1 4 > <
فيما سبق درست حل معادالت خطية باجلمع والطرح.
اآلن.. أحل متباينات خطية باجلمع أحل متباينات خطية بالطرح
المفردات الصفة املميزة للمجموعة.
. لماذا تبين المعلومات الواردة في الجدول أدناه أن المخصصات اليومية المقترحة من السعرات الحرارية للذكور الذين تتراوح أعمارهم بين 11 14 سنة تقل عن الكمية المقترحة للذين تتراوح أعمارهم بين 15 18 سنة 150 + 2755 2905 < إذا أكل كل من الشخصين طعاما يحتوي سعرات تزيد ب 150 سعرا عن الكمية المقترحة لكل منهما فهل سيحصل الذي عمره 13 سنة على سعرات أقل من الذي عمره 16 سنة إذا أكل كل من الشخصين طعاما يحتوي سعرات أقل من الكمية المقترحة ب 200 سعر فهل سيحصل الذي عمره 13 سنة على سعرات أقل من الذي عمره 16 سنة نعم نعم 2755 200 2555 < 150 + 2220 2370 2220 200 2020 إذا أكل كل من الشخصين طعاما يحتوي الكمية نفسها من السعرات زيادة على الكميات اليومية أو دون تلك الكميات فهل يمكن أن يحصل كل منهما على الكمية نفسها من السعرات ال تتغير إشارة المتباينة بإضافة الكمية نفسها إلى طرفي المتباينة أو طرحها
خاصية اجلمع للمتباينات : اذا أضيف العدد نفسه الى الناتجة تبقى صحيحة. كل من طرفى متباينة صحيحة فإن المتباينة ب ج العبارتان اآلتيتان صحيحتان آلية أ أعداد إذا كانت أ > ب فإن أ + ب > ب + ج. إذا كانت أ < ب فإن أ + ب < ب +ج
استعد أحمد خالد قارن بين مبلغي أحمد وخالد أضف إلى كل منهما 10 رياالت هل ستبقى المقارنة صحيحة < ماذا تستنتج : ألي ثالثة أعداد أ ب ج هذه الخاصية صحيحة عندما إذا كان أ < ب فإن ب أ ب أ ب أ > أ + ج < ب + ج
استعد أحمد خالد قارن بين مبلغي أحمد وخالد اخصم على كل منهما 10 رياالت هل ستبقى المقارنة صحيحة < ماذا تستنتج : ألي ثالثة أعداد أ ب ج هذه الخاصية صحيحة عندما إذا كان أ < ب فإن ب أ ب أ ب أ > أ ج < ب ج
س} حل المتباينة س 12 8 وتحقق من صحة الحل 8 س 12 التحقق من صحة الحل 8 12 8 س 12 س 12 + 12 + 8 12 8 8 20 8 12 8 9 21 20 س 8 12 س 20 } مجموعة الحل : س 8 المتباينة صحيحة 12 22 8 10
م} م 8 حل المتباينة > 22 وتحقق من صحة الحل 8 > 22 م 8 8 + التحقق من صحة الحل م > 22 8 م > 22 8 + 8 0 8 8- > 22 > 22 م 30 22 > 22 > 22 > 30 8 > 22 } م < 30 مجموعة الحل : م المتباينة صحيحة 8 31 23 > 22 > 22
19 حل المتباينة د 14 وتحقق من صحة الحل 19 التحقق من صحة الحل 14 19 د 14 19 14 + د 14 14 + د 14 19 19 5-18- 19-14 19 19 4- د 5 د 14 19 6-14 19 20-19 } 5 { د مجموعة الحل : د المتباينة صحيحة
تمثيل البيانات على خط األعداد { س س 20 }
خاصية الطرح للمتباينات : اذا طرح العدد نفسه تبقى صحيحة. طرفى من متباينة صحيحة فإن المتباينة الناتجة ب ج العبارتان اآلتيتان صحيحتان آلية أ أعداد. إذا كانت أ > ب فإن أ - ب > ب - ج إذا كانت أ < ب فإن أ - ب < ب - ج
