مجمة جامعة تشرين لمبحوث والد ارسات العممية - سمسمة العموم األساسية المجمد )37( العدد )4( 25 Tishreen University Journal for Research and Scientific Studies - Basic Sciences Series Vol. (37) No. (4) 25 الدكتور محمود عثمان )تاريخ اإليداع.25 / / 26 ق ب ل لمنشر في )25/ 7 / 26 ممخ ص تم في ىذا البحث عرض د ارسة مسألة قابمية التحكم وكذلك قابمية الرصد لألنظمة الخطية المستمرة الثابتة مع الزمن والتي تكتب عمى النحو اآلتي: dx A x( B u ( dt y( C x(, x() x, x( t ) f x f وتم التوصل إلى إيجاد معايير لقابمية التحكم وقابمية الرصد. وكذلك تم استنتاج متجية التحكم التي تنقل النظام من الحالة االبتدائية ()x إلى الحالة النيائية ) f x(t في زمن محدد < f tموضحا ذلك بمثال.وكذلك تم وضع خوارزمية جديدة إليجاد متجية التحكم والتي تمكننا من نقل النظام من الحالة االبتدائية إلى الحالة النيائية. كما تموضع برنامج لرسم مسار متجية الحالة ومتجية الرصد. الكممات المفتاحية: قابمية التحكم بالنظام قابمية الرصد األنظمة الخطية المستمرة متجية التحكم. أستاذ - قسم الرياضيات كمية العموم- جامعة تشرين الالذقية- سورية 67
عثمان مجمة جامعة تشرين لمبحوث والد ارسات العممية - سمسمة العموم األساسية المجمد )37( العدد )4( 25 Tishreen University Journal for Research and Scientific Studies - Basic Sciences Series Vol. (37) No. (4) 25 Controllability and Observerability of Linear Continuous-Time Systems (Received 26 / / 25. Accepted 26 / 7 /25) ABSTRACT Dr. Mahmoud Osman * In this research, we investigate a problem of controllable and observerable for linear Continuous-time systems of type: dx dt y( C x( x() x A x( B u (,, x( t ) f x f We have foundedcontrollable and observerable conditions for the linearcontinuoustime system. Moreover, we put out a new algorithm for findingcontrolvectorof steps that can enable us to move the state vector from the initial stage x() into the final onex( ) for finite time >, the theoretical results is illustratedby an example. Finally,we put program to plot trajectory of state vector x( and observer vector y(. Key Words: Controllable, Observerable, Linear Continuous-Time Systems, Control Vector. * professor, mathematics department-faculty of sciences-tishreen University-Lattakia-Syria. 68
Tishreen University Journal. Bas. Sciences Series مجمة جامعة تشرين العموم األساسية المجمد )37( العدد )4( 25 مقدمة: قابمية التحكم والرصد مفيومان أساسيان في نظرية التحكم الحديثة فقد تم تعريف ىذين المفيومين من قبل العالم [ R.kalman[2,3 في عام 96 وذلك بغية التعرف عمى مدى إمكانية م ارقبة النظام والتحكم بو.