الاشتقاق تطبيقاته دراسة الدال الثانية سلك بكالريا ع ف ع ح أ - الاشتقاق في نقطة- الدالة المشتقة ( A أنشطة نشاط باستعمال التعريف ادرس اشتقاق الدالة في حدد العدد المشتق في إن جد ثم حدد معادلة المماس أ نصف المماس لمنحنى الدالة عند النقطة ذات الا فصل في الحالات التالية أ- ب- 4 si ج- نشاط حدد الدالة المشتقة للدالة بعد تحديد مجمعة تعريف آل من في الحالات التالية 4 أ- - + - ب - ) ( + ر- ta د ج ( ) + sicos نشاط + cosπ si حد د π π B) تذآير - الاشتقاق في نقطة أ- تعريف لتكن دالة عددية معرفة في مجال مفتح مرآزه ( ) ( ) نهاية l في نرمز لها ب قابلة للاشتقاق في اذا آانت للدالة ( ) ( ) ( + h) ( ) ( ) يسمى العدد المشتق ل في. نكتب h h l على اليمين في d α ( ) ( ) [ [ نقل إن الدالة l العدد. ب- تكن متصلة في آل دالة قابلة للاشتقاق في الاشتقاق على اليمين - الاشتقاق على اليسار أ- تعريف ; حيث لتكن دالة معرفة على مجال من شكل + α نقل إن نرمز لها ب قابلة للاشتقاق على اليمين في إذا آانت للدالة نهاية + نهاية l () ( ) α ( ) ( ). d العدد لتكن l يسمى العدد المشتق ل دالة معرفة على مجال من شكل على اليمين في نكتب α; ] حيث ] نقل إن نرمز لها ب قابلة للاشتقاق على اليسار في إذا آانت للدالة على اليسار في () ( ). يسمى العدد المشتق ل على اليسار في نكتب العدد l ب تكن قابلة للاشتقاق في إذا فقط إذا آانت العدد المشتق على اليمين يساي العدد المشتق على اليسار. قابلة للاشتقاق على اليمين على اليسار في
قابلة للاشتقاق في آل نقطة من.. - الد الة المشتقة أ- تعريف نقل إن قابلة للاشتقاق على المجال إذا آانت الدالة التي تربط آل عنصر من بالعدد ( ) ب- عمليات على الدال المشتقة - لتكن دالتين قابلتين للاشتقاق على مجال ( + ) ( ) ( ) + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + ( ) ( ) λ λ تسمى الدالة المشتقة نرمز لها ب لا تنعدم على λ بحيث ( ) { } ( ) لتكن لتكن دالة قابلة للاشتقاق على مجال دالة قابلة للاشتقاق على مجال لا تنعدم على 4- الكتابة التفاضبية. dy اذا آانت ) y ( قابلة للاشتقاق على المجال فاننا نكتب اصطلاحا ) ( أ dy d d هذه الكتابة تسمى : الكتابة التفاضبية. 5- التا يل الهندسي معادلة المماس لمنحنى دالة أ- المماس Cمنحناها لتكن دالة معرفة على مجال مفتح مرآزه قابلية اشتقاق في ت ل هندسيا بجد مماس ل C معادلته ) )( ( y + - - عند النقطة ذات الا فصل ب- نصف المماس إذا آانت قابلة للاشتقاق على اليمين في ) أ على C يقبل نصف مماس عند النقطة ذات الافصل اليسار في ( فان ( ( ) معامله المجه ) d أ : d : T y + T y + M نقطة مزاة ( T ) : y ( ) + ( T ): y ( ) + d
+ ج- نصف مماس ماز لمحر الاراتيب () ( ) إذا آانت متصلة في آان ± () ( ) أ ± فان C ل نصف مماس ماز لمحر الا راتيب. ( ) ( ) - مشتقة دالة مرآبة مشتقة الدالة العكسية - مشتقة دالة مرآبة لتكن دالة قابلة للاشتقاق على مجال قابلة للاشتقاق على فان ( ) ( ) عنصرا من آانت قابلة للاشتقاق في قابلة للاشتقاق في إذا آان. قابلة للاشتقاق في قابلة للاشتقاق على دالة قابلة للاشتقاق على مجال لتكن ( ) ( ) نتيجة اذا آانت فان دالة قابلة للاشتقاق على مجال قابلة للاشتقاق على مجبة قطعا على دالة معرفة على ب ( ) ( ) ( ) ) ) بعد تحديد مجمعة تعريف الدالة المشتقة تمرين أحسب في الحالتين التاليتين ( ) ( b ; cos 4 ( a - مشتقة الدالة العكسية لتكن دالة متصلة رتيبة قطعا على مجال إذا آان عنصرا من آانت ( ) قابلة للاشتقاق في فان الدالة للاشتقاق في ( ) () ( ) ) ( π π π نحدد ثم مثال : نعتبر ; ( ) ta 4 π π ; π ( ) + ta لدينا 4 π ; π دالة متصلة رتيبة قطعا على مجال π π ( ) ) ( ( ) أي () منه 4 π 4 4 إذا دالة رتيبة قطعا قابلة للاشتقاق على مجال لا تنعدم على فان الدالة قابلة
