الثانية سلك بكالريا علم تجريبية التكامل إلى من. I- تكامل مجال - تعريف ترميز لتكن مجال I عنصرين من. I إذا آانت F G دالتين أصليتين للدالة على I.F()-F()=G()-G() أي أن العدد الحقيقي F()-F() غير مرتبط باختيار الدالة الا صلية F. تعريف لتكن مجال I عنصرين من I. العدد الحقيقي( F()-F( حيث F دالة أصلية للدالة علىI, يسمى تكامل الدالة d يكتب d يسميا محدا التكامل يقرأ مجمع من إلى أ تكامل من إلى لd d = F d في الكتابة d يمكن تعيض با ي حرف ا خر بمعنى أن ln = = =... d t dt u du من أجل تبسيط الكتابة F()-F() نكتبها على الشكل [ ; ] أمثلة دالة أصلية لها هي نحسب d الدالة متصلة على اذن [ ln ] = ln = d 4 cos + d ; d ; cosd * * - خاصيات أ- خاصيات لتكن مجال I c عناصر منI (علاقة شال) = d d c * * d = = + d d d c I * = d أمثلة d= d= d+ d= + = ب)- لتكن مجال I عنصرا من I http://rmths.it.r Moustouli Mohmed
ϕ : I t dt I حيث F دالة أصلية ل على.I ) ϕ ( ) = F( ) F( لدينا على I التي تنعدم )ϕ ( = أي أن ϕ دالة الا صلية للدالة 'ϕ = اذن ϕ قابلة للاشتقاق على I في مجال I عنصرا من I. لتكن () t dt هي الدالة الا صلية ل على I التي تنعدم في الدالة المعرفة على I بما يلي ] ; + [ مثال نعلم أن الدالة ln هي الدالة الا صلية ل على التي تنعدم في. ] ; + [ ( ) = ln ] ; + [ ln = dt t على + [ ; ] ج حدد الدالة الا صلية ل )- لتكن g دالتين متصلتين على التي تنعدم في حيث ] ; [ λ عدد حقيقي ثابت ( λ ) = λ ( ) + = + 4 4 ) يمكن اخطاط ( cos cos d ; ( + ) حدد d d d g d d g d sin 4 4 cos J = d I = d sin + cos sin + cos J ; I I J I + J نعتبر د التا بل الهندسي للعدد استنتج d A = d ( مساحة الحيز المحصر بين منحنى الدالة = ) [ ; ] إذا آانت دالة متصلة مجبة على محر الا فاصيل المستقيمين المعرفتين على التالي بالمعادلتين بحدة قياس المساحات = هي A = d ملاحظة نعتبر إذا آان المستى منسب إلى معلم متعامدين حدة قياس المساحة هي مساحة المربع OIJK ( ) = http://rmths.it.r Moustouli Mohmed
( i = cm j = cm ) C أنشي C محر الا فاصيل المستقيمين المعرفين بالمعادلتين ب cm مساحة الحيز المحصر بين. = ; = -II تقنيات حساب التكاملات - الاستعمال المباشر لدال الا صلية أمثلة e ( ln ) ln نلاحظ أن على شكل ' uu حيث u( ) = ln * d e e e ( ln ) إذن d = u ( ) ln 'u هي نعلم أن الدالة الا صلية ل u u = = d e + حيث لدينا إذن يكتب على شكل e = بهذا التحيل نلاحظ أن + e e + + e d = ln u ( ) = ln( + e ) e + 4 u( ) = + e 4 sin d + + c = + + حيث c + + 4 + + d + u ' حيث يكتب على شكل u + + 5 + + 5 d e = d ; d ln ln e ln ( + )( + ) - * ' u u حدد - أ- أجد ب- استنتج قيمة بين أن التعبير استنتج قيمة - المكاملة بالا جزاء لتكن g دالتين قابلتين للاشنقاق على ] ; [ بحيث ' ' g نعلم أن ; g ' = ' g + g ' u دالة يجيب تحديدها. متصلتين على ] ; [ [ ] [ ; ] ' ' ' g = g g نضع = cos ' ; = = ' ' g d g g d v u cosd v ' = ; u = sin - -4 مثال منه http://rmths.it.r Moustouli Mohmed
