه الموجب لمحور. -, -8 )7B -i + j )7A الéઠاä Y ى ت ب» ال ª»اä 8 5 m/s 0 5 m/s 5 m/s يركض حارس مرمى في لعبة كرة القدم للا مام بسرعة :Ωدb Iرc ليرمي الكرة بسرعة 5 m/s بزاوية 0 مع الا فقي. ا وجد محصلة السرعة واتجاه حركة الكرة. بما أن الالعب يتحرك للا مام بشكل مستقيم فا ن الصورة اإلحداثية لمتجه سرعة الالعب v 1 هي 0,5 وتكون الصورة اإلحداثية لمتجه سرعة الكرة v هي: v ر v = 5, θ = 0 v = v cos θ, v si θ = 5 cos 0, 5 si 0 19., 1.1 الفπ ü 1

23 θ v 1 r v اجمع المتجهين v v 1 جبر يا لتجد متجه محصلة السرعة. r r = v 1 + v س , + 0 5, = =., 1.1 θ وتكون زاوية اتجاه المحصلة مع األفقي هي. r = ÇÇÇÇÇ طول متجه المحصلة هو حيث: _ 1.1 a, b =., 1.1 ta θ = b_ a θ ta θ =. θ = ta _.. أي أن محصلة سرعة الكرة هي 9.1 m/s تقريب ا وتصنع زاوية قياسها. مع األفقي تقريب ا. تح مø ª a 7 m/s أوجد محصلة السرعة واتجاه حركة الكرة إذا تحرك الالعب إلى األمام بسرعة :Ωدb Iرc 8( ا وجد الصورة الا حداثية وطول AB ÆÆÆ ال معطاة نقطتا بدايته ونهايته في ك ل م ما يأتي: (,1( ا وجد متجه وحدة له اتجاه المتجه v نفسه في ك ل م ما يأتي: )( v = -, 7 )1 v = 9, - )1 A(-, 1), B(, 5) )1 v = -8, -5 )15 A(, -7), B(-, 9) ) v =, )1 A(10, -), B(, -5) ) v = -1, -5 )17 A(-, ), B(1, 10) ) v = 1, 7 )18 A(.5, -), B(-, 1.5) )5 اكتب DE ÆÆÆ ال معطاة نقطتا بدايته ونهايته في ك ل م ما يأتي على صورة تواف ق خ طي لمتج هي الوحدة )5( : i, j D(, -1), E(5, -7) D(9, -), E(-7, ) D(, 11), E(-, -8) D(9.5, 1), E(0, -7.) D(-, -), E(9, 5) D ( 1_ 8, ), E _ (-, 7) )19 )0 )1 ) ) ) ا وجد الصورة الا حداثية للمتجه v ال معطى طوله وزاوية اتجاهه مع A ( 1_, -9 ), B 5_ (, ) إذا كان: -, = h f = 8, 0, g = -, -5, فأوجد كلا مما يأتي: )( h - g f + h f + g - h f - g - h h - f + 5g g - f + h ) )7 )8 )9 )10 )11 )1 الدر س - 1

24 الاتجاه الموجب لمحور في ك ل م ما يأتي: )( ذلك فاذكر السبب. A(, 5), B(, 9), C(-, -), D(-, 0) ) v = 1, θ = 0 )5 A(1, -), B(0, -10), C(11, 8), D(10, 1) v = 1, θ = 0 v =, θ = 15 v = 15, θ = 15 ا وجد زاوية اتجاه ك ل من المتجهات اآلتية مع الاتجاه الموجب لمحور : (مثال )7 اùf حاÜ : يمكنك سحب شكل هندسي باستعمال المتجه b,a وذلك با ضافة a إلى اإلحداثي وإضافة b إلى اإلحداثي. a( ح دد المتجه الذي ي ستعمل لسحب FGH إلى F G H في الشكل المجاور. )b إذا استعمل المتجه - -, لسحب F G H فم ثل بيان يا ك ال من F'G'H' وصورته. F G H F G F' G' H H' )7 )8 i + j -i + 5j -i - j -5, 9 ) )7 )8 )9 )0 )1 ) مáMÓ :áيƒl تطير طاي رة جهة الشرق بسرع ة مقدارها 00 mi/h وتهب الرياح بسرع ة مقدارها 85 mi/h باتجاه )8(. S 59 E. F G H إلى FGH ح دد المتجه الذي ي ستعمل لسحب c( ا وجد نقطة نهاية ممكنة لكل متجه مما يأتي إذا عل م Ç 7, (-1, ) )9 ت طوله ونقطة بدايته: N 00 mi/h ) 10, (-, -7) mi/h a( أوجد محص لة سرعة الطاي رة. b( أوجد زاوية اتجاه مسار الطاي رة. تéدي : يجدف شخص بقاربه في نهر باتجاه عمودي على الشاطي بسرعة 5 mi/h ويو ث ر فيه تيار ماي ي باتجاه مجر النهر سرعته. mi/h a( أوجد السرعة التي يتحرك بها القارب إلى أقرب جزء من عشرة. b( أوجد زاوية اتجاه حركة القارب بالنسبة للشاطي إلى أقرب درجة. مáMÓ :áيƒl تطير طاي رة بسرعة مقدارها 80 mi/h باالتجاه N 8 E وبسبب الرياح فا ن محصلة سرعة الطاي رة بالنسبة لسطح األرض أصبحت 518 mi/h باتجاه. N 79 E ارسم شكال ي مث ل هذا الموقف. ب ين ما إذا كان AB ÆÆÆ, CD ÆÆÆ ال معطاة نقطتا البداية والنهاية لك ل منهما فيما يأتي متكافي ين ا و لا وإذا كانا متكافي ين فأثبت ا ن AB ÆÆÆ = CD ÆÆÆ وإذا كانا غير اBلá تƒ üير: ع ل قت ا لة تصوير معدة لمتابعة حدث رياضي بثالثة حبال كما في الشكل المجاور إذا كان الشد في كل حبل يمث ل متجه ا فأجب عما يأتي: a( أوجد الصورة اإلحداثية لكل متجه ألقرب عدد صحيح. b( أوجد الصورة اإلحداثية لمتجه المحصلة المو ثر على ا لة التصوير. أوجد مقدار واتجاه محصلة القو. c( 100 N N 700 N 9 )0 )1 ) :Iƒb تو ث ر قوة الجاذبية g وقوة االحتكاك على صندوق في وضع السكون موضوع على سطح ماي ل ويب ين الشكل أدناه المركبتين المتعامدتين للجاذبية األرضية )الموازية للسطح والعمودية عليه(. ما الوصف الصحيح لقوة االحتكاك ليكون هذا الوضع ممكن ا ) )5 الفπ ü 1

25 m p )الدر س - 1 )1 g θ 1_ p + ) 5 - _ m ) 51 p + - m ) 5 m - ) 5 تبرير: إذا كان a, b متجهين متوازيين فعب ر عن كل من المتجهين بالصورة اإلحداثية مبي ن ا العالقة بين a., b ) تبرير: إذا أ عطيت طول متجه ونقطة بدايته فصف المحل الهندسي للنقاط التي يمكن أن ت مث ل نقطة نهايته. )إرشاد: المحل الهندسي هو مجموعة من النقاط تحقق شرط ا معي ن ا(. 55( ما طول المتجه الذي نقطة بدايته (5,) ونقطة نهايته (-,-) ) Ç 8 C Ç A ÇÇ 10 D Ç B تحد : إذا كانت زاوية اتجاه, هي () فأوجد قيمة بداللة. )5 P 0 R ما مساحة المثلث المجاور S إذا علمت أن PR = RS )5 برهان: إذا كان: a = 1, 1, b =,, c =, فأثبت الخصائص اآلتية: a + b = b + a ) 18 Ç D 18 Ç C 9 Ç B 9 Ç A (a + b) + c = a + (b + c) k (a + b) = ka + kb حيث k عدد حقيقي. )7 )8 a ka = k حيث k عدد حقيقي. )9 د مى اأطفال: يقوم محمد بسحب دميته بقوة مقدارها 1.5 N بواسطة نابض مثب ت بها. )الدر س 1-1 ) )50 a( إذا كان النابض يصنع زاوية 5 مع سطح األرض فأوجد مقدار كل من المركبتين الرأسية واألفقية للقوة. b( إذا رفع محمد النابض وأصبح يصنع زاوية قياسها 78 مع سطح األرض فأوجد مقدار كل من المركبتين األفقية والرأسية للقوة. استعمل مجموعة المتجهات اآلتية لرسم متجه يمث ل كلا مما يأتي: الدر س - 1 5

26 الداN «ال شرÜ Dot Product B(b 1, b ) b a BA A(a 1, a ) تحمل كلمة الشغل معان متعددة في الحياة اليومية إلا أن لها معنى محد دا في الفيزياء وهو مقدار القوة المو ثرة في جسم مضروبة في المسافة التي يتحركها الجسم في اتجاه القوة. ومثال ذلك: الشغل المبذول لدفع سيارة مسافة محددة. ويمكن حساب هذا الشغل باستعمال عملية على المتجهات تسمى الضرب الداخلي. ال شرÜ الداN «تعلمت في الدرس - 1 عمليتي الجمع والضرب في عدد حقيقي على المتجهات. وفي هذا الدرس سوف تتعلم عملية ثالثة على المتجهات. إذا كان لديك المتجهان المتعامدان a, b في الوضع القياسي وكان BA ÆÆÆ المتجه الواصل بين نقطتي نهاية المتجهين كما في الشكل المجاور. فإنك تعلم من نظرية فيثاغورس أن b BA ÆÆÆ = a +. ر س a = ÇÇÇÇ a 1 + a, a = a 1 + a, b = ÇÇÇÇ b 1 + b, b = b 1 + b BA ÆÆÆ BA ÆÆÆ BA ÆÆÆ BA ÆÆÆ BA ÆÆÆ وباستعمال مفهوم طول المتجه يمكنك إيجاد ÆÆÆ BA. = ÇÇÇÇÇÇÇÇÇ (a 1 - b 1 ) + (a - b ) = (a 1 - b 1 ) + (a - b ) = a 1 - a 1 b 1 + b 1 + a - a b + b = (a 1 + a ) + (b 1 + b ) - ( a 1 b 1 + a b ) = a + b - ( a 1 b 1 + a b ) لاحظ أن العبارتين b a + b - ( a 1 b 1 + a b ) a + متكافي تان إذا وفقط إذا كان = 0. a 1 b 1 + a b وي س مى التعبير a 1 b 1 + a b الض رب الداخلي للمتجهين a, b وي رمز له بالرمز a b وي قرأ الضرب الداخلي للمتجهين a, b أو ي قرأ اختصا را. a dot b ا MEداK «الùªشتiƒ a«لªتø«é الداN «ال شرÜ a = a 1, a, b = b 1, b a b = a 1 b 1 + a b ر ر س ) - (1 dot product rthogoal vectors work ال شرÜ ال» ش«س لاحظ أنه خال فا لعمليتي الجمع والضرب في عدد حقيقي على المتجهات فإن حاصل الضرب الداخلي لمتجهين يكون عد دا وليس متج ها. ويتعامد متجهان غير صفريين إذا وفقط إذا كان حاصل ضربهما الداخلي صف را. ويقال للمتجهين الل ذين حاصل ضربهما الداخلي صفر: مت جهان متعامدان. الªت éن الªت eدان a b = 0 a, b على الرغم من أن حاصل الضرب الداخلي للمتجه الصفري في أي متجه ا خر يساوي الصفر أي أن : = 0 a 1, a = 0 a a 0 0, إلا أن المتجه الصفري لا يعامد أي متجه ا خر ألنه ليس له طول أو اتجاه. الüØشπ 1

27 ø«éتe ت eد øe التë a«الداn «ال شرÜ ا شت ª 1 u أوجد الضرب الداخلي للمتجهين u, v ثم تحقق مما إذا كانا متعامدين. u =, 5, v = 8, )b u =,, v = -, )a v u v = (8) + 5() = بما أن 0 v u فإن u, v غير متعامدين كما هو مو ضح في الشكل. 1.. u v = (-) + () = 0 بما أن = 0 v u فإن u, v متعامدان كما هو مو ضح في الشكل تë ª a øe أوجد الضرب الداخلي للمتجهين u, v ثم تحقق مما إذا كانا متعامدين. ال شπµ 1..1 u v u = -, -, v = 9, - )1B u =, -, v = -5, 1 )1A يحقق الضرب الداخلي الخصائص اآلتية : الداN «ال شرÜ ünشüfس ال شπµ 1.. س k u, v, w u v = v u u (v + w) = u v + u w k(u v) = k u v = u k v 0 u = 0 u u = u u u = u u = u 1, u س ( u 1 + u )رر u u = u 1 + u = ( ÇÇÇÇ + u u 1 ) ÇÇÇ u 1 + u = u = u 5 7س éتe ƒw éيe الداN «ال شرÜ ا شت ª استعمل الضرب الداخلي لا يجاد طول 1-5, = a. بما أن: a = a a فإن: a = ÇÇ a a. a = -5, 1-5, 1 = ÇÇÇÇÇÇÇÇ -5, 1-5, 1 = ÇÇÇÇÇ (-5) + 1 = 1 تë ª a øe استعمل الضرب الداخلي لا يجاد طول كل من المتجهات اآلتية : c = -1, -7 )B b = 1, 1 )A b θ a الزاوية θ بين أي متجهين غير صفريين a, b هي الزاوية بين هذين المتجهين عندما يكونان في وضع قياسي كما في الشكل المجاور حيث إن: θ π 0 أو 180 θ 0 ويمكن استعمال الضرب الداخلي لا يجاد قياس الزاوية بين متجهين غير صفريين. الدر س - 1 7

28 b - a a θ b u = u u u u = u a + b - a b الõاhيá ب» ø ø«éتe a, bθ a b cos θ = _ a b a, b, b - a a + b - a b cos θ = b - a a + b - a b cos θ = ( b - a) ( b - a) a + b - a b cos θ = b b - b a - a b + a a a + b - a b cos θ = b - a b + a - a b cos θ = - a b a b cos θ = _ a b الªتä é الªت eدi الªتƒاRيá hالªتä é ø«éتe ب» ø الõاhيá «bس اEيé أوجد قياس الزاوية θ بين المتجهين u, v في كل مما يأتي: u =,, v = -, )a -, v 15, u u =,, v = -, س u v cos θ = _ u v, -, cos θ =, -, - + cos θ = _ Ç 0 Ç 5-18 cos θ = _ 10 Ç θ = cos _ Ç 10 أي أن قياس الزاوية بين u, v هو 15 تقري با كما في الشكل أعاله. u =, 1, v =, - )b u v cos θ = _ u v u =, 1, v =, -, 1, - cos θ =, 1, - u v, 1, - س 9 + (-) cos θ = _ Ç 10 Ç 18 cos θ = 1_ 5 Ç θ = cos -1 1_ Ç 5 أي أن قياس الزاوية بين u, v هو تقري با كما في الشكل المجاور. 8 الüØشπ 1

29 تë ª a øe أوجد قياس الزاوية θ بين المتجهين u, v في كل مما يأتي: u = 9, 5, v = -, 7 )B u = -5, -, v =, )A من التطبيقات على الضرب الداخلي للمتجهات حساب الشغل الناتج عن قوة فإذا كانت F قو ة مو ثر ة في جسم لتحريكه من النقطة A إلى B كما في الشكل أدناه وكانت F موازي ة ل ÆÆÆ AB فإن الشغل W الناتج عن F يساوي مقدار القوة F مضرو با في المسافة من A إلى B أو ÆÆÆ. W = F AB F A B ولحساب الشغل الناتج من قوة ثابتة F بأي اتجاه لتحريك جسم من النقطة A إلى B كما في الشكل المجاور يمكنك استعمال الصيغة: Fsi θ F θ Fcos θ A B W= F AB ÆÆÆ أي أنه يمكن حساب هذا الشغل بإيجاد الضرب الداخلي بين القوة الثابتة F والمسافة المتجهة AB ÆÆÆ بعد كتابتهما في الصورة الا حداثية. ال ش π ÜشùM -5 5 F AB F w 1 :Iر«ش يدفع شخص سيارة بقوة ثابتة مقدارها 10 N بزاوية 5 كما في الشكل المجاور أوجد الشغل المبذول بالجول لتحريك السيارة 10 m (با همال قوة االحتكاك). استعمل قاعدة الضرب الداخلي للشغل. ال ش π Mhداä س ر الصورة الا حداثية للقوة المتجهة F بدلالة مقدار القوة وزاوية الاتجاه هي : 5 ) (- si 10 cos (- 5 ), 10. الصورة الا حداثية لمتجه المسافة هي 0 10,. س W = F AB ÆÆÆ = 10 cos (-5 ), 10 si (-5 ) 10, 0 = [10 cos (-5 )](10) 88.5 أي أن الشخص يبذل 88.5 J من الشغل لدفع السيارة. تë ª a øe 0 5 N ( تæ»ف: يدفع إبراهيم مكنس ة كهربائي ة بقوة مقدارها 5 N إذا كان قياس الزاوية بين ذراع المكنسة وسطح األرض 0 فأوجد الشغل بالجول الذي بذله إبراهيم عند تحريك المكنسة مسافة m الدر س - 1 9

30 أوجد حاصل الضرب الداخلي للمتجهين v, u ثم تحقق م ما إذا كانا متعامدين أم ال. )1( u =, -5, v =, u = 9, -, v = 1, u =, -, v = 7, 5 u = 11i + 7j, v = -7i + 11j u = -,, v = -5, - âيr الõيتƒن: يمث ل المتجه 97 0, = u أعداد علبتين مختلفتين من زيت الزيتون في متجر ويمث ل المتجه 15,7.5 = v سعر العلبة من كال النوعين على الترتيب )1( أوجد متجه ا يعامد المتجه المعطى في كل مما يأتي: -, -8, 5 7, - -1, shارi : á éy يعامد المتجه r في العجلة الدوارة في الوضع القياسي متجه السرعة المماسية v عند أي نقطة من نقاط الدائرة. r v )17 )18 )19 )0 )1. u v أوجد )a )1 ) ) ) )5 ) b( فس ر النتيجة التي حصلت عليها في الفرع a في سياق المسألة. استعمل الضرب الداخلي لا يجاد طول المتجه المعطى. )( r = -9, - ) 8 m = -, 11 ) 7 t =, -1 ) 10 v = 1, -18 ) 9 أوجد قياس الزاوية θ بين المتجهين u, v في كل مما يأتي وقر ب الناتج )(. إلى أقرب جزء من عشرة a( إذا كان طول نصف قطر العجلة 0 ft وسرعتها ثابتة ومقدارها 0 ft/s فاكتب الصورة الا حداثية للمتجه r إذا كان يصنع زاوي ة قياسها 5 مع األفقي ثم اكتب الصورة الا حداثية لمتجه السرعة المماسية في هذه الحالة قر ب الناتج إلى أقرب جزء من مي ة. b( ما الطريقة التي يمكن استعمالها لا ثبات تعامد المتجه r ومتجه السرعة باستعمال الصورتين الا حداثيتين اللتين أوجدتهما في الفرع a وأثبت أن المتجهين متعامدان. u = 0, -5, v = 1, - )11 u = 7, 10, v =, - u = -,, v =, -10 )1 )1 u = -i + j, v = -i - j º«خe ك شØ «: غادر يوسف ويحيى مخ ي مهما الكشفي للبحث عن حطب. إذا كان المتجه 5-, = u ي مث ل الطريق الذي سلكه يوسف والمتجه,7- = v ي مث ل الطريق الذي سلكه يحيى فأوجد قياس الزاوية بين المتجهين. )( إذا علمت كلا من v, u v فأوجد قيمة ممكنة للمتجه u في كل مما يأتي: v =, -, u v = v =,, u v = 8 ) ) )1 ) N θ :Aيõ«a يدفع طارق برمي ال على أرض مستوية مسافة 1.5 m بقوة مقدارها 5 N بزاوية 5 أوجد مقدار الشغل بالجول الذي يبذله طارق وقر ب الناتج إلى أقرب عدد صحيح. )( eدر شá : يسحب طالب حقيبته المدرسية بقوة مقدارها 100 N إذا بذل الطالب شغ ال مقداره 177 J لسحب حقيبته مسافة 1 m فما قياس الزاوية بين قوة السحب واألفقي (بإهمال قوة الاحتكاك) ) 5 N )1 0 الüØشπ 1

31 = c a = 10, 1, b = -5,.8, فأوجد إذا علمت: أن 9-, _ اختبر كل زوج من المتجهات في كل مما يأتي من حيث كونها متعامدة أو متوازية أو غير ذلك. كلا مما يأتي: )الدر س - 1( u = - _, _, v = 9, 8 u = -1, -, v =, )5 ) b - a + c c - a + b a - b + c )9 )0 )1 أوجد قياس الزاوية بين كل متجهين في كل مما يأتي قر ب الناتج إلى أقرب ع شر. u = i + 5j, v = -i + j u = i + j, v = -5i - j )7 )8 النقاط: 1) (8, 7), (, ), (, ت مث ل رؤوس مثلث أوجد قياسات زواياه باستعمال المتجهات. إذا علمت كلا من v,u والزاوية θ بين المتجهين,u v فأوجد قيمة. ممكنة للمتجه v قر ب الناتج إلى أقرب جزء من مئة u =, -, v = 10, θ = 5 u =,, v = Ç 9, θ = 11 تبرير: اختبر صحة أو خطأ العبارة اآلتية: إذا كانت f, d, e ت مث ل ثالثية فيثاغورس وكانت الزاويتان بين d, e وبين e, f حادتين فإن الزاوية بين d, f يجب أن تكون قائمة. فس ر تبريرك. اكت شف الخط أ: يدرس كل من فهد وفيصل خصائص الضرب الداخلي للمتجهات فقال فهد: إن الضرب الداخلي للمتجهات عملية تجميعية ألنها إبدالية أي أن: w) (u v) w = u (v ولكن فيصل عارضه فأيهما كان على صواب وض ح إجابتك. أوجد زاوية اتجاه كل من المتجهات اآلتية مع االتجاه الموجب لمحور : )الدر س - )1 -i - j -9, 5-7, 7 ما قياس الزاوية بين المتجهين -1-1,, 0-9, 90 C 0 A 15 D 5 B إذا كان: -, = t s =, -, فأي مما يأتي يمث ل r حيث r = t - s -1, 8 C 1, 8 A -1, -8 D 1, B ) ) ) )5 ) )9 )0 )1 ) ) ( اكتب: وض ح كيف تجد الضرب الداخلي لمتجهين غير صفريين. برهان: إذا كان: u = u 1, u, v = v 1, v, w = w 1, w فأثبت خصائص الضرب الداخلي اآلتية: u v = v u u (v + w) = u v + u w k(u v) = ku v = u k v برهان: إذا كان قياس الزاوية بين المتجهين u, v يساوي 90 فأثبت أن = 0 v u باستعمال قاعدة الزاوية بين متجهين غير صفريين. )5 ) )7 )8 الدر س - 1 1

32 π üødg üàæe QÉÑàNG 1 - deg 1-1 øe ShQódG ا وجد محصلة كل زوج من المتجهات الا تية مستعم لا قاعدة المثلث ا و متوازي الا ضلاع وق رب المحصلة ا لى ا قرب جز ء من عشر ة من السنتمتر ثم ح دد اتجاهها بالنسبة للا فقي مستعم لا المسطرة والمنقلة. 1-1 a b ( f ( 1 g :ètdõàdg يسحب شخص مزلج ة على الجليد بقو ة مقدارها 50 N بزاوية 5 مع الا فقي ا وجد مقدار ك ل من المركبة الا فقية والعمودية للقوة وق رب ا لى ا قرب جزء من مي ة _ ارسم شك لا يم ثل المتجه c - d c d اكتب BC ال معطاة نقطتا بدايته ونهايته في ك ل م ما يا تي بدلالة متج هي الوحدة 1 -. i, j B(10,-), C(-8,) B(, -10 ), C ( 1, 10) ( B(,-1), C(,-7) ( 5 ( 8 B(1,1), C(-,-9) ( 7 AB ا ي مما يا تي يم ثل الصورة الا حداثية ل :ó àe øe QÉ«àNG حيث ) (- 5, A نقطة بدايته و 1) -, B( نقطة نهايته 1 - -, 7 C, -1 A -, D 7, - B :á S Iôc ركض راشد في اتجاه السلة في ا ثناء مباراة بسرعة.5 m/s ومن منتصف الملعب ص وب كر ة بسرعة 8 m/s بزاوية قياسها مع الا فقي. 1-8 m/s.5 m/s a) اكتب الصورة الا حداثية للمتجهين ال لذين يم ثلان سرعة راشد وسرعة الكرة ق رب الناتج ا لى ا قرب جزء من عشرة. b) ما السرعة المحصلة واتجاه حركة الكرة ق رب المحصلة ا لى ا قرب جزء من عشرة وقياس الزاوية ا لى ا قرب درجة. ا وجد الصورة الا حداثية وطول المتجه ال معطاة نقطتا بدايته ونهايته على الترتيب في ك ل مما يا تي ق رب الناتج ا لى ا قرب جزء من عشرة. 1 - Q(1, -5),R(-7, 8) ( 1 A(-, ),B(,) ( 11 ا وجد قياس الزاوية θ بين المتجهين,u v وق رب الناتج ا لى ا قرب درجة: 1 - u= 9,-, v= -1, - u= 8,, v= -, u=, -, v=, 8 :ó àe øe QÉ«àNG ا ذا كان : -5, 8 = w u =,, v = - 1,, فما ناتج 1 - ( u v ) + ( w v ) 15 C - A 8 D -18 B ا وجد الضرب الداخلي للمتجهين في ك ل مما يا تي ثم تح قق مما ا ذا كانا متعامدين ا م لا: 1 -, - 7, ( 18, -5, ( 17, - 10, 5 ( 0 1, - 5, 8 ( 19 0 :áhôy يسحب ا حمد عرب ة بقو ة مقدارها 5 N وبزاوية 0 مع الا فقي كما في الشكل ا دناه. 1-5 N (1 (1 (15 (1 (1 150 m ما مقدار الشغل الذي يبذله ا حمد عندما يسحب العربة a) ق رب الناتج ا لى ا قرب جزء من عشرة. b) ا ذا كانت الزاوية بين ذراع العربة والا فقي 0 وسحب ا حمد العربة المسافة نفسها وبالقوة نفسها فهل يبذل شغ لا ا كبر ا م ا قل ف سر ا جابتك. ( ( (9 (10 1 π üødg

33 a«الø اA الKÓã «ا HC ا الéઠاä اتتااتااع Vectors i Three-Dimesioal Space إلطلاق صاروخ في الفضاء يلزم تحديد اتجاهه وزاويته في الفضاء. وبما أن مفاهيم المسافة والسرعة والقوة المتجهة غير مقيدة في المستوى فلا بد من توسيع مفهوم المتجه إلى الفضاء الثلاثي األبعاد. ا MEداKياä a«الø اA الKÓã «ا HC ا المستوى اإلحداثي: هو نظام إحداثي ثنائي األبعاد يتشكل بواسطة خط ي أعداد متعامدين هما المحور والمحور اللذان يتقاطعان في نقطة تسمى نقطة األصل. ويسمح لك هذا النظام بتحديد وتعيين نقاط في المستوى وتحتاج إلى نظام اإلح داثيات الثالثي األبعاد لتعيين نقطة في الفضاء فنبدأ بالمستوى ونضعه بصورة تظهر عمق ا للشكل كما في الشكل 1..1 ثم نضيف محور ا ثالث ا يسم ى الم حور z يمر بنقطة األصل ويعامد ك لا من المحورين كما في الشكل 1... فيكون لدينا ثلاثة مستويات هي, z, z وتقسم هذه المستويات الفضاء إلى ثماني مناطق يسم ى ك ل منها ال ثم ن ويمكن تمثيل ال ث من األول بجزء الحجرة في الشكل 1... z z z 1.. πµ ûdg + z πµ ûdg πµ ûdg تمث ل النقطة في الفضاء بثالث يات مرتبة من األعداد الحقيقية (z,), ولتعيين مثل هذه النقطة عي ن أولا النقطة. z بحسب المسافة المتجهة التي يمث لها z ثم تحرك ألعلى أو إلى أسفل موازي ا للمحور في المستوى,) ( عي ن كالا من النقطتين اآلتيتين في نظام اإلحداثيات الثالثي األبعاد: (,, ) )a عي ن ( ), في المستوى بوضع إشارة مناسبة ثم ضع نقطة على بعد وحدتين أعلى اإلشارة التي وضعتها وبموازاة المحور z كما في الشكل أدناه. (-,, -5) )b z عي ن ( -), في المستوى بوضع إشارة مناسبة ثم ضع نقطة على بعد 5 وحدات أسفل اإلشارة التي وضعتها وبموازاة المحور z كما في الشكل أدناه. z AÉ ØdG»a á f ø«q«j 1 اءتااعبألل تث تاالت اا ل تاهجتملاتءلت ل ااتت( 1-1 ) اج تل ل مبألل تث ت االتاهاف تاا يف ت اهجتملا اجتتااعبألل تل اجتاامعل تللتث ت ااا ءلضتاا يف تاهجتملا لتاهافل تاا يف ت اهجتملا three - dimesioal coordiate sstem ااعتzت z-ais اا ع octat اا يف تااع ordered triple QhÉëªdG èjqój تاجتاابتث تااعلت اا يفتث تلتاهافل ت اا يف تاهجتملاتمبءل - (,, ) (-,, -5) ª a øe ëj عي ن كالا من النقاط اآلتية في نظام اإلحداثيات الثالثي األبعاد: (5, -, -1) (1C (,, -) (1B (-, -, ) (1A الدرSس - 1 ااعبألل تث تااا ءلضتاا يف تاهجتملا

34 عملية إيجاد المسافة بين نقطتين وإيجاد نقطة منتصف قطعة مستقيمة في الفضاء تشبهان عملية إيجاد المسافة ونقطة منتصف قطعة مستقيمة في المستوى اإلحداثي. z M A( 1, 1, z 1 ) AÉ ØdG»a üàæªdg á fh áaé ùªdg Éà «U B(,, z ) متااعءلثتتتاابت( ) Aت 1, 1, z 1 ), B(,, z تلاء AB = ÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇ ( - 1 ) + ( - 1 ) + (z - z 1 ) ABتتلاء ا متتااعبءتM 1 M (_ +,_ 1 +,_ z 1 + z ) AÉ ØdG»a ᪫à ùe á b üàæe á fh ø«à f ø«h áaé ùªdg 0 50 ft 0 ft تااءل ءبعبتءلتاالل لتث تاهجملتااعام ءء تعءلتاجاضتمتااعتلاأءت اااتتاات تااع :á MQ تتحرك العربة في الشكل المجاور على سلسلة مشدودة تربط بين من صتين تسمح للمتنزهين بالمرور فوق مناظر طبيعية خالبة. إذا م ثلت المنصتان بالنقطتين: 50) (10, 1,, 0) (70, 9, وكانت اإلحداثيات معطاة باألقدام فأجب عما يأتي: a( أوجد طول السلسلة الالزمة للربط بين المن ص تين إلى أقرب قد م. استعمل صيغة المسافة بين نقطتين. ءتااعءلث (,, z ) = (70, 9, 0), ( 1, 1, z 1 ) = (10, 1, 50) تء AB = ÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇ ( - 1 ) + ( - 1 ) + (z - z 1 ) = ÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇ (70-10) + (9-1) + (0-50) أي أننا نحتاج إلى حبل طوله 10 ft تقريب ا للربط بين المنص تين. b( أوجد إحداثيات منتصف المسافة بين المن صتين. ءتااعبء (,, z ) = (70, 9, 0), ( 1, 1, z 1 ) = (10, 1, 50) استعمل صيغة نقطة المنتصف في الفضاء. = (_ 1 +,_ 1 + z, 1 + z M _ ) = (_,_ 1 + 9,_ ) = (0, 5, 0) أي أن إحداثيات منتصف المسافة بين المنصتين هي (0,0),5 ª a øe ëj ( طاôFاä : تفرض أنظمة السلامة ألا تقل المسافة بين الطائرات عن 0.5 mi في أثناء طيرانها إذا علمت أن عي الطائرتين: طائرتين تطيران فوق إحدى المناطق وفي لحظة معينة كانت إحداثيات موق (8000,50-,50), (0000,00),150 مع العلم بأن اإلحداثيات معطاة باألقدام فأجب عما يأتي: A( هل تخالف الطائرتان أنظمة السلامة B( إذا أطلقت ألعا ب ناري ة وانفجرت في منتصف المسافة بين الطائرتين فما إحداثيات نقطة الانفجار إرشا د: الميل = 580 قد ما 1 π üødg ااعبألل

35 الéઠاä a«الø اA إذا كان v متجه ا في الفضاء في وضع قياسي وكانت ) ( v 1, v, v نقطة نهايته فا ننا نعب ر عنه بالصورة اإلحداثية v 1, v, v كما يعب ر عن المتجه الصفري بالصورة اإلحداثية 0 0, 0, = 0 وعن متجهات الوحدة القياسية بالصورة اإلحداثية 1 0, 0, = k i = 1, 0, 0, j = 0, 1, 0, كما في الشكل 1.. ويمكن التعبير عن الصورة اإلحداثية للمتجه v على صورة توافق خطي لمتجهات الوحدة,i,j k كما يأتي: v 1, v, v = v 1 i + v j + v k. z AÉ ØdG»a éàe ø««j مث ل بيانيا ا كالا من المتجهين اآلتيين في نظام اإلحداثيات الثالثي األبعاد: v =,, - )a ع ين النقطة (-,,) ثم م ثل المتجه v بيان يا بحيث تكون النقطة (-,,) نقطة نهايته. v z (v 1, v, v ) (0, 0, 1) v k v i j (1, 0, 0) (0, 1, 0) v πµ ûdg v (,, - ) z p = i + j + k )b ع ين النقطة (1,), ثم م ثل المتجه p بيان يا بحيث تكون النقطة (1,), نقطة نهايته. p (,, 1 ) ª a øe ëj مث ل بيانيا ا كالا من المتجهين اآلتيين في نظام اإلحداثيات الثالثي األبعاد: u = -,, - )A w = -i - j + k )B إذا كتبت المتجهات في الفضاء على الصورة اإلحداثية فا نه يمكن أن تجرى عليها عمليات الجمع والطرح والضرب في عدد حقيقي كما هي الحال في المتجهات في المستوى اإلحداثي. AÉ ØdG»a äé éàªdg Y ä髪 dg ااتلت تa = a 1, a, a b = b 1, b, b مبألتث تااا ءلض لتkتااتلت ثلت a + b = a 1 + b 1, a + b, a + b ø«éàe ªL a - b = a + (-b) = a 1 - b 1, a - b, a - b ø«éàe ìôw k a = ka 1, ka, ka» «M móy»a m éàe Üô V الدرSس - 1 ااعبألل تث تااا ءلضتاا يف تاهجتملا 5

36 AÉ ØdG»a äé éàªdg Y ä髪 dg أوجد كالا مما يأتي للمتجهات: -, 0, 5 = z : =, -,, w = -1,, -, + z )a + z =, -, + -, 0, 5 اءتمبأللتث تات = 1, -, 8 + -, 0, 10 اعتااعبأل = 8, -, 18 w - z + )b w - z + = -1,, - - -, 0, 5 +, -, اءتمبأتث تات = -, 8, -8 +, 0, , -18, اعتااعبألل = 9, -10, -7 ª a øe ëj أوجد كالا مما يأتي للمتجهات: -, 0, 5 = z : =, -,, w = -1,, -, + z - w )B w - 8 z )A äé éàªdg Y ä髪 dg ءلتاامعل تت ااعبألل تث تااا ءلضت تااءلتاءللتث ت ااعءبتاهاف A( 1, 1, z 1 ) z B(,, z ) وكما في المتجهات ذات ال بعدين نجد الصورة اإلحداثية للمتجهÆÆÆ AB الذي نقطة بدايته ) 1 A( 1, 1, z ونقطة نهايته ) B(,, z وذلك بطرح إحداثيات نقطة البداية من إحداثيات نقطة النهاية. AB ÆÆÆ = - 1, - 1, z - z 1 AB ÆÆÆ = ÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇ وعندها يكون: ) 1 ( - 1 ) + ( - 1 ) + ( z - z AB ÆÆÆ = ÇÇÇÇÇ + a + a a 1 وهذا يعني أنه إذا كان: AB ÆÆÆ = a 1, a, a فا ن: AB ÆÆÆ ويكون متجه الوحدة u باتجاه AB ÆÆÆ هو _ = u AB ÆÆÆ أوجد الصورة اإلحداثية وطول AB ÆÆÆ الذي نقطة بدايته ) 1 -,, - ( A ونقطة نهايته ) -, (, B ثم أوجد متجه الوحدة باتجاه. AB ÆÆÆ ااءتاهافتاعبأ ( 1, 1, z 1 ) = (-, -, 1), (,, z ) = (,, -) AB ÆÆÆ = - 1, - 1, z - z 1 = -(-), -(-), --1 = 7, 8, -7 وباستعمال الصورة اإلحداثية فا ن طول AB ÆÆÆ هو : AB ÆÆÆ = 7, 8, -7 AB ÆÆÆ = ÇÇÇÇÇÇ (-7) = 9 Ç ويستعمل هذا الطول والصورة اإلحداثية إليجاد متجه وحدة u باتجاه AB ÆÆÆ كما يأتي: مبأتتتلألت ÆÆÆ AB AB ÆÆÆ = 7, 8, -7, AB ÆÆÆ = 9 Ç ÉvjôÑL AÉ ØdG»a äé éàªdg øy ô«ñ àdg AB ÆÆÆ u = _ AB ÆÆÆ 7, 8, -7 = _ = 9 Ç 7 Ç 18, Ç, 9 5 _ -7 Ç 18 ª a øe ëj أوجد الصورة اإلحداثية وطول AB ÆÆÆ الم عطاة نقطتا بدايته ونهايته ثم أوجد متجه الوحدة باتجاه AB ÆÆÆ في كل مما يأتي: A (-1,, ), B (,, 8 ) )5B A (-, -5, -5 ), B( -1,, - ) )5A 1 π üødg ااعبألل

37 أوجد كالا مما يأتي للمتجهات :. a = -5, -,, b =, -, -7, c = -,, )مثال ) a - 7b + 8c 7a - 5b a + 5b - 9c b + c - a )0 )1 ) ) عي ن كل نقطة مما يأتي في نظام اإلحداثيات الثالثي األبعاد: )مثال ) 1 (1, -, -) )1 (,, 1) ) (-5, -, -) ) (-, -5, ) ) (, -, ) )5 (-1, 1, -1) ) 8a - 5b - c -a + b + 7c ) )5 أوجد طول القطعة المستقيمة المعطاة نقطتا نهايتها وبدايتها ثم أوجد إحداثيات نقطة منتصفها في كل مما يأتي: )مثال ) أوجد كالا مما يأتي للمتجهات :. = -9i + j + k, = i - j - 7k, z = -i + j + k 7 + )مثال ) ) (-, 10, ), (1, 0, 9) (-,, ), (-9, -, -) (8,, ), (-, -7, 5) )7 )8 )9-5 + z )7 (-7,, -5), (-, -5, -8) ) z z - - 9z z )8 )9 )0 )1 طي ارون: في لحظة ما أثناء تدريب عسكري كانت إحداثيات موقع طائرة (1900,11-,75) وإحداثيات موقع طائرة أخرى (1100,89-),715 علم ا بأن اإلحداثيات معطاة باألقدام. )مثال ) a( أوجد المسافة بين الطائرتين مقر بة إلى أقرب قدم. )11 b( عي ن إحداثيات النقطة التي تقع في منتصف المسافة بين الطائرتين في تلك اللحظة. أوجد الصورة اإلحداثية وطول AB ÆÆÆ الم عطاة نقطتا بدايته ونهايته في كل مما يأتي ثم أوجد متجه الوحدة في اتجاه AB. ÆÆÆ )مثال ) 5 A(-5, -5, -9), B(11, -, -1) A(-, 0, -), B(-, -8, 9) A(, 5, 1), B(0, 0, -9) A(-, -7, -1), B(-7, 1, 8) ) ) ) )5 مث ل بيانيا ا كالا من المتجهات اآلتية في نظام اإلحداثيات الثالثي األبعاد: )مثال ) a = 0, -, b = -, -, - c = -1,, - )1 )1 )1 A(, -5, ), B(1,, -) ) d =, -, - )15 A(8, 1, 7), B(, -, 11) )7 v = i + 8j -k w = -10i + 5k )1 )17 A(, 1, -5), B(7, -1, 0) )8 m = 7i -j + k )18 A(1, -18, -1), B(1, 1, 9) )9 = i -j -8k )19 الدرSس - 1 داعبألا يثالثلا ءاضفلا يف تاهجتملا 7

38 : óëj إذا كانت M هي نقطة منتصف القطعة المستقيمة الواصلة بين النقطتين:( 1-8, (, M 1 (-1,, -5), M فأوجد إحداثيات منتصف القطعة المستقيمة. M 1 M إذا كانت N منتصف MP فأوجد إحداثيات النقطة P في كل م ما يأتي: M(,, 5), N ( 7_, 1, ) M(-1, -, -9), N(-, 1, -5) M(7, 1, 5), N (5, - 1_, ) M ( _, -5, 9 ), N (-, - 1 _, 11_ ) : tƒ J ت طو ع هاشم لحمل بالون كدليل في استعراض رياضي. إذا كان البالون يرتفع 5 ft عن سطح األرض ويمسك هاشم بالحبل الذي ثبت به البالون على ارتفاع ft عن سطح األرض كما في الشكل أدناه فأوجد طول الحبل إلى أقرب قدم. اÖàc : اذكر موقف ا يكون فيه استعمال النظام اإلحداثي الثنائي األبعاد أكثر منطقية وا خر يكون فيه استعمال النظام اإلحداثي الثلاثي األبعاد أكثر منطقية. )5 )5 أوجد الصورة اإلحداثية وطول AB ÆÆÆ الم عطاة نقطتا بدايته ونهايته في كل م ما يأتي: ت)اات - 1 ت( )0 )1 ) ) ) A(, -), B(-7, -7) A(-, -8), B(1, ) )55 )5 z A(-5, -1), B(1, ) 5 ft 10 ft ft ft حد د نوع المثلث الذي رو وسه هي النقاط الثالث في كل مما يأتي (قاي م الزاوية أو متطابق الضلعين أو مختلف األضالع): A(, 1, ), B(5, -1, 1), C(1,, 1) A(,, ), B(,, ), C(,, ) A(-1,, ), B(, 5, 1), C(0, -, ) :äاôc استعمل قانون المسافة بين نقطتين في الفضاء لكتابة صيغة عامة لمعادلة كرة مركزها (l,h),k وطول نصف قطرها. r "إرشاد: الكرة هي مجموعة نقاط في الفضاء تبعد بعد ا ثابت ا (نصف القطر) عن نقطة ثابتة (المركز)". استعمل الصيغة العامة لمعادلة الكرة التي وجدتها في السو ال 8 إليجاد معادلة الكرة المعطى مركزها وطول نصف قطرها في كل مما يأتي: اكتب DE ÆÆÆ المعطاة نقطتا بدايته ونهايته على صورة تواف ق خط ي لمتج هي الوحدة i, j في كل م ما يأتي: ت)اات - 1 ت( D (-5, _ ), E (- _ 5, 0 ) D (- 1_, _, E _ 7) (-, 5_ 7) D(9.7, -.), E(-.1, -8.5) ما نوع المثلث الذي رو وسه هي النقاط 5) -, C(0, A(0,, 5), B(1, 0, ), A قائم الزاوية B متطابق الضلعين C متطابق األضلاع D مختلف األضلاع )57 )58 )59 )0 )1 مركزها ) -, (-, طول نصف قطرها )5 ) )7 )8 )9 1_ مركزها (1-,0,) طول نصف قطرها مركزها ) -, (5, طول نصف قطرها Ç مركزها -1) 7, (0, طول نصف قطرها 1 )50 )51 )5 1 π üødg 8 ااعبألل

39 الداN «hال صرÜ ا تéاg «ل متé اä a«الف صاء ال صرÜ Dot ad Cross Products of Vectors i Space يستعمل طارق المتجهات ليتحقق مم ا إذا كان خط ا سير طائرتين متوازيين أم ال وذلك بمعرفة إحداثيات نقط ت ي اإلقلاع ونقطتين تصلان إليهما بعد فترة زمنية معينة. ال صرÜ الداN «a«الف صاء إيجاد الضرب الداخلي لمتجهين في الفضاء يشبه إيجاده لمتجهين في المستوى وكما هي الحال مع المتجهات في المستوى يتعامد متجهان غير صفريين في الفضاء إذا وفقط إذا كان حاصل ضربهما الداخلي صفر ا. ل تا ل a = a 1, a, a, b = b 1, b, b ا هجتم تا ت تا ل تت تت مجلم a, b تا تاهجتمل a b = a 1 b 1 + a b + a b a b = 0 أوجد حاصل الضرب الداخلي للمتجهين u, v في كل مما يأتي ثم حد د ما إذا كانا متعامدين أم ال: u =, -,, v =, 7, )b u v = () + (-)(7) + () = 1 + (-1) + 9 = 0 وبما أن = 0 v u فا ن u, v متعامدان. u = -7,, -, v = 5, 17, 5 )a u v = -7(5) + (17) + (-)(5) = (-15) = 1 وبما أن 0 v u فا ن u, v غير متعامدين. تا ت تا ر اهجتم تاه ج تا ر س (1-) ت تا تا ت اهجتم تات مهل تا ل ت تا ت تل ا هجتملا هجت تتل تاه للا تات تا ت تل تح a م øe أوجد حاصل الضرب الداخلي للمتجهين u, v في كل مما يأتي ثم حد د ما إذا كانا متعامدين أم ال: cross product مجت تا parallelepiped تا تال تاث ال صرÜ الداN «hالمتé اä المت اeدI a«الف صاء اEيéا ال صرÜ الداN «لتحديد المتé اä المت اeدI 1 triple scalar product u =, -, -, v = 1,, - )1B u =, -5,, v = 5, 7, 5 )1A a b وكما هو في المتجهات في المستوى إذا كانت θ هي الزاوية بين متجهين غير صفريين a, b في الفضاء فا ن _ = θ. cos a b. أوجد قياس الزاوية θ بين u, v إذا كان: -, -, = v u =,, -1, إلى أقرب جزء من عشرة z u v الõاhيá øيh øي éتe»a الف صاء تات مجتم u =,, -1, v = -,, - ت تا تا ت ل م تاهجتم θ تا لا الدرSس تا تا ت تا ت تل ا هجتملا تا ل 9 u v cos θ = _ u v,, -1 -,, - cos θ =,, -1 -,, - - cos θ = _ 1 Ç Ç θ = cos _ ÇÇ 0 أي أن قياس الزاوية بين u, v هو تقريب ا. تح a م øe. ) أوجد قياس الزاوية بين المتجهين: k u = -i + j + k, v = i + إلى أقرب منزلة عشرية

40 a a b b ال صرÜ ا تéاg «هو نوع ا خر من الضرب بين المتجهات في الفضاء وبخلاف الضرب الداخلي فا ن الض رب االتجاهي لمتجهين a, b هو متجه وليس عدد ا وي رمز له بالرمز a b وي قرأ a cross b ويكون المتجه a b عمود يا على المستوى الذي يحوي المتجهين. a, b ال صرÜ ا تéاg «ل متé اä a«الف صاء تت ل ل a = a 1 i + a j + a k, b = b 1 i + b j + b k تا ت تل ا هجتم a, b a b = ( a b - a b )i - ( a 1 b - a b 1 )j + ( a 1 b - a b 1 )k تاهجت هل تاه ج م ج تت ل هل م ج ت تاه ج لج م إذا طب قنا قاعدة حساب قيمة محد دة من الدرجة الثالثة على المحد دة أدناه والتي تتضمن متجهات الوحدة,i,j k وإحداثيات ك ل من a, b فا ننا نتوصل إلى القاعدة نفسها للمتجه. a b a b = i a 1 b 1 j a b k a b 1 تا i, j, k مجتملا تا تا a ت تلا تا b ت تلا a b a b i- a 1 b 1 a b j+ a 1 b 1 a b k a b = ( a b - a b ) i - ( a 1 b - a b 1 ) j + ( a 1 b - a b 1 ) k أوجد الضرب االتجاهي للمتجهين: 1 -,, = v u =, -, 1, ثم بي ن أن u v يعامد كال من.u, v u v u u = i - j + k, v = -i + j + k تاثلاث تا ر م ه تتل ل z ت ه م تا ر تاثل v تار ت ت u v = i - = - j - k i j k = (- - )i - [ - (-)]j + (9 - )k = -5i - j + k = -5, -, وإلثبات أن u v يعامد ك لا من u, v جبر يا أوجد الضرب الداخلي ل u v مع ك ل من. u, v (u v) v (u v) u = -5, -, -,, 1 = -5, -,, -, 1 = -5(-) + (-)() + (1) = -5() + (-)(-) + (1) = 15 + (-18) + = 0 = = 0 بما أن حاصل الضرب الداخلي في الحالتين يساوي صفر ا فا ن u v عمودي على ك ل من. v, u تح a م øe اEيéا ال صرÜ ا تéاg «لمتé يø أوجد الضرب االتجاهي للمتجهين u, v في كل ممايأتي ثم بي ن أن u v يعامد كال من : u, v ال صرÜ ا تéاg «ت تل تا تاهجتملا ل ت تلا تاث تل تاهجتملا تاه ج ت ت u = -, -1, -, v = 5, 1, )B u =,, -1, v = 5, 1, )A 0 الف صل 1 تاهجتملا

41 للضرب االتجاهي تطبيقات هندسية عديدة فمثلا مقدار المتجه v u ي عب ر عن مساحة متوازي األضلاع الذي فيه u, v ضلعان متجاوران كما في الشكل أوجد مساحة متوازي األضالع الذي فيه: u = i + j - k, v = i - 5j + k ضلعان متجاوران. الIƒ î 1 أوجد u v i j k u = i + j - k, v = i - 5j + k u v = = - تاثلاث تا ر م ه لتل -5-5 k تاثل تا ر م ه لتل ل مجت تا ل i - 1 = -i - 9j - 1k - j + 1 الIƒ î أوجد طول u v u v = ÇÇÇÇÇÇÇÇÇ (-) + (-9) + (-1) = ÇÇ أي أن مساحة متوازي األضلاع في الشكل تساوي 1.91 وحدة مربعة تقريب ا. تح a م øe ùeصاám eتواrي ا CصÓ a«ḿ الف صاء ) أوجد مساحة متوازي األضلاع الذي فيه: u = -i -j + k, v = i +j + k ضلعان متجاوران. ال صرÜ ال ياSص«الKÓã «إذا التقت ثلاثة متجهات في مستويات مختلفة في نقطة البداية فا نها تكو ن أحرف ا متجاورة لمتوازي سطوح وهو عبارة عن مجسم له ستة أوجه كل وجه منها على شكل متوازي أضلاع كما في الشكل 1.5. أدناه إن القيمة المطلقة للضرب القياسي الثالثي لهذه المتجهات ي مث ل حجم متوازي السطوح. ال صرÜ ال ياSص«الKÓã «تت ل t = t 1 i + t j + t k, u = u 1 i + u j + u k, v = v 1 i + v j + v k z v u الûصµل t (u v) = t 1 u 1 v 1 t u v t u v ل t, u, v ا هجتملا تاث تال تا ل الùص وì eتواrي ºéM أوجد حجم متوازي السطوح الذي فيه: t = i - j - k, u = i + j - k, v = i - 5j + k أحرف متجاورة. t = i - j - k - - u = i + j - k t (u v) = - v = i - 5j + k 1-5 = - -5 () (-) + ت ه م تاه م تا 1-5 (-) = = أي أن حجم متوازي السطوح في الشكل 1.5. هو (v t u) ويساوي وحدة مكعبة. تح a م øe )5 أوجد حجم متوازي السطوح الذي فيه: t = j - 5k, u = -i - j + k, v = i + j + k أحرف متجاورة. الدرSس تا تا ت تا ت تل ا هجتملا تا ل 1 5 z v u t الûصµل 1.5.

