اإلحتمال التجربة العشوائية : ھى تجربة نستطيع معرفة جميع نواتجھا الممكنة قبل إجرائھا ولكن ال يمكنتحديد الناتج الذى سيحدث فعال فضاء العينة : ھو مجموعة جميع النواتج الممكنة للتجربة العشوائية و عدد عناصرھا ھو ن ) ف ( أمثلة على فضاء العينة : () تجربة إلقاء قطعة نقود مرة واحدة و مالحظة الوجه الظاھر : حيث : نننن ) ف ( ف } ص ك { () تجربة إلقاء قطعة نقود مرتين متتالتين" قطعتى نقود متمايزتين مرة واحدة " و مالحظة تتابع ظھور الصور و الكتابات : ف } ) ص ص ( ) ص ك ( ك( ص ( ك( ك ( { حيث : نننن ) ف ( ٤ () تجربة إلقاء قطعة نقود ثالث مرات متتالية " ثالث قطع متمايزة نقود مرة واحدة " و مالحظة تتابع ظھور الصور و الكتابات : ف } ) ص ص ص ( ) ص ص ك ( (ص ك ص ( ) ص ك ك ( ك( ص ص ( (ك ص ك ( ك( ك ص ( ) ك ك ك ( { حيث : نننن ) ف ( ٨ (٤) تجربة إلقاء حجر نرد مرة واحدة و مالحظة العدد الظاھر على الوجه العلوى : حيث : نننن ) ف ( ٦ ف } { ٦ ٥ ٤ (٥) تجربة إلقاء حجر نرد مرتين متتالتين " حجرى نرد متمايزين مرة واحدة " و مالحظة األعداد الظاھرة على الوجه العلوى : ف } ) ( ) ( ) ٦ ( ٦ { حيث : نننن ) ف ( ٦ ٥ ٤ ٦ ٦ ٤ ٥ ٦ تدريبات : أكتب فضاء العينة لكل من التجارب العشوائية اآلتية : () صندوق يحتوى على ثالث كرات حمراء " ح " سوداء " س " بيضاء " ب " سحبت منه كرتان الواحدة تلو األخرى مع إعادة الكرة المسحوبة اوال إلى الصندوق قبل سحب الكرة الثانية و مالحظة لونى الكرتين المسحوبتين ف () إشتراك ثالثة متسابقين س ص ع فى سبلق للجرى و مالحظة تتابع وصولھم لنھاية السباق ف
األحداث الحدث : ھو مجموعة جزئية من فضاء العينة فإذا كان : ا حدث فى ف فإن : ا e ف و عدد عناصره ھو : نننن ) ا ( أى عدد فرص وقوع الحدث ا فمثال : إذا كان ا ھو حدث ظھور رقم زوجى عند إلقاء حجر نرد منتظم مرة واحدة ومالحظة الرقم الظاھر على الوجه العلوى فإن : ا } ٤ { ٦ الحظ أن : g ا } ٤ { ٦ ف * الحدث المستحيل " Т " : ھو الحدث الذى ال يمكن وقوعه * الحدث المؤكد : ھو الحدث الذى له كل النواتج الممكنة * الحدث البسيط : ھو حدث يتكون من عنصر واحد و يسمى حدث أولى * الحدث المركب : ھو حدث يتكون من أكثر من عنصر و يسمى حدث غير بسيط * الحدثان المتنافيان : ھما حدثان ال يمكن وقوعھما معا أى أن : ھما حدثان تقاطعھما Т مالحظة : األحداث البسيطة فى فضاء العينة تكون متنافية مثنى مثنى تدريب : فى تجربة إلقاء حجر نرد مرة واحدة و مالحظة العد الظاھر على الوجه العلوى أكتب كال من األحداث اآلتية مبينا نوع كل حدث : () حدث ظھور عدد أكبر من ٦ () حدث ظھور عدد يقبل القسمة على ٥ () حدث ظھور عدد يقبل القسمة على (٤) حدث ظھور عدد أكبر من أو يساوى (٥) حدث ظھور عدد زوجى (٦) حدث ظھور عدد فردى (٦) (٥) ما العالقة بين الحدثين فى كل من :
ب ب () مسلمات اإلحتمال : إذا كان : ا حدثا من أحداث فضاء العينة لتجربة عشوائية ما أى ا e فإن : إحتمال الحدث ا " ل ) ا ( " ھو عدد حقيقى يحقق ما يأتى : ل ) ا ( ا () () (٤) (٥) ف حيث : ل ) ا ( أى : ل ) ا ( g ] [ أى أن : إحتمال وقوع أى حدث ھو عدد حقيقى موجب ال يزيد عن الواحد الصحيح ل ) ف ( أى أن : إحتمال الحث المؤكد ل ) Т ( صفر أى أن : إحتمال الحدث المستحيل صفر إذا كان : ا ب حدثين متنافين من فضاء عينة فإن : ل ) ا لاب ب ( صفر ل ) ا لا ب ( ل ) ا ( + ل ) ب ( { فإن : إذا كان : ف } ا ا (٦) عدد عناصر الحدث ا عدد عناصر فضاء العينة ا نننن + ( ( + ل ) ا ( + ل ) ا ل ) ا إذا كان : ا ب حدثين من فضاء عينة ا e ب فإن : ل ) ا بلا ب ( ل ) ا ( ل ) ا لا ب ( ل ) ب ( نننن ( ل ) ا تدريب : فى تجربة إلقاء حجر نرد مرة واحدة و مالحظة العد الظاھر على الوجه العلوى أوجد إحتمال كال من األحداث اآلتية مبينا نوع كل حدث : () حدث ظھور عدد أكبر من ٦ () حدث ظھور عدد يقبل القسمة على ٥ () حدث ظھور عدد يقبل القسمة على (٤) حدث ظھور عدد أكبر من أو يساوى (٥) حدث ظھور عدد زوجى ن ) ا ( ن ) ف (
ا( ب العمليات على األحداث : الصورة الرمزية بلا ب ( بلا ب ( ل (ا ( + ل ) ب) ل (ا ل (ا بلا ب ( بلا ب ( ل (ا ( + ل ) ب) ل (ا ل (ا ل (ا ( ل (ا ( ل (ا ب ( ل (ا ( ل (ا ب ( ل (ا ب ( ل (ا ( ل (ا ب ( ل( ب ا ( ل (ب) ل (ا ب ( ل(ا ب ( ل (ب) ل (ا ب ( ل (ا بلا ب ( ل ) ب ا ( ل( ب ا ( ل ) ب ا ( ل(ا بلا ب) ل (ا ب ( ل (ا ب ( ل (ا ب ( ل(ا بلا ب ( ل (ا ب) ل (ا ب) ل (ا ب) ل (ا ب ( ل (ا بلا ب) ل(ا بلا ب) ل (ا بلا ب ( الصورة اللفظية إحتمال وقوع الحدث ا أو الحدث ب إحتمال وقوع كال الحدثين إحتمال وقوع أحد الحدثين على األقل إحتمال وقوع ا و ب إحتمال وقوعھما معا إحتمال عدم وقوع ا إحتمال وقوع ا فقط إحتمال وقوع ا و عدم وقوع ب إحتمال وقوع ب فقط إحتمال وقوع ب و عدم وقوع ا إحتمال عدم وقوع ب فقط إحتمال وقوع ا أو عدم وقوع ب إحتمال عدم وقوع أ فقط إحتمال وقوع ب أو عدم وقوع ا إحتمال وقوع حدث واحد على األكثر إحتمال عدم وقوع ا و ب معا إحتمال عدم وقوع أحدھما على األقل إحتمال عدم وقوع ا أو ب إحتمال وقوع أحدھما فقط إحتمال وقوع ا أو ب فقط إحتمال وقوع أحدھما دون اآلخر ل[ ب ( لا (ب ا )] ل(ا ( + ل( ب) ل (ا ب) تدريب : إذا كانا ب حدثين من فضاء عينة لتجربة عشوائية ما و كان : ل( ا (.٤ ل( ب (.٦٨ ل(ا ب). أوجد : ل( ب ( ل (ا ب ( ل ) ب ا ( A ل( ب ( ل ) ب ( B ل ) ب ( ل( ب ( A ل (ا ب ( ل (ا بلا ب) ] ل (ا ( + ل ) ب) ل (ا بلا ب ( [ ل( ب ا ( ل (ب) ل (ا ب ( ل( ب ا ( A B
تمارين ألقيت قطعة نقود منتظمة مرتين متتاليتين أوجد إحتمال الحصول على : ا صورة واحدة فقط ب كتابة واحدة على األكثر ألقيت قطعة نقود منتظمة ثالث مرات متتالية أوجد إحتمال ظھور : ب صورة واحدة على األقل ا صورة واحدة أو صورتين إذا كان أحد األندية يلعب مباراة في الدوري وكان إحتمال تعادله في عدد من المباريات ھو. وإحتمال فوزه في عدد من المباريات ھو.