جامعة )0/434( 6 69-88 ثلخيص: أكاد ميت اللاسمي في هرا امللال أجىاول بػض املخبا ىاث الشهيرة في الس اضياث مؼ اسخػساض لبراهينها وأمثلت السخػماالتها أغسض حػميما ملخبا ىت هىلدز مؼ البرهان وغسض شسط حدور املساواة في امللال الػد د م الاسخيخاحاث ملخبا ىاث كثيرة في الس اضياث الىاججت غ حػميم مخبا ىت هىلدز هبدأ بػسض مخبا ىت كىش ي-شفازجص: وػخمد غلى املخبا ىت البسيعت لاجيت: هظرية )محباينة ثمهيدية )أ((: ل وكل بسهان: جكافئ حليليين خحلم أن : وهي جكافئ وأن,,,,,, و ( ) 0 الدساوي حدر إذا وفلغ إذا كان هظرية )محباينة كوش ي- شفارثز(: أغداد M حليليت خحلم أن : بحيث أن أو و حدر الدساوي إذا وفلغ إذا وحد M 0 0 0 أو 0 0 بسهان: إذا كان أو 0 و فم الىاضح أن 0 0 هفسض لان أن وأن حامػت الػدد )0( 6 صفحت 969 أي أن ليسذ حميؼ الحدود B,,, 0 أصفازا وليسذ حميؼ الحدود أصفازا A و هسمص :,,, م أحل الخبسيغ في الكخابت
حسب املخبا ىت)أ( التي افخخحىا بها فإن: y B y y y y A B و A B A B A B A B AB هسمص A لرلك: أي أن أي أن A B A M هسمص B, حيث أن M 0 زابذ و ب A B M وهى كافئ حدر الدساوي أي أن أي أن غىدما وسدبدل فىحصل غلى: لك لرلك هخىصل إلى أن ب متى حدر الدساوي حامػت الػدد )0( 6 صفحت 7
M ىحد M 0 بحيث أن t ىحد t 0 بحيث أن y 36 أمثلة: غىدما مثال حد الليمت الكبري والليمت الصغسي للملداز y y y y حل: لرلك حسب كىش ي-شفازجص 6 y 36 6 حدر الدساوي غىد ما ىحد زابذ t بحيث و أن t t y أي: t 3 t t 6 y 6, الليمت الػظمى 6 y 3 و y 3 3 y 6 أي غىدما متى كىن بىفس العس لت هخىصل إلى أن غىدما مثال حد الليمت الػظمى للملداز 3y, الليمت الصغسي للدالت y 00 y y 3 3 0 00 0 0 t y 3t t حل: حدر الدساوي غىدما ىحد بحيث أن t 0 t 9t 0 0 y 3 0 و 0 t غىدما 0 فإن وفي هره الحالت كيمت امللداز حساوي 0 0 وهي الليمت الػظمى 3y حامػت الػدد )0( 6 صفحت 979
y 3 0 و 0 t غىدما 0 فإن وفي هره الحالت كيمت امللداز y R y حساوي 3y وهي الليمت الصغسي حامػت الػدد )0( 6 صفحت 7 0 0 مثال 3 أكد أن الليمت الػظمى للملداز )والليمت الصغسي هي غىدما هي 4 9y 00 3y, t 3 5 t 3 ) R R مثال 4 حد الليمت الػظمى للملداز حل: 3 غىدما 5y وػىض 3y 00 4 9y 00 y 3 و t أي أن أي أن املسألت هي: إ جاد الليمت الػظمى للملداز جحذ الشسط 3 5 3 00 t 00 م املسألت السابلت, واضح أن الليمت الػظمى حساوي y مثال 5 حد الليمت الصغسي للملداز حل: إذا غلمذ أن y0 ( y) 00 y y 00 ) y y y لك لرلك فإن فإن لرلك )املساواة غىدما y y y y 00 y y 50 لرلك فإن 5 y 00 y أي أن الليمت الصغسي للملداز مثال 6 حد الليمت الصغسي للملداز هي غىدما إذا غلمذ أن أي غىدما y5 y A y y بىفس العس لت هخىصل إلى أن الليمت الصغسي للملداز كىن y A )كيف ( حساوي غىدما A
مثال 7 حد الليمت الصغسي للملداز حل: إذا غلمذ أن y z A y z ( y z) A y z ( y z yz) A y z ( y ) ( z ) ( y z ) y z ( y z yz) A 3( y z ) A y z A 3 y z A 3 و y z d و حدر الدساوي غىدما مثال 8 حد الليمت الصغسي للملداز حامػت الػدد )0( 6 صفحت 97 غىدما كىن A y z d A حل: بىفس العس لت هخىصل إلى أن الليمت الصغسي هي 4 A y z d غىدما A 4 سؤال )جعميم( حد الليمت الصغسي للملداز إذا كان 3 )محباينة ثمهيدية )ب(( و مىحبين و خحلم أن و حدر الدساوي إذا وفلغ إذا مىحبين ( هره املخبا ىت هي حػميم املخبا ىت الخمهيد ت )أ(( بسهان: وسخػين بصفت الخحدب إلى أسفل للدالت f ( ) l, l( y) l l y
و y إذا وفلغ إذا مىحبين و حدر الدساوي y املخبا ىت ماخيرة جكافئ: l( y) l l y l y y y وبما أن l وسدبدل دالت جصاغد ت فإن y, لرلك فإن وأن الدساوي إذا وفلغ إذا املخبا ىت التي سىبرهنها لان هي مخبا ىت هىلدز Holde وهي حػميم ملخبا ىت كىش ي-شفازجص غدد مىحبين و B Holde,,, eulty, محباينة لخك هولدر أغدادا حليليت وليك k y A ( ) ( ) k 0 بحيث أن B ( ) فإن :,,, 4 بحيث أن و حدر الدساوي إذا وفلغ إذا وحد A ( ) بسهان: هسمص y ( y ) ( y ) A B A B A B A B حامػت الػدد )0( 6 صفحت 74
لرلك فإن: وهرا لك AB y ( y ) y k وهرا كافئ : AB وهرا كافئ ( ) ( ) أي أن: متى حدر الدساوي حدر الدساوي غىدما حدر الدساوي y حدر إذا وفلغ إذا و لرلك حدر الدساوي إذا وفلغ إذا : B y A B B y B B A A k 0 أي أن الدساوي حدر إذا وفلغ إذا وحد بحيث أن : ألن ( ) ( ) مالحظت: واضح أن t, t,, t أغدادا,,, هظرية: إذا كاهذ أغدادا حليليت مىحبت و t t : فإن 5 حليليت مىحبت ومجمىغها وفلغ إذا جحلم أن و حدر الدساوي إذا )هره املخبا ىت هي حػميم t t t t 3 3 للىظس ت الخمهيد ت )ب(( بسهان: باالسخلساء الس اض ي هفسض صدق اللضيت ل وهبرهنها ل )غىدما واضح غىدما هره هي املخبا ىت الخمهيد ت )ب(( حامػت الػدد )0( 6 صفحت 97
,,,,,, أغدادا حليليت مىحبت ولخك,, لخك أغدادا حليليت مىحبت ومجمىغها فإن : ( ) حسب فسضيت الاسخلساء الس اض ي )هسي أغدادا حليليت( فإن : ( ) ( )( ) 3 وأن الدساوي حدر إذا وفلغ إذا جحلم: 3 ( ) حسب مخبا ىت ب: ( ) ( ) حلم: ( ) لرلك فإن الحد ماخير في املجمىع ( ) ( ) لك لرلك فإن : حدر الدساوي إذا وفلغ جحلم أن حامػت الػدد )0( 6 صفحت 76
لرلك فبما أن فييخج أن : 3 3 لرلك فإن بهرا يخهي بسهان الىظس ت باالسخلساء الس اض ي )املعد ل الحسابي- املعد ل الهندس ي( ن 6 محباينة امل ع د AM-GM لي t,,,, إذا كاهذ أغدادا حليليت مىحبت فإن : 3 حدر الدساوي إذا وفلغ إذا جحلم ن بسهان: مخبا ىت املػ د لي هي هديجت مباشسة لىظس ت 5 وسدبدل فىحصل غلى: وأ ضا مالحظت: غىدما وػى ض في املخبا ىت ماخيرة هحصل غلى حامػت الػدد )0( 6 صفحت 977
وهي جكافئ جعريف: امللداز سمى املػد ل الخىافلي و سمص له HM اسخيخجىا فيما جلد م أن املػدل الخىافلي أصغس أو ساوي املػدل الهىدس ي أي أن و حدر الدساوي إذا وفلغ إذا حساوث حميؼ الحدود HM GM 7 هظرية )جعميم ملحباينة هولدر( M ( ) m لخك,, ولخك مصفىفت م ماغداد الحليليت املىحبت أغدادا مىحبت ومجمىغها فإن :,,, m m m M # جحدر املساواة إذا وفلغ إذا كاهذ املصفىفت مصفوفة مضاعفات سطر حيث أن # M هي املصفىفت الىاججت م املصفىفت M بىاسعت زفؼ كل حد م حدود السعس m لللىة A, A بسهان: هسمص حامػت الػدد )0( 6 صفحت 78
m m m m m m A ( A ) ( ) m m m m m A A أي أن: A m m متى حدر الدساوي حدر الدساوي إذا وفلغ إذا جحلم أن m 3 m 3 m t m لرلك ف ىحد مىحب بحيث أن: m 3 m t 3 m At A بما أن لرلك فإن لرلك حدر الدساوي إذا وفلغ إذا كاهذ املصفىفت M م الصىزة: و A t A t A t3 A t At At A t3 At 3 3 3 3 A3t A3t A3t 3 A3t M A t A t A t3 A t m m m m m m m m حامػت الػدد )0( 6 صفحت 979
A, A,, A m حيث أن و أن مىحب بحيث هي زىابذ حليليت مىحبت أ ا كاهذ A وفلا لهره السمىش فإن: t, t, t 3,, t m ىحد M t t t t 3 3 m mt mt mt3 t t t t t t t t t 3 3 3 3 3 3 3 3 3 m m m m لخك # M لللىة املصفىفت الىاججت م املصفىفت M بىاسعت زفؼ كل حد م حدود السعس M أي أن : m t t t 3 t t t t 3 t # 3t 3t 3t 3 3t t t t t m m m 3 m M # هالحظ أن هي مصفىفت حميؼ أسعسها هي مضاغفاث لسعسها ماو ل هرا لىدها A إلى حػس ف املصعلح لاحي: حػس ف: هلىل غ مصفىفت أسعسها هاججا غ ضسب سعسها ماول بػدد خخلف غ أنها مصفوفة مضاعفات سطر إذا كان كل سعس م حػس ف: هلىل غ مصفىفت A أنها مصفوفة مضاعفات عمود إذا كان كل غمىد م أغمدتها هاججا غ ضسب غمىدها ماول بػدد خخلف غ حامػت الػدد )0( 6 صفحت 8
مالحظت: مصفوفة مضاعفات سطر إذا وفلغ إذا كاهذ A مصفوفة مضاعفات A عمود م السهل الخأك د م صدق اللضيت M مثال: لخك مصفىفت ذاث حدود داخليت مىحبت وليك m و غددان c d أن )أي أن مجمىع مللىبيهما ساوي لرلك فإن كل منهما مىحبان بحيث m=m+ m m m c d c d لكي وػسف # M m m حسب الىظس ت وػلم c d # M مصفىفت مضاغفاث سعس هرا كافئ m أكبر م ( حسب مخبا ىت هىلدز فإن : في أي حالت جحدر املساواة وػسف املصفىفت بأن املساواة جحدر إذا وفلغ إذا كاهذ املػادلت ماخيرة جكافئ فإن m c بما أن m m d c d c c l l d d c c m و c d d l l d أن هالحظو m > إذا وفلغ و إذاd>c أو و d <c f ثطبيق : حد الليمت الصغسي املعللت للدالت 3 5 7 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4, m= 4 حل: غىدما وػى ض هخىصل الى الخػبير m m m 3 5 7 f 4 حامػت الػدد )0( 6 صفحت 989
76 f 37 5 76 واضح أن l l 55 إذا وفلغ إذا l 3 l 5 وجحصل الدالت غلى الليمت إذا وفلغ إذا 097 l7 l l l55 l7 l l3 l5 l3 l5 l3 l5 4 4 097 واضح أن الليمت الصغسي للدالت هي 76 وجحصل الدالت غليها غىدما ثطبيق : حل املػادلت 83 حل: حسب الىديجت في املثال فإن 5 6 7 8 83 57 68 5 6 7 8 و حدر الدساوي إذا وفلغ إذا جحلم أن l 7 l8 l35 l 48 l 7 l8 l35 l 48 0856 l5 l 6 l5 l 6 l5 l 6 l5 l 6,, M ( ) إذا كاهذ مصفىفت مسبػت كل حدودها أغداد 8 هظرية: K حليليت مىحبت وحاصل ضسب كل حدودها ساوي فإن: K K بسهان: حسب هظس ت وباسدبدال يخج أن: 7 حامػت الػدد )0( 6 صفحت 8
: وحسب مخبا ىت املػد لين فإن لرلك فم الىاضح أن: وهرا كافئ: وم السهل جأكيد أن الدساوي حدر إذا وفلغ إذا كاهذ حميؼ حدود املصفىفت M ( ),, مدساو ت هخيجة : إذا كاهذ املىحبت بحيث أن حاصل ضسب حيؼ حدودها ساوي مصفىفت مسبػت م ماغداد الحليليت فإن : و حدر الدساوي إذا وفلغ إذا كاهذ حميؼ حدود املصفىفت M ( ) مصفىفت مسبػت م ماغداد الحليليت,, : حساوي هخيجة إذا كاهذ املىحبت بحيث أن حاصل ضسب حميؼ حدودها ساوي فإن : و ح در ال خ س اوي وأ ض ا في إحدي املخبا يخين إذا وفلغ إذا حدر الدساوي في املخبا ىت ماخسي إذا وفلغ إذا كاهذ *, ( ), M م الىاضح حميؼ حدود املصفىفت حساوي بسهان الىديجت : وػ سف املصفىفت أن حدودها مىحبت وحاصل ضسب حدودها ساوي لرلك فهي جحلم الىديجت لرلك حامػت الػدد )0( 6 صفحت 98
بما أن أي ان: M t املصفىفت البد لت فيخحلم كرلك أن: م السهل اسخيخاج الىديجت لاجيت:,, M ( ) هديجت 3: إذا كاهذ حليليت مىحبت وحاصل ضسب كل حدودها ساوي K فإن: مصفىفت مسبػت كل حدودها أغداد M K أمثلة وثطبيقات: غددا ظبيػيا وػسف املصفىفت ليك > 3 4 3 - -3-3 هالحظ أن مجمىع كل سعس م أسعسها ساوي ضسب حدودها ساوي حسب الىديجت وسخيخج أن: وهالحظ أن حاصل 3!!! حامػت الػدد )0( 6 صفحت 84
وهى كافئ: +!!! اهدبه أهه ال مك حدور مساواة ألن حدود املصفىفت ليسذ حميػها مدساو ت +! هخيجة 4: ليك < ظبيعي خحلم أن: < غددا ظبيػيا وػسف املصفىفت 3 4 3 A 3 3 هسمص :! م الىاضح أن حاصل ضسب حدود املصفىفت ساوي 3 S حسب الىديجت وسخيخج أن: S S!! حامػت الػدد )0( 6 صفحت 98
بهرا هكىن كد أزبدىا الىديجت S!! > أي أن لاجيت: هخيجة ظبيعي خحلم أن < ظبيعي خحلم أن > :5 ليك غددا ظبيػيا وليك غددا حليليا مىحبا وػسف املصفىفت 3 4 3 A 3 3 4 5 هسمص : +! م الىاضح أن حاصل ضسب حدود املصفىفت ساوي 3 S حسب الىديجت وسخيخج أن: S S!! حامػت الػدد )0( 6 صفحت 86
أي أن < ظبيعي خحلم أن بهرا هكىن كد S! أزبدىا الىديجت لاجيت: > هخيجة 6: ظبيعي و حليلي مىحب خحلم أن! هرا الخبا ليس مفاحئا فهى هديجت مباشسة م الػالكت بين املػدل الحسابي والػدل الهىدس ي أو الػالكت بين املػدل الهىدس ي واملػدل الخىافلي وػسف املصفىفت: 3 3 3 A 4 4 4 4 - مجمىع حدود السعس الاول = ومجمىع حدود السعس الثاوي = 3 S! لرلك فإن : -- وبشكل غام مجمىع حدود السعس = أم ا حاصل ضسب حدود املصفىفت فهى ساوي حامػت الػدد )0( 6 صفحت 987
! وهي جكافئ: حسب الىديجت 3 يخج أن : بهرا هكىن كد اسخيخجىا الىديجت لاجيت:!! :7 هديجت < ظبيعي خحلم أن ببليوغرافيا Amovch, S, Mod, B, d Pecc, JE, Shpeg Holdew Ieulty, J Mth Al Appl 96 (995) p 3-34 אישוויונים מעניינים עלי עותמאן במאמר זה אני מציג הוכחת אי-שוויון קושי שוורץ ומספר תוצאות ממנו מציג הוכחה של אי שוויון הולדר ואי שוויון הממוצעים כתוצאה ממנו אציג הוכחה של הכללה לאי שוויון הולדר ואראה את מקרה השוויון בצורה מטריציונית במאמר הרבה אי שוויונים המתקבלים כתוצאות מאי השוויונים המפורסמים קושי שוורץ והולדר حامػت الػدد )0( 6 صفحت 88