42 أوجد الضرب الداخلي للمتجهين u, v في كل مما يأتي ثم حد د ما إذا كانا متعامدين أم ال: )مثال ) 1 أوجد حجم متوازي السطوح الذي فيه t, u, v أحرف متجاورة في كل مما يأتي: )مثال ) 5 t = -1, -9,, u =, -7, -5, v =, -, t =, -, -1, u =, -,, v = -9, 5, - t = i + j - k, u = -i + j + 7k, v = i - j + 8k t = 5i - j + k, u = i - 5j + 7k, v = 8i - j + k )0 )1 ) ) u =, -9,, v = -8,, 7 u = 5, 0, -, v =, -1, u = -7, -, 1, v = -, 5, -1 u = 11,, -, v = -1,, 8 u = i - j - 5k, v = i - j + k )1 ) ) ) )5 أوجد متجه ا غير صفري يعامد المتجه الم عطى في كل مم ا يأتي: u = 9i - 9j + k, v = i + j - k ), -8, -1, -, 5, - 1_, - 7, 0, 8 كيمياء: تقع إحدى ذرت ي الهيدروجين في ج زيء الماء عند , 55.5, واألخرى عند , -55.5, وذلك في الوقت الذي تقع فيه ذرة األكسجين في نقطة األصل. أوجد الزاوية بين المتجهين الل ذين يكو نان رابطة األكسجين الهيدروجين مقر بة إلى أقرب جزء من عشرة. )مثال ) أوجد قياس الزاوية θ بين المتجهين u, v في كل مما يأتي وقر ب الناتج : )مثال ) إلى أقرب جزء من عشرة u =, -5, 1, v = -8, -9, 5 u = -8, 1, 1, v = -,, u = 10, 0, -8, v =, -1, -1 u = -i + j + 9k, v = i + j - 10k أوجد الضرب االتجاهي للمتجهين u, v في كل مما يأتي ثم بي ن أن u v عمودي على كل من : u, v )مثال ) u = -1,, 5, v =, -, - u =, 7, -, v = -5, 9, 1 u =, -,, v = 1, 5, -8 u = -i - j + 5k, v = 7i + j - k أوجد مساحة متوازي األضالع الذي فيه u, v ضلعان متجاوران في كل مما يأتي: )مثال ) إذا ع لم كل من v, u v فأوجد حالة ممكنة للمتجه u في كل مما يأتي: v =, -, -, u v = - v = 1_, 0,, u v = _ 1 )9 v = -, -, -5, u v = 5 حد د ما إذا كانت النقاط المعطاة واقعة على استقامة واحدة أم ال (-1, 7, 7), (-, 9, 11), (-5, 11, 1) (11, 8, -1), (17, 5, -7), (8, 11, 5) حد د ما إذا كان كل متجهين مما يأتي متوازيين أم ال: m =, -10,, =, -15, 9 a =,, -7, b = -, -, اكتب الصورة اإلحداثية للمتجه u الذي يقع في المستوى z وطوله 8 ويصنع زاوية قياسها 0 فوق االتجاه الموجب للمحور. حد د ما إذا كان الشكل الرباعي ABCD الم عطاة إحداثيات رؤوسه متوازي أضالع أم ال وإذا كان كذلك فأوجد مساحته وحد د ما إذا كان مستطيال أم ال: A(, 0, -), B(0,, -1), C(0,, 5), D(,, ) ) )5 ) )7 )8 )0 )1 ) ) ) )5 ) A(7, 5, 5), B(,, ), C(,, ), D(7, 7, ) )7 u = -9, 1,, v =, -5, u =,, -1, v = 7,, - u = i - j + 5k, v = 5i - j - 8k u = i + j - 8k, v = -i + j - 7k )7 )8 )9 )10 )11 )1 )1 )1 )15 )1 )17 )18 )19 الف صل 1 تاهجتملا

43 عر ض جوي: أقلعت طائرتان مع ا في عرض جوي فأقلعت األولى من موقع إحداثياته (0,-,0) وبعد ثوان وصلت موقع ا إحداثياته (15,10-,) في حين أقلعت الثانية من موقع إحداثياته 0) (0,, وبعد ثوان وصلت موقع ا إحداثياته 15).(, 10, هل يتوازى خط ا سير الطائرتين وض ح إجابتك. أوجد طول كل قطعة مستقيمة مما يأتي والمعطاة نقطتا طرفيها ثم أوجد إحداثيات نقطة منتصفها: )الدر س - 1 ) (1, 10, 1), (-,, -) ) )8 (1, -1, -1), (1, 19, -) إذا كان: 5 -,, = v u =,, -, فأوجد كال مما يأتي إن أمكن: )7 (-,, -9), (10, 10, ) )8 أوجد الضرب الداخلي للمتجهين u, v في كل مم ا يأتي ثم حد د ما إذا كانا متعامدين أم ال: )الدر س - 1 ) u (u v) v (u v) )9 )0-8, -7 1, -, - 7, 5, - -, 5 إذا كانت,v,w u ت مث ل ثالثة أحرف متجاورة لمتوازي السطوح فما قيمة c وحدات مكعبة )1 في الشكل المجاور وكان حجمه 7 أوجد محصلة كل زوج من المتجهات اآلتية م ستعمال قاعدة المثلث أو متوازي األضالع ثم حد د اتجاهها بالنسبة لألفقي. )الدر س 1-1 ) a b )9 )50 )51 )5 u c, -, 1 z v -, -1, w 1, 0, - d )5 c تبرير: حد د ما إذا كانت العبارة اآلتية صحيحة أحيان ا أو صحيحة دائم ا أو غير صحيحة أبد ا بر ر إجابتك.»ألي متجهين غير صفريين وغير متوازيين يوجد متجه عمودي على هذين المتجهين«. تحد : إذا كان: 5 -, -, = v u =,, c, فأوجد قيمة c التي تجعل:. u v = i - j + 10k تبرير: فس ر لماذا ال يمكن تعريف الضرب االتجاهي في المستوى. اكتب: بي ن طرق الكشف عن توازي متجه ين أو تعامدهما. أي مما يأتي متجهان متعامدان 1, 0, 0, 1,, A 1, -,,, -, B,,,,, C, -5,,,, - D ما حاصل الضرب االتجاهي للمتجهين: -,, = v u =, 8, 0, 8i - 18j + 8k A )5 )55 ) ) ) )5 8i - j + 8k B i - j + 8k C i - 18j + 8k D الدرSس تا تا ت تا ت تل ا هجتملا تا ل

44 á LGôªdGh á SGQódG π«d z ägôøªdg JGôØe ôñàng ح دد ما ا ذا كانت العبارات الا تية صحيحة ا م خاطي ة وا ذا كانت خاطي ة فاستبدل ما تحته خط لتصبح العبارة صحيحة: ( 1 نقطة نهاية المتجه هي الموقع الذي يبدا منه. ( ا ذا كان:, = b a = -, 1, فا ن الضرب الداخلي للمتجهين هو () + -(1). ( نقطة منتصف AB عندما تكون ) A( 1, 1, z 1 ), B(,, z. (_ 1 +,_ 1 +,_ z 1 + z هي ) ( طول المتجه r الذي نقطة بدايته ) A(-1, ونقطة نهايته -) B(, هو -,. ( 5 يتسا و متجهان ا ذا وفقط ا ذا كان لهما الطول نفسه والاتجاه نفسه. ( ا ذا تعامد متجهان غير صفريين فا ن قياس الزاوية بينهما 180. ( 7 لتجد متج ها يعامد ا ي متجهين على الا قل في الفضاء ا وجد الضرب الاتجاهي للمتجهين الا صليين. ( 8 طرح متجه يكافي ا ضافة معكوس المتجه. u. v = _ ( 9 ا ذا كان v متجه وحد ة باتجاه u فا ن u á«sé SCG º«gÉØe (1-1 SQódG) äé éàªdg»a áeó e a b a + b a a + b b (1 - SQódG)»KGóME G iƒà ùªdg»a äé éàªdg, B(, ) A( 1, 1 ) - 1, - 1 v = v 1, v v = ( v 1 ) + ( v ) k a = a 1, a, b = b 1, b a + b = a 1 + b 1, a + b a - b = a 1 - b 1, a - b k a = ka 1, ka j i ai + bjv = a, b 1 - SQódG)» NGódG Üô dg a = a 1, a a b = a 1 b 1 + a b b = b 1, b a, bθ a b cos θ = _ a b 1 - SQódG) É HC G»KÓãdG AÉ ØdG»a äé éàªdg A( 1, 1, z 1 ) B (,, z ) AB = ( - 1 ) + ( - 1 ) + (z - z 1 ) AB 1 M (_ +,_ 1 +,_ z 1 + z ) AÉ ØdG»a ø«éàªd»gééj G Üô dgh» NGódG Üô dg 1-5 SQódG) a = a 1, a, a a b = a 1 b 1 + a b + a b b = b 1, b, b a = a 1 i + a j + a k, b = b 1 i + b j + b k a ba, b ( a b - a b )i - ( a 1 b - a b 1 )j + ( a 1 b - a b 1 )k 1 π üødg

45 ShQódG á LGôe 1 ح دد الكميات المتجهة والكميات القياسية في ك ل مما يا تي: ( 10 تسير سيارة بسرعة 50 mi/h باتجاه الشرق. ا وجد محصلة المتجهين,s r مستعم لا قاعدة المثلث ا و قاعدة متوازي الا ضلاع. ق رب المح صلة ا لى ا قرب جزء من عشرة من السنتمتر ثم ح دد اتجاهها بالنسبة للا فقي مستعم لا المسطرة والمنقلة. (10-17 äéëø üdg) äé éàªdg»a áeó e 1-1 ( 11 شجرة طولها.0 ft r s ا وجد محصلة كل زوج من المتجهات الا تية باستعمال قاعدة المثلث ا و قاعدة متوازي الا ضلاع. ق رب المحصلة ا لى ا قرب جزء من عشرة من السنتمتر ثم ح دد اتجاهها بالنسبة للا فقي مستعم لا المسطرة والمنقلة. s å ãªdg IóYÉb اسحب r بحيث تلتقي نقطة نهاية r مع نقطة بداية d c ( 1 r + s فتكون المحصلة هي المتجه الذي يبدا من نقطة s r بداية r وينتهي عند نقطة نهاية s. h ( 1 j r + s Ó VC G RGƒàe IóYÉb اسحب s بحيث تلتقي نقطة بدايته مع نقطة b ( 1 بداية r ثم ا كمل متوازي الا ضلاع الذي فيه,r s ضلعان متجاوران فتكون المحصلة هي المتجه a r s الذي يك ون قطر متوازي الا ضلاع. فيكون طول المحصلة. cm وقياس زاويتها w ( مع الا فقي. v ا وجد طول المح صلة لناتج جمع المتجهين واتجاهها في ك ل مما يا تي: ( 1 m 70 جهة الغرب ثم 150 m جهة الشرق. ( 17 N 8 للخلف ثم 1 N للخلف SQódG 1 π üødg

46 á LGôªdGh á SGQódG π«d ا وجد الصورة الا حداثية وطول AB الذي نقطة بدايته. B(, -1) ونقطة نهايته A(, -) AB = - 1, - 1 = -, -1 - (-) = 1, 1 ا وجد طول المتجه. AB (18-5 äéëø üdg)»kgóme G iƒà ùªdg»a äé éàªdg 1- ا وجد الصورة الا حداثية وطول AB المعطاة نقطتا بدايته ونهايته في ك ل مما يا تي: A(-1, ), B(5, ) ( 18 A(7, -), B(-9, ) ( 19 A(-8, -), B(, 1) ( 0 A(, -10), B(, -5) ( 1 AB = a +b = = 1. ا ذا كان: -, = t p =, 0, q = -, -, فا وجد ك لا م ما يا تي: q - p ( p + t ( t - p + q ( p + t - q ( 5 ا وجد متجه وحدة u باتجاه v في ك ل مما يا تي: v =, - ( 7 v = -7, ( v = 9, ( 9 v = -5, -8 ( 8 ا وجد الضرب الداخلي للمتجهين u, v في ك ل م ما يا تي ثم تح قق م ما ا ذا كانا متعامدين ا م لا: ا وجد الضرب الداخلي للمتجهين: 7 -, = =, -5, ثم تحقق مما ا ذا كانا متعامدين ا م لا. = = (-) + (-5)(7) = -8 + (-5) = - بما ا ن 0 فا ن المتجهين غير متعامدين. ( - 1 äéëø üdg)» NGódG Üô dg 1- u = -, 5, v =, 1 ( 0 u =,, v = 5, 7 ( 1 u = -1,, v = 8, ( u = -,, v = 1, ( ا وجد الزاوية θ بين المتجهين u, v في ك ل م ما يا تي: u = 5, -1, v = -, ( u = -1, 8, v =, ( 5 1 π üødg

47 ( - 8 äéëø üdg) É HC G»KÓãdG AÉ ØdG»a äé éàªdg 1- ع ين كل نقطة من النقاط الا تية في الفضاء الثلاثي الا بعاد: ع ين النقطة (-,,-) في الفضاء الثلاثي الا بعاد. ح دد موقع النقطة (,-) في المستو بوضع ا شارة ثم ع ين نقط ة تبعد وحدا ت ا سفل هذه النقطة وباتجاه موا ز للمحور. z z (1,, -) ( (, 5, ) ( 7 (5, -, -) ( 8 (-, -, -) ( 9 - ا وجد طول القطعة المستقيمة ال معطاة نقطتا طر فيها في ك ل مما يا تي ثم ا وجد ا حداثيات نقطة منتصفها. (-, 10, ), (, 0, 8) ( 0 (-,, -) (-5,, ), (-9, -, -) ( 1 (,, 0), (-9, -10, ) ( (8,, ), (-, -, ) ( م ثل بيان يا ك لا من المتجهات الا تية في الفضاء: a = 0, -, ( b = -i + j + k ( 5 c = -i - j + 5k ( d = -, -5, - ( 7 u v ا وجد الضرب الاتجاهي للمتجهين: -, -, = u. u, v يعامد ك لا من u v ثم ب ين ا ن v = 7, 11, = 11 - i j k = 7, -1, -58 (u v) u = 7, -1, -58 -,, - = = 0 (u v) v = 7, -1, -58 7, 11, = = 0 بما ا ن حاصل الضرب الداخلي في الحالتين يساوي صف را فا ن u v عمودي على ك ل من u, v (9 - äéëø üdg) AÉ ØdG»a äé éઠd»gééj G Üô dgh» NGódG Üô dg ا وجد الضرب الداخلي للمتجهين u, v في ك ل مما يا تي ثم ح دد ما ا ذا كانا متعامدين ا م لا. u =, 5,, v = 8,, -1 ( 8 u = 5, 0, -, v = -, 1, ( 9 ا وجد الضرب الاتجاهي للمتجهين u, v في ك ل مما يا تي ثم ب ين ا ن : u, v يعامد ك لا من u v u = 1, -, -, v =,, - ( 50 u =, 1, -, v = 5, -, -1 ( SQódG 1 π üødg

48 á LGôªdGh á SGQódG π«d ( 5 Iôc :Ωób تل قى لاعب كرة قدم الكرة برا سه فارت دت بسرعة ابتداي ي ة مقدارها 55 ft/s وبزاوي ة قياسها 5 فوق الا فقي كما في الشكل ا دناه. ا وجد مقدار ك ل من المركبتين الا فقية والرا سية للسرعة. 1-1 ( 55 QɪbCG :á«yéæ UG ا ذا م ثلت النقطتان: -8) 1, (85, (015,918-,11-) موق عي قمرين اصطناعيين و م ث لت النقطة (0,0),0 مركز الا رض وعلمت ا ن الا حداثيات معطاة بالميل وا ن طول نصف قطر الا رض يساوي 9 mi تقري با فا جب ع ما يا تي: 1 - πfé ùeh äé «Ñ J a) ا وجد المسافة بين القمرين. 55 ft/s 5 b) ا ذا وضع قمر ثالث في منتصف المسافة بين القمرين فما ا حداثيات موقعه ( 5 : Gô«W تهبط طاي رة بسرعة مقدارها 110 mi/h وبزاوية قياسها 10 تحت الا فقي ا وجد الصورة الا حداثية للمتجه الذي يم ثل سرعة الطاي رة. 1 - c) اشرح ا مكانية وضع قمر ثالث في الا حداثيات التي ا وجدتها في الفرع. b ( 5 استعمل الضرب القياسي الثلاثي لحساب حجم غرف ة ا بعادها m, m, 5 m ا رشاد: اعتبر متوازي المستطيلات حال ة خاص ة من متوازي السطوح" mi/h ( 5 : jéæ U يدفع عامل صندو قا بقو ة ثابت ة مقدارها 90 N بزاوية 5 في الشكل ا دناه. ا وجد الشغل المبذول بالجول لتحريك الصندوق 1 - (مع ا همال قوة الاحتكاك). 8 m -5 F 5 1 π üødg 8

49 π üødg QÉÑàNG ا ذا كان: -9 5, 8, = c a =,, -, b = -5, -7, 1, فا وجد ك لا مما يا تي: a + 5b - c (1 b - a + c (1 ا وجد مح صلة كل زوج من المتجهات الا تية باستعمال قاعدة المثلث ا و قاعدة متوازي الا ضلاع ق رب المحصلة ا لى ا قرب جز ء من عشر ة من السنتمتر ثم ح دد اتجاهها بالنسبة للا فقي مستعم لا المسطرة والمنقلة. c d ( p (1 q ا وجد الصورة الا حداثية وطول AB المعطاة نقطتا بدايته ونهايته في ك ل مما يا تي: 1) äéfƒdéh :øné ùdg AGƒ dg ا طلق 1 بالو نا تحوي هوا ء ساخن ا في ا حد المهرجانات وبعد عدة دقاي ق من الا طلاق كانت ا حداثيات البالونين الا ول والثاني هي: 10) (-9, 15,, 0) (0, 5, كما في الشكل ا دناه عل ما با ن الا حداثيات معطاة بالا قدام. A ( 1_, _, B(-1, 7) ( A(1, -), B(-5, 1) ( ) 0 z (0, 5, 0) -0 (-9, 15, 10) 5) Iôc :Ωób ركض لاعب بسرعة m/s للتصدي لكرة قادمة من الاتجاه المعاكس لحركته فضربها برا سه بسرعة 0 m/s وبزاوية قياسها 5 مع الا فقي فما مح صلة سرعة الكرة واتجاه حركتها m/sec 5 m/sec ا وجد متجه وحدة باتجاه u في ك ل مما يا تي: u =, - (7 u = -1, ( ا وجد الضرب الداخلي للمتجهين u, v في ك ل مما يا تي ثم ب ين ما ا ذا كانا متعامدين ا م لا: u =, -5, v = -, (8 u =, -, v =, 8 (9 u = 10i - j, v = i + 8j (10 u = 1,, v = -, ا ذا علمت ا ن: :ó àe øe QÉ«àNG (11 فا ي مما يا تي يم ثل ناتج جمع متجهين متعامدين ا حدهما مسقط u على v a) ا وجد المسافة بين البالونين الا ول والثاني في تلك اللحظة. b) ا ذا كان البالون الثالث عند نقطة منتصف المسافة بين البالونين الا ول والثاني فا وجد ا حداثياته. ا وجد الزاوية θ بين المتجهين u, v في ك ل م ما يا تي: u = -,,, v =, 7, 1 (15 u = -9i + 5j + 11k, v = -5i - 7j - k (1 ا وجد الضرب الاتجاهي للمتجهين u, v في ك ل مما يا تي ثم ب ين ا ن : u, v يعامد ك لا من u v u = 1, 7,, v = 9,, 11 (17 u = -i + j - k, v = 5i - j - k (18 u = _ 5, - _ 5 + _ 5, 18_ 5 u = _ 5, _ 5 + _ 5, 1_ 5 u = - _ 5, _ 5 + 9_ 5, 1_ 5 u = - _ 5, 1_ 5 + 7_ 5, 1_ 5 A B C D SQódG 1 π üødg

50 áñcôªdg GóYC Gh á«ñ dg äé«kgóme G Polar Coordiates ad Comple Numbers :á«sóæg º«eÉ üj :á HÉ S IAGôb π üødg 50

51 π üø d áä«àdg ägôøªdg á LGôe (Iitial Side of a Agle) ájhgõ d AGóàH G V (Termial Side of a Agle) ájhgõ d AÉ àf G V (Measure of a Agle) ájhgõdg SÉ«b ôødgh ƒªéªdg äé HÉ àe (Sum ad Differece Idetities) si (A + B ) = si A cos B + cos A si B cos ( A + B ) = cos A cos B - si A si B si (A - B) = si A cos B - cos A si B cos (A - B) = cos A cos B + si A si B ارسم ك لا من الزاويتين المعطى قياسهما فيما يا تي في الوضع القياسي: 00 ( 1-5 ( ا وجد زاوية بقياس موجب وا خر بقياس سالب مشتركتين في ضلع الانتهاء مع كل من الزوايا الا تية وم ثلهما في الوضع القياسي: 15 ( -10 ( π_ - π _ ح ول قياس الزاوية المكتوبة بالدرجات ا لى الراديان والمكتوبة بالراديان π_ ( 5 ( ا لى درجات في كل مما يا تي: ( 8-0 ( 7 ( 9 ا وجد القيمة الدقيقة ل si 15 باستعمال متطابقة الفرق بين زاويتين. ( 10 ا وجد طول الضلع AC في المثلث المرسوم ا دناه (ق رب C ا لى ا قرب جزء من عشرة). m 0 B m A 51 π üødg

52 الق بية ا EحداKيات Polar Coordiates ي ستعمل مراقبو الحركة الجوية أنظمة رادار حديثة لتوجيه مسار الطائرات والحصول على مسارات ورحالت جوية آمنة. وهذا يضمن بقاء الطائرة على مسافة آمنة من الطائرات األخرى والتضاريس األرضية. ويستعمل الرادار قياسات الزوايا والمسافات المتجهة لتمثيل موقع الطائرة. ويقوم المراقبون بتبادل هذه المعلومات مع الطيارين. تمثيل ا EحداKيات الق بي ة لقد تعلمت التمثيل البياني لمعادالت معطاة في نظام اإلحداثيات الديكارتي ة )المستوى اإلحداثي(. وعندما يحدد مراقبو الحركة الجوية موقع الطائرة باستعمال المسافات والزوايا فا نهم يستعملون نظام اإلحد اثيات القطبية )المستوى القطبي(. في نظام اإلحداثيات الديكارتية المحوران, هما المحوران األفقي والرأسي على الترتيب وت سم ى نقطة تقاطعهما نقطة األصل ويرمز لها بالحرف. وي عي ن موقع النقطة P باإلحداثيات الديكارتية من خالل زوج مرتب (,) حيث, المسافتان المت جهتان األفقية والرأسية على الترتيب من المحورين إلى النقطة. فمثال تقع النقطة ) Ç,1) على ب عد وحدة وحدة إلى يمين المحور وعلى ب عد Ç وحدة إلى أعلى المحور. في نظام اإلحداثيات القطبية نقطة األصل نقطة ثابتة ت سمى القطب. والمحور القطبي هو نصف مستقيم يمتد أفق يا من القطب إلى اليمين. يمكن تعيين موقع نقطة P في نظام اإلحداثيات القطبية باستعمال اإلحداثيات (θ,r) حيث r المسافة المت جهة )أي تتضمن قيمة واتجاه ا فمن الممكن أن تكون r سالبة( من القطب إلى النقطة P و θ الزاوية المت جهة )أي تتضمن قيمة واتجاه ا( من المحور القطبي إلىÈÈ. P P(, ) r θ P(r, θ) ايثابثديثادلاي بثادالايبددييثاي ثال د ) مديدلا ( ثلمثيلد ديدقكر ثا داي ثالال ا ثلمثي د ديمداقايال اي اا ديثقكر ثا دايثالال ا polar coordiate sstem ثالا pole ثاديثالال polar ais ثقكر ثا دايثالال ا polar coordiates ثاددااايثالال ا polar equatio ثادث يثالال polar graph القياس الموجب للزاوية θ يعني دوران ا بعكس اتجاه عقارب الساعة بدء ا من المحور القطبي في حين يعني القياس السالب دوران ا باتجاه عقارب الساعة ولتمثيل النقطة P باإلحداثيات القطبي ة فا ن P تقع على ضلع االنتهاء للزاوية θ إذا كانت r موجبة. أما إذا كانت سالبة فا ن P تقع على نصف المستقيم المقابل )االمتداد( لضلع االنتهاء للزاوية. θ 1 تمثيل ا EحداKيات الق بية مث ل كل نقطة من النقاط اآلتية في المستوى القطبي: 1.5 π 5 A(, 5 ) π B (-1.5, _ ) A(, 5 ) )a بما أن 5 = θ فارسم ضلع االنتهاء للزاوية 5 بحيث يكون المحور القطبي هو ضلع االبتداء لها وألن = r لذا عي ن نقطة A تبع د وحدتين عن القطب على ضلع االنتهاء للزاوية 5 كما في الشكل المجاور. π_ B (-1.5, ) )b _ بحيث يكون المحور π بما أن θ = _ π لذا ارسم ضلع االنتهاء للزاوية القطبي هو ضلع االبتداء لها وألن r سالبة لذا م د ضلع االنتهاء في االتجاه المقابل وعي ن نقطة B تبع د 1.5 وحدة عن القطب على امتداد ضلع االنتهاء كما في الشكل المجاور. 5 الف صل ثقكر ثا دايثالال ايبثقلا ثايثادحإلا

53 C(, -0 ) )c -0 C(, -0 ) بما أن 0 - = θ لذا ارسم ضلع االنتهاء للزاوية 0 - بحيث يكون المحور القطبي هو ضلع االبتداء لها وألن = r لذا عي ن نقطة C تبع د وحدات عن القطب على ضلع االنتهاء للزاوية كما في الشكل المجاور. تحق من a م مث ل كل نقطة من النقاط اآلتية: π_ ) )1A F (, - 5π _ ) )1C E(.5, 0 ) )1B D ( -1, ت عي ن اإلحداثيات القطبية في المستوى القطبي الذي يتخذ شكال دائر يا كما ت عي ن اإلحداثيات الديكارتية في المستوى اإلحداثي الذي يتخذ شكال مستطيال. مث ل كال من النقاط اآلتية في المستوى القطبي: _ P (, π ) )a _ بحيث يكون المحور π _π θ = لذا ارسم ضلع االنتهاء للزاوية بما أن القطبيهو ضلع االبتداء لها وألن = r لذا عي ن نقطة P تبع د وحدات عن القطب على ضلع االنتهاء للزاوية كما في الشكل المجاور. Q(-.5, 150 ) )b بما أن 150 = θ لذا ارسم ضلع االنتهاء للزاوية 150 بحيث يكون المحور القطبي ضلع االبتداء لها وألن r سالبة لذا م د ضلع االنتهاء للزاوية في االتجاه المقابل وعي ن نقطة Q تبعد.5 وحدات عن القطب على امتداد ضلع االنتهاء للزاوية كما في الشكل المجاور. تحق من a م تمثيل الæقا a«الم صتوi الق ب«5π π 7π π π 10 0 π π π 1 5 π P(, _ ) 90 5π 0 π 0 11π 1 5 Q(-.5, 150 ) مث ل كال من النقاط اآلتية في المستوى القطبي: S(-, -15 ) )B R (1.5, - 7π _ ) )A في نظام اإلحداثيات الديكارتية كل نقطة ي عب ر عنها بزوج وحيد من اإلحداثيات (,). إال أن هذا ال ينطبق على نظام اإلحداثيات القطبية وذلك ألن قياس كل زاوية ي كتب بعدد النهائي من الطرائق وعليه فا ن للنقطة (θ,r) اإلحداثيات 0 ) (r, θ ± أو π) (r, θ ± أيض ا كما هو مبي ن أدناه. (θ + 0) r θ P(r, θ) P(r, θ + 0 ) (θ - 0) r θ P(r, θ) P(r, θ - 0 ) الق Ö ديدث يثالايدالااي يθيثليثبا ر, 0 )ي θ ) الدر س - 1 ثقكر ثا دايثالال ا 5

54 (θ + 180) r θ (θ - 180) P(r, θ) or P(-r, θ ± 180 ) وكذلك ألن r مسافة متجهة فا ن ) θ,r) و 180 ) ± θ (-r, أو π) (-r, θ ± تمث ل النقطة نفسها كما في الشكل المجاور. وبصورة عامة إذا كان عدد ا صحيح ا فا نه يمكن تمثيل النقطة (θ,r) باإلحداثيات (0,r) θ + أو (180 (1 + )+,r-). θ وبالمثل إذا كانت θ مقيسة بالراديان وكان عدد ا صحيح ا فا نه يمكن تمثيل النقطة. (-r, θ + ( + 1)π) أو (r, θ + π) باإلحداثيات (r, θ) إذا كانت 0 θ 0 - فأوجد أربعة أزواج مختلفة كل منها يمث ل إحداثيين قطبيين للنقطة T في الشكل المجاور. أحد األزواج القطبية التي تمث ل النقطة T هو (15,). وفيما يأتي األزواج الثالثة األخرى: 0 ) - 15 (, = 15 ) (, ثحي 0 يميθ = (, -5 ) بثلي 180 يثكايθ يميr ق -ي rي (, 15 ) = (-, ) = (-, 15 ) بثحي 180 يميθ يميr ق ي-rي (, 15 ) = (-, ) = (-, -5 ) تمثيالت ق بية متعددة T تحق من a م أوجد ثالثة أزواج مختلفة كل منها يمث ل إحداثيين قطبيين للنقطة المعطاة علم ا بأن:. -π θ π أو -0 θ 0 ( -, π_ ) )B (5, 0 ) )A التمثيل البيان«للمعاد ت الق بية ت سمى المعادلة المعطاة بداللة اإلحداثيات القطبية معا دلة قطبية. فمثال : r = si θ هي معادلة قطبية. التم ثيل القطبي هو مجموعة كل النقاط (θ,r) التي تحقق إحداثياتها المعادلة القطبية. لقد تعلمت سابق ا كيفية تمثيل المعادالت في نظام اإلحداثيات الديكارتية )في المستوى اإلحداثي(. وي ع د تمثيل المعادالت مثل = a و = b أساس يا في نظام اإلحداثيات الديكارتية. وبالمثل فا ن التمثيل البياني لمعادالت قطبية مثل r = k و θ = h حيث,k h عددان حقيقيان ي ع د أساس يا في نظام اإلحداثيات القطبية. م ث ل كل معادلة من المعادالت القطبية اآلتية بياني ا: r = )a تتكون حلول المعادلة = r من جميع النقاط على الصورة ) θ, ( (, π_ حيث θ أي عدد حقيقي فمثال تعد النقاط ) π (, π), (, _, ) حلوال لها. يتكون التمثيل البياني من جميع النقاط التي تبع د وحدة عن القطب. وعليه فا ن المنحنى هو دائرة مركزها نقطة األصل )القطب( وطول نصف قطرها كما في الشكل المجاور. تمثيل المعاد ت الق بية ادث يثاددااايثالال اي = rيايثادلايثال د اي TI - spire ثي ا ثلبق يا ب ب حيبيثاحيثكا يقريثلني ثاد حيثادي حيمي( f(ي ثكايrييبثاد حيثادليمي يr = يثكايθييمثي التمثيل البيان«للمعاد ت الق بية 5π π 7π π (, π) π π r = π (, _ ) π π π (, ) 1 5 5π π 0 11π 5 الف صل ثقكر ثا دايثالال ايبثقلا ثايثادحإلا

55 π 5π 7π π θ π = π π π π π (1, ) π (, ) π (-.5, ) π 5π 11π θ = π_ )b π_ ( r, حيث r أي π_ θ = من جميع النقاط ) تتكو ن حلول المعادلة,1) وعليه فا ن π_ عدد حقيقي مثل النقاط ) π π ), (-.5, (,, ) التمثيل البياني عبارة عن جميع النقاط الواقعة على المستقيم الذي θ = π_ يصنع زاوية _π تحق من a م مع المحور القطبي. م ث ل كل معادلة من المعادالت القطبية اآلتية بياني ا: )B r = )A يمكن إيجاد المسافة بين نقطتين في المستوى القطبي باستعمال الصيغة اآلتية P (r, θ ) P 1 (r 1, θ 1 ) 0 0 الم صاaة بال صي ة الق بية P 1 نقطتان في المستوى القطبي ي ( r 1 افترض أن ), θ 1 ), P ( r, θ P 1 بالصيغة: ت عطى المسافة ي P P 1 P = ÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇ r 1 + r - r 1 r cos ( θ - θ 1 ) ت يÄة الحا صبة البياني ة ا يثددلي ايثادداي ثالال ا دلإ يميلي ثادلايثال د ايايب اي ثا داييثلبيثاحثادنيي ددايثابثديثاداد يلحييثا اييثاثلي 5 5 اEيéاد الم صاaة با صتعما ال صي ة الق بية حرcة Lوية: يتابع مراق ب الحركة الجوية طاي رتين تطيران على االرتفاع نفسه حيث إحداثيات موقعي الطاي رتين هما (5,)B,5)A (10, وتقاس المسافة المتجهة بالا ميال B(, 5 ) 10 A(5, 10 ) a( مث ل هذا الموقف في المستوى القطبي. تقع الطائرة A على ب عد 5 mi من القطب وعلى ضلع االنتهاء لزاوية قياسها 10 في حين تقع الطائرة B على ب عد mi من القطب وعلى ضلع االنتهاء لزاوية قياسها 5 كما في الشكل المجاور. b( إذا كانت تعليمات الطيران تتطلب أن تكون المسافة بين الطاي رتين أكثر من mi فهل تخالف هاتان الطاي رتان هذه التعليمات و ض ح إجابتك. باستعمال الصيغة القطبية للمسافة فا ن. ثاددايدا ايثالال ا ( r 1, θ 1 ) = (5, 10 ), ( r, θ ) = (, 5 ) AB = = ÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇ r 1 + r - r 1 r cos ( θ - θ 1 ) ÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇ (5)() cos (5-10 ). ال ي ايثلادد ديديثاثيادي 19 يا ي يثاادحثايدي اثحيياحديmi 80 ي أي أن المسافة بين الطائرتين. mi تقريب ا وعليه فا نهما ال تخالفان تعليمات الطيران. تحق من a م 5( قوارÜ : يرص د رادار بحري حركة قاربين إذا كانت إحداثيات موقعي القاربين (5 ),, (150 8), حيث r باألميال. 5A( فمث ل هذا الموقف في المستوى القطبي. 5B( ما المسافة بين القاربين الدر س - 1 ثقكر ثا دايثالال ا 55

56 0 m 10 m مث ل كل نقطة مما يأتي في المستوى القطبي. )المثدقن 1(, T(-.5, 0 ) ) R(1, 10 ) ) 1 A (, π_ ) ) F (-, _ π ) ) D (-1, - _ 5π ) ) B(5, -0 ) ) 5 C(-, π) ) 8 G (.5, - _ 11π ) ) 7 W(-1.5, 150 ) ) 10 M(0.5, 70 ) ) 9 ) 11 رماية: يتكون هدف في منافسة للرماية من 10 دوائر متحدة المركز. ويتدرج عدد النقاط المكتسبة من 1 إلى 10 من الحلقة الدائرية الخارجية إلى الدائرة الداخلية على الترتيب. افترض أن رامي ا يستعمل هدف ا نصف قطره 10 cm وأنه قد أطلق ثالثة أسهم فأصابت الهدف عند النقاط 0 ) (0,, 15 ) (8,, 5 ).(11, إذا كان لجميع الحلقات الدائرية السمك نفسه ويساوي طول نصف قطر الدائرة الداخلية. )المثدقن 1(, cm a( فمث ل النقاط التي أصابها الر امي في المستوى القطبي. b( ما مجموع النقاط التي حصل عليها الر امي إذا كانت 0 θ 0 - فأوجد ثالثة أزواج مختلفة كل منها يمث ل إحداثيين قطبيين للنقطة في كل مما يأتي: )مثال ( (-, 00 ) ) 1 (1, 150 ) ) 1 (-, π_ ) ) 15 (, - _ 7π ) ) 1 (-5, - _ π 11π ) ) 17 (5, _ ) ) 1 (-1, -0 ) ) 19 (, -0 ) ) 18 م ث ل كل معادلة من المعادالت القطبية اآلتية بياني ا: )مثال ( ) القفز بالمظالت: في مسابقة لتحديد دقة موقع الهبوط يحاول مظلي الوصول إلى»مركز الهدف المحدد«ومركز الهدف عبارة عن دائرة حمراء طول قطرها. m كما يشمل الهدف دائرتين طوال نصفي قطريهما 10 m و. 0 m )مثال ) a( اكتب معادالت قطبية تمث ل حدود المناطق الثالث للهدف. b( م ث ل هذه المعادالت في المستوى القطبي. أوجد المسافة بين كل زوج من النقاط فيما يأتي. )مثال 5( (, π_ ), (8, π_ ) ) (, 0 ), (5, 10 ) ) 5 ( 7, - _ π ), (1, π_ ) ) 8 (, 5 ), (-, 00 ) ) 7 (, -15 ), (1, 0 ) ) 0 (- 5, 7π_ ), (, π_ ) ) 9 11π (-, _ ), (-, 5π_ ) ) (-, -0 ), (8, 10 ) ) 1 (7, - 90 ), (-, - 0 ) ) ( 1, - _ π ), (- 5, 7π_ ) ) (- 5, 15 ), (-1, 0 ) ) (8, - _ π ), (, - _ π ) ) 5 ) 7 م س احون: أراد مس اح تحديد حدود قطعة أرض فحد د أثر ا يبع د 18 ft بزاوية 5 إلى يسار المركز وأثر ا آخر على ب عد ft بزاوية 7 إلى يمين المركز كما في الشكل أدناه أوجد المسافة بين األثرين. )مثال 5( ft ft ) 8 مراقبة: تراقب آلة تصوير مثبتة منطقة جبلية تمث ل جزء ا من دائرة وت حد د بالمتباينتين 0 r θ 150, 0-0 حيث r باألمتار. a( مث ل في المستوى القطبي المنطقة التي يمكن آللة التصوير مراقبتها. b( أوجد مساحة المنطقة )مساحة القطاع الدائري تساوي: مساحة الدائرة(. قياس زاوية القطاع بالدرجات 0 θ = 5 ) 1 r = 1.5 ) 0 r = -.5 ) θ = - _ 7π ) 5 الف صل ةبكرملا دادعألاو ةيبطقلا تايثادحإلا

57 إذا كانت 180 θ 0 فأوجد زوج ا آخر من اإلحداثيات القطبي ة لكل نقطة مما يأتي: (5, 90 ) ) 9 15π (-.5, _ ) ) 0 π (, _ 1 ) ) 1 (1.5,-90 ) ) (-1, - _ 1π 8 ) ) (-, -10 ) ) ) 5 م سرح: يلقي شاعر قصيدة في مسرح. ويمكن وصف المسرح بمستوى قطبي بحيث يقف الشاعر في القطب باتجاه المحور القطبي. افترض أن الجمهور يجلس في المنطقة المحددة بالمتباينتين 0 r _ π θ π_, 0 - حيث r باألقدام. a( مث ل المنطقة التي يجلس بها الجمهور في المستوى القطبي. b( إذا كان كل شخص بحاجة إلى 5 ft فكم مقعدا يتسع له المسرح ) اأمن: يضيء مصباح مراقبة مثبت على سطح أحد المنازل منطقة على _ π θ 5π_ شكل جزء من قطاع دائري محد د بالمتباينتين 0 r حيث r باألقدام. إذا كانت مساحة المنطقة. كما هو مبين في الشكل أدناه فأوجد قيمة 1.1 ft 5π π 7π π π π 1.1 ft π π 5π 0 π 0 11π أوجد اإلحداثي المجهول الذي يحق ق الشروط المعطاة في كل مما يأتي: ) 51 تمثيالت متعددة: في هذه المسألة سوف تستقصي العالقة بين اإلحداثيات القطبية واإلحداثيات الديكارتية., ( A في المستوى القطبي وارسم نظام π_ )a بياني ا: عي ن ) اإلحداثيات الديكارتية فوق المستوى القطبي بحيث تنطبق نقطة األصل على القطب والجزء الموجب من المحور على المحور القطبي. وبالتالي سينطبق المحور على المستقيم θ =. ارسم مثلث ا قائم ا بوصل A مع نقطة األصل وارسم منها π_ عمود ا على المحور. b( عددي ا: احسب طولي ضلعي الزاوية القائمة باستعمال طول الوتر والمتطابقات المثلثية., ) B على المستوى القطبي نفسه وارسم 5π_ )c بياني ا: عي ن ) مثلث ا قائم ا بوصل B مع نقطة األصل وارسم منها عمود ا على المحور واحسب طولي ضلعي الزاوية القائمة. d( تحليلي ا: كيف ترتبط أطوال أضالع المثلث باإلحداثيات الديكارتية لكل نقطة r), (θ تحليلي ا: اشرح العالقة بين اإلحداثيات القطبية e( واإلحداثيات الديكارتية ) (,. اكتب المعادلة لكل تمثيل قطبي مما يأتي: 5π π 7π 150 π π 10 π π π 5π π π 0 ) 5 ) P 1 = (, 5 ), P = (r, 75 ), P 1 P =.17 ) P 1 = (5, 15 ), P = (, θ), P 1 P =, 0 θ 180 ) 8 P 1 = (, θ), P = (, 7π_ 9 ), P 1 P = 5, 0 θ π ) 9 P 1 = (r, 10 ), P = (, 10 ), P 1 P =.97 ) 50 الدر س - 1 ةيبطقلا تايثادحإلا 57

58 ) 5 تبرير: وض ح لماذا ال يكون ترتيب النقاط في معادلة المسافة القطبية مه ما أو بعبارة أخرى لماذا يمكنك اختيار أي نقطة لتكون P 1 والنقطة األخرى لتكون P ) 55 تحدm : أوجد زوج ا م ر ت ب ا من اإلحداثيات القطبية لتمثيل النقطة التي إحداثياتها الديكارتية (-,-). ) 5 برgان: أثبت أن المسافة بين النقطتين ) P 1 (r 1, θ 1 ), P ( r, θ. P 1 P = ÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇ r 1 + r هي ) 1 - r 1 r cos ( θ - θ )ثكدا استعمل قانون جيوب التمام(. ) 57 تبرير: وض ح ماذا يحدث لمعادلة المسافة المعطاة بالصيغة = 1. θ - θ فس ر هذا التغي ر. القطبية عندما يكون _π ) 58 اcتûص الî اأ: قام كل من سعيد وعلي بتمثيل النقطة (5,5) في المستوى القطبي كما هو مبي ن أدناه. أيهما كانت إجابته صحيحة ب ر ر إجابتك. أوجد الزاوية θ بين المتجهين u, v لكل مما يأتي: ي)ثا ي 5-1( u =, -, 5, v =,, -8 ) 5 u = i - j + 7 k, v = 5 i + j - 11 k ) u = -1, 1, 5, v = 7, -, 9 ) 7 أوجد إحداثيات مركز وطول نصف قطر كل من الدواي ر اآلتية: يي )مديدلا( + ( - 1 ) = 9 ) 8 ( + 1 ) + = 1 ) 9 + = 1 ) 70 ) 71 أ ي المتجهات اآلتية يمث لÆÆ RS حيث إن نقطة البداية ( 5-)R, ونقطة النهاية (7-, S( -7, 10 C 7, -10 A -, -10 D -, 10 B ) 59 اcتÖ : خم ن سبب عدم كفاية اإلحداثيات القطبية لتحديد موقع طائرة بشكل دقيق. ) 7 يستطيع رشاش ماء رش منطقة على شكل قطاع دائري يمكن تحديدها بالمتباينتين 0 r θ 10, 0-0 حيث r باألقدام. ما المساحة التقريبية لهذه المنطقة ft C 81 ft A 8 ft D 88 ft B أوجد حاصل الضرب الداخلي للمتجهين u, v في كل مما يأتي ثم حد د ما إذا كان u, v متعامدين أوال : )ثا ي 5-1( u =, 10, 1, v = -5, 1, 7 ) 0 u = -5,,, v = -, -9, 8 ) 1 u = -8, -, 1, v =, -, 0 ) إذا كان 5 -,, = c. a = -,, -, b =, 5, 1, فأوجد كال مما يأتي: )ثا ي - 1( a + b + 8c ) -a + b - 5c ) 58 الف صل ثقكر ثا دايثالال ايبثقلا ثايثادحإلا

59 اá«Ñ d IQƒسüdاh اµjódاá«JQ ª d االت اüdسIQƒ Polar ad Rectagular Forms of Equatios π_ P(, ) P(cos θ, si θ) r = 1 θ يبعث مج س م ثبت إلى رج ل آلي أمواج ا فوق صوتية على شكل دوائر كاملة وعندما تصطدم األمواج بجسم فا ن المجس يستقبل إشارة ويقوم بحساب ب عد الجسم عن مقدمة الرجل اآللي بداللة المسافة المتجهة r والزاوية المتجهة. θ ويوصل المجس هذه اإلحداثيات القطبية إلى ال رجل اآللي ا لذي يحولها إلى اإلحداثيات الديكارتية ليتمكن من تعيينها على خريطة داخلية. االóMEاK»ات اá«Ñ d á«jqاµjódاh يمكن كتابة إحداثيات النقطة ( P(, الواقعة على دائرة الوحدة والمقابلة لزاوية θ على الصورة (θ P(cos,θ si ألن cos θ = _ r = _ 1 =, si θ = _ r = _ 1 = فا ذا كان طول نصف قطر دائرة عدد ا حقيق يا r بدال من 1 فا نه يمكننا كتابة النقطة ) P(, بداللة r, θ على النحو اآلتي: cos θ = r r cos θ =,, si θ = r r si θ = r وإذا نظرنا للمستوى الديكارتي على أنه مستوى قطبي بحيث ينطبق المحور القطبي على الجزء الموجب من المحور والقطب على نقطة األصل فا نه يصبح لدينا وسيلة لتحويل اإلحداث يات القطبية إلى اإلحداث يات الديكارت ية. اµjódاá«JQ االóMEاK»ات اdE اá«Ñ d االóMEاK»ات πjƒëj θ r P(, ) P(r, θ) ( r, θ ) P P(, ) = r cos θ, = r si θ (, ) = ( r cos θ, r si θ ) سبث ) س ( -1 بل مل س اµjódاá«JQ االóMEاK»ات اdE اá«Ñ d االóMEاK»ات πjƒëj 1 π_ π_ P 0 حو ل اإلحداثيات القطبية إلى إحداثيات ديكارتية لكل نقطة مما يأتي:. r =, θ = = r si θ π_ = si = 1_ ( ) π_ π_ (r, θ) = (, فا ن r =, θ = ب π_ P (, بما أن إحداثيات النقطة ) = r cos θ π_ = cos Ç = (_ ) π_ ) )a = = Ç أي أن اإلحداثيات الديكارتية للنقطة P هي ( Ç, ) أو (,.) تقريب ا كما في الشكل أعله. الدرSس - 59

60 Q(-, 15 ) )b π_ بما أن إحداثيات النقطة 15 ) (-, = θ) (r, فا ن 15 = θ. r = -, 15 Q 0 = r si θ = - si 15 = -(_ ) = - Ç r = -, θ = 15 ب = r cos θ = - cos 15 = - _ (- Ç ) = Ç أي أن اإلحداثيات الديكارتية للنقطة Q هي ) Ç Ç, - ( أو -1.1) (1.1, تقريب ا كما في الشكل أعله. V(, -10 ) )c بما أن إحداثيات النقطة -10 ), ( = θ) (r, فا ن -10 = θ r =, = r si θ = si (-10 ) = _ (- Ç ) = -_ Ç r =, θ = -10 ب = r cos θ = (cos -10 ) = (- 1_ = - _ ) _ أو (.-,1.5-) تقريب ا كما في الشكل أعله. (-, - _ Ç أي أن اإلحداثيات الديكارتية للنقطة V هي ) ف ª مø ëj حو ل اإلحداثيات القطبية إلى إحداثيات ديكارتية لكل نقطة مما يأتي: T (-, 5 ) (1C S ( 5, π_ ) (1B R(-, -10 ) (1A ولكتابة زوج اإلحداثيات الديكارتية بالصيغة القطبية فا نك بحاجة إلى إيجاد المسافة المتجهة r من النقطة (,) إلى نقطة األصل أو القطب و قياس الزاوية المتجهة التي يصنعها r مع الجزء الموجب من المحور أو المحور القطب ي. π_ استعمل نظرية فيثاغورس إليجاد المسافة r من النقطة (,) إلى نقطة األصل. P(, ) ث س r = + π R π -10 r θ 0 0 ب r = ÇÇÇ + ترتبط الزاوية θ بكل من, من خلل دالة الظل وإليجاد الزاوية θ: ta θ = _ π_ -1 سم θ = Ta _ π π, (- أو 90 ) (-90, في نظام اإلحداثيات الديكارتية. تذ كر أن الدالة العكس ية للظل مع رفة فقط على الفترة ) وت عطى قيم θ الواقعة في الربع األول أو الرابع أي عندما تكون > 0 كما في الشكل...1 وإذا كانت < 0 فا ن الزاوية تقع في الربع الثاني أو الثالث لذا عليك إضافة π أو 180 (طول الدورة للدالة ( = ta إلى قياس الزاوية المعطاة بالدالة العكس ية للظل كما في الشكل... π_ π_ P(, ) πjƒëj االóMEاK»ات ه ل π θ + π θ 0 π θ 0 P(, ) π_ -1 عندما < 0 θ = Ta _ أو θ = Ta -1 _ + π اûdسπµ.. π_ -1 عندما > 0 θ = Ta _ اûdسπµ..1 0 اüØdسπ

61 اá«Ñ d االóMEاK»ات اdE اµjódاá«JQ االóMEاK»ات πjƒëj π_ الدرSس - 1 (, )P ( r, θ)p -1 > 0م θ = Ta _ r = + < 0م θ = Ta -1 + π -1 θ = Ta > 0r = θ = π_ = 0م < 0r = θ = - π_ تذ كر أن هناك عدد ا النهائ يا من أزواج اإلحداثيات القطبية للنقطة والتحويل من اإلحداثيات الديكارتية إلى اإلحداثيات القطبية يعطي أحدها. أوجد زوجين مختلفين كل منهما يمث ل إحداثيين قطبيين لكل نقطة معطاة باإلحداثي ات الديكارتي ة في كل مما يأتي: 5π _ T.71 θ = -1 Ta _ π_ θ π_ 97 r = P(r, θ ) P(, ) S (1, - ) )a بما أن إحداثيات النقطة ) (, ) = (1, - Ç فا ن. = 1, = - Ç -1. θ إليجاد الزاوية θ = Ta _ وألن > 0 لذا استعمل الصيغة θ = -1 Ta _ r = ÇÇÇ Ç = Ta _ 1 = 1, = - = ÇÇÇÇÇ 1 + (- Ç ) = - _ π ب = Ç = Ta -1 (- _ ) S ( زوج من اإلحداثيات القطبية للنقطة, - π _ أي أن ) اáq«Ñ d االóMEاK»ات اdE اµjódاá«JQ االóMEاK»ات πjƒëj π_ - S 0 ويمكن إيجاد زوج آخر باستعمال قيمة موجبة ل θ وذلك با ضافة. π, ) كما في الشكل المجاور. 5π π -, ( أو ) فيكون ) π + T (-, ) )b بما أن إحداثيات النقطة ) (-, = ) (, فا ن =. = -, θ إليجاد الزاوية θ = Ta وألن < 0 لذا استعمل الصيغة _ =, = - r = = ÇÇÇ + ÇÇÇÇÇ (-) + -1 = Ta (-) ب = Ç 5.71 أي أن (117,.71) تقريب ا هو زوج من اإلحداثيات القطبية للنقطة T ويمكن إيجاد زوج آخر باستعمال قيمة سالبة ل r فنحصل على 180 ) (-.71, أو 97 ) (-.71, كما في الشكل المجاور. ف ª مø ëj أوجد زوجين مختلفين كل منهما يمث ل إحداثيين قطبيين لكل نقطة معطاة باإلحداثي ات الديكارتي ة في كل مما يأتي: W(-9, -) )B V(8, 10) )A

62 في بعض ظواهر الحياة الطبيعية قد يكون من المفيد أن تح ول بين اإلحداثيات القطبية واإلحداثيات الديكارتية. اπjƒëàd ø«h االóMEاK»ات πlq اdB «: بالرجوع إلى فقرة «لماذا» افترض أن الر جل اآللي متجه إلى الشرق وأن الم عند النقطة 95 ) (5,. a( ما اإلحداثيات الديكارتية التي يحتاج الرجل اآللي إلى حسابها جس قد ر ص د جس ما = r si θ = 5 si 95 r = 5, θ = 95 = r cos θ = 5 cos ب.11 أي أن اإلحداثيات الديكارتية لموقع الجسم هي (.5 -,.11) تقريب ا. إذا كان موقع جسم رصد ساب قا عند النقطة التي إحداثياتها (7,) فما المسافة وقياس الزاوية بين الجسم b( θ = -1 Ta _ والرجل اآللي r = ÇÇÇ + -1 = Ta.8 7_ =, = 7 ب = ÇÇÇ اإلحداثيات القطبية لموقع الجسم هي (.8,7.) تقريب ا أي أن المسافة بين الجسم والرجل اآللي 7. وقياس الزاوية بينهما.8 ف ª مø ëj ( ó«سu االSCسªا : ي ستعمل جهاز رصد لتحديد موقع وجود األسماك تحت الماء. افترض أن قارب ا يتجه إلى الشرق وأن جهاز الرصد قد رصد سرب ا من األسماك عند النقطة (15 )., A( ما اإلحداثيات الديكارتية لموقع سرب األسماك B( إذا كان موقع سرب األسماك قد ر صد سابق ا عند النقطة التي إحداثياتها الديكارتية ( -), فما اإلحداثيات القطبية لموقع السرب ل 1 ft ب00 هسب 11 ft اªd االت اá«Ñ d á«jqاµjódاh قد تحتاج في دراستك المستقبلية إلى تحويل المعادلة من الصورة الديكارتية إلى الصورة القطبية والعكس وذلك لتسهيل بعض الحسابات. فبعض المعادالت الديكارتية المع قدة صورتها القطبية أسهل كثير ا. الحظ معادلة الدائرة على الصورة الديكارتية والقطبية كما في الشكل أدناه. r = π π_ 0 + = 9 π_ وبشك ل مماثل فا ن بعض المعادالت القطبية المع قدة صورتها الديكارتية أسهل كثير ا فالمعادلة القطبية = r صورتها الديكارتية هي = - cos θ - si θ اüØdسπ

63 إن عملية تحويل المعادلة من الصورة الديكارتية إلى الصورة القطبية عملية مباشرة إذ نعوض عن ب r cos θ وعن ب r si θ ثم نبس ط المعادلة الناتجة باستعمال الطرق الجبرية والمتطابقات المثلثية. اá«Ñ d اªd االت اdE اµjódاá«JQ اªd االت πjƒëj اكتب كل معادلة مما يأتي على الصورة القطبية: ( - ) + = 1 )a إليجاد الصورة القطب ية للمعادلة عوض عن ب r cos θ وعن ب. r si θ ثم ب س ط المعادلة. = r cos θ, = r si θ م1 ب م ب ث س r 0r ( - ) + = 1 (r cos θ - ) + (r si θ ) = 1 r cos θ - 8r cos θ r si θ = 1 r cos θ - 8r cos θ + r si θ = 0 r cos θ + r si θ = 8r cos θ r (cos θ + si θ) = 8r cos θ r (1) = 8r cos θ r = 8 cos θ = r cos θ, = r si θ r cos θ _ si θ cos θ = _ si θ cos θ. 1_ cos θ بمب = = )b r si θ = (r cos θ ) = r r si θ cos θ _ si θ cos θ _ si θ cos θ 1_ cos θ = r = r ta θ sec θ = r اàªd اH ات اá«ã ãªd م ثثب به ف ª مø ëj اكتب كل معادلة مما يأتي على الصورة القطبية: - = 1 )B + ( - ) = 9 )A عملية تحويل المعادلة القطبية إلى معادلة ديكارتية ليست مباشرة مثل عملية التحويل من المعادلة الديكارتية إلى المعادلة القطبية ففي التحويل الثاني تلزمنا جميع العلقات اآلتية:. r = +, ta θ = _, = r cos θ, = r si θ الدرSس -

64 اµjódاá«JQ اªd االت اdE اá«Ñ d اªd االت πjƒëj 5 اكتب كل معادلة قطبي ة مما يأتي على الصورة الديكارتية. ta ta θ = _ θ = θ = π_ Ç ta θ = Ç = _ Ç = _ π_ )a طرá j á jóh (, π_ ) (, π_ ) θ = π_ ه (, )(, 1) م به _ = r = 7 )b ب r = + r = 7 r = 9 + = 9 r = -5 si θ )c r r = +, = r si θ 5 r = -5 si θ r = -5r si θ + = = 0 ف ª مø ëj اكتب كل معادلة قطبي ة مما يأتي على الصورة الديكارتية: r = cos θ (5C θ = π_ (5B r = - (5A اüØdسπ