لذلك ولتحقيق ىذين المفيومين في نظام ما يجب عمينا م ارعاة اختيار أو انتقاء متغي ارت متجية الحالة لمنظام بحيث يمكن قياسيا أو م ارقبتيا. أىمية البحث وأىدافو: تأتي أىمية البحث في الحصول عمى معايير لقابمية التحكم لمنظم الخطية المستمرة لتصميم نظام تحكم يحقق اليدف المطموب. ط ارئق البحث و مواده: تم عرض نظريات مشيورة واستنتاج سمسمة من النتائج والخوارزميات مدعومة باألمثمة إلظيار صحة ىذه المعايير. t> النتائج. أ والمناقشة: -تعريف قابمية التحكم: [] نقول عن نظام ما بأنو قابل لمتحكم إذا وفقط إذا كان من الممكن عن طريق متجية التحكم الوصول بالنظام من الحالة االبتدائية ب-النموذج الرياضي لمنظام:[ 8 ] x(tإلى x=( أي حالة نيائية x(tوذلك f x=( f خالل زمن محدد يمكن توصيف أي نظام ديناميكي باستخدام معادالت تفاضمية عادية عمى النحو اآلتي: dx dt f ( x, u, y y( x, u, ومعادلة الخرج)الرصد( بالعالقة : حيث: x( تمثل متجية الحالة لمنظام y( تمثل متجية الرصد u( تمثل متجية التحكم وفي حالة األنظمة غير الخطية تأخذ ىذه المعادالت الشكل اآلتي: 69
عثمان dx A( x( B( u(...() dt y( C( x( D( u(...(2) dx Ax( Bu(...(3) dt y( Cx( Du(...(4) وفي حالة األنظمة الخطية الثابتو مع الزمن تأخذ المعادالت الشكل اآلتي:. m باشتقاق المعادلة xم t = Ax t + Bu t ارت متعددةنجد :. n n. n m. n حيث: A مصفوفة الحالة من الشكل B مصفوفة التحكم من الشكل C مصفوفة الخرج من الشكل D مصفوفة النقل المباشر من الشكل n :عدد مركبات متجية الحالة. m :عدد مركبات متجية التحكم. ج- معاير قابمية التحكم:[ 5 ] x t = A 3 x t + A 2 Bu t + ABu t + Bu ( x ( n) ( A n x( A n Bu( A n 2. Bu(... Bu ( n ) ( (5) يمكننا كتابة جممة المعادالت )5( عمى النحو اآلتي: x n t A n x t = B AB A 2 B A 3 B A n B U t = RU t (6) حيث : R= B AB A 2 B A 3 B A n B و. ( n ) ( n ) T U ( ( u ( u (,... u(, u( ) f,[بحيث t [t نالحظ أن جممة المعادالت (6) تكون محققة من أجل مصفوفة التحكم R غير الشاذة تدل عمى وجود متجو التحكم( U(t و (-n) مشتق من أجل t زمن محدد. وىكذا فإن t < t < ومن أجل متجية التحكم U t R M فإن: 7
Tishreen University Journal. Bas. Sciences Series مجمة جامعة تشرين العموم األساسية المجمد )37( العدد )4( 25 R. ( ) u n. (. u( ( n) n = x ( A x( ( (7) حيث المصفوفة R تتألف من n سط ار و nm عمودا. ومن أساسيات الجب ارلخطي نعمم أن:. rank[ R] rank[ - اليوجد لجممة المعادالت ( 7 )حل إذا كان [ R. rank[ R] rank[ R ] يوجد حل وحيد إذا كان n - 2. rank[ R] rank[ R ] يوجد عدد النيائي من الحمول إذا كان: n - 3 وبالتالي يمكننا أن نضع المعيار اآلتي لقابمية التحكم: تعريف: نقول عن النظام األتي: x t = Ax t + Bu t (8) y( = Cx( (9) () x(tالحالة )=x االبتدائية لمنظام () f x( )=x الحالة النيائية لمنظام أنو قابل لمتحكم إذا تحقق الشرط اآلتي: Rank(R)=n - برنامج إليجاد قابمية التحكم: تم وضع برنامج بمغة الماتالب إليجاد قابمية التحكم وتم حفظو تحت اسم cot ويتم استخدامو عندما نحتاج إليو: function co=ctrb(a,b) n=length(a); co=ctrb(a,b); if rank(co)~=n else end end disp('no contrable'); disp('contable'); البرنامج: مثال :ىل النظام المعطى عمى النحو اآلتي قابل لمتحكم : 7
عثمان x x 2 x 3 = 2 x x2 x3 + u y t = >> a=[- ;- -2 ; ]; >> b=[;;]; >> cot(a,b) contable x x2 x3 وباستخدام التابع السابق ينتج اآلتي: ans = - - 3 - أي أن النظام قابل لمتحكم وقيمة المصفوفة R: R= 3 x x 2 x 3 = مثال 2 :ىل النظام المعطى عمى النحو اآلتي قابل لمتحكم : x x2 + u x3 y t = x x2 x3 >> a=[ ; ; ]; >> b=[;;]; >> cot(a,b) not contrable وياستخدام البرنامجcot من أجل المثال 2 :نجد 72