] ; + [ ] ; + [ ( ) ( ) للاشتقاق في ) ( - تطبيقات أ مشتقة دالة الجدر من الرتبة : لدينا الدالة تزايدية قطعا قابلة الاشتقاق على لا تنعدم على ( ) ( pq ; ) p q ] ; + [ : (] ; [) ] ; [ + + منه الدالة العكسية قابلة للاشتقاق على ] ; + [ ( ) ( ) ] ; + [ ( ). الدالة ملاحظة ليكن قابلة للاشتقاق على لدينا ( ) p p p p q p q q p q q نتيجة نتيجة ليكن قابلة للاشتقاق على لدينا حيث فان الدالة ( ) ( ) ] ; + [. الدالة من ( ) + تمرين أدرس اشتقاق إذا آانت حدد الدالتين المشتقتين لهما دالة قابلة للاشتقاق على مجال مجبة قطعا على مجبة قطعا على. (( ) ) ( ) ( ). قابلة للاشتقاق على نتيجة لتكن تمرين دالة قابلة للاشتقاق على مجال أحسب الدالة المشتقة للدالة بعد تحديد D D في آل حالة من الحالات التالية ( ) - ( ) ( ) 5-4 ) ( مع إعطاء جدل التغيرات - 5-4
acta قابلة ta ب- مشتقة الدالة acta فان الدالة π ; π نح ب الدالة acta هي الدالة العكسية للدالة المعرفة من π ; π + ta بما أن قابلة للاشتقاق مجبة قطعا على للاشتقاق على acta acta + ta acta + acta + الدالة قابلة للاشتقاق على acta إذا آانت الدالة u قابلة للاشتقاق على فان الدالة actau قابلة للاشتقاق على u ( ) ( acta u ( ) ) + u ( ) - تمرين أحسب مشتقة بعد تحديد حيز تعريفها في الحالتين acta acta D ( + ) acta ( ) a { } - حدد جدل مشتقات بعض الدال ] ; + [ { Du / u( ) } u ( ) u u( ) ] ; + [ { D u( ) } u / ] ; + [ u ( ) u ( ) u( ) si cos cos si 5
F قابلة π + kπ / k + ta ta asi ( a+ b) cos( a + b) acos( a+ b) si ( a + b) + u D u F u +. acta acta ( u( ) ) - الدال الا صلية تعريف لتكن دالة عددية معرفة على مجال للاشتقاق على آان نقل إن دالة هي دالة أصلية للدالة على اذا آانت. λ حيث F F( ) ( ) على : + أمثلة الدالة F : + دالة أصلية للدالة على : si دالة أصلية للدالة F : cos الدالة + لتكن دالة عددية تقبل دالة أصلية F على مجال مجمعة الدال الا صلية للدالة على هي المجمعة المكنة من الدال + λ على : + - الدالة F : + دالة أصلية للدالة F + + إذن الدال الا صلية ل هي الدال المعرفة على ب λ λ y F λ أمثلة من من دالة عددية تقبل دالة أصلية على مجال ليكن لتكن تجد دالة أصلية حيدة G للدالة على مجال بحيث. G y. + على مثال نحدد دالة أصلية للدالة حيث التي تا خذ القيمة عند على التالي آان λ فان على مجال G دالتين أصليتين للدالتين F إذا آانت + دالة أصلية ل F + G λ دالة أصلية ل λf تقبل دالة أصلية على آل دالة متصلة على مجال حدد الدال الا صلية ل تقبل دالة أصلية على بين أن 5 مثال جدل الدال الا صلية لبعض الدال الاعتيادية الدالة الدال الا صلية F مجمعة التعريف للدالة الدال F λ a + λ + + λ + a ou + + + λ + { } 6
ou + + + λ + { } + + + λ + { } π π + kπ; + kπ ; k معرفة ه المجال التي تكن فيه قابلة للاشتقاق قابلتان ه المجال التي نكن فيه للاشتقاق قابلتان ه المجال التي نكن فيه للاشتقاق si ( a + b ) + λ a cos ( a + b ) +λ a ta + λ ac ta + λ + + + λ + + λ + λ cos a + b a si a + b a + ta cos + { } + + ه المجال التي نكن فيه للاشتقاق لا تنعدم فيه قابلتان + λ ( ] ; + [ على معلمين) على α ) لاحظ أن ) ( - تمارين حدد دالة أصلية للدالة حيث α حدد دال أصلية للدالة u ( u ) على + ( cos α u u 4 + 4 + (باستعمال الشكل القانني نحصل على حدد دال أصلية للدالة e i + e i ) ( بضع cos (يتم اخطاط - - -V تطبيقات الاشتقاق دراسة الدال A الا نشطة تمرين - حدد رتابة الدالة مطاريفها النسبية أ المطلقة إن جدت في الحالتين التالين. ( ) أ- ب- + 7+ - حدد عدد جذر المعادلة تمرين C منحنى الدالة حدد نقط انعطافه في الحالتين أدرس تقعر ب- أ- التاليتن( إن آان ممكنا). ( ) cos si 4 7
