מטח مركز التكنولوجيا التربوية م سارات رياضيات للمدرسة االبتدائية مرشد املعلم المحتويات مدخل إلى كتب "مسارات" - الصف الخامس................. 3 العمليات الحسابية في األعداد حتى مليون - الجزء األول...... 5 الكسور - الجزء الثالث................................ 33 مسائل كالمية متعددة المراحل.......................... 99 مالحق............................................... 135 1
السلسلة "مسارات" مالئمة للمنهج التعليمي وتعتمد على: - العبر املستخلصة من تطبيق السلسلة "واحد اثنان و...ثالثة" خالل 25 سنة ومن مردودية املعلمني واملرشدين. كتب هذه السلسلة طاقم الرياضيات في مركز التكنولوجيا التربوية )מטח( وطاقم الرياضيات في قسم املناهج التعليمية في وزارة التربية )ת"ל(. - أبحاث حديثة في مجال تعليم الرياضيات في البالد وفي العالم. - العبر املستخلصة من جتربة الكتب التعليمية احلالية في الصفوف. الطبعة العربية نقل املادة إلى العربية: مارون قعبور االستشارة العلمية: إلياس حايك املراجعة اللغوية: پروفسور سليمان جبران القراءة واملالحظات: ابتسام عبد اخلالق التركيز واإلشراف على إنتاج الترجمة: أوريت بن إليعزر اإلنتاج وإعداد النص احملوسب: يشاي ياچيل التصميم والتنفيذ اجلرافي: ستوديو نيتسان-شامير - مصممون تصميم الغالف: ميشل كيشكا الرسوم: شري عران-هرشكوڤيتس نيكول چومتان ياميت أوشينسكي جتهيز الطباعة: چادي ناحمياس اإلصدار: مركز التكنولوجيا التربوية الطباعة: سنة 2009 الطبعة العبرية االستشارة العلمية: پروفسور پيراليه نيشر تركيز الطاقم: د. ساره هرشكوڤيتس مطورو سلسلة "مسارات": ر{چينه أوڤودينكو د. أليكس أوليتسني أسنات إفرات د. إيالنه أرنون ديكله بار-چيل د. شوشانه چيلعاد مورين هوخ د. يلينه زريا هليت حيفير دوريت كوهن طوڤي مچدال روتي ميرون يلينه نفتالييڤ د. ميخال سوكينيك أناتولي كوروپاتوڤ هاچار روبينك شيلي روطه د. بيبه شطرنبيرچ نطاليه شيف تركيز االستكماالت: د. أليكس أوليتسني طوڤي مچدال سكرتيرة الطاقم: ليالخ رون سها حاج يحيى جميع احلقوق محفوظة ملركز التكنولوجيا التربوية ولوزارة التربية. كريات موشه روؤو شارع كالوزنر 16 تل أبيب صندوق بريد: 39513 رقم بريد: 61394 طاقم الرياضيات - هاتف: 03-6460177 البريد اإللكتروني: Lilach_r@cet.ac.il موقع اإلنترنت: www.cet.ac.il/math مركز دعم هاتفي ملركز التكنولوجيا التربوية في الساعات 18:00-8:00 يوفر الدعم املهني: 1-800-366-555 حقوق امللكية غير املادية مبا في ذلك حقوق التأليف واحلق األخالقي للمؤلفني في هذه املادة هي حقوق محفوظة. ال يجوز تكرار نسخ تصوير ترجمة وكذلك ال يجوز اخلزن في مجمع معلومات البث أو التسجيل بأية طريقة أو بأية وسيلة إلكترونية بصرية ميكانيكية أو بأية وسيلة أخرى للمادة و/أو أي قسم من هذه املادة. كذلك ال يجوز القيام بأي اجتار في هذه املادة إال وفقط بعد احلصول على إذن صريح وخطي من الناشر. 2
مدخل إلى كتب "مسارات" - الصn ا(امf لوئمت سلسلة "مسارات" للمنهج التعليمي وتعتمد على: - العبر املستخلصة من تطبيق السلسلة "واحد اثنان وثالثة"بطبعاتها املختلفة خالل خمس وعشرين سنة ومن مردودية املعلمني واملرشدين. كتب هذه السلسلة طاقم الرياضيات في مركز التكنولوجيا التربوية ÁËÓ وطاقم الرياضيات في قسم املناهج التعليمية في وزارة التربية Ï. - بحوث حديثة في مجال تعليم الرياضيات في البالد وفي العالم. - العبر املستخلصة من جتربة أبواب التعليم احلالية في الصفوف. كتب اإلرشاد للمعلم يحتوي كل واحد من كتب اإلرشاد للمعلم على اقتراحات لفعاليات ونقاشات مع التالميذª بعضها م ع د للعمل مع كل تالميذ الصف وبعضها م ع د للعمل مع مجموعات أصغر من التالميذ. هناك أهمية كبيرة إلجراء الفعاليات املقترحة في مرشد املعلم ألنها تثري الفعاليات املوجودة في كتاب التلميذ وفي بعض األحيان تشكل متهيدا وحتضيرا ألوراق العمل املوجودة فيه. مع ذلك ال حاجة إلى تنفيذ كل الفعاليات مع جميع التالميذ. أورا العمل من كتاب التلميذ مرفقة أيضا مبرشد املعلم )هذه األوراق في املرشد مصغرة.( في آخر كل مرشد توجد مالحo معدة للتصوير لتالميذ الصف وحتتوي على: أورا إضافية - وهي أوراق مفتوحة ال يوجد فيها عادة معطيات عددية معينة. ميكن استخدام كل ورقة إضافية كما هي )يكمل التالميذ كل املعطيات الناقصة على الورقة( وميكن استخدامها كقالب ألوراق أخرى إذا أدخلت املعلمة في الورقة مسبقا بعض املعطيات وأكمل التالميذ الباقي. بهذه الطريقة ميكن تكوين أوراق عمل مبستويات مختلفة مبا يتالءم مع حاجات التالميذ املختلفني. اختبارات - اختبارات مالئمة لألبواب في الكتاب. ألعاب - تعليمات ولوازم أللعاب معدة لتلميذ واحد أو ملجموعة من التالميذ. تظهر اإلحاالت الستخدام هذه األلعاب في الوحدات املختلفة في مرشد املعلم. أورا للقص - أوراق لقص بطاقات يستخدمها التالميذ في الفعاليات املختلفة املقترحة في مرشد املعلم. يوجد بعض هذه األوراق أيضا في كتب التلميذ )وتظهر هناك ملونة(. كتب التلميذ تبدأ الكتب بتوج ه للعائلة فيه شرح مختصر عن املوضوعات التعليمية األساسية. أوراق العمل في كتب التلميذ من نوعني: هناك أوراق عمل مالئمة للعمل الذاتي وهناك أوراق عمل تعتمد على نقاشات وفعاليات صفية )أو جماعية( مشروحة في مرشد املعلم. في أوراق العمل هناك إحاالت إلى فعاليات مالئمة في مرشد املعلم ومالحظات ألولياء األمور وللمعلمني. فعاليات خاصة في الكتب: - يوصى بتشجيع التالميذ القادرين على ذلك على مواجهة هذه بعض الفعاليات أشير إليها بالرمز Òb% الفعاليات.»U («v œuž - في هذه األوراق فعاليات مراجعة معد ة ملراجعة موضوعات هناك أوراق أشير إليها بالرمز املهم مراجعتها مرة ثانية. سابقة ومن سبق أن ع لمت في فصول لوازم التلميذ يعتمد العمل في الكتب التعليمية على فعاليات بلوازم محسوسة موجودة في كيf لوازم التلميذ. 3
4
العمليات احلسابية في األعداد حتى مليون - اجلزء األول المحتويات مدخل إلى فصل "العمليات احلسابية في األعداد حتى مليون - اجلزء األول... 6 أ. اجلمع والطرح في أعداد حتى. 10,000........................... 8 ب. الضرب والقسمة في أعداد حتى. 10,000......................... 13 ج. القسمة على عدد من رقمني..................................... 19 د. العمليات احلسابية األربع في أعداد حتى. 10,000.................. 21 ه. مهمات بحث................................................. 30 31...................................................»U («v œuž اختبار للفصل................................................... 136 5
مدخل إلى فصل "العمليات احلسابية في األعداد حتى مليون - اجلزء األول" الفصالن "العمليات احلسابية في األعداد حتى مليون" - اجلزء األول واجلزء الثاني - هما استمرار طبيعي لفصل "األعداد حتى مليون" الذي ع ل م في الصف الرابع. في هذين الفصلني يوجد تأكيد على احلدس والبحث لكن يوجد فيهما أيضا فعاليات لتقوية مهارات العمل بحسب اخلوارزميات املت بعة إلى جانب طرق حل مختلفة يطو رها التالميذ بأنفسهم. في هذين الفصلني يعم ق التالميذ معرفتهم بعالم األعداد الطبيعية وبصفاتها والعالقات بينها ويتناولون العمليات احلسابية األربع: اجلمع الطرح الضرب والقسمة. األعداد الطبيعية هي األساس لبناء مجموعات عددية أخرى مثال: مجموعة األعداد النسبية ومجموعة األعداد احلقيقية وبدون هذه األعداد ال ميكن التحد ث عن الدوال عن الهندسة التحليلية عن نظرية األعداد وما شابه ذلك. لهذا فإن موضوعة "العمليات احلسابية في األعداد الطبيعية" هي إحدى املوضوعات املركزية في تعل م الرياضيات في املدرسة االبتدائية في الصف اخلامس جنمل تعل م هذه املوضوعة. عن األعداد الطبيعية والعمليات احلسابية فيها ك تب في املدخل للمنهج التعليمي هكذا: "...الناحية اجلديدة في هذه املوضوعات هي التأكيد على اإلدراك والبحث. هناك مجال لتطوير خوارزميات من قبل التالميذ ليست بالذات اعتيادية األمر الذي يقو ي فهمهم في ما يخص العمليات احلسابية في األعداد. عند تعل م موضوعات تتعلق باألعداد وبالعمليات احلسابية يجب أن ال يقتصر تناول العمل على احلسابات فقط وإمنا يجب االستفادة من استخدام احلسابات وتعل م اخلوارزميات املالئمة لتطوير استيعاب التالميذ للمفاهيم املرتبطة مبجال األعداد والعمليات احلسابية فيها مبا في ذلك تطوير قدراتهم على التقدير وعلى اإلدراك العددي." الفصالن "العمليات احلسابية في األعداد حتى مليون" مبنيان من فعاليات مدر جة تتطلب من التالميذ أن يستخدموا مجمل ما اكتسبوه في مراحل تعليمهم السابقة من معرفة ومهارات. معلومات أخرى ميكن إيجادها في موقع الرياضيات ملركز التكنولوجيا التربوية:. www.cet.ac.il/math خلفية رياضية وخلفية تعليمية نتناول في هذا الفصل وجهني لألعداد الطبيعية: العدد الطبيعي كعرض مستقل األعداد الطبيعية كمجموعة. العدد الطبيعي كعرض مستقل عندما ننظر إلى العدد الطبيعي على أنه عرض مستقل ميكن متييز بضع نواح* متي ز هذا الشيء. التمثيل العشري للعدد ميكن تسجيل كل األعداد الطبيعية بواسطة عشرة رموز بيانية مختلفة هي األرقام 2...9 1, 0, - بحسب هذه القواعد: أ. ي سمح باستخدام كل رقم أكثر من مرة واحدة في نفس العدد. ب. قيمة كل رقم حتد د بحسب منزلته في العدد. ج. قيمة كل رقم أكبر من قيمة الرقم الواقع على ميينه. د. هناك نسبة ثابتة مقدارها 1:10 بني قيمة منزلة معي نة إلى قيمة املنزلة املجاورة لها. ه. في األعداد الطبيعية قيمة أقصى منزلة من اليمني هي 1. مثال: في العدد 2,582 الرقم 2 موجود مرتني: قيمة الرقم 2 في املنزلة األولى من اليمني هي 2 بينما قيمة الرقم 2 املوجود في املنزلة الرابعة من اليمني هي ألفان. قيمة كل العدد تساوي حاصل جمع قيم أرقامه بحسب املنازل التي حتتلها: 2,582 = 2 1,000 + 5 100 + 8 10 + 2 1 6
مدخل إلى فصل "العمليات احلسابية في األعداد حتى مليون - اجلزء األول" كتابة وقراءة األعداد الطبيعية مت بع عند كتابة األعداد بالطريقة العشرية تقسيم كل عدد إلى ثالثيات من اليمني إلى اليسار بوضع فواصل بني الثالثيات وذلك لتسهيل قراءة العدد: ثالثية اآلحاد ثالثية اآلالف ثالثية املاليني ثالثية امللياردات... ت قرأ كل ثالثية معدد مستقل بإضافة اسم الثالثية )باستثناء ثالثية اآلحاد(. مثال العدد 98,765,432,117 ي قرأ هكذا: ثمانية وتسعون مليارد ا سبع مئة وخمسة وست ون مليون ا أربع مئة واثنان وثالثون ألف ا ومئة وسبعة عشر. مناذج لتمثيل العدد الطبيعي مت بع ابتداء من الصف األول استخدام منوذجني لتمثيل العدد الطبيعي: منوذج األجسام احملسوسة الذي يبرز الناحية الكمية للعدد ومستقيم األعداد الذي يبرز ترتيب األعداد. األعداد الطبيعية كمجموعة ميكن متييز بضعة ممي زات ملجموعة األعداد الطبيعية: الترتيب هناك نهجان لتعريف مفهوم الترتيب في مجموعة من األعداد الطبيعية: بحسب بديهيات پيانو - باستخدام مفهوم العدد التالي في مجموعة األعداد الطبيعية هناك عدد هو األول في املجموعة )1( ولكل عدد طبيعي يوجد عدد تال أكبر منه. مثال: 5 أكبر من 3 ألن 5 يلي 4 و 4 يلي 3. ميكن متثيل هذا النهج بواسطة مستقيم األعداد. بحسب بديهية إقليدس - الكل أكبر من اجلزء مثال: 5 أكبر من 3 ألن 5 يساوي 3 وشيئ ا آخر )2(. ميكن متثيل هذا النهج بواسطة منوذج العدد الطبيعي ككمية. هذان النهجان متكفئات وميكن استخدام كل واحد منهما لترتيب مجموعة األعداد الطبيعية كلها أو لترتيب كل مجموعة جزئية من أعداد طبيعية. العمليات احلسابية في مجموعة األعداد الطبيعية ع ر فت العمليات احلسابية األربع: اجلمع الطرح الضرب والقسمة. نشير هنا إلى أن عملتي اجلمع والضرب هما عمليتان مغلقتان في مجموعة األعداد الطبيعية أي أن نتيجة كل عملية منها هي بالضرورة عدد طبيعي. بينما عمليتا الطرح والقسمة ليست مغلقتني في هذه املجموعة أي أن نتيجة كل عملية منهما ليست بالضرورة عدد ا طبيعي ا. أمثلة: 2- = 7-5 = 0.5, 10 5. : مع ذلك ال نتناول في هذين الفصلني متارين طرح نتائجها أعداد سالبة أما متارين القسمة كما في املثال فهي ت درك على أنها متارين قسمة مع باق مثال: )الباقي 5( 0 = 10 5. : مبنى الفصلني الفصل "العمليات احلسابية في األعداد حتى مليون - اجلزء األول" يتناول في األساس األعداد الطبيعية حتى 10,000. الفصل "العمليات احلسابية في األعداد حتى مليون - اجلزء الثاني" يتناول في األساس األعداد الطبيعية األكبر من 10,000. في هذين الفصلني هناك نوعان من الفعاليات التي تتطلب من التالميذ معرفة املضامني التي ت عل م فهم املصطلحات املرتبطة بها املعرفة اإلجرائية واإلدراك. تتضمن هذه الفعاليات مسائل كالمية من أنواع مختلفة ومهمات بحث. 7
أ. اجلمع والطرح في أعداد حتى 10,000 الصفحتان 7-6 في الفعاليتني 2-1 من املهم أن يعمل التالميذ بحسب اعتبارات مختلفة إليجاد األجوبة وأن ال يعتمدوا فقط على احللول اخلوارزمية. التمارين في هاتني الفعاليتني تشج ع على اإلدراك العددي. التمارين في هاتني الفعاليتني تذك ر بصفات للجمع والطرح ع ل مت في سنوات سابقة. صفات العددين 0 و 1 )مثال: - 1 800( - ميكن إجراء نقاش مع التالميذ عن العالقة بني متارين اجلمع والطرح التي فيها أحد العددين هو 1 ومفهومي العدد التالي والعدد السابق. اجلمع والطرح بحسب فهم املبنى العشري - مثال حلل التمرين + 4,240 600 يكفي أن جنمع رقمي املئات في املضافني. أمثلة حلل متارين بطرق مختلفة: أ. + 301 199 إذا طرحنا 1 من 301 وجمعناه إلى 199 نحصل على التمرين + 300 200. نتيجة التمرين اجلديد تساوي نتيجة التمرين األصلي لكن التمرين اجلديد حل ه غيب ا أسهل. ب. - 9 908 ميكن حل هذا التمرين بالطرح املتكر ر على مراحل - نطرح 8 وبعد ذلك نطرح 1. في الفعالية 3 يوصى باالستماع للتالميذ عن االعتبارات التي دعتهم إلى اختيار التمارين التي نتيجتها أكبر من 2,000. مثال تعليل مالئم الختيار التمرين - 780 3,000 : نطرح من 3,000 عدد ا أصغر من 1,000 ولذلك تكون النتيجة أكبر من 2,000( 2,000 = 1,000-3,000 ولذلك < 2,000 780 -.)3,000 في الفعالية 5 من املهم تشجيع التالميذ على حل التمارين غيب ا. 8
أ. اجلمع والطرح في أعداد حتى 10,000 الصفحة 8 في هذه الصفحة ت عل م طريقة أخرى حلل متارين جمع. ميكن حل كل مترين جمع بواسطة طرح عدد معين من أحد املضافني وإضافة نفس العدد إلى املضاف اآلخر. كنتيجة لهذه العملية نحصل على مترين آخر نتيجته تساوي نتيجة التمرين األصلي. هدف هذه الفعالية هو احلصول على مترين حل ه أسهل. مثال: + 1,040 3,000 = 1,060 + 2,980 في الفعالية 6 على التالميذ أن ميي زوا العالقة بني املضافني في التمرين. مثال في البند ب املضاف األول في التمرين الذي على اليمني أكبر ب 100 من املضاف األول في التمرين الذي على اليسار واملضاف الثاني أصغر ب 100 ولذلك تتساوى النتيجتان. الطريقة املعروضة هنا حلل متارين اجلمع تعتمد على الطريقة احلدسية التي يدرك بها التالميذ حاالت جمع األغراض )الكميات( في الطبيعة: إذا نقلنا بعض األغراض من إحدى املجموعتني إلى املجموعة األخرى فإن العدد الكلي لألجسام لن يتغي ر في املجموعتني. كذلك ميكن العمل بهذه الفكرة على قانونني من قوانني العمليات احلسابية الرسمية - قانون التبادل وقانون التجميع. مثال: = 1,040( + )20 + 2,980 = 20( + )1,040 + 2,980 = 1,060 + 2,980 = )2,980 + 20( + 1,040 = 3,000 + 1,040 9
أ. اجلمع والطرح في أعداد حتى 10,000 الصفحة 9 ت عل م هنا طريقة أخرى حلل متارين الطرح. ميكن حل كل مترين طرح بطرح عدد معين من العددين اللذين في التمرين أو بإضافة عدد معين إلى العددين اللذين في التمرين. نتيجة لهذه العملية نحصل على مترين آخر نتيجته تساوي نتيجة التمرين األصلي. هدف هذه الفعالية هو احلصول على مترين حل ه أسهل. مثال: - 100 3,580 = 91-3,571 )أضفنا 9 إلى العددين.( الطريقة املعروضة هنا حلل متارين الطرح تعتمد فقط على فهم التالميذ احلدسي للكميات. في هذه احلالة ال يعرف التالميذ قوانني رسمية ميكن أن يعتمدوا عليها في احلل. في الفعالية 10 د مجت متارين جمع مع متارين طرح. على التالميذ أن ميي زوا بني طريقة حل متارين اجلمع وطريقة حل متارين الطرح. 10
أ. اجلمع والطرح في أعداد حتى 10,000 الصفحة 10 في الفعالية 11 معطاة معادالت. ميكن حل هذه املعادالت بواسطة مترين مالئم. أمثلة: معادلة اجلمع في البند ز = 2,000 + 989 ميكن حلها بواسطة مترين الطرح - 989 2,000 )نطرح أحد املضافني من حاصل اجلمع(. معادلة الطرح في البند ي أ = 7,999-8,160 ميكن حلها بواسطة مترين الطرح 8,160-7,999 )نطرح الفرق من العدد األول في التمرين(. عندما نحل معادلة جمع ميكن االعتماد على قانون التبادل في كتابة التمرين املالئم - لذلك ال يهم إذا كان املضاف الناقص في املعادلة هو املضاف األول أو الثاني ففي كل احلاالت التمرين املالئم هو مترين طرح. أم ا في معادلة الطرح التمرين املالئم للحل يتعل ق بالعدد الناقص في املعادلة: إذا كان العدد األول هو الناقص - التمرين املالئم هو مترين جمع. مثال: املعادلة في البند ي = 3,998 6 - ميكن حلها بواسطة التمرين + 6 3,998. إذا كان العدد الثاني هو الناقص - التمرين املالئم هو مترين طرح. مثال: املعادلة في البند د = 1,526-1,586 ميكن حلها بواسطة التمرين. 1,586-1,526 هناك طرق مختلفة أخرى حلل املعادالت: التجربة واخلطأ اجلمع والطرح املتكر ر واحلل الذي يعتمد على املبنى العشري. في الفعالية 12 يوصى بإجراء نقاش مع التالميذ عن بضع إمكانيات إلكمال املتباينات. 11
أ. اجلمع والطرح في أعداد حتى 10,000 الصفحة 11 في الفعالية 14 على التالميذ أن يفحصوا في كل مترين كيف تغي ر كل مضاف قياس ا بالتمرين املعطى وكيف يؤثر هذا التغيير على النتيجة. مثال في التمرين الذي في املثال املضاف األول ص غ ر ب 100 بينما بقي املضاف الثاني بدون تغيير ولذلك ص غ رت النتيجة ب 100. إذا طرحنا عدد ا من مضاف واحد فقط أو إذا جمعنا عدد ا إلى مضاف واحد فقط فإن نتيجة التمرين تصغر أو تكبر بقيمة العدد. الفعالية 16 تتناول املتواليات. يجب لفت انتباه التالميذ إلى تغيير العدد من قفزة إلى أخرى: أي األرقام تتغي ر هل يتغي ر رقم واحد فقط بحسب مقدار القفزة ميكن أن نعرف في أي رقم يكون التغيير. مثال في البند أ القفزة هي - 1 في هذه احلالة رقم اآلحاد فقط هو الذي يتغي ر وعندما نصل إلى تبديل )في االنتقال من العدد 8,799 إلى العدد 8,800( تتغي ر ثالثة أرقام )رقم العشرات رقم املئات ورقم اآلالف(. الصفحة 12 في متارين الفعاليتني 18-17 من املفروض أن يجد التالميذ العالقة بني التمرين احمللول والتمارين التي عليهم أن يحل وها وبحسب هذه العالقة يحل ون التمارين. مثال في التمرين أ في الفعالية 17 املضاف األول متساو في التمرينني واملضاف الثاني أصغر ب 3 من املضاف الثاني في التمرين احمللول. لذلك يكون حاصل اجلمع في مترين البند أ أصغر ب 3 من حاصل جمع التمرين احمللول. في التمرين ه في الفعالية 18 العدد املطروح أصغر ب 10 من العدد املطروح في التمرين احمللول أما العددان املطروح منهما في التمرينني فهما متساويان. لذلك تكون نتيجة التمرين أكبر ب 10 من نتيجة التمرين احمللول. في البندين ز ح في الفعالية 18 ي طلب من التالميذ العمل بحسب اعتبارات أخرى: عليهم أن يشخ صوا التغيير في نتيجتي املعادلتني وعليهم أن يفكروا فيما ميكن أن يفعلوه في أعداد التمرينني لكي يحصلوا على النتيجتني املختلفتني عن نتيجة التمرين املعطى. مثال في البند ز نتيجة التمرين )الفرق( أصغر ب 100 من نتيجة التمرين )الفرق( احمللول والعددان املطروح منهما في التمرينني متساويان. لذلك يجب تكبير العدد الثاني ب 100 هكذا: = 89 877 -.966 12
ب. الضرب والقسمة في أعداد حتى 10,000 الصفحة 13 في الفعاليتني 2-1 من املهم أن يعمل التالميذ بحسب اعتبارات مختلفة إليجاد األجوبة وأن ال يعتمدوا فقط على احلل اخلوارزمي. التمارين في هذه الفعاليات تشج ع على استخدام اإلدراك العددي. التمارين في هاتني الفعاليتني تذك ر بصفات الضرب والقسمة التي ع ل مت في سنوات سابقة: صفات العددين 0 و 1 )مثال: )570 : 1 املبنى العشري )مثال: 10 )101 استخدام قانون التبادل وقانون التجميع في الضرب مثال: = 1,000 10 100 = 10 4( )25 = 4 10( )25 = 4 250 استخدام قانون التوزيع: مثال: = 1,998 2-2,000 = 2 1( - )1,000 = 2 999 في الفعالية 3 يوصى باالستماع إلى التالميذ ماذا كانت اعتباراتهم في اختيار التمارين املالئمة لألوصاف. مثال تعليل اختيار التمرين 648 : 8 على أنه مترين نتيجته هي عدد من رقمني: نتيجة التمرين أكبر من )80 10 = 8 10 و 80 أصغر من 648( ونتيجة التمرين هي أيضا أصغر من 100 )800 = 8 100 و 800 أكبر من 648( - لذلك نتيجة التمرين هي عدد من رقمني. 13
ب. الضرب والقسمة في أعداد حتى 10,000 الصفحة 14 في الفعالية 5 الهدف هو تقوية اإلدراك العددي عند التالميذ بواسطة تقدير نتائج التمارين. مهم أن نحرص على قيام التالميذ بتقدير النتائج قبل حسابها الدقيق. الصفحة 15 في هذه الصفحة ت عل م طريقة أخرى حلل متارين ضرب ومتارين قسمة. كل مترين ضرب ميكن حل ه بتكبير أحد عامليه عدد ا معين ا من املرات وتصغير العامل اآلخر نفس العدد من املرات. نتيجة لهذه العملية نحصل على مترين آخر نتيجته تساوي نتيجة التمرين األصلي. هدف هذه العملية هو احلصول على مترين حل ه أسهل. مثال: = 3,440 344 10 = 688.5 هذه الفكرة ميكن تأكيدها أيضا بحسب قانوني التبادل والتجميع هكذا: = 344( )2 5 = 688 10 )5 2( 344 = 10 344 = 3,440 كل مترين قسمة ميكن حل ه بتكبير أو تصغير العدد املقسوم والقاسم نفس عدد املرات. نتيجة لذلك نحصل على مترين آخر نتيجته تساوي نتيجة التمرين األصلي وحل ه أسهل. في الفعالية 6 على التالميذ أن يشخ صوا العالقة بني األعداد املوجودة في التمارين. مثال في البند ب - العدد 1,000 أكبر 4 مرات من 250 ولذلك: العدد الناقص في التمرين يجب أن يكون أصغر 4 مرات لكي تتساوى نتيجتا التمرينني. 14
ب. الضرب والقسمة في أعداد حتى 10,000 الصفحتان 17-16 في الفعاليات 11-9 على التالميذ أن يقد روا ماذا سيحصل لنتيجة التمرين احمللول عندما نغي ر أعداد ا في التمرين. في الفعالية 9 نضرب أحد العاملني في التمرين أو نقسمه على عدد معين. والسؤال هو كم مرة تكبر أو تصغر النتيجة. ميكن أن نسأل التالميذ إذا كانت هناك أهمية الختيار العامل. في الفعالية 10 نكب ر أحد العاملني ب 1 والسؤال هو بكم تكبر أو تصغر النتيجة. ميكن أن نسأل مباذا تتشابه الفعاليتان 9 و 10 ومباذا تختلفان. املتشابه: في الفعاليتني نكب ر عاملا ولذلك تكبر النتيجة وبالعكس. املختلف: في الفعالية 10 هناك أهمية الختيار العامل بينما في الفعالية 9 ال أهمية الختيار العامل. في الفعالية 14 على التالميذ أن ال يقارنوا فقط بني التمرينني املعطيني وإمنا أيضا أن يقارنوا بني نتيجتيهما. يفضل تشجيع التالميذ على تنفيذ الفعالية بدون حسابات كتابية. 15
ب. الضرب والقسمة في أعداد حتى 10,000 الصفحتان 19-18 الفعالية في هاتني الصفحتني هي فعالية تكاملية: في الصفحة 18 يوجد جدول فيه معطيات مختلفة ويجب استخدامها في حل املسائل الكالمية في الصفحة 19. املسائل في الصفحة 19 ليست مسائل عادية. بعض املعطيات ليست معطاة بشكل صريح في املسألة وعلى التالميذ أن يقر روا بأنفسهم ما هي املعطيات الالزمة لإلجابة عن السؤال. البند ب: يجب النظر في عمود االرتفاع في اجلدول وإيجاد أعلى مبنى وأوطأ مبنى وحساب الفرق بني ارتفاعيهما: = 265 244 -.509 البند ج: في املعلومات اإلضافية عن برج إيفل س ج ل ارتفاعا أول طابقني في البرج. لذلك إليجاد ارتفاع الطابق الثالث يجب طرح حاصل جمع ارتفاعي أول طابقني من ارتفاع البرج كل ه:.324 - )57 + 115( = 152 البند د: اجلوابان غير املنطقيني 30 سم و 50 متر ا ميكن إلغاؤهما فور ا. ارتفاع بناية كرايزلر هو 282 متر ا وهو مكو ن من 77 طابق ا. ال حاجة إلى احلساب الدقيق لتمرين القسمة 282 : 77 وإمنا ميكن تقدير نتيجة التمرين هكذا: النتيجة تقع بني 3 و 4 ولذلك أقرب عدد لالرتفاع هو 3. 1 2 16
ب. الضرب والقسمة في أعداد حتى 10,000 الصفحة 20 في الفعالية 1 يوصى بإجراء نقاش مع التالميذ عن معنى القسمة على 10 وعلى 100 وعلى أي قوة من قوى - 10 تصغير العدد املقسوم استناد ا على املبنى العشري. الفعالية - 2 في النقاش املمه د لهذه الفعالية ميكن التحد ث مع التالميذ عن الفرق اجلوهري بني التوزيع على اجلمع والتوزيع على الطرح. في التوزيع على اجلمع ميكن توزيع العدد املقسوم على مراحل بينما في التوزيع على الطرح ميكن التوزيع مبرحلة واحدة فقط. الصفحتان 22-21 قبل الفعالية 4 )الصفحة 21( يوصى بإجراء مراجعة مع التالميذ عن معنى متارين القسمة التي يوجد باق في نتيجتها. عندما نقسم عدد ا على قاسم فإننا في الواقع نفحص ما هو أكبر عدد من املرات التي يحتوي فيها العدد املقسوم على القاسم )هذا العدد يسم ى أحيان ا "خارج القسمة"( والباقي هو ما تبق ى من هذا االحتواء. لذلك يتم فحص التمارين التي يوجد باق في نتيجتها هكذا: نضرب خارج القسمة في القاسم ثم جنمع الباقي إلى حاصل الضرب ونتأكد من حصولنا على العدد املقسوم. مثال: )الباقي )6 56 = 9 510 : الفحص: = 510 6 + 9 56 من هنا ينتج أن الباقي ال ميكن أن يكون أكبر من القاسم. لذلك إذا بقي في عملية القسمة عدد أصغر من القاسم - فهذا العدد هو الباقي. هناك تالميذ غير متمكنني من مفهوم الباقي ولذلك يخطئون وينهون التمرين أيضا عندما يكون العدد املتبق ي ال ي قس م على القاسم ولكنه أكبر منه. الفعالية 4 في هذه الفعالية باستطاعة التالميذ أن يحل وا التمارين بطرق مختلفة. يفضل إجراء نقاش مع التالميذ عن جناعة الطرق التي اختاروها. مثال التمرين 548 : 5 ميكن حل ه بهذه الطرق: 500 545 : 5 = 109 45 500 : 5 = 100 45 : 5 = 9 3 548 أ. على مستقيم أعداد خال : 17
ب. الضرب والقسمة في أعداد حتى 10,000 ب. بواسطة التوزيع على اجلمع: )الباقي )3 109 = 5 : 3( + 5 + 40 + )500 = 5 548 : 500 : 5 + 40 : 5 + 5 : 5 = 109 )انتبهوا: بعكس متارين القسمة التي بدون باق - في متارين القسمة مع باق ال ميكن استخدام التوزيع على الطرح.( ج. عمودي ا. في الفعالية 7 )الصفحة 22( ميكن أن نقترح على التالميذ أن يعملوا بأزواج ثم إجمال الفعالية من خالل نقاش صف ي. مثال في البند أ ميكن أن نسألهم ماذا ميكنهم أن يقولوا عن أعداد أكبر أو أصغر من العدد الذي وجدوه. مثال واضح جد ا أن العدد 1,000 مالئم لإلكمال فماذا إذن ميكن أن نقول عن كل األعداد التي أكبر منه )كلها مالئمة( أو أصغر منه )ليست كلها مالئمة - وعندئذ نسأل: ما هو أصغر عدد مالئم (. الفعالية 8 )الصفحة 22( هي مراجعة ملوضوعة سبق أن ع ل مت في سنوات سابقة: الضرب بواسطة التوزيع. قبل الفعالية ع رضت طريقتان تعتمدان على قانون التبادل وعلى قانون التوزيع - طريقة أمير وطريقة ليلى. يوصى بإجراء نقاش عن مدى صح ة وجناعة كل طريقة من هاتني الطريقتني. إذا دعت احلاجة ميكن االستعانة مبستطيالت الضرب. في كل مستطيل ضرب نوز ع العامل )أو العاملني(. يساعد التوزيع على تنفيذ مترين الضرب. مثال: = 484 4 + 40 + 40 + 400 = 22 22 20 2 20 400 40 انتبهوا: قد يحاول بعض التالميذ استخدام التوزيع على الطرح. مثال في البند أ:.9 78 = )10-1( 78 = 780-78 = 702 2 40 4 18
ج. القسمة على عدد من رقمني الصفحة 23 في الفعالية 1 الهدف من التمارين هو التذكير بالقسمة بواسطة مترين ضرب مالئم حني يكون القاسم هو عدد من رقمني. يوصى بتذكير التالميذ بالقاعدة: العدد املقسوم في مترين القسمة يصبح حاصل الضرب في مترين الضرب املالئم. وباللغة الرياضية: b : a = a = b ميكن شرح ذلك بالكلمات هكذا: حلل مترين قسمة نبحث عن عدد إذا ضربناه في القاسم نحصل على العدد املقسوم. في الفعالية 2 يوصى بحل كل التمارين بواسطة التوزيع بحسب املبنى العشري كما في املثالني. هذه الطريقة هي مبثابة متهيد حلل متارين القسمة عمودي ا. في الفعالية 3 هناك عالقة بني التمرينني في كل بند: نتيجة التمرين األول متث ل قسم ا من نتيجة التمرين الثاني - في التمرين الثاني يوجد أيضا باق في النتيجة. مثال في البند ج: = 40 50 2,000 : )الباقي )10 40 = 50 2,010 : يفضل هنا إجراء نقاش مع التالميذ عن مفهوم الباقي. الصفحة 24 في هذه الصفحة يوجد تذكير بخوارزمية القسمة عمودي ا عندما يكون القاسم عدد ا من رقمني. شرح خوارزمية القسمة عمودي ا يعتمد على املبنى العشري وعلى قانون التوزيع. مثال: 417 13 يجب أن نحرص على القول إن 4 على 13 يساوي 0 أو: إن 13 "يدخل" في 4 صفر ا من املرات. يجب أال نقول إن 13 "يدخل" صفر ا من املرات في 400. ي ستحسن أن نقول إن 4 على 13 يساوي 0 )والباقي 4(. لكن ليس من الضروري كتابة 0 في نتيجة مترين القسمة - املنزلة اليسرى في النتيجة ميكن تركها خالية. 19
ج. القسمة على عدد من رقمني الصفحة 25 في الفعالية 6 الهدف هو تقوية اإلدراك العددي عند التالميذ. مهم أن نحرص على أن يقد ر التالميذ نتائج التمارين بحسب اعتبارات مختلفة إليجاد األجوبة. في كل التمارين في هذه الفعالية ميكن تقدير النتيجة أيضا بدون احلساب اخلوارزمي. في البند د ميكن تقدير النتيجة هكذا: 3,997 : 10 4,000 : 10 400 في البند ج: نحن نعلم أن = 20 90. 1,800 : املقسوم في التمرين )1,860( أكبر من 1,800 ب 60 فقط ولذلك تكون نتيجته أكبر من 20 ولكنها قريبة من 20. من بني النتائج املعطاة هناك نتيجة واحدة فقط مالئمة لهذا التمرين وهي 20. الصفحة 26 قبل تنفيذ الفعالية 8 ميكن إجراء نقاش مع التالميذ عن طرق حل املعادالت في الفعالية. في هذا النقاش يوصى بالرجوع إلى االستنتاج بأن معادالت الضرب ميكن حل ها بواسطة مترين قسمة مالئم )بدون عالقة بالعدد الناقص في حاصل الضرب(. في معادلة القسمة يجب اختيار التمرين املالئم بحسب العدد الناقص: إذا كان العدد املقسوم هو الناقص - يجب استخدام مترين ضرب. إذا كان القاسم هو الناقص - يجب استخدام مترين قسمة. 20 التمارين في الفعالية 9 ميكن حل ها بواسطة التوزيع: التوزيع بحسب املبنى العشري كما في البند أ: )4,000 + 200 + 80( : 40 = 4,000 : 40 + 200 : 40 + 80 : 40 = 100 + 5 + 2 = 107 التوزيع على اجلمع ليس بحسب املبنى العشري كما في البند ج: = 11 : 11( + )220 220 : 11 + 11 : 11 = 20 + 1 = 21
د. العمليات احلسابية األربع في أعداد حتى 10,000 الصفحة 27 الفعالية 1 في البند أ نحصل على النتيجة اخلاطئة عند أمير إذا بدأنا احلل من حل مترين اجلمع 170 + 30 ألن حل ه سهل وبعد ذلك نحل مترين الطرح الناجت:. 244-200 القاعدة في هذه احلالة: في التمرين الذي فيه عمليات جمع وطرح فقط - نحسب من اليسار إلى اليمني بحسب الترتيب. في البند ب نحصل على النتيجة اخلاطئة عند ليلى نتيجة حلل التمرينني 20 60 و 30 40 في البداية وبعد ذلك قسمة النتيجتني. القاعدة في هذه احلالة: في التمرين الذي فيه عمليات ضرب وقسمة فقط - نحسب من اليسار إلى اليمني بحسب الترتيب. في البند ج نحصل على النتيجة اخلاطئة عند أمير نتيجة حلل التمرين بحسب ترتيب الكتابة فيه - في البداية عملية الطرح: = 0 186-186 وبعد ذلك القسمة: = 0 6 0 : وفي النهاية اجلمع: = 55 55 + 0. القاعدة في هذه احلالة: في التمرين الذي فيه عمليات مختلفة - نحسب في البداية الضرب والقسمة بحسب الترتيب )31 = 6 186( : وبعد ذلك اجلمع والطرح بحسب الترتيب )أولا = 155 31-186 وبعد ذلك.)155 + 55 = 210 في الفعالية 3 نراجع تأثير وجود األقواس على نتائج التمارين. ميكن أن نسأل التالميذ هل هناك متارين سلسلة فيها األقواس ال تؤث ر على النتيجة. مثال في البند ب ميكن تذكير التالميذ بقانون التجميع: إذا و جدت في مترين عملية ضرب فقط أو عملية جمع فقط ميكن باستخدام القوسني تغيير ترتيب تنفيذ العمليات احلسابية والنتيجة ال تتغي ر. لذلك من الواضح أن نتيجتي التمرينني في هذا البند متساويتان. 21
د. العمليات احلسابية األربع في أعداد حتى 10,000 الصفحة 28 الفعالية 6 في البند د اإلكمال غير ممكن: ال يوجد في التمرين مكان خال ميكن أن نكتب فيه العدد 0 ونحصل على 1. )عندما نضرب عدد ا في 0 نحصل على 0 وعندما نقسم 0 على عدد ال يساوي صفر ا تكون النتيجة أيضا 0 وكذلك ال ميكن أن نقسم على صفر(. الفعالية 7 أ = 18 6 + 30 360 : أجوبة للفعالية: ب = 180 6 30-360 ج = 15 6( - )30 : 360 د = 72 6 30 360 : ه = 10 6( )30 + : 360 و = 90 30 + 6 360 : ز = 384 30 + 6-360 ح = 6 6-30 360 : الصفحة 29 في هذه الصفحة خمس مسائل كالمية تتناول كلها احليوانات معظمها مسائل من مرحلتني أو متعددة املراحل. في البند أ من املعطى عن الزرافة )الزرافة تشرب كل 3 أيام( على التالميذ أن يستنتجوا أن الزرافة تشرب مرتني في األسبوع في املجموع الكلي. في البند ه الصعوبة األساسية هي أن حل املسألة يجب أن نبدأ من املعطى األخير في املسألة. 22
د. العمليات احلسابية األربع في أعداد حتى 10,000 الصفحة 30 الفعالية 1 في البندين أ - ب هناك مراجعة للتفكيك بحسب املبنى العشري ولكن ميكن أيضا التفكيك بحسب قوى العدد 10 بطرق أخرى. مثال في البند أ: = 7,823 1 3 + 10 2 + 100 8 + 1,000 7 6 1,000 + 18 100 + 2 10 + 3 1 = 7,823 في البندين ج - د نتناول التفكيك بحسب قوى العدد 10 بطرق أخرى مثال مع طرح هكذا: 8 100 + 2 10-1 1 = 819 8 100 + 3 10-11 1 = 819 البند ه معد للتفكيك احلر. الفعالية 2 في البند ج ال ميكن إكمال أعداد مالئمة ألن العدد 100 هو أصغر عدد من ثالثة أرقام ومن غير املمكن أن جنمعه )هو أو أي عدد أكبر منه( مع 900 ونحصل على عدد من ثالثة أرقام. في البند ه ال ميكن إكمال أعداد مالئمة ألن أصغر حاصل ضرب ناجت عن ضرب عددين من ثالثة أرقام هو 10,000. في البند و ال ميكن إكمال أعداد مالئمة ألن أكبر عدد من ثالثة أرقام هو 999 وحاصل اجلمع 999 + 999 هو 1,998 )أي أنه أصغر من حاصل اجلمع املطلوب(. 23
د. العمليات احلسابية األربع في أعداد حتى 10,000 الصفحة 31 الفعاليات في هذه الصفحة هي إعادة للتدر ب على صفات العددين 0 و 1. صفات العدد 0 والعدد 1 كباقي قوانني العمليات احلسابية التي ع ل مت في إطار األعداد الصغيرة سارية املفعول أيضا بالنسبة لألعداد الكبيرة. هذه القوانني سارية املفعول لكل األعداد احلقيقية: أ. العدد 0 هو عدد حيادي في اجلمع: عندما جنمع 0 إلى عدد نحصل على العدد نفسه. لكل. a + 0 = 0 + a = a :a ب. لكل عدد هناك عدد أكبر منه. ميكن أن نحصل على عدد أكبر من أي عدد معطى مثال بإضافة 1 إلى العدد املعطى. لكل. a > a + 1 a إذا كان a عدد ا صحيح ا فإن العدد + 1 a يسم ى العدد "التالي للعدد a". نرمز للعدد التالي للعدد a ب.a'.a + 1 = a' ج. عندما نضرب عدد ا في 0 نحصل على 0. لكل. a 0 = 0 a = 0 a د. العدد 1 هو عدد حيادي في الضرب: عندما نضرب عدد ا في 1 نحصل على العدد نفسه. لكل. a 1 = 1 a = a a ه. إذا قسمنا 0 على عدد ال يساوي صفر ا تكون النتيجة 0. لكل = 0 a : a = 0 0. و. ال ميكن قسمة عدد على صفر. نقس م هذه القاعدة إلى قسمني:. 1 ال ميكن قسمة عدد ال يساوي صفر ا على صفر. السبب: للتمرين = 0 : a ال يوجد جواب. الشرح: عملية القسمة معر فة على أنها عملية عكسية لعملية الضرب أي أن في مترين القسمة = b a : كأننا نسأل: مباذا يجب أن نضرب b لكي يكون حاصل الضرب هو a? وبلغة رياضية:. b? = a مثال التمرين = 3 27 : ما هو إال السؤال = 27? 3 )أي: 3 ضرب ماذا يساوي )?27 من هنا فإن التمرين = 0 7 : مثال ما هو إال = 7? 0. لكن ال يوجد أي عدد مالئم لعالمة السؤال ألنه عندما نضرب أي عدد في صفر تكون النتيجة دائم ا صفر ا )القاعدة ج أعاله(. لذلك ال يوجد عدد إذا ضربناه في صفر تكون النتيجة 7. االستنتاج: لكل مترين = 0 : a حيث 0 a ال يوجد نتيجة.. 2 العدد صفر ال ميكن قسمته على صفر. السبب: للتمرين = 0 0 : ال يوجد نتيجة وحيدة. الشرح: في الواقع نوج ه هنا إلى هذا السؤال = 0? 0. في هذا التمرين ميكن تعويض كل عدد مكان عالمة السؤال إلن حاصل ضرب كل عدد في صفر يساوي صفر ا. للتمرين = 0 0 : ال يوجد إذن جواب وحيد ولذلك ال ميكن حل ه. ز. في كتاب التلميذ نتناول قانونني إضافيني هما في الواقع مشتقان من القانونني أعاله: عندما نطرح 0 من عدد نحصل على العدد نفسه. لكل. a - 0 = a a عندما نقسم عدد ا على 1 نحصل على العدد نفسه. لكل. a : 1 = a a 24
د. العمليات احلسابية األربع في أعداد حتى 10,000 الفعالية 5 يوصى بلفت انتباه التالميذ إلى استخدام العددين 0 و 1. مثال: في البند ب ميكن اإلكمال هكذا: - 0 5-560. في البند ج ميكن اإلكمال هكذا: 111 8 1. في البند د ميكن اإلكمال هكذا:. 999 : 9 : 1 هذه بضعة أمثلة أخرى إلمكانيات مختلفة في البند ج: 8 3 37 = 888 2 4 111 = 888 222 2 2 = 888 الصفحة 32 الفعالية في هذه الصفحة عبارة عن مراجعة ملفاهيم ع ل مت في السابق: العدد القابل للتحليل والعدد األولي عالمات قابلية القسمة العدد الزوجي والعدد الفردي التقريب والقسمة مع باق. ميكن أن نقترح على التالميذ أن ينف ذوا الفعالية بأزواج ومن ثم إجمالها في نقاش صف ي. 25
د. العمليات احلسابية األربع في أعداد حتى 10,000 الصفحتان 34-33 الفعالية 1 في الصفحة 33 ترك ز على اإلدراك العددي. مهم أن يعمل التالميذ مبوجب اعتبارات مختلفة إليجاد األجوبة وأن ال يعتمدوا فقط على احلل اخلوارزمي. مثال: في البند د ميكن تقدير النتيجة هكذا: 301 31 300 30 9,000 من بني النتائج املعطاة هناك فقط نتيجة واحدة مالئمة لهذا البند وهي 9,331. في الفعالية 3 في الصفحة 33 ميكن حل املعادالت بواسطة مترين عكسي مالئم. = 1,240 4 301 = 301 4 1,240 : أمثلة: 301-16 = 285 285 + 16 = 301 ليس من السهل دائم ا االستعانة بتمرين عكسي وفي حاالت كثيرة يفضل احلل بطرق أخرى. مثال في البند أ: في مترين الطرح ميكن أن نسأل: ماذا علينا أن نطرح من 364 لكي نحصل على 245? اجلواب: في البداية نطرح 64 لنحصل على 300 وبعد ذلك نطرح أيضا 55. في املجموع الكلي يجب أن نطرح 119 ولذلك هذا هو العدد الناقص. مثال من البند ج: في التمرين األخير - إلى حاصل ضرب 15 في عدد غير معلوم أضيف العدد 15 وكانت النتيجة 75. من هنا نستنتج أن حاصل الضرب هو 60. نتساءل مباذا يجب أن نضرب 15 لكي نحصل على 60 اجلواب: يجب أن نضرب في 4 ولذلك هذا هو العدد الناقص. في الصفحة 34 هناك مسائل كالمية مختلفة. 26
د. العمليات احلسابية األربع في أعداد حتى 10,000 الصفحة 35 الفعالية 1 هدف الفعالية هو تقوية اإلدراك عند التالميذ. مهم أن نحرص على أن يقوم التالميذ بتقدير نتائج التمارين مبوجب اعتبارات مختلفة وبعد ذلك يفحصون أجوبتهم بواسطة احلساب. أمثلة العتبارات إليجاد أكبر نتيجة في البند أ: 650 + 650 نتيجة هذا التمرين أصغر من 2,000. 65 65 65 65 أكبر من 60( 3,600 )60 وأكبر بكثير من 2,000. 650-65 نتيجة هذا التمرين أصغر من نتيجة التمرين األول ألننا في التمرين األول نضيف عدد ا إلى 650 بينما في هذا التمرين نطرح عدد ا من 650. 650 : 65 نتيجة هذا التمرين أصغر من نتيجة التمرين األول ألننا في هذا التمرين نقسم 650 على عدد طبيعي بينما في التمرين األول نضيف عدد ا إلى 650. لذلك نتيجة التمرين الثاني هي األكبر. الصفحة 36 الفعالية 4 هناك اعتبارات مختلفة ومتنوعة ملقارنة العبارات. مثال في البند أ وبدون أن نحسب ميكن أن نرى بأن نتيجة التمرين أصغر من 4,000 ألن العدد املطروح أكبر من 1,000. ميكن إجراء هذه الفعالية في إطار نقاش صف ي والتحد ث عن االعتبارات املختلفة. 27
د. العمليات احلسابية األربع في أعداد حتى 10,000 الصفحة 37 الفعاليات في هذه الصفحة هي فعاليات مراجعة ملوضوعة القوى. قبل تنفيذ الفعاليات ميكن مع التالميذ مراجعة معنى القوة واملفاهيم األساسية املتعل قة مبفهوم القوة. القوة هي كتابة مختصرة للضرب املتكر ر كالضرب الذي هو أيضا كتابة مختصرة للجمع املتكر ر )باستثناء احلالة التي فيها األس هو 1(. إذا اعتبرنا القوة أنها عملية حسابية بني عددين طبيعيني فهي ليست عملية تبادلية. املصطلحان "أساس" و"أس". الفعالية 1 متارين القوة التي أس ها هو 1 مثل = 5 1 5 ليست مرتبطة بالضرب املتكر ر. في الواقع ال يوجد مترين ضرب مالئم لتمرين القوة هذا وبحسب التعريف نتيجة هذا التمرين هي األساس نفسه. ميكن تعليل صدق هذا التعريف مثال من خالل التمع ن في متوالية التمارين: 5 3 = 5 5 5 = 125 5 2 = 5 5 = 25 5 1 = 5 الفعالية 4 في هذه الفعالية معطى مترين قوة وعلى التالميذ أن يقارنوا بني التمرين احمللول والتمارين التي في البنود )مثال بواسطة مترين ضرب متكر ر( وأن يحد دوا نوع العالقة القائمة بني التمارين. مثال 2 9 أكبر من 2 8 مرتني )ملاذا ( ولذلك ليست هناك حاجة لضرب العدد 2 في نفسه تسع مرات وإمنا يكفي ضرب نتيجة التمرين احمللول في 2. 28
د. العمليات احلسابية األربع في أعداد حتى 10,000 الصفحة 38 في هذه الصفحة يواجه التالميذ ألول مرة مفهوم املتوالية احلسابية. ليس املقصود هنا هو إثبات صفات املتواليات احلسابية وإمنا توسيع معرفة التالميذ في املفهوم الذي يعرفونه )متواليات بقفزات متساوية(. الصفحة 39 مخط طات هذه الفعالية هي فعالية تكاملية املعطيات فيها معروضة مبخططات أعمدة مزدوجة. احملور األفقي ميث ل أيام األسبوع واحملور العمودي ميث ل كمية الطعام للفيل وللزرافة. س ج ل فوق املخطط اللون الذي ميث ل احليوان. قبل تنفيذ الفعالية يوصى بإجراء نقاش مع التالميذ عن مبنى املخطط: ماذا ميث ل احملوران ما هو النص ماذا ميث ل كل عمود كيف اختيرت وحدات القياس على كل محور في البند ب أقصى كمية من األكل ميث لها أعلى عمود في املخطط من بني األعمدة التي متث ل الزرافة. نفحص على احملور األفقي اليوم املالئم لهذه الكمية وعلى احملور العمودي جند كمية األكل. في البند ج ميكن إيجاد الفرق بني كميتي األكل ليس فقط بواسطة طرح ارتفاعي العمودين )65 = 50-115( وإمنا أيضا بواسطة إحصاء وحدات القياس على احملور العمودي 65( = 5.)13 في البندين ز - ح املعطيات اخلاصة باجراء ال تظهر في املخطط وعلى التالميذ أن يجدوها باحلسابات املالئمة. 29
ه. مهام ات بحث الصفحة 40 في فعاليات هذه الصفحة نتناول الپالندروم. في البداية يجب االنتباه إلى التنفيذ الصحيح للمهم ة "اقلبوا ترتيب األرقام". مثال إذا كان العدد املعطى هو - 1,203 العدد الذي ترتيب أرقامه مقلوب هو 3,021. بعد ذلك ميكن إجراء نقاش مع التالميذ في السؤال ما اخلاص في النتيجة. في الفعالية 2 ي ستحسن أن ندع التالميذ يتوص لون بأنفسهم إلى االستنتاج بأن الپالندروم الذي من مضاعفات 5 يجب أن ي قسم على 5 ولذلك رقم آحاده وكذلك رقم مئاته 5 )ميكن أن نسأل التالميذ عن سبب ذلك(. أما رقم العشرات فبإمكانه أن يكون أي رقم ولذلك يوجد 10 پالندرومات كهذه. في الفعالية 3 ي طلب من التالميذ بحث أزواج مختلفة من األعداد ومحاولة التوص ل إلى حاالت تؤدي فيها اخلطوات من الفعالية 1 إلى بناء پالندروم. بعد ذلك عليهم أن يحاولوا التعميم في أي حاالت تكون النتيجة هي پالندروم وفي أي حاالت ال تكون پالندروم. مثال: إذا أخذنا الپالندروم 343 والپالندروم 121 فإن حاصل جمع هذين الپالندرومني هو 464. هذا العدد هو پالندروم. أما إذا أخذنا پالندروم آخر - 868 وجمعناه مع الپالندروم 141 نحصل على 1,009 وهذا العدد ليس پالندروم. فمتى إذن يكون حاصل اجلمع هو پالندروم ومتى ال من املثال الثاني أصبح باإلمكان تقدير فرضية متى يكون حاصل اجلمع پالندروم. مثال حاصل اجلمع ليس پالندروم إذا كان حاصل جمع رقمني متناظرين )رقمي اآلحاد رقمي العشرات إلخ( هو عدد من رقمني. 30
حساب الزمن»U («v œuž في صفحات "العودة إلى احلساب" توجد فعاليات هدفها مراجعة موضوعات ع ل مت في سنوات سابقة. الصفحة 42 الفعالية 1 البند ب قبل تنفيذ الفعالية يوصى بإجراء مراجعة مع التالميذ لبعض املفاهيم األساسية املرتبطة مبفهوم الزاوية: ما هي الزاوية الزاوية هي شكل مكو ن من شعاعني خارجني من نفس النقطة. هذه النقطة تسم ى رأ الزاوية والشعاعان يسمي ان ضلعي الزاوية. يجب تذكير التالميذ بأننا عندما نتحد ث عن زاوية معي نة فإننا نقصد "فتحتها الداخلية" )أصغر من نصف مستو ( املتكو نة من الشعاعني. الزاوية التي يقع شعاعاها على استقامة واحدة تسم ى زاوية مستقيمة. أما الزاوية القائمة فمن املفروض أن يكون قد عرفها التالميذ من قبل. يجب فقط التأك د من أنهم يعرفون هذا املفهوم ويستطيعون وصفه. الزاوية األصغر من زاوية قائمة تسم ى زاوية حاد ة. الزاوية األكبر من زاوية قائمة )ولكنها أصغر من زاوية مستقيمة( تسم ى زاوية منفرجة. 31
مضل عات»U («v œuž الصفحتان 44-43: مضل عات الفعالية 1 لهذه الفعالية هدفان أساسيان: مراجعة مفهومي احمليj واملساحة إجراء نقاش مع التالميذ مفاده أنه عندما نقارن املساحات ال ميكن استخالص أي نتائج عن احمليطات وبالعكس. الفعالية 2 تتناول هذه الفعالية االد عاءات من النوعني "في كل" و "يوجد". انتبهوا: لدحض اد عاءات من نوع "في كل" يكفي إعطاء مثال مضاد واحد )مثال في البندين ج د(. لدحض اد عاء من نوع "يوجد" يجب إعطاء تعليل عام )مثال في البند ب(. لتأكيد صح ة اد عاءات من نوع "في كل" يجب إعطاء تعليل عام )مثال في البنود أ ه و(. لتأكيد صح ة اد عاء من نوع "يوجد" يكفي إعطاء مثال واحد يؤي د ذلك. الفعالية 3 )الصفحة 44( في هذه الفعالية يوصى بتمكني التالميذ من تنفيذ املهم ة كعمل ذاتي وبعد ذلك إجراء نقاش عن العالقات بني األشكال الرباعية املختلفة. مثال هل ميكن رسم دلتون كمرب ع هل ميكن رسم متوازي أضالع كمستطيل أمامكم مخطط يصف عالقات االحتواء بني األشكال الرباعية: أشكال رباعية متوازي أضالع مع ني مستطيل مرب ع دلتون متساوي الساقني شبه منحرف قائم الزاوية 32