ملحق (A)

النسخ

1 بعض الدوال الخاصة وتطبيقاتها في الفيزياء Some Special Fuctios ad their Applicatios i Physics إعداد أ.د. إبراهيم محمود أحمد ناصر أستاذ الفيزياء النظرية جامعة الملك فهد للبترول والمعادن الظهران المملكة العربية السعودية د. عفاف السيد عبد الهادي أستاذ الفيزياء النظرية المشارك الجامعة المصرية الصينية القاهرة ج. م. ع

2 دالة جاما العنوان (Gamma Fuctio ( ) ( )!) دالة كرونكر دلتا Kroecker Delta Fuctio ij دالة الخطأ Fuctio) (Error دالة دلتا لديراك )) x (Dirac Delta Fuctio ( Legedre Polyomials P ( x) دالة "ليجندر" كثيرة الحدود دالة "ليجندر" المرافقة كثيرة الحدود m Associated Legedre Polyomials P ( x) Spherical Harmoic Fuctio Y (, ), m دالة التوافقيات الكروية Chapter -

3 مقدمة تتضح وتتبلور النتائج الفيزيائية كحلول ذرة الهيدروجين والمهتز التوافقي البسيط من حل معادالت تفاضلية معظمها من الدرجة الثانية مثل معادلة البالس.V تحل المعادالت التفاضلية العادية منها والجزئية بواسطة دوال تسمى الدوال الخاصة. وتلعب الدوال الخاصة دورا هاما في دراسة جميع مجاالت العلوم التطبيقية والبحتة. لذلك معرفتها واللجوء إليها بواسطة الطلبة والباحثين تعتبر من الضروريات. وفي هذا الكتاب سوف نستعرض أهم الدوال الخاصة المرتبطة بدراسة العلوم التطبيقية والبحتة. يعتمد حل المعادالت التفاضلية على االحداثيات المفترضة والتي يتم اختيارها على أساس التماثل بالمشكلة المطلوب حلها. فهناك بعض المسائل يكون بها تماثل كرتيزي كالمكثفات أو تماثل كروي للكرة والقشرة الكروية او تماثل اسطواني لالسالك االسطوانية وهكذا. يوجد أيضا العديد من االحداثيات األخرى والتي لن نستطيع االشارة لها هنا. حيث أننا نتعامل مع فضاء ثالثي االبعاد فإستخدامنا لطريقة الحل بواسطة فصل المتغيرات غالبا وليس في جميع الحاالت فإننا نصل الى ثالث معادالت تفاضلية منفصلة. الحل المنفصل لكل معادلة على حدة يمكن أن يكون دالة خاصة بها. راجع بعضها بالصفحة التالية. قبل أن انهي المقدمة أود أن اعبر عن شكري العميق لمنظمين هذه المحاضرات من اعضاء الجمعية العلمية السعودية للعلوم الفيزيائية أوال: للتنظيم المتميز وثانيا: أنهم أتاحو لي الفرصة لشرح هذه المادة المحببة إلي باللغة المحببة إلي وهي اللغة العربية. واتمنى من هللا أن يستفيد من هذه المحاضرات جميع من حضر هذه الدورة وايضا من لم يحضر وذلك بارسالها لمن يرغب بها ويشعر انها سوف تكون مفيدة لهم. وال نبغي منكم غير الدعاء وهللا الموفق. شكرا لمجهود االستاذة سمية وشكرا للحضور على حسن التفاعل. وأتمنى أن تكون المحاضرات المعدلة المكتوبة بها بعض التحسن وذلك نتيجة للمشاركة باألسئلة. أرحب دائما بأي تعليق ايجابي لتحسين المحاضرات من ناحية أسلوب العرض أو الموضوع حتى يستفاد منها الالحقون. 3

4 Itroductio سنقوم هنا بتقديم بعض من المصطلحات المطلوبة واللتي سوف تتكرر بتعريفات الدوال الخاصة المضروب: يعرف المضروب لقيمة كالتالي:! ( )( ). - 4! 43 فمثال 4. أي أن قيمة ) ( yx y( x) y( x) - الدالة الزوجية تكون دالة ما زوجية إذا تحققت العالقة بدال من x هي دالة زوجية. لكل قيم x الدالة ال تتغير عند. وضع x فمثال x) cos( x) cos( 3- الدالة الفردية. أي أن قيمة ) ( yx تكون دالة ما فردية إذا تحققت العالقة x) )y (x y( بدال من x لكل قيم x الدالة تتغير عند. وضع x فمثال x) si( x) si( هي دالة فردية

5 واجب منزلي: حدد نوع الدوال األتية: فردية زوجية ال زوجية وال فردية. Wave Wave نوع نوع Odd فردية Neither eve or odd ال زوجية وال فردية Eve زوجية Odd فردية فردية Odd Neither eve or odd ال زوجية وال فردية 5

6 Few differetial equatios of special fuctios Laguerre Polyomials (Hydroge-like atoms) d d x ( x ) L ( ) x dx dx Associate Laguerre Polyomials (Hydroge-like atoms) d d m x ( m x ) m L ( x ) dx dx Legedre Polyomials (dipole expasio) d d x x ( ) P ( ) x dx dx Associate Legedre Polyomials (Hydroge-like atoms, Multipole expasio) d d m m x x ( ) P ( ) x dx dx x Spherical Harmoics d d d m si ( ) Y ( x) si d d si d ( المتذبذب التوافقي Hermit Polyomials ( Harmoic oscillator d d x H ( ) x dx dx Bessel fuctios y y x x x y ( x ) x x ( االستطارة التشتت Spherical Bessel fuctios (Scatterig d d r r k r ( ) R ( r) dr dr Cofluet Hypergeometric fuctio Hypergeometric fuctio Airy s fuctio (Optics) y " ty, 6

7 Chapter بعض الدوال البسيطة Some of simple special fuctios العنوان (Gamma Fuctio ( ) ( )!) - دالة جاما دالة كرونكر دلتا Kroecker Delta Fuctio ij دالة الخطأ Fuctio) (Error (Dirac Delta Fuctio ( دالة دلتا لديراك (( x

8 - دالة جاما )!) (Gamma Fuctio ( ) ( هذه من الدوال التي تستخدم كثيرا حيث أنها مرتبطة بتعريف المضروب "!". وتقريبا جميع الدوال الخاصة معرفة بداللة الدالة جاما )أو المضروب(. دعونا نبدأ بالتكامل المعروف للجميع بالصورة: qx e dx q (i) وبتفاضل الطرفان بالنسبة للقيمة الثابتة q لعدد من المرات فسوف نجد على سبيل المثال: q q qx qx qx e dx q xe dx q xe dx q q qx qx 3 qx 3 e dx q x e dx ( ) q x e dx q q x e dx q! أخيرا نجد أن: qx ( ) (!) (ii) وبوضع الثابت q نجد أننا سوف نحصل على تعريفا للقيمة بواسطة التكامل التالي: x! x e dx (iii) ومنه سوف نعرف دالة جاما بالعالقة: ( ) x x e dx ( ) ( )! ومن تعريف جاما نحصل على: ولقيم نستطيع استخدام العالقة: ( ) ( ) (Sigular) لها قيم شاذة ) (,,, نالحظ من الرسم المقابل أن قيم ( ) عند النقاط أن بمعنى. 8

9 قيم خاصة لدالة جاما: 3 () () ; ( ), ( ) 35 (m ) ( m ), m,,3, m m m 35 (m ) ( m ), m,,3, 35 (m ),, Problem. Show that Step. x x x e x dx e x dx e x dx ( ) Step. Let x u, dx udu x u u u e x dx e u udu e u udu e du Step 3. Step 4. Step 5. e u du v u e du u e du u v = e dv e du e dv 4 Step 6. Switchig to polar coordiates* ( du dv Step 6. 4 o e e (u v ) r dudv 4 d o r ( )d e rdrd 4 o d 9 r dr dθ ) o e r e d (u v ) dudv

10 *Switchig to polar coordiates with u rcos ad v rsi, we have u v r cos si r, ad usig the Wroskia, u u r cos r si du dv drd drd r drd v v si r cos r we ca have the relatio dudv rdrd. With the u,v domai limits defiig the first quadrat, ad v, the limits o r ad become r ad /. u Example: Prove that Aswer: Use the defiitio ( ) ( ) ( ) ( ), 3 Example: Fid ( ) ( ) ( ) Aswer: Use the defiitio ( ) ( ), the 3 ( ) ( ) 4 4 ( ) ( ) () 5 P ( x) dx. x/ ( x) مثال: جسيم يعرف بالدالة xe أ- ارسم x) ( كدالة بالمسافة. P ( x) dx P ( x) dx الحل: أ- ب- احسب االحتماليه ت- قارن االحتماليه رسم باالحتماليه (x ( كدالة بالمسافة يعطى بالشكل التالي:

11 x 3 x ( ) (3)! P x dx x e dx x e dx 5 5 x P ( x) dx x e dx ب- االحتمالية األولى تحسب كالتالي: ث- االحتمالية الثانية تحسب بأي طريقة حسابية وتنتج: ملحوظة: تعد القيمة 5 كأنها لهذه الدالة. مثال:جسم كتلته ثبت على المحور السيني على مسافة a بقوة تتناسب عكسي مع المسافة بمعنى أن: d x k F m dt x من نقطة األصل. إذا افترضنا أن الجسم ينجذب الى نقطة األصل O x m حيث k هو ثابت التناسب. إذا ترك الجسم يتحرك احسب الزمن االزم لوصولة إلى نقطة األصل. الحل: d x k m () dt x dx v بالتالي: دعونا نعرف سرعة الجسم بالعالقة, dt d x dv dv dx dv. v. dt dt dx dt dx بالتعويض في )( ينتج: dv k mv mv. or k l x c dx x باستخدام الشرط االبتدائي x نجد أن. c k l a ومنه نجد: a عند v mv a dx k a k l or v l x dt m x

12 حيث االشارة السالبة اخذت في االعتبار نتيجة أن x الى نقطة األصل بالتكامل: dx a l x تقل مع زيادة الزمن. نحسب األن الزمن الكلي لتحرك الجسم من النقطة T لينتج: m k a x ae u u T a u e du a a l a m m m k k k x u x x a )4( لحساب نتيجة التكامل نضع أو Beta fuctio is defied by the expressio: Use x si, oe ca have: Homework: prove that Special Values: Beta Fuctio (, ) m m x ( x ) dx m, / m ( m) ( ) ( m, ) ( m ) ( m, ) si cos ( m, ) (, m), (, ) ; 6 Example: Evaluate the followig itegrals: cos d Aswer: use the defiitio / m ( m) ( ) ( m, ) si cos d ( m, ) ( m ) The, i our case m m /, ad 6 7/ Example: Evaluate: / cos 6 / d ( ) 7 5 ( ) ( ) ( ) d (9) 8! 8! du ( u )( u ) Aswer: use the substitutio: x u, the 8