d [ ] d [ ] [ ] cos sin sin sin cos = = = e الحل إذن K = e sin d ; J = sin d ; I = ln d sin cos sin cos K = e e d e e = K sin K = e e cos =... + ln d + d ( ) e d ln d + ; حيث = على cos t t ( J = e sin tdt يمكن اعتبار ) I = e cos tdt ( ) - - - باستعمال المكاملة بالا جزاء أجد الدال الا صلية ل d I d [;] F دالة أصلية ل على [;] -III التكامل الترتيب [ ; ] ' F = d = F F تزايدية على ] ; [ d F [ ; ] - مقارنة تكاملين لتكن ( آانت إذا مجبة على حيث أن ادن ( ) d ( ) [ ; ] F( ) F [ ; ] [ ; ] لتكن إذا آانت مجبة على d g d ) لتكن إذا آانت g دالتين متصلتين على على ] ; [ منه g مثال ن طر I = d + [ ;] + لدينا + إذن I 6 c) خاصيات http://rmths.it.r 4 Moustouli Mohmed
[ ; ] ( ) d [ ; ] [ ; ] لتكن أ- إذا آانت سالبة على d d M ب- لتكن ج- القيمة القصية m القيمة الدنية للدالة على ( ) ( ) m d M المساحة A = d في معلم م.م محصرة بين.( ( m المستطيل الذي بعديه ( ) M [ ; ] ملاحظة إذا آانت مجبة على مساحتي المستطيل الذي بعديه A = d [ ; ] [ ; ] () sup = = [ ;] I ] ; + [ I = + d مثال نعتبر الدالة نبين أن مجبة تناقصية على منه [ ] + اذن ) ( I - القيمة المتسطة لدالة متصلة في قطعة لتكن ; ( ( M القيمة القصية m القيمة الدنية للدالة m إذن d M ( c) = ( ) حيث d تعريف لتكن منه حسب مبرهنة القيمة السطية يجد على الا قل على c في على ] ;.[ ( ) [ ; ] يسمى القيمة المتسطة للدالة µ = d العدد الحقيقي ( c) ( ) d يجد على الا قل c في ] ; [ حيث ملاحظة ) A( ) = ( في معلم م.م هي مساحة d مجبة على ] ; [ المساحة إذا آانت المستطيل الذي بعداه. ( c) http://rmths.it.r 5 Moustouli Mohmed
- القيمة المتسطة للدالة على I في الحالتين التاليتين + 5 + + I = [ ; ] ( ) = ( ; I = [ ; ] ( ) = ( ) e ( + - أطر الدالة على حيث ( ) = rctn [ ;] منه [ ; ] '( ) = قابلة للاشتقاق على[ ; [ + ( ) ادن [ ; ] dt '( t ) dt dt الجاب عن الس ال لدينا [ ; ] '( ) -IV حساب المساحات ) ( الحيز المحصر بين ( oi ; ; j) ] ; [ C منحناها - حساب المساحات الهندسية المستى منسب إلى م.م.م لتكن المستقيمين C محر الا فاصيل : = : = = = A d d A( ) [ ; ] *إذ ا آانت *إذا آان آانت مجبة على سالبة على بحدة قياس المساحات مساحة ) ( هي d مساحة هي مساحة ) ) [ c ; ] [ ; ] = = A d d [ ; ] c من تغير إشارتها على ] ; [ مثلا يجد حيث مجبة على سالبة على [ c ; ] على ( ) [ c ; ] على ( ) [ ; ] ) ( على * إذا آانت [ c ; ] الحيز ه اتحاد c c = + = + = A d d d d d c c C منحناها ) ( الحيز المحصر بين ( oi ; ; j) المستى منسب الى م.م.م [ ; ] لتكن C محر الا فاصيل http://rmths.it.r 6 Moustouli Mohmed
. ( ). ( ) ( ) ( ) ( ) d : = : = ) ( ه المستقيمين مساحة الحيز اصطلاحات العدد المجب بحدة قياس المساحة يسمى المساحة الهندسية للحيز d d مثال العدد الحقيقي يسمى المساحة الجبرية للحيز نعتبر = C محر الا فاصيل المستقيمين ذا المعادلتين حدد مساحة الحيز المحصر بين المنحنى = ; = A= d ( ) ( ) A = d+ d 7 A= u ( u = i j ) ( oi ; ; j) : = : = - مساحة حيز محصر بين منحنيين لتكن g دالتين متصلتين على ; [ ] C g المستقيمين C ه الحيز المحصر بين في م.م.م g d http://rmths.it.r 7 Moustouli Mohmed