م} حل المتباينة م +19 > 56 وتحقق من صحة الحل 56 56 التحقق من صحة الحل > 19 + م > 56 19 + م > 19 + 37 56 > 19 + 38 56 > 56 56 > 57 56 19 > 19 + 19 37 > م م 56 56 > 19 + م > 19 + 39 56 > 58 } م > 37 مجموعة الحل : المتباينة صحيحة
ف} 18 وتحقق من صحة الحل حل المتباينة ف + 8 18 التحقق من صحة الحل 8 18 ف + 8 + 18 8 8 + 8 ف ف 18 8 + 10 18 8 + 0 10 ف 18 18 18 8 18 8 + } 10 ف مجموعة الحل : ف المتباينة صحيحة 18 8 + 11 18 19
مالحظة عند حل المتباينة ال تقتصر عملية الطرح على الثوابت يمكن لكن و فقط طرح المتغيرات من كال طرفيها
4 حل المتباينة 3 أ + 6 أ ثم مثل الحل على خط األعداد 4 أ 3 أ + 6 أ 3 3 أ 6 أ } 6 مجموعة الحل { أ أ : 4 5 6 7 8
حل المتباينة 9 ن < 1 10 ن ثم مثل الحل على خط األعداد 9 ن < 1 10 ن 9 ن 9 ن < 1 ن > } 1 مجموعة الحل ن ن} : 0 1 2 3 1
4 ه + 12 حل المتباينة 5 ه ثم مثل الحل على خط األعداد 4 ه + 12 5 ه 4 ه 4 ه 12 ه } 12 { ه ه مجموعة الحل : 10 11 12 13 14
مالحظة )) (( يمكن حل المسائل الكالمية التي تحتوي عبارات مثل أو من أكبر أقل من (( باستعمال المتباينات ((
ن+ ن+ وظائف : اشترطت مؤسسة على أحمد آال يقل معدل إدخاله على الحاسوب عن 64 كلمة في الدقيقة ليحصل على وظيفة فيها فإذا كان معدله اآلن 48 كلمة في الدقيقة فكم يجب أن يزيد معدل الكلمات التي يدخلها حتى يحصل على الوظيفة 48 48-64 48- يجب أن يصبح معدله 64 كلمة في الدقيقة على األقل 16 ن عدد الكلمات التي يجب أن يزيدها على معدله = ن يجب أن يزيد أحمد معدل الكلمات التي يدخلها بمقدار 16 كلمة في الدقيقة أو أكثر 64 48
س+ 4( تسوق : يرغب خالد في إنفاق 195 رياال في مركز تجاري فاشترى قميصا بمبلغ 75 رياال و حزاما بمبلغ 42 رياال. فإذا أراد أن يشتري بنطاال فما المبلغ الذي يمكن أن يدفعه لذلك 195 117 117 117 يجب أال يزيد اإلنفاق على 195 رياال 78 ثمن البنطال = س س أي أن ثمن البنطال 78 يجب أن ال يزيد على رياال + 42 + 75 ثمن البنطال 195 195 س+ 117
كن كشجرة الصندل تعطر الفأس الذي يكسرها
س} 7 حل المتباينة س > 3 ثم مثل الحل على خط األعداد 7 س > 3 3 + 3 + س > 10 } 10 س > مجموعة الحل : 8 9 10 11 12
ص+ ص+ ص} ثم مثل الحل على خط األعداد حل المتباينة 5 7 7 5 7-7- ص -2 } 2- ص مجموعة الحل : 4-3- 2-1- 0
ق} حل المتباينة ق + 6 > 2 ثم مثل الحل على خط األعداد ق + 6 > 2 6-6- 4- ق > } 4- ق > مجموعة الحل : 6-5- 4-3- 2-
ك ك} 4 + حل المتباينة 11 ثم مثل الحل على خط األعداد 4 + 4-11 4- ك 7 ك } 7 ك مجموعة الحل : 5 6 7 8 9
ن} ن 1 حل المتباينة > 10 ثم مثل الحل على خط األعداد ن 1 1 + > 10 1 + > ن 11 } 11 ن < مجموعة الحل : 9 10 11 12 13
ن} 3 حل المتباينة 8 ن 7 ن وتحقق من صحة الحل 7 ن 3 7 ن ن 8 7 ن ن 3 } ن 3 مجموعة الحل : 1 2 3 4 5
