المحاضرة الثانية عشر مقاييس التشتت درسنا في المحاضرة السابقة مقاييس النزعة المركزية أو المتوسطات هي مقاييس رقمية تحدد موقع أو مركز التوزيع أو البيانات

المحاضرة الثانية عشر مقاييس التشتت درسنا في المحاضرة السابقة مقاييس النزعة المركزية أو المتوسطات هي مقاييس رقمية تحدد موقع أو مركز التوزيع أو البيانات وهي مهمة في حالة المقارنة بين التوزيعات المختلفة وكان أهمها: المتوسط الحسابي الوسيط المنوال. ندرس في هذه المحاضرة مقاييس التشتت )التباين( درجة تقارب أو تباعد قيم توزيع ما عن إحدى قيمه المركزية فمعرفة تشتت القياسات حول مركز تجمعها ذو أهمية كبيرة في دراسة هذه القياسات ومدلوالتها. ومن مقاييس التشتت: المدى المدى النسبي االنحراف المتوسط التباين واالنحراف المعياري وتطبيقاته في حساب: معامل االختالف إنشاء مجاالت الثقة والعزوم المركزية. 1- المدى: يعرف المدى بأنه الفرق بين أكبر قيمة وأصغر قيمة في حالة البيانات المباشرة بينما في حالة البيانات التكرارية فإن المدى يساوي الفرق بين مركزي الفئتين األولى واألخيرة. R ma m الفئات 30-3 مثال )1(: احسب المدى R من البيانات اآلتية: 4 1 7 8 3 10 9 الحل: أكبر قراءة 10 وأصغر قراءة 1 فيكون المدى: R = 10 1 = 9 مثال )(: أوجد المدى لمجموعة البيانات المعطاة بالجدول اآلتي: 3-40 40-4 4-0 0-60 9 1 11 1 3. 37. 4. 47.. 7. 6 77. 637. 18.1 10 7. R = 7. 3. = الحل: المدى 117

- المدى النسبي: R يعرف المدى النسبي بالعالقة: %R 100 مثال )3(: أوجد المدى النسبي في األمثلة السابقة: 9 R% 100163%. 1 44. )1 8 R % 4.4 1 100 8%; 4.4 1 ) مالحظة: بالرغم من كون المدى سهل الحساب ويعطي فكرة سريعة عن طبيعة البيانات ويستخدم كثيