منتديات طموحنا * ملتقى الطلبة و الباحثين *

النسخ

1 منتديات طموحنا * ملتقى الطلبة و الباحثين * wwwtomohacom

2 الكفاءات المستهدفة استعمال التمثيل البياني لتخمين سلوك ونهاية متتالية عددية دراسة سلوك ونهاية متتالية معرفة واستعمال مفهوم متتاليتين متجاورتين حل مشكلات توظف فيها المتتاليات والبرهان بالتراجع - -

3 نشاط ANS في الا لة الحاسبة اللمسة ) ANS تعني Aswer répose إجابة ( منفذ للدخول إلى اللمسة ذاآرة خاصة ) ذاآرة الا جابة ( وتمثل الحفظ لا خر نتيجة في الحساب وبالتالي يمكن استغلالها في توليد متتاليات عددية نستعمل اللمسة ENTER للتخزين في الذاآرة نستعمل اللمسة ANS لاستخراج القيمة المخزنة في الذاآرة ) أولا نجري على الا لة الحاسبة ما يلي ENTER نحجز بذلك الحد الا ول في الذاآرة أي النتيجة التي نتحصل عليها هي ANS ثانيا ENTER فنحصل على الحد الموالي أي ثالثا يكفي أن ننقر على اللمسة ENTER رابعا يكفي أن ننقر على اللمسة ENTER فنحصل على الحد الموالي أي 6 ENTER نحصل على مجموعة الا عداد وبتكرار الضغط على اللمسة الزوجية 6 ) أولا نجري على الا لة الحاسبة ما يلي ENTER نحجز بذلك الحد الا ول في الذاآرة أي النتيجة التي نتحصل عليها هي ANS ثانيا ENTER فنحصل على الحد الموالي أي 5 ثالثا يكفي أن ننقر على اللمسة ENTER رابعا يكفي أن ننقر على اللمسة ENTER فنحصل على الحد الموالي أي 7 ENTER نحصل على مجموعة الا عداد وبتكرار الضغط على اللمسة 7 5 الفردية ) أولا نجري على الا لة الحاسبة ما يلي ENTER نحجز بذلك الحد الا ول في الذاآرة أي النتيجة التي نتحصل عليها هي ANS * ثانيا ENTER فنحصل على الحد الموالي أي ثالثا يكفي أن ننقر على اللمسة ENTER فنحصل على الحد الموالي أي 8 رابعا يكفي أن ننقر على اللمسة ENTER ENTER نحصل على مجموعة الا عداد وبتكرار الضغط على اللمسة 8 - -

4 ( متتالية عددية معرفة بما يلي من أجل آل عدد طبيعي ) باستخدام ا لة حاسبة وض ح الطريقة التي تسمح بالحصول على حدود المتتالية( ( ( باستخدام مجدول Excel أ- احسب حدود المتتالية( ( من أجل[ 6 ; ] ثم ارسم تمثيلها البياني ب- استنتج اتجاه تغي ر المتتالية( ( ج- يظهر أن حدود المتتالية تستقر عند عدد حقيقي l عي ن العدد l د- هل يمكن تخمين نهاية المتتالية( ( الحل ) استخدام ا لة حاسبة الطريقة التي تسمح بالحصول على حدود المتتالية( ( أولا نجري على الا لة الحاسبة ما يلي ENTER نحجز بذلك الحد الا ول في الذاآرة أي ثانيا ENTER * ANS 5 5 أي النتيجة التي نتحصل عليها هي ) ( ثالثا يكفي أن ننقر على اللمسة ENTER فنحصل على الحد الموالي 65 رابعا يكفي أن ننقر على اللمسة ENTER فنحصل على الحد الموالي 5 وبتكرار الضغط على ENTER نحصل على بقية حدود المتتالية - -

5 ي ف ( استخدام مجدول Excel أ- حساب حدود المتتالية( ( من أجل ; 6 و رسم تمثيلها البياني [ ] ب- استنتاج اتجاه تغي ر المتتالية( ( من الشكل السابق أو الجدول المقابل نلاحظ أن المتتالية( ( تناقص ج- يظهر أن حدود المتتالية( ( تستقر عند ابتداء من 6 د- تخمين نهاية المتتالية( ( استعمال المجدول Excel يظهر تجمع آل حدود المتتالية ضمن مجال مرآزه ونصف قطره α حيث يظهر في الشكل أن آل النقط ) (, موجودة ضمن الشريط المحد د بالمستقيمين اللذين معادلتاهما y α و y α وذلك مهما تغي رت قيم العدد الحقيقي α نقول عندي ذ إن المتتالية( ( تقبل نهاية عندما يو ول إلى ونكتب lim في هذه الحالة نقول إن المتتالية( ( متقاربة نحو العدد - -

6 نشاط الغرض من هذا النشاط هو إبراز مفهوم المتتاليتين المتجاورتين نعرف في مجموعة الا عداد الطبيعية متتاليتين عدديتين T و W آما يلي t هي القيمة المقربة بالنقصان للعدد π حيث الجزء العشري يحتوي على رقم w هي القيمة المقربة بالزيادة للعدد π حيث الجزء العشري يحتوي على رقم الا لة الحاسبة تعطي 5965 π من أجل 9 نحصل على الجدول الا تي t t w,,,,5,,,5,6 5,59,6 6,59,59 7,596,597 8,5965,5966 9,5965,59655 لاحظ أن T متزايدة تماما في متناقصة تماما في W lim ( W T ) في هذه الحالة نقول أن المتتاليتين T و W متجاورتان لاحظ أيضا أن w < t < t < < t < < w < < w < w < - 5 -

7 نشاط قمنا بدراسة إحصاي ية ل عدد سكان مدينتين α و β من سنة 998 إلى سنة ولخ صنا النتاي ج في الجدول التالي عدد السكان في سنة المدينة α المدينة β نلاحظ أن عدد سك ان المدينة α ل سنة معطاة هو عدد سك ان السنة التي قبلها مضاف إليه عدد سك ان المدينة β في,5 ل سنة معطاة هو عدد سك ان السنة التي قبلها مضروب ,5,5,5 هي متتالية حسابية هي متتالية هندسية نقول إن متتالية الا عداد و 96 - حد ها الا ول 86 - أساسها r متتالية الا عداد و 96 - حد ها الا ول 8 - أساسها,5 q - 6 -

8 α و β لسنتي 5 طريقة الحساب نقترح حساب عدد السكان في المدينتين و 8 المدينة α ( )r السنة 998 هي السنة التي رتبتها السنة 5 هي السنة التي رتبتها 8 المدينة β q السنة 998 هي السنة التي رتبتها السنة 5 هي السنة التي رتبتها 8 8 8, سكان المدينة في سنة 5 يصبح 57 نسمة السنة 8 هي السنة التي رتبتها 8,5 سكان المدينة α في سنة 5 يصبح 86 نسمة السنة 8 هي السنة التي رتبتها سكان المدينة α في سنة 8 يصبح 6 نسمة β β سكان المدينة في سنة يصبح نسمة 8 التحقق من عدد السكان سنة 5 المدينة α عدد السكان في سنة

9 المدينة β عدد السكان في سنة ,5,5,5,5-8 - و ) ( باستعمال المجدول Excel توليد المتتاليتين( ( أولا توليد المتتالية ( العمود B - في الخلية B اآتب» الرتبة «- في الخلية B احجز» «- في الخلية B احجز» B «ثم اضغط على Etrée - حد د الخلية B بالنقر عليها - ضع المشيرة في الزاوية الي منى بمكان السحب ليصبح شكلها - اسحب إلى الا سفل من مكان السحب حتى السطر - عندما نترك زر الفا رة تظهر آل النتاي ج على الجدول

10 ( العمود C - في الخلية C اآتب» U «- في الخلية C احجز» 86 «- في الخلية C احجز» C «ثم اضغط على Etrée - حد د الخلية C بالنقر عليها - ضع المشيرة في الزاوية الي منى بمكان السحب ليصبح شكلها - اسحب إلى الا سفل من مكان السحب حتى السطر - عندما نترك زر الفا رة تظهر آل النتاي ج على الجدول ثانيا توليد المتتالية ( العمود D - في الخلية D اآتب» الرتبة «- في الخلية D احجز» «- في الخلية D احجز» D «ثم اضغط على Etrée - حد د الخلية D بالنقر عليها - ضع المشيرة في الزاوية الي منى بمكان السحب ليصبح شكلها - اسحب إلى الا سفل من مكان السحب حتى السطر - عندما نترك زر الفا رة تظهر آل النتاي ج على الجدول ( العمود E - في الخلية E اآتب» V «- في الخلية E احجز» 8 «- في الخلية E احجز» 5 * E «ثم اضغط على Etrée - حد د الخلية E بالنقر عليها - ضع المشيرة في الزاوية الي منى بمكان السحب ليصبح شكلها - اسحب إلى الا سفل من مكان السحب حتى السطر - عندما نترك زر الفا رة تظهر آل النتاي ج على الجدول - 9 -

11 ملاحظة باستعمال Excel وطريقة السحب يمكننا معرفة عدد السكان في آل من المدينتين α و β في سنة أو في سنة أو في أي ة سنة أخرى - -

12 اتجاه تغي ر متتالية لتكن( )متتالية معرفة في من إذا وفقط إذا آان من أجل آل متزايدة على ( ) من إذا وفقط إذا آان من أجل آل متناقصة على ( ) من إذا وفقط إذا آان من أجل آل ثابتة على ( ) طرق دراسة اتجاه تغي ر متتالية عددية لدراسة اتجاه تغي ر متتالية( ( يمكن إما دراسة إشارة الفرق - - f إما مقارنة بالعدد ) بالنسبة إلى متتالية حد ها العام موجب تماما ( إما آتابة ودراسة اتجاه تغي ر الدالة f على المجال [ ; [ تمرين محلول ادرس اتجاه تغي ر المتتاليات المعرفة بما يلي من ومن أجل آل r من أجل آل من w من أجل آل من 5 5 الحل لدراسة اتجاه تغي ر المتتالية( ( نقوم بحساب الفرق ( من أجل آل من ) إذن ) ( متتالية متزايدة على بما أن الحد العام للمتتالية( ( موجب تماما من أجل آل من فلدراسة اتجاه تغي رها يكفي حساب حاصل القسمة ومقارنته بالعدد وبما أن لدينا على )متناقصة ) إذن نستنتج أنه من أجل آل من ( x) x 5x f الدالة f قابلة للاشتقاق على r ومن أجل 5 نضع x 8 ( x) x ( x) x x f > نستنتج أنه من أجل آل f 5 آل x x

13 ( w ) ( ) f متزايدة تماما على r إذن من < ومنه < f وبالتالي الدالة (من أجل آل متزايدة تماما على (w w أي f < نهاية متتالية تعريف نقول إن المتتالية( ( متقاربة نحو العدد الحقيقي l أو إنها تقبل l نهاية لها عندما يو ول إلى إذا آان من أجل آل مجال مفتوح يشمل l فا نه يشمل أيضا آل حدود المتتالية ابتداء من رتبة معينة ونكتب l lim ملاحظات لا نتكلم عن تقارب المتتالية( ( إلا إذا آانت نهايتها محدودة (عدد حقيقي ثابت) أم ا إذا آانت نهايتها غير محدودة ) أو ( أو لا تقبل نهاية ففي هذه الحالة نقول إن المتتالية( ( متباعدة القول إن المتتالية( ( متقاربة نحو العدد الحقيقي l يعود بنا إلى القول أن آل مجال مفتوح يشمل l فا نه يشمل أيضا آل حدود المتتالية ماعدا عدد محدد من بين حدودها cos أمثلة 8 6 ) ( متباعدة lim ( w ) w لا تقبل نهاية w متباعدة - ) )متقاربة نحو 5 lim

14 - - نظرية الحد من الا سفل و إذا آان ابتداء من رتبة معي نة فا ن lim نظرية الحد من الا على ) ( و إذا آان ابتداء من رتبة معي نة فا ن lim نظرية الحصر ) ( ) ( و إذا آان ابتداء من رتبة معي نة w فا ن lim l متتاليتان عدديتان وآانت متتاليتان عدديتان وآانت ثلاث متتاليات عددية l عدد حقيقي lim lim w l وآانت lim lim w تمرين محلول si متتالية معرفة في آما يلي احسب نهاية المتتالية( ( الحل نعلم أنه من أجل آل عدد طبيعي فا ن si بضرب الا طراف الثلاثة بالعدد نحصل على si وبا ضافة العدد إلى الا طراف الثلاثة نجد 5 si si 5 وبقسمة جميع الحدود على العدد ينتج lim وحسب نظرية الحصر نستنتج أن lim 5 وبما أن lim si lim أي إذن المتتالية متقاربة نحو العدد

15 نقول عن متتالية إنها محدودة من الا على بالعدد الحقيقي M إذا وفقط إذا آان من أجل آل عدد طبيعي M نقول عن متتالية( ( إنها محدودة من الا سفل بالعدد الحقيقي m إذا وفقط إذا آان من أجل آل عدد طبيعي m نقول عن متتالية إنها محدودة إذا وفقط إذا آانت محدودة من الا على ومن الا سفل آل متتالية محدودة من الا على ومتزايدة أو محدودة من الا سفل ومتناقصة هي متتالية متقاربة si مثال ( )متتالية عددية معرفة من أجل عدد طبيعي آما يلي نعلم أنه من أجل آل عدد طبيعي si بضرب الا طراف الثلاثة بالعدد نحصل على si با ضافة العدد إلى الا طراف الثلاثة ينتج si si أي بقسمة آل الا طراف على العدد نجد إذن المتتالية ) ( محدودة من الا على بالعدد ومن الا سفل بالعدد في هذه الحالة نقول إن المتتالية ) ( محدودة تمرين محلول متتالية عددية معرفة بحد ها الا ول وبعلاقة التراجع من أجل آل عدد طبيعي برهن بالتراجع أنه من أجل عدد طبيعي فا ن الخاصية p الحل نسمي التحقق من صحة p p وهي محققة إذن صحيحة أي p لدينا نفرض أن صحيحة أي صحيحة أي p ونبرهن أن أي لدينا ومنه وبما أن الدالة الجذر التربيعي متزايدة تماما على المجال ] ; [ فا ن ومنه أي المتتالية المحدودة - -

16 p ومنه صحيحة إذن من أجل آل عدد طبيعي فا ن وبالتالي المتتالية( )محدودة من الا سفل بالعدد ومحدودة من الا على بالعدد نستنتج أن المتتالية ) )محدودة تمرين محلول ) ( متتالية عددية معرفة بحد ها الا ول وبعلاقة التراجع من أجل آل عدد طبيعي برهن بالتراجع أنه من أجل عدد طبيعي > استنتج اتجاه تغي ر المتتالية ) ( بي ن أن المتتالية ) ( متقاربة ثم احسب نهايتها الحل البرهان بالتراجع أنه من أجل عدد طبيعي > الخاصية > p نسمي التحقق من صحة p لدينا > أي > وهي محققة إذن p صحيحة > صحيحة أي p نفرض أن > صحيحة أي p ونبرهن أن ) التربيع ثم إضافة ( من فرضية التراجع > نستنتج أن > > أي ومن > و > نستنتج أن > p صحيحة ومنه إذن من أجل آل عدد طبيعي فا ن > أي أن محدودة من الا سفل استنتاج اتجاه تغي ر المتتالية ( ) لدينا و < وبما أن > و > أي < ( ) فا ن < - 5 -

17 نستنتج أن المتتالية( )متناقصة تماما على بما أن المتتالية ) ( متناقصة و محدودة من الا سفل فهي متقاربة حساب نهاية المتتالية ) ( نفرض أن lim وبالتالي تكون lim l l l l وبحل هذه المعادلة نجد l نستنتج أن من l lim إذن ) )متقاربة تمرين محلول نعتبر المتتالية العددية( )المعرفة بما يلي من أجل آل عدد طبيعي ( ) احسب و أثبت أن المتتالية ) ( متزايدة أثبت أن المتتالية ) )محدودة من الا على بالعدد استنتج أن ثم اوجد نهايتها الحل 89 5 حساب و و 8 8 ) ( متزايدة ( ) ( ) إثبات أن المتتالية من أجل آل من ( ) فا ن ( ) وبما أنه من أجل آل من إذن المتتالية ) ( متزايدة على إثبات أن المتتالية ) )محدودة من الا على بالعدد تذآير نقول عن متتالية ) )إنها محدودة من الا على بالعدد الحقيقي M إذا وفقط إذا آان من أجل آل عدد طبيعي M البرهان بالتراجع أنه من أجل آل عدد طبيعي

18 p نسمي الخاصية التحقق من صحة p وهي محققة إذن p صحيحة لدينا أي صحيحة أي p p صحيحة أي ونبرهن أن نفرض أن لدينا ) من فرضية التراجع ( وبما أن الدالة مربع متزايدة تماما على r نستنتج أن وبعد إضافة العدد إلى الطرفين ثم قسمة الطرفين على أي ( ) نحصل على إذن من أجل آل من ) هذا يعني أن ) )محدودة من الا على ( استنتاج أن ) )متقاربة تذآير آل متتالية محدودة من الا على ومتزايدة أو محدودة من الا سفل ومتناقصة هي متتالية متقاربة من السو ال وجدنا أن المتتالية( ( متزايدة ومن السو ال وجدنا أن المتتالية ) ( محدودة من الا على نستنتج أن المتتالية ) )متقاربة حساب lim المتتالية( )متقاربة نسمي l نهايتها r مستمرة على f ( x) ( x ( وبما أن الدالة ) بما أن ( l وبالتالي l l l ومنه ( l ) فا ن إذن lim,,,8,6,, l,,,6,8,, - 7 -

19 نقول عن متتاليتين إنهما متجاورتان إذا وفقط إذا آانت إحداهما متزايدة والا خرى متناقصة والفرق بينهما يو ول إلى الصفر بتعبير ا خر نقول عن متتاليتين و إنهما متجاورتان إذا تحقق ما يلي من * ب ( ) ( ) ( ) ) ( متتالية متزايدة ( ) متتالية متناقصة lim مثال المتتاليتان ) ( و و متجاورتان المعرفتان من أجل آل ( ) و لتكن ) ( متتاليتين معرفتين في ( ) ( ) إذا آانت و متجاورتين تكونان متقاربتين وتكون لهما نفس النهاية وبالا ضافة إلى ذلك إذا آانت هذه النهاية هي العدد الحقيقي l يكون l من أجل آل من l توضيح r l * تمرين محلول متتاليتان عدديتان معرفتان من أجل آل ( و( ( ) و أثبت أن المتتاليتين( ( و( ( متجاورتان من آما يلي تعريف خواص المتتاليتان الدرس المتجاورتان

20 الحل إثبات أن المتتاليتين( ( و( ( متجاورتان و لدينا وبما أن من أجل آل من * ومنه ) ( > ) ( متتالية متزايدة إذن فا ن > و ولدينا lim و( ( متجاورتان ( ) lim أ- برهن أن متتالية هندسية يطلب تعيين أساسها وحد ها الا ول ب- اآتب عبارة w بدلالة ثم احسب نهاية المتتالية( ( w ج- اآتب آلا من و بدلالة w د- استنتج أن المتتاليتين( ( و( ( متجاورتان ) )متتالية متناقصة ولدينا إذن لا ن الشروط الثلاثة محققة نستنتج أن المتتاليتين( ( المعرفت ني ومن أجل آل w ومنه ( ) ومنه ( ) فا ن < وبما أن من أجل آل من * ( ) < إذن ب و و 5 ب w و( ( خلاصة تمرين محلول نعتبر المتتاليتين( ( عدد طبيعي احسب و من أجل آل عدد طبيعي نعر ف المتتالية w