٥ أوجد عدد المباريات التي يخسرھا ھذا النادي في الدوري ٤ صندوق يحتوي علي ٤ كرات بيضاء و ٩ كرات سوداء و ٧ كرات حمراء أختيرت كرة عشوائيا منه أوجد ح سوداء أو حمراء ب ليست حمراء إحتمال أن تكون الكرة المختارة : ا بيضاء كرة ٥ كيس يحتوى على ٨ كرات بيضاء مرقمة من إلى ٦ ٨ كرات حمراء مرقمة من ٩ إلى ٤ سحبت عشوائيا منه أوجد إحتمال أن تكون الكرة المسحوبة : ب تحمل عددا مربعا ا تحمل عددا أوليا ء حمراء أو تحمل عددا زوجيا ج بيضاء وتحمل عددا فرديا ٦ في دراسة حول أحد بيوت الشباب وجد به شخصا من عدة دول منھم ٧ من السودان من فرنسا ٤ من الھند ٥ من البرازيل اختير شخص منھم عشوائيا اوجد إحتمال أن يكون الشخص : *** ليس من البرازيل * من فرنسا ** من السودان أو الھند ٧ سحبت بطاقة من بين بطاقة مرقمة من إلي اوجد إحتمال أن تكون البطاقة المسحوبة تحمل عددا ** يقبل القسمة علي أو ٥ : * زوجيا ويقبل القسمة علي ٥ ٨ سحبت بطاقة من بين ٤ بطاقة مرقمة من إلي ٤ اوجد إحتمال أن تكون البطاقة المسحوبة تحمل عددا ** يقبل القسمة علي ٥ و ٦ : * يقبل القسمة علي ٥ أو ٦ ٩ صندوق به ٨ بطاقات مرقمة من إلى ٨ سحبت بطاقتان واحدة بعد األخرى مع اإلحالل أوجد إحتمال أ ن ب مجموع العدديين أقل من ٨ يكون : ا الفرق المطلق بين العدديين من بين بطاقات مرقمة من إلى سحبت بطاقتان عشوائيا الواحدة بعد األخرى مع اإلحالل أوجد إحتمال أن يكون مجموع العدديين على البطاقتين عددا زوجيا صندوقان بكل منھما ٤ كرات مرقمة من إلى ٤ سحبت كرة عشوائيا من كل منھما احسب إحتمال أن يكون ب الفرق المطلق عليھما : ا مجموع العدديين عليھما أوليا ألقى حجر نرد منتظم مرتين متتاليتين ولوحظ العدد الظاھر على الوجه العلوي في كل مرة أوجد إحتمال : ٤ ٥ ٦ ب مجموع العدديين الظاھرين أقل من ٨ ا الحصول على عدديين مختلفين ألقى حجر نرد منتظم مرتين متتاليتين ولوحظ العدد الظاھر على الوجه العلوي فى كل مرة أوجد إحتمال : ا مجموع العدديين أكبر من أو يساوى ٧ ب أن يكون أحد العدديين ٤ والمجموع أقل من ٨ ألقى حجر نرد منتظم مرتين متتاليتين ولوحظ العدد الظاھر على الوجه العلوى فى كل مرة أوجد إحتمال : ب الفرق المطلق بين العدديين عددا أوليا ا الحصول على عدديين متساويين من مجموعة األرقام } ٦} ٥ ٤ كون عدد من رقمين مختلفين و أوجد إحتمال الحصول على ب رقم اآلحاد أولى ا رقم العشرات فردى ج رقم العشرات فردى أو رقم اآلحاد أولى من مجموعة األرقام } ٤} كون عدد من رقمين مختلفين و أوجد إحتمال األحداث اآلتية ا رقمى اآلحاد والعشرات زوجيين ج رقمى اآلحاد والعشرات أحدھما فردى واآلخر زوجى ب رقمى اآلحاد والعشرات فرديين
ب ب ٧ ألقى حجر نرد مرتين متتاليين ولوحظ العدد الظاھر على الوجه العلوى فى كل مرة فإذا كان ا ھو حد الحصول على عدد أكبر فى الرمية الثانية منه فى األولى ب ھو حدث أن يكون مجموع العدديين الظاھرين أقل من ٨ أوجد : ل(ا ( ل(ب) ل (ا ب ( ٨ صمم حجر نرد بحيث يكون وجھان فيه يحمالن العدد وجھان يحمالن العدد ٤ وجھان يحمالن العدد ٦ ألقى ھذا الحجر مرتين متتاليتين فإذا كان ا يكون الفرق المطلق بين العددين ھو أوجد : ھو حدث ظھور العدد في الرمية األولى ب ھو حدث أن ل(ا ب ( ل( ل (ا بلا ب ( ا! أوجد : # ل(ا ب) ٩ إذا كان ا ب حدثين من ف ل(ا (! ل( ب ( ل(ب) ل (ا ب ( ل (ب ا ( إذا كان ا ب حدثين من ف ل(ا (.٧ ل(ب).٤ ل(ا ب). أوجد : ل(ا ب ( ل ) ب ا (! ل(ا ب)! أوجد : إذا كان ا ب حدثين من ف ل(ا ( % ل(ب) ل(ا بلا ب) ل (ا ب ( ل (ا ب ( إذا كان ا ب حدثين من ف ل(ا (. ل(ب).٥ ل(ا ب). أوجد ( ب ل(ا ل(ا بلا ب) ا ب حدثين من ف ل(ا ل(ا ( إذا كان ل[(ا لا ب) ل[ (ا ب) لا (ب ا )] إذا كان ا ب حدثين من ف ل(ا) # ل(ب) % ب ( (.٧ ل(ب).٨ ل(ا ب). أوجد! ب ل(ا (! ل(ا ب ( @ ل(ب) ل(ب ( ل(ا ب) إذا كان أ ب حدثين من ف ل(ا) # ل(ا بلا ب) ل(ا بلا ب ( إذا كان ا ب حدثين من ف ل(ا بU ل(ا @ ل(ب) # ( ل(ا ( ل(ا ب ( إذا كان ا ب حدثين من ف ل(ا U ب) ب أوجد ( أوجد!! ل(ا ب)!!! ل(ا - ب) ل(ا ( ل(ب) ل(ا إذا كان ا ب حدثين من ف ل( ا ب! ل(ا ل(ا ب (! ( ( ب ل(ب) ل(ا ( ب أوجد أوجد : % : أوجد ( ل(ا ب) ل(ا U ب) إذا كان ا ب حدثين من ف ل(ا ب) ل(ا ب ( إذا كان ا ب حدثين من ف ا U ب ف ل(ا) ا U ب ف ل(ا (. ل(ب).٥ أوجد & @ ل(ب) ل(ا ب) ل(ا - ب) ل( ب ا ( إذا كان ا ب حدثين متنافيين من ف ل(ا). ل(ب).٥ أوجد أوجد ل(ا ب) ل(ا ب ( إذا كان ا ب حدثين متنافيين من ف ل(ا).٧ ل(ب).٥ أوجد ل(ا ب) ( ب ل(ا
إذا كان ا ب حدثين متنافيين من ف ل(ا)! ل(ب) ل(ا بلا ب) ل(ا ب) ل(ا بلا ب ( ٤ إذا كان ا ب حدثين متنافيين من ف ل(ا)! ل(ب) # @ ل(ا! ل(ا ( ل ) ب ا ( ل(ا بلا ب) ٥ إذا كانا ب حدثين متنافيين من ف ل(ا بلا ب) ل(ا) ل(ب) ل(ا بلا ب ( إذا كانا ب حدثين متنافيين من ف ل(ا بلا ب) أوجد أوجد!! ب) # ل(ا ب) ٦ ٧ أوجد أوجد ل(ا) ل(ب) ل(ا بلا ب ( إذا كان ا ب حدثين متنافيين من ف بحيث ل(ا) ل(ب) ل(ا بلا ب) ل(ا) ل(ب) ل(ب ( إذا كان ا ب حدثين متنافيين من ف بحيث ل(ا) ٤ ل(ب) ل(ا بلا ب) # % ٨ ٩ ل(ا) ل(ب) ل(ا ( إذا كان ا ب حدثين من ف ل(ا) #! ب ل(ا ( * ا ب بلا ب)! أوجد ٤ ل(ا * ا ب حدثين متنافيين ٤ إذا كان ا ب حدثين من ف ل(ا) أوجد ل(ب) ل(ب) أوجد أوجد إذا كان : إذا كان : * ا ب * ا ب حدثين متنافيين ٤ إذا كانا ب حدثين من ف ل(ا).٤ ل(ب).٨ ل(ا ب). أوجد إحتمال * عدم وقوع الحدثين ا ب معا * وقوع حدث واحد على األقل! ل(ب ( # ل(ا ب)! أوجد إحتمال إذا كان ا ب حدثين من ف ل(ا) * وقوع كال الحدثين * وقوع الحدث ا فقط ٤ إذا كان ا ب حدثين من ف ل(ا).٦ ل(ب).٧ ل(ا ب).٤ أوجد إحتمال * وقوع أحد الحدثين دون اآلخر * وقوع أحد الحدثين على األكثر إذا كان ا ب حدثين من ف ل(ا (.٧ ل(ب).٨ ل(ا ب). أوجد إحتمال ٤٤ * وقوع أحد الحدثين فقط * وقوع حدث واحد على األقل إحتمال أوجد ٤٥ إذا كان ا ب حدثين من ف ل(ا)! ل(ب)! ل(ا ب)! * عدم وقوع الحدثين معا * وقوع أحد الحدثين فقط ٤٦ إذا كانا ب حدثين من ف ل(ا).٦ ل(ب).٥ ل(ا بلا ب (.٧ أوجد إحتمال * وقوع الحدث أ فقط * وقوع حدث واحد على األقل بلا ب) & ل(ا ب) $ ل(ا (! أوجد إحتمال ٤٧ إذا كان ا ب حدثين من ف ل(ا @ * عدم وقوع أحدھما على األقل * وقوع الحدث ب فقط ٤٨ يصوب العبان ا ب فى وقت واحد نحو ھدف ما فإذا كان إحتمال أن يصيب الالعبا الھدف ھو إحتمال أن يصيب الالعب ب الھدف ھو! إحتمال أن يصيب الالعبان الھدف معا ھو! أوجد * إحتمال إصابة الھدف من الالعب ا فقط * إحتمال إصابة الھدف ٤٩ يصوب جنديان نحو ھدف ما فإذا كان إحتمال أن يصيب الجندي األول الھدف ھو.٨ إحتمال أن يصيب الجندي الثاني الھدف ھو.٧٤ إحتمال أن يصيب الجنديان الھدف معا ھو.٦٥ أوجد * إحتمال عدم إصابة الھدف * إحتمال إصابة الھدف
