ن اإلمتحان الوطين املوحد لنيل شهادة الكالوريا الدورة اإلستدراكية اململكة املغرية وزارة الرتية الوطنية و التعليم العالي و تكوين الطر و الحث العلمي املركس الوطين للتقويم و اإلمتحانات مادة الرياضيات شعة العلوم الرياضية و املعامل :9 مدة االجناز : رع ساعات y y + y y + y : التمريه الول : (,5 ن ) الجزءان و مستقالن ف ما نهما لكل و y من المجال, G نضع A ن ن قانون ترك داخل ف المجموعة G نذكر ن, + R زمرة تادل ة f + R نحو G ما ل : + و نعتر التط ق f المعرف من + ن ن f تشاكل تقال من, + R نحو G, استنتج ن,G زمرة تادل ة و حدد عنصرها المحا د ( M R, +, ) نذكر ن و ن حلقة واحد ة صفرها : فضاء متجه حق ق و نضع : O و وحدتها : ( M R, +, ),75 ن تحقق ن : O ثم استنتج ن A قاسم للصفر ف الحلقة +, ), R ( M A تحقق ن : A A + A + ثم استنتج ن المصفوفة A + تقل مقلوا ف +, ), R ( M تم تحد ده لكل a و b من R نضع : A M a, b a + b و نعتر المجموعة : E M a, b / a, b ε R ن ن,+,E فضاء متجه حق ق و حدد ساسا له,75 ن ) التمريه الثاوي : ( حتوي صندوق على كرات حمراء و كرات سوداء ال مكن التم ز نها اللمس نسح عشوائ ا التتاع و إحالل كرات من الصندوق و نعتر المتغ ر العشوائ X الذي ساوي عدد الكرات السوداء المسحوة من الصندوق : حدد قانون احتمال المتغ ر العشوائ X حس E X المل الر اض للمتغ ر العشوائ X ننجز التجرة العشوائ ة التال ة ف ثالث مراحل كاآلت, ن المرحلة الولى : نسح كرة من الصندوق نسجل لونها و نع دها إلى الصندوق المرحلة الثانية : نض ف إلى الصندوق 5 كرات لها نفس لون الكرة المسحوة ف المرحلة الولى المرحلة الثالثة : نسح التتاع و دون إحالل كرات من الصندوق الذي صح حتوي على كرة عد المرحلة الثان ة الجوة من اقتراح الستاذ در الدين الفاتحي - http://wwwprofssurbadrblogspotcom كتور - الصفحة : 7
الكرة المسحوة ف المرحلة الولى سوداء الكرة المسحوة ف المرحلة الولى حمراء جم ع الكرات المسحوة ف المرحلة الثالثة سوداء نعتر الحداث التال ة : N R E p E N 55 p E ن ن : حس حس احتمال الحدث R علما ن الحدث E قد تحقق (,5 ن ) التمريه الثالث : E z a z + a ل كن a عددا عقد ا خالف نعتر ف المجموعة المعادلة ذات المجهول z التال ة : o, u, v و B i و B i و AB على التوال داللة a a + i z و ن ن : نخذ a iθ ح ث < θ < θ i ن ن : θ a si استنتج الشكل المثلث لكل من z و z المستوى العقدي منسو إلى معلم متعامد ممنظم نفترض ن < a R و نعتر النقط A a و حدد لحق كل من J و K منتصف القطعت ن A ل كن r الدوران الذي مركزه J و ق اس زاو ته و r الدوران الذي مركزه K و ق اس زاو ته نضع : r و A r A و ل كن c لحق و a لحق A ن ن : z و a c z a c a حس ثم استنتج ن المستق م AB E هما حل المعادلة z a i ارتفاع ف المثلث A B, ن f + l f ) l +, + التمريه الراع : ( 8,5 ن ) لتكن f الدالة العدد ة المعرفة على المجال ما ل : ن ن الدالة f متصلة على ال م ن ف النقطة ثم حس f() درس قال ة اشتقاق f على ال م ن ف النقطة ( مكنك استعمال النت جة ن ن الدالة f قالة لالشتقاق على المجال +, و ن مشتقتها معرفة : > ; f l + l + l ج د ضع جدول تغ رات الدالة f - http://wwwprofssurbadrblogspotcom - الدورة اإلستدراكية كتور الصفحة : 8
