ا اد ا وا ان Colors) (Complex Numbers and ا وا ا ا ا ر ض ا و "Complex Beauties" ان ر وا ي ا ا ا ار ا ا وال ا ال ك ا ا ر ا ة وال ا ا ا ن و ت ا دة ض ة ة

النسخ

1

2 ا اد ا وا ان Colors) (Complex Numbers and ا وا ا ا ا ر ض ا و "Complex Beauties" ان ر وا ي ا ا ا ار ا ا وال ا ال ك ا ا ر ا ة وال ا ا ا ن و ت ا دة ض ة ة ر ى وا ا ل ا و ا ا و ا ن ا ن و ر م ا و رئ ا رئ ا ه ن ا ت ا و ا ا اء م ا ه ا ا أن ا ب ر ا و وأن ن ا ع و ا وا ا و دة أ ض ة ة ة أ ا ء ا أ ل و ت ذات م ا ي ا ذا ا وا ع ن اة ع ا Albrecht Böttcher ا م ا ص أن د ا (أ ا ول) إن ء ر ا (phase portraits) ا ا د ا ي ي وص إذ إن ا ا ا ا z و z = x + iy و (Im z) z د ا ا ء أ ا ه ا وا ا (Re z) z د ا ا ء زاو و z ا د س و z وا ي ا أ z ا د ا ا أن ذ ا ر) و أد ه ا رة (وا f ا ا (phase portrait) ا رة إن زاو ( (أو z ا د و arg z ن ا ط f z و أو (phase) ا w = f (z) أدق ا ة ا و ا ام دو ب ا ان z f f (z) أ ان ط ا ي- w : ت ا ا أ ا ط ا ا ا ن ذا ) ا رة و ا ( ن ا ط ا ا ذا ن وا ا ة ا ا ي- w f (z) ا ن f z ا ر رة ا ي دا ا ه (fingerprint) ا ا ا أن ءا وا ا ا ت ه (و ا ) وا ء ا (و ا س) و و إ اء ا ن ا ت إ اء إن ا و ر ا وال م أو ا ا وال ا وال: ء إ دة (normalization) و ة رؤ اص ا وال ا رو f f ا وا أ ه وا ي (phase portrait) ا رة أ : ت ام ا ا ا ظ أ ا ر ا رة و ا إ ا س إ ا ا رة ا ر ا ا ا وا ا ا رئ أن ا وال وا م رة ا ا ب: E. Wegert, Visual Complex Functions: An Introduction with Phase Portraits, Springer Basel وا ا ت ل ا ا (و و ات ( و ل ا ب آ ا ا : ا وع ا ا Verein der Freunde und Förderer der TU Bergakademie Freiberg e. V. و ا ام ا و Pamela Gorkin and Ulrich Daepp (Bucknell University, Lewisburg) Elias Wegert and Gunter Semmler (TU Bergakademie Freiberg), ا ا إ اج ا ا (MIPT وا ء ) ا د ا إ ا ا وا اج ا

3 Leonardo Pisano ا ن Su Mo Tu We Th Fr Sa Su Mo Tu We Th Fr Sa

4 ا ا ا ة Liber) ا ب " ب ا ورو م ا ت و ة ا د ا ت أ وا ة أ : وا ا را و ا ا ا ا ى و ا وا ب ا ا ر م "(abbaci ن ا ا زواج د ا ا و ن ن (ذ وأ ) ا را زوج ى " أزوا ا زواج ه ا ا و آ زو ا وج أن ا ض وذ وا ة ور ا وج ا أ ى و ا " أن ا را و ض وا ة ا ا ل و n ا ا ا ا أزواج ا را د إ F n إ ا وا ا ن ا ا ر أ أ أزواج ا ا 0 ا د إ و ف F 0 = 0, F 1 = 1, and F n = F n 1 + F n 2 for n 2 ا : ر ة ا ا ا و أول س و ن ا د ا وال ام إ د أو ول و وا ى أ ا د ود ه ا و أ ى ن f دا f ن أن ا (و ر أ دون ا ى أي ا ام ا ح و f (z) = n=0 F n z n F n z n = n=0 ا ا ا ة : z 1 z z 2 F n+1 lim = c, where c = n F n 2 (C و ا م أن: وا د c ا ا و أن ا ى أ ه ر دا ا ص /c z < و ا ح ا ا ارد ذا ة ا ا ا أن ا ا 50 أ ا ا ع ا ام وا c/1 أ و ن 0 وا و ا ي ا ي ا رة أن ه ا ا ه (phase portrait) ا رة ا م ا ا ا ا ف إن رة 1) + (c/1 ة ا ا آ 2012 م أ ل ر ن ا ا ا ى ا رة (1250 ا ا ) (Leonardo Pisano) ا ردو ا ا ا ر م ام وا ب ا إ ل و وا ه ا ا إ ا ا ن filius Bonacci ردو م ا ب ا ا آ ا ب" " ب ا إ د ى ا ا ر م (أي ا ( و و ا ر ا ا إ أ أ ب ا ت وا ي ن رة درا ا ة ا أ أد ك و ا ى ف ا ردو ت ء آ و ا اد را ي ا أ ا ة وا ا رة ا ا ا ه ا ا ر ء ا ل إذ إ ا ء و ا و ا رة ا ة و ل ا ن ا وا ي و أ ؤه ا دا ا ا ات د و أم إذا ن و ا رة ه L. Sigler, Fibonacci s Liber Abaci. A Translation into Modern English of Leonardo of Pisa s Book of Calculation. Springer, New York, 2002; p K. Devlin, The Man of Numbers, in search of Leonardo Fibonacci,

