المعطاة : x أوجد قيمة كل عبارة مما يأتي عند قيمة ) 4x +7= 4 6 + 7 = 3 ) 80( x ) 80 ( 8 ) 80 6 080 3) 5x 3 x 5 3 0 6 4 xx ( 3) 5( 5 3) 4) 5 5 5) x ( x ) ( x ) 3 ( 3 ) ( 3 ) 6 ) 5x 8 اكتب كل تعبير لفظي مما يأتي على صورة عبارة جبرية : 7 ) x 3 حل كل معادلة فيما يأتي : 8) 8 x 0 6x 8x 6 x 0 0 x 0 0 x 0 x 0 x 5
9) 98 7x 0x 39 8 7x0x 39 0 3x 0 3x x ( 3) x 7 0) 3 x7 3x5 33x 3x 5 0 0x 46 0 0x 46 x 46 0 x. 3 ) 3 x 5 x 3 x 5 x 0 3. 5x 4 0 35. x 4 x 4 35. x. 4 ) قراءة : = سعر الكتاب الواحد 5 5 3 x 4 استعن بالشكل المجاور في مثال 3 لإلجابة عما يأتي : زاويتين منفرجتين متقابلين بالرأس : BXD 3) AXE,
زاويتين متتامتين : CXB 4) CXE, زاويتين متجاورتين على مستقيم : BXA 5) AXE, 6 ) AXE, BXD زاويتين متقابلين بالرأس إذن فهم متساويتان. 3x 6 3x 6 0 3x 4 0 3x 4 x 38 بما أن 7 ) DXE, CXD زاويتين مجموعهما 90 x + x 6 3 0 7 90 6x 0x 3 7 90 6x 6 90 6x 96 x 6 بما أن
صفحة ) اكتب تخمينا يصنف النمط في كل من المتتابعات اآلتية ثم استعمله إليجاد الحد التالي في كل منها. الشهر التالي في المتتابعة يأتي بعد خمسة أشهر من الشهر السابق شوال. ( A.(-4) يقل العدد التالي في المتتابعة بمقدار 6 من العدد السابق (B C) يقسم كل مثلث مظلل في الشكل السابق إلى أربعة مثلثات أخرى في وسطها مثلث أبيض. ناتج جمع عددين زوجين هو عدد زوجي أمثلة: (A 0 + 6 = 36 8 + 0 = 8. + 4 = 6 36 8 جميعها الحظ أن األعداد 6 زوجية :E AB العالقة بين B) AB = E
C) مجموع مربعي عددين كليين متتاليين عدد فردي أمثلة: 5 3 3 5 6 6 أسعار: يبين الجداول المجاور سعر منتج للسنوات من 40 ه إلى 47 ه. (3 (3A 46 رياال. (3B 3C) إجابة ممكنة: نعم هذا االتجاه المتزايد معقول ألنه من المحتمل أن يستمر سعر المنتج بالزيادة على مر السنين. n 4 4 إجابة ممكنة: n 4 كان إذا فإن وهذا عدد موجب. (4A 4B) عندما تكون النقاط A, B, D ال تقع على استقامة واحدة والنقاط تقع على استقامة واحدة يكون التخمين خاطئا. في الشكل األتي: DBC DBC غير متقابلتين بالرأس. ولكن زاوية ABE E, B, ال C ABE
اكتب تخمينا يصف النمط في كل متتابعة مما يأتي ثم استعمله إليجاد الحد التالي في كل منها: المثال تزيد التكلفة كل مرة بمقدار.5 لاير عن المرة السابقة.5 رياال. ( يأتي كل موعد بعد 45 دقيقة من الموعد السابق له.30 مساء. ( 3) ينتقل التظليل إلى الجزء التالي كل مرة مع اتجاه عقارب الساعة. يحتوي 4) كل شكل في النمط دائرة إضافية خارجية زيادة على دوائر الشكل السابق. 5) كل حد في هذا النمط يساوي مجموع الحدين السابقين له 4. يزيد كل حد بمقدار على مثلي الحد الذي يسبقه 6. (6 ضع تخمينا لكل قيمة أو عالقة هندسية مما يأتي: المثال 7) ناتج ضرب عددين زوجيين هو عدد زوجي.
وb 8) كل من a معكوس لآلخر. مجموعة النقاط في المستوى التي تبعد البعد نفسه عن النقطة A تكون دائرة. (9 AP يساوي 0) طول PB ثالثة أمثال طول المثال 3 : a) نحو 35 b) سيكون عدد القطع عام 07 قطعة. أعط مثاال مضادا يبين أن كل من التخمينات اآلتية خاطئة: المثال 3 ( (3
اكتب تخمينا يصف النمط في كل متتابعة مما يأتي ثم استعمله إليجاد الحد التالي في كل منها. المثال : يزيد 4) كل حد في هذا النمط بمقدار على الحد الذي يسبقه 0. يزيد كل حد في هذا النمط بمقدار 3 على الحد الذي يسبقه 8. يزيد كل حد في هذا النمط بمقدار 4 على الحد الذي يسبقه 4. (5 (6 7) يحتوي كل حد في هذا النمط على الرقم زيادة على أرقام الحد السابق له. ينتج 8) كل حد بتربيع العدد الطبيعي الذي يمثل ترتيبه 5. 6 9) كل حد يساوي نصف الحد الذي يسبقه يأتي كل موعد بعد ساعتين ونصف الساعة من الموعد الذي يسبقه 5:30 مساء. (0 ) تقل كل نسبة مئوية عن النسبة السابقة بمقدار % 7 79%. يأتي كل يوم عمل بعد يومين من يوم العمل السابق السبت. ( يعقد كل اجتماع بعد شهرين من االجتماع السابق رجب. (3 (4 (5 (6 (7
رياضة:. km 0.5, 0.75,,.5,.5,.75, (8 ضع تخمينا لكل قيمة أو عالقة هندسية مما يأتي: المثال : AB الناتج عدد فردي. الناتج عدد فردي. كل منهما مقلوب اآلخر. تشكل العمود المنصف ل حجم المنشور يساوي 3 أمثال حجم الهرم. (9 (30 (3 (3 (33 34) مدارس: استعن بالجدول المجاور الذي يبين عدد الطالب في مدرسة ألربع سنوات متتالية. )ص 5( المثال 3 : (a. b) أعداد الطالب تزداد كل عام بمقدار 0 طالب حدد ما إذا كان أي من التخمينات اآلتية صحيحا أو خاطئا فإذا كلن خاطئا أعط مثاال مضادا. المثال 4
35) خاطئ إجابة ممكنة: إذا كان =n فإن = 3 + n وهذا عدد أولي. 36) خاطئ إجابة ممكنة: إذا كان = x فإن - = x. 37) صحيح. 38) صحيح يساوي 5.5% سكان: 39a) النسبة المئوية لعدد السكان سكان المملكة العربية السعودية. في منطقة مكة المكرمة وحدها من 39b) عدد سكان منطقة المدينة المنورة.8 مليون نسمة. تخمين جولدباخ: 0 = 5 + 5, = 5 + 7, 4 = 7 + 7, 6 = 5 + (40a 8 = 7 +, 0 = 7 + 3 ال يمكن كتابة العدد 3 على صورة مجموع عددين أوليين. 40b) خاطئ هندسة: 4a) عدد القطع المستقيمة من أربع نقاط = 6 قطعة عدد القطع المستقيمة من نقاط = 56 قطعة n. عدد القطع المستقيمة يساوي مجموع األعداد الطبيعية األقل من 4b) تتكون خمس عشرة قطعة مستقيمة. فالتخمين صحيح. (4c ص 5 قول ع يل صحيح ألن العدد عدد أولي زوجي. (4 43) مسألة مفتوحة:,.,4,6,56 65536 يمكن إيجاد كل حد بتربيع الحد السابق له كما يمكن إيجاد كل حد باستعمال الصيغة حيث n - n
44) تبرير: خطأ إذا كونت النقاط الثالثة زاوية مستقيمة يكون التخمين صحيحا وأما إذا لم تكن النقاط الثالثة على استقامة واحدة فيكون التخمين خطأ. 45) اكتب: أود أن أجري مسحا ألنواع األنشطة التي يمارسها الناس في عطلة نهاية األسبوع وأطرح األسئلة اآلتية: ما عمرك ما نوع النشاط الذي تفضل ممارسته في عطلة نهاية األسبوع ما مدى مواظبتك على ممارسة هذا النشاط ثم بعد ذلك استعمل التبرير االستقرائي إليجاد أنماط في اإلجابات لتحيد ما إذا كان األشخاص المتساوون في العمر يفضلون ممارسة األنشطة نفسها أم ال. )ص 56(.C (46 = +0 0 + (47 DAC زاوية قائمة..B (48 49) أحواض السمك: حجم األسطوانة الدائرية القائمة = مساحة القاعدة االرتفاع مساحة القاعدة = 5
780.6 cm 3 = 5 حجم األسطوانة 35 BC d x x y y 3 4 0 (50 CM AB - 6 4 CM AC 3 6 4 6 AC 0 4. 47 CM 0.47 = + 4 + 4.47 محيط المثلث = مجموع أطوال أضالعه = BC - 0-9 0. 3 CM (5 AB. 3 9 08 CM AC. 3 0 0 37 CM 6. 68. 3. 08. 37 محيط المثلث = مجموع أطوال أضالعه = 5) جبر: 90 زاويتين متتامتين أي مجموعهما = 6z 9 + 4z + 3 = 90 0z 6 = 90 0z = 90 + 6
0z = 96 z = 4.8 (6z 9) = 6 4.8-9 = 76.8 )4z + 3) = 4 4.8 + 3 =. 53) جبر: 5 x y 3 z 5 3 4 3 5 5 6 (54 كل مربع هو مستطيل: إجابة خاطئة (55 :5 3 9 إجابة صحيحة (56 العدد 9 عدد أولي: إجابة خاطئة
)ص 5( : عبارة صحيحة. p q (A كل من p p وq : الشكل مثلث وفي الشكل ضلعان متطابقان. وq صحيح إذن العبارة p صحيحة. المركبة q وليس r: عبارة خاطئة p ليس (B الشكل ليس مثلثا و ليست جميع زوايا الشكل حادة. ليس p عبارة خاطئة و ليس r عبارة صحيحة إذن العبارة المركبة ليس p و ليس r عبارة خاطئة. تحقق من فهمك: r يناير هو أول شهر في السنة الميالدية أو يناير من أشهر فصل الربيع. بما أن A) صحيحة فإن r أو p صحيحة. B) عدد أيام يناير 30 يوما فقط أو يناير ليس أول شهر في السنة الميالدية. كلتا العبارتين r q خاطئة فإن q r خاطئة. بما أن q يناير من أشهر فصل الربيع وعدد أيام شهر يناير ليس 30 بما أن يوما. C) صحيحة فإن p q صحيحة.
(3 p Q ~ p ~ q ~ p ~ q ص 0 4) اختبارات: يبين شكل فن المجاور عدد طالب الصف األول الثانوي الذين نجحوا والذين لم ينجحوا في اختباري الرياضيات أو الكيمياء. 4 طالب. 46 طالبا. (A (B C) طالبان 55 طالبا (D
استعمل العبارات p,q,r لها مفسرا تبريرك: المثال, لكتابة كل عبارة وصل أو فصل أدناه ثم أوجد قيمة الصواب 60 في األسبوع الواحد سبعة أيام وفي الساعة الواحدة دقيقة. بما أن كال من p و r ( صحيحة إذن كل من p وr صحيحة. ) في األسبوع الواحد سبعة أيام وفي اليوم الواحد 0 ساعة p عبارة خاطئة إذن q p صحيحة لكن q خاطئة q عبارة r )3 في اليوم الواحد 0 ساعة أو في الساعة الواحدة 6 ألن صحيحة دقيقة. r خاطئة و q صحيحة 4( ليس في األسبوع الواحد سبعة أيام أو في اليوم الواحد 0 ساعة p~ أو q عبارة خاطئة ألن كال من p~ أو q خاطئة. p r في األسبوع الواحد سبعة أيام أو في الساعة الواحدة 6 دقيقة. عبارة )5 r صحيحة. صحيحة و ألن كال من p ليس في األسبوع الواحد سبعة أيام وليس في الساعة الواحدة 6 دقيقة )6 عبارة خاطئة ألنp ~ خاطئة و r~ خاطئة. p r
)7 :باوصلا لودج لمكأ 3لاثملا p q q q p )8 p q )9 p q p q ~q ~p q P p q q p
ص) 0( لغات: مثال 4 8 3 (a (b c) عدد الطالب الذين يدرسون اللغة الفرنسية وال يدرسون اللغة االيطالية. 05(: المثاالن, 55( الرياض عاصمة المملكة العربية السعودية وتوجد حدود مشتركة للمملكة العربية السعودية مع العراق. r وp صحيحة ألن r صحيحة و p صحيحة. 50( الرياض عاصمة المملكة العربية السعودية وتقع مكة المكرمة على الخليج p خاطئة ألن p صحيحة وq خاطئة. العربي. q 5( المملكة العربية السعودية ليس لها حدود مشتركة مع العراق أو المملكة العربية السعودية تقع غربي البحر األحمر. sr خاطئة ألن r~ خاطئة و s خاطئة. 5( المملكة العربية السعودية لها حدود مشتركة مع العراق أو تقع مكة المكرمة على الخليج العربي rصحيحة q ألن r صحيحة وq خاطئة. 5( الرياض ليست عاصمة المملكة العربية السعودية والمملكة العربية السعودية ليس لها حدود مشتركة مع العراق و r~ خاطئة ألن p~ خاطئة وr ~ خاطئة ~p 56( المملكة العربية السعودية ال تقع غربي البحر األحمر أو الرياض ليست عاصمة المملكة العربية السعودية صحيحة ~ s ألن s~ صحيحة و p~ خاطئة ~ p
:نييتلآا باوصلا يلودج لمكأ 3لاثم (7 :ةيتلآا ةبكرملا تارابعلا نم لكل باوصلا لودج ئشنأ (8 p p ~p p )9 r q r q r q r q r p q p q p
(0 r P p p r ) مكافئات (a االختبار األول االختبار الثاني يسمح له بالذهاب تفوق تفوق لم يتفوق لم يتفوق تفوق لم يتفوق تفوق لم يتفوق b) نعم c) نعم
المثال 4 ) الكترونيات: (a يستعملون أيا من 6( إلكترونيات. 50 (a 40 (b 0 (c 0 (d e) عدد األشخاص الذين ال األجهزة الثالثة. p q أنشئ جدول الصواب لكل من العبارات المركبة اآلتية: (3 إذا كانت p,q صحيحة فإن r) p ( q صحيحة r q r p ( q r) صحيحة بغض النظر عن كون q p q q صحيحتين فإن p,r p q r 4) إذا كانت صحيحة أم خاطئة. r q r p ( q r )
(5 تناك اذإ نإف نيتحيحص q, r p q r نوك نع رظنلا ضغب ةحيحص p ةحيحص.ةئطاخ مأ p q r r p q p q p (6 تناك اذإ q, r, p ةحيحص نإف p q r ةحيحص. p q r q r r r q q p
(7 ةحيحص r,q, p تناك اذإ نإف p q r ةحيحص. p q r q r r r q q p p (8 q, p تناك اذإ ةحيحص نإف p q r ةحيحص. p q r p q ~r ~p r q p
تحد: 9( يوجد مربع واحد على األقل ليس مستطيال. ال 30( يدرس أي طالب اللغة الفرنسية. يوجد على األقل عدد حقيقي واحد ليس له جذر تربيعي حقيقي. كل قطعة مستقيمة لها نقطة منتصف. )3 )3 تبرير: غير صحيح أبدا األعداد الصحيحة هي أعداد نسبية وليست غير نسبية. )33 34( اكتب: إجابة ممكنة.أجري استطالع شمل 00 شخص لمعرفة ما إذا كانوا يفضلون المثلجات بنكهة الفانيليا أو الفراولة أو الشيكوالته فوجد أن 8 أشخاص يفضلون نكهة الفراولة فقط و 5 شخص يفضلون نكهتي الفانيال والفراولة و 48 شخصا يفضلون نكهة الفانيليا فقط و 9 يفضلون نكهة الشيكوالته و الفانيليا. 35( مسألة مفتوحة: للمثلث ثالث أضالع وللمربع أربعة أضالع كلتا العبارتين صحيحة ولذلك تكون العبارة المركبة صحيحة. m A mc A )36 3,, 5, 7, 3, 3 3 3 3 C (37 في هذا النمط نجد أن العدد في كل مرة بمقدار إذن 3= 3 3 = 9 + 3 3 3 توحيد المقامات
38) طعام: إجابة ممكنة الحظ جميل تقديم سلطة الفواكه يوم الثالثاء وافترض أن هذا النمط سوف يستمر ولذا فقد استعمل التبرير االستقرائي. خمن الحد التالي في كل من المتتابعات اآلتية: نالحظ أن العدد في كل مرة يزيد بمقدار )39 3 7 = 8 3 = 3 = 3 4 4 8 كل عدد ي ضرب في 3 اقسم كل عدد على إذن إذن 8 )40 3 8 )4 جبر: حل كل من المعادالت اآلتية: y 7 5 y 57 y y 4 3x 9 6 3x 6 9 3x 3 x 3 3 )4 )43
4 m 5 m 5 4 m 5 3 m 3 5 m 8 6 w 7 0 w 7 0 6 w 7 0 w 7 x 7 x 7 x 8 x 8 x 9 )44 )45 )46 )47 y 4 9 5 y 94 5 y 5 5 y 55 5 أوجد قيمة كل من التعابير الجبرية اآلتية للقيم المعطاة: y 3x جبر: )48 3 3 6-3 3
d c )49 4 4 6 4 m 7n )50 4 7 6 4 ab a )5 ( 3) ( ) 6 4 0
الفرض: للمضلع ستة أضالع (A النتيجة: المضلع سداسي. الفرض: B) بيعت جميع نسخ الطبعة األولى النتيجة: ستنجز طبعة ثانية من الكتاب. الفرض: A) لديك أوراق نقدية من فئة الريال إل النتيجة: يمكن أن تبادلها بورقة واحدة من فئة رياالت أذا كانت لديك أوراق نقدية من فئة الريال فإنه يمكنك من فئة الخمس رياالت. أن تبدلها بورقة واحدة B) الفرض:الزاويتان متتامتان النتيجة:مجموع قياسهما يساوي 90 إذا كانت الزاويتان متتامتان فإن مجموع قياسهما يساوي 90
العبارة الشرطية خاطئة إذا كان = 55 m A ليس 35. فأن A حادة أيضا ولكن قياسها (3A 3B) العبارة الشرطية: صحيحة الفرض x خاطئ ألن الجذر التربيعي ال يكون سالبا ألي عدد وكذلك النتيجة خاطئة وعليه تكون العبارة الشرطية صحيحة. (4A p q ~p ~q p q p q p q p q p q p q العبارتين و متكافئتين منطقيا اكتب العكس والمعكوس والمعاكس اإليجابي لكل من العبارتين الشرطيتين اآلتيتين: 5A) العكس: إذا كانت الزاويتان متطابقتان فإن لهما القياس نفسه. صحيحة المعكوس: إذا لم يكن لزاويتين القياس نفسه فإنهما غير متطابقتين. صحيحة
المعاكس اإليجابي: إذا لم تكن الزاويتان متطابقتان فال يكون لهما القياس نفسه. 5B) العكس: إذا كان الحيوان من القوارض فإنه فأر. خاطئة السنجاب من القوارض لكنه ليس فأرا المعكوس: إذا لم يكن الحيوان فأرا فإنه ال يكون من القوارض. خاطئة السنجاب ليس فأرا ولكنه من القوارض. المعاكس اإليجابي: إذا لم يكن الحيوان من القوارض فإنه ليس فأرا. صحيحة. مثال مضاد: العبارة الشرطية: إذا كان الحيوان خفاشا فإنه ثديي يستطيع الطيران العكس: إذا كان الحيوان من الثدييات التي تستطيع الطيران فأنه يكون خفاشا.خاطئة هناك ثدييات أخرى تستطيع الطيران مثل الليمور. المعكوس: إذا لم يكن الحيوان خفاشا فإنه ليس من الثدييات التي تستطيع الطيران خاطئة الليمور من الثدييات وهو يستطيع الطيران. المعاكس اإليجابي: إذا لم يكن الحيوان من الثدييات التي تستطيع الطيران فإنه ليس خفاشا صحيحة. حدد الفرض و النتيجة في كل من العبارات الشرطية اآلتية: مثال الفرض: اليوم هو الجمعة النتيجة: غدا هو السبت. ) x > النتيجة: x ) الفرض: < 7 5 + الفرض: الزاويتان متكاملتين. النتيجة: مجموع الزاويتان يساوي 80 )3 الفرض: نتج عن تقاطع مستقيمان زوايا قائمة. النتيجة: المستقيمان متعامدان. )4 اكتب كل عبارة شرطية مما يأتي علي صورة)إذا كان فإن(: مثال إذا تجاوز عمر الشخص 8 عاما فإنه يمكنه استخراج رخصة القيادة. )5 6( إذا كانت هذه جبنه فإنها تحتوي على عنصر الكالسيوم. 7( إذا كانت الزاوية حادة فإن قياسها بين 0 و 90.
8( إذا كان المثلث متطابق األضالع فإنه يكون متطابق الزوايا. 9a) مطر: إذا تكاثف بخار الماء الموجود في الغالف الجوي فإنه يسقط على شكل أمطار. 9b) إذا تجمد بخار الماء الشديد البرودة في الغيوم الركامية فإنه يسقط على شكل برد. 9c) إذا كانت درجة الحرارة متدنية جدا إلى حد التجمد في الغالف الجوي فإن الهطل يكون على شكل ثلوج. حدد قيمة الصواب لكل عبارة شرطية فيما يأتي وإذا كانت العبارة صحيحة ففسر تبريرك أما إذا كانت خاطئة فأعط مثاال مضادا : مثال 3 )0 إذا كانت x 4 فإن 4 6 الفرض في العبارة الشرطية صحيح لكن النتيجة خاطئة وهذا المثال المضاد يثبت أن العبارة الشرطية خاطئة. ال تقع في األردن.أذن العبارة ( الفرض صحيح أما النتيجة فهي خاطئة ألن الرياض الشرطية خاطئة. ( عندما يكون الفرض صحيحا و النتيجة الخميس فالعبارة الشرطية صحيحة. صحيحة أيضا ألن يوم الجمعة بعد يوم 3( يمكن أن يكون الحيوان ثورا. الفرض في العبارة الشرطية صحيح إال النتيجة أن خاطئة وهذا المثال المضاد يثبت أن العبارة الشرطية خاطئة. 90 والعبارة الشرطية التي العبارة الشرطية صحيحة. 4( صحيحة الفرض خاطئ ألن قياس الزاوية القائمة يكون فيها الفرض خاطئا تكون دائما صحيحة لذا فهذه
:يتأي اميف نيترابع لكل باوصلا ةميق دجوأ )5 p q p q q p p q p q P نيترابعلا p q p qو نيتئفاكتم ريغ )6 p q p q q P
p q p q p q p q p q العبارتين و غير متكافئتين اكتب العكس والمعكوس والمعاكس اإليجابي لكل من العبارتين الشرطيتين اآلتيين ثم حدد ما إذا كان أي منها صحيحا أو خاطئا وأعط مثال مضاد إذا كان خاطئا : مثال 4 صحيحة. العكس: إذا كان العدد يقبل القسمة على 4 فإنه يقبل القسمة على )7 4 صحيحة. المعكوس: إذا كان العدد ال يقبل القسمة على فإنه ال يقبل القسمة على 4 المعاكس خاطئة اإليجابي: أذا لم يكن العدد يقبل القسمة على فإنه ال يقبل القسمة على مثال مضاد: العدد 6 ال يقبل القسمة على ولكنه يقبل القسمة على. - العكس: إذا كان العدد صحيحا فإنه عددا كليا خاطئة. مضاد: 3 مثال )8 - المعكوس: إذا لم يكن العدد كليا فإنه ليس عددا صحيحا خاطئة. مضاد: 3 مثال المعاكس اإليجابي: إذا لم يكن العدد صحيحا فإنه ليس عددا كليا صحيحة. حدد الفرض والنتيجة في كل من العبارات الشرطية اآلتية: مثال الفرض: الزاويتان متجاورتان. النتيجة: للزاويتان ضلع مشترك. )9 قائد. أنت الفرض: النتيجة: سوف اتبعك. )0 x 5 3x الفرض 4 النتيجة: )
( الفرض: الزاويتان متقابلتان بالرأس. النتيجة: الزاويتان متطابقتين. اكتب كل عبارة شرطية مما يأتي على صورة)إذا كان...فإن...(: مثال 3( إذا اشتريت خمس قوارير فإنك تحصل على قارورة مجانية. إذا حضرت الحفل فإنك تحصل على هدية. إذا تقاطع مستويان فإن تقاطعهما مستقيم. إذا كان الشكل دائرة فإن مساحته تساوي r )4 )5 )6 إذا كانت الزاوية قائمة 90 فإن قياسها )7 44 سيليزية. كيمياء: 8( إذا كانت المادة فسفور فإنها تنصهر عند أحياء: 9a) إذا جرى الماء على سطح األرض فإنه يصب في المسطحات المائية. أعادت إذا النباتات الماء إلى الهواء فإن ذلك يتم عن طريق النتح. (9b أعادت إذا المسطحات المائية الماء إلى الهواء فإن ذلك يتم عن طريق التبخر. (9c حدد قيمة الصواب لكل عبارة شرطية فيما يأتي: مثال 3 30( خاطئة العدد 9 فردي ولكنه ال يقبل القسمة على 5.الفرض في العبارة الشرطية صحيح لكن النتيجة خاطئة. وهذا المثال المضاد يثبت أن هذه العبارة الشرطية خاطئة. 3( صحيحة الفرض خاطئ ألن األرنب ليس حيوانا برمائيا والعبارة الشرطية التي يكون فيها الفرض خاطئا تكون صحيحة دائما إذا هذه العبارة الشرطية صحيحة.
3( صحيحة الفرض خاطئ ألن جدة ال تقع في اليمن والعبارة الشرطية التي يكون فيها الفرض خاطئا تكون صحيحة دائما إذا هذه العبارة الشرطية صحيحة. 33( صحيحة الفرض خاطئ. ألن مزج اللونين األحمر باألزرق ينتج اللون البنفسجي. والعبارة الشرطية التي يكون فيها الفرض خاطئا تكون صحيحة دائما إذا هذه العبارة الشرطية صحيحة. الزاويتان متطابقتان غير إنهما غير متقابلتان بالرأس 34( خاطئة الفرض في العبارة الشرطية صحيح إال هذه العبارة الشرطية. أن النتيجة خاطئة والمثال المضاد يثبت خطأ 35( خاطئة يمكن أن يكون الحيوان صقرا.الفرض في العبارة الشرطية صحيح ولكن النتيجة خاطئة لذا فالعبارة الشرطية خاطئة والمثال المضاد يثبت خطأ هذه العبارة. 36( صحيحة الفرض خاطئ ألن لون الموز ال يمكن أن يكون أزرق. والعبارة الشرطية التي يكون فيها الفرض خاطئا تكون صحيحة دائما إذا هذه العبارة الشرطية صحيحة. طبيعة: استعمل العبارة أدناه لكتابة كل من العبارات الشرطية اآلتية: 37( عبارة شرطية: إذا ظهرت على جسم الحيوان خطوط فإنه يكون حمارا وحشيا.خاطئة ظباء الدكدك على أجسامها خطوط. 38( عكس العبارة الشرطية: إذا كان الحيوان حمارا وحشيا فإنه تظهر على أجسامه خطوط صحيحة. 39( معكوس العبارة الشرطية: إذا لم تظهر على جسم الحيوان خطوط فإنه ليس حمارا وحشيا صحيحة. مثال مضاد: الدكدك 40 (المعاكس اإليجابي للعبارة الشرطية: إذا لم يكن الحيوان حمارا وحشيا فال تظهر ع ىل جسمه خطوط خاطئة. )4
p q q p q p p q p q q p نيتئفاكتم ريغ نيترابعلا ايقطنم )4 p q p q q p q p p q p q q p
نيتئفاكتم ريغ نيترابعلا ايقطنم )43 p q r q r r q p p q r p q r q p نيتئفاكتم ريغ نيترابعلا ايقطنم
)47 اكتب العكس والمعكوس والمعاكس اإليجابي لكل من العبارات الشرطية اآلتية: مثال 4 44( العكس: إذا كنت تعيش في السعودية فإنك تعيش في الدمام خاطئة. يمكن أن تكون في جدة. المعكوس: إذا لم تكن تعيش في الدمام فإنك ال تعيش في السعودية خاطيء:يمكن أن تعيش في الرياض. المعاكس اإليجابي: إذا لم تكن تعيش في السعودية فإنك ال تعيش في الدمام صحيح. 45( العكس: إذا كان الطائر ال يستطيع الطيران فإنه نعامة خطأ.يمكن أن يكون الطائر بطريقا. المعكوس: إذا لم يكن الطائر نعامة فإنه يستطيع الطيران خطأ يمكن أن يكون الطائر بطريقا. المعاكس اإليجابي: إذا أستطاع الطائر الطيران فإنه ال يكون نعامة.صحيح 46( العكس: إذا كان مستطيال فإنه مربع.خاطئة فالمستطيل ال تكون جميع أضالعه متطابقة. المعكوس: إذا لم يكن الشكل مربع فإنه ال يكون مستطيل.خطأ يمكن أن يكون الشكل مستطيل حتى إن لم يكن مربع. المعاكس اإليجابي: إذا لم يكن الشكل مستطيل فال يمكن أن يكون مربعا صحيح. العكس: المعكوس: المعاكس إذا كان للقطع المستقيمة الطول نفسه فإنها تكون متطابقة.صحيح إذا لم تكن القطع المستقيمة متطابقة فإنها ال اإليجابي: متطابقة.صحيح. يكون لها الطول نفسه.صحيحة. إذا لم يكن للقطع المستقيمة الطول نفسه فإن هذه القطع التكون 48( العكس: إذا كان قياس إحدى زوايا المثلث 90 فإن المثلث قائم الزاوية صحيح المعكوس: إذا لم يكن المثلث قائم الزاوية فإنه ال يحوي زاوية قياسها 90.صحيح. المعاكس اإليجابي: إذا كان المثلث ال يحوي زاوية قياسها 90 فإنه ال يكون مثلث قائم الزاوية.صحيح. استعمل أشكال فن أدناه لتحديد قيمة الصواب لكل من العبارات الشرطية اآلتية. تبريرك: وفسر
49( خاطئة المنطقة الزرقاء في شكل فن تحتوي الدوال غير الخطية وغير التربيعية. 50( خاطئة تحتوي المنطقة الخضراء في شكل فن حيوانات ثديية وبحرية في الوقت نفسه. 5( صحيحة ال توجد منطقة مشتركة بين المنطقتين اللتين تمثالن األشجار المتساقطة األوراق واألشجار الدائمة الخضرة. 5a) تمثيالت متعددة: منطقيا إجابة ممكنة إذا كنت تسكن مدينة جدة فأنت تسكن منطقة مكة المكرمة وإذا كنت تسكن منطقة مكة المكرمة فإنك تسكن المملكة العربية وإذا كنت تسكن المملكة العربية فإنك تسكن في قارة أسيا. 5b) بيانيا c 5c) منطقيا : إذا كنت تسكن في مدينة جدة فإنك تسكن في قارة آسيا.نعم صحيح. 5d) إذا كانت a صحيحة فإن c صحيحة. إذا كنا نعلم أن a صحيحة فإننا نعلم أن b صحيحة وإذا كنا نعلم أن b صحيحة فإن صحيحة أيضا إذا عندما تكون a صحيحة فإن c تكون صحيحة. 53( اكتشف الخطأ: إجابة ممكنة ماجد عندما يكون الفرض خاطئا في العبارة الشرطية تكون العبارة دائما صحيحة.
54( تبرير: نعم بما أن النتيجة خاطئة فيجب أن يكون عكس العبارة صحيح والعكس والمعكوس متكافئان منطقيا وعليه يكون المعكوس صحيحا. 55( مسألة مفتوحة: إجابة ممكنة إذا كان العدد يقبل القسمة على 0 فإن للطيور ريشا حتى يكون العاكس والمعكوس والمعاكس اإليجابي جميعها صحيحة يجب أن يكون الفرض والنتيجة صحيحين أو خاطئين معا. 56( تحد: الفرض للمعكوس هو p~ : لم تدرك تكبيرة اإلحرام مع األمام النتيجة للمعكوس هي q~ : ذهبت إلى المسجد متأخرا إذن العبارة الشرطية A هي: q p إذا أدركت تكبيرة اإلحرام مع األمام فإنك ذهبت إلى المسجد مبكرا وعكس العبارة Aهو q p إذا ذهبت إلى المسجد مبكرا فإنك ستدرك تكبيرة اإلحرام مع اإلمام والمعاكس االيجابي للعبارة A هو ~q ~p إذا لم تذهب إلى المسجد مبكرا فإنك لن تدرك تكبيرة اإلحرام مع األمام. 57( اكتب: بما أن العبارة الشرطية والمعاكس االيجابي متكافئتان منطقيا فإن لهما قيمة الصواب نفسها. العكس والمعكوس للعبارة الشرطية متكافئان منطقيا ولهما قيمة الصواب نفسها ويكون للعبارة الشرطية ومعاكسها االيجابي نفسها قيمة صواب العكس والمعكوس أو يكون لهما عكس قيمة صواب العكس والمعكوس. A )58 )59 جبر: B 0a 5ab 5a ( a 3b) 4a 9b ( a 3b )( ) 5a a 3b ( a 3b)
:ةيتلآا ةبكرملا تارابعلا نم لكل باوصلا لودج ئشنأ (60 (6 (6 (63 ىلع ادمتعم انيمخت بتكا :يتأي امم لك يف ةاطعملا تامولعملا )64 J,H,K طاقنلا ىلع تسيل ةماقتسا.ةدحاو R,S, )65 ىلع عقت ةماقتسا.ةدحاو q p Q p q p q Q p p q p Q p p q ~q ~p q p
)66 ABCD مستطيل. )67 طائرة ورقية: BC CD,BD CA,BA DA جبر:حدد العملية التي استعملتها لتحويل المعادلة إلي المعادلة 68( قسمة كال الطرفين على 8 69( إضافة 3x لكل من الطرفين. 70( ضرب كال الطرفين في 3
اكتب كل عبارة شرطية ثنائية مما يأتي على صورة عبارة شرطية وعكسها. ثم حدد ما إذا كانت العبارة الشرطية الثنائية صحيحة أم خاطئة. إذا كانت مجموع قياس زاويتين 90 فإن الزاويتان متتامتان ( العبارة الشرطية: صحيحة. صحيحة. 90 إذا كان العكس: الزاويتان مجموع فإن متتامتان قياسهما إذا كان اليوم هو الجمعة فإنه ال يوجد دوام في المدارس ( العبارة الشرطية: صحيحة. العكس: إذا لم يكن هناك دوام في المدارس فإن اليوم هو الجمعة. خاطئة ألنه ال في المدارس يوم الخميس أيضا. دوام إذا 3( العبارة الشرطية: كان المستقيمين غير أفقيين فإنهما مستقيمان متقاطعان صحيحة. العكس: إذا كان المستقيمان المتوازيان ال يتقاطعان. متقاطعان فإنهما غير أفقيين. خاطئة المستقيمان الرأسيان )4 العبارة الشرطية: إذا كان = x فإن x = 4 = x. صحيحة العكس: إذا كان 4 = x فإن
التبرير A) االستقرائي. B) التبرير األستنتاجي. غير صحيحة قد تقع النقاط A,B,C في المستوىG وتكون على واحدة. استقامة (A B) صحيحة.قانون الفصل المنطقي. تحقق من فهمك: 3( صحيحة يقع هذا الشكل في دائرة المربعات والتي داخل تقع دائرة المضلعات لذا تكون النتيجة صحيحة.
مثاالن إضافيان: ( خاطئة يمكن أن يكون الشكل مستطيل. 3( من المعطيات جميع المثلثات متطابقة األضالع تكون حادة الزوايا فالنتيجة صحيحة. تحقق من فهمك)ص 6 (: G )4 (5 قانون القياس المنطقي AM = MB
أم التبرير االستقرائي في كل مما يأتي: مثال حدد ما إذا كانت النتيجة قائمة األستنتاجي 5 (التبرير األستنتاجي. 0 (التبرير االستقرائي. حدد ما إذا كانت النتيجة صحيحة أم ال فيما يأتي اعتمادا على المعطيات فسر تبريرك: مثال (صحيحة قانون الفصل المنطقي. (غير صحيحة قد يكون فيصل مرهقا بسبب تمرين رياضي شاق. حدد ما إذا كانت النتيجة صحيحة أم ال فيما يأتي اعتمادا على المعطيات فسر تبريرك باستعمال أشكال فن: مثال 3 (غير صحيحة يمكن أن يكون الشاطئ الجنوبي داخل دائرة الشاطئ العام أو خارجها. 6 (صحيحة يقع عبد هللا ضمن مجموعة الطالب الذين اجتازوا اختبارات القبول وتقع هذه الدائرة داخل الدائرة التي تمثل الطالب الذين قبلوا في الكلية لذا فسوف يقبل عبد هللا في الكلية.
ال( اختيار من متعدد: مثال 4 7(C إذا كان المثلث قائم الزاوية فإن زاويتيه الحادتين متتامتين. استعمل قانون الفصل المنطقي أو قانون القياس المنطقي لتحصل علي نتيجة صحيحة إن أمكن من العبارات اآلتية واذكر القانون الذي استعملته. مثال 5 8 (إذا أنهى كمال عمله فسوف يشتري مذياعا قانون القياس المنطقي. نتيجة ليس شرطا أن تكون و متقابلتين بالرأس كي تكونا متطابقتين. حدد ما إذا كانت النتيجة قائمة على التبرير األستنتاجي أم التبرير االستقرائي في كل مما مثال يأتي: التبرير استنتاجي. 5( التبرير استقرائي. 55( التبرير األستنتاجي. 50( التبرير األستقرائي. 5( اعتمادا على المعطيات: مثال حدد ما إذا كانت النتيجة صحيحة في كل مما يأتي 5( صحيحة قانون الفصل المنطقي.
غير صحيحة قد يكون الشكل مستطيال صحيحة قانون الفصل المنطقي. صحيحة قانون الفصل المنطقي )5 )56 )57 حدد ما إذا كانت النتيجة صحيحة أم ال فيما يأتي اعتمادا علي المعطيات وفسر تبريرك باستعمال أشكال فن. مثال 3 58( صحيحة يقع يوم االثنين خارج األيام التي تنخفض فيها درجة الحرارة عن الصفر السيليزية إذا ال يمكن أن يقع ضمن األيام التي يسقط فيها الثلج إذا فا النتيجة صحيحة. )9 غير صحيحة يمكن أن يكون حمود ضمن الدائرة التي تمثل مدينة الرياض أو ضمن الدائرة التي تمثل األشخاص الذين ال يسكنون قرب الشاطئ وخارج الدائرة التي تمثل سكان مدينة الرياض.
0 (غير صحيحة يمكن أن يقع احمد ضمن دائرة الممرضين الدائرتين إذا النتيجة غير صحيحة. أو ضمن منطقة تقاطع ( األلعاب األولمبية: إذا وصل هادي صوعان خط النهاية بعد صاحب المركز األول مباشرة فسيحصل على الميدالية الفضية. استعمل قانون القياس المنطقي لتحصل على نتيجة صحيحة إن أمكن من العبارات اآلتية: إجابة ممكنة إذا حصلت شيماء على أو معدل 98% أكثر فإنه سيتم تكريمها. ) ال 3( نتيجة صحيحة. إذا لم يكن المستقيمان في المستوى متوازيين فإنهما يتقاطعان في نقطة واحدة. )4 استعمل قانون القياس المنطقي أو الفصل المنطقي لتحصل على نتيجة صحيحة إن أمكن من العبارات اآلتية: 90 مجموع قياسي يساوي و قانون الفصل المنطقي. )5 إذا كنت مثقفا فأنت من زوار المكتبة العامة قانون القياس المنطقي. )6 7( ال نتيجة صحيحة.
8( اكتب: ال يمكننا استعمال قانون القياس المنطقي ألن الفرض في العبارة الشرطية الثانية هو نفي نتيجة العبارة الشرطية األولى. وإذا ما أردنا أن نطبق قانون القياس المنطقي يجب أن تكون نتيجة العبارة األولى هي الفرض في العبارة الشرطية الثانية. 9( تحد: قانون الفصل المنطقي p q p q قانون القياس المنطقي p q q r p r مسألة مفتوحة: إذا حصل طالب الثانوية العامة على معدل 95% فما فوق فإنه يكون متميزا )30 )5( )0( إذا كان الطالب متميزا في الثانوية العامة فإنه سيبعث للدراسة في الخارج. النتيجة: الخارج. إذا حصل طالب الثانوية العامة على 95% فما فوق فإنه سيبعث للدراسة في 3( تحد: صحيحة إجابة ممكنة: إذا حقق المثلث الخاصية B فإنه يحقق نظرية فيثاغورث وإذا حقق نظرية فيثاغورث فإنه قائم الزاوية. وبا ستعمال قانون القياس المنطقي نستنتج العبارة الشرطية اآلتية: إذا حقق المثلث الخاصية B يكون قائم الزاوية والمعاكس اإليجابي لهذه العبارة هي الجملة المعطاة في السؤال.وله نفس قيمة صواب العبارة األصلية وهي صحيحة.
3( اكتب: وجه الشبه بين قانون القياس المنطقي وخاصية التعدي للمساواة أن كليهما يوظفان مفهوم أن كال من القيمتين المتكافئتين لنفس القيمة تكونان متكافئتين.واالختالف بينهما أن قانون القياس المنطقي يستعمل للحصول على نتيجة من عبارتين شرطيتين في حين تستعمل خاصية التعدي للمساواة لتحديد عالقة عددية بين قيمتين. 33( D حصل خليل على علبة عصير مجانا 34( إجابة شبكية: D 0 - - أخذ نقطتين يمر بهم المستقيم وليكن و وميل المستقيم = فرق الصادات على -4 إذن الميل = فرق السينات - -4 0 - - تسويق: 35( إذا زرت محل النجوم لصيانة الحواسيب فإنك تبحث عن السرعة واألمان. 36( هناك تميز بالسرعة واألمان.
:ةيتلآا ةبكرملا تارابعلا نم لكل باوص لودج ئشنأ (37 a bو (38 p وأ q و q p أ q q p p (39 k m و m k m m k (40 y وأ z أ z yو z y y a bو b a
جبر: (4 أوجد قيمة x في كل من األشكال اآلتية: x + x = 80 3x 80 x 80 3 60 (4 x 3x 90 5x 90 x 90 5 8
(43 x x 3x 80 6x 80 x 80 6 30 هل يمكن افتراض صحة أي العبارات اآلتية اعتمادا على الشكل المجاور فسر إجابتك: 44) نعم يشير الرمز إلى أن DAB قائمة. نعم 45) زاويتان متقابلتان بالرأس. يوجد ما ال ال 46) يدل على قياسي هاتين الزاويتين. 47 )ال ال نعلم شيء عن m ABC
الثالثة الرؤوس للسقف وبحسب المسلمة. فإن هناك A,B,C تشكل النقاط A) مستوى واحد فقط يمر بها. P,Q فيتقاطع المستويان m يتقاطع وجهي البناية في الحافة التي تمثل المستقيم B) اللذان يحتويان وجهي البناية في المستقيم m بحسب المسلمة.7 A) صحيحة دائما هناك على األقل ثالث نقاط ال مستقيمين متقاطعين. تقع على استقامة واحدة تحدد B) غير صحيحة أبدا لكي تتقاطع ثالث مستقيمات في نقطتين يجب ان يكون اثنان منهما متوازيان.
المعطيات: C تقع بين A, B AC CB AB المطلوب: أن C أثبات نقطة منتصف البرهان: من المعطيات AC CB ومن تعريف القطع المستقيمة المتطابقة فإن طول AC يساوي طول CB AB ومن تعريف نقطة المنتصف فإن C نقطة منتصف
اشرح كيف توضح الصورة صحة كل من العبارات اآلتية ثم اذكر المسلمة التي استعملتها لبيان صحة كل عبارة: مثال يتقاطع ( يشترك الوجهان األمامي واأليسر في الحرف الذي يمثل المستقيم r المستقيمان Q,P في المستقيم r فقط بحسب المسلمة.7 ( أحرف الشكل تمثل مستقيمات متقاطعة.المستقيمان n,r يتقاطعان في موقع واحد هو النقطة D.المسلمة.6 تنص على انه إذا تقاطع مستقيمان فإنهما يتقاطعان في نقطة واحدة فقط. 3( الحرف السفلي للشكل من الجهة األمامية هو المستقيم n الذي يحتوي النقاط C,D,E.والمسلمة.7 تنص على أن المستقيم يحوي على األقل نقطتين..والمسلمة.4 الجانب األيسر من الشكل المستوىP أو يحتوي النقاط A,,D )4 أن تنص على المستوى يحتوي على األقل ثالث نقاط ال تقع على استقامة واحدة. 5( النقطتان E,D واقعتان على المستقيم n وكذلك في المستوىQ والمسلمة.5 تنص على انه إذا وقعت نقطتان في مستوى فإن المستقيم الذي يحويهما يقع بكامله في هذا المستوى. المسلمة. 6( المستقيم r يحتوي النقطتين A,D تنص على انه يوجد مستقيم واحد فقط يمر بنقطتين.