65 حو ل اإلحداثيات القطبية إلى إحداثيات ديكارتية لكل نقطة مما يأتي: )مثال 1( 1_ (, π_ ) ) (, _ π ) ) 1 (.5, 50 ) ) ( 5, 0 ) ) (-1, -70 ) ) (-, π_ ) ) 5 (-, 70 ) ) 8 1_ (, π_ ) ) 7 ( -1, - π _ ) ) 10 (, 10 ) ) 9 أوجد زوجين مختلفين كل منهما يمث ل إحداثيين قطبيين لكل نقطة معطاة باإلحداثي ات الديكارتي ة في كل مما يأتي: )مثال ( اكتب كل معادلة قطبي ة مما يأتي على الصورة الديكارتية: )مثال 5( θ = - _ π ) r = si θ ) r = cos θ ) 5 r = 10 ) r = 8 csc θ ) 7 ta θ = ) cot θ = -7 ) 9 r = - ) 8 r = sec θ ) 1 θ = π_ ) 0 ) زالزل: ت نمذ ج حركة أمواج الزالزل بالمعادلة r = 1. si θ حيث r مقاسه باألميال. اكتب معادلة أمواج الزالزل على الصورة الديكارتية. )مثال 5( (-1, ) ) 1 ( 7, 10) ) 11 (, -1) ) 1 (-, -1) ) 1 (0, -17) ) 1 (, -) ) 15 (-1, 1) ) 18 ( 1, ) ) 17 (, - ) ) 0 (5, -1) ) 19 (, Ç ) ) (1, -1) ) 1 ) م سافات: إذا كانت مدرسة نواف تبع د 1.5 mi عن منزله وتصنع زاوية مقدارها 5 شمال الشرق كما في الشكل أدناه فأجب عن الفرعين.a, b )مثال ) 0.5 mi mi 1.5 mi 7 a( إذا سلك نواف طريق ا للشرق ثم للشمال كي يصل إلى المدرسة فكم ميل يتحرك في كل اتجاه b( إذا كان الملعب على ب عد mi غرب ا و 0.5 mi جنوب ا ومنزل نواف يمث ل القطب فما إحداثيات موقع الملعب على الصورة القطبية اكتب كل معادلة مما يأتي على الصورة القطبية: )مثال ( اكتب كل معادلة قطبي ة مما يأتي على الصورة الديكارتية: 1 r = cos θ + si θ ) r = 10 csc (θ + _ 7π ) ) r = csc ( θ - π_ ) ) 5 11π r = - sec (θ - _ ) ) r = sec (θ - π_ ) ) 7 5 cos θ + 5 si θ r = co s θ - si θ ) 8 r = si ( θ + π_ ) ) 9 r = cos ( θ + π_ ) ) 50 اكتب كل معادلة مما يأتي على الصورة القطبية: - = ) = 1 ) 5 (- ) +( - 8 ) = 100 ) 5 ( + ) + ( - ) = 1 ) 5 ( + 5 ) + = 5 ) 5 = - ) = 5 ) 7 = - ) + ( + ) = 9 ) 9 ( - ) + = ) 8 + ( + 1 ) = 1 ) 1 = Ç ) 0 الدرSس - 5

66 : dƒl )55 في أحد ملعب الجولﻒ يحيﻂ بثقب الهدف منطقة خضراﺀ محاطة بمنطقة رملية كما في الشكل أدناه. أوجد مساحة المنطقة الرملية على فرض أن الثقب يم ثل القطب لكلتا المعادلتين وأن المسافات ت قاﺱ بوحدة الياردة. )58 ا ûàc س ا îd ا :C يحاول كل من باسل وتوفيق كتابة المعادلة القطبية r = si θ على الصورة الديكارتية فيعتقد توفيق أن الحل هو + - _1 = _1 في حين يعتقد باسل أن الحل هو r = cos θ + si θ ) (. = si أيهما كانت إجابته صحيحة برر إجابتك. :óëj اكتب معادلة الدائرة r = a cos θ بالصورة الديكارتية )59 وأوجد مركزها وطول نصﻒ قطرها = 9 دوارة hs á éy )5 ا :IQ إذا كانت إحداثيات أدنى نقطة في عجلة ﱠ ) (0, 0 وأعلى نقطة فيها ).(0, 0 الدوارة )a فاكتب معادلة العجلة ﱠ الموﺿحة بالشكل المجاور على الصورة الديكارتية. )0 ا :Öàc اكتب تﺨمين ا يب ين متى يكون تمثيل المعادلة على الصورة القطب ﹼية أسهل من تمثيلها على الصورة الديكارتية ومتى يكون صحيحا. العكﺲ ) (0, 0 H )1 ر g ا : استعمل = r cos θ, = r si θ إلثبات أن r = sec θ, r = csc θ حيث.si θ 0, cos θ 0 )b اكتب المعادلة في الفرﻉ a بالصيﻐة القطبية. ) (0, 0 :óëj اكتب المعادلة : ) = ) r ( cos θ + si θ) + r (-8a cos θ + b si θ 1 - a - b Ó«ãªJ ت م :Ió à في هذه المسألة سوف تكتشﻒ العلقة بين )57 األعداد المركبة واإلحداثيات القطبية. «H )a ا «v f ا : يمكن تمثيل العدد المركب a + bi في المستوى الديكارتي بالنقطة ).(a, b م ثل العدد المركب + 8i في المستوى الديكارتي. jv óy )b ا : أوجد اإلحداثيات القطبية للعدد المركب باستعمال اإلحداثيات الديكارتية التي أوجدتها في الفرﻉ. a «H )c ا «v f ا : عز ز إجابتك في الفرﻉ b بتمثيل اإلحداثيات القطبية في المستوى القطبي. على الصورة الديكارتية ). فك األقواﺱ قبل تعويﺾ قيم r. r تم ﹼثل المعادلة الديكارتية قط عا مﺨروط ﹼﹰيا(. ﹶم ثل كل نقطة مما يأتي في المستو القطبي (. س ) -1 A (-, 5 ) ) D (1, 15 ) ) «H )d ا «v f ا : م ثل بيان ﹼﹰيا العدد المركب - + i في المستوى الديكارتي. )5 «H )e ا «v f ا : أوجد اإلحداثيات القطبية للعدد المركب باستعمال اإلحداثيات الديكارتية التي أوجدتها في الفرﻉ.d و م ثل اإلحداثيات القطبية في المستوى القطبي. أوجد الﺰاوية بين المت ﺠهين u, v في كل مما يأتي ( : س )1 - «v «ëj )f ا : أوجد العبارات الجبرية التي تب ﹼين كيفية كتابة العدد المركب a + bi باإلحداثيات القطبية. ا üød س π ) ( π _ C -1.5, - u =, -, v = -5, -7 ) u =,, v = -9, )7

67 _ 7π, (- في المستوى ) 75 أي من النقاط اآلتية يعد تمثيل آخر للنقطة ) القطبي (, _ π ) A ( -, π_ ) B (,_ -11π ) C 11π ( -, _ ) D ) 7 إذا كان -7, = m = 5, -, فأي مما يأتي يمث ل k حيث k = - m -17, 11 A -17, -5 B 17, -11 C -17, 5 D ) 77 ما الصورة القطبية للمعادلة = ) - ( + r = si θ A r = si θ B r = si θ C r = 8 si θ D ) 78 ما حاصل الضرب االتجاهي للمتجهين: -,, 1 - = v u =, - 1, -, - 10, 10, 5 A - 10, - 10, 5 B ) 8 طائرات: تتكون مروحة طائرة من 5 ريش المسافة بين أطرافها المتتالية متساوية. ويبلغ طول كل ريشة منها ft )الدر س -1( C D d a( إذا كانت الزاوية التي تصنعها الشفرة A مع المحور القطبي فاكتب زوج ا يمث ل اإلحداثيات القطبية لطرف كل شفرة بفرض أن مركز المروحة ينطبق على القطب. B E b( ما المسافة d بين رأسي شفرتين متتاليتين حل كلا من المعادالت اآلتية باستعمال القانون العام. )مهارة سابقة( A - 7 = -15 ) = 0 ) = 0 ) 71 أوجد طول القطعة المستقيمة التي تصل بين النقطتين في كل مما يأتي وأوجد إحداثيات نقطة منتصفها: )الدر س - 1( (, -15, 1), (1, -11, 15) ) 7 (-,, 8), (9,, 0) ) 7 (7, 1, 5), (-, -5, -11) ) 7-10, - 10, - 5 C - 10, 10, - 5 D الدرSس - 7

68 المáÑcô ôaاƒمj ájô fh ا óycا Comple Numbers ad De Moivre s Theorem يستعمل مهندسو الكهرباء األعداد المركبة لوصف بعض العالقات في الكهرباء. فالكميات: فرق الجهد V والمعاوقة Z وشدة التيار I ترتبط بالعالقة V = I Z التي تستعمل لوصف تيار متردد. ويمكن كتابة كل متغير على صورة عدد مركب على الصورة a + bj حيث j العدد التخيلي (ويستعمل المهندسون j حتى لا يختلط الرمز مع رمز شدة التيار I). (اTQEصا : استعملت كلمة المعاوقة بد لا من كلمة المقاومة ألن مجموعة األعداد المستخدمة هنا هي مجموعة األعداد المركبة حيث تستعمل كلمة المقاومة في مجموعة األعداد الحقيقية). ال صIQƒ ال Ñيá لóYCÓا المáÑcô الجزء الحقيقي للعدد المركب الم عطى على الصورة الديكارتية a + bi هو a والجزء التخيلي. bi ويمكنك تمثيل العدد المركب على المس توى المركب بالنقطة (b,a). كما هو الحال في المستوى الا حداثي فا ننا نحتاج ا لى محورين لتمثيل العدد المركب وي ع ين الجزء الحقيقي على محور أفقي ي س مى المح ور الحقيقي ويرمز له بالرمز R في حين ي ع ين الجزء التخيلي على محور رأسي ي س مى المح ور التخيلي ويرمز له بالرمز. i (i) (R) في العدد المركب a + 0i (لاحظ أن = 0 b ). يكون الناتج عد دا حقيق يا يمكن تمثيله على خط األعداد أو على المحور الحقيقي. وعندما 0 b فا ننا سنحتاج ا لى المحور التخيلي لتمثيل الجزء التخيلي. (i) a a + bi (a, b) b (R) (i) a + 0i (R) ايثكحثيثاد داي ثاد ايايثقلا ثاي ثادحإلا )مديدلا( ثلرليثقلا ثايثادحإلايمي ثايثا د ايثكاي ثايثالال ايبثا ثل يرديحيثقلا ثاي ثادحإلايبدد بثل ي بديبثدييثاي ثالال ا ثاديثادحإ تذ كر أن القيمة المطلقة لعدد حقيقي هي المسافة بين ذلك العدد والصفر على خط األعداد وبالمثل فا ن القيمة المط لقة لعدد مركب هي المسافة بين العدد والصفر في المستوى المركب. وعند تمثيل العدد a + bi في المستوى المركب. فا نه بالا مكان حساب ب عده عن الصفر باستعمال نظرية فيثاغورس. comple plae ثاديثال ل real ais ثاديثا imagiar ais ثال دايثادالايا ايمحإ absolute value of a comple umber ثايثالال ا polar form ثايثادثث ا trigoometric form ثادل د modulus ثاا argumet ثاب ثا ايا ايبثر th roots of uit i z (a, b) b ثال دايثادالايا ايثادحإيbi يz = a + z = a + bi = ÇÇÇ a + b ال يمá الم á ل ó مÖcô a R 8 الف صل ثقكر ثا دايثالال ايبثقلا ثايثادحإلا

69 الم á bيمها hاjeجا المáÑcô ا óycا تمãيل 1 م ث ل كل عدد مما يأتي في المستوى المر كب وأوجد قيمته المطلقة: z = - - i )b z = + i )a (a, b) = (-, -1) (a, b) = (, ) i i (, ) (, 1) R R حيثال z = ÇÇÇ a + b دايثادالا a = -, b = -1 = ÇÇÇÇÇÇ (-) + (-1) = Ç 5. حيثال دايثادالا القيمة المطلقة للعدد - i - تساوي. تقري با. a =, b = z = ÇÇÇ a + b = ÇÇÇ + = Ç 5 = 5 القيمة المطلقة للعدد + i تساوي 5. تë مø aهم م ث ل كل عدد مما يأتي في المستوى المركب وأوجد قيمته المطلقة: - + i )1B 5 + i )1A i r θ كما ك تبت الا حداثيات الديكارتية (,) على صورة ا حداثيات قطبية فا نه يمكن كتابة الا حداثيات الديكارتية (b,a) التي تمث ل عد دا مرك با في المستوى المركب على الصورة القطبية. وت طبق الدوال المثلثية نفسها التي است عملت في ا يجاد قيم, لا يجاد قيم a., b si θ = b_, cos θ = a_ r r ثحيإيحييr r si θ = b r cos θ = a وبتعويض التمثيالت القطبية لكل من b a يمكننا ا يجاد الص ورة القطبية أو الصو رة المثلثية لعدد مركب. ثا ايثادحإيثقل b = r si θييa = r cos θ يثادميثادح z = a + bi = r cos θ + (r si θ)i = r(cos θ + i si θ) في حالة العدد المركب فا ن r تمث ل القيمة المطلقة أو المقياس للعدد المركب ويمكن ا يجادها باستعمال الا جراء نفسه الذي استعملته لا يجاد القيمة المطلقة r. = z = ÇÇÇ a + b ت س مى الزاوية θ سعة العدد المركب. وبالمثل لا يجاد θ من الا حداثيات الديكارتية ) (, فا نه عند استعمال األعداد المركبة يكون -1. a عندما < 0 θ = Ta b_ a + π أو a عندما > 0 θ = Ta -1 b_ a a i (a, b) r θ b a R (a, b) b R ثايثالال ايثلبيثادثث ايا ايثادحإ يz = a + bi θ) z = r (cos θ + i si حيث z = ÇÇÇ a + b = ييrييθ θييa = r cos bيي = r si يa < مدي 0 θيا = Ta -1 b ا ذا كانت < 0 θ = - _ π bيي ا ذا كانت > 0 θ = _ π b_ a + aييييπ > مدي 0 ا θ = Ta -1 b_ a ثلمديثكثيإدي 0 = aييفا ن ال صIQƒ ال Ñيá : يا يثاي ي ثايثالال ايا اي ثادحإيبثقكر ثا داي ثالال ايا ايثادحإي دايثالال ايا اي محإييحلايثلحي ادايثا ايثادحإ يبي ديثقكر ثا دايثالال اي ا ايثادحإيقرلدييثي ثا الùص á : إددييثقكر ثا دايثالال اي دكنيθيا يبر ي مي ثلدياياداييثاحي -π < θ < π ال صIQƒ ال Ñيá ل ó مÖcô الSQó - ثقلا ثايثادحإلايبحايادثحي 9

70 θ = = Ta -1 b_ a + π -1 Ta (- _ 8 )+ π.1 a < 0 يثا a = -, b = 8 ع بر عن ك ل عدد مركب مما يأتي بالصورة القطبية: r = = - + 8i )a أوجد المقياس r والسعة θ. ا óycا المáÑcô Hال صIQƒ ال Ñيá a ÇÇÇ + b ÇÇÇÇÇ (- ) + 8 = 10 لذا فا ن الصورة القطبية للعدد - + 8i هي.1) 10(cos.1 + i si تقري با. θ = = -1 Ta b_ a -1 Ta _ Ç 0.1 a > 0 يثا a =, b = r = = = a ÇÇÇ + b ÇÇÇÇÇ + ( Ç ) Ç i )b لذا فا ن الصورة القطبية للعدد Ç i + هي 0.1).(cos i si تقري با. تë مø aهم ع بر عن ك ل عدد مركب مما يأتي بالصورة القطبية: - - i )B 9 + 7i )A ويمكنك استعمال الصورة القطبية لعدد مركب لتمثيله في المستوى القطبي باستعمال (θ r), كا حداثيات قطبية للعدد المركب. كما يمكنك تحويل عدد مركب مكتوب على الصورة القطبية ا لى الصورة الديكارتية وذلك باستعمال قيم r وقيم النسب المثلثية للزاوية θ المعطاة. π 5π 7π z = ( cos في المستوى القطبي ثم ع بر عنه بالصورة الديكارتية. Ç. z = _ + (cos π_ + i si π_ مث ل العدد )._ لاحظ أن قيمة r هي وقيمة θ هي π. (, π_ ع ي ن الا حداثيات القطبية ) ولكتابة العدد على الصورة الديكارتية أوجد القيم المثلثية ثم ب س ط. ثايثالال ا يثادد ب يثا دكداي ايثا د ( cos π_ + i si π _ ) Ç = _ + i ( 1_ ) = _ Ç + _ i _ i هي z = ( cos π_ فتكون الصورة الديكارتية للعدد ) + i si _ π تë مø aهم تمãيل ال صIQƒ ال Ñيá ل ó مÖcô hتjƒë ها اEل ال صIQƒ الµjóاQتيá π π π π (, π_ ) π 5π π π م ث ل كل عدد مركب مما يأتي في المستوى القطبي ثم ع بر عنه بالصورة الديكارتية: 5π_ + i si _ 5π ) )B 5 π_ (cos + i si _ π ) )A تjƒëل ا óycا المáÑcô : دييا ايمحإي ميثايثالال ايثكاي ثايثا د ايدددلي ثادلايثال د ايميال ي ثادلا ياي ال يثادلايبثكادلي ثالديايثايثالال ا ايث د. ميمحثاديثكا ثاثايثقااي ثادلاي ياي ثايثالال ا 70 الف صل ثقكر ثا دايثالال ايبثقلا ثايثادحإلا

71 ÜôصV ا óycا المáÑcô ùbhصمتها hاjeجا ƒbاgا gqhòlhا ت عد الصورة القطبية للعدد المركب وصيغ المجموع والفرق لكل من دالتي الجيب وجيب التمام مفيد ة للغاية في ضرب األعداد المركبة وقسمتها. ويمكن اشتقاق صيغة ضرب عددين مركبين على الصورة القطبية على النحو الا تي: ثايثالال ايا ايثادحإل ي z 1 يي z يثقلث z 1 z = r 1 (cos θ 1 + i si θ 1 ) r (cos θ + i si θ ) = r 1 r (cos θ 1 cos θ + i cos θ 1 si θ + i si θ 1 cos θ + i si θ 1 si θ ) -1 ل يi بثل ل ا ايبثال بايثا ديثا = r 1 r [(cos θ 1 cos θ - si θ 1 si θ ) + (i cos θ 1 si θ + i si θ 1 cos θ )] ثلحيiيادميمحإد = r 1 r [(cos θ 1 cos θ - si θ 1 si θ ) + i (cos θ 1 si θ + si θ 1 cos θ )] مادلدي يثاددي ب يدديثادد الSQó - ثقلا ثايثادحإلايبحايادثحي 71 = r 1 r [cos(θ 1 + θ ) + i si( θ 1 + θ )] ا ايثادحإل z 1 = r 1 (cos θ 1 + i si θ 1 ) يي( z = r (cos θ + i si θ ييدكن z 1 z = r 1 r [cos(θ 1 + θ ) + i si( θ 1 + θ )] ال صÜô Uصي á z _ 1 _ ي ر ي 0 zيي 0 r [( ال ùصمá Uصي á z = r 1 r [cos(θ 1 - θ ) + i si( θ 1 - θ يلحي ايثالداييثادحي 51 لاحظ أنه عند ضرب عددين مركبين فا نك تضرب المقياسين وتجمع السعتين وعند القسمة فا نك تقسم المقياسين وتطرح السعتين. (cos على الصورة القطبية ثم ع بر عنه ثالديثاداد ايثاح 5π_ (cos + i si 5π_ ) ( cos = π_ + i si π_ أوجد ناتج ) بالصورة الديكارتية. 5π_ + i si _ 5π ) ( cos π_ + i si _ π ) () cos 5π_ ( + π_ ) + i si 5π_ ( + π_ ) 11π = 8 _ (cos ايثا د. Ç - i _ 8 والصورة الديكارتية 11π 11π (cos + i si _ 11π + i si _ ) والا ن أوجد الصورة الديكارتية للناتج. 8 _ 11π 11π _ si (cos + i ثايثالال ا ) 8 ( يثادد يب يثا ي ثلب = _ Ç - i 1_ = Ç - i ) فتكون الصورة القطبية للناتج ) تë مø aهم ÜôصV ا óycا المáÑcô Y ال صIQƒ ال Ñيá ùbhصمتها ال Ñيá ال صIQƒ Y المáÑcô ا óycا ÜôصV أوجد الناتج على الصورة القطبية ثم ع بر عنه بالصورة الديكارتية لكل مما يأتي: (cos π_ + i si _ π ) 5 ( cos π_ + i si _ π ) )A π_ + i si _ π ) π_ (cos + i si _ π ) )B ( cos كما تقدم في فقرة "لماذا " فا نه يمكن استعمال قسمة األعداد المركبة للتعبير عن العالقات في الكهرباء.

72 r = Ω تساوي Z وكانت معاوقتها 150 V في داي رة كهرباي ية يساوي V ا ذا كان فرق الجهد :AاHôهc (-0.)]) si Ç 5 [cos(-0.) + j ( فأوجد شدة التيار I في الداي رة على الصورة القطبية باستعمال المعادلة.V = I Z = 150, θ = Ta -1 0_ 150 = 0 اكتب العدد 150 على الصورة القطبية. ال Ñيá ال صIQƒ Y المáÑcô ا óycا ùbصمá = 150 (cos 0 + j si 0) ثاددااايثقل ا ثيإيحيايZ V = 150 (cos 0 + j si 0), Z = 5 [cos (-0.) + j si (-0.)] ايثالدا I Z = V I = V_ Z 150 (cos 0 + j si 0) I = 5 [cos(-0.) + j si(-0.)] ح ل I Z = V بالنسبة ل. I _ 150 I = {cos [0 - (-0.)] + j si [0 - (-0.)]} 5 I = 10 Ç 5 (cos 0. + j si 0.) مهSóæصƒ الµهHôاA ايم ي ثاحديا دي يادااي يد يثادثيبثادقاي ثادايثاييم ديإدماي بمحإدايثاادحثايبثلدايثاحثاثي بثادرايإدديثليدنياي احيمدايم ايمثيثاثي ثادداايبثا دثايبثاحيثقا أي أن شدة التيار تساوي 0.) Ç 5 (cos 0. + j si (10 أمبير تقري با. تë مø aهم 5( :AاHôهc ا ذا كان فرق جهد داي رة كهرباي ية 10 V وكانت شدة التيار ) j 8) + أمبير فا وجد معاوقتها على الصورة الديكارتية. يعود الفضل في حساب قوى األعداد المركبة وجذورها للعالم الفرنسي ديموافر وقبل حساب قوى األعداد المركبة وجذورها فا ن من المفيد كتابة العدد المركب على الصورة القطبية. با مكاننا استعمال صيغة ضرب األعداد المركبة لتوضيح النمط الذي اكتشفه ديموافر. أو لا: أوجد z من خالل الضرب. z z ثح ايثاح z z = r (cos θ + i si θ) r (cos θ + i si θ) z = r [cos (θ + θ) + i si (θ + θ)] z = r (cos θ + i si θ) والا ن أوجد z بحساب. z z ثح ايثاح z z = r (cos θ + i si θ) r(cos θ + i si θ) z = r [cos (θ + θ) + i si (θ + θ)] z = r (cos θ + i si θ) لاحظ أنه عند حساب القوة النونية للعدد المركب فا نك تجد القو ة النونية لمقياس العدد وتضرب السعة في. 7 الف صل ثقكر ثا دايثالال ايبثقلا ثايثادحإلا

73 ôaاƒمj ájô f ويمكن تلخيص ذلك على النحو الا تي: ثكثيإدني( zيا = r (cos θ + i si θ اثيمحإلديايثايثالال ا بإدني ا اثي ديملد دكن. z = [ r (cos θ + i si θ) ] = r ( cos θ + i si θ ) θ = = = = π_ -1 Ta b_ a -1 Ta _ Ta -1 Ç أوجد (i ) + بالصورة القطبية ثم ع بر عنه بالصورة الديكارتية.. 8 ( cos ثايثالال ا حايادثح ثلب ي ديثا يب يثادد يثا a =, b = أو لا: اكتب Ç i + على الصورة القطبية. r = = = = 8 ÇÇÇ a + b ÇÇÇÇÇ + ( ) ÇÇÇ π_ فتكون الصورة القطبية للعدد Ç i + هي ) + i si _ π والا ن استعمل نظرية ديموافر لا يجاد القوة السادسة. ( + Ç i ) = ôaاƒمj ájô f = 8 ( cos π_ + i si _ π ) 8 cos π_ ( ) + i si π_ ( ) = 1 (cos π + i si π) = 1(1 + 0i ) = 1 اôHEاgاΩ ôaاƒمj (Ω 175 Ω 17 ) ديحياحيداحاي ثاددديدد بإديايثقرددقاي Chacesي يب Doctrie of ي ادثحيميثاحد يثاحبثايي ثا ايثا ايبثقرددقا أي أن = 1 ) i Ç.( + تë مø aهم أوجد الناتج في كل مما يأتي وع بر عنه بالصورة الديكارتية : ( Ç - i ) 8 )B (1 + Ç i ) )A 8 8 الSQó - ثقلا ثايثادحإلايبحايادثحي 7 يوجد للمعادلة = 5 حالن في مجموعة األعداد الحقيقية هما -,. وي ظهر التمثيل البياني المجاور للمعادلة - 5 = وجود صفرين حقيقيين عند -, = بينما في مجموعة األعداد المركبة فا ن لهذه المعادلة حلين حقيقيين 10 (, 0) (, 0) 10 (0, 5) الájô æ ا SCصاSصيá a«الجôñ إيمدااايإث حير باييادي ثلإلحيميحيادييبثر ي ايثقليديثكايمدااي ثقلا ثايثادحإلا وحلين مركبين. درست ساب قا نتيجة النظرية األساسية في الجبر والتي تنص على وجود صف را لمعادلة كثيرة الحدود من الدرجة في مجموعة األعداد المركبة لذا يكون للمعادلة., -, i, - i أربعة حلول أو جذور مختلفة وهي - 5 التي تكتب على الصورة = 0 = 5 وبشكل عام فا نه يوجد جذر نوني مختل ف ألي عدد مركب لا يساوي الصفر حيث بمعنى أنه ألي عدد مركب جذران تربيعيان وثالثة جذور تكعيبية وأربعة جذور رباعية وهكذا.

74 ولا يجاد جميع جذور عدد مركب يمكن أن تستعمل نظرية ديموافر للوصول ا لى الصيغة الا تية: قليا اي ي ي دكنيا ايثادحإ ييميثابيثا r (cos θ + i si θ) ايثادا بدي ثكداديدددليثا اي 1_ θ + kπ r (cos_ + i si _ θ + kπ ) ر ي 1 - يk = 0, 1,,, ويمكننا استعمال هذه الصيغة لجميع قيم k الممكنة ا لا أنه يمكننا التوقف عندما - 1 k = وعندما يساوي k العدد أو يزيد عليه تبدأ الجذور بالتكرار كما يظهر في المعادلة: r = (-) + (-) = -1, θ = Ta θ = k = مدي 0 بيمادلاياثبايثاييا _ θ + π = _ 5π_ 1_ 1_, =, r = ( ) k = 0-5π_ - + π = = ( Ç ) 1_ (cos = 8 Ç 8 Ç θ_ + π أوجد الجذور الرباعية للعدد المركب -. - i ثايثقلبل ثايثاثد ثايثاثدا ثايثاحث k = 1 k = k = = = = أو لا: اكتب - - i على الصورة القطبية. - - i = Ç 5π_ (cos + i si _ 5π ) والا ن اكتب الصيغة للجذور الرباعية. 5π + kπ 5π_ + i si _ + kπ ) cos 5π_ ( 1 + _ kπ ) + i si 5π_ ( 1 + _ kπ ) ثان يا: لا يجاد الجذور الرباعية عو ض =,0,1, k. 8 Ç (cos 8 Ç 8 Ç (cos 8 Ç cos ( 5π_ 1 + _ (0)π ) + i si ( 5π_ 1 + _ (0)π ) 5π_ 1 + i si 5π _ 1 ) i cos ( 5π_ 1 + _ (1)π 8 Ç (cos 8 Ç _ 1π 1 cos ( 5π_ 1 + _ ()π cos ( 8 Ç (cos _ 1π 1 ) + i si ( 5π_ 1 + _ (1)π ) 1π + i si _ 1 ) i ) + i si ( 5π_ 1 + _ ()π ) 1π + i si _ 1 ) i 5π_ 1 + _ ()π _ 9π 1 ) + i si ( 5π_ 1 + _ ()π ) 9π + i si _ 1 ) i الجذور الرباعية للعدد - - i هي i, i, i, i تë مø aهم الجQhò المîت فá المÖcô ال ó QhòL 7 7A( أوجد الجذور التكعيبية للعدد 7B( + i أوجد الجذور التكعيبية للعدد 8 7 الف صل ثقكر ثا دايثالال ايبثقلا ثايثادحإلا

75 i ( 1.8, 0.8) (0.8, 1.8) R 1 ( 0.8, -1.8) (1.8, 0.8) لاحظ أن الجذور األربعة التي أوجدناها في المثال 7 تقع على داي رة. فا ذا نظرنا ا لى 8 الصورة القطبية لكل جذر نجد أن لكل منها مقيا سا قيمته ) 1.5 Ç ) ويمثل نصف قطر الداي رة. كما أن المسافات بين الجذور على الداي رة متساوية وذلك نتيجة للفرق الثابت بين قيم السعة ا ذ يساوي. تحدث ا حدى الحالات الخاصة عند ا يجاد الجذور النونية للعدد 1 فعند كتابة 1 على الصورة القطبية فا ننا نحصل على = 1 r. وكما ذكرنا في الفقرة السابقة فا ن مقياس الجذور هو طول نصف قطر الداي رة الناتجة عن تمثيل الجذور في المستوى المركب لذا فا ن الجذ ور النونية للعدد واحد تقع على داي رة الوحدة. π_ r = = 1, θ = Ta 0_ 1 = 0 1_ θ = 0, = 8, r = 1 8 = 1 1_ أوجد الجذور ال ثمان ية للعدد واحد. أو لا: اكتب 1 على الصورة القطبية. ómاh ل ó الfƒæيá الجQhò 8 1 = 1 (cos 0 + i si 0) والا ن اكتب الصيغة للجذور الثمان ية. 1 _ 0 + kπ (cos + i si _ 0 + kπ 8 8 ) = cos _ kπ + i si _ kπ الجQhò الfƒæيá ل ó مÖcô نيابيثادل ديي 1 θ ييي ب r ي ايثايثقلبلي اياثايابيثقلحياي ي π_ ثاثايدكداي ثان يا: افترض أن = 0 k لا يجاد الجذر األول للعدد. 1 (0)π k = 0 cos _ + i si _ (0)π ثايثقلبل = cos 0 + i si 0 = 1 _ ) (- _, 1 لاحظ أن مقياس كل جذر هو 1 ويمكن ا يجاد سعة الجذر الحالية با ضافة _π Ç = _ + _ Ç ثايثاثد cos π_ + i si _ π i ثايثاثدا ثايثاحث ثايثادم ثايثادا ثايثاد ثايثاثدم ا لى سعة الجذر السابق. 1 (-, - ) i ( _, 1 _ ) 1 R ( _,_- ) cos π_ + i si _ π cos π_ + i si _ π = i cos π + i si π = -1 = -_ Ç + _ Ç i cos 5π_ = -_ Ç - _ Ç + i si _ 5π i cos π_ = -i + i si _ π cos 7π_ Ç = _ - _ Ç + i si _ 7π i Ç 1,_ + _ Ç i, i, - _ Ç + _ Ç i, -1, - _ Ç - _ Ç i, -i, _ Ç - _ Ç الجذور ال ثمان ية للعدد 1 هي i كما هو موضح في الشكل أعاله. تë مø aهم 8A( أوجد الجذور التكعيبية للعدد واحد. 8B( أوجد الجذور السداسية للعدد واحد. الSQó - ثقلا ثايثادحإلايبحايادثحي 75

76 م ث ل كل عدد مما يأتي في المستوى المركب وأوجد قيمته المطلقة: )مثال 1( z = + i ) 1 z = - + i ) z = - - i ) z = - 5i ) z = i ) 5 z = 8 - i ) ) 7 متجهات: ت عطى القوة المؤثرة على جسم بالعالقة z = i حيث ت قاس كل مركبة للقوة بالنيوتن ) N (. )مثال 1( a( م ث ل z كمتجه في المستوى المركب. b( أوجد طول المتجه واتجاهه. عب ر عن كل عدد مركب مما يأتي بالصورة القطبية: )مثال ( + i ) i ) 9 - Ç i ) 10 - i ) i ) Ç i ) 1 م ث ل كل عدد مركب مما يأتي في المستوى القطبي ثم عب ر عنه بالصورة الديكارتية: )مثال ( أوجد الناتج في كل مما يأتي على الصورة القطبية ثم عب ر عنه بالصورة الديكارتية: )المثدقن ), 5 ( cos π_ + i si _ π ) ( cos π_ + i si _ π ) ) 18 5 (cos 15 + i si 15 ) (cos 5 + i si 5 ) ) 19 (cos π_ + i si _ π ) 1_ (cos π + i si π) ) 0 (cos 90 + i si 90 ) (cos 70 + i si 70 ) ) 1 ( cos π_ + i si _ π ) (cos π_ + i si _ π ) ) (cos 9π_ + i si _ 9π ) (cos π_ + i si _ π ) ) 1_ (cos 0 + i si 0 ) (cos i si 150 ) ) (cos π_ + i si _ π ) ( cos π_ + i si _ π ) ) 5 5 (cos i si 180 ) (cos 15 + i si 15 ) ) 1_ ( cos π_ + i si _ π ) ( cos π_ + i si _ π ) ) 7 أوجد الناتج لكل مما يأتي بالصورة القطبية ثم عب ر عنه بالصورة الديكارتية: )مثال ( ( + Ç i ) ) 8 ( cos π_ + i si _ π ) ) 9 ( + i ) - ) 0 ( cos π_ + i si _ π ) ) 1 ) ت صميم: يعمل سالم في وكالة لإلعالنات. ويرغب في تصميم لوحة مكونة من أشكال سداسية منتظمة كما هو مبي ن أدناه. ويستطيع تعيين رؤوس أحد هذه األشكال السداسية بتمثيل حلول المعادلة = في المستوى المركب. أوجد رؤوس أحد هذه األشكال السداسية. )مثال 7( ( cos π_ + i si _ π ) ) 1 11π (cos _ + i si _ 11π ) ) 15 (cos π_ + i si _ π ) ) 1 _ (cos 0 + i si 0 ) 17 ) 7 الف صل ةبكرملا دادعألاو ةيبطقلا تايثادحإلا

77 أوجد جميع الجذور المطلوبة للعدد المركب في كل مما يأتي: )ثادثدقني 8,7( ) الجذور السداسية للعدد i ) الجذور الرباعية للعدد Ç - i ) 5 الجذور التربيعية للعدد - - i ) :AاHôهc ت عط ى معاوقة أحد أجزاء داي رة كهرباي ية موصولة على التوالي بالعبارة 5(cos j si 0.9)Ω وت عط ى في الجزء الا خر من الداي رة بالعبارة 8(cos 0. + j si 0.)Ω. a( ح و ل ك ال من العبارتين السابقتين ا لى الصورة الديكارتية. b( اجمع الناتجين في الفرع a لا يجاد المعاوقة الكلية في الداي رة. c( ح و ل المعاوقة الكلية ا لى الصورة القطبية. ) 7 ùcصjôات: الكسريات شكل هندسي يتكون من نمط مكرر بشكل مستمر وتكون الكسريات ذاتية التشابه أي أن األجزاء الصغيرة للشكل لها الخصاي ص الهندسية نفسها للشكل األصلي كما في الشكل أدناه. ) 8 أوجد العدد المركب z ا ذا علمت أن (i-1-) هو أحد جذوره الرباعية ثم أوجد جذوره الرباعية األخرى. ح ل ك لا من المعادلات الا تية باستعمال صيغة الجذور المختلفة: = i ) 9 = 81i ) = i ) 1 ) اcتûص الî اC : ي حسب كل من أحمد وباسم قيمة 5 Ç _. فيستعمل أحمد نظرية ديموافر ويحصل على (- + 1_ ) i. cos ويقول باسم با ن أحمد قد أنجز جز ءا 5π_ + i si _ 5π الا جابة من المسا لة فقط. أيهما ا جابته صحيحة ب ر ر ا جابتك. تqmóë : أوجد الجذور المح ددة على كل من المنحنيين أدناه على الصورة القطبية ثم عي ن العدد المركب الذي له هذه الجذور. i ) 5π π R π i ) π 5π π 7π R في هذا السؤال سوف تنتج كسريات من خالل تكرار f (z) = z حيث. z 0 = i z 1 = f( z 0 ) حيث z 1, z, z, z, z 5, احسب z )a ) 1 z = f( z وهكذا. b( م ث ل كل عدد في المستوى المركب. c( صف النمط الناتج. الSQó - ثقلا ثايثادحإلايبحايادثحي 77

78 z 1 = r 1 (cos θ 1 + i si θ 1 ) ا ذا كان gôhا : ) 5 ) z = r (cos θ + i si θ حيث 0 r فا ثبت أن._ z 1 _ z = r 1 r [cos (θ 1 - θ ) + i si ( θ 1 - θ )] ) تóë : اكتب cos θ بدلالة cos θ مستعم ال نظرية ديموافر. ا رشاد: أوجد قيمة (θ (cos θ + i si مرة باستعمال نظرية ديموافر ومرة باستعمال مفكوك نظرية ذات الحدين. ) 5 أي مما يا تي يمث ل AB ÆÆÆ وطوله ا ذا كان 1) B(-5,, A(,, -), - 8, -,, Ç 77 A 8, -,, Ç 77 B - 8, -,, ÇÇ 109 C (-, 8, -,, ÇÇ 109 D 5π_ ) 57 ما المسافة بين النقطة ) π_, ( والنقطة ).97 A.97 B 5.97 C.97 D ) 7 اcتÖ : وض ح خطوات ا يجاد الجذور النونية للعدد المركب θ) z = r(cos θ + i si حيث عدد صحيح موجب. مث ل كل نقطة مما يأتي في المستوى القطبي: )ثا ي 1 - ( Q (, - 5π_ ) ) 8 P(.5, -10 ) ) 9 اكتب كل معادلة مما يأتي على الصورة القطبية: )ثا ي - ( ) 58 أي مما يا تي يمث ل تقري با الصورة القطبية للعدد المركب 0-1i 9 (cos i si 5.7) A 9 (cos i si 5.5) B (cos i si 5.7) C (cos i si 5.5) D ( - ) + = 9 ) 50 + = ) 51 أوجد المسافة بين كل زوج من النقاط مما يأتي: )ثا ي 1 - ( (, π_ ), (5, π_ ) ) 5 (1, -5 ), (-5, 10 ) ) 5 ح ول الا حداثيات القطب ية لكل نقطة مما يأتي ا لى ا حداثيات ديكارتية: )ثا ي - ( ( 5, π_ ) ) 5 (, 10 ) ) الف صل ثقكر ثا دايثالال ايبثقلا ثايثادحإلا

79 á LGôªdGh á SGQódG π«d ägôøªdg á«sé SCG º«gÉØe - 1 SQódG) á«ñ dg äé«kgóme G (r, θ). θ r P 1 (r 1, θ 1 ), P (r, θ ) P 1 P = - r 1 r cos ( θ - θ 1 ) r 1 + r P (r, θ ) JGôØe ôñàng اختر المفردة المناسبة من القاي مة ا علاه لا كمال كل جملة مما يا تي: ( 1 هو مجموعة كل النقاط (θ,r) التي تحقق معادلة قطبية معطاة. ( المستو الذي يحوي محو ر ا يم ثل الجزء الحقيقي وا خر يمثل الجزء التخيلي هو. ( يح د د موقع نقطة في باستعمال المسافة المتجه من نقطة ثابتة ا لى النقطة نفسها وزاوية متجهة من محور ثابت. ( هي الزاوية θ لعدد مركب مكتوب على الصورة:. r (cos θ + i si θ ) ( 5 تس مى نقطة الا صل في نظام الا حداثيات القطبية ب. ( تس مى القيمة المطلقة لعدد مركب ب. ( 7 هو اسم ا خر للمستو المركب. ( 8 هو نصف مستقيم ممتد من القطب ويكون ا فق يا باتجاه اليمين. P 1 (r 1, θ 1 ) ä É ª d á«jqéµjódg IQƒ üdgh á«ñ dg IQƒ üdg - SQódG) (r cos θ, r si θ)p(r, θ) P(, ) r = + θ = Ta -1 _ + π > 0 θ = Ta -1 < 0 - SQódG) ôagƒªj ájô fh áñcôªdg GóYC G a + bi r (cos θ + i si θ ) z z 1 z 1 z = r 1 r [cos ( θ 1 + θ ) + i si ( θ 1 + θ )] z z 1 _ z 1 _ z = r 1 r [cos ( θ 1 - θ ) + i si ( θ 1 - θ )], r 0 z = r (cos θ + i si θ) z = r (cos θ + i si θ ) :áø àîªdg QhòédG r (cos θ + i si θ) 1_ θ + kπ r (cos_ + i si _ θ + kπ ) _ k = 0, 1,,, SQódG π üødg

80 á LGôªdGh á SGQódG π«d ShQódG á LGôe م ثل كل نقطة مما يا تي في المستو القطبي: X (1.5, 7π_ ) ( 10 W(-0.5, -10 ) ( 9 Z (-, 5π_ ) ( 1 Y(, -10 ) ( 11 م ثل ك ل معادلة من المعادلات القطبية الا تية بيان يا: r = 9_ ( 1 θ = -0 ( 1 11π θ = _ ( 1 r = 7 ( 15 ا وجد المسافة بين كل زوج من النقاط مما يا تي: م ثل المعادلة = 5 r بيان يا في المستو القطبي. حلول المعادلة = 5 r هي الا زواج المرتبة (θ,5) حيث θ ا ي عدد حقيقي. ويتكون التمثيل من جميع النقاط التي تبعد 5 وحدات عن القطب لذا فا ن التمثيل هو داي رة مركزها القطب وطول نصف قطرها. 5 π 5π 7π π 5π (5, _) π π π 5π π 1 5 r = 5 (5, _ π) (5, π_ ) 0 11π 1 (5-58 äéëø üdg) á«ñ dg äé«kgóme G (-, 0 ), (, 0 ) ( 18 ( 5, (7, -1 π_ ), (, -_ 7π ) ( 17 5π_ ), (, π_ ) ( 0 (-1, -5 ), (, 70 ) ( 19 ا وجد زوجين مختلفين كل منهما يم ثل ا حداثيين قطبيين لكل نقطة معطاة بالا حداث يات الديكارت ية في ك ل مما يا تي حيث - π θ π (-1, 5) ( 1 (, 7) ( ( 1, ) ( اكتب ك ل معادلة على الصورة الديكارتية وح دد نوع تمثيلها البياني: اكتب المعادلة r = cos θ على الصورة الديكارتية ثم ح دد نوع تمثيلها البياني. π 5π 7π π π r = r cos θ, r = + π π r = cosθ π_ 5π π 11π 0 r = cos θ r = r cos θ + = + - = 0 ا ي ا ن الصورة القياسية للمعادلة ( - 1 ) هي: = 1 + وهي معادلة داي رة مركزها (0,1) وطول نصف قطرها 1. (59-7 äéëø üdg) ä É ª d á«jqéµjódg IQƒ üdgh á«ñ dg IQƒ üdg - r = 5 ( r = - si θ ( 5 r = sec θ ( r = 1_ csc θ 7 ( π üødg 80

81 م ث ل كل عدد مما يا تي في المستو المركب وا وجد قيمت ه المطلقة: م ثل - i في المستو المركب ثم ع بر عنه بالصورة القطبية. i 8 (8-78 äéëø üdg) ôagƒªj ájô fh áñcôªdg GóYC G - z = i ( 9 z = - i ( 8 z = - i ( 1 z = - + i ( 0 ( cos π_ ( cos 8 a =, b = - a =, b = - 8 8R r = = (, ) ع بر عن كل عدد مركب مما يا تي بالصورة القطبية: i ( + i ( + i ( i ( م ثل كل عدد مركب مما يا تي في المستو القطبي ثم ع بر عنه بالصورة الديكارتية: z = ( cos π_ + i si _ π ) ( z = 5 ( cos π_ + i si _ π ) ( 7 z = ( cos π_ + i si _ π ) ( 8 z = 5π_ (cos + i si _ 5π ) ( 9 ا وجد الناتج في كل مما يا تي على الصورة القطبية ثم ع بر عنه بالصورة الديكارتية: ا وجد المقياس. a + b + (-) = 1 ا وجد السعة. θ = -1 Ta b_ a -1 = Ta _ (- ) فتكون الصورة القطبية للعدد - i هي: 0.98)] si(- 1 [(cos(- 0.98) + i تقري با. + i si π_ ) 7π_ 5 (cos + i si 7π_ ا وجد ناتج ) على الصورة القطبية ثم ح وله ا لى الصورة الديكارتية. π_ + i si _ π ) 5 7π_ (cos + i si _ 7π ) = ( 5) cos π_ ( + 7π_ ) + i si π_ ( + 7π_ ) 15 cos _ 17π 17π = ( 1 ) + i si _ ( 1 ) والا ن ا وجد الصورة الديكارتية لناتج الضرب. 15 cos _ 17π 17π ( 1 ) + i si _ ( 1 ) = 15 [-0. + i(-0.9) = i فتكون الصورة الديكارتية لناتج الضرب i تقري با. ( cos 8 ( cos 5 + i si 5 ) 5 ( cos 5π_ + i si _ 5π ) ( cos π_ + i si _ π ) ( 0 1_ (cos 10 + i si 10 ) 1 ( π_ + i si _ π ) 1_ ( cos π_ + i si _ π ) ( ( cos 10 + i si 10 ) ( cos i si 150 ) ( ( ا وجد قيمة ) i + ( بالصور القطبية ثم اكتبه على الصورة الديكارتية. ( 5 ا وجد الجذور الرباعية للعدد المركب + i SQódG π üødg

82 á LGôªdGh á SGQódG π«d πfé ùeh äé «Ñ J 0 ( :ÜÉ dcg ق سمت لوحة السهام ا لى مناطق كما هو مو ضح في الشكل ا دناه بحيث يحصل اللاعب على 100 نقطة عند ا صابته المنطقة القريبة من القطب وعلى 50 نقطة عند ا صابته المنطقة المتوسطة و 0 نقطة عند ا صابته المنطقة البعيدة a) ا ذا ا صاب اللاعب النقطة (15,.5) فما عدد النقاط التي يحصل عليها b) ح دد موقعين بحيث يحصل اللاعب على 50 نقطة عند ا صابة ا ي منهما ( 7 : FGóM تستعمل شركة عناية بالحداي ق رشا شا قاب لا للتعديل ويستطيع الدوران 0 ويروي منطقة داي رية طول نصف قطرها ft م ثل المنطقة التي يستطيع الرشاش ر يها في المستو القطبي. a) ا وجد مساحة المنطقة التي يستطيع الرشاش ر يها ا ذا ضبط ليدور b) في الفترة 10 θ -0. ( 9 :AÉHô c تص مم معظم الدواي ر الكهرباي ية لتتحمل فرق جه د قدره.0V للفرعين a, b استعمل المعادلة V = I Z حيث فرق الجهد V بالفولت والمعاوقة Z بالا وم وشدة التيار I بالا مبير (قرب ا لى ا قرب جزء من عشرة). - a) ا ذا كانت شدة التيار المار بالداي رة ) 5j ) + ا مبير فا وجد المعاوقة. b) ا ذا كانت معاوقة الداي رة 1) - j Ω( فا وجد شدة التيار. ( 50 πjƒëj :(Jowkoski)»µ SƒcƒL يع ين تحويل جوكوسكي لكل عدد مركب θ) z = r (cos θ + i si عد دا مرك با w يعطى بالصيغة z = (cos _ π + i si _ π ) ا وجد صورة العدد المركب. w = z + 1_ z وفق هذا التحويل. - ( 8 á éy :IQG qh يمكن تمثيل مسار العجلة الد وارة في الشكل ا دناه بالمعادلة r = 50 si θ حيث r بالقدم. - 5π π π π π π 7π r = 50si θ π π 0 0 5π 0 11π a) ع ين الا حداثيين القطبيين لموقع راكب ا ذا علمت ا نه يقع عند = θ. (قرب ا لى ا قرب جزء من عشرة ا ذا لزم الا مر). π_ 1 b) ع ين الا حداثيين الديكارتيين لموقع الراكب مقر با ا لى ا قرب جزء من عشرة ا ذا لزم الا مر. c) ا ذا وقع القطب على سطح الا رض فما ارتفاع ذلك الراكب مق ر با ا لى ا قرب قدم π üødg 8

83 π üødg QÉÑàNG ا وجد ثلاثة ا زواج مختلفة يم ثل كل منها ا حداثيات قطبية للنقطة P في كل ( 8 ع بر عن المعادلة = 9 ) - 7 ) + بالصورة القطبية. من التمثيلين 1, حيث -π θ π. ( 9 :AÉHô c ا ذا كان فرق الجهد V في داي رة كهرباي ية 15V وكانت شدة التيار المار بها I هو ) j ( - ا مبير فا وجد معاوقة الداي رة z بالا حداثيات الديكارتية مستعم لا المعادلة V. = I Z 5π π π P π π ( 1 ( 10 QÉ«àNG :ó àe øe ا ي مما يا تي يبين تمثيل العدد المركب الذي ا حداثياته الديكارتية -1), (- في المستو القطبي 5π π 7π π π P π π π 5π π 1 5 C A 0 11π 5π π 7π π π P π π π 5π π π π 7π 5π π π π π π 1 1 5π π π π 0 ( 5π π 7π π π P π π π 5π π 1 5 D B 0 11π 5π π 7π π π π π π 5π π P 11π م ثل بيان يا في المستو القطبي ك لا من المعادلات الا تية: θ = r = 1 ( θ = 0 ( 5π_ ( r =.5 ( 5 ( 7 :QGGQ يقوم مراقب الحركة الجوية بتتبع مسار طاي رة موقعها الحالي عند النقطة (115,) حيث r بالا ميال. ا وجد كل قوة مما يا تي على الصورة الديكارتية وق رب ا لى ا قرب عدد صحيح ا ذا لزم الا مر: 7π π π P 5π 11π (-1 + i ) ( 11 ( + i ) ( 1 a) ع ين الا حداثيين الديكارتيين للطاي رة. مق ر با الناتج ا لى ا قرب ميل. b) ا ذا وجدت طاي رة عند نقطة ا حداثياتها الديكارتية (75-,50) فع ين الا حداثيين القطبيين لها مق ر با المسافة ا لى ا قرب ميل والزاوية ا لى ا قرب جزء من عشرة ا ذا لزم الا مر. c) ما المسافة بين الطاي رتين ق رب الناتج ا لى ا قرب ميل. 8 - SQódG π üødg

84 AÉ üme Gh ɪàM G Probabilit ad Statistics :á«hôàdg :á HÉ S IAGôb π üødg 8

85 π üø d áä«àdg ägôøªdg á LGôe :(Permutatios) πjéñàdg :(Combiatios) «agƒàdg :(Idepedet Evets) Éà à ùªdg ÉàKÉëdG A BA B :(Depedet Evets) ø«à à ùªdg ô«z ÉàKÉëdG A BA B :(Mutuall Eclusive Evets) Éà«aÉæàªdG ÉàKÉëdG BA (a + b) :(Biomial Theorem) øjóëdg ägp ájô f = C 0 a b 0 + C 1 a - 1 b 1 + C a - b + + C a 0 b = k = 0 _! k!( - k)! a - k b k :(Sample Space) áæ«dg AÉ a :Gó à S G ü«î ûj 1 ح دد ما ا ذا كانت الحوادث الا تية مستقلة ا و غير مستقلة. ( 1 اختيار قصة وكتاب ا خر لا يم ثل قصة من مكتبة. ( اختيار ري يس وناي ب ري يس وسكرتير ومحاسب في نا د على افتراض ا ن الشخص الواحد لا يشغل سو منصب واحد. ( اختيار طالب ومعلم ومشرف اجتماعي للمشاركة في تنظيم الرحلات المدرسية. ح دد ما ا ذا كانت كل حالة من الحالات الا تية تتطلب تطبيق التباديل ا و التوافيق في ح لها: ( اصطفاف سبعة ا شخاص في صف واحد عند المحاسب في ا حد المتاجر. ( 5 ترتيب ا حرف كلمة «مدرسة». ( اختيار نكهتين مختلفتين لفطيرة من بين نكهات. اكتب مفكوك كل من العبارات الا تية: ( a - ) ( 7 ( a + b ) ( 8 ( - ) 5 ( 9 ( a_ + ) 5 ( 10 :(Probabilit) ɪàM G 85 π üødg

