استخدام قيم عتبة مختلفة في مقارنة بعض طرائق التقدير المويجي لدالة االنحدار الالمعلمي بوجود بيانات مفقودة المستخلص: أ.د. ظافر حسين رشيد rasheddhafr@yahoo.com جامعة بغداد - كلية االدارة واالقتصاد م.م. سعد كاظم حمزة sdkadem@yahoo.com رئاسة جامعة بغداد - قسم الشؤون االدارية تعد مشكلة فقدان بعض مشاهدات العينة من اهم المشاكل التي تواجه الباحث اثناء التحليل االحصائي ومن أسباب الفقدان كثيرة كأن تكون التلف واإلهمال او موت مرضى كما في الدراسات السريرية. وان وجود مثل هكذا مشكلة ضمن البيانات يؤثر على التحليل وبالتالي يؤدي الى استنتاجات مظللة وعلى الرغم من الكفاءة العالية للتقديرات المويجية في تقدير دالة االنحدار اال انها هي االخرى تتأثر بمشكلة فقدان البيانات حيث انه باالضافة الى تأثير مشكلة الفقدان على دقة التقدير فانه ليس باالمكان تطبيق هذه الطرائق لفقدان احد شروطها وهي حجم العينة الدايديكي. J n ونظرا للتأثير الكبيرة الناجم عن تلك المشكلة فان الكثير من الباحثين ممن كرسوا بحوثهم لمعالجة تلك المشكلة باستخدام طرائق تقليدية في معالجة البيانات المفقودة بينما قام الباحث باستخدام طرائق تعويض اكثر كفاءة لمعالجة البيانات المفقودة كمرحلة اولى كي تصبح البيانات جاهزة للتطبيق المويجي وقد اثبتت تجارب المحاكاة كفاءة الطرائق المقترحة على بقية الطرائق االخرى كذلك تضمن البحث التصحيح التلقائي لمشكلة الحدودية عن طريق استخدام نموذج متعدد الحدود باالضافة الى استخدام قيم عتبة مختلفة ضمن التقديرات المويجية كون ان االختيار المناسب لقيمة العتبة يكون حاسم في دقة تلك التقديرات. الكلمات الرئيسية: البيانات المفقودة االنحدار المويجي متعدد حدود الحصين المضاعف الالمعلمي
. المقدمة تعد مشكلة فقدان بعض مشاهدات العينة من اهم المشاكل التي تواجه الباحث اثناء التحليل االحصائي ومن اسباب الفقدان كثيرة كأن تكون التلف واالهمال او موت مرضى كما في الدراسات السريرية. وعلى الرغم من ان المعالجة االولى لمشكلة البيانات المفقودة هي تجنب حدوثها اال انه في بعض األحيان نضطر الى التعامل معها كونها قسرية الحدوث والسباب اهمها ان موضوع حدوثها يكون خارج سيطرة الباحث أو ان السيطرة عليها بشكل تام امر مكلف جدا وعليه يجب البحث عن طرائق لمعالجة هذه البيانات كون وجود هذه المشكلة يؤثر بشكل سلبي على تحليل البيانات وبالتالي يؤدي الى استنتاجات مظللة وان هذه االستنتاجات ناتجة من التحيز الكبير الذي تحدثه تلك المشكلة ونظرا لآلثار الكبيرة التي تخلفها تلك المشكلة فان عددا كبيرا من الباحثين كرس بحوثه ودراساته حول معالجة هذه المشكلة وقد شهد العقدين االخيرين ازدياد أهمية النظرية المويجية بشكل منقطع النظير وذلك بسبب زيادة عدد التطبيقات والحقول الجديدة التي تدخلها مثل التشفير والبصريات والتعرف على االصوات وفيزيولوجيا األعصاب وتطبيقات الرياضيات البحتة وغيرها من العلوم التي يصعب حصرها ومن جهة اخرى التطور الحاصل بعلم الحاسوب هو اآلخر ساهم بشكل كبير في زيادة تطبيقات تلك التقنيات ومن حينها أصبحت التقنية األكثر شيوعا لالستعمال اال ان هذه التقنيات تعاني هي االخرى من مشكلة وجود البيانات المفقودة كون ان هذه المشكلة باالضافة الى ما تسببه من تظليل في االستنتاجات بسبب التحيز الناشئ عنها فانها تحول دون التطبيق التقديرات المويجية النها تشترط اثناء تطبيقها تساوي المسافات بين المشاهدات Regulary-( J )spaced data وحجم العينة الدايديكي )Dyadc( أي n لكل J عدد صحيح. وان هذه القيود المفروضة على التقديرات المويجية دفعت الباحثين الى التفكير اليجاد الحلول لجعل البيانات مالئمة لهذا التطبيق المويجي وذلك عن طريق معالجة البيانات المفقودة وطرائق التعويض المعروفة كذلك تضمن البحث استخدام قيم عتبة مختلفة عند تطبيق حد العتبة كون ان اختيار القيمة المناسبة للعتبة يكون حاسم في اعطاء دقة اكبر للتقديرات المويجية وكذلك تم استخدام نموذج االنحدار متعدد الحدود لمعالجة مشكلة الحدودية تلقائيا والتي تحدث بسبب التحويل المويجي ( Wavelet.)Transformaton تم تقسيم البحث الى ثمانية مباحث تضمن المبحث االول المقدمة ومشكلة البحث والهدف من البحث اما المبحث الثاني فتضمن تعريف االنحدار المويجي وطرائق اختيار العتبة بينما تضمن المبحث الثالث نموذج وآلية الفقدان وتضمن المبحث الرابع طرائق تعويض البيانات المفقودة اما المبحث الخامس فقد تضمن التقدير لدالة االنحدار غير المعلومة بينما تضمن المبحث السادس دراسة المحاكاة وتضمن المبحث السابع االستنتاجات واخيرا التوصيات ضمن المبحث الثامن.