( O ( ;) ( ) أ- ج- ) لاحظ أن تمرين - حدد المقاربات إن جدت - أعط الاتجاهات المقاربة في الحالات التالية ب- ج- غير قابلة للاشتقاق مرتين في مع ذلك تقبل نقطة انعطاف في ( ) + د - C ( ) + ( ) + ان ) ; A( + + + + π si + ( ) + بين ( )( )( )( 4) ر- تمرين 4 - نعتبر نعتبر مرآز تماثل للمنحنى C 5 بين ان المستقيم الذي معادلته محر تماثل للمنحنى B- تذآير مع بعض الاضافات - تقعر منحنى دالة -- نقطة انعطاف - تعريف لتكن قابلة للاشتقاق على مجال نقل إن المنحنى محدب إذا آان يجد فق جميع مماساته ( C ) نقل إن المنحنى ) ( C مقعر إذا آان يجد تحت جميع مماساته - - خاصيات دالة قابلة الاشتقاق مرتين على مجال إذا آانت " مجبة على فان يكن محدبا على ( C ) ( C ) إذا آانت " سالبة على فان يكن مقعرا على اذا آانت " تنعدم في من المجال آان يجد + α بحيث إشارة " على α[ [ aa ; + مخالفة لا شارة ( ; ) فان Aa a نقطة انعطاف ] aα, a] على ( C ) " للمنحنى ملاحظة قد لا تكن الدالة قابلة للاشتقاق مرتين يكن مع ذلك لمبيانها نقطة انعطاف الفرع اللانهاي ية - تعريف إذا ا لت إحدى إحداثيتي نقطة من C منحنى دالة إلى اللانهاية فا ننا نقل إن C يقبل فرعا لانهاي يا. - مستقيم مقارب لمنحنى 8
( C مقارب ل( a a ( ) ± a + a- مقارب عمدي ( ) إذا آان ± أ فان المستقيم الذي معادلته ( C مقارب ل( y b ± b- مقارب أفقي إذا آان b فان المستقيم الذي معادلته ( ( ) ( a+ b)) ± ) C )إذا فقط إذا آان ( C ) y a+ b c- مقارب عمدي يكن المستقيم الذي معادلته خا صية يكن المستقيم الذي معادلته أ مقارب للمنحنى مقارب للمنحنى إذا فقط إذا آان ( ) ( ( ) a) b ; a y a+ b ( ( ) a) b ; a + + ( ) ( a+ ملاحظة دراسة إشارة (b تمكننا من معرفة ضع المنحنى ) ( C بالنسبة للمقارب الماي ل. ( C ) ± ( ) ± ( ) ± - - الاتجاهات المقاربة تعاريف نقل إن يقبل محر الا راتيب آاتجاه مقارب. نقل إن ) C )يقبل محر الافاصيل آاتجاه مقارب. ± ± ( ) ( ) أ إذا آان ± ب - إذا آان ± 9
( C نقل إن( ( ) a ± ± ± ( ) a يقبل المستقيم ذا a ± ( ) ج - إذا آان ± المعادلة y a آاتجاه مقارب محر تماثل لمنحنى دالة إذا فقط إذا آان D ( a ) b ( ) - مرآز ثماثل محر تماثل - في معلم متعامد, يكن المستقيم الذي معادلته D ( a ) ( ) ) ; ab E ( مرآز تماثل لدالة - في معلم متعامد,تكن النقطة إذا فقط إذا آان دالة درية إذا جد عدد حقيقي T مجب قطعا ب حيث ) D + T D ; T D ( + T) ( 4- الدالة الدرية -4 تعريف نقل أن العدد T يسمى در الدالة.اصغر در مجب قطعا يسمى در الدالة D, ( + T) ( ) در T فان -4 إذا آانت للدالة على [ ) ( ; [ -4 إذا آانت دالة درية T درا لها فان منحنى الدالة باسطة الا زاحة ذات المتجهة + D a+ T a+ ه صرة منحنى T T i حيث عدد صحيح نسبي. الدالة على [, [ D a a+ T C- دراسة الدال تصميم دراسة دالة في غالب الا حيان نتبع الخطات التالية لدراسة دالة زجية أ فردية أ درية) تحديد مجمعة التعريف ثم تحديد مجمعة الدراسة (خاصة إذا آانت دراسة الاتصال الاشتقاق تحديد الدالة الاشتقاق دراسة إشارتها بالا ضافة إلى التا يلات الهندسية ضع جدل التغيرات دراسة الفرع الانهاي ية تحديد المقاربات دراسة التقعر ان آان ذلك ضرريا تحديد نقط انعطاف إن جدت إنشاء المنحنى