أكادیمیة الجھة الشرقیة نیابة جدة مادة الریاضیات الا ستاذ : عثماني نجیب مذكرة رقم/ مستى: السنة الثانیة من سلك الباكالریا شعبة العلم التجریبیة مسلك علم الحیاة الا رض مسلك العلم الفیزیاي یة مسلك العلم الزراعیة مذكرة رقم في درس دراسة الدال محتى البرنامج التمثیل المبیاني لدالة عددیة(تذكیر:المقاربات الا فقیة العمدیة الماي لة الفرع الشلجمیة تقعر منحني نقط الانعطاف محر تماثل مركز تماثل دراسة تمثیل دال لا جذریة مثلثیة القدرات المنتظرة حساب مشتقات الدال الاعتیادیة تحدید رتابة دالة انطلاقا من إشارة مشتقتھا. تحدید إشارة دالة انطلاقا من جدل تغیراتھا أ من تمثیلھا المبیاني الحل المبیاني لمعادلة من الشكل : ( g متراجحات من الشكل : g تحدید مشتقة رتابة الدالة العكسیة لدالة متصلة رتیبة قطعا على مجال تمثیلھا المبیاني حل مساي ل تطبیقیة حل القیم الدنیة القیم القصیة دراسة تمثیل دال حددیة جذریة لا جذریة دال مثلثیة. C ( a I. التمثیل المبیاني لدالة عددیة(تذكیر: في جمیع الفقرات المتبقیة, دالة عددیة لمتغیر حقیقي o rr ;; i j منحناھا في معلم متعامد ممنظم ( المقارب المازي لمحر الا راتیب: تعریف:إذا كانت أ أ a مقارب للمنحنى C ( a أ a نقل إن المستقیم ذا المعادلةa الا راتیب. مثال:نعتبر الدالة یازي محر مقارب للمنحنى C ( حیز تعریف الدالة اعط تا یلا مبیانیا للنتیجة D. حدد. أحسب : أجبة }(: / { D Î > > Û > منھ: [ ; ] D منھ: ( التا یل المبیاني: المستقیم ذا المعادلة نقل إن یازي محر الا راتیب المقارب المازي لمحر الا فاصیل: (أa تعریف: إذا كانت a بجار المستقیم ذا المعادلةa y مقارب للمنحنى C ( ( یازي محر الا فاصیل. (أ بجار مثال:نعتبر الدالة حیز تعریف الدالة اعط تا یلا مبیانیا للنتیجة D. حدد. أحسب : أجبة : { / }( D Î ¹ Û Û أ Û منھ] ; ] È D {, } ] ;[ È ]; [ ( التا یل المبیاني: المستقیم ذا المعادلةa y مقارب للمنحنى C ( بجار یازي محر الا فاصیل. المقارب الماي ل: لتكن دالة عددیة لمتغیر حقیقي بحیث تقبل نھایة لا منتھیة بجار (أ بجار. تعریف: إذا كانت b a أ aî * حیث a b bî نقل إن المستقیم ذا المعادلةab y مقارب ماي ل بجار (أ بجار. للمنحنى C ( مثال:نعتبر الدالة حدد حیز تعریف الدالة D. الا ستاذ : عثماني نجیب http:// yzmath.emonsite.com ص
http:// yzmath.emonsite.com ( ( ( æ ö ç b æ ö ç مقارب ماي ل لمنحنى الدالة y أي y a منھ :b بجار تمرین : نعتبر الدالة D.. حدد معادلة المقارب الماي ل لمنحنى الدالة بجار أجبة : أجبة : { / } D Î > أ Û Û نستعمل جدل الاشارة : منھ: [ ; ] [ ; ] D È Û اذن : ( اذن: مقارب ماي ل للمنحنى( C ( ( مقاربا ماي لا لدینا : منھ : التا یل المبیاني: المستقیم ذا