F, + f(t) dt o, i, j, + φ F() لتكن F الدالة العدد ة المعرفة على المجال لكل من المجال +, نضع : ما ل : F و ل كن المنحنى الممثل للدالة F ف معلم متعامد ممنظم, + على المجال حدد دالة صل ة للدالة l F F t t ; t l t < + t l t < t l ن ن : t ; l l < dt < l l + t l t ن ن : F() و ن : استنتج ن : F() + قل نقطت انعطاف المطلو تحد د فصول كل واحدة منهما ن ن ( نخذ من جل ذلك,5 F و, ) F نشئ ن ن : + φ() ثم ادرس تغ رات الدالة φ ن نه لكل من N المعادلة φ تقل حال وح دا ف المجال ن ن : εn ; ثم حس ; < F F ن ن : < + f() ( من جل ذلك مكن استعمال مرهنة التزا دات المنته ة ) ج د ه ز ج,5 ن,75 ن, ن,75 ن حس النها ة : التمريه الخامس : (,75 ن ) v l u و u arcta arcta + لكل عدد صح ح ط ع غ ر منعدم نضع : ; v l arcta l arcta +,5 ن تحقق ن :, c ε ; + ; v استعمال مرهنة التزا دات المنته ة ن ن : + c arcta c ; + arcta < v < + + arcta + ن ن : u حس النها ة : - http://wwwprofssurbadrblogspotcom - الدورة اإلستدراكية كتور الصفحة : 9
الصفحة : 5 > y + y y + y كتور منهج ة التفك ر ف هذا السؤال : جوة امتحان الدورة اإلستدراكية التمرين الول نضع y α و y β نر د ن ن ن ن : G, y ε G ; y ε عن نر د ن ن ن ن : < y, y ε G ; < من جل ذلك سوف نحتاج إلى ن ن ن ن : > β و > α و > β, y ε G ; α + إلى العمل : ل كن و y عنصر ن من المجال, G من إعداد الستاذ در الدين الفاتحي : http:/wwwprofssurbadrblogspotcom( ) < < و < y < و منه : < < و < y < < y < ي : و هذا عن ن الكم ة y كم ة موجة قطعا > y و لد نا كذلك : < < و < y < < y < و < < كم تان سالتان قطعا y و عن ن : > y جداؤهما كم ة موجة قطعا > y, y ε G ; ف المرحلة الولى ن ن ن : > y : و من جل ذلك ننطلق من الكتاة y y + و نض ف إلى كال الطرف ن الكم ة > y y + نحصل على : > y + y نضر طرف هذه المتفاوتة ف الكم ة الموجة قطعا التال ة : y + y y + y y y + نحصل على : > y, y ε G ; و هذا عن نه : < y, y ε G ; ف المرحلة الثان ة ن ن ن : و من جل ذلك ننطلق من الكتاة : > y و نض ف إلى كال الطرف ن الكم ة y > y y + > y + y نضر طرف هذه المتفاوتة ف الكم ة الموجة قطعا : y + y y, y ε G ; > من النت جت ن و نستنتج ن : < y, y ε G ; < G, y ε G ; y ε و التال قانون ترك داخل ف المجموعة G لك كون التط ق f تشاكال كف ن نتحقق من ن :, y ε R + ; f y f() f(y) f f y + + y + y + yεg,! ε R + ل كن و y عنصر ن من المجموعة + R G, R +, إذن f تشاكل من نحو لك كون f تقاال كف ن حقق ما ل : f y و تع ر سهل : كون f تط قا تقال ا عندما كون للمعادلة f y ذات المجهول حل وح د ف + R مرتط y ل كن y عنصرا من المجموعة G و لنحل ف + R المعادلة f y + هذه