حدد ما إذا كانت كل عبارة مما يلي صحيحة دائما أو صحيحة أحيانا أو غير صحيحة أبدا. وفسر تبريرك. المثال 7( صحيحة أحيانا إذا تقاطعت ثالث مستويات فيمكن أن يكون تقاطعهما نقطة مستقيم. أو 8 (غير صحيحة أبدا بسبب المسلمة.3 المستقيم يحتوي نقطتين على األقل. 9( صحيحة دائما بحسب في الشكل المجاور: المسلمة. يمر مستقيم واحد فقط بنقطتين معلومتين. المسلمة اذكر التي تثبت صحة كل من العبارات اآلتية: 0( المسلمة. أي ثالث نقاط ليست على استقامة واحدة يمر بها مستوى واحد فقط. المستقيم يحتوي نقطتين على األقل. يحتوي المستوى ثالث نقاط على األقل. المسلمة.3 المسلمة.4 ) ) برهان: 3( المثال 3 بما أن C فإن نقطة منتصف كل من AE, DB AC = CE = AE وذلك بتعريف نقطة المنتصف. من المعطيات: وأيضا DC = CB = DB AE DB ومن تعريف تطابق القطع المستقيمة AE = DB ومن خاصية الضرب للمساواة DB = AE وبالتعويض ينتج أن.AC = CB
كعك: 4( تشكل الحواف العلوية للطبقة السفلية مستقيمات متقاطعة. يتقاطع المستقيمان واحدة هي K ln, المسلمة.6 في نقطة 5( يشترك الوجهان األماميان في الحرف الذي يمثل المستقيم m ويتقاطع المستقيمان P,Q في المستقيم m فقط بحسب المسلمة.7 6( الوجه األمامي األيسر من الطبقة السفلية من الكعكة يحتوي النقاط H,K,D ويكون مستوى وبحسب المسلمة. استقامة واحدة. يمر مستوى واحد فقط في ثالث نقاط ال تقع على 7( الحرف العلوي للطبقة السفلية هو المستقيم n تقع النقاط C,D,K على هذا الحرف لذا فإنها تقع على المستقيم n تنص المسلمة.3 على أن المستقيم يحوي على األقل نقطتين. 8( الوجه األمامي األيمن من الطبقة السفلية للكعكة يحتوي النقاط G,K,E, والتي تمثل مستوى.تنص المسلمة. على انه يوجد مستوى واحد يمر في نقاط ال تقع على استقامة واحدة. ثالث أي 9( الوجه األمامي األيمن يحتوي النقطتين E, وأي مستقيم يمر بهما يقع في المستوى الذي يمثله هذا الوجه وهذا بحسب المسلمة.5
0( أحرف الطبقة السفلية تشكل مستقيمين متقاطعين. يتقاطع المستقيمان, gh في النقطة j فقط. وبحسب المسلمة.6 إذا تقاطع مستقيمان فإنهما يتقاطعان في نقطة واحدة حدد ما إذا كانت كل عبارة مما يلي صحيحة دائما أو صحيحة أحيانا أو غير صحيحة أبدا. فسر تبريرك ( صحيحة دائما.تنص المسلمة. على يمر بها مستوى واحد فقط. أن أي ثالث نقاط ال تقع على واحدة استقامة ( غير صحيحة أبدا تنص المسلمة. ع ىل فقط. أن أي نقطتين يمر بهما مستقيم واحد أن يشترط 3( صحيحة أحيانا ال تكون النقاط على استقامة واحدة حتى تقع في المستوى نفسه. 4( صحيحة دائما تنص المسلمة.5 على انه إذا وقعت نقطتان في مستوى فأن جميع نقاط المستقيم المار بهما تقع في هذا المستوى. أن أحيانا يجب تكون النقاط ليست على استقامة واحدة. 5( صحيحة برهان: 6( المثال 3 المعطيات: Y نقطة منتصف XZ YW نقطة منتصف Z XY المطلوب: ZW XZ و Z نقطة منتصف YW وبتعريف نقطة YZ ومن تعريف تطابق القطع المستقيمة البرهان: تعلم أن Y نقطة منتصف المنتصف XY YZ و ZW XY = ZW باستعمال خاصية التعدي للمساواة YZ = ZW و XY = YZ XY إذن ZW بتعريف تطابق القطع المستقيمة. 7( برهان:
المعطيات: L نقطة منتصف JK MK JL K في MK مع JKتتقاطع و LK المطلوب: MK MK JL البرهان: تعلم أن L نقطة JK ينتج أن JL LK أن و منتصف من نظرية نقطة المنتصف LK MK MK وبما أن JL إذن 8( خرائط 8a) إجابة ممكنة بما انه يوجد مستقيم واحد يمر بأي نقطتين وان الطريق )( يبدوا مستقيما يمر بالنقطتين A,B فإنه اقصر الطريقين. 8b) الطريق هو األسرع في الشكل المجاور: اذكر المسلمة التي يمكن استعمالها إلثبات صحة كل عبارة مما يأتي: أي المسلمة. نقطتين يمر بهما مستقيم واحد فقط. )9 30( المسلمة.3 كل مستقيم يحتوي نقطتين على األقل. 3( المسلمة. اي نقطتين يمر بهما مستقيم واحد فقط.
ثالث نقاط ال أي تقع على استقامة واحدة يمر بها مستوى واحد فقط. )3 المسلمة. كل مستوى يحتوي ثالث نقاط على األقل ليست على استقامة واحدة. إذا تقاطع مستويان فإن تقاطعهما يكون مستقيما. المسلمة.4 المسلمة.7 )33 )34 هندسة عمارة: 35( صمم احمد سطح منزله بحيث يكون مائال ويجب أن يكون ميل السطح على األقل 4 بوصات لكل قدم إال أن ميل سطح منزل احمد هو بوصة لكل قدم وهي اقل من 4 بوصات لكل قدم مما يعني أن الميل في التصميم غير كافي. رياضة: )36a مباراة = 8 + + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 (36b المسلمة. مباريات 36c) إذا كان هناك n فريق مشارك في البطولة فإن عدد الدور األول يساوي: n n 37( مسألة مفتوحة:
هذا الشكل يحقق المسلمتين. و.3 ألن النقطتين A,B يمر بهما مستقيم واحد فقط. وأيضا يحقق المسلمتين. و.4 ألن ثالث نقاط تقع في مستوى واحد وكذلك يحقق المسلمة.5 ألنه توجد نقطتين A,B تقعان في المستوى والمستقيم n الذي يمر بهما أيضا يقع في المستوى P 38( اكتشف الخطأ: BD و النقاط سعيد يجب أن يبدأ البرهان بالمعطيات و هي أن AB,B,A تقع على إستقامة واحدة. D تطابق 39) تبرير: صحيحة أحيانا إذا كانت النقاط ال تقع على استقامة واحدة فهناك مستوى واحد فقط يمر في هذه النقاط بحسب المسلمة. والشكل )( يوضح ذلك. أما إذا كانت النقاط تقع على استقامة واحدة فإنه يوجد عدد النهائي من المستويات التي تمر بها.يوضح شكل) ( مستويين يمران في ثالث نقاط تقع على استقامة واحدة ويمكن رسم مستويات أخرى من الدوران حول هذه النقاط الثالثة. 40( اكتب: المسلمات والنظريات يمكن أن تستعمل جميعها في البراهين. يمكن إثبات النظريات فقط ويمكن أن تفسر المفاهيم غير المعرفة من خالل األمثلة أو الوصف في حين يمكن تفسير المفردات المعرفة من خالل استعمالنا للمفردات غير المعرفة أو مفردات معرفة أخرى إما المسلمات فهي العبارات التي تقبل على أنها صحيحة دائما.
يوجد على األقل مستقيمان يحويان النقطتين نفسيهما. 6 اكبر عدد من المناطق التي تتشكل عندما تقطع ثالثة مستقيمات مختلفة دائرة. H )4 D )4 استعمل قانون الفصل المنطقي أو قانون القياس المنطقي لتحصل علي نتيجة صحيحة إن أمكن من العبارات اآلتية: 43) نتيجة. ال أقل من 90 44( m EG قانون الفصل المنطقي. اكتب العبارتين الشرطيتين على صورة )إذا كان... فإن...( 45( إذا كان الطالب متفوقا فإن اسمه يكتب في قائمة الشرف. إذا كان الشخص بطال فإنه يخشى يخسر. أن )46 حل كل من المعادالت اآلتية: 4x - 3 9 )47 4x 9 3 4x x 4 x 5. 5
)48 6 4 3 x - 4 6 3 8 3 3 8 4 x x x x )49 5 30 x, x x x x x x 30 5 6 4 6 4
اكتب تخمينا يصف في كل متتابعة مما يأتي ثم أستعمله إليجاد الحد التالي في كل منها. كل عنصر في هذا النمط ينتج من جمع العنصرين اللذين يسبقانه. ( الحد التالي: 40 ( الحد التالي: يحاط الشكل التالي في النمط بمربع أخر. أعط مثاال مضادا يبين أن كال من التخمينين اآلتيين خاطئ: إذا لم تكن A,B,C على استقامة واحدة فلن يكون ذلك صحيحا. )3 3 4 (عندما n يكون التخمين خاطئا ألن خاطئة. استعمل العبارات p,q,r لها. فسر تبريرك: لكتابة كل عبارة وصل أو فصل أدناه ثم أوجد قيمة الصواب قبل شهر يأتي 5( في األسبوع الواحد 7 أيام وصفر هو الشهر الذي محرم خاطئة ألن صفر ليس الشهر الذي يأتي قبل شهر محرم. أيام الواحد 7 6( في األسبوع وفي اليوم الواحد 4 ساعة صحيحة ألن كال من p,q صحيحة. في األسبوع الواحد 7 أيام وصفر ليس هو الشهر الذي يأتي قبل شهر محرم )7 r, صحيحة ألن كال من p صحيحة. p q q p q )8
حدد الفرض والنتيجة في كل من العبارات الشرطية اآلتية: الفرض: المضلع له خمسة أضالع. النتيجة: المضلع خماسي. )9 x 4 4x الفرض: 6 0 النتيجة: )0 90 الفرض: قياس الزاوية اقل من.النتيجة: الزاوية حادة. ) حدد قيمة الصواب لكل من العبارتين الشرطيتين اآلتيتين. ففسر تبريرك وإذا كانت خاطئة فأعط مثاال مضادا. وإذا كانت أيهما صحيحة ) صحيحة m m 80 )3 خاطئة 3, متطابقتان. استعمل أشكال فن أدناه لتحديد قيمة الصواب لكل من العبارات الشرطية اآلتية. تبريرك. وفسر 4( صحيحة: جميع المربعات مستطيالت. 5( صحيحة: المستقيمان المتعامدان يتقاطعان في حين ال يتقاطع المستقيمان المتوازيان أبدا. 6( كرة قدم: صحيحة أحرز فريق الفرسان أهدافا أكثر في المباراة النهائية فهو الفريق الفائز إذا فريق الفرسان هو من فاز بالكأس. اختيار من متعدد: C إذا كنت أحد طالب المدرسة الثانوية فإن عمرك يؤهلك لقيادة السيارة. )7 حدد ما إذا كانت كل عبارة مما يأتي صحيحة دائما أو صحيحة أحيانا أو غير صحيحة أبدا. وفسر تبريرك. 8( صحيحة أحيانا تنص المسلمة.4 على أن المستوى يحوي على األقل ثالث نقاط ال تقع على استقامة واحدة. 9( صحيحة دائما تنص المسلمة. على أن كل نقطتين يمر بهما مستقيم واحد فقط. 0( غير صحيحة أبدا تنص المسلمة.3 على أن كل مستقيم يحتوي نقطتين على األقل.
اذكر الخاصية التي تبرر كال من العبارتين اآلتيتين:. a c b c a b للمساواة الجمع التي تنص على إذا كان فإن A) خاصية b a a b التماثل للمساواة التي تنص على إذا كانت فأن B) خاصية (C ( معطيات( x 3 5 x 3 3 5 3 )خاصية الجمع للمساواة( x 8 )التبسيط( x 4 )خاصية القسمة للمساواة( اكتب برهانا ذا عمودين إلثبات صحة كل من التخمينين اآلتيين: 0 5x 8 A) المعطيات: المطلوب: x 3 البرهان: العبارات)المبررات( )المعطيات( )خاصية الجمع للمساواة( 0 5x 8 8 5 x ) )
8 ( 5 x ) )3 6 5x )بالتبسيط( )4 5x 5 )خاصية الطرح للمساواة( )5 )6 x 3 )خاصية القسمة للمساواة( B) فيزياء: t. u v d )معطيات( )خاصية القسمة للمساواة( u v d t )خاصية الضرب للمساواة( u v d t u v )بالتبسيط( d t )خاصية الطرح للمساواة( d - v u t u d - v )خاصية التماثل للمساواة( t A B المعطيات: (3A 37 ma
37 المطلوب: mb البرهان: العبارات )المبررات( 37 و ma )المعطيات( A B ) ma mb )تعريف تطابق الزوايا( ) 37 )خاصية التعويض للمساواة( mb )3 mb )خاصية التماثل( 37 )4 CD E المعطيات: (3B 3y 9 CD, 5 E المطلوب: Y 8 البرهان: العبارات )المبررات( CD )المعطيات( E ) CD )تعريف تطابق القطع المستقيمة( E ) 3y 9 5 )خاصية التعويض للمساواة( )3 3 y 4 )خاصية الجمع للمساواة( )4 )5 8 = y )خاصية القسمة للمساواة(
اذكر الخاصية التي تبرر كل عبارة مما يأتي: مثال ( خاصية التماثل للمساواة. )معطيات( )خاصية التوزيع( )خاصية الطرح( ) x 5 x 0 x 0 x )خاصية القسمة( أكمل البرهان اآلتي : العبارات: مثال y 3 3 المبررات: خاصية الضرب بالمساواة )3 (a (b y العبارات: 9 المبررات: التبسيط (c مثاالن 3, 4 برهان: اكتب برهانا ذا عمودين إلثبات صحة كل من التخمينين اآلتيين: 4 4 x 3 5x x )4 المعطيات: المطلوب: البرهان: العبارات )المبررات( 4x خاصية التوزيع 5x 4 ) 4 x خاصية الجمع للمساواة
خاصية 4 الطرح للمساواة x x خاصية التبسيط )5 AB x 7 المعطيات: CD المطلوب: البرهان: العبارات )المبررات( AB )معطيات( CD ) AB )تعريف تطابق القطع المستقيمة( CD ) 4x 6 )بالتعويض( )3 4x 8 )خاصية الجمع للمساواة( )4 )خاصية القسمة للمساواة( x 7 )5 6a) صحة: ) ) 0. 75 0 a البرهان: ) 0 a 0. 75 3) a 0 0. 75
4) a 0 0. 75 5) 0 a 0. 75 6) 0 a 0. 75 a 0 53 0. 75 a 0 04 a 6 6b) عمره 6 سنة اذكر الخاصية التي تبرر كل عبارة مما يأتي: المثال 7( خاصية الطرح للمساواة. 8( خاصية الضرب للمساواة. 9( خاصية التوزيع للمساواة. التوزيع 0( خاصية للمساواة. )معطى( )خاصية التوزيع( ) 4 x 5 x 4x 0 x 4x )خاصية الجمع ) x 0 3x )خاصية الطرح(
x خاصية القسمة 3 اذكر الخاصية التي تبرر كل عبارة مما يأتي: ( خاصية التعدي 3( خاصية االنعكاس. الضرب 4( خاصية للمساواة. 5( خاصية التعويض. 6( خاصية التعدي للمساواة أكمل البرهانين اآلتيين: المثاالن 3, )7 العبارات المبررات a) معطيات 8 3x 4 3 ( a b) خاصية الضرب للمساواة c) بالتبسيط 8 3x 4 4 3 4 8 3x 8 ( b (c d) خاصية الطرح للمساواة 3x 0 (d e) خاصية القسمة للمساواة x 40 (e 8( علوم: d vt )معطى( at
d vt at )خاصية الضرب للمساواة( الطرح )خاصية للمساواة( at d vt a )خاصية القسمة للمساواة( d vt t اكتب برهانا ذا عمودين إلثبات صحة كل من التخمينين اآلتيين: المثال 3 )9 المعطيات: n 3 المطلوب: n 36 البرهان: العبارات )المبررات( )معطيات( n 3 ) )خاصية الضرب للمساواة( 3 n 3 3 ) n 36 )بالتبسيط( )3 )0 3r 4 r 7 6 المعطيات: المطلوب: البرهان: العبارات)المبررات( 3r )معطيات( 4 )
)خاصية الضرب للمساواة( 3r 4 ) 6r )بالتبسيط( 8)3 )خاصية الطرح للمساواة( )خاصية القسمة للمساواة( 6r 7 r 7 6 )4 )5 a( علوم البرهان: العبارات )المبررات( PV )معطيات( nr ) )خاصية القسمة للمساواة( )خاصية التعويض للمساواة( التماثل )خاصية للمساواة( PV nr nr nr PV nr كلفين خاصية التعويض للمساواة. PV nr 305 ) )3 )4 (b PV 5 305 nr 0. 08 برهان: اكتب برهانا ذا عمودين إلثبات صحة كل من التخمينات اآلتية: D ) المعطيات: EG المطلوب: x 0 البرهان: العبارات )المبررات( D )معطيات( EG )
خ) D )تعريف تطابق القطع المستقيمة( EG ) x )خاصية التعويض للمساواة( 9 )3 0 x )خاصية الجمع للمساواة( )4 0 x اصية القسمة للمساواة( )5 6(0 x )خاصية التماثل للمساواة( AB )3 المعطيات: AC المطلوب: x 4 البرهان: العبارات )المبررات( AB )معطيات( AC ) AB )تعريف تطابق القطع المستقيمة( AC ) 3x )خاصية التعويض للمساواة( 5 5x 7 )3 8 )خاصية الطرح للمساواة( x )4 )خاصية القسمة للمساواة( )خاصية التماثل للمساواة( 4 x x 4 )5 )6 Y )4 المعطيات: Z x 00 المطلوب : البرهان: العبارات )المبررات( Y )معطيات( Z ) my m )تعريف تطابق الزوايا( Z ) x )خاصية التعويض للمساواة( 0 x 90 )3 0 x )خاصية الطرح للمساواة( 90 )4
00 x )خاصية الجمع للمساواة( )5 )6 00 x )خاصية التماثل للمساواة( MPN QPN x 6 (5 المعطيات: المطلوب: البرهان: العبارات )المبررات( MPN )المعطيات( QPN ) mmpn m )تعريف تطابق الزوايا( QPN ) x )خاصية التعويض للمساواة( 6 x 0 )3 6 x )خاصية الطرح للمساواة( )4 )5 6 x )خاصية التماثل للمساواة( 6a) كهرباء: V P I V P I المعطيات: المطلوب: البرهان: العبارات )المبررات( V )معطيات( P I )5
. V )خاصية الضرب بالمساواة( P. I )بالتبسيط( V P I )0 ) (6b V P I V P I المعطيات: المطلوب: البرهان: العبارات )المبررات( V )معطيات( P I V.. P )خاصية الضرب للمساواة( I )5 )0 ) P V )بالتبسيط( I 7( تمثيالت متعددة: 7a) حسيا :
7b) جدوليا : 3 S حجم المكعب = طول الضلع )S( 0 8 56 الحجم) V ( 8 3 = 3 508 =4 50 = 3 8 3 6 = 6 لفظيا : إذا تضاعف طول ضلع المكعب فإن حجمه يصبح 8 أمثال الحجم األصلي. (7c 8V = (s)³ جبريا : (7d منطقيا : المعطيات: مكعب طول ضلعهs وحدة وحجمه V وحدة مكعبة (7e المطلوب: (s)³ 8V = البرهان: العبارات )المبررات( طول ضلع المكعب s وحدة. )معطيات( )5 0( حجم المكعب V وحدة مكعبة. )معطيات( ) s³ V = )صيغة حجم المكعب( ) s.s.s V = )تعريف األس(.s..s..s) V.0.0.0 = )خاصية الضرب للمساواة( (s)(s)(s))6 8V = )بالتبسيط( (s) 3 8V = )تعريف األس( )7
8) تحد: AP x 3 PB المعطيات: 3 x AB 0. 5 AP AB 3 المطلوب: البرهان: العبارات )المبررات( )5 PB 3 x )معطيات( AP x 3, AB 0. 5 x )خاصية التعويض للمساواة( 3 3x 0. 5 )0. )خاصية الضرب للمساواة( x 3 3x 0 5 ) )بالتبسيط( x 3 3x ) x )خاصية التوزيع( 3 3x 4x )بالتبسيط( 6 3x ) )6
7x 7 )بالتبسيط( )7 7x 7 7 7 )خاصية الطرح للمساواة( 7x 4 )بالتبسيط( )8 ) x )خاصية القسمة للمساواة( )5 AP 3 )خاصية التعويض للمساواة( )55 AP )بالتبسيط( 43 )50 7)5 AP )بالتبسيط( )خاصية التعويض )بالتبسيط( للمساواة( AP AB 7 0. 5 AP AB 3 )5 )5 تبرير: a b b 0 b فإن 0 a 0( صحيحة دائما إذا كان b للمساواة( )خاصية الطرح )بالتعويض( b ولذا تكون هذه العبارة صحيحة دائما. a ( صحيحة أحيانا إجابة ممكنة إذا كان = a b وكان a فإن b b وعندما a فإن و ألن الجذر التربيعي غير سالب عندئذ تكون العبارة غير صحيحة ولذلك فالعبارة صحيحة أحيانا. 3) تحد: (3a = 7 = 6, 5 + 9 = 8, 7 + 5 3 + هذه أمثلة توضح التخمين ولكنها ال تثبته وذلك لن األعداد الفردية المذكورة ال تمثل جميع األعداد الفردية وإنما هي أمثلة فقط.
(3b أمثلة: = 7 (4) = 5, (3) = 3, (), mاللتين تمثلين n سوف اجمع العبارتين 3c) أن المجموع من مضاعفات العدد 0. أي عددين فرديين وأثبت m, n أن أفترض 3d) العددين الصحيحين الفرديين هما فيكون المجموع n m يساوي nm نالحظ أن كل حد يحوي العامل 0 لذا يمكن أخراجه عامال مشتركا لينتج. nm وهذه الصيغة هي المضاعفة للعدد 0 إذا هي تمثل عددا زوجيا لذا فإن مجموع عددين صحيحين فرديين هو عدد صحيح زوجي. 0( اكتب: البرهان الحر هو نوع من البراهين الذي تكتب فيه الخطوات جمال كاملة على شكل فقرة. وهذا النوع من البرهان يمثل في محتواه البرهان ذا العمودين ولكنه يختلف عنه شكال. وهذا البرهان أسهل في الكتابة من ذي العمودين. البرهان ذي العمودين العمود األول. ت كتب العبارات في عمود وتكتب المبررات في عمود آخر بجانب B ) J ) حدد ما إذا كانت كل عبارة مما يأتي صحيحة دائما أو صحيحة أحيانا أو غير صحيحة أبدا. فسر إجابتك. أما ( صحيحة أحيانا ألن المستوى يتضمن ثالث نقاط على األقل النقطة الرابعة فإما أن تقع على هذا المستوى أو على مستوى آخر.