المعادلة y بجار a ¹ y a خاصیة:یكن المستقیم د المعادلة b للمنحنى( C ( بجار إذا فقط إذا كان: a (. ( a b لدینا نفس الخاصیة إذا عضنا" ی ل إلى " ب " ی ل إلى " بجار مثال:نعتبر الدالة حیز تعریف الدالة D. حدد. أحسب :. حدد معادلة المقارب الماي ل لمنحنى الدالة أجبة : { / } D Î ³ b ac فان ھذه الحددیة لھا جذرین ھما: 6 منھ جدل الاشارة : D > 6 6 6 بما أن D 6 منھ: [ ; [ ] ; ] D È ( لدینا : منھ æ ö ( ç è ø : منھ : منھ لدینا حدد حدد أحسب : ( أحسب :. بین :. أستنتج معادلة المقارب الماي ل لمنحنى الدالة بجار أجبة (: ³ D Î / { } Û ( D b ac 8 9 > بما أن D فان ھذه الحددیة لھا جذرین ھما: منھ جدل الاشارة :. منھ: é é D ] ;] È ; ë ë ù é " Î] ;[ È ú ; û ë ( 8 ( ( لدینا : منھ æ ö ( ç è ø منھ : منھ : لدینا a ( ( ( a
نقل إن المنحنى C ( æ ö ç b æ ö æ ö ç ç è ø è ø مقارب ماي ل لمنحنى y منھ: b y a أي الدالة بجار.II الفرع الشلجمیة: لتكن دالة عددیة تقبل نھایة لا منتھیة بجار. تعریف : ( نقل إن المنحنى C ( یقبل فرعا شلجمیا إذا كانت اتجاھھ محر الا فاصیل بجار إذا كانت أ نقل أن المنحنى C ( یقبل فرعا شلجمیا اتجاھھ محر الا راتیب بجار. مثال :نعتبر الدالة بجار حیز تعریف الدالة D. حدد. أحسب. أدرس الفرع الشلجمي لمنحنى الدالة D { Î أجبة (: } / ³ Û ³ منھ: ;] ] D ( منھ: ( یقبل فرعا شلجمیا اتجاھھ محر الا فاصیل بجار منحنى C ( حیز تعریف الدالة التا یل المبیاني: بجار مثال :نعتبر الدالة D. حدد. أدرس الفرع الشلجمي لمنحنى الدالة D { Î / ³ أجبة :{ ³ Û ³ منھ: [ ; [ D ( منھ: منحنى C ( التا یل المبیاني: یقبل فرعا شلجمیا اتجاھھ محر الا راتیب بجار تعریف : * ( إذا كانت a حیث Î ( a a یقبل فرعا شلجمیا اتجاھھ المستقیم ذ المعادلة y a بجار. نعرف بالمثل الفرع الشلجمیة بجار. مثال :لتكن الدالة العددیة المعرفة بما یلي:. ش غ م حدد D مجمعة تعریف الدالة. ( أحسب : أدرس الفرع ألانھاي یة لمنحنى الدالة D { Î / ³ أجبة :{ ³ Û ³ é é D منھ: ; ë ë ( æ ö è ø ç æ ö æ ö æ ö ç ç ç è ø è ø è ø æ æ ö ö ç ç è ø æ ö ( ç è ø æ ö ç è ø منحنى C ( التا یل المبیاني: یقبل فرعا شلجمیا اتجاھھ المستقیم ذ المعادلة y بجار.III تقعر منحنىنقط انعطاف: خاصیة:لتكن دالة قابلة للاشتقاق مرتین على مجال I ( C o rr منحناھا في المعلم ;; i j.. فا ن للمنحنى ( C تقعرا ( C فا ن للمنحنى ( C تقعرا إذا كانت مجبة على المجال I مجھا نح محر الا راتیب المجبة. إذا كانت سالبة على المجال I Î I مجھا نح محر الا راتیب السالبة. إذا كانت تنعدم في النقطة فان النقطة تتغیر إشارتھا ;o ( نقطة انعطاف المنحنى ( o A بجار مثال: نعتبر الدالة العددیة المعرفة على كالتالي : لكل من. أحسب ( C أدرس تقعر المنحني مع تحدید نقطتي انعطافھ. الجاب : ( æ ö ç è ø æ ö ç è ø http:// yzmath.emonsite.com