21 t s - - المعرفة من أجل آل من ب نعتبر المتتالية برهن أن ) ( t متتالية ثابتة حيث احسب بدلالة المجموع الحل حساب و أ- البرهان أن ) ( w متتالية هندسية تذآير تكون المتتالية( ( w هندسية إذا وفقط إذا وجد عدد حقيقي q بحيث يكون من أجل آل عدد طبيعي w q w ب- إثبات أن( ( w متتالية هندسية w من أجل آل من 5 5( ) ( ) 5 5 ( ) w w ومنه 5 5 w إذن ) w )متتالية هندسية أساسها q و حد ها الا ول 5 w w ب- آتابة عبارة w بدلالة q 5 حساب نهاية المتتالية ) ( w lim w نستنتج أن lim q نعلم أنه إذا آان < q < فا ن ( ) w s w t ج- آتابة إذن بدلالة w

22 و( ( متجاورتان - - w آتابة إذن بدلالة 5 w د- استنتاج أن المتتاليتين( ( نستنتج أن المتتالية( )متزايدة نستنتج أن المتتالية( )متناقصة lim [ t ( ) lim أي w من و w 5 w من و w من السو ال الفرع ب وجدنا أن 5 lim w 5 ( ) و )متناقصة ) ) )متزايدة إذن نستنتج أن t t ( t t ( ) 5 من 5 5 المتتاليتين( ( و( ( متجاورتان البرهان أن ) ( t متتالية ثابتة تذآير ] المتتالية( )ثابتة [ يكافي ] من أجل آل من أجل آل من ( ) 5 8 إذن ) ( t متتالية ثابتة حساب المجموع s بدلالة w t نستنتج أن و w من t t وبما أن ) ( t متتالية ثابتة فا ن w ) ومن السو ال الفرع ب وجدنا أن 5 ) w )متتالية هندسية 5 5 w ( ) ( ) t

23 s w t w w ( w w w ) ( ) w w وبالتالي وعليه فا ن 5 [ ] 69 5 s إذن - -

24 المتتالية الحسابية والمتتالية الهندسية المتتالية المتتالية الحسابية التعريف الحد العام ننتقل من حد إلى الحد الذي يليه با ضافة نفس العدد الثابت ) الا ساس ( r p ( - p) r المتتالية الهندسية ننتقل من حد إلى الحد الذي يليه بالضرب بنفس العدد الثابت ) الا ساس ( q p q p s s s a c p q q p b q p q q q q q s s s r ( )r a c b p p p p ( ) ( ) خاصية ثلاثة حدود متتابعة المجموع وحد ها الا ول نهاية متتالية هندسية إذا آانت( ( متتالية هندسية أساسها q فا ن حد ها العام - -

25 من ( ( - - q ي عطى بالعلاقة ومنه النتاي ج التالية lim q lim q تكون lim إذا آان > lim إذا آان < الحالة الا ولى إذا آان > q ومنه تكون ) المتتالية( ( الحالة الثانية إذا آان q ومنه متقاربة نحو العدد الحالة الثالثة إذا آان < q < تكون lim ومنه ) lim المتتالية( ( متقاربة نحو العدد ( الحالة الرابعة إذا آان q فا ن ) ( لا تقبل نهاية ) المتتالية( ( متباعدة ( نتيجة q تونس الشعبة تسيير واقتصاد المتتالية( ( ) تمرين محلول بكالوريا 6 لتكن المتتالية( )المعرفة على بما يلي أ- برهن بالتراجع أنه من أجل آل عدد طبيعي < ب- برهن أن المتتالية ) ( متناقصة ج - استنتج أن المتتالية ) )متقاربة نعتبر المتتالية( )المعرفة على آما يلي أ- برهن أن متتالية حسابية يطلب تعيين أساسها وحد ها الا ول من أجل آل ) بدلالة ب- اآتب عبارة ج- احسب واستنتج أن متباعدة ( ] ; ] lim تكون متتالية هندسية متقاربة إذا وفقط إذا آان أساسها ينتمي إلى المجال lim

26 الحل أ- البرهان بالتراجع أنه من أجل آل عدد طبيعي < الخاصية > p نسمي التحقق من صحة p لدينا > أي > وهي محققة إذن صحيحة p > صحيحة أي p p صحيحة أي > ونبرهن أن ) من فرضية التراجع ( وبما أن الدالة مقلوب دالة متناقصة نستنتج > وبضرب الطرفين في العدد ينتج نفرض أن < لدينا > أن وبا ضافة العدد إلى الطرفين نحصل على > p صحيحة ومنه إذن من أجل آل عدد طبيعي > ب- البرهان أن المتتالية متناقصة أي > ( ) > ( ) لدينا ومن السو ال السابق وجدنا أنه من أجل آل من < ومنه أي < ( ) < وبالتالي نستنتج أن < إذن المتتالية متناقصة تماما على ج - استنتاج أن المتتالية ) )متقاربة تذآير آل متتالية محدودة من الا على ومتزايدة أو محدودة من الا سفل ومتناقصة هي متتالية متقاربة من السو ال الفرع - أ- وجدنا أنه من أجل آل من < أي أن المتتالية ) ( محدودة من الا سفل ومن السو ال الفرع - ب- وجدنا أن المتتالية ) ( متناقصة نستنتج أن المتتالية ) ( متقاربة أ- البرهان أن ) )متتالية حسابية

27 r تذآير تكون متتالية حسابية إذا وفقط إذا وجد عدد حقيقي من أجل آل عدد طبيعي r بحيث لدينا وبتعويض ب ثم التبسيط وتوحيد المقامات نجد إذن ) ( متتالية حسابية أساسها r وحد ها الا ول ب- آتابة عبارة بدلالة r استنتاج أن لدينا ومنه وبالتالي وبا ضافة العدد إلى الطرفين نجد وبتعويض ب ينتج lim ( lim إذن ج- حساب بتطبيق قواعد حساب النهايات نجد تمرين محلول ) بكالوريا أجنبية متتالية عددية معرفة بما يلي من أجل آل عدد طبيعي احسب و هل المتتالية ) ( حسابية هندسية نضع من أجل آل عدد طبيعي 6 أ- احسب و

28 ب- أثبت أن( ( متتالية هندسية يطلب تعيين أساسها ج- اآتب عبارة بدلالة ثم استنتج عبارة بدلالة د- ما هي نهاية المتتالية( ( احسب بدلالة المجموع s حيث الحل حساب و 7 و 8 ( المتتالية ) ( غير حسابية ) مثال مضاد ( المتتالية ) ( غير هندسية ) مثال مضاد s أ- حساب و ب- إثبات أن( ( متتالية هندسية تذآير تكون ) )متتالية هندسية إذا وفقط إذا وجد عدد حقيقي q بحيث من أجل آل عدد طبيعي q ( ) 6 ( ) من أجل آل من 6 ( 6) إذن ) ( متتالية هندسية أساسها q و حد ها الا ول 7 q 7 ج- آتابة بدلالة استنتاج بدلالة

29 s وبالتالي lim w 6 w 7 lim lim q ( 6) w 6 lim د- حساب تذآير إذا آان < q < فا ن و lim 7 لدينا إذن lim s لدينا حساب المجموع نجد وبوضع 6 q متتالية حسابية أساسها ونعلم أن ) ( ويمكن التحقق أن متتالية هندسية أساسها و حد ها الا ول r و حد ها الا ول ( ) ( w w w ) q q q ( w ) ( w ) ( w ) ( w ) ( w w ) 7 w q 7 s ( w ) ( 6 6) ( )( 6) ( 6) ومنه حيث و إذن - 8 -

30 ( تمرين ) بكالوريا متتالية عددية معرفة آما يلي من أجل آل عدد طبيعي s 7 تكنولوجيا 7 و متتالية عددية معرفة بالعلاقة و ) )متتالية هندسية أساسها s احسب أثبت أن ثم استنتج عبارة q احسب المجموع حيث عب ر عن بدلالة s مستعينا بالعبارة الحد العام بدلالة احسب نهاية لما يو ول إلى الحل و حساب و 6 متتالية هندسية إذا وفقط إذا وجد عدد حقيقي ) )متتالية هندسية أساسها إثبات أن تذآير تكون من أجل آل عدد طبيعي نستنتج أن بحيث s q q q s باستعمال العبارة بكالوريات محلولة نجد 5 عبارة بدلالة

31 فا ن lim q < q < lim حساب نعلم أنه إذا آان lim وبالتالي lim إذن 5 التمرين ) 7 ( Bac Réio ji ليكن a عددا حقيقيا حيث < a < نعتبر المتتالية ) )المعرفة بحد ها الا ول a ومن أجل آل عدد طبيعي ادرس رتابة المتتالية x أ- لتكن h الدالة المعرفة على r ب x h x ادرس اتجاه تغي ر الدالة h استنتج أنه من أجل آل x من المجال ] ; ] العدد x) h( ينتمي أيضا إلى المجال [ ; ] < ب- برهن أنه من أجل آل عدد طبيعي < ادرس تقارب المتتالية ) ( عي ن إن وجدت نهايتها الحل دراسة رتابة المتتالية ) ( لدراسة اتجاه تغي ر المتتالية( ( نقوم بحساب الفرق ومنه لدينا إذن المتتالية ) ( متزايدة وبالتالي فهي رتيبة أ- دراسة اتجاه تغي ر الدالة h الدالة h دالة معرفة وقابلة للاشتقاق على r لا نها دالة آثير حدود و دالتها المشتقة x h ( x) [ ومتناقصة على المجال وبالتالي فا ن الدالة h متزايدة على المجال ] ; ; [ وتقبل نهاية صغرى من أجل x ] الاستنتاج ; ] فا ن بما أن الدالة h متناقصة على المجال ] h ( x) < أي h ( ) h( x) < h( ) - -