6( غير صحيحة أبدا : مجموع الزاويتين المتكاملتين يساوي 58 إذن الزاويتان المنفرجتان ال أن يمكن تكونا متكاملتين. 7( صحيحة دائما بما في كال المستويين. أن المستقيم هو خط تقاطع المستويين فإن هذا المستقيم يقع حدد ما إذا كانت النتيجة صحيحة أم ال في كل مما يأتي اعتمادا على المعطيات مبررا إجابتك. 8( صحيحة بما أن 0 تقبل القسمة على. تقبل القسمة على 6 إذن وفق قانون الفصل المنطقي فإنها (غير صحيحة 6 7 =. والعدد. ليس عددا صحيحا ( صحيحة بما أن 8 ال يقبل القسمة إذن حسب المعاكس وقانون الفصل المنطقي فإن 8 ال تقبل القسمة على 6. للعبارة اإليجابي 5( مبان: 6 ممرات أوجد طول كل قطعة مستقيمة مما يأتي مستعينا بالشكل: S 4. 0.. 8cm )0 XY ( بما أن WX إذن X منتصف WY WY 4. 8. 4cm
( AB BC CD 3 3 4 4 in
صفحة 75 المبررات a) معطيات b) تعريف تطابق القطع المستقيمة c) مسلمة جمع القطع المستقيمة d) بالتعويض e) خاصية الطرح للمساواة f) بالتعويض g) تعريف تطابق القطع المستقيمة العبارات JL KM ( a JL KM ( b JK KL JL ( c KL LM KM JK KL KL LM ( d JK KL KL KL LM KL JK LM ( e ( f JK LM ( g 0( نجارة: المعطيات: KL MN, MN PQ PQ RS المطلوب: RS = KL
البرهان: العبارات و )المبررات( ( PQ RS KL و MN و معطيات( MN PQ KL MN و KL و MN )خاصية تطابق القطع المستقيمة( MN PQ KL PQ فإن KL MN MN إذا كان PQ للتطابق. و باستعمال خاصية التعدي RS KL RS إذا كان PQ فإن باستعمال خاصية التعدي للتطابق. RS باستعمال خاصية التماثل للتطابق. KL ومن ذلك يكون طول القطعة الخشبية األولى مساوي لطول القطعة الخشبية الرابعة. أكمل البرهان اآلتي: المثال LK )معطيات( NM, KJ MJ (a (b LJ NJ (e c) خاصية الجمع للمساواة f) التعويض g) خاصية معرفة تطابق القطع المستقيمة
0( مقص: AR DR CR BR المعطيات: المطلوب: AR DR CR BR البرهان: العبارات )المبررات( )معطيات( )تعريف تطابق القطع المستقيمة( AR CR, DR BR AR CR, DR BR )5 )0 ) BR AR DR CR )خاصية الجمع للمساواة( أكمل البرهان اآلتي: مثال )3 (3a BD C نقطة منتصف AE نقطة منتصف C (a b) تعريف نقطة المنتصف AEتعريف BD تطابق القطع المستقيمة (c
AE AC CE (d BD BC CD التعويض التعويض AC CD (e (f (g AC CD (h تطابق القطع المستقيمة المثال تبليط: (i ) AB CD, المعطيات: AB CD E AB المطلوب: E البرهان: العبارات )المبررات( CD, AB )معطيات( AB CD E )5 AB )تعريف تطابق القطع المستقيمة( CD )0 ) E AB AB )بالتعويض( AB )بالتعويض( E ) أثبت الخاصيتين اآلتيتين في النظرية )5.0(. ( خاصية التماثل للتطابق: المعطيات: AB CD CD المطلوب: AB البرهان: العبارات)المبررات(
)معطيات( )تعريف تطابق القطع المستقيمة( )خاصية التماثل للمساواة( )تعريف تطابق القطع المستقيمة( AB CD )5 AB CD )0 CD AB ) CD AB ) 6( خاصية االنعكاس للتطابق: المعطيات: AB AB المطلوب: AB البرهان: العبارات)المبررات( AB )معطيات( )5 )خاصية االنعكاس للمساواة( AB AB )0 ( AB AB )تعريف تطابق القطع المستقيمة( برهان: 7( أثبت كال مما يأتي: المعطيات: VZ VY, WY XZ VW المطلوب: VX البرهان: العبارات )المبررات( )المعطيات( )تعريف تطابق القطع المستقيمة( VZ VY, WY XZ VZ VY, WY XZ )5 )0 VZ VX XZ, VY VW W Y )مسلمة جمع القطع المستقيمة( ) )بالتعويض( )بالتعويض( VX XZ VW WY VX WY VW WY ) )
VX )خاصية الطرح للمساواة( VW )6 VW )خاصية التماثل للمساواة( VX )7 VW VX )تعريف تطابق القطع المستقيمة( )8 CD G 8( المعطيات: E نقطة منتصف D CE المطلوب: EG البرهان: العبارات)المبررات( CD G نقطة منتصف D )معطيات( E )5 )0 E DE )تعريف نقطة المنتصف( CD )تعريف تطابق القطع المستقيمة( G ) الجمع )خاصية ) G CD DE E للمساواة( CE CD DE, EG E G )مسلمة جمع القطع المستقيمة( ) )بالتعويض( )تعريف تطابق القطع المستقيمة( CE EG )6 CE EG )7 (9a المعطيات: AC GI, E LK, AC C E GI IL LK C المطلوب: IL البرهان: العبارات)المبررات( AC GI, E LK, AC C E GI IL LK )معطيات( )5 E LK, AC GI )تعريف تطابق القطع المستقيمة( )0 ) KL AC C E AC IL )بالتعويض(
) LK AC AC C E AC AC IL )خاصية الطرح للمساواة( C E IL LK )بالتبسيط( ) )6 E C E IL )بالتعويض( C E E IL E E )خاصية الطرح للمساواة( )7 )8 IL C )بالتبسيط( C )تعريف تطابق القطع المستقيمة( IL ) لقد قست C و IL وهما متساويتا الطول إذا هما متطابقتان. (9b 55( تمثيالت متعددة: 8PC PQ (0a (0b (0c PQ يمكنك قياس طول PC ووضع عالمات على لقطع طول كل منها يساوي طول PC ثم عد القطع الناتجة. منتصف نقطة PQو PAو B C نقطة منتصف نقطة منتصف A المعطيات (0d PB 8PC المطلوب: PQ العبارات )المبررات( PB نقطة منتصف نقطة منتصف PA و C نقطة منتصف B و PQ )5 المعطيات A )تعريف BA, PA AQ, PB نقطة المنتصف( PC CB )0 PC CB PB )مسلمة جمع القطع المستقيمة( )
ب) PC PC PB )بالتعويض( ) PC )بالتبسيط( PB ) )6 PA PB BA )مسلمة جمع القطع المستقيمة( PA)7 PB PB التعويض( )بالتبسيط( )بالتعويض( )بالتعويض( PB PA )8 PC PA ) 4PC PA )5 )مسلمة جمع القطع المستقيمة( )بالتعويض( PA AQ PQ PA PA PQ )55 )50 PA )بالتبسيط( PQ )بالتعويض( 4PC PQ (3 (4 8PC )بالتبسيط( PQ (5 55( اكتشف الخطأ: AB CD و CD P كالهما اخطأ واإلجابة بما أن هي الصحيحة AB فإن P باستعمال خاصية التعدي للتطابق.
50( تحد: المعطيات: ABCD مربع AC المطلوب: BD البرهان: العبارات )المبررات( مربع ) ABCD معطيات( )5 AB BC CD DA )تعريف المربع( )0 (BC)²) (BD)² = (AB)² + (AD)², (AC)² = (AB)² + )نظرية فيثاغورث( (BC)²) (BD)² = (AB)² + )بالتعويض( (BD)²) (AC)² = )خاصية التعدي للمساواة( )خاصية الجذر التربيعي( AC BD )6 )بالتعريف يجب أن يكون الطول موجبا ( AC BD )7 )تعريف الجذر التربيعي( )تعريف تطابق القطع المستقيمة( AC BD )8 AC BD ) 5( اكتب: ال ألن التطابق صفة للقطع المستقيمة والقطع المستقيمة ال أطوال القطع المستقيمة هي أعداد يمكننا جمعها. يمكن جمعها في حين أن 5( تبرير: AC BD CE خطأ إذا كان 0 DE 3, CD 7, BC 3, AB 7 فإن
5( مسألة مفتوحة: AC AB BC B )56 C )57 برهان: 58( اكتب برهانا ذا عمودين. البرهان: العبارات و)المبررات( )معطيات( 3 x 57 )5 6x )خاصية التوزيع( 3 57 )0 6x )خاصية الجمع( 60 ) x )خاصية القسمة( 60 ) 6 x 0 ) 5( نماذج: و ينتج 50 مستقيما من تقاطعهما
0( أنماط: جبر: أوجد قيمة x في كل مما يأتي: x x 5 8 90 3x 90 9 x 9 3 x 7 00( بما أن الزاوية قائمة إذن قياسها = 8x 4 4x 80 x 4 80 x 80 4 76 x 76 x 8 x 4x 90 6x 90 x 90 6 x 5 بما أن الزاوية مستقيمة إذن قياسها = 58 بما أن الزاوية قائمة إذن قياسها = )0 )0
)5 m + m + m 3 = m ABC )مسلمة جميع الزوايا( (m = 90 ) + 90 + m 3 = = m 3 + 3 )بالتبسيط( = - 3 3 m 3 - + 3 )خاصية الطرح للمساواة( = 8 m 3 )بالتبسيط( صفحة 36 )0 بما أن 7 و 6 متجاورتان على مستقيم إذن مجموعهما = 58 = 80 m 7 m 6 + )نظرية الزاويتان المتكاملتان( = 80 + 5x 3x + 3 + بالتعويض = 80 44 + 8x بالتبسيط 44 80 = 44 44 + 8x خاصية الطرح للمساواة
= 36 8x بالتبسيط خاصية القسمة للمساواة بالتبسيط 8x 36 8 8 x = 7 + 3 3x m 6 = معطيات = 83 3 + 3(7) = m 6 بالتعويض = 83 m 6 بالتبسيط + 5x m 7 = معطيات 7 m بالتعويض = 5(7) + = 97 m 7 بالتبسيط صفحة 37 ) وABE المعطيات: DBC قائمتان. ABD المطلوب: EBC البرهان: و ABE قائمتان )معطيات( DBC)5 90)0 = m DBC m ABE = 90, )تعريف الزاوية القائمة( ABD) DBE, متتامتان متتامتان DBE, EBC )نظرية الزاويتين المتتامتين( ABD )نظرية تطابق المتممات( EBC (4
صفحة 33 )نظرية الزاويتان المتقابلتان بالرأس( 3 4 )4 m3 )تعريف تطابق الزوايا( m4 4 8x 6x + = )بالتعويض( 4 + 4 8x 6x + + 4 = )خاصية الجمع للمساواة( 6x + 6 = 8x )بالتبسيط( 6x + 6 6x = 8x 6x )خاصية الطرح للمساواة( = x 6 )بالتبسيط( = x 8 )خاصية القسمة للمساواة( + 6x m 3 = )معطى( + 6(8) = m 3 )بالتعويض( = 50 m 3 )بالتبسيط( 4 m 3 m = )نظرية الزاويتان المتقابلتان بالرأس( = 50 m 4 )بالتعويض(
أوجد قياس الزوايا المرقمة في كل مما يأتي واذكر النظريات التي تبرر حلك. مثال m m3 90 x x 6 90 x 6 90 06 x 06 53 m 53 m3 x 6 53 6 m3 37 x x 3 7 80 3x 3 x 7 80 4x 4 80 4x 76 x 76 4 x 44 m4 3 44 m4 9 m5 44 7 m5 5 و 5 m زاويتان متجاورتان مجموعهما 58 )5 )0 m 4
( موقف: مثال المعطيات: 6 المطلوب: 4 8 البرهان: )5 6 )معطيات( m 6 + m 8 = 80 )0 = 80 m 4 m + )نظرية الزاويتين المتكاملتين( = 80 m 8 m + )بالتعويض( ) m m + m 4 = 80 m ) m m m + m 8 = 80 )خاصية الطرح للمساواة( m 4 = 80 m ) m m 8 = 80 )بالتعويض( m 8)6 m 4 = )بالتعويض( ( تعريف تطابق الزوايا( 8 4 )7
( برهان: المثال 3 العبارات المبررات, و متتامتان 3 متتامتان a) معطيات, 3 ( a تعريف b) الزاويتين المتتامتين m m3 90 (b m m3 90 c) بالتعويض m m3 m m3 (b d) خاصية الطرح للمساواة m m (d e) تعريف تطابق الزوايا (e برهان: ( المثال 4 المعطيات 7 4 المطلوب: 6 5 البرهان: العبارات و)المبررات( )5 4 7 )معطيات( 4 5, 6 7 )نظرية الزاويتين المتقابلتين بالرأس( )0 التعدي )خاصية للتطابق( 7 5 ) ( 5 6 )خاصية التعدي للتطابق(
أوجد قياس الزوايا المرقمة في كل مما يأتي واذكر النظريات التي تبرر حلك. األمثلة -3 = 45 6 m 5 m = )مسلمة جمع الزوايا ونظرية الزاويتين المتكاملتين( )6 )7 m m3 90 8 m3 90 m3 90 8 m3 6 = 45 4 m m = )نظرية الزاويتين المتتامتين ومسلمة جمع الزوايا( )8 و m4 m )نظرية تطابق المكمالت ونظرية الزاويتين المتكاملتين( m m4 80 m 05 80 m 80 05 m 75 و m4 m5 )نظرية تطابق المكمالت ونظرية الزاويتين المتكاملتين( m5 m4 80 m5 05 80 m5 80 05 m5 75 m3 80 75 m3 05
أوجد قياس الزوايا المرقمة في كل مما يأتي واذكر النظريات التي تبرر حلك. x x 3 4 80 4x 80 4x 9 x 9 4 x 48 m9 348 m9 56 m0 48 4 m0 4 x 3 5x 5x x 3 0 3x 35 0 3x 35 x 35 3 x 45 m3 45 3 m3 3 m 4 = )نظرية الزاويتين المتكاملتين( )نظرية الزاويتين المتقابلتين بالرأس( )نظرية الزاويتين المتقابلتين بالرأس( ) )5 )55 x x 3 34 80 5x 55 80 5x 35 x 35 5 x 47
m 6 47 m 6 73 m 7 3 47 34 m 7 07 = 8 m )نظرية الزاويتين المتكاملتين ونظرية الزاويتين المتقابلتين بالرأس( برهان: اكتب برهانا ذا عمودين في كل مما يأتي: المثال 4 )50 البرهان: )المبررات( و العبارات قائمة ABC)5 )معطيات( 0(90 = m ABC )تعريف الزاوية القائمة( m CBD) m ABC = m ABD + )مسلمة جمع الزوايا( ) 90 = m CBD m ABD + )بالتعويض( متتامتان CBD) ABD, )تعريف الزاويتان المتتامتان( )5 البرهان: )المبررات( و العبارات )5 5 6 )معطيات( 0(5 m 6 m = )تعريف تطابق الزوايا( متكاملتين و 4 )تعريف الزاويتين المتجاورتين على مستقيم( ) )تعريف الزاويتين المتكاملتين( )بالتعويض( m 4 + m 5 = 80 ) m 4 + m 6 = 80 ) 6( 6, 4 متكاملتين )تعريف الزاويتين المتكاملتين(
اكتب برهانا لكل من النظريات اآلتية: )5 متجاورتين على مستقيم متكاملتين. المعطيات:, المطلوب:, برهان حر: عندما تكون الزاويتين متجاورتين على مستقيم فإن الزاوية الناتجة عنهما هي زاوية مستقيمة قياسها 80.وبالتعريف تكون الزاويتان متكاملتان إذا كان مجموع قياسهما يساوي 80.وباستعمال مسلمة جمع الزوايا = 80 m m + وبذلك تكون الزاويتين متكاملتين إذا كانتا متجاورتان على مستقيم. )5 قائمة متتامتان المعطياتABC المطلوب, البرهان: العبارات و )المبررات( قائمة ABC)5 )معطيات( 0(90 m ABC= )تعريف الزاوية القائمة( ) m m ABC = m + )مسلمة جمع الزوايا( ) 90 = m m + )بالتعويض(
(, متتامتان )تعريف الزاويتين المتتامتين( )56 A A A المعطيات: المطلوب: البرهان: العبارات و)المبررات( A)5 )معطيات( )خاصية االنعكاس للمساواة( ma m A )0 A )تعريف تطابق الزوايا( A ) )57 المعطيات 3, المطلوب 3 البرهان: )5 3, )معطاة( m 3)0 m = m,m = )تعريف تطابق الزوايا( (3 m m = )خاصية التعدي للمساواة( ( 3 )تعريف تطابق الزوايا(
58( برهان: المعطيات:,, 3, 4 ناتجة عن تقاطع مستقيمين المطلوب: = 360 m 4 m + m + m 3 + البرهان: ناتجة عن تقاطع مستقيمين )معطاة( 4, 3,, )5 )0 80 = m 4 m + m = 80, m 3 + )نظرية الزاويتين المتكاملتين( ) m 3 m + m + m 3 = 80 + )خاصية الجمع للمساواة( ) m 4 m + m + m 3 + m 4 = 80 + m 3 + )خاصية الجمع للمساواة( ) 80 = 80 + m 4 m + m + m 3 + )بالتعويض( )6 360 = m 4 m + m + m 3 + )بالتبسيط( 5( طبيعة: المعطيات: 4 المطلوب: 3 البرهان : )5 4 )معطيات( 4 3, )نظرية الزاويتين المتقابلتين بالرأس( )0 ( 3 )خاصية التعدي للتطابق( ( 3 )خاصية التعدي للتطابق(
برهان: استعمل الشكل المجاور لكتابة برهان لكل من النظريات اآلتية: 0( نظرية 5.: يتقاطع المستقيمان المتعامدان ويكونان أربع زوايا قائمة المعطيات: e m المطلوب: 4 3,, قوائم البرهان: m)5 e )معطيات( قائمة 0( )تعريف التعامد( ) 90 = m )تعريف الزاوية القائمة( ( 4 )نظرية الزاويتين المتقابلتين بالرأس( ( m 4 m = )تعريف الزوايا المتطابقة( = 90 m 4 )بالتعويض( )6 7(, متجاورتين على مستقيم 4, 3 متجاورتين على مستقيم. )تعريف الزاويتين المتجاورتين على مستقيم( = 80 m 3 m + m = 80, m 4 + )نظرية الزاويتين المتكاملتين( )8 )بالتعويض( + m = 80, 90 + m 3 = 80 ) 90)5 = m 3 m = 90, )خاصية الطرح للمساواة( )55 4 3,, قوائم )تعريف الزاوية القائمة(
05( نظرية 5.5: جميع الزوايا القائمة متطابقة المعطيات:, قائمتان المطلوب: البرهان: قائمتان )5, )معطاة( =90)0 m m =90, )تعريف الزاوية القائمة( m ) m = )بالتعويض( ( )تعريف تطابق الزوايا( المستقيمان المتعامدان يكونان زوايا متجاورة متطابقة )00 نظرية :5.55 المعطيات: e m المطلوب: 3 4 البرهان: m)5 e )معطاة( )0, قائمتان قائمتان )يتقاطع المستقيمان المتعامدان ويكونان زوايا قائمة( 3, 4 4 3 )جميع الزوايا القائمة متطابقة( )
0( نظرية 5.50: إذا كانت الزاويتان متكاملتين ومتطابقتين فإنهما قائمتان. المعطيات:, متكاملتان المطلوب:, قائمتان متكاملتان البرهان: )معطيات(, )5 = 80 m m + )تعريف الزاوية المتكاملة( )0 ( m m = )تعريف الزوايا المتطابقة( = 80 m m + )بالتعويض( ) ) (80) = m )بالتعويض( )خاصية القسمة( )بالتعويض( m = 90 )6 m = 90 )7 قائمتان 8(, )تعريف الزاوية القائمة( إذا تجاورت زاويتان على مستقيم وكانتا متطابقتين فإنهما )0 نظرية :5.5 قائمتان. متجاورتين على مستقيم قائمتين المعطيات:, المطلوب:,
البرهان: 5(, متجاورتين على مستقيم = تعريف تطابق الزوايا )0 58 )تعريف الزوايا المتجاورة على مستقيم( = + ) 58 خاصية التعويض = + ) 58 )خاصية الجمع للمساواة( = ) )6 = )خاصية القسمة للمساواة( قائمتين, )7 كل منهما = 0( بندول: ABR يقسم ABCإلى BR mabc mabr mcbr بما أن ABCقائمة فإن قياسها يساوي و CBRوباستعمال مسلمة جمع الزوايا mabr mcbr وبالتعويض 90 وبالتعويض مرة أخرى 90 = m m + وبما أن = 45 m 45 + m = 90 وباستعمال خاصية الطرح للمساواة 45 45 + m = 90 45 = 45 m وبما أن m m, متساويان
mabc فإن BR يكون منصفا للزاوية بتعريف منصف الزاوية. 6a) تمثيالت متعددة: (6a DBC, JKL متتامتان (6b (6c المعطيات: ABDمتتامتان, DBC ABD JK L المطلوب : DBC JK L, متتامتان البرهان: ABD متتامتان, DBC )5 ABD )معطاة( JK L mdbc mabd )تعريف الزاويتين المتتامتين( 90 )0 ) majkl mabd )تعريف تطابق الزوايا( mdbc mjkl )بالتعويض( 90 ) (, DBC JKL متتامتان )تعريف الزاويتين المتتامتين(
في نصي النظريتان وهذا يعني أن علينا أثبات 07( تحد: وردت العبارة"أو لزاويتين متطابقتين" النظريتين في هذه الحالة المعطيات: ABC DE متممة ABC متممة DE GHI JKL المطلوب: GHI JKL البرهان: ABC DE )5 )معطيات( متممة ABC متممة DE GHI JKL )0 m DE m ABC = )تعريف تطابق الزوايا( m DE + m JKL = 90 ) = 90 m GHI m ABC + )تعريف الزاويتين المتتامتين( = 90 m JKL m ABC + )بالتعويض( ) 90 )خاصية التماثل للمساواة( = m ABC + m JKL ) m JKL)6 m ABC + m GHI = m ABC + )خاصية التعدي للمساواة(
= m ABC m ABC + m JKL )7 m ABC m ABC + m GHI )خاصية الطرح للمساواة( m JKL)8 m GHI = )بالتبسيط( ( GHI JKL )تعريف تطابق الزوايا( المعطيات: ABC DE ABC مكملة GHI DE JKL مكملة المطلوب: GHI JKL البرهان: ABC DE )5 )معطيات( مكملة ABC مكملة DE GHI JKL m DE)0 m ABC = )تعريف تطابق الزوايا( 80 ) = m GHI m DE + m JKL = 90, m ABC + )تعريف الزاويتين المتكاملتين( = 80 m JKL m ABC + )بالتعويض( ) m JKL) m ABC + m GHI = m ABC + )خاصية التعدي للمساواة( = m ABC m ABC + m GHI)6 m ABC m ABC + m JKL )خاصية الطرح للمساواة(
m GKL)7 m GHI = )بالتبسيط( GHI JKL )تعريف تطبيق الزوايا( 08( تبرير: غير صحيحة أبدا ليس كل زاويتين متجاورتين ناشئتان من تقاطع مستقيمان تكونان متجاورتين على مستقيم وإذا كانت إحدى هاتين الزاويتين حادة فسيكون قياسها أقل من وسيكون قياس مكملتها أكثر من 58 ألن ناتج طرح عدد أقل من من هو عدد اكبر دائما. من 0( اكتب: بما أن المنقلة تتضمن تدريجا للزوايا الحادة وآخر للزوايا المنفرجة فإن قياس المكملة هو القياس المقابل لقياس الزاوية المعلومة على التدريج األخر من المنقلة. A ) AE BD 08 BD BC CD 08 4 CD CD 08 4 CD 66 A + B = 90 A B 4 B 4A A 4A 90 5A 90 A 90 5 A 8 بالتقابل بالرأس B )5
0( خرائط: نعم حسب مقياس الرسم المعطى 6mi 00km = إذنCD AB = القطع المستقيمة فإن AB CD اذكر الخاصية التي تبرر كل عبارة مما يأتي: وبتعريف تطابق خاصية الطرح للمساواة. خاصية التماثل للمساواة. ) ) ( خاصية التعويض للمساواة. 6( خاصية التوزيع. المستقيم n النقطة R )7 )8 W ) S أو PR ) m, n كال من المستقيمين وذلك عند مد المستقيمات 5( نعم يقطع المستقيم L الثالثة.