5 S. Germain ط Su Mo Tu We Th Fr Sa Su Mo Tu We Th Fr Sa

6 ( Sophie Germain s Identity) ن إن ا إ اءات ن ذا ة أ ا ن و ا ر ا و ا د ت و د ت ا ا و ى ا رئ وا ة أ ا ت ه ا اءات a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2, a 2 2ab + b 2 = (a b) 2, a 2 b 2 = (a b)(a + b) ا ام ا و أ رت إذ إ را ا ن أ ت ا ا ن ا و ذ ا ا أن a b 4 = (a 2 2ab + 2b 2 )(a 2 + 2ab + 2b 2 ) = ( (a b) 2 + b 2)( (a + b) 2 + b 2) (1) و ا ل أدر ن أ ا اد د a a د أو وا ه ا ة د أ إ ت (1)) (أي ا ن و ا ا ت و b أن = 1 ر (1) 3 a + 4 b = 5 c ا ا ا ن أ ن م a = b = c = 2 وا أ اد c و b و a أ ) أ اد a a ا ا أن ا إ ت ا ا م ا ل ت ا ا ت أو ) إذا ن دا a و 2 a ا و ه ا أو ا رة ف ا ا وا رة ا ا f (z) = z z z 4 ا ن و ة ا ا ا ن ا ي ا ا 13 < Im z و < 13 9 < Re z < 17 ا ا ا ا ن ا ا وا ا ا و و a 4 z 4 ا ا أ ر أر ا أ ار و f ا ا ا Sophie Germain ( ) ن ت ي ر أت ا ت ا دة أ ر إرادة وا و ا ء ا ق ت ن ات ا ت و ت ا ا ا رة ا ا ت ا ر و ا ا و ر ز ا ن و ا ا ر رل ا ل ( أ ن أو ا ر ) ن أت 1804 م ذ و م ا ن ا ا راه ل 1831 أو م و ا 1807 م أ و ن وص ن ن و ه ا ر س ا ء ا ن إ ت م 1637 اد دي أن إ أن ا د a a n + b n = c n و b و c أ اد و 3 n و ا ا م 1805 أ ن ا ا ن n ا اد ا و ) و أ اد ن ا و ) و ه ا ن ا ا ول ا ا ل و إ ت م 1995 م أ رو وا ( اك ر رد ر) إ ا ه ا ا اء ا و ي) (أ ل ا ا ازات را ن أت ا ت إ ى ة ت 1809 م ا ء ة ا د ا ر م ب 1815 أ م ا ة م ا اف ء ا ت ور ا ة أ ت ن ا ا ا و ا و ا ع و و ا ا وا ا ا م ه