ب ٥ يطلق صيادان النار على ثعلب فإذا كان إحتمال إصابة الثعلب من الصياد األول ھو.٥ إحتمال إصابة الثعلب من الصياد الثاني ھو.٦٥ إحتمال إصابة الثعلب من الصيادين معا ھو.٥ أوجد إحتمال * إصابة الثعلب من أحدھما فقط * إصابة الثعلب من أحدھما على األقل ٥ يصوب العبان ا ب فى وقت واحد نحو ھدف ما فإذا كان إحتمال إصابة الھدف من ا فقط ھو & إحتمال إصابة الھدف من ب فقط ھو! إحتمال إصابة الھدف منھما معا ھو! أوجد إحتمال إصابة الھدف تقدم ٥ شخصا لشغل إحدى الوظائف فوجد أن ٥ منھم يجيدون اللغة اإلنجليزية منھم يجيدون اللغة الفرنسية ٥ منھم يجيدون اللغتين معا أختير شخص منھم عشوائيا أوجدإحتمال أن يكون ھذا الشخص يجيدا إلنجليزية فقط يجيد إحدى اللغتين فقط يجيد إحدى اللغتين على األقل ٥ فى دراسة إحصائية لمشاھدة أحد البرامج الثقافية فى التلفاز وجد أن إحتمال أن يشاھد زوج وزوجته معا البرنامج ھو.٥ إحتمال أن يشاھد الزوج فقط البرنامج ھو.٤ إحتمال أن تشاھد الزوجة البرنامج ھو.٥ أوجد إحتمال أن : * تشاھد الزوجة فقط البرنامج * واحد على األقل منھما يشاھد البرنامج * يشاھد البرنامج أحدھما دون اآلخر ٥٤ فصل دراسى به ٤ طالبا نجح منھم ٧ طالبا فى إمتحان الفلسفة طالبا فى إمتحان التاريخ ٥ طالب منھم فى االمتحانين معا أختير طالب منھم عشوائيا أوجد إحتمال أن يكون الطالب المختار * ناجحا فى الفلسفة * ناجحا فى التاريخ * ناجحا فى أحد االمتحانين على األقل ٥٥ فصل دراسى به طالبا منھم ٥ طالبا يمارسون النشاط الرياضى طالبا يمارسون النشاط الفنى ٥ يمارسون النشاطين معا اختير منھم طالب عشوائيا أوجد إحتمال أن يكون الطالب المختار يمارس * النشاط الرياضى فقط * ال يمارس اى نشاط * يمارس أحد النشاطين على األكثر ٥٦ أشترك ثالثة العبين ا ب ج فى إحدى السباقات فإذا كان إحتمال فوز ا! إحتمال فوز ب إحتمال فوز ا إحتمال فوز ج أوجد إحتمال فوز ا أو ج علما بأن واحد فقط ھو الفائز ٥٧ أشترك ثالثة العبينا ب ج فى إحدى السباقات فإذا كان إحتمال فوز ا ضعف إحتمال فوز ب إحتمال فوز ب إحتمال فوز ج أوجد إحتمال فورب أو ج علما بأن واحد فقط ھو الفائز ٥٨ أشترك ثالثة العبين ا ب ج فى إحدى السباقات فإذا كان إحتمال فوز ا إحتمال فوز ب إحتمال فوز ج! إحتمال فوز ب أوجد إحتمال فوز ا أو ج علما بأن واحد فقط ھو الفائز ٥٩ إذا كان ف } ( أوجد ل( ا! ( ٤ ( ل (ا ( ل (ا ( ل ) ا { كان ل ) ا ا ا ٤ ا ا ل ) ا ا ٤ ا ا ٦ إذا كان ف } ا ( بلا لا بلا بلا ا! ( ٤ ( ل(ا ( ل(ا ( ل(ا { كان ل(ا ( ٤ ا بلا بلا ( ل(ا ل(ا إذا كان ف فضاء النواتج لتجربة عشوائية حيث ف } ا ب ج { وكان : ل (ح ( ل (ب ( ل (ا ( % أوجد * ل (ح ( ل (ب ( ل (ا ( ٦ أوجد فى تجربة إلقاء حجر نرد مرة سجلت األعداد على األوجھه الظاھرة وكانت النسبة كآلتى : العدد على الوجه العلوى اإلحتمال المقابل ٦.٦ ٥.٨ ٤..٧.٤ أوجد ثم أوجد إحتمال ظھور : * عدد زوجى * عدد فردى * عدد أولى * عدد زوجى أولى
ا{ ا{ ا{ ٦ سجلت عدد المكالمات التليفونية خالل دقيقة بمكتب تليفون في أحد األيام وكانت كاآلتي : ٥. ٤.٥.٩.٥.٤ عدد المكالمات اإلحتمال المقابل أكثر من ٥.٨ أوجد ثم أوجد خالل دقيقة إحتمال كل من األحداث اآلتية : *وقوع أكثر من مكالمات ** وقوع مكالمة علي األقل ٦٤ بلغ عدد زوار أحد المعارض في أحد األيام زائرا موزعين كما بالجدول فإذا أختير عشوائيا أحد الزوار أوجد إحتمال أن يكون الشخص المختار : ذكر * من الذكور أنثى ** من األجانب *** من الذكور األجانب مجموع *** وقوع مكالمتين علي األكثر مجموع أجنبى عربى ٦٤ ٦ ٤٨ ٥٦ ٤ ٨! { ٥ ھى فضاء نوانج لتجربة عشوائية وكان ل(ا ( ا ا ٤ ا ا ٦٥ إذا كان ف } ا ل( (! أوجد ل(ا ({ ٥ ا & ل( ({ ٥ ا ٤! ل( ({ ٤ ا ٦٦ ٦٧ ا ب حجرا نرد صمم الحجر أ بحيث يكون وجھان يحمالن الرقم وجھان يحمالن الرقم ٤ وجھان يحمالن الرقم ٦ صمم الحجر ب بحيث يكون وجھان يحمالن الرقم وجھان يحمالن الرقم وجھان يحمالن الرقم ٥ ألقى الحجران معا أوجد إحتمال : * الرقم الظاھر على الوجه العلوى للحجر ا أكبر من الرقم الظاھر على الوجه العلوى للحجر ب * الفرق المطلق بين الرقمين الظاھرين على الوجھين العلويين إذا كان ا ب حدثين من ف وكان ل(ا) س ل(ب ( # ل[ ف (ا U ب)] @ أوجد س ا ب * إذا كان : * ا ب متنافيان ٦٨ إذا كانت س ص ع ل م ن ترمز لستة أنواع من األدوية وكان فيتامين ا يدخل فى تركيب كل من األدوية س ص ع مركب الحديد يدخل فى تركيب الدواء س فيتامين ب يدخل فى تركيب كل من األدوية ل م نننن أختير دواء واحد عشوائيا من بينھما أوجد إحتمال أن يكون ھذا الدواء يدخل فى تركيب * فيتامين ب أو ا * الحديد * فيتامين ب : * فيتامينا أو الحديد أو فيتامين ب * فيتامين ب و الحديد * ال فيتامين ا وال الحديد ٦٩ صمم حجر نرد بحيث عند إلقائه يكون إحتمال ظھور أي وجه يتناسب مع العدد الظاھرعلي ھذا الوجه أوجد إحتمال األحداث اآلتية : ** ظھور عدد زوجي أولي * ظھور عدد فردي ٧ صمم حجر نرد بحيث عند إلقائه يكون إحتمال ظھور عدد فردى! إحتمال ظھور عدد زوجى أوجد ٧ إحتمال ظھور عدد أولى صمم حجر نرد بحيث عند إلقائه يكون إحتمال ظھور كل من األعداد ٥ ٤ متساو إحتمال ظھور العدد ٦ يساوى ثالثة أمثال إحتمال ظھورالعدد أوجد إحتمال ظھور عدد زوجى ل (ا بلا بلا لا بلا إذا كان ا ب ح ثالث أحداث من تجربة عشوائية فإثبت أن : ل (ا ( + ل ) ب ( + ل ) ح ( ل (ا ب ( ل ) ب ح ( ل ) ح ا ( + ل (ا بلا لا بلا بلا ح ( ب ب ح (
ب ب ب ٧ ٧٤ كيس يحتوي علي ٦ كرات متماثلة كرتان حمراوان ن كرتان زرقاوان كرتان بيضاوان فإذا سحبت كرتان عشوائيا من الكيس أوجد إحتمال : * أن تكون الكرتان المسحوبتان لھما نفس اللون ** أن تكون إحدي الكرتين المسحوبتين بيضاء.. فصل يتكون من ولد منھم. ٦ يلبسون نظارات طبية بنتا منھم. يلبسون نظارات طبية فإذا أختيرعشوائيا شخص من ھذا الفصل فما إحتمال أن يكون بنتا ممن يلبسن نظارة طبية ٧٥ إذا كان ا ب حدثين غير متنافيين من فضاء نواتج ف ل دالة إحتمال علي ف بحيث : ل (ا ب ( ل (ا ( ل ) ب ( إثبت أن ل (ا ب ( ل (ا ( ل ) ب ( ٧٦ س ص ع ثالث مجموعات يمثلھا شكل فن المقابل فإذا كان س ع Z ن ) س ص ( ن ) ص ع ( س ص ع أوجد إحتمال أن يكون بلا بلا ص g س بلا بلا لا بلا أختير عنصر ك ** ك ) g ع س ( ك* ) g س ص ( ع ( [ بلا بلا ** كg ] ص ) س ص ( بلا بلا ك* ) g س : ع
سسسسسس ر حححححح ر ن ن ن ن ن ر ر ن المتغير العشوائى المتغير العشوائى : إذا كان : ف فضاء عينة لتجربة عشوائية ما ححححححح مجموعة األعداد الحقيقية فإن : أى دالة سسسسسسس : ف ح تسمى متغيرا عشوائيا معرفا على ف المتغير العشوائى المتقطع " المنفصل الوثاب " : ھو متغير عشوائى مداه مجموعة محدودة من األعداد الحقيقية فمثال : فى تجربة إلقاء قطعة نقود مرتين متتالتين إذا كان المتغير العشوائى سسسسسسس يعبر عن عدد الصور نجد أن : ف } ) ص ص ( ) ص ك ( ك( ص ( ك( ك ( { { أى أن : مدى المتغير العشوائى سسسسسسس } { التوزيع اإلحتمالى : إذا كان : س متغير عشوائى متقطع مداه المجموعة } فإن الدالة د المعرفة كاآلتى : د : } { ححححح حيث : د ) ( ل ) ( لكل ر ن تحدد ما يسمى بالتوزيع اإلحتمالى للمتغير العشوائى سسس سسسسس و الذى يعبر عنه بمجموعة األزواج المرتبة المحددة لبيان الدالة د مالحظات : () الدالة د تحقق الشرطين : ر ( لكل ر ن د ) د ) ( + د ) ( + د ) ( + + د ) ( و أى دالة تحقق ھذين الشرطين تصلح أن تكون توزيعا إحتماليا لمتغير عشوائى متقطع سسسسسسس مداه ھو } () يكتب التوزيع اإلحتمالى للمتغير العشوائى سسسسسسس بالصورة : { ( ( ( ن ن د ) ) يعبر عن عدد الصور نجد أن :! ( ( د ) ) ( ( ) د ) } فمثال : فى تجربة إلقاء قطعة نقود مرتين متتالتين إذا كان المتغير العشوائى سسسسسسس مدى المتغير العشوائى سسسسسسس } { ن ) ف ( ٤!! د () د () د ) (! د () التوزيع اإلحتمالى للمتغير العشوائى د ) ( سسسسسسس يعطى من الجدول :! (! ( د ) ( د ) د ) د )