المعادلة تصح : + y نضر طرف هذه المعادلة ف العدد الغ ر المنعدم + مع > نجد : + + y y + y + y y نضر طرف هذه المعادلة ف العدد الغ ر المنعدم y نجد y y y نالحظ ن التع ر وح د لنه إذا افترضنا غ ر ذلك y ي وجود عدد آخر y حقق y y y فإنه سوف نحصل على : y y y y yy + y y yy + y نجد + + y + y + + + + y + y + + + y + y + + + + y + y + f R +, G, + + + + y + y + y + f( y) y + + + + + y y + y y + f f(y) f( y) لد نا f تط ق معرف ما ل : ي :, y ε G ; y و > y < عن سوف نحتاج إلى ن ن ن ن :, y ε G α + β ; α + β و > α + β α + β < نجد y y > ثم نض ف عد ذلك إلى طرف هذه المتفاوتة الكم ة y نجد : > y y + > y + y
M A A A A M الصفحة : 5 كتور A O ي : y y ي : y y y و التال فإن التع ر وح د y y إذن المعادلة f y تقل حال وح دا و هو y كف اآلن ن نتحقق من ن هذا الحل نتم إلى + R عن نه كف ن ن ن ن : y y ε, ; y > < y < < y < جوة امتحان الدورة اإلستدراكية من إعداد الستاذ در الدين الفاتحي : http:/wwwprofssurbadrblogspotcom( ) و < y < < y < إذن y و y كم تان سالتان قطعا ي ن خارجهما كم ة موجة قطعا y y ε, ; y > yεg,! y y ε R + f y عن ن f تقال من + R نحو G G, خالصة : f تشاكل تقال من, + R نحو O ه العنصر المحا د ل + ف R لد نا المصفوفة نالحظ ف الدا ة ن A O O A A A و A O مع : إذن نستنتج ن A O و توجد مصفوفة و ه A تخالف O A A A A O و تحقق ( إذن حس التذك ر : المصفوفة A قاسم للصفر ف الحلقة (,+, R A A + A + A + A A A + A + A + O + و نعلم ن (,+, R ( حلقة تادل ة وحدتها إذن تادل ف R A + A A + A A + A + و التال A + مصفوفة قالة للقل ف +, ), R ( M و مقلوها هو المصفوفة A A + M A + M A A + R + M R عنصر من M O و نعلم ن التشاكل التقال حافظ على الن ة الجر ة لمجموعة اإلنطالق و حولها إلى مجموعة الوصول عن نه عندما نتوفر على تشاكل تقال f من مجموعة,E نحو,F,F انطالقا من الن ة الجر ة فإنه نستنتج الن ة الجر ة للمجموعة للمجموعة,E عن طر ق التط ق f و من ثم : f ف هذا السؤال لد نا f تشاكل تقال معرف ما ل : R +, G, إذن نستنتج الن ة الجر ة للمجموعة,G انطالقا من الن ة الجر ة ل, + R عن طر ق التط ق f و ما ن, + R زمرة تادل ة عنصرها المحا د هو العدد الحق ق فإن,G زمرة تادل ة كذلك عنصرها المحا د هو العدد الحق ق f εg ; و للتكد من ذلك كف ن تتحقق من ن : ي العدد و ما ن A و مصفوفتان من فإن المصفوفة A A + و لد نا كذلك : خالصة : مقلو المصفوفة ه المصفوفة + + إذا كان تادل و تجم ع ف E فإن تادل و تجم ع ف F إذا كان هو العنصر المحا د للقانون ف E فإن f هو العنصر المحا د للقانون ف F إذا كان هو مماثل النسة للقانون ف E فإن ) f( هو مماثل F النسة للقانون ف f() تذكير : لتكن,,E حلقة و هو العنصر المحا د للقانون ف E نقول ن عنصرا من E قاسم للصفر إذا تحققت الشروط التال ة : y ε E ; y y نعتر الحلقة الواحد ة +, ), R ( M الت صفرها O و وحدتها