7 J. Ph. M. Binet آذار Su Mo Tu We Th Fr Sa Su Mo Tu We Th Fr Sa

8 دا ا ر (The Logarithmic Gamma Function) ا ا د ر ا وا رة 2012 م آب أ (factorial function) ا ا أن ا ا ا م ا اء ا اوس ذ و ا ا ا اد أ ب ا إن ا ا رة 1 ( Γ(z) = zeγz 1 + z ) e z/n (1) n n=1 ا ا ن وا ر ا ر ا دا إن ا (Euler-Mascheroni) أو - و γ = ا ر ا دا دة ا (أ أ ر (2011 د e ζ = w أ د r > 0 w = re iφ ا ل و ζ n = log r + i(φ + 2nπ) أ ا اد ا n و ا أن ه ا ل ا ا ر و ζ 0 أ ذا π < φ π أ ا ا ر ا ا رة w = Γ(z) ا ا و ف ا ا و ا رة ا أد ه إن دا ا ر ة ا ط ا ا ا Γ و ا ا ت ا ذات ا ن ا زرق ا رة ا ا و ذ ا إ د دا ا ر ن ا ي ا ا ء log Γ(z) = ln z γz + n=1 ا ا ر ا ه ا ا ء (1) ( z ( n log 1 + z )) n و دا ا ر و رة ا ه ا ا ا رة ا ر أد ه ا ر log Γ(z) = = ا ك (Jacques Binet) آ ا ا ر أ :Re z > 0 ( z 1 ) ln z z + 1 ( ln(2π) t + 1 ) e tz e t dt 1 t ( z 1 ) ln z z ln(2π) + 2 arctan ( ) t z 0 e 2πt 1 dt. Jacques Philippe Marie Binet ( ) ري ك و ر (Rennes) و ن أ ه ر درس ا إ ر ا ر وأ ا ء ا ا و ا ن ا ا و ا ر و ودرس ا ت ا وا وا ا ت إ ت م 1830 م ز رة ا ر ا ذ در ن (أ اد أ وا - ا ن وا د ات ا ل وا و و Foucault s) اس وآ (de Moivre) ا دي أ ا ا و ه ا م) ا ا ن د ر أ ة ة و ا م أ د ا ا اس ا دورة وا ة ل ر م أول و ن (pendulum و ت و

9 J. E. Littlewood ن Su Mo Tu We Th Fr Sa Su Mo Tu We Th Fr Sa

10 (Littlewood Polynomials) د ود ات وا د ود ة +1 أو 1 وي a k أ P(z) = a n z n a 1 z + a 0 ود ة د ود ة P(z) = z n z + 1 = zn+1 1 z 1 ا : 1 وي أ وأ ر ا ور ا ة n) + (1 ء ا د 1 و ه ا ر دا ة ا ة (أ ا ا ر ج ا أد ه) م ا ن د أن أ ر أي ة ود ات P ود د ن دا ة ا ة و ا ا < 2 z ض 1/2 < أن ة z ا ود P دا دا ة ا ة أن = 0 P(z) أن 1 = a 0 = a 1 z + a 2 z a n z n z + z z n = z 1 z n 1 z < z 1 z و z < z 1 و ا أن > 1/2 z وا ب ذا م ن z وا رج دا ة ا ة إن رة ا ف ا ا ا ا م ة ود د ا ر 50 و ت ا ر ا أ د ا ات ا ود ه ت ا ن ا و ا ن ى ا ا ل P. Borwein و J. Erdélyi أ دا أي رؤو دا ة ا ة ا ا c n ة ود د ا ر c n ا إن ا ر ات ود د د ود ات ا ر ا و ا ووا درا ا ن و م ة أ ا ر 11 وا ا رج ا ر ا ر ات ود د ا در ا وي 12 John Edensor Littlewood ( ) د إ ر ن و رو ب ( Rochester) ق ا ا أ ءا ا 1892 و ب 1900 إ ن وا ه Trinity) د ذ ن ل ر ت درا درا ن ا ا إ د ت ر ا ت أ اء د أ ا ر س در ل ا ا ن ل أ و ج (College E.W. Barnes (أ ز (2017 وا ي م ر ن (أ ا ا ا م) وا د ار ط ر ن ا اد ا و وا ي ن و ة أورو ا ر و ا ل ء ا ت ا و و ل د و إ ا ا أي ذا ة ا ل ا ا م أ 1910 ون د ا وا و ن ا ت ا ا ن ا ول ا و (2017 ز (أ G. H. Hardy ردي.M Cartwright وا ا ت وا ا ى ا ت ا د ردي را ا ن د ن ا ت ء (أ ن (2016 و را ن S. Ramanujan (أ ن ا ول 2016 و ز (2013 و R. Paley و ن ا ة درا 1957 م ءا و ن ا ب ال ن ا ت ل و أ د ا د ت ا وا ر ن دي و ا ا وا ا ت ا ا ا ا واء ة P. Borwein and T. Erdélyi, On the zeros of polynomials with restricted coefficients, Illinois J. Math. 41 (1997), no. 4, R. Reyna and St. Damelin, On the structure of the Littlewood polynomials and their zero sets. arxiv: [math.cv]