Tishreen University Journal. Bas. Sciences Series مجمة جامعة تشرين العموم األساسية المجمد )37( العدد )4( 25 R = 2 4 2 4 أي أن النظام غير قابل لمتحكم وذلك ألن: <3 rank(c)=. د- اسنتاج العالقة بين متجية التحكم والحالتين االبتدائية والنيائية لمنظام[ 4 ] x t = Ax t + Bu t : e -At e At x t = e At Ax t + e At Bu t e At x t e At Ax t = e At Bu( d dt e At x t = e At Bu( وبإج ارء التكامل عمى طرفي المعادلة السابقة نحصل عمى : t d f e At x t = e At Bu t dt dt x = e A x + t = e A x x = x = e A x + t = t = t = e A( Bu t dt e At Bu t dt e A(t ) Bu t dt (2) بضرب طرفي المعادلة اآلتية ب نحصل عمى: مالحظة :بمعرفة الحالة االبتدائية والنيائية لمنظام يمكننا الحصول عمى متجية التحكم. مبرىنة : إذا كان النظام (8-) قابل لمتحكم فإن متجية التحكم U( والتي تنقل النظام من الحالة االبتدائية إلى الحالة النيائية تعطى بالعالقة اآلتية: U t = B e (A W [e Ax x f ] (3) حيث W تعطى بالعالقة اآلتية: W = e A(tf BB u t e A ( dt البرىان: نأخذ الطرف الثاني من العالقة (2) وبالتعويض عن U( من العالقة ( 3 )نجد: e A x + e A t B( B e A t W e Ax x f )dt = e A x e A t BB e A t dt(w e Ax x f ) = 73
عثمان e A x W W e A x f = e A x e Ax x f = x f حيث x f ىو الطرف األول من العالقة ( 2 )وىو المطموب. مالحظة:نعني بالنظام)( 8- جميع العالقات من 8 وحتى. ه-خوارزمية إليجاد متجية التحكم لمنظام:[ 7 ] المدخالت:( m,n,x(),x( وكذلك المصفوفة A من المرتبة nxnوالمصفوفة B من المرتبة. nxm cot المخرجات: متجية التحكم U(. خطوة () : نتحقق من النظام إذا كان قابل لمتحكم باستخدام البرنامج الخطوة( 2 ) واال نذىب إلى الخطوة () فإذا كان قابل لمتحكم ننتقل إلى خطوة (2) : باالكتفاء بثالثة حدود من منشور الدالة e x المعطى بالعالقة: e x = + x + x2 2! + نحسب : E = e A(tf = I n + A t + ( 2 A 2 2! خطوة ( 3 ):نحسب : E2 = e A ( = I n + A t + ( 2 A 2 2! خطوة ( 4 ):نحسب : W=int(w,, ) W=W - =inv(w) W = E B B E2 خطوة ( 5 ):نحسب : خطوة ( 6 ):نحسب : خطوة ( 7 ):نحسب : U(= - B ' *E2*W*(E3*x() x f ) E3 = e A = I n + A + A2 2 2! خطوة ( 8 ):نحسب : خطوة (9) نطبع U( خطوة () :النياية. 74
Tishreen University Journal. Bas. Sciences Series مجمة جامعة تشرين العموم األساسية المجمد )37( العدد )4( 25 مثال 3: ليكن النظام معطى عمى النحو اآلتي: x x 2 x 3 = 6 6 x x2 x3 + u y t = x x2 x3 x =.5.5, x f =.5 3.7.2 t, وذلك من أجل: المطموب: إيجاد متجية التحكم U( والتي تنقل النظام من الحالة االبتدائية إلى الحالة النيائية. الحل: نتأكد من قابمية التحكم >> a=[ ; ;-6 - -6]; >> b=[;;]; >> cot(a,b) contable - لمنظام ans = -23-23 2 >> E=eye(3)+(tf-*a+(/2)*(tf-^2*a^2 أي أن النظام قابل لمتحكم وقيمة المصفوفة R: R= 23 23 2 2 -نوحد E: E = 75