. مشكلة البحث ان مشكلة البحث تتركز حول تأثير القيم المفقودة لمتغير االستجابة على دقة تقدير y دالة االنحدار الالمعلمي غير المعلومة باالضافة الى ان فقدان بعض القيم يجعل البيانات J غير مالئمة لتطبيق التقدير المويجي كونه يشترط حجم العينة الدايديكي أي n وتساوي المسافات بين المشاهدات.. هدف البحث يتناول البحث حالة انموذج انحدار المعلمي f ( x ) e. () y x أي أن [0,] x و f دالة غير معلومة و e يمثل حيث ان / n y تعاني من مشكلة فقدان في بعض مشاهداتها عشوائيا. التشويش )nose( و f ( x باستخدام ان الهدف من هذا البحث هو تقدير دالة االنحدار الالمعلمية ) االنحدار المويجي بواسطة ازالة التشويش ومعالجة مشكلة البيانات المفقودة في متغير االستجابة والتصحيح التلقائي لمشكلة الحدودية وذلك عن طريق سلوك اتجاهان االول معالجة مشكلة الحدودية التي تحصل بسبب التحويل المويجي عن طريق استخدام نموذج متعدد حدود من درجة قليلة واالتجاه الثاني استخدام طرائق تعويض كفوءة للبيانات المفقودة في متغير االستجابة كمرحلة اولى ومن ثم تقدير دالة االنحدار غير المعلومة باستخدام التقديرات المويجية وقيم عتبة مختلفة.. تحويل المويجات ان تحويل المويجات ظهر من اجل معالجة حاالت الضعف التي تعانيها التحويالت السابقة اذ يعد هذا التحويل من اكثر التحويالت ذات التقنية المتقدمة في مجال معالجة االشارة حيث يمكننا هذا التحويل من تحليل االشارة الى مجموعة من المستويات متعددة الحل )Multresoluton( في كال من مجالي الزمن والتردد ويتم تطبيق هذا التحويل عن طريق استخدام مجموعة من المويجات )Wavelets( المختلفة. والمويجة هي اشارة محدودة الطول الزمني )االستمرارية( تمتلك قيمة متوسطة مساوية للصفر بخالف التحويالت السابقة يستخدم التحويل المويجي نافذة متغيرة بدال من استخدام نافذة ثابتة اذ يتم تغيير عرض النافذة باستمرار للحصول على معلومات مختلفة التردد على طول المويجة. فيتم الحصول على المويجات التي تختلف تردداتها بحسب عرض النافذة المستخدم رياضيا يقوم التحويل المويجي على ضغط المويجة 7
scale المراد معالجتها مع دالتين هما دالة المويجة االم ( من اجل الحصول على مجموعة من المعامالت )coeffcents( والتي تسمى معامالت المويجة او المعامالت التفصيلية والثانية هي دالة القياس وتسمى كذلك بدالة ( D( s, t). A( s, اللب من اجل الحصول على المعامالت التقريبية (t tme شكل )( : يبين استخدام نافذة متغيرة في التحويل المويجي. تحويل المويجي المتقطع ان التحويل المويجي المتقطع )DWT( هو خوارزمية كفوءة اقترحت من قبل الباحث )99( Mallat لحساب معامالت المويجة لسلسلة من البيانات المشوشة من خالل عمليات خطية او عن طريق استخدام المصفوفات وان هذا التحويل يمكن تعريفه على انه عبارة عن مرشحين هما مرشح الممر الواطئ والذي يشار له ب {hk} H هما gk,hk بحيث ان ومرشح الممر العالي والذي يشار له ب{ gk } G معامالت تلك المرشحات على التوالي. دالة معرفة على مشاهدات ذات f ولتوضيح كيفية اجراء هذا التحويل لتكن c f ( x ) j, k k وليكن x k مسافات متساوية, k 0,,... n c المويجي ل j, k يمكن حسابه باستخدام العالقة التالية : فان التحويل c j, k hn k c j, n () d j, k gn k c j, n (3) 4
بحيث ان d j, k c j, k تسمى معامالت القياس باستخدام المرشحين تسمى معامالت المويجة )معامالت التفصيل( بينما k اما عبارة H,G تشير الى ان ترشيح البيانات يتم ومن ثم نسحب كل مشاهدة تسلسلها زوجي ولكل االعداد الصحيحة وبالتالي فان كل مرشح سينتج نصف طول البيانات االصلية اال ان الجزء االهم من المخرجات هو الذي يتم الحصول عليه عن طريق الممر الواطئ ( g ) كونه يحتوي على اغلب المعلومات المحتواة في االشارة االصلية وبعبارة اخرى أي يكون االهتمام منصب عادة على التكرارات الواطئة كونها تعطي االشارة بشكلها الموحد بينما سبب اهمال مخرجات الممر العالي يعود الى انه يضم التشويشات في االشارة والتي تكون غير مرغوب بها وبالتالي يتم استبعادها ويتم الحصول على االشارة االصلية بالتجميع المتسلسل لكل العوامل الناتجة سابقا )التقريبية و التفصيلية( بدءا من آخر مرحلة تحليل [,,0].. االنحدار الالمعلمي التقليدي في هذا المبحث سنوضح بشكل موجز طريقة من طرائق التقدير الالمعلمي كونها تستخدم ضمن البحث وهي طريقة التقدير اللبي Estmaton( )Kernel وهي ابسط اشكال االنحدار الالمعلمي ويمكن كتابتها بصورة عامة وفق الصيغة اآلتية [6] n j f ˆ h( K y j wj y (4) j nh j x x h n حيث ان x x j K h (5) w j h K h هي الدالة اللبية و h هي عرض الحزمة. وقد عدلت هذه حيث ان ( الطريقة بواسطة مقدر (Nadaraya-Watson) ليكون بالصيغة التالية w y f ˆ h( w (6). االنحدار المويجي يعد تقدير االنحدار المويجي من األساليب الحديثة جدا في تقدير منحنى االنحدار والذي قدم بواسطة Donoho and Jonstone في عام )9( وما تزال 5