11 R. Courant أ ر Su Mo Tu We Th Fr Sa Su Mo Tu We Th Fr Sa

12 (Finite Difference Method) ا ا وق ا ا ا ت ا ام ا د ت ا ا ل زع در ا ارة و ب ك ي ه ا د ت ا ت د ) أو ا ( ا و ن " ل ا ا ة 1925 م ا ا وق را أ ع ا د ا ا ام إ ة ا د ت ا ا ا "(On the theory of the linear partial difference equations) وا ة ا د دوال ا ا ا ط وا ال ا ت ا ا ل ا د ا ذات ا وق ا f (x) ا وق ا أو ا ا أو ا ا f + h f (x + h) f (x) (x) =, f h h f (x) f (x h) (x) =, f 0 f (x + h) f (x h) h (x) = h 2h و h إ و ا (discretization parameter) وا ي د ى ا و ه ا ن ا د ا د وق وا ل ا ف إ د ت د ود ا و أ ى ن ا ت ا ن ة د ا ذا ن ا أ ة h ا ة ن h k ا f 0 h ا ا وق ا و ا وق f h و ا ا f + h ا ا k ا وق ا ا ا ا (ا ي) ا ول ا وذ f 0 h f (pahse portrait) ا رة ا ا ا ف رة h = 10 7 و ا وق f (z) = cos z ا ا f 0 h (z) f (z) 1 6 h2 sin z أ ا ا ا و ا ا و ق ا رة إن ا ا ا ا ف ر ج ا ا وا h = 10 3 أ ذا ر ج ا وا ا ا h = 10 3 f ا ا ا ر و ام ا وق (ا ) ا ا ا fh (z) = 1 ( ) f (z + h) + i f (z + ih) f (z h) i f (z ih) 4h ر رد را Richard Courant ( ) و أ (Lublinitz, Silesia) م 1906 درا ا ء و (Breslau) ن ل إ درا ا ت ذ إ ز ر ذ ذ إ أ ك ا ت م را 1910 أ و ل ا ت ا وا إ اف ت و م 1912 در ا ذ أ ا ا اف م Paul Scherrer و Peter Debye را ا و ا ا ب ل أن د ة أ ى إ ا ؤه (Felix Klein) و م ا ا ت إ ذ ج أ وا ة و 1933 م أ درة را ن ا إ ا زي ا ب و ل ا ت ث ا Peter Lax و Kurt Friedrichs را ر رد أ ذ رك 1946 م ا وا ي رك ب را ا " ا ء ا "(Methods of mathematical physics) د ت م 1924 و م 1941 ا ا وأ 1941 م Herbert Robbins "(What is mathematics?) ا ت " ا

13 O. Toeplitz ان Su Mo Tu We Th Fr Sa Su Mo Tu We Th Fr Sa

14 (Toeplitz and Circulant Matrices) ا و ارة وا ت ا ا و و أ اد ا و ا د ا ر و ا ن ت ت أد ه T ا أ وذ n ذو وا ا و ارة ا ت ت c 0 c 1 c 2 c n 1 c 0 c 1 c 2 c n 1 c 1 c 0 c 1 c n 2 c n 1 c 0 c 1 c n 2 T = c 2 c 1 c 0 c n 3, C = c n 2 c n 1 c 0 c n 3 c 1 n c 2 n c 3 n c 0 c 1 c 2 c 3 c 0 وا C دو ارة ا ا ا λ M ا أ إ د ع ي ن x Mx = λx أ ا ا و ارة C f (z) = c 0 + c 1 z + + c n 1 z n 1 : وا ا f ا ود ة و أن ا ا ا C ا f (w) أن w ا ور ا ة n و ؤ ا ا ا أن ة ا ود ا ة و أ ر ) أن ا ان ن ( أو أن رة ور f ا ة إ ى ا ا ا ة (asymptotically equivalent) ر ن ا و ارة ا ت أن ت ل و ن n ا ذو ا و k ل f ذات ا k أ ا رة ا ر ا ا و c 99 و = 1 c 3 و = 3 c 2 = 2 دو ارة f (z) = 2z 2 + 3z 3 + z 99 ا ود ة وو c j = 0 و ا رة ة ا ود ا ة ا و ارة ا و رة دا ة ا ة و ا ا ا ة g(z) = z 1 + 2z 2 + 3z 3 أن = ω أن g(ω) f (ω) = وا ذو ا ن ا د ا ا رة دا ة ا ة و g وا ي ا أ أ ر ة ا ود ا ة أو Otto Toeplitz ( ) و د و (Breslau) أ و اڨ ) (Wroclaw) (ا أ و و در ا راه م 1906 ذ إ و در ا ذ و ا و ا ا ادر وا د ت ن رن (Hermann Minkowski) Born) (Max ر رد را و ر (Ernst Hellinger) و ك أ ا ا ات و ا ا ن ت ر ل ه ا ة ا ا ن ات (Toeplitz operators) ا ذ إ و ك م 1928 و ا إ ن م 1933 ا ا د ا ت و ا م ا 1914 ا ا ء م 1935 و ذ ا دا إ ا ر غ Laws) م (Nuremberg 1935 و م 1939 إ (إ ا ا ن) ا ر ا دارة ا ا ا س و أ م ا ض ا ا ءات ذات ا د ا و ا ات و ا أ ا ت ا وا ل ا ا و ن أ ر ا ت و ا ر و : أ ان " ا ت Mathematics) "(The Enjoyment of وا " "ا ب وا Hans Rademacher Toeplitz, Otto, Zur Theorie der quadratischen und bilinearen Formen von unendlich vielen Veranderlichen. Math. Ann. 70 (1911), no. 3, Bergmann, Birgit. Transcending Tradition: Jewish Mathematicians in German Speaking Academic Culture. Springer Science and Business Media, 2012.