سسسسسس ن ن ن ن الوسط الحسابى و اإلنحراف المعيارى للمتغير العشوائى المتقطع إذا كان سسسسسسس متغير عشوائى له توزيع إحتمالى فإن أى دراسة إحصائية لھذا التوزيع تعتمد على التعرف على مقياسين من المقاييس اإلحصائية ھما : النزعة المركزية : و ھى القيمة التى تتمركز عندھا قيم ھذا المتغير العشوائى التشتت : و ھو يبين إلى أى مدى تتشتت قيم المتغير العشوائى حول نزعته المركزية الوسط الحسابى ھو أحد مقاييس النزعة المركزية التباين ھو أحد مقاييس التشتت و كذلك اإنحراف المعيارى { الوسط الحسابى و التباين و اإلنحراف المعيارى : إذا كان : س متغير عشوائى متقطع مداه المجموعة } بإحتماالت د ) ( د ) ( د ) ( د ) ( على الترتيب فإن : ( ر الوسط الحسابى " التوقع " ) µ ( ن د ) ) ر ر د د ( + د ( + + ) + ( أى أن : µ ) التباين ( د ) µ ر ( د ) ر :(: ::: σ )] ( σ ) : اإلنحراف المعيارى : ) σ ( معامل اإلختالف : إذا إختلفت وحدات كل من الوسط الحسابى و اإلنحراف المعيارى نستخدم معامل اإلختالف للمقارنة بين تشتت المجموعتين معامل اإلختالف مثال : فى ما يلى التوزيع اإلحتمالى للمتغير العشوائى سسسسسسس الذى يعبر عن عدد الصور لتجربة إلقاء قطعة نقود منتظمة ثالث مرات متتالية أحسب الوسط الحسابى و اإلنحراف المعيارى لھذا التوزيع ثم أوجد معامل اإلختالف د ( ر ( ر د ) ر ( د ) ر ) #!@ ( @$ ر! # ^ #!@! # #! ن ر ر اإلنحراف المعيارى الوسط الحسابى.٨٧ # ] اإلنحراف المعيارى! ( من الجدول : الوسط الحسابى " التوقع " ) µ # (.٥ ) التباين.٨٧ معامل اإلختالف
تمارين فى تجربة إلقاء قطعة نقود ثالث مرات مرات متتالية إذا كان المتغير العشوائى يعبر عن ) عددالكتابات ( أوجد الوسط الحسابى معامل اإلختالف للمتغير العشوائى سسسسسسس فى تجربة إلقاء قطعة نقود ثالث مرات مرات متتالية إذا كان المتغير العشوائى يعبر عن ) عدد الكتابات - عدد الصور) أوجد اإلنحراف المعيارى فى تجربة إلقاء قطعة نقود أربع مرات مرات متتالية إذا كان المتغير العشوائى سسسسسسس يعبر عن ) عدد الصور - عدد الكتابات) أوجد اإلنحراف المعيارى ٤ صندوقان بكل منھما كرات مرقمة من إلى سحبت كرة عشوائيا من كل صندوق وعرف المتغير العشوائى سسسسسسس بأنه حاصل ضرب العددين المكتوبين على الكرتين المسحوبتين أوجد التوقع ٥ صندوقان بكل منھما ٥ كرات مرقمة من إلى ٥ سحبت كرة عشوائيا من كل صندوق وعرف المتغير العشوائى سسسسسسس بأنه الفرق المطلق بين العددين المكتوبين على الكرتين المسحوبتين أوجد اإلنحراف المعيارى ٦ ألقى حجر نرد مرتين متتاليتين فإذا كان المتغير العشوائى سسسسسسس يعبر عن مقياس الفرق بين العددين الظاھرين أوجد اإلنحراف المعيارى ٧ صمم حجر نرد بحيث يحمل وجھان منه الرقم وجھان منه الرقم وجھان منه الرقم ٥ ألقى ھذا الحجر مرتين متتاليتين وعرف المتغير العشوائى سسسسسسس بانه مجموع العددين الظاھرين اوجد التوقع ٨ إذا كان سسسسسسس متغيرا عشوائيا متقطعا مداه } { بإحتماالت ل (). ل ) (. ٩ ل ().٤ أوجد ل ( ( ثم أوجد اإلنحراف المعيارى إذا كان سسسسسسس متغيرا عشوائيا متقطعا مداه } { كان! أوجد ل( ( ثم أوجد اإلنحراف المعيارى ( ل(! ل ) ( ل( ( حيث ك إذا كان سسسسسسس متغيرا عشوائيا متقطعا توزيعه اإلحتمالى يحدد بالدالة د( ) ٦ أوجد قيمة ك ثم أحسب معامل اإلختالف ك إذا كان سسسسسسس متغيرا عشوائيا متقطعا توزيعه اإلحتمالى يحدد بالدالة د( ) حيث أوجد قيمة ك ثم أحسب اإلنحراف المعيارى ك + إذا كان سسسسسسس متغيرا عشوائيا متقطعا توزيعه اإلحتمالى يحدد بالدالة د( ) حيث ٩ أوجد قيمة ك ثم أحسب التباين حيث ك + إذا كان سسسسسسس متغيرا عشوائيا متقطعا توزيعه اإلحتمالى يحدد بالدالة د( ) ٩ أوجد قيمة ك ثم أحسب معامل اإلختالف ك حيث ٤ إذا كان سسسسسسس متغيرا عشوائيا متقطعا توزيعه اإلحتمالى يحدد بالدالة د( ) + أوجد قيمة ك ثم أحسب التباين حيث ك ٥ إذا كان سسسسسسس متغيرا عشوائيا متقطعا توزيعه اإلحتمالى يحدد بالدالة د( ) + أوجد قيمة ك ثم أحسب التباين ك ٦ إذا كان سسسسسسس متغيرا عشوائيا متقطعا مداه } { بإحتماالت قدرھا ٥ ك + ك + ك ك على الترتيب أوجد قيمة ك ٥ ٥ ٥ ٥ اإلنحراف المعيارى
ل ( ( معامل اإلختالف معامل اإلختالف ألعمارھم فإوجد اإلنحراف المعياري ألوزان ھذه المجموعة سسسسس ٩ متغير عشوائى متقطع مداه } ل ( ) معامل اإلختالف!! µ فإذا كان الوسط الحسابى { ر ر فإوجد ل ) ( سسسسس متغير عشوائي متقطع مداه } ا ب ٤ { ٧ ٥ حيثا > ب > ٤ وكان توزيعه اإلحتمالي لكل ك g مدي س فإذا كان ل ) ب > س > ٥).٦ ك يعطي بالدالة د ) س ( أوجد قيمة كال من ا ب ثم أحسب التباين إذا كان سسسسسسس متغير عشوائى متقطع توزيعه اإلحتمالى مبين بالجدول التالى أوجد ك اإلنحراف المعيارى ٦ ٤. ك. ر (. د ) إذا كان سسسسسسس متغير عشوائى متقطع توزيعه اإلحتمالى مبين بالجدول التالى أوجد م اإلنحراف المعيارى ر ( د ) م ٤ ٤ مممم م م إذا كان سسسسسسس متغير عشوائى متقطع توزيعه اإلحتمالى مبين بالجدول التالى أوجد ا ب إذا كان µ ثم إحسب اإنحراف المعيارى ٤. ر ر ( د ) ب.٤ إذا كان س متغير عشوائى متقطع توزيعه اإلحتمالى مبين بالجدول التالى أوجد ا أحسب اإنحراف المعيارى ا. * ب إذا كان µ ٤ $ ر ر ( د ) ا ب ك ٧ إذا كان سسسسسسس متغيرا عشوائيا متقطعا مداه } ٧} بإحتماالت قدرھا ٦ ك + ك ك على الترتيب أوجد قيمة ك اإلنحراف المعيارى ٨ سسسسس متغير عشوائى متقطع مداه } { فإذا كان الوسط الحسابى % µ فإوجد ل ) ( @ ^ إذا كان سسسسسسس متغير عشوائى متقطع توزيعه اإلحتمالى مبين بالجدول التالى أوجد م كككك إذا كان µ ثم أحسب انحراف المعياري ك ر م مممم ر ( م د ) متغير عشوائي متقطع وسطه الحسابي ٤٤ وتباينه أوجد معامل اإلختالف ٤ ٥ متغير عشوائى متقطع وسطه الحسابى ومعامل اإلختالف له ٥٦ أوجد التباين متغير عشوائى متقطع إنحرافه المعيارى ٦ ومعامل اإلختالف له ٨ أوجد الوسط الحسابى عند بحث العالقة بين أعمار وأوزان مجموعة من العبي كرة القدم وجد أن متوسط أعمارھم م. بإنحراف معياري. وأن متوسط أوزانھم ٧٢ وكان معامل اإلختالف لھذه األوزان مساويا نصف ثم
سسس المتغير العشوائى المتصل " المستمر " المتغير العشوائى المتصل : ھو متغير عشوائى مداه فترة مفتوحة أو مغلقة من األعداد الحقيقية التوزيع اإلحتمالى المتصل : إذا كان سسسسسسس متغير عشوائى متصل مداه الفترة ] ا ب [ الدالة د حيث د : ] ا ب [ بحيث تحقق : () د () لكل ] g ا ب [ () الشكل البيانى لھذه الدالة ھو منحنى متصل بحيث تكون مساحة المنطقة أسفل منحنى ححححح مساوية للواحد الصحيح الدالة و فوق ] ا ب [ دالة الكثافة : سسسسسسس إذا كان : إذا كان سسسسسسس متغير عشوائى متصل فإن الدالة الحقيقية د تسمى دالة كثافة المتغير العشوائى ] ا ب [ ل (ا سسسسس ب ( مساحة المنطقة الواقعة تحت منحنى د و فوق محور السينات فى اب ا ب حيث و ذلك لكل عددين حقيقين مثال : إذا كان سسسسسسس متغير عشوائى متصل دالة كثافة اإلحتمال له ھى : ٦ د () صفر فيما عدا ذلك ٧ ٥ ( ٤ أثبت أن : ل ) ( ٦!%. د (٦) د () ثم أوجد ل ) > د (). %.٤... ٤ ٥ ٦ ( ٦ ل ) مساحة شبه المنحرف " كما بالشكل " ( ٦ ) (. +. )! د ().٤... ٤ ٥ ٦ مساحة شبه المنحرف " كما بالشكل " ( ٤ ) (.٨ +. )!. ( ٤ ( د (٤) ل ) >