13 dx dx dx udu ad du du x Ad the limit of itegratio: u x ; u x Agai use du dx ( u )( u ) x x dy dy x y y x dy xdx dx x y, x y dx 3/ 4 / y ( y ) dy x x 4 Now, with the values: m 3/ 4 m / 4, ad 4 / / Oe gets With MATHEMATICA u u u dx 3/ 4 / y y dy x x 4, ( ) ( ) ( ) ( ).33 4 ( ) u u u N Cos u 6 Cos u 6 u u N EllipticK.33 Homework: evaluate the followig itegrals ad check them with MATHEMATICA.. x dx 4 (3, ),. x a 6 4 a x a x dx 5 3 (, ), x 8 x dx (, ),

14 . ij Kroecker delta fuctio ij all space m - دالة كرونكر دلتا تعرف دالة كرونكر دلتا كالتالي: if m if m وتستخدم لتعريف خواص الدوال من التعامد أو العيارية. متعامدة أو معيرة إذا حققت الشرط: مثال: تعد الدالة () r * m ( r) ( r) d m, m ij هو if m م ع ي ر ة م ت ع ام د ة if m * )( حيث إن الدالة هي المرافق المركب للدالة. حيث إن شرط المعايرة و شرط التعامد هو a im m i si m e d cos d cos isi d m e i m d m, e im مثال: للدالة نجد أن: if m y my a a cos( )cos( ) dy m if m a a a if m a y my a si( )si( ) dy a a m, ومنها أيضا نستطيع تعريف مثال: تحقق من العالقات التالية 4

15 مثال: لجسيم داخل صندوق مغلق تماما يتحرك في مجال جهد يوصف بالتالي:, x L V ( x) (), otherwise وجد أن الدالة الموجية للجسيم داخل الصندوق تعطى بالعالقة: I ( x) Asi( kx) أوجد الثوابت و. A العدد يسمى العدد الموجي حيث يرتبط بالطول الموجي" " بالعالقةة k ويةرتبط بطاقةة حيث m هي كتلة الجسيم. k k E m k الجسيم " E " بالعالقة الحل: هذا المثال ينطبق عمليا على حركةة إلكتةرون حةر بةداخل قطعةة معدنيةة لهةا طاقةة تةوتر سةطحي يفةوق الطاقةة الحركيةة لإللكترون ومن ثم فإن اإللكترون يتحرك داخل المعدن وال يتمكن من الهةروب منةه إال بإعطائةه طاقةة خارجيةة. ولحةل هةذه خةارج هةذا حيةث إن الجهةد المسألة نالحظ من شكل أن حركةة الجسةيم حةرة ولكنهةا مقيةدة فةي المةدى المدى هو المسؤول عن انعكاس الجسيم من حائل الجهد. V x L بمعنى: I ( x L) 5 أ- لحساب الثابت k استخدم الشرط الحدي I ( x L) k,,,3, (7) A si( kl) L حيث يعرف بأنه عدد كمي. الحل الصفري بالقيمة غير مقبول فيزيائيا حيث ال يدل على وجود L L m L A جسيم متحرك. ب- لحساب الثابت استخدم شرط المعايرة كالتالي: m A si( k x)si( k x) dx A si( x)si( x) dx A / L L L I ( x) si( x),,,3, L L m وتصبح الدالة المميزة على الصورة:

16 دالة الخطأ Fuctio) (Error تستخدم دالة الخطأ عند دراستنا لتوزيع ماكسويل- بولتزمان الكالسيكي وتعرف بالعالقة: q q erf( q) e dq q erf ( q) q erf ( q) و.6 v وبالجدول التالي بعض القيم لدالة الخطأ: مثال: احسب عدد الجزيئات لغاز محصور بين السرعتين وسرعته باتجاه المحور السيني فقط. الحل: عدد الجزيئات التي لها السرعة ما بين يعرف كالتالي:.6v v v و.6 v Nv.6v f (v x) dv N m f(v x) kt / x v f بولتزمان ) (v حيث دالة ماكسويل x تعرف كالتالي: e vx x dvx vdx, v x m v /.6.6 N x N x x Nv.6v e dx e dx e dx N N erf (.6) erf () N وباستخدام التعويض ومنها نجد أن: 6

17 -4 دالة دلتا لديراك )) x (Dirac Delta Fuctio ( هذه ليست دالة بالمعنى المتعارف عليه رياضيا ولهذا فهي تسمى توزيعا وأيضا دالة نبضية fuctio) (Impulse. وهي تستخدم للدوال المتصلة وتعرف كالتالي:, x a ( x a), (), x a لها الخواص التالية )في بعد واحد(: ( x a) dx () ومن المعادلة )( نستطيع حساب التكامل: f ( x ) ( x a) dx f ( a) (3) وتأخذ الدالة دلتا صورا وأشكاال أخرى وسنكتفي بما نعرضه هنا. بعض الخواص الهامة: x x دالة زوجية ( ) ( ) it is a eve fuctio *( x) ( x) it is a real fuctio صفة المعايرة ( x x ) dx It is ormalized f ( x ) ( x ) dx f () f ( x ) ( x a) f ( a) ( x a) ( ax ) ( x ) a d x ( x ) dx 7

18 Q مثال: في اإلحداثيات الكروية توجد شحنة تعطى بالعالقة موزعة بانتظام على سطح قشرة كروية. نجد أن كثافة الشحنات اإلحداثيات الكروية Q ( r,, ) ( r R) 4 R ( r,, ). نجد أن كثافة الشحنات في اإلحداثيات b في اإلحداثيات اإلسطوانية يوجد توزيع منتظم تعطى بالعالقة: على سطح اسطواني نصف قطرة ( s,, z) ( r b) b - اإلسطوانية z) ( s,, ( x a) واجب منزلي: تحقق من نتائج التكامالت التالية. مالحظة: لصيغة ديراك دلتا يجب أن توضع بالصيغة العامة الخطية وهي يجب أن نستخدم التعويض المالئم.. إذا ظهرت بأي صورة اخرى 3 3 a x x dx ( ), Aswer: ( x) has ifiite value at x =, ad this value outside the rage {,3}. تعني أن x والقيمة خارج حدود التكامل وهو {,3}. b (x 3) (3 x) dx, Aswer: we have to chage the variable y = 3x, so dy = 3 dx, the 6 y (x 3) (3 x) dx ( 3) ( y) dy 3 3, ow 6 6,6}, so y ( 3) 3 3 y c x (3x ) dx ( y) الدالة x) ( will be ifiite at y= ad it is i the rage {-. y 3x الدالة x) (3 يجب أن تتحول الى y) ( بالتعويض 7 Aswer: we have to chage the variable y = 3x +, so dy = 3 dx, the 7 y x (3x ) dx ( ) ( y) dy 3 3, ow ( y) 5 y ( ) y will be ifiite at y= ad it is i the rage {-,4}, so. y 3x يجب أن تتحول الى ( ( y بالتعويض (3x الدالة ( 8

19 Chapter دالة "هيرمت" كثيرة الحدود Hermite Polyomials H ( x) Differetial equatio d H x dh x ( ) ( ) x H ( x ) dx dx Rodrigues' Defiitio المعادلة التفاضلية لدالة "هيرمت" () تعريف رودريجي x d x H ( x ) ( ) e e ;,,,3, () dx H ( ) تعد الدالة x زوجية أو فردية إذا كان العدد يأخذ قيما زوجية أو فردية بالترتيب: H ( x) ( ) H ( x) t Geeratig fuctio t xt e H x t ( ) ( ) (3) دالة مولدة (4) عالقات تكرارية Recurrece relatios ' dh H H dx dh (5) xh H dx H xh H عالقة التعامد Orthogoality relatio e H ( x ) H ( x ) dx! ( ) x m m m والذي يجعل قيمة التكامل قيمة تقاربية )محددة(. Weight factor e x (6) الحظ هنا وجود الحد ويسمى معامل اتزان H ( x) x 4x H ( x) 3 8x x 4 6x 48x 5 3 3x 6x x جدول لبعض القيم تمثيل الدوال: يمكن تمثيل الدوال )المتصلة والمتقطعة( بداللة دالة نفترض أن الدالة (x )f يمكن كتابتها بداللة دالة ليجندر بالعالقة: كالتالي: هيرمت 9

20 Hm ( x ) f ( x) c H ( x) واليجاد صيغة للمعامالت c عالقة التعامد نجد أن: نتبع األتي: بضرب طرفي العالقة السابقة بالدالة واجراء التكامل واستخدام x x f ( x) Hm( x) e dx c e Hm( x) H( x) dx c!! x c f ( x) Hm( x) e dx! m. لنحصل على المعامالت بالشكل: مثال : باستخدام الدالة المولدة الحل: بدء بالمعادلة )4( اثبت معادلة هيرمت. أمثلة محلولة t g x t e H x t xt (, ) ( ) ( ) وبالتفاضل بالنسبة الى t نحصل على

21 . H ' dh dx H t g x t e H x t xt (, ) ( ) ( ) مثال : باستخدام الدالة المولدة )4( اثبت أن الحل: بدء بالمعادلة وبالتفاضل بالنسبة الى x نحصل على مثال 3: باستخدام العالقات التكرارية اثبت معادلة هيرمت. الحل: بدء بالمعادالت وبالتفاضل بالنسبة الى x نحصل على وهي معادلة هيرمت

22 x / ( x) e H ( x) x e ( x) ( x) dx! m m يمكن تعريف دالة هيرمت المعدلة كالتالي: واللتي تحقق عالقة التعامد بالصورة المعدلة: ومنها نحصل على: d H ( x ) dh ( x ) وتصبح معادلة هيرمت ) ( H x بالصورة: x dx dx

23 نظرة ميكانيكا الكم للتعامل مع المتذبذب التوافقي الخطي من خالل نظرية ميكانيكا الكم نجد أن معادلة شرودنجر في بعد واحد تأخذ الصورة: d m ( E V), dx q d ( x ) (7) dx x حيث / me. m /, باإلمكان تبسيط المعادلة )7( وذلك باستخدام التعويض: q واجب منزلي: باستخدام التعويض x تأكد من التفاضالت التالية: d d dq d dx dq dx dq d d d dq d dx dq dx dx dq بالشكل: وتتحول المعادلة )7( إلى الصورة المبسطة: d ( q ) )8( dq حيث تم تعريف القيمة المميزة )عديمة األبعاد( E )9( الحل العام للمعادلة )8( شبيه بالمعادلة ويتحقق فقط لقيم منفصلة للطاقة الكلية تعبر عنها المعادلة: E, E ( ),,,, () ومن المعادلة () نستنتج اآلتي: تسةمى عةدد الكةم االهتةزازي طاقة المسةتويات هةي طاقةة مكمةاة حيةث إنهةا تعتمةد علةى العةدد الصةحيح أ-. Vibratioal quatum umber ب- الفروق E بين طاقات المستويات المتتالية تكون متساوية وتحسب كالتالي:. E E E E o )طاقةةة المسةةتوى األرضةةي أو طاقةةة نقطةةة الصةةفر( ال تسةةاوي صةةفرا ولكةةن ج- للعةةدد فةةإن الطاقةةة E وهذا ال يتطابق مع نظرية بةور. وعةدم التطةابق لةه داللتةه الفيزيائيةة المهمةة وهةي: أن أقةل طاقةة. 3

