1

Static stability Applications عند تسليط قوى محورية على االعمدة وعند البدء بزيادة الحمل (load) سوف يحصل فيھا عزم (moment) أي يحصل فيھا تشوه shape) (deflection وعند حصول االنبعاج (buckling) فان الحمل يسمى بالحمل الحرج.(critical load) جميع المسائل التي فيھا stability) (buckling, نضع المعادالت على الشكل المشوه shape) (deformed الذي يحصل في المنظومة. وعندما يكون الھطول قليل فھنالك عالقة بين الشكل المشوه والعزم الذي يحصل. Ex.(1) M = E I y" or y" = M/E I A long slender column of length L with uniform cross section is fixed as shown. The column is compressed by a load F. Determine the possible deflection curves of the column and the load required to product each one. في ھذا الشكل يكون الربط بين العزم والتشوه كما يلي: M = E I y" or y" = M/E I But M(x) = F (-y) y" = -Fy/E I y" + (F/EI) y = 0 m 2 + (F/EI) = 0 m 2 = - (F/EI) m1,2 = ± F/EI i () = +sin yo = 0 = A () =sin yl = 0 = sin كي تساوي صفر اما 0=B وھي ال تفيدنا الن قبلھا 0=A وبالتالي سيصبح 0=y او: sin =0 = n=1, 2, 3, ال تبدأ n من الصفر الن المقدار ال يساوي صفر لذلك نبدأ من الواحد = =, Fc : critical load اول حمل يسبب ھو الذي يؤخذ بنظر = Substitute () =sin (Buckling) االعتبار وھنا ھو F 1 أي عندما تكون 1=n. = in equ. y(x) deflection shapes 24

Natural frequency Ex.(2) Neglect the friction, show that the natural frequency of a system of a weight suspended from a spring of modulus (k) can be taken as: ωo : natural frequency (cycle/second) : displacement at static condition. y" + (k/m) y = 0 m 2 + (k/m) = 0 m 2 = - (k/m) m1,2 = ± y(t) = A cos t + B sin t الزمن الالزم لذبذبة واحدة =2 =2 to ω = cycle/t, ωo = 1/to = from (1).. = = = cm/sec 2 =. النابض يتبع قانون ھوك حيث ان القوة تتناسب مع مقدار F=k لذلك فان ( االستطالة الحاصلة في النابض ) حيث ان Ex.(3) A weight W is suspended from a pulley of radius R as shown in figure permit it to move in the vertical direction only. If a spring of modulus k is inserted in the otherwise inextensible cable, find the natural frequency for the system. k(modulus of the spring) = force/unit length. At static condition: W = Fo M g = k = at t > 0..(1) = W F = M M + k y = 0 Newton's law قانون نيوتن لألجسام المتحركة الكتلة التعجيل = محصلة القوى باتجاه الحركة = 25

The principle of conservation energy: If no energy is lost through friction or other irreversible conversion of energy, then in a mechanical system the summation of the instantaneous kinetic and potential energy of the system must remain constant. Kinetic energy + potential energy = C Most commonly energy forms: + 1- The kinetic energy (KE) of a mass (m) moving with velocity (υ) is given by the formula: KE = (1/2) m υ 2 2- The kinetic energy (KE) of a body of moment of inertia (I) rotating with angular velocity (θ') is given by the formula: KE = (1/2) I (θ') 2 3- The potential energy (PE) stored in a spring of modulus (k) when it is stretched or compressed from an initial length δst to a final length δ is given by the formula: = = ) ( 4- The change in the potential energy of a weight (w) when it is moved from an height (ho) to a final height (h) is given by the formula: PE = w(h-ho) في ھذا المثال ھنالك نوعين من الحركة دورانية) وباإلمكان حل ھذا المثال بطريقتين: باستخدام معادلة الطاقة (انتقالية Principle of conservation of energy باستخدام معادلة نيوتن للعزم Newton's law From static equilibrium: Mo = 0 k δst r = W R or -1-2 فباستخدام الطريقة األولى: k δst (r/r) = W عند تشويش المنظومة فان الثقل سوف ينزل الى األسفل بمقدار (y) عن منسوب الصفر لذلك سوف تحصل خسارة في الطاقة الكامنة (y W-) وكسب طاقة حركية انتقالية للجسم وھي كسب طاقة دورانية للقرص وھي وكذلك حيث ان = ( ) [=, = وان θ' ھي السرعة الدورانية. ] وسيكتسب النابض شغل مقداره لذلك المجموع الجبري لھذه األنواع من الطاقة يجب ان يكون ثابت: -W y + + ( ) + -W y + + ( ) + [ ] = c -W y + ( ) + ( ) + k + = c but y1 = (r/r)y -W y + ( ) + ( ) + k + = c =c [ W+k ] + ( ) + ( ) + =c 2 ( ) + I 2( ) + 2 = وھي معادلة ليست خطية وعند اشتقاقھا بالنسبة الى t (2 ")+ 2 2(2 ")+ 2 [( + )"+]=0 اما 'y سرعة المنظومة 2 =0 0='y او الحد الثاني =0 ولكن وال يمكن ان يساوي صفر لمنظومة متحركة لذلك ( + )"+=0 "+ =0, المقدار االخر يجب ان يساوي صفر. "+ =0 26