15 M. Eichler ز Su Mo Tu We Th Fr Sa Su Mo Tu We Th Fr Sa

16 دا آ ا ة Function) (The Eichler Generating ت ة ا إ اء ن وا ب ا إن ا ا اد ام ا ت اء م a b b a أن ن دا b/a ا ن وا ي (modular arithmetic) ا ا ب ا ه أ ا أن ا د أو ا p ا و ذ أ p = 5 ا ول ا ء ا ول ا 5 س b و a ا ا أ a b ا اءات وا وا ي ن ي a 0 (mod (5 ا ا و ة وا ة دون أي ار ي b/a و b = 0 أ و x ل a x = b ا د ن و (mod 5) أن ا ول 2/3 إذ إ 4 (mod 5) ا ا ل إذ أ ا ة وا ا د ت ن أ p وي ا ا د p س أ ا ا د ا ل y 2 + y = x 3 x 2 (1) و س و س (1, 4) و 4) (0, و 0) (1, و (x, y) = (0, 0) و ل 5 أر س ر ا ذ ا a p ا د ا و p س (1) ا د ل د و د ر أ ا و و آ م 1954 ب ا ا د و ا ا ا دا آ ا ة ح ا ا ف إن رة ا ف ا ا f (q) = q n=1 ا ا وا ا ا ه ا رة (1 q n ) 2 (1 q 11n ) 2 = q 2q 2 q 3 + 2q 4 + q 5 + 2q 6 2q 7 2q 9 2q 10 + q 11 2q ا f (q) = n=1 b nq n ا ى q n أ ل إ b p a p = p b p ن p ا و ا د ن أ أ آ a 11 = 11 1 و = 10 a 7 = 7 ( 2) أن = 9 ورد أ ه و أ و a 5 = 5 1 = 4 ا ا د ت إ آ ا أ (Goro Shimura) را و رو (Yutaka Taniyama) ا و ت ا ن ا Gerhard Frey و Jean-Pierre Serre و Kenneth Ribet أن - را دي إ و ا ف م 1995 ا ام ا ا ا أ رو وا ور رد ر إ ا (أ ط ا ا م) Martin Eichler ( ) آ ر و ب (Pinnow) أ م أ ا د و ا م و د ارس درس ر دا وا ز ر إ ة وا ة و ل وا ت ا ء درا غ أ 1930 م (Gütersloh) ه ((Saale) ) (Halle) آ درس أ إ د و ا ت إ ا (Andreas Speiser) ر و م 1935 در ا راه إ اف Heinrich Brandt و ت ا ا ا ز آ ا و ه ن Helmut Hasse ا را ا م ا و ذ ن ا ا در ا ذ م ل 1938 ا ب ا ا ن آ ا ار V-2 أ ث Peenemünde و 1947 و م إ آ د ا ا ا ب ا و ا (Usedom) زدوم ة إ ر رغ أ ذا ا أ ذ إ 1949 ر م ا (Farnborough) ر ة ا ا ان 1949 (Basel) زل ض ا ي ا ذ 1959 م و 1956 م ت أ ل آ ا اد ت (quaternion) وا ل ا وا ل ا (quadratic forms) و ر ن- روش و ز ام ر وا آ ن (Riemann-Roch) R. Taylor: Modular arithmetic: driven by inherent beauty and human curiosity, The Letter of the Institute for Advanced Study, E. Frenkel: Liebe und Mathematik: Im Herzen einer verborgenen Wirklichkeit, Springer 2014.