24 اهتزازية )طاقة المستوى األرضي( ألي نظام فيزيائي )مثال علةى ذلةك الجزيئةات متعةددة الةذرات أو الةذرات بالجوامد( يوصف بجهد المتذبذب التوافقي ال يمكن أن تنعدم حتى عند درجة حرارة الصفر المطلق. لذلك فإن طاقة نقطة الصفر هذه كافية لمنع تجمد سائل الهليوم- 4 تحت الضغط الجةوي مهمةا قللنةا مةن درجةة حرارتةه. وهي مرتبطة بعالقةة هيزنبةرج االتعينيةة فةإذا كانةت طاقةة الجسةيم معدومةة فةإن الجسةيم يسةكن ومةن ثةم فةإن إحداثيات الجسيم وكميته الحركية الخطية يمكن تعيينهما في آن واحد وهذا يتعارض مةع عالقةة عةدم التعيةين. عمليا أمكةن التأكةد مةن أن الطاقةة االهتزازيةة الصةفرية غيةر منعدمةة بواسةطة دراسةة تشةتت الضةوء بواسةطة البلورات عند تغير درجة الحرارة. والشكل التالي يعبر عن مستويات الطاقة لجهد يعبر عنه بالمعادلة )4(. ولكل قيمة () يوجد لها دالة مميزة تعرف بالصورة: q / ( q) N e H ( q), N! H ( q) حيةث التاليين. تسةمى دالةة هرمةت متعةددة الحةدود. األربةع دوال المميةزة األوائةل موضةحة بالجةدول والشةكل 3 E 3 q / e ( q ) q / qe 5 5 ( q ) e q / ( q 3) q e 3 q / 4

25 x / ( x) e H( x)! ( x) ( x) dx m m d x dx المؤثر الدرجي: باستخدام الدالة المميزة: بحيث نجد أن تأثير المؤثر على الدالة السابقة يعطي: ) x ( الى الدالة المميزة األسفل درجة على الدالة المميزة ) x. ( هذا المؤثر يسمى بالمؤثر الدرجي )السلمي( الصاعد )أو مؤثر هذا المؤثر يسمى بالمؤثر الدرجي )السلمي( التنازلي )أو مؤثر الفناء( حيث أنه يهبط بالدالة المميزة. ( x ). d x dx ( x ) واجب منزلي: ادرس تأثير المؤثر التخليق( حيث أنه يصعد بالدالة المميزة الى الدالة المميزة األعلى درجة( x ( نأتي لسؤال مهم أال وهو: لماذا يأخذ المتذبذب التوافقي الكمي قيم صحيحة الشكل E ( ),,,, لالجابة على هذا السؤال نعلم أن طاقة المتذبذب التوافقي تأخذ 5

26 ( x ) وأيضا باستخدام المؤثرات الدرجية وجدنا أننا نستطيع أن نصعد أو نهبط بالدالة المميزة بقيم صحيحة ولكن لألن ال نجد سبب لماذا قيم صحيحة! السبب هو كالتالي: d H ( x ) dh ( x ) حقيقة أن معادلة هيرمت ) ( H x لها الحلول لقيم صحيحة ولكن اذا استخدمنا طريقة متسلسلة x dx dx القوى بالشكل: k H ( x) c x c c x c x c x k k 3 3 لحل هذه المعادلة نجد الحل التالي: ( ) ( )( ) 4 ( ) 3 ( )(3 ) 5 H( x) c x x c x x x! 4! 3! 5! حيث أيضا تتحقق لقيم غير صحيحة. )وهذه تسمى دالة هيرميت(. لقيم صحيحة نجد أن دالة هيرميت تنقطع وتتوقف لتعطى هيرميت كثيرة الحدود )فردية أو زوجية( تبعا لقيم )فردية أو زوجية(. لقيم غير x / ( x ) x e صحيحة نجد أن دالة هيرمت ال تتجزأ وال تتوقف وحدودها تكبر كما الدالة. الدالة المقترحة ال تحقق شروط ميكانيكا الكم. المتذبذب التوافقي الخطي )حل متعددة الحدود( تم تعريف الهاملتونيان للمتذبذب التوافقي الخطي بالمعادلة: d ( q ) )( dq حيث تم تعريف القيمة المميزة )العديمة األبعاد( بالشكل: E وقبل أن نستعرض الحل العام للمعادلة )( دعونا نتوقف قليال لنبحث عن طبيعة الحل التقاربي للدالة أي. q وعليه نحصل وذلك بالمقارنة مع q.q بوضع عندما على المعادلة: d q dq )3( التي يمكن وضع حلها بالصورة: بالمعادلة )( فإننا يمكننا إهمال المقدار aq e وإليجاد القيمة a نفاضل الدالة مرتين فنجد: d aq aq (4a q a) e 4a q e dq ومنها ومن المعادلة )3( نجد أن: a a 4 ومن ثم نستخلص أن: ce q / q / de )( 6

27 lim q / e q d و حيث c ثابتان اختياريان. الحل )/ ) e q هو حل مرفةوض ألن الشةرط ال يحقةق شةروط ميكانيكا الكم من حيث محدودية الدالة في الالنهاية. لذلك يمكننا وضع المعامل مساويا للصةفر. وحيةث إننةا لةم نةتكلم عن معيارية الدالة فيمكننا وضع المعامل مساويا للواحد. من ثم فإن الحل التقاربي للدالة يصبح: q / e )4( دعونا نرجع مرة أخرى للحل العام للمعادلة )( الذي سوف نفترضه بالشكل التالي: q / H( q) e H( q) )5( حيةةةةث هةةةةي متسلسةةةةلة القةةةةوى للمتغيةةةةر )التةةةةي سةةةةنعرفها الحقةةةةا بدالةةةةة هرمةةةةت متعةةةةددة الحةةةةدود (. Hermit polyomial وسوف نوقفها عند حد معين ال نتعداه حتى تحقق شروط ميكانيكا الكم بالنسبة لمحدوديةة الدالةة في الالنهاية. d q c Hq ( ) d d H q dh q dq dq dq e q / واجب منزلي: باستخدام (q )H أثبت أن ( ) ( ) q ( q ) H( q) e q / باستخدام المعادلة )5( تصبح المعادلة )( بالشكل: d H( q) dh ( q) q ( ) H( q) )6( dq dq المعادلة التفاضلية الخطية من الدرجة الثانيةة )6( يمكةن حلهةا حةال كةامال حيةث إنهةا مشةابهة لمعادلةة هرمةت التي تأخذ الشكل: d H( q) dh( q) q H ( ),,,, q )7( dq dq وذلك بوضع q) H( q) H ( و. ومنها نجد: E, E ( ) ( ) h,,,, )8( واجب منزلي: باستخدام المتسلسالت حل المعادلة التفاضلية )6(. انظر الحل بالملحق ) B.5). وصلنا اآلن إلى هدفنا األساسي ونستطيع هنا أن نميز دوال وطاقة المستويات بالرمز هرمت كثيرة الحدود. أخيرا : الذي يدل على درجة دالة q / ( q) Ne H( q), N! E ( ) ( ) h,,,, 7

28 m q ملحق (B.5) حل معادلة هرمت متعددة الحدود k معادلة هرمت التفاضلية ت عرف بالشكل: ( ) dh ( q) q ( ) H( q) )( dq dq وت حل باستخدام متسلسلة القوى كالتالي: - نفترض الحل العام بصورة متسلسلة بالشكل: d H q k H ( q) e q e e q e q e q k d H q 3 3 k k أ- باجراء التفاضالت: dh ( q) k kekq e e q 3 e3q ; dq ( ) k ( ) k k ekq e 3e 3q 34e 4q dq ب- بةالتعويض مةن القةيم العليةا بالمعادلةة )( ومسةاواة معةامالت كةل حةد مةن نحصل على العالقات التالية: لةه نفةس الدرجةة بالصةفر e ( ) e 3 e ( ) e 3 34 e ( ) e 4 ( k )( k ) e ( k) e k e k k k e ( k)( k) وعامة نصل إلى الحد k ومنها نحصل على: )( نجد العالقة: العالقة التكرارية relatio) (Recursio )( وتوضح كيف نحصل على قيم المعامالت بمعلوميةة المعةامالت. e ويصبح المعامالن و ثةابتين اختيةاريين مطلةوبين للحةل العةام للمعادلةة )(. يمكننةا اآلن وضةع االبتدائية و الحةةل العةةام للمعادلةةة )( كمجمةةوع متسلسةةلتين واحةةدة تحتةةوي علةةى الحةةدود الفرديةةة وأخةةرى تحتةةوي علةةى الحةةدود الزوجية: H( q) e e q e e q e e e q e e e e4 e e e q q q q e e3 e e5 e3 e e e e e e e e e k e ).3( Hq ( ) واجب منزلي: أ- اختبر سلوك الدالة مع زيادة الدرجة k بمعني أن k وأثبت أن النسبة e e k k k 8

29 Hq ( ) e 4 k q q q q k! ب- قارن سلوك الدالة ) ( Hq بالشكل مع سلوك الدالة لتثبت أن الدالة يمكةن تمثيلهةا. H ( q) e q q / q q / e e e من الواجب المنزلي نجد أن وهي دالة تزايدية وغيةر محةددة عنةدما. q هةذا يضةطرنا إلةى وقةف المتسلسةالت عنةد حةد معةين ال نتعةداه حتةى تحقق الدالة شروط ميكانيكا الكم بالنسبة لمحدوديتها في ما ال نهاية. فإن واحدة من المتسلسالت )3( العالقة التكرارية )( تدلنا على أنه عندما نضع k بحيث e حيث إن جميع الحدود بدءا من سوف تنعدم )أي تتساوى بالصفر(. بإمكاننا حذف سوف تتوقف مع المتسلسلة األخرى بوضع في حالة كون فردية أو وضع في حالة كون زوجية. ونتيجة لتوقف المتسلسالت نحصل على قيم الطاقة المميزة بالمعادلة: e e E ( ) ( ) h,,,, e Series Solutios: Hermite's Equatio Hermite's Equatio of order k has the form y " ty ' ky where k is usually a o-egative iteger. We kow from the previous sectio that this equatio will have series solutios which both coverge ad solve the Differetial equatio everywhere. Hermite's Equatio is our first example of a differetial equatio, which has a polyomial solutio. As usual, the geeric form of a power series is y () t at We have to determie the right choice for the coefficiets (a). As i other techiques for solvig differetial equatios, oce we have a "guess" for the solutios, we plug it ito the differetial equatio. Recall that ad Pluggig this iformatio ito the Differetial equatio we obtai: 9

30 or after rewritig slightly: Next we shift the first summatio up by two uits: Before we ca combie the terms ito oe sum, we have to overcome aother slight obstacle: the secod summatio starts at =, while the other two start at =. Evaluate the th term for the secod sum: the secod summatio, if we start at = istead of =:. Cosequetly, we do ot chage the value of Thus we ca combie all three sums as follows: Therefore our recurrece relatios become: After simplificatio, this becomes Let us look at the special case, where k = 5, ad the iitial coditios are give as:. I this case, all eve coefficiets will be equal to zero, sice a= ad each coefficiet is a multiple of its secod predecessor. What about the odd coefficiets? a=, cosequetly ad What about a7: Sice a7=, all odd coefficiets from ow o will be equal to zero, sice each coefficiet is a multiple of its secod predecessor. 3