n منطقة توسعه في البحوث جارية وان أهم الخطوط العريضة لهذه الطريقة هو أنه عادة ما يتم إفتراض تساوي المسافات بين النقاط )x,x,,xn( خالل الفترة [0,]. J J=0,,,.., n تكون بالشكل n و أن x حيث أن : n / ويمكن أن تعرف تقديرات االنحدار المويجي وفق الخطوات التالية [5]: y ( y معطاة بالصيغة التالية : ليكن لدينا المشاهدات,..., y ) y f ( ) n (7) أو بصيغة المصفوفات y f (8) حيث أن y ( y,..., y ) n التشويش والهدف هو تقدير الدالة. f ( f,..., f ) و (,..., ) n f y n. n يمثل غير المعلومة حيث أن حساب قيم معامالت المويجة w بواسطة تطبيق التحويل المويجي المتقطع ( y وفق الصيغة التالية على البيانات ),..., w Wy (9) حيث ان W هي مصفوفة التحويل المويجي من درجة ( nn ) لها عالقة بقاعدة المويجة المتعامدة التي يتم اختيارها.. نعدل معامالت المويجة التي تم ايجادها من الخطوة )9( وذلك من خالل تمريرها عبر عتبة )Thresholdng( ومن ثم نحسب المعامالت المعدلة. w*. اخيرا نجد تقدير الدالة f بواسطة ايجاد معكوس التحويل المويجي المتقطع )IDWT( وفق الصيغة اآلتية [4] f ˆ ( T * W w (0). قوانين العتبة ان الخطوة الثانية من خطوات تقدير دالة االنحدار المويجي هي ازالة التشويش الموجود في االشارة عن طريق حد العتبة وباستخدام التحويل المويجي وتحديدا الخطوة الثانية منه يتم وضع عتبة ترددية مناسبة بحيث تلغي هذه العتبة معامالت التشويش وتحافظ على معامالت االشارة االصلية. [5] 6
.. قانون قطع العتبة الناعم )Soft( : يتم فيها إنهاء القيم ما دون العتبة الى الصفر والمحافظة على القيم األعلى من العتبة وتعرف رياضيا بالعالقة التالية : wˆ ) s S ( jk 0 f ŵ jk ŵ jk f f ŵ jk ŵ jk ŵ jk ().. قانون قطع العتبة الصلب :)Hard( يتم فيها تصغير القيم ما دون العتبة والمحافظة على القيم األعلى من العتبة ويتم تعريفها رياضيا بالعالقة التالية : wˆ S H ( jk ) 0 ŵ jk f f ŵ jk ŵ jk () حيث أن λ هي قيمة العتبة value( )Thresholdng. مع ان معادلة العتبة الناعمة أعقد من معادلة العتبة الصلبة إال ان العديد من الباحثين اكدوا من خالل تجاربهم ان نتائج استخدام العتبة الناعمة أفضل من نتائج العتبة الصلبة. شكل )( يمثل حد العتبة الصلب والمرن 3
. قيمة العتبة كما تم الذكر ان الخطوة الثانية من خطوات التقدير باستخدام االنحدار المويجي هي حد العتبة وان الجزء المهم في هذه الخطوة هو اختيار قيمة العتبة حيث ان االختيار المناسب لهذه القيمة يكون حاسما في دقة التقدير ويعود السبب في ذلك الى ان معامالت المويجة الناتجة من التحويل المتقطع تمرر من خالل حد عتبة وفي هذه الحالة فان القيم الكبيرة جدا للعتبة تؤدي الى ان العديد من المعامالت لن يسمح لها ان تكون ضمن عملية اعادة البناء )التقدير( مما يؤدي الى منحنى ممهد اكثر من الالزم )فوق التمهيد( وبالعكس اذا كانت قيمة العتبة صغيرة جدأ سوف يسمح للكثير من المعامالت ان تكون موجودة في عملية اعادة البناء مما يؤدي الى مقدر متذبذب. وعليه فان االختيار المناسب لقيمة العتبة سيلعب دورا هاما في جودة المقدر وفي ادناه شرح موجز لبعض الطرائق المستخدمة في اختيار قيمة العتبة.. العتبة الشاملة Thresholdng( )Unversal طريقة العتبة الشاملة قدمت من قبل Donoho and Jonstone والمعطاة وفق الصيغة التالية [5] حيث ان : log( n) (3) unversal n : عدد نقاط البيانات الكلي )مكافأة لعدد معامالت المويجي(. : االنحراف المعياري لمستوى التشويش والذي يكون على األغلب غير معلوم ويمكن استبداله بتقدير حصين هو ˆ وهذا التقدير الحصين هو وسيط االنحرافات المطلق Devaton( )Medan Absolute لمعامالت المويجي عند المستوى االول ) j log( n) ( )Fnest( ˆ medan( w medan( w J, k J, k 0.6745 ) ) )Sure Thresholdng( (4).. العتبة هذه الطريقة قدمت بواسطة [5] Donoho and Jonst والتي استندت في اختيار قيمة λ على تقليل تقدير المخاطرة غير المتحيزة ل) Sten Unbased Rsk )SURE()Estmaton لكل مستوى مويجة j حيث اعتبر الباحثان ان معامالت 8
المويجة عند كل مستوى على حدة كمشكلة تقدير متعدد متغيرات طبيعي مستقل حيث اوضح Sten انه ذلك تقدير غير متحيز للمخاطرة هو N k N d mn d SURE(, d ) N I (5) j jk jk j k وعليه فان قيمة العتبة لل )SURE( يمكن ايجادها من الصيغة التالية arg mn SURE(, d ) (6) j, SURE k 0 logn j j jk.. طريقة التقاطع الشرعية Valdaton( )Two Fold Cross [,] تعد طريقة تقاطع العبور )C.V( من الطرائق شائعة االستخدام احصائيا والتي تسمى أيضا one-out( )Leave إال أن هذه الطريقة ال يمكن تطبيقها مباشرة على طرائق التحويل المويجي السريعة والسبب في ذلك هو اشتراط هذه التحويل أن تكون البيانات ذات حجم دايديكي أي n=j وبالتالي فانها تقوم باستبعاد بعض نقاط البيانات مما يؤدي الى اختالل احد شروط تطبيق التحويل المويجي المتقطع ولذلك اقترح Nason طريقة C.V( )Two Fold يقوم من خاللها باستبعاد نصف البيانات حتى يضمن بقاء حجم العينة n=j وسيتم توضيحها وفق الصيغة اآلتية : E E E y, y,..., yn / 0 0 0 y, y,..., yn ليكن لدينا / تمثل نقاط البيانات الزوجي. تمثل نقاط البيانات الفردية و E وليكن ˆf ˆf,0 يمثل التقديرات المويجية لنقاط البيانات الفردية والزوجية تواليا. باستخدام حذف بيانات المؤشر الفردي فان البيانات الفردية المشوشة تكون وفق الصيغة اآلتية : ~0 y E y~ ( y y ), =,,.,n/- ( yn y ), =n/ (7) ( y y أما الصيغة للبيانات المشوشة الزوجية تكون: ), =,.,n/ ( y n y),= (8) 9