تمارين إذا كان سسس سسسسس متغيرا عشوائيا متصال دالة كثافة اإلحتمال له ھى : د () صفر فيما عدا ذلك + ٨ ( * أوجد ل ) ( * حقق أن ل ) إذا كان سسس سسسسس متغيرا عشوائيا متصال دالة كثافة اإلحتمال له ھى : ٥ فيما عدا ذلك + د () صفر ( * أوجد ل ) * حقق أن د () دالة كثافة للمتغير سسس سسسسس إذا كان سسس سسسسس متغيرا عشوائيا متصال دالة كثافة اإلحتمال له ھى : ٤ فيما عدا ذلك د () + صفر ( * أوجد ل ) ( ٤ * حقق أن ل ) ٤ إذا كان سسس سسسسس متغيرا عشوائيا متصال حيث : ٥ فيما عدا ذلك + ٤ د () صفر ( * أوجد ل ) * حقق أن د () دالة كثافة للمتغير سسسسسسس ٥ إذا كان سسس سسسسس متغيرا عشوائيا متصال دالة كثافة اإلحتمال له ھى : فيما عدا ذلك ك د () صفر ( * أوجد ل ) أوجد قيمة * ك
إذا كان سسس سسسسس متغيرا عشوائيا متصال دالة كثافة اإلحتمال له ھى : ٧ د () صفر فيما عدا ذلك ٥ ك ٦ ( ٤ * أوجد ل ) أوجد قيمة * ك ٧ إذا كان سسس سسسسس متغيرا عشوائيا متصال دالة كثافة اإلحتمال له ھى : ٥ د () + ك صفر فيما عدا ذلك ( ٤ * أوجد ل ) أوجد قيمة * ك ٨ إذا كان سسس سسسسس متغيرا عشوائيا متصال دالة كثافة اإلحتمال له ھى : ك ٥ د () صفر فيما عدا ذلك ٨ ( ٦ * أوجد ل ) أوجد قيمة * ك إذا كان سسس سسسسس متغيرا عشوائيا متصال دالة كثافة اإلحتمال له ھى : د () ك م فيما عدا ذلك + صفر ٩ ( أوجد قيمة * أوجد ل ) * ك & كان : ل ) > ( سسس إذا كان سسسسس متغيرا عشوائيا متصال دالة كثافة اإلحتمال له ھى : ٤! ٦ > ٤ د () فيما عدا ذلك صفر ( ٦ ل ) أوجد ل ) > ٥ ( ل ) < (
سسس سسس التوزيع الطبيعى " التوزيع الطبيعى : ھو توزيع لمتغير عشوائى سسسسسسس متصل مداه [ ] و دالة كثافة اإلحتمال له دالة أسية تعتمد على القيمتين " µ الوسط الحسابى σ " اإلنحراف المعيارى " لھذا المتغير العشوائى سسسسسسس و منحنى ھذه الدالة يسمى بالمنحنى الطبيعى و يطلق عليه منحنى جاوس و يأخذ شكل الجرس خواص المنحنى الطبيعى : المنحنى متصل و يقع بأكمله فوق محور السينات µ : متماثل بالنسبة للمستقيم اإلعتدالى " ٤ ٥ له قيمة واحدة عند µ يتزايد فى [ [ µ و يتناقص فى [ µ ] يقترب طرفاه من محور السينات دون أن يقطعاه د () التوزيع الطبيعى المعيارى : ھو توزيع طبيعى وسطه الحسابى µ صفر و إنحرافه المعيارى σ د () خواص المنحنى الطبيعى المعيارى : المنحنى متصل و يقع بأكمله فوق محور السينات متماثل بالنسبة للمستقيم : صفر ا ب المساحة فوق محور السينات و تحت المنحنى و المستقيم صفر يقسم ھذه المساحة إلى قسمين متساويين كل منھما.٥ د () ٤ مساحة المنطقة الواقعة أسفل المنحنى و فوق الفترة ] ا ب [ تمثل عددا إحتمال وقوع المتغير العشوائى سسسسس فى ] ا ب [ أى أن : ل (ا سسسسس ب ( مساحة المنطقة الواقعة تحت المنحنى و فوق ] ا ب [ حساب اإلحتماالت للمتغير الطبيعى المعيارى : إذا كان صصصصصصص متغير طبيعى معيارى وكان ا سصسصصسص ب فإن : ل (ا سصسصصسصب ( مساحة المنطقة الواقعة تحت المنحنى الطبيعى المعيارى و فوق ] ا ب [ و تستخدم جداول خاصة تعطى مساحة تقريبية تحت المنحنى و فوق الفترة ] ى [ حيث ى عدد حقيقى موجب يأخذ قيما تبدأ من الصفر و تنتھى بالعدد. د () أى أن : ل (ا سصسصصسصب ( مساحة المنطقة الواقعة تحت المنحنى الطبيعى المعيارى و فوق ] ى [ ى كما بالشكل المقابل
ل ) سصسصصسص (..٩.٨.٧.٥٩.٩..٧٥.٧٤.٦٧٥.٤..٦٤.٥٧.٤٨.٤٤.٨٧٩.٨٤٤.٨٨.......٤٨٥٧.٤٨٥٤.٤٨٥.٤٨٩.٤٨٨٧.٤٨٨٤.٤٩٩٥.٤٩٩٥.٤٩٩٥ ().٦..٦٦..٤٦....٤٨٤٦.٤٨٨.٤٩٩٤ مثال : بإستخدام جداول المساحات و تحت المنحنى الطبيعى المعيارى أوجد : () ل ) سصسصصسص (. () ل ) سصسصصسص.٦٧ ( جزء من جدول المساحات تحت المنحنى الطبيعى المعيارى :.٥.٩٩.٥٩٦.٩٨٧.٦٨.٧٦....٤٨٧٨.٤٩٩٤.٤.٦.٥٥٧.٩٤٨..٧...٤٨٨.٤٨٧٥.٤٩٩٤...٥٧.٩..٦٦٤...٤٨٤.٤٨٧.٤٩٩٤..٨.٤٧٨.٨٧...٩٨٥..٤٨.٤٨٦٨.٤٩٩٤..٤.٤٦٨...٥٩.٩٥...٤٨٦٤.٤٩٩.٩٨.٧٩.٧٩.٥٥٤.٩٥...٤٨٦.٤٩٩ ى....٤.٥.٦....٧٩ ل ) سصسصصسص (. من الجدول مباشرة د () ().. ل ) سصسصصسص.٦٧ ( د () ().٦٧ د ().٤٨٧٨ () ل ) سصسصصسص (..
سصسصصس سصسصصس سصسصصس سصسصصس سسس د () ملخص قواعد إستخدام جدول المساحات تحت المنحنى الطبيعى المعيارى : ل ( سصسصصسصى ( حيث : ى عدد موجب يكشف من الجدول مباشرة ى ل ) ى سصسصصسص ( ل ) سصسصصسصى ( حيث : ى عدد موجب ل ) ص ى (.٥ حيث : ى عدد موجب ل ) سصسصصسصى ( ى د () د () ى ى ل ) ص ى (.٥ + حيث : ى عدد موجب ل ) ص ى (.٥ + حيث : ى عدد موجب ل ) سصسصصسصى ( ل ) سصسصصسصى ( ى د () ى د () ٤ ٥ ل ) ص ى (.٥ حيث : ى عدد موجب ل ) سصسصصسصى ( د () ٦ د () ل ) ح سصسصصسص ء ( ل ) سصسصصسص ء ( ل ) سصسصصسص ح ( حيث : ح ء موجبان ح > ء ى ح ء ٧ ل ) ء سصصصص ح ( ل ) ح سصسصصسص ء ( ل ) سصسصصسص ء ( ل ) سصسصصسص ح ( حيث : ح ء موجبان ح > ء د () ء ح ء ح ٨
سصسصصس (. ل ) ح سصسصصسص ء ( ل ) سصسصصسص ء ( + ل ) سصسصصسص ح ( حيث : ح ء موجبان ح > ء ل ) سصسصصسصى ( ل ) ى سصسصصسصى ( حيث : ى عدد موجب إذا كان صصصصصصص متغير طبيعى معيارى أوجد : ل ) سصسصصس (. مساحة المنطقة المظللة بالشكل ( () ٩ أمثلة : ل ) سصسصصس.٥ ل ) سصسصصسص..٩.٤٩٩.٥ د () ح ح ء ى د () ى د ()..٨٤ (.٨٤ () إذا كان صصصصصصص ل ) ص +.٥ +.٥ متغير طبيعى معيارى أوجد : ل ) سصسصصس د () (.٨٤ مساحة المنطقة المظللة بالشكل ل ) سصسصصسص (.٨٤.٧٥. إذا كان متغير طبيعى معيارى أوجد : ل ).٨٦ سصسصصسص (. صصصصصصص ل ).٨٦ سصسصصسص (. مساحة المنطقة المظللة بالشكل ل ) سصسصصسص (. ل ) سصسصصسص.٨٦ (.٧.٥. () د ().٨٦. (٤) إذا كان صصصصصصص متغير طبيعى معيارى أوجد : ل ). سصسصصسص.٦٤ ( د () ل ). سصسصصسص.٦٤ ( مساحة المنطقة المظللة بالشكل ل ) سصسصصسص. ( + ل ) سصسصصسص.٦٤ (.٦٩٧. +.٧٨..٦٤
