المحاضرة الرابعة التكامل المحدد Integrl( (Deinite درسنا في المحاضرة السابقة التكامل غير المحدد التكامل المحدد لها. ألصناف عدة من التوابع وسندرس في هذه المحاضرة مفهوم التكامل المحدد ليكن () تابعا مستمرا على المجال المعطى >( [ ] أو )< وليكن F() تابعا أصليا ل () أي. عندئذ يرمز للتكامل المحدد للتابع المستمر المعطى () على المجال F من أجل ] [ ب:, )( ويمثل تزايد التابع األصلي الموافق أي: F F F )( وهي صيغة نيوتن ليبتنز. باإلضافة إلى ذلك فإنه من أجل أي تابع () لدينا في النقطة الكيفية : ] [ ويدعى أي أن العالقة )( صحيحة من أجل.= يدعى و في العبارة )( بحدود التكامل التابع () بالتابع المكامل. أوجد تكامل التابع على المجال ] [4 السفلي والعلوي أي بما يوافق حدود المجال 4 4 64 8 8 9
نشير إلى أننا سنحصل على النتيجة نفسها لو أخذنا أو... مالحظة: مثل أخر ل أصليا تابعا حيث أن االختالف بين التكامل المحدود والتكامل غير المحدد يكمن في أن التكامل التكامل غير المحدد فهو دالة. أو المحدود هو عدد أما الخواص الرئيسية للتكامل المحدد: t dt - أي أن التكامل المحدد ال يتعلق بمتغير التكامل. F F - التكامل المحدد بحدود متساوية يساوي الصفر. F F F F إذا بدلنا بين موضعي حدود التكامل فإن التكامل المحدد يغير إشارته. حيث c عندئذ بفرض أن F فإن:,, cc, - 4- ليكن F F Fc F F Fc c c ; R g h g h -5-6 4
تطبيقات التكامل المحدد إن تطبيقات حساب التكامالت المحدد في الهندسة والميكانيك ذات أهمية خاصة وتبرز هذه األهمية في التطبيقات العملية المباشرة وخاصة في حساب مساحة السطوح المستوية المكتوبة بالشكل الديكارتي. نظرية: إذا كان تابعا مستمرا على الفترة منحني التابع ومحور السينات والمستقيمين وهنا نناقش الحاالت اآلتية: ( إذا كان الفعلية كما في )(. عندئذ المساحة ], [ تعطى بالعالقة: للمنطقة D A A, ( ) () ( ) ( إذا كان المساحة بالعالقة: ( ) المحصورة بين فإن المنحني يكون فوق محور السينات وتكون قيمة التكامل موجبة وهي المساحة فإن المنحني يكون تحت محور السينات وقيمة التكامل تكون سالبة لذلك تعطى A ( ) () - ( إذا كان ( ( وبآن واحد ( ( أي المنحني يكون في فترات معينة فوق محور السينات وفي فترات أخرى تحت محور السينات وقيمة التكامل تأخذ قيم موجبة وسالبة وال تعطي المساحة الفعلية المطلوبة لذلك نجمع المساحات تحت المنحني بإشارة موجبة كما في العالقة )( مثال (): أوجدي المساحة بين منحني الدالة y cos وبين:,,,, - - -4 ومحور السينات. ومحور السينات. ومحور السينات. ومحور السينات. 4
الحل: A cos sin A cos sin A A cos sin ( ) A cos sin 4 نالحظ في الحالة )4( إن التكامل يساوي الصفر وهو المجموع الجبري لقيم التكامالت في )( و )( و )( بالرغم من أن المساحة لها قيمة غير صفرية وهي مجموع المساحات الثالثة بعد األخذ بعين االعتبار بأن تأخذ المساحة التي تقع تحت محور السينات بالقيمة الموجبة وبالتالي المساحة الفعلية A A A A 4 y y مثال (): احسب المساحة المحصورة بين المستقيمات: 9 ;, الحل مثال : إذا رمزنا للمساحة المحصورة بين المستقيمات المفترضة بالرمز A لوجدنا أن: وحدة مربعة وبالمنحني :() احسب المساحة المحصورة بالمستقيمات y و الحل: تعطى المساحة المحصورة بالمستقيمات السابقة والمنحني السابق والموضحة بالشكل بالعالقة: A [ ] وحدة مربعة 6. y 4
y y y مثال (5): احسب مساحة القطع الناقص الذي معادلته: الحل: بما أن القطع الناقص متناظر بالنسبة للمحاور اإلحداثية لذلك يكفي حساب مساحة الجزء الواقع في الربع األول وضرب الناتج ب 4. y A 4 تعطى مساحة القطع الناقص بالشكل اآلتي: y y من معادلة القطع الناقص نجد: )الجزء الواقع في الربع األول) 4 A sin فنجد: بحل هذا التكامل بتغير المتحول بشكل مثلثي بفرض أن t S 4 4 وحدة مربعة 4
( احسب التكامالت اآلتية: تمارين غير محلولة ) cos, ), ) 8 4), 5) sin, 6) e e ( احسب التكامالت اآلتية بطريقة تغيير المتحول. 5 ( ) e ln ln(ln ) ) ( ), ),), 4) 5) Reerences: ( ا حسب التكامالت اآلتية بطرية التجزئة: ) Mthemtics or Engineers College Mthemtics.R.A Brnett + M.R. Ziegler + K.E. Byleen (8 edition). ) College Mthemtics: For Business Economics Lie Sciences nd Socil Sciences. R.A Brnett + M.R. Ziegler + K.E. Byleen Nme: Soueyctt Mohmed Emil: soueyctt55@hotmil.com 44
إضافات مدرس المقرر 45
46