أما التقدير النهائي لطريقة )C.V( للمخاطرة () هو E ~ 0 ˆ ( ) ( ) ~ E f y f y ( ) (9), j n j, () n تقلل من إذا / n إذن قيمة العتبة النهائية تعطى وفق الصيغة التالية : n log n / (0) log n االنحدار المويجي متعدد الحدود Polynomal Wavelet [5] Regresson. الختزال تأثير مشكلة الحدودية على تقدير دالة االنحدار المويجي اقترح الباحثون )009( Lee & Navean and Oh طريقة مبسطة تدعى طريقة االنحدار المويجي متعدد الحدود Regresson( )Polynomal Wavelet ومختصره )PWR( وان ˆf مع دالة متعدد w الفكرة االساسية لهذه الطريقة هي الجمع ما بين التقدير المويجي (x ( حدود ذات درجة قليلة (x ( ˆ والصيغة الرياضية لهذه الطريقة تكون كاآلتي : d ˆ n ˆ s fpw( ˆ x cˆ kk ( d k, k( ) () n n f p J J J 0 j x k j0 k0 حيث ان الجزء األول يمثل متعدد الحدود اما الجزء الثاني والثالث فيمثالن التقدير المويجي. ويمكن كتابة الصيغة اعاله بالشكل اآلتي : fˆ pw( fp ˆ ( fw ˆ ( () حيث ان : ˆ : هو التقدير النهائي للدالة. : تقدير نموذج متعدد الحدود الذي يقوم بإزالة مشكلة الالدورية من. y ˆ fp( : التقدير المويجي لالشارة المتبقية والمتخفية في البواقي (x. y fpw( fp ˆ ( مشاهدات fw ˆ ( أما درجة المتعدد فهنالك طرائق عديدة لتحديدها ومن هذه الطرائق يتم تحديدها من قبل الباحث اعتمادا على دراسات سابقة. 0
. نموذج والية الفقدان ان النموذج وكما ذكرنا سابقا هو نموذج انحدار المعلمي )9( وبناءا عليه فان x والتي يمكن اعادة كتابتها اساس االستدالل يبدأ بافتراض عينة عشوائية من ) y, في حالة وجود بيانات مفقودة حيث ان ( y فانها تكون معتمدة على مؤشر ) يكون مفقودا وعدا ذلك ( y ) ( ( x ). بحيث ان اذا قد تم افتراضها تامة المشاهدة واما 0 فان متغير االستجابة اما آلية الفقدان فهي الجزء الذي يوضح العالقة بين احتمالية فقدان القيمة لمتغير ما مع بقية المتغيرات في مجموعة من البيانات. ويوجد في ادبيات االحصاء ثالث انواع من آليات الفقدان شائعة االستخدام وهي : الفقدان العشوائي التام. MCAR الفقدان العشوائي. MAR الفقدان غير العشوائي. NMAR... وسيتم استخدام آلية الفقدان MAR وفق الصيغة التالية [9]: والذي يتطلب احتمالية اآللية والتي يتم كتابتها p( / y, p( / p( (3). بعض طرائق تعويض البيانات المفقودة. تعويض المتوسط الوسيط Mean Medan Imputaton في هذه الطريقة يتم استبدال القيم المفقودة بالمعدل لمتغير االستجابة ومن خالل استخدام المتوسط اال انه يتأثر بالقيم المتطرفة في بعض الحاالت وبالتالي يمكن استخدامه بالوسيط. في حالة معالجة جزء كبير من المشاهدات أي ان نسبة الفقدان عالية اقترح الباحث (009) Chatterjee اضافة قيم اضافية عن طريق توليد بيانات بشكل عشوائي من التوزيع الطبيعي بمتوسط Medan) ( M وتباين صغير 0.0) ( نوع آخر من تعويض المتوسط يسمى تعويض المتوسط العشوائي والذي يعرف ب ( order zero )ZOR )+ )regresson والذي يمكن استخدامه لملئ المشاهدات المفقودة لمتغير
( ( y مضافا له قيمة ( y وببساطة فان صيغته هي عبارة عن معدل قيم ) االستجابة ),0)N y وبالتالي ان القيمة التقديرية لكل عشوائية مولدة من توزيع طبيعي ) ) y مفقودة تكون وفق الصيغة التالية [4]. y y N(0, ) (4) حيث ان ) ( التباين للبواقي لنموذج االنحدار انظر (003) Nttner [4] تعويض التمهيد الالمعلمي Non Parametrc Bootstrap Imputaton. قدمت هذه الطريقة الول مرة عن طريق (979) Efron ومنذ ذلك الحين تتالت بحوث كثيرة واكثر تعقيدا حول طرائق التمهيد وبالخصوص حول معالجة مشكلة البيانات المفقودة وفيما يلي الخطوات االساسية لهذه الطريقة لتقدير قيم متغير االستجابة المفقودة [,].. (y) استبدال كل القيم المفقودة لمتغير االستجابة بقيمة a. سحب B من العينات الممهدة Samples( )Bootstrap المستقلة وحساب. المتوسط لكل عتبة وليكن (,,..., B) حساب متوسط التمهيد الكلي والتباين كاآلتي y.b.c y ( y y ) (5) b B B ( y ) / B, Sb B b نولد m من نقاط البيانات عشوائيا من التوزيع الطبيعي بمتوسط ) y ( M وتباين ) S ( الستبدال m من المشاهدات المفقودة. b b.d. طريقة التقدير الحصينة المضاعفة الالمعلمية نوع (HT) قام الباحث P. Cheng (0) y باقتراح مقدر المعلمي حصين لمعالجة القيم المفقودة في متغير االستجابة عن طريق تعديل مقدر )HT( من خالل اضافة بواقي االنحدار الموزونة نوع )HT( الى دالة االنحدار المقدر بالطرائق اللبية ويمكن كتابة هذا المقدر وفق الصيغة التالية [3] مجلةكلية الرافدين الجامعة للعلوم
