أقالم دفاتر نقسم البسط والمقام على القاسم المشترك األكبر وهو 6 أقالم 6 8 8 دفاتر نقسم البسط والمقام على القاسم المشترك األكبر وهو 0 5 0 0 0 00 0 سم 00 سم 0 سم متر 5 9 8 9 5 نسبة ما أنفقه أحمد نقسم البسط والمقام على القاسم المشترك األكبر وهو 9 8 5 6,5 لاير/الساعة نقسم كالا من البسط والمقام على لجعل المقام مساوياا 6,5 ريا ال ساعة 50 50 لاير ساعات, كيلومتراا, كيلومتراا/اللتر لتر 5 50 5 5 50 كيلومتراا 5 لتراا نقسم كالا من البسط والمقام على 5 لجعل المقام مساوياا
س بسط -6 0. 5 0 5+5 بسط -7 0.75-8 بسط - 0. 5 0 9+ بسط 7+5 6 6-8 نكتب المعادلة 5 6 س نضرب 5 6 س نقسم على س 0 0 نبسط 5 س نكتب المعادلة نضرب ج,5 7 ج,5 7,5 ج
ل 8 نقسم على,5 نبسط,5 ج,5,5 ج نكتب المعادلة نضرب ز 9 نقسم على نبسط ز 9 ز 6 6 ز ز نكتب المعادلة 7 8 ل نضرب 7 8 ل نقسم على 8 نبسط ل 8 8 8,75 ل نفترض أن هذا العدد س نكتب المعادلة نضرب س 8 س 8 س 96 نقسم على 96 س نبسط س العدد المطلوب هو:
كل هدية ثمنها 8 رياالت هدية ثمنها + 8 8 8 6 هدية ثمنها 8 هدية ثمنها 8 ) 6 8 الثمن)لاير( عدد الهدايا ( العالقة بين ثمن الهدايا وعددها بصورة نسبة تكتب كما يلي: 6 8 ثمن الهدايا عددها 8 لاير ثمن كل هدية نالحظ مما سبق أن النسبة متساوية أي: ثمن الهدايا متناسب مع عددها. سكر 8 6 ماء 8 6 سكر ماء نالحظ مما سبق أن النسب متساوية وتساوي لذا: كمية السكر متناسبة مع كمية الماء
نرسم جدولا يوضح المبلغ اإلجمالي بعد إضافة ما يدخره راشد كل أسبوع لما كان معه سابقاا: 500 80 60 المبلغ 0 األسبوع العالقة بين المبلغ اإلجمالي وعدد األسابيع األسبوع األول: األسبوع الثاني: األسبوع الثالث: األسبوع الرابع: 0 0 60 5 0 60 80 500 المبلغ األسبوع بما أن أبسط صورة للنسب السابقة غير متساوية لذا: المبلغ اإلجمالي الذي يوفره راشد كل أسبوع ل يتناسب مع عدد األسابيع. نرسم جدولا يوضح مجموع كميات المياه التي يشربها الفيل: عدد األيام 900 675 50 كمية الماء )لتر( 5 5 900 675 كمية الماء عدد األيام العالقة بين عدد ليترات الماء وعدد األيام 50 5 بما أن أبسط صورة للنسب السابقة متساوية وتساوي 5 لذا: عدد ليترات الماء التي يشربها الفيل تتناسب مع عدد األيام
نرسم جدولا يوضح ما تتقاضاه شركة الشحن على أوزان مختلفة من الطرود: 7.50 6.75 6 5.5 الوزن )كغ( الثمن )لاير( نكتب العالقة بين وزن الطرد وما تتقاضاه الشركة إليصاله بصورة كسر بأبسط صورة ثمن الطرد 7,50 6,75 6 5,5,75 5,58 8 5,5 وزن الطرد بما أن أبسط صورة للنسب السابقة غير متساوية لذا: ل يتناسب ما تتقاضاه الشركة مع وزن الطرد كل مدرب يشرف على 8 متدرباا وبالتالي في حال وجود مدرب واحد أساسي يكون في المركز: 8 متدرب + مدرب أساسي + مدربين احتياط 8 متدرب + مدربين في حال وجود مدربين أساسيين يكون في المركز: 56 متدرب + مدرب أساسي + مدربين احتياط 56 متدرب + 5 مدربين بالعتماد على ما سبق نرسم جدولا يوضح عدد الالعبين المرافق لعدد المدربين في المركز: 7 8 6 56 5 8 عدد المتدربين عدد المدربين نكتب العالقة بين عدد المتدربين وعدد المدربين بصورة كسر بأبسط صورة عدد المتدربين عدد المدربين 6 7 8 6, 56 5 7 8 بما أن أبسط صورة للنسب السابقة غير متساوية لذا: ل يتناسب عدد المتدربين مع عدد المدربين
نرسم جدولا يوضح مجموع ما يتقاضاه صالح خالل أيام: 60 95 0 65 المبلغ عدد األيام نكتب العالقة بين عدد األيام والمبلغ الذي يتقاضاه صالح أجرة عمله: المبلغ 60 95 0 65 65 65 65 65 عدد األيام نالحظ أن جميع النسب السابقة يمكن تبسيطها إلى 65 لذا: يتناسب المبلغ الذي يتقاضاه صالح مع عدد أيام عمله نرسم جدولا يوضح طول النبات بعد كل 5 أيام: 0 0,5 5 5 0 7,5 5 طول النبات عدد األيام نكتب العالقة بين عدد األيام وطول النبات: طول النبات عدد األيام 0,5 5,5 0,5 5.5 0,5 7,5 5 نالحظ أن جميع النسب السابقة يمكن تبسيطها إلى,5 لذا: يتناسب عدد األيام مع طول النبات عند قياسه في اليوم األخير. 9 درجة الفهرنهايت درجة السيليزيوس + 5 نرسم جدولا يوضح درجات الحرارة بالسيليسيوس ومقابالتها بالفهرنهايت حسب المعادلة السابقة: 5 59 0 50 5 0 سيليزيوس فهرنهايت
نكتب العالقة بين الدرجة السيليزية والدرجة الفهرنهايتية: 5 59 5 0 50 الدرجة السيليزية الدرجة الفهرنهايتية 5 0 0 نالحظ أن أبسط صورة للنسب السابقة غير متساوية لذا: ل تتناسب درجة الحرارة السليزية مع درجة الحرارة الفهرنهايتية المكافئة لها. نرسم جدولا يوضح عدد البطاقات التي تم توزيعها خالل ساعات عمل يوم الثالثاء: 08 56 0 5 عدد ساعات العمل عدد البطاقات الموزعة نكتب العالقة بين عدد البطاقات الموزعة يوم الثالثاء وعدد ساعات العمل: عدد البطاقات الموزعة عدد ساعات العمل 5 08 5 56 5 0 5 5 نالحظ أن جميع النسب السابقة يمكن تبسيطها إلى 5 لذا: يتناسب عدد البطاقات الموزعة يوم الثالثاء مع عدد ساعات العمل في ذلك اليوم. نرسم جدولا يوضح عدد البطاقات الكلي الموزعة يومي الثنين والثالثاء مع عدد ساعات العمل يوم الثالثاء: 6 57 50 68 عدد ساعات العمل عدد البطاقات الموزعة نكتب العالقة بين عدد البطاقات الموزعة يومي االثنين والثالثاء وعدد ساعات العمل يوم الثالثاء: عدد البطاقات الموزعة عدد ساعات العمل 56 6 90,66 57 60 50 68 68 نالحظ أن أبسط صورة للنسب السابقة غير متساوية لذا: ل يتناسب عدد البطاقات الموزعة يومي اإلثنين والثالثاء مع عدد ساعات العمل يوم الثالثاء. نرسم جدولا يوضح العالقة بين طول الضلع وطول المحيط:
6 8 طول الضلع )س( المحيط ) س( نكتب العالقة بين طول الضلع وطول المحيط: طول المحيط طول الضلع 6 8 نالحظ أن جميع النسب السابقة يمكن تبسيطها إلى لذا: يتناسب طول الضلع مع طول المحيط نرسم جدولا يوضح العالقة بين طول الضلع وطول المحيط: 6 9 طول الضلع )س( المحيط )س ) نكتب العالقة بين طول الضلع والمساحة: المساحة 6 9 طول الضلع نالحظ أن أبسط صورة للنسب السابقة غير متساوية لذا: ل يتناسب طول الضلع مع المساحة. من خالل الجدول نكتب العالقة بين أجرة البريد ووزن الرسالة: الوزن األجرة 6 0,5 8 8 90, 60,5 7 0, نالحظ أن أبسط صورة للنسب السابقة غير متساوية لذا: ل تتناسب أجرة البريد مع وزن الرسالة. ل ألن أجرة البريد ل تتناسب مع وزن الرسالة فال يمكننا حساب أجرة إرسال رسالة وزنها 50 جراماا بالعتماد على التناسب.
مثال لعالقة متناسبة: يعمل أحمد في متجر للحلويات ويتقاضى لاير في الساعة هل تتناسب أجرة أحمد في الساعة مع عدد الساعات التحقق: نرسم جدولا يوضح العالقة بين أجرة أحمد في الساعة وعدد ساعات العمل: عدد ساعات العمل 9 6 األجرة نكتب العالقة بين األجرة وعدد ساعات العمل: األجرة 9 6 عدد ساعات العمل نالحظ أن جميع النسب السابقة يمكن تبسيطها إلى لذا: تتناسب أجرة أحمد في الساعة مع عدد ساعات العمل مثال لعالقة غير متناسبة: مع سعيد 00 لاير ويدخر كل يوم 0 ريالا هل يتناسب المبلغ الكلي الذي مع سعيد مع عدد أيام اإلدخار التحقق: نرسم جدولا يوضح العالقة بين المبلغ الكلي الذي مع سعيد خالل أيام من اإلدخار: عدد األيام 0 90 60 المبلغ الكلي 0 نكتب العالقة بين المبلغ الكلي وعدد األيام: المبلغ الكلي عدد األيام 0 80 96 90 0 60 0 0 نالحظ أن أبسط صورة للنسب السابقة غير متساوية لذا: ل يتناسب المبلغ الكلي الذي مع سعيد مع عدد أيام اإلدخار. خالد أكبر من أخيه أنس ب 5 سنوات نرسم جدولا يوضح العالقة بين عمر خالد وعمر أخيه أنس:
5 0 0 5 5 0 0 5 عمر خالد عمر أنس نكتب العالقة بين عمر خالد وعمر أنس: 5 5 0 0 5 عمر خالد 5 0 0 5 عمر أنس نالحظ أن أبسط صورة للنسب السابقة غير متساوية لذا: ل يتناسب عمر خالد مع عمر أنس. نرسم جدولا يوضح العالقة بين المبلغ المتبقي مع مهند وعدد األلعاب اإللكترونية التي اشتراها: 0 0 60 80 عدد األلعاب المبلغ المتبقي نكتب العالقة بين المبلغ الكلي وعدد األيام: المبلغ المتبقي عدد األلعاب 0 0 6 0 80 60 80 80 نالحظ أن أبسط صورة للنسب السابقة غير متساوية لذا: ل يتناسب المبلغ المتبقي بعد شراء األلعاب مع عدد األلعاب التي اشتراها مهند لذا فإدعاء مهند خاطئ. الكميتان المتناسبتان في هذا الموقف هما المبلغ الذي دفعه مهند لشراء األلعاب اإللكترونية وعدد األلعاب اللكترونية التي اشتراها مهند. التحقق: نرسم جدولا يوضح العالقة بين المبلغ الذي دفعه مهند لشراء األلعاب اللكترونية وعدد األلعاب التي اشرتاها: 80 60 0 0 عدد األلعاب ثمنها نكتب العالقة بين ثمن األلعاب وعددها: ثمن األلعاب عددها 0 80 0 60 0 0 0 0 نالحظ أن جميع النسب السابقة يمكن تبسيطها إلى 0 لذا: يتناسب المبلغ الذي دفعه مهند لشراء األلعاب اإللكترونية مع عدد األلعاب التي اشتراها.