17 J. L. Walsh آب Su Mo Tu We Th Fr Sa Su Mo Tu We Th Fr Sa

18 ا ط ا ات ا ود Polynomials) (Critical Points of ا ط ا ا رة f أ ر ا f ا ا ر ج وا ي رة ا ا أن ا ط ا رة z 0 ا ط ا أو ا أو أ ا ط ا وا ن وا ا ا و أي ا ن ا f (ا ط ا ء) و ا ا ا ن = 0 ) 0 f (z و ج z 0 (ا ا داء) و ذ دا ة ا ود f (z) = (z a) n (z b) m وا a ا n و b ا m ا ا ر ج ه ا ا أ ا اء ا ة ام m و = 3 n = 5 b = 1 + i a = 0 f (z) = n(z a) n 1 (z b) m + (z a) n m(z b) m 1 = (z a) n 1 (z b) m 1 (n(z b) + m(z a)) و ن ا ط ا ا : (n وي a ا وا وا ن ا ا ط د (و n 1 ا z = a (m وي b ا وا وا ن ا ا ط د (و m 1 ا z = b ma + nb وا ن (و b و a ا ا ا ا ا و ) ا ) z = m + n ا ( ه ا ر د ا وا (Walsh s two-circle theorem) أو ا را وا ا رة أ ه ض أن ة ا ود r a ه و a ه ا ي K a ا ا ص n و m + n ا ر f a K a c K c b K b و m ا ص ا K b ا ي ه b و ه r b و K c ا ص ا ي ه c و r c ه ma + nb c = m + n, r c = mr a + nr b m + n. (أ ا ا ) و ض أ ا أن ا اص ا ا وا أ ا n 1 K a f و 1 m K b و وا ة رة K c ا ف ا ا وا أ ة ود ا ر n = و = 40 m Joseph Leonard Walsh ( ) وا رد ز و ا ا وا ودرس و ر رد و و و ن د أ ر رد ا راه ن ا ب ر رد إ د ى و ا ه ا و ا ا ب ب و Maxime Bôcher إ اف (1920/1921) ر وا ة ة إ و ل 1920 م George Birkhoff إ اف أ و وا أ ذا ن ا ات ه و ء (Carathéodory) را دوري (1925/1926) و (Paul Montel) ول أ ى ة م و م ا ة ل 1942 إ 1937 ا ة ا ت ك و ر رد ات ا ر أن د إ ر رد ا ة ( ) ن ر ا ت و ه ر رد م و و ة ة و 1966 ت أ ل وا ا ا ا ط ا ات ا ود وا وال ا و ا ت ا وا و ا ت و م ا م دوال وا (Walsh functions) ا رة وا ا ت ل أ ا د و و و ووا و د راه

19 w Sierpinski أ ل Su Mo Tu We Th Fr Sa Su Mo Tu We Th Fr Sa

20 (Sierpiński Curves and Julia Sets) و ت ت إ [0, 1] [0, و 1] دا ) (ا ا ا : وا (Sierpiński carpet) دة أ ا ه ر [1/3, 2/3] [1/3, 2/3] ا و ا و ف أد ه) ر ا ا ل (أ ت ا ا ول ا ر ج أد ه ا ا ار اء ا ا دة C C (homeomorphic) ا ار complex) ا ا ت ا ل أ ا أي f ا n ا ا ار و ة دا f : C C :(dynamics ا f ا z ا ار ة n 1 ا ا و f n = f f f و (Fatou set) إ ا ي ا ي ا ارت ه ( f n (z)) n=0 ا ا ا أ أي أ ا ا ط ي (Julia set) ا ار ري و أ ا ا وال ا f إن ذا (أ ز م (2012 ا ا ا f (z) = z 2 (1/16)(1/z 2 ) وا ا ر ج رة ا ه ا ا ن z ة ن ه ا ا ك ا ا f (z) = z 2 وا ط ا ة ا أ ك ة ا أ ا ا داء ا ا ر ج ا f و رة ا ف ا ا رة ا ار ا f 5 و ة z ن ه ا ا ك z 32 و ا اه ا رة و ة z ن رة ا ن أ و أ ر دوال أ ى ا ت ا و ص ا ا دي λ g(z) = z 2 + λ/z إ Wacław Franciszek Sierpiński ( ) ا ڨ و وار و ن ا ر س وار ز ا ا ل ا ل رو ي (Voronoy) أر ا و أول را ه ا أ إ ا ل ل ا و ا اد و (Kraków) ا ڨ Jagiellonian ا راه در 1906 م ه ور ت ات ا و Lwów إ د ا ب ه ا و ا و ا ا ب ات و م Lwów إ وار ل ا ب ا ا ل ا ات و ر ز و ا ا أ ا ل ا ا و ن ا اد و وا ا ت ا ا ن و و م 1920 أ اك Zygmunt Janiszewski و Stefan Mazurkiewicz "أ ت ا ت Mathematicae) م "(Fundamenta 1944 أ ق ا ز ن أدى إ و ع ر ا وا ت ا ا ور ا ا د وا د راه در ت وا ت ا و ا م ا وا د ر وأ د م ا ا وا د م ا ا د ا ا ت ا و م ة 1949 ا ا ا ر ا و Robert L. Devaney, Cantor and Sierpiński, Julia and Fatou: Complex Topology Meets Complex Dynamics. Notices of the AMS, January 2004, pp