m DR ( y ( mˆ ( x ) mˆ ( x )) w (6) حيث ان n mˆ ( x ) w ( x, x ) y / w ( x, x ) (7) w h j h j h j حيث ان w هي دالة كثافة احتمالية وان ( u, h w(( u / h) (8) حيث ان h تمثل معلمة التمهيد اما الحد الثاني من المعادلة فما هو اال صيغة )HT( باستثناء استبدال لبواقي االنحدار حيث صيغة )HT( هي HT y w (9) المفقودة وفق الصيغة التالية المقترحة من قبل الباحث Cheng حيث يتم تقدير قيم [3,3] * y y ( ) mˆ ( (30) DR y y. طرائق التقدير. طريقة : Wavelet Bootstrap-Itratve Polynomal ان هذه الطريقة مقدمة من قبل الباحثان.A.M Taher &.M.T Ismal (0) وان الفكرة االساسية لهذه الطريقة هي اعتماد تنبأ متعدد الحدود المكرر في استبدال القيم المفقودة مع ما يقاربها من قيم متوقعة من ذلك النموذج مضافا اليها خطأ عشوائي وتتلخص خطوات هذه الطريقة وفق اآلتي :. نبدأ اوال بتقدير اولي للبيانات المفقودة مستخدمين طريقة التمهيد الالمعلمي والموضحة في )-8-( [,,5] : باستخدام نموذج الدراسة وهو نموذج متعدد الحدود ذات c y j. نجد القيم التقديرية ل f درجة ثانية. f ˆ ˆ (3) 7
يتم ذلك طبقا للبيانات التامة التي تم الحصول عليها من الخطوة )9( حيث ان ˆ ˆ ˆ x x (3) yˆ c j 0 حيث تم تقدير معالم النموذج أعاله باستخدام المربعات الصغرى.. نستبدل القيم المقدرة مع القيم المتوقعة من نموذج متعدد الحدود حيث ان N( 0, MSE) (33) y j c yˆ j MSE هو لنموذج متعدد الحدود الذي تم حسابه في ثانية.. ل...,,,3 j نكرر الخطوتين السابقتين حتى نصل الى التقارب بالنسبة ل. MSE. من اجل تقريب التقدير النهائي للقيم المفقودة سيكون تقدير القيم المفقودة النهائي والمقصود هنا هو آخر تكرار + قيمة عشوائية مولدة من توزيع طبيعي بمتوسط )صفر( وتباين مساوي الى MSE j أي متوسط مربعات الخطأ لنموذج متعدد الحدود من آخر تكرار. اصبح اآلن لدينا بيانات تامة وعليه سيتم استخدام طرائق تقدير المربعات الصغرى على نموذج متعدد الحدود قيد الدراسة. وبعد ذلك نقوم بتقدير نموذج متعدد الحدود من الدرجة الثانية للحصول على (x fp ˆ ( باستخدام طريقة المربعات الصغرى وبعدها نجد البواقي عن طريق تطبيق الصيغة التالية: y fp ˆ ( (34) e وبعد ايجاد البواقي نجد دالة االنحدار المويجي (x fw ˆ ( لدالة االنحدار المويجي متعدد الحدود. ومن ثم نجد التقدير النهائي fˆ pw( fp ˆ ( fw ˆ ( (35). الطريقة المقترحة Doubly Robust Polynomal Wavelet ان فكرة هذه الطريقة مستمدة من فكرة الباحثان.L.T.C.M Lee &.X [8] Meng والباحث [7] Dohon Kn حيث قام كال من الباحثين باستخدام طرائق تعويض تقليدية كخطوة اولى مثل طرائق التعويض باستخدام الوسيط او المتوسط وطريقة EM او التعويض المتعدد ومن ثم تطبيق طريقة االنحدار المويجي كخطوة ثانية بعد ان اصبحت البيانات تامة ومالئمة لهذه الطريقة اال اننا استخدمنا طرائق تعويض اخرى تمثلت بتوظيف طريقة الباحثان Cheng & Nng وفكرة هذه الطريقة انهما قاما بتعديل طريقة التقدير الالمعلمي في تعويض البيانات المفقودة Horvtz- 4 مجلةكلية الرافدين الجامعة للعلوم
)DR( الى مقدر جديد أطلق عليه اسم مقدر الحصين المضاعف (HT) Thompson الالمعلمي والموضحة في )3-8-( لمعالجة مشكلة البيانات المفقودة في متغير االستجابة كخطوة اولى بغية جعل البيانات مالئمة لتطبيق طرائق االنحدار المويجي اما في الخطوة الثانية فيتم تطبيق طرائق االنحدار المويجي متعدد الحدود وان هذه الطريقة قد تم تسميتها بطريقة )( حيث انه بعد معالجة القيم المفقودة باستخدام الصيغة الموضحة في المعادلة )00( حيث ان ˆm DR يتم الحصول عليها من المعادلة )( وبعد ذلك نطبق الخطوة الثانية من التقدير والتي تتلخص بايجاد دالة متعدد الحدود (x fp ˆ ( وذلك عن طريق تقدير معالم هذا النموذج ذات الدرجة الثانية باستخدام طريقة المربعات الصغرى حيث ان yˆ bˆ bˆ x bˆ x (36) حيث ان بعد ذلك نجد البواقي عن طريق الصيغة التالية : e 0 yˆ fp ˆ ( yˆ fp ˆ ( (37) واخيرا نطبق االنحدار المويجي التقليدي الموضح في )0-( على البواقي للحصول على التقدير النهائي لدالة االنحدار fˆ drpw( fw ˆ ( fp ˆ ( (38). المحاكاة ان تطبيق ما جاء في الجانب النظري يتم عن طريق استخدام اسلوب المحاكاة )Smulaton( من اجل محاكاة اكبر قدر من الحاالت التي يمكن ان تواجهنا في الواقع العملي بغية الوصول الى نتائج اكثر عمومية وان اللجوء الى استخدام اسلوب المحاكاة كان لعدة اسباب اهمها ان هذا االسلوب يوفر لنا اختصارا في الوقت والكلفة بجميع اشكالها المادية والبشرية الذي تتطلبه التجارب الواقعية كالتجارب الطبية والفلكية وغيرها من التجارب التي تحتاج الى وقت كبير وتكلفة باهضة جدا.. توليد المتغيرات النموذج االنحدار الالمعلمي في المعادلة )9( حيث ان n حيث ذات مسافات متساوية ضمن الفترة [0,] وان,...,n x / e 5 x بمتوسط صفر وتباين ثابت f ( x ) وجود فقدان في قيم متغير االستجابة y يتوزع توزيع طبيعي دالة االنحدار التي التي يراد تقديرها في ظل وعليه لتوليد البيانات ل ( x وفق ) y,