31 Cosequetly, the solutio has oly 3 o-zero coefficiets, ad hece is a polyomial. This polyomial (or a multiple of this polyomial) is called the Hermit Polyomial of order 5. It turs out that the Hermite Equatio of positive iteger order k always has a polyomial solutio of order k. We ca eve be more precise: If k is odd, the iitial value problem solutio, while for k Exercise : Fid the Hermit Polyomials of order ad 3. Aswer. Recall that the recurrece relatios are give by eve, the iitial value problem a a, a, a will have a polyomial will have a polyomial solutio. We have to evaluate these coefficiets for k= ad k=3, with iitial coditios a=, a=. Whe k=, Cosequetly all odd coefficiets other tha a Thus H(t)=t. Whe k=3, will be zero. Sice a=, all eve coefficiets will be zero, too. ad Cosequetly all odd coefficiets other tha a zero, too. Thus ad a3 will be zero. Sice a=, all eve coefficiets will be Exercise : Fid the Hermit Polyomials of order, 4 ad 6. Aswer. Recall that the recurrece relatios are give by We have to evaluate these coefficiets for k=, k=4 ad k=6, with iitial coditios a=, a=. Whe k=, while 3

32 Cosequetly all eve coefficiets other tha a Thus H(t) = -t. Whe k=4, will be zero. Sice a=, all odd coefficiets will be zero, too. Cosequetly all eve coefficiets other tha a zero, too. Thus ad a4 will be zero. Sice a=, all odd coefficiets will be You ca check that 3

33 Q ( ) x. x d dx Chapter 3 دالة "ليجندر" كثيرة الحدود Legedre Polyomials P ( x) d dx Differetial equatio ( x ) x ( ) y ( ),,,,3, x y( x) AP ( x) BQ ( x) P ( ) x الحل( ( P x المعادلة التفاضلية لها الحل العام حيث A و B ثوابت. ليجندر من النوع الثاني وهي دالة شاذة تسمى دالة ليجندر من النوع األول وهي دالة منتظمة في المدي عند النقاط دالة. ينصب اهتمامنا دائما على الدوال المنتظمة في x (Sigular).Q ( الدالة( المدى المطلوب ولذلك لن نتعامل هنا مع x Rodrigue s formula d P ( x ) x ;,,,3,! dx Defiitio عالقة رودريجو تعريف أ- M m m! m P ( x) ( ), x M m m!( m)!( m)! ب- عالقة التجميع / is eve / is odd P ( x cos ) x x 3 x 35 4 x x x P x P P 3 P 3 3 P P P جدول لبعض القيم 33

34 الحظ هنا شكل الدوال الزوجية للقيم,,,4 وشكل الدوال الفردية للقيم,,3,5. / ( tx x ) t P ( x); t دالة مولدة Geeratig fuctio هذا التعريف مشتق من مفكوك القطب الكهربائي وسوف نتعرض له الحقا. Recurrece relatios ( ) P ( x ) ( ) xp ( x ) P ( x ); عالقات تكرارية P ( x) P ( x) dx m m عالقة التعامد Orthogoality relatio تمثيل الدوال: يمكن تمثيل الدوال )المتصلة والمتقطعة( بداللة دالة ليجندر كالتالي: نفترض أن الدالة (x )f يمكن كتابتها بداللة دالة ليجندر بالعالقة: Pm ( x ) f ( x) c P ( x) واليجاد صيغة للمعامالت c نتبع األتي: بضرب طرفي العالقة السابقة بالدالة عالقة التعامد نجد أن: واجراء التكامل واستخدام f ( x) Pm ( x) dx c Pm ( x) P ( x) dx c m لنحصل على المعامالت بالشكل: 34

35 c - f ( x) P ( x) dx أمثلة محلولة P( x) مثال: 3 الحل: احسب باستخدام عالقة رودريجو. 3 3 d 3 d P3 ( x ) x x 3x 3x (x 7 x ) 3! dx 3! dx 48. m (5 3 x 3 x ) P( x) ( ) مثال: احسب الحل: للقيمة P x و باستخدام عالقة التجميع: نجد أن M بالتالي فان التجميع لحد واحد فقط المرتبط بالقيمة! P ( x) ( ) x x!()!()! M للقيمة نجد أن بالتالي فان التجميع لحدين فقط المرتبطان بالقيم m,. V بداللة دالة ليجندر. cos V x P P 3 3 cos cos. 4 مثال: ضع الدالة الحل: cos(3 ) مثال: ضع الدالة V الحل: بداللة دالة ليجندر cos(3 ) P3 3P 3 P P3 P 35

36 مثال: ضع الدالة f x x x x بداللة دالة ليجندر. الحل: 3 f x x x x P3 3P P Po P Po P3 P P Po مثال: ضع الدالة غير المستمرة x f ( x) x بداللة دالة ليجندر. f ( x) c P ( x) الحل: باستخدام العالقة فان المعامالت تحسب كالتالي: c f ( x) P ( x) dx ( ) P ( x) dx () P ( x) dx - - P حيث أن الدلة المطلوب تمثيلها هي دالة فردية فنتوقع أن قيم على: لدالة ليجندر( x ( هي أيضا أرقام فردية. فنحصل c f ( x) P ( x) dx 5 x 3 c () xdx 3, ( 3 ) 5 3?, c3 x x dx 8 c??, 6 تحقق من القيم وتكون النتيجة النهائية هي: 3 7 f x cp c3p3 c5p5 P P3 P5 8 6 f باستخدام الكمبيوتر تم رسم الدالة x باستخدام 5, ومقارنتها بالدالة الحقيقية. 36

37 x ( x) f( x) ( x ) واجب منزلي: ضع الدالة بداللة دالة ليجندر. مساعدة: تأكد من القيم التالي: ( x ) f( x) ( x ) واجب منزلي: ضع الدالة بداللة دالة ليجندر. مساعدة: تأكد من القيم التالي: 37

38 مفكوك متعدد القطب الكهربائي يستخدم هذا المفكوك بكثافة في الفيزياء النظرية على سبيل المثال: لحساب الجهد r عن مركز الشحنات O الناتج عن الكهربي عند النقطة P التي تبعد مسافة عن المركز كما بالشكل المقابل وتبعد مسافة شحنات كثافتها الحجمية والذي يعرف بالمعادلة: (r ') (r) k d ' r r ' )( وحدة الحجوم. أو عند التعامل مع ذرات متعددة االلكترونات ابسطها ذرة حيث الهيليوم. سوف نستعرض هنا صورة مبسطة لهذا المفكوك. r' (r ') مثال: اثبت المفكوك التالي: r ' P cos ', r r' )( r r ' r P هي دالة ليجندر متعددة الحدود و هي الزاوية المحصورة بين و. حيث cos ' الحل: باستخدام المفكوك والتعويض التاليين: ' ' r r ' 'cos ' ' r r r rr r r x, x cos ' r r نجد أن: r ', r '', xr '' r '' r r ' r xr '' r '' r باستخدام مفكوك ذات الحدين* نحصل على: r r ' r r 8 6 r r ' r '' r '' x 4 x r '' 4 xr '' 8 r '' x r 8 6 نصل إلى: 3 r ' r ' 3 r ' x 3x 5x 3 x + r r ' r r r r 3 ' ' d وبتجميع معامالت '' r r ' r ' r ' r ' P ( x) P ( x) P ( x) P3 ( x) + P cos ' r r r r r *استخدمنا مفكوك ذات الحدين: ( ) ( )( ) 3 3 ( a x ) a a x a x a x! 3! 38

39 واجب منزلي: لثنائي القطب الكهربي كما بالشكل التالي اوجد الجهد عند مسافة r. الحل: يوجد طريقة اخري سهلة لحساب الجهد وذلك عن طريق حسابة على المحور z ومنه نعين الجهد بشكل عام كالتالي: r a q q r, 4 r r First of all, for a poit o the z- axis, z > a, the potetial is Comparig this with the geeral expasio P cos B ad write B at we ca idetify the r qa cos r, as a r for r a. For r a we ca just swap a ad r i this equatio. 39

40 . r a واجب منزلي: للشكل التالي اوجد الجهد عند مسافة r q q q 4 4 r a r r a q r a r r a 3cos qa qa 3 P (cos ) 4 r 4 الحل: This result we ca immediately ifer the expressio for the potetial at all poits: مثال:. r R أوجد الجهد الكهربائي داخل الكرة. R على سطح كرة مجوفة نصف قطرها V ( ) تم تعيين الجهد V بالشكل: الحل: نظ ار للتماثل الكروي لهذه المسألة فإننا نستطيع استخدام الحل العام لمعادلة البالس B V ( r, ) A r P (cos ) r 4

41 نعتبر المنطقة الداخلية للكرة المجوفة. في هذه المنطقة يجب أن تكون B واال أصبح الجهد ما النهاية بالداخل عند نقطة V ( r, ) A r P (cos ) V ( R, ) A R P (cos ) V ( ) r R األصل. r لذلك: باستخدام الشرط الحدودي على سطح الكرة r R نجد أن: لحساب الثابت A نستخدم طريقة فوري مع خواص التعامد والعيارية لدالة ليجيندر بمعنى: A R P (cos ) P (cos )si d P (cos ) V ( )sid ' ' ' A V ( ) P (cos )si d R r R V ( r, ) A R P (cos ) V ( ) P (cos )si d r P ( cos) R. V ( ) P (cos )si d P ( cos). r الحظ هنا أن A و أوجد الجهد الكهربائي خارج الكرةR B R V ( ) P (cos )si d 3 3 cos(3 ) 4cos ( ) 3cos( ) 4 3 وهذا يعطينا: ولذلك نجد أن: واجب منزلي: مثال : بالمثال السابق إذا علم أن ) V ( ) K cos(3 حيث K ثابت. أ- أوجد الجهد الكهربائي داخل الكرة. الحل: باستخدام قواعد المثلثات واستخدام جدول دالة ليجيندر نجد أن: P3 3P 3P P3 P أ- لحساب الجهد الكهربائي داخل الكرة نحسب أوال : A V ( ) P (cos )si d R 8K 3K P3 cos P cos P (cos )si d R 5 5 ومن خصائص التعامد لدالة ليجيندر نجد أن قيم المسموح بها هي و 3. بإج ارء التكامالت نجد أن: 4

42 A 3K 8 K, A 5 R 5R 3 3 3K 8 K V ( r, ) r P r P 5 R 5R 3 is 3 3 بالتالي فإن الجهد الكهربائي داخل الكرة هو: 4

43 أ) Chapter 4 الدالة التوافقية الكروية m Spherical Harmoic Fuctio Y (, ) Y (, ), m هي الدالة الوحيدة التي تظهر فيها الزوايا بشكل واضح وتستخدم في المسائل الفيزيائية المرتبطة باالحداثيات 43 Y (, ), الكروية. من الملحق الخاص باالحداثيات الكروية اشتققنا منه المعادلة التفاضلية الخاصة بدالة التوافقيات الكروية. Differetial equatio m المعادلة التفاضلية si ( ) Y, m(, ) ) si si تعريف Defiitio m *, m, m m ( m)! m im Y, m(, ) ( ) P (cos ) e ; m 4 ( m)! / Y (, ) ( ) Y (, ); m l m, مالحظة: جدول لبعض القيم بعض الكتب ال تستخدم المعامل ( ( m في التعريف. ترميز ديراك Y, m(, ) lm, , 3 cos 4, 3 si e i, 3cos, 5 cos si i e 8, 5 si e 3 i