عثمان [, -t, /2*(-^2] [ -3*(-^2, -/2*(-^2, -t-3*(-^2] [ -6+6*t+8*(-^2, -+*t+3*(-^2, -5+6*t+25/2*(-^2] 3 -نوجد E2: >> E2=eye(3)+(tf-*a'+(/2)*(tf-^2*a'^2 E2 = [, -3*(-^2, -6+6*t+8*(-^2] [ -t, -/2*(-^2, -+*t+3*(-^2] [ /2*(-^2, -t-3*(-^2, -5+6*t+25/2*(-^2] نحسب W: W=E2*b*b'*E2 نحسب W: >> W=int(W,,) - - 4 5 W = [ 89/3, -57/3, 629/3] [ -57/3, 46/3, -777/3] [ 629/3, -777/3, 6929/3] نحسب W: >> w=inv(w) - 6 w = [ 23/92, -83/96, -6/92] [ -83/96, 37/48, 55/32] [ -6/92, 55/32, 9/92] >> E3=eye(3)+a*tf+(/2)*tf^2*a^2 7 -نحسب E3: E3 =...5-3. -4.5-2. 76
Tishreen University Journal. Bas. Sciences Series مجمة جامعة تشرين العموم األساسية المجمد )37( العدد )4( 25 2. 9. 7.5 8- نحسب متجية التحكم :U( >> u=-b'*e2*w*(e3*x-xf) u = -7556928397893/4737488355328+24678936283859/35 8437288832*t+74835927979922563/4737488355328*(-^2 أي أن قيمة متجية التحكم بعد االكتفاء بأربع أرقام بعد الفاصمة العشرية : U( = -5.8442+68.689t+53.74(-^2 مالحظة : يمكننا التحقق من الحالة النيائية لمنظام وفق الخطوات اآلتية: نحسب W2=E*B*u ومن ثم نحسب x f من العالقة: >> x f =E3*x+int(w2,,tf) x f = 3/2 37/ -778355935635/736874477664 x f =.5 3.7.2 أي أن : عمما أن : >> -778355935635/736874477664 ans = -.2 برنامج لرسم مسا ر متجية [ lsim.m[6 ومتجية التحكم التي حصمنا عمييا من a=[ ; ;-6 - -6] - التحكم x( ومسار متجية الخرج )الرصد( y( لتحقيق اليدف المطموب نستخدم دالة محفوظة تحت اسم الخوارزمية السابقة. البرنامج: 77
عثمان b=[; ; ] c=[ ] d= x=[;.5;-.5] t=:.5: f =inline(' -5.8442+ 68.689*t+ 53.74*(-^2','t') u=[f() f(.5) f()] [x y]=lsim(a,b,c,d,u,t,x) plot(t,x,t,y) وبعد تنفيذ البرنامج تظير لنا شاشة النتائج كما يأتي: (4) غير معمومة x t = Ax(;x(t )=x o و- قابمية الرصد لمنظم الخطية المستمرة[ 7 ] ليكن النظام معطى عمى النحو اآلتي: مع المقاييس الم ارفقة: 78
Tishreen University Journal. Bas. Sciences Series مجمة جامعة تشرين العموم األساسية المجمد )37( العدد )4( 25 y(=cx( (5) y(t )=Cx(t ) y t = Cx t = CAx t y t = CAx t = CA 2 x t x t R n, y t R p A R nxn, C R pxn من العالقة (5) نستطيع أن نكتب: y (n ) = CA n x(t ) y(t o ) y (t ) y t y (n ) = C CA CA 2 CA n x(t )(6) ونستطيع كتابة جممة المعادالت السابقة عمى النحو اآلتي: بفرض: C y(t o ) CA y (t ) CA 2 O= و Y(t )= y t CA (n ) y (n ) تكتب جممة المعادالت (6) عمى النحو اآلتي: x(t ) Ox(t )=Y(t o ) (7) نسمي المصفوفة O مصفوفة الرصد فإذا كان ) Y(t معموما فيمكننا تحديد الحالة االبتدائية لمنظام بشكل وحيد من جممة المعادالت (7) إذا وفقط إذا كانت مصفوفة الرصد O ليا رتبة تامة.وبالتالي نستطيع صياغة قابمية الرصد لمنظم الخطية المستمرة وفق النتيجة اآلتية: نتيجة:النظم الخطية المستمرة الرصد O تممك رتبة تامة أي. rank(o)=n -برنامج إليجاد قابمية الرصد:[ 6 ] [ 4 ]مع القياسات الم ارفقة (5) تكون قابمة لمرصد إذا وفقط إذا كانت مصفوفة function o = obsvable(a,c) تم وضع برنامج بمغة الماتالب إليجاد قابمية الرصد وتم حفظو تحت اسم obsvable ويتم استخدامو عندما نحتاج إليو: %' The function =obsvable(a,c) returns the transformation matrix ' %' o = [C; CA; CA^2;... CA^(n-)]. The system is completely state' %' observable if and only if o has a rank of n. البرنامج: 79