االنموذج االنحدار الالمعلمي )9( مع دوال االختبار الموضحة في )3-4( حيث ان المتغير المعتمد يتم توليده من خالل دوال االختبار الموضحة في )3-4( مضافا اليه حد الخطأ. e ولتنفيذ تجارب المحاكاة جرى استخدام مستويات مختلفة من العوامل اآلتية : حجوم العينات n حيث تم استخدام ثالثة حجوم للعينات وهي 6 64 j n كون حجم العينة هنا يجب ان يكون 8 56 7 8 حيث ان J عدد صحيح موجب. نسب االشارة الى التشويش )SNR( حيث تم استخدام اثنان من نسب التشويش. SNR= 5,0.. دوال االختبار في )3-4(. f ( x حيث جرى استخدام ثالثة دوال اختبار مختلفة موضحة ).. نسب الفقدان حيث تم استخدام ثالثة نسب للفقدان وهي ( 5%, 5% )... درجة متعدد الحدود من الدرجة الثانية أي d. دوال االختبار [] Test Functon وتتميز هذه الدوال كونها دوال اختبار قياسية ونموذجية ومناسبة الستخدامها في تجارب المحاكاة كونها صممت لتعرض مجموعة من الظواهر التي غالبا ما تحدث في مجموعة البيانات المأخودة من الواقع العملي وان هذه الدوال تكون معرفة على الفترة [0,] وسوف نعرض تلك الدوال [5] وكاآلتي :. دالة Doppler f ( x( / sn ( ) /( x ), 0. 05 (39). دالة Heavsne 4sn 4 x sgn( x 0.3) sgn(0.7 ) (40) f ( x. دالة Blocks h k( x x ), k( sgn( ) / (4) f 3 ( j j x 6
( x j ) (0.,0.3,0.5,0.3,0.5,0.40,0.44,0.65,0.76,0.78,0.8) ( ) (4, 5, 4,5, 4.,.,4.3, 3.,., 4.) h j شكل )( : دوال االختبار. تجارب المحاكاة هنا سيتم وصف وافي لتجارب المحاكاة بحسب دوال االختبار المستخدمة في نموذج ( x من ثم اجريت تجارب المحاكاة لتقدير, y االنحدار الالمعلمي )( لتوليد البيانات ) االنموذج من خالل توظيف عدد من طرائق معالجة القيم المفقودة في متغير االستجابة ولحجوم عينات ونسب اشارة مختلفة حيث تم توظيف طرائق المستخدمة في التقدير وهي ستة طرائق تم تكرار التجربة )500( بثبات جميع العوامل عدا المتغير العشوائي والذي يعاد توليده عند تكرار كل تجربة. 3
في كل مرة يجري فيها توليد للبيانات المشوشة يتم استخدام آلية الفقدان العشوائي MAR لفقدان بعض مشاهدات متغير االستجابة عشوائية وفق الصيغة الموضحة في المعادلة )0(. اوالا: تطبيق طريقة :)( ان ملخص عمل هذه الطريقة الخوارزمية )9( )ملحق رقم 9( يكون وفق الخطوات التالية : والموضحة في y بعد توليد كال من المتغير التوضيحي والمتغير المعتمد الموضحة في )9-( و اجراء عملية الفقدان العشوائي على متغير االستجابة وفق الصيغة الموضحة في المعادلة )0( يتم معالجة قيم المفقودة باستخدام المعادلة )00(. بعد ان تم معالجة البيانات المفقودة لمتغير االستجابة نجد دالة نموذج متعدد الحدود (x fp ˆ ( من الدرجة الثانية عن طريق تقدير معامالت النموذج باستخدام المربعات الصغرى. نجد البواقي عن طريق الصيغة الموضحة في المعادلة )0(. نطبق االنحدار المويجي الموضح في )0-( على البواقي. نجد التقدير النهائي لدالة االنحدار المويجي متعدد الحدود وفق الصيغة الموضحة في المعادلة )( وكذلك الحال هنا سيتم الحصول على ثالث تقديرات لدالة االنحدار المويجي متعدد الحدود بحسب نوع قيمة العتبة كما موضح في الخوارزمية...... ثانياا: تطبيق طريقة )( : ان ملخص عمل هذه الطريقة الخوارزمية )( ( ملحق رقم ( يكون وفق الخطوات التالية : والموضحة في تطبيق طريقة تعويض االنحدار الالمعلمي باستخدام طريقة )DR( حيث يتم تطبيق الصيغة الموضحة في المعادلة )00( للحصول على قيم متغير االستجابة المفقودة. نجد قيمة (x fp ˆ ( لنموذج متعدد الحدود من الدرجة الثانية عن طريق تقدير معامالته باستخدام المربعات الصغرى. نجد البواقي عن طريق الصيغة الموضحة في المعادلة )0(. نطبق االنحدار المويجي على البواقي وخطواته نفس ماتم في الطريقة االولى لغاية الحصول على التقدير النهائي الجدير بالذكر انه عند استخدام طريقة.... 8
)Epenchenkov( الموضحة في )-3( وقد تم استخدام دالة )( واما معلمة التمهيد فهي طريقة drcet(.)plug-n. تحليل النتائج f. دالة االختبار ( بصورة عامة نالحظ انه باختالف كال من نسب الفقدان ونسب التشويش SNR( ) وقيم العتبة وحجوم العينات تفوق التقدير المقترح على بقية التقديرات. f. دالة االختبار ( بصورة عامة وعند نسبة فقدان %9 وحجم عينة 4 ونسبة تشويش نالحظ تقارب اداء التقديرات وباختالف قيم العتبة مع تفوق بسيط للتقدير المقترح اما بقية احجام العينة فنالحظ تفوق تقدير. اما عند نسبة تشويش وباختالف قيم العتبة وحجوم نالحظ تفوق التقدير المقترح SNR=0 العينات. اما عند نسبة فقدان % وحجم عينة 4 فنالحظ تفوق التقدير المقترح SURE, CV بينما يتفوق تقدير عند نسبة SNR=0 وقيمة عتبة عند تشويش وقيمة عتبة CV, Unversal اما عند حجم )99 4( فنالحظ تفوق تقدير على بقية التقديرات وباختالف نسب التشويش وقيم العتبة. f ( x 3. دالة االختبار ) بصورة عامة وعند نسبة فقدان %9 وحجوم عينة )4 99( نالحظ تفوق التقدير المقترح وباختالف قيم العتبة بينما عند حجم عينة 4 فانه باستثناء التقدير عند قيمة عتبة SURE ونسبة تشويش SNR=0 نالحظ تفوق التقدير المقترح. اما عند نسبة فقدان % نالحظ تفوق التقدير المقترح وباختالف قيم العتبة وحجوم العينات ونسب التشويش. SNR )نسبة االشارة الى التشويش( : هي مقياس يتم بواسطته المقارنة بين قيمة االشارة وقيمة التشويش )Nose( المحمولة معها او بتعريف آخر هي النسبة بين قيمة االشارة الى قيمة ما تحتويه من تشويش ويتم حسابها وفق الصيغة اآلتية : sgnal SNR nose 9