صص ص صصصصصص صصصصصص سصسصصس سصسصصس سصسصصس سصسصصس سصسصصس سصسصصس صصصصصص صصصصصص صصصصصص صصصصصص صصصصصص صصصصصص صصصصصص صصصصصص إذا كان صصصصصصص متغير طبيعى معيارى أوجد قيمة العدد الحقيقى الموجب ى الذى يحقق : د () ل ) ص ى (.٤ A ص ى.٤ >.٥ B ل ) ص ى (.٥ ل ) سصسصصسصى (.٤ B ل ) سصسصصسصى (.٥.٤.٩٨٧ و بالبحث فى الجدول عن قيمة ى التى تناظر المساحة الناتجة نجد أن : ى. (٥) (٦) ى إذا كان صصصصصصص متغير طبيعى معيارى أوجد قيمة العدد الحقيقى الموجب ى الذى يحقق : د () ل ) ص ى (.٨٥٧٧ ى A ص ى.٨٥٧٧ <.٥ B ل ) ص ى (.٥ + ل ) سصسصصسصى (.٨٥٧٧ B ل ) سصسصصسصى (.٨٥٧٧.٥.٥٧٧ و بالبحث فى الجدول عن قيمة ى التى تناظر المساحة الناتجة B ى.٧ تمارين صصصصصص صصصصصص متغيرا عشوائيا له توزيع طبيعى معيارى فإوجد : إذا كان صصصصصصص ل ) صصصصص (.٦٩ (.٥ صصصصصصص ل ) ل ).٦٧ صصصصص ( ٤ ل ).٤ صصصصص (.٩ ( ل ) ص ٦.< ( ل ) ص ل ) ص.٤ ( ٨ ل ) ص.٤ ( ل ) ص.٤ ( ل ) ص (.٤- (.٥ ل ) < (.٥ ل ) ( ل ). صصصصص. ٤ ل ). صصصصصصص.٤٥ ( ل ). صصصصص.٤ ( ٦ صصصصصصص.٤ ( ل )..٥ ( ل ).٥ صصصصص ٨.٥ ( ل ).٥ صصصصص إذا كان صصصصصصص متغيرا عشوائيا طبيعيا فإوجد قيمة العدد الحقيقى ى التى تحقق كال مما يأتى : ل ) ص < ى (.٩٨٥ ل ) < ى (..٩٧ ( < ٤ ٦ ٨. ( < ٥ ٧ ٩ ٥ ٧ ل ى ) صصصصصص > ى (.٦٨٧٩ ل ) ص > ى (.٧٩ ل ) ص ى (.٧٦٤ ل ). صصصصص ل ). ل ى ) صصصصصص ى صصصصص ل ) ص < ى (.٩٨٩ ل ) ص > ى (.٥٤٨ ل ).٤ صصصصص ى (.٩.٦٧٩ ( ى صصصصص ل ). صصصصصصص. (. ى (.٥٧٤ ٤.٧ (. (.٨ ى ل ) صصصصصصص ل ) ى صصصصصصص ل ) ى ى ل ) ٦ صصصصصصص. (. ٥ ٧ ٩ ٥
صص ص صصص صصص صصص صصص صس ص صصص σ حساب اإلحتماالت لمتغير طبيعى غير معيارى قاعدة التحويل إلى متغير طبيعى معيارى : إذا كان صسسسس متغير طبيعى غير معيارى و سطه الحسابى µ نحول ھذا المتغير إلى متغير طبيعى معيارى صصصصص بالقاعدة صصص صصصصص و إنحرافه المعيارى ( ب µ σ سصسصصسص سسسسسسسب ( و يكون : ل ) ا ل ) ا µ σ سسسسس µ σ (.٤ ل ) ( إذا كان صسسسس متغير طبيعى وسطه الحسابى µ ٧٥ إنحرافه المعيارى σ ٧.٥ أوجد ل ) صسسسس ٧٨ ( ( ٧٨ () أمثلة : ل ) صصص صسسسس ل ) ل ) سصسصصسص (.٤ صصص صصصصص د ().٤.٤٤٦.٥٥٤.٥ ٧٥ ٧٨ ٧.٥ سسسسسسس ٧٥ ٧.٥.٥ ( إنحرافه المعيارى σ أوجد قيمة : µ σ + µ σ..٤ µ σ σ µ إذا كان صصص صسسسس متغير طبيعى وسطه الحسابى ( ( σ + σ + ( سصسصصسص ) ل سصسصصسصµ σ σ ل ) µ ل ) µ () سصسصصسصµ سسس سسسسس µ σ µ ل ) ( سصسصصسص ل ) إنحرافه المعيارى σ أوجد قيمة µ.٥٨٧ ( ٦٥ µ ٦٥ < µ : ٧٥ µ B إذا كان صسسسس متغير طبيعى وسطه الحسابى µ التى تحقق : ل ) ( ٦٥.٥٨٧ سسسسسسس µ صس ( ٦٥.٥٨٧ B ل ) ل ) ص µ ٦٥ ل ) ى (.٥٨٧ حيث : ى.٥ >.٥٨٧ ل ) سصسصصسصى (.٥.٥٨٧.٤ من الجدول ى > و منھا B.٥ >.٥٨٧ A ٦٥ µ B () A د () ى µ ٦٥ ٦٥ µ B A B B B
صص ص صصص صصص σ إنحرافه المعيارى σ إذا كان صسسسس متغير طبيعى وسطه الحسابى µ التى تحقق : ل ) صسسسس ( ٤.٩٩٨ أوجد قيمة.٩٩٨ ( B.٩٩٨ ( ٤ (٤) A صس ل ) ص ى (.٩٩٨.٥ <.٩٩٨ حيث : ل ) د () ٤ σ سسسسسسس σ ٤ σ ى B ل ) A ى > σ ٤ σ.٤٩٨.٥.٩٩٨ ٤ < و منھا : σ B σ. B A ل ) سصسصصسصى ( ى. من الجدول :. ٤ σ B ٧٥ جنيھا و إنحراف (.٥ < ( إذا كانت أجور عامل تتبع توزيع طبيعى بمتوسط حسابى µ معيارى σ أوجد : النسبة المئوية لعدد العمال الذين تزيد أجورھم عن ٩ جنيھا عدد العمال الذين تقل أجورھم عن ٥٥ جنيھا < < ٩ ( ل ) (٥) صس ل ) ص ل ) سصسصصسص (.٥.٦٦٨. صص ل ) ص.٥.٥ النسبة المئوية لعدد العمال الذين تزيد أجورھم. عن ٩ جنيھا ٦.٦٨ د ().٥ ٧٥ ٩ سسسسسسس ٧٥. B ( > ( > صس > ٥٥ ( ل ) ل ) ص ل ) سصسصصسص صص ل ) ص ٧٥ ٥٥ سسسسسسس ٧٥ (...٥.٥ B عدد العمال الذين تقل أجورھم عن ٥٥ جنيھا. ٦٨ عامل د ()
ا( سسسسسس سسسسسس ا( ب( سسسسسس سسسسسس سسسسسس سسسسسس تمارين إذا كان سسسسسسس متغيرا عشوائيا طبيعيا وسطه الحسابى ٨ إنحرافه المعيارى. (ا ( ل إذا كان سسسسسسس (ا ( ل سسس ) س ) سسسسسس (٥ > متغيرا عشوائيا طبيعيا وسطه الحسابى سس > ( (ب) ل (٧ > تباينه (.٥ فإوجد : (ب) ل ٤) > سسسسسسس > ( إذا كان سسسسسسس متغيرا عشوائيا طبيعيا وسطه الحسابى ٨ تباينه ٤ و كان : ل( س (ب) ل ) س > ( فإوجد : ( قيمة ى إذا كان سسسسسسس متغيرا عشوائيا طبيعيا وسطه الحسابى ٤٥ تباينه أوجد : فإوجد : ى.٥٦ ( ( ل ) سسسسس< (٥> ( إذا كان سسسسسسس متغيرا عشوائيا طبيعيا وسطه الحسابى µ أن ل ) س. (. قيمة ى التى تحقق ل ) س < ى (.٥٦٧٥ و إنحرافه المعيارى ٥ فإوجد قيمة µ إذا علم.٥٨٧ (٤ إذا كان سسسسسسس متغيرا عشوائيا طبيعيا وسطه الحسابى µ تباينه ٦٤ و كان : ل ) سسسسسس (ب) ل ) س >٥ ( فإوجد (ا ( قيمة µ إذا كان سسسسسسس متغيرا عشوائيا طبيعيا وسطه الحسابى ٥٥ إنحرافه المعيارى σ فإوجد تباينه الذى يحقق ل ) س (٤٥. إذا كان للمتغير العشوائى سسسسسسس توزيع طبيعى وسطه الحسابى µ وإلنحرافه المعيارى σ فإوجد : ٤ ٥ ٦ ٧ ٨ ( σ ل ) سسسسسس ل ) سسسسسس ( σ.٩ µ ٤ ٦ ٨ ل ) µ ( σ + µ سسسسس< σ سسسسس ل ) µ σ +. + µ ل ) ل ) µ σ.٥ سسسسس سسسسسسس ( σ. µ ل ) ل ) ( σ + µ > ( σ.٥ + µ σ سسسسس! سسسسسسس ( σ! µ (σ! µ ٥ ٧ ٩ إذا كان سسسسسسس متغيرا طبيعيا وسطه الحسابى µ وإنحرافه المعيارى σ فإوجد قيمة ك التى تحقق اآلتى : () ل سسسسسس(س µ + ك. ( σ. ( σ ك + µ ل سسسسسس(س () () ل ) µ سسسسس σ ك. ( σ ك + µ (٤) ل ) µ + ك σ سسسسس. ( σ.٥ + µ σ (٥) ل ) µ. سسسسس.٧٦٤ ( σ ك + µ إذا كان الدخل الشھرى لمجموعة مكونة من عامل فى أحد المصانع تتبع توزيع طبيعى بمتوسط ٧٥ جنيھا وإنحراف معيارى جنيھات فما ھو عدد العاملين الذين يتراوح دخلھم بين ٧ جنيھا ٨ جنيھا إذا كانت أوزان الطالب بإحدى الكليات تتبع توزيع طبيعى وسطه الحسابى ٦٨ كجم وتباينه ٦ كجم فإوجد النسبة المئوية للطالب الذين تقع أوزانھم بين ٦٥ كجم. كجم إذا كانت أجور مجموعة مكونة من ٥ عامل تتوزع توزيعا طبيعيا وسطه الحسابى ٦ جنيھا و إنحرافه المعيارى σ فإذا كان..٨٥ من العمال أجورھم ال تزيد عن ٥٤ أحسب عدد العمال الذين ال تقل أجورھم عن ٨ جنيھا ثم σ جنيھا فإوجد
سسسسسس سسسسسس إذا كانت أطوال مجموعة مكونة من شخص تتبع توزيعا طبيعا بوسط حسابى µ وإنحراف. معيارى ٥ سم وكانت أطوال.. من األشخاص يقل طولھم عن ٦٨ سم أوجد µ ثم أحسب عدد األشخاص الذين يزيد طول كل منھم عن سم ٤ إذا كان سعر سلعة يتوزع توزيع طبيعى بمتوسط و تباين وأن إحتمال حصول شخص على سلعة ذات أقل من قيمة معينة ك ھو. فما قيمة ك. ٥ فى إمتحان لمادة ما يضم عدد أكبر من الطالب إذا كانت درجة اإلمتحان لھا توزيع طبيعى وكان. ٤ من. الطالب حصل على أقل من درجة. من الطالب على أكثر من ٥ درجة أوجد متوسط و تباين توزيع الدرجات ٦ أخذت عينة عشوائية من طالب مدارس محافظة ما عددھا ٥ طالب وكان عدد الطالب الذين تزيد أعمارھم عن ٦ سنة مساويا ) ٤ علما بأن الحد األقصى للسن فى ھذه المرحلة ٩ سنة ( وكانت أعمارھم متغير عشوائى طبيعى بتباين.٤٤ أوجد الوسط الحسابى ٧ مسافر لديه دقيقة للحاق بالطائرة وكان عليه أن يستقل إما التاكسى أو األوتوبيس لتوصيله للمطار فإذا كان التاكسى يستغرق فى المتوسط دقيقة بإنحراف معيارى دقائق وكان األوتوبيس يستغرق فى المتوسط ٥ دقيقة بإنحراف معيارى ٥ دقائق فأى الوسيلتين يستخدم. ٨ بفرض أن درجات أحد األمتحانات ھى متغير طبيعى بتوقع ٧٦ وإنحراف معيارى ٥ يأخذ. ٥ من. الطلبة األوائل بالترتيب العالمة α ويأخذ. من الطلبة الحاصلون على أقل الدرجات بالترتيب العالمة α أوجد : ) ا ( أقل درجة كى يحصل الطالب على العالمة β ب( ( أقل درجة يحصل عليھا الطالب لكى يعتير ناجحا ) ال يحصل على العالمة ( β ٩ إذا كان سسسسسسس متغيرا عشوائيا طبيعيا متوسطه µ وإنحرافه المعياري σ وكان : ل ) س. (.٥ ل ) س > (.٩٥.٧٧٨ أوجد قيمة كال من σ µ في إختبار مادة ما إمتحن فيھا طلبة إحدي الكليات كانت الدرجات موزعة توزيعا طبيعيا بمتوسط ٧٥ درجة وتباين ) علما بأن الدرجة النھائية ) أوجد : * الدرجات المعيارية لطالبين أ ب حصال علي ٩٦ ٦ درجة علي الترتيب * الدرجات التي حصال عليھا طالبين ح ء إذا كانت درجاتھم المعيارية.٦. بفرض أن أنصاف األقطار للحلزونات التي تنتجھا أحد المصانع موزعة توزيعا طبيعيا توقعه وإنحرافه المعياري ويعتبر زون معيبا إذا كان نصف قطره يقل عن أو يكبر عن أوجد إحتمال أن يكون زون معيبا