ن} عرف كل متغير فيما يأتي ثم اكتب المتباينة و حليها : 7( ناتج جمع عدد و أربعة ال يقل عن 10 نقرض ن هو العدد 10 4- ن + 4 4-6 ن }6 ن مجموعة الحل :
ن+ ن- ن} عرف كل متغير فيما يأتي ثم اكتب المتباينة و حليها : 8( ناتج جمع عدد و ثالثة يقل عن مثليه نقرض ن هو العدد ن 2 -ن > 3 > ن 3 }3 ن < مجموعة الحل :
س+ 9( مدينة ألعاب : تتحرك أرجوحة إلى األمام و إلى الخلف و ترتفع قليال في كل مرة بحيث ال تتجاوز أقصى ارتفاع لها 137 قدما. فإذا كان ارتفاع األرجوحة بعد 30 ثانية هو 45 قدما فكم قدما يمكن أن يزيد ارتفاعها على ذلك 137 45 45 45 يجب أال يزيد االرتفاع على 137 قدما 92 الزيادة في االرتفاع = س س زيادة االرتفاع أي أن الزيادة في االرتفاع يجب أن ال تزيد على 92 قدما 137 س+ + 45 137 45
حل نظام من معادلتني خطيتني بيانيا متى أحسنت بتقسيم وقتك كان يومك كصندوق يتسع ألشياء كثيرة
حل نظام من معادلتني خطيتني بيانيا
ف} 3 حل المتباينة ف 6 ثم مثل الحل على خط األعداد 3 ف 6 6 + 6 + 9 ف } 9 ف مجموعة الحل : 7 8 9 10 11
7 ثم مثل الحل على خط األعداد حل المتباينة ر 8 7 8+ ر 8 8+ 15 ر } 15 مجموعة الحل { ر ر : 13 14 15 16 17
ت} 8- حل المتباينة ت 3 < ثم مثل الحل على خط األعداد ت 3 < 8-3 + 3 + 5- ت < } 5- ت < مجموعة الحل : 7-6- 5-4- 3-
حل المتباينة < 13 18 + ر ثم مثل الحل على خط األعداد < 13 18 + ر 18-18- - 5 < ر } 5- مجموعة الحل > { ر ر : 7-6- 5-4- 3-
1 ثم مثل الحل على خط األعداد حل المتباينة + 5 ج + 5 ج 1 5-5- 4- ج } 4- { ج ج مجموعة الحل : 6-5- 4-3- 2-
ق} 30 - حل المتباينة -23 ق ثم مثل الحل على خط األعداد - 30 ق 30 + 23-30 + ق 7 } 7 ق مجموعة الحل : 5 6 7 8 9
و 2 و- حل المتباينة و 5 ثم مثل الحل على خط األعداد و 2 - و و 5 5 و } 5- مجموعة الحل { و و : 7-6- 5-4- 3-
ص 2 حل المتباينة 3 ص + 6 ثم مثل الحل على خط األعداد ص 3 6 + 2 ص ص 2 2 ص 0 6 ص + 6 6 ص 6 } ص 6 مجموعة الحل : ص} 4 5 6 7 8
أ 2 أ 2 أ 2 أ 2 أ > 3 ثم مثل الحل على خط األعداد حل المتباينة -9 + > 3 أ + 9- - - > أ 9- } 9- مجموعة الحل < { أ أ : 10-11- 9-8- 7-
ن} عرف كل متغير فيما يأتي ثم اكتب المتباينة و حليها : ) 19 ناتج طرح 8 من عدد ما أقل من 21 نقرض ن هو العدد 21 > 8+ 8-8+ ن ن > 29 ن > }29 مجموعة الحل :
ن 2 ن- ن} عرف كل متغير فيما يأتي ثم اكتب المتباينة و حليها : ) 20 مثال عدد ما أكبر من مجموع ذلك العدد و 9 نقرض ن هو العدد < ن + 9 -ن ن < 9 }9 ن < مجموعة الحل :
) 21 توفير : يريد غانم أن يشتري سيارة ثمنها 54400 لاير على األقل و قد وفر 13000 لاير فما المبلغ المتبقي عليه لشراء السيارة س + 13000 54400 13000-13000- يجب أن يشتري سيارة ثمنها 54400 لاير على األقل 41400 س المبلغ المتبقي = س يجب أن يكون لدى غانم مبلغ 41400 لاير أو اكثر المبلغ المتبقي + 13000 54400 س + 13000 54400
