المعادالت التف اضلية 2 احملاضرة :الثانية عشر املادة: ملك مارديين عنىان احملاضرة :املعادالت الحفاضلية اجلزئية دكحىرة احملتوى العلمي : 1- تتمة منشأ المعادالت التفاضلية الجزئية 2- المغلف 3- الحل الشاذ للمغلف 4- طريقة ايجاد الحل الشاذ 5- مسألة القيم االبتدائية والحدية نىكمم اصدقائ افكاز انمعادالث انخفاضه ت انجصئ ت... الوسطاء دوال اختيار : A- اذا كاوج انعالقت انجبس ت ححوي عهى دانت اخخ از ت واحدة حخعهق بدانت معهومت مه انشكم : )) ( ( ح ث ) ( و دانت اخخ از ت و دانخ ه معهومخ ه وشخق بانىسبت ل ووشخق بانىسبت ل ووحرف اندانت مه انمعادالث انىاحجت أوجد م.ت.ج من المعادلة الجبر ة : الحل: نالحظ أن الدالة ) ( ومنه نشتق المعادلة بالنسبة ل "طر قة االشتقاق" ( ) باالشتقاق بالنسبة ل نجد : 1

"طر قة االشتقاق " ( ) من العالقت ن الناتجت ن عن االشتقاق بالنسبة ل ) ( وه المعادلة التفاضل ة الجزئ ة المطلوبة... نجد: B- اذا كاوج انعالقت انجبس ت ححوي عهى دانخ ه اخخ ازح ه كالهما خعهق بدانت معهومت مه انشكم : [( ( [ [( ( [ وشخق بانىسبت ل مسح ه ووحرف اندانخ ه ووحصم عهى معادنت حفاضه ت جصئ ت أوجد المعادلة التفاضل ة الجزئ ة ح ث العالقة الجبر ة ه : الحل : لد نا ( ح ث ) نشتق بالنسبة ل وكون تابعة ل والدالة فإن: تابعة ل نشتق مرة ثان ة بالنسبة ل ( ) نشتق المعادلة األصل ة بالنسبة ل نشتق مرة ثان ة بالنسبة ل [ ] 2

من )#( نجد ومنه وه المعادلة التفاضل ة المطلوبة... C- اذا كاوج انعالقت انجبس ت ححوي عهى دانت اخخ از ت حخعهق بدانخ ه معهومخ ه مه انشكم : [( ( [ ح ث دانت اخخ از ت و دانخ ه معهومخ ه وشخق بانىسبت ل ووشخق بانىسبت ل ووحرف اندانت ووحصم عهى معادنت حفاضه ت جصئ ت مه انشكم ) ( ح ث دانت معهومت حسمى معادنت الغساوج اوجد انمعادنت انخفاضه ت انجصئ ت مه انعالقت انجبس ت : ح ث وشخق بانىسبت ل وشخق بانىسبت ل وبفسض ان انحم: $... وجد مه@, $ انشسط انالشو وانكاف نحم انجمهت هو ان كون محدد االمثال ساوي انصفس وه انمعادنت انخفاضه ت انجصئ ت انمطهوبت... المغلف: هو ذلك المنحن الذي مس ف كل نقطة من نقاطه أحد السطوح التكامل ة. الحل الشاذ: لتكن المعادلة ) ( ه الحل التام للمعادلة )1 ( عندئذ إذا كان هناك مغلفا لهذه السطوح معادلته تحقق المعادلة التفاضل ة الجزئ ة رقم )1( عندها نسم المغلق إن وجد بالحل الشاذ للمعادلة التفاضل ة الجزئ ة رقم )1(.. طر قة إ جاد المغلف نتبع الخطوات التال ة: 1( نشتق الحل التام بالنسبة للثوابت. 2( نقوم بحذف الثوابت من العالقات الناتجة ومن الحل التام. 3( نسم السطوح الناتجة الت تحقق المعادلة التفاضل ة الجزئ ة بالحل الشاذ لهذه المعادلة. 3

مثال على ذلك: أوجد المغلفات)الحلول الشاذة( ان وجدت للمعادلة التفاضل ة التال ة: ح ث الحل التام لهذه المعادلة هو : نالحظ وجود الثابت ن 1( نشتق الحل التام بالنسبة ل الحل: ف الحل العام واآلن لنطبق الخطوات السابقة: :أوال بالنسبة ل : نشتق بالنسبة ل ومنه : نعوض ق مة ف الحل التام ومنه )بعد االختزال(: )2 اآلن إذا هذا المغلف حقق المعادلة التفاضل ة نقول عنه بأنه الحل الشاذ لها لنعوض ف المعادلة ح ث أن واآلن نعوض ف كال من و بالتعو ض واالختصار حصلنا على مطابقة وبالتال هو حل شاذ للمعادلة مسألة القيمة االبتدائية: هذه المسائل عبارة عن معادالت تفاضل ة تحوي شروط ابتدائ ة تقوم بإعطاء المتغ رات ق م ابتدائ ة تساعدنا ف إ جاد الحل العام لهذه المعادالت. حل مسألة الق مة االبتدائ ة التال ة 4

ح ث دالة ف المتغ ر ن المستقل ن والشرط االبتدائ الحل: ) ( لد نا المعادلة بح ث ) ( دالة ك ف ة التحوي تكامل بالنسبة ل ومنه : ) ( نكامل مرة ثان ة لنوجد التابع ح ث ) ( دالة ك ف ة تابعة ل فقط ال تحوي واآلن بق عل نا إ جاد التابع حسب شروط البدء لد نا : نعوض الشرط األول ف الشرط الثان نعوضه ف التابع أي ف ( ( نعوض ف التابع مسألة القيم الحدية: إن مسألة الق م الحد ة تختلف اختالف بس ط عن مسألة الق م االبتدائ ة وذلك بأن مسألة الق م الحد ة تكون شروطها بأكثر من ق مة للمتغ ر المستقل. أوجد الحل لمسألة الق م الحد ة اآلت ة: ) ( ح ث إل جاد التابع الحل : عل نا بالمكاملة مرت ن مرة بالنسبة ل ومرة بالنسبة ل 5

نكامل بالنسبة ل : تابع حوي )) ( ( نكامل بالنسبة ل : ح ث ) ( دوال ك ف ة إل جادها من الشروط االبتدائ ة : نعوض ف ( ( من األولى: من الثان ة : نعوض( ( و( ( ف ( ) الىقث الينحظر أحدا.. وكل حلظة متحلكها هي ثروة فال جضيعها فهي اما لك او عليك انتهت احملاضرة إعداد:بسمة نصر اهلل*عال الداالجي*دعاء الرحيل 6