بأ[ اإلجابة الصحيحة هي: ج( المتجر الثالث التحقق: نكتب العالقة بين عدد القطع وسعرها: عدد القطع سعرها 9 6 9 6 نالحظ أن جميع النسب السابقة يمكن تبسيطها إلى لذا: يتناسب عدد القطع مع سعرها وبالتالي سعر القطعة ثابت مهما كان العدد ويعادل سعر القطعة الواحدة لاير. بتطبيق نفس الطريقة على بقية الخيارات نجد عدم وجود تناسب بين عدد القطع وسعرها في بقية المتاجر. نرسم رؤوس المثلث على محور اإلحداثيات ونصل بينها لنحصل على المثلث أ ب ج. محيط المثلث مجموع أطوال أضالعه. [ صادات النقطة ب صادات النقطة أ 8 )5-( 8 + 5 حسب فيثاغورس )مربع الوتر يساوي مجموع مربعي الضلعين القائمتين(: نعتبر [أج] و[ب ج] وترا مثلثين قائمين: [أج] )سينات النقطة ج سينات النقطة أ( + )صادات النقطة ج صادات النقطة أ( [أج] ( ))-( + ( ))5-( )+( + )5+( + 9 9 + 8 90 9,5 90 [أج]
[ج ب] )سينات النقطة ج سينات النقطة ب( + )صادات النقطة ب صادات النقطة ج( [ج ب] ( ))-( + 8( ) )+( + )( 9 + 6 5 5 5 [ج ب] محيط المثلث ] بأ [ + [أج] + [ج ب] + 9,5 + 5 7,5 قطر المربع هو وتر مثلث قائم متساوي الساقين ضلعاه القائمتان هما ضلعان متجاورتان من المربع حسب فيثاغورس )مربع الوتر يساوي مجموع مربعي الضلعين القائمتين(: )القطر( )طول الضلع( + )طول الضلع( )القطر( 0 + 0 600 + 600 00 56,6 سم 00 )القطر( 8 6 67-85 5 - )0 6 )9-5 8-0 )+ - - ( - 9-8 0, 5 5-0 - 5 ) - )- ( + - 5-5 ) - 9 50-55
مقدار التغير في عدد الرسائل الواردة 8 0 8 رسالة مقدار التغير في عدد السنوات 8 6 سنة مقدار التغير في عدد الرسائل 8 رسالة/سنة المعدل مقدار التغير في عدد السنوات بما أن المعدل موجب أي زاد عدد الرسائل الواردة بمقدار رسالة كل سنة بين عامي 6 و 8. ) ) ) المعدل مقدار التغير في الطول مقدار التغير في العمر 5 سم 5 سم / سنة سنة 5 سم سنة 5] [0 - سم ] [8 - سنة بما أن المعدل موجب أي زاد طول ثامر بمعدل 5 سم في السنة بين عمر 8 و سنة - 500 لاير سنة مقدار التغير في التكلفة [000-500 لاير] المعدل مقدار التغير في العمر [ - 0] سنة - 50 لاير / سنة -50 لاير سنة بما أن المعدل سالب أي نقصت تكلفة األجهزة بمعدل 50 لاير في السنة بين عامي 0 و.
يظهر معدل التغير في الشكل بخط مائل نحو األسفل من اليسار إلى اليمين وهذا الميالن نحو األسفل يبين مقدار التناقص في التكلفة.78..8.9.98.95 ارتفاع موج البحر خالل أيام األسبوع الخميس األربعاء الثالثاء األثنين األحد السبت اليوم ارتفاع الموج )بالمتر(.9.8.7.6.5.....0.9.8.7.6.5... على الرسم البياني الخط األكثر ميالناا هو الذي يعبر عن أكبر معدل تغير لذا أكبر معدل تغيير في ارتفاع الموج كان بين يومي األحد واإلثنين كما نجد حسابياا: معدل التغير في ارتفاع الموج بين يومي األحد واإلثنين,8 -.0 0,9 متر ولو حسبنا بنفس الطريقة معدل التغير في ارتفاع الموج بين كل يومين متتاليين نجد أن أكبر فارق في التغير كان بين يومي األحد واإلثنين )نحسبه بالقيمة المطلقة لنتمكن من المقارنة ألن اإلشارة تعبر عن النخفاض أو الرتفاع فقط(
درجات/اختبار 8 75-8 معدل التغير في الدرجات من الختبار الثاني إلى الرابع - معدل التغير موجب وبالتالي ازدادت درجات حسام بمعدل درجات لكل اختبار من الختبار الثاني إلى الرابع - درجات/اختبار 8-79 معدل التغير في الدرجات من الختبار الخامس إلى السادس 5-6 معدل التغير سالب وبالتالي انخفضت درجات حسام بمعدل درجات لكل اختبار من الختبار الخامس إلى السادس 85 8 8 8 80 8 78 79 77 7 7 7 75 76 70 7 68 69 67 65 66 8 8 الدرجات 79 77 75 67 اإلختبارات الدرجات 5 6 على الرسم البياني الخط األكثر ميالناا هو الذي يعبر عن أكبر معدل تغير لذا أكبر معدل تغيير درجات حسام كان من االختبار األول إلى الثاني كما نجد حسابياا: معدل التغير في ارتفاع الموج بين درجات حسام في االختبار األول والثاني 75-67 8 درجات ولو حسبنا بنفس الطريقة معدل التغير الدرجات بين كل اختبارين متتاليين نجد أن أكبر معدل تغير كان بين الختبار األول والثاني )نحسبه بالقيمة المطلقة لنتمكن من المقارنة ألن اإلشارة تعبر عن النخفاض أو الرتفاع فقط(
مقدار التغير في عدد األجهزة المبيعة معدل التغير في عدد األجهزة المبيعة كل نصف ساعة الوقت مقدرا بالنصف ساعة 8 [جهاز] 8 جهاز/نصف ساعة [نصف ساعة] 8 [جهاز] 0 [دقيقة] - 0 0:0 - :00 بما أن المعدل موجب: أي زاد عدد األجهزة المبيعة بمعدل 8 جهاز كل نصف ساعة معدل التغير في عدد األجهزة المبيعة كل نصف ساعة مقدار التغير في عدد األجهزة المبيعة الوقت مقدرا بالنصف ساعة 0 [جهاز] 0 جهاز/نصف ساعة [نصف ساعة] 0 [جهاز] 0 [دقيقة] 0-0 :00 - :0 بما أن المعدل 0 : أي لم تحدث أي زيادة أو نقصان في عدد األجهزة المبيعة خالل نصف ساعة )بمعنى بقي عدد األجهزة المبيعة نفسه ولم يتغير( 5 6 0 8 9 7 5 6 0 0 5 0 عدد األجهزة المبيعة خالل أوقات مختلفة عدد األجهزة المبيعة 0:00 0:0 :00 :0 :00 :0 الوقت على الرسم البياني الخط األكثر ميالناا هو الذي يعبر عن أكبر معدل تغير لذا أكبر معدل تغير في عدد األجهزة المبيعة كان من الساعة 0:0 إلى الساعة :00 كما نجد حسابياا: معدل التغير في عدد األجهزة المبيعة من الساعة 0:0 إلى الساعة :00 0-8 أجهزة ولو تحققنا بنفس الطريقة من معدل التغير في عدد األجهزة المبيعة كل نصف ساعة نجد أن أكبر معدل تغير كان من الساعة 0:0 إلى الساعة :00 )نحسبه بالقيمة المطلقة لنتمكن من المقارنة ألن اإلشارة تعبر عن النخفاض أو الرتفاع فقط(
التغير في عدد المشاهدين معدل التغير في عدد المشاهدين التغير في عدد األشهر,7-5,0 - بما أن المعدل سالب أي نقص عدد المشاهدين للبرنامج بمعدل 50 مشاهد بالشهر بين شهري و معدل التغير في عدد المشاهدين التغير في عدد المشاهدين التغير في عدد األشهر 6, -, [ألف مشاهد] [شهر] - 6 بما أن المعدل سالب أي نقص عدد المشاهدين للبرنامج بمعدل 050 مشاهد بالشهر بين شهري و 6 على الرسم البياني الخط األكثر ميالناا هو الذي يعبر عن أكبر معدل تغير لذا أكبر معدل تغير في عدد المشاهدين كان بين الشهرين األول والثاني كما نجد حسابياا: معدل التغير في عدد المشاهدين بين الشهرين األول والثاني,7 التغير في عدد المشاهدين التغير في عدد األشهر - 6,7 ألف مشاهد -,5 ألف مشاهد /شهر -,5 000 50- مشاهد/شهر شهر -, ألف مشاهد -,05 ألف مشاهد /شهر -,05 000 050- مشاهد/شهر شهر -6, [ألف مشاهد] - 5, [ألف مشاهد] 5, ألف مشاهد/شهر 5, 000 [شهر] - [شهر] 500 مشاهد/شهر ولو تحققنا بنفس الطريقة من معدل التغير في عدد المشاهدين بين كل شهرين متتاليين نجد أن أكبر معدل تغير كان بين الشهرين األول والثاني )نحسبه بالقيمة المطلقة لنتمكن من المقارنة ألن اإلشارة تعبر عن النخفاض أو الرتفاع فقط(
التغير في عدد المشتركين معدل التغير التغير في عدد السنوات [ألف مشترك] [سنة] 0 أالف مشترك/سنة بما أن المعدل موجب أي زاد عدد المشتركين بمعدل 0 ألف مشترك كل سنة بين عامي 5 و 7 ه. التغير في عدد المشتركين معدل التغير التغير في عدد السنوات [ألف مشترك] [سنة] 0,5 أالف مشترك/سنة 0500 مشترك/سنة بما أن المعدل موجب أي زاد عدد المشتركين بمعدل 0500 مشترك كل سنة بين عامي 6 و 8 ه. 97-7 [ألف مشترك] 0 5-7 [سنة] 06-7 [ألف مشترك] 6-8 [سنة] 97-06 [ألف مشترك] 9000 مشترك/سنة معدل التغير بين 5 و 6 5-6 [سنة] -06 7 [ألف مشترك] 000 مشترك/سنة معدل التغير بين 6 و 7 6-7 [سنة] -7 7 [ألف مشترك] 0000 مشترك/سنة معدل التغير بين 7 و 8 7-8 [سنة] -7 8 [ألف مشترك] 000 مشترك/سنة معدل التغير بين 8 و 9 8-9 [سنة] أكبر معدل تغير في عدد المشتركين كان بين عامي 6 و 7 وكذلك بين عامي 8 و 9 ويعادل 000 مشترك /سنة
6 درجة سيليزيوس/ساعة 5-7 [درجة سيليزيوس] معدل التغير 08:00-0:00 [ساعة] [درجة سيليزيوس] [ساعة] بما أن المعدل موجب أي ارتفعت درجة الحرارة بمعدل 6 درجة سيليزيوس كل ساعة بين الساعة 8 وال 0 صباحاا. -98,9 767 [مليون عبوة] -7,9 [مليون عبوة] -,8 مليون معدل التغير بين و 8-8 [سنة] 5 [سنة] عبوة/سنة بما أن المعدل سالب أي انخفض انتاج مصنع البالستك بمعدل 80000 عبوة كل سنة بين عامي و 8 ه. معدل التغير السنوي -,8 مليون عبوة/سنة بين عامي 8 و 6 يوجد 8 سنوات عدد العبوات المنتجة عام 6 عدد العبوات المنتجة عام + 8 )معدل التغير السنوي عدد السنوات( 767 + (,8- )8 767 + -( )75,0 9,96 مليون عبوة سينتجها المصنع عام 6 يبين الجدول المرافق التغير في أسعار بعض األدوات الكهربائية في أحد المتاجر خالل أيام من افتتاحه: مكواة براد غسالة خالط مروحة اليوم األول )السبت( 50 000 00 0 0 اليوم الخامس )األربعاء( 55 005 05 5 5 سالب ألن طولها يتناقص مع مرور الزمن نتيجة شكل الدورق سترتفع سوية الماء عن قعر الدورق بشكل متزايد رغم ثبات كمية السائل المسكوب كل مرة:
في أول مرة سكب سيرتفع الماء مثال عن قعر الدورق بمقدار سم في المرة الثانية ستصبح.5 سم عن قعر الدورق )أي زيادة بمقدار.5 سم وليس سم كالمرة األولى( في المرة الثالثة سيصبح 5 سم عن قعر الدورق )أي زيادة بمقدار.5 سم وليس.5 سم مثل المرة الثانية( ) ) ) لذا سيكون شكل الرسم البياني الممثل للعالقة بين مستوى الماء في الدورق والزمن يشبه الشكل التالي: 5 0 9 8 7 6 5 0 مستوى الماء 0 5 6 الزمن معدل التغير: هو معدل يصف كيف تتغير كمية ما في عالقتها بكمية أخرى. مقدار التغير: هو مقدار يصف التغير الحاصل لكمية ما زيادة أو نقصانا بين مرتي قياس مختلفتين دون عالقتها مع أي كمية أخرى.