21 St. Bergman ا ول Su Mo Tu We Th Fr Sa Su Mo Tu We Th Fr Sa

22 [Albrecht Böttcher ] (The Bergman Kernel) ن اة ء ن (D) ء A 2 ت ا وال f ا ص ا ا ة ا ح D وا أ ن ا A 2 (D) د إن ا س da(z) = dx dy/π f 2 := D f (z) 2 da(z) < ( ) T(a) f (z) := a(w)(1 zw) 2 f (w) da(w) = g(z), z D D أن (D) g A 2 و (D) a L دوال و (D) f A 2 دا اد ا ا وال: K w (z) = (1 zw) 2, w D ى ن kernels) (Bergman و ه ا وال ا : أ ن (D) ن f A 2 ا اء ا ا اة f ردي ء ات و د ت ا اة ه ا و أد ه ر ا ا رة f (w) ا وي K w أن ام (Wiener-Hopf factorization) - و ا ام ذ ء ن وا ا ا ا ا ا وف ا د ا ا ا ء إ ى ه ا ق ا ا analytic element) :(collocation ا ا f n = n j=1 x jk zj f n ا K zj و د ا ت ط x j (T(a) f n )(z j ) = g(z j ), j = 1,..., n و ا رة د ت د n و د وي x j n ا ا ك ا ي م Hartmut Wolf و Albrecht Böttcher إ ر ا رب ه ا وذ ن ة a D وا T(a) و ا ة n ا ط د r (0, 1) أ z n r n أ ر رة ن z 1,..., z n ا ن ى اة و ى ر ا ع ى ا ر ر وا ا ا ر Stefan Bergman ( ) ن ن و ا (Czestochowa) (وا ءا ا ا ر ا و ( در ا راه Bergman ا ا ا اة م 1922 م Richard von Mises إ اف 1921 م 1939 م و ر إ و رو إ د ن 1939 و م kernel إ ا ت ا ة ا ودر س رد ءا م 1952 و ه م Palo Alto ر وي Stephen Krantz أ : " أ ة ل اة ن أو ك ن metric) م (the Bergman ن إ ول ا ء ا ن وزو م ا ون ارة و ا ء ن اة أ ل ة إ ء إذ ا Steven G. Krantz, Mathematical anecdotes. Math. Intelligencer 12 (1990), no. 4, pp