44 واجب منزلي: تحقق من العالقة: l Y l, Pl (cos ) مثال: أوجد التمثيل التوافقي الكروي للدالة الحل: 8 si (cos si ) si i x i y r i r e r Y, z مثال: أوجد التمثيل الكرتيزي للدالة. تذكر أن rcos الحل: Y3, P3 ( cos ) (5cos 3cos ) cos (5cos 3) 44. x i y 7 z z 7 z (5 3) 5z 3r 3 4 r r 4 r عالقة التعامد Orthogoality relatio M * Y 3, m ' m ' d si dy (, ) Y (, ) d *, m ', m ' ' mm ' 3 Y (, ) si 8 * * Y (, ) Y (, ) d si d Y (, ) Y (, ) d i e مثال: تحقق من عيارية الدالة الحل: المطلوب هو اثبات أن: فلنتحقق من هذا باجراء التكامل: * 3 3 i i M si d (, ) (, ) si si si Y Y d d e e d si si d d si d cos ( cos ) d cos [cos cos ] ( ) ( ) وهذا هو المطلوب اثباته

45 Y (, ) Lˆ Y (, ) y مثال: احسب القيمة المتوسطة حيث: ˆ Ly i( z x ) i(cos cot si ) x z الحل: تحسب القيمة المتوسطة كالتالي: Lˆ si d Y (, ) Lˆ Y (, ) d. y * y * si d Y (, ) [ i(cos cot si )] Y (, ) d?? ˆL مالحظة: من الصعب حساب التكامل بصورته النهائية لذلك نلجأ الى استخدام المؤثرات السلمية )الدرجية( عالقات تكرارية Recurrece relatios / / ( m)( m) ( m)( m) cos Y, m(, ) Y, m(, ) Y, m(, ) ( )( 3) ( )( ) / / ( m)( m) ( m)( m ) si Y, m(, ) Y, m(, ) Y ( )( 3) ( )( ) (, ) i, m e Y (, ), مثال: للدالة تحقق من صحة العالقة التالية: / / ( m)( m) ( m)( m) cos Y, m(, ) Y, m(, ) Y, m(, ); ( )( 3) ( )( ) وذلك باستخدام طريقتين مختلفتين. / / الحل: الطرف األيسر يحسب من العالقة التعريفية كالتالي: / / ( )( ) ( )( ) cos Y, (, ) Y, (, ) Y, (, ) ()( 3) ()( ) 4 Y, (, ) Y, (, ) 5 3 الطرف األيسر يحسب باستخدام الجدول كالتالي: cos Y, (, ) cos cos cos, cos Y, (, ) / / Y, (, ) Y, (, ) Y, (, )

46 3 x iy 8 r z r cos, x r si cos y r si si, مثال: أوجد التمثيل التوافقي الكروي للدالة الموجية : الحل: استخدم التحويالت نجد: 3 x iy i 8 si cos isi si sie Y, 8 r مثال: أوجد التمثيل التوافقي الكروي للدالة الموجية : 3 z iy ( x, y, z ) 8 r z r cos, x r si cos y r si si, الحل: استخدم التحويالت 3 z iy 3 3 ( x, y, z) cos si i si Y Y Y 8 r 8 8 i i e e Aother method 3 z iy 3 z 3 iy ( x, y, z ) 8 r 8 r 8 r 3 iy 3 x 3 x Y, 8 r 8 r 8 r 3 x iy 3 x iy Y, 8 r 8 r Y, Y, Y, I ket otatio:,,, *,,,,,,,,, ,,, نجد: 46

47 مثال: أوجد التمثيل التوافقي الكروي للدالة الموجية: ar ( x, y, z) C( xy yz zx) e الحل: استخدم التحويالت, z r cos, x r si cos y r si si نجد أن: xy yz zx r si cos si r si cos si r si cos cos, والتعويضات التالية: i i r 8 si cos si si e e xy ( Y, Y, ), 4i i 5 i i r 8 si cos si si e e yz ( Y, Y, ), i i 5 i i r 8 si cos cos si e e zx ( Y, Y, ), 5 r 8 ( x, y, z) C ( Y Y ) ( Y Y ) ( Y Y ) e 5 i i,,,,,, ar نجد: 47

48 8 a) si cos Y Y b) si cos Y Y,,,, c) xz r Y, Y, d) x y r Y, Y, 5 5 r e) xy Y Y f ) y ir Y Y i 5 3,,,, واجب منزلي: - تحقق من العالقات التالية: 48

49 ملحق اإلحداثيات القطبية الكروية Spherical Coordiate system يوجد العديد من المسائل الفيزيائية التي يتطلب حلها استخدام االحداثيات الكروية. االحداثيات. لذلك سوف نلقي نظرة عابرة على هذه r P في اإلحداثيات القطبية الكروية تستخدم الزاويتان, في تحديد موقع النقطة على سطح كرة نصف قطرها )انظر الشكل ) بحيث إن: زاوية السمت الرأسية r x y z. من الشكل نجد أن: z z cos وتتغير من agle) ( Zeith تعرف بالعالقة: r x y z إلى y وزاوية السمت agle) ( Azimuthal تعرف بالعالقة: ta وتتغير من إلى. x يمكن ربط العالقات الثالث وعكسها في اإلحداثيات القطبية الكروية والكرتيزية كالتالي: x r sicos, r x y z x y y rsisi, ta )( z y z rcos, ta x وعنصر الحجم هو d r dr d حيث تأخذ r القيم من إلى وتعرف d si d d بالزاوية المجسمة. واجب منزلي: من العالقات )( أثبت التفاضالت التالية: r x sicos x r r y sisi y r cos cos x r cos si y r si x rsi cos y rsi x y y x 49

50 r z cos si z r z z Classical Mechaics Quatum Mechaics Lx ypz zpy; ˆ Lx yp ˆˆ z zp ˆˆ y i y z z y Ly zpx xpz; Lˆ y zp ˆˆ x xp ˆˆ z i z x x z ˆ Lz xpy ypx; Lz xp ˆˆ y yp ˆˆ x i x y y x L L L L ; Lˆ Lˆ Lˆ Lˆ x y z x y z مقارنة بين كمية الحركة الزاوية المدارية الكالسيكية والكمية مثال: أثبت العالقة:. Lˆz i i x y y x واجب منزلي: تحقق من الحسابات التالية: r x x x x,, 3 x x r r r x x r r r r r r r x/ r x y z r r r ومنها أثبت أن واجب منزلي: أثبت العالقات اآلتية 5

51 ˆ Lx i y z i si cot cos z y Lˆ y i z x i cos cot si x z si si ˆ ˆ ˆ ˆ L Lx Ly Lz si ˆ ˆ ˆ i cos L Lx ily e i si )( قيمة بالمعادلة )( مهمة جدا وخصوصا عند استخدامها بمعادلة شرودنجر: ˆ ˆ ˆ H T V V ( r), حيث يأخذ المؤثر البالسان في اإلحداثيات القطبية الكروية الشكل التالي: ˆ L r si r. r r r r si si r r r r وتأخذ معادلة شرودنجر )باستخدام الوحدات الذرية( الصورة: ˆ ˆ L Hlm ( r,, ) V ( r) (,, ) lm r r r r r ونجد أن الدالة الكلية تأخذ الشكل: ( r,, ) R ( r) Y (, ) lm lm l lm Y, (, ) تعرف بأنها الجزء القطري للدالة و R, حيث r) ( الحقا(. تعرف بأنها الدالة التوافقية الكروية )سوف يتم تعريفها l m ˆL طريقة فصل المتغيرات دعونا نبدأ بمعادلة البالس التفاضلية في االحداثيات الكروية وهي بالشكل: V V V rv si )أ( r r r si r si والتي يمكننا حلها بطريقة فصل المتغيرات وذلك باستخدام التعويض التالي: V ( r,, ) ( r) ( ) ( ) r si si r si ومنها نحصل على ثالث معادالت تفاضلية وهم: 5

52 si r ll ( ) r b m si ll ( ) si (Radial equatio ( معادلة قطرية (i) (Azimuthal equatio) (ii) معادلة زاوية (iii) (Agular equatio) للتأكد من صحة الحلول العامة للمعادالت التفاضلية يتم التعويض بكل حل على حدة بالمعادلة الخاصة به. المعادلة )i( لها الحل القطري البسيط: B () r Ar r B و حيث A هي ثوابت اختيارية يمكن إيجادها من الشروط الحدودية..I b 5 المعادلة )ii( يمكن التعامل معها كالتالي: Ce ib b.ii )( حيث قيمة ثابتة. حل) ( هو:. هو ثابت اختياري ويحسب بواسطة معايرة الدالة حيث مالحظات: فإننا سنعود لنفس النقطة بمقدار أ- وهذا يعني أن الدالة تكرارية القيم. ونستخدم العالقة: لكي تصبح الدالة غير تكرارية القيم يجب أن نحصرها في المدى, ب- ومن ثم فإن الشرط: ib ib ib Ce Ce e ib e وهي قيم مكممة L ˆz m الدالة )( غير مناسبة لالستخدام الفيزيائي وذلك ألننا لو غيرنا الزاوية b m, حيث ib e C ولكي يتحقق الشرط فإن: b m m,,, Lˆz i im Ce, m,,, ج- وأخيرا نجد أن: من المعادلة )5( نالحظ أن القيم m هي قيم مميزة للمؤثر )قيم منفصلة( ويسمى m بالعدد الكمي المغناطيسي. )( )5(

53 لحساب قيم A نستخدم خواص المعايرة: im * im Ce Ce d C. المعادلة )iii( يمكن تبسطها باستخدام التعويض التالي: cos,, with Azimuthal symmetry m =, ad usig the defiitio d si d ( ) d, d d d cos, to prove that: d d d d d d si ( ) ( ) si d d d d d d This implies that the fuctio P satisfies the equatio d dp ( ) ( ) ( ) P ( ) d d (We ow have sice for every we will have a differet fuctio.). The last equatio is the Legedre P equatio, ad its solutios are the Legedre polyomials P ( cos ). m.iii d d m dx dx x ( x ) ( ), m, لنصل للمعادلة التفاضلية: المعادلة التفاضلية األخيرة هي معادلة "ليجندر" المرافقة وحلها يعطي دالة "ليجندر" المرافقة كثيرة الحدود وسيتم تعريفها والتعامل معها بالصفحة التالية. مالحظة مهمة: األن يمكن وضع الحل العام لمعادلة البالس التفاضلية بالصورة: B V ( r,, ) A r, m, m r 53

54 Chapter 5 دوال "بيسيل" Bessel Fuctios Bessel fuctios of the First ad secod kid J ( x), N ( x) d d x x x y( x), dx dx دوال "بيسيل" من النوع األول والثاني المعادلة التفاضلية Differetial equatio معادلة بيسيل التفاضلية من الدرجة الثانية: )(. الحل, حلها العام من الدرجة هو: y( x) AJ ( x) B N ( x) J ( x) حيث A و B ثوابت. الحل األول يسمى دالة بيسيل من النوع األول وهي دالة منتظمة في المدي لها القيمة عند نقطة هو دالة بيسيل من النوع الثاني وتسمى دالة نيومان وهي دالة شاذة (Sigular) األصل. x ينصب اهتمامنا دائما على الدوال المنتظمة في المدى المطلوب. الثاني( x N ( Defiitio of the first kid k k ( ) x J ( x) ; k J k k k ( ) x ( x) k k k k J ( x) ( ) J ( x);,,, تعريف النوع األول J J ( x) إذا كانت,,, األصل بينما تكون الدوال نجد أن الدوال (x ( x) J ( غير محدودة. و هي دوال مستقلة وتكون الدوال( x ( محدودة عند نقطة J 54