عثمان n=length(a); for i=:n; o(n+-i,:) = C*A^(n-i); end if rank(o)~=n disp('system is not state observable') else disp('system is state observable') end مثال 4: ليكن النظام معطى عمى النحو اآلتي: x x 2 x 3 = >> a=[ ; ;-6 - -6]; >> c=[ ]; >> obsvable(a,c) System is state observable ans = 6 6 x x2 x3 + C=[ ] و A = u Y(=[ ] 6 6 x x2 x3 لدينا: وبتطبيق البرنامج الفرعيobsvable عمى المصفوفتين Aو C نجد: -6 - -5 3 49 2 أي أن النظام قابل لمرصد وقيمة المصفوفة O: O = 6 5 3 49 2 8
Tishreen University Journal. Bas. Sciences Series مجمة جامعة تشرين العموم األساسية المجمد )37( العدد )4( 25 ) x(t تعطى x t = W مبرىنة بالعالقة اآلتية: 2 :إذا كان النظام المعطى بالعالقتين (4) و( 5 ) قابل لمرصد فإن الحالة االبتدائية e A t C y t dt (8) W = e A t C Ce At dt حيث W تعطى بالعالقة اآلتية: dx( dt البرىان: تكتب العالقة (4) عمى النحو اآلتي: = Ax t dx( x( = Adt x t = c e At t=t نحصل عمى: x t = c e At c = e At x(t ) ومن أجل وبالتالي : x t = e A(t t ) x(t ) ومن أجل = t نكتب المعادلة السابقة عمى النحو اآلتي: x t = e At x (9) y t = Ce At x (2) وبالتالي فإن المعادلة (5) تكتب كما يأتي: e A t C بضرب طرفي المعادلة ( 2 )بالعالقة: نحصل عمى: e A t C y t = e A t C Ce At x وبأخذ الطرف الثاني من العالقة (8) واستبدال e A t C y t بقيمتيا نجد 8
عثمان W e A t C y t dt = W e A t C Ce At dt x = W Wx = x وىو الطرف األول من العالقة (8) االستنتاجات والتوصيات : لقد تم التوصل إلى إيجاد الشروط والمعايي ارلالزمة لقابمية التحكم والرصد وكذلك تم إيجاد متجية التحكم ووضعت خوارزمية إليجادىا.ويمكننا مستقبال د ارسةإمكانية إيجاد متجية التحكم بوجود شروط حدية عمى ىذه المتجية. الم ارجع:. GAJIC, Z. and LELIC, M., Modern Control Systems Engineering. Prentice Hall International, London, (996), 24 247. 2. HOU, M. and MÜLLER P. C., Design of Observers for Linear Systems With Unknown Inputs. IEEE Trans. Automat. Contr., Vol. AC-37, (992), 87-875. 3. DAVIS J. M., I. A. GRAVAGNE, B. J. JACKSON, R. J. MARKS II., Controllability, Observability, Realizability, And Stability of Dynamic Linear Systems,Electronic Journal of Differential Equations, Vol. 29(29), No. 37, pp. 32. 4. FAUSETT L. and K. MURTY. Controllability, Observability, and Realizability Criteria on Time Scale Dynamical Systems. Nonlinear Stud. (24), 627 638. 5. YAN-MING FU; GUANG-REN DUAN; SHEN-MIN SONG, Design of Unknown Input Observer for Linear Time-delay Systems. International Journal of Control, Automation, and Systems, vol. 2, No. 4, 24, 53-535. 6. SAADAT H., ComputationalAids in Control Systems Using MATLAB, Copyright- McGraw-Hill inc (993). 7. BEMPORAD A.Automatic Control Discrete-time linear systems,university of TrentoAcademic year 2-2. 8. BARTOSIEWICZ Z., PIOTROWSKA E., M. WYRWAS, Stability, Stabilization And Observers of Linear Control Systems on Time Scales, Proc. IEEE Conf. on Decision and Control, New Orleans, LA, December 27, 283 288. 82