اختبار المفردات: بين ما إذا كانت كل جملة مما يأتي صحيحة أو خاطئة وإذا كانت خاطئة فاستبدل بالكلمة التي تحتها خط كلمة من القائمة أعاله لتجعل الجملة صحيحة 5( خاطئة النظرية. 0( خاطئة الفرض. ( صحيحة. ( خاطئة المعكوس. ( صحيحة. 6( خاطئة المسلمة 7( صحيحة. 8( خاطئة مثال مضاد. ( خاطئة نفي. 5( صحيحة. حدد ما إذا كان أي من التخمينين اآلتيين صحيحا أو خاطئا. فأعط مثاال مضادا. فإذا كان التخمين خاطئ 55( خاطئة قد تكون الزاويتان المتكاملتين غير متجاورتان على مستقيم. 50( صحيحة. 5( منازل: حتى ال تتراكم عليها الثلوج.
استعمل العبارات p,q,r فسر تبريرك. لكتابة كل عبارة وصل أو فصل أدناه ثم أوجد قيمة الصواب لها. 5( الياردة المربعة ال تكافئ ثالثة أقدام مربعة أو مجموع قياسي الزاويتين المتتامتين يساوي 58 صحيحة. 5( يحوي المستوى ثالث نقاط ال تقع على استقامة واحدة ومجموع قياسي الزاويتين المتتامتين ال يساوي 58 صحيحة. 56( ال يحوي المستوى أي ثالث نقاط ال تقع على استقامة واحدة أو الياردة المربعة تكافئ ثالثة أقدام مربعة خاطئة. 57( حيوانات أليفة: 58 (a 5 (b 00 (c حدد قيمة الصواب للعبارتين الشرطيتين اآلتيتين تبريرك أما إذا كانت خاطئة فأعط مثاال مضادا. وإذا كانت العبارة صحيحة ففسر 58( صحيحة إذا كان العدد موجب فإن تربيعه موجب أما إذا كان العدد سالب فإن تربيع السالب تعني ضربة في نفسه مرتين وبالتالي سيعطي عدد صحيح موجب 5( صحيحة. عند رسم شكل سداسي نجد شكل جميع زواياه منفرجة. 0( اكتب العكس والمعكوس والمعاكس اإليجابي للعبارة الشرطية اآلتية: العكس: إذا كانت لزاويتين القياس نفسه فإنهما تكونان متطابقتان صحيحة. المعكوس: إذا لم تكن الزاويتان متطابقتان فال يكون لهما القياس نفسه صحيحة. المعاكس اإليجابي: صحيحة. إذا لم يكن للزاويتين القياس نفسه فإنهما ال تكونان متطابقتين.
استعمل قانون الفصل المنطقي أو القياس المنطقي لتحصل على نتيجة صحيحة إن أمكن من العبارات اآلتية واذكر القانون الذي استعملته: متوازي أضالع قانون الفصل المنطقي. )05 الشكل PQRS 00( ال نتيجة ألن قانون القياس المنطقي ال ينطبق فنتيجة العبارة األولى ليست فرضا للعبارة الثانية. 0( زلزال: صحيحة قانون الفصل المنطقي. حدد ما إذا كانت كل عبارة مما يأتي صحيحا دائما أو صحيحة أحيانا أو غير صحيحة أبدا. فسر تبريرك. 0( غير صحيح أبدا إذا تقاطع مستويان فأن تقاطعهما يكون مستقيما 0( صحيحة أحيانا إذا كانت النقاط الثالثة تقع على استقامة واحدة فإنها ستقع في عدة مستويات ولكن إذا لم تكن على استقامة واحدة فسوف تقع في مستوى واحد فقط. 06( صحيحة دائما إذا احتوى المستوى مستقيما فإن جميع نقاط المستقيم تقع في هذا المستوى. 07( صحيحة أحيانا إذا كانت الزاويتين متجاورتين فإنهما تكونان زاوية قائمة أما إذا لم تكونا متجاورتين فال تكونان زاوية قائمة. 08( عمل: 5 مصافحة
اذكر الخاصية التي تبرر كل عبارة مما يأتي: 0( خاصية التماثل للمساواة. خاصية الطرح ( للمساواة. 5( خاصية التوزيع. 0( خاصية التعدي للمساواة. ( أكمل البرهان اآلتي: العبارات المبررات معطيات خاصية التوزيع خاصية الجمع للمساواة خاصية القسمة للمساواة (a (b (c (d x 6 4 4 ( a 6x 4 4 (b 6x 66 (c x (d ( اكتب برهانا ذا عمودين: )5 9 + 5x PQ = RS, PQ = )معطيات( )0 3 x 5x + 9 = )بالتعويض( ) 3 = 9 + 4x )خاصية الطرح للمساواة( )خاصية الطرح للمساواة( )خاصية القسمة للمساواة 4x = 40 ) x = 0 ) ( اختبارات: خاصية التعدي.
م) اكتب برهانا ذا عمودين في كل من المسألتين اآلتيتين: )6 البرهان: العبارات والمبررات WY نقطة منتصف كال من, VZ )معطيات( X )5 WX )تعريف نقطة المنتصف( YX, VX ZX )0 ) ZX WX = YX, VX = )تعريف تطابق القطع المستقيمة( ) YX VX = VW + WX, ZX = ZY + )مسلمة جمع القطع المستقيمة( YX) VW + WX = ZY + )بالتعويض( WX)6 VW + WX = ZY + )بالتعويض( )7 WX VW + WX WX = ZY + WX )خاصية الطرح للمساواة( ZY)8 VW = )التبسيط( )7 البرهان: العبارات والمبررات DC)5 AB = )معطيات( BC)0 AB + BC = DC + )خاصية الجمع للمساواة( DC) AB + BC = AC, DB = BC + سلمة جمع القطع المستقيمة( AB) AB + BC = AC, DB = BC + )التعويض( DB) AC = )التبسيط( 8( جغرافيا: أستعمل مسلمة جمع القطع المستقيمة.
أوجد قياس كل زاوية فيما يأتي: بما أن 5 مجاورة لزاوية أخري علي مستقيم واحد إذن مجموعهم = 90 = 80 90 5 90 ) 80 إذن 6 بالتقابل بالرأس 7 و متجاورتان على مستقيم ) 7 7 تساوي إذن مجموعهم = 58 7 6 80 53 6 80 6 80 53 6 7 تساوي بالتقابل بالرأس. 7 )5 برهان: 0( اكتب برهانا ذا عمودين. البرهان: العبارات والمبررات )5 3, 4 )معطيات( m 3)0 m = m 4, m = )تعريف تطابق الزوايا( ) m 4 m + m = m 3 + )خاصية الجمع للمساواة( m EC m 3 = m 4 = )خاصية جمع m + m = m AC ) الزوايا( m EC) m AC = )بالتعويض( 6( AC EC )تعريف تطابق الزوايا(
اكتب تخمينا يصف النمط في كل من المتتابعتين اآلتيتين ثم استعمله إليجاد الحد التالي في كل منهما: 5( الحد التالي هو المضاعف التالي للعدد 5 وهو 7 0( يدور المثلث مع اتجاه عقارب الساعة في كل مرة وتتحرك المنطقة المظللة يمينا ويسارا في كل مرة. استعمل العبارات p,q,r لكتابة كل عبارة وصل أو فصل أدناه ثم أوجد قيمة الصواب لها. < 3 5 وجميع الزوايا المتقابلة بالرأس متطابقة خاطئة. ) أو < 3 5 ( جميع الزوايا المتقابلة بالرأس متطابقة وإذا كان = 36 4x فإن = 9 x صحيحة. ( اكتب برهانا حرا: بما أن البرهان: JK CB, KL AB فإن JK = CB, KL = AB وذلك بتعريف تطابق القطع المستقيمة. JK + KL = CB + AB )بتطبيق خاصية الجمع للمساواة( وباستعمال مسلمة جمع القطع المستقيمة ينتج أن AC = AB + BC, JL = JK + KL JL = AC وبالتعويض AC = AB + BC, JL = CB + AB ينتج أن JL ومن تعريف تطابق القطع المستقيمة AC ينتج أن
6) رياضة: a) أختار هؤالء الطالب كرة السلة فقط. 0 (b 7( صحيحة قانون الفصل المنطقي. برهان: 8( أكمل البرهان اآلتي: العبارات المبررات معطيات خاصية التوزيع خاصية الطرح للمساواة خاصية الجمع للمساواة (a (b (c (d 3 x 4 x 7 ( a 3x x 7 (b x 7 (c x 9 (d حدد ما إذا كانت كل عبارة مما يأتي صحيحة دائما أو صحيحة أحيانا أو غير صحيحة أبدا : ( صحيحة أحيانا. 5( غير صحيحة أبدا. 55( صحيحة دائما.
أوجد قياس جميع الزوايا المرقمة في كل مما يأتي واذكر النظريات التي تبرر حلك. 3 80 x x 6 90 80 x 6 90 80 x 84 80 x 80 84 96 x 96 x 48 )50 48 48 6 4 3 90 و 7 زاويتان متجاورتان علي مستقيم متكاملتان أي مجموعهما = 58 )5 8 7 8 80 x 5 3x 80 5x 5 80 5x 80 5 65 x 65 5 x 33 7 33 5 7 8 8 3 33 8 99 بالتقابل بالرأس بالتقابل بالرأس 85 99 = 5 = 7 = 6 = 8 اكتب كال من العبارتين الشرطيتين اآلتيتين على صورة )إذا كان... فإن(: 5( إذا كانت الزاوية حادة فإن قياسها اقل من
مستقيمان متعامدان فإنهما يكونان زوايا قائمة. 5( إذا تقاطع اختيار من متعدد: C )56 اإلعداد لالختبارات المعيارية: D )5 C )0 C ( A ( C ) B ) D ) 5 طريقة )6 أرجوحة: C AB BD AD )7
mm3 5 D )8 ( خاصية الطرح للمساواة المعاكس اإليجابي: إذا لم تكن الزاوية منفرجة فلن يكون قياسها اكبر من )5 )55 D منتصف E E = DE 3x + 7 = 8x 3 8x 3x 3 = 7 5x = 7 + 3 5x = 0 x = cm
)50 a) عدد مربعات كل شكل يساوي رقم الشكل زائد 5 n² + العبارة الجبرية هي: (b (c 6 37 عدد المربعات في الشكل السادس = 7 مربع
استعن بالشكل المجاور: ( يوجد 3 مستويات في هذا الشكل ( النقاط A,,D ثالث نقاط علي استقامة واحدة نعم تقع النقطة,C D,B في المستوى نفسه )3 نعم, أجهزة: 4( تقع جميع الرؤوس السفلية في المستوي نفسه 5) 80 67 3 لذلك مجموعهم = 8 أوجد قياس كل من الزوايا اآلتية: ألنها زاوية مجاورة لزاوية أخري على مستقيم 6) 80 3 57 ألنها زاوية مجاورة لزاوية أخري على لذلك مجموعهم = 8 مستقيم 7) 8) 3 90 4=3 زاويتان متجاورتان بالتقابل بالرأس
أوجد قيمة x لقيم a,b المعطاة في كل معادلة مما يأتي: 8 4x 3 6 4 x 3 x 9) a 4 x b 8 8 4 3 4 x 3 4 3 x x 0) b 3x 4a 3x 49 3x 36 36 3x 48 3x x 48 3 x 6 ) a 5x b 3 8 5x 3 0 5x 0 60x x 0 60 3 ( معارض: ما دفعة أحمد + أخوة = 8 80 95 5 ثمن بطاقة الدخول الواحدة = 8 = 4
38 صفحة حدد كال مما يأتي مستعمال الشكل المجاور: A) EH, G, ED, A B ) C ) أو G أو CD المستوى ABG AB 83 صفحة 84 صفحة A( متبادلتان داخليا B( متناظرتان C( متبادلتان خارجيا D( متحالفتان 3A( المستقيم j متبادلتان خارجيا. 3B( المستقيم L متبادلتان داخليا. 3C( المستقيم k متناظرتان. 3D( المستقيم L متحالفتان.
حدد كال مما يأتي مستعمال متوازي المستطيالت في الشكل المجاور: المثال ) ) XY, U,ZW UV 3) ZW, WU (4a المستوى ABCD يوازي المستوى GHE BCHG يوازي المستوى ADE المستوى ABG يوازي المستوى DCHE المستوى 4) إنشاءات: 4b ) CH, BG, A 4c ) AD و BC 4d ) CH JKو BG JKو مستعمال الشكل المجاور, صنف كل زوج من الزوايا فيما يأتي إلي زاويتين متبادلتين خارجيا أو داخليا أو متناظرتين أو متحالفتين: مثال
, 5) متبادلتان خارجيا. 6) متناظرتين. 7) متبادلتان داخليا. 8 )متحالفتان. استعن بالشكل المجاور لتحدد القاطع الذي يصل بين كل زوج من الزوايا فيما يأتي صنف زوج الزوايا إلي زاويتين متبادلتين داخليا أو خارجيا أو متناظرتين أو متحالفتين: مثال 9 )المستقيم n متناظرتين. 0 )المستقيم p متبادلتان خارجيا. )المستقيم m متحالفتان. )المستقيم p متبادلتان داخليا. ثم حدد كال مما يأتي مستعمال الشكل المجاور: مثال 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 0) CL, EN, BK, AJ JLM EN DCL, NML, AED, AEN KL, CL, BK, ML, DM, NM, KJ AJ KJ AE
مستعمال الشكل المجاور, صنف كل زوج من الزوايا فيما يأتي إلي زاويتين متبادلتين خارجيا أو داخليا أو متناظرتين أو متحالفتين: مثال )متناظرتين )متحالفتين 3 )متبادلتان داخليا 4 )متناظرتين 5 )متبادلتان خارجيا 6 )متبادلتان خارجيا 7 )متحالفتين 8 )متبادلتان خارجيا 9 )متبادلتان خارجيا 30 )متبادلتان داخليا
سلم طوارئ: المثال 3 3 )المستقيم a متناظرتين 3 )المستقيم a متحالفتين 33 )المستقيم c متبادلتان داخليا 34 )المستقيم d متبادلتان داخليا 35 )المستقيم d متناظرتان 36 )المستقيم a متبادلتان خارجيا 37 )كهرباء: a( بما أن المستقيمين يقعان في المستوى نفسه وغير متالقيين فإنهما متوازيان. q b (الخط يمثل قاطعا لكل من p وm. استعن بالشكل المجاور لتصف العالقة بين كل زوج من القطع المستقيمة اآلتية بكتابة متوازيتين أو متخالفتين أو متقاطعتين: 38 )متوازيتين 39 )متخالفتين 40 )متقاطعتين
4 )متوازيتين 4 )متخالفتين 43 )متقاطعتين 44) خداع بصري: القطعتين ABتوازي a( DC المسافة بين المستقيمتين هي نفسها من أي موقع على القطعة المستقيمة. AB من لكل قاطع CDو OP QR MNتوازي b( 45) سلم كهربائي: a( متوازية b (تقع على استقامة واحدة c( متخالفة 46) مسألة مفتوحة:
(47 - تحد: )a b (متوازيان c (متخالفان - تبرير: CD ل ABموازيا أو يخالفه ألنهما ال يتقاطعان 48) صحيحة أحيانا إما أن يكون أبدا وال يقعان في المستوى نفسه. أحيانا ABيقطع المستقيم,X. Z على تقاطع المستويين Eاعتمادا 49) صحيحة اكتب: ال يكون المستويان متخالفين ألن تعريف المستقيمين المتخالفين ينص على أن المستقيمين ال يتقاطعان وال يقعان في المستوى نفسه. والمستويان المتخالفان ال يقعان في المستوى نفسه, ولكنهما يكونان متوازيين أو متقاطعين. (50
5) 5) B D x 4 x 4 53) x 4 x 4 80 4x 80 x 45 9 x 4 9 45 4 86 0 x 4 0 45 4 94 54 6 80 6x 6 80 6x 86 x 3 4x 4 3 4 x 6 3 6 56 ) 4x x
55 00 0 0 80 00 40x 80 40x 80 00 80 x 80 40 9 00 0x 00 40 9 40 0 0x 0 0 40 ) x x 56) برهان: ZX A,WY A, WY المعطيات: ZX منتصف منتصف المطلوب: WA ZA البرهان: ZX A,WY منتصف A, WY منتصف )تعريف تطابق القطع المستقيمة( )تعريف نقطة المنتصف( )معطيات( WY ZX ZX ZA AX, WA AY WY WA AY, ZX ZA AX )بالتعويض( )مسل مة جمع القطع المستقيمة( WA AY ZA AX WA WA ZA AX )بالتعويض( )خاصية القسمة( )بالتعويض( ) ) )3 )4 )5 )6 WA ZA )7 WA ZA )8
9( ZA WA )تعريف تطابق القطع المستقيمة( 57 )استعمل قانون الفصل المنطقي أو قانون القياس المنطقي صحيحة إن أمكن من العبارتين اآلتيتين ال نتيجة صحيحة جبر: في الشكل المجاور: لتحصل على نتيجة 58) بما أن C AD CD إذن 90 CD a 45 90 a 90 45 a 45 a 3. 75 59) BC AB 90 4x 8 8x 6 90 x 90 x 89 x 4. 05 4
60) أوجد قيمة x في كل مما يأتي: x 90 ألنهم زاويتان متجاورتان على مستقيم مجموعهم 8 6) x 6) 80 78 0 3x x 80 4x 80 x 45 *******************************
حل ل النتائج: AC, GAB, JBA, KBD( CAG, AB, ABK, JBD ( لها القياس نفسه. لها القياس نفسه. JBD KBD ABK JBA AB GAB CAG الزاوية AC 66 4 66 4 66 4 66 القياس األول 4 93 87 93 87 93 87 93 القياس الثاني 87 35 45 35 45 35 45 35 القياس الثالث 45 58 58 58 58 القياس الرابع 30 50 30 50 30 50 30 50 القياس الخامس عي ن أزواج الزوايا التي لها األسماء الخاصة اآلتية: (3 )3a المتناظرة: AC و CAG, JBA و GAB, ABK و AB, KBD و JBD إذا قاطع مستقيمين متوازيين, فإن أزواج الزوايا المتناظرة متطابقة. 3b( المتبادلة داخليا : AB و GAB,ABK و JBA إذا قطع قاطع مستقيمين متوازيين, فإن الزوايا المتبادلة داخليا متطابقة.
و CAG, KBD و JBD إذا قطع فإن الزوايا المتبادلة خارجيا متطابقة. AC المتبادلة خارجيا : 3c( قاطع مستقيمين متوازيين, 3d( المتحالفة:, AB GAB, GAB, ABK إذا قطع قاطع مستقيمين متوازيين, فإن الزاويتين المتحالفتين متكاملتان.. 9 4 )اسحب النقطة C أو D بحيث يكون قياس أي من الزوايا = وكان عموديا على أحد المستقيمين, 90. قياس جميع الزوايا 4a( 4b( إذا قطع قاطع مستقيمين متوازيين, فإنه يعامد المستقيم اآلخر.
= 05 الزاويتين المتناظرتين. 75 بالتقابل بالرأس نظرية الزاويتين المتقابلتين بالرأس. 05 نظرية الزاويتين المتقابلتين بالرأس. = 8 = )A = 4 = )B = = 3 )C A( تخطيط المدن: = = 00 بالتبادل, 4 علي استقامة واحدة 80 80 نظرية تكامل الزوايا. 0 0 = 4 )B 4 3 نظرية الزاويتين المتبادلتين خارجيا. 4 = 3 نظرية تطابق الزوايا. = 3 70 بالتعويض.