N R N لك كون,+,E فضاء متجه حق ق كف ن نتحقق من الشروط التال ة : ح ث هو الضر فR و + هو جمع المصفوفات ف M R و هو ضر مصفوفة ف عدد حق ق ف الدا ة ن ن ن +,E زمرة جزئ ة من الزمرة (+, R ( M لد نا E جزء غ ر فارغ من M R لتكن M a, b و M c, d مصفوفتان من E فضاء متجه حق ق,+,E من النت جت ن و نستنتج ن : نعتر السرة, A من الواضح ن السرة, A مولدة للفضاء المتجه,+,E ba M a, b ε E ; M a, b a + لن : عن ن كل مصفوفة من E تكت على شكل تل فة خط ة للمصفوفت ن و A لن ن اآلن ن السرة, A حرة من جل ذلك ننطلق من تل فة خط ة منعدمة للمصفوفت ن و A إذن السرة,, A A حرة و ما ن, A سرة حرة و مولدة للفضاء المتجه E فإنها ساس لهذا الفضاء المتجه الحق ق التمرين الثاني R عندما نسح عشوائ ا التتاع و إحالل رع كرات من صندوق حتوي على 7 كرات فإن هذه التجرة العشوائ ة تحتمل 7 نت جة ممكنة 7 Ω card ح ث : Ω هو كون إمكان ات هذه التجرة العشوائ ة X هو المتغ ر العشوائ الذي رط كل عمل ة عدد الكرات السوداء المسحوة من الصندوق إذن الق م الت مكن ن خذها المتغ ر العشوائ X ه و و و و,,,, Ω X لنحس إذن احتمال كل ق مة k من ق م المتغ ر العشوائ X لنحس : X p الحدث X هو الحصول على رع كرات كلها حمراء و توجد امكان ة لسح الكرات الرع p X 7 8 لنحس : X p الحدث X هو الحصول على كرة سوداء واحدة و ثالث كرات حمراء و من جل ذلك إمكان ة لسح الكرة السوداء إمكان ة الخت ار السحة صاحة الكرة السوداء إمكان ة لسح ثالث كرات حمراء p X إذن + E, زمرة جزئ ة من الزمرة +), R ( و ما ن + تادل ف M R فإن +,E زمرة تادل ة نستنتج الخاص ات المتق ة من خالل كون E جزء من الفضاء المتجه الحق ق +, ), R ( M و كون E جزء مستقر النسة للقانون و ذلك لن : E M a, b ε E, αεr ; α M a, b M αa, αb ε لنحس : الحدث X هو الحصول على كرت ن حمراو ن و كرت ن سوداو ن و من جل ذلك N R N قانون احتمال المتغ ر العشوائ X س كون إذن التط ق المجموعة,,,, نحو المجال, ما ل : إمكان ة لسح الكرت ن السوداو ن إمكان ة الخت ار مكان الكرت ن السوداو ن إمكان ة لسح الكرت ن الحمراو ن P X المعرف على P X,,,,, k P X k p X k p X 7 p X 7 86, y ε E α, β ε R ; M a, b M c, d a + ba c da A, B ε E α, β ε R ; a + b A O M a a a a b b a b a a b +,E زمرة تادل ة α + y α + α y α + β α + β α β α β a c + b d A M a c ; b d ε E +,E زمرة تادل ة α A + B α A + α B α + β A α A + β A α β A α β A A A + b b b الصفحة : 5 كتور جوة امتحان الدورة اإلستدراكية من إعداد الستاذ در الدين الفاتحي : http:/wwwprofssurbadrblogspotcom( )