86 التjôéبية hال ªسحية الدرا سات Y الMÓª ة hال اªFة Eperimets, Surves, ad bservatioal Studies يرغب الطالب في تشكيل فريق لكرة السلة في مدرستهم وكي يجدوا دعم ا لمشروعهم فقد نف ذوا دراسة مسحية شملت الطالب وأولياء األمور لمعرفة الموافقين منهم والمعارضين. الدرا سات التjôéبية hال ªسحية ت ستعمل الدرا سات المسحية في جمع البيانات وإذا شملت عملية جمع البيانات جميع الطالب في مدرسة ما نقول: إن الدراسة شملت الم جتمع وفي هذه الحالة ت سم ى هذه العملية تعد اد ا عاما ا. أم ا إذا تم اختيار عدد محدود من طالب المدرسة مثل 100 طالب فتكون الدراسة المسحية قد اعتمدت على ال عينة. وتكون العينة متح يزة عندما يتم تفضيل بعض أقسام المجتمع على باقي األقسام فمثال : إذا شملت الدراسة المسحية الواردة في فقرة لماذا رأي العبي كرة السلة وأولياء أمورهم فقط تكون العينة متحيزة. وتكون العينة غير مت حيزة إذا تم اختيارها عشوائي ا أي إذا كان لكل شخص في المجتمع الفرصة نفسها ألن يكون ضمن عينة الدراسة فا ذا أ رسلت استبانة في دراسة مسحية ل 100 طالب تم اختيارهم عشوائي ا عندها تكون العينة غير متحيزة. 1 ةاةموة مو ) ممةملو ( ممةمئممةمئاو ظمئممةمئلملاوةلع ة مئاقلاوةظمئممة مئو ممةةممة ظمئو مئموةمئاو درا سات م سحية: حد د ما إذا كانت كل دراسة مسحية فيما يأتي تتبنى عينة متحيزة أو غير متحيزة وفس ر إجابتك: a( سؤال كل عاشر شخص يخرج من قاعة الندوات عن عدد مرات حضوره ندوات ثقافية لتحديد مد دعم سكان المدينة للندوات الثقافية. متحيزة ألن األشخاص الذين تم سؤالهم قد يختلفون عن سكان المدينة حيث إنهم ممن يحضرون الندوات الثقافية. b( استطلع ا راء أفراد في سوق الماشية لمعرفة ما إذا كان سكان المدينة يحبون تربية الماشية أو ال. متحيزة ألن المجموعة التي تم مسح رأيها ال ت مث ل بالضرورة رأي أهل المدينة ألنهم غالب ا ممن يحبون تربية الماشية. c( يحتوي صندوق على أسماء طلب المدرسة جميعهم سحب من الصندوق 100 اسم عشوائيا ا و سي ل أصحابها عن رأيهم في مقصف المدرسة. غير متحيزة ألن لكل شخص في مجتمع الدراسة الفرصة نفسها ألن يكون ضمن عينة الدراسة الذين است طل عت آراو هم. ª a مø Jح حد د ما إذا كانت كل دراسة مسحية فيما يأتي تتبنى عينة متحيزة أو غير متحيزة وفس ر إجابتك: surve مئاا populatio مئمةمئم cesus مئو sample مئا biased ةمئا ubiasedة مئموةمئلملاوةلع ة مئاقلاو ال يæات الªتحيIõ ôيzh الªتحيIõ observatioal stud مئاالوةمئو treatmet group مئاالوةمئمو cotrol group مم correlatio مئو causatio 1A( سؤال كل العب في فريق كرة السلة عن الرياضة التي يحب مشاهدتها على التلفاز. 1B( الذهاب إلى ملعب كرة القدم وسؤال 100 شخص اختيروا عشوائي ا عن رياضتهم المفضلة. لتجن ب التحي ز في الدراسات المسحية المعتمدة على العينات ال بد من تحق ق أمرين هما: أن تكون العينة العشوائية مناسبة وذلك بأن تكون غير متحيزة وحجمها كبير نسبي ا وأال تكون األسئلة المطروحة متحيزة. 8 الüØسπ ملاملةظملم

87 درا سات م سحية a«الªدر سة: يريد خالد أن يحد د أفضل الا ماكن للرحلة المدرسية. ما الا سي لة التي تعطيه اإلجابة التي يبحث عنها دون تحي ز a( هل تحب الذهاب إلى مركز الملك عبدالعزيز التاريخي هذا سؤال متحيز لصالح مكان محدد. b( هل تحب الذهاب إلى حديقة الحيوان أم إلى متنز ه سلم هذا سؤال متحيز ألنه يحدد بديلين باالسم. c( أين تفضل أن تذهب في الرحلة هذا سؤال غير متحيز ألنه يعطي اإلجابة التي يبحث عنها دون تحي ز. ª a مø Jح أي مما يأتي يحد د أفضل مادة بالنسبة إلى الطلب دون تحي ز A( هل تفضل المادة التي خرجت من حصتها اآلن B( أيهما تفضل أكثر: العلوم أو الرياضيات C( ما مادتك المفضلة في الدرا سة القائمة على الملحظة تتم مالحظة األفراد دون أي محاولة للتأثير في النتائج. وفي الدرا سة التجريبية يتم إجراء معالجة خاصة على األشخاص أو الحيوانات أو األشياء قيد الدراسة وتجرى مالحظة استجاباتهم. درا سة bاªfة Y الMÓª ة من 100 شخص اختر 50 شخص ا خضعوا لمعالجة. اجمع البيانات وحل لها وفس رها. درا سة jôéjبية من 100 شخص اختر من بينهم 50 شخص ا عشوائيا ا وأخضعهم للمعالجة المقصودة بالتجريب بينما ال تخضع اآلخرين لا ي معالجة أو لمعالجة شكلية. اجمع البيانات وحل لها وفس رها. في الدراسة التجريبية ي سم ى األشخاص أو الحيوانات أو األشياء التي تخضع للمعالجة المج موعة التجريبية. أم ا األشخاص أو الحيوانات أو األشياء الذين ال يخضعون للمعالجة أو يخضعون لمعالجة شكلية فيسمون الم جموعة الضابطة. وتعطى المعالجة الشكلية لكي ال يعرف أفراد المجموعات ألي المجموعتين ينتمون وتصبح الدراسة التجريبية عندها غير متحيزة. حد د ما إذا كان كل موقف مم ا يأتي يمث ل دراسة تجريبية أو دراسة قائمة على الملحظة. وفي حالة الدراسة التجريبية اذكر كلا من المجموعة الضابطة والمجموعة التجريبية ثم بي ن ما إذا كانت الدراسة التجريبية متحيزة أم ال. a( اختر 00 طالب نصفهم خضع لا نشطة إضافية في مادة معينة وقارن بين درجاتهم في تلك المادة. هذه دراسة قائمة على المالحظة. b( اختر 00 طالب واقسمهم عشوائيا ا إلى نصفين وأخضع إحد المجموعتين إلى برنامج تدريبي معي ن أم ا الا خر فل تخضعها لا ي برنامج تدريبي. هذه دراسة تجريبية ألنه تم تقسيم المجموعتين عشوائي ا وإحداهما خضعت للبرنامج التدريبي وهي المجموعة التجريبية واألخرى لم تخضع ألي برنامج تدريبي وهي المجموعة الضابطة وهي دراسة متحيزة ألن كل طالب يعرف المجموعة التي ينتمي إليها. ª a مø Jح ºيªسüJ الدرا سات ال ªسحية حد د ما إذا كان الموقف اآلتي يمث ل دراسة تجريبية أو دراسة قائمة على الملحظة وفي حالة الدراسة التجريبية اذكر كلا من المجموعة الضابطة والمجموعة التجريبية ثم بي ن ما إذا كانت الدراسة التجريبية متحيزة أم ال. ( اختر 80 طالب ا جامعي ا نصفهم درس اإلحصاء في المدرسة الثانوية وقارن نتائج المجموعتين في مساق لإلحصاء تم تدريسه في الجامعة. ال يæة الªتحيIõ ةمئوةمةممةظلة ممةمةةلملو الª الéة الûسµ ية مئةةئمةممة مئاالوةمئمو ظمئةئةئمةمةمة ةملةمئمو ظمئة ممةممةةمئمة مةلةموةممةة مئاالةمئوةمظة مئموةا ئة ممظئوةمةةة ملةمئمو ظئةلة مئاةمةمئةمثق ةمظة مئ الدرا سات التjôéبية hالدرا سات ال اªFة Y الMÓª ة الدر س - 1 ظمئلملاوةلع ةمئاقلاو 87

88 كيف تعرف متى ت ستعمل الدراسات المسحية أو الدراسات التجريبية أو الدراسات القائمة على المالحظة تستعمل الدراسات المسحية عند الرغبة في جمع بيانات أو آراء أفراد المجتمع حول موضوع معين بينما ت ستعمل الدراسات القائمة على المالحظة عند الرغبة في دراسة أثر معالجة سابقة تعرض لها أفراد من المجتمع دون أي تأثير عليهم من الباحث وتستعمل الدراسات التجريبية عند الرغبة في اختبار طريقة جديدة أو في دراسة نتائج معالجة مقصودة يؤثر الباحث بها في مجموعة من األفراد يتم تعيينهم عشوائي ا. الدرا سات ال ªسحية hالتjôéبية hال اªFة Y الMÓª ة حد د ما إذا كانت كل من الحاالت اآلتية تتطلب دراسة مسحية أو دراسة قائمة على الملحظة أو دراسة تجريبية وفس ر إجابتك: a( تريد أن تختبر طريقة معالجة لمرض ما. يستدعي ذلك إجراء دراسة تجريبي ة يكون المستهدفون فيها مرضى يشك لون المجموعة التجريبية وتخضع هذه المجموعة للعالج بينما يخضع أفراد المجموعة الضابطة اآلخرون وهم مرضى كذلك لعالج شكلي. b( تريد أن تجمع ا راء حول القواعد المعت مدة في انتخاب رئيس الصف. يستدعي هذا دراسة مسحية للا راء حيث من األفضل أن تختار أشخاص ا من الصف بصورة عشوائية لتحصل على عينة غير متحيزة. c( تريد أن تعرف ما إذا كان التدخين لمدة 10 سنوات يؤث ر في سعة الرئة أو ال. يستدعي هذا إجراء دراسة قائمة على المالحظة تقارن فيها سعة رئة المدخنين لمدة 10 سنوات مع سعة الرئة لعدد مساو لهم من غير المدخنين. ª a مø Jح حد د ما إذا كانت الحالة اآلتية تتطلب دراسة مسحية أو دراسة قائمة على الملحظة أو دراسة تجريبية فس ر إجابتك. ( تريد استطالع آراء طالب مدرسة ثانوية حول وسيلة المواصالت المدرسية باستعمال مقياس متدرج من 1 (ال أوافق مطلق ا) إلى 5 (أوافق بشدة). التªييõ øيh ا رJبا hال سببية إن أي عالقة تظهر بين نتائج التجربة والمعالجة ال تعني بالضرورة أن المعالجة هي السبب في النتيجة. فعندما يوجد ارتب اط بين ظاهرتين فا ن كال من الظاهرتين تؤثر في األخرى فا ن معرفتك بقيم الظاهرة األولى يمك نك من التنبؤ بقيم الظاهرة الثانية والعكس صحيح فمثال : هناك ارتباط بين كتل األشخاص وأطوالهم فكلما زاد طول الشخص زادت كتلته بشكل عام فا ذا عرفت طول شخص يمكنك التنبؤ بكتلته. وعندما يوجد س ببية فا ن وقوع ظاهرة معينة يكون سبب ا مباشر ا في وقوع الظاهرة األخرى لذا فا ن السببية تتضمن الترتيب الزمني فوقوع الظاهرة األولى أوال يكون سبب ا في وقوع الظاهرة الثانية الحق ا كنتيجة لذلك فمثال : دوران األرض حول محورها هو السبب الوحيد في تعاقب الليل والنهار. وبينما يكون من السهل مالحظة االرتباط بين ظاهرتين فا نه من الصعب البرهنة على وجود سببية بين الظاهرتين. 5 ا رJبا hال سببية بي ن ما إذا كانت العبارات اآلتية تظهر ارتباط ا أو سببية ثم فس ر إجابتك: a( أظهرت الدراسات أن الطلب يكونون أقل نشاط ا بعد تناول الغداء. العبارة تظهر ارتباط ا فقط وال تظهر سببية ألن تناول الغداء ليس سبب ا مباشر ا وال كافي ا وحده لقلة النشاط لدى الطالب فهناك عوامل أخرى تشترك معه مثل نوعية وكمية الغداء. b( إذا رفع ت أثقاال أستطيع االلتحاق بفريق كرة القدم. العبارة تظهر ارتباط ا ألن رفع االثقال وحده ليس سبب ا مباشر ا لاللتحاق بفريق كرة القدم فقد تكون هناك متطلبات أخرى تشترك معه مثل: المهارة واللياقة وغيرها. c( عندما تر الشمس يكون النهار قد طلع. العبارة الواردة تظهر سببية ألنه ليس هناك عوامل أخرى مع الشمس يلزم وجودها لتسبب طلوع النهار. ª a مø Jح بي ن ما إذا كانت العبارة اآلتية تظهر ارتباط ا أو سببية ثم فس ر إجابتك. 5( عندما أدرس أحصل على تقدير ممتاز. ال سببية ممةئةةمةةمة ةمئوةمةة مئو 88 الüØسπ ملاملةظملم

89 )9 )10 )11 )1 حد د ما إذا كانت كل دراسة مسحية فيما يأتي تتبن ى عينة متحيزة أو غير متحيزة وفس ر إجابتك: )مثال 1( استطالع رأي كل ثالث شخص يخرج من مطعم للمشويات لمعرفة الوجبة المفضلة للناس. االستفسار من طالب صف معين من المتميزين في مادة العلوم عن أفضل المواد لديهم. االستفسار من الطالب الذي ترتيبه 0 من كل 0 طالب ا يخرجون من مدرستك عن الطالب الذي سيصوتون له في انتخابات المجلس الطالبي. درا سة م سحية: بي ن ما إذا كانت الدراسة المسحية اآلتية تتبنى عينة متحيزة أو غير متحيزة فس ر إجابتك. استطالع آراء طالب في كلية الطب لمعرفة المهنة المستقبلية المفضلة لدى الشباب. وجد عادل 100 شخص نصفهم متطوعون في مأوى الفقراء وقارن بين متوسطي الدخل السنوي ألفراد المجموعتين. اختر 00 شخص واقس مهم عشوائي ا إلى مجموعتين: إحداهما تقرأ القرآن لمدة ساعة قبل النوم واألخرى ال تفعل شيئ ا ثم قارن بين كيفية نوم كل من المجموعتين. اختر 50 شخص ا نصفهم في الف رق الرياضية وقارن بين كمية الوقت الذي يمضونه في حل الواجبات. اختر 100 طالب نصفهم في نادي اللغة اإلنجليزية وقارن بين درجاتهم في اللغة اإلنجليزية. حد د ما إذا كانت كل من الحاالت اآلتية تتطلب دراسة مسحية أو دراسة قائمة على الملحظة أو دراسة تجريبية وفس ر إجابتك: )مثال ( )1 ) ) ) حد د سؤال الدراسة المسحية الذي تحصل منه على اإلجابة المطلوبة بشكل أفضل. )مثال ( يريد زاهر أن يحدد فريق كرة القدم األكثر شعبية في المملكة. a( ما اسم فريق كرة القدم الذي تفضله في مدينة الرياض b( ما اسم فريق كرة القدم الذي تفضله في المملكة تريد اختبار عالج لمعالجة الصلع عند الرجال. تريد استطالع آراء أشخاص حول سياسة جديدة لشركة. تريد معرفة ما إذا كان عدد سنوات الركض يؤث ر في حركة الركبة أو ال. تريد معرفة ما إذا كانت المشروبات الغازية تؤث ر في جدار المعدة أو ال. )1 )1 )15 )1 )5 )17 ما مدى تقديرك لفرق كرة القدم في المملكة c( يريد سليمان أن يحدد الرغبة في تكوين أول ناد للشطرنج في المدرسة. في أي يوم ترغب في أن تتأخر في المدرسة a( هل تحب الشطرنج b( هل تحب أن تنضم إلى نادي الشطرنج في المدرسة c( تريد اختبار معالجة معي نة تبعد الحيوانات عن البساتين التي تحوي غزالن ا. بي ن ما إذا كانت كل من العبارات اآلتية تظهر ارتباط ا أو سببية وفس ر إجابتك: )مثال 5( )18 عندما أمارس الرياضة أكون في وضع نفسي أفضل. ) يريد هاني أن يتعرف إلى الطالب المثالي في المدرسة. 19( عندما يكون الجو بارد ا وممطر ا بغزارة ال نذهب إلى المدرسة. )7 a( من ترى أنه الطالب المثالي في المدرسة 0( عندما يكون الطقس حار ا في فصل الصيف يكثر بيع المشروبات الباردة. b( هل ت فض ل الطالب الذي ال يبادر بالمساعدة أم الذي يبادر بها 1( كثرة القراءة تجعلك أكثر ذكاء. ) ) ) c( إذا ط ل ب إليك إبداء الرأي فهل تفعل حد د ما إذا كان كل موقف من المواقف اآلتية يمث ل دراسة تجريبية أو دراسة قائمة على الملحظة وفي حالة الدراسة التجريبية اذكر كلا من المجموعة الضابطة والمجموعة التجريبية ثم بي ن ما إذا كانت الدراسة التجريبية متحيزة أم ال: )مثال ( قبل االختبار قام المعلم باختيار شعبتين من الصف نفسه بشكل عشوائي وقام بمراجعة المادة لطالب إحداهما بينما لم يراجع المادة لطالب الشعبة األخرى. ثم قام بمقارنة نتائج االختبار لهما. دل ت األبحاث على أن من يتقن أكثر من لغة يكون أقل إمكانية لإلصابة بالمرض. النوم بحذائك يؤدي إلى شعورك بالصداع. ا ستبانات: توز ع شركة استبانات على العاملين الذين تركوا العمل في الشركة وكان أحد أسئلة االستبانة هو كيف يرى العامل خبرته التي اكتسبها في الشركة هل هذه دراسة مسحية متحيزة فس ر السبب. )8 الدر س - 1 ظحالملا ىلع ةمئاقلاو 89

90 إذا كان -, = u v = 1,, فأوجد كلا مما يأتي: )مئة 1- ( u v + u u - v اcتûس الî اC : ط لب إلى كل من سامي وهشام أن يصمم دراسة تجريبية غير متحيزة. هل وف ق أي منهما في ذلك فس ر إجابتك. أوجد الصورة اإلحداثية وطول AB المعطاة نقطتا بدايته ونهايته في ك ل مما يأتي: )مئة 1- ( A(,, 7 ), B( 1,, - ) A(, 5, 10), B(7, 1, 8) حو ل اإلحداثيات القطبية إلى إحداثيات ديكارتية لكل نقطة مما يأتي: )مئة - ( (, 90 ) ) 5 (, 10 ) ) ( 1_, π_ ) )0 )1 ) ) ) )7»eÉ S á jô H É üî T k 0 øe áyƒªée òn.á«fgƒ ûy ᫪ëh ΩGõàd G É v«fgƒ ûy º Ø üf deg Ö WG. «HÉ SCG Ióªd πeéµdéh cgƒødg Y óªà J.áKÓãdG «HÉ SC G ó H º fgrhcg ø«h QÉb ΩÉ ûg.ωó dg Iôµd É kñy 0 òn 500 GhõØ j CG É v«fgƒ ûy º Ø üf deg Ö WG.Ωƒ«dG»a YCG deg IõØb «à ùj»àdg YCG deg õø dg ägôe óy QÉb.áKÓãdG «HÉ SC G ó H Égò«ØæJ áyƒªée πc )5 Jحد : كيف تظهر الدراسة المسحية عبر الهاتف تحي ز ا للعينة عب ر عن كل عدد مركب مما يأتي بالصورة القطبية: )مئة - ( + 8 i ) 8 ) -1 - i ) 9 )0 )1 اcتÖ : قارن من خالل ذكر أوجه الشبه وأوجه االختالف بين العينة العشوائية في اختيار األفراد من المجتمع وبي ن االختيار العشوائي ألفراد المجموعة الضابطة في الدراسة التجريبية. م ساCلة مØتMƒة: اذكر مثاال من واقع الحياة لكل دراسة مم ا يأتي وحد د عدد أفراد العينة وكيفية اختيارها. a( مسحية b( قائمة على االمالحظة c( تجريبية :ôjôبj كيف يحدث التحي ز في الدراسة التجريبية وكيف يؤث ر في النتيجة أعط مثاال على ذلك. حد د ما إذا كانت كل حالة من الحاالت اآلتية تمث ل دراسة تجريبية أو دراسة قائمة على الملحظة وإذا كانت دراسة تجريبية فحد د المجموعة التجريبية والمجموعة الضابطة ثم بي ن ما إذا كانت متحيزة أو ال. ) اختر 0 شخص ا عشوائي ا وقسمهم عشوائي ا إلى مجموعتين. إحداهما تقوم بالتدريبات الرياضية مدة ساعة واحدة يومي ا واألخرى ال تقوم بهذه التدريبات ثم قارن بين كتلة الجسم لكل من المجموعتين. اختر 00 طالب نصفهم يمارس كرة القدم وقارن فترة النوم بين المجموعتين. اختر 100 طالب جامعي نصفهم لديه وظيفة بدوام جزئي وقارن معدالتهم التراكمية. )7 )8 )9 90 الüØسπ ملاملةظملم

91 م πª الحا سبة البيانية: البيانات الûæªسƒرI ºjƒ J Evaluatig Published Data يمكنك استعمال الحاسبة البيانية TI - spire مع تطبيق القوائم وجداول البيانات لتقويم البيانات التي يمكن الحصول عليها في الواقع. يبين الجدول أدناه عدد السيارات التي باعها معرض للسيارات خالل الفترة وقد قام المعرض بتمثيل هذه البيانات باألعمدة البيانية كما في الشكل المجاور وعرضها في إحدى الصحف وذلك لدعم المقولة بأن مبيعات المعرض تزداد بشكل كبير جد ا. هل هذا صحيح ال سƒæات Yدد ال سيارات الªبي ة تقويم التمثيل البياني للبيانات. الIƒ î 1 أدخل البيانات في صفحة من تطبيق القوائم وجداول البيانات. اضغط ومنها اختر. اكتب عنوان البيانات (ears) في أعلى العمود (A) و (cars) في أعلى العمود (B). إلدخال فئات السنوات في كل خلية بالضغط على ثم اختيار " فمثال A 1 اكتب 89" "85- ثم اضغط إلدخال الفئة األولى من السنوات في الخلية وكر ر ذلك لبقية فئات السنوات. B 1 ثم أدخل البيانات لكل فئة من السنوات. استعمل األسهم إلظهار الخلية الIƒ î مث ل البيانات التي تم إدخالها بالا عمدة. اضغط ثم اختر ومنها اختر ears في و cars في و صفحة جديدة من إلظهار التمثيل البياني على صفحة جديدة ثم اضغط. لمشاهدة المعلومات عن أي عمود في التمثيل البياني قم باإلشارة إلى ذلك العمود فتظهر معلوماته كما هو موضح في الشكل المجاور. الæتاèF πq M قارن تمثيلك البياني بتمثيل الصحيفة. هل يعرض التمثيالن البيانات نفسها 1( أي التمثيلين ي ظه ر أن مبيعات المعرض تزداد بشكل أكبر ولماذا ( لماذا اختار المعرض أن يعرض بياناته بهذه الطريقة هل هي مقبولة ولماذا ( ƒjس - 1 الدر س - 1 ظمئلملاوةلع ةمئاقلاو ماةمئموةمئموةلةمئممةمئاة 91

92 ا إح ضاFي التحليل Statistical Aalsis شارك أمجد في 18 سباق ا جبلي ا للدراجات خالل العام الماضي وي مث ل الجدول المجاور الزمن بالدقائق والثواني الذي استغرقه للوصول إلى خط النهاية في كل منها. أي من مقاييس النزعة المركزية يفضل أن يستعمله أمجد لوصف هذه األزمنة إن إيجاد أحد مقاييس النزعة المركزية لوصف البيانات وتلخيصها والوصول إلى االستنتاجات المتعلقة بالدراسة ي سمى التح ليل اإلحصاي ي لها. التحليل ا إح ضاFي البيانات الموجودة في الجدول أعاله تشتمل على متغ ير لذا ت سمى بيان ات في متغير واحد. ولوصف مثل هذه البيانات ي ستعمل أحد مقايي س النزعة المركزية الذي يشير إلى متوسط البيانات أو منتصفها (مركزها) وأبرز هذه المقاييس هو المتوسط الحسابي والوسيط والمنوال. والا ن: اختار مقياس لوصف البيانات يمكن استعمال الجدول أدناه: م س م و ب و منو ل عر مجمو م ومده عد مو منندر ن ز أود ف مجموة ب ن أو هو م و عدن ده فر ف مجموة ب ن موجون ف من ده زوج ومربةر بد أون ز مة أكثرر ر أو و ب ن أكثر ف دةندم وجد ف ب ن مرفة وجد ف ب ن مرفة ووجد فجو كب رة ف من ب ن و ب ن م مررة Rمن a( ال ضبا : إشارة إلى البيانات في سباق الدراجات أعلاه أي مقاييس النزعة المركزية يصف البيانات بصورة أفضل ولماذا بما أن البيانات تنتشر وال يظهر فيها قيم متطرفة يكون المتوسط هو األفضل. b( أي من مقاييس النزعة المركزية يناسب البيانات في الجدول المجاور ولماذا بما أنه توجد قيم متطرفة وال يوجد فجوات كبيرة في منتصف البيانات فإن الوسيط أفضل من غيره لتمثيل البيانات. تحق من فهم 1( تمنح مؤسسة جائزة كبرى قيمتها 0000 ريال و 0 جائزة أخرى قيمة كل منها 500 ريال أي مقاييس النزعة المركزية يالئم البيانات بصورة أفضل ولماذا يوجد نوعان من المقاييس يمكن استعمالهما لمجموعة من البيانات هما ال م ع لمة وهو مقياس يصف خاصية في المجتمع. واإلح صاي ي وهو مقياس يصف خاصية في العينة. فمتوسط دخل الفرد في المملكة هو مثال على ال م ع لمة أما دخل الفرد في مدينتك التي تسكنها فهو مثال على الا حصائي. ويتم تحديد مجتمع الدراسة في ضوء الهدف من الدراسة فإذا أراد باحث مثال تعرف مدى رضا معل مي الرياضيات عن المناهج الجديدة في المملكة فإن مجتمع الدراسة يكون جميع معل مي الرياضيات الذين يدر سون المناهج الجديدة في المملكة ولصعوبة إجراء الدراسة على جميع المعلمين فإنه يتم اختيار مجموعة صغيرة والتي تمثل عينة الدراسة. 7:0 :8 :5 :59 :5 7:07 7:9 :50 :5 :9 7:01 :5 7:0 :9 7:09 :51 :57 7:0 1 ر ت م س نزة مركزة وم س ت ) م رة بة ( أخ ر م س نزة مركزة أن مث نب أجد ه مس خ أ معنة و أ عم أ عم م س ت م رنة مجمو من نب مقايي س الõæعة المركõية مقايي س الõæعة المركõية statistical aalsis م ر variable ب ن ف م ر و د uivariate data م س نزة مركزة measure of cetral tedec معمة parameter Statistic ه مس خ أ معنة margi of samplig error م س ت measure of variatio بن variace ن ر ف مع ر stadard deviatio القيمة المتطرفة ه و دة من ب ن أكبر أو أر كث ر من ب ة ب ن 9 الف ضل م ل و ء

93 وعند سحب عينة من مجتمع فهنالك خطورة من وجود خطأ في المعاينة ناتج عن إجراء الدراسة على عينة من المجتمع وليس على المجتمع بأكمله يسمى هامش خطأ المعاينة. وكلما زاد حجم العينة قل هامش خطأ المعاينة وي حد د هامش خطأ المعاينة الفترة التي تدل على مدى اختالف استجابة العينة عن المجتمع وهذا يعني أنه يصف المدى الذي تقع فيه نسبة المجتمع فيما إذا أجريت الدراسة على المجتمع بأكمله. ف نمنر ه مس خ أ معنة ب مة ند نة جم من مج م ك ± 1_ Ç gامûس خطاأ المعايæة gامûس خطاأ المعايæة في دراسة مسحية عشواي ية شملت 18 شخ صا أفاد 58% منهم أن كرة القدم هي لعبتهم المفض لة. a( ما هامش خطأ المعاينة _1 ± هامش خطأ المعاينة Ç ± 1_ ÇÇ 18 نون ه مس خ أ معنة = 18 ب ±0.01 كتاHة gامûس خطاأ المعايæة ن ه مس خ أ معنة ة ورة ن بة موة إذن هامش الخطأ للمعاينة ±.1% تقري با. b( ما الفترة الممكنة التي تتضم ن نسبة المجتمع الذين أفادوا أن كرة القدم هي لعبتهم المفضلة 58% -.1% = 55.8% 58% +.1% = 0.1% الفترة الممكنة التي تتضمن نسبة المجتمع الذين أفادوا بأن كرة القدم هي لعبتهم المفضلة تقع بين 55.8% و 0.1% أي تقع في الفترة (0.1%, 55.8%). تحق من فهم في دراسة مسحية عشواي ية شملت 7 شخ صا قال 1% منهم: إنهم مرتاحون للنهضة العلمية. A( ما هامش خطأ المعاينة B( ما الفترة الممكنة التي تتضمن نسبة أفراد المجتمع المرتاحين للنهضة العلمية مقايي س التûضتâ تصف مقاي يس التشتت مقدار تباعد البيانات أو تقاربها ومن أشهر مقاييس التشتت التبا ين واالنح راف المعياري. ويصف هذان المقياسان مدى بعد مجموعة البيانات عن المتوسط أو قربها منه. ي مث ل الرمز _ المتوسط للعينة وي قرأ «بار» ويمث ل الرمز µ المتوسط للمجتمع وي قرأ «ميو». ويحسب كل من المتوسط للعينة والمتوسط للمجتمع بالطريقة ذاتها أم ا طريقة حساب االنحراف المعياري لكل من بيانات العينة وبيانات المجتمع فتختلف وفيما يأتي توضيح لطريقة حساب كل من االنحراف المعياري للعينة )وي رمز له بالرمز s واالنحراف المعياري للمجتمع (ويرمز له بالرمز σ ويقرأ «سيجما»). قاfوfا ا fحرا± المعيار العيæة s = ÇÇÇÇÇ ( k - ) k = 1-1 المéتم σ = ÇÇÇÇÇ ( k - µ ) k = 1 وم μ د مج م و مج م k ب مج م و م و ب _ د ع نة و ع نة k ع نة و مقايي س التûضتâ ر ت ب م س ت مد رب ع ) مد ومفرن رب ع الدر س - 9

94 ا fحرا± المعيار درجات اختبار: حصل طلاب المعلم صالح في اختبارين متتاليين على المتوسط نفسه في اختبار الرياضيات وهو 75. إذا علمت أن درجات االختبارين كما يأتي: Bربخ 100, 100, 90, 10, 100, 95, 10, 95, 100, 100, 85, 15, 95, 0, 95, 90, 100, 100, 90, 10, 100, 100, 5 Aربخ 85, 80, 75, 75, 70, 75, 75, 5, 75, 75, 75, 80, 75, 75, 70, 80, 70, 75, 75, 75, 75, 75, 75 A. بي ن ما إذا كانت هذه البيانات تمثل عينة أم مجتم عا ثم أوجد االنحراف المعياري لدرجات االختبار a( الخطوة 1 بما أن المتوسط 75 لالختبار كامال فهو يمثل متوسط المجتمع. ومن هنا فإن:. µ = 75 الخطوة أوجد االنحراف المعياري. ÇÇÇÇÇ ( k - µ) k = 1 σ = = ÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇ (85-75) + (80-75) + + (75-75) + (75-75).9 عم مع مون أنو مخ فة من أ ة مو و ة و م ةدررجالب المتوسط لدرجات االختبار A يساوي 75 واالنحراف المعياري يساوي تقريب ا.9 B. استعمل الحاسبة البيانية إليجاد االنحراف المعياري للاختبار b( اضغط ثم وأدخل القيم (الدرجات) في العمود A. ولمشاهدة الا حصائيات اضغط ثم اختر ومنها ثم اضغط ثم المتوسط لدرجات االختبار B يساوي 75 واالنحراف المعياري يساوي تقريب ا c( قارن االنحراف المعياري في كلا االختبارين. وماذا تستنتج نون ن ر ف مع ر االنحراف المعياري لالختبار B أكبر كثير ا من االنحراف المعياري لالختبار A لذا فدرجات الطالب في االختبار A أكثر تجانس ا أي أن درجات بعضهم قريبة من بع ض مقارنة باالختبار B الذي يبي ن درجات عالية جد ا ودرجات لا خرين دون المتوسط كثير ا. تحق من فهم A( احسب المتوسط واالنحراف المعياري للمجتمع للبيانات المحد دة في الجدول المجاور B( ضع 70 مكان 0 في الجدول المجاور. ماذا تتوقع أن يحدث لك ل من المتوسط واالنحراف المعياري أعد الحسابات للتحق ق. C( اختير (5) طالب عشوائي ا من فصل دراسي وقيست أطوالهم فكانت: 175 سم 170 سم 18 سم 17 سم 170 سم. بي ن ما إذا كانت هذه البيانات تمث ل عينة أم مجتمع ا ثم أوجد االنحراف المعياري ألطوال هؤالء الطالب. المتو ض للمéتم ندمون م و نم مج م µمع وم أن م ن م و _ ع نة ي المتو ض وا fحرا± المعيار للعيæة ذ رن معرج الب بدرجالبخرن ف خ ب ر ون مثال ف ن رجالبعد نة من رج كالبن و أن دمو الخ ب ر sف ه ة _ 9 الف ضل م ل و ء

95 )9 أي مقاييس النزعة المركزية يصف بصورة أفضل البيانات اآلتية ولماذا )مثال 1( تمارين ريا ضية: في دراسة مسحية شملت 1 شخص ا اختيروا بطريقة عشوائية أفاد 78% منهم أنهم يمارسون الرياضة لمدة ساعة أسبوعي ا على األقل. 8, 79, 781, 77, 758 )1 a( ما هامش خطأ المعاينة 7.,.8, 0., 19. ) b( ما الفترة الممكنة التي تحتوي على نسبة المجتمع الذين يمارسون الرياضة ساعة واحدة على األقل أسبوعي ا 5, 70, 17, 0, 55, 5,, 58, 0, 9 5, 1,, 59, 1, 55, 9 ) ) تغذية: ي وضح الجدول أدناه عدد السعرات لكل طبق خضار. 10( قيادة: ت حد د عادة السرعات القصوى على الطرقات تفادي ا للحوادث. ) الخ ضار زهرة بندورة حبوب كو سا ال سعرات 10 الخ ضار بركلي ملفوف جزر سبانخ ال سعرات 5 الخ ضار باذنجان فا صوليا فلفل خ س ال سعرات طق س: يبي ن الجدول أدناه درجات الحرارة في أثناء النهار ولمدة أسبوع بالدرجات الفهرنهايتية: اليوم ال سبت الأحد الإثنين الثالثاء ا ألربعاء الخمي س الجمعة درجة الحرارة F 7 F 9 F 70 F 71 F 75 F 7 F األعاب أاولمبية: في دراسة مسحية عشوائية شملت 58 شخص ا أفاد 9% منهم أنهم سيشاهدون األلعاب األولمبية على التلفاز. )مثال ( a( ما هامش خطأ المعاينة b( ما الفترة الممكنة التي تتضمن نسبة المجتمع الذين سوف يشاهدون األلعاب األولمبية على التلفاز a( فيما يأتي السرعات القصوى (mi/h) للطرقات جميعها في إحدى الدول بين مدنها وقراها. بي ن ما إذا كانت هذه البيانات تمث ل عينة أم مجتمع ا ثم أوجد االنحراف المعياري للسرعات في الجدول أدناه. )مثال ( ال سرعات الق صوى للطرقات جميعها (mi/h) (mi/h) إذا كان االنحراف المعياري للسرعات القصوى b( للطرقات جميعها في دولة أخرى (). قارن االنحراف المعياري للسرعات في كال الدولتين. وماذا تستنتج 11( تدريب: في أثناء التمرين سج ل سلطان األزمنة التي ركض فيها مسافة 0. m بي ن ما إذا كانت هذه البيانات تمث ل عينة أم مجتمع ا ثم أوجد االنحراف المعياري للبيانات في الجدول أدناه. 1( اختبارات: فيما يأتي درجات صف مكو ن من 10 طالب في اختبار من 5 درجة. درجات 10 طالب في اختبار من 5 درجة a( قارن بين المتوسط والوسيط للدرجات. b( أوجد االنحراف المعياري للبيانات وقر به إلى أقرب جزء من مئة. ) )7 ريا ضة: في دراسة مسحية عشوائية شارك فيها 59 شخص ا وجد أن 1% منهم يشاهدون مباراة واحدة على األقل في كرة القدم شهري ا. a( ما هامش خطأ المعاينة b( ما الفترة الممكنة التي تتضمن نسبة المجتمع الذين يشاهدون مباراة واحدة على األقل في كرة القدم شهري ا c( على افتراض أن الدرجة 0 كانت خطأ وتم تعديلها إلى 5 كيف يتأث ر كل من المتوسط والوسيط بهذا التغيير )8 الدر س - 95

96 مدار س: يوض ح الجدول أدناه عدد الطالب لكل معلم في مدارس إحدى المناطق التعليمية: أوجد الضرب الداخلي للمتجهين u, v في كل مما يأتي ثم حد د ما إذا كانا متعامدين أو ال. )الدر س 5-1( )1 u = 1,, 5, v = -8, 1, 1 )1 عدد الطالب لكل معلم u = -,,, v =,, ) u =,, 5, v = -1, -, -5 ) u = 8i - 8j + k, v = i + j + k ) a( ما مقياس النزعة المركزية األنسب لهذه البيانات ولماذا b( بي ن ما إذا كانت هذه البيانات تمث ل عينة أم مجتمع ا ثم أوجد االنحراف المعياري للبيانات علم ا بأن المتوسط الحسابي لها يساوي 5 وقر به إلى أقرب جزء من مئة. م ضاألة مفتوحة: اجمع بيانات في متغي ر واحد ثم صف مقاييس النزعة المركزية ومقاييس التشتت المناسبة لهذه البيانات. تحد : إذا أي د 7% من المستهدفين موضوع دراسة مسحية وكانت الفترة الممكنة التي تتضمن نسبة أفراد المجتمع المؤيدة هي - 9.%.8% فكم شخص ا تناولت الدراسة المسحية رأيهم تبرير: حذفت قيمة متطرفة كبيرة من مجموعة بيانات كيف يؤث ر ذلك في المتوسط واالنحراف المعياري لمجموعة البيانات وض ح ذلك. تبرير: إذا زيدت كل قيمة في مجموعة بيانات بمقدار 10 فكيف يؤث ر ذلك في المتوسط والوسيط واالنحراف المعياري فس ر إجابتك. اكتب: قارن بذكر أوجه الشبه وأوجه االختالف بين المتوسط والوسيط لمجموعة بيانات في متغي ر واحد. أوجد زوجين مختلفين كل منهما يمث ل إحداثيين قطبيين لكل نقطة معطاة باإلحداثي ات الديكارتي ة في كل مما يأتي: )الدر س - ( (, 11) ) 5 ( -9, ) ) (, 1) ) 7 اإح صاء: في مجموعة من تسعة أعداد مختلفة أي مم ا يأتي ال يؤث ر زيادة كل B مضاعفة كل عدد A في الوسيط عدد بمقدار 10 C زيادة القيمة الصغرى فقط D زيادة القيمة الكبرى فقط درجات اختبار: كانت درجات 5 طالب اختيروا عشوائي ا في فصل دراسي كما يلي,70.,50,0,5 55 بي ن ما إذا كانت هذه البيانات تمث ل عينة أم مجتمع ا ثم احسب االنحراف المعياري لدرجاتهم إلى أقرب عدد صحيح. 15 B 0 A 1 D 1 C )8 )9 )1 )15 )1 )17 )18 )19 حد د إذا كانت كل دراسة مسحية مما يأتي تتبنى عينة متحيزة أو غير متحيزة وفس ر إجابتك. )الدر س 1- ( قام باحث بإرسال استبانة إلى كل شخص تنتهي بطاقة الهوية الخاصة به برقم معي ن. )0 إيجاد أطوال أعضاء فريق كرة السلة لتحديد المتوسط الحسابي ألطوال طالب المدرسة. 9 الف صل ءاصحإلاو لامتحالا

97 الم صرو ا حتمال Coditioal Probabilit يختبر هيثم دواء يقي من بعض األمراض. وتوجد مجموعتان من األشخاص إحداهما تجريبية تم إعطاء الدواء الحقيقي ألفرادها بينما تم إعطاء دواء شكلي (غير فع ال) للمجموعة األخر (المجموعة الضابطة). وبعد الحصول على النتائج يريد هيثم أن يجد احتمال بقاء المستهدفين أصحاء نتيجة الدواء. وهذا المثال ي فس ر مفهوم الاحتمال المشروط. ا حتمال الم صرو ي سم ى احتمال وقوع الحادثة B بشرط وقوع الحادثة A احت ماال مشروط ا. ويرمز له بالرمز. A بشرط وقوع الحادثة B ويقرأ احتمال وقوع الحادثة P(B A) لل ل A, B رلشي يا محششي ل لورشملا لامتحالا اوو لاحل B لل ل لاحل A لاحو ا ل P(B A) = _ P(A ل B), P(A) 0 P(A) ليي لورشملا مو حر رحل ) ملر حل ( ل لرشملا لو رل لل ل رل لا ل لحشم لاللا لاشولي ول لرشملو متحال لورشملا لامتحالا ا حتمال الم صرو coditioal probabilit لالا لاشول cotigec table لاشالر لاح relative frequec ألقت عبير مكعب أرقام مرة واحدة. ما احتمال ظهور العدد علم ا بأن العدد الظاهر فردي توجد نواتج ممكنة من إلقاء مكعب األرقام مرة واحدة. لتكن A الحادثة التي يكون فيها العدد الظاهر عدد ا فردي ا. ولتكن B الحادثة التي يظهر فيها العدد. ول ي م ا ل ول P(A) = _ = 1_ P(A B) = 1_ P(B A) = = _ P(A B) P(A) 1_ 1_ = 1_ للر م لاول لاحش ا لمث لا لرشملا لو لاحل م B ل ل لاحل A ل P(A) = 1_ 1_, P(A B) = 1. 1_ احتمال ظهور العدد علم ا بأن العدد الظاهر فردي هو Jحق من ف م ا حتمال الم صرو 1( يحتوي كيس على 5 بطاقة مقسمة إلى أربع مجموعات لكل منها لون من األلوان اآلتية: األحمر واألخضر واألزرق واألصفر ورق مت بطاقات كل لون باألعداد من 1 إلى 1. إذا سحبت نوال بطاقة فما احتمال أن تحمل هذه البطاقة العدد 1 علم ا بأن ما سحبته كان العدد 11 أو 1 أو 1 الدرSس - لورشملا لامتحالا 97

98 الéداول التوافقية الجد اول التوافقية هي جداول تكرارية ذات بعدين يتم فيها تسجيل بيانات ضمن خاليا حيث إن كل خلية من خاليا الجدول ت مث ل تكرار ا يسمى تك رار ا نسبي ا إذ يكون منسوب ا إلى مجموع التكرارات في الجدول أو منسوب ا إلى مجموع التكرارات في الصف الذي تقع فيه الخلية أو منسوب ا إلى مجموع التكرارات في العمود الذي تقع فيه الخلية ويمكن استعمال الجداول التوافقية في إيجاد الاحتمال المشروط. م صي: أوجد احتمال أن يكون شخص اختير عشوائي ا معافى علم ا بأنه يمارس المشي. عدد األشخاص الكلي في الدراسة ويساوي 000 شخص ويراد إيجاد احتمال H علم ا بأن W قد وقع. P(H و W) P(H W) = _ P(W) 800 = _ 000 _ = _ 00 = 1_ ول لورشملا لامتحالا 800 P(H ل W) = 000, P(W) = ح الéداول التوافقية الحالة ماS) ) ملH) ) يمار ص الم صي (w) عدد ا أTصîاUص احتمال أن يكون الشخص معافى بشرط أنه يمارس المشي هو _1. Jحق من ف م ( أوجد احتمال أن يكون شخص اختير عشوائي ا معافى علم ا بأنه لا يمارس المشي. يمار ص الم صي (Nw) حπ مîت صر لاح لشحلر م لامثلا لحشملا لاللا لاشولي ل حل لاي لامشحا لاحو لو لرشملا ل و لاتح مل تحاا ل ملر لامتح و 800 P ( H W) = _ 00 = 1_ يمكن استعمال الجداول التوافقية لتمثيل أي عدد من الحالات الممكنة. يوض ح الجدول أدناه عدد الطلاب الجامعيين الذين يمارسون الرياضة بشكل منتظم إذا اختير طالب عشوائي ا فأوجد احتمال أن يكون الطالب من ضمن المنتخب الجامعي علم ا بأنه في السنة الثالثة. 11.5% A تقريب ا 1.% تقريب ا B 1.0% تقريب ا C 19.8% تقريب ا D الرياVصيو الéامعيو لالمK) ) لامش حم اي حم لامش لالمS) ) صæة اأولى 7 صæة ثانية صæةثالثة صæةرابعة cتابة ا حتمال ا لورشملا ل ا تحا حا لل لشيل حا لل ح مو اقراأ فقرة ا ختÑار تريد معرفة احتمال أن يكون الطالب من ضمن المنتخب الجامعي (K) علم ا بأنه في السنة الثالثة ) T ). مجموع الطالب هو 1180 طالب ا. حo qπ فقرة ا ختÑار الجواب الصحيح A. Jحق من ف م P(K T ) = _ P( K T ) P(T ) = _ 1180 _ ول لورشملا لامتحالا _ P(K T ) = _ 1180, P(T ) = % 11.5% ( أوجد احتمال أن يكون الطالب من ضمن المنتخب الجامعي علم ا بأنه في السنة األولى..% A تقريب ا.5% B تقريب ا 8.% C تقريب ا 7.7% D تقريب ا 98 ال Øصπ لورشملا للورحل

99 يحتوي كيس على 8 كرات زرقاء و كرات حمراء و 10 كرات صفراء و كرات بيضاء و 5 كرات خضراء. إذا س حبت كرة واحدة عشوائي ا فأوجد االحتمال في كل حالة مما يأتي: )مثال 1( أن تكون الكرة خضراء إذا ع لم أنها ليست زرقاء. أن تكون حمراء إذا ع لم أنها ليست خضراء. اختيار من متعدد: ي بي ن الجدول أدناه أعداد الطالب الذين حضروا مباراة كرة قدم والذين تغي بوا عنها من السنوات الجامعية األولى والثانية والثالثة والرابعة. إذا اختير أحد الطالب عشوائي ا فأوجد احتمال أن يكون قد حضر المباراة علم ا بأنه من السنة الثالثة. )مثال ( )9 )1 ) أن تكون صفراء إذا ع لم أنها ليست حمراء وليست زرقاء. أاولى ثانية ثالثة رابعة ) أن تكون خضراء أو بيضاء إذا ع لم أنها ليست حمراء. الح ضور ) أن تكون زرقاء إذا ع لم أنها بيضاء. الغياب )5 8.% A تقريب ا 77.% B تقريب ا قطاعات دائرية: رقم ت قطاعات دائرية متطابقة في قرص من 1 إلى 8 إذا أ دير مؤشر القرص فما احتمال أن يستقر المؤشر عند العدد 8 إذا ع ل م أنه استقر عند عدد زوجي ) 8.% C تقريب ا 91.% D تقريب ا فح ص القيادة: يوض ح الجدول أدناه أداء مجموعة من األشخاص في فحص القيادة علم ا بأن بعضهم أخذ حصص ا تدريبية تحضير ا للفحص والبعض اآلخر لم يأخذ. إذا اختير أحد األشخاص عشوائي ا فأوجد احتمال كل مما يأتي: )مثال ( ناجح را سب اأخذ ح ص ص ا لم ياأخذ ح ص ص ا 8 18 a( الشخص ناجح علم ا بأنه أخذ حصص ا. b( الشخص راسب علم ا بأنه لم يأخذ حصص ا. c( لم يأخذ حصص ا علم ا بأنه ناجح. اختيار من متعدد: يقارن عادل وإبراهيم وسعود مجموعة أمثال شعبية جمعوها. وتم تمثيل ذلك وفق الجدول أدناه. إذا اختير مثل شعبي مما جمعوه عشوائي ا فأوجد احتمال أن يكون المثل اجتماعي ا علم ا بأنه ليس مما جمعه عادل. عادل اإبراهيم سعود فكاهي اجتماعي خليط % A تقريب ا )10 )7.8% B تقريب ا 17.% C تقريب ا 15% D تقريب ا درو س التقوية: سج لت مدرسة أعداد طالب الصفين الثاني المتوسط والثالث المتوسط المشتركين وغير المشتركين في دروس التقوية. إذا اختير أحد الطالب عشوائي ا فأوجد احتمال كل مم ا يأتي: الثاني المتو سط الثالث المتو سط م شارك 15 غير م شارك a( الطالب مشارك في التقوية علم ا بأنه في الصف الثاني المتوسط. b( الطالب غير مشارك في التقوية علم ا بأنه في الصف الثالث المتوسط. c( الطالب في الصف الثاني المتوسط علم ا بأنه غير مشارك. إذا ألقيت أربع قطع نقد متمايزة مرة واحدة فأجب عم ا يأتي : )11 )1 )1 )1 ما احتمال ظهور شعارين علم ا بوجود كتابة على قطعة واحدة على األقل ما احتمال ظهور كتابات علم ا بوجود شعار واحد على األقل ما احتمال عدم ظهور أي شعار علم ا بأنه توجد كتابة واحدة على األقل ما احتمال عدم ظهور أي كتابة علم ا بأنه يوجد شعارات على األقل )8 الدرSس - طورشملا لامتحالا 99

100 ) ) بطاقات: يحتوي صندوق على 5 بطاقة مقس مة إلى أربع مجموعات لكل منها لون من األلوان اآلتية: األحمر واألسود واألخضر واألزرق ور ق مت بطاقات كل لون من 1 إلى 1. إذا س حبت بطاقة واحدة عشوائي ا فما احتمال أن تحمل البطاقة الرقم 9 علم ا بأنها حمراء اللون يبين الجدول أدناه أعداد األلعاب اإللكترونية الموجودة لدى شخص. إذا اختيرت لعبة عشوائي ا فأوجد كل من االحتمالين اآلتيين: استعمل مسطرة ومنقلة لرسم متجه يمث ل v = 0 km/h باتجاه 0 مع األفقي. )الدر س 1-1( ثقافة مالية: يوض ح الجدول أدناه دخل 1 شركة في األسبوع األول من شهر محرم عام 19 ه بالريال. )الدر س -( )15 ) اللعبة العدد كرة قدم 5 كرة سلة م صارعة سباق سيارات اأخرى a( أن تكون من ألعاب المصارعة علم ا بأنها ليست من ألعاب كرة القدم. b( أن تكون من ألعاب سباق السيارات علم ا بأنها ليست من ألعاب كرة السلة وليست من ألعاب المصارعة. تحد : ألقي مكعب مرقم من 1 إلى خمس مرات متتالية. ما احتمال ظهور الرقم في الرميات الخمس علم ا بأن الرقم ظهر في الرميات الثلث األولى اكتب: فس ر االختلف بين االحتمال المشروط لحوادث غير مستقلة واالحتمال المشروط لحوادث مستقلة. أعط مثاال لكل نوع. a( أوجد كل من المتوسط الحسابي والوسيط. b( بي ن ما إذا كانت هذه البيانات تمثل عينة أم مجتمع ا ثم أوجد االنحراف المعياري للبيانات وقر به إلى أقرب جزء من مئة. c( لنفترض أن تقرير ا عن الشركات المذكورة ذكر أن القيمة 81 رياال كانت خطأ وهي في الحقيقة 81. فكيف يتأث ر كل من المتوسط والوسيط بهذا التعديل حد د ما إذا كانت كل دراسة مسحية مما يأتي تتبنى عينة متحيزة أو غير متحيزة. وفس ر إجابتك. )الدر س -1( دراسة مسحية تتناول موظفي مطعم لتقرر أكثر األطباق شعبية. دراسة مسحية تتناول رأي مرتادي مكاتب البريد لمعرفة أكثر ألوان السيارات شيوع ا. ) )5 )17 )18 إذا كانت A, B حادثتين في فضاء العينة لتجربة عشوائية ما بحيث كان = 0. B) P(A) = 0., P(B) = 0.5, P(A فما قيمة B) P (A ) تبرير: إذا م ث ل احتمال حادثة مركبة من حادثتين بالرسم الشجري )شجرة االحتمال( فأي فروع الرسم الشجري يمث ل االحتمال المشروط. أعط مثاال لموقف يمكن تمثيله بشجرة احتمال ثم مث له. ) A 0. B 0.7 C 0.8 D تبرير: إذا ر ميت قطعة نقد بشكل حر 1 مرة متتالية فما احتمال أن تظهر الصورة في الرمية 1 إذا علمت أن الصورة ظهرت في الرميات العشرين األولى وض ح تبريرك. م صاألة مفتوحة: كو ن جدوال توافقي ا واحسب احتماال مشروط ا يرتبط بالجدول. سحبت كرة بشكل عشوائي من كيس يحتوي على كرتين حمراوين و زرقاء دون إرجاع وكانت زرقاء. ما احتمال سحب كرة زرقاء ثانية )7 )0 )1 100 الف صل الحتمال والإح صاء 0.SA.MATH.SE.CH0.LN0.idd 100 0/0/00 10:1 AM

101 π üødg üàæe QÉÑàNG - deg -1 øe ShQódG حدد ما ا ذا كانت كل دراسة مسحية فيما يا تي تتبنى عينة متحيزة ا و غير متحيزة وف سر ا جابتك. -1 يتم اختيار كل ثاني شخص يخرج من مجمع تجاري يبيع بالجملة لمعرفة عدد الا طفال في الا سر في تلك المدينة. يتم اختيار كل عاشر موظف يخرج من شركة لمعرفة را ي الموظفين في عملهم. سو ال كل خامس طالب يدخل المدرسة عن مواصفات المعلم المثالي. يحاول باحث ا ن يحدد ا ثر ا ضاءة نوع جديد من المصابيح الكهرباي ية على ا زهار للزينة المنزلية حيث قام بتعريض مجموعة من الا زهار لا ضاءة المصابيح الجديدة ومجموعة ا خر لا ضاءة المصابيح العادية. ويب ين الجدول ا دناه ا عداد الا زهار التي عاشت ا و ماتت في المجموعتين. ájéy IAÉ VEG 17 1 IójóL IAÉ VEG â TÉY âjée (8 (1 ( ( :ó àe øe QÉ«àNG ح دد ا ي ا من العبارات الا تية توضح السببية: -1 ا ذا اختيرت زهرة منها عشواي يا فما احتمال: - ( A ا ذا تد ربت كل يوم فستصبح لاع با محتر فا في كرة السلة. B ا ذا قرا ت كتابك المقرر فستنجح في الاختبار. C ا ذا تق دمت لعشر وظاي ف مختلفة فستتلقى عر ضا من واحدة على الا قل. a) ا ن تكون من الا زهار التي تعرضت لا ضاءة المصابيح الجديدة عل ما با نها عاشت b) ا ن تكون من الا زهار التي عاشت عل ما با نها تعرضت لا ضاءة المصابيح العادية (9 D ا ذا وقفت بالخارج تحت المطر من دون مظلة فستبتل. حدد ما ا ذا كانت كل من الحالتين الا تيتين تم ثل دراسة تجريبية ا و دراسة قاي مة على الملاحظة. وا ذا كانت دراسة تجريبية فحدد المجموعة التجريبية والمجموعة الضابطة. -1 اختر 50 طال با في المرحلة المتوسطة نصفهم من المدارس الا هلية وقارن بين عاداتهم الدراسية. ا ذا ا لقي مكعب مر قم من 1 ا لى مرة واحدة فما احتمال كل مما يا تي: - (10 ظهور عدد فردي عل ما با ن العدد الظاهر ا كبر من. ظهور العدد علم ا با ن العدد الظاهر كان زوج يا. (5 خ صص لنصف الموظفين الذين اختيروا بطريقة عشواي ية ساعة لتناول الغداء وقارن اتجاهاتهم نحو العمل مع بقية زملاي هم. ا ي مقاييس النزعة المركزية تصف بصورة ا فضل البيانات الا تية ولماذا - :ó àe øe QÉ«àNG في القرص ذي المو شر الدوار المقسم ا لى (1) قطا عا متطاب قا ومرقمة بالا عداد 1-1 ما احتمال استقرار المو شر على عدد فردي ا ذا علم ا نه استقر على عدد ا كبر من - 1_ 1 A 8_ 1 B 8_ 1 C _ 1 D ( IôÑîdG ägƒæ S óy ( ( SQódG π üødg