ب) 3A( بما أن المستقيمين j و K متوازيان فإن و 7 متطابقتان بحسب نظرية الزاويتين المتبادلتين خارجيا. m = m7 )تعريف التطابق( )بالتعويض( 3 5x 4x + 7 = )بإضافة 3 لكال الطرفين( 4x + 0 = 5x )بطرح 4x من كال الطرفين( 0 = x )3B بما أن المستقيمين j و k متوازيان فإن 3 و 5 متكاملتان بحسب نظرية الزاويتين المتحالفتين. )تعريف الزاويتين المتكاملتين( 80 = m5 + m3 )بالتعويض( 3y = 68 + 80 )بالتبسيط( + 66 3y = 80 الطرح( )بقسمة الطرفين على 3( 4 = 3y 38 = y
في الشكل المجاور: أوجد قياس كل من الزوايا اآلتية واذكر المسلمات والنظريات التي استعملتها: المثال مسل مة 94 = 3 = الزاويتين المتناظرتين. ( ( 94 = 5 = نظرية الزاويتين المتبادلتين خارجيا. (3 5 و 4 زاويتين متجاورتين على استقامة واحدة 4 = 80 94 = 86 مسل مة الزاويتين المتناظرتين, ونظرية الزاويتين المتكاملتين. في الشكل المجاور : أوجد قياس كل من الزوايا اآلتية واذكر المسلمات والنظريات التي استعملتها: مثال (4 0 بالتبادل نظرية الزاويتين المتبادلتين داخليا. = 6 =4
و 5 متحالفتان إذن مجموعهم = 8 79 80 0 = 5 تساوي 7 4 إذن بالتقابل بالرأس. 79 و 5 (5 = 7 نظرية الزاويتين المتقابلتين بالرأس, ونظرية الزاويتين المتحالفتين. و 5 متحالفتان إذن مجموعهم = 8 80 0 = 5 79 4 إذن = 5 نظرية الزاويتين المتحالفتين. طرق: (6 (7 بالتبادل داخليا تساوي 93 = m بما أن مكملة 3 إذن بالتناظر 80 93 87 = 3 = 3 تساوي مكملة 93 بالتناظر 87 80 93 4 = 4
أوجد قيمة كل متغير في األشكال اآلتية. وضح تبريرك: المثال 3 (8 x 5 x 55 80 x 80 55 x 5 y x 5 (9 نظرية الزاويتين المتكاملتين نظرية الزاويتين المتبادلتين داخليا, x 0 04 x x (0 04 0 4 نظرية الزاويتين المتبادلتين خارجيا
x 5 x 55 x x 55 5 x 70 ( نظرية الزاويتين المتبادلتين داخليا 4x 3 x 7 4x x 7 3 x 40 x 0 في الشكل المجاور: المثاالن, بالتناظر ( 4 = = مسل مة الزاويتين المتناظرتين. (3 3 = 4 = بالتقابل بالرأس نظرية زاويتان متبادلتان خارجيا ونظرية الزاويتين المتكاملتين بالتبادل خارجيا زوايا متجاورة على استقامة واحدة = 3, (4 4 = 80 3
80 = 8 + 80 40 40 (5 80 4 0 80 8 0 نظرية الزاويتين المتكاملتين. 6 0 (6 نظرية الزاويتين المتقابلتين بالرأس. 40 5 (7 8 نظرية الزاويتين المتبادلتين خارجيا 4 طاقة شمسية: 8 )متكامالن ألنهما زاويتان متحالفتان. 9 )متطابقان ألنهما زاويتان متناظرتان. 0 )متطابقتان ألنهما زاويتان متبادلتان خارجيا. )متكاملتان بما أن 3 و 5 متجاورتان على مستقيم فإنهما متكاملتان. 4 و تكمل 4. متطابقتان ألنهما زاويتان متبادلتان خارجيا, لذا فإن 3 5 ) 3x 5 05 3x 05 5 0 x 0 3 x 40 أوجد قيمة كل متغير من األشكال اآلتية. حسب مسل مة الزاويتين المتناظرتين: حسب نظرية الزاويتين المتكاملتين: وضح تبريرك
3x -5 y 5 80 340 5 y 5 80 y 30 80 y 50 3) 80 54 6 6 x x x 4) 6 63 63 x 08 x 08 x 54 حسب نظرية الزاويتيتن المتجاورين على مستقيم حسب نظرية الزاويتين المتبادلتين داخليا حسب نظرية الزاويتين المتبادلتين داخليا : 5y + 0 = 80 5y = 60 y = 60 5 y= 5) = y حسب نظرية الزاويتين المتحالفتين: حسب نظرية الزاويتين المتبادلتين خارجيا 3x 4 x 5 3x x 5 4 x 39
6) 5x 0 90 5x 0 x 7) x x 48 x x 48 x 7 المبررات حسب نظرية الزاويتين حسب نظرية الزاويتين برهان: العبارات المتناظرتين المتبادلتين داخليا (8 a( معطى b (تعريف الزاويتين المتجاورتين على مستقيم. c( نظرية الزاويتين المتكاملتين d (نظرية الزاويتين المتبادلتين داخليا. e( تعريف تطابق الزوايا f( بالتعويض. m, قاطع للمستقيمين l, m n )a.n,3 متجاورتان على مستقيم )b, متجاورتان على مستقيم 4,3 متكاملتان. )c, متكاملتان. 4 4, 3 )d m 4, m m3, متكاملتان.,4 متكاملتان. 3 )e )f
تخزين: 9) متطابقتان زاويتان متبادلتان داخليا. 30 )متطابقتان زاويتان متناظرتان. 3 )متطابقتان زاويتان متقابلتان بالرأس. 3 )متتامتان ألن المستقيمين الرأسي واألفقي متعامدان ويشكالن زوايا قائمة. 33) برهان: المعطيات: l m المطلوب: 7, 8 البرهان: m) l )م عطى( 6) 5, )مسل مة الزاويتين المتناظرتين( 7)3 5 8, 6 )نظرية الزاويتين المتقابلتين بالرأس( 7)4 8, )خاصية التعدي( 34 )برهان: المعطيات: t m, m n المطلوب: t n البرهان: n) t m, m )معطيات( ( قائمة )تعريف التعامد( 90 )تعريف الزاوية )3 القائمة(
4( )مسل مة الزاويتين المتناظرتين) m)5 m = )تعريف تطابق الزوايا( 90 m )بالتعويض( )6 7( زاوية قائمة )تعريف الزاوية القائمة( 8(n t )تعريف المستيقيمين المتعامدين(. (35 تساوي 50 الزاوية المقابلة لها حسب نظرية الزاويتين المتقابلتين بالرأس رسم مستقيم يوازي كل من المستقيم األخرين 50 Y 7 50 Z X Z حسب نظرية الزاويتان المتناظرتان. (36 حسب نظرية الزاويتان المتناظرتان. الزاوية 5 تساوي المقابلة لها 05 المتقابلتين بالرأس. وكذلك زاوية حسب نظرية الزاويتين
رسم مستقيم يوازي كل من المستقيم األخرين. باستحدام نظرية الزاويتين المتبادلتين داخليا والزاويتين المتجاورتين على مستقيم. 55 حسب 80 5 نظرية الزاويتان المتناظرتان Y 75 80 05 Z Z Y X 30 75 55 X 37 )احتماالت: حسب نظرية الزاويتان المتجاورتان. حسب نظرية الزاويتان المتناظرتان. والزاويتان المتجاورتان. a( يوجد 8 زوجا من الزوايا, حيث يمكن تشكيل سبعة أزواج من الزوايا مع الزاوية األولى, وستة ازواج من الزوايا مع الزاوية الثانية ألنها شكلت زوجا مع الزاوية األولى, وهكذا فإن عدد أزواج الزوايا يساوي 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + + أو 8 b( توجد عالقتان ممكنتان بين أزواج الزوايا, متطابقتان أو متكاملتان. (38 زوجا. فإذا اخترنا زاويتين فإنهما إما c( نصف أزواج الزوايا متطابقة, والنصف اآلخر ألزواج الزوايا متكاملة, لذا فإن احتمال إختبار زوج متطابق من الزوايا تكون نسبة إلى أو 50%. تمثيالت متعددة: n: و m هندسيا : المستقيمين a(
ت) b (جدوليا : m 60 45 70 90 5 30 m 0 35 0 90 55 50 m3 60 45 70 90 5 30 m4 0 35 0 90 55 50 c( لفظيا : الزاويتان الخارجتان الواقعتان في جهة واحدة من القاطع متكاملتان. d (منطقيا : التبرير االستقرائي ثم استعمال نمط للوصول إلى النتيجة. e( برهان: البرهان: (المستقيمان m و n متوازيان ويقطعهما المستقيم t. )م عطى( ) m = m + 80 )نظرية الزاويتين المتكاملتين( 3(4, )الزاويتان المتناظرتان متطابقتان( m4)4 m = عريف التطابق( )5 m4 = m + 80 )بالتعويض(
متكاملتان 6( و 4 )تعريف الزاويتين المتكاملتين( 39) اكتب: المستقيمان b و c متعامدان بما أن و متجاورتان على مستقيم فإن:,m = لذا m, لكن,m + m = 80 بالتعويض 80 = m, m + لذا 90 = m و 90 =.m لذا فالمستقيمان a و c متعامدان. حسب النظرية.4, وبما ان c عمودي على المستقيم a والمستقيمين a و b متوازيان, فإن المستقيم c عمودي على المستقيم b أيضا. 40) اكتب: يتكون في كلتا النظريتين زوج من الزوايا, عندما يقطع قاطع مستقيمين متوازيين. ومع ذلك ففي نظرية الزاويتين المتبادلتين داخليا, يكون كل زوج من الزوايا المتبادلة داخليا متطابقا. في حين يكون كل زوج من الزوايا المتحالفا متكامال في نظرية الزاويتين المتحالفتين. 4) تحد: y 8y 5 ( نظرية الزاويتان المتبادلتان داخليا متطابقتان )
y 8y 5 0 3 0 y 5 y 3 )نظرية الزاويتان المتجاورتان متكاملتان( عندما = 3 y x 8 3 5 80 x 4 5 80 x 9 80 x 7 y 5y x 8y 5 80 عندما = 5 y x 8 5 5 80 x 40 5 80 x 5 80 x 55 4 )تبرير: يكفي معرفة قياس زاوية واحدة ألن الزوايا الباقية إما مطابقة لها أو مكملة. زاويا متجاورة علي مستقيم مجموعهم 8 x 4 3x 0 x 80 6x 4 80 6x 04 x 34 3 x 4 3 34 4 3 30 و 3 C (43 و
44) إجابة قصيرة: و حدد كال مما يأتي مستعمال الشكل المجاور: 45) G 46) AB, DE, G, IJ, AE, J 47) DCH 48) متجاورتين على مستقيم: m و m + = 80 m = 80 67 3 49) و 8 6 8 + 6 = 90 47 + 6 = 90 6 = 90 47 43 و 6 و 8 7 7 = 80 90 = 90 50) m3 90 m5 90 3 58 زاويتين متتامتين: زوايا متجاورة على مستقيم: نظرية زاويتان متجاورتان على مستقيم:
5) قطارات: قطعة مستقيمة 5 حدد العالقة بين كل زوج من الزوايا: 5( متبادلتان خارجيا 53( متحالفتان 54( متناظرتان 55( متبادلتان خارجيا
a b ( A عكس نظرية الزاويتين المتبادلتين داخليا. l m ( B عكس مسل مة الزاويتين المتناظرتين. a b ( C عكس نظرية الزاويتين المتبادلتين خارجيا. D )ال يمكن. l m ( E عكس نظرية الزاويتين المتحالفتين. )ال يمكن. 3) تجديف: غير ممكن الزاويتان المتبادلتان خارجيا, أو الزاويتان المتبادلتان داخليا أو الزاويتان المتناظرتان ليستا متطابقتين. وكذلك الزاويتان المتحالفتان غير متكاملتين, لذا فالمستقيمان غير متوازيين.
هل يمكن إثبات أن أي ا من مستقيمات الشكل متوازية اعتمادا على المعطيات في كل مما يأتي وإذا كان أيها متوازيا, فأذكر المسلمة أو النظرية التي تبرر إجابتك. المثال j عكس مسل مة الزاويتين المتناظرتين. ( 3 إذن k عكس نظرية الزاويتين المتبادلتين داخليا. j k ( 5 إذن l عكس نظرية الزاويتين المتبادلتين خارجيا. m ( 3 0 3 إذن l عكس نظرية الزاويتين المتحالفتين. 80 m6 m8 إذن m ( 4 5) برهان: مثال 3 )a العبارات معطى المبررات b( الزاويتان المتقابلتان بالرأس متطابقتان. c( خاصية التعدي للتطابق d (إذا كانت الزوايا المتناظرة متطابقة فإن المستقيمين متوازيان. 3 3 )a )b )c l m)d
6) كراسي: نعم بما أن الزاويتين المتبادلتين داخليا متطابقتان فإن مسندي الظهر والقدمين متوازيان. هل يمكن إثبات أن أي ا من مستقيمات الشكل متوازية اعتمادا على المعطيات في كل مما يأتي وإذا كان أيها متوازيا, فأذكر المسلمة أو النظرية التي تبرر إجابتك. المثال ( 7, زاويتان متناظرتان للمستقيم rs و إذن r s عكس مسلمة الزاويتين المتناظرتين. uv زاويتان متبادلتان خارجيا للمستقيم, 9 ( 8 و 9 إذن u v عكس نظرية الزاويتين المتبادلتين خارجيا. r عكس نظرية الزاويتين المتحالفتين. 9) s u عكس نظرية الزاويتين المتحالفتين. v 0) )ال توجد مستقيمات متوازية. r عكس مسل مة الزاويتين المتناظرتين. ) s
3) حدائق عندما يقيس سعود الزاوية التي يصنعها كل وتر في السياج مع لوح الخشب, فإنه يقيس زوايا متناظرة, وعندما تكون جميع الزوايا المتناظرة متطابقة, فإن األوتاد يجب أن تكون متوازية. (4 برهان: اكتب برهانا ذا عمودين للنظرية.6. المثال 3 m و m متحالفتان )م عطى(. m و m3 متجاورتان على مستقيم )تعريف الزاويتين المتجاورتين على مستقيم(. m وm3 متكاملتان )تعريف الزاويتان المتكاملتان(. 3 )خاصية التعدي(. l m )عكس مسل مة الزاويتين المتناظرتين(. برهان: اكتب برهانا ذا عمودين 5) البرهان: لكل مما يأتي: 3, AC BD )م عطى( 3 )مسل مة الزاويتين المتناظرتين( )خاصية التعدي(
AB CD )إذا كانت الزاويتان المتبادلتان متطابقتين, فإن المستقيمين متوازيان(. (6 البرهان:, LJ ML )م عطى( LJ KM )إذا كانت الزاويتان المتبادلتان داخليا متطابقتين, فإن المستقيمين متوازيان(. KM ML )نظرية القاطع العمودي(. برهان: اكتب برهانا حرا لكل (7 النظرية :.7 من النظريتين األتيتين: l m المعطيات: l m المطلوب: البرهان: ألنهما متقابلتان بالرأس, 3 باستعمال خاصية ومن ذلك 3 زاويتان متناظرتان ومتطابقتان, فإن و 3 التعدي. وبما أن (8 النظرية :.8 l t, m t l m المعطيات: المطلوب: البرهان:
بما أن lو t, m t فإن قياس كل من و يساوي. 90 وبما أن و لهما القياس نفسه, فإنهما متطابقتان, وبحسب عكس مسلمة الزاويتين المتناظرتين يكون l m 9) درج: حواف أسطح الدرجات متوازية ألن الزاويتين المتناظرتين متطابقتين. حدد ما إذا كان المستقيمان, RS (0 متوازيين أم ال في كل مما يأتي: 3 3 64 الزاويتان المتناظرتان متطابقتان لذا فإن المستقيمين متوازيان. r s ( 57 4 98 75 3 98 r s الزاويتان المتبادلتان خارجيا متطابقتان لذا فإن المستقيمين متوازيان.
( 65 7 9 r s الزاويتان المتبادلتان خارجيا متطابقتان لذا فإن المستقيمين متوازيان. تمثيالت متعددة: a ه( ندسيا : (3 mbcd 90 90 90 mabc 90 90 90 b (جدوليا : زوج المستقيمات المتوازية l و k t و s y و x c( لفظيا : قياس الزاوية التي تكونها القطعة المستقيمة مع المستقيميين المتوازيين. 90
4) اكتشف الخطأ: إجابة منصورصحيحة بما أن, فإن متبادلتان داخليا, YZ WX ليس, لكن AB موازيا على AB BC, GC BC 5) تبرير: ال في الشكل أدناه. GC 6) مسألة مفتوحة: )a b( باستعمال المسطرة نجد أن البعد بين المستقيمين ثابت, لذا فهما متوازيان.,ABC EAD. AD و BC قاطع لكل من AB ون سخت ABC إلنشاء EAD لذا )c
EAD متناظرتان, وحسب عكس مسلمة الزاويتين 7) ABC و.AD BC المتناظرتين فإن تحد: )a نعلم أن. 80 بما أن و 3 متجاورتان على مستقيم, فإن 3 80 وبالتعويض 3. m وبطرح m من كال الطرفين نحصل على m3 أي أن 3 حسب تعريف الزوايا المتطابقة, لذك فإن a c ألن الزاويتين المتناظرتين متطابقتان. )b. 3 80 a و نعلم أن c بما ان و 3 متناظرتان, فإنهما متطابقتان وقياساهما متساويان. m3 80 أو وبالتعويض: m3 m3 80 وبقسمة كل الطرفين على m3 90 نحصل على لذلك t c ألنهما يشكالن زاوية قائمة. 8) اكتب: استعمل زاويتين متبادلتين خارجيا ناتجتين عن مستقيمين وقاطع, وبين أنهما متطابقتان. أو بين أن زاويتين متحالفتين متكاملتان أو بين أن زاويتين متبادلتين داخليا متطابقتان أو بين أن مستقيما يقع في نفس المستوى عمودي على كال المستقيمين أو بين أن الزوايا المتناظرة متطابقة.
B C (9 (30 (3 (3 احسب قيمة x, y على الشكل التالي: x 0 60 x 50 x 5 x 0 y 5 0 y y 60
33) 6 5 4 بسط كل من العبارات اآلتية: 34) 4 9 5 5 5 7 7 35) 6 5 4 4 ********************************
استعن بالشكل أدناه لتحدد القاطع الذي يصل كل زوج من الزوايا فيما يأتي, ثم صنف زوج الزوايا ألي زاويتين متبادلتين داخليا أوخارجيا أو متناظرتين أو متحالفتين: )المستقيم s متبادلتان داخليا. )المستقيم p متبادلتان خارجيا. 3 )المستقيم t متحالفتان. 4 )المستقيم s متناظرتان. حدد كل مما يأتي مستعمال الشكل المجاور: 5) 6) 7) G, AD,BC AD, D GHE اختيار من متعدد: (8 :A متناظرتان
في الشكل المجاور: أوجد قياس كل من الزوايا اآلتية: 4 مسل مة الزاويتين المتناظرتين. = 4 = = = 8 4 حسب نظرية الزاويتين المتقابلين بالرأس = 9 + 8 80 حسب نظرية الزاويتين المتحالفتين 8 = 9 + 4 80 04 = 9 76 = 9 (9 (0 ) 0 = 4 = 8 حسب نظرية الزاويتين المتبادلتين داخليا. 80 = 76 حسب نظرية الزاويتين المتقابلتين بالرأس, و7 04 = 7 ( مكملة ل 6 حسب نظرية الزاويتين المتحالفتين. أوجد قيمة x 3) في الشكل اآلتي: 3x 9. 5x 5 3x 9. 5x 5. 5x 5 9. 5x 4 x 4. 5 x 48
نجارة: 40 = x بالتبادل داخليا (4 هل يمكن إثبات أن أيا من مستقيمات الشكل األتية متوازية: حسب نظرية الزاويتين المتناظرتين إذن المستقيم k يوازي (5 بما أن 4 0 المستقيم j (6 اليوجد حسب نظرية الزاويتين المتبادلتين خارجيا إذن المستقيم p (7 بما أن 7 يوازي المستقيم q
y A) y x x 5 3 6 3 9 3 B ) y x y x 3 8 6 4 C ) y y x x -3 5 4 4 0 ميل المستقيم: غير معرف D ) y y 3 3 0 0 x x 3 4 7 ) 8, (, ) 3, ( ) مبيعات: تعيين النقطتين: y y 008 003 5 ميل المستقيم = x x 00 0 80 36 استعمل ميل المستقيم وإحدى النقطتين إليجاد عدد العلب في ) 8, (, ), x (
008 0 36 00 x 00 x 008 0 36 00 x 4 36 00 x 44 x 344 إذن عدد مبيعات العلب عام = 344 مليون غير ذلك (3A y y AB 0 3 3 3 x x 4 5 5 CD y y 5 7 x x 4 3 متوازيان ) 3B AB y y 6 4 x x 9 3 3 CD y x y x 3 4 5 3
ميل المستقيم األول يساوي ميل المستقيم التاني إذن المستقيمان متوازيان. 99 صفحة QR y y 6 4 x x 0 6 6 3 (4 3 QR 3 3 بما أن ميل فإن المستقيم العمودي على يساوي
أوجد ميل كل مستقيم فيما يأتي: المثال ( النقطة ), 3( = j والنقطة, ( = k )3 y y 3 m = KJ 5 x x 3 5 ( النقطة = ) ), والنقطة = U ( ), U. 5,. 5 y x y x والنقطة = B 4 0 ميل المستقيم غير معرف (3,. النقطة = A 5 m = AB y y 5.. 5 3 6 x x. 5. 5 5
4 )علم النبات: )a المثال أو غير ذلك, ومثل كل مستقيم يزيد طول النبتة 0.5m كل يوم. )b 8m )c حدد ما إذا كان WX, YZ متوازيين أو متعامدين بيانيا لتتحقق من إجابتك. المثال 3 (5 y y YZ 7 8 x x 8 4 4 WX y x y x 5 4 4 بما أن حاصل ضرب ميل كال من المستقيمين = إذن هما متعامدان
YZ y y x x 3 8 6 5 4 (6 WX y y x x 5 3 8 8 3 3 بما أن حاصل ضرب ميل كال من المستقيمين غير ذلك وال هما متساويان إذن هما YZ y x y x (7 6 3 9 3 3 6 3
WX y y 9 6 3 x x 6 7 3. بما أن ميل كال منهما متساويان إذن هما متوازيان (8 YZ WX y y 0 x x 8-0 5 y y -3 5-5 x x 0 - بما أن حاصل ضرب ميل كال منهما يساوي إذن هما متعامدان.
مث ل بيانيا المستقيم الذي يحقق الشروط في كل مما يأتي: (9 y y BC 6 4 x x 5 3 المثال 4 BC بما أن المستقيم الذي يمر بالنقطة )4, 3 ) يوازي إذن ميله يساوي ميل BC (0
LM ( y y 5 3 8 x x LM بما أن المستقيم الذي يمر بالنقطة )3 7(, إذن ميله يساوي 8 يعامد ) 6 7 أوجد ميل كل مستقيم فيما يأتي: المثال 3) 4 5 غير معر ف (4 أوجد ميل المستقيم الذي يمر بالنقطتين المحددتين في كل مما يأتي: المثال 5) y y m CD 0 0 x x 3 5
6) y y 4 m E 3 x x 5 3 7) y y m GH 7 3 x x -4-4 8) y y 3 3 m JK 0 0 x x 8 7 5 4 0 الميل غير معر ف 9) m PQ y y 5 4 x x 3 3 0 0) y y 56 m RS x x 6 8 الميل غير معر ف
a ) ) حواسيب: لاير ) 3 b c ) لاير = 9 3 3 3 8 حدد ما إذا كان AB, CD متوازيين أو متعامدين أو غير ذلك في كل مما يأتي, ومثل كل مستقيم بيانيا لتتحقق من إجابتك. المثال 3 ) CD y y 5 0 5 x x 6 9 5 3 AB y x y x 4 5 4 3 بما أن ميل كال منهما متساويان إذن هما متوازيان.
3) CD y x y x 0 4 4 0 AB y y x x 9 9 8 8 6 4 بما أن ميل كال منهما متساويان إذن هما متوازيان.
4) CD y x y x 8 0 8 0 6 6 y y AB x x 3 4 7 7 بما أن ميل كال منهما إذن هما غير ذلك. متساويان ليسو وال حاصل ضربهم = 5) CD y y 9 0 4 x x 3 5 AB y x y x 4 8 4 بما أن حاصل ضرب ميل كال منهم = إذن هما متعامدان.
6) CD y y x x 9 8 4 4 AB y x y x 3 4 4 8 4 بما أن حاصل ضرب ميل كال منهم = إذن هما متعامدان. 7) CD y x y x 5 6 8 4 4
AB y y 8 6 x x 4 6 بما أن ميل كال منهما ليسو متساويان وال حاصل ضربهم = إذن هما غير ذلك. 8) BC مث ل بيانيا المستقيم الذي يحقق الشروط في كل مما يأتي: المثال 4 y y 5 3 x x 4 3 ابدأ من النقطة A وتحرك وحدتين ألعلى ثم تحرك 3 وحدات ناحية اليمين.
(9 ابدأ من النقطة H وتحرك وحدتين ألسفل ثم تحرك وحدة واحدة فقط ناحية اليمين. 30) YZ y y 5 7 x x 3 5 8 7 8 ابدأ من النقطة X وتحرك 7 وحدات ألعلى ثم تحرك 8 وحدات ناحية اليمين.