p E N p N E p N الصفحة : 5 p E p E N + p E R 55 + p R E p R E p R E p R 55 + 7 55 + 7 9 87 85 p E R p R E p E a r iφ p R E p R p E p R E p R E p R E p R p E p N E p N E p N E p N 9 8 7 7 6 9 55 7 87 9 85 كتور لنحس : جوة امتحان الدورة اإلستدراكية من إعداد الستاذ در الدين الفاتحي : http:/wwwprofssurbadrblogspotcom( ) p X الحدث X هو الحصول على ثالث كرات سوداء و كرة حمراء واحدة و من جل ذلك إمكان ة لسح الكرة الحمراء إمكان ة الخت ار السحة صاحة الكرة الحمراء إمكان ة لسح الكرات السوداء الثالث p X 7 768 p X X لنحس : الحدث هو الحصول على رع كرات كلها سوداء و التال قانون احتمال المتغ ر العشوائ X هو التط ق P X المعرف ما ل و للتكد من صحة الجوا ج ن نحصل على : 8 + + 86 + 768 + 56 N p E N p N E p و لد نا كذلك الحدث E هو الحصول على ثالث كرات سوداء من خالل ثالث سحات متتاعة دون إحالل إذن نستط ع تجزيء الحدث E ف المرحلة الثالثة إلى ثالث حداث جزئ ة و مستقلة ف ما نها و ه : : E الحصول على كرة سوداء ف السحة الولى : E الحصول على كرة سوداء ف السحة الثان ة : E الحصول على كرة سوداء ف السحة الثالثة إذن نكت : E E E E و منه : p N E p N E p N E p N E إذن المعادلة التمرين الثالث و z تقل حل ن عقد ن z E هدفنا هو الحث عن r و φ ح ث : cos θ + i si θ r cos φ + i r si φ : p E R cos θ r cos φ ي : si θ r si φ من خالل دمج مرع هات ن المتساو ت ن cos θ + si θ r cos θ + si θ لنحس نجد : لنحل ف مجموعة العداد العقد ة المعادلة التال ة : E z a z + a a 8 a a i a z z a + i a a i a a iθ : إذن < θ < لد نا a iθ مع a iθ cos θ + i si θ a + i a i cos θ + i si θ P X,,,,, E X k p X k 8 + + 86 + 768 + 56 588 6 7 p X 7 56 P X 8 P X P X 86 P X 768 P X 56
الصفحة : 5 كتور si θ r si φ cos θ cos θ + + si θ r cos θ r θ cos r cos θ جوة امتحان الدورة اإلستدراكية من إعداد الستاذ در الدين الفاتحي : http:/wwwprofssurbadrblogspotcom( ) cos θ r r si θ r θ r si و > r كف اآلن تحد د ق مة φ و ننطلق من الكتاة si θ si θ cos θ cos θ si θ si θ cos θ si φ si φ si φ cos φ cos θ cos φ θ φ ف الدا ة a i a i a i a a + i a ia + a i z a z و c z a arg a c c a : و منه a i B A, A و هذا عن ن المستق م AB عمودي على المستق م A ي ن المستق م AB ارتفاع ف المثلث A B لن AB B ε و AB A التمرين الراع + i + i i cos z z aff J aff K a + i a i aff A + aff cos + i si i + i si و لد نا كذلك : i si θ i si θ i si θ i si θ i AB aff A + aff B A لد نا J ه منتصف القطعة a + i و لد نا K ه منتصف القطعة a i لد نا r دوران مركزه J و زاو ته و لد نا r إذن حس التعر ف العقدي للدوران نكت : aff aff J i aff aff J a + i a + i c i i c ia + a + i a i z و نفس الطر قة لد نا r دوران مركزه K و زاو ته و لد نا A r A إذن حس التعر ف العقدي للدوران نكت : aff A aff K i aff A aff K a c a f() + + + l + + f() + f() a i + a i a a i + + i a i a a i و هذا عن ن الدالة f متصلة على م ن الصفر لنحس اآلن نها ة f جوار + + l + + + + f() f() + f() a si θ θ i φ θ عن