معدل التغير السالب يدل على هبوط الصقر من ارتفاع عال إلى ارتفاع أخفض منه وهو ما نجده من النقطة ج إلى النقطة د أما بقية النقاط فكلها تدل على الصعود وبالتالي معدل التغير فيها موجب. يكسب العامل 5 رياال إذا عمل ساعات في اليوم يكسب العامل 975 رياال إذا عمل س ساعة في اليوم حسب النسبة والتناسب 975 5 س 75 ساعة على العامل أن يعمل 75 ساعة حتى يكسب 975 ريالا المسافة السرعة الزمن المسافة 6 كلم المسافة 9 كلم المسافة الكلية المسافة + المسافة + 9 7 كلم نرسم جدولا يوضح ما يتقاضاه العامل خالل ساعات من عمله: 5 0 + 05 05 0 + 75 75 0 + 5 5 عدد ساعات العمل األجر )لاير( نكتب العالقة بين األجر وعدد ساعات العمل
األجر 5 05 75 5,75 5 7,5 5 عدد ساعات العمل بما أن أبسط صورة للنسب السابقة غير متساوية لذا: ل يتناسب األجر الذي يتقاضاه العامل مع عدد ساعات العمل بما أن الشاشة شكلها مستطيل فقطرها يمثل وتر مثلث قائم ضلعاه القائمتان هما طول الشاشة وعرضها: حسب فيثاغورس: في المثلث القائم مربع الوتر يساوي مجموع مربعي الضلعي القائمتين. )55( ل + )7( 05 ل + 79 ل 05 79 96 96 7,9 8 بوصة ل )5 6 > > 5 6 > > 5 6 6 بما أن أقرب إلى 6 )6 00 > 95 > 8 00 > 95 > 8 0 00 95 بما أن 95 أقرب إلى 00 69 > 5 > 69 > 5 > 5 بما أن 5 أقرب إلى 5 > 8,5 > 6 5 > 8,5 > 6 6 8,5 بما أن 8,5 أقرب إلى 6
)9 6 > 50, > 9 6 > 50, > 9 7 9 50, بما أن 50, أقرب إلى 9 )0 9 > 8 > 9 > 8 > 9 8 بما أن 8 أقرب إلى 9 نرسم جدولا يوضح مجموع عدد الساعات التي يمارس فيها عبد العزيز السباحة خالل أسابيع: 6.5.5 عدد األسابيع مجموع عدد الساعات نكتب العالقة بين األسابيع وعدد ساعات العمل 6,5,5,5,5,5,5 مجموع عدد الساعات عدد األسابيع نالحظ أن جميع النسب السابقة يمكن تبسيطها إلى,5 لذا: يتناسب مجموع الساعات التي يستغرقها عبد العزيز في السباحة مع عدد األسابيع
0- معدل التغير بين النقطة األولى والثانية سطر/دقيقة 0- معدل التغير بين النقطة الثانية والثالثة معدل التغير بين النقطة الثالثة والرابعة معدل التغير بين النقطة الرابعة والخامسة - سطر/دقيقة - -6 سطر/دقيقة - 6-8 سطر/دقيقة - نالحظ أن جميع العدالت متساوية أي معدل التغير بين كل نقطتين متتاليتين ثابت ) سطر/دقيقة( نالحظ أنه بزيادة الزمن 5 دقائق تنخفض درجة الحرارة بمقدار متغير فمثال :
- 5- بين 5 دقائق و 0 دقائق انخفضت درجة الحرارة بمقدار درجات معدل التغير -0,6 درجة/دقيقة 5 5-0 - -0 بين 0 و 5 دقيقة انخفضت درجة الحرارة بمقدار درجة معدل التغير - 0, درجة/دقيقة 5 0-5 وبالتالي العالقة ليست خطية ومعدل التغير غير ثابت. كلما زاد عدد الهدايا بمقدار هدية ازداد الثمن بمقدار 8.5 لاير بما أن معدل التغير ثابت فالعالقة بين عدد الهدايا وثمنها عالقة خطية والمعدل الثابت للتغير هو هدية. مما يعني أن كل هدية تضاف إلى القائمة يزداد الثمن بمقدار.5 لاير,5 لاير لكل 8,5 أختار نقطتان تقعان على نفس الخط وأوجد معدل التغير بينهما: 8( )70 8 عمال يحتاجون 70 دقيقة إلزالة المخلفات 6( )60 6 عامل يحتاجون 60 دقيقة إلزالة المخلفات المعدل التغير في الوقت المستغرق التغير في عدد العاملين 70-60 [دقيقة] 8-6 [عامل] - 0 [دقيقة] 8 [عامل] -,5 دقيقة/عامل بما أن المعدل سالب أي: ينقص الوقت المستغرق بمقدار,5 دقيقة عند زيادة عدد العمال عامل واحد
80 6 60 7 0 8 0 9 0 0 الوزن )رطل( الوزن )كلغ( كلما زاد الوزن بمقدار 0 رطل يزيد بمقدار 9 كلغ بما أن معدل التغير ثابت فالعالقة خطية والمعدل الثابت للتغير هو: التغير بالرطل التغير بالكلغ 0 9 لمعرفة إذا كان المقياسان متناسبان: أعبر عن العالقة بين الوزن بالرطل والوزن بالكلغ على شكل نسب: الوزن بالرطل الوزن بالكلغ 0 9 80 0 60 0 0 6 9 7 9 8 0 9 بما أن جميع النسب السابقة يمكن تبسيطها إلى 0 9 فالمقياسان متناسبان وبالتالي فالعالقة الخطية متناسبة. نالحظ أنه بزيادة طول الضلع سم يزداد الحجم بمقدار متغير فمثال : عندما يزداد طول الضلع من عندما يزداد طول الضلع من بما أن معدل التغير غير ثابت فالعالقة ليست خطية. إلى سم يزداد الحجم بمقدار 9 سم معدل التغير 9 سم /سم 8-7 - 7-6 إلى سم يزداد الحجم بمقدار 7 سم معدل التغير 7 سم /سم - كلما زاد عدد الغرف بمقدار 5 غرف ازداد عدد علب الدهان الالزمة لطالء الغرف بمقدار 6 علب
6 بما أن معدل التغير ثابت فالعالقة بين عدد الهدايا وثمنها عالقة خطية والمعدل الثابت للتغير هو, علبة/غرفة. 5 وبما أن معدل التغير موجب فكلما زاد عدد الغرف غرفة واحدة ازداد عدد علب الدهان الالزمة للطالء بمقدار, علبة أختار نقطتان تقعان على نفس الخط وأوجد معدل التغير بينهما: ) 5( سم على الخريطة تعادل 5 كلم في الحقيقة )6 5( 6 سم على الخريطة تعادل 5 كلم في الحقيقة التغير في المسافة الحقيقية المعدل الثابت للتغير التغير في المسافة على الخريطة 5-5 [كلم] -6 [سم] 0 [كلم] [سم] 7,5 كلم/سم بما أن المعدل موجب أي: تزداد المسافة الحقيقية بمقدار 7,5 كلم بزيادتها على الخريطة بمقدار سم بمعنى كل سم على الخريطة يعادل 7,5 كلم في الحقيقة أختار نقطتان تقعان على نفس الخط وأوجد معدل التغير بينهما: ) 8( خالل دقيقة يمتلئ خزان السيارة بمقدار 8 جالون ) 0( خالل دقيقية يمتلئ خزان السيارة بمقدار 0 جالون التغير مستوى االمتالء التغير في الزمن المعدل الثابت للتغير 8-0 [جالون] - [دقيقة] [جالون] [دقيقة] جالون/دقيقة
بما أن المعدل موجب أي: يمتلئ خزان السيارة بمقدار جالون كل دقيقة 6 5 0 5 0 0 المسافة على الخريطة )سم( المسافة الحقيقية )كلم( كلما زادت المسافة على الخريطة بمقدار سم تزداد المسافة الحقيقية بمقدار 5 كلم التغير في المسافة الحقيقية 7,5 كلم/سم بما أن معدل التغير ثابت فالعالقة خطية والمعدل الثابت للتغير هو: التغير في المسافة على الخريطة لمعرفة إذا كان المقياسان متناسبان: أعبر عن العالقة المسافة الحقيقة والمسافة على الخريطة على شكل نسب: المسافة الحقيقية 5 5 5 0 5 6 المسافة على الخريطة بما أن جميع النسب السابقة يمكن تبسيطها إلى 5 فالمقياسان متناسبان وبالتالي فالعالقة الخطية متناسبة. 0 6 8 0 متسوى االمتالء )جالون( الزمن )دقيقة( يمتلئ الخزان بمقدار جالون كل دقيقة التغير مستوى االمتالء بما أن معدل التغير ثابت فالعالقة خطية والمعدل الثابت للتغير هو: التغير في الزمن جالون/دقيقة لمعرفة إذا كان المقياسان متناسبان: أعبر عن العالقة بين مستوى المتالء والزمن على شكل نسب: مستوى االمتالء الزمن 0 6 8 5 5, 6 8-8 [جالون] 0- [دقيقة] بما أن أبسط صورة للنسب السابقة غير متساوية فالمقياسان غير متناسبين وبالتالي فالعالقة الخطية غير متناسبة.
كل ساعات يباع 9 أجهزة وكل ساعات يباع جهاز كل ساعة يباع أجهزة فمثال : 9 5 - بين الساعة 5 و 8 كان عدد األجهزة المباعة 9 أجهزة معدل التغير أجهزة/ساعة 5-8 - 6 بين الساعة 8 و كان عدد األجهزة المباعة جهاز معدل التغير 8- أجهزة/ساعة بما أن معدل التغير ثابت فالعالقة عدد األجهزة المبيعة والزمن عالقة خطية والمعدل الثابت للتغير هو أجهزة/ساعة. أي ي باع أجهزة كل ساعة. نالحظ أنه عدد الزبائن يتغير بشكل متفاوت وغير متساو مع مرور الزمن فمثال : - بين الساعة و كان عدد الزبائن زبوناا معدل التغير زبون/ساعة - 6-60 بين الساعة و كان عدد الزبائن زبوناا معدل التغير زبون/ساعة - بما أن معدل التغير غير ثابت فالعالقة ليست خطية.