3) G y y 5 9 x x 4 3 ابدأ من النقطة D وتحرك 4 وحدات ألعلى ثم تحرك 3 وحدات ناحية اليمين. نسمة. 3) سكان: )a المعدل التقريبي = 8763 y x y x 573 46 055 876. 66 004 99
)b عدد السكان في = 43 59377 88763 7004 7004 573 59377 حدد أي المستقيمين أي المستقيمين في السؤالين اآلتيين له أكبر ميل: > 5 33) المستقيم هو األكبر ألن 3 4 y x y x 5 4 06 6 3 y y 0 5 5 5 4 x x 4 8 4 y x y x 4 6 0 3 9 4 34) المستقيم هو األكبر ألن > 3 y x y x 4 5 9 04 4 9 4 09 33 38 400 7 y. 3 45 4 x x y 35) محمية طبيعية: a( معدل تغيرالمها العربي =
)b )c : عدد المها العربي عام 436 304 303. 999 400 09. 333 4 y أوجد قيمة x أو اعتمادا على المعطيات في كل مما يأتي: ثم مثل المستقيم بيانيا : y y 6 x x x 4 5 6 x 4 6 5 4 5 5 x 0 0 0 5x 30 5x x 30 6 5 x (36
4, 9 43, (37 ميل المستقيم الذي يمر بالنقطتين و y x y x y x 3 9 6 3 4 4 8 4 النهما متوازيان. 3 4 y y x 4 8 = 8, 4, y ميل المستقيم الذي يمر بالنقطتين و y 3 4 4y 4 36 4y 36 4 4y 3 y 8
,3 3, y (38 بما أن المستقيم الذي يمر بالنقطتين يمر بالنقطتين و و يوازي إذن ميل كل منهما متساويان المستقيم الذي 5,6 9, y y y 3 y 6 3 9 5 3 y 6 4 y 4y y 4y y 4y 0 y 0 y 0
39) مدارس: مدرسة الفتح 5 طالب سنة 4 مدرسة الفتح 45 طالب سنة 47 مدرسة األندلس 75 طالب سنة 4 مدرسة الفتح X طالب سنة 47 50 معدل التغير لمدرسة األندلس 300 5 45 6 4 47 75 x 75 x 5 4 47 50 5 75 x 50 75 x 55 x 50 إذن عدد طالب مدرسة األندلس عام = 47 55 طالبا
فقط طرح خالد إحداثيي x بالتريب الخطأ. 40) اكتشف الخطأ: إجابة طارق صحيحة. 4 )تبرير: B(, 4), D(0, 4) )a غير معر ف, لذا فهما متوازيان. يساوي صفرا, لذا فهما متوازيان. DC BC AB و AD و )b كل من ميلي وميل كل من c( بما أن ميل AB غير معر ف, وميل BC يساوي صفرا, فإن القطعتين متعامدان وتشكالن زاوية قياسها 90. وهكذا لبقية الزوايا. 4 )اكتب: بما أن برج المملكة رأسي فإن ميله برج بيزا فميله إما أن يكون سالبا أو موجبا بحسب موقع النظر إليه.
43) تحد: y y المعطيات: m x x y y المطلوب: m x x البرهان: y y m ) x )م عطى( x y y ) m )خاصية الضرب( x x m )خاصية التوزيع( y x y x )3 )خاصية اإلبدال في الجمع( y y m x x )4 44) A Y 4 x 3 6 45) D, 4, 0, y y m 4 x x 0 6 3
في الشكل المجاور: 3 = (46 5 = 8 57 = 3, زاويتان متجاورتان ومتكاملتان. 3 (47 3 = 5, بالتقابل بالرأس, 3 = بالتناظر لذا, 57 3 80 زاويتان متجاورتان ومتكاملتان. 8 ( 48 57 8 بالتبادل داخليا 0 ( 49 حدد كال مما يأتي مستعمال الشكل المجاور: 50) 5) 5) BC,E, QR ABC, ABQ, PQR, CDS BQ, CR, U, PU, QR, RS, U معتمدا على المعطيات, حدد ما إذا كانت النتيجة صحيحة أم ال في كل مما يأتي. فسر تبريرك. 53) صحيحة 54 )غير صحيحة ليس بالضرورة أن تكون الزاويتان المتطابقتان متقابلتين بالرأس.
55) 3x y 5 y 3x 5 حل كل معادلة مما يأتي بالنسبة لy : 56) 57) 4x y 6 x y 3 y x 3 4y 3x 5 y 3 x 5 4 4 بالقسمة على بالقسمة على 4
) y mx b y = x + 8 ) y y m x x y y 6 4m x 3 6 4x 3 استعمل قيمة الميل 4 واحدة تجاة اليمين. لتحديد نقطة أخرى وذلك باالنتقال 4 وحدات ألعلى ثم وحدة
3 5, 4, 8, 0 )3A ميل المستقيم المار بنقطتين: y y 6 0 4 m 0 8 x x معادلة المستقيم بصيغة الميل والمقطع: y mx b y والنقطة هي مقطع المحور y 3, 4 x 4 5 0, 0,, 6 )3B ميل المستقيم المار بنقطتين 6 6 0 3 y y m 0 x x y mx b معادلة المستقيم بصيغة الميل والمقطع : y هي مقطع المحور 00 والنقطة, y 3x 0
5, 0, 3, 0 y y 0 0 0 0 3 5 x x m (4 3 4 النقطة ( )5, لذا فإن المستقيم الذي يوازية y y صيغة الميل ونقطة. m x - x x 50 y 0 y 0 m x 5 3 y هو 4 3, 6 3 b 0 = y (5 3 ميل المستقيم x 3 4 y mx b و النقطة 6 3 4 b 6 9 5 4 4 y 3 x 5 إذن معادلة المستقيم الموازي هي: 4 4 صفحة 70 y (6 العرض أفضل.
اكتب بصيغة الميل والمقطع معادلة المستقيم المعطى ميله ومقطع المحورy مما يأتي, ثم مثله بيانيا : المثال m = 4, b = 3 ( له في كل y 4x 3 y mx b معادلة المستقيم = m =, b = ( y x y mx b معادلة المستقيم =
m = 3, b = 5 (3 y 3 x 5 y mx b معادلة المستقيم = اكتب بصيغة الميل ونقطة معادلة المستقيم المعطى ميله ونقطة يمر بها في كل مما يأتي, ثم مثله بيانيا : المثال 4) m = 5, b = 3, - x y y m x y 5 x 3 y 5x 5 y 5x 7 معادلة المستقيم =
5) m = 4, b =, 3 y y m x - x y 3 x 4 y 3 x y x 3 4 4 y x 5 4 معادلة المستقيم = 6) m = 4. 5, b = 4, 6 x - y. x y y m x 6 4 5 4 y 6 4. 5x 4 y 4. 5x 6 4 y 4. 5x 0 معادلة المستقيم =
اكتب بصيغة الميل والمقطع معادلة المستقيم الذي أعطيت نقطتان يمر بهما في كل مما يأتي: المثاالن 4,3 7) 0,, 4, 4 y y 4 m 5 x x 4 0 4 y mx b 5 0b 4 b y mx b y 5 x 4 8) (4, 3(, (, 6( y y m 6 3 9 x x 4 3 y mx b 3 3 4 b b 9 y mx b y 3x 9 3 9) m 6, 5,, 4 y y 4 5 9 x x 6 7 9 7 y mx b 4 9 b 7 b 4 9 9 7 7 y mx b y 9 x 9 7 7
Y x 0 )اكتب بصيغة الميل والمقطع معادلة المستقيم العمودي على 6 والمار بنقطة ( :)3, المثاالن 5 Y x لذا ميل المستقيم العمودي عليه = ميل المستقيم 6 y mx b 3b, 5 b = y x معادلة المستقيم العمودي = )اكتب بصيغة الميل والمقطع معادلة المستقيم الذي يمر بالنقطة y 4x ويوزاي المستقيم الذي معادلته 5 4 y 4x لذا ميل المستقيم الذي يوازية = 4 ميل المستقيم 5 5 4 b y mx b 9 b y 4x 9 معادلة المستقيم العمودي = )عروض: المثال 6 0x 50 y معادلة العرض األول: a( معادلة العرض الثاني: 50 y )b
c( العرض الثاني أفضل, حيث التكلفة 50 رياال, على حين أن تكلفة العرض 70 00 0 رياال. األول 7 اكتب بصيغة الميل والمقطع معادلة المستقيم مما يأتي, ثم مثله بيانيا : المثال المعطى ميله ومقطع المحور y له في كل 3) m =5, b = y mx b y 5x 4) m = 7, b = 4 y mx b y 7x 4
5) m = 9, b = y mx b y 9x 6) m =, b = 4 5 y mx b y x 4 5
7) m = 3, (0, 4) 4 y mx b y 3 x 4 4 8) m = 5, (0, 3) y mx b y 5 x 3
اكتب بصيغة الميل ونقطة معادلة المستقيم المعطى ميله ونقطة يمر بها في كل مما يأتي, ثم مثله بيانيا : المثال 9) m =, (3, ) y y m x - x y x 3 y x 6 y x 6 y x 5 معادلة المستقيم = 0) m = 4, 4, 8 y y m x x y 8 4 x 4 y 8 4x 6
y 4x 4 معادلة المستقيم = ) m 7,, 9 - x y x y y m x 9 7 y 9 7x 7 y 7x 7 9 y 7x 6 معادلة المستقيم = ) m 5,, 5 7
y y m 5 7 y 5 5 x 7 y 5 x 5 7 y 5 x 0 5 7 7 x x y 5 x y 5 x 3. المستقيم = 75 7 معادلة 3) m = 4 5, (3, 6) y y m x - x y 6 x 3 y y y 4 5 6 4 x 3 5 4 x 3 6 5 4 x 6 5 5
y 4 x 5 84. معادلة المستقيم = 4) m = 4., (4, ) y - y. x y. 4x 4 y. 4x 4 y m x x 4 4 y. 4x 33. 6 6 y. 4x 7. 6 معادلة المستقيم =
اكتب بصيغة الميل والمقطع معادلة المستقيم الذي أعطيت نقطتان يمر بهما في كل مما يأتي: المثاالن 3,4 5), 4, 3, 4 y m y 4 4 0 0 x x 3 4 y mx b y 0 x 4 y 4 6),,, 6 y y 6 m 7 غير معرف = x x 0 x = 7) m 3,, 3, 4 y y x x 4 6 معرف = 3 3 0 x 3 غير 8) )0, 5(, )3, 3) y y m 3 5 x x 3 0 3 y mx b y x 5 3 9) )-, -6(, )8, 9) y y 96 5 m x x 8 0 3 4 y mx b y 3 x 6 4
30), 4, 4, y y m 4 5 x x 4 6 5 y mx b y 5 x 4 اكتب بصيغة الميل والمقطع معادلة المستقيم الممثل بيانيا وصفه في كل مما يأتي: 3) E, 6, 5, 4 y y m 46 0 x x 5 3 y mx b 6 0 b 3 b 6 0 38 3 3 y mx b y 0 x 38 3 3 3) MN
4, 5, 6, 5 m y y 5 5 0 0 x x 6 4 0 y mx b 5 0 4 b b 5 y mx b y 0x 5 y 5 33),, 3, 4 y y 4 m 6 x x 3 4 y mx b 3 b b 3 y mx b y 3 x 3 34) 4, 5, 8, 3 m y y 3 5 8 x x 8 4 4 y mx b 5 4b b 5 8 3 y mx b y x 3
35) 3, 0, 0, y y m 0 x x 03 3 3 y mx b y x 3 36), 0, 0, 4 y y m 0 4 4 8 x x 0 y mx b y 8x 4 اكتب بصيغة الميل والمقطع معادلة المستقيم ألنه يعامد المستقيم الذي يحقق المعطيات في كل مما يأتي: )7,4( النقطة, y y mx b 4 x b b 4 7 b 4 4 8 y mx b y x 8 x 9 الميل = المثال 5 (37, y = 7 المستقيم يوازي ألنه النقطة 0( ), y mx b 0 0x b 0 b y mx b y 0 الميل = (38 )6, ( y x 3 ألنه يوازي المستقيم, النقطة 3 الميل = (39
y mx b x b 3 b 3 6 b 3 b 4 6 y mx b y x 6 3 y mx b b 5 b 5 b. 4 y mx b ), ( y, y 5x ألنه يعامد المستقيم 8 النقطة b 5 x. 4 5 5 الميل = (40 a ) b ) y = 5.5x + 500 4 )جمعية خيرية: المثال 6
c ) y = 5.5x + 500 y 5. 5 85 500 y 597. رياال 5 d ) 90 y = 5.5x + 500 6000 5. 5 x 500 5. 5x 6000 500 5. 5x 4500 شخص x 90 a ) b ) y = 40x + 00 4 )توفير: c ) y 40x 00 500 40x 00 40x 500 00 40x 300 x 7. 5 8
بعد 8 أسابيع يستطيع أن يوفر 5 لاير d) أسبوع إذا بدأ عبد هللا التوفير قبل أسبوعين, فسيكون لديه 00 لاير + 40 لاير + 40 لاير أو 80 رياال. وبما أنه يحتاج إلى توفير 700 + 40 أو 0 رياال, فهو ما زال في حاجة إلى 80 0 أو 840 رياال, وبقسمة 840 رياال على 40 رياال, سيحتاج سلطان إلى أسبوعا زيادة حتى يوفر نقودا كافية. استعن بالشكل المجاور لتسمي أي مستقيم يحقق الوصف في كل مما يأتي: 43) p 44) l 45) r أو p أو n حدد ما إذا كان المستقيمان متوازيين أو متعامدين أو غير ذلك في كل مما يأتي: 46) متوازيان ألن ميل كل منهما متساوي ويساوي 47 )متعامدان ألن حاصل ضرب ميل كل منهما يساوي 48 )متعامدان ألن حاصل ضرب ميل كل منهما يساوي 49 )غير ذلك ألن ميل كل منهما غير متساوي وليس حاصل ضربهما = 50) اكتب بصيغة الميل والمقطع معادلة المستقيم الذي يمر بالنقطة ) 4(, ويوازي المستقيم y 3 x 7 y 3 x 7 y mx b 34 b b 0 y mx b y 3x 0 ميل المستقيم = 3 ألنه يوازي المستقيم التعويض بالنقطة ( )4, 5) اكتب معادلة المستقيم الذي يمر بالنقطة ) 8(, ويعامد المستقيم الذي يمر بالنقطتين ( )7,, (.)3, m y y x x 0 0 7 3 0
,7,,3 لهما نفس اإلحداثي الصادي لذا فالميل = صفر النقطتين وهذا يعني ان المستقيم افقي يوازي محور السينات والمستقيم المتعامد علية x يكون رأسي إن معادلته هي 8,8 الذي يمر بالنقطة C = 4x أو + 0 C = 40 (x ) + 50 5) صناعة الفخار: العرض عدد السيارات 0 50 00 المبلغ 80 00 400 53) تمثيالت متعددة: a( جدوليا : العرض عدد السيارات 0 50 00 المبلغ 90 50 350 b (عدديا : y = 4x y = x + 50
c( بيانيا : d (تحليليا : إذا كان عدد السيارات 35, فإنه يكسب 40 رياال من العرض األول و 50 + (35) أو 0 رياال من العرض الثاني, إذن فالعرض الثاني أفضل. إذا كان عدد السيارات 8 سيارة, فإنه يكسب 30 رياال مع العرض األول, ويكسب 30 رياالت من العرض الثاني, إذن العرض األول هو األفضل. وإذا كان e( لفظيا : إذا كان عدد السيارات أقل من 75 سيارة فإذن العرض الثاني اكثر كسبا, عدد السيارات أكثر من 75 سيارة فإن العرض األول أكثر كسبا. f( منطقيا : إذا كان عدد السيارات 75 سيارة: + 50 (75) = 50 = 50 + 300 العرض األول 4(75) = 3 العرض الثاني العرض األول والثاني متساويان.
y 6x 8 4 y 6x 4 y 6 x 4 y 3x m 3 3 = 3 y 4 6x 8 n, 4,, 8 54 )تحد: ميل المستقيم ميل المستقيم المار بالنقطتين ألنه عمودي على y 4 6x المستقيم 8 y y 8 4 3 x x n 38 4 n 4 n n n 4 55) تبرير: نعم على استقامة واحدة ميل المستقيم المار بالنقطتين (,) و (5,) يساوي y y 5 3 3 x x 4 4 وميل المستقيم المار بالنقطتين (5,) و (8,6) يساوي y y 5 8 3 3 x x 6 4 4 وبما أن للمستقيمين الميل نفسه, ولهما نقطة مشتركة, فإن لهما المعادلة نفسها. لذلك فإن جميع النقاط تقع على استقامة واحدة. 56) مسألة مفتوحة: 3 x 7 y
57 )اكتشف الخطأ: الحالن صحيحان, كتب فيصل المعادلة بصيغة الميل والمقطع, على حين كتبها راكان بصيغة الميل ونقطة. 58 )اكتب: إذا أعطيت الميل ومقطع المحور y يكون استعمال صيغة الميل والمقطع أسهل, وعندما ت عطى نقطتين أو الميل ونقطة يكون استعمال صيغة الميل ونقطة أسهل. 59) C 60) C الميل = 3 النة عمودي على المستقيم المعطاة النقطة ( (, b 3 mx b y 6 b b 5 y mx+ b y = -3x - 5 أوجد ميل المستقيم الذي يمربالنقطتين المحددتين في كل مما يأتي: 6) A4, 3, B5, y y m 3 5 5 x x 5 4 6) 0,, 3, 4 A B y y m 4 6 x x 3 0 3
63) A y y m x x, 5, B5, 5 4 5 3 4 3 64) أوجد قيمة,x y في كل من الشكلين اآلتيين: 5x 4x 5x 4x x نظرية الزاويتين المتقابلين بالرأس متساويتان: نظرية الزاويتان المتجاورتان على مستقيم متكاملتان: 80 4x 80 4 84 6y 0 84 6y 74 y 3. 3 65) 3x 48 x 48 3 x 6 نظرية الزاويتان المتناظرتان متساويتان:
x 4x 8 56 4 8 46 8 56 48 y 80 y 80 56 48 y 78 y 78 88. في الشكل المجاور: 58 7 نظريتان الزاويتان المتناظرتان متساويتان ( 66 47 5 نظريتان الزاويتان المتبادلتان متساويتان ( 67 75 80 ألن مجموع زوايا المثلث الداخلة 8 6 ( 68 07 80 5 3 ألن مجموع زوايا المثلث الداخلة 8 4 ( 69 73 47 6= نظريتان الزاويتان المتناظرتان متساويتان 3 8 ( 70 ( 7 9 49 80 58 73 80 7 8 ألن مجموع زوايا المثلث الداخلة 8 أوجد قيمة كل من x و y: 7 )متبادلتان خارجيا
6x 3x 90 9x 90 x 0 y 0 90 y 00 y 8. 333
أوجد معادلة العمود المنصف للقطعة المستقيمة PQ في كل مما يأتي: ) P 5,, Q 7, 4 x x y y M, M 5 7, 4 نقطة منتصف M 63, :PQ y y m 4 x x 7 5 : ميل PQ x y x y y m x 3 6 ميل العمود المنصف =: y 3 x 6 y x 63 y 9 x 3, 9 Q ) P,, 5 x x y y M, M 3, 5 9 M, نقطة منتصف :PQ 7 y y m 5 9 4 x x 3 ميل : PQ ميل العمود المنصف = y y m x x y 7 x
y 7 x y 7 x y x 8 3) P,, 3, Q 0 x x y y M, M 0, 3 M, نقطة منتصف :PQ y y m 3 4 x x 0 ميل : PQ ميل العمود المنصف = y y m x x x y y x y x 0,. 6, 0. 5,. 4)P Q x x y y M, M.,.. 0 5 0 6 M 0. 5,. نقطة منتصف 85 PQ y y m.. 6 0. 5 x x 0. 5 0 0. 5 : ميل PQ ميل العمود المنصف = y y m x x y. 85 x 0. 5 y x 0. 5. 85 y x.