( ) = A A A g إذا آان g A = d g d = g d = g d g إذا آانت g آيفما آانت إشارتي با تباع نفس الطريقة نحصل على أن : = : = [ ; ] C g المستقيمين ( ) = A g d g لتكن مساحة الحيز دالتين متصلتين على C المحصر بين ( ) = A g d هي حدة قياس المساحات ملاحظة c g d c g d c ( ) A = g d + g d c jk ( oi ; ; ; ) V- حساب الحجم في الفضاء الفضاء منسب إلى معلم م.م i نفترض أن حدة قياس الحجم هي حجم المكعب الذي طل حرفه - حجم مجسم في الفضاء ليكن S مجسما محصرا بين المستيين المعرفين بالمعادلتين z = z = S t إلى مساحة مجمعة النقط ; ; yz M من S حيث z = t t بالرمز() V إلى حجم مجمعة نرمز ب ) ( النقط من S المحصر بين المستيين z = t ; z = [ ] t h + ; [ ; ] من t ليكن h عددا مجبا حيث http://rmths.it.r 8 Moustouli Mohmed
( + ) V t h V t z = t + h z = t S حجم مجمعة النقط ) ; ; yz M ( من المحصرة بين ه من جهة ثانية هذا الحجم محصر بين حجمي الا سطانتين التي ارتفاعهما h مساحتا قاعدتيهما S( t على التالي ) S( t h) + = V حدة قياس ( ) ( ) ( ) ( ) V( t + h) V ( t) S( t ) S( t + h) h S t V t + h V t h S t + h ( + ) S t S t h إذا افترضنا أن منه h V ( t + h) V ( t) lim = S( t إذا افترضنا أن التطبيق t) t S( متصل على ] ; [ ) h h إذن الدالة t V () t قابلة للاشتقاق على ] ; [ t) t [ ; ] V '( t) = S( أي أن الدالة t V () t دالة أصلية للدالة t) t S( على ] ; [ t t [ ; ] V () t = S( ) بما أن = ) V ( d إذن حجم المجسم S ه V V S d حدة قياس الحجم. z = S z dz = = الفضاء منسب إلى معلم م.م ليكن S مجسما محصرا بين المستيين المعرفين بالمعادلتين z = نرمز t ب() S الى مساحة مجمعة النقط ; ; yz M من S حيث z = t S متصلا على ] ; [ () إذا آان أن التطبيق t S t الحجم. حجم المجسم ه http://rmths.it.r 9 Moustouli Mohmed
( Oi ; ; j) حجم الفلكة التي مرآزها O شعاعها R الحل : نفترض أن الفضاء منسب م.م.م أصله O. الفلكة محصرة بين المستيين المعرفين على التالي بالمعادلتين z = R ; z = R z = t [ R; R] مجمعة النقط ) ; ; yz M ( هي قرص شعاعه من الفلكة حيث R t () = ( ) ( ) S t R t R t R مساحته بما أن التطبيق t R t متصلة على R 4 V = R t dt = R R [ ; ] - حجم مجسم الدران لتكن إذا دار C منحناها في م.م.م ; Oi ( درة آاملة ه يلد مجسما يسمى مجسم الدران C حل المحر ) في هذه الحالة لدينا مجمعة النقط ) ; ; yz M ( من الجسم بحيث = t هي قرص مساحته V = t dt ( OX ) [ ; ] [ ; ] V = t dt, o = S t t التطبيق t) t ( متصلة على إذن حجم المجسم الدراني ه الفضاء منسب إلى م.م.م أصله حجم مجسم الدران الملد عن دران المنحنى C حل المحر ه بحدة قياس الحجم. http://rmths.it.r Moustouli Mohmed
[ ; e] ( ) = ln أنشي نعتبر C حدد حجم مجسم الدران الذي يلده دران المنحنى C حل المحر ) OX ( في المجال http://rmths.it.r Moustouli Mohmed