32 ] ; [ x h [ فا ن وبما أن الدالة h متزايدة على المجال ] ; h( x) ( h أي < ) h( x) < h ( x) < - - وبالتالي من أجل آل x من [ ; ] وبما أن فا ن [ نستنتج أنه من أجل آل ; من فا ن ] [ ; [ ] ; [ العدد h x ينتمي أيضا إلى المجال < ب- البرهان بالتراجع أنه من أجل آل عدد طبيعي < < p الخاصية < نسمي التحقق من صحة p < أي < a < وهي محققة إذن صحيحة لدينا < p صحيحة أي < < p p نفرض أن ونبرهن أن صحيحة أي < < < ) ضرب الا طراف بالعدد السالب ( < ومنه < لدينا < < < ) إضافة العدد لجميع الا طراف ( ولدينا < < ومنه ( ) نستنتج أن < < وبالتالي < < p صحيحة أي < < ومنه إذن من أجل آل عدد طبيعي فا ن < < تقارب المتتالية تذآير آل متتالية محدودة من الا على ومتزايدة أو محدودة من الا سفل ومتناقصة هي متتالية متقاربة من السو ال وجدنا أن المتتالية( )متزايدة على < ومن السو ال الفرع - ب - وجدنا أنه من أجل آل عدد طبيعي < أي أن المتتالية ) )محدودة من الا على نستنتج أن المتتالية( )متقاربة نحو نهاية l lim lim l فا ن l إيجاد العدد l بما أن المتتالية متقاربة نحو نهاية

33 l l l l - - من العلاقة نستنتج أن ومنه إذن lim تمرين ) بكالوريا 6 علوم دقيقة ( المتتالية العددية( )معرفة بحد ها الا ول وبعلاقة التراجع الا تية 7 من أجل آل عدد طبيعي 8 عي ن قيم التي من أجلها تكون المتتالية( ( ثابتة نفرض أن أ- احسب ب- برهن أنه من أجل آل عدد طبيعي فا ن > ادرس اتجاه تغي ر المتتالية( ( لتكن المتتالية العددية( ( المعرفة آما يلي من أجل آل عدد طبيعي أ- أثبت أن ) ( متتالية هندسية يطلب تعيين أساسها وحد ها الا ول ب- عب ر عن بدلالة ثم احسب نهاية المتتالية( ( لم ا يو ول إلى ج- احسب آلا من s و π حيث π و s الحل تعيين قيم التي من أجلها تكون المتتالية( ( ثابتة تذآير ] المتتالية( ( ثابتة [ يكافي ] من أجل آل من أي أنه مهما يكن العدد الطبيعي فا ن 7 { ; } نجد بحل المعادلة أ- حساب و 8 8 ب- البرهان بالتراجع أنه من أجل آل عدد طبيعي > نسمي الخاصية < [ p

34 p - - p التحقق من صحة أي < وهي محققة إذن لدينا نفرض أن صحيحة أي < صحيحة < p p < صحيحة أي ونبرهن أن 7 ) ضرب الحدود بالعدد ( 7 7 ومنه 7 < لدينا () 9 < 7 وبا ضافة العدد إلى الحدود الثلاثة نجد ومنه 9 < 8 8 ) إضافة العدد ( 8 من جهة أخرى < () 9 < 8 ) )محدودة وبما أن الدالة مقلوب متناقصة تماما على * r فا ن من () و () نستنتج أن < p صحيحة ومنه إذن من أجل آل عدد طبيعي < من أجل آل من < يعني أن المتتالية ملاحظة للبرهان بالتراجع أنه من أجل آل عدد طبيعي > 8 يمكن برهان ذلك على مرحلتين المرحلة الا ولى البرهان بالتراجع أنه من أجل آل عدد طبيعي المرحلة الثانية البرهان بالتراجع أنه من أجل آل عدد طبيعي > دراسة اتجاه تغي ر المتتالية( ( من أجل آل من 8 8 ( ) ( )( ) 8 8 من السو ال السابق وجدنا أنه من أجل آل عدد طبيعي > نستنتج أن < > و > 8 ( )( ) أي > وبالتالي > 8

35 إذن المتتالية( ( متزايدة تماما على أ- إثبات أن ) ( متتالية هندسية تذآير تكون ) )متتالية هندسية إذا وفقط إذا وجد عدد حقيقي q بحيث من أجل آل عدد طبيعي q 8 8 q من ) ( متتالية هندسية أساسها من أجل آل إذن وحد ها الا ول ب- آتابة بدلالة q بما أن ) )متتالية هندسية فا ن عبارة حد ها العام هي ( ) وبالتالي ونعلم أن ( ) حساب lim ( ) lim من السو ال السابق وجدنا أن نستنتج أن ( ) يمكن استعمال النتيجة التالية نهاية دالة ناطقة عند أو هي نهاية حاصل قسمة حد ها الا على درجة من البسط على حد ها الا على درجة من المقام s q q s ج- حساب المجموع π ( ) حساب الجداء - -

36 π ( )( q q ) ( q) ( ) ( ) q ( ) تمرين ) Maritaie ( Bac 6 7 معرفة بما يلي )متتالية ) من أجل آل عدد طبيعي 5 6 احسب و لتكن( )المتتالية المعرفة من أجل آل عدد طبيعي ب أثبت أن( ( متتالية هندسية أ- اآتب عبارة بدلالة ثم استنتج عبارة بدلالة s ب- احسب بدلالة المجموع s حيث احسب lim و lim s 5 s حساب و إثبات أن( ( متتالية هندسية الحل تذآير تكون متتالية هندسية إذا وفقط إذا وجد عدد حقيقي q بحيث من أجل آل عدد طبيعي q ( ) 5 نستنتج أن من المساواة 6 5 ( ) ( ) وبالتالي إذن ) ( متتالية هندسية أساسها q وحد ها الا ول 5 5 q 5 5 ( 5 ) 5 أ- آتابة عبارة بدلالة استنتاج عبارة بدلالة ب- حساب s بدلالة ( ) ( ) q q

37 لدينا lim lim s 5 s ( ) إذن 5 حساب lim فا ن lim q نعلم أنه إذا آان < q < حساب وعليه فا ن lim 5 lim lim ( ) s بما أن و فا ن تمرين ) 5 6 ( Bac Réio Ji x f ( x) لتكن f الدالة المعرفة على المجال [ ; ] آما يلي l x الجزء الا ول ادرس تغي رات الدالة f لتكن( )المتتالية المعرفة ب 5 و ) f ( من أجل آل من أ- ارسم المنحني (c )الممثل للدالة f والمستقيم (D )الذي معادلته y x ثم أنشي النقطتين M و M اللتين فاصلتيهما و على الترتيب ب- اقترح تخمينا حول سلوك المتتالية ) ( ج- برهن أنه من أجل آل عدد طبيعي e د- أثبت أن المتتالية ) ( تتقارب نحو عدد حقيقي L من المجال [ ; e [ الجزء الثاني نذآر أن الدالة f مستمرة على المجال [ ; ] بدراسة نهاية المتتالية )) ( f ( أثبت أن f ( L) L استنتج قيمة L الحل دراسة تغي رات الدالة f lim f ( x) و lim f ( x) النهايات x x >

38 x f x f ( x) f ( x) l x x x l x من إشارة البسط l x f x x e ( l x) ( l x) إشارة x) f ( ( e) ومنه e x e يكافي ; e ] x > e أي [ يكافي ; ] x < e أي [ يكافي e - e المشتقة إشارة المشتقة f ( x) f ( x) > f ( x) < جدول التغيرات أ- الرسم ( c ) ( D) M M M L ب- اقتراح تخمين حول سلوك المتتالية يمكن التخمين أن المتتالية ) ( متناقصة ومتقاربة نحو فاصلة نقطة تقاطع المنحني c) ( والمستقيم D) ( - 7 -

39 ج- البرهان بالتراجع أنه من أجل آل عدد طبيعي e e الخاصية p نسمي التحقق من صحة p لدينا e أي e 5 وهي محققة إذن p صحيحة e صحيحة أي p p صحيحة أي e ونبرهن أن نفرض أن لدينا e ) من فرضية التراجع ( وبما أن الدالة دالة f متزايدة على المجال f ( e) e و f ( ) لكن f ( ) f ( e) [ ; e [ نستنتج أن p صحيحة وعليه فا ن e ومنه إذن من أجل آل من ) e هذا يعني أن( )محدودة من الا سفل ( د- إثبات أن المتتالية ) ( تتقارب نحو عدد حقيقي L من المجال [ ; e [ تذآير آل متتالية محدودة من الا سفل ومتناقصة هي متتالية متقاربة من السو ال الفرع - ج - وجدنا أن المتتالية( )محدودة من الا سفل وبالتالي لكي تكون متقاربة يكفي أن نبرهن أنها متناقصة البرهان أن المتتالية( ( متناقصة ( l ) لدينا l l من السو ال الفرع - ج - وجدنا أنه من أجل آل من e ( l ) نستنتج أن l وبالتالي فا ن l و l ومنه المتتالية( ( متناقصة أي خلاصة المتتالية( ( متناقصة ومحدودة من الا سفل بالعدد e إذن فهي متقاربة نحو عدد حقيقي L حيث L e الجزء الثاني إثبات أن f ( L) L الدالة f مستمرة على المجال [ ; ] والمتتالية ) )متقاربة نحو L نستنتج أن المتتالية )) ( f ( متقاربة نحو L) f ( وهذا يعني أن المتتالية( ( متقاربة نحو L) f ( لكن المتتاليتين ) ( ) ( متقاربتان نحو نفس النهاية إذن L f ( L) استنتاج قيمة L - 8 -