سسسسسس ن اإلرتباط اإلرتياط : ھو عالقة بين متغيرين ) ٮظاھرتين ( أو أكثر درجات اإلرتباط : () اإلرتباط التام : فيه يمكن معرفة قيمة أحد المتغيرين إذا علمت قيمة المتغير اآلخر مثل : اإلرتباط بين محيط المربع و طول ضلعه () اإلرتباط الصفرى ) المنعدم ( : و الذى يعنى عدم وجود أى عالقة بين المتغيرين مثل : العالقة بين طول المتعلم و درجاته فى أحد اإلختبارات () اإلرتباط غير التام : و فيه يتبع أحد المتغيرين اآلخر فى تغيره إلى حد ما مثل : اإلرتباط بين طول الفرد و وزنه أنواع اإلرتباط حسب طبيعة إتجاه المتغيرين : () اإلرتباط الطردى : وفيه يكون المتغيرين فى إتجاه واحد أى أنھما يتبعان بعضھما فى الزيادة و النقص مثل : اإلرتباط بين أجر عامل و مدة خبرته () اإلرتباط العكسى : و فيه يكون تغير المتغيرين فى إتجاھين متضادتين بحيث أن أى زيادة فى أحدھما يتبعھا نقص فى اآلخر أو العكس مثل : العالقة بين عدد ساعات التدريب على إستخدام اآللة الكاتبة و عدد األخطاء فى الكتابة عليھا أنواع اإلرتباط حسب الوصف التحليلى لعالقة اإلرتباط : () إرتباط غير خطى () إرتباط خطى تقاس درجة العالقة بين متغيرين بمقياس يسمى " معامل اإلرتباط " معامل إرتباط بيرسون للبيانات غير المبوبة : بفرض إيجاد معامل اإلرتباط بين متغيرين ص حيث يكون : للمتغير قيم عددھا ن ھى : للمتغير ص قيم عددھا ن ھى : ص ص ص ص نننن فإن : معامل اإلرتباط الخطى أو معامل إرتباط بيرسون (رررر ( بين المتغيرين ص يتعين من القانون : ر بعض خصائص معامل اإلرتباط (رررر ( : ( ر) تكون موجبة فى حالة اإلرتباط الطردى و سالبة فى حالة اإلرتباط العكسى ( ر) صفر فى حالة اإلرتباط المنعدم ( ر) (٤ ر) (٥) ر ن مح ص ) مح ( ) مح ص ( :::::::::::::::::::::::::: (:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: ] ن مح ص ) مح ص ] ن مح ) مح ( فى حالة اإلرتباط الطردى التام ر فى حالة اإلرتباط العكسى التام [ ] g معامل إرتباط بيرسون ال يتغير إذا طرحنا أو جمعنا أى عدد ثابت من جميع قيم المتغير و أى عدد ثابت آخر من قيم المتغير ص أى إذا كان : س صصصصصصص ص ص فإن : ن مح سسسسسسس صصصصصصص ) مح سسسسسسس ( ) مح صصصصصصص ( :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: صصصص ( :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: ] ن مح سسسس ) ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: مح سسسس ( :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: ] ن مح صصصص ) مح
ص ٤٨ ٤٥٥ ٨٨ ص من الجدول اآلتى : ٦٨ ٦ ٤٧ ٥٩ ٤٨ ٤ مثال : أحسب معامل إرتباط بيرسون " معامل اإلرتباط الخطى " بين ٥ ٥٥ ٧ ٨ ٤ ٥٤ ٦٥ ٦ ص ص ٦٤ ٦ ٨ ٤٩ ٦٥ ٧ ص ٦ ٦ ٦ ٤٨ ٦ ٥٤ ٤ ٤ ٤٨ ٥٩ ٦٦ ٥٥ ٥ ٤٧ ٦ ٦٨ ٤ ٨٦ ٦٦ ٤ ٧ ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: ( ٦٦ ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: ) ٧ ] ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: (٤ ) :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: ٧ ] ر سسسسسسس سصسصصسص ٥ ٥ ص ٥ صصصصصصص ص ٦ ٦ سسسسسسس حل آخر نختار ص سسسسسسس سصسصصسص ٦ ٤ ٨ ٤ ٦٩ ٦٤ ٨٥٨ ٥ ٤ ٩ ٦ ٥ ٨ ٦ ٦٥ ٥٤ ٤ ٤ ٤٨ ٥٩ ٨ ٧ ٥٥ ٥ ٤٧ ٦ ٦٨ ٨٦ ٦ ٧ ر :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: (:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: ٦ ) ٧ ] ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: ( ) ٨٥٨ :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: ٧ ] و ھى نفس النتيجة التى حصلنا عليھا و ھو إرتباط طردى قوى
معامل إرتباط الرتب لسبيرمان : يعتبر من المقاييس التقريبية فيجاد معامل اإلرتباط بين متغيرين لنه يعتمد على رتب ة ليس قيم المتغيرين و يتعين معامل اإلرتباط من القانون : حيث : ن ٦ مح ف ن ) ن ( عدد قيم المتغيرين ف الفرق بين كل رتبتين متناظرتين ر ف!! ٤.٥ ٦٨ ٥٩ ٦ ٤٨ مثال : أحسب معامل اإلرتباط لسبيرمان بين ص من الجدول اآلتى : ٤٧ ٥ ٥٥ ٧ ٨ ٤ ٤ ٥٤ ٦٥ ٦ ص رتب ص رتب ص ٦ ٧ ٦ ٨ ٧ ٦ ٦٥ ٧ ٤ ٥٤ ٥٥! ٤ ٥ ف!!! ٥ ٤ ٥ ٤ ٤٨ ٥٩ ٤٧ ٦ ٦٨ ٨٦ ٤.٥ ٦ ٤٨ ٧ ر تمارين لدراسة العالقة بين الكمية ص من سلعة ما والسعر بالجنيه كانت لدينا البيانات اآلتية : مج ٥ مج ص ٦ مجص ٦ مج مج ص ٤٩٨ ن أوجد معامل اإلرتباط الخطى لبيرسون بين الكمية المطلوبة والسعر محددا نوعه أوجد معامل اإلرتباط الخطى بين المتغيرين ص محددا نوعه ودرجته إذا كان مج ٦ ن مج ص ٥٦ مج ص ٧ مجص ٧٤ مج ٤٦ فى دراسة للعالقة بين المتغيرين ص حصلنا على النتائج اآلتية : مج مج ص ن ٦ أوجد قيمة معامل اإلرتباط مج ٩٦ مج ص ٦ مجص ٥ لبيرسون بين المتغيرين ص و إستنتج قيمة معامل اإلرتباط بين المتغيرين ص ص ٤ حيث ٥ ص من بيانات الجدول اآلتي أوجد معامل اإلرتباط الخطى لبيرسون : ٧ ٦ ٨ ٧ ٥ ٦ ٨ ٧ ٨ ٦ ٥ ٧ ٤ ص ٤
من بيانات الجدول اآلتي أوجد معامل اإلرتباط الخطى لبيرسون : ٥ ٨ ٥ ٤ ٦ ٨ ص من بيانات الجدول اآلتي أوجد معامل اإلرتباط الخطى لبيرسون : ٦ ٥ ٤ ٧ ٥ ٩ ص من بيانات الجدول اآلتي أوجد معامل اإلرتباط الخطى لبيرسون : ٧ ٨ ٨ ٤ ٧ ٥ ص من بيانات الجداول اآلتية أوجد معامل إرتباط الرتب لسبيرمان : ٨ ٥ ٨ ٧ ٦ ٨ ٥ ٩ ٧ ٨ ص من بيانات الجداول اآلتية أوجد معامل إرتباط الرتب لسبيرمان : ٩ ٥ ٨ س ٨ ٦ ص من بيانات الجداول اآلتية أوجد معامل إرتباط الرتب لسبيرمان : ٩ ٤ ٩ ٤ ٥ ٦ ٩ ٧ ص من بيانات الجداول اآلتية أوجد معامل إرتباط الرتب لسبيرمان : ٧ ٩ ٦ ٥ ٦ ٥ ٨ ٦ ٧ ص من بيانات الجداول اآلتية أوجد معامل إرتباط الرتب لسبيرمان : مقبول مقبول جيد جدا ممتاز جيد جدا مقبول ضعيف جيد ممتاز جيد جدا جيد جيد ص من بيانات الجداول اآلتية أوجد معامل إرتباط الرتب لسبيرمان : جيد جيد جدا ممتاز ممتاز ممتاز جيد جدا جيد ضعيف جيد جدا جيد جيد جدا ممتاز مقبول مقبول ص من بيانات الجداول اآلتية أوجد معامل إرتباط الرتب لسبيرمان : ٤ جيد جدا مقبول جيد مقبول جيد ممتاز مقبول جيد ممتاز جيد جدا جيد جدا جيد ص ٥ من بيانات الجداول اآلتية أوجد معامل إرتباط الرتب لسبيرمان : ممتاز مقبول جيد مقبول جيد ممتاز جيد مقبول مقبول جيد جيد جيد جدا ص جيد جيد