Y XYZ, 3, X, 0 استعمل ماتعلمته إليجاد معادالت المستقيمات التي تحوي أضالع المثلث. Z 3,, Y, 3 X, 0 y y m 0 3 3 x x 3 ميل :YX y mx b y x 3 y x 3 معادلة :YX Z 3,, Y, 3 y y 3 m 4 x x 3 : ميل ZY y mx b y x معادلة :ZY Z 3,, X, 0 y y 0 m x x 3 5 : ميل ZX y mx b y x 5 معادلة :ZX
. PR تمثل البعد بين Q و Q ) ),, 5, 4 y y m 4 x x 5 4 54, y mx b 4 5b b 4 5 5. y x 5. معادلة المستقيم l:
P 7 ميل المستقيم العمودي على = l ألن,, y mx b 7 b b 7 b 9 P 7 هي: معادلة المستقيم العمودي على المستقيم l والمار بالنقطة, y x 9 y x 9 في y x بضرب المعادلة 9 y x 5. + y x 9 0. 5x 7. 5. 5x 7. 5 x 3 y 3 9 y 3 y 3 P, 7, 3, 3 3 3 7 d x x y y 4 4 6 0 4. 47 4. 47 l, البعد بين p
صفحة 7 P 0, 5 )3A رسم النقطة 3 P 3 المستقيمان متوازيان ميل كل منهما = وميل المستقيم العمودي عليهما = x 0 y y m x x y 5 y x 5 3 3 3x 6 x 5 3 3x x 5 6 3 3 x 3 x 33. y 3x 6 y 3 3. 3 6 y 3. 9 3. 3, 3. 9, 0, 5 :s, إذن نقطة تقاطع المستقيمين p.. d x x y y 0 3 3 5 3 9 0. 89.. 3. 47 3. 47 البعد بين المستقيمين
)3B a x 3y 6 3y x 6 y x 3 b x 3y 4 3y x 4 y x 4 3 3 P 0 النقطة, العمودي عليهما = 3 المستقيمان متوازيان ميل كل منهما = وميل المستقيم P 3 y y m x x y 3x 0 y 3x y 3 x y 3x y x 4 3 3 3x x 4 3 3 3x x 4 3 3 0 x 0 3 3 x y 3 y 4, 4, 0, نقطة تقاطع المستقيمين, pb : 0 4 d x x y y 4 36 40 6. 3 6. 3 البعد بين المستقيمين
أنشئ القطعة المستقيمة التي تمثل البعد في كل مما يأتي: ( البعد بين y و S ) 3 (أنابيب: l, p هندسية إحداثية: أوجد البعد بين المستقيمين في كل مما يأتي: المثال
4) 4, 3,, 0 y y m x x 0, P y mx b 0 b 0 3 3 4 6 b y y b b y x معادلة المستقيم l: P 3, 0 ميل المستقيم العمودي على = l ألن, mx b 0 3 b 0 6 6 P 7 هي: معادلة المستقيم العمودي على المستقيم l والمار بالنقطة, x 6 y x 6 في y x بضرب المعادلة 6 y x + y x 6 0. 5x 5. 5x 5 x 6 y x 6 y 6 6 y 4
P 3, 0, 6, 4 6 3 4 0 d x x y y 3 6 9 36 45 3 5 3 5 l, البعد بين p وحدة 5) 6,, 9, 4 y y m 4 5 x x 96 5 6, P y mx b 6b 3 6 b 3 b b 3 y x معادلة المستقيم l: 3 P 4 ميل المستقيم العمودي على = l 3 ألن,, 3 3 y mx b 3 4 b b b P 4 هي: معادلة المستقيم العمودي على المستقيم l والمار بالنقطة, y 3x y 3x في y 3x بضرب المعادلة
y x 3 3 0 0 x 0 3 + y x 0 x 0 3 x 3 y 3x y 3 3 y P 4,, 3, 3 4 d x x y y 3 9 0 3. 0 l, البعد بين p وحدة 6) 4, 8,, 9 y y m x x 4, 8 P y mx b 8 6 b b 8 6 b 9 8 9 4 6 8 3 4 b 3
y 3 x معادلة المستقيم l: P 3 ألن 9, 5, ميل المستقيم العمودي على = l 3 3 y mx b 5 9b 3 b 5 6 b 9, P هي: معادلة المستقيم العمودي على المستقيم l والمار بالنقطة 5 y x 3 y x في y بضرب المعادلة x 3 3 y 3 x + y x 3 0 3 x 3 6 3 x 3 6 x 6 y x 3 y 6 4 3 3 y 3 P 9, 5, 6, 3 6 9 3 5 y d x x y 3 9 4 3 3. 6
3 l, البعد بين p وحدة أوجد البعد بين كل مستقيمين متوازيين فيما يأتي:المثال 3 7) y x 4 y x 4 P 04, النقطة المستقيمان متوازيان ميل كل منهما = وميل المستقيم P العمودي عليهما = y y m x x y 4 x 0 y 4 x y x 4 y x 4 y x 4 x 4 x 4 x x 4 4. 5x 0 x 4 y x 4 y 4 4 y 6 4, 6, 0, نقطة تقاطع المستقيمين, pb : 4 d x x y y 0 4 4 6 6 4 0 5 5 البعد بين المستقيمين وحدة
8) y 7 y 3 0, 7, 0,3 0 0 3 7 d x x y y 00 0 البعد بين المستقيمين وحدات : أنشئ القطعة المستقيمة التي تمثل )9 البعد في كل مما يأتي ) ( مدرسة:
الممر B هو أقصر هذه الممرات الثالثة, إذ إن المسافة العمودية هي أقصر مسافة من أحد جانبي الساحة إلى الجانب اآلخر. وبما أن الزاوية التي يصنعها الممر B هي األقرب إلى 90, فإن الممر B هو أقصرها. ) l, p هندسية إحداثية: أوجد البعد بين المستقيمين في كل مما يأتي: المثال 0, 3, 7, 4 y y 4 3 m 7 x x 7 0 7 74, y mx b 4 7 b b 3 y x معادلة المستقيم 3 l: P 43 ميل المستقيم العمودي على = l ألن,, y mx b 3 4 b b 3 4 b 7 P 7 هي: معادلة المستقيم العمودي على المستقيم l والمار بالنقطة, y x 7
+ y x 3 y x 7 y 0 4 y y 4 y x 3 x 3 x 5 P 4, 3, 5, 5 4 3 d x x y y 3),, 4, y y m 0 0 x x 4 6 4, y mx b 04 b b معادلة المستقيم y :l P 57, y mx b 7 05 b b 7 y 7 :l, البعد بين p وحدة
P 0,, 0, 7 y y 0 0 7 d x x 36 6 4) 8,, 3, y y m 0 0 x x 3 8 3, y mx b 03 b b معادلة المستقيم y :l P, 4 y mx b 4 0b b 4 y 4 P 0,, 0, 4 :l, 6 وحدات البعد بين p y 0 0 4 d x x y 09 3 :l, 3 وحدة البعد بين p
5) y y 4 0,, 0, 4 أوجد البعد بين كل مستقيمين متوازيين فيما يأتي: y y 0 0 4 d x x 0 36 6 6) x 3 x 7 3, 0, 7, 0 d x x y y 7 3 0 0 6 0 7) y x 3 y x 3 4 3 P 3 المستقيمان متوازيان ميل كل منهما = والنقطة وميل المستقيم العمودي عليهما y x y P 0, 3 x y m x 3 3 0 y 33x y 3x 3 3 =
y x 3 y 3 x 3 3x 3 x 3 3x x 3 3 0 x 5 3 x 5. y 3x 3 y 3. 5 3 y 7. 5 0, 3,. 5, 7. 5.. d x x y y 5 0 7 5 3. 5 4. 5 3 0 8) y 5 y 4 0, 5, 0, 4 d x x y y 0 0 4 5 9 9 9) 3x y 3 y 3x 3 y 7 3x y 3x 7
P العمودي عليهما = 3 وميل المستقيم المستقيمان متوازيان ميل كل منهما = والنقطة P 03, 3 3 y 3 x y x 3 3 3 y x 3 3 y 3 x 7 3x 7 x 3 3 3x x 3 7 3 0 x 0 3 x 6 y y m x x y 3 x 0 y 3x 7 y 3 6 7 y 0, 3, 6, d x x y y 6 0 3 36 4 40 0
0) y 5 x 35. 4 4y 0. 6 5x y 5 x 0. 6 y 5 x. 65 4 4 4 العمودي عليهما = 5 المستقيمان متوازيان ميل كل منهما = وميل المستقيم P 4 والنقطة P 4 0, 3. 5 5 y y m x x y 3. 5 4 x 0 5 y 35. 4 x y 4 x 35. 5 5 y 5 x. 65 4 y 4 x 35. 5 4 x 3. 5 5 x. 65 5 4 4 x 5 x. 65 3. 5 5 4. 05x 6. 5 x 3 y 4 x 35. 5 y 4 3 3. 5 y 5. 0, 3. 5, 3,... d x x y y 3 0 3 5 9 5. 76 3 4 3. 8 5
م) ( برهان: المعطيات: l متساوي البعد عن m, وn متساوي البعد عن m. l المطلوب: n البرهان: متساوي البعد عن m, وn متساوي البعد عن m عطيات( l) n و m ( m l )تعريف تساوي البعد(. ميل m 3 (ميل l يساوي ميل m )تعريف توازي مستقيمين( يساوي ميل n. 4 (ميل l يساوي ميل n )بالتعويض(. l )تعريف توازي مستقيمين(. n )5 ) y 3 m 0, 5, y mx b 0 5 b b y أوجد البعد بين المستقيم والنقطة في كل مما يأتي : 0, 3, 0, d x x y y 0 0 3 0 5 5 5
3) y x 6, 6, 5 6 y y m x x y 5 6x 6 y x 6 x 6 37 x 37 6 x 6 y 6x 3 y 36 3 y 5 65, 5 6x 36 y 6 6x 3 6x 3 6 6x 3 5 5 6 6 d x x y y 0 0 0 4). y هي 5, 5 ميل معادلة العمودي على المستقيم 4 x من النقطة التقاطع بين المستقيم x 4 و 5 y هي لذا نقطة 45,. 45,, 5 باستخدام قانون المسافة بين النقطتين و
d x x y y 4 5 5 36 0 6 5( ملصقات: يمكن أن يقيس شاكر المسافة العمودية بين الملصقين في مكانين مختلفين. الملصقان متوازيين, إذا كانت المسافات بينهما متساوية. ويكون إنشاءات هندسية: 6( المستقيمان متعامدان, وميل l يساوي وميل PQ ضرب الميلين يساوي فالمستقيمان متعامدان. يساوي. ويما أن ناتج 4, 3,, 3 L y y 3 3 6 x x 4 6,,, PQ y x y x
7( الرسمة 8 (هندسية إحداثية: )a A 4, 4, B, 0 )b 9 (تمثيالت متعددة: هندسيا : a) b( لفظيا : ضع نقطة C عند أي مكان على المستقيم m. فمساحة المثلث تساوي نصف طول القاعدة مضروبا في االرتفاع. ويبقى هذان العددان ثابتين أينما كان موقع النقطة C.
c( تحليليا : مساحة المثلث = طول القاعدة األرتفاع 6. 5cm 3 3( اكتشف الخطأ: ادعاء زيد صحيح إذ أن البعد بين النقطتين A و C يساوي.cm تقريبا. على حين أن البعد بين B و D يساوي.35 cm تقريبا. وبما ان البعد بين المستقيمين غير ثابت فسيلتقيان عندما يمدان على استقامتيهما. 3( اكتب: ايجاد المستقيم العمودي من B إلى D و ايجاد المستقيم العمودي من A إلى C ثم إيجاد منتصف كل عمود منهما والتوصيل بين منتصفيهما إليجاد مستقيم يوازي المستقيمين األخرين. 3( تحد: d x x y y a 0 a 6 4 5 a a a 0 6 4 5 45 54 m y y x x m 6 4 0, 4, 0, 6 إذا كانت a والنقطتين ميل المستقيم العمودي: ميل المستقيمين المتوازين:
4, y y m x x y y 4 x y 4 x 06, y y m x x y 6 x 0 y x 7 x 6 y y m x x 6 4 0 m 4,, 4, 0, 6 إذا كانت a والنقطتين ميل المستقيم العمودي: ميل المستقيمين المتوازين: y y m x x y 4 x y 4 x y x 7 06, y y m x x y 6 x 0 y x 6 33( تبرير: صحيحة أحيانا إذ يمكن إيجاد هذا البعد عندنا يكون المستقيم يوازي المستوى فقط.
34( مسألة مفتوحة: (a (b باستعمال المنقلة, نجد أن قياس الزاوية التي أ نشئت يساوي 90. لذا فالمستقيم الذي أنشئ من الرأس P عمودي على الضلع المختار غير المجاور. 35) تحد: إذا كان المستويان متساويي البعد عن مستوى ثالث, فإن المستويين متوازيان. 36 )اكتب: نختار نقطة على أحد المستقيمين, ونجد معادلة المستقيم الذي يعامد المستقيمين المتوازيين ويمر في هذه النقطة, ثم نجد نقطة تقاطع هذا العمودي مع المستقيم اآلخر الذي لم يستعمل في الخطوة األولى, وبعد ذلك نستعمل صيغة المسافة بين نقطتين إليجاد المسافة بين النقطة المفروضة على المستقيم األول, ونقطة التقاطع على المستقيم الثاني, فيكون الناتج هو البعد بين المستقيمين المتوازيين.
A (37 BD 0 8 BD 36 6 نفسه H (38 مساحة المربع = طول الضلع 300 84. 6 800 39) استعن بالشكل المجاور لتحدد ما إذا كان a. b برر إجابتك
m a y y 4 x x 3 3 m b y y x x 5 3 3 بما أن الميلين متساويان فإن a. b اكتب بصيغة الميل ونقطة معادة المستقيم المعطى ميله ونقطة يمر بها في كل مما يأتي: 40 ) m, 3, 4 y y 3 mx x y x 3 y x 4 4 4 y x 7 4 4 4) m 0,, 6 y y m x x y 6 0x y 6 4) m, 6, 7 y y mx x y 7 x 6 y 7 x y x 9 43) حاسوب: 9 0 هذا يعني انها زدت بنسبة بما أن النسبة بعد عام 46 بسنتين أصبحت خالل السنتين ألن 9 0 9 عدد السنين = 5 عدد السنين 6 إذن السنة التي تكون فيها نسبة المشتركين 434 ه 48 6 50
استعمل صيغة المسافة بين نقطتين إليجاد المسافة بين كل نقطتين فيما يأتي: 44 ) O, 0, P 8, 3 y y 4 3 5 5 d x x 8 3 0 ) R3,, S, 5 y 5 5 44 69 3 46 3 d x x y 3 5 3 ) Q,, 9, 3 4 9 6 5 5 47 6 9 6 d x x y y
اختبر مفرداتتك: بين ما إذا كانت كل جملة مما يأتي صحيحة أو خاطئة: ( خاطئة, متوازيان. ( صحيحة. 3( صحيحة. 4( خاطئة, متكاملتان. 5( صحيحة. 6( صحيحة. 7( خاطئة, متطابقتان. 8( صحيحة.
صنف كل زوج من الزوايا إلى زاويتين متبادلتين داخليا أو متبادلتين خارجيا أو متناظرتين أو متحالفتين مستعمال الشكل أدناه. 9( متناظرتان. متبادلتان ( داخليا. متبادلتان خارجيا. متحالفتان. ) ) 3( جسور المشاة: مستقيمان متخالفان. في الشكل أدناه أوجد قياس كل من الزوايا اآلتية وأذكر المسلمات والنظريات: 4) 5 3 نظرية الزاويتين المتبادلتين خارجيا :
5) 3 5 3 4 80 3 4 57 نظرية الزاويتين المتناظرتين والمتجاورتين على مستقيم: 6) 6 4 57 نظرية الزاويتين المتناظرتين: 7) 5 3 نظرية الزاويتين المتبادلتين داخليا : 8) 4 80 5 4 80 3 57 9) 6 4 57 نظرية الزاويتان المتجاورتان على مستقيم متكاملتان: نظرية الزاويتين المتقابلتين بالرأس متساويتان: 0) خرائط: x x x 55 80 80 55 5 نظرية الزاويتان المتحالفتان:
هل يمكن إثبات أن أيا من مستقيمات الشكل متوازية اعتمادا على المعطيات في كل مما يأتي: W عكس نظرية الزاويتين المتحالفتين. X ) ال يوجد مستقيمات متوازية. W X عكس مسلمة الزاويتين المتناظرتين. ) )3 V عكس نظرية الزاويتين المتبادلتين خارجيا Z )4 5( أوجد قيمة x: x x 5 6 80 7x 7 80 7x 80 7 7x 53 x 9
6( هندسة المواقع: AB CD m BAD m ADC 80 45 ADC 80 ADC 80 45 ADC 35 XY حدد ما إذا كان AB و متوازيين أو متعامدين أو غير ذلك في كل مما يأتي: 7) y y x x 7 m XY 0 8 8 m AB y y 0 3 3 x x 8 5 3 = AB بما أن حاصل ضرب ميل كل من XY و إذن المستقيمان متعامدان
8) m XY y y 7 3 6 x x 5 4 9 3 y y 7 9 x x 0 3 m AB 3 المستقيمان غير ذلك ألن حاصل ضربهما وغير متساويان. 9) y y x x 6 y y B m XY m A 3 5 7 6 x x 8 0 3 5 المستقيمان متوازيان ألن ميل كل منهما متساويان.
30), 59, m AB y x y x 5 9 3 7 3) 4, 66, m AB y y x x 6 4 6 5
5 وميل العمودي 3, 7, 5, m 3, 5, 9, 7 m A B y y 7 6 x x 5 3 8 y y 7 5 x x 9 3 6 3 3 3) طائرات: بما أن ميل كل من, AB إن الطائرتين متوازيين. اكتب بصيغة الميل ونقطة معادلة المستقيم المعطى ميله ونقطة يمر بها في كل مما يأتي: 33) m, 4, 9 x x y y m y 9 x 4 y 9 x 8 y x 7
34) m 3, 8, 4 y y mx x y 3 x 4 5 35) m 5, b 3 y 3 x 8 y 3 x 4 4 4 4 اكتب بصيغة الميل والمقطع معادلة المستقيم المعطى ميله: y mx b y 5x 3 36) m, b 4 4 y mx b y x 4 اكتب بصيغة الميل والمقطع معادلة المستقيم المعطى ميله الذي أعطيت نقطتان يمر بهما فيما يأتي: 3,,, 37) 50 m y y 0 x x 5 3 8 3 y mx b 3 b 3 b b 0 y mx b y x 0 3
7,,, 38) 58 m y y 8 6 x x 5 7 y mx b 7 b 7 b 7 b b 55. y mx b y x 55. 39) فيزياء: v 7t 30 30 7t t 30 7 t 43. s المعادلة: أنشئ القطعة المستقيمة التي تبين البعد في كل مما يأتي: (40
(4 4) قياس: صف المسامير الثاني متساوي البعد عند جميع نقاط الصف األول.
صنف كل زوج من الزوايا فيما يأتي إلي زاويتين متبادلتين داخليا, خارجيا أو متناظرتين, أو متحالفتين, مستعمال الشكل أدناه: أو متبادلتين متبادلتان خارجيا. متحالفتان. متبادلتان داخليا. ) ) )3 أوجد ميل المستقيم الذي يمر بالنقطتين المحددتين في كل مما يأتي: 4) 8,, 8, 6 m 5) AB 0, 6, 4, 0 m AB y x y x الميل غير معرف 6 7 8 8 0 y y 06 6 3 x x 4 0 4 6) 6, 3, 6, 3 m AB y y 3 3 0 6 6 x x 0
7) 5, 4, 8, m AB y y 4 3 8 5 3 x x في الشكل أدناه أوجد قياس كل من الزوايا اآلتية, استعملتها: واذكر المسلمات والنظريات التي 8) 8 9 80 96 9 80 9 80 96 9 84 نظرية الزاويتين المتحالفتين: 9) 80 4 80 80 4 38 نظرية الزاويتين المتكاملتين: 0) 6 80 6 38 80 6 80 38 6 4 نظرية الزاويتين المتحالفتين: ) أوجد قيمة x في الشكل األتي:
x x x 8 0 0 8 8 نظرية الزاويتان المتبادلتين خارجيا : ) ناد رياضي: a) y 00x y 40x 80 ليسا متوازيين, يتقاطع المستقيمان ألن ميليهما غير متساويان. (b االول العرض دائما هو األفضل, فعلى سبيل المثال إذا فرضنا أن عدد الشهور= (c y y y y y 00 400 40x 80 40 80 460
نجد أن تكلفة العرض األول أقل من تكلفة العرض األول دائما أقل. الثاني وإذا افترضت أي عدد من األشهر سيكون 3) m 8 y mx b 8 b b 3 y mx b y x 3 اكتب بصيغة الميل والمقطع معادلة المستقيم في كل من الحاالت اآلتية:,, 4) m 4 0 7 y mx b 740 b b 7 y mx b y 4x 7,, أوجد البعد بين كل مستقيمين متوازيين فيما يأتي: 5) y x, y x 7 P 0, النقطة 7 المستقيمان متوازيان ميل كل منهما = وميل العمودي = y y m x x y 7 x 0 y 7 x y x 7
y x 7 y x x 7 x x 7 x 4 x y x y y 9, 9, 0, نقطة تقاطع المستقيمين: 7 d x x y y 0 7 9 8 البعد بين المستقيمين = وحدة 6) y x, y x 6 P 0 النقطة, المستقيمان متوازيان ميل كل منهما = وميل العمودي = y y m x x y x 0 y x y x y x 6 x 6 x. 5x 6. 5x 5 x 6 y x 6 y 6 6 y 4 نقطة تقاطع المستقيمين: 6, 4, 0,
0 6 4 d x x y y 36 9 45 3 5 البعد بين المستقيمين = 5 3 وحدة اختيار من متعدد: VZ : D )7 8( أوجد قيمة x: عكس نظرية الزاويتين المتحالفتين. x x 4 8 80 x 80 x 80 x 4 9) 4,, 3, 5 y y m x x 3, 5 y mx b b 5 7 3 4 7 5 3b هندسة إحداثية:
y x معادلة المستقيم :l P ميل المستقيم العمودي على = l ألن,, y mx b b b b P هي: معادلة المستقيم العمودي على المستقيم l والمار بالنقطة, y x y x + y x y 3 y 5. y x. 5 x x. 5 x 05. P 0. 5,. 5,, x 0. 5. 5 d x y y 0) 6. 5 6. 5 6, 5,, 3 5 y y m 3 5 x x 6 4 3, y mx b 3 b b 5 :l, بين البعد p وحدة
y b b x ميل المستقيم العمودي على = l ألن معادلة المستقيم l: P 6,, 6 b y mx b 6 4 0 P 6 هي: والمار بالنقطة, y x 0 y x 4y x 8 y x 0 + 4y x 8 5y 8 y 36. y x 0 3. 6 x 0 x 3. 6 0 x 6. 4 x 3. معادلة المستقيم العمودي على المستقيم l ضرب المعادلة l في 4: P 3., 3. 6,, 6 3. 6 3. 6 d x x y y. 44 5. 76 6 5 5
استعمل الشكل أدناه لتجد ميل كل مستقيم: ) (0, 0), (4, 9 ) L y y 9 0 9 3 x x 4 0 6 ) ( 0, 0), (0, 4) y y M 4 0 4 x x 0 0 0 5 3) (0,4), (, 6 ) 5 ميل مستقيم يوازي = m N y y 6 4 0 5 x x 0 8 4 4 5 ميل مستقيم يعامد = n
4( أعمال: 5 300 00 00 مقدار العمولة الزائدة التي يتقاضاها = y x إذن المعادلة هي: 300 حيث x عدد ساعات العمل. اقرأ كل سؤال فيما يأتي, ثم اكتب اإلجابة الصحيحة على نموذج اإلجابة: ) الشكل أدناه: في ما قيمة x x x 30 35 75 ( ما قيمة x في الشكل أدناه: 65 4x 9 مكملة حسب نظرية الزاويتين المتناظرتين
4x 9 65 80 4x 56 80 4x 80 56 4x 4 x 3 8 : D ( 3 3 6 : A ( A (3 0, 4, 6, 0 y y m x x 0 4 4 6 0 6 3 5, 5, 4, y y m x x 4, y b b mx b 8 3 5 3 5 6 4 5 9 3 4b 3 B (4 y x 5 3 3 معادلة المستقيم l:
3 ألن 3 4, 0, ميل المستقيم العمودي على = l 3 y mx b 0 3 4b b 6 4, هي: معادلة المستقيم العمودي على المستقيم l والمار بالنقطة 0 y 3 ضرب المعادلة في x 6 y 3 x 6 y 3 x 6 + y x 5 3 3 0 3 x 3 6 3 x y y y x 5 3 3 5 3 3 3, 3, 4, 0 x x d y y 4 0 3 49 3 3. 6 36. :, البعد بين K وحدة
C ( 5 مكملة = 6 x 4 0 x 6 x 58 A (6 35 نظرية الزاويتين المتبادلتين داخليا : نظرية الزاويتين المتبادلتين داخليا : 3 50 3 35 50 85
B ( 7 580 40 40x 40x 580 40 40x 440 x 8) إجابة شبكية: مستقيم واحد يمر بتلك النقطة ويوازي المستقين المعلوم. 4, 3,, 5 y y m x x 5 3 8 4 6 4 3 إجابة شبكية: 9) أوجد ميل المستقيم:
0) أكمل البرهان األتي: العبارات المبررات معطى خاصية الطرح للمساواة زاويتان متجاورتان وخاصية الجمع خاصية الطرح للمساواة خاصية التعدي عكس مسلمة الزاويتين المتناظرتين ( ( (3 (4 (5 (6 8 80 ( m 80 m8 ( 5 8 80 ( 3 m5 80 m8 ( 4 5( 5 a b (6 ) أكتب المعاكس اإليجابي للعبارة. إذا لم يكن الشكل متوازي أضالع,فإنه ليس مربعا.
) استعن بالشكل أدناه لتحدد كل ما يأتي: NR, OS القطعتان المستقيمتان: (a المستويات: QMN, SOM, QRS, OMN MQ (b (c 3) استعن بالتمثيل البياني المجاور لإلجابة عن كل من األسئلة اآلتية: y 0. 8x5 08.. 5 (a (b (c **********************************