102 á«déªàm G äé jrƒàdgh ɪàM G Probabilit ad Probabilit Distributios افترض ا ن شركة لديها شواغر وتشترط لتعيين الموظفين لديها اجتيازهم لمقابلة شخصية. ا ذا تقدم للشركة 8 ا شخاص من المنطقة A و 10 ا شخاص من المنطقة B وتمت مقابلة المتقدمين واختير منهم بشكل عشواي ي فما احتمال ا ن يفوز بالوظاي ف ا شخاص من المنطقة A وشخص واحد من المنطقة B ɪàM G تسمى النسبة التي تقيس فرصة وقوع حادثة مع ينة احتما لا. ووقوع الشيء المرغوب فيه يس مى نج ا حا وعدم وقوعه يس مى فش لا. ومجموعة النواتج الممكنة تس مى فضاء العينة. وكلما اقترب احتمال وقوع حادثة من 1 كانت فرصة ا و ا مكانية وقوعها ا كبر. f s P(F ) P(S) P(S) = s_ s + f, P(F ) = f_ s + f عدد النواتج في الحادثة (الحادثة) P لاحظ ا ن الصيغة: _s P(S) = لا تختلف في مضمونها عن الصيغة: عدد النواتج الممكنة s + f ر شحت مدرسة 1 طال با من الصف الثاني الثانوي و 1 طال با من الصف الا ول الثانوي للتنافس على جواي ز نظ را لتفوقهم الدراسي. ا ذا تمت مقابلة المرشحين واختير منهم بشكل عشواي ي فما احتمال ا ن يفوز بالجواي ز طلاب من الصف الا ول الثانوي و طلاب من الصف الثاني الثانوي 1 C 1 C s ح دد عدد مرات النجاح 1 Iƒ îdg استعمل التوافيق ومبدا العد الا ساسي لا يجاد عدد النجاحات. s 1 C 1 C = _ 1! 9!! _ 1! S = 1!! = 100. s + f ح دد عدد النواتج الممكنة (عدد عناصر فضاء العينة) Iƒ îdg s = 100, s + f = 770 π ûødgh ìééædg ɪàMG «agƒàdg ɪ à SÉH ɪàM G s + f = 8 C = _ 8!!! = 770 = (فوز من الا ول و من الثاني) P s_ s + f Iƒ îdg ا وجد الاحتمال = _ احتمال فوز طلاب من الصف الا ول و من الصف الثاني هو تقري با 0. ا و %. 1 ( - ) success failure radom variable discrete radom variable probabilit distributio discrete probabilit distributio theoretical probabilit eperimetal probabilit epected value π ûødgh ìééædg ɪàMG s S Ff π üødg 10

103 ª a øe ëj 1) في المثال 1 ا ذا كان عدد الذين ر شحوا من الصف الثاني الثانوي ومن الصف الا ول الثانوي 11 وكان عدد الجواي ز واختير طلاب من الذين ر شحوا بطريقة عشواي ية فما احتمال ا ن يفوز طالبان من الصف الثاني وطالبان من الصف الا ول πjéñàdg ɪ à SÉH ɪàM G لد صالح ا صدقاء تبدا ا سماو هم بالا حرف A, B, C, D, E, F ويتوقع من كل منهم اتصا لا هاتف يا للاتفاق على موعد رحلة ينوون القيام بها. ما احتمال ا ن يتصل A ا و لا ثم B ثان يا ويتصل كل من,D E, F ا خي را. s. ح دد عدد مرات النجاح 1 Iƒ îdg 1 BA D, E, F P استعمل التباديل ومبدا العد الا ساسي لا يجاد. s s = 1 P = 1! = «agƒàdgh πjéñàdg. s + f ا وجد عدد النواتج الممكنة (عدد عناصر فضاء العينة) Iƒ îdg = f s + وتمثل عدد الترتيبات الممكنة لاتصالات الا صدقاء الستة. P =! = 70 s =, s + f = 70 Iƒ îdg ا وجد الاحتمال. s_ P(S) = s + f = _ ª a øe ëj الاحتمال المطلوب هو تقري با ا و 0.8% تقري با. ) : ÉÑ S اشترك صلاح وعبد ال له وسليم في سباق 00 m مع خمسة رياضيين ا خرين. ما احتمال ا ن ينهي هو لاء الثلاثة السباق في المراكز الثلاثة الا ولى»dɪàM G jrƒàdgh»fgƒ û dg ô«àªdg يسمى المتغير الذي يا خذ مجموعة قيم لها احتمالات معلومة متغي را عشواي يا. والمتغير العشواي ي الذي له عدد محدود من القيم يسمى متغي را عشواي يا منفص لا. التوزيع الاح تمالي هو دالة تربط بين كل قيمة من قيم المتغير العشواي ي مع احتمال وقوعها ويعبر عنه بجدول ا و معادلة ا و تمثيل بياني. ويجب ا ن يحقق التوزيع الاحتمالي الشرطين الا تيين: احتمال كل قيمة من قيم X محصور بين 0 و 1 ا ي ا ن 1 (X) 0 P مجموع كل احتمالات قيم X يساوي 1 ا ي ا ن 1 P( X ) = والتوزيع الاحت مالي المنفصل هو توزيع احتمالي متغيره العشواي ي منفصل. فعند رمي قطعتي نقد متمايزتين م ر ة واحدة فا ن فضاء العينة هو {L { T T, T L, L T, L حيث يم ثل L الوجه الذي يحمل الشعار و T الوجه الذي يحمل الكتابة ا ذا كان X متغي را عشواي يا يدل على عدد مرات ظهور الشعار فا ن X يا خذ القيم.,0,1 ويمكنك حساب الاحتمال النظري لعدم الحصول على شعار ا و الحصول على شعار واحد ا و الحصول على شعارين ثم تكوين جدول يم ثل التوزيع الاحتمالي كما يمكنك تمثيله بيان يا كما يا تي: á üøæªdg äéfé«ñdg á üàªdg äéfé«ñdgh 10 - SQódG

104 P(0) = 1_, P(1) = 1_, P() = 0 1_ يب ين الجدول ا دناه والتم ثيل بالا عمدة المجاور التوزيع الاحتمالي للمتغير. X 1_ 1 1_ 1_ X ägqé ûdg óy P( X ) ɪàM G يو ضح القرص ذو المو شر الد وار توزي عا احتمال يا حيث يمكن ا ن يتو قف المو شر على ا ي من القطاعات الملونة وقد كتب على كل قطاع احتمال ظهوره (لاحظ ا ن مجموع الاحتمالات يساوي 1). a) م ثل بالا عمدة هذا التوزيع الاحتمالي: b) استعمل التمثيل بالا عمدة لتح دد اللون الا كبر ا مكانية لوقوف المو شر عنده ثم ا وجد احتماله. ا كثر الا لوان ا مكانية لوقوف المو شر عنده هو اللون البنفسجي واحتماله يساوي _1.. P ا وجد (ا خضر ا و ا زرق) c). 1_ + 1_ احتمال التو قف عند اللون الا زرق ا و الا خضر هو _1 = ª a øe ëj يوضح الجدول ا دناه توزي عا احتمال يا حيث ا لقي مكعبان مرقمان من 1 ا لى مرة واحدة و س الظاهرين على الوجهين العلويين واحتمال ك ل منها. جل مجموع العددين P(X) X π üøæªdg»déªàm G jrƒàdg á«fgƒ û dg ägô«àªdg ä ɪàMG P (1) X 1 á«ø UƒdG äéfé«ñdg. á«aéæàªdg çgƒëdg ɪàMG BA P(A B) = P(A) + P(B) ƒªéªdg 1_ 1_ 18 1_ 1 1_ 9 5_ 1_ 5_ 1_ 9 1_ 1 1_ 18 1_ ɪàM G π üødg 10 A) م ثل بالا عمدة هذا التوزيع الاحتمالي. B) استعمل التمثيل بالا عمدة لتحدد الناتج الا كثر ا مكانية للوقوع ثم ا وجد احتماله.. P ا وجد 11) ا و (5 (C ا ن الاحتمالات التي تمت دراستها هنا هي احت مالات نظرية لا نها مبنية على افتراضات يتو قع الحصول عليها بينما الاحتمالا ت التجريبية يتم تقديرها من عدد من التجارب. والقي مة المتوقعة ا و التوقع E(X) هي المتوسط الموزون للقيم في التوزيع الاحتمالي المنفصل ا ي ا ن القيمة المتوقعة E() هي مجموع حواصل ضرب قيم المتغير i = العشواي ي X في احتمال كل منها P(X) ويمكن ا يجادها باستعمال القانون Xi.P(Xi) E(X)= وتنتج هذه القيمة i = 1 من خلال اعتماد الاحتمال النظري كوزن للمتغير العشواي ي. ويخبرك بما يمكن حدوثه على المد البعيد وذلك بعد محاولات كثيرة.

105 ا وجد القيمة المتو قعة عند رمي مكعب مرقم من 1 ا لى مرة واحدة. القيمة المتوقعة E(X) هي مجموع حواصل ضرب قيم المتغير العشواي ي X في احتمال ك ل منها P(X). E(X) = 1 ( 1_ + 1_ ) ( + 1_ ) ( + 1_ ) ( + 5 1_ ) ( + 1_ ) ( ) = 1_ + _ + _ + _ + 5_ + _ = 1_ =.5 á qbƒàªdg ᪫dg ª a øe ëj Iô«ÑµdGGóYC G ƒféb. ) ا وجد القيمة المتو قعة عند رمي مكعبين مرقمين مرة واحدة وتسجيل مجموع العددين الظاهرين على الوجهين العلويين. ɪàM G صندوق فيه 10 كرات منها حمراء ا ذا سحبت منه كرتان م عا عشواي يا فما احتمال ا ن تكون الكرتان حمراوين 1 :øa اختار مسو ول متحف للفنون لوحات بشكل عشواي ي من بين 0 لوحة لعرضها في ا حد المعارض. ما احتمال ا ن تكون منها لفنان واحد يشارك ب 8 لوحات في المتحف 1 :QÉÑNCG ا جر موقع ا لكتروني مس حا للمصادر التي يحصل منها الناس على الا خبار بشكل ري يس. والجدول المجاور يب ين نتاي ج هذا المسح. a) ب ين ا ن هذه البيانات تم ثل توزي عا احتمال يا. Qó üªdg ( دخل 8 لاعبين A, B, C, D, E, F, G, H في مباراة ا ذا اختيرت ا سماء اللاعبين عشواي يا فما احتمال ا ن يكون ا ول لاعبين مختارين هم A, C, E, G على الترتيب (1 ( ( (7 (8 :ôñàîe دخلت طالبات صف وعددهن ا لى مختبر المدرسة. ا ذا اختارت المعلمة ا سماء الطالبات عشواي يا لتشكل مجموعات للعمل فما احتمال ا ن تكون ا ول ثلاث طالبات ذكرت ا سماو هن جميلة وا منة وخديجة على الترتيب ا لقي مكعبان مرقمان من 1 ا لى وسجل العدد الا كبر بين العددين الظاهرين على الوجهين العلويين ا ذا اختلفا وا حدهما ا ذا تساويا. a) م ثل بالا عمدة هذا التوزيع الاحتمالي. b) ما الناتج الا قل ا مكانية للوقوع وما احتماله b) ا ذا اختير ا حد الذين شملهم هذا المسح عشواي يا فما احتمال ا ن يكون مصدر ا خباره الري يس الصحف ا و الا نترنت c) م ثل البيانات بالا عمدة. ا وجد القيمة المتوقعة عند سحب قصاصة ورق عشواي يا من بين 5 قصاصات كتب على كل منها ا حد الا رقام 1-5 دون تكرار. :õfgƒl باع ا حد النوادي 500 تذكرة دخول لحضور ا حد مبارياته ثمن الواحدة 10 ريالات و ا جري سحب عشواي ي على ا رقام التذاكر خصصت فيه ثلاث جواي ز للا رقام الرابحة بحيث تربح تذكرة واحدة الجاي زة الا ولى وقيمتها 1000 ريال وتربح تذكرتان الجاي زة الثانية وقيمتها 100 ريال وتربح 5 تذاكر الجاي زة الثالثة وقيمتها 50 ريا لا. ا ذا اشتر شخص تذكرة فما القيمة المتوقعة للربح في هذا الموقف (c ا وجد ) ا و (1 P ( ( SQódG

106 :QÉgRCG يو ضح التمثيل البياني ا دناه التوزيع الاحتمالي لعدد الا زهار الحمراء عند زراعة بذور. a) ب ين ا ن هذه البيانات تم ثل توزي عا احتمال يا. b) ا ذا اختير طالب عشواي يا فما احتمال ا لا يقل تقديره عن B (9 c) م ثل البيانات بالا عمدة. :á«lélr ägôc لد زيد 5 كرة زجاجية 8 منها سوداء و 1 حمراء و 9 خضراء والبقية بيضاء. فا ذا سحب كرتين م ع ا عشواي يا. a) م ثل بالا عمدة هذا التوزيع الاحتمالي ( b) ما الناتج ذو الا مكانية الا قل للوقوع. P( 0) ا وجد (a b) ما احتمال ا ن تكون زهرتان على الا قل حمراوين. P خضراء) ا وجد (ا حداهما سوداء والا خر c) :äéy tôñj قام طلاب الصف الثالث المتوسط في مدرسة بجمع بعض الا طعمة في طرود للتبرع بها للا سر الفقيرة. ولقد ا حصى الطلاب ا نواع المواد المقدمة كما في الجدول ا دناه. a) ا وجد احتمال ا ن يحتوي طرد اختير عشواي يا على القمح. b) ا وجد احتمال ا ن يحتوي طرد اختير عشواي يا على وجبة طعام ا و ا رز. :õfgƒl تنافس 50 متساب قا منهم جاسم وجلال وعلي في سحب عشواي ي على ا ربع جواي ز. ما احتمال ا ن يربح اثنان من الا سماء الثلاثة :á«véjq ÜÉ dcg اختار معلم التربية الرياضية 5 طلاب عشواي يا من بين الطلاب البالغ عددهم 1 طال با ليساعدوه على تطبيق بعض الا لعاب. ما احتمال ا ن يختار واح دا على الا قل من بين عشرة ا قارب له يجلسون مع الطلاب 15) :äé HÉ ùe يب ين التمثيل بالا عمدة احتمال ا ن يربح كل طالب جاي زة ب ين ا ن هذه البيات تم ثل توزي عا احتمال يا a). P ا وجد (ربح محمد ا و بلال) b) (10 (11 (1 :äélq ا جري اختبار في الرياضيات لطلاب الصف الثالث الثانوي والجدول ا دناه يبين نتاي ج هذا الاختبار äé«véjôdg QÉÑàNG èféàf ɪàM G ôjó àdg A B C D F (1 π üødg 10

107 w (1 :QÉ ecg التوزيع الاحتمالي ا دناه يو ضح عدد الا يام الممطرة في السنة في ا حد الدول. ا وجد القيمة المتوق عة لعدد الا يام الممطرة. ا وجد محصلة المتجهين ا دناه مستعم لا قاعدة المثلث ا و متوازي الا ضلاع. ث م ح دد اتجاهه بالنسبة للا فقي áæ ùdg»a Iô ªªdG ΩÉjC G óy ΩÉjC G óy ɪàM G (1 v اكتب المعادلة r = 1 cos θ على الصورة الديكارتية. - :äébé H ر قمت مجموعة بطاقات على النحو الا تي: بطاقات تم ترقيم كل منها بالرقم 8 وبطاقتان ت م ترقيم كل منهما بالعدد 10 و بطاقات ت م ترقيم كل منها بالرقم و بطاقات ت م ترقيم كل منها بالرقم 5 وبطاقتان ت م ترقيم كل منها بالرقم وبطاقة ت م ترقيمها بالرقم. ا ذا سحبت من هذه البطاقات واحدة عشواي يا فما القيمة المتوقعة لهذه البطاقة :CÉ îdg ûàcg ك ونت ك ل من فاطمة وزينب توزي عا احتمال يا باستعمال التمثيل بالا عمدة لمجموع العددين الناتجين عن دوران مو شر القرص المجاور مرتين. ا يهما يع د تمثيلها صحي حا فس ر ا جابتك. يحتوي صندوق على كرات بيضاء و كرات حمراء. سحبت كرتان على التوالي دون ا رجاع. ما احتمال ا ن تكون الثانية بيضاء ا ذا كانت الا ولى حمراء - ( ( ( يحتوي صندوق على كرات حمراء و كرات صفراء و كرات خضراء وكرتين زرقاوين. سحبت كرات م عا عشواي يا. ا ذا كان X متغي را عشواي يا يدل على عدد الكرات الزرقاء المسحوبة فما جميع القيم الممكنة ل X 5 (17 (18 1, A 0, 1, B 1,, C 0, 1,, D 5) ما القيمة المتو قعة للتوزيع الاحتمالي المب ين في الجدول ا دناه p() 0.1 A (19 :ôjôñj ح دد ما ا ذا كانت العبارة الا تية صحيحة داي ما ا و صحيحة ا حيا نا ا و غير صحيحة ا ب دا:» يبنى الاحتمال النظري على نتاي ج التجارب». ب رر ا جابتك. 0.1 B 0.5 C 1 D :ámƒàøe ádcé ùe ك ون توزي عا احتمال يا منفص لا فيه 5 نواتج مع تحديد احتمال كل منها. ( SQódG

108 الطÑيع«التوزي The Normal Distributio مث ل المعلم عبدالعزيز درجات طالب مدرسته في مادة الرياضيات بياني ا كما هو مبي ن في الشكل المجاور. الحظ أن هناك تجمع ا لدرجات الطالب في المنتصف كما أن شكل التمثيل البياني لتوزيع الدرجات يشبه الجرس تقريب ا. إن مثل هذا التوزيع يسمى توزيع ا طبيعي ا. التوزيعات الطÑيعية والم توية في التوزيع االح تمالي المتصل والذي هو توزيع احتمالي متغيره العشوائي متصل يمكن للنواتج أن تأخذ أي قيمة في فترة من الا عداد الحقيقية ومثال ذلك أطوال أشخاص وأوزانهم ومستوى الدهنيات عند الا شخاص البالغين. وأفضل مثال على التوزيعات االحتمالية المتصلة هو التو زيع الطبيعي. عييثت عيوتاا ي م لو عير ميا بل عييت عيرعأا عيا اييب ليا فت عييب عيبت عيبعل عي مي لير عي م عيب فا عأل عيب عياي ي ل عييبطللا عيايت ) عي ( - عأ ما عع كا مب تاا و مبط وتلتا عأ ميبل عأيل عياب عييرلوا عيا أ عييبطلا عيايا عيي cotiuous probabilit distributio عييبطلا عيزوتلا ünساüfس التوزي الطÑيع«المتوسط=الوسيط=المنوال ormal distributio عييبطلا عييب skewed distributio على الرغم من أن التوزيع الطبيعي متصل فا ن التوزيعات المنفصلة أيض ا يمكن أن يكون لها شكل التوزيع الطبيعي. ويمكن للتوزيعات أن تظهر بأشكال أخرى ت سم ى توزيعات ملتوية. التواA سالÖ التواA موجÖ (م توm اEل الي سار) (م توm اEل اليميø ) معظم البيانات تتركز في اليسار وقليل منها في اليمين. معظم البيانات تتركز في اليمين وقليل منها في اليسار. ح دد ما إذا كانت البيانات في الجدول التكراري ا دناه تظهر التواء موجب ا ا و التواء سالب ا ا و مو زعة توزيع ا طبيعي ا: عيوتاا عييرع )a üjسني بياfات التوزي استعمل الجدول التكراري أعاله لتمثيل البيانات بالا عمدة. وبما أن التمثيل عال في الوسط ويبدو كأنه إلى حد ما متماثل حول المتوسط فا ن البيانات ت عتبر موز عة توزيع ا طبيعي ا. 108 الüØسπ عيال اع

109 ح دد ما إذا كانت البيانات في الجدول التكراري ا دناه تظهر التواء موجب ا ا و التواء سالب ا ا و مو زعة توزيع ا طبيعي ا: عيوتاا عييرع )b استعمل الجدول التكراري أعاله لتمثيل البيانات بالا عمدة. وبما أن التمثيل عال في جهة اليسار ومنخفض في كل من الوسط وعلى اليمين فا ن التوزيع يبدو كأنه ملتو إلى اليمين )التواء موجب(. Jح مø ف م 1( حد د ما إذا كانت البيانات في الجدول المجاور ت ظهر التواء موجب ا أو التواء سالب ا أو موز عة توزيع ا طبيعي ا }منüØسzπ م ابπ }متüسzπ لاأ عييبطلا عيايا عي ع مع م عيت ايوا ما ب عأعع ت عأما عييبطلا عيايا عيي فتاأ عيت م م تر ع مي فير عي يا فا اي عييبطلا عيايا عيي لب عيال عأ لاأ عييتر عيلبعا ت ع ف مالا ير الحòاA bيا س التôµار ال اfو التôéيÑ «إن المساحة بين قيمتين من البيانات تمث ل نسبة البيانات التي تقع بين هاتين القيمتين. ويمكن أن يستعمل القانون التجريبي لوصف المساحات تحت المنحنى الطبيعي والتي تقع ضمن انحراف أو انحرافين أو ثالثة انحرافات معيارية من المتوسط. ال اfو التôéيÑ «لي عييبطلا عيزوتلا عي ميبز µ عت ايا σ عيلتا عرعف ±1σ ±σ ±σ 0.5% % 1.5% % % 1.5% % 0.5% لا 8% رلوا م عيوتاا عيير. (µ - σ, µ + σ) ع للا عأ 8% م عيوتاا لياط لا عيلتا عرع ت عييب لا 95% رلوا م عيوتاا عيير. (µ - σ, µ + σ) عيلتا عرع ت ل عييب لا لياط (95%) عيوتاا م عيل عيايوت عأ للا ع لا 99% رلوا م عيوتاا عيير. (µ - σ, µ + σ) عيلتا عأمثال عرع عييب لا لياط (99%) رلوا عيوتاا تا عأ للا ع المتوسط لتوزيع طبيعي وانحرافه المعياري 5. ا وجد احتمال ا ن تزيد قيمة ل X تم اختيارها عشواي ي ا في هذا التوزيع عن (ا ي ا وجد ( >.(P(X µ =, σ = 5 التوزي الطÑيع«الîطوة 1 أوجد القيم µ ± σ, µ ± σ, µ ± σ )وهي المتوسط مضاف ا إليه أو مطروح ا منه المضاعفات الثالثة الا ولى لالنحراف المعياري(. µ ± σ = ± 5 = 9, 9 µ ± σ = ± 10 =, µ ± σ = ± 15 = 19, 9 التوزي الطÑيع«فا عيا تلا ل عأ لب عيوتاا كوترع يتب عييبطلا وتلتا رلوا الدر س - 5 عييبطلا عيزوتلا 109

110 الîطوة ارسم منحنى التوزيع الطبيعي وحد د عليه المتوسط = µ والقيم السابقة. الîطوة ظلل المنطقة التي تمثل االحتمال المطلوب. 0.5% % 1.5% % % 1.5% % % الîطوة احسب االحتمال المطلوب: P(X > ) = ( )% = 97.5% Jح مø ف م إذن: 97.5% ) > P(X ( أوجد احتمال أن تكون قيمة تم اختيارها عشوائي ا في التوزيع الوارد في المثال أقل من 9. ت مث ل العينة التي يكون توزيعها توزيع ا طبيعي ا بمنحنى طبيعي وكأنها مجتمع ا. عينة موزsعة Jوزيعkا طÑيعيvا اCطوال: توز ع ا طوال 1800 يافع توزيع ا طبيعي ا بمتوسط i وانحراف معياري يساوي. i a( ما العدد التقريبي لليافعين الذين تتراوح ا طوالهم بين i و 70 i ارسم منحنى التوزيع الطبيعي. تبعد كل من, 70 عن المتوسط الحسابي انحرافين معياريين لذا فا ن 95% من البيانات واقعة بين الطولين., 70 ولا ن = % 1800 لذا يوجد 1710 يافعين تقريب ا تقع أطوالهم بين i و 70. i 0.5% % 1.5% % % 1.5% % % b( ما احتمال ا ن يتم اختيار ا حد اليافعين عشواي ي ا بحيث يزيد طوله على 8 i من الشكل المجاور القيمة الا كبر من 8 تبعد أكثر من انحراف معياري واحد عن المتوسط الحسابي وتتوز ع الا طوال على النحو الا تي: 1.5% بين انحراف معياري واحد وانحرافين معياريين % بين انحرافين معياريين وثالثة انحرافات معيارية 0.5% فوق انحرافات معيارية. لذا فاحتمال اختيار يافع يكون طوله أكبر من 8 i ( )% = 1% إذن االحتمال المطلوب يساوي 1% تقريب ا 0.5% % 1.5% % % 1.5% % % Jح مø ف م درجات: إذا علمت ا ن كتل 100 موظف في شركة تتو زع توزيع ا طبيعي ا بمتوسط حسابي مقداره 70 كيلوجرام ا وانحراف معياري 10 كيلوجرامات فاعتمد على ذلك في الا جابة عن السو الين الا تيين : A( ما العدد التقريبي للموظفين الذين تقع كتلهم بين,0 80 كيلوجرام ا B( ما احتمال أن يتم اختيار موظف بصورة عشوائية وتكون كتلته أقل من 90 كيلوجرام ا 110 الüØسπ عيال اع

111 )9 درجات: يوض ح الجدول أدناه نتائج أحد االختبارات )النهاية العظمى لالختبار 0(. حد د ما إذا كانت البيانات ت ظهر التواء موجب ا أو التواء سالب ا أو موز عة توزيع ا طبيعي ا. )مثال 1( فئات الدرجات 1 15 عدد الطالب بطاريات ال سيارة: إذا ح د د عم ر بطارية السيارة بالمسافة التي تقطعها باستعمال هذه البطارية وعلمت أن عمر أحد أنواع بطاريات السيارات يتوز ع توزيع ا طبيعي ا بمتوسط حسابي km وانحراف معياري km وتنتج إحدى الشركات 0000 بطارية في الشهر فأجب عما يأتي: a( ما العدد التقريبي للبطاريات التي يتراوح عمرها بين km km b( ما العدد التقريبي للبطاريات التي يزيد عمرها على km )1 c( ما العدد التقريبي للبطاريات التي يقل عمرها عن km حدد ما إذا كانت البيانات في الجدول أدناه ت ظهر التواء موجب ا أو التواء سالب ا أو موزعة توزيع ا طبيعي ا: عدد الزوار با عدد زوار المتنزهات آالالف عدد المتنزهات d( ما احتمال أن تشتري بطارية عشوائي ا ويتراوح عمرها بين km km صحة: يتوز ع مستوى الدهنيات )الكولسترول( في فئة الشباب الذكور في إحدى الدول توزيع ا طبيعي ا بمتوسط حسابي 158. وانحراف معياري. a( ما احتمال أن تقل نسبة الكولسترول عند الشباب الذكور عن b( كم شخص ا تقريب ا من بين 900 شخص شملتهم الدراسة يتراوح مستوى الكولسترول عندهم بين ) ) ) فاأكثر تتوز ع مجموعة بيانات توزيع ا طبيعي ا بمتوسط حسابي 11 وانحراف معياري 1 أوجد أن يتم اختيار قيمة ل X عشوائي ا من هذا التوزيع بحيث تكون أقل من 19 أي أوجد (19 < X). P )مثال ( طعام: تتوز ع مدة صالحية نوع معين من البطاطس توزيع ا طبيعي ا بمتوسط حسابي 180 يوم ا وانحراف معياري 0 يوم ا. a( ما احتمال أن تقع مدة صالحية المنتج بين 150 يوم ا 10 أيام b( ما احتمال أن تقع مدة صالحية المنتج بين 180 يوم ا 10 أيام c( ما احتمال أن تقل مدة صالحية المنتج عن 90 يوم ا ) )1 )1 إذا توز عت البيانات في األسئلة - 7 توزيع ا طبيعي ا وكان المتوسط الحسابي واالنحراف المعياري لكل منها كما هو موض ح فأوجد االحتمال المطلوب. µ = 7, σ =, P(X > 8) µ = 1, σ = 0., P(X < 1.) µ =, σ =, P(59 < X < 71) µ = 91, σ =, P(7 < X < 10) مدار س: أعطى عمران اختبار ا قصير ا لطلبته البالغ عددهم (50) طالب ا وكانت الدرجات موز عة توزيع ا طبيعي ا بمتوسط حسابي 1 وانحراف معياري. )مثال ( a( ما العدد التقريبي للطالب الذين تقع درجاتهم بين 19, b( ما احتمال أن تقع درجة أحد الطالب بين 17 و 5 d( ما احتمال أن تزيد مدة صالحية المنتج على 10 أيام طول: تتوز ع أطوال 880 طالب ا في إحدى الجامعات توزيع ا طبيعي ا بمتوسط حسابي مقداره 7 i وانحراف معياري مقداره.5 i a( كم طالب ا تقريب ا يزيد طوله على 7 i b( ما احتمال أن تقع أطوال الطالب بين 59.5 i و 9.5 i صناعة: ت ستعمل آلة لتعبئة عبوات بالمياه المعدنية وتختلف كمية الماء اختالف ا ضئيال بين العبوات. إذا كان حجم الماء في 10 عبوة يتبع توزيع ا طبيعي ا بمتوسط حسابي 1.1 L وانحراف معياري 0.0 L فأجب عما يأتي: a( كم عبوة تقريب ا يكون حجم الماء فيها أقل من 1.0 L 1.08 L ما احتمال أن يكون حجم الماء في العبوات بين b( و 1.1 L ) )5 ) )7 )8 الدر س - 5 يعيبطلا عيزوتلا 111

112 اcتûس الîطاC : تتوز ع أطوال أقطار نوع من الا شجار توزيع ا طبيعي ا بمتوسط مقداره 11.5 cm وانحراف معياري مقداره.5 cm ومدى من. cm إلى 19.8 cm وقد حاولت كل من مريم وأمينة إيجاد مدى 8% من البيانات التي تقع في وسط التوزيع. أيهما كانت إجابتها صحيحة فس ر إجابتك. áæ«ecg øe 8% áñ ùædg óàªj CG CG µ σ deg µ + σ øe ƒµ«s 8% ióe 1 cm deg 9 cm ºjôe 1.cm äéfé«ñdg ióe hé ùj ióªdg øe 8% Gòg srƒàjh 11cm É kñjô J ƒm hé ùàdéh ióªdg CG CG 11.5cm SƒàªdG øe ƒµ«s 8% ióe 17 cm deg cm Jحد : في مستودع للا دوات الكهربائية عدد من المسجالت التي تعمل على البطارية. إذا كانت أعمار البطاريات تتوز ع توزيع ا طبيعي ا بمتوسط حسابي 8.0 h وانحراف معياري 0.7 h فما العدد التقريبي للمسجالت في المستودع إذا علمت أن هناك 8 مسج الت يزيد عمر بطارياتها على 10.1 h اcتÖ : اشرح الفرق بين التوزيعات الموجبة االلتواء والتوزيعات السالبة االلتواء والتوزيعات الطبيعية لمجموعة بيانات. أع ط مثاال على كل منها. :ôيôñj بحسب القانون التجريبي فا ن معظم البيانات في التوزيع الطبيعي تقع ضمن الفترة ) σ ( µ - σ, µ +. هل هذا صحيح أم خاطي بر ر إجابتك. م ساCلة مØتوMة: أوجد بيانات واقعية تبدو كأنها تتوز ع توزيع ا طبيعي ا أع ط خصائص هذا التوزيع فيما يتعلق بالمتوسط الحسابي واالنحراف المعياري. ومث ل البيانات بياني ا. م ساCلة مØتوMة: أع ط مثاال على توزيع احتمالي منفصل وآخر متصل. وصف الفرق بينهما. طالب: ر ش ح طالب من الصف الا ول الثانوي و 11 طالب ا من الصف الثاني الثانوي لتوزيع بعض الطرود على الفقراء. إذا اختير من بينهم طالب عشوائي ا فما احتمال أن تتضم ن العينة طالبين من الصف الا ول الثانوي وطالبين من الصف الثاني الثانوي )عي -( م ساب ات: يبي ن الجدول أدناه أعداد الطالب الذين شاركوا في المسابقات الثقافية والذين لم يشاركوا من الصفوف: الا ول والثاني والثالث الثانوي في مدرسة ما. إذا اختير أحد الطالب عشوائي ا فأوجد احتمال أن يكون قد شارك في المسابقات الثقافية علم ا بأنه من الصف الثالث الثانوي )عي -( عياكب عياكت تر االCول الãاfو الãاf «الãاfو 9 7 الãالå الãاfو 0 ج سور: جسر لعبور المشاة فوق مسطح مائي على شكل قطع مكافي فتحته إلى أسفل أوجد معادلة الجسر مفترض ا أن نقطة الا صل على سطح الماء تحت رأس القطع. )ما )ا 5 ft 175 ft يتوز ع عمر مصباح كهربائي توزيع ا طبيعي ا بمتوسط حسابي 00 يوم وانحراف معياري 0 يوم ا. كم مصباح ا يقع عمره بين 0 يوم ا 0 يوم ا 5000 C 500 A 800 D 00 B )1 ) ) ) )5 ما الوصف الا فضل لمنحنى التوزيع االحتمالي الممث ل أدناه A توزيع سالب االلتواء C توزيع طبيعي B توزيع متماثل D توزيع موجب االلتواء سناعة: تتوز ع قياسات أقطار مجموعة من الا قراص المدمجة التي تصنعها إحدى الشركات توزيع ا طبيعي ا بانحراف معياري مقداره 10 mm. وبمتوسط حسابي 1 mm a( ما احتمال أن يزيد طول قطر قرص اختير عشوائي ا على 10 mm b( إذا كانت الشركة تصنع 1000 قرص في الساعة فما العدد التقريبي للا قراص المصنوعة في الساعة الواحدة والتي يتراوح قطر كل منها بين 119 mm, 1 mm )1 )15 )1 )17 )18 )19 )0 11 الüØسπ عيال اع

113 معمπ الôÑé : ال اfو التôéيÑ «والمئينات The Empirical Rule ad Percetiles عند معرفة المتوسط واالنحراف المعياري لتوزيع طبيعي تستنتج أن 8%, 95%, 99% من البيانات ستكون ضمن انحراف معياري واحد أو انحرافين معياريين أو ثالثة انحرافات معيارية عن المتوسط على الترتيب وهذا ما ي سم ى القانون التجريبي. ويمكنك استعمال القانون التجريبي لتجد المئينات. والمئين يقابل القيمة التي يقل عنها أو يساويها % من قيم البيانات. في اختبار للرياضيات لطلاب الصف الثالث الثانوي وجد ا ن درجات الطلاب تتو زع توزيع ا طبيعي ا بمتوسط 0 وانحراف معياري 5 الîطوة 1 ارسم منحنى التوزيع الطبيعي لدرجات الطالب المشابه للشكل المجاور و عي ن عليه المتوسط وأيض ا المتوسط مضاف ا إليه أو مطروح ا منه مضاعفات االنحراف المعياري كما هو موضح في الشكل. 0.5% % 1.5% % % 1.5% % % الîطوة الدرجة 0 هي المتوسط وبالرجوع إلى الشكل يمكن أن ترى أن 50% من الدرجات أقل من الدرجة 0 أو تساويها لذا يمكنك القول: إن الدرجة 0 تقابل المئين. 50 ما المئين الذي يقابل الدرجة 5 الîطوة ما المئين الذي يقابل الدرجة 0 الîطوة ما الدرجة التي تقابل المئين 99.5 Jماريø : في ك ل من السو الين التاليين ارسم منحنى التوزيع الطبيعي ثم ا جب عن المطلوب. 1( إذا كانت درجات الطالب في اختبار مادة الفيزياء موز عة توزيع ا طبيعي ا بمتوسط 15 وانحراف معياري فأوجد المئينات التي تقابل الدرجات. 1, 15, 1 ( إذا كانت درجات الطالب في اختبار مادة الكيمياء موز عة توزيع ا طبيعي ا بمتوسط 0 وانحراف معياري فأوجد الدرجات التي تقابل المئينات. 8, 50, 99.5 التو س - 5 مل عيور الدر س عياب 5 - عييرلوا عييبطلا عيتا عيزوتلا 11

114 Pات الحديø التوRيعات Biomial Distributios في لعبة الكرة الطائرة تبين أن الالعب سلمان ينجح في لعب اإلرسال الساحق الذي ال يصده الخصم في % من محاوالته وبذلك يحصل فريقه على نقطة في كل مرة ينجح فيها. التوRي Pو الحديø كثير من التجارب االحتمالية يكون لها نتيجتان فقط نجاح أو فشل أو يمكن جعلها كذلك. فمثال في مسائل االختيار من متعدد التي لها 5 إجابات يمكن تصنيف نتائج اإلجابة عن كل فقرة إلى صح أو خطأ ويمكن تصنيف نتائج دواء طبي على أنه فع ال أو غير فع ال. ر اول اح إلاولةو لاو للوتلا ) مهلرةو البقة ( لموبةو لاوللوتلا لتولاتحإلااوبل اح إلاو للححللو وللوتلاو مح تéربة Pات الحديø ولاة بةو لاوللوتلاووبةولتحإللةووقوللا ل لولملاوللحبةول توموت) ) وماوللإول ااوللإاحقة )للإلا(وو واوFو ل وSول حلن لةولهلوقوححلنومحح ومول لمولوبللووq " P(Fو" لتحإلاوللاو( لةو حواووومول لمولوبللووp " ( P(Sو" 1 و - pو لةو لال حواووومول لإثوللإحولل احلوXوتوملاولللوووماوللإول اا بةو لاوللوتلا biomial eperimet للححللو وللوتلا biomial distributio 11 الف صل لاتحإلاو لامتحالا 1 حد د ما إذا كانت كل تجربة مما يأتي ذات حدين أو يمكن جعلها كذلك. وإذا كانت تجربة ذات حدين فاكتب قيم,,p q وقيم المتغير العشوائي الممكنة وإذا لم تكن كذلك فبي ن السبب. a( تبي ن نتيجة لمسح إحصائي داخل إحد المدارس أن 8% من الطلاب يمتلكون حاسبة بيانية. إذا تم اختيار طلاب عشوائ يا وسو الهم ع ما إذا كانوا يمتلكون هذه اآللة وكان المتغير العشوائي X يمث ل عدد الطلاب الذين يملكون الحاسبة البيانية فا ن: هذه التجربة تحقق شروط تجربة ذات الحدين وهي: كل طالب تم اختياره ي مث ل محاولة وعملية اختيار الطالب الستة تتكون من محاوالت مستقلة. للتجربة نتيجتان متوقعتان: الطالب يملك الحاسبة البيانية S أو ال يملكها. F احتمال النجاح نفسه لكل طالب تم اختياره = 0.8 P(S). وفي هذه التجربة = 0.8 P(S). =, p = احتمال الفشل q = 1 - p أي أن: = = 1 - q. وي مث ل X عدد الطالب الذين يملكون حاسبة بيانية من ال ذين تم اختيارهم أي أن: X = 0, 1,,,, 5, تمييز التéربة Pات الحديø b( يحتوي صندوق على 5 بطاقة و خص ص لكل 1 بطاقة أحد األلوان اآلتية: األحمر األسود األخضر األبيض. سحبت منه 5 بطاقات الواحدة تلو األخر دون إرجاع. وكان المتغير العشوائي X يدل على عدد البطاقات المسحوبة ذات اللون األخضر. في هذه التجربة كل بطاقة يتم سحبها ت مث ل محاولة وبما أنه يتم االحتفاظ بالبطاقة التي تم اختيارها )السحب دون إرجاع( فا ن المحاوالت غير مستقلة واحتمال النجاح في كل محاولة يختلف عن األخرى لذا فا ن هذه التجربة ليست ذات حدين.

115 تح مø ف م حد د ما إذا كانت كل تجربة مما يأتي ذات حدين أو يمكن جعلها كذلك. وإذا كانت تجربة ذات حدين فاكتب قيم,,p q وقيم المتغير العشوائي الممكنة وإذا لم تكن كذلك فبي ن السبب. 1A( أظهرت نتيجة لمسح إحصائي في إحدى المدارس ذات الزي الموح د أن 1% يحبون الزي الجديد وأن % ال يحبونه. إذا تم اختيار 0 طالب ا بشكل عشوائي وسؤالهم عم ا إذا كانوا يحبون الزي الجديد. وكان المتغير العشوائي X يدل على عدد الطالب الذين يحبون الزي الجديد. 1B( أجاب خالد عن اختبار مكو ن من 0 فقرة من نوع»االختيار من متعدد» لكل فقرة منها أربع إجابات واحدة فقط صحيحة )دون معرفة علمية بموضوع االختبار(. وكان المتغير العشوائي X يدل على عدد اإلجابات الصحيحة. ي سمى توزيع النتائج المتوق عة لتجربة ذات حدين واالحتماالت المرتبطة بها توزيع ذات الحدين. ويمكن حساب. (p + q ) التي تمثل حد ا في مفكوك C X االحتماالت في هذا التوزيع باستعمال الصيغة p X q X لتحإلاولللووXومةوماووماوللإول ااوللإاحقةووبةو لاوللوتلاوح P(X) = C X p X - X! q = _ الحديø احتمال Pات صي ة ( - X)! X! p X q - X توpولتحإلاولللو qولتحإلاوللاووللإول لةوللحلتتة اختبار: في اختبار نهائي أكد 5% من الطلاب أنهم أجابوا بشكل اعتيادي. إذا اختير 5 طلاب عشوائ يا وتم سو الهم عما إذا أدوا االختبار بشكل اعتيادي. وكان المتغير العشوائي X يدل على عدد الطلاب الذين أجابوا بنعم عن السو ال فكو ن جدوال للتوزيع ذي الحدين ومث له باألعمدة ثم أوجد احتمال أن يجيب طلاب على األقل عن السو ال بنعم. هذه تجربة ذات حدين فيها: 0.5 = = q. = 5, p = 0.5, استعمل الحاسبة البيانية TI - spire لحساب احتمال كل قيمة ممكنة من قيم X مستعمال صيغة احتمال ذات الحدين. الدر س - للححلل لاو لاوللوتلا 115 P(0) = 5 C P(1) = 5 C P() = 5 C P() = 5 C P() = 5 C P(5) = 5 C وفيما يأتي جدول التوزيع ذي الحدين للمتغير X وتمثيله باألعمدة. P(X) X X P( X ) التوRي Pو الحديø ح صاÜ احتمال Pات الحديø امللوولتحإلاوللاو للوتلاووللول اةولللة ل اح إولام ), biompdf(وماو p, لإةووللول اةو مثلا امللو( 1 ) p لحو( 1 (5, 0.5, biompdf ولاوEter حوحاوو 0.18 إلولإاولملللوبل اح إلاو لالةوللول اةولل إةوإلو لل لاووللإلولاةوماو للالرولملوللإا 5 SHIFT ( ) ( 5-1 ) = حهوللالاةو

116 إليجاد احتمال أن طالب على األقل أجابوا بنعم أوجد (5)P. ()P + ()P + P(X ) = P() + P() + P(5) = تح مø ف م لتحإلاو ووولا P() = 0.181, P() = 0.09, P(5) = با = 0.5 =.5% ( ك يات: يدرس في إحدى الكليات 8% من الطالب لغة عالمية خالل سنة التخرج. إذا اختير 7 خريجين عشوائي ا وتم سؤالهم عم ا إذا درسوا لغة عالمية في سنتهم األخيرة. وكان المتغير العشوائي X يدل على عدد الطالب الذين أجابوا بنعم فك ون التوزيع ذا الحدين وم ثله باألعمدة ثم أوجد احتمال أن يجيب أقل من طالب بنعم. اختيار ا حتما ت لتللولحنوماولا اهولنو تولتحإلاوللاو و وللحةوماو 1 ولحتو لتحإلاوللل اهإلو لتحإلانومححلملن تستعمل الصيغ اآلتية إليجاد المتوسط والتباين واالنحراف المعياري للتوزيع ذي الحدين. لواوللإحح او للحللاو لاولوللإ لرولإحواحلوXووللححللو وللوتلاوبللحاولاة المتو ص µ = p التبايø σ = pq ا fحرا± المعيار σ = Ç σ = ÇÇ pq المتو ص والتبايø وا fحرا± المعيار ل توRي P الحديø الحديø P المعيار ل توRي وا fحرا± والتبايø المتو ص اختبار: بالرجوع إلى تجربة ذات الحدين في المثال. أوجد المتوسط والتباين واالنحراف المعياري للمتغير العشوائي X ث م فس ر معنى المتوسط في سياق الموقف. استعمل صيغ المتوسط والتباين واالنحراف المعياري للتوزيع ذي الحدين. في هذه التجربة ذات الحدين. = 5, p = 0.5, q = 0.5 µ = p = 5 (0.5) = 1.75 σ = pq = 5 (0.5)(0.5) = σ = Ç σ = ÇÇÇ متوسط التوزيع يساوي 1.8 تقريب ا ويعني أن خري جين تقريب ا من أصل 5 أجابوا بنعم. كل من التباين واالنحراف المعياري يساوي 1.1 تقريب ا. تح مø ف م ( ك يات: أوجد المتوسط والتباين واالنحراف المعياري للمتغير العشوائي X في تحقق من فهمك وفس ر معنى المتوسط في سياق الموقف. 11 الف صل لاتحإلاو لامتحالا

117 عندما يزداد عدد المحاوالت في تجربة ذات الحدين يمكن استعمال التوزيع الطبيعي لتقريب التوزيع ذي الحدين. ت ريب التوRي P الحديø اEل التوRي ال بيع«وللححللو وللوتلاوتملوإثووتوللإول ااو لتحإلاولللوpو لتحإلاوللاوqو لحن وµ = وبإحح اوp وللوتلاولملوحللو لإاوقلوللححللو و p 5, q 5 لولوم لروq σو. = ÇÇ p ت ريب التوRي P الحديø اEل توRي طبيع«أشارت دراسة سابقة إلى أن % من الخريجين يرون أن سنوات الجامعة كانت ممتعة. وقد نف ذ بلال دراسة مسحية على 00 من هو الء الخريجين اختارهم عشوائ يا. ما احتمال أن يوافق 00 خريج منهم على األقل على ما جاء في الدراسة الا حصائية السابقة في الدراسة المسحية التي نف ذها بالل عدد الخريجين الذين يرون أن سنوات الجامعة كانت ممتعة يتبع التوزيع ذا الحدين حيث: الت ريب اEل التوRي ال بيع«لاح إوللحقلولملوللححللو لل اومولللةوو لحاول اح إلاوللححللو و للوتلاوامللولاتحإلاو ة ا قتةو إةوم = 00, p = 0., q = 0. وحيث إن: p = 00 (0.) = 19 > 5 q = 00 (0.) = 108 > 5 يمكنك استعمال التوزيع الطبيعي لتقريب االحتمال على النحو اآلتي: 1.5% للإحح اولححللولل µ = p % 0.5% = 00, p = 0. = 00(0.) = لرولححللولل لاولوللإ σ = ÇÇ p q σ 8 = 00, p = 0., q = 0. = ÇÇÇÇÇÇ 00(0.)(0.) 8.1 ل اح إولالةوللول اة العدد 00 أكبر من المتوسط بمقدار انحراف معياري واحد تقريب ا كما هو مبين في الرسم أعاله لذا يكون احتمال أن يوافق 00 خريج منهم على األقل يساوي 1% تقريب ا. تح مø ف م ( أشارت دراسة سابقة إلى أن % من أولياء األمور المستطلعة آراو هم يرون أنه يجب تقليل عدد أيام اإلجازة الصيفية للطالب في نهاية العام الدراسي. غير أن آية ترى أن النسبة أقل من ذلك ولذلك قامت با جراء دراسة مسحية شملت 50 من أولياء األمور اختارتهم بطريقة عشوائية ممن استهدفتهم الدراسة السابقة. ما احتمال أال يرى أكثر من 5 من أولياء األمور وجو ب تقلي ل عدد أيام اإلجازة الصيفية الدر س - للححلل لاو لاوللوتلا 117

118 )9 )10 )11 )1 )1 )1 حد د ما إذا كانت كل تجربة مما يأتي ذات حدين أو يمكن جعلها ذات حدين. وإن كانت كذلك فاكتب قيم,,p q ثم اكتب كل قيم المتغير العشوائي الممكنة. وإذا لم تكن تجربة ذات حدين فبي ن السبب. )مثال ) 1 تم ترقيم أوجه مكعب باألرقام من 1 إلى ثم أ لقي المكعب 10 مرات والمتغير العشوائي X يدل على عدد مرات ظهور الرقم. 5 أ لقيت قطعة نقد 0 مرة والمتغير العشوائي X يدل على عدد مرات ظهور الكتابة. سألت 15 شخص ا عن أعمارهم والمتغير العشوائي X يدل على أعمار هؤالء األشخاص. صندوق به 5 كرة منها 1 كرة حمراء و 1 كرة زرقاء و 1 كرة بيضاء و 1 كرة صفراء. سحبت 10 كرات على التوالي دون إرجاع. والمتغير العشوائي X يدل على عدد الكرات البيضاء المسحوبة. كو ن التوزيع ذا الحدين لكل متغير عشوائي مما يأتي ومث له باألعمدة ثم أوجد المتوسط وفس ر معناه في سياق الموقف ثم أوجد التباين واالنحراف المعياري. )المثلان ), إذا كان % 89 من طالب المرحلة الثانوية في إحدى المدارس يتابعون مباريات منتخبهم الوطني وتم اختيار 5 طالب عشوائي ا من هذه المدرسة وسؤالهم عما إذا كانوا يتابعون مباريات منتخبهم الوطني. بي نت دراسة أن % من موظفي إحدى الشركات يستعملون اإلنترنت في عملهم. إذا تم اختيار 10 موظفين من هذه الشركة عشوائي ا وسؤالهم عما إذا كانوا يستعملون اإلنترنت في عملهم. أفادت دراسة إحصائية أن % 5 من طالب الجامعات الذين يمتلكون سيارات يستعملون أحزمة األمان في أثناء قيادة سياراتهم. إذا تم اختيار 8 طالب عشوائي ا ممن يمتلكون سيارات وسؤالهم إن كانوا يستعملون أحزمة أمان في أثناء قيادة سياراتهم. أاعمال صيفية: تبي ن في دراسة سابقة أن 90% من طالب الصفوف العليا في مدرسة ثانوية يحصلون على أعمال صيفية لكن منذر ا قد ر أن النسبة أقل من ذلك لذا قام بدراسة مسحية شملت 00 طالب من الصفوف العليا تم اختيارهم عشوائي ا. ما احتمال أال يكون أكثر من 8 من الطالب المستهدفين حصلوا على عمل صيفي )مثال ( رخ صة قيادة: اعتماد ا على إحدى الدراسات المسحية السابقة إذا علمت أن 85% من طالب إحدى الجامعات لديهم رخص قيادة سيارة فما احتمال أن يكون طالب على األقل من بين 10 تم اختيارهم عشوائي ا لديهم رخص قيادة سيارة كرة قدم: كسب فريق لكرة القدم 75.7% من مبارياته. أوجد احتمال أن يكسب 7 مباريات على األقل من بين مبارياته العشر القادمة. ريا ضيون: وفق بعض الدراسات الحديثة إذا علمت أن 80% من طالب المدارس الثانوية يمارسون رياضة واحدة على األقل في مدرستهم إذا اختير طالب عشوائي ا وكان المتغير العشوائي X يدل على عدد الذين يمارسون رياضة على األقل. a( فأوجد االحتماالت المرتبطة بعدد الطالب الذي يمارسون رياضة واحدة على األقل. b( ما احتمال أال يزيد عدد الذين يمارسون الرياضة عن طالبين غ سيل سيارات: يقوم بعض األشخاص بغسيل السيارات لزبائن بعض المجمعات التجارية مقابل أجر معين. وقد أفادت دراسة مسحية أن 5% من الزبائن يدفعون أكثر من الحد األدنى ألجرة غسيل سياراتهم. ما احتمال أن يدفع أربعة على األقل من خمسة زبائن مبلغ ا أكثر من الحد األدنى لألجر. حوافز دعائية: تضع شركة للعصائر حوافز بحيث إن 0% من علب العصير تربح علبة مجانية وقد اشترت سعاد 10 علب. مث ل باألعمدة البيانية التوزيع االحتمالي للتوزيع ذي الحدين إذا كان المتغير العشوائي يدل على عدد علب العصير الرابحة. برامج دينية: بناء على دراسة مسحية سابقة إذا علمت أن 70% من األشخاص تحت سن العشرين يتابعون برنامج ا ديني ا على األقل في التلفاز. إذا استطلع خليل رأي 00 شخص تحت سن 0 سنة فما احتمال أن 1 شخص ا منهم على األقل يتابعون برنامج ا ديني ا على األقل إذا علمت أن نسبة النجاح في توزيع ذي حدين 0% ويوجد 18 محاولة فأجب. )15 ما احتمال أال توجد أي محاولة ناجحة 1( ما احتمال أن توجد 1 محاولة فاشلة )1 ) ) ) )5 ) )7 )8 118 الف صل ءاصحإلاو لامتحالا