40 ( x) x f L e باعتماد نتيجة السو ال السابق وبالا ضافة إلى ذلك فا ن المعادلة إلى x l ومنه e x إذن نهاية المتتالية( )هي تو ول تمرين ) 6 5 ( Bac Atilles Gyae septembre ) ( متتالية عددية معرفة بحد ها الا ول وبعلاقة التراجع التالية من أجل آل عدد طبيعي أ- برهن أنه من أجل آل ب- استنتج أنه من أجل آل ج- استنتج نهاية المتتالية ) ( من من أجل آل 8 نعر ف المتتالية( )آما يلي أ- برهن أن ) )متتالية هندسية يطلب تعيين أساسها و حد ها الا ول 7 ب- برهن أنه من أجل آل عدد طبيعي 6 x حيث ) x )متتالية y ج- تحقق أنه من أجل آل عدد طبيعي هندسية و ) y )متتالية حسابية يطلب تعيين الا ساس والحد الا ول لكل منهما s د- استنتج بدلالة عبارة المجموع الحل أ- البرهان بالتراجع أنه من أجل آل الخاصية p نسمي التحقق من صحة p p وهي محققة إذن صحيحة لدينا أي صحيحة أي p p صحيحة أي ونبرهن أن نفرض أن () نجد لدينا وبضرب الطرفين في العدد ولدينا وبا ضافة العدد إلى الطرفين نجد () بجمع () و () طرف لطرف نحصل على p صحيحة ومنه نستنتج أن ) العلاقة متعدية ( إذن من أجل آل - 9 -

41 ب- استنتاج أنه من أجل آل من أجل آل فا ن وحسب السابق نستنتج أن وبا ضافة للطرفين نجد وبضرب الطرفين في العدد [ ] أي ينتج نستنتج أن ج- استنتاج نهاية المتتالية ) ( من السو ال السابق وجدنا أنه من أجل آل فا ن وبما أن lim نستنتج أن lim ( ) أ- البرهان أن متتالية هندسية تذآير تكون متتالية هندسية إذا وفقط إذا وجد عدد حقيقي q بحيث من أجل آل عدد طبيعي q ( ) ( 8 ) 8 لدينا ( 8 ) إذن ) ( متتالية هندسية أساسها q وحد ها الا ول ب- البرهان أنه من أجل آل عدد طبيعي q بما أن ) )متتالية هندسية أساسها وحد ها الا ول فا ن حد ها العام هو 8 q نستنتج أن 6 8 من العلاقة 7 إذن 6 8 ومنه 6 x ج- التحقق أنه من أجل آل عدد طبيعي فا ن y 7 حيث 6 x y من أجل آل عدد طبيعي - -

42 x 7 y 6 وحد ها الا ول q r ) x )متتالية هندسية أساسها y متتالية حسابية أساسها وحد ها الا ول s x y 7 6 د- استنتج s بدلالة المجموع sهو مجموع مجموعين ) مجموع حدود مه تمرين ) 7 بكالوريا شعبة التكنولوجيا ( نعتبر متتالية عددية ( ) معرفة آما يلي من أجل آل عدد طبيعي برهن بالتراجع أنه من أجل آل عدد طبيعي مجموع حدود مح ( m أ- أثبت أنه يوجد عدد طبيعي تكون من أجله المتتالية المعرفة متتالية هندسية يطلب تعيين أساسها وحد ها الا ول m آما يلي s ب- احسب بدلالة العدد الطبيعي المجموع لتكن في المستوي النقط C B A و K التي تحقق العلاقة KA KB حيث λ وسيط حقيقي λkc A ; s, B ; s, C ; s عي ن λ حتى تكون النقطة K مرجحا للجملة المثقلة الحل البرهان بالتراجع أنه من أجل آل عدد طبيعي فا ن p صحيحة p p نسمي الخاصية التحقق من صحة الطرف الا ول يساوي الطرف الثاني يساوي وبالتالي فا ن الطرف الا ول يساوي الطرف الثاني نفرض أن إذن p صحيحة أي - -

43 - - نأ نهربنو p يأ ةحيحص فيرعتلا نم انيدل هنمو عجارتلا ةيضرف نم انيدلو يلاتلابو هنمو p ةحيحص نذإ يعيبط ددع لآ لجأ نم نا ف دوجو -أ ددعلا يعيبطلا m ريآذت نوكت يقيقح ددع دجو اذإ طقفو اذإ ةيسدنه ةيلاتتم q ثيحب يعيبط ددع لآ لجأ نم q انيدل ىرخأ ةهج نم q q q q q m m ةاواسملا نم q نأ جتنتسن q q q m m m 5 هنمو q و m نذإ m ناآ اذإ نوكت اهساسأ ةيسدنه ةيلاتتم q لولا ا اه دحو s عومجملا باسح -ب ةللادب 5 m m m m m q q s

44 s ( ) إذن تعيين العدد الحقيقي λ ( A ; s يعني ), ( B ; s ), ( C ; s ) النقطة K مرجح للجملة المثقلة KA KB 7 KC أي s KA s KB s KC 7 KA KB وبضرب الطرفين بالعدد نحصل على KC 7 KA KB KC و KA KB λkc من العلاقتين λ 7 نستنتج أن تونس الشعبة علوم تجريبية ( ) بكالوريا تمرين 8 لتكن المتتالية( )المعرفة على بما يلي أ- برهن بالتراجع أنه من أجل آل عدد طبيعي < < ب- أثبت أن المتتالية ) ( متزايدة ج- استنتج أن المتتالية ) )متقاربة نحو نهاية يطلب تعيينها l( ) نعتبر المتتالية( )المعرفة على آما يلي < < ) ( متتالية هندسية أساسها lim lim أ- برهن أن ب- احسب ج- احسب من جديد الحل أ- البرهان بالتراجع أنه من أجل آل عدد طبيعي < الخاصية < p نسمي التحقق من صحة p - -

45 ي أ < < وهي محققة إذن p < < أي لدينا نفرض أن صحيحة أي صحيحة < < p p ونبرهن أن صحيحة أي < < لدينا < < ) من فرضية التراجع ( وبا ضافة العدد للحدود الثلاثة ينتج < < < < وبما أن الدالة الجذر التربيعي متزايدة تماما على المجال] ; [ نستنتج أن < < أي < < وبا ضافة العدد للحدود الثلاثة نحصل على < < p صحيحة ومنه إذن من أجل آل عدد طبيعي < < ب- إثبات أن المتتالية متزايدة تذآير ( ( متتالية متزايدة تماما على يعني من أجل آل من > من أجل آل من ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) )( ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) من السو ال السابق وجدنا أنه من أجل آل عدد طبيعي < < ( نستنتج أن > > و > ) ( )( ) أي > وبالتالي > ( ) إذن المتتالية( ( متزايدة تماما على المتتالية ) ( متقاربة آل متتالية محدودة من الا على ومتزايدة أو محدودة من الا سفل ومتناقصة - - ( )( ) ( ) ج- استنتاج أن تذآير

46 هي متتالية متقاربة من السو ال الفرع - أ- وجدنا أنه من أجل آل عدد طبيعي < < ومن السو ال الفرع - ب - وجدنا أن المتتالية( ( متزايدة تماما على نستنتج أن المتتالية( ( متقاربة نحو نهاية l lim lim l l متقاربة نحو نهاية l فا ن l إيجاد العدد l بما أن المتتالية من العلاقة نستنتج أن ومنه l l وبحل هذه الجملة نجد l أو l l لكن من السو الين السابقين وجدنا أن المتتالية( ( متزايدة وأنه من أجل آل من l محدودة من الا على ( نستنتج أن ( )) < < أ- البرهان أن ) ( متتالية هندسية أساسها تذآير تكون ) )متتالية هندسية إذا وفقط إذا وجد عدد حقيقي q بحيث من أجل آل عدد طبيعي q l l q ) )متتالية هندسية أساسها لدينا إذن ب- حساب وحد ها الا ول q l lim lim بما أن ) )متتالية هندسية فا ن عبارة حد ها العام lim q تذآير إذا آان < q < فا ن وبالتالي l ( ) l ( ) l( ) إذن lim lim ج- حساب - 5 -

47 e lim x e l ومنه أي لدينا x و e lim نستنتج أن وبما أن lim تونس الشعبة تسيير واقتصاد ( تمرين ) 9 بكالوريا لتكن المتتالية( )المعرفة على بما يلي برهن بالتراجع أنه من أجل آل عدد طبيعي < > ( ) أ- تحقق أنه من أجل آل عدد طبيعي ب- استنتج أن المتتالية( ( متزايدة وأنها متقاربة نعتبر المتتالية( )المعرفة على آما يلي أ- برهن أن ) ( متتالية هندسية أساسها ب- اآتب عبارة بدلالة واستنتج عبارة < < p بدلالة lim ج- احسب الحل البرهان بالتراجع أنه من أجل آل عدد طبيعي < الخاصية < p نسمي التحقق من صحة p < أي < صحيحة أي < < لدينا نفرض أن وهي محققة إذن صحيحة < < < < p p ونبرهن أن صحيحة أي < ) ضرب الحدود بالعدد ( () < لدينا < < ومنه < من جهة أخرى < < ومنه < ) ضرب الحدود الثلاثة بالعدد ثم إضافة العدد إلى الحدود الثلاثة (