55 أمثلة: تحقق من القيم التالية: J 4 6 x x x x ( x) ( ) 4 4 6! 3 5 x x x J( x) x x x 3! 5! 5 9 s s ( ) x x x x J ( x) s s! ( s ) ( )! ( )! ( ) si( x ) x تحقق من الحلول التالية من النوع األول فقط: - the solutio of the equatio y y x x x y is x x 9 y c J ( x ) c J ( x ) /3 /3 y y - the solutio of the equatio x x x y is x x y c J ( x ) y y x x x y is x x y c J ( x ) 3- the solutio of the equatio x ( t ) t e ( t ) k t J ( x ) J ( x ) J ( x ) J ( x ); x d J ( x ) J ( x ) J ( x ) dx دالة مولدة Geeratig fuctio بعض من العالقات التكرارية Recurrece relatios 55

56 جدول لبعض القيم 3 5 J ( x) si x x si x x x cos x 3 3 si x cos x x x x J ( x) cos x x cos x x x si x 3 3 cos x si x x x x تعريف النوع الثاني Defiitio of the secod kid النوع الثاني من الدرجة تسمى دوال نيومان والتي تعرف كالتالي: N ( x) Y ( x) J ( x)cos( ) J ( x) si( ) ( )! x k x l J ( x) k k k k! k k ( ) x kk! k! r r r N ( x) ( ) N ( x); k,,, k ولها القيمة عند نقطة األصل. الرمز هو ثابت "أويلر" ويعطى بالقيمة: dl ( z) (); ( z) dz - x y'' + xy' + (3x )y =. As: - The Airy differetial equatio kow i astroomy ad physics has the form: 56

57 It ca be also reduced to the Bessel equatio. Its solutio is give by the Bessel fuctios of the fractioal order : () H J x in x ( ) ( ) () H J x in x التجميعات التالية: ( ) ( ) تسمى دوال "هنكل" من النوع األول والثاني بالترتيب. Spherical Bessel Fuctios j ( x ), ( x ) f ( x) y( x) / x,,, ( دوال "بيسيل" الكروية بمعادلة بيسيل وللقيم التفاضلية: ) لو استخدمنا التعويض سنحصل على المعادلة d f df ( ) f( x) dx x dx x وتسمى معادلة بيسيل الكروية والحل العام لها هو: f ( x) A j ( x) B ( x), B حيث A حيث و ثوابت اختيارية. معادلة بيسيل الكروية شبيهة بمعادلة شرودنجر في حالة انعدام الجهد و x kr هو العدد الموجي. تعرف دوال بيسيل الكروية كالتالي: k d si x j ( x) J ( x) ( x) x x dx x وتعرف دوال نيومان الكروية كالتالي: d cos x ( x) N ( x) ( x) x x dx x 57 جدول لبعض القيم

58 si x x j ( x) si x cos x x x 3 3 si x cos x 3 x x x cos x x ( x) cos x si x x x 3 3 cos x si x 3 x x x j ( x) السلوك التقاربي عندما x و x هو الشرط x x x!! si x x ( x) x!! cos x x حيث!! r لقيم مختلفة للمسافة l ( و( r jl الشكل التالي يوضح الدالتين () r () h j x i x ( ) ( ) () h j x i x ( ) ( ) و تعرف أيضا دوال هنكل الكروية كالتالي: 58

59 V () r الجهود المتماثلة كرويا (Spherically symmetric) 59 يقال عن طاقة الجهد V () r بأنها متماثلة كرويا إذا كانت ال تتغير بالدوران ivariat) (Rotatioally ولهذا فإن () Vr تعتمد فقط على المسافة r = x y z من مركز القوة والتي ستختار كنقطة أصل لإلحداثيات. من ثم فإن األسطح المتساوية في الجهد تتكون من سطوح كرات مركزية )قشرة )Shell تبعد عن المركز بالمسافة الثابتة. r costat ومميزات الجهد المركزي هي: - إن كمية الحركة المدارية له تكون محفوظة )ثابتة( - منه نستطيع تعريف القوة المركزية بالمعادلة: r V F Vr () r r أ- اختزال )تبسيط( مسألة القوى المركزية: لجسيم كتلته يتحرك في مجال قوة مركزية نجد أن الهملتونيان يعرف له كالتالي: ˆ ˆ ˆ P H T V V () r وله صفة التبادل مع مؤثرات كمية الحركة المدارية على سبيل المثال: ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ H, L H, L H, L z ˆ L, Lˆ z L Hˆ Lˆz ˆL وحيث إن: لذلك فإن المؤثرات التالي: و يصبح لهن دالة مميزة مشتركة. دعونا نعرف الدالة في اإلحداثيات الكروية بالشكل ( r ) R ( r) Y (, ) lm, ومنها نجد أن معادلة شرودنجر )راجع ذرة الهيدروجين( تصبح: ˆ L r V ( r) E r r r r وتأخذ المعادلة القطرية الشكل: ll ( ) r V ( r) R ( r) ER ( r) r r r r وهي معادلة تفاضلية مبنية على فصل المتغيرات للمؤثر )وي دعى البالسيان( في اإلحداثيات الكروية. من المالئم أيضا أن نستخدم التعويض التالي: u( r) rr ( r) لنجد أن () ur تحقق المعادلة القطرية: u l ( l ) V ( r) u Eu r r وهي متطابقة في الصيغة مع معادلة شرودنجر ذات البعد الواحد مع االختالف في تعريف الجهد المؤثر بالشكل:

60 . V ( r) V ( r) eff ll ( ) r ll ( ) r الحةةد اإلضةةافي بالجهةةد يسةةمى الجهةةد الطةةارد المركةةزي potetial).(cetrifugal وظهةةور هةةذا الحةةد اإلضافي بالجهد يمكن تفهمه من مبادئ الميكانيكا التقليدية كالتالي: لجسيم كتلته يتحرك فةي مةدار دائةري نصةف قطةره r تنشأ علية قوة طرد مركزية تتجه قطريا للخارج )كما بالشكل (. قيمة القوة تحسب من المعادلة: v Fr r L r 3, F r L Vr () r شكل )( أ- الجهد الطارد المركزي ب- جسيم يتحرك في مدار دائري بكمية الحركة الزاوية للمدار الدائري. ويعرف الجهد بالعالقة )نتيجة.l( l) L حيث عرفنا L vr V Fr r ألن (. وتبعا لفروض ميكانيكا الكم يجب أن نستعيض عن بالقيمة المميزة لها وهي على الرغم من تطابق المعادلة السابقة مع معادلة شرودنجر ذات البعد الواحد فإن الشروط الحدودية المطلوبة للحل مختلفة تماما, حيث موجبة. ولتكون الدالة محددة في كل األماكن فيجب أن نضع هنا الشرط الحدودي ()u أي أنها تنعدم عند مركز القوى. في حالة الموجة- s وتعني أن l فإن المعادلة القطرية تؤول إلى: u E V ( r) u r k E/ r ب-حركة الجسيم الحر: عندما نضع الجهد V ( r) و لنجد أن حركة الجسيم الحر تتحقق بالمعادلة: dr r dr r d d l( l ) k R l k r (, ) باستخدام المتغيرات kr d d l( l ) ( ) R ( ) l d d وهي معادلة بسل التفاضلية الكروية وحلها العام هو: Rl( ) A jl( ) B ( ) حيث A و B ثوابت اختيارية هي دالة بسل الكروية و هي دالة نيومان الكروية. j l 6

61 . cos Pl (cos ) والدالة x jl والجدول التالي يوضح الدوال (x ( للمتغير لقيم مختلفة للمتغير l Pl (cos ) j ( x ) si x cos ( 3cos ) 4 l x si x cos x x x 3 3cos x si x x x x 3 cos x x cos x si x x x 3 3si x cos x 3 x x x. B بالتالي فإن: وت مث ل, E k وحيث إن الحل عند المركز يجب أن يكون منتظما ومحدود القيمة regular) (fiite ad R ( k, r) Cj ( kr) فيجب وضع E k l l وحيث إن القيم المميزة k هي قيم موجبة لذلك نجد أن الطاقة تأخذ جميع القيم الموجبة في المدى p وقد رأينا سابقا أن الجسةيم الحةر ذو كميةة الحركةة k والطاقةة بطيف مستمر spectrum).(cotiuous i e k. r يمكن تمثيله بواسطة موجة مستوية. وحيث إن الدالة الكروية E,, l m ( r,, ) Cj l ( kr) Y lm (, ) تكون دالة كاملة فإننا نستطيع أن نضع الموجة المستوية بداللتها بالشكل: l l m l i e k.r i k.r e C ( k ) j ( kr) Y (, ) lm l lm e e e w نجد: i k.r ikz ikr cos cos k فإن: باختيارنا للمحور Z وال تعتمد على الزاوية باتجاه المتجه. باستخدام التعويض l ik.r ikr cos l l * ˆ l l l lm lm l l ml e e (l ) i j ( kr) P ( w) i j ( kr) Y ( k) Y ( rˆ ) r kr l l l i l si( kr ) P( w) l مثال: ادرس حركة جسيم في الحالة ( ) l داخل بئر جهدي كروي التماثل ويعرف بالعالقة اآلتية: 6

62 , for r a Vr (), for r a وتأخذ الدالة الصورة العامة: ( r,, ) R( r) Y (, ), l, m l, m ra A j ( kr) B ( kr) Y (, ) l l l, m الحل: يتحرك الجسيم بحرية ضمن المدى حيةث ثوابةت اختياريةة ولكةن الثابةت يةؤول للصةفر حيةث إن الدالةة محةددة عنةد المركةز) r الجسيم ال يستطيع اختراق الحاجز عند الحد وهذا ناتج عن كون الحاجز ال حد الرتفاعه بمعنى أن r ومنه نستنتج أن: فإن الدالة يجب أن تختفي )تؤول للصفر( عند الحد a (. وحيةث إن.V a لذلك () jl ( ka) B r a l انظر الجدول اآلتي: المعادلة األخيرة تتحقق لقيم متعددة لجذور دالة بسل الكروية ولنفترضها رقم الجذر 3 ومنها نجد أن الطاقة تتحقق بالمعادلة: El l l l l k m m a l مثال: ادرس حركة جسيم داخل بئر جهدي كروي التماثل محدد العمق ويعرف بالعالقة اآلتية: V o, for r a Vr (), for r a الحل: باستخدام المعادلة الموجية نجد أن: u V ( r ) u Eu, r a r و B u Eu, r a r ومن دراستنا السابقة نجد أن الحل العام يمكن وضعه بالصورة: (V E ) u ( r) A si( k r) B cos( k r), k = r a i i i k out r E u ( r) Ce, k = r a out حيث إن اهتمامنا يتجه نحو طاقة المدارات ذات المسةتويات المرتبطةة levels) (boud-state eergy التةي تتحقةق مةن. B يتطلب u () i الشرط. E والشرط الحدودي r فنجد أن الشرط الحدودي: وحيث إن الدالة ومشتقاتها يجب أن تكون متصلة خالل الحد a i out A 6