119 تن س طاولة: كسب العب 85% من مبارياته التي لعبها خالل مسيرته الرياضية. أوجد االحتماالت اآلتية: a( أن يكسب مباريات من بين 5 مباريات قادمة. b( أن يكسب مبارتين على األقل من بين المباريات الخمس القادمة. c( أن يخسر مباراة واحدة على األقل في مبارياته الخمس القادمة. لكل من التوزيعات ذات الحدين اآلتية يدل الرمز على عدد المحاوالت ويدل الرمز p على احتمال نجاح كل محاولة. أوجد احتمال الحصول على X من النجاحات. حد د ما إذا كانت المعادلة في كل ممايأتي تمث ل دائرة أو قطع ا مكافئ ا أو قطع ا ناقص ا أو قطع ا زائد ا دون كتابتها على الصورة القياسية. وبر ر إجابتك: )مهارة سابقة( + = = = 0 )8 )9 )0 )1 سرعة: وضع نظام لمراقبة سرعة السيارات وتسجيلها في شارع قريب من إحدى المدارس إذا توز عت هذه السرعات توزيع ا طبيعي ا بمتوسط 7 mi/h وانحراف معياري mi/h فكم سيارة كانت تسير بسرعة تقل عن mi/h في عينة حجمها 5 سيارة )الدر س -5( = 8, p = 0., X = 10, p = 0., X > )17 )18 )19 ) درا سة جامعي ة: أوضح استطالع في إحدى المدارس الثانوية أن 88% من الطالب يريدون إكمال دراستهم الجامعية. وقد قام نواف باستطالع آراء 150 طالب ا تم اختيارهم عشوائي ا. ما احتمال أن يكون في العينة 1 طالب ا على األقل يرغبون في استكمال دراستهم الجامعية )الدر س -5( =, p = 0., X = 9, p = 0.5, X 5 = 10, p = 0.75, X 8 )0 )1 ) ) = 1, p = 0.1, X < تحد : في تقريب التوزيع ذي الحدين إلى التوزيع الطبيعي إذا علمت أن احتمال وجود - 0 نجاح ا يساوي % وكان = 0 واحتمال النجاح % فكم كان عدد المحاوالت اختبار: تقد مت سمر الختبار من عشرة أسئلة من نوع االختيار من متعدد لكل منها أربعة بدائل لكنها أجابت عن األسئلة من خالل التخمين )دون معرفة علمية بالموضوع( ما احتمال أن تحصل على: a( 7 أسئلة صحيحة اإلجابة ) ) تبرير: حد د ما إذا كانت العبارة اآلتية صحيحة دائم ا أو صحيحة أحيان ا أو غير صحيحة أبد ا. وبر ر إجابتك. «من األفضل أن تجد احتمال الفشل وتطرحه من 1 لتجد احتمال النجاح «. م صاألة مفتوحة: صف حالة من أنشطة المدرسة أو المجتمع ينطبق عليها التوزيع ذو الحدين وحد د عدد المحاوالت المستقلة () وكال من: احتمال النجاح واحتمال الفشل في المحاولة الواحدة. اكتب: فس ر العالقة بين التجربة ذات الحدين والتوزيع ذي الحدين. b( 9 أسئلة صحيحة اإلجابة c( 0 سؤال صحيح اإلجابة d( أسئلة صحيحة اإلجابة إذا كان احتمال نجاح عملية جراحية 90% فما احتمال نجاع عملية واحدة على األقل إذا أ جريت العملية ثالث مرات 0.1 )B )A )D 0.9 )C ) )5 ) )7 الدر س - نيدحلا تاذ تاعيزوتلا 119

120 á LGôªdGh á SGQódG π«d ägôøªdg JGôØe ôñàng اختر المفردة المناسبة لكل عبارة مما يا تي من القاي مة ا علاه: لمتغير عشواي ي معين هو دالة تربط فضاء العينة باحتمالات نواتج فضاء العينة. عندما توجد علاقة بين حادثتين فا نه يوجد بينهما. الدراسة المسحية تكون ا ذا ص ممت لصالح نواتج معينة. ا ذا ا عطيت مجموعة معالجة شكلية لا ا ثر لها في النتيجة فا ن هذه المجموعة تس مى. يح دد الفترة التي تبين الفرق في الاستجابة بين العينة والمجتمع. (1 ( ( ( (5 á«sé SCG º«gÉØe (-1, - É SQódG) ªàéªdGh áæ«dg á«ññ ùdgh ÉÑJQ G áæjé ªdG CÉ N ûeég ± 1_ áæ«dg ( k - ) k = 1-1 QÉ«ªdG ±Gôëf G ªàéªdG ( k - µ ) k = 1 (- SQódG) hô ûªdg ɪàM G (-, -5, - ShQódG) á«déªàm G äé jrƒàdg UƒdG Ωƒ تdG π üødg 10

121 á LGôªdGh á SGQódG π«d (8-90 äéëø üdg) á MÓªdG Y áªfé dgh á«ë ùªdgh á«ñjôéàdg äé SGQódG ح دد ما ا ذا كانت كل دراسة مسحية فيما يا تي تتبني عينة متحيزة ا و غير متحيزة ثم ف سر ا جابتك: يتم اختيار كل عاشر متس وق يخرج من مجمع تجاري لمعرفة ا ن كان مرتا حا ا و مطمي ن ا لشراي ه من المجمع. يتم اختيار كل عاشر طالب يخرج من المدرسة لمعرفة ا حب المواد الدراسية ا ليه في المدرسة. 1-1 ( (7 اختار صاحب وكالة للسيارات 100 زبون عشواي يا قاموا با جراء الصيانة الدورية لسياراتهم في الوكالة حدي ثا وطرح سو ا لا عليهم حول نوعية الخدمة التي تق دمها الوكالة. هل يم ثل الزباي ن الذين تم اختيارهم عينة متحيزة ا م غير متحيزة ف سر ا جابتك. غير متحيزة لا ن لكل شخص من زباي ن الوكالة الفرصة نفسها لا ن يكون من بين العينة. يطلب ا حد مطاعم الوجبات السريعة ا لى زباي نه ا ن يكملوا استبانة حول ا فضل مطعم للوجبات السريعة. ح دد ما ا ذا كانت كل حالة تحتاج ا لى دراسة مسحية ا و دراسة قاي مة على الملاحظة ا و دراسة تجريبية. اختر 100 طالب نصفهم يعمل جزي يا بعد الدراسة وقارن بين الا وساط لدرجاتهم. اختر 100 شخص وق سمهم ا لى نصفين عشواي يا ودع ا حد المجموعتين تتناول وجبات قليلة الدسم بينما تتناول الا خر وجبات اعتيادية. وقارن النتاي ج لمعرفة ا ثر الوجبات القليلة الدسم على صحة الجسم. و زع معلم الرياضيات طلابه مجموعتين عشواي يا وط بق عليهم اختبا را حيث طلب من المجموعة الا ولى ا داء تمارين رياضية قبل الاختبار بينما ا عطى المجموعة الثانية الاختبار دون ا ن يطلب منهم تا دية ا ي تمارين رياضية وقارن نتاي جهم في الاختبار. هل هذه الدراسة دراسة مسحية ا م دراسة قاي مة على الملاحظة ا م دراسة تجريبية وا ذا كانت تجريبية فاذكر ك لا من المجموعتين الضابطة والتجريبية ثم ب ين ما ا ذا كانت الدراسة متحيزة ا م لا. دراسة تجريبية: المجموعة التجريبية هي الا ولى والضابطة هي الثانية والدراسة التجريبية متحيزة لا ن كل طالب يعرف المجموعة التي ينتمي اليها. (8 (9 (10 :áæ ùdg ƒ üa في دراسة مسحية عشواي ية شملت شخ صا ذكر % منهم ا ن الربيع هو ا فضل فصول السنة لديهم. ما هامش الخطا في المعاينة :áméñ S في ا ثناء تمرين السباحة قاس خالد الا زمنة التي استغرقها في كل مرة لقطع مسافة 00 m وسجل النتاي ج الممثلة في الجدول ا دناه. ا وجد الانحراف المعياري للا زمنة التي حققها. قال 1% من عينة حجمها 5 شخ صا: ا ن كرة القدم هي الا كثر تفضي لا لديهم. ما هامش خطا المعاينة _1 = ± هامش خطا المعاينة = ± 1_ 5 ± (9-9 äéëø üdg)»fé üme G π«ëàdg - (11 (1 هامش خطا المعاينة ±1.9% تقري با.»fGƒãdÉH øeõdg SQódG π üødg

122 á LGôªdGh á SGQódG π«d :IôFÉW Iôc يحصل طارق على نقطة في 5% من مرات قيامه بضربة الا رسال ما احتمال ا لا يحصل على نقطة في ضربة الا رسال الثانية عل ما با نه حصل على نقطة في ضربة الا رسال الا ولى في الجدول ا دناه ا ذا اختير طالب عشواي يا فا جب عما يا تي: ägqé f ùñ j 15 ägqé f ùñ j 5 ƒféãdg hc G ƒféãdg»féãdg a) ما احتمال ا ن يكون الطالب من الا ول الثانوي عل ما با نه يلبس نظارات b) ما احتمال ا ن يكون من الذين لا يلبسون النظارات عل ما با نه من الثاني الثانوي :á SGQ ا وجد احتمال ا ن يا خذ طالب اختير عشواي يا حصة ا ضافية عل ما با نه طالب جديد. (X) á«aé VEG É ü üm k òncéj 8 7 _ 1 P(E N) = 80, P(N) = (E) á«aé VEG É ü üm k òncéj _ 1 98 P(E N) = (N) ójól ÖdÉW () ºjób ÖdÉW _ P(E N) P(N) 1 = _ 80 _ = _ 1 10 = _ 5 ( äéëø üdg) hô ûªdg ɪàM G - (1 (1 :ÜÉ dc G áyôb خلط يوسف بطاقات الا لعاب جميعها في صندوق حيث تش كلت البطاقات من 1 بطاقة لكرة القدم 8 بطاقات لكرة الطاي رة 5 بطاقات لكرة السلة وجميعها متماثلة. ا ذا تم اختيار بطاقات بصورة عشواي ية فا وجد احتمال كل من: ( بطاقات للكرة الطاي رة) P ( بطاقات لكرة القدم) P (بطاقة لكرة السلة وبطاقتان للكرة الطاي رة) P (بطاقتان لكرة السلة وبطاقة لكرة القدم) P :äébé H مجموعة بطاقات مر قمة مك ونة من بطاقات عليها الرقم 9 عليها العدد 5 10 عليها الرقم عليها الرقم 5 وبطاقتين على ك ل منهما الرقم وبطاقة عليها الرقم. ا ذا سحبت بطاقة عشواي يا من مجموعة البطاقات فما القيمة المتو قعة لهذه البطاقة π üødg 1 لد حمزة 5 كتب في حقيبته هي الرياضيات والكيمياء واللغة الا نجليزية واللغة العربية والتاريخ. ا ذا قام بترتيبها على ر ف في صف واحد عشواي يا فما احتمال ا ن تا تي كتب اللغة الا نجليزية واللغة العربية والرياضيات في ا قصى اليسار 1 Iƒ îdg ح دد عدد النجاحات. P P استعمل التباديل ومبدا العد الا ساسي لا يجاد. s s = P P =!! = 1 s. + f ا وجد عدد عناصر فضاء العينة Iƒ îdg s + f = 10 5 P 5 = 5! = 10 وتمثل عدد الترتيبات الممكنة للكتب الخمسة على الرف. P (S) = Iƒ îdg ا وجد الاحتمال. s_ s + f = 1_ 10 = ( äéëø üdg) á«déªàm G äé jrƒàdgh ɪàM G - (15 (1 (17 (18 (19 احتمال وضع كتب اللغة الا نجليزية واللغة العربية والرياضيات في ا قصى اليسار يساوي 0.1 ا و 10%.

123 á LGôªdGh á SGQódG π«d 8 σ في ك ل من السو الين الا تيين توزيع طبيعي بمتوسط وانحراف معياري. ا وجد الاحتمال المطلوب في كل منهما. µ = 11, σ = 9, P(X > 10) µ = 181, σ = 1, P(X > 19) : côdg øer ا زمنة الركض لمسافة 0 m لفريق كرة القدم المدرسي تتو زع توزي عا طبيع يا بمتوسط.7 s وانحراف معياري s ما نسبة اللاعبين الذين يقل زمن قطعهم المسافة عن. s تتو زع مجموعة من البيانات توزي عا طبيع يا بمتوسط 78 وانحراف معياري. 5 ا وجد احتمال ا ن تزيد قيمة ل X اختيرت عشواي يا عن σ 1.5% % 88 9 σ 0.5% بما ا ن = = σ µ + لذا فا ن الاحتمال المطلوب يكون مساو يا 1% = 0.5% + % + 1.5% ( äéëø üdg)» «Ñ dg jrƒàdg -5 (0 (1 ( ( UÉî TCG : hqƒ ûe في ا حد الدراسات تب ين ا ن % من الشباب يفضلون ا داء ا حد الرياضيين المشهورين. ا ذا اختير 5 من الشباب عشواي يا وتم سو الهم عما ا ذا كانوا يفضلون ا داء هذا الرياضي ا و لا. a) ا ذا م ثل المتغير العشواي ي X عدد الشباب الذين يف ضلون ا داء هذا الرياضي فك ون جدول التوزيع الاحتمالي لذات الحدين للمتغير X وم ثله بالا عمدة. b) ا وجد احتمال ا ن يكون ا كثر من من الشباب يف ضلون ا داء هذا الرياضي. :äéyé S ا شارت دراسة مسحية للبالغين ا ن ما نسبته 7% من البالغين يلبسون ساعة يد.وقد قام بكر باستطلاع را ي 00 شخص من البالغين عشواي يا. ما احتمال ا ن يكون 10 شخ صا على الا قل ممن شملهم الاستطلاع يلبسون ساعة يد :» Sóæg º SQ ا جريت دراسة في ا حد المدارس فتب ين ا ن 5% من الطلاب يستطيعون رسم مخروط. ا ذا تم اختيار 5 منهم بشكل عشواي ي ومث ل المتغير العشواي ي X عدد الطلاب الذين لديهم مقدرة على رسم مخروط فا جب ع ما يا تي: a) ك ون جدول التوزيع الاحتمالي لذات الحدين للمتغير X وم ثله بالا عمدة. في هذه المسا لة = = q. = 5, p = 0.5, X P( X ) P(X) ( äéëø üdg) øjóëdg ägp äé jrƒàdg - ( X b) ا وجد المتوسط والانحراف المعياري والتباين للتوزيع. µ = p = 5 (0.5) =.5 = pq = 5 (0.5)(0.55) = 1.75 σ = σ σ = SQódG π üødg

124 á LGôªdGh á SGQódG π«d πfé ùeh äé «Ñ J ح دد ما ا ذا كان كل موقف مما يا تي يم ثل دراسة تجريب ية ا و دراسة 8) قاي مة على الملاحظة وفي حالة الدراسة التجريبية اذكر ك لا من المجموعة الضابطة والمجموعة التجريب ية ثم ب ين ا ن وجد تحيز ا و لا: -1 a) اختر 100 طالب نصفهم يا تي ا لى المدرسة مبك را وقارن بين تحصيلهم في مادة معينة. اختر 100 موظف واقسمهم نصفين وا خضع ا حد b) المجموعتين ا لى دورة في اللغة الا نجليزية ا ما الا خر فلا تخضعها لا ي دورة تدريبية. اختير 10 طلاب بصورة عشواي ية من الصف الثالث الثانوي وقيست ا طوالهم بالسنتمترات فكانت كما يلي: رميت قطع نقد مرة واحدة. ا ذا كان المتغير العشواي ي X يدل على عدد مرات ظهور الشعار فاكتب جدول التوزيع الاحتمالي للمتغير العشواي ي X ثم م ثله بالا عمدة. - ( 9 áµ S :ójóm ا ذا كانت الفترات الزمنية للانتظار التي يقضيها 1000 مسافر في ا حد محطات سكك الحديد مو زعة توزي عا طبيع يا بمتوسط 7 mi وانحراف معياري 15 mi فا وجد نسبة المسافرين ا لذين ينتظرون ا كثر من -5. mi (0 :ägréleg في دراسة مسحية سابقة وجد ا ن ما نسبته 70% من العاملين يا خذون ا جازاتهم السنوية في الصيف لكن محسن ا يعتقد ا ن هذا الرقم مبالغ فيه فقام باستطلاع را ي 50 عام لا عشواي يا. ما احتمال ا لا يا خذ ا كثر من 0 عام لا ا جازاتهم في الصيف - (5 ( 170, 15, 155, 18, 177, 180, 18, 17, 10, 11 ب ين ما ا ذا كانت هذه البيانات تم ثل عينة ا م مجتم عا ثم اوجد الانحراف المعياري لهذه الا طوال. - (7 س جلت ا عداد الطلاب ذوي العيون الزرقاء ا و غير الزرقاء في ا حد المعاهد. á«fék áæ S dhcg áæ S 5 95 AÉbQR ƒ«y AÉbQR â ù«d ƒ«y ا ذا اختير ا حد الطلاب عشواي يا فا وجد احتمال ا ن تكون عيونه زرقاء عل ما با نه في السنة الثانية. - π üødg 1

125 π üødg QÉÑàNG ح دد ما ا ذا كانت العبارات الا تية تصف ارتبا طا ا و سببية ثم ف سر ا جابتك: 11) عندما ير محمود البرق فا نه يسمع الرعد بعد ذلك. عندما يركض نايف عند مدخل المدرسة فا نه يكون متا خ را عن المدرسة. :ägqéñàng ا عطى المعلم ا يمن طلابه الفرصة لا عادة ا حد الاختبارات كما عقد درس مراجعة اختياري يوم الخميس قبل ا عادة الاختبار لمن يرغب. بعض الطلاب تح سن ا داو هم والبعض الا خر لم يتحسن والجدول ا دناه يبين ذلك. ا ذا اختير طالب عشواي ي ا فا وجد: (1 ( ø ùëàj ºd ø ùëj 1 á LGôªdG ô M á LGôªdG ô ëj ºd ( ح دد ما ا ذا كانت كل دراسة مسحية فيما يا تي تتبنى عينة متحيزة ا و غير متحيزة ثم ف سر ا جابتك: استطلع صاحب مخزن يبيع من خلال الشبكة العنكبوتية زباي نه عن ا همية وجود الا نترنت في المنزل. يختار معلم 5 ا سماء لطلاب يدرسهم لا لقاء كلمة الصباح بعد ا ن يقوم بوضع الا سماء جميعها في سلة ويخلطها. ا ي مقاييس النزعة المركزية يصف ك لا من البيانات الا تية بصورة ا فضل ولماذا a) احتمال ا ن يكون قد تح سن عل ما با نه حضر المراجعة. b) احتمال ا نه لم يحضر المراجعة عل ما با نه لم يتح سن. :ó àe øe QÉ«àNG شارك 10 طلاب من الصف الا ول الثانوي و 1 طال با من الصف الثاني الثانوي في السحب على 5 جواي ز. ا ذا كان السحب عشواي يا فما احتمال ا ن يكون الرابحون من الصف الا ول الثانوي وطالبين من الصف الثاني الثانوي (1 QÉÑàNG äélq 5 5 ( (5 0.% A تقري با 0.5% B تقري با 5 70% C تقري با á UƒÑdÉH ƒ dg ( 0% D تقري با (1 ( فيما يا تي المتوسط والانحراف المعياري لمجموعة من البيانات تتو زع توزي عا طبيع يا ا وجد الاحتمال المطلوب في كل منها: سحبت كرتان م عا من صندوق يحتوي على كرات زرقاء وكرتين حمراوين. ا ذا كان المتغير العشواي ي X يدل على عدد الكرات الزرقاء المسحوبة فك ون جدول التوزيع الاحتمالي للمتغير العشواي ي. X : ù W ا خبر الراصد الجوي ا ن احتمال سقوط المطر في كل يوم من الا يام السبعة القادمة 0%. ا وجد احتمال ا ن يسقط المطر في يومين من هذه الا يام على الا قل. µ = 5, σ = 5, P(X > ) µ = 5, σ =., P(X < 7.) (7 (8 (15 يحتوي كيس على 10 كرات زجاجية زرقاء و 8 كرات حمراء و 1 خضراء وجميعها متماثلة سحبت كرتان واحدة تلو الا خر ا وجد الاحتمال لكل من: الكرة الثانية حمراء عل ما با ن الكرة الا ولى زرقاء دون ا رجاع. :á jóm يخطط يعقوب لزرع شجرة ا زهار ا ذا علمت ا ن البذور التي ا حضرها لا زهار من اللونين الا بيض والا زرق وا نها لم تزهر بعد ولكنه يعلم ا ن احتمال الحصول على زهرة زرقاء 75% فما احتمال حصوله على 0 زهرة زرقاء على الا قل (9 10) الكرة الثانية زرقاء عل ما با ن الكرة الا ولى خضراء مع الا رجاع SQódG π üødg

126 É à T Gh äéjé ædg Limits ad Differetiatio. :á«fgƒ ac G :á HÉ S IAGôb π üødg 1

127 π üø d áä«àdg ägôøªdg á LGôe (limit) ájé ædg (asmptotes) ÜQÉ àdg ƒ N f() = 1_ (cotiuous fuctio) á üàªdg ádgódg = f() استعمل التمثيل البياني لوصف سلوك طرفي التمثيل البياني لكل دالة 7-10 m() = _ مما يا تي: ( q() = - _ (1 ) :áyéæ U يمكن تقدير معدل التكلفة بالريال لا نتاج قطعة من 1700 منتج ما باستعمال الدالة _ = A(). صف سلوك الدالة باستعمال التمثيل البياني للحاسبة البيانية عندما تقترب من موجب مالانهاية.. f() (removable discotiuit) ádgreód πhé dg É üj G ΩóY (average rate of chage) ô«àdg ó e Sƒàe f () ( 1, f( 1 )) (, f( )) = f() ( ا وجد متوسط مع دل تغ ير الدالة + f() = على الفترة [1-,-] ا وجد معادلات خطوط التقارب الرا سية والا فقية (ا ن وجدت) لكل دالة مما يا تي: h() = _ - 8 ( f() = _ ( g() = - 1 (8 f() = ( - 1)( + 5) ( - )( + ) ( + )( - ) (7 ا وجد الحدود الا ربعة التالية في كل متتابعة مما يا تي: 5, -1, -7, -1, (10 8,, -, -7, (9-8, -1, -1, -7, (1 5, -10, 0, -0, ( π üødg

128 الæ اياä بيانيvا ت دير Estimatig Limits Graphicall f( 1 ) f( ) L f( ) f( ) 1 c 5 هل هناك نهايات للا رقام المسج لة في المسابقات الرياضية ل يمكن تجاوزها لقد كان الرقم القياسي المسج ل في دورة الا لعاب المقامة في بكين عام 008 م لمسابقة الوثب بالزانة m ويمكن استعمال الدالة: 5. = () f لتقدير الرقم القياسي الذي تم تسجيله في (.7) هذه الرياضة للا عوام بين 199 م و 008 م حيث عدد السنوات منذ عام 1900 م يمكنك استعمال نهاية هذه الدالة عندما تقترب من المالنهاية للتنبو بأكبر رقم يمكن تسجيله. ت دير الæ اياä æyد ºيb محدI : يتمحور علم التفاضل والتكامل حول مسألتين أساسيتين: إيجاد معادلة مماس منحنى دالة عند نقطة واقعة عليه. = f () إيجاد مساحة المنطقة الواقعة بين التمثيل البياني لدالة والمحور. وت ع د مفاهيم النهايات أساسية لحل هاتين المسألتين. تعلمت سابقا ا أنه إذا اقتربت قيم ( f( من قيمة وحيدة L كلما اقتربت قيم من العدد c من كل الجهتين فإن نهاية ( f( عندما تقترب من c هي L وتكتب على الصورة L.lim f() = c يمكنك تطبيق مفهوم النهاية لتقدير نهاية ( f( عندما تقترب من العدد c أي f() lim وذلك من خلل تمثيل الدالة بياني ا أو إنشاء c جدو ل لقيم ( f(. قد ر (1 + -) lim باستعمال التمثيل البياني ثم عز ز إجابتك باستعمال جدول قي م. التح يل بيانيvا: مث ل الدالة الخطية +1 - = بياني ا باستعمال النقطتين ( - (1, 1),.(0, ي بي ن التمثيل البياني للدالة ( f( أنه كلما اقتربت من العدد = فإن قيم ( f( المقابلة تقترب من العدد 5 - لذا فإن بإمكاننا تقدير أن : f () = + 1 lim f () = L c. lim (- + 1) = -5 الت õيõ Yديvا: كو ن جدولا لقيم ( ) f وذلك باختيار قيم القريبة من العدد من كل الجهتين. ونهومو ونهومو f() يبي ن نمط قيم ( f( أنه كلما اقتربت من العدد من اليمين أو من اليسار فإن قيم ( f( تقترب من العدد 5 - وذلك يعز ز تحليلنا البياني. تح مø ª a قد ر كل نهاية مما يأتي باستعمال التمثيل البياني ثم عز ز إجابتك باستعمال جدول قي م. lim ( - 1) )1B 1 1 lim (1-5) )1A - ار ونداوتاقتلالاو اهدادوتالوتادتاةو اووتلو تال )متلرةو البنة( تدروتلاةوتادتاةوقدوو مدة تدروتلاةوتادتاةوقدو تالاتلاة تاقتلاةوموتةو تدة ت دير الæ اية (الæ اية ت صاh bيªة الدالة) oe - sided limit تاقتلاةوموته two - sided limit Iرb بø Kابâ )88-1) موت تومو توبوتاهلاو تاهلم وت دووتااو تاقلوو رتوتانوتالو ومر 18 الف صل تاقتلالاو تاياهنلا

129 في المثال 1 لحظ أن ( 1 + -) lim هي نفسها ( f( إل أن نهاية الدالة ل تساوي دائما ا قيمة الدالة. f() = lim باستعمال التمثيل البياني ثم عز ز إجابتك باستعمال جدو ل قيم. _ - 9 قد ر - التح يل بيانيvا: ت دير الæ اية (الæ اية ت صاh bيªة الدالة) مجال الدالة { R-{ _ = f() المجاور أنه كلما اقتربت من - 9 ي بي ن التمثيل البياني للدالة - العدد فإن قيمة ( ) f المقابلة لها تقترب من العدد لذا فإن بإمكاننا تقدير أن: lim _ = Lداh االود وبل اهلو تال اةوتالةو وTI - spire توتادتاةو تاوتال اةوبل اهلولة وتهلروتاد و بلااوو وووتهو وواهتوموةو مدةو الت õيõ Yديvا: كو ن جدولا لقيم ( f( وذلك باختيار قيم القريبة من العدد من كل الجهتين. ونهومو ونهومو f() ي بي ن نمط قيم ( ) f أنه كلما اقتربت قيم من العدد فإن قيم ( ) f تقترب من العدد وذلك يعز ز تحليلنا البياني. تح مø ª a قد ر كل نهاية مما يأتي باستعمال التمثيل البياني ثم عز ز إجابتك من خلال جدول قيم. lim _ )B lim _ )A في المثال لحظ أن قيم ( f( تقترب من العدد عند اقتراب قيم من العدد على الرغم من أن () f. _ فة عندما =. وهذه الملحظة توض ح مفهوما ا مهم ا في النهايات. - 9 غير معر فالعبارة - الت بير ال ف «: اوهدوتلاةو( ) fوقدملونهووموتادوcووةوتادتاةوقد c = h() = g() = f() ا أمã ة: ΩدY اYتªا الæ اية bيªة Y الدالة æyد ن طة L c L c L c lim h() = L lim g() = L lim f() = L c c c h(c) = L g(c) = ومة f(c) إن النهاية عند عدد ل تعني قيمة الدالة عند ذلك العدد وإنما قيمة الدالة عندما تقترب من ذلك العدد. الد Q نداوتاقتلالاوبلل

130 لحظ أننا عندما نقد ر النهاية باستعمال التمثيل البياني أو جدول القيم فإننا نبحث عن قيمة ( f( عندما تقترب من c من كل الجهتين. ويمكننا إيجاز وصف سلوك التمثيل البياني عن يمين عدد أو عن يساره بمفردة النه اية من جه ة واحدة. الæ اية مø الي صاQ تتوتهبوو( ) f وموةو دة L ووقدو تهتوووموتادوcوموتاالر ل وتن و lim c - f() = L L تاالروو م موc قدملونه تلاةو( f( الæ اياä مø L ة hاحدi الæ اية مø اليªيø تتوتهبوو( ) f وموةو دةو L 1 ووقدو تهتوووموتادوcوموتا ل تن و lim f() = L c + 1 L 1 تاوو م c م قدملونه تلاةو( f( يمكننا باستعمال هذين التعريفين إيجاز ما تعنيه مفردة النه اية من جهتين وما يعنيه كونها موجودة. وتلاةو( f( ومةوقدملونهووموcو تتو نوتتولوتاقتلاهلوموتاو تاالرو مو مهال اه توت و lim f() = lim f() = L - c c + lim c تتو نوتتولوL f() = الæ اية مø اليªيø hالæ اية مø الي صاQ ل دالة اقلاةوتاقتلاةوموتاو ادتاةوقدوcواوتواو توتادتاةومةوواوcو (c, b).ةهو اقلاةوتاقتلاةوموتاالرو ادتاةوقدوcواوتواو توتادتاةومةوواالروcو.(a, c) وهة الæ اية æyد ن طة = g() f () = _ g() =, - -, = - قد ر إن أمكن كلا من النهايات الا تية باستعمال التمثيل البياني للدالة: lim _ _ 0 -, lim _ 0 +, lim )a 0 _ = () f أن: ي بي ن التمثيل البياني للدالة lim = -, lim = وبما أن النهايتين من اليسار واليمين غير متساويتين فإن _ lim غير موجودة. 0 lim g(), lim g(), lim g() )b حيث ي بي ن التمثيل البياني للدالة ( g( أن: lim g() =, lim g() = وبما أن النهايتين من اليسار ومن اليمين متساويتان فإن ( g( lim موجودة - وتساوي. تح مø ª a L تيø øمh hاحدi L ة مø ت دير الæ اية قد ر إن أمكن كلا من النهايات الا تية إذا كانت موجودة: Uhصف الæ اية اPEا كانâ الæ ايتا مø الي صاQ øمh اليªيø Zير مت صاhيتيø, aاeنæا ن و : اE الæ اية Zير موLوI. lim g(), lim حيث: g(), lim g() = , < - -, - g() )B حيث: lim f(), lim f(), lim f() = 1 f() )A +, < 1 + 1, 1 10 الف صل تاقتلالاو تاياهنلا

131 إن عدم مقدرتنا على إيجاد قيمة نهاية للدالة f كعدد حقيقي عند القتراب من نقطة ثابتة ليس ناتجا ا بالضرورة عن عدم تساوي النهايتين من اليسار واليمين إذ من الممكن أن تزداد قيم ( f( بشك ل غير محدود عند اقتراب قيم من c وفي هذه الحالة نشير إلى النهاية بالرمز أما إذا تناقصت قيم ( f( بشك ل غير محدود عند اقتراب قيم من c فإننا نشير إلى النهاية بالرمز -. f () = 1_ ( - ) قد ر -إن أمكن- كل نهاية مما يأتي إذا كانت موجودة: lim 1_ ( - ) = f() المجاور أن : التح يل Év«fÉ«H : ي بي ن التمثيل البياني للدالة _1 ( - ) 1_ ( - ) =, lim 1_ + ( - ) =. lim lim - فكلما اقتربت قيم من العدد ازدادت قيم ( f( بشكل غير محدود وبما أن كل من النهايتين من اليسار ومن اليمين. لذا فإن lim ل تساوي عددا ا حقيقي ا إل أنه وبسبب كون كلتا 1_ 1_ ( - ) ( - ) النهايتين فإننا نصف سلوك ( ) f عند العدد بكتابة = الت õيõ Yديvا: ونهومو ونهومو )a ال ص و Zير الªحدh قوالةوت ونالو( f(و بارةوومد ةوقدملو و c توبلهلروةو اوواةوموcوبلاندرو تاواد لواققلو تااووةوةو او ( f( بلاندروتاواد لولوواةوموcو ت f() ل الªحدh Zير hال ص و الæ اياä f() ي بي ن نمط قيم ( f( أنه كلما اقتربت قيم من العدد من اليسار أو من اليمين فإن قيم ( f( تزداد بشكل غير محدود وذلك يعز ز تحليلنا البياني. f () = 1_ lim 0 = f() المجاور أن: 1_ التح يل بيانيvا: ي بي ن التمثيل البياني للدالة 1_ = -, lim 1_ 0 + = lim 0 - فكلما اقتربت قيم من العدد 0 من اليسار قل ت قيم ( f( بشكل غير محدود في حين تزداد قيم ( f( كلما اقتربت قيم من العدد 0 من اليمين. lim غير 1_ إن كلتا النهايتين من اليسار واليمين غير متساويتين. لذا فإن 0 موجودة لذلك ل يمكننا وصف سلوك الدالة عندما 0 = بعبارة واحدة بمعنى أنه ل يمكن أن lim وذلك بسبب سلوك الدالة غير المحدود من اليمين واليسار. 1_ نكتب = 0 الت õيõ Yديvا: ونهومو 0 ونهومو 0 1_ )b الæ اياä Zير الªحدIh موتاا روتوتوتو تالر lim f() = -, - 0 = f() limو 0 + لونو اوالاةوتاهو باتلو( f( lim 0 ومةو تواواو تامت داو - نن f() ي بي ن نمط قيم ( f( أنه كلما اقتربت قيم من العدد 0 من اليسار أو من اليمين فإن قيم( f( إما أن تنقص أو تزداد بشكل غير محدود وذلك يعزز تحليلنا البياني. الد Q نداوتاقتلالاوبلل lim - _ 0 تح مø ª a قد ر -إن أمكن- كل نهاية مما يأتي إذا كانت موجودة: )B lim _ - )A -

132 1 ل تكون النهاية موجودة أيضا ا عندما تتذبذب قيم ( f( بين قيمتين مختلفتين باقتراب قيم من العدد c. f () = cos 1_ lim إذا كانت موجودة. 0 cos 1_ قد ر 1_ f() = cos المجاور أن قيم ( f( تتذبذب ي بي ن التمثيل البياني للدالة بشكل مستمر بين العددين كلما اقتربت قيم من العدد 0 مما يعني أنه لا ي قيمة 1 قريبة من الصفر بحيث 1 = ) 1 f( يمكنك إيجاد قيمة قريبة جد ا من الصفر مثل بحيث 1 - = ) f( وبالمثل لا ي قيمة قريبة من الصفر بحيث 1 - = ) f( يمكنك إيجاد قيمة مثل قريبة جد ا من الصفر بحيث 1 = ).f ( 1_ lim غير موجودة. cos أي أن 0 lim ( si ) )5B 0 تح مø ª a قد ر كل نهاية مما يأتي إذا كانت موجودة: lim si 1_ 0 )5A التòبÜò الÓن اF «لاةوهوتاالروو تال اةوتالةودو لالوووةوتاقتلاةو ادتاة تاوتواواقو تاهلوتلوتلوتو هدوودومد ومو تاقنلوووتاقق لووتالو 5 وتاو وتلو. 5 الæ اياä hال ص و التòبòب«[-0.5, 0.5] scl: 0.05 b [-1.5, 1.5] scl: 1 لاهوبلال اةوتالةو اواتوتوادتاةودتواو تللووتاهببلاوبلانو موتاا نلخ ص فيما يأتي أهم ثلثة أسباب تجعل نهاية الدالة عند نقطة غير موجودة. اأ صباÜ ΩدY وLh ن اية æyد ن طة ومةووتالااوتاة lim f() c موتا قدملونهوو( f(وموهومههوقدوتهتوووموتادوc موتاالرو قدملوتوو( f( باوومد وقدوتهتوووموتادوcوموتاالرو هقلسوتلو باوومد وقدوتهتووموتادوcوموتا ت وتاس. بوهومههوقدوتهتوووموتادوc قدملوهبوو( f( ت دير الæ اية æyد الªا ن اية: درست فيما سبق استعمال النهايات لوصف سلوك ( f( عندما تقترب قيم من عدد ثابت c و تستعمل النهايات أيضا ا لوصف سلوك طرفي التمثيل البياني للدالة. وهو سلوك الدالة عند ازدياد أو نقصان قيم بشكل غير محدود. وفيما يأتي ملخ ص لرموز هذه النهايات. الæ اياä æyد الªا ن اية تتوتهبوو( f(ومودو دو L 1 وقدوتالوووباوومد ل «L 1 موموملاتلاةو قدملونهو f() «تلاة تن و lim f() = L 1 تتوتهبوو( f(ومودو دو L وقدونالوووباوومد ل «L مو الاوملاتلاةو قدملونهو f() تلاة» تن و lim - f() = L 1 الف صل تاقتلالاو تاياهنلا درست سابقا ا أنه إذا اقتربت قيم الدالة من أو - عند اقتراب قيم من عدد ثابت c فإن ذلك يعني وجود خط تقارب رأسي للدالة كما درست أن خط التقارب الا فقي يحدث عندما تقترب قيم الدالة من عدد حقيقي كلما اقتربت قيم من أو - بمعنى: المستقيم c هو خط تقارب رأسي للدالة = f إذا كانت ± = f() lim أو ± = f() lim أو كليهما. + - c c المستقيم c هو خط تقارب أفقي للدالة = f إذا كانت c lim f() = أو c lim f() = -

133 ت دير الæ اية æyد الªا ن اية f() = 1_ = 0 قد ر كل نهاية مما يأتي إذا كانت موجودة: 1_ )a lim = f() المجاور أن 1_ التح يل بيانيvا: ي بي ن التمثيل البياني للدالة lim فكلما زادت قيم اقتربت قيم ( f( من العدد 0. 1_ = 0 الت õيõ Yديvا: ونهومو الت اÜQ Nطو اوتاقتلاةووتالو aو تاو وونلروتن = 0 و اوتاقتلاةوو ملو bوتاو وو. = نلروتنو f() = f() = - _ + ي بي ن نمط قيم ( f( أنه كلما زادت قيم فإن قيم ( f( تقترب من العدد 0. lim - ( _ - + ) )b _ - = f() المجاور أن التح يل بيانيvا: ي بي ن التمثيل البياني للدالة + lim فكلما قل ت قيم اقتربت قيم ( f( من العدد. - ( - _ + ) = الت õيõ Yديvا: ونهومو f() ي بي ن نمط قيم ( ) f أنه كلما قل ت قيم فإن قيم ( f( تقترب من العدد. f() = (.7) si π lim (.7) si π, lim (.7) si π )c - التح يل بيانيvا: ي بي ن التمثيل البياني للدالة f() = (.7 ) si π المجاور أن: فكلما قل ت قيم lim (.7) si π = 0 - تذبذبت قيم ( f( مقتربة من العدد 0. في حين يبي ن التمثيل البياني أن π lim غير موجودة (.7) si فكلما ازدادت قيم تذبذبت قيم ( f( متباعدةا. الت õيõ Yديvا: ونهومو ونهومو f() ال ص و الªتòبÜò توتاهبوتاتلوادتاةو اواقوبلاا رةودو وتاقتلاةوقدملونهو وم ت ولتو - لوتاهبوبوهو مهه لاقتلاةوو مة تملوتتولوتاهبو مهنلربلوودوم لاقتلاةومة يتضح من نمط قيم ( f( أنه كلما قل ت قيم فإن قيم ( f( تقترب من العدد 0 في حين تتذبذب قيم ( f( متباعدة كلما زادت قيم. الد Q نداوتاقتلالاوبلل - 1 1

134 تح مø ª a قد ر كل نهاية مما يأتي إذا كانت موجودة: lim si (C lim 5 (B lim - ( 1_ - ) (A يمكنك استعمال التمثيل البياني أو جدول قيم لتقدير النهايات عند المالنهاية في كثير من المواقف الحياتية. 7 ت دير الæ اية æyد الªا ن اية θ gيدhqلي : a( تستعمل نوابض لا غلاق الا بواب الثقيلة وا لية هيدروليكية ثم تر ك لتغلقه النوابض للتحكم في سرعة حركتها إذا فتح باب بزاوية _π = θ(t) تمث ل زاوية فتحته θ بعد t ثانية. π_ فا ن الدالة t - (1 + t)(.7) قد ر θ(t) lim وفس ر معناها إذا كانت موجودة. t قد ر النهاية: = ( θ(t بياني ا باستعمال الحاسبة البيانية. π_ م ث ل الدالة (1 + t) (.7)-t لحظ أنه كلما زادت قيم t فإن قيم الدالة ( θ(t تقترب من العدد 0. أي أن 0 = θ(t).lim t فس ر النتيجة: إن قيمة النهاية 0 في هذه المسألة تعني أن الزاوية التي يصنعها الباب مع وضع الا غلق مع مرور الزمن هي 0 درجة بالراديان. بمعنى أنه بعد مرور زمن أطول فإن الباب سيقترب من وضع الا غلق التام t :Aاh b( يعطى تركيز دواء في دم مريض بوحدة ملجرام لكل مللتر بالعلاقة C(t) = t حيث t الزمن بالساعات بعد حقن المريض. قد ر C(t) lim وفس ر معناها إذا كانت موجودة. t قد ر النهاية: م ث ل الدالة ( C(t بياني ا باستعمال الحاسبة البيانية. يتضح من = t -0.18t التمثيل البياني أنه كلما زادت قيمة t فإن منحنى الدالة يقترب من 0 أي أن 0 = C(t). lim t فس ر النتيجة: إن قيمة النهاية هي 0 وتعني في هذه المسألة أنه مع مرور الزمن فإن تركيز الد واء سيصبح قريبا ا من الصفر في دم المريض. تح مø ª a [-1, ] scl: 0.5 b [-0.1, 0.9] scl: 0.1 [-1, 50] scl: b [-0.5,.5] scl: 0.5 حيث t V(t) = 15 si د مقبس في منطقة ما بفرق جهد كهربائي ي عطى بالعلقة 10πt يزو ك رباA : )7A الزمن بالثواني. قد ر V(t) lim إذا كانت موجودة وفس ر معناها. t تاةوتاتدر اةووتدوتةو نوتاندرةوتاهواهولةوتااتو انلةوت واوتاتوتاهةو وتاقلوتاتدر او اهوو تادادوموتالاا مقتلوتمو تاالرتاو تابتوتانةو ل عند وضع عدد من ذبابات الفاكهة في وعاء يحوي حليبا ا وفاكهةا وخميرةا فإن عدد الذبابات بعد t اأحياA : 7B( 0 = P(t) قد ر ( P(t lim إذا كانت موجودة وفس ر معناها. يوم ي عطى بالعلقة t -0.7t (.7) ا صت ªل ا Bلة الحا صبة ااوتاوياومقل او اهوتالوادتاةو وتااةوتال اة اقو ت اهلوبسومتاوتااة بدتومومهلو اقوت اهلولاة تهلر و اهدادومدوتانو و هةوتاهدراواومو, و اواوتهلر ووو اهاو وتاهو تال هواوتااو وادتاة وياومقل ا لواوت اهلولاة واههو وتادتاة ملواالدو وتاهاواهنداوةو تاقتلاة 1 الف صل تاقتلالاو تاياهنلا

135 lim _ - - lim cos 1_ 0 ) lim cos ) 1 ) lim 0 _ si ) قد ر كل نهاية مما يأتي باستعمال التمثيل البياني ثم عز ز إجابتك باستعمال جدول قي م. إرشاد:" يمكنك استعمال الا لة البيانية للتمثيل البياني". )تالاو,1( lim ( 1_ ) ) lim 5 lim _ lim _ - Ç lim _ lim 0 - lim _ lim - ( - 10) ) 1 ) lim ( ) ) - ) lim [5 (cos - cos )[ ) 5 0 ) 8 lim ( + si ) ) 7 قد ر كل نهاية مما يأتي إذا كانت موجودة: )ملو ( lim _ _ lim -1 ) 10 lim _ si ) 1 lim ) 1 lim - 1_ - 0 _ _ + 1 ) 9 ) 11 ) 1 ) 1 lim ( 0 ÇÇ - - 7) ) 15 - _ ) 18 lim 0 lim f(), f() = - 5, < , 0 lim f(), f() = - +, < 0 0 _, 0 ) 17 ) 19 ) 0 استعمل التمثيل البياني لتقدير كل نهاية مما يأتي إذا كانت موجودة: )تامة )1- ) 5 :Aاh تم توزيع لقاح للحد من عدوى مرض ما. وي بي ن التمثيل البياني أدناه عدد الحالت المصابة بالمرض بعد w أسبوع من توزيع اللقاح. )مل 7( f (w) lim f(w) lim f(w) استعمل التمثيل البياني لتقدير )a w w 1 lim إذا كانت موجودة w w استعمل التمثيل البياني لتقدير ( f(w b( وفس ر النتيجة. ) برامè ت فõيونية: ي قد ر عدد مشاهدي أحد البرامج التلفزيونية d اليومية بالدالة 1 - ) 1(1.501 = f(d) حيث d رقم اليوم منذ أول يوم للبرنامج. )مل 7(.0 d م ث ل الدالة ( f(d بياني ا في الفترة 0 )a b( ما عدد مشاهدي البرنامج في اليوم: الخامس العاشر العشرين بعد شهرين) 0 = d ( c( قد ر ( f(d lim إذا كانت موجودة وفس ر النتيجة. d ) 7 كيªياA : تتسر ب مادة سامة من أنبوب غاز تحت الا رض كما في الشكل أدناه. ويعب ر عن المسافة الا فقية بالا متار التي تقطعها المادة t - 1 المتسر بة بالدالة 1 t d(t) = 000(0.7 ), حيث t عدد السنوات منذ بدء التس رب. )ملو 7 ( 8 g() f() m 100 m 980 m.1 t م ث ل باستعمال اآللة البيانية الدالة بياني ا في الفترة 15 )a b( استعمل التمثيل البياني وخاصية تتبع المسار في الحاسبة البيانية لا يجاد قيم d عندما 15 = 5, 10,.t. lim d(t) استعمل التمثيل البياني لتقدير )c t d( هل من الممكن أن تصل المادة المتسر بة لمستشفى يقع على ب عد m 7000 من موقع التسريب تذك ر أن مجموع المتسلسلة a._ 1 الهندسية غير المنتهية هو r lim lim g() ) lim f() ) 1 - lim g() - ) lim f() ) قد ر كل نهاية مما يأتي إذا كانت موجودة: )تامة ( lim lim _ - 5_ ( - ) _ ) lim - ) 8 lim ) 5 ) 7 ) 0 lim ( ) ) 9 - الد Q نداوتاقتلالاوبلل

136 للدالة الممث لة بياني ا أدناه قد ر كل نهاية مما يأتي إذا كانت موجودة: lim 0 f() ) 8 - lim 0 f() ) 9 + lim 0 f() ) 0 lim f() ) 1 - lim f() ) + 1 lim f() ) حا سبة بيانية: حد د ما إذا كانت النهاية موجودة أو غير موجودة في كل مما يأتي. وإذا لم تكن موجودة فصف التمثيل البياني للدالة عند نقطة النهاية: lim ) 5 lim ) lim -5 _ ) 7 lim cos _ π 0 ) ) 8 اكت شف الخطاأ: قال علي: إن نهاية الدالة الممث لة بياني ا في الشكل أدناه عندما تقترب من - هي -. في حين قال محمد: إنها. هل أي منهما إجابته صحيحة بر ر إجابتك. f() م صاألة مفتوحة: أعط مثالا على f() بحيث تكون f() lim 0 ) موجودة و (0)f غير معرفة ومثالا على دالة أخرى g() بحيث lim غير موجودة. تكون g(0) معرفة ولكن g() 0 _ = f(). فقد ر كل من + 1-1, g() = _ ). lim وإذا كانت j() h(), كثيرتي حدود بحيث: 1 f(), lim g() lim a _ j() 0 j(a) h(a) = 0, فماذا يمكنك القول عن h() 50 تحد : إذا كان بر ر إجابتك. ) 51 تبرير: ح د د ما إذا كانت العبارة اآلتية صحيحة دائما ا أو صحيحة أحيانا ا أو غير صحيحة أبدا ا. بر ر إجابتك. إذا كان f(c) = L فإن. lim f() = L c ) 5 م صاألة مفتوحة: م ث ل بياني ا دالة تحقق كل مما يأتي: lim غير موجودة. f() و lim f() = -, f(0) =, f() = الف صل قاقتشالاو تاياهنلا ) 5 تحد : قد ر كل من النهايات اآلتية للدالة f إذا كانت موجودة: +, < -1-1, -1 0 f() =, 1 < lim f() )c + -, > lim f() )b 0 lim f() )a -1 ) 5 اكتب: من خلل ما لحظته في حل التمارين وض ح طريقتك لتقدير نهاية دالة متصلة. ) 55 أثبت صحة المتطابقة. )مهارة سابقة( 1 si θ ( si θ - cos θ cot θ ) = cos θ ) 5 حد د ما إذا كانت الدالة اآلتية متصلة عند قيم المعطاة. بر ر إجابتك باستعمال اختبار التصال وإذا كانت الدالة غير متصلة فحد د نوع h() = _ -5 عدم التصال: ل نهائي قفزي قابل لإلزالة +5 )مهارة سابقة( ) 57 أوجد متوسط م عد ل تغير - f() = ÇÇÇ في الفترة ]1,8]. )مهارة سابقة( أوجد قياس الزاوية θ بين المتجهين,u v في كل مما يأتي: )الدر س 1-5( u =, 9, -, v = -, 7, ) 58 m = i - 5j + k, = -7i + 8j + 9k ) 59 ) 0 باستعمال التمثيل البياني للدالة f() = أدناه lim )إن وجدت( ما قيمة f() 0 f() C 0 A D النهاية غير موجودة 1 B = g() وكانت العبارات: ) 1 إذا كانت 1_ I نقطة عدم اتصال ل نهائي. II نقطة عدم اتصال قفزي. III نقطة عدم اتصال قابل لإلزالة. فأي مما يأتي يصف التمثيل البياني لمنحنى الدالة ( g( I A فقط II C فقط I, III B فقط I D و II فقط f() 1 1

137 ÉvjôÑL äéjé ædg ÜÉ ùm Evaluatig Limits Algebraicall = ( d( ا ذا ا عطيت اتساع البو بو بالملمترات لعين حيوان بالعلاقة حيث الاستضاءة الساقطة على البو بو مقيسة بوحدة اللوكس (lu) فا نه يمكنك استعمال النهاية عندما تقترب من 0 ا و لا يجاد اتساع البو بو عندما تكون الاستضاءة في ح دها الا دنى ا و الا على. :á f óæy ájé ædg ÜÉ ùm تعلم ت في الدرس 1- تقدير النهايات بيان يا وباستعمال جداول قيم. وستكتشف في هذا الدرس طراي ق جبرية لحساب النهايات. -1 k f () = k c GhódG äéjé f áàhéãdg GhódG äéjé f c :» Ø dg ô«ñ àdg lim k = k :RƒeôdG c direct substitutio idetermiate form IójÉëªdG ádgódg äéjé f c f () = cc :» Ø dg ô«ñ àdg lim = c :RƒeôdG c c 17 - SQódG تظهر ا همية نهايات الدوال الثابتة والدالة المحايدة واضحة في خصاي ص النهايات. lim g (), lim f () c c k, c lim c lim c lim c lim c lim c [ f() + g()] = lim c [ f() - g()] = lim c lim c [ f() g()] = lim c g() 0 f () + lim g() c : ƒªéªdg á«uén g() : ôødg á«uén f () - lim c [ k f()] = k lim c f () lim c lim _ f () c g() = lim _ f() c lim g() c lim [ f ()] = c lim f () c f() > 0 lim f () = c lim c lim f () = lim c äéjé ædg üfé ün f () :âhék»a Üô dg á«uén g() :Üô dg á«uén c f () :᪠ù dg á«uén :Iƒ dg á«uén f () :»fƒædg QòédG á«uén f(c) 0 Lim f() c

138 lim ( - + ) استعمل خصاي ص النهايات لحساب كل نهاية مما يا تي: = lim - lim lim ( - + ) (a + lim = ( lim ) - lim + lim = - + äéjé ædg üfé ün ɪ à SG = - 5 يع زز التمثيل البياني للدالة + f () = - هذه النتيجة. 1 ëj äéjé ædg üfé ün 5 f() = lim - _ lim ( + 1) - = ( - 5) lim - _ lim lim + lim = lim - lim ( lim - ) + lim 1 - = lim - lim (- ) = _ ك ون جدو لا لقيم التي تقترب من - من الجهتين f() ëj (b من الواضح ا نه كلما اقترب من العدد - فا ن () f تقترب من العدد. lim 8 - (c lim (8 - ) = lim 8 - lim = 8 - = 5 > 0 lim 8 - = lim (8 - ) = lim 8 - lim = 8 - = 5 lim + (1C lim ª a øe ëj استعمل خصاي ص النهايات لحساب كل نهاية مما يا تي: (1B lim (- + ) (1A Lim c f ()>0 لاحظ ا ن نهاية كل دالة في المثال ا علاه عندما تقترب من c تساوي قيمة (c). f ومع ا ن هذه الملاحظة ليست صحيحة في جميع الدوال ا لا ا نها صحيحة في دوال كثيرات الحدود والدوال النسبية التي مقاماتها لا تساوي صف را عندما. = c كما هو موضح فيما يا تي: π üødg 18

139 . lim r() = r(c) = p(c) c GhódG äéjé f hóëdg ägô«ãc Gh äéjé f lim p() = p(c) c c p() á«ñ ùædg GhódG äéjé f _ q(c) q(c) 0 p() c r() = _ q() وبشكل مختصر فا نه يمكن حساب نهايات دوال كثيرات الحدود والدوال النسبية من خلال التع ويض المباشر شريطة ا لا يساوي مقام الدالة النسبية صف را عند النقطة التي تحسب عندها النهاية. äéjé ædg ÜÉ ùëd ô TÉѪdG jƒ àdg ɪ à SG احسب كل نهاية مما يا تي باستعمال التعويض المباشر ا ذا كان ممك نا وا لا فاذكر السبب: ƒ ùdg Ió«édG GhódG lim ( ) (a -1 بما ا ن هذه نهاية دالة كثيرة حدود فيمكننا حسابها باستعمال التعويض المباشر. lim ( ) -1 = - (-1 ) + 5(-1 ) - (-1 ) + (-1) + = = - 7 يع زز التمثيل البياني بالا لة البيانية للدالة f () = هذه النتيجة. ëj [-, ] scl: 0. b [-8, 8] scl: SQódG _ lim - (b - بما ا ن هذه نهاية دالة نسبية مقا مها ليس صف را عندما = فيمكننا حسابها باستعمال التعويض المباشر. ( ) - lim _ - = _ - - () 8 = _ - = - 8 _ lim (c بما ا ن هذه نهاية دالة نسبية مقامها صفر عندما = 1 فلا يمكننا حسابها باستعمال التعويض المباشر. lim فلا يمكننا حساب +5 lim بالتعويض المباشر. - - lim (d بما ا ن < 0-1 = = (+5) ª a øe ëj احسب كل نهاية مما يا تي باستعمال التعويض المباشر ا ذا كان ممك نا وا لا فاذكر السبب: lim _ (B lim ( ) (A lim + (D lim -8 _ (C _ lim بشكل خاطي كما يلي: - 1 لنفترض ا نك استعملت خاصية القسمة ا و التعويض المباشر لحساب النهاية lim _ lim ( - 1) - 1 = _ 1 lim ( - 1) = _ = 0_ 0