23 P. G. L. Dirichlet ا Su Mo Tu We Th Fr Sa Su Mo Tu We Th Fr Sa

24 η(s) = ا ا إ (The Dirichlet η Function) ( 1) n 1 n n=1 s = s s 1 4 s + : د إ ا ا ف ه ا ر أ ا اد ا s ذات ا ء ا ا ا ا د إ ا ر دا ز ن ا s ا ا اد أ ر ا و ه ζ(s) = n=1 (1/ns ) : ا (Riemann zeta function) أ و C إ ر و ن ز دا (2011 م ا (أ 1 أ ا ؤ ا : ا ل ز ا إ ا ا ا و s = 1 η(s) = (1 2 1 s )ζ(s) (1) ζ ا ا أ ر η ا ا أن أ ر ا ه أ ر ن أ أ ر ا ز ا {s C : Re (s) > 1} و أن أ ر ا ا ا ا ا اد ا و ا ذ أ Hadamard و م de la Vallée-Poussin 1896 ا أ أ ر ن {s C : 0 Re (s) 1} ج ا ا أ و Re (s) = 1 ا ζ ا أ ر أن ا ر Re (s) = 1/2 و ن ا ر ا ا ز أن ن وا دا ا ا ج ر ن رة أن أ ر ا ا ز رة ا اد ا و ا وا اد ا z ا ؤ ا وي 1/2 ا ا ا ر (و ه ا ا ر ا ا ء ل ا ا إ ا ا أ ر ى ا ا ا ف رة ا ن ز ا ا أ ر إ 1/2 و 1 وي ا ي ا ذات ا ء ا ا اد و ζ) إ أ را أ ى وذ م ا 1 s ) = 0 (1 2 ا د (1) و ا ث ا ط 2nπi/log(2) s n = 1 + وذ أ ن ا د ا n ا و أن ه ا ر دا ا ا ج ن ا ز و ا ر ا ا ج Peter Gustav Lejeune Dirichlet ( ) د ف و دور (Düren) وا آ اك ءا ا ا ر ا ا و درس ا ا (ا ا ز م ((gymnasium) ن (Bonn) و (Cologne) ذ م 1822 إ ر 1827 و م ول (von Humboldt) و ن ر أ و و ا ن ر ن إ 1828 م ن ا راه در (Breslau) و و أ ذ رك ) ا ) و و ذ ا م ا ر ا ا و ل ا ه ر ن Rebecka Mendelssohn د وج 1839 م ا ا ذ أ أ ر س Felix Mendelssohn-Bartholdy ا د م 1855 إ وص و م 1858 إ ا ء ب ري وص و أ و Eisenstein د : ات وا ا ا ب ن 54 ا ا م و ك ر ن ود 1856 و 1857 أ ات ل ا ن theory) م (potential 1876 ر ن أ ا ا اد ا م د أ ج ا م إ ت د ن إ م م ا ة أ ا n = 5 و = 14 n ( رن ا ا ء آ ا ط ا ا م) ودرس أ ا ا ا و و د ا ه م ا ا وا ي ا ا د ا ا ث و ح وص ن " أ ل ف د ات و ات أن ز ن ان ا ل" P. Gorkin and J. Smith, Dirichlet: his life, his principle, and his problem. Math. Mag. 78-4, 2005, pp

25 G. Cantor ن ا ول Su Mo Tu We Th Fr Sa Su Mo Tu We Th Fr Sa

26 (Cantor Bouquet) ر أ ى ا ن ت ول ا م ا أ ل و ات ا درة ا و أ B ا وا ة (straight brush) ة ا ار و ر وا ت ا : ا ث ا اص B وا ا ا ا اد T أن {(x, y) R 2 : x 0and y T } (t y, y) ا {t : (t, y) B} = [t y, ) t y [0, ) (x, y) B ا :(Hairiness) ا [t y, ) {y} ة ة ا ا b n y T (c n ) و (b n ) ا ت زوج (x, y) B ا :(Endpoint density) ا ا و c n y ا t bn, t cn x R 2 و B ا :(Closedness) ا ق f λ (z) = λe z ا ا ر ر ا ل و إ دي وا م ا ي ا ا أ f λ ا ا ارا و (phase poetrait) ا رة ا ر ا ا ا ف رة أ 0 < λ < 1/e + 1/50 e/1 λ = (و و ار در ب ( و ه ا ن ار ا د 0 إ و ن ر ا ر ط ال ا و ا ارت C رة ا ر ا ر أد ه أن رة ا ري ار ع د ا ارات ا رة ا ر أد ه ا إ ا ر و : ا ا ارات د Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor ( ) ر د رج و غ Petersburg) ب (St. وأم و ن ا دي ة ه ا إ ا رت وا إ ا ر ا ا أ درا ت ز ر ا ا إ أ و ا اد إ اف اوس (Weierstrass) و (Kummer) در ا ذ (Halle) و ل ا ل أ ة ل ا ت ذات أ ال و ا ا ت ر ء ا ت ا رز وا و ن را را وأ أ ى ر ات دا ا ا ا ت ا وا د ر.H).A Schwarz) و غ ن (Mittag-Leffler) ر دور أ إ ء ا ا ا و ا ول ر وج ن Guttman) (Vally وأ أ ل و ن و ذ م ه ن ت ا ب و ن ا أن ا ا ا ي أدى إ إ م ا ل ه ا ات ن ل إ ا وا و ا ا ت ر ا وف 73 ل ا ب ا ا و R. L. Devaney, Cantor and Sierpinski, Julia and Fatou: Complex Topology Meets Complex Dynamics, Notices of the AMS, 51-1, January H. Meschkowski, Georg Cantor, Leben, Werk und Wirkung, Bibliographisches Institut Mannheim/Wien/Zürich, 1983.