63 du i ( r) duout ( r) dr dr u ( r) u ( r) i out ra ra k cot k k ak i i out i, a يعطينا المعادلة: وبضرب المعادلة األخيرة بالمقدار واستعمال العالقتين: ak V cot, a out نصل إلى المعادلة: Va ويوجد 8 واجب منزلي: ارسم الدالة cot ومن الرسم أثبت أنه ال يوجد مدارات إال إذا تحقق الشرط Va مستوى واحد مرتبط في حالة مثال: ادرس حركة جسيم خارج بئر جهدي كروي التماثل ويعرف بالعالقة اآلتية:, for r a Vr (), for r a r وتأخذ المعادلة القطرية لشرودنجر خارج الكرة ) ( Vr الصورة: الحل: يتحرك الجسيم بحرية ضمن المدى a ll ( ) r V ( r) R ( r) ER ( r) r r r r وهي معادلة تفاضلية مكافئة لمعادلة بيسيل الكروية في اإلحداثيات الكروية بالشكل: d R ( ) dr ( ) ( ) R ( ), kr, k E / d d وحلها العام هو: R ( ) a j ( ) b ( ) R ( a), ومع الشرط الحدودي: l نتيجة للجهد ) a )V فإننا نجد: j a j ( ka) b ( ka) ta ( ka) ( ka) 63

64 . a A cos, b A هنا تظهر حالتان للدراسة: حيث استخدمنا si احسب أ- ta عندما ka j ( ka) ( ka), ( ka) ( ka) k k نستخدم التقريب التالي j ( ka) ta ( ka) ( ka) s ومنه ينتج أن ونالحظ أن تقل بسرعة مع زيادة قيم ومن ثم فإن الموجة المقابلة للقيمة j( ka) ta ka ( ka) هي القيمة الدائمة 4 total si 4 a k المقطع المستعرض الكلي للتشتت يحسب بالمعادلة: نجد هنا أن قيمة المقطع المستعرض الكلي للتشتت أربعة أمثال القيمة الكالسيكية للجسيمات ومنها ظاهرة الحيود.. a هذا يرجع للخواص الموجية ka ب- التشتت عند الطاقات العالية jl ( ka) si( ka l / ) tal ta( ka l / ) ( ka) cos( ka l / ) ( ka l / ) l l total 4 k l (l )si l, b b = Impact parameter a عند الطاقات العالية فإن التشتت ال يحدث للجسيمات البعيدة عن b انظر: a ولكن يحدث للجسيمات القريبة b المركز a الشكل المرافق وحيث إن كمية الحركة الزاوية مكممة بمعنى أن mv b فإن ka إذا : max k 64

65 total max max 4 4 cos( ka / ) ( ) si ( ) k k max 4 max ( ) ( )cos( ka / ) k k max 4 ( ) ( ) ( ) a k k k max max l مالحظات: تم إهمال الجزء ) cos( ka / ) ( يصبح كمية منعدمة. حيث إنه يتذبذب بين قيم موجبة وسالبة ومن ثم فإن مجموعه النهائي -. a max ( ) / استخدمنا العالقة التجميعية max بالخطوة األخيرة. max نجد هنا أيضا أن قيمة المقطع المستعرض الكلي للتشتت ضعف القيمة الكالسيكية

66 Summary of the familiar special fuctios N Cotest Page.. Gamma fuctio. Hypergeometric fuctios 8 3. Laguerre polyomials Associate Laguerre polyomials 8 5. Legedre polyomials.. 6. Associate Legedre polyomials Bessel fuctio Modified Bessel fuctio Half-order Bessel fuctio Chebyshev polyomials first kid(commo) 43. Hermite polyomial Simple Harmoic Oscillator Delta fuctio 5 4. Heaviside Uit Step Fuctio

67 Defiitio:. Gamma fuctio z t ( z) t e dt z=x+iy, x, this itegral is coverget for z< (.) Gamma fuctio plot Gamma fuctio of special values ( )! if =,,,.. (.) (), (), (3), ( ) I fact, may formulas ivolvig! Ca be exteded to o-iteger cases by replacig! With ( ), ad that is why the gamma fuctio is also commoly referred to as the geeralized factorial fuctio. Gamma fuctio properties.multiplicatio Formula ( z) z ( z ) (3 z) 3z 3 ( ) ( z ) (.3) (.4) 67

68 ( ) z ( ) ( ) j z ( z ) (.5).Recursio formula ( z ) z ( z) z> (.6) ( z) z( z) (.7) ( z ) The relatio ( z) ca be used to exted the gamma fuctio to z the left half plae for all z except whe z is a o-positive iteger (i.e., z,,,... ) 3.Reflectio Formula:(sometime is called Euler s reflectio formula ) z- t ( z) ( z) = dt z (.8) si z +t ( z) ( z) (.9) cos z ( z) (-) ( z ) ( ) ( z) = ( z) si z( z) 4.Additioal idetities: (.) ( z) ( z) (.) zsi z ( iz)! z sih( z) (.) z ( iz)! s z sih( z) Some Fractioal Values m m (.3) s= ( ) ( m ), m=,,3, (m ) (m ) ( m ), m=,,3,. m 68

69 Derivative at x= () l t e dt=- (.4) t Defiitio by products z! (z)= lim (.6) z ( z )...( z ) z +z =z e [( ) e ], is euler costat. (z) = Other itegrals z Defiitio: The psi or digamma fuctio deoted (x) is defied for ay o ull or egative iteger by the logarithmic derivative of (x), that is 69 (.7) z z ( z)cos t cos t dt, Re z (.8) z z (.9) ( z)si t si t dt, - Re z Asymptotic expasio ( z, arg z ) z z 39 ( z) z e [..] z z 3 (.) 88 z 584 z z z B For l ( z) l( z e ) z ( ) z (.) z z l( ze )... z z (.) 36 z 6 z 68 z Where B are the Beroulli umbers. if we let z= a large positive iteger, the a useful approximatio for! is give by Stirlig s formula ( )! e, Logarithmic derivative of the gamma fuctio (.3)

70 d ( z) l ( z) ( ), z,, dz z (.4) The above series is slowly covergig for ay o egative iteger z Special values (), ( ) l, Asymptotic expasio: ( 3 3 ( ) l3, 3 6 z, arg z ) ( ) 3l 4 B For: ( z) l z z (.5) z l z... z 4 6 z z 5 z (.6) Series expasio of gamma fuctio ( ) ( k) k l( ( z)) z x, x, (.7) k k k ( ) ( ( k) ) k l ( z)) l( z) ( ) x x, x (.8) k k k The gamma fuctio ad the Riema zeta fuctio z t ( z) ( z) dt t e A example for the last equatio x= t 6 t dt e The gamma fuctio ad the beta fuctio Let Rx ( ) ad R(y), the (.9) (.3) ( x) ( y) B( x, y) ( x y) (.33) 7

71 Itroductio:. Hypergeometric fuctios Recall the geometric series ad biomial expasio z z z, (.) ( ) a ( a) ( z) ( z) z! a (.) Defiitio: Let us start from the Gaussia Hypergeometric differetial equatio which is i the form of: z( z) y [ c ( a b ) z] y aby (.3) Where a,b,ad c are costats. The idicial equatio of the hypergeometric differetial equatio is: r ( c) r Which has the roots: r ad r c Usig the Frobeius method,the series solutio for r ca be express as: Solutio: ab z a( a ) b( b ) z a( a )( a ) b( b )( b ) z3 y( z)... c! c( c )! c( c )( c ) 3! This series is called hypergeometric series. The sum of hypergeometric series deoted by F( a, b; c; z) is called hypergeometric fuctio which is: (.4) ( a) ( ) (, ; ; ) b F a b c z z (.5) ( c)! 7

72 ab z a( a ) b( b ) z a( a )( a ) b( b )( b ) z3 F( a, b; c; z)... z c! c( c )! c( c )( c ) 3! (.6) Also we ca write : ab z a( a ) b( b ) z F( a, b; c; z)... c! c( c )! (c) (a+) (b+) z F ( a, b; c; z) = (a) (b) (c+)! The otatio F sigifies that there are two umerator parameters a ad b, ad oe deomiator parameter c. Which has sigularities at z=,,ad F Is ot the geeral solutio, but it is that solutio which behaves like a costat ear the sigular poit z= We ca use the power series to fid the behaviour of the solutio ear each of the sigular poits (.7) (.8) Special cases F( a, b; c; z) ( z) a (.9) l( z) F(,;; z) (.) z 3 z F(,; ; z ) l z z (.) z (.) 3 ta ( ) F(,; ; z ) z 3 si ( ) F(, ; ; z ) z z (.3) z z z (.4) 3 l( ) F(, ; ; ) z F(,;;si x) sec x (.5) F(, ; ;si x) cos x (.6) F( p,;; z) ( z) p (.7) 7

73 Polyomial case: Polyomial case :for m=,,,3, ( m) ( ) ( ) (, ; ; ) b m b F m b c z ( ) z z ( c)! ( c) Properties: (.8) Derivatives d ab F( a, b; c; z) F( a, b ; c ; z) (.9) dz c d ( a) ( ) (, ; ; ) b (, ; ; ) F a b c z F a b c z (.) dz () c Special values ;whe Re (c-a-b) < : (c) (c-a-b) F( a, b; c;) = (c-a) (c-b) (.) Itegral ; whe Re c Re b : (c) b c b a F( a, b; c; z) = t ( t) ( tz) dt (b) (c-b) The last equatio shows that a hypergeometric fuctio ca be writte i term of gamma fuctio (.) For z= : (c) (c-a-b) F( a, b; c;) = (c-a) (c-b) (.3) Fuctioal relatioships: a z F( a, b; c; z) ( z) F( a, c b; c; ) z (.4) 73

74 b z F( a, b; c; z) ( z) F( c a, b; c; ) z (.5) cab F( a, b; c; z) ( z) F( c a, c b; c; z) (.6) Differetial equatio: z( z) F [ c ( a b ) z] F abf (.7) sigular poits: It has a regular sigular poits z=,, Recursio formulae F is F( a, b; c; z); F( a), F( a) are F( a, b; c; z), F( a, b; c; z), respectivly,etc. ( c a) F( a) ( a c az bz) F a( z ) F( a) (.8) c( c ) (z-) F( c) c[ c (c a b ) z] F ( c a)( c b) zf( c) (.9) c[ a ( b c) z] F ac( z) F( a) ( c a)( c b) zf( c) (.3) c( z) F cf( a) ( c b) zf( c) (.3) ( b a) F af( a) bf( b) (.3) ( c a b) F a( z) F( a) ( c b) F( b) (.33) ( c a ) F af( a) ( c ) F( c) (.34) ( b a)( z) F ( c a) F( a) ( c b) F( b) (.35) [ a ( b c) z] F ( c a) F( a) ( c )( z) F( c) (.36) 74