22( تقنية : اظهرت دراسة حديثة أن أكثر من 21 مليونا ممن هم بين سن الثانية عشرة و السابعة عشرة يستعملون اإلنترنت. منهم 16 مليونا يستعملون اإلنترنت في المدرسة فما عدد الذين يستعملون اإلنترنت خارج المدرسة ن + 16 < 21 16-16- ن < 5 عدد الذين يستعملون االنترنت خارج المدرسة بالماليين = ن + 20 عدد الكتب قبل اإلضافة هناك اكثر من 5 ماليين من الشباب يستعملون االنترنت خارج المدرسة 61 > ن + 16 < 21
س+. كتابا جديدا إلى مكتبته فأصبح لديه أكثر من 6 كتابا ) 23 مكتبة: أضاف أحمد 20 فكم كتابا كان لديه 61 > 20 20 20 يجب أن يكون عدد الكتب أكثر من 61 كتابا 41 > عدد الكتب قبل اإلضافة س = س أي أن عدد الكتب لديه يجب أن يكون أكثر من 41 كتابا قبل اإلضافة + 20 عدد الكتب قبل اإلضافة > 61 20 س+ > 61
س+ ) 24 كرة سلة : أراد أحد الالعبين إحراز 150 نقطة على األقل في هذا الموسم. و سجل حتى األن 123 نقطة فكم نقطة بقيت عليه 123 123-150 123- يجب أن يكون عدد النقاط 150 نقطة على األقل س 27 عدد النقاط المتبقية = س النقاط المتبقية 150 أي أن يجب عليه أن يسجل 27 على األقل نقطة 123+ عدد 150 س+ 123
ن+ ن+ ن+ ) 25 متطوعون : يتطوع بعض الشباب لخدمة حجاج بيت هللا الحرام في مكة المكرمة و منى. و يقول أحدهم : إن بإمكانه أن يتطوع لمدة ال تتجاوز 30 ساعة في األ سبوع. فإذا تطوع المدة المبينة في الجدول المجاور فما المدة التي يستطيع أن يتطوع بها هذا األسبوع 9.583 9.483-30 9.583- ن 20.4 الزمن المتبقي = ن ساعة الوقت المتبقي يكون 20 ساعة و 25 دقيقة على األكثر 30 4 1 4 + 5 1 3 30 9.583
ص< ص} حل المتباينة 9.1 ص + 4.5 > 10.1 ص ثم مثل الحل على خط األعداد 9.1 ص + 4.5 > 10.1 ص - 9.1 ص - 9.1 ص 4.5 } ص < 4.5 مجموعة الحل : 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7
3 2 1 0 1- لحلا ةعومجم : { د د } 1 حرطلا وأ عملجاب ةيطلخا تانيابتلما لح لح ةنيابتملا د - + د دادعلأا طخ ىلع لحلا لثم مث 3 2 2 3 4 9 1 2 1 9 د - + د 3 2 2 3 4 9 1 2 - د 1 2 - د 1 2 د - 2 3 4 9 3 2 3 2 د 10 9
) 28 تمثيالت متعددة : سوف تكتشف في هذه المسألة عمليتي الضرب و القسمة على المتباينات أ ) هندسيا : افترض وجود 12 كجم على الكفة اليمنى للميزان و 18 كجم على الكفة اليسرى. و ضح بالرسم هذا الموقف ب ) عدديا : اكتب متباينة تمثل هذا الموقف 12 كيلوجرام > 18 كيلو جرام
) 28 تمثيالت متعددة : سوف تكتشف في هذه المسألة عمليتي الضرب و القسمة على المتباينات 1 ج ) جدوليا : انشىء جدول يبين نتيجة جعل األوزان على كلتا الكفتين بنسية و 2 و خصص عمودا للمتباينة في كال الجدولين 1 و 1 18 > 12 4 3 36 > 24 2 54 > 36 3 72 > 48 4 9 > 6 0.5 6 > 4 0.333 4.5 > 3 0.25 د( لفظيا : صف تأثير ضرب أو قسمة كل من طرفي المتباينة في العدد الموجب نفسه على المتباينة إذا ضرب طرفا متباينة صحيحة في عدد موجب تكون المتباينة الناتجة و إذا قسم كل من طرفي متباينة صحيحة على عدد موجب تكون المتباينة الناتجة صحيحة أيضا