الصفحة : 55 ψ l ε, + R ψ, + R كتور نضر السط و المقام ف المرافق + l + جوة امتحان الدورة اإلستدراكية نجد : f d و هذا عن ن الدالة f قالة لإلشتقاق على م ن الصفر و من إعداد الستاذ در الدين الفاتحي : http:/wwwprofssurbadrblogspotcom( ) تذكير : إذا كانت g دالة معرفة و قالة لإلشتقاق على مجال و كانت f دالة معرفة و قالة لإلشتقاق على مجال J J g إذن تكون الدالة f g قالة لإلشتقاق على المجال إذا كان : f + l εr ; φ + نضع : ε ; + ; ψ l و نضع : ε ; + ; f φ ψ لد نا ψ دالة معرفة و قالة لالشتقاق على المجال +, و φ دالة معرفة و قالة لالشتقاق على R إذن تكون الدالة φ ψ قالة لالشتقاق على + ; إذا كان : R ψ, + ل كن عنصرا من المجال +, إذن الدالة f φ ψ قالة لالشتقاق على المجال + ; ل كن عنصرا من المجال +, f f > ; + l > + l l لدراسة اشتقاق الدالة f على ال م ن ف نحس النها ة التال ة : إذن إشارة () f تتعلق إشارت الكم ت ن و + l + l + l + l l l + l l + l l + l + l + l > ; f l + l () + l l + l f () f الكم ة l تنعدم ف و الكم ة + l تنعدم ف نستنتج إذن جدول تغ رات الدالة f كما ل : + + f f() و من جل ذلك نستع ن النها ت ن التال ت ن : l و l + + f f() + + l + + l + l نالحظ ف الدا ة ن : + + + + l d + f l l d l l d l l + c ; cεr ε ; + ما ن : فإن : د نخذ الثاتة c تساوي نجد ن الدالة l l دالة صل ة ; + على المجال للدالة l و ش ر إلى ن l l دالة معرفة و متصلة على + ; إذن فه متصلة على +, لن : +, +, + + + l + + l + + l + l + + l + l + l + + l l + l + + l f f() + l + + l + + + ج
F() f(t) dt + l l ل كن t عنصرا من المجال +, ننطلق من المتفاوتة < و نض ف إلى طرف ها الكم ة t l t نجد : t l t < + t l t و منه : t l t < + t l t t ; t l t < + t l t و لد نا كذلك t إذن t l نضر هات ن المتفاوتت ن طرفا طرف نجد : > t l t نحتفظ المتفاوتة : > t t ; t l الت تصح : > t ; t l t نض ف إلى طرف هذه المتفاوتة الكم ة t l t نجد : t ; t l t > + t l t t ; t l t > + t l t من النت جت ن و نستنتج ن : و نحصل ذلك على الوضع ة التال ة : t ; t l t < + t l t < t l t t ; t l t l l t < من خالل آخر تط ر حصلنا عل ه نستنتج ن : < t l t + t l t < t l t ل كن عددا حق ق ا ح ث dt < ن دخل التكامل dt على هذا التط ر نجد : dt < + t l t dt < l l t + t l t l l < dt < l l + t l t dt t l t لد نا حس آخر تط ر : l l < dt < l l + t l t l l < f(t) dt < l l l l l l + l + + : و هذا عن حس خاص ة التط ر و النها ات ن : F() + من جهة ثان ة l l < f(t) dt < l l نضر طراف هذا التط ر ف العدد الموج قطعا نجد : l l f(t) dt f(t) dt + < l l f(t) dt < f(t) dt f(t) dt + costat réll + + + + l l l l l + l l l l l l y l y y + yl l l l l < l l f(t) dt < + + f(t) dt f(t) dt إذن نحصل على الوضع ة التال ة لنحس النها ة : و منه حس خاص ة النها ات و التط ر نستنتج ن : f(t) dt l l < f(t) dt < l l + + + ج د + الصفحة : 56 كتور جوة امتحان الدورة اإلستدراكية من إعداد الستاذ در الدين الفاتحي : http:/wwwprofssurbadrblogspotcom( )