منھ محر تماثل منحنى الدالة. مثال: نعتبر الدالة العددیة للمتغیر الحقیقي "ÎD بین أن. بین أن النقطة.. مركز تماثل منحنى الدالة W ; ( ( W ab ; Î {} فان : Î {} الجاب : ( ( W( ; ( Û Û Û ( أ Û C مجھ نح محرالا راتیب المجبة على المجال: مجھ نح محر الا راتیب المجبة على المجال:[, ] A.; (; ( A تقعر ] ; ] È [ ; [ تقعر ( C یمكن تلخیص النتاي ج في جدل التقعر المشتقة الثانیة تنعدم تتغیر اشارتھا في : ( ; IV.محر تماثلمركز تماثل: اذن ھناك نقطتي انعطاف ھما : خاصیات: لتكن دالة عددیة معرفة على D, ( C ( منحناھا في معلم متعامد ممنظم a b عنصرین من. یكن المستقیم ذ المعادلة: a فقط إذا كان: لكل من D محر تماثل للمنحنى( C ( إذا ( a تماثل للمنحنى( C ( ( a ÎD مركز إذا فقط إذا كان: ( a ÎD, لدینا: تكن النقطة( ; ab W(, لدینا: لكل من D (. a b ملحظة: إذا كانت دالة زجیة فان محر الا راتیب محر تماثل منحناھا (في معلم متعامد إذا كانت دالة فردیة فان أصل المعلم مركز تماثل منحناھا. مثال : نعتبر الدالة العددیة للمتغیر الحقیقي المعرفة ( C محر تماثل للمنحنى كالتالي :. حدد حیز تعریف الدالة. بین أن المستقیم { / } D Î ³ الجاب: ( أ Û Û منھ جدل الاشارة : D منھ:,] [ أنبین أنھ : اذا كانت { } Û ¹ Û ¹ Û ¹ Û Î { } Î Û ¹ Û 6 b بنبین أن : ( 6 6 منھ ; W مركز تماثل منحنى الدالة. D V. دراسة بعض الدال: دراسة دالة حددیة: مثال: نعتبر الدالة D حدد. حیز تعریف الدالة أدرس زجیة الدالة. عند محدات أحسب نھایات الدالة.. أدرس الفرع اللانھایة لمنحنى الدالة. أحسب مشتقة الدالة أدرس إشارتھا 6. حدد جدل تغیرات الدالة حدد معادلة لمماس المنحني ( C في ( C.7 النقطة A التي أفصلھا حدد نقط تقاطع المنحني حدد مطا ریف الدالة اذا جدت مع محري المعلم. ( C.8.9.أرسم المنحني في معلم متعامد ممنظم D لا نھا دالة حددیة Î أجبة : فان Î أ اذا كانت æ ö ç ب ( è ø منھ دالة فردیة لا ن نھایة دالة حددیة عند مالانھایةھي نھایة حدھا الا كبر درجة یقبل فرعا شلجمیا اتجاھھ محر الا راتیب بجار ( ( ( C ( C یقبل فرعا شلجمیا اتجاھھ محر الا راتیب بجار یعني a (,] Î[ أنبین أنھ : اذا كانت [, Î[ فان : Û Û Û Û Î[,] Î[,] Û Û ( ( بنبین أن : ( ( ( ( http:// yzmath.emonsite.com