حل نظام من معادلتني خطيتني بيانيا
) 29 تبرير : حدد أوجه الشبه و أوجه االختالف بين التمثيل البياني لكل من المتباينتين س > 4 و س 4 كال الخطين مظلل الى اليسار هناك دائرة عند العدد 4 في المتباينة س > 4 تدل على أن 4 ليست ضمن التمثيل و هناك نقطة عند 4 في المتباينة س 4 تدل على العدد 4 ضمن التمثيل
. رتب األعداد أ < أ + 2 5 8 د + ج + 1 > أ 4 1 ) 30 تحد : افترض ب < د + 3 ب ج د من األصغر إلى األكبر > > ب د أ ج >
3- ) مسألة مفتوحة : اكتب ثالث متباينات خطية تكافئ ص > 31 2- ص + 1 > 4- ص 1- > ص + 3 > 0
) 32 اكتب : لخص عملية حل المتباينات الخطية و تمثيل مجموعة حلها على خط األعداد إن حل المتباينة الخطية مشابه لحل المعادلة الخطية إذا يجب أن تفصل المتغير في أحد طرفي المتباينة وعند تمثيل المتباينة بيانيا استعمل دائرة مفتوحة إذا كانت المتباينة تضم إحدى اإلشارتين > أو < و إن كانت غير ذلك فاستعمل دائرة مغلقة. و إذا كان المتغير في الجهة اليمنى من المتباينة و كانت إشارة المتباينة )) أقل من (( أو )) أقل من أو يساوي (( فإن التمثيل البياني يمتد إلى اليسار و ما عدا ذلك يمتد التمثيل البياني إلى اليمين
س+ س} س} س} س} س+ س} 5 > ) ما مجموعة حل المتباينة 7 33 } 2- س > ) } س > 2 أ ) ج } 2- س < ) } ب( س < 2 د 5 > 7-7 7-2- س > } 2- س > مجموعة الحل :
) 34 كان متوسط درجات 10 طالب في مادة الكيمياء 78 ثم اكتشف المعلم أنه أخطأ في رصد درجة أحد هؤالء الطالب فكانت أقل من درجته الحقيقية بعشر درجات فكم بصبح متوسط درجات الطالب بعد التعديل المعدل بعد التعديل = المعدل قبل التعديل + معدل الخطأ 10 + 78 = 10 1 + 78 = 79 =
س 3 س 3 5 + - ) 2 3- اكتب معادلة المستقيم المار بالنقطة ( بصيغة الميل والمقطع. والمعامد للمستقيم ص = 1 3 ميل المستقيم ص = ميل العمودي عليه = 3-7+ هو : - ص = م س + ب )3- + ب 1 ( = 2 3 3 س + 1 3 المعادلة هي : ص = = 2-1 + ب 1 1 = ب 3
ن 2 ن 2... 3-5- 7- أوجد قيمة الحد الثامن عشر في المتتابعة: -9 أ ن = أ + 1 ( ن 1 د( 9- أ = 1 )2 ( ) + ( ن 1 9- د = الثاني األول = 2 + 9- = ) 9- ( 7- = أ ن = 2 ن 11 = ن 2 11 المعادلة هي : 2 = 11 أ = 18 11 ) أ = 18 (2 18 25 = أ = 18 36 11
س 3 س 3 س 3 حل : المعادلة 12 = 6 - س 3 6 - = 12 12 -= 6-6+ 6+ 6- = 6- = 3 2- = س 3 س 3 3 س = 12 6 - س 3 6+ 6+ 18 = س 3 18 = 3 3 س = 6 } 6 2- حل المعادلة = {
ص 8 ص 8 حل كل معادلة فيما يأتي 56 = 56 8 7 = = 8 ص
س 4 س 4 حل كل معادلة فيما يأتي 120- = 4 30 - = 120- = 4 س
يأتي 5 2 = 2 ل 2 حل كل معادلة فيما 2 5 ل = 4-5 ل 2 = 20-20- ل = 10-
حل كل معادلة فيما يأتي 3 2 3 - س 6 = 3 2 18- س = 18-2 18- = - س 18 1 9- س =