48 < وبما أن الدالة مقلوب متناقصة تماما على * r فا ن ومنه < () < < < < < < < < من () و () نستنتج أن p صحيحة ومنه إذن من أجل آل عدد طبيعي ملاحظة للبرهان بالتراجع أنه من أجل آل عدد طبيعي يمكن برهان ذلك على مرحلتين المرحلة الا ولى البرهان أنه من أجل آل عدد طبيعي > المرحلة الثانية البرهان أنه من أجل آل عدد طبيعي < المرحلة الا ولى البرهان بالتراجع أنه من أجل آل عدد طبيعي > الخاصية > p نسمي التحقق من صحة p وهي محققة إذن p صحيحة لدينا > أي > > صحيحة أي p نفرض أن > صحيحة أي p ونبرهن أن من فرضية التراجع > وبضرب الطرفين بالعدد ينتج > () من فرضية التراجع > وبضرب الطرفين بالعدد ينتج > وبا ضافة العدد إلى الطرفين نحصل على > ومنه > () وبالتعد ي نجد > > > لكن > ومنه من () و () نستنتج أن > إذن من أجل آل عدد طبيعي Ι > المرحلة الثانية البرهان بالتراجع أنه من أجل آل عدد طبيعي < نسمي الخاصية < p - 7 -

49 - 8 - p التحقق من صحة وهي محققة إذن p صحيحة لدينا < أي < < صحيحة أي p نفرض أن < صحيحة أي p ونبرهن أن من فرضية التراجع < وبضرب الطرفين بالعدد ينتج < () من فرضية التراجع < وبضرب الطرفين بالعدد ينتج < وبا ضافة العدد إلى الطرفين نحصل على < () > وبما أن الدالة مقلوب متناقصة تماما على * r فا ن من () و () نستنتج أن < ( ΙΙ) إذن من أجل آل عدد طبيعي < خلاصة من Ι) ( و ΙΙ) ( نستنتج أنه من أجل آل عدد طبيعي < < أي أن المتتالية( ( محدودة من الا على ومن الا سفل ( ) أ- التحقق أنه من أجل آل عدد طبيعي ( ) من أجل آل من ( ) ( ) ب- استنتاج أن المتتالية( ( متزايدة من السو ال وجدنا أنه من أجل آل عدد طبيعي < > نستنتج أن > > و > ( ) أي > وبالتالي > إذن المتتالية( ( متزايدة استنتاج أن المتتالية( ( متقاربة تذآير آل متتالية محدودة من الا على ومتزايدة أو محدودة من الا سفل ومتناقصة هي متتالية متقاربة من السو ال وجدنا أن المتتالية( ( محدودة من الا على و من السو ال الفرع

50 المتتالية( ( ( ) - وجدنا أن أ- البرهان أن تذآير تكون متتالية هندسية إذا وفقط إذا وجد عدد حقيقي q بحيث من أجل آل عدد طبيعي q ثم بعد توحيد المقامات وبتعويض ب لدينا والتبسيط نحصل على إذن ) )متتالية هندسية أساسها q وحد ها الا ول ( lim متزايدة نستنتج أن المتتالية( ( متقاربة متتالية هندسية أساسها q lim q ب- آتابة بدلالة استنتاج بدلالة ومنه لدينا lim ج- حساب تذآير إذا آان < q < فا ن إذن وبالتالي lim تمرين ) بكالوريا المغرب الشعبة نعتبر المتتالية العددية( )المعرفة بما يلي من أجل آل عدد طبيعي أ- بي ن أن > لكل من ب- بي ن أن المتتالية ) ( متناقصة ج- استنتج أن ) ( متقاربة من لكل أ- بي ن أن علوم تجريبية - دورة استدراآية ب -

51 lim ب- استنتج أن لكل من ثم احسب الحل أ- البرهان بالتراجع أنه من أجل آل من > الخاصية > p نسمي التحقق من صحة p لدينا > أي > وهي محققة إذن صحيحة p > صحيحة أي p p صحيحة أي > ونبرهن أن نفرض أن لدينا > ) من فرضية التراجع ( وبما أن الدالة مكعب متزايدة تماما على r نستنتج أن > () ولدينا > ) من فرضية التراجع ( وبما أن الدالة مربع متزايدة تماما على r نستنتج أن > وبعد ضرب الطرفين بالعدد ثم إضافة العدد للطرفين نحصل على > > ونستنتج أن > () من () و( ) نستنتج أن أي > ومنه > إذن من أجل آل من ) > هذا يعني أن ب- إثبات أن المتتالية ) ( متناقصة من أجل آل من ( ) من السو ال السابق وجدنا أنه من أجل آل عدد طبيعي > نستنتج أن < > و صحيحة ) )محدودة من الا سفل ( p ( ) أي < وبالتالي < إذن المتتالية ) ( متناقصة ج- استنتاج أن ) ( متقاربة تذآير آل متتالية محدودة من الا على ومتزايدة أو محدودة من الا سفل ومتناقصة هي متتالية متقاربة - 5 -

52 من السو ال الفرع - أ- وجدنا أن المتتالية( ( محدودة من الا سفل ومن السو ال الفرع - ب- وجدنا أن المتتالية( ( متناقصة نستنتج أن المتتالية ) ( متقاربة أ- إثبات أن لكل من ومنه من أجل آل من وبضرب الطرفين بالعدد الموجب تماما نحصل على من لكل إذن ومنه من لكل ب- استنتاج أن ومن أجل آل من بضرب جميع الحدود طرف في طرف ينتج lim ومنه وبعد الاختزال وتعويض بالعدد نجد > تمرين ) ( Bac Frace Ji ) ( متتالية عددية معرفة بما يلي من من أجل آل ادرس رتابة المتتالية أ- برهن أنه من أجل آل عدد طبيعي فا ن

53 ب- ما هي نهاية المتتالية خم ن عبارة بدلالة ثم برهن بالتراجع صحة هذه العبارة الحل دراسة رتابة المتتالية ) ( من أجل آل من إذن المتتالية( )متزايدة تماما على ) ) ( رتيبة تماما على ( > p أ- البرهان أنه من أجل آل عدد طبيعي > الخاصية p نسمي التحقق من صحة p أي > > لدينا وهي محققة إذن صحيحة إلى الطرفين نجد > > صحيحة أي p نفرض أن > صحيحة أي p ونبرهن أن لدينا ) > فرضية التراجع ( وبا ضافة أي p > ( ) > ومنه وبملاحظة أن نستنتج أن صحيحة إذن من أجل آل عدد طبيعي > ب- حساب نهاية المتتالية من السو ال السابق وجدنا أنه من أجل آل عدد طبيعي > lim نستنتج أن lim وبما أن تخمين عبارة بدلالة من التعريف لدينا و لاحظ أن الا عداد 6 9 هي مربعات تامة

54 ( ) p صحيحة ( ) ( ) ويمكن أن نستنتج أنه من أجل آل عدد طبيعي البرهان بالتراجع أنه من أجل آل عدد طبيعي p نسمي الخاصية التحقق من صحة p الطرف الا ول هو الطرف الثاني هو وبالتالي فا ن الطرف الا ول يساوي الطرف الثاني نفرض أن أي إذن p صحيحة p صحيحة أي ونبرهن أن ومن فرضية التراجع ( ) ( ) p صحيحة لدينا وبالتالي ومنه إذن من أجل آل عدد طبيعي تمرين ) ( Bac Ide Aril ) ( متتالية عددية معرفة بما يلي من من أجل آل أ- احسب و ) اآتب النتاي ج على شكل آسر غير قابل للاختزال ( ب- قارن بين الحدود الا ربعة الا ولى للمتتالية( ( والحدود الا ربعة الا ولى للمتتالية w آما يلي المعرفة في ( w ) ج- برهن بالتراجع أنه من أجل آل عدد طبيعي فا ن w l حيث لتكن ) ( المتتالية العددية ذات الحد العام أ- أثبت أن l

55 w s اآتب s بدلالة عي ن نهاية المجموع s ب- ليكن المجموع المعرف من أجل آل عدد طبيعي آما يلي s إلى و الحل أ- حساب عندما يو ول و w w و ب- حساب w w w و و w w w إذن w w ج- البرهان بالتراجع أنه من أجل آل عدد طبيعي فا ن w w الخاصية p نسمي p التحقق من صحة الطرف الا ول هو الطرف الثاني هو w w w p وبالتالي فا ن الطرف الا ول يساوي الطرف الثاني إذن صحيحة ( w ) من تعريف المتتالية( ( w w صحيحة أي p نفرض أن w صحيحة أي p ونبرهن أن لدينا ومن فرضية التراجع w لكن w w w وبالتالي وعليه فا ن ومنه p صحيحة - 5 -

56 إذن من أجل آل عدد طبيعي فا ن w أ- إثبات أن l l l l l l l ب- آتابة s بدلالة s l l l l l l( ) s l ( ) إذن ج- حساب نهاية المجموع s عندما يو ول إلى نعلم أن ) lim ( و lx lim x وبالتالي s lim تمرين ) ( Bac Ide Aril نعتبر المتتالية العددية( ( المعرفة في بما يلي a حيث a عدد حقيقي من المجال [ ; ] من من أجل آل a 8 ( ) نفرض في هذا السو ال أن أ- احسب و ب- ارسم في معلم متعامد و متجانس المنحني( p ( الممثل للدالة f المعرفة في المجال[ ; [ ب x) f ( x) x( والمستقيم ) d ( الذي معادلته y x استخدم( p ( و( ( d لتمثيل النقط A A A و A التي فواصلها ( 8 cm على الترتيب ) وحدة الطول و نفرض في هذا السو ال أن a عدد حقيقي آيفي من المجال ] ; ] أ- برهن بالتراجع أنه من أجل آل عدد طبيعي فا ن < < ب- برهن أن المتتالية ) ( متزايدة تماما ج- ماذا تستنتج