140 f() = _ يسمى ناتج التعويض في النهايات على الصورة _ 0 0 الصيغة غير المحددة لا نه لا يمكنك تحديد نهاية الدالة مع وجود صفر في المقام ومثل هذه النهايات قد تكون موجودة ولها قيمة حقيقية ا و غير موجودة ا و متباعدة نحو ا و - و يب ين _ lim موجودة وتساوي. - 1 ا ن - 1 f () = _ التمثيل البياني للدالة على الرغم من ا ن الصيغة غير المحددة تظهر من خلال تطبيق خاطي لخصاي ص النهايات ا لا ا ن الحصول على هذه الصيغة قد يرشدنا ا لى الطريقة الا نسب لا يجاد النهاية. ا ذا قمت بحساب نهاية دالة نسبية ووصلت ا لى الصيغة غير المحددة _ 0 فب سط العبارة جبر يا من خلال تحليل كل من 0 البسط والمقام واختصار العوامل المشتركة. احسب كل نهاية مما يا تي : _ lim (-) لذا فا ن علينا تحليل المقدار جبر يا واختصار ا ي - (-) - 0 = _0 - + ينتج عن التعويض المباشر 0 عوامل مشتركة بين البسط والمقام. äéjé ædg ÜÉ ùëd π«ëàdg ɪ à SG ( - 5)( + ) lim _ = lim ( - 5)( + ) = lim - + = lim ( - 5) - = (-) - 5 = -9 (a يع زز التمثيل البياني للدالة _ = f() هذه النتيجة ëj 8 f() = ( ) - 7() + 1 = 0 lim lim lim (b ينتج عن التعويض المباشر 0_ + = lim - ( - )+(-7+1) = lim - (-)-7(-) = lim - ( -7)(-) = lim - ( - 7)( - ) = lim 1_ - 7 = 1_ () - 7 = 1_ ª a øe ëj احسب كل نهاية مما يا تي: (A (B lim π«ëàdg 01 π üødg 10

141 ينتج عن اختصار العامل المشترك بين بسط ومقام الدالة النسبية دالة جديدة ففي المثال a ينتج عن الاختصار بين بسط ومقام الدالة f دالة جديدة g حيث: f () = _ - - 0, g() = ا ن قيم هاتين الدالتين متساوية لجميع قيم ا لا عندما - = فا ذا تساوت قيم دالتين ا لا عند قيمة وحيدة c فا ن نهايتيهما عندما تقترب من c متساويتان لا ن قيمة النهاية لا تعتمد على قيمة الدالة عند النقطة التي تحس ب النهاية _ lim - ض فيها صيغة غير محددة هي ا نطاق البسط ا و المقام ا و لا ثم اختصار + äéjé ædg ÜÉ ùëd ΩÉ ªdG hcg ùñdg É feg ɪ à SG عندها لذا فا ن 5) - ( = lim - والطريقة الا خر لا يجاد نهايات نات ج التعوي العوامل المشتركة. _ احسب. lim - 9 _ لذا ا نطق البسط ومن ثم اختصر العوامل المشتركة. ينتج عن التعويض المباشر _ 0 0 = 9-9 = lim _ - _ lim _ = lim ( - 9)( + ) = lim ( - 9)( + ) = lim 9 1_ + = 1_ 9 + = 1_ [-0.1, 0] scl: 1 b [-0.05, 0.] scl: 0.05 lim f () = _ - يع زز التمثيل البياني بالا لة البيانية للدالة - 9 في الشكل المجاور هذه النتيجة. ëj ª a øe ëj احسب كل نهاية مما يا تي: _ - 5 (B lim _ 5-5 (A :ájé f ɪdG óæy äéjé ædg ÜÉ ùm درست ساب قا ا ن لجميع الدوال الزوجية سلوك طرفي التمثيل البياني نفسه وكذلك الدوال الفردية لها جمي عا سلوك طرفي التمثيل البياني نفسه. êpƒªf f() = ájé f ɪdG óæy iƒ dg Gh äéjé f f() = lim = lim = - lim = - - ا ن سلوك طرفي التمثيل البياني لدالة كثيرة الحدود هو ذاته سلوك طرفي التمثيل البياني لدالة القوة الناتجة عن الحد الري يس في كثيرة الحدود وهو الحد ذو القوة الكبر ويمكننا وصف ذلك ا ي ضا باستعمال النهايات SQódG

142 ájé f ɪdG óæy hóëdg ägô«ãc Gh äéjé f p() = a + + a 1 + a 0 lim p() = lim a, lim p() = lim a - - يمكنك استعمال هاتين الخاصيتين لحساب نهايات دوال كثيرات حدود عند المالانهاية. تذ كر ا ن كون نهاية الدالة ا و - لا يعني ا نها موجودة ولكنه وصف لسلوك منحناها فا ما ا ن يكون متزاي دا بلاحدود ا و متناق صا بلا حدود. ájé f ɪdG óæy hóëdg ägô«ãc Gh äéjé f lim ( ) - احسب كل نهاية مما يا تي: lim ( ) (a - lim ( + - ) lim (5 - ) - = lim - = - lim ( + - ) (b = lim - = - lim = - lim (5 - ) (c - = lim 5-5 = 5 lim - = 5 = ª a øe ëj احسب كل نهاية مما يا تي: ájé f ɪdG»a Üô dg lim c f() = c - a>0 a ( )=, -a ( )= - lim ( ) (5C lim ( ) (5B lim ( ) (5A - - ولحساب نهاية دالة نسبية عند المالانهاية نحتاج ا لى خصاي ص ا خر للنهايات. ájé f ɪdG óæy ܃ ªdG ádg äéjé f :» Ø dg ô«ñ àdg 1_ 1_ = 0 :RƒeôdG lim = lim - ܃ ªdG ádg a() f () = 1_ a().a() 0 f() = 1_ f() = 1_ lim ± 1_ = 0 :áé«àf ويمكننا استعمال هذه الخاصية لحساب نهايات الدوال النسبية عند المالانهاية وذلك بقسمة كل حد في بسط ومقام الدالة النسبية على ا على قوة لمتغير الدالة. π üødg 1

143 f() = ájé f ɪdG óæy á«ñ ùædg GhódG äéjé f lim + 5 _ = () f المجاور 8 - _ احسب كل نهاية مما يا تي ا ن ا مكن: = lim + 5 _ 8 - _ + 5_ = lim _ lim 8 - (a lim = + 5 lim 1 lim 8 - lim 1_ = _ 8-0 = 1_ يع زز التمثيل البياني للدالة هذه النتيجة. ëj _ lim lim _ = lim - = lim - _ lim (b _ - _ _ lim 1_ - - lim 1_ - = lim + lim 1_ = _ = = lim _ 5 lim 9 + (c 5_ 9_ + _ lim = 5 9 lim 1_ + lim 1_ = 5_ = 5_ 0 وحيث ا ن نهاية المقام صفر فا ننا نكون قد طبقنا خط ا خاصية القسمة ا لا ا ننا نعلم ا نه عند قسمة العدد 5 على قيم صغيرة موجبة تقترب من الصفر فا ن الناتج سيكون كبي را بشك ل غير محدود ا ي ا ن النهاية هي. lim (C lim _ ª a øe ëj احسب كل نهاية مما يا تي: (B lim 5_ (A á«ñ ùædg GhódG ájé f (1 - ( ( 1 - SQódG

144 درست ساب قا ا ن المتتابعة هي دالة مجالها مجموعة من الا عداد الطبيعية ومداها مجموعة من الا عداد الحقيقية لذا فا ن نهاية المتتابعة غير المنتهية هي نهاية دالة عندما. ا ذا كانت النهاية موجودة فا ن قيمة هذه النهاية هي العدد = () f حيث عدد 1_ ب a = 1, 1_, 1_ الذي تقترب منه المتتابعة. فمث لا يمكن وصف المتتابعة, _1, lim فا ن المتتابعة تقترب من الصفر. 1_ صحيح موجب. وبما ا ن = 0 احسب نهاية كل متتابعة مما يا تي ا ن وجدت: _ + 1 a = (a + 5 lim _ + 1 لحساب نهاية المتتابعة ا وجد _ + 1 lim _ = lim _ _ lim = + lim 1 lim lim 1_ + 0 = _ = ا ي ا ن نهاية المتتابعة هي بمعنى ا ن حدود المتتابعة تقترب من.. ك ون جدو لا واختر قي ما متعددة ل ëj a نلاحظ ا ن حدود المتتابعة تقترب من العدد كلما كبرت. b = ( + 1 ) (b الحدود الخمسة الا ولى بصورة تقريبية هي.,5,.81,., والا ن ا وجد نهاية المتتابعة lim 5_ äé HÉààªdG äéjé f 5 = lim 5_ ( + + 1) _( + 1 ) 5 = lim lim lim 1_ + 5 lim 1_ = lim = 5_ = 1.5 ا ي ا ن نهاية المتتابعة هي 1.5 بمعنى ا ن حدود المتتابعة تقترب من 1.5. ك ون جدول قيم واختر قي ما كبيرة ل. قيم ) b في الجدول ا دناه مقربة ا لى ا قرب جزء من مي ة) s ëj b ª a øe ëj احسب نهاية كل متتابعة مما يا تي ا ن وجدت: c = 9_ ( + 1)( + 1) (7C b = _ + 8 (7B a = _ + 1 (7A π üødg 1

145 استعمل خصاي ص النهايات لحساب كل نهاية مما يا تي: 1 lim ( lim (5-10) 5 - ( 1 - lim [ ( + 1) + ] ( lim ( 1_ ) ( lim - _ - ( lim _ احسب كل نهاية مما يا تي باستعمال التعويض المباشر ا ذا كان ممكن ا وا لا فاذكر السبب: lim 1 _ ( 5 ( 7 lim ( ) ( 8 lim _ ( 9 lim - ( 10 lim ( ) ( 11 9 lim (- + + ) ( 1 10 ( 1 :AÉjõ«a بحسب نظرية ا ينشتاين النسبية فا ن كتلة جسم يتحرك بسرعة v تعطى بالعلاقة _ = m حيث c سرعة الضوء _ v m m 0 كتلة الجسم الابتداي ية ا و كتلته عند السكون.. وو ضح العلاقة بين هذه النهاية و m 0 lim ا وجد v 0 m lim 0 _ lim _ lim _ lim lim lim c احسب كل نهاية مما يا تي:, ( 15 lim _ ( 17 lim ( 19 lim ( 1 ( 1 ( 18 احسب كل نهاية مما يا تي: 5, ( :èæø SEG تحتوي مادة هلامية على حيوان الا سفنج وعند وضع المادة الهلامية في الماء فا ن حيوان الا سفنج يبدا بامتصاص الماء 105 t l(t) = _ والتضخم. ويمكن تمثيل ذلك بالدالة t حيث l طول حيوان الا سفنج بالملمترات بعد t ثانية من وضعه في الماء. l l l t = 0 t = t 1 t = t a) ما طول حيوان الا سفنج قبل وضعه في الماء b) ما نهاية الدالة عندما t c) و ضح العلاقة بين نهاية الدالة l وطول حيوان الا سفنج. احسب نهاية كل متتابعة مما يا تي ا ذا كانت موجودة: a = _ - - a = a = _ a = a = 1_ ( + 1 ) _ 1 a = _ ( + 1)( + 1) ( 7 ( 8 ( 9 ( 0 ( 1 ( احسب كل نهاية مما يا تي ا ذا كانت موجودة مستخد ما التعويض المباشر لحساب النهايتين من اليمين واليسار: lim lim , -, > - (, 0, > 0 ( ( - ) +1, lim -, > ( 5 ( 1 lim ( ) ( 0 ( lim ( ) ( ( 5 lim ( 15 - SQódG

146 f() احسب كل نهاية مما يا تي ا ذا كانت موجودة: lim ( cos ) ( 8 lim _ si 0 π ( lim _ ( 0 lim lim لكل دالة مما يا تي: h 0 π ta f ( + h) - f () h ( 9 ا وجد f() = 7-9 ( f () = - 1 ( 1 f() = + 1 ( f() = ( f() = ( f () = ( 5 ( 7 :AÉjõ«a يمتلك الجسم المتحرك طاق ة تسمى الطاقة الحركية لا ن با مكانه بذل شغل عند تا ثيره على جسم ا خر. و تعطى الطاقة الحركية = k(t) حيث v(t) سرعة 1_ لجسم متحرك بالعلاقة (v(t)) m الجسم عند الزمن t و m كتلته بالكيلوجرام. ا ذا كانت سرعة جسم 50 _ = v(t) لكل 0 t وكتلته 1 kg فما الطاقة الحركية التي 1 + t يمتلكها عندما يقترب الزمن من 100 s ( 8 : ÉgôH استعمل خصاي ص النهايات لا ثبات ا نه لا ي كثيرة حدود استعمل التمثيل البياني للدالة () f ا دناه لا يجاد ك ل مما يا تي: f (-) lim - f (0) lim 0 f () lim -1 f () ( 5 f () ( 55 f () ( 5 _) لكل زوج من f g ا وجد g)() )() (f.g)() (f - g)() (f + الدوال الا تية ثم ح دد مجال الدالة الناتجة: f() = _ + 1 ( 58 f() = - ( 57 g() = - 1 g() = + 9 lim h - h + 5h ( 59 ما قيمة h 0 h 5 C A D B غيرموجودة + π _ = g() عندما cos ( + π) ( 0 ما القيمة التي تقترب منها تقترب من 0-1_ π C -π A 0 D - _ B ( 1 باستعمال التمثيل البياني للدالة f ا دناه ما قيمة () lim f + f() p() = a + a a + a 1 + a 0 ولا ي عدد حقيقي c فا ن p(c) lim p() = c ( 9 : ÉgôH استعمل الاستقراء الرياضي لا ثبات ا نه ا ذا كان فا نه لا ي عدد صحيح lim f () = L c. lim c [ f() ] = [ lim c f () ] = L : a 0, b m احسب النهاية الا تية ا ذا كانت 0 : óëj ( 50 lim a + a a + a 1 + a 0 b m m + b m - 1 m b + b 1 + b 0 ) ا رشاد: افترض ك لا من الحالات (m <, m =, m > 1 1 lim r() = r (c) دالة نسبية فهل العلاقة r() ا ذا كانت :ôjôñj 51 c ( صحيحة ا حيا نا ا و صحيحة داي ما ا و غير صحيحة ا ب دا ب رر ا جابتك. D 5 C 1 B 0 A غير موجودة ( 5 :ÖàcG استعمل جدو لا لتنظيم خصاي ص النهايات وض منه مثا لا على كل خاصية. p(). lim _ ت دعي a q() = _ p() _ دالة نسبية وا ن q() ( 5 :ÖàcG افترض ا ن ليلى ا ن قيمة هذه النهاية هي. 1 و ضح سبب كونها مخطي ة. وما الخطوات التي يمكن اتباعها لحساب هذه النهاية ا ذا كانت موجودة π üødg 1

147 :á«fé«ñdg áñ SÉëdG πª e æëæªdg π«e The Slope of a Curve يعتبر ميل المستقيم بوصفه معد لا ثاب تا للتغير مفهو ما واض حا ا لا ا ن الميل ليس واض حا بالنسبة للمنحنيات بصورة عامة ا ذ يتغير ميل المنحنى عند كل نقطة عليه. ±ó`` dg TI - spire.1 وبشكل عام فا ن التمثيلات البيانية لمعظم الدوال تبدو خطي ة عند تف حصها على فتر ة قصيرة ج دا وبالنظر ا لى القواطع المتتالية يكون من الممكن تطبيق فكرة الميل على المنحنيات. WÉ dg ƒ N 1 ) - ( = عند النقطة ).(, ق در ميل منحنى الدالة + 1 = ( - ) + ثم احسب ميل القاطع المار بمنحنى: 1 في f1 = ( - ا دخل ) Iƒ N عندما =. =, كما يلي: م ثل الدالة بالضغط على ثم اكتب الدالة واضغط. ح دد نقطتين على منحنى الدالة بالضغط على مفتاح واختيار ثم ثم الضغط على المنحنى مرتين واختيار وستظهر نقطتان. ظ لل ا حداث يي لكلا النقطتين واستبدلهما بالا حداثيين =. =, واختيار ارسم القاطع المار بالنقطتين بالضغط على ثم اختيار ثم. واضغط على النقطتين ثم اضغط ا وجد ميل القاطع بالضغط على واختيار [-1, 5] scl: 0. b [-10, 10] scl: 1 ثم ثم اضغط على القاطع وسيظهر ا ن ميله يساوي SQódG - ±É ûµà SG

148 :á«fé«ñdg áñ SÉëdG πª e æëæªdg π«e The Slope of a Curve = ( - ) + احسب ميل القاطع المار بمنحنى: 1 Iƒ N عندما =.5. =.5, ظ لل ا حداث يي لكلا النقطتين واستبدلهما بالا حداثيين =.5 =.5, فيكون ميل القاطع يساوي.5 [-1, 5] scl: 0. b [-10, 10] scl: 1 = ( - ) + احسب ميل القاطع المار بمنحنى: 1 Iƒ N عندما =.. =.8, ظ لل ا حداث يي لكلا النقطتين واستبدلهما بالا حداثيين =.8 =.8, فيكون ميل القاطع يساوي.0 [-1, 5] scl: 0. b [-10, 10] scl: 1 Iƒ N ا وجد ميل قواطع ا خر في فترات متناقصة حول النقطة (,). ك لما نقص طول الفترة حول النقطة (,) فا ن ميل القاطع يقترب ا كثر من العدد لذا فا ن ميل منحنى ) - ( = عند النقطة ) (, هو تقري با. + 1 : øjqéªj ق در ميل منحنى كل دالة مما يا تي عند النقطة المعطاة: = ( + 1 ), (-, 9) (1 = - 5, (, ) ( = -, (0.5, 0) ( =, (1, 1) ( èféàædg πu M :π M صف ما يحدث لقاطع منحنى دالة عندما تقترب نقاط التقاطع من نقطة معطاة (b,a) على المنحنى. u (5 ø: qªn صف كيف يمكنك ا يجاد القيمة الفعلية لميل منحنى عند نقطة معطا ة عليه. ( π üødg 18

149 á éàªdg áyô ùdgh SɪªdG Taget Lie ad Velocit عندما يقفز المظلي من ارتفاع ft فا ن سرعته في اتجاه الا رض تزداد مع مرور الزمن بسبب تسارع الجاذبية الا رضية وتستمر سرعته في الازدياد حتى يفتح مظلته عند ارتفاع 500 ft ا و عندما يصل ا لى السرعة المتجهة الحدية وهي السرعة المتجهة التي ينعدم عندها تسارع المظلي ويحدث هذا عندما تصبح محصلة القو عليه صف را. :äé SɪªdG تعلمت ساب قا ا ن مع دل تغ ير منحنى دالة غير خطية يتغير من نقطة ا لى ا خر عليه ويمكن حساب متوسط مع دل تغ ير الدالة غير الخطية على فترة باستعمال ميل القاطع. ففي التمثيلات البيانية ا دناه للدالة = والقاطع الذي يقطعه ما را بالنقطة 1) (1, وبنقطة ا خر مثل 9) (, ا و (,) ا و (1.1,1.1) تجد ا ن القاطع يتخذ ا وضا عا مختلفة يتغير خلالها ميله. m =.1 (1.1, 1.1) (1, 1) (, ) (1, 1) m = () πµ ûdg () πµ ûdg (1) πµ ûdg (1, 1) (, 9) m = لاحظ ا نه كلما ق صر طو ل الفترة بين نقطتي التقاطع زادت د ق ة تقريب ميل القاطع لميل المنحنى في هذه الفترة. ا ذا واصلنا تقصير الفترة ا لى درجة تكون فيها نقطتا التقاطع متطابقتين كما في الشكل () ا علاه فا ننا نحصل على مم اس للمنحنى وهو مستقيم يتقاطع مع المنحنى ولكنه لا يعبره عند نقطة التماس. ويم ثل ميل هذا المستقيم ميل المنحنى عند نقطة التماس. ولتعريف ميل المماس لمنحنى عند النقطة f()),) فا نه يمكننا الرجوع ا لى صيغة ميل القاطع المار بالنقطتين ()) (, f و h)) ( + h, f ( + كما في الشكل المجاور ومنه يمكن كتابة ميل القاطع بالصيغة: f ( + h) - f () m = = f ( + h) - f () ( + h) - h و ت س مى هذه الصيغة قسمة الفرق. فكلما اقتربت النقطة (+h)) (+h, f من النقطة f()),) ا ي كلما اقتربت قيمة h من الصفر فا ن القاطع يقترب من مماس المنحنى عند النقطة ((),) f لذا يمكننا حساب ميل المماس وهو معدل الت غ ير اللحظي للدالة عند تلك النقطة على ا نه نهاية ميل القاطع عندما 0 h. = f() ( + h, f( + h)) (, f()) + h» ë dg ôq«àdg ó oe (, f ()) m(, f()) f f ( + h) - f () m = lim h 0 h taget lie istataeous rate of chage differece quotiet istataeous velocit ägqé üàng 19 - SQódG

150 (1, 1) يمكنك استعمال صيغة معدل التغ ير اللحظي لا يجاد ميل مماس منحنى عند نقطة عليه. «Y á f óæy æëæª pd SɪªdG π«e ا وجد ميل مماس منحنى الدالة = المم ثلة بالشكل ا دناه عند النقطة( 1,1). = 1 f(1 + h) = (1 + h ), f(1) = 1 (1+h) f( + h) - f() m = lim h 0 h f(1 + h) - f(1) = lim h h 0 (1 + h ) - 1 = lim h 0 h = lim 1 + h + h - 1 h 0 h h( + h) = lim _ h h 0 h = lim ( + h) h 0 =+0 = 1 ا ي ا ن ميل منحنى = عند النقطة (1,1) هو. : ëj من خلال التمثيل البياني للمنحنى ومماسه عند النقطة (1,1) نلاحظ ا ن ميل المستقيم الذي يم ثل المماس يساوي. ª a øe ëj ا وجد ميل مماس كل منحنى مما يا تي عند النقطة المعطاة:» ë dg ôq«àdg óq oe h 0 h = +, (-, 8) (1B =, (, 9) (1A m = كما يمكنك استعمال صيغة معدل التغ ير اللحظي لا يجاد معادلة ميل المنحنى عند ا ي نقطة f()) ), عليه. m = - 8 (-, -1) 8 (1, ) (8, 0.5) 8 «Y á f CG óæy æëæªdg π«e = عند ا ي نقطة عليه. ا وجد معادلة ميل منحنى f( + h) - f() m = lim h 0 h + h - f( + h) = m = lim _ + h, f() = h 0 h _- h ( + h) m = lim _ h 0 h -h m = lim _ h 0 h( + h) - h m = lim _ h 0 + h - m = _ + (0) - m = _ ا ي ا ن ميل المماس للمنحنى عند ا ي نقطة f()),) عليه هو _ - = m والشكل المجاور يبين ميل المنحنى عند ثلاث نقط مختلفة. _ ª a øe ëj ا وجد معادلة ميل منحنى كل دالة مما يا تي عند ا ي نقطة عليه: m = - 1 = (B = - + (A π üødg 150

151 :á«ë dg á éàªdg áyô ùdg تعلمت ساب قا طريقة حساب السرعة المتوسطة لجسم يقطع مسافة f(t) في زمن مقداره t من خلال قسمة المسافة المقطوعة على الزمن الذي استغرفه الجسم لقطع تلك المسافة. والسرعة المتجهة هي سرعة لها اتجاه. ويمكنك ا يجاد السرعة المتوسطة المتجهة بالطريقة نفسها التي ا وجدت بها السرعة المتوسطة مع توضيح اتجاهها باستعمال الا شارة في الناتج فالا شارة الموجبة للناتج تعني اتجاه الا مام ا و الا على ا ما الا شارة السالبة فتعني اتجاه الخلف ا و الا سفل. á éàªdg á SƒàªdG áyô ùdg v avg f(t) b a v avg = = _ f(b) - f(a) b - a á éàªdg á SƒàªdG áyô ùdg : ôl تم ثل المعادلة f(t) = 1.- t + 1t المسافة بالا ميال والتي قطعها ع داء بعد t ساعة باتجاه خط النهاية. ما سرعته المتوسطة المتجهة بين الساعتين الثانية والثالثة من زمن السباق ا وجد ا و لا المسافة الكلية التي قطعها الع داء عند الزمن = b. a =, º ùédg bƒe = f(), t ( t f(t) =-1. t + 1t f(t) = -1. t + 1t f() = -1.( ) + 1() a =, b = f() = -1.( ) + 1() f()= 18.8 f()=. استعمل الا ن صيغة السرعة المتوسطة المتجهة. f(b) - f(a) v avg = _ f(b) =., f(a) = 18.8, b =, a = b - a = _ - = 5.5 ا ي ا ن السرعة المتوسطة المتجهة للع داء بين الساعتين الثانية والثالثة هي 5.5 mi/h ا لى الا مام. ª a øe ëj ) : ƒdéh تم ثل h(t) = 5 + 5t - 1 t الارتفاع بالا قدام بعد t ثانية لبالون يصعد را س يا ما السرعة المتوسطة المتجهة للبالون بين t = s t = 1 s f(t) (,.) 1 (, 18.8) t ا ذا ا معن ا النظر في ا جابة المثال نجد ا نه تم حساب السرعة المتوسطة المتجهة من خلال ا يجاد ميل القاطع الذي يمر بالنقطتين (18.8,) (.,) كما في الشكل المجاور. والسرعة المتجهة التي تم حسابها هي السرعة المتوسطة المتجهة خلال فترة زمنية وليست السر عة المتجهة اللحظية والتي تساوي سرعة الجسم المتجهة عند لحظ ة زمني ة محددة. ولا يجاد سرعة الع داء المتجهة عند لحظ ة زمني ة محددة t فا ننا نجد مع دل التغ ير اللحظي لمنحنى (t) f عند تلك اللحظة. á«ë dg á éàªdg áyô ùdg v(t) f (t) t f(t + h) - f(t) v (t) = lim h h m 010 :: SQódG

152 áæ«e á«æer á ëd óæy á«ë dg á éàªdg áyô ùdg سقطت كرة من قمة بناية ارتفاعها 000 ft وتم ثل الدالة f(t) = t ارتفاع الكرة عن سطح الا رض بالا قدام بعد t ثانية من سقوطها. ا وجد السرعة المتجهة اللحظية v(t) للكرة بعد 5. s لا يجاد السرعة المتجهة اللحظية افترض ا ن = 5 t وطبق صيغة السرعة المتجهة اللحظية. f(5 + h) = 000-1(5 + h ), f(5) = 000-1(5 ) (5h) v (t) v (5) = lim f(t + h) - f(t) h 0 h 000-1(5 + h ) = lim - [000-1(5 ) ] h h 0 = lim -10h - 1 h h 0 h h(-10-1h) = lim h 0 h h = lim (-10-1h) h 0 =-10-1(0) = -10 jƒ àdg f(t) ا ي ا ن سرعة الكرة بعد 5 s هي 10 ft/s ا ما الا شارة السالبة فتعني ا ن الكرة تهبط لا سفل. ª a øe ëj ) سقطت علبة مادة التنظيف من يد عامل في ا ثناء قيامه بتنظيف نافذة بناية على ارتفاع 100 ft عن سطح الا رض وتمثل الدالة h(t) = t ارتفاع العلبة بالا قدام بعد t ثانية من سقوطها. ا وجد السرعة المتجهة اللحظية للعلبة v(t) بعد. 7 s يمكن ا يجاد معادلة للسرعة المتجهة ال لحظية عند ا ي زمن. تعطى المسافة التي يقطعها جسم بالسنتمترات بعد t ثانية بالدالة - 1. s(t) = 18t - t ا وجد معادلة السرعة المتجهة اللحظية v(t) للجسم عند ا ي زمن. s(t + h) = 18(t + h) - (t + h ) - 1 s(t) = 18t - t - 1 (t+h) á«æer á ëd CG óæy á«ë dg á éàªdg áyô ùdg h v (t) s(t + h) - s(t) = lim h h 0 ط بق صيغة السرعة المتجهة اللحظية. 18(t + h) - (t + h ) = lim [18t - t - 1] h h 0 18h - 9 t = lim h - 9t h - h h h 0 h(18-9 t - 9th - h = lim ) h h 0 = lim h 0 (18-9 t - 9th - h ) = 18-9 t - 9t(0) - (0 ) = 18-9 t 5 ا ي ا ن معادلة سرعة الجسم المتجهة اللحظية عند ا ي زمن هي v. (t) = 18-9 t ª a øe ëj 5) تم ثل الدالة s(t) = 90t - 1 t ارتفاع صاروخ بعد t ثانية من ا طلاقه را س يا من مستو سطح البحر حيث الارتفاع بالا قدام. ا وجد معادلة السرعة المتجهة اللحظية (t) v للصاروخ عند ا ي زمن. π üødg 15

153 ا وجد ميل مماس منحنى كل دالة مما يا تي عند النقاط المعطاة: 1 = - 5, (1, -), (5, 0) ( 1 = -, (-, 1), (, -1) ( = _, (1, ), (, 1) ( = + 8, (-, 0), (1, 9) ( ا وجد معادلة ميل منحنى كل دالة مما يا تي عند ا ي نقطة عليه: تم ثل( t ) f في ك ل مما يا تي بعد جسم متحرك عن نقطة ثابتة بالا قدام بعد t ثانية. ا وجد السرعة المتجهة ال لحظية لهذا الجسم عند الزمن ال معطى: f (t) = t, t = ( 17 f (t) = 8t - 1 t, t = 0.8 ( 18 f (t) = -1 t - 00t , t =.5 ( 19 f (t) = t, t =.8 ( 0 f (t) = 7t - 1 t, t =.1 ( 1 f (t) = -1 t , t = 1.8 ( تم ثل s(t) في ك ل مما يا تي المسافة التي يقطعها جسم متحرك. ا وجد معادلة السرعة المتجهة اللحظية v(t) للجسم عند ا ي زمن : 5 s(t) = t - t ( s(t) = 1 t - 7 ( s(t) = 18 - t + t ( s(t) = 5t + 8 ( 5 s(t) = t t ( 8 s(t) = 1 t - t ( 7 = - + ( = - ( 5 = 1_ ( 8 = 8 - ( 7 = - ( 10 = 1_ ( 11 :èdõj تم ثل الدالة p(t) = 0.0 t t موقع متزلج على سفح جليدي بعد t ثانية من انطلاقه. p(t) ( 9 h ( 9 õøb e «: يمك ن وص ف ارتفاع مظلي بالا قدام عن سطح الا رض بعد t ثانية من قفزه بالدالة. h(t) = t,, 5 t a) ا وجد معادلة ميل السفح الجليدي عند ا ي زمن..t = s, 5 s, 7 s ا وجد الميل عندما (b تم ثل s(t) في ك ل مما يا تي بعد جسم متحرك عن نقطة ثابتة بالا ميال بعد t دقيقة. ا وجد السرعة المتوسطة المتجهة للجسم بالميل لكل ساعة في الفترة الزمنية المعطاة. (تذكر با ن تح ول الدقاي ق ا لى ساعات) : a) ا وجد السرعة المتوسطة المتجهة للمظلي بين الثانيتين الثانية والخامسة من القفز. b) كم بلغت السرعة المتجهة اللحظية للم ظ لي عند الثانية الثانية وعند الثانية الخامسة c) ا وجد معادلة سرعة المظلي المتجهة اللحظية عند ا ي زمن. ( 0 : UƒZ يب ي ن الجدول ا دناه ارتفاع غواص d مقر با لا قرب جزء من عشرة بالا متار عن سطح الماء بعد t ثانية من قفزه من مكان مرتفع نحو الماء. t d a) احسب السرعة المتوسطة المتجهة للغواص في الفترة الزمنية.0.5 t 1.0 b) ا ذا كانت معادلة المنحنى لنقاط الجدول هي -0.0t+5.0 d(t) = -.91 t فا وجد معادلة سرعة الغواص المتجهة اللحظية v(t) بعد t ثانية ثم استعمل v(t) لحساب سرعته بعد. s s(t) = 0. t - 1_ 0 t, t 5 ( 1 s(t) = 1.08t - 0, t 8 ( 1 s(t) = 0.01 t t, t 7 ( 1 s(t) = -0.5(t - 5 ) +, t.5 ( 15 ( 1 تم ثل المعادلة + 1 t f (t) = -1 t + 5 الارتفاع بالا قدام بعد t ثانية لكرة قذفت ا لى ا على ما السرعة المتوسطة المتجهة للكرة بين. t = 15, t 15 - SQódG

154 75. ft/s ركل سلمان كرة بسرعة را سية قدرها :Ωó dg Iôc ( 1 افترض ا ن ارتفاع الكرة بالا قدام بعد t ثانية معطى بالدالة. f(t) = -1 t + 75t +.5 h t. v(t) ا وجد معادلة سرعة الكرة المتجهة اللحظية a) b) ما سرعة الكرة المتجهة بعد 0.5 s من ركلها c) ا ذا علمت ا ن السرعة المتجهة اللحظية للكرة لحظة وصولها ا لى ا قصى ارتفاع هي صفر فمتى تصل ا لى ا قصى ارتفاع d) ما ا قصى ارتفاع تصل ا ليه الكرة ( :AÉjõ«a تعطى المسافة التي يقطعها جسم يتحرك على مسار مستقيم بالمعادلة + +8t d(t) = t حيث t الزمن بالثواني و d المسافة بالا متار. a) ا وجد معادلة السرعة المتجهة اللحظية للجسم v(t) عند ا ي زمن. b) استعمل v(t) لحساب سرعة الجسم المتجهة عندما t = s, s, s ( ûàcg :CÉ îdg سي ل علي وجميل ا ن يصفا معادلة ميل مماس منحنى الدالة المم ثلة بيان يا في الشكل المجاور عند ا ي نقطة على منحناها. فقال علي: ا ن معادلة الميل ستكون متصلة لا ن الدالة الا صلية متصلة في حين قال جميل: ا ن معادلة الميل لن تكون متصلة. ا يهما كانت ا جابته صحيحة ف سر ا جابتك. f() = + - ا وجد معادلة ميل مماس منحنى : óëj ( عند ا ي نقطة عليه. ( 5 :ôjôñj هل العبارة الا تية صحيحة ا و خاطي ة " يقطع المماس منحنى الدالة عند نقطة التماس فقط" ب رر ا جابتك. احسب كل نهاية مما يا تي (ا ن وجدت) -: lim ( + - ) ( 8 lim ( ) ( 9-1 lim ( + si ) ( 0 0 احسب كل نهاية مما يا تي (ا ن وجدت): - lim _ ( _ lim ( ( ما معادلة ميل منحنى = عند ا ي نقطة عليه m = C m = A m = - D m = B ( سقطت كرة بشكل را سي فكانت المسافة التي تقطعها بالا قدام d(+h)-d() بعد t ثانية تعطى بالدالة.d(t) = 1 t ا ذا كانت h تم ثل السرعة المتجهة للكرة بعد s فكم تساوي هذه السرعة lim h 0 ft/s C ft/s A 7 ft/s D 58 ft/s B ( 5 ماميل مماس منحنى + 7 = عند النقطة ), ) 7 C -9 A D 9 B f() = t صح ا م خطا : ا ذا ا عطيت المسافة التي يقطعها جسم بعد :ôjôñj ( ثانية ب s(t) = at + b فا ن السرعة المتجهة اللحظية للجسم تساوي a داي ما. ب رر ا جابتك. ( 7 ÖàcG ب ين لماذا تكون السرعة المتجهة اللحظية لجسم متحرك صف را عند نقطة القيمة العظمى والصغر لدالة المسافة. π üødg 15

155 π üødg üàæe QÉÑàNG - deg - 1 øe ShQódG lim _ 0 + lim _ cos lim + 1 _ - lim ق در كل نهاية مما يا تي: - si ( lim _ ( lim - 18 ( _ ( - - ( lim _ ( ( 8 lim _ ( 7-9) تزداد قيمة تحفة فنية فريدة سنو يا بحيث تعطى قيمتها با لاف الريالات 00t + بعد t سنة بالعلاقة _ = v(t) -1. t t بيان يا في الفترة 10 v(t) م ثل الدالة a) b) استعمل التمثيل البياني لتقدير قيمة التحفة الفنية عندما.t =, 5, 10 استعمل التمثيل البياني لتقدير v(t). lim t (c و ضح العلاقة بين النهاية وسعر التحفة الفنية. d) احسب كل نهاية مما يا تي بالتعويض المباشر ا ذا كان ممك نا وا لا فاذكر السبب. - lim 9 lim - ( + - 8) :ásjôh IÉ«M يمكن تقدير عدد الغزلان بالمي ات في محمية بالعلاقة 10 t = P(t) وذلك بعد t سنة حيث.t. ما ا كبر - 0t + t + 1t + 1 عدد للغزلان يمكن ا ن يوجد في هذه المحمية - احسب كل نهاية مما يا تي ا ذا كانت موجودة: - ميل مماس منحنى كل دالة مما يا تي عند النقاط المعطاة: ا وجد - = -, (, -), (-1, ) = - 5, (-, 1), (, -1) = -, (1, -), (, -9) :ájqéf ÜÉ dcg انطلقت قذيفة ا لعاب نارية را س يا ا لى ا على بسرعة 90 ft/s وتم ثل الدالة +. 90t h(t) = -1 t + الارتفاع الذي تبلغه القذيفة بعد t ثانية من ا طلاقها. - a) ا وجد معادلة السرعة المتجهة اللحظية v(t) للقذيفة. b) ما السرعة المتجهة للقذيفة بعد 0.5 s من الا طلاق c) ما ا قصى ارتفاع تبلغه القذيفة :ó àe øe QÉ«àNG ا ي مما يا تي يم ثل معادلة ميل منحنى - عند ا ي نقطة عليه = 7 - m = 7 - C m = 7 A m = 1 - D m = 1 B تعطى المسافة التي يقطعها جسم متحرك بالا ميال بعد t دقيقة بالدالة (t). s ا وجد السرعة المتوسطة المتجهة للجسم في كل مما يا تي بالميل لكل ساعة على الفترة الزمنية المعطاة. تذ كر ا ن تحول الدقاي ق ا لى ساعات. - s(t) = t, t 5 s(t) =.05t - 11, 1 t 7 s(t) = 0.9t - 5, t s(t) = 0.5 t - t, t 8 ا وجد معادلة السرعة المتجهة اللحظية v(t) لجسم يعطى موقعه عند ا ي زمن بالعلاقة h(t) في كل مما يا تي: - h(t) = t - 9t h(t) = t - 1 t h(t) = t - 5 t (18 (19 (0 (1 ( ( ( (5 ( (7 (8 (9 lim _ lim ( ) _ + 1 (10 - (11 (1 ( 1 lim ( ) ( 1 lim ( 1 ( h(t) = t - t (0 lim 0 _ (.7) _ 1 1_ : ó àe øe QÉ«àNG ق در -1 B غير موجودة A - D C ( SQódG π üødg

156 äé à ûªdg Derivatives ركل ا حمد كر ة را س يا ا لى ا على من ارتفاع ft فانطلقت بسرعة. 5 ft/s يمكنك استعمال معادلات الحركة بتسارع ثابت التي درستها في الفيزياء لكتابة دالة تصف ارتفاع الكرة بعد t ثانية ومن ثم تحديد ما ا ذا كانت الكرة ستبلغ ارتفاع 8 ft ا م لا. : É à TÓd á«sé SCG óygƒb استعملت النهايات في الدرس - لتحديد ميل مماس منحنى الدالة () f عند ا ي نقطة عليه و تسمى هذه النهاية م شتقة الدالة ويرمز لها بالرمز () f و تعطى بالصيغة: f ( + h) - f () f () = lim h h 0 بشرط وجود هذه النهاية و تس مى عملية ا يجاد المشتقة الاش تقاق و تس مى النتيجة معا دلة تفاضلية. ا وجد مشتقة f () = - باستعمال النهايات ثم احسب قيمة المشتقة عندما = 1, 5. f ( + h) = ( + h ) - 5( + h) + 8, f () = h á f CG óæy ádg á à ûe f( + h) - f() f () = lim h h 0 ( + h ) = lim - 5( + h) ( ) h h 0 8h + h = lim - 5h h h 0 h(8 + h - 5) = lim h h 0 = lim (8 + h - 5) h derivative differetiatio differetial equatio differetial operator äé à ûªdg f f () f prime of = [8 + (0) - 5] = 8-5 ا ي ا ن مشتقة () f هي f () = احسب () f عندما =1, 5. f () = 8-5 f (1) = 8(1) - 5 f (1) = = 1, =5 f () = 8-5 f (5) = 8(5) - 5 f (5) = 5 ª a øe ëj ا وجد مشتقة () f باستعمال النهايات ثم احسب قيمة المشتقة عند قيم المعطاة: f () = , = 1, (1B f () = + 7, =, 5 (1A فا ن ذلك يعني ا يجاد d_ d df _, وا ذا سبق الدالة المو ثر التفاضلي d, _ d يرمز لمشتقة () = f ا ي ضا بالرموز d مشتقة الدالة.» Sƒ dg øjódg ±ô T 10 " " π üødg 15

157 حتى هذه اللحظة استعملت النهاية لا يجاد ك ل من المشتقة وميل المماس والسرعة المتجهة اللحظية. و تع د قاعدة مشتقة القوة من ا كثر القواعد فعالية لا يجاد المشتقات من دون اللجوء ا لى استعمال النهايات مما يجعل عملية ا يجاد المشتقات ا كثر سهول ة ودقة. Iƒ dg á à ûe IóYÉb :» Ø dg ô«ñ àdg f ( ) = - 1 f () = :RƒeôdG Iƒ dg á à ûe IóYÉb ا وجد مشتقة كل دالة مما يا تي: f () = 9 f () = = 9 8 f () = 9 (a 5 g() = 7 g() g () = = 7_ 5 = h() = 1_ 8 7_ 5 7_ 5-1 7_ 5 _ 5 = g() = 7_ 5 5 h() = 5 7 (b 1_ 8 (c m() = 1_ 5 h() = -8 h () = = = - 8 _ 9 ª a øe ëj ا وجد مشتقة كل دالة مما يا تي: (C k() = (B j() = (A هناك العديد من قواعد الاشتقاق الا خر المهمة التي تفيد في ا يجاد مشتقات الدوال التي تحوي ا كثر من ح د. É à TÓd iôncg óygƒb c f () = c :âhéãdg á à ûe f () = 0 f () = c - 1 c f () = c :Iqƒ dg äéøyé e á à ûe f () = g () ± h () f () = g() ± h() : ôødg hcg ƒªéªdg á à ûe áñdé ùdg iƒ dg äé à ûe f () = - f () = = - + (-1)=-5 f () = SQódG

158 5_ - 1 = _ É à T G óygƒb f() = 5 + f () = = 15 g() = 5 ( + ) g() = ا وجد مشتقة كل دالة مما يا تي: f () = 5 + (a g() = 5 ( + ) (b g () = = h() = (c = h() 5 5 = _ - _ 1 + h() _ 5 h() = _ h () = = _ = äé à ûªdg f () = f () f () = 1. f ( ) = c = c ª a øe ëj ا وجد مشتقة كل دالة مما يا تي: h() = (C g() = ( + ) (B f() = (A الا ن وبعد ا ن درست القواعد الا ساسية للاشتقاق يمكنك حل المساي ل التي تتطلب حساب ميل مماس المنحنى ا و ا يجاد السرعة المتجهة اللحظية بخطوات ا قل ففي مثال 5 من الدرس - ا وجدنا معادلة السرعة المتجهة اللحظية لجس م متحر ك وستلاحظ الا ن سهولة حل المسا لة نفسها بتطبيق قواعد الاشتقاق. á«ë dg á éàªdg áyô ùdg تعطى المسافة التي يقطعها جسم بالسنتمترات بعد t ثانية بالدالة: - 1 s(t) = 18t - t ا وجد معادلة السرعة المتجهة اللحظية v(t) للجسم. السرعة المتجهة اللحظية للجسم هي s (t). s(t) = 18t - t - 1 s (t) = 18 1 t t = 18-9 t ا ي ا ن سرعة الجسم المتجهة اللحظية هي: v(t) = 18-9 t لاحظ ا ن هذه الا جابة مكافي ة لتلك التي حصلت عليها في المثال 5 من الدرس -. ª a øe ëj ) الدالة: h(t) = 55t - 1 t تم ثل الارتفاع بالا قدام بعد t ثانية لكرة ق ذفت را س يا ا لى ا على. ا وجد معادلة السرعة المتجهة اللحظية للكرة عند ا ي زمن. π üødg 158

159 النقطة التي تكون عندها مشتقة الدالة صف را ا و غير موجودة تس مى نقط ة حرج ة للدالة والنقطة الحرجة قد تشير ا لى وجود نقطة قيمة عظمى ا و صغر للدالة وتحد ث عندما يكون ميل مماس منحنى الدالة صف را ا و غير موجود. = f() a b [a, b]f () [a, b] لتعيين نقاط القيم العظمى والصغر للدالة على فترة مغلقة لا بد من حساب قيم الدالة عند ا طراف الفترة وعند النقاط الحرجة في تلك الفترة. t تم ثل ارتفاع ا براهيم بالا قدام في ا ثناء ركوبه ا فعوانية حيث _1 h (t) = - t + t + 11_ :á«fgƒ acg الدالة: الزمن بالثواني في الفترة الزمنية [1,1] ا وجد ا قصى وا دنى ارتفاع يبلغه ا براهيم. a iƒ ü dg ᪫dg ájô f = f() h(t) h (t) ا وجد مشتقة h(t). = - 1_ t + t + 11_ = - 1_ t t = - t + 8t ا وجد النقاط الحرجة بحل المعادلة = 0 h (t). h (t) = - t + 8t h (t) = 0 - t + 8t = 0 -t(t - 8) = 0 ا ذن: = 8 t ا و = 0 t وحيث ا ن = 0 t لا تقع في الفترة [1,1] فا ن للدالة نقطة حرجة واحدة عند = 8 t لذا نحسب قيم h(t) عندما = 1, 8, 1 t. h(1) h(8) h(1) = - 1_ (1) + (1 ) + 11_ 7. = - 1_ (8) + (8 ) + 11_ = 89 = - 1_ (1 ) + (1 ) + 11_.7 ا ي ا ن ا قصى ارتفاع يبلغه ا براهيم هو 89 ft وذلك بعد 8 s في حين ا ن ا دنى ارتفاع هو.7 ft تقري با بعد 1. s b Lim f() 0 ádgód iô üdgh ª dg ÉફdG 5 1_ - = h(t) المجاور على t + t + 11_ التمثيل البياني للدالة: πëdg øe ëàdg الفترة [1,1] باستعمال الا لة البيانية يع زز هذه النتيجة حيث يب ين التمثيل البياني ا ن ا على ارتفاع يساوي 89 ft ويكون عندما t. = 8 s وا دنى ارتفاع يساوي.7 ويكون عندما t = 1 s 10 mi/h.50 ft hóëdg Iô«ãc ádg f() [a, b]. f ()= SQódG ª a øe ëj (5 á VÉjQ :õø dg الدالة: t h(t) = 0 t - تم ثل ارتفاع سعد بالا قدام في ا ثناء مشاركته في قفزة البنجي (القفز من ا ماكن مرتفعة بحيث تكون القدمان موثقتين بحب ل مطاط ي) حيث t الزمن بالثواني في الفترة [,0]. ا وجد ا قصى وا دنى ارتفاع يبلغه سعد في هذه الفترة الزمنية.