نالحظ أنه المسافة المقطوعة تتغير بشكل متفاوت وغير متساو مع مرور الزمن فمثال :,9-9,6,7 م/ثانية بين الثانية و المسافة المقطوعة,7 متر معدل التغير - 9,6 -,,5 م/ثانية بين الثانية و المسافة المقطوعة,5 متر معدل التغير - بما أن معدل التغير غير ثابت فالعالقة ليست خطية. كلما زاد عدد فناجين الزيت الالزمة بمقدار فنجان زاد عدد فناجين الخل الالزمة للخلط بمقدار فنجان بما أن معدل التغير ثابت فالعالقة بين كمية الزيت والخل عالقة خطية والمعدل الثابت للتغير هو: 8 فنجان زيت/فنجان خل. بما أن معدل التغير موجب - - التغير في كمية الزيت التغير في كمية الخل أي نحتاج فنجان زيت لكل فنجان خل أختار نقطتان تقعان على نفس الخط وأوجد معدل التغير بينهما: ) ( خالل دقيقة يصبح مستوى الماء على ارتفاع سم عن قاع الحوض ) 8( خالل دقيقية يصبح مستوى الماء على ارتفاع 8 سم عن قاع الحوض التغير في مستوى الماء المعدل الثابت للتغير التغير في الزمن -8 [سم] - [دقيقة] [سم] سم/دقيقة [دقيقة] بما أن المعدل موجب أي: يرتفع مستوى الماء في الحوض بمقدار سم كل دقيقة
أختار نقطتان تقعان على نفس الخط وأوجد معدل التغير بينهما: )0 50( في بداية التوقيت كانت المسافة المتبقية 50 كلم ) 50( بعد مضي ساعات على بداية التوقيت أصبحت المسافة المتبقية 50 كلم التغير في المسافة المتبقية التغير في الزمن المعدل الثابت للتغير 50-50 [كلم] 0- [ساعة] بما أن المعدل سالب أي: تنقص المسافة المتبقية بمقدار 50 كلم كل ساعة - 00 [كلم] [ساعة] أختار نقطتان تقعان على نفس الخط وأوجد معدل التغير بينهما: ) 000( بعد دقيقة من بداية التوقيت كان ارتفاع الطائرات 000 قدم )6 000( بعد مضي 6 دقائق على بداية التوقيت أصبح ارتفاع الطائرات 000 قدم المعدل الثابت للتغير التغير في الرتفاع التغير في الزمن 000-000 [قدم] -6 [دقيقة] 50- كلم/ساعة - 000 [قدم] [دقيقة] 50- قدم/دقيقة بما أن المعدل سالب أي: يقل ارتفاع الطائرات بمقدار 50 قدم كل دقيقة )تقترب من سطح األرض بمقدار 50 قدم كل دقيقة(.
أختار نقطتان تقعان على نفس الخط وأوجد معدل التغير بينهما: ) 00( بعد ساعة من بداية التوقيت كانت أرباح المتجر 00 لاير ) 00( بعد مضي ساعات على بداية التوقيت أصبحت أرباح المتجر 00 لاير [ 00 لاير[ [ 50 لاير/ساعة [ساعة] التغير في األرباح 00-00 لاير[ - [ساعة] التغير في الزمن المعدل الثابت للتغير بما أن المعدل موجب أي: تزداد أرباح المتجر بمقدار 50 لاير كل ساعة بما أن العالقة بين البيانات ممثلة بخط مستقيم فهي خطية ولها معدل ثابت للتغير ويمكن عرض البيانات في جدول كما يلي: 6 8 سم/دقيقة 0 متسوى الماء )سم( 0 الزمن )دقيقة( التغير في مستوى الماء 0- [سم] المعدل الثابت للتغير هو: 0- [دقيقة] التغير في الزمن لمعرفة إذا كان المقياسان متناسبان: أعبر عن العالقة بين مستوى الماء والزمن على شكل نسب: مستوى الماء الزمن 8 6 بما أن جميع النسب السابقة يمكن تبسيطها إلى فالمقياسان متناسبان وبالتالي العالقة الخطية متناسبة. بما أن العالقة بين البيانات ممثلة بخط مستقيم فهي خطية ولها معدل ثابت للتغير ويمكن عرض البيانات في جدول كما يلي:
50 6 50-50 كلم/ساعة 50 المسافة المتبقية 50 )كلم( 0 الزمن )ساعة( التغير في المسافة المتبقية المعدل الثابت للتغير هو: التغير في الزمن 50-50 [كلم] 0- [ساعة] لمعرفة إذا كان المقياسان متناسبان: أعبر عن العالقة بين المسافة المتبقية والزمن على شكل نسب: المسافة المتبقية الزمن 8, 50 6 7,5 50 5 50 بما أن أبسط صورة للنسب السابقة غير متساوية فالمقياسان غير متناسبين وبالتالي فالعالقة الخطية غير متناسبة. بما أن العالقة بين البيانات ممثلة بخط مستقيم فهي خطية ويمكن عرض البيانات في جدول كما يلي: 000 6 000 االرتفاع )قدم( الزمن )دقيقة( لمعرفة إذا كان المقياسان متناسبان: أعبر عن العالقة بين الرتفاع والزمن على شكل نسب: الرتفاع الزمن, 000 6 500 000 بما أن أبسط صورة للنسب السابقة غير متساوية فالمقياسان غير متناسبين وبالتالي فالعالقة الخطية غير متناسبة. بما أن العالقة بين البيانات ممثلة بخط مستقيم فهي خطية ويمكن عرض البيانات في جدول كما يلي: 00 6 00 00 0 0 األرباح )لاير( الزمن )ساعة( لمعرفة إذا كان المقياسان متناسبان: أعبر عن العالقة بين الرتفاع والزمن على شكل نسب: األرباح الزمن 00 00 50 50 6 50 00 بما أن جميع النسب السابقة متساوية فالمقياسان متناسبان وبالتالي العالقة الخطية متناسبة. معدل التغير الثابت لماجد التغير في التكلفة التغير في الزمن -,5 0,7 لاير/دقيقة 0 -
التغير في التكلفة معدل التغير الثابت لراشد التغير في الزمن 0-0,5 0,50 لاير/دقيقة 0 - ينفق راشد 0,5 لاير في الدقيقة بينما ينفق ماجد 0,7 لاير في الدقيقة الواحدة لذا فراشد ينفق في الدقيقة الواحدة نقودا أكثر من ماجد لمعرفة إذا كان المقياسان متناسبان: أعبر عن العالقة بين التكلفة والزمن على شكل نسب: ماجد: 5 0,8 6 التكلفة,5,5 الزمن النسب غير متساوية فالمقياسان غير متناسبين وبالتالي العالقة الخطية غير متناسبة راشد: 0,5 6 التكلفة 0,5 0,5 الزمن النسب متساوية فالمقياسان متناسبان وبالتالي العالقة الخطية متناسبة يبين الرسم البياني المجاور المسافة التي تقطعها سيارة أثناء مسيرها 5 ساعات على الطريق الدولية فهل العالقة بين البيانات متناسبة أم ل: 600 500 المسافة المقطوعة )كلم( 00 00 00 00 0 0 5 6 الزمن )ساعة(
بما أن العالقة بين البيانات ممثلة بخط مستقيم فهي خطية ويمكن عرض البيانات في جدول كما يلي: 500 5 00 00 00 00 0 0 المسافة المقطوعة )كلم( الزمن )ساعة( لمعرفة إذا كان المقياسان متناسبان: أعبر عن العالقة بين المسافة المقطوعة والزمن على شكل نسب: المسافة المقطوعة الزمن 500 00 00 00 00 00 00 00 5 00 00 بما أن أبسط صورة للنسب السابقة متساوية فالمقياسان متناسبان وبالتالي فالعالقة الخطية متناسبة. يبلغ إنتاج معمل سيارات خالل 6 أشهر كما هو موضح في الجدول التالي: 00 6 00 00 اإلنتاج )سيارة( الزمن )شهر( هل العالقة بين انتاج المعمل والزمن هي عالقة خطية وإذا كانت خطية فما هو معدل التغير الثابت وهل هي متناسبة أم ل نالحظ أنه يزداد انتاج السيارات بمقدار 00 سيارة كل شهرين التغير في اإلنتاج - 00 00 بما أن معدل التغير ثابت فالعالقة خطية معدل التغير الثابت التغير في الزمن - سيارة/شهر بما أن المعدل موجب أي ينتج المعمل 50 سيارة كل شهر. لمعرفة إذا كان المقياسان متناسبان: أعبر عن العالقة بين اإلنتاج والزمن على شكل نسب: 50 00 اإلنتاج 00 00 00 50 50 50 الزمن 6 بما أن أبسط صورة للنسب السابقة متساوية فالمقياسان متناسبان وبالتالي فالعالقة الخطية متناسبة.