57 < < < ( ) < ونعر ف المتتالية( ( آما يلي a نضع 8 أ- احسب ب- اآتب عبارة و بدلالة ثم استنتج بدلالة ج- استنتج عبارة الحد العام بدلالة د- احسب نهاية المتتالية( ( ثم نهاية المتتالية( ( الحل أ- حساب و و 96 6 ب- رسم المنحني( p ( و تمثيل النقط انظر الشكل في نهاية الحل أ- البرهان بالتراجع أنه من أجل آل عدد طبيعي فا ن < < < الخاصية < p نسمي التحقق من صحة p لدينا < < أي < < وهي محققة إذن p صحيحة 8 < < صحيحة أي p نفرض أن < < صحيحة أي p ونبرهن أن من فرضية التراجع < < وبا ضافة العدد نجد < وبالضرب بالعدد نجد ومنه < ( ) < ( ) ( ) وبا ضافة العدد نجد < وبملاحظة أن < < نستنتج أن < < ) ( متزايدة تماما ( ) ( ) p صحيحة ومنه إذن من أجل آل عدد طبيعي فا ن ب- البرهان أن المتتالية من أجل آل من ومن السو ال السابق وجدنا أن < < نستنتج أن الجداء موجب تماما أي > ومنه ] > و > [ > وبالتالي ( )

58 إذن المتتالية( ( متزايدة تماما على ج- الاستنتاج من السو ال الفرع -أ- نستنتج أن المتتالية( )محدودة من الا على ومن السو ال الفرع - ب - وجدنا أن المتتالية( ( متزايدة تماما على وبالتالي نستنتج أن المتتالية( ( متقاربة أ- حساب و بدلالة ( ) ( ) ب- عبارة لدينا إذن استنتاج بدلالة 7 7 لدينا ومنه 8 8 ( ) ( ) إذن 8 ج- استنتاج عبارة الحد العام بدلالة 7 لدينا إذن 8 د- حساب lim و lim lim p 7 p 8 lim نعلم أن ومنه و و 7 lim lim 8 7 8

59 lim lim إذن و s,8,6,,,8,6,, -, تمرين ) بكالوريا شعبة التكنولوجيا ( متتالية عددية معرفة في آما يلي التي تجعل المتتالية( ( ثابتة ما هي قيمة الح د نفرض أن( ( غير ثابتة و نعر ف المتتالية( ( آما يلي حيث α عدد حقيقي α عي ن العدد α حتى تكون( ( متتالية هندسية يطلب تعيين أساسها نفرض أن و α أ- اآتب عبارة بدلالة ب- احسب بدلالة المجموع حيث [ s متتالية عددية معرفة في آما يلي التي تجعل المتتالية( ( الحل ثابتة قيمة الحد تذآير ] المتتالية( ( ثابتة [ يكافي ] من أجل آل من أي أنه مهما يكن العدد الطبيعي فا ن A A A A ( d ) ( p ),,,6,8,,,6,8,

60 نجد ( حتى تكون( α بحل المعادلة متتالية هندسية تعيين العدد تذآير تكون متتالية هندسية إذا وفقط إذا وجد عدد حقيقي q بحيث من أجل آل عدد طبيعي q α ومنه لدينا α ومنه لدينا () α ( ) α 5α وبالتالي q q q () α qα ولدينا q α q من () و () نستنتج أن α 5 q وبالمطابقة نجد α و نفرض أن و α q 5 أ- آتابة عبارة بدلالة ب- احسب بدلالة s q q s ( ) تمرين ) 5 بكالوريا علوم الطبيعة والحياة ( متتالية عددية معرفة بما يلي ( ) من من أجل آل نضع من أجل آل عدد طبيعي أ- بي ن أن ) )متتالية هندسية يطلب تعيين أساسها وحد ها الا ول ب- احسب lim و lim s نعتبر المجموع s حيث

61 s على 7 a a s احسب بدلالة ليكن العدد الطبيعي a حيث ) 5( عي ن تبعا للعدد الطبيعي باقي القسمة الا قليدية للعدد الحل أ- إثبات أن متتالية هندسية ( ) تذآير تكون متتالية هندسية إذا وفقط إذا وجد عدد حقيقي q بحيث من أجل آل عدد طبيعي q ( ) ومن تعريف المتتالية لدينا ( ) ( ) ومنه إذن ) )متتالية هندسية أساسها q وحد ها الا ول 5 ب- حساب lim و lim بما أن متتالية هندسية أساسها q وحد ها الا ول 5 فا ن حد ها العام lim lim ومنه q q ( q) q ومنه فا ن 5 بدلالة q q ( 6) q 5 s وبما أن حساب ( ) ( ) ( q) ( ) ( ) ( ) ( q q q q ) ) [( 6) ] ( 5) 5 q 6 s 5( 6 ) إذن ليكن العدد الطبيعي a حيث ) 5( a دراسة بواقي القسمة الا قليدية للعدد a على 7 ( ) 7] [ 5 و 6 لدينا 6 [ 7] من جهة أخرى a 5( ) [ 7] أي [ 7] وبالتالي

62 [ 7] دراسة بواقي القسمة الا قليدية للعدد لدينا 7 7 على 7 و 7 k [ 7] [ ] k [ ] [ 7] [ ] k [ 7] ومنه و (من أجل آل k من ( k a [ 7] a أي إذا آان k فا ن 7] [ k a [ 7] أي a إذا آان k فا ن 7] [ k a أي إذا آان k فا ن[ 7 [ إذن بواقي القسمة الا قليدية للعدد a على 7 هي,, a [ 7] { } تمرين 6 انطلاقا من مربعCD A B طول ضلعه m A A ننشي مربعا BCD A حيث AB ثم مربعا ثالثا A B C D حيثAB A A نواصل بهذه الطريقة عملية إنشاء المربعات A A A s نرمز ب l إلى طول ضلع المربع A B C D أ- احسب l l و l ب- استنتج عبارة l بدلالة ج- احسب بدلالة المجموع حيث p p A A A A A A A A نرمز ب a إلى مساحة المربع A B C D و a a a أ- احسب بدلالة a a a a ح ثي s المجموع ب- استنتج عبارة ج- احسب بدلالة ادرس اتجاه تغي ر آل من المتتاليتين ) l) و ) a) B ادرس تقارب المتتاليتين ) (l و ) (a الحل B - 6 -

63 D D D A A B AB B B q C C C B B p أ- حساب l l و l l A B لدينا تطبيق نظرية فيثاغورت على المثلث AB القاي م B A B AB BB 6 l AB ومنه تطبيق نظرية فيثاغورت على المثلث القاي م B ومنه l A B ب- استنتاج عبارة l بدلالة وحد ها الا ول l A A A A q l A ومنه A A A q q ) l) متتالية هندسية أساسها a q بدلالة حد ا الا ولى من متتالية هندسية أساسها p A A و حدها الا ول A A ومنه ج- حساب المجموع ( p هو مجموع )

64 q 5 8 a و a و a l 8 5 l بدلالة (a ) متتالية هندسية أساسها 8 5 a a أ- حساب l ب- استنتاج عبارة الا ول a ومنه وحد ها s a a l l a a a a q 5 8 s ج- حساب المجموع بدلالة ( q ) 8 5 q 8 دراسة اتجاه تغي ر المتتالية ) l) متناقصة تماما على a a من أجل آل من نستنتج أن المتتالية ) l) دراسة اتجاه تغي ر المتتالية ) a) من (a ) (l ) من أجل آل نستنتج أن المتتالية تقارب المتتاليتين متناقصة تماما على (a ) و a a l a

65 lim a إذن l lim و وبالتالي فا ن المتتاليتين( l) و ) (a متقاربتان نحو العدد الرسم ( ) و ( l واضح من التمثيل البياني لكل من المتتاليتين ) نحو العدد a أنهما متقاربتان تمرين 5) ( Bac Noelle Calédoie Mars الجزء الا ول A و B نقطتان متمايزتان من مستقيم نعر ف النقطتين A و B آما يلي A ;, B A منتصف القطعة ] [ A B و B مرجح الجملة المثقلة ; A B علم النقط A B A و B من أجل cm ما هو التخمين الذي يمكن وضعه على النقط و عندما يصبح آبيرا { } B بكالوريات غير محلولة A i A نزود المستقيم ) A B )بمعلم حيث B ( A ; i ) نعتبر النقطتين A و B اللتين فاصلتاهما و على الترتيب و بي ن أنه من أجل آل من فا ن - 6 -

66 الجزء الثاني نعتبر المتتاليتين ) ( و ) ( المعرفتين من أجل آل من بما يلي و w برهن أن المتتالية ) w )المعرفة من أجل آل من ب هي متتالية هندسية متقاربة وأن آل حدودها موجبة برهن أن المتتالية ) ( متزايدة وأن المتتالية ) ( متناقصة استنتج من السو الين السابقين أن المتتاليتين ) ( و ) ( متقاربتان وأن لهما نفس النهاية t نعتبر المتتالية ) ( t المعرفة من أجل آل من ب برهن أن ) ( t متتالية ثابتة الجزء الثالث اعتمادا على النتاي ج المحصل عليها من الجزأين السابقين حد د نهاية النقط A و عندما يو ول إلى B تمرين 5) ( Bac Nomea نعتبر المتتاليتين ) ( و ) ( المعرفتين من أجل آل من * بما يلي و l أ- احسب و ب- برهن أنه من أجل آل k من * k k k أ- برهن أنه من أجل آل k من * k x dx k k ب- استنتج أنه من أجل آل عدد طبيعي أآبر من أو يساوي و l أ- برهن أنه من أجل آل عدد طبيعي غير معدوم