جدول )( معيارMSE لمقارنة التقديرات لدالة Doppler المشو شة ونسبة فقدان % لحجوم عينات 64=n,56=n,8=n ونسب إشارة إلى تشويش SNR=0, Sure Unversal CV SNR=0 SNR=0 SNR=0 n=64 9.9.99 9.9909 9.9999 9.99.99. 9.9999 9.99.9.0. 9.99. 9.99999. 9.99. 9.99999. 9.99.90.9 9.9990 n=8 9.9.99. 9.9900099. 9.9909 9.9999 9.999 9.999 9.999 9.9999 9.999 9.99000 9.990.9 9.99090 n=56 9.99.9909 9.99999. 9.99. 9.99.9..99 9.99.99 0.00856589 9.99.90 9.99.99 9.99.90 9.99909 9.999 9.999 جدول )( معيارMSE لمقارنة التقديرات لدالة Doppler المشو شة ونسبة فقدان % لحجوم عينات 64=n,56=n,8=n ونسب إشارة إلى تشويش NR=0 Sure Unversal CV SNR=0 SNR=0 SNR=0 n=64 9.999 9.9999 9.99099 9.999 9.99.. 9.9 9.99.0. 9.990.99 9.99.0. 9.990.99 9.99.00 9.99.9 n=8 9.900 9.999 9.9.90 9.99 9.9 9.909 9.99.090.9 9.99.000 9.99.090.9 9.99.000 9.999.9 9.99..99 n=56 9.9 9.909. 9.99999 9.990 9.90 0.08037 9.99.9. 9.99.99 9.99.9. 9.999 9.990.9 9.99.9 0
جدول )3( معيارMSE لمقارنة التقديرات لدالة Heavsne المشو شة ونسبة فقدان % لحجوم عينات 64=n,56=n,8=n ونسب إشارة إلى تشويش SNR=0, Sure Unversal CV SNR=0 SNR=0 SNR=0 n=64 9.9999 9.9900 9.999. 9.999. 9.99999 9.99999. 9.99.9 9.9999. 9.99.9 9.9999. 9.999.099 9.999.0 n=8 9.9990 9.9999 9.99.99 9.9990 9.9909 9.99.090 9.9909. 9.99099. 9.9909 9.9999 9.999 9.99.9 n=56 9.999 9.99.999 9.999. 9.999.9 9.99999 0.004997047 9.999.9 9.99900 9.999.9 9.9999 9.999 9.999.0. جدول )4( معيارMSE لمقارنة التقديرات لدالة Heavsne المشو شة ونسبة فقدان % لحجوم عينات 64=n,56=n,8=n ونسب إشارة إلى تشويش SNR=0, Sure Unversal CV SNR=0 SNR=0 SNR=0 n=64 9.99.990 9.99.9 9.9909.9 9.990909 9.9909.0 9.9990. 9.9900.9 9.9909 9.9900.9 9.9909 9.99.09 9.99.. n=8 9.999.0 9.9990 9.99.9 9.999099 9.99999 9.99099 9.99.999 9.999. 9.9990. 9.99909 9.999 9.9909 n=56 9.999.. 9.99.. 9.999.. 9.99 9.99999 0.00535997 9.990.90 9.99.990 9.990.90 9.9999.0 9.990.0. 9.99999
جدول )5( معيارMSE لمقارنة التقديرات لدالة Blocks المشو شة ونسبة فقدان % لحجوم عينات SNR=0, ونسب إشارة إلى تشويش n=56, n=8, n=64 Sure Unversal CV SNR=0 SNR=0 SNR=0 n=64 9.9900 9.99.9.9 9.99.9 9.99999 9.99 9.999 9.9 9.999 9.9 9.99.009. 9.9.90 9.9999 n=8 9.999. 9.999 9.99 9.900.9 9.99. 9.900.9 9.999 9.990990 9.99.99 9.99.9 9.99... 9.99.90 n=56 9.999 9.99.00.0 9.90 9.999 9.900 0.0098473 9.9900.9 9.90990 9.990. 9.9990 9.999..9 9.99099 جدول )6( معيارMSE لمقارنة التقديرات لدالة Blocks المشو شة ونسبة فقدان % لحجوم عينات SNR=0, ونسب إشارة إلى تشويش n=56, n=8, n=64 Sure Unversal CV SNR=0 SNR=0 SNR=0 n=64 9.999 9.990 9.990 9.9.99 9.9 9.9. 9.9 9.90009 9.9 9.99 9.990 9.9 n=8 9.9090 9.9..9 9.9099 9.90. 9.9..9 9.990909 9.9.0 9.9909 9.990 9.90.. 9.99.99 9.909999 n=56 9.999 9.99. 9.99.09 9.99.99 9.90 0.040307 9.9999. 9.90 9.9909 9.909 9.99.9. 9.9009
9. االستنتاجات تفوق التقدير المقترح عند استخدام دالة االختبارDoppler نسب التشويش والفقدان وحجوم العينة. وباختالف. تفوق التقدير عند نسبة تشويش وحجوم عينات )99 4( بينما يتقارب اداء التقديرات عند حجم عينة 4 اما عند SNR=0 تفوق التقدير المقترح.. تفوق التقدير عند حجوم العينة )99 4( ونسبة فقدان % ودالة اختبار Heavesne بينما يتقارب االداء عند حجم عينة. 4. عند دالة االختبار Blocks نالحظ تقارب االداء عند نسبة فقدان %9 بينما يتفوق التقدير المقترح عند نسبة فقدان % وباختالف نسب التشويش وقيم العتبة وحجوم العينة. تتناقص قيمة MSE بازدياد نسب التشويش وكذلك عند زيادة حجم العينة. عند مقارنة قيمة العتبة لكل تقدير على حدة نالحظ انه افضل اداء عند استخدام قيمة عتبة CV يليها قيمة عتبة.SURE... 0. التوصيات توظيف الطرائق المقترحة واستخدامها في معالجة حالتي الفقدان والبيانات الشاذة في آن واحد. التركيز على دراسة تأثير قيمة العتبة بشكل موسع لما لها من تأثير على اداء الطرائق المويجية في التقدير والتركيز على دراسة العتبات الحصينة... 7
شكل )( نتائج تجارب المحاكاة باستخدام تقديرات الدوال Blocks) (Doppler, Heav, المشوشة عند انواع قيم عتبة مختلفة ونسبة فقدان % ونسبة تشويش وحجم عينة 64 4
تتمة شكل )( 5
شكل )( نتائج تجارب المحاكاة باستخدام تقديرات الدالة Blocks) (Doppler, Heav, المشوشة عند انواع قيم عتبة مختلفة ونسبة فقدان % ونسبة تشويش 0 وحجم عينة 64 6 مجلةكلية الرافدين الجامعة للعلوم
تتمة شكل )( 3