نقطة انعطاف نقطة انعطاف F نستغل إذن هذه النها ة لحسا : ز, 5 F F f(t) dt f(t) dt + f(t) dt f(t) dt + + costat réll + f(t) dt O F φ φ F F f φ, + لدراسة نقط انعطاف المنحنى ندرس إشارة المشتقة الثان ة "F لد نا F دالة عدد ة معرفة على +, ما ل : dt F f(t) إذن F دالة صل ة للدالة f على المجال +, و تع ر االشتقاق نكت : f() ε, + ; F و ما ن الدالة f قالة لالشتقاق على المجال +, فإن الدالة F قالة لالشتقاق على المجال +, إذن تنعدم الدالة F"() على المجال +, عندما تنعدم الكم ت ن l و + l ي تنعدم الدالة F" إذا كان و و تتغ ر إشارتها جوار تلك النقطت ن و ذلك حس جدول اإلشارة الساق و ذلك انطالقا من جدول إشارة () f لن : f () ε, + ; F"() من جهة ثان ة لد نا φ معرفة على و لد نا كذلك F قالة لالشتقاق على ما ل : +, ح ث : إذن φ دالة قالة لالشتقاق على المجال +, و f() φ F نالحظ نه إذا كان فإن f f() ي : φ f() f() f, φ, إذا كان فإن لن f دالة تناقص ة على المجال f() f f ي : إذن φ دالة تزا د ة على المجال f إذا كان فإن f f لن f دالة تزا د ة على المجال, إذن f f ي :, f إذن φ دالة تزا د ة على المجال إذا كان : فإن : f() f() لن f دالة تناقص ة على المجال +, f() f() ي : φ, + و إذن φ دالة تزا د ة على المجال ε, + و l + l ; F" f () + l F و التال قل نقطت انعطاف فصوالهما على التوال F و مكن ن نض ف جدول التقعر للمنحنى F نستعمل النها ة : F() + + F φ + + F"() + F F و مكن تفس ر النها ت ن و قولنا : المنحنى شلجم ا ف اتجاه محور الفاص ل مقعر محد مقعر قل فرعا F ه F F F خالصة : φ دالة تزا د ة قطعا على المجال +, الصفحة : 57 كتور جوة امتحان الدورة اإلستدراكية من إعداد الستاذ در الدين الفاتحي : http:/wwwprofssurbadrblogspotcom( )
لد نا φ دالة متصلة و تزا د ة قطعا على المجال +, إذن φ تقال من المجال +, نحو صورته +, φ ل كن عددا صح حا ط ع ا +, ε لن : +, N إذن وجد عنصر وح د نرمز له ف المجال +, ح ث : φ و تع ر آخر : المعادلة φ ذات المجهول تقل حال وح دا و هو ف المجال +, و ذلك ك فما كان من N و تع ر خ ر : εn,! ; φ ر نا حس السؤال ( ن : εn ; α إذن F F لن F تزا د ة على المجال +, عن ن : εn ; F α و نعلم ن : F() ; φ φ F α لن : α F φ α دمج و نحصل على : φ α φ α و نعلم ن : εn ; φ εn ; نالحظ ن : + إذن نحصل على الوضع ة التال ة : ل كن و εn لد نا الدالة F متصلة و قالة لالشتقاق على المجال +, ح ث : f() ε, + ; F إذن إمكاننا تط ق مرهنة التزا دات المنته ة على الدالة F ف ي مجال محدود وجد ضمن +, في المرحلة الولى : نختار المجال ; لد نا +, ; α لن εn ; α إذن حس مرهنة التزا دات المنته ة وجد عنصر c من المجال f < f c < f < c < < F و منه : α < f ما ن فإن + ; ε و + ; ε لد نا إذن f f لن f تناقص ة على + ; إذن الرجوع إلى التط ر نكت : < F f() < ف المرحلة الثان ة ن طق مرهنة التزا دات المنته ة على الدالة F ف ; إذن وجد عنصر ε من ; ح ث : F F() F ε f(ε) F < ε < و f(ε) < ε < f() f < f ε < < < F F < < F f() < f() < F < f() < F < ي : F < ي : < f < f() ما همنا ف هذا التط ر الغر هو الشق ال من فقط < f < f() φ, + و لد نا +, φ ; φ إذن φ تقال من المجال +, نحو المجال +, و هذا عن حس تعر ف التقال : y ε, +,! ε, + ; φ y F F F c f c ح ث ; F < c < و f(c) نجمع التط ر ن و طرفا طرف نجد : F F < F < f() F < ; < F F F + f() < f() ي : الذي صح : و من التط ر و إذن من نستنتج ن : نستنتج ن : < F F و f() ; < F + f() نعلم حس السئلة الساقة ن : F + f() و منه فإن التط ر صح : < F + f() + ج εn ; + إذن حس مصاد ق تقار المتتال ات نستنتج ن : الصفحة : 58 كتور جوة امتحان الدورة اإلستدراكية من إعداد الستاذ در الدين الفاتحي : http:/wwwprofssurbadrblogspotcom( )
f + f() + l arcta + l arcta + c arcta c l arcta l arcta + + c arcta c من جهة خرى نعلم ن : F() ; φ لد نا α إذن φ F و نعلم كذلك ن : εn ; φ F α F التمرين الخامس نعتر f المعرفة على + ; ما ل : f l arcta لد نا حس الخاص ات العامة التصال مرك دالت ن ن الدالة f متصلة على + ; و كذلك f قالة لالشتقاق على المجال + ; لن l دالة قالة لإلشتقاق على + ; و arcta دالة قالة لالشتقاق على R و R + ; إذن إمكاننا تط ق مرهنة التزا دات المنته ة على الدالة f ف ي مجال محدود و وجد ضمن + ; ل كن و نختار المجال + ; ε ; + ; f l arcta نضر طرف هذه المتساو ة ف العدد الغ ر المنعدم نجد : l arcta l arcta + v + c arcta c + c arcta c < c < + ي : ن دخل الدالة arcta على هذا التط ر و علما نها تزا د ة قطعا على R نجد : و لد نا كذلك : + < c < + + < + c < + نضر التط ر ن و طرفا طرف نجد : ن دخل على هذا التط ر دالة المقلو نجد : + + arcta + < + c arcta c < < + arcta و نضر طرف هذا التط ر ف العدد السال قطعا نجد : و نستغل عد ذلك نت جة السؤال ( نجد : f arcta arcta F F و التال : + arcta + arcta و استعمال نت جة السؤال ( نجد : arcta < arcta c < arcta + + arcta < + c arcta c < < + + arcta + و منه حس مصاد ق تقار المتتال ات نستنتج ن : F arcta v l u l arcta + arcta l arcta + ل كن عددا صح حا ط ع ا ح ث : إذن الرجوع إلى المتساو ة نجد : + c arcta c, c ε ; + ; v + arcta < + c arcta c < < + arcta < v < خالصة : + c arcta c + + arcta + + + arcta + l arcta l arcta + ح ث : إذن وجد عدد حق ق c من المجال + ; f + f() + f (c) ي : الصفحة : 59 كتور جوة امتحان الدورة اإلستدراكية من إعداد الستاذ در الدين الفاتحي : http:/wwwprofssurbadrblogspotcom( )
ف الدا ة ذكركم النها ت ن المهمت ن التال ت ن : arcta و arcta + + arcta + + + arcta + + arcta و لد نا كذلك : + arcta + إذن التط ر صح : + arcta < v < + + arcta + v إذن حس مصاد ق تقار المتتال ات نجد : u v و لد نا v l u و منه : u v v u و التال : و الحمد هلل ر العالمين الصفحة : 6 كتور جوة امتحان الدورة اإلستدراكية من إعداد الستاذ در الدين الفاتحي : http:/wwwprofssurbadrblogspotcom( )