لاير 7 معدل التغير الثابت,5 لاير/ربطة ربطة,5 ربطة,5,5 لاير ربطة,5 لاير اإلجابة الصحيحة: د( ل يمكن رسم خط مستقيم بين جميع النقاط ولكن يمكن رسم خط مستقيم يصل بين النقاط التي تمثل آخر ساعة مسير وبالتالي آخر ساعة مسير خطية يسير كل نصف ساعة 0 كلم: التغير في المسافة التغير في الزمن المعدل الثابت للتغير 80-60 [كلم] - [ساعة] 80 كلم/ساعة بما أن معدل التغير ثابت فالعالقة خطية أي يسير في الساعة األخيرة بمعدل 80 كلم كل ساعة فاإلجابة الصحيحة ب(
ص ص 5 س/ساعة 0 5 التغير في درجة الحرارة - 7 7 المعدل التغير في الزمن - :00 06:00 بما أن المعدل موجب أي تزداد درجة الحرارة بمقدار 5 س كل ساعة نرسم جدولا يوضح ما يوفره العامل خالل أيام: 80 60 0 0 عدد األيام التوفير )لاير( نكتب العالقة بين مقدار التوفير وعدد األيام بصور كسر بأبسط صورة التوفير 80 60 0 0 0 0 0 0 عدد األيام بما أن أبسط صورة للنسب السابقة متساوية لذا: يتناسب مقدار النقود التي يوفرها العامل مع عدد األيام 5 س 6 0 5 س 60 س التحقق: 5 س 5 60 اإلجابة صحيحة )7 ص 6 التحقق: ص 6 اإلجابة صحيحة 8 )8 د 5 د 5 د 7,5 التحقق: د 7,5 5 اإلجابة صحيحة )7, 7 أ,7 أ أ,9 التحقق: أ,9,7 اإلجابة صحيحة )8
ص ن ن ثمن العلب لاير 5 عدد العلب علبة النسبة ثمن العلب 5 لاير 5 لاير لاير 5 عدد العلب علبة 6 علبة علبة النسبة بما أن أبسط صورة للنسبتين السابقتين متساويتان يتناسب ثمن العلب مع عددها عندما يكون العدد زوجيا ألن العرض على السعر يشترط وجود علبتين )والعدد الزوجي من مضاعفات العدد ( ) ) ) اضرب تبادلياا أوجد ناتج الضرب أقسم الطرفين على 0 س 0 9 0 س 6 6 0 0 س 0 س,6 5 ص اضرب تبادلياا أوجد ناتج الضرب أقسم الطرفين على 70 70 ص 85 اضرب تبادلياا أوجد ناتج الضرب أقسم الطرفين على, 7 ن,7,7,9 ن
س نكتب تناسب ونحله ليكن س عدد األشجار المتوقع حمايتها. 50 س 900 7 كمية الورق المعاد تدويره عدد األشجار المحمية اضرب تبادلياا 50 7 900 أوجد ناتج الضرب أقسم الطرفين على 900 900 س 850 850 900 900 س 900 س,5 شجرة أي يتوقع حماية,5 شجرة تقريبا عند إعادة تدوير 900 كجم من الورق ثابت التناسب عدد الدقائق ن 5 7,5 ن 7,5 ص ص عدد الصفحات إليجاد عدد الدقائق الالزمة لطباعة 0 صفحات نعوض في المعادلة نفسها. نكتب المعادلة نعوض عن ص بعدد الصفحات نبسط ن 7,5 ص ن 7,5 0 ن 75 دقيقة يحتاج 75 دقيقة )ساعة وربع( لطباعة 0 صفحات إليجاد عدد الدقائق الالزمة لطباعة 5 صفحة نعوض في المعادلة نفسها. نكتب المعادلة نعوض عن ص بعدد الصفحات نبسط ن 7,5 ص ن 7,5 5 ن 87.5 دقيقة يحتاج 87,5 دقيقة )ثالث ساعات و 7,5 دقيقة( لطباعة 5 صفحة
ب س 5 ن س ن 9 س 0 6 اضرب تبادلياا,5 أوجد ناتج الضرب أقسم الطرفين على,5,5 ب 60 60,5,5 ب,5 ب 0 اضرب تبادلياا أوجد ناتج الضرب أقسم الطرفين على 9 9 6, ن 9 9 5, 5, 9 ن,8 5 اضرب تبادلياا س أوجد ناتج الضرب أقسم الطرفين على 5 س 5 5 8 8 5 6, )عدد األشخاص الكلي 8 + 7 )5 نكتب تناسب ونحله ليكن س عدد األشخاص الذين ينظفون أسنانهم. عدد األشخاص الذين ينظفون أسنانهم عدد األشخاص الكلي 8 س 65 5 اضرب تبادلياا أوجد ناتج الضرب أقسم الطرفين على 5 5 65 8 70 5 س 5 س 5 70 5
س 6,8 شخص 7 شخص أي يتوقع أن ينظف 7 شخص أسنانهم من بين 65 شخص نكتب تناسب ونحله س عدد ساعات العمل م يمثل المبلغ الذي يتقاضاه عبد هللا. م 8 المبلغ [م] عدد الساعات [س] اضرب تبادلياا أوجد ناتج الضرب أقسم الطرفين على 8 م 68 م م 68 م 56 لاير أي يتقاضى عبد هللا 56 رياال في ساعتي عمل م,5 8 المبلغ [م] عدد الساعات [س] اضرب تبادلياا أوجد ناتج الضرب أقسم الطرفين على 8,5 م 78 م م 78 م 6 لاير أي يتقاضى عبد هللا 6 رياال في ساعات ونصف من العمل اضرب تبادلياا أوجد ناتج الضرب أقسم الطرفين على 56 ك 56 7 56 ك 56 56 ك 56 ك
ب اضرب تبادلياا أوجد ناتج الضرب أقسم الطرفين على 9 س 9 8 9 س 9 9 س 9 س 6 اضرب تبادلياا 5 أوجد ناتج الضرب أقسم الطرفين على 0 ب ب 0 ب 0 اضرب تبادلياا أوجد ناتج الضرب أقسم الطرفين على 5 6 0 5 د 80 5 د 5 د 5 80 5 د 7, اضرب تبادلياا أوجد ناتج الضرب أقسم الطرفين على 6,5 9 6 ه,5 6 ه 6 ه 6,5 6 ه,75 اضرب تبادلياا أوجد ناتج الضرب 0,7 و 0,, 0, و
س ص أقسم الطرفين على 0, 0, و 0,, 0, و,5 نكتب تناسب ونحله س يمثل ثمن أقالم. ثمن األقالم عدد األقالم )0,95 ثمن درزن أي ثمن قلماا( س 0,95 اضرب تبادلياا أوجد ناتج الضرب أقسم الطرفين على 0,95,8 س س,8 س,65 لاير أي أن ثمن أقالم يساوي,65 لاير نكتب تناسب ونحله ليكن ص عدد األفراد الذين يعانون من أعراضاا ناتجة عن البرد. عدد الذين يعانون من أعراض ناتجة عن البرد عدد األشخاص الكلي )عدد األشخاص الكلي 6 + )7 6 ص 0 7 اضرب تبادلياا 7 0 6 ص 7 أوجد ناتج الضرب أقسم الطرفين على 7 ص 7 7 0 0 7 ص, شخص شخص أي يتوقع أن يعاني شخص من أعراض ناتجة عن البرد من بين 0 مريض فحصهم الطبيب.
س ص نكتب تناسب ونحله لتكن س تمثل السرعة بالميل / س. السرعة بالكلم/س السرعة بالميل/س 75 س 00 6 اضرب تبادلياا 75 6 00 أوجد ناتج الضرب أقسم الطرفين على 00 00 س 650 650 00 00 س 00 س 6,5 7 ميل / س أي سرعة 7 ميل/س تكافئ تقريبا 75 كلم /س. نكتب تناسب ونحله لتكن ص تمثل السرعة بالكلم / س. السرعة بالكلم/س السرعة بالميل/س ص 0 00 6 اضرب تبادلياا أوجد ناتج الضرب أقسم الطرفين على 6 6 0 00 000 6 ص 6 ص 6 000 6 ص, كلم / س أي سرعة 0 ميل/س تكافئ تقريبا كلم /س. نكتب تناسب ونحله حيث يمثل ص عدد الصور د عدد الدقائق. عدد الصور عدد الدقائق 0 د اضرب تبادلياا د 0 أوجد ناتج الضرب د 0
ط أقسم الطرفين على د 0 د 6,66 7 دقيقة أي يستغرق التقاط 0 صور 7 دقائق تقريبا. نكتب تناسب ونحله حيث يمثل ط طول الشخص. ط 6, 6,6, طول الشخص عرض كتفيه اضرب تبادلياا أوجد ناتج الضرب أقسم الطرفين على,, 6, 6,6, ط, ط, 758,8 758,8, ط 8,7 سم أي أن شخص عرض كتفيه 6, يبلغ طوله 8,7 سم تقريبا. نكتب تناسب ونوجد معادلة التناسب لنتمكن من إيجاد الكميات بسهولة حيث يمثل س عدد مالعق السكر ح عدد مالعق الحليب. عدد مالعق الحليب عدد مالحق السكر ح ح س,5 س )معادلة تمثل أن كمية الحليب هي ضعف كمية السكر( الكمية األكبر: مثالا مالعق سكر ح 6 مالعق حليب الكمية األصغر: مثالا ملعقة سكر ح ملعقة حليب )الكمية األكبر: مالعق سكر 6 مالعق حليب( )الكمية األصغر: ملعقة سكر ملعقة حليب( اضرب تبادلياا نوزع الضرب على الجمع ونوجد ناتج الضرب )س+ 5 ( 8 س + 0 5
س نطرح 0 من الطرفين 0-5 س أقسم الطرفين على س س )س ) 5 0 7 اضرب تبادلياا نوزع الضرب على الجمع ونوجد ناتج الضرب نضيف 0 للطرفين أقسم الطرفين على 5 70 0-0 + 70 90 5 س 5 س 5 س 5 5 س 8,5 8 7( س( اضرب تبادلياا نوزع الضرب على الجمع ونوجد ناتج الضرب 5 6 س 5 6 - نضيف س ونطرح 6 من الطرفين أقسم الطرفين على 5 س س 5 ألن المعادلة هي الشكل المتخصر للتناسب وبالتالي نختصر الكثير من المراحل الحسابية إليجاد قيمة المجهول عند استخدام المعادلة
اإلجابة الصحيحة ج( 5 ك 85 5 ك ج كتلة العضالت [ك] 5 كتلة الجسم[ج] المسافة الزمن 6 س 00 س 65 ثانية دقيقة اإلجابة الصحيحة أ( 780 س 6 8 عدد طالب الصف + 6 + + 6 + 7 5 طالباا عدد نكتب تناسب ونحله حيث يمثل س عدد الطالب الذين يعتقدون أن إعادة التدوير هي أفضل طريقة للمحافظة على البيئة. الطالب المؤيدين إلعادة التدوير عدد الطالب الكلي س 55 5
س س اضرب تبادلياا 5 55 أوجد ناتج الضرب 5 س 680 أقسم الطرفين على 5 5 س 5 680 5 س 76,6 77 طالبا أي أن 77 طالبا في المدرسة يعتقد أن إعادة التدوير هي أفضل طريقة للمحافظة على البيئة. كلما زاد عدد ساعات عمل المربية ساعة زاد المبلغ الذي تدفعه مها لها بمقدار 5 لاير بما أن معدل التغير ثابت فالعالقة بين المبلغ المدفوع وعدد الساعات عالقة خطية والمعدل الثابت للتغير هو: التغير في المبلغ المدفوع التغير في عدد الساعات 5 لاير/ساعة. 5 5-0 - بما أن معدل التغير موجب أي يزداد المبلغ المدفوع بمقدار 5 لاير لكل ساعة عمل زيادة نكتب تناسب ونحله حيث يمثل س كمية الوقود المستهلك المسافة كمية الوقود 50 0,8 س,8 50 اضرب تبادلياا 0 أوجد ناتج الضرب 0 س 00 أقسم الطرفين على 0 00 0 0 س 0 س 0 ليتر أي أن نايف يستهلك 0 ليترا لقطع مسافة 50 كيلو مترا. الكتلفة عدد الليترات سعر الليتر 0 0,6 8 ريالا سيدفع نايف 8 رياال إذا قطع مسافة 50 كيلو مترا