160 :᪠ù dgh Üô dg»às à ûe ÉJóYÉb تع لمت في هذا الدرس ا ن مشتقة مجموع دا لتين تساوي مجموع مشت ق تي الدا لتين فهل تكون مشتقة ناتج ضرب دالتين مساوي ة لناتج ضرب مشتق تي الدالتين افترض ا ن:. f () =, g() = äé à ûªdg Üô V d_ d f() d_ d g() = d_ d () d_ d ( ) = 1 9 = 9 Üô dg á à ûe d_ d [ f() g()] = d_ d [ ] = d_ d ( ) = 1 يتضح من هذا المثال ا ن مشتقة ناتج ضرب دا لتين لا تساوي بالضرورة ناتج ضرب مشتق تي الدالتين ويمكننا استعمال القاعدة الا تية لا يجاد مشتقة ناتج ضرب دا لتين. d _ d [ f () g()] = f () g() + f () g () g f 8 ا وجد مشتقة كل دال ة مما يا تي: h() = ( - + 7)( - 5) (a افترض ا ن: - 5 f () = - + 7, g() = ا ي ا ن: f()g(). h() = f () = f () = - g() = - 5 g () = استعمل g () f (), f (), g(), لا يجاد مشتقة h(). h () = f () g() + f() g () = ( - )( - 5) + ( - + 7)() = = h() = ( )( - - ) (b افترض ا ن: -. f () = , g() = - h () = f () g() + f() g () Üô dg á à ûe IóYÉb Üô dg á à ûe IóYÉb f () = f () = g() = - - g () = 1-1 استعمل g () f (), f (), g(), لا يجاد مشتقة h(). = ( )( - - ) + ( )(1-1) ª a øe ëj ا وجد مشتقة كل دال ة مما يا تي: Üô dg á à ûe IóYÉb h() = ( + + )(8 + ) (B h() = ( )( ) (A π üødg 10

161 بطريقة التبرير نفسها في مشتقة الضرب يمكنك ملاحظة ا ن مشتقة ناتج قسمة دالتين لا تساوي ناتج قسمة مشتق تي الدالتين ويمكن استعمال القاعدة الا تية لحساب مشتقة قسمة دالتين. g() 0 f, g d_ _ f() = f () g () - f () g () d g() ᪠ù dg á à ûe IóYÉb [ g() ] 50 ا وجد مشتقة كل دال ة مما يا تي: _ 5 h() = - (a - f(). h() = _ افترض ا ن: - f () = 5 -, g() = ا ي ا ن: g() f () = 5 - f () = 10 g() = - g () = استعمل () f (), f (), g(), g لا يجاد مشتقة h(). ᪠ù dg á à ûe IóYÉb f () g () - f() g () h () = [ g() ] 7 10( - ) - (5 - )() = ( - ) 10 = ( - ) - 5 = _ ( - ) _ h() = (b افترض ا ن: -. f () = + 8, g() = f () = + 8 f () = g() = - g () = استعمل g () f (), f (), g(), لا يجاد مشتقة h(). f () g() - f () g () h () = [ g() ] ( - ) - ( + 8) = ( - ) - = - - ( - ) ª a øe ëj ا وجد مشتقة كل دال ة مما يا تي: k() = _ + (7B j() = _ (7A ᪠ù dg á à ûe IóYÉb 11 - SQódG

162 ا وجد مشتق ة ك ل دالة مما يا تي باستعمال النهايات ثم احسب قيمة المشتقة عند النقاط المعطاة: 1 f() = -, =, -1 ( 1 g(t) = - t + t + 11, t = 5, ( m( j) = 1j - 1, j = -7, - ( v() = , = 7, ( r(b) = b - 10b, b = -, - ( 5 ا وجد مشتقة كل دالة مما يا تي :, z() = + 7 ( 7 ( f ) = -11 f ( b(m) = m _ - m _ ( 9 g(h) = h 1_ 1 + h - h ( 8 f () = 1_ - _ + - 1_ ( 11 (t) = 1_ t + _ t + _ t + ( 10 p(k) = k k.8 + k ( 1 q(c) = c 9 - c c - c ( 1 ( 1 äélq :IQGôM تعطى درجة حرارة ا حد المدن بالفهرنهايت في ا حد الا يام بالدالة : f (h) = h h +.0 h + 5 حيث h عدد الساعات التي انقضت من ذلك اليوم. a) ا وجد معادلة تمثل مع دل التغ ير ال لحظي لدرجة الحرارة. b) ا وجد مع دل التغ ير اللحظي لدرجة الحرارة عندما:. h =, 1, 0 0 h ا وجد درجة الحرارة العظمى في الفترة: c) استعمل الاشتقاق لا يجاد النقاط الحرجة ثم ا وجد نقاط القيم العظمى والصغر لكل دالة مما يا تي على الفترة المعطاة. 5 f() = + 8, [-5, 0] ( 15 r(t) = t + t -, [ 1, ] ( 1 t(u) = u + 15 u + 75u + 115, [-, -] ( 17 c() = f() = -5-90, [-11, -8] ( 18 z(k) = k - k + k, [0, ] ( 19 1_ + 1_ - + 8, [-5, 5] ( 0 ( 1 :á VÉjQ عد ا لى فقرة لماذا في بداية الدرس. الدالة: h(t) = 5t - 1 t + تمثل ارتفاع الكرة h بالا قدام بعد t ثانية عندما t h (t) ا وجد (a b) ا وجد نقاط القيم العظمى والصغر للدالة h(t) في الفترة [,0]. c) هل يمكن لا حمد ركل الكرة لتصل ا لى ارتفاع 8 ft ا وجد مشتقة كل دالة مما يا تي: f () = ( + )( + 9) ( g() = ( + )(5 - ) ( s(t) = ( t + )( t 11 - t) ( g() = ( _ + ) (0.5 - ) ( 5 c(t) = ( t + t - t 7 )(t + t - t) ( q(a) = ( a 9_ 8 + a - 1_ )( a 5_ - 1a) ( 7 f () = ( )( ) ( 8 استعمل قاعدة مشتقة القسمة لا يجاد مشتقة كل دال ة م ما يا تي: 7 t r(t) = _ + ( 0 f (m) = _ - m - t + m ( 9 f () = _ + ( m(q) = q + q + ( q - w + w t(w) = _ ( q(r) = 1.5 r r ( w r ( 5 قام باي ع ملابس با يجاد العلاقة بين سعر قميص وعدد القطع المبيعة منه يوم يا فوجد ا نه عندما يكون سعر القميص d ريا لا فا ن عدد القطع المبيعة يوم يا يساوي d a) ا وجد (d) r التي تمثل ا جمالي المبيعات اليومية عندما يكون سعر القميص d ريا لا.. r (d) ا وجد (b c) ا وجد السعر d الذي تكون عنده قيمة المبيعات اليومية ا كبر ما يمكن. ا وجد مشتقة كل دالة مما يا تي ثم م ثل الدالة والمشتقة بيان يا على المستو الا حداثي نفسه. (ا رشاد: يمكنك استعمال الحاسبة البيانية في التمثيل البياني) f () = ( g() = + ( 7 f () = ( 8 g() = 1_ ( 9 f () ا ذا كانت مشتقة f () مشتقة f () لتكن :É«dG äé à ûªdg ( 0 موجودة فا نها تسمى المشتقة الثانية للدالة f و يرمز لها بالرمز () f ا و الرمز () f () وكذلك ا ذا كانت مشتقة () f موجودة فا نها تسمى المشتقة الثالثة للدالة f ويرمز لها بالرمز () f ا و () f () وتسمى المشتقات على هذا النحو المشتقات العليا للدالة. f ا وجد ك لا مما يا تي: f () = المشتقة الثانية للدالة: (a g() = المشتقة الثالثة للدالة: 10 (b h() = المشتقة الرابعة للدالة: (c π üødg 1

163 م ثل منحنى دالة لها الخصاي ص المعطاة في ك ل مما يا تي: ( 1 المشتقة تساوي 0 عندما -1, 1 =. ( المشتقة غير مع رفة عندما =. ( المشتقة تساوي - عندما -1, 0, =. ( المشتقة تساوي 0 عندما -1,, =. ( 5 äó«ãªj :Ió àe في هذا التمرين ستستكشف علاقة المشتقات ببعض الخصاي ص الهندسية للدوال. :Év««ëJ a) ا وجد مشتقة صيغة مساحة الداي رة بالنسبة لنصف القطر r. a. و ض ح العلاق ة بين المعادلة الا صلية ومشتقتها في الفرع :Év«Ød b). a ومكع با طول ضلعه a ارسم مرب عا طول ضلعه :Év«fÉ«H c) :Év««ëJ d) اكتب صيغ ة تم ثل مساحة المربع وا خر تم ثل حجم المكعب بدلالة a ثم ا وجد مشتق تي الصيغتين. d. و ضح العلاقة بين المعادلة الا صلية ومشتقتها في الفرع :Év«Ød e) ( ûàcg :CÉ îdg قام ك ل من ا حمد وعبدالله با يجاد [() [ f للدالة f () = + حيث كانت ا جابة عبد الله: في حين كانت ا جابة ا حمد: فا يهما كانت ا جابته صحيحة ب رر ا جابتك. ( 7 óëj : ا وجد ) f ( عل ما با ن: f ( ) = z z 7 ( 8 : ÉgôH برهن صحة قاعدة مشتقة الضرب با ثبات ا ن: f ()g() + f()g () = lim h 0 f ( + h)g( + h) - f()g() h (ا رشاد: ابدا بالطرف الا يمن وا ضف (h f ()g( + ا لى البسط واطرحه منه). ( 9 :ôjôñj ب ين ما ا ذا كانت العبارة الا تية صحيحة ا و خاطي ة وب رر ا جابتك. "ا ذا كانت: + 5 f () = فا ن + " f () = (5 + ) 5 ( 50 : ÉgôH برهن صحة قاعدة مشتقة القسمة وذلك با ثبات ا ن: f () g() - f() g () _ f ( + h) g( + h) - _ f () g() = lim [ g() ] h 0 h (ا رشاد: ابدا بالطرف الا يمن وو حد المقامات في البسط ثم ا ضف g() f () ا لى البسط واطرحه منه). ( 51 :ÖàcG هل من الممكن ا ن يكون لدا لتين مختلفتين المشتقة نفسها ع زز ا جابتك با مثلة. ا وجد ميل مماس منحنى كل دال ة مما يا تي عند النقاط المعطاة: - = -, (0, 0), (, 0) ( 5 = -, (-, 8), (, -8) ( 5 = + 9, (, 18), (, 5) ( 5 احسب كل نهاي ة م ما يا تي: - lim _ - 1 ( _ lim lim ( 5 ( 57 ق در كل نهاي ة م ما يا تي: -1 lim _ ( lim ( + + ) ( ( 0 ما مشتقة: (-) h () = (-7 + ) h () = -1 A h () = 1 B h () = C h () = D ( 1 ما ميل مماس منحنى = عند النقطة ), 1 ) C 1 A 8 D B ( ما مشتقة: f () = 5 8 f () = 5 5_ H f () = 0_ 5_ F f () = 5 8_ J f () = 0_ 8_ G 1 - SQódG

164 πeéµàdgh æëæªdg âëj ámé ùªdg Area Uder the Curve ad Itegratio التكلفة الحدية (الهامشية) هي التكلفة الا ضافية المترتبة على ا نتاج وحدة ا ضافية واحدة من منتج ما ويمكن ا يجاد معادلة التكلفة الحدية باشتقاق معادلة التكلفة الحقيقية للمنتج. تمثل الدالة f () = التكلفة الحدية لطباعة نسخة من كتاب ما بالريال. æëæe âëj ámé ùªdg سبق ا ن درست في الهندسة طريقة حساب مساحات الا شكال الا ساسية كالمثلث والمستطيل وشبه المنحرف كما درست حساب مساحات بعض الا شكال المركبة التي تتكون من ا شكال ا ساسية ا لا ا ن العديد من الا شكال المركبة لا تتكون من ا شكال ا ساسية مما يستدعي الحاجة ا لى طريقة عامة لحساب مساحة ا ي شكل ثناي ي الا بعاد. يمكننا تقريب مساحة شكل غير منتظم من خلال استعمال شكل ا ساسي معلوم المساحة كالمستطيل. فمث لا يمكننا تقريب مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى f () = والمحور على الفترة 1] [0, باستعمال مستطيلات متساوية العرض. äó«à ùe ɪ à SÉH æëæe âëj ámé ùªdg 1 ق رب مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى f () = والمحور على الفترة 1] [0, باستعمال 1 مستطي لا على الترتيب. استعمل الطرف الا يمن لقاعدة كل مستطيل لتحديد ارتفاعه. - regular partitio defiite itegral lower limit upper limit right Riema sum itegratio م ثل الدالة والمستطيلات كما في الا شكال التالية باتباع الخطوات التالية: 1) ا وجد طول الفترة [1,0] بطرح بدايتها من نهايتها. ) ا وجد عرض كل مستطيل بقسمة طول الفترة على عدد المستطيلات فمث لا ا ذا كان عدد المستطيلات نقسم: = 1 ) ق سم الفترة [1,0] ا لى فترات (لا ربعة مستطيلات) طول كل منها يساوي ) ارسم على كل فترة جزي ية مستطي لا ا حد بعديه يساوي طول هذه الفترة والبعد الا خر يساوي قيمة الدالة عند الطرف الا يمن للفترة. فمث لا ارتفاعات المستطيلات في الشكل (1) هي (1) f. f,() f,() f,(9) ويمكننا استعمال ارتفاعات المستطيلات وا طوال قواعدها لتقريب المساحة المطلوبة. 88-1) Iôb øh âhék "." π üødg 1

165 () πµ ûdg المساحة باستعمال 1 مستطي لا R 1 R R R R 5 R R 7 R 8 R 9 R 10 R 11 = 1 f (1) = 11 = 1 f () = 0 = 1 f () = 7 = 1 f () = = 1 f (5) = 5 = 1 f () = = 1 f (7) = 5 = 1 f (8) = = 1 f (9) = 7 = 1 f (10) = 0 = 1 f (11) = () πµ ûdg المساحة باستعمال مستطيلات R 1 = f () = 0 R = f () = R = f () = 7 R = f (8) = R 5 = f (10) = 0 R = f (1) = 0 المساحة الكلية 80 وحدة مربعة. 8 1 (1) πµ ûdg المساحة باستعمال مستطيلات R 1 = f () = 81 R = f () = 108 R = f (9) = 81 R = f (1) = 0 المساحة الكلية 70 وحدة مربعة. R 1 = 1 f (1) = 0 المساحة الكلية 8 وحدة مربعة. ا ي ا ن المساحة التقريبية باستعمال 1 مستطي لا هي بالترتيب: 70 وحدة مربعة 80 وحدة مربعة 8 وحدة مربعة. ª a øe ëj (1 ق رب مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى f () = - + والمحور على الفترة ] [0, باستعمال 1 8 مستطي لا على الترتيب. استعمل الطرف الا يمن لقاعدة كل مستطيل لتحديد ارتفاعه. لاحظ ا ن المستطيلات الا قل عر ضا تم ثل المساحة المطلوبة بصورة ا فضل وتعطي تقري با ا دق للمساحة الكلية. وكما استعملنا الا طراف اليمنى لقاعدة مستطيل لتحديد ارتفاعاتها فا نه يمكننا ا ي ضا استعمال ا طرافها اليسر لتحديد ارتفاعاتها وهذا قد ينتج عنه تقريب مختلف للمساحة. ا ن استعمال الا طراف اليمنى ا و اليسر لقواعد المستطيلات لتحديد ارتفاعاتها قد يو دي ا لى ا ضافة ا جزاء لا تقع بين المنحنى والمحور ا و حذف ا جزاء تقع بين المنحنى والمحور. ومن الممكن الحصول على تقريب ا فضل للمساحة في بعض الا حيان باستعمال كل من الا طراف اليمنى واليسر لقواعد المستطيلات ثم ا خذ الوسط للتقريبين. äó«à ùª d iô ù«dgh 檫dg ±GôWC G ɪ à SÉH æëæªdg âëj ámé ùªdg : hgól f() f() = f() ق رب مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى f() = والمحور في الفترة [,0] باستعمال مستطيلات عرض كل واح د منها وحدة واحدة. استعمل الا طراف اليمنى ثم اليسر للمستطيلات لتحديد ارتفاعاتها ثم احسب الوسط للتقريبين. ا ن استعمال مستطيلات عرض كل منها وحدة واحدة ينتج عنه مستطيلات سواء ا كانت الا طراف اليمنى ا و اليسر للمستطيلات هي التي تحدد ارتفاعاتها. ويوضح الشكل (1) المستطيلات باستعمال الا طراف اليمنى في حين يوضح الشكل () المستطيلات باستعمال الا طراف اليسر. [-, ] scl: 0.5 b [-, 1] scl: SQódG

166 () πµ ûdg المساحة باستعمال الا طراف اليسر R 1 = 1 f (0) = 0 R = 1 f (1) = 1 R = 1 f () = R = 1 f () = 9 المساحة الكلية 1 وحدة مربعة 1 (1) πµ ûdg المساحة باستعمال الا طراف اليمنى R 1 = 1 f (1) = 1 R = 1 f () = R = 1 f () = 9 R = 1 f () = 1 المساحة الكلية 0 وحدة مربعة ا ي ا ن المساحة الناتجة عن استعمال الا طراف اليمنى هي 0 وحدة مربعة بينما المساحة الناتجة عن استعمال الا طراف اليسر هي 1 وحدة مربعة وهذان تقديران تقع المساحة بينهما وبحساب الوسط للقيمتين نحصل على تقريب ا فضل للمساحة وهو وحدة مربعة. ª a øe ëj 1 _ = () f والمحور في الفترة 5] [1, باستعمال مستطيلات ) ق رب مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى عرض كل واحد منها وحدة واحدة. استعمل الا طراف اليمنى ثم اليسر لقواعد المستطيلات لتحديد ارتفاعاتها ثم احسب الوسط للتقريبين. عند تقريب مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى دالة والمحور فا نه يمكننا استعمال ا ي نقطة على قاعدة المستطيل لتحديد ارتفاعه ا لا ا ن النقاط الا كثر شيو عا هي نقطتا الطرفين الا يمن والا يسر ونقطة المنتصف. πeéµàdg لاحظت في مثال 1 ا نه كلما قل عرض المستطيلات فا ن مساحتها الكلية تقترب من المساحة الفعلية تحت المنحنى ومن ذلك نستنتج ا ن المساحة المطلوبة هي نهاية مجموع مساحات المستطيلات عندما يقترب عرض كل مستطيل من الصفر. f( 1 ) f() a... b= 1-1 في الشكل المجاور ق سمت الفترة من a ا لى b ا لى من الفترات الجزي ية المتساوية الطول و تس مى هذه التجزي ة التجزيء المنتظم. ا ن طول الفترة الكلية من a ا لى b هو b - a وبذلك يكون طول كل فترة جزي ية (عرض كل مستطيل _ و يرمز له بالرمز. وبما ا ن b - من المستطيلات التي عددها ) هو a ارتفاع كل مستطيل يساوي قيمة الدالة عند الطرف الا يمن لقاعدة المستطيل فا ن ارتفاع المستطيل الا ول هو ) 1 f ( وارتفاع المستطيل الثاني هو ) f ( وهكذا يكون ارتفاع المستطيل الا خير ). f ( يمكن الا ن حساب مساحة كل مستطيل من خلال ضرب في ارتفاع ذلك المستطيل ا ي ا ن مساحة المستطيل الا ول هي f ( 1 ) ومساحة المستطيل الثاني هي f ( ) وهكذا. و تعطى المساحة الكلية A للمستطيلات بمجموع مساحاتها ويمكن كتابتها باستعمال رمز المجموع. ƒªéªdg õeq ت قرا العبارة f ( i ) i =1 كالا تي مجموع حواصل ضرب ) i f ( في من.i = ا لى i = 1 A = f ( 1 ) + f ( ) + + f ( ) A = [ f( 1 ) + f( ) + + f ( )] A = f ( i ) i =1 A = f ( i ) i =1 π üødg 1

167 فبما ا ن عرض ا ي من المستطيلات هو. i ولتسهيل الحسابات مستقب لا فا نه يمكننا اشتقاق صيغة لا يجاد ا ي. i وبالنظر ا لى خط الا عداد ا دناه: ويساوي الفرق بين ا ي قيمتين متتاليتين من قيم 1 i a a + a + a + a + i a +. i ولهذه العلاقة ا هميتها عند ا يجاد المساحة تحت منحنى ا ي دالة لاح قا. يمكننا ملاحظة ا ن = a + i لاحظ ا نه كلما اقترب عرض المستطيل من الصفر فا ن عدد المستطيلات يقترب من المالانهاية و تس مى هذه النهاية التكام ل المحدد ويع بر عنها برم ز خاص. يعبر عن مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى دالة والمحور في الفترة ] b [,a بالصيغة i =1 b f ()d = lim a _ b - a f ( i ), =, i = a + i b a سمي مجموع ريمان بهذا الاسم نسب ة للعالم الا لماني بيرنارد ريمان (18 18). والذي يعز ا لي ه ا يجاد صيغة لتقريب المساحة المحصورة باستعمال النهايات. ويمكننا تعديل الصيغة باستعمال الا طراف ال يسر ا و نقاط المنتصف لتحديد ارتفاعات المستطيلات. وتسمى عملية حساب التكامل تكا م لا وس تس هل صيغ المجاميع الا تية حساب التكامل المحدد. c = c, عدد ثابت c i =1 ( + 1) i = _ i =1 i i =1 ( + 1)( + 1) = i i =1 i i =1 i 5 i =1 ( + 1 ) = _ = = تستعمل خاصيتا المجموع الا تيتان لحساب بعض التكاملات: ( a i ± b i ) = a i ± b i, ci = c i, عدد ثابت c i =1 i =1 i =1 óëªdg πeéµàdg i =1 i =1 óëªdg πeéµàdg õeq b يقرا الرمز f ()d a التكامل من a ا لى b للدالة بالنسبة ل f () i =1 ƒªéªdg c 5 = 5 c πeéµàdg ɪ à SÉH æëæe âëj ámé ùªdg استعمل النهايات لا يجاد مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى = 1. d في الفترة ] [0, ا ي والمحور = 0. i ابدا با يجاد b - a = _ - 0 = _ = _ b =, a = 0 i i = a + i _ = 0 + i = _ i a = 0, = _ احسب التكامل المحدد الذي يعطي المساحة المطلوبة SQódG

168 i=1 f( i ) = i _ i = i _, = i ( + 1)( + 1) = d 0 i =1 = lim i =1 = lim = lim i =1 f ( i ) ( i ) ( = lim _ i=1 = lim _ i=1 = lim ( 1 _ i ) = lim _ 1_ ( = lim _ ( _ ( _ ) i ) _ 1 i i ) i =1 ( + 1)( + 1) ) ( 1 ( + + 1) ) = lim ( + + 1) = lim ( + + 1) = lim ( + + 1) = lim _ ( + _ + 1_ ) = ( lim _ ) lim + ( lim )( lim = _ [ + (0) + 0]= _ 1. 1_ ) + lim 1_ ا ي ا ن مساحة المنطقة المطلوبة هي 1. وحدة مربعة تقري با. äéjé ædg i ª a øe ëj استعمل النهايات لا يجاد مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى الدالة والمحور والمعطاة بالتكامل المحدد في ك ل مما يا تي: 1 d (B d (A 0 0 يمكننا ا ي ضا حساب مساحات المناطق باستعمال النهايات حال كون نقطة الا صل ليست ح دا ا دنى لها. π üødg 18

169 = 1 d 1 f( i ) = ( i ) i = 1 + i, = _ (1 + i) = lim f ( i ) i =1 = lim ( i ) i =1 _ = lim (1 + i ) ( _ ) i =1 = lim 8_ (1 + _ i) i =1 = lim 8_ 1 + ( _ i i =1 = lim 8_ ( 1 + _ i i =1 + _ 1 i = lim 8_ ( 1 + _ i i =1 i =1 استعمل النهايات لا يجاد مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى. d في الفترة ] [1, ا ي والمحور = 1. i ابدا با يجاد = _ b - a = _ - 1 = _ b =, a = 1 i i = a + i _ a = 1, = = 1 + i _ = 1 + i احسب التكامل المحدد والذي يعطي المساحة المطلوبة. ) + ( _ i ) + ( + i =1 + _ 8 i ) _ 1 i _ i ) + i=1 8 i = lim 8_ ( 1 + _ i + 1_ i + 8_ i i =1 i =1 i =1 ) i =1 = lim 8_ ( + ( + 1) + 1 ( + 1)( + 1) + 8_ _( + 1 ) ) = lim _ ( 8 + _ 8( +1) + 9( + + 1) + ( + + 1) ) = lim ( 8 + _ ( + 1) + 1( + + 1) + 1( + + 1) ) = lim πeéµàdg ɪ à SÉH æëæe âëj ámé ùªdg 8 + ( 1 + 1_ ) + 1 ( + _ + 1 ) ) + 1 ( 1 + _ ) + 1_ = lim 8 + lim ( 1 + 1_ + 1 lim ) ( + _ + 1_ ) + 1 lim ( 1 + _ + 1_ ) äéjé ædg i = 8 + (1 + 0) + 1( ) + 1( ) = 80 ا ي ا ن مساحة المنطقة المطلوبة هي 80 وحدة مربعة. ª a øe ëj استعمل النهايات لا يجاد مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى الدالة والمحور والمعطاة بالتكامل المحدد في ك ل مما يا تي: d (B d (A SQódG

170 10 f()= æëæe âëj ámé ùªdg 5 : ÓH يك لف تبليط القدم المربعة الواحدة من فناء منزل بالجرانيت. ريا لا. ا ذا تم تبليط ممرين متطابقين في فناء المنزل بالجرانيت وكانت المساحة بالقدم المربعة لا ي من الممرين تعطى بالتكامل 8 10 f( i ) = i _ i = 10i _, = ( ) d 0 10 ( فما تكلفة تبليط الممرين ) d 0. i ابدا با يجاد b - a = _ 10-0 = _ = 10_ a = 0, b = 10 i i = a + i a = 0, = 10 = 0 + i 10 = _ 10 i احسب التكامل المحدد والذي يعطي المساحة المطلوبة. i =1 i =1 i =1 = lim = lim = lim f ( i ) ( i ) _ ( 10 i ) 10_ 10 = lim _ ( 10 - _ 10 i ) = lim _ 10 i =1 ( i =1 = lim _ 10 ( i = i = i _ ) 10_ i =1 i ) = lim _ 10 ( 10-10_ ( + 1)( + 1) ) = lim _ ( ( + + 1) ) = lim ( ( + + 1) ) = lim _ ( + _ + 1_ ) = lim _ 50 ( lim + _ + 1_ ) = _ ( ) = _.7 ا ي ا ن مساحة ا ي من الممرين تساوي.7 ft تقري با لذا فا ن تكلفة تبليط الممرين هي (.7). ريال ا و 98.8 ريا لا تقري با. â«fgôédg ª a øe ëj :AÓW لد عبد الله كمية من الطلاء تكفي لطلاء 0 ft هل تكفي هذه الكمية لطلاء جزا ين من جدار 5 (5-0. ب رر ا جابتك. مساحة كل منهما بالقدم المربعة تع طى بالتكامل )d 0 (5 π üødg 170

171 = ( 9 العرض 0.5 ( 8 العرض = ق رب مساحة المنطقة المظللة تحت منحنى الدالة مستعم لا الطرف المعطى لتحديد ارتفاعات المستطيلات المعطى عددها في ك ل من الا شكال ا دناه: 1 ( مستطيلات ( 1 5 مستطيلات الطرف الا يمن الطرف الا يسر = = 1_ + 1 ( 5 مستطيلات ( 8 مستطيلات الطرف الا يمن الطرف الا يمن = 1_ = _ 10 :äé«vqcg يرغب ا حمد في تبليط جزء من فناء منزله على شكل نصف داي رة تمثله ) f() = (- + ق رب مساحة المنطقة نصف الداي رية باستعمال الا طراف اليسر a) لمستطيلات عرض كل منها وحدة واحدة. b) ا ذا ق رر ا حمد تقريب المساحة باستعمال الا طراف اليمنى واليسر م عا كما في الشكل ا دناه فكم تكون المساحة f() = ( + 10) c) ا وجد مساحة المنطقة باستعمال صيغة مساحة نصف الداي رة. ا ي التقريبين ا قرب ا لى المساحة الحقيقية ف سر ا جابتك. ق رب مساحة المنطقة المظ للة تحت منحنى الدالة في ك ل من الا شكال الا تية مستعم لا الا طراف اليمنى ثم اليسر لتحديد ارتفاعات المستطيلات المعطى عرض ك ل منها ثم ا وجد الوسط للتقريبين: استعمل النهايات لتقريب مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى الدالة والمحور والمعطى بالتكامل المحدد في كل مما يا تي:, 0 d ( 11 d ( ( - ) d ( ( 1 + ) d ( 1 (- + 15) d (- ( 15 + ) d ( d ( ( ) d ( :áyéñw ارجع ا لى فقرة "لماذا " في بداية الدرس. ا ذا زاد عدد الكتب المطبوعة يوم يا من 1000 كتاب ا لى 1500 كتاب فا وجد قيمة تكلفة الزيادة والمعطاة بالتكامل = ( ) d 1000 يمكن حساب التكاملات المحددة عندما يكون ا حد حدي التكامل موج با والا خر سال با. a) ا وجد طول قاعدة وارتفاع المثلث ثم مساحته باستعمال قانون مساحة المثلث. b) ا وجد مساحة المثلث بحساب التكامل ( + ) d. - استعمل النهايات لتقريب مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى الدالة والمحور والمعطى بالتكامل المحدد في كل مما يا تي: -1-1 = 0 1 ( + ) d ( 1 d ( d (- ( - ) d ( ( - ) d ( 5 ( + ) d ( - (18 (19 ( 7 العرض 0.5 ( العرض 0.5 = + 5 = - 1 ( SQódG

172 استعمل النهايات لتقريب مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى الدالة والمحور وال معطى بالتكامل المحدد في كل مما يا تي: 0-1 (- ) d (- ( 7-7) d ( - -1 (- 1_ + ) d ( 9 d ( :Ió àe äó«ãªj سوف تستقصي في هذه المسا لة عملية ا يجاد مساحة المنطقة المحصورة بين منحنيين. :Év«fÉ«H (a م ثل منحنيي f () = - +, g() = في المستو الا حداثي نفسه وظ لل المساحتين اللتين يم ثلهما 0 1 (- + ) d, التكاملان d 1 1. (- + ) d, d احسب :Év««ëJ (b 0 0 :Év«Ød c) و ضح لماذا تكون مساحة المنطقة المحصورة بين المنحنيين مساوي ة ل 1 1 -). ثم احسب هذه القيمة + ) d - d 0 0 باستعمال القيم التي ا وجدتها في الفرع. b 1 [ f() -g()] d ثم احسب f () - g() ا وجد :Év««ëJ (d 0 :Év«Ød e) خ من طريقة ا يجاد مساحة المنطقة المحصورة بين منحنيين. :CÉ îdg ûàcg سي ل ماجد وخالد عن دقة تقريب المساحة تحت منحنى باستعمال ا طراف المستطيلات فا جاب ماجد: ا نه عند تقريب المساحة تحت منحنى باستعمال ا طراف المستطيلات اليمنى فا ن المساحة الناتجة تكون ا كبر داي ما من المساحة الحقيقية تحت المنحنى. في حين ا جاب خالد: ا ن المساحة المحسوبة باستعمال ا طراف المستطيلات اليسر تكون ا كبر داي ما من المساحة الحقيقية تحت المنحنى. ا يهما كانت ا جابته صحيحة ب رر ا جابتك.. f افترض ا ن المقطع الرا سي العرضي لنفق يعطى بالدالة :ôjôñj d اشرح كيف يمكن حساب حجم النفق باستعمال f () d حيث 0 d عرض النفق ا ذا كان طوله معلو ما. ب رر ا جابتك :ÖàcG اكتب ملخ صا للخطوات المتبعة لتقريب مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى دالة والمحور على فترة معطاة. t. ( + ) d ا وجد : óëj 0 :ÖàcG و ضح ا مكانية استعمال المثلثات ا و الدواي ر في تقريب المساحة تحت المنحنيات. ا ي الشكلين يعطي تقري با ا فضل برا يك ا وجد مشتقة كل دالة مما يا تي: - j() = ( + 11)( 8-1 ) f(k) = ( k 15 + k + k)(k - 7 k ) s(t) = ( t - 7)(t 8-5t) ا وجد ميل مماس منحنى كل دالة مما يا تي عندما = 1 - : = = = ( + 1)( - ) ا وجد كل نهاية مما يا تي (ا ن وجدت): - lim _ + ( 1 0 ما مساحة المنطقة المحصورة بين + = - - والمحور في الفترة [,] = ( (a 9. A وحدة مربعة تقري با 90 B وحدة مربعة تقري با 8.7 C وحدة مربعة تقري با 5 D وحدة مربعة تقري با _ a - 5_ a + _ ا ي مما يا تي يم ثل مشتقة a + a (a) = 8a - 5a + a A (a) = a - 5a + a + B (a) = - _ a + 5_ a - _ a + C 5 (a) = - _ a + 10_ a - 1_ a 5 + D lim ما قيمة _ 15 C 1_ 15 A _ 15 D _ 15 B ( (7 (8 (9 (0 (1 lim _ - + ( - 1 lim _ - 9 ( - 7 (5 ( (7 (0 (1 ( ( ( (5 π üødg 17

173 πeéµàdgh π VÉØàdG»a á«sé SC G ájô ædg The Fudametal Theorem of Calculus سقط قلم من جيب علي في ا ثناء ركوبه منطا دا فهو نحو الا رض. ا ذا كانت سرعة سقوط القلم المتجهة بالقدم لكل ثانية تعطى ب v(t) = - t فمن الممكن ا يجاد الارتفاع الذي سقط منه القلم. óëªdg ô«z πeéµàdgh á«uc G GhódG تعلمت في الدرسين - و - ا نه ا ذا ا عط ي ت موقع جسم ب f () = + فا ن العبارة التي تم ثل سرعة الجسم هي مشتقة () f ا و + f () = لكن ا ذا ا عطيت عبارة تم ثل السرعة و ط لب ا ليك ا يجاد صيغة المسافة التي تم ا يجاد السرعة منها فلا بد من وجود طريقة للعمل عكس يا والعودة ا لى الدالة الا صلية وا لغاء الاشتقاق. وبمعنى ا خر فا ننا نبحث عن F() بحيث ا ن (). F () = f و تس مى F() دالة ا ص لية للدالة. f ا وجد دالة ا صلية لكل دالة مما يا تي: á«uc G GhódG ÉéjEG 1 f() = (a لنبحث عن دالة مشتقتها. تذكر ا ن قوة في مشتقة دالة القوة ا قل بواحد من قوة في الدالة. وعليه فا ن قوة المتغير في F() ستكون وبما ا ن معامل في مشتقة الدالة يساوي قوة في الدالة فا ن F() = تحقق المطلوب. حيث ا ن مشتقة هي - 1 ا و. ا ن ليست الدالة الوحيدة التي تحق ق المطلوب فمث لا + 10 G() = تحقق المطلوب ا ي ضا لا ن G () = = وكذلك - 7 H() = تحقق المطلوب. f () = - 8_ 9 (b ا عد كتابة () f بقو سالبة لتحصل على 9- f () = - 8 وبما ا ن قوة في مشتقة الدالة ا قل بواحد من قوة في الدالة فا ن قوة في F() ستكون 8- وعليه تكون 8- F =() دالة ا صلية للدالة f فمشتقة -8 هي = -8. لاحظ ا ن ك لا من + -8 H() = -8-1 G() = تم ثل دالة ا صلية للدالة. f ª a øe ëj ا وجد دا لتين ا صليتين مختلفتين لكل دالة مما يا تي: -5 atiderivative idefiite itegral Fudametal Theorem of Calculus - - (1B (1A في المثال 1 لاحظ ا ن ا ضافة ا و طرح ثابت لدا ل ة ا صلية ينتج عنه دالة ا صلية ا خر وبشكل عام فا ن ا ضافة ا و طرح ثابت C لدالة ا صلية ينتج دالة ا صلية ا خر لا ن مشتقة الثابت صفر. وعليه فا ن هناك عد دا لانهاي يا من الدوال الا صلية لا ي دالة. والشكل العام للدالة الا صلية هو الشكل الذي يحوي الثابت. C 17 - SQódG

174 F() = _ + 1 كما في المشتقات فا ن هناك قواعد لا يجاد الدالة الا صلية. á«uc G ádgódg óygƒb C -1 f () = Iƒ dg IóYÉb k -1 f () = k ádg Üô V IóYÉb âhék óy»a Iƒ dg F() = k _ C G() F() g() f(). f() ± g() F () ± G () ôødgh ƒªéªdg IóYÉb á«uc G GhódG óygƒb ا وجد جميع الدوال الا صلية لكل دالة مما يا تي: f () = 7 F() = f () F() = _ C = 1_ 8 + C = _ = - _ C f () = 7 (a f() = =- _ - + C = - _ + C f () = = _ (b f() = (c á«uc G GhódG F () =k f () =k f () = F () = óëªdg ô«z πeéµàdg F() = _ _ _ C = 1_ C ª a øe ëj ا وجد جميع الدوال الا صلية لكل دالة مما يا تي: f() = (C f() = _ 10 (B f() = (A يعطى الشكل العام لل دالة الا صلية باسم ورمز خا صين. óëªdg ô«z πeéµàdg f () F() f () d = F() + C f C π üødg 17

175 óëªdg ô«z πeéµàdg :AÉjõ«a ا جر طلاب الصف الثالث الثانوي في ا حد المدارس الثانوية تجربة فيزياي ية تتضمن ا سقاط كرة من نافذة الفصل التي ترتفع عن سطح الا رض ب 0 ft وتم ثل v(t) = t- سرع ة الكرة المتجهة اللحظية بالا قدام بعد t ثانية من سقوطها. a) ا وجد دا لة موقع الكرة s(t) بعد t ثانية من سقوطها. لا يجاد دالة الموقع ا وجد الدالة الا صلية ل v(t). s(t) = v(t) dt v(t) = -t = -t dt = -_ t C = -1 t + C ا وجد C بتعويض 0 ft للارتفاع الابتداي ي s 0 للزمن الابتداي ي. v(t) s(t) = 0, t = 0 s(t) = -1 t + C 0 =-1(0 ) + C 0 =C ا ي ا ن دالة موقع الكرة هي + 0. s(t) = -1 t b) ا وجد الزمن الذي تستغرقه الكرة حتى تصل ا لى سطح الا رض. s(t) = ح ل المعادلة = 0 s(t). s(t) = -1 t = -1 t = -1 t t 1.9 t ا ي ا ن الكرة ستستغرق 1.9 s تقري با حتى تصل ا لى سطح الا رض. ª a øe ëj ) ƒ S ô: om عند قيام فن ي با صلاح نافذة برج على ارتفاع 10 ft سقطت محفظ ته نحو الا رض وتم ثل v(t) = - t سرعة المحفظة المتجهة اللحظية بالا قدام بعد t ثانية من سقوطها. A) ا وجد دالة موقع المحفظة s(t) بعد t ثانية من سقوطها. B) ا وجد الزمن الذي تستغر ق ه المحفظة حتى تصل ا لى سطح الا رض. ôëdg ƒ ùdg πeéµàdgh π VÉØàdG a«á«sé SC G ájô ædg لاحظ ا ن الرمز ال مستعمل للتكامل غير المحدد يبدو شبي ها بالرمز الذي اس تعمل للتكامل المحدد في الدرس -5 ا ذ ا ن الفرق الوحيد هو عدم ظهور ح دي التكامل الا على والا دنى في رمز التكامل غير المحدد. ا ن ا يجاد الدالة الا صلية لدالة ما: هو طريقة مختصرة لحساب التكامل المحدد للدالة نفسها باستعمال مجموع ريمان. وهذه العلاقة بين التكاملات المحددة والدوال الا صلية ذات ا همية كبيرة و تسمى النظرية الا ساسية ف ي التفاضل والتكامل. πeéµàdgh π VÉØàdG»a á«sé SC G ájô ædg SQódG f ()F() b f () d = F (b) - F (a) a F() a b

176 من نتاي ج النظرية الا ساسية في التفاضل والتكامل ا نها ربطت بين التكاملات والمشتقات فالتكامل هو عملية ا يجاد دوال ا صلية في حين ا ن الاشتقاق هو عملية ا يجاد مشتقات. لذا فا ن عمليتي التكامل والاشتقاق هما عمليتان عكسيتان ويمكننا استعمال النظرية الا ساسية في التفاضل والتكامل لحساب التكاملات المحددة دون الحاجة ا لى استعمال النهايات. æëæe âëj ámé ùªdg استعمل النظرية الا ساسية في التفاضل والتكامل لحساب مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى كل دالة مما يا تي والمحور على الفترة المعطاة: = 1. d على الفترة ], 1 ] ا ي = (a 1 ا و لا: ا وجد الدالة الا صلية. d = _ C = + C الا ن: احسب قيمة الدالة الا صلية عند الحدين الا على والا دنى للتكامل ثم ا وجد الفرق. a = 1,b = d 1 = + C 1 = ( () + C) - ( (1) + C) = 81-1 = 80 ا ي ا ن مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى = والمحور على الفترة [,1] هي 80 وحدة مربعة. ( ) ø ùælcg ÉjQÉe Aaltical Istitutios 8 = (- + + ) d على الفترة ], 0 ] ا ي = (b 0 ا و لا: ا وجد الدالة الا صلية. (- + + ) d = -_ _ _ C = -_ C الا ن: احسب قيمة الدالة الا صلية عند الحدين الا على والا دنى للتكامل ثم ا وجد الفرق. a = 0,b = (- + + ) d 0 = -_ C 0 = _ (- () + ( ) + () + C) - (- (0) _ + (0 ) + (0) + C) ا ي ا ن مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى + = - + والمحور على الفترة ] [0, هي.7 وحدة مربعة تقري با. ª a øe ëj احسب كل تكامل محدد مما يا تي: (1-5 ) d (B d (A 1 لاحظ ا نه عند حساب قيمة الدالة الا صلية عند الحدين الا على والا دنى للتكامل وحساب الفرق بين القيمتين فا ن C لن تظهر في الناتج وذلك لا ن C موجودة في كلتا الدالتين الا صليتين فا ن الفرق بين قيمتي C يساوي صف را. لذا فا نه لحساب تكامل محدد باستعمال النظرية الا ساسية في التفاضل والتكامل يمكنك ا همال الثابت C وعدم كتابته في الدالة الا صلية. π üødg 17

177 قبل حساب التكامل ح دد ما ا ذا كان محد دا ا و غير محدد. احسب كل تكامل مما يا تي: (9 - ) d (a هذا تكامل غير محدد. استعمل قواعد الدالة الا صلية لحسابه. (9-9 = _ ) d _ C = 9_ -_ + C (9 - ) d (b هذا تكامل محدد. احسب قيمة التكامل باستعمال قيمة الدالة الا صلية عند الحدين الا على والا دنى. a =,b = IóëªdG ô«zh IóëªdG äóeéµàdg = ( 9_ -_ ) (9 - ) d = ( 9_ () () -_ ) - 9_ () () -_ = =.5 5 äóeéµàdg C ª a øe ëj احسب كل تكامل مما يا تي: ( ) d (5B ( ) d (5A 1 لاحظ ا ن التكامل غير المحدد يعطي الدا لة الا صلية في حين لا يعطي التكامل المحدد الدالة الا صلية بصورة صريحة بل هو الفرق بين قيمتي الدالة الا صلية عند الحدين الا على والا دنى. ا ي ا ن التكامل غير المحدد يعطي دالة وهي الدالة الا صلية ويمكن استعمالها لا يجاد مساحة المنطقة تحت منحنى الدالة بين ا ي حدين ا على وا دنى ليصبح التكامل عندها محد دا. IóëªdG äóeéµàdg 0.5 يعطى الشغل اللازم لشد نابض ما مسافة 0.5 m من موضعه الطبيعي بالتكامل 0 d. 0 ما قيمة الشغل اللازم لشد النابض مقي سا بوحدة الجول a = 0,b = 0.5 احسب قيمة التكامل المحدد. 0.5 = d 0 0 = 180(0.5 ) - 180(0 ) = 5-0 = 5 ا ي ا ن الشغل اللازم هو. 5 J ª a øe ëj ا وجد الشغل اللازم لشد نابض مسافة ما والمعطى بالتكامل في كل مما يا تي: d (B 7 d (A SQódG

178 ا وجد جميع الدوال الا صلية لكل دا لة مما يا تي: 1, f() = 5 f(z) = z ( q(r) = _ r _ 5 + 5_ 8 r 1_ + r 1_ ( w(u) = _ u 5 + 1_ u - _ 5 u ( 1 u(d) = _ d + 5_ 5 d - d +.5 (5 m(t) = 1 t - 1 t + 0 t - 11 :ôm ƒ S ارجع ا لى فقرة "لماذا " في بداية الدرس. افترض ا ن القلم قد استغرق s حتى الوصول ا لى سطح الا رض.. s(t) = -t dt ا وجد دالة الموقع (a. s(t) =0 t = s عندما C احسب قيمة (b c) ما ارتفاع القلم عن سطح الا رض بعد 1.5 s من سقوطه احسب كل تكامل مما يا تي:,5 احسب كل تكامل مما يا تي: (- + 10) d ( 17 d ( 1 ( ) d ( 19 _ 5 + _ 5 ) d ( 18 - ( ) d - :äéahò e تعطى سرعة مقذوف ب + 10 t v(t) = - حيث v(t) السرعة المتجهة بالا قدام لكل ثانية بعد t ثانية ويبلغ ارتفاعه. s بعد 8 ft ( 1 - a) ا وجد ا قصى ارتفاع يصله المقذوف. b) ا وجد سرعة المقذوف عندما يصل ا لى سطح الا رض. احسب كل تكامل مما يا تي: (10 t - 1 t + 5) dt (t ( + 8t) dt ( - (-9 t + t) dt ( t ( t + ) dt ( + (t + t + 1) dt ( 7 (1t - 15 t + 7) dt ( :IôµdG ºéM يمكن ا يجاد حجم كرة طول نصف قطرها R بقصها ا لى حلقات داي رية من خلال مستويات را سية متوازية ثم ا جراء تكامل لحساب مساحات الحلقات الداي رية. R R - (0 (1 (8 5 1 ( a - a + ) da ( 1_ h + _ h - 1_ 5 h ) dh 1 (. t - 1. t +. t ) dt (1 ( (7 (m + 1 m ) dm (8 d (9 (10 (11 (1 (1. w w w. + ) dw (1 :ägô ûm تعطى سرعة قفز حشرة ب + t v(t) = - حيث t الزمن بالثواني و v(t) السرعة المتجهة بالا قدام لكل ثانية. C للحشرة ثم احسب قيمة الثابت s(t) ا وجد دالة الموقع a) بفرض ا نه عندما = 0 t فا ن = 0 s(t). b) ا وجد الزمن من لحظة قفز الحشرة حتى هبوطها على سطح الا رض :á Sóæg ص مم مهندس مدخل بناية على شكل قوس يمكن وصفه _- = حيث بالا قدام. احسب مساحة المنطقة ب تحت القوس. يبلغ طول نصف قطر كل حلقة R - ا ي ا ن مساحة كل. π ( R - ) حلقة هي R (π R لحساب حجم الكرة. ا وجد - π ) d -R f() احسب مساحة المنطقة المحصورة بين منحنيي :äémé ùe. 1 في الفترة والمحور g() 9 f() = + 1 g() = (9 (1 (15 π üødg 178

179 :Ió àe äó«ãªj ستستكشف في هذه المسا لة العلاقة بين قيمة تكامل دالة على فترة ومساحة المنطقة المحصورة بين منحنى الدالة والمحور وتا ثير موقع الدالة بالنسبة لمحور على ا شارة التكامل. :Év«Sóæg (a م ثل الدالة f() = بيان يا وظ لل المنطقة المحصورة بين f() والمحور في الفترة 0. :Év««ëJ b) احسب ك لا من: ( - + 8) d, ( - + 8) d 0 :Év«Ød c) ا ع ط تخمين ا حول مساحة المنطقة الواقعة فوق ا و تحت المحور. Év««ëJ d) ا وجد التكامل على الفترة كاملة من خلال حساب ) ثم ا وجد المساحة الكلية من خلال - + 8) d 0 حساب ( - + 8) d + 0 ( - + 8) d :Év«Ød e) ا ع ط تخمين ا حول الفرق بين قيمة التكامل على الفترة كاملة والمساحة الكلية. استعمل النهايات لتقريب مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى الدالة والمحور والمعطاة بالتكامل في كل مما يا تي: -5 ( + ) d 1 ( 9 d ( استعمل قاعدة القسمة لا يجاد مشتقة كل دالة مما يا تي: - k j(k) = _ 8-7k (0 k + 11 k g() = _ a فا وجد قيمة lim ا ذا كان = 8 ) 1 ( + a ا وجد معادلة ميل منحنى كل دالة مما يا تي عند ا ي نقطة عليه: - = + = ا ذا كان = d k فما قيمة k 0 1 A B C D (1 ( ( ( (5 r (1 óëj : احسب قيمة r - d حيث r عدد ثابت. -r :ôjôñj ح دد ما ا ذا كانت كل عبارة مما يا تي صحيحة داي ما ا و صحيحة ا حيا نا ا و غير صحيحة ا ب دا. ب رر ا جابتك: b a f() d = f() d a b b -a f() d = f() d a -b b a f() d = f() d a b (0 ( ( ( : ÉgôH ا ثبت ا نه لا ي عددين ثابتين m فا ن (5 b b b. ( + m) d = d + m d a a a b :ôjôñj صف قيم f (), f( i ), f() d عندما يقع i=1 a التمثيل البياني للدالة f تحت المحور في الفترة. a b ( :ÖàcG ب ين لماذا يمكننا ا همال الحد الثابت C في الدالة الا صلية عند حساب التكامل المحدد. ( SQódG

180 á LGôªdGh á SGQódG π«d ägôøªdg JGôØe ôñàng اختر المفردة المناسبة لكل عبارة مما يا تي: والذي ميل المنحنى غير الخطي عند نقطة عليه هو 1) يمكن تمثيله بميل مماس منحنى الدالة عند تلك النقطة. ) يمكن ا يجاد مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى دالة والمحور باستعمال. ) يمكن ا يجاد نهايات دوال كثيرات الحدود والدوال النسبية باستعمال وذلك ا ذا كان مقام الدالة النسبية لا يساوي صف را عند النقطة التي تحسب عندها النهاية. ( ا ذا كان () F () = f فا ن F() تسمى ل (). f 0_ 5) يسمى ناتج التعويض في النهايات على الصورة 0 ب. ) تسمى عملية ا يجاد المشتقة ب. 7) ا ذا سبقت دالة ب الدالة. _ d فا ن ذلك يعني ا يجاد مشتقة d 8) يطلق على السرعة المتجهة عند لحظة زمنية محددة. á«sé SCG º«gÉØe -1 Év«fÉ«H äéjé ædg ôjó J cf () f ()cf () c f () c. cf () - ÉvjôÑL äéjé ædg ÜÉ ùm _ á éàªdg áyô ùdgh SɪªdG (, f ()) f (, f ()) m = f() ( + h, f( + h)) (, f()) h m = lim h 0 f( h) + f() + h f ( + h) - f () h - á à ûªdg f ()f () = f () = πeéµàdgh æëæªdg âëj ámé ùªdg f () b a b f () d = lim f ( a i ) i=1 b - a = _, i = a + i - πeéµàdgh π VÉØàdG»a á«sé SC G ájô ædg F()f () = C F() = _ C f ()F() a b f () d = F(b) - F(a) π üødg 180

181 ShQódG á LGôe ق در كل نهاية مما يا تي باستعمال التمثيل البياني ثم ع زز ا جابتك باستعمال جدول قيم: lim ( - 7 ) (9 lim ( ) (10 1 ق در كل نهاية مما يا تي: lim باستعمال التمثيل البياني ثم ع زز ا جابتك باستعمال 1 _ - ق در - جدول قيم. _ = () f ا دناه ا نه - يب ين التمثيل البياني للدالة - :Év«fÉ«H π«ëàdg كلما اقتربت قيم من العدد فا ن قيم () f المقابلة تقترب من _ lim بالعدد. - لذا فا ن با مكاننا تقدير - (18-1 äéëø üdg) Év«fÉ«H äéjé ædg ôjó J -1 f() = _ lim _ (11 :ÉvjóY õjõ àdg ك ون جدول قيم باختيار قيم القريبة من العدد من كلا الجهتين f () lim _ lim ( (1 lim (1 - يب ين نمط قيم () f ا نه كلما اقتربت قيم من العدد من اليسار ومن اليمين فا ن قيم () f تقترب من العدد. استعمل خصاي ص النهايات لحساب كل نهاية مما يا تي: lim (15 5 lim -1 ( ) (1 احسب كل نهاية مما يا تي باستعمال التعويض المباشر ا ذا كان ممكن ا وا لا فاذكر السبب. احسب كل نهاية مما يا تي باستعمال التعويض المباشر ا ذا كان ذلك ممكن ا وا لا فاذكر السبب. lim ( ) (a بما ا ن هذه نهاية كثيرة حدود لذا يمكننا حسابها باستعمال التعويض المباشر. lim ( ) = ( ) - + () + 1 = = 1 _ - 7 lim - - بما ا ن هذه نهاية دالة نسبية مقامها ليس صف را عندما - = لذا يمكننا حسابها باستعمال التعويض المباشر. _ - 7 _ lim - - = (-) (-) = = 15 1 (b 17 1 ÉvjôÑL äéjé ædg ÜÉ ùm _ lim (17 lim ( ) (18 احسب كل نهاية مما يا تي: lim - - _ (19 lim ( - + ) ( SQódG π üødg

182 á LGôªdGh á SGQódG π«d ا وجد ميل مماس منحنى = عند النقطة ) (,. = f ( + h) = ( + h ), f () = h f ( + h) - f () m = lim h 0 h = lim f ( + h) - f () h 0 h ( + h ) - = lim h 0 h = lim + h + h - h 0 h = lim _ h( + h) h 0 h = lim ( + h) h 0 = + 0 = ا ي ا ن ميل مماس منحنى = عند النقطة (,) هو á éàªdg áyô ùdgh SɪªdG - ا وجد ميل مماس منحنى كل دالة مما يا تي عند النقاط المعطاة : = -, (-1, 7), (, ) (1 = +, (0, ), (-1, ) ( ا وجد معادلة ميل منحنى كل دال ة مما يا تي عند ا ي نقطة عليه: = - + ( = + ( تم ثل s(t) في كل مما يا تي موقع جسم بالا قدام بعد t ثانية. ا وجد سرعة الجسم المتجهة اللحظية عند الزمن المعطى: s(t) = 15t - 1 t, t = 0.5 (5 s(t) = -1 t - 5t + 00, t =.5 ( تم ثل h(t) في كل مما يا تي مسار جسم متحرك. ا وجد السرعة المتجهة اللحظية v(t) للجسم عند ا ي زمن: h(t) = 8 - t + t (8 h(t) = 1 t - 5 (7 _ ا وجد مشتقة كل دالة مما يا تي باستعمال النهايات ثم احسب قيمة المشتقة عند النقاط المعطاة. g(t) = - t + 5t + 11, t = -, 1 (9 m( j) = 10j -, j = 5, - (0 ا وجد مشتقة كل دالة مما يا تي: z() = + 9 ( p(v) = -9 v + 1 (1 _ g(h) = h - 8 h 1_ + 5 ( 5 t() = - ( استعمل قاعدة مشتقة القسمة لا يجاد مشتقة كل دالة مما يا تي: 5 - m m(q) = ( f(m) = _. h() = - 5 ا وجد مشتقة + افترض ا ن +. f () = - 5, g () = لذا f (), g() ا وجد مشتقة كل من. h() = f ()/g() f () = - 5 f () = g() = + g () = استعمل () f (), f (), g(), g لا يجاد مشتقة h(). h () = f ()g () - f() g () [ g() ] = ( + ) - ( - 5) ( + ) - = ( + ) 15 1 äé à ûªdg q - q + 9 q m (5 π üødg 18

183 ق رب مساحة المنطقة المظللة تحت منحنى كل دالة مما يا تي باستعمال الا طراف اليمنى و 5 مستطيلات: f() = (8 (7 f() = 8_ استعمل النهايات لتقريب مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى الدالة والمحور والمعطى بالتكامل المحدد في كل مما يا تي: استعمل النهايات لا يجاد مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى. d في الفترة ] [0, ا و والمحور = 0. i ابدا با يجاد _ i = i _, = b - a = _ - 0 = _ = _ b =, a = 0 = 0 + i _ = _ i i a = 0, = _ i=1 d = lim 0 = lim _ i (_ ( i=1 ) ( _ i _ ) ) = lim _ ( _ ( + 1)( + 1) ) = lim ( 8( + + 1) ) = lim 8_ ( + _ + 1_ ) = 1_ 5. d (9 1 ( - 1) d (0 0 ( + ) d (1 0 ( - ) d ( 1 ا وجد جميع الدوال الا صلية لكل دالة مما يا تي: g() = 5 - ( r(q) = - q + 9q - ( m(t) = t - 1 t + t - 11 (5 p(h) = 7 h + h 5-1 h - ( 1 احسب كل تكامل مما يا تي: ا وجد جميع الدوال الا صلية لكل دالة مما يا تي: f () = -5 F() = _ C f () = _ 5 (a = - + C = - 1_ + C f () = - 7 (b f () = - 7 = F() = _ _ C = 1_ C 1 17 πeéµàdgh æëæªdg âëj ámé ùªdg πeéµàdgh π VÉØàdG»a á«sé SC G ájô ædg -5-8 d (7 ( - ) d (8 5 ( ) d (9 ( ) d ( SQódG π üødg

184 á LGôªdGh á SGQódG π«d 51) :äéfgƒ«m يعطى عدد الحيوانات P في محم ية طبيعية بالمي ات بعد 0 t. t حيث 5 P(t) = + 8t t سنة بالدالة 5 t - 70t a) ا وجد العدد التقريبي للحيوانات في المحم ية بعد 5 سنوات. b) ا وجد( P(t lim t 5) ëj :á«æa لد سلمان تحفة فنية يزداد سعرها كل سنة. 800t افترض ا ن الدالة _ = v(t) تم ثل سعر التحفة بعد t سنة πfé ùeh äé «Ñ J t + 19 بمي ات الريالات ) :ájéeq ا طلق محمد سه ما بسرعة 5 ft/s باتجاه هدف. افترض ا ن ارتفاع السهم h بالا قدام بعد t ثانية من ا طلاقه معطى بالدالة -. h(t) = -1 t + 5t t استعمل الا لة البيانية لتمثيل الدالة في الفترة 10 a) b) استعمل التمثيل البياني في الفرع a لتقريب سعر التحفة عندما. t =,, 10 استعمل التمثيل البياني في الفرع a لحساب v(t). lim t (c و ضح العلاقة بين نهاية الدالة وسعر التحفة. d) e) بعد 10 سنوات ق دم ا حد المعارض الفنية عر ضا لشراء التحفة من سلمان بسعر 0000 ريال هل من الا فضل بيعها بهذا السعر ب رر ا جابتك. 50 5) :äé «Ñe افترض ا ن الدالة _ = v(t) تم ثل سعر سلعة 5 + 5(0. ) t ما بالريالات بعد t سنة. - a) ا كمل الجدول ا دناه: 1 0 áæ ùdg ô ùdg. 0 t استعمل الا لة البيانية لتمثيل الدالة في الفترة 10 b) استعمل التمث يل البياني لتقدير v(t) lim ا ذا كانت موجودة. t (c و ضح العلاقة بين نهاية الدالة وسعر السلعة. d) 5) :ïjqgƒ U ا طلق صاروخ را س يا ا لى ا على بسرعة 150. ft/s افترض ا ن ارتفاع الصاروخ h(t) بالا قدام بعد t ثانية يعطى بالدالة -. h(t) = -1 t + 150t + 8. a) ا وجد السرعة المتجهة اللحظية v(t) للصاروخ. b) ما سرعة الصاروخ بعد 1.5 s من ا طلاقه c) متى يصل الصاروخ ا لى ا قصى ارتفاع d) ما ا قصى ارتفاع يصل ا ليه الصاروخ a) اكتب معادلة السرعة المتجهة اللحظية( v(t للسهم. b) ما سرعة السهم بعد s/0.5 من ا طلاقه c) متى يصل السهم ا لى ا قصى ارتفاع d) ما ا قصى ارتفاع يصل ا ليه السهم 5) :º«ª üj يقوم مصمم ا لبسة رياضية بعمل شعار جديد يشبه المنطقة المظللة تحت المنحنى ا دناه حيث سيقوم بخياطة هذا الشعار على قمصان لاعبي فريق رياضي ما مقدار القماش الذي يحتاج ا ليه لعمل 50 شعا را ا ذا كانت بالبوصات - 8 = ) : ÉØ V تم ثل الدالة + t- v(t) = سرعة قفز ضفدع بالا قدام لكل ثانية حيث t الزمن بالثواني. -.t عندما = 0 s(t) على فرض ا ن = 0 s(t) ا وجد موقع الضفدع (a b) ما الزمن الذي يستغرقه الضفدع في الهواء عند قفزه 0 ft سقطت حبة قمح من منقار حمامة تطير على ارتفاع :Qƒ«W 58) و تعطى سرعة سقوط الحبة بالدالة v(t) = t- حيث t الزمن بالثواني v(t) بالا قدام لكل ثانية. - a) ا وجد موقع الحبة s(t) عند ا ي زمن. b) ا وجد الزمن الذي تستغرقه الحبة حتى تصل ا لى سطح الا رض. π üødg 18