( C http:// yzmath.emonsite.com æ ö ç è ø ( ( Û Û Û في النقطة A التي أفصلھا ( أ Û (6 7 معادلة لمماس ل ( C ( ( ( y y Û y Û y المنحنى مع محر الا فاصیل 8 أنقط تقاطع نحل فقط المعادلة : ( یعني æ یعني أ یعني ö أ ( ; O ç è ø یعني أ یعني أ B( ; أ ; A( یعني أ منھ نقط التقاطع ھم : بنقط تقاطع نحسب فقط : المنحنى مع محر الا راتیب O( ; منھ نقطة التقاطع ھي: ( ( لدینا 6 ھي قیمة دنیا للدالة (9 6 ھي قیمة قصى للدالة التمثیل المبیاني للدالة دراسة دالة جذریة: مثال: لتكن دالة عددیة معرفة بما یلي: مجمعة تعریف الدالة D. حدد. حدد الا عداد الحقیقیة a b c بحیث c " ÎD لدینا: ab. أحسب النھایات عند محدات D أدرس الفرع اللانھاي یة لمنحنى الدالة 6. حدد الدالة المشتقة ادرس إشارتھا. 7. أعط جدل تغیرات على. D حدد احداثیات نقط تقاطع المنحني مع محري المعلم. 9. أعط معادلة المماس في النقطة ذات الا فصل..أنشي المنحنى. أجبة : D منھ { Î / ¹ }( D { } ] ;[ È ] ; [ نقم بالقسمة الاقلیدیة ل على فنجد : ( ( ( ( ( ( اذن : منھ : a b c C ( C.8 ( مقارب للمنحنى ( ( یعني منھ المستقیم ( یعني ذا المعادلة y مقارب ماي ل للمنحنى بجار منھ المستقیم بجار ( C ( ( C Î {} فان : أ y لدینا : ذا المعادلة مقارب ماي ل للمنحنى W( ab ; Î {} W( ; ( أنبین أنھ : اذا كانت { } Û ¹ Û ¹ Û ¹ÛÎ { } Î Û ¹ Û 6 b بنبین أن : ( 6 6 منھ ; W مركز تماثل منحنى الدالة. æ ö ( یعني (6 ç è ø ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ھي اشارة : اشارة یعني أ ( ( یعني جدل الا شارة : 7 جدل تغیرات الدالة : 8 أنقط تقاطع ( C المنحنى مع محر الا فاصیل ( C ( C (. C (تحدید معادلة المقاربات المقاربات الماي لة ل. بین أن النقطة ; W مركز تماثل منحنى الدالة..
: ( C C نحل فقط المعادلة : ( یعني یعني نحل المعادلة باستعمال الممیز c b a D b ac ( > بما أن D فان ھذه المعادلة تقبل حلین ھما: b D b D B æ ö ç ; أ a A æ ö ; ç a منھ نقط التقاطع ھما: بنقط تقاطع المنحنى مع محر الا راتیب C æ ç ; ö ( ( منھ نقطة التقاطع ھي: ( لدینا نحسب فقط : 9 معادلة المماس في النقطة ذات الا فصل. y ( أنشي منحنى الدالة في نفس المعلم أجبة : أ{ / { D Î ³ Û ³ منھ: ;] ] D ب منھ: جدراسة قابلیة اشتقاق الدالة على الیسار عند ( ( : منھ غیر قابلة للاشتقاق على الیسار عند مبیانیا نقل ان منحنى الدالة یقبل نصف مماس یازي محر الا راتیب على یسار النقطة : ( A ; أي ; A( مجھ نح الا على " Î ( ] ;] ( < ( جدل تغیرات الدالة : ( C ( ( ( ( ( y Û y ( ( ( التمثیل المبیاني للدالة : ( دراسة دالة لاجذریة: مثال: نعتبر الدالة العددیة للمتغیر الحقیقي rr ( oij,, لیكن ( C أحدد حیز تعریف الدالة في معلم متعامد ممنظم ببحدد ( أعط تا یلا على الیسار عند جأدرس قابلیة اشتقاق الدالة ھندسیا للنتیجة المحصل علیھا. حدد جدل تغیرات الدالة أدرس تغیرات الدالة أدرس الفرع اللانھاي یة لمنحنى الدالة J معرفة على مجال تقبل دالة عكسیة أبین أن الدالة یجب تحدیده