المصادر [] Altaher, M. A., Ismal, T. M., (0), A New Method on Treatng Mssng Values n Polynomal Wavelet Regresson, Proceedngs of the Annual Internatonal Conference on Operatons Research and Statstcs (ORS), copyrght GSTF & ORS, ISBN : 978-98-08-8407-9. [] Altaher, M.A., (0), Local Polynomal Wavelet Regresson wth Mssng at Random, Appled Mathematcal Scences, Vol. 6, no. 57, 805-89. [3] Cheng, E. P., (994), Nonparametrc Estmaton of Mean Functonal wth Data Mssng at Random, Journal of the Amercan Statstcal Assocaton, Vol. 89, No. 45. [4] Daubeches, I., (99), Ten Lectures on Wavelets, CBMS- NSF regonal conference seres n appled mathematcs. [5] Donoho, L. D., Johnstone, M. I., (994), Ideal spatal adaptaton by wavelet shrnkage, Bometrka, 8, 3, pp. 45-55. [6] Hardle, W., (990), Appled Nonparametrc Regresson, Gambrdg MA : Cambrdg Unversty Press. [7] Km, D., Lee, Y. and Oh, S. H., (006), Herarchcal- Lkelhood-Based Wavelet Method for Denosng Sgnals Wth Mssng Data, IEEE SIGNAL PROCESSING LETTERS, VOL. 3, NO. 6. [8] Lee, M. C. T., Meng, L. X., (007), Self Consstency : A General Recpe for Wavelet Estmaton Wth Irregularly-spaced and / or Incomplete Data, arxv : math / 07096v [math. ST]. [9] Lttle, A. J. R., Rubn, B. D., (00), Statstcal Analyss wth Mssng Data, John Wley & Sons, INC. [0] Mallat, G. S., (989), A Theory for Multresoluton Sgnal Decomposton: The Wavelet Representaton, Ieee Transactons on Pattern Analyss and Machne Intellgence. Vol., No. 7. [] Nason,G.B.,(008), Wavelet Methods n Statstcs wth R, Sprnger. 8
[] Nason, G.P., (996), Wavelet shrnkage usng crossvaldaton, Journal of the Royal Statstcal Socety Seres B. 58, 463-479. [3] Nng, J., Cheng, E. P., (0) A Comparson Study of Nonparametrc Imputaton Methods, Statstcal Compute, Sprnger, PP. 73-85. [4] Nttner, T., (003), Mssng at Random (MAR) n Nonparametrc Regresson. [5] Oh, S. H., Naveau, P., Lee, G., (00), Polynomal Boundary Treatment for Wavelet Regresson, Bometrka, 88,, pp. 9-98. [6] Vdakovc, B., (999), Statstcal Modelng by Wavelet, John Wley & Sons, Inc. 9
Start ملحق رقم )9( Input W, n x=/n, =0,,.,n- خوارزمية )( لطريقة y تعويض قيم المفقودة باستخدام طريقة BIP نجد قيمة (x fp ˆ ( لنموذج متعدد الحدود من الدرجة الثانية fˆ p( b b x b 0 x ˆ fw( W wˆ e y fp ˆ ( نجد البواقي f ˆcvw ( ˆ fsure ˆ ( fun( e نطبق االنحدار المويجي على البواقي wˆ We fˆ wp( fw ˆ ( fp ˆ ( نجد قيمة Prnt fwp ˆ ( CV SURE un End Thrwˆ sof 70
Start ملحق رقم )( Input W, n x=/n, =0,,.,n- خوارزمية )( لطريقة y تعويض قيم المفقودة باستخدام طريقة DR نجد قيمة (x fp ˆ ( لنموذج متعدد الحدود من الدرجة الثانية fˆ p( b b x b 0 x ˆ fw( W wˆ e y fp ˆ ( نجد البواقي f ˆcvw ( ˆ fsure ˆ ( fun( e نطبق االنحدار المويجي على البواقي wˆ We fˆ wp( fw ˆ ( fp ˆ ( نجد قيمة Prnt fwp ˆ ( CV SURE un End Thrwˆ sof 7
Usng Dfferent Threshold Value n Comparson Some of Methods Wavelet Estmaton for Non Parametrc Regresson Functon wth Mssng Data Prof. Dr. Dhafr H. Rasheed rasheddhafr@yahoo.com Baghdad Unversty College of Admnstraton and Economcs Saad K. Hamza sdkadem@yahoo.com Baghdad Unversty - Admnstraton Affars Abstract: The problem of mssng of some of sample observatons s one of the man problems that face researcher durng the statstcal analyss, the man problem of mssng data are as follows damage, neglgence, death and morbdty as n the case of clncal studes The presence of such a problem wthn the data may nfluence on the analyss and accordngly t may lead to msleadng conclusons despte the fact that the wavelet estmatons are of hgh effcency n estmatng the regresson functon, but t may be nfluenced by the problem of mssng data, n addton to the mpact of the problem of mss of accuracy estmaton t s not possble to apply these methods because of the mss of one of ts condtons J whch s dyadc sample sze n. Accordng to the great mpact stem from that problem, many researchers who devoted ther study to process ths problem by usng tradtonal methods 7
n processng mssng data, where as the researcher used mputaton methods more effcent and effectve to process the mssng data as a prmary stage so that these data wll be ready and avalable to wavelet applcaton, as a result smulaton experment proved that the suggested methods () are more effcent and superor to other methods, ths paper also ncludes the auto correcton of boundares problem by usng polynomal models, and usng dfferent threshold values n wavelet estmatons, SINCE the sutable choce of ths value s decsve accuracy of these estmatons. Keywords: Mssng data, Wavelet regresson, Polynomal, Non parametrc Doubly Robust. 77