سسس سسس سسس اإلنحدار عند دراسة العالقة بين المتغيرين ص فإنه يمكن تمثيل األزواج المرتبة الممثلة لھذه العالقة بنقط فى المستوى و يسمى الشكل الناتج " شكل اإلنتشار " للمتغيرين ص و قذ يأخذ ھذا الشكل صورا مختلفة " مستقيم منحنى " و قد تقع جميع ھذه النقط على على الخط المستقيم " المنحنى " أو تنتشر فى جميع أرجاء المستوى دون رابط بينھا " إرتباط منعدم " أو تبدو أنھا تقع بنسب متفوتة على خط مستقيم كما بالشكل و بالتالى تكون العالقة بين المتغيرين ص عالقة خطية و يسمى الخط المستقيم " خط اإلنحدار " طرق إيجاد معادلة خط اإلنحدار : () طريقة المربعات الصغرى : تعتمد ھذه الطريقة على توفيق أفضل خط مستقيم لمجموعة من النقط على جعل مجموع مربعات إنحرفات النقط عن ھذا المستقيم أصغر ما يمكن " مح معادلة إنحدار ص على : ص ا ب+ " حيث ا معامل إنحدار ص على ا ن مح ص مح مح ص ن مح ) مح ( مح ص ا ب ن معادلة إنحدار على ص : ح ص + ء " حيث ح معامل إنحدار على ص " ء ح () طريقة اإلنحرافات : تعتمد على تصغير األعداد الحسابية المتستخدمة لحساب ا ب ح ء و ذلك بوضع : سسسسسسس و سصصصص ص ھ حيث : و ھ أى عددين ثابتين يتم إختيارھما حسب ظروف المسألة وبالتالى تكون : معادلة إنحدار ص على معادلة إنحدار على ص حيث : ا ھى : ھى : سسس سصصصص سسس سسسسس ح ب سسسسس + ا ح + سصسصصسص ا ن مح ص مح مح ص ن مح ص ) مح ص ( ح ء مح ح مح ص ن () طريقة اإلنحرافات المبسطة : و فيھا نضع : وبالتالى تكون : معادلة إنحدار ص على سسس سسسسس سصسصصسص معادلة إنحدار على ص حيث : ا ھى : ھى : سسس سصصصص ب سسسسس + ا ح سسس سسسسس + سصسصصسص ا ك ل ح ح ل و ل ك ء ص ھ ك
٨ مثال : من بيانات الجدول التالى أوجد قيمة ص عندما بإستخدام خط اإلنحدار المناسب ٧ ٤ ٩ ٩ ٥ ص ص ٥ ٧ ٨ ٤٤ ٩٦ ٤٤ ٧٨٦ خط اإلنحدار المناسب ھو : خط إنحدار ص على ص ٥ ٩ ٩ ٤ ٧ ٨ ٦٨ ص ا + ب ن مح ص مح مح ص ٦ ٦٨.٤٨ ا ن مح ) مح ( ٦ ٧٨٦ ) ٦٨ (.٩ ٦٨.٤٨ مح ص ا مح ب ٦ ن.٩ ص.٤٨ +.٩. + فإن : ص.٤٨ عندما : العالقة بين معامل اإلنحدار و معامل اإلرتباط : حيث أن : ا ح ن مح ص مح مح ص ن مح ) مح ( ن مح ص مح مح ص ن مح ص ) مح ص ( ( مح سسسسسسس ( ) مح صصصصصصص ( ن مح صصصص ) مح صصصص ) ن مح سسسسسسس صصصصصصص ن مح سسسس ) مح سسسس ( ر فإن : ر ح ا ح حيث : ر يأخذ نفس إلشارة كل من ا
ب( مج ص مجص ٦٤ تمارين إذا كان مج ٥٦ مج ص ٤ مج ن ٨ فإوجد معادلة خط إنحدار ص على ثم قدر قيمة ص عندما إذا كان مج ٧ مج ص ٦ مج ٩ مج ص مجص ٥ ن ٥ فإوجد معادلة خط إنحدار على ص ثم قدر قيمة عندما ص ٨ لدراسة العالقة بين الكمية المطلوبة ) ص ( من سلعة ما والسعر بالجنيه () كانت لدينا البيانات اآلتية : مج ٦٥ مج ص ٨٥ مجص ٤٧ مج ٥٥ مج ص ٨٥ ن أوجد الكمية المطلوبة عندما يصل السعر إلى ٩ جنيھات في دراسة للعالقة بين السن ( ( وضغط الدم( ص ( أل ثني عشر شخصا تتراوح أعمارھم بين ٥ سنة ٧٥ سنة أختيروا عشوائيا كانت لدينا البيانات اآلتية : مج ٧ مج ص ٦ مجص ٧٤ مج ٥٦ مج ص ٤٦ أوجد ضغط الدم لشخص عمره ٤٥ سنة في دراسة للعالقة بين متغيرين ص حصلنا على البيانات اآلتية : ن س ص ص ٩٧ مج مج ص مج ص ٤٤٤ مج ٤ ) ا ( معامل اإلرتباط الخطي بين ص مبينا نوعه مج ص ٧٨٨ أوجد : ( معادلة خط إنحدار ص على (ج) معادلة خط إنحدار على ص لدراسة العالقة بين ص حصلنا علي ٨ قيم متناظرة لھما وبوضع : س ٧ ص ص ٤ كانت البيانات كآلتي مج ٥ مج ص - ٢ مج ٦٧ مج ص أوجد معادلة خط إنحدار ص علي مج ٦ ص ٩ مج ص ٢٤ مج في دراسة للعالقة بين المتغيرين ص حصلنا على البيانات اآلتية : حيث : اوجد معامل إنحدار ص علي ٥ ٥ ص ن ٨ مج مج ص مج ص ٥٩ ٤ ٥ ٦ ٧ معامل إنحدار علي ص ثم احسب معامل اإلرتباط الخطي بين ص ٨ من بيانات الجدول اآلتي قدر قيمة ص عندما ٨ ٧ ٩ ص ٥ ٦ ٧ ٤ ٥ ٨ ٨ ص ٤ ٥ ٩ ٦ من بيانات الجدول اآلتي قدر قيمة عندما ص ٨ ٤ ٩ ٩ ٧ ص ٩ من بيانات الجدول اآلتي أوجد معامل اإلرتباط الخطى من معاملي اإلنحدار : ٧ ٤ ٨ ٨ ٧ ٧ ص إذا كان معامل إنحدار ص على ھو.٤ ومعامل إنحدار على ص ھو. فإوجد معامل اإلرتباط الخطي بين ص وحدد نوعه
إذا كان معامل إنحدار ص على ھو.٤ ومعامل إنحدار على ص ھو.٤ إوجد معامل اإلرتباط بين ص مبينا نوعه إذا كان معامل إنحدار ص على ھو. ومعامل اإلرتباط الخطي بين ص ھو.٩ فما ھو معامل إنحدار على ص ٤ إذا كان معامل إنحدار على ص ھو.٨٧ ومعامل اإلرتباط الخطى بين ص ھو.٧ فإوجد معامل إنحدار ص على ٥ في دراسة للعالقة بين متغيرين كانت معادلة خط إنحدار ص على ھي ص.. + معادلة خط إنحدار على ص ھي. ص +.٩ أوجد معامل اإلرتباط الخطي بين ص مبينا نوعه جدول المساحات أسفل المنحني الطبيعي المعياري.٩.٥٩.٧٥.٤.٥٧.٨٧٩.٢٢٢٤.٢٥٤٩.٢٨٥٢..٨٩.٦٢.٨.٤٥.٤٧٧.٤٩.٤٤٤.٤٥٤٥.٤٦.٤٧٦.٤٧٦٧.٤٨٧.٤٨٥٧.٤٨٩.٤٩٦.٤٩٦.٤٩٥٢.٤٩٦٤.٤٩٧٤.٤٩٨.٤٩٨٦.٤٩٩.٤٩٩.٤٩٩٥.٤٩٩٧.٤٩٩٨.٤٩٩٨.٨.٩.٧٤..٤٨.٨٤٤.٢٩.٢٥٢.٢٨٢.٦.٦٥.٥٩٩.٨٥.٩٩٧.٤٦٢.٤٦.٤٤٢٩.٤٥٥.٤٦٢٥.٤٦٩٩.٤٧٦.٤٨٢.٤٨٥٤.٤٨٨٧.٤٩.٤٩٤.٤٩٥.٤٩٦.٤٩٧.٤٩٨.٤٩٨٦.٤٩٩.٤٩٩.٤٩٩٥.٤٩٩٦.٤٩٩٧.٤٩٩٨.٧.٢٧٩.٦٦٧٥.٦٤.٤٤.٨٨.٢٥٧.٢٤٨٦.٢٧٩٤.٧٨.٤.٥٧٧.٧٩.٩٨.٤٧٤.٤٢٩٢.٤٤٨.٤٥٢٥.٤٦٦.٤٦٩.٤٧٥٦.٤٨٨.٤٨٥.٤٨٨٤.٤٩.٤٩٢.٤٩٤٩.٤٩٦٢.٤٩٧٢.٤٩٧٩.٤٩٨٥.٤٩٨٩.٤٩٩٢.٤٩٩٥.٤٩٩٦.٤٩٩٧.٤٩٩٨.٦.٢٩.٦٦.٢٦.٤٦.٧٧٢.٢٢.٢٤٥٤.٢٧٦٤.٥.٥.٥٥٤.٧٧.٩٦٢.٤.٤٢٧٩.٤٤٦.٤٥٥.٤٦٨.٤٦٨٦.٤٧٥.٤٨.٤٨٤٦.٤٨٨.٤٩٩.٤٩.٤٩٤٨.٤٩٦.٤٩٧.٤٩٧٩.٤٩٨٥.٤٩٨٩.٤٩٩٢.٤٩٩٤.٤٩٩٦.٤٩٩٧.٤٩٩٨.٥.٩٩.٥٩٦.٩٨٧.٦٨.٧٦.٢٨٨.٢٤٢٢.٢٧٤.٢.٢٨٩.٥.٧٤٩.٩٤٤.٤٥.٤٢٦٥.٤٩٤.٤٥٥.٤٥٩٩.٤٦٧٨.٤٧٤٤.٤٧٩٨.٤٨٤٢.٤٨٧٨.٤٩٦.٤٩٤٦.٤٩٦.٤٩٧.٤٩٧٨.٤٩٨٤.٤٩٨٤.٤٩٨٩.٤٩٩٢.٤٩٩٤.٤٩٩٦.٤٩٩٧.٤٩٩٨.٤.٦.٥٥٧.٩٤٨..٧.٢٥٤.٢٨٩.٢٧٤.٢٩٩٥.٢٦٤.٥٨.٧٢٩.٩٢٥.٤٩٩.٤٢٥.٤٨٢.٤٤٩٥.٤٥٩.٤٦٧.٤٧٨.٤٧٩.٤٨٨.٤٨٧٥.٤٩٤.٤٩٢٧.٤٩٤٥.٤٩٥٩.٤٩٦٩.٤٩٧٧.٤٩٨٤.٤٩٨٨.٤٩٩٢.٤٩٩٤.٤٩٩٦.٤٩٩٧.٤٩٩٨..٢.٥٧.٩.٢٩.٦٦٤.٢٩.٢٥٧.٢٦٧.٢٩٦٧.٢٨.٤٨٥.٧٨.٩٧.٤٨٢.٤٢٦.٤٧.٤٤٨٤.٤٥٨٢.٤٦٦٤.٤٧٢.٤٧٨٨.٤٨٤.٤٨٧.٤٩.٤٩٢٥.٤٩٤.٤٩٥٧.٤٩٦٨.٤٩٧٧.٤٩٨.٤٩٨٨.٤٩٩.٤٩٩٤.٤٩٩٦.٤٩٩٧.٤٩٩٨.٢.٨.٤٧٨.٨٧.٢٥٥.٦٢٨.٩٨٥.٢٢٤.٢٦٤٢.٢٩٩.٢٢.٤٦.٦٨٦.٨٨٨.٤٦٦.٤٢٢٢.٤٥٧.٤٤٧٤.٤٥٧.٤٦٥٦.٤٧٢٦.٤٧٨.٤٨.٤٨٦٨.٤٨٩٨.٤٩٢٢.٤٩٤.٤٩٥٦.٤٩٦٧.٤٩٧٦.٤٩٨٢.٤٩٨٧.٤٩٩.٤٩٩٤.٤٩٩٥.٤٩٩٧.٤٩٩٨..٤.٤٨.٨٢.٢٧.٥٩.٩٥.٢٢٩.٢٦.٢٩.٨٦.٤٨.٦٦٥.٨٦٩.٤٤٩.٤٢٧.٤٤٥.٤٤٦.٤٥٦٤.٤٦٤٩.٤٧٩.٤٧٧٨.٤٨٢٦.٤٨٦٤.٤٨٩٦.٤٩٢.٤٩٤.٤٩٥٥.٤٩٦٦.٤٩٧٥.٤٩٨٢.٤٩٨٧.٤٩٩.٤٩٩.٤٩٩٥.٤٩٩٧.٤٩٩٨...٩٨.٧٩.٧٩.٥٥٤.٩٥.٢٢٥٩.٢٥٨.٢٨٨.٥٩.٤.٦٤.٨٤٩.٤٢.٤٩٢.٤٢.٤٤٥٢.٤٥٥٤.٤٦٤.٤٧.٤٧٧٢.٤٨٢.٤٨٦.٤٨٩.٤٩٨.٤٩٨.٤٩٥.٤٩٦٥.٤٩٧٤.٤٩٨.٤٩٨٧.٤٩٩.٤٩٩.٤٩٩٥.٤٩٩٧.٤٩٩٨ ي...٢..٤.٥.٦.٧.٨.٩...٢..٤.٥.٦.٧.٨.٩ ٢. ٢. ٢.٢ ٢. ٢.٤ ٢.٥ ٢.٦ ٢.٧ ٢.٨ ٢.٩...٢..٤.٥