= 1 2 + Or by Newton's law: Mo = Io θ" للجسم المتحرك WR k (δst + y1) r = (I + WR k δst r Ig+W "+ =0 "+ + =0 = 1 2 + ) θ" = (I + WR 2 /g) θ" + ( ) + + + = + + + + = "+ W 2l 2 y' gl 2 y"+ =0 [ + W 2 2 gl 2 "+]=0 I+ "+=0 "+ I+ =0 = 1 2I+ نشتق بالنسبة الى الزمن Ex.(4) Neglect friction, determine the natural frequency.. = 12. = 12 + 2 = = or by Newton's law في حالة الحركة الدورانية فان مجموع العزوم حول نقطة الدوران يساوي عزم القصور الذاتي حول نقطة الدوران Mo = Io التعجيل الزاوي. "θ For static equilibrium MA = 0 k δ L W1 (L/2) W2 l = 0 Principle of energy طاقة كامنة حركة دورانية + ( ) + ( ) طاقة حركية للكرة شغل النابض + = c θ": angular acceleration Io:moment of inertia of the mass with respect to A W1 (L/2) + W2 l k (δst + y) L = (I + M l 2 ) θ" W (L/2)+ k δst L k yl = [(I+(W 2/g) 2 ](y"/l) "+=0 "+ =0 = 27

Ex.(5) A weight W 2 is suspended from a pulley of a weight W 1 and radius R, as shown in figure permit it to move in the vertical direction only. Find the frequency of the system. - (W1 + W2) y' + 2 k δst y' + 4 k y y' +(I/R 2 ) y' y" + [(W1 + W2)/g] y' y" = 0 From static condition (W1 + W2)/2 = k δst + ( + ) "+4 =0 "+ 4 + ( + ) =0 = ( ) or I = MR 2 /2 = W1R 2 /2g = = Using Newton's law: MA = 0 (W1 + W2) R k (δst + 2 y) 2 R = [I + (W1/g) R 2 + [(W2/g) R 2 ] y"/r At static condition: fy = 0 W1 + W2 = 2 k δst PEm+p = - (W1 + W2) y = = 2 ) = 2 (4 +4 )=2 +2 = 2 () = 2 = 1 2 Since the principle of conservation energy Potential Energy + Kinetic Energy = constant ( )+ 2 +2 + = Differentiation with respect to time t + + ( + ) "+ " +4=0 4 + ( + ) =0 = ( ) Notes for ex.5 k1 δ1 = k2 δ2 δ1 = (k2/k1) δ2, δ2 = (k1/k2) δ1 δ1 + δ2 = 2y θ = (δ1 - δ2)/2 Notes for ex.1 E I y" = -F y - P x Boundary conditions: yo = 0 y'l = 0 max. deflection y(x=l)=? 28

1- Spring in series. Equivalent spring = /48 = 48/ لذلك يمكن تمثيل المنظومة كنابضين متتاليين حيث ان القوة في النابض والعتب متساوية الن قوة النابض تنتقل نفسھا الى العتب اال ان االزاحة لكل منھما مختلفة عن االخر. عند اخذ قطع في أي مكان فان القوة في ذلك المقطع يجب ان تكون مساوية للقوة المسلطة على الكتلة لذلك فان القوة في كل النوابض متساوية وتساوي القوة المسلطة على الكتلة. 2- Spring in parallel اما االزاحة فان كل نابض يستطيل بمقدار يختلف عن االخر اعتمادا على مقدار k ومجموع كل ھذه االزاحات تمثل االزاحة الكلية. δ = δe = δ1 + δ2 + δ3 +..+ δn but = = + + + + 1 = 1 ھنالك اجسام تتصرف كالنابض فمثال عند ربط كتلة بنابض مع عتب كما مبين في الشكل فان k للنابض ھي مقدار ثابت وتمثل مقدار القوة الالزمة للحصول على إزاحة وحدة واحدة k=f/δ وعند حركة الكتلة فان النابض سيتذبذب وكذلك العتب ستحدث به إزاحة ويتذبذب وممكن تمثيله كنابض وله معامل k b وھي مقدار القوة الالزمة للحصول على إزاحة مقدارھا وحدة واحدة. ومن المعلوم ان العتب يتعرض لھطول نتيجة القوة المركزة في وسطه تحت العالقة التالية PL 3 /48EI لذلك فان: 29 في ھذه المنظومة االزاحة لكل النوابض متساوية اال ان كل نابض يحمل نسبة من القوة حسب معامل النابض. P = P1 + P2 + P3 +.+ Pn ke δ = k1 δ + k2 δ + k3 δ +.+ kn δ = المنظومة المشابھة لھذه الحالة مبينة ادناه حيث ان الھطول في كل من النابض والعتب متساوية اال ان كل منھما يتحمل قوة تختلف عن االخر.