J لكل من بحدد ( 8 جاملا الجدل التالي التا یل المبیاني: منحنى( C ( یقبل فرعا شلجمیا اتجاھھ محر الا فاصیل بجار أ دالة متصلة على المجال [; [ I تناقصیة قطعا منھ تقبل دالة عكسیة معرفة على مجال:] ; [ ] (] ; J ( I ìï ( y ì í Û ïy ب í ï îy Î I ïî Î ( I ì ( y y یعني ï í ïî y Î ] ;] یعني y y y y ( y ( یعني یعني منھ : یعني ( یعني ( [ ; [ " Î 8 y ج D http:// yzmath.emonsite.com 6
y : بالنسبة للمستقیم منحنى الدالة ھ مماثل منحنى الدالة في معلم متعامد ممنظم تمرین: للبحث نعتبر الدالة العددیة لیكن للمتغیر الحقیقي r بحیث i 8cm ( C rr في معلم متعامد ممنظم,, oij ( حیز تعریف الدالة D حدد أدرس قابلیة اشتقاق الدالة بین أن المستقیم ذا المعادلة على الیمین عند محر تماثل للمنحنى على الیسار عند أعط تا یلا ھندسیا للنتاي ج المحصل علیھا ( C é ù I ; ë ú û أنشي ( C بین أن قصر الدالة على المجال تقبل دالة عكسیة معرفة على مجال J من لكل یجب تحدیده حدد J http:// yzmath.emonsite.com. ( لتكن مثال: دالة عددیة معرفة بما یلي: مجمعة تعریف الدالة D حدد أدرس زجیة الدالة D أحسب النھایات عند محدات أدرس الفرع اللانھاي یة لمنحنى الدالة (. C (تحدید معادلة المقاربات المقاربات الماي لة ل بین أن النقطة ; W مركز تماثل منحنى الدالة. حدد الدالة المشتقة ادرس إشارتھا. 6.. على أعط جدل تغیرات 7. ( C D حدد احداثیات نقط تقاطع المنحني مع محري المعلم. منھ [ ; ] [ ; ] } { على فنجد : ( ( ( ( ( ( D È 9. أعط معادلة المماس في النقطة ذات الا فصل..أنشي المنحنى. C.....8 أجبة : { Î / ¹ }( نقم بالقسمة الاقلیدیة ل D c b a اذن : منھ : 7
y ( ( ( ( ( ( y Û y ( ( ( التمثیل المبیاني للدالة : ( مقارب للمنحنى ( ( یعني منھ المستقیم ( یعني ذا المعادلة y مقارب ماي ل للمنحنى بجار منھ المستقیم ( y لدینا : ذا المعادلة مقارب ماي ل للمنحنى بجار Î {} فان : أ W( ab ; Î {} W( ; ( أنبین أنھ : اذا كانت { } Û ¹ Û ¹ Û ¹ÛÎ { } Î Û ¹ Û 6 b بنبین أن : ( 6 6 منھ ; W مركز تماثل منحنى الدالة. æ ö ( یعني (6 ç è ø ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ھي اشارة : اشارة ( C ( C یعني أ ( C ( ( یعني جدل الا شارة : 7 جدل تغیرات الدالة : http:// yzmath.emonsite.com المنحنى مع محر الا فاصیل 8 أنقط تقاطع نحل فقط المعادلة : ( یعني یعني نحل المعادلة باستعمال الممیز c b a D b ac ( > بما أن D فان ھذه المعادلة تقبل حلین ھما: b D b D B æ ö ç ; أ a A æ ö ; ç a منھ نقط التقاطع ھما: بنقط تقاطع المنحنى مع محر الا راتیب ( C ( C C æ ç ; ö ( ( منھ نقطة التقاطع ھي: ( لدینا نحسب فقط : 9 معادلة المماس في النقطة ذات الا فصل. 8