75 Symbol: L ( x ), Iterval: 3. Laguerre polyomials The Laguerre polyomials are orthogoal o the iterval from to with respect to the weight fuctio w(x) = e -x. Surprisigly, this is sufficiet to determie the polyomials up to a multiplicative factor Physical Origis: for the first kid Separatio of variables solutio to radial equatio for quatum hydroge atom. d l( l ) e ( r) e( r) m m dr r r Differetial Equatio: (3.) x x ( x) ( x) ( ) ( x) (3.) 4 Solutio: 75

76 x ( ) x e L( x) (3.3) The stadard differetial equatio: xy ( x) ( x) y( x) y( x) (3.4) Where is a real umber.whe is a o-egative iteger, i.e, =,,,, the solutios of Laguuerr s differetial equatio are ofte referred to as : Laguerre polyomials L ( x ): xl ( x) ( x) L ( x) L ( x) (3.5) Solutio Regular: the first few Laguerre polyomials are L ( x) L ( x) x ( ) x L x 3 L3 ( x) ( x 9x 8x 6) 6 m m x! L ( x) m ( m)! m! m! (3.6) Whe ordered from smallest to largest powers ad with the deomiators factored out, the triagle of ozero coefficiets is ; -, ;, -4, ; -6, 8, -9 ; 4, -96,... The leadig deomiators are, -,, -6, 4, -, 7, -54, 43, -3688, 3688, The first 6 Laguerre polyomials 76

77 Asymptotic expasio At x, L ( x) x.. (3.7) At x, ( ) (3.8) L ( x) ( x x..)! Geeratig fuctio xz e z L ( x) z ( x ) z ( x x ) z ( x x 3x ) z... z 6 Recurrece Relatios (3.9) A Laguerre Polyomial at oe poit ca be expressed i terms of eighbourig Laguerre Polyomials at the same poit Differetial: xl ( x) L ( x) L ( x) (3.) L( x) L( x) L( x) (3.) 77

78 Polyomial: ( ) L ( x) ( x) L ( x) L ( x) (3.) Orthogoality ad Normalizatio Laguerre Polyomials L ( x ),,,,..., form a complete orthogoal set o the iterval be show that: with respect to the weightig fuctio,w(x) = e -x. It ca (3.3) L () (3.4) x e L m ( x) L ( x) dx m By usig this orthogoality, a piecewise cotiuous fuctio ( ) (3.5) expressed i terms of Laguerre Polyomials: f x ca be (3.6) (3.7) This orthogoal series expasio is also kow as a Fourier-Laguerre Series expasio or a Geeralized Fourier Series expasio. Rodrigues Formula The Laguerre Polyomials L ( x ) ca be expressed by Rodrigues' formula: x e d x L ( x) x e where,,,...! dx Special results (3.8) x L ( t) dt L ( x) L ( x) (3.9) 78

79 p if p x x e L ( x) dx ( ) (!) if p= x x ( ) x L ( x) ( )... ( )!!( )!!( )! Schlaefli-type Itegral Represetatios x z e z e L ( x) cx ( ) dz i ( z x) (3.) (3.) (3.) The Laguerre polyomial L ( x) ca be defied by the cotour itegral xz e z L ( x) c() dz i ( zz ) (3.3) 79

80 Physical Origis 4. Associated Laguerre Separatio of variables solutio to radial equatio for quatum hydroge atom. The ormalized wave fuctio for a hydrogeic atom with charge Z is, lm 3 Zr l Z l! a Zr l Zr a ( l)! a l a ( r,, ) e L Y (, ) With the Bohr radius defied by a ( Me ) lm ad M beig the mass of the Electro. The radial fuctio is the Associated Laguerre polyomial L ( x ) Ze lm lm E lm k (4.) M r (4.) Ad E 4 Z M e (4.3) Differetial Equatio With R r Y r ME MZe ( ) lm(, ) ad, 8 / ad ( )/( ) The defiig ( ) R( / ) the radial differetial equatio becomes d d( ) l( l ) ( ) d d 4 (4.4) Stadard form xy ( x) ( k x) y( x) ( k) y( x) (4.5) 8

81 k k k xl ( x) ( k x) L ( x) ( k) L ( x) (4.6) Self-Adjoit Form With ( ) k x, ( ) ( ) k p x x e p x k x x e x, p( x), k, w( x) x k e x d k x d k k x x e L( x) ( k) x e L( x) dx dx Iterval: x(, ). regular sigular poit at x. Solutio x.. Irregular sigular poit at (4.7) Regular k L ( x ) (4.8) k L ( x ) x k (4.9) ( )( ) (4.) k x k k L ( x) ( k ) x,.. k k d L ( x) ( ) Lk ( x) dx k L ( x) ( ) m m k m ( k)! x ( m)!( m k)! m! Asymptotic expasio At x. k ( k)! L ( x) x...! k! k k ( ) At x L ( x) x ( k)( ) x... (4.) (4.) (4.3) (4.4)! Irregular solutio diverges at the origi physically irrelevat. 8

82 Geeratig fuctio xz /( z) e k L ( ) k x z ( z) (4.5) Recurrece relatios k k k xl ( x) L ( x) ( k) L ( x) (4.6) Differetial : ( ) L k ( x) ( k x) L k ( x) ( k) L k ( x) (4.7) Polyomial: Orthogoality ad ormalizatio k! () L k (4.8) k!! k x k k k! x e Lm ( x) L ( x) dx m (4.9)! Rodrigue s formula x k k k e x d k x d L( x) x e = k L( x)! dx d x (4.) Schlaefli-type itegral represetatios xz /z k e L ( x) c() dz i k ( z) z k x k k z e x z e L ( x) cx ( ) ( ) dz i z x (4.) (4.) 8

83 Physical Origis 5. Legedre fuctio Separatio of variables of Laplace, Schrödiger, Helmholtz ad Diffusio equatios i spherical coordiates with azimuthal symmetry for the first kid for the secod kid 83

84 Differetial Equatio d dp (cos ) si l l( l ) Pl (cos ) si d d (5.) Stadard ad Self-Adjoit Form With P ( x) x, P ( x) x, P ( x), ll ( ), wx ( ) ( x) Pl ( x) xpl ( x) l( l ) Pl ( x) (5.) d dp ( ) ( ) l x x l( l ) Pl ( x) dx dx (5.3) Differetial equatio : Legedre fuctio ( z ) w zw ( ) w (5.4) The solutio P( z), Q ( z) ca be give i terms of Gaussia hypergeometric fuctios Defiitio P ( z) F(, ; ; z) (5.5) ( ) 3 Q ( z) F, ; ; z 3 ( )( z) Sigular poits (5.6) P () z has a sigular poit at z ad is aalytic i the remaiig part of the complex plae with a brach cut alog (, ). Q () z has a sigular poits at z ad aalytic i the remaiig part of the complex z-plae, with a brach cut alog (, ) Relatioships P ( z) P ( z) (5.7) 84

85 P ( z) Q ( z) cot P ( z) (5.8) Recursio relatioship ( ) P ( z) ( ) zp ( z) P ( z) (5.9) ( ) P ( z) P ( z) P ( z) (5.) ( ) P ( z) P ( z) zp ( z) (5.) P ( z) zp ( z) P ( z) (5.) ( z ) P ( z) P ( z) zp ( z) (5.3) The fuctio Q () z satisfies the same relatios Itegrals cosh( ) P (cosh ) d cosh cosh ( / ) e = d cosh cosh d = cosh sih cos (5.4) (5.5) (5.6) = cosh sih cos d (5.7) cos( ) P (cosh ) d cos cos (5.8) d = cos isi cos (5.9) 85

86 i d (5.) = cos si cos ( t ) Q ( z) dt Re, arg z, z, ( zt) = z z cosh d ( / ) e = d, z cosh cosh cosh (5.) (5.) (5.3) Polyomial case Legedre polyomials are special cases whe x P ( x) F(, ; ; ) m k if eve (-) ( k)! k, x m k= k!( k)!( k)! ( ) if odd Legedre polyomials satisfy (orm) P ( x) Pm ( x) dx m m Legedre series represetatio is (5.4) (5.5) f ( x) A P ( x), A f ( x) P ( x) dx - (5.6) For iteger order, we distiguish two cases : Q ( x )(defied for x(,) ad Q z defied for Re z, () x Q ( x) l x x Q ( x) xl x (5.7) (5.8) 86

87 z Q ( z) l z z Q ( z) z l z I both cases - +k (k )[ (-) ] k k= ( k )( k) Q ( y) P ( y) Q ( y) P ( y) (5.9) (5.3) (5.3) Legedre polyomials P ( x ) ad fuctios Q ( x ) x,, N P ( x ) Q ( x ) l[( x )/( x )] P( x) Q( x) (3 3 x ) P( x) Q( x) x (5 3) x x 5 P3( x) Q( x) x 3 ( x x 3) 3 55 P4( x) Q( x) x x ( ) 8 x x x P5( x) Q( x) x x x Geeratig fuctio P ( x) z ( xz z ) (5.3) Rodrigues formula ( ) d P ( x) [( x ) ]! dx (5.33) Explicit expressio / m P ( x) ( ) x m m m m Schlaefli itegral represetatio (5.34) 87

88 l ( t ) P () z l cz ( ) dt l i ( t z) C(z) is ay closed couter clockwise aroud z, (5.35) 6.Associated Legedre fuctio 88

89 differetial equatio ( z ) y zy ( ) y z The solutio Q ( z), P ( z), the associated Legedre fuctios ca be give i terms of Gauss hypergeometric fuctios. We oly cosider iteger values of, ad replace them with m, respectively. The, the associated differetial (6.) equatio follows from the Legedre differetial equatio after it has bee differetiated m times Relatioships betwee the associated ad ordiary legedre fuctios z, The followig relatioships are for m m m ( ) ( ) d P z z P( z) m dz (6.) m ( ) m m m d P ( z) ( z ) ( z ) m (6.3)! m ( m)! m P ( z) P ( z) ( m)! dz m m m ( ) ( ) d Q z z Q( z) (6.5) m dz m ( m)! m Q ( z) Q ( z) ( m)! 6.4) (6.6) m z z m ( ) ( ) m P z z... P( z)( dz) m (6.7) m m m ( ) ( ) ( ) m Q z z... Q( z)( dz) z m z (6.8) m ( ) m P z P ( z ) (6.9) Orthogoality relatioships 89

90 if k m m P ( x) Pk ( x) dx ( m)! if k ( m)! Recursio relatioships (6.) m mz m m P ( z) P ( z) ( m )( m) P ( z) z (6.) m dp () z m m (6.) ( z ) mzp ( z) z P ( z) dz ( ) zp m ( z) ( m ) P m ( z) ( m) P m ( z) (63) m dp () ( ) z m m z ( m ) P ( z) ( ) zp ( z) 6.4) dz m m m P ( z) P ( z) ( ) z P ( z) (6.5) m The fuctios Q () z satisfy the same relatios Rodrigues formula m lm z d l m ( ) P ( z) ( z ) li dz Schlaefli itegral represetatio: m/ l m ( z ) ( t ) Pl () z l m cz ( ) dt lm i ( t z) l (6.6) 6.7) C(z) is ay closed couter clockwise aroud z 7.Bessel fuctio 9

91 Physical Origis Separatio of variables i polar ad cylidrical coordiates for Laplace, Helmholtz ad similar equatios of the form ( r) k ( r) (7.) 9