67 dx ب- استنتج اتجاه تغي ر المتتالية برهن أن المتتالية ) ( متقاربة يرمز l إلى نهاية المتتالية( ( ) لا نبحث عن حساب ( l احسب نهاية المتتالية ) ( تمرين ) بكالوريا 5 الكامرون ( نعتبر المتتالية العددية( ( المعرفة في بما يلي ( ) أ- احسب و * من من أجل آل T ب- نضع اآتب T T بدلالة ثم بدلالة ج- استنتج أن من أجل آل عدد طبيعي نعتبر المتتالية العددية المعرفة آما يلي من أجل آل عدد طبيعي و أ- احسب و ب- اآتب عبارة بدلالة ج- استنتج أن( )متتالية هندسية يطلب تعيين أساسها S نضع أ- اآتب S بدلالة ب- احسب نهاية S عندما يو ول إلى تمرين ) ( Bac Atilles Gyae ji نعرف المتتاليتين ) ( a و ) ( b بما يلي a ( a b ) من و من أجل آل b 7 a b ( a b ) O ; i من أجل آل من نعتبر النقطتين ليكن x (D )مستقيما مزودا بمعلم

68 ( b ) a A A و B اللتين فاصلتاهما و b على الترتيب علم النقط A B B A و B b لتكن ) )المتتالية المعرفة من أجل آل من ب a برهن أن ) )متتالية هندسية يطلب تعيين أساسها و حد ها الا ول اآتب عبارة بدلالة قارن بين a و b ادرس اتجاه تغي ر آل من المتتاليتين ) ( a و فس ر هندسيا هذه النتاي ج برهن أن المتتاليتين ) ( a و ) ( b متجاورتان b لتكن ) )المتتالية المعرفة من أجل آل من ب a برهن أن ) )متتالية ثابتة استنتج أن آل القطع المستقيمة ] [ A B لها نفس المنتصف I بي ن أن المتتاليتين ) ( a و ) ( b متقاربتان واحسب نهاية آل منهما فس ر هندسيا هذه النتيجة تمرين ) 5 ( Bac Noelle Calédoie Noembre نعتبر المتتاليتين ) ( و ) ( المعرفتين من أجل آل من بما يلي و احسب و لتكن المتتالية المعرفة من أجل آل من ب w ( w ) وعي ن نهاية المتتالية ) ( w متتالية هندسية أساسها w w أ- برهن أن ب- اآتب عبارة بدلالة بعد دراسة اتجاه تغي ر آل من المتتاليتين( ( و برهن أنهما متجاورتان t نعتبر الا ن المتتالية ) ( t المعرفة من أجل آل من ب أ- برهن أن ) ( t متتالية ثابتة ب- استنتج نهاية آل من المتتاليتين( ( و ( تمرين ) 6 بكالوريا 998 علوم الطبيعة والحياة

69 ) ( متتالية عددية معرفة بما يلي من أجل آل عدد طبيعي برهن بالتراجع أنه من أجل آل عدد طبيعي > برهن أن المتتالية( ( متزايدة تماما على لتكن الدالة العددية المعرفة على مجموعة الا عداد الحقيقية آما يلي f ( x) x أ- عي ن العدد الحقيقي α بحيث α f ( α ) ب- نضع من أجل آل من α بي ن أن ) ( متتالية هندسية يطلب تعيين أساسها وحد ها الا ول اآتب عبارة بدلالة ثم استنتج عبارة بدلالة احسب lim المتتالية( )المعرفة على تونس الشعبة علوم تجريبية ( نعتبر ] ;[ بكالوريا 998 f تمرين ) 7 α ليكن عددا حقيقيا ينتمي إلى المجال بما يلي ( α) α α أ- برهن أنه من أجل آل عدد طبيعي ب- أثبت أن المتتالية ) ( متناقصة ج - استنتج أن المتتالية ) )متقاربة وعي ن نهايتها لتكن المتتالية( )المعرفة على آما يلي α أ- برهن أن ) ( متتالية هندسية أساسها α ب- اآتب عبارة بدلالة و α استنتج عبارة بدلالة و α ج- احسب lim

70 ( تمرين ) 8 بكالوريا أجنبية نعتبر المتتاليتين العدديتين( ( و 9 المعرفتين على بما يلي 6 أ- برهن أن ) ( متتالية هندسية حدودها موجبة ب- اآتب عبارة بدلالة S ج- نعتبر المجموع S احسب S بدلالة واستنتج حساب المجموع د- استنتج نهاية آل من المجموعين S و S نعرف المتتالية ) ( w ب ) w l( من أجل آل عدد طبيعي أ- برهن أن ) ( w متتالية حسابية ب- احسب بدلالة المجموع w S w واستنتج S lim w p واستنتج lim p ليكن الجداء احسب lim l p تمرين ) 9 بكالوريا أجنبية ( نعتبر المتتالية العددية( ( المعرفة في بما يلي e العدد e هو أساس اللوغاريتم النيبيري من أجل آل عدد طبيعي ولتكن المتتالية( )المعرفة من أجل آل عدد طبيعي بما يلي l أ- أثبت أن( ( متتالية هندسية يطلب تعيين أساسها وحد ها الا ول ب- اآتب عبارة بدلالة ثم استنتج عبارة بدلالة s من أجل آل عدد طبيعي نضع و p p p e s أ- أثبت أن ب- اآتب عبارة s بدلالة ثم استنتج عبارة بدلالة

71 ( p ) ج- عي ن نهاية المتتالية( ( s ثم استنتج نهاية المتتالية f ( x) x x آما يلي f x ( x) > > x > تمرين ) بكالوريا أجنبية ( لتكن f الدالة المعرفة من أجل برهن أن من أجل آل نعر ف المتتالية ( ) نعتبر المتتاليتين و بما يلي و ) w ( f المعرفتين آما يلي معرفتان من أجل آل عدد طبيعي w l w أ- برهن أن المتتاليتين و w ب- برهن أن متتالية هندسية يطلب تعيين أساسها وحد ها الا ول ج- اآتب عبارة w بدلالة ثم استنتج عبارة بدلالة أ- استنتج أن ب- احسب lim lim ب- احسب تمرين أراد فلاح أن يزرع في بستانه مجموعة من الا شجار على شكل حلزون آما ي وضحه الشكل لهذا وجب عليه معرفة طول هذا الحلزون حتى ي قد ر عدد الا شجار التي يمكن زرعها هذا الحلزون م كو ن من أنصاف الدواي ر بالكيفية التالية [ A ذات القطر مرآز نصف الداي رة c A A ] [ A A ] ذات القطر مرآز نصف الداي رة c A

72 [ A A ] ذات القطر مرآز نصف الداي رة c A نواصل بهذه الكيفية إنشاء أنصاف الدواي ر c نفرض أن A A m فقط نسم ي l طول نصف الداي رة c أ- احسب l l l و l ب- استنتج l بدلالة l ثم حد د طبيعة المتتالية ) ( l l 5π ج- بي ن أنه من أجل آل عدد طبيعي فا ن قر ر الفلاح أن يرسم أنصاف الدواي ر الثمانية c 7 c c احسب L طول الحلزون الناتج عن أنصاف هذه الدواي ر الثمانية - 7 -

73 تمرين الجزء الا ول ليكن المثلث ABC AN AC و AM أنشي النقطتين M و N حيث AB ما هي الفرضيات التي تعطينا نفس الشكل باستعمال مرجح النقط باستعمال التحاآي باستعمال معلم المستقيم الموازي ل( ( CM و يشمل N يقطع المستقيم( AB ( في M والمستقيم الموازي ل( BC ( و يشمل M يقطع المستقيم( AC ( في N N M N M وهكذا نعر ف بنفس الطريقة السابقة النقط أ- عب ر عن الشعاع AM بدلالة الشعاع AB AB بدلالة الشعاع AM ب- عب ر عن الشعاع عب ر عن الشعاع AM 8 بدلالة الشعاع AB اآتب M 8 آمرجح للنقطتين A و B ليكن عددا طبيعيا غير معدوم عب ر عن الشعاع AM بدلالة الشعاع AB النقط M تقترب من النقطة A برهن أنه من أجل آل من * فا ن النقطة تقع بين النقطتين M و A M - 7 -

74 A في E ( BC) يقطع المستقيم( BC ( M N - ابتداء من أية رتبة يكون < < 7) برهن أن M هي مرآز المسافتين المتساويتين للجملة ( A,, B, ) 8) المستقيم الموازي ل( ( CM ويشمل النقطةA ( BC) M N يقطع في C المستقيم يقطع المستقيم C وهكذا في النقطة أ- عب ر عن الشعاع BE بدلالة الشعاع BC BE ب- برهن أن BC ( BE BC CC C C ) يمكن الاستعانة بعلاقة شال أي ج- استنتج رتابة المتتالية ) s) حيث s A O A A c الجزء الثاني OA A مثلث قاي م في A و متساوي الساقين حيث OA A A OA A مثلث قاي م في A و متساوي الساقين OA A وهكذا A حيث نضع من أجل آل من * c OA > 6 أ- عب ر عن c بدلالة ب- برهن أن المتتالية ) c) متزايدة تماما ج- ابتداء من أية قيمة للعدد الطبيعي يكون من أجل آل من نسم ي a 5 a و a a a احسب نضع ) cos( A O A a قياس بالدرجات للزاوية * a

75 أ- عب ر عن بدلالة ب- برهن أن المتتالية ) ) متزايدة تماما ج- استنتج ) lim يمكن الاستعانة با لة حاسبة أو بمجدول ( Excel يمكن إعادة الا سي لة السابقة من أجل ) si( a برهن أن المتتالية ) a) ابتداء من أية رتبة يكون متناقصة تماما a < الجزء الثالث ABC مثلث C منتصفات أضلاع [BC] [AB] و [AC] على الترتيب B A [ A C ] و [ A B ] [ B C ] منتصفات أضلاع C B A على الترتيب وهكذا A B C s s s مساحة المثلث ABC مساحة المثلث * s نسم ي s برهن أن s نسم ي ومن أجل آل T مساحة شبه المنحرف من BB C C B B وهكذا C C s * T T مساحة شبه المنحرف برهن أنه من أجل آل من

76 lim استنتج أن