المبلغ الكلي ثمن تذكرة الدخول + )تكلفة اللعبة الواحدة )6 + 7,5( )6 + 5 57 رياال أي سيدفع عبد الرحمن 57 ريالا إذا دخل مدينة األلعاب ولعب 6 ألعاب عدد الطالب عدد المعلمين 0 س 60 س 9 معلمين اإلجابة الصحيحة: ج( 0 س 0 نكتب تناسباا لمعرفة إذا كانت البيانات متناسبة أم ل: عدد علب اآليسكريم عدد الساعات 9 9 9 7 8 بما أن أبسط صورة للنسب السابقة متساوية يتناسب عدد العلب المبيعة بالساعة مع عدد العلب المبيعة في يوم عمل كامل
نكتب تناسباا لمعرفة إذا كانت البيانات متناسبة أم ل: عدد األطباق المغسولة زمن غسلها 6 60 0 بما أن أبسط صورة للنسب السابقة متساوية يتناسب عدد األطباق المغسولة في دقائق مع عدد األطباق الكلي المغسول في 0 دقيقة معدل التغير التغير في درجة الحرارة التغير في الزمن,5 درجة/ساعة 7-8 - بما أن معدل التغير موجب أي زادت درجة الحرارة بمعدل,5 درجة كل ساعة بين الساعة 8 صباحاا والثانية عشرة ظهراا 9 مستشفى/سنة التغير في عدد المستفيات - 70 5 معدل التغير التغير في السنوات - 7 55 6 بما أن المعدل موجب أي يزداد عدد المستشفيات في المملكة بمقدار 9 مستشفيات كل سنة بين عامي و 7 ه كلما زاد عمر السيارة سنة نقص سعرها بمقدار 5 لاير. بما أن معدل التغير ثابت فالعالقة خطية ومعدل التغير الثابت هو: -5 لاير/سنة أي: ينقص سعر السيارة بمقدار 5 لاير كل سنة
بما أن البيانات مرسومة بشكل خطي على التمثيل البياني فالعالقة بين البيانات خطية 65 كيلومتر /ساعة نختار نقطتان لنوجد معدل التغير الثابت بينهما: ) 0( بعد ساعتين من النطالق قطعت مسافة تعادل 0 كيلومتراا )6 90( بعد 6 ساعات من النطالق قطعت مسافة تعادل 90 كيلومتراا 60 0-90 - 6 المعدل الثابت للتغير التغير في المسافة التغير في الزمن )8 ر ر 66 ر 6 )9 س 6 5 س 50 س,5 س,5 س 60 س 5 كوب ماء اإلجابة الصحيحة أ( س,5 كمية الطحين كمية الماء
نكتب تناسباا بحيث س تمثل كم ثانية يحتاج الضوء لقطع 9000000 ميل المسافة الزمن 860000 س 0 9000000 500 ثانية 8 دقيقة 90000000 860000 9000000 س 860000 0 680000 س 90000000 س أي يحتاج ضوء الشمس إلى 8 دقائق تقريبا ليقطع مسافة 9000000 ميل ليصل من الشمس إلى األرض
مقعد زيد في الصف الخامس من األمام والثالث من الخلف وبذلك تم احتساب صف زيد مرة من األمام ومرة من الخلف )طرحنا حتى يكون صف زيد قد حسب مرة واحدة( عدد الصفوف 5 + - 7 صفوف مقعد زيد هو الثاني من اليمين والسادس من اليسار وبذلك تم احتساب مقعد زيد مرة من اليمين ومرة من اليسار عدد مقاعد كل صف + 6 7 مقاعد في كل صف )طرحنا حتى يكون مقعد زيد قد حسب مرة واحدة( عدد المقاعد عدد المقاعد في كل صف عدد الصفوف 7 7 9 مقعدا في المقاعد المدرسية يجلس أحمد خلف صديقه خالد وأمام صديقه مصطفى وعلى يساره زميله محمود وعلى يمينه صديقه سامي ويجلس محمد أمام محمود. ارسم شكالا يبين أماكن جلوس الزمالء وأين يجلس محمد بالنسبة لخالد افهم أحمد خلف خالد أحمد أمام مصطفى محمود على يسار أحمد سامي على يمين أحمد ) ) ) ) خطط: نرسم شكالا يمثل البيانات أعاله حل: يتبين من الشكل أن محمد يجلس على يسار خالد أمام يمين سامي خالد أحمد مصطفى محمد محمود يسار تحقق خلف الشكل يحقق المعطيات فالحل صحيح
افهم يجلس حمزة في الصف الرابع من األمام والسادس من الخلف مقعده الثاني من اليسار والسادس من اليمين ) ) خطط: نرسم شكالا يبين قسم من المسرح بالعتماد على مقعد حمزة حل: هناك 9 صفوف في هذا القسم من المسرح وفي كل صف 7 مقاعد وبالتالي عدد مقاعد هذا القسم هو: أمام 9 7 6 مقعداا يمين حمزة يسار تحقق خلف عدد المقاعد في الشكل هو 6 مقعداا فاإلجابة صحيحة. افهم: المعطيات: ( سعة الحوض 500 ليتر
( سرعة صب الماء 80 ليتر كل 6 دقائق المطلوب: عدد الدقائق الالزمة لملء الحوض خطط: نرسم شكالا يبين مراحل امتالء الحوض بالعتماد على المعطيات حل: 7,5 دقيقة 500 6 80 س كمية الماء الزمن 500 س 80 6 عدد الدقائق الالزمة لملء الحوض هي 7,5 دقيقة تحقق عدد الدقائق في الشكل تعادل 7,5 دقيقة فاإلجابة صحيحة افهم: المعطيات: هرم رباعي القاعدة مكون من كرات صغيرة المطلوب: عدد الكرات إذا كان مكوناا من 5 طبقات خطط: نرسم شكالا يبين عدد الكرات بالعتماد على المعطيات حل: نالحظ أن الصف األول مكون من كرة ) ) والثاني من كرات ) ) والثالث من 9 كرات ) ) عدد كرات الصف يساوي مربع ترتيب الصف. عدد كرات الصف الرابع 6
عدد الكرات في الصف الخامس 5 5 العدد الكلي للكرات في الهرم + + 9 + 6 + 5 55 كرة تحقق عدد الكرات في الشكل بالعد هو 55 كرة فالحل صحيح. افهم: المعطيات: 5 أصدقاء أحمد ليس األصغر بدر أصغر من أحمد وأكبر من علي علي أكبر من عبد الرحمن وأنس عبد الرحمن ليس األصغر ) ) ) ) )5 المطلوب: كتابة أسماء األصدقاء مرتبين باألعمار من األصغر إلى األكبر خطط: نستخدم خطة الحل العكسي انطالقاا من النتيجة رجوعاا إلى المعطيات حل: بدر أصغر من أحمد أحمد هو الكبير وبدر أصغر منه بدر أكبر من علي وعلي أكبر من عبد الرحمن وأنس علي هو الثالث بعد أحمد وبدر علي أكبر من عبد الرحمن وأنس وعبد الرحمن ليس األصغر األصغر هو أنس وعبد الرحمن أكبر منه ثم علي أكبر منه التريبت من األصغر إلى األكبر: أنس عبد الرحمن علي بدر أحمد تحقق الترتيب يتوافق مع المعطيات وبالتالي الحل صحيح.
افهم: المعطيات: منزل سلطان عند النقطة )9 7( مدرسة سلطان عند النقطة )6 ( يوجد طريق مستقيم بين المنزل والمدرسة طول كل وحدة على المستوى اإلحداثي 0, كيلومتر ) ) ) ) المطلوب: المسافة بين المنزل والمدرسة خطط: نرسم مستوي الحداثيات ونجعل الطريق بين المنزل والمدرسة يمثل وتر مثلث قائم لنستخدم فيثاغورس في حساب طوله. حل: حسب فثاغورس: مربع الوتر مجموع مربعي الضلعين القائمتين المنزل )الوتر( )6-9( + 7( ) 9 + 5 المدرسة الوتر 5,8 واحدة المسافة بين المنزل والمدرسة 5,8 0, 0,58 كيلومتر تحقق بقياسها بالمسطرة وضرب الطول ب 0, نحصل على نفس الناتج. افهم:
المعطيات: طول ضلع الصفحة 0 سم بعدي الصورة 6 سم و 0 سم فراغ بين كل صورتين سم فراغ بين جميع الجوانب سم ) ) ) ) المطلوب: عدد الصور التي يمكن تثبيتها في الصفحة الواحدة خطط: في البداية نطرح الفراغ الجانبي من طول ضلع الصفحة حل: ثم نقسم الطول المتبقي على 7 )عرض الصورة مع الفراغ بين الصورتين( لمعرفة كم صورة في الصف الواحد ثم نقسم الطول المتبقي أيضاا على )طول الصورة مع الفراغ بين الصورتين( لمعرفة كم صورة في العمود الواحد. طول الضلع بعد طرح الفراغ الجانبي 0 سم عدد الصور في الصف الواحد 7 صور عدد الصور في العمود الواحد صورة تحقق عدد الصور التي يمكن تثبيتها في الصفحة الواحدة عدد صور الصف عدد صور العمود 6 صور. بحساب مساحة الصفحة بعد حذف الفراغات وتقسيمها على مساحة الصورة الواحدة بعد إضافة الفراغات نحصل على نفس النتيجة تقريباا فاإلجابة منطقية. افهم: المعطيات: شخص شرب عصير فراولة 8 أشخاص شربوا عصير البرتقال 5 أشخاص شربوا الفراولة والبرتقال ) ) ) 5 7 فراولة برتقال المطلوب: عدد األشخاص المشاركين في المناسبة خطط: نستخدم مخطط كالفن للحل. حل: الذين شربوا فراولة فقط 5 7 أشخاص الذين شربوا برتقال فقط 8 5 أشخاص. عدد األشخاص 5 + 7 + 5 شخص
تحقق الناتج يتوافق مع المعطيات فالحل منطقي افهم: المعطيات: 0 طالبا في حصة العلوم 9 طالب يفضلون الكيمياء 5 طالب يفضلون الفيزياء 7 طالب يفضلون كليهما ) ) ) ) المطلوب: عدد الطالب الذين يفضلون الكيمياء ول يفضلون الفيزياء خطط: نستخدم مخطط كالفن للحل )لمعرفة الذين يفضلون الكيمياء ول يفضلون الفيزياء نطرح عدد الطالب الذين يفضلون كال المادتني من عدد الطالب الذين يفضلون الكيمياء(. حل: 7 8 الذين يفضلون الكيمياء ول يفضلون الفيزياء 9 7 طالب تحقق الناتج يتوافق مع المعطيات فالحل منطقي فيزياء كيمياء افهم: المعطيات: يستغرق قص قطعة الخشب إلى خمس قطع متساوي 0 دقيقة المطلوب: الزمن الالزم لقص قطع أخرى مشابهة خطط: حل: نكتب تناسباا ونحله لمعرفة الحل حيث س يمثل الزمن الالزمن لقص قطعة الخشب المشابهة. عدد القطع الزمن 0 5 س دقيقة 0 س 5
تحقق بحساب الوقت الالزم للقص مرة واحدة ( 0 5 دقيقة( ثم ضرب الناتج ب لمعرفة الزمن الالزم لقص قطع ( دقيقة( نحصل على نفس الناتج فاإلجابة صحيحة في المثلثين كل زاويتين متقابلتين متساويتين: أ د و ج ه ب أب ب ج ج أ 0,7 ود 0,7 ه و 0,7 ده النسب متساوية ) ) ) نختبر هل األضالع المتقابلة متناسبة أم ل: بما أن النسبتين و 8 8 8 6 6 غير متكافئتين فالمثلثان ليسا متشابهين.
بما أن الشكلين مستطيالن فجميع زواياهما قائمة وبالتالي الزوايا المتقابلة متساوية. نختبر هل األضالع المتقابلة متناسبة أم ل: أب 6 ب د,5,5 ط ع ن ط متساوية فالمستطيالن متشابهان. بما أن أبسط صورة لجميع النسب,5 6 ج أ,5 ك ن دج ع ك ف ش عامل المقياس أ د 9,5 ر ف أ ب و ش ج د 5 5 أب 0 أب 6 أ ب 0 عامل المقياس 5, م محيط د ه و + + 5 0 م د ه و أ ب ج 5, 0 أ ب ج 5, 0 أ ب ج 5, إذن محيط المثلث أ ب ج متر
نختبر هل األضالع المتقابلة متناسبة أم ل: 5 بما أن أبسط صورة للنسب الثالثة غير متكافئة فالمثلثان غير متشابهين. 5 الزوايا المتقابلة متساوية حسب الشكل نختبر هل األضالع المتقابلة متناسبة أم ل: 8 8 0 8 بما أن أبسط صورة للنسب السابقة متكافئة فالشكالن متشابهان. 6 6 7,5,5 بما أن المثلثين متشابهين: ق ه ف ه ج م ج ك ق ف ك م س 6 س 6 س 6 ف ه 6 9 6 ص 7 ص,5 ص ج ك عامل المقياس أي يجب أن يكون نسبة المحيطين تساوي 6 8 8 0 محيط أ ب ج 6 0 6 محيط ص ع س 0 وحدة 6 محيط ص ع س 8 محيط ص ع س 8
بما أن الشكلين مستطيالن فجميع زواياهما قائمة وبالتالي الزوايا المتقابلة متساوية. نختبر هل األضالع المتقابلة متناسبة أم ل: بما أن أبسط صورة للنسبتين السابقتين غير متكافئة فالمستطيالن غير متشابهين. 7 8 الزوايا المتقابلة متساوية بحسب الشكل المرسوم 5 كل مضلع من المضلعين متساوي األضالع نسب األضالع متساوية وتساوي فالشكالن متشابهان الزوايا المتقابلة متساوية بحسب الشكل المرسوم نختبر هل األضالع المتقابلة متناسبة أم ل: بما أن أبسط صورة للنسب السابقة متكافئة فالمثلثان متشابهان 6 8 0 5 بما أن الشكلين مستطيالن فجميع زواياهما قائمة وبالتالي الزوايا المتقابلة متساوية. نختبر هل األضالع المتقابلة متناسبة أم ل: بما أن أبسط صورة للنسبتين السابقتين غير متكافئة فالمستطيالن غير متشابهين 5 8 6
8 8 س س 6 0,8 8 8 س 0,8 س 0 9 0,5 0 س س,5 9 6,5 7,5 6 6 س س 7,5 عامل المقياس أي أن محيط المثلث ب يعادل من المثلث أ 8 نكتب تناسب ونحله بحيث ط يمثل طول العظمة في أذن اإلنسان
النموذج 8,5 55 8,5 ط 0, سم األذن الداخلية ط 55 أي إذا كان طول العظمة في النموذج 8,5 فإن طولها في األذن الحقيقية 0, سم عامل المقياس طول المثلث األول عرض المثلث األول طول المثلث الثاني عرض المثلث الثاني مساحة المثلث األول طول المثلث األول عرض المثلث األول طول المثلث األول عرض المثلث األول مساحة المثلث الثاني طول المثلث الثاني عرض المثلث الثاني طول المثلث الثاني عرض المثلث الثاني مساحة المثلث األول عامل المقياس عامل المقياس )عامل المقياس( مساحة المثلث الثاني نسبة مساحتي مستطيلين متشابهين يعادل مربع عامل المقياس. صحيحة أحيانا ففي المثال التالي نجد أن الزوايا متساوية ولكن نسب األضالع المتقابلة غير متساوية وبالتالي ليسا متشابهين 7 8 صحيحة دائما وذلك ألن جميع الزوايا المتقابلة متساوية ألنها كلها قائمة ونسب جميع األضالع المتقابلة متساوية ألن أضالع المربع متساوية الطول فنسبة أي ضلع على مقابله ستكون مساوية لنسب أي ضلع آخر مع مقابله
7 8 6 8 ص ع,5 اإلجابة الصحيحة: أ( 6 ص ع 7 5 6 5 محيط ر ف و ش 6 اإلجابة الصحيحة: د( 6 ر ف و ش افهم: المعطيات: تبقى ألحمد ليصل إلى القمة 0 قدما يصعد 6 أقدام كل 5 دقائق يتعثر قدما واحدة يحتاج دقيقة الستعادة توازنه ) ) ) ) المطلوب: كم دقيقة يستغرق ليصل إلى القمة خطط: نرسم شكالا بالعتماد على المعطيات السابقة. حل: كل )5 دقائق + دقيقة لستعادة التوازن( يقطع )6 أقدام قدم تعثر( كل 6 دقائق يقطع 5 أقدام نكتب تناسباا ونحله بفرض س هو الزمن الالزمن لقطع 0 قدم المتبقية عدد الدقائق 6 س 6 0 س 6 دقيقة 5 0 5 عدد األقدام أي يحتاج إلى 6 دقيقة لقطع 0 قدماا
0 المسافة )األقدام( 0 0 0 0 6 8 0 6 الزمن تحقق بالرسم نجد أنه يحتاج 6 دقيقة لقطع 0 قدماا فاإلجابة صحيحة 5 50 5 70 0 ) ص ) ب,5,5 5 0,6 ن حسب فيثاغورس: مربع الوتر يساوي مجموع مربعي الضلعين القائمتين )طول القطعة المستقيمة(,5( )),5-( +,5( )),5-( )طول القطعة المستقيمة( 5 + 6 6, طول القطعة المستقيمة
حسب فيثاغورس: مربع الوتر يساوي مجموع مربعي الضلعين القائمتين )طول القطعة المستقيمة( ( ))-( +,5( )),5-( )طول القطعة المستقيمة( 6 + 5 7,8 6 طول القطعة المستقيمة حسب فيثاغورس: مربع الوتر يساوي مجموع مربعي الضلعين القائمتين ) ( + )) -( )طول القطعة المستقيمة( ) 6 9 + 69 )طول القطعة المستقيمة( 9 5, 9 طول القطعة المستقيمة
بما أن مربعات ورقة المربعات الجديدة أبعادها مثلي أبعاد مربعات ورقة المربعات األصلية وبالتالي األطوال في الشكل الجديد ستكون مثلي أطوال نظيراتها في الشكل األصلي يجب أن تكون أبعاد ورقة المربعات أربعة أمثال أبعاد ورقة المربعات األصلية أي )0,5 ( أبعاد الورقة الجديدة سم سم ) ) نرسم من ع نصف مستقيم على طول الضلع ع ل ونعين عليه ل بحيث يكون ع ل ع ل نرسم من ع نصف مستقيم على طول الضلع ع ز ونعين عليه ز بحيث يكون ع ز ع ز نصل بين ل ز وبذلك نحصل على المثلث الجديد ع ل ز ج ( )8 ج ( 8 ) ج 9( ) ك 0( )6 ك 0( 6 ) ك 0( )8
ل 8( ) ل 8( ) ل ( )6 ج ( )8 ج ( 8 ) ج ( ) ك 0( )6 ك 0( 6 ) ك ( ) ل 8( ) ل 8( ) ل ( ) اإلحداثي السيني للنقطة أ - عامل مقياس التمدد اإلحداثي السيني للنقطة أ - بما أن عامل المقياس > فالتمدد تصغير طول الصورة على الجهاز عامل المقياس طول الصورة األصلية 5 0 5 سم طول الصورة على الجهاز عرض الصورة على الجهاز عامل المقياس عرض الصورة األصلية 5 0 7,5 سم عرض الصورة على الجهاز بعدا الصورة على الجهاز )5 سم 7,5 سم( نرسم من أ نصف مستقيم على طول القطعة أ ب ونعين عليه النقطة ب
ج ب ) بحيث يكون أب أب 6,, )حسبنا طول أب من فيثاغورس بحيث أج 5 نرسم من أ نصف مستقيم على طول القطعة أ ج ونعين عليه النقطة ج بحيث يكون أج أج 5,5 نرسم من ج نصف مستقيم على طول القطعة ج ب ونعين عليه النقطة ب بحيث يكون ج ب ج ب 6 نرسم من ج نصف مستقيم على طول القطعة ج أ ونعين عليه النقطة أ بحيث يكون ج أ ج أ 5 7,5 ج -( ) ج -( ) ج -( )6 ك -( )- ك -( - ) ك 6-( )- ل ( )6 ل ( 6 ) ل 9( )8 ج -( ) ج -( ) ج -( ) ك -( )- ك -( - ل ( )6 ل ( 6 ) )- ) ك -( ) ( ل
اإلحداثي السيني للنقطة أ عامل مقياس التمدد اإلحداثي السيني للنقطة أ بما أن عامل المقياس < فالتمدد تكبير طول المخطط الجديد عامل المقياس طول المخطط القديم طول المخطط الجديد 9,5 6,5 سم عرض المخطط الجديد عامل المقياس عرض المخطط القديم عرض المخطط الجديد 5 5 سم بعدا المخطط الجديد )6,5 سم 5 سم( ) نرسم من س نصف مستقيم على طول القطعة س ص ونعين عليه النقطة ص 7 7 بحيث يكون س ص س ص 5,,6 )حسبنا طول س ص من فيثاغورس بتشكيل مثلث قائماه 5 نرسم من س نصف مستقيم على طول القطعة س ع ونعين عليه النقطة ع 7 7 بحيث يكون س ع س ع 7
نرسم من ع نصف مستقيم على طول القطعة ع ص ونعين عليه النقطة ص بحيث يكون ع ص ع ص 5,, )حسبنا طول ع ص من فيثاغورس بتشكيل مثلث قائماه ( 5 نرسم من ع نصف مستقيم على طول القطعة ع س ونعين عليه النقطة س بحيث يكون ع س ع س نرسم من ل نصف مستقيم على طول القطعة ل ر ونعين عليه النقطة ر بحيث يكون ل ر ل ر نرسم من ل نصف مستقيم على طول القطعة ل م ونعين عليه النقطة م بحيث يكون ل م ل م نرسم من ل نصف مستقيم ل ب ونعين عليه النقطة ب بحيث يكون ل ب ل ب 5,,05 )حسبنا طول ل ب من فيثاغورس بتشكيل مثلث قائماه ( 5 نرسم من ل نصف مستقيم ل ن ونعين عليه النقطة ن بحيث يكون ل ن ل ن 5,75 )حسبنا طول ل ن من فيثاغورس بتشكيل مثلث قائماه ( نرسم من ن نصف مستقيم على طول القطعة ن ر ونعين عليه النقطة ر بحيث يكون ن ر ن ر, 8, )حسبنا طول ن ر من فيثاغورس بتشكيل مثلث قائماه ( نرسم من ن نصف مستقيم على طول القطعة ن م ونعين عليه النقطة م بحيث يكون ن م ن م 6 نرسم من ن نصف مستقيم ن ب ونعين عليه النقطة ب بحيث يكون ن ب ن ب,8 5,6 )حسبنا طول ن ب من فيثاغورس بتشكيل مثلث قائماه (
نرسم من ن نصف مستقيم ن ل ونعين عليه النقطة بحيث يكون ن ل ن ل 5 0 ل )حسبنا طول ل ن من فيثاغورس بتشكيل مثلث قائماه ( ه 0( ) ه 0( ) ه 0( )6 ج ( ) ج ( ) ج 9( ) ك 0( )- ك 0( - ) ك 0( )- ل -( )- ل -( - ) ل 6-( )9- ه -( 6 ) ه -( 6 ) ه -( ) ج ( ) ج ( ) ج ( ) - ) ك,5( ) ك 7( )- ك 7( ل -( )- ل -( - ) ل -( )-
اإلحداثي السيني للنقطة ج عامل مقياس التمدد اإلحداثي السيني للنقطة ج بما أن عامل المقياس 5 > فالتمدد تصغير 5 عامل مقياس التمدد بما أن عامل المقياس اإلحداثي السيني للنقطة ج اإلحداثي السيني للنقطة ج 9 6 < فالتمدد تكبير عامل مقياس التمدد اإلحداثي السيني للنقطة ب اإلحداثي السيني للنقطة ب بما أن عامل المقياس < فالتمدد تكبير عامل مقياس التمدد بما أن عامل المقياس اإلحداثي الصادي للنقطة ه اإلحداثي الصادي للنقطة ه 5 > فالتمدد تصغير 5
طول الصورة المصغرة عامل المقياس طول الصورة األصلية طول الصورة المصغرة 5,5 سم 0 عرض الصورة المصغرة عامل المقياس عرض الصورة األصلية عرض الصورة المصغرة 0 سم 0 بعدا الصورة على الجهاز ),5 سم سم( طول الصورة على الشاشة عامل المقياس طول الصورة األصلية طول الصورة على الشاشة,5 سم عرض الصورة على الشاشة عامل المقياس عرض الصورة األصلية عرض الصورة على الجهاز,5 0,5 سم بعدا الصورة على الجهاز ) سم 0,5 سم( الشكل األيمن هو األقرب حيث يبدو المستطيل فيه أكبر والخطوط التي تصل بين المستطيل ونقطة التالشي أطول من نظيراتها في الشكل األيسر.
نبدأ من نقطة التالشي ونرسم خطوط الشكل الجديد بحيث يكون كل 7 خط يعادل طول نظيره في الشكل األصلي 5 7 ثم من نهايات الخطوط نرسم المستطيل بحيث تكون أبعاده أبعاد نظيره في الشكل األصلي 5 نختار النقطة أ ) ( من الشكل األصلي. والنقطة أ ( ) من الشكل األخير )األصغر( اإلحداثي السيني للنقطة أ عامل مقياس التمدد اإلحداثي السيني للنقطة أ أي أن أبعاد الشكل األخير وإحداثياته تعادل مقابالتها من الشكل األصلي. يمكننا التحقق بأخذ نقاط أخرى مثل النقطتان المتناظرتان: ب )6 ( من الشكل األصلي ب ) ( من الشكل األخير )األصغر( عامل مقياس التمدد اإلحداثي السيني للنقطة ب اإلحداثي السيني للنقطة ب التوقع صحيح. 6 إذا كان الشكل في الربع األول من محور اإلحداثيات اإلحداثي السيني والصادي موجبان بعد الضرب بعامل المقياس - سيصب اإلحداثي السيني والصادي سالبان وأكبر قيمة الصورة الناتجة تقع في الربع الثالث الصور الناتجة مثلي حجم الصورة األصلية وناتجة عن دوران الصورة األصلية حول مركز اإلحداثيات 80 عامل مقياس التمدد اإلحداثي السيني للنقطة الجديدة اإلحداثي الصادي للنقطة الجديدة اإلحداثي السيني للنقطة األصلية اإلحداثي الصادي للنقطة األصلية
ص ك ص اإلحداثيات الجديدة ( ك س ك ص( س ص ك س ك س س ص عامل مقياس التمدد طول ضلع المربع الجديد ص س 5 طول ضلع المربع األصلي اإلجابة الصحيحة هي ب( 5 اإلجابة الصحيحة هي أ( عامل مقياس التمدد اإلحداثي السيني للنقطة ع اإلحداثي السينين للنقطة ج
ب,5 8 8 ب,5 قطر المستطيل هو وتر مثلث قائم ضلعاه القائمتان هما طول المستطيل وعرضه الحل حسب فيثاغورس: الوتر الطول + العرض + 9 9,9 9 الوتر طول قطر المستطيل طول الوتر,9 م نشكل مثلث قائم وتره هو الخط الواصل بين مكان شهد والمجمع التجاري حسب فيثاغورس: الوتر مجموع مربعي الضلعين القائمتين,6 واحدة الوتر + 9 + الوتر كل واحدة على الشاشة تعادل كلم على الواقع المسافة المتبقية,6 7, كلم س 9 س 5, سم. 5 9 5 5 5 5 س 6,5 ميل. 5 س
B5* B6* B7* A5* A6* A7* أستعملها بالتعويض عن قيمة A وB حيث تعبر هذه الصيغة الواردة في العمودين D C عن تمديد المضلع الخماسي بضرب كل من اإلحداثي السيني والصادي لنقاطه بعامل المقياس )(. إحداثيات الخماسي الجديد: ) ( )8 9( ) 5( )6 ( )6 6(
س 00 النسبة المئوية لمقدار الزيادة هو %00 س 00 عامل مقياس التمدد اإلحداثيات بعد التكبير 5 مرات هي:.)0 0( )5 5 ( ) (.)0 0(.)0 5( )5 5 ( )5 5 5( ) ( ) 5(.)0 5( )5 6 5 ( )6 (.)0 5( )5 5 ( ) ( اإلحداثيات بعد التصغير مرة..) ( ) ( ) (.) ( ).),5( ).),5( ).) ( ) 6 ( ) ( 5( ) 5( ( )6 ( ( ) ( نالحظ أن جميع إحداثيات الشكل الجديد أكبر من نظيراتها في الشكل األصلي التمديد تكبير,5 5 عامل مقياس التمدد اإلحداثي السيني لنقطة من الخماسي الجديد اإلحداثي السيني لنظيرتها من الخماسي األصلي بما أن عامل مقياس التمدد,5 > فإن التمدد تكبير.
نشاط عملي يحله الطالب مستخدما برنامج اإلكسل وللتكبير يضرب إحداثيي كل نقطة بعدد < وللتصغير يضرب إحداثيي كل نقطة بعدد >.
س الزوايا المتناظرة متساوية بما أن الزوايا المتناظرة متساوية واألضالع المتناظرة متناسبة الشكالن متشابهان. ) ), طول إشارة المرور طول برج الهاتف طول ظل إشارة المرور طول ظل برج الهاتف س نضرب تبادلياا نوجد ناتج الضرب نقسم الطرفين على نبسط,,6 س س,6 س, م
بما أن المثلثان الصغير والكبير متشابهان أضالعهما المتقابلة متناسبة كلم طول الشارع أ يساوي كلم 8 6 أ 8 أ 6 بما أن المثلثين متشابهان أضالعهما المتقابلة متناسبة طول الشجرة طول القطة طول ظل الشجرة طول ظل القطة ه 0,5,,, م ه 0, 0, 0,5 طول الشجرة, م بما أن المثلثين متشابهان أضالعهما المتقابلة متناسبة 8 د 5 8 د 0 م المسافة بين المنتزه والبيت ص ز + زس 5 + د 5 + 0 5 م 5
بما أن المثلثين متشابهان أضالعهما المتقابلة متناسبة ع 8 8 8 ع 7 م طول البناية 7 م,5,5 8 طول ظل البناية طول ظل المتجر طول البناية طول المتجر بما أن المثلثين متشابهان أضالعهما المتقابلة متناسبة م طول العلم األحمر م 6 7 طول العلم األحمر طول ظل العلم األحمر ع 6 ع طول العلم األزرق طول ظل العلم األزرق 7 بما أن المثلثين متشابهان أضالعهما المتقابلة متناسبة 00 س 8 س 5 س 7,5 م المسافة بين الخيمة والسفينة س 7,5 م 8 5 8
7 6 م المسافة بين الجدولين س 6 م بما أن المثلثين متشابهان أضالعهما المتقابلة متناسبة 8 س 9 8 س س 9 6, م ارتفاع العمود ع, م 5 بما أن المثلثين متشابهان أضالعهما المتقابلة متناسبة 9 5 ع 9 7 ع ع 5 7 بما أن المثلثين متشابهان أضالعهما المتقابلة متناسبة 0 د د 6 5 د 0, م عمق المياه التي تبعد 6 م عن الشاطئ د 0, م 5 6
بما أن المثلثين متشابهان أضالعهما المتقابلة متناسبة ارتفاع لعبة العجلة طول الشخص س ارتفاع لعبة العجلة 0 م طول ظل لعبة العجلة طول ظل الشخص ظل الشخص م ظل لعبة العجلة 0 م 0 س 0 0 س 0 0 0 س س م طول الشخص م يبلغ طول أحمد,7 سم وطول ظله في وقت ما م فإذا علمت أن طول ظل البناء المجاور له في نفس الوقت بلغ 0 م فما طول البناء بما أن المثلثين متشابهان أضالعهما المتقابلة متناسبة ارتفاع البناء طول أحمد ظل أحمد م طول أحمد,7 م ظل البناء 0 م طول البناء س طول ظل البناء طول ظل أحمد س 0 س 0,7 س 7,7 س 8,5 م ارتفاع البناء 8,5 م المثلثان متشابهان أضالعهما المتقابلة متناسبة 75 75 س 0,6 86000 86000 0,6 س 088 م طول قطر القمر 088 م 600 75 س
يجب معرفة: طول ظل الجسم طول شيء مجاور له وطول ظل هذا الشيء بنفس الوقت ) ) طول السارية طول ظل السارية طول الرجل طول ظل الرجل 0 قدم اإلجابة الصحيحة ب( 6 0 9 س 0 9 س 6
8,8 8 ع 6 م اإلجابة الصحيحة د(,, ع,8 طول العمود طول ظل العمود طول أحمد طول ظل أحمد عامل المقياس %60 0,6.)0 0( )0,6 0 0,6 0( )0 0(.)0 7.( )0,6 0 0,6 ( )0 (.)9 6( )0,6 5 0,6 0( )5 0(.)6 ( )0,6 0 0,6 5( )0 5( عرض الخريطة الجديدة 0 0 عرض الخريطة القديمة 6 عامل المقياس
طول الخريطة الجديدة طول الخريطة الجديدة عامل المقياس طول الخريطة القديمة عامل المقياس طول الخريطة القديمة 5 50 سم 0 طول الخريطة الجديدة )7 9 بما أن أقرب إلى 9 6 > > 9 )8 7 9 8 بما أن 8 أقرب إلى 9 9 > 8 > 6 8 بما أن 8 أقرب إلى > 8 > 00 نرسم جدولا يبين المسافات التي يقطعها رائد في 8 أيام: 80 60 0 0 المسافة 8 6 األيام 0 80 8 نكتب العالقة بين المسافة وعدد األيام. 60 0 0 0 0 0 6 بما أن أبسط صورة للنسب السابقة متساوية المسافة التي يقطعها رائد تتناسب مع عدد األيام 6 9 9 أ 9 أ 6 أ
60 5 ص 0 5 ص 60 ص 5 نكتب تناسباا ونحله حيث س كمية الحليب التي تزود الجسم ب %50 من احتياجاته اليومية من الكالسيوم كمية الحليب 8 س 0,5 8 س نسبة الحاجة اليومية 0, 0,5 0, 80 جم أي كمية الحليب الالزمة لتزويد الجسم ب %50 من احتياجاته اليومية من الكالسيوم هي 80 جم افهم: المعطيات: 9 طالبة تفضل طهي األطباق الرئيسية 5 طالبة تفضل خبز الحلويات 7 طالبات يفلن طهي األطباق الرئيسية وخبز الحلويات معا ) ) ) المطلوب: عدد الطالبات الالتي يفضلن طهي األطباق الرئيسة ول يفضلن طهي خبز الحلويات خطط: نستخدم مخطط كالفن للحل. حل: 8 الذين يفضل الرئيسة ول يفضلن خبز الحلويات 9 7 طالبة 7 تحقق الناتج يتوافق مع المعطيات فالحل منطقي الرئيسية خبز الحلويات
س بما أن المثلثين متشابهان أضالعهما المتقابلة متناسبة 0 5 س 5 0 س 0 5 بما أن المستطيلين متشابهان أضالعهما المتقابلة متناسبة 9 7 أ,5 6 أ أ 6,5 عامل المقياس.) ( ) ( ) (.)8 -( ) -( ) -( )- (.)- 6( ) - ( طول األول عرض األول 5 0 5 س سم عرض المستطيل الثاني سم طول الثاني عرض الثاني س 0 محيط المستطيل الثاني 5( + ) سم
معدل التغير بين يومي األحد واإلثنين 0 طالب/يوم بما أن المعدل موجب يزداد رواد المكتبة بمعدل طالب في اليوم بين يومين األحد واإلثنين - 0 طالب/يوم بما أن المعدل سالب يقل رواد المكتبة 55-75 معدل التغير من الثالثاء إلى الخميس بمعدل 0 طالب في اليوم من الثالثاء إلى الخميس طول الشجرة طول الولد طول ظل الشجرة طول ظل الولد س,5 س,5 م اإلجابة الصحيحة ب(,5
7-9 معدل التغير بين شهر و 6 كجم/شهر - 6 9-0 معدل التغير بين شهر 6 و 8 كجم/شهر 6-8 بما أن معدل التغير ليس ثابتاا العالقة بين الكتلة وعدد األشهر ليست خطية. % تعني أن كل 00 كرة منها كرة بيضاء كل 00 كرة منها و كرة بيضاء نكتب تناسب ونحله: و اإلجابة الصحيحة ج( 00 00
سم اإلجابة الصحيحة ب( ص ع 5 5 ص ع 0 0 ساعة 60 دقيقة 60 60 600 ثانية,5 ساعة,5 600 500 ثانية اإلجابة الصحيحة د(
0,8 6 س 6 م اإلجابة الصحيحة ج( 6 0 طول أحمد طول الشجرة طول أحمد,8 طول الشجرة س > 66 9 اإلجابة الصحيحة ج( > 8 8 > 66 > 6 8 > 66 > 6.5 م,5 9 58,5 بوصة 58,5 بوصة 58,5,9 قدم اإلجابة الصحيحة أ(
9 عدد الساعات عدد األشخاص اإلجابة الصحيحة ب( س حسب فيثاغورس الوتر 90 + 80 600 + 7800 500 الوتر 8 م 0 م اإلجابة الصحيحة ب(
س حسب فيثاغورس: مربع الوتر يساوي مجموع مربعي الضلعين القائمتين 5 9 5 8 س 5 9 + س 9 0 > > 5 نوحد المقامات لنتمكن من المقارنة: 7 0 7 9 > 0 > 0 0 0 0 0 0 9 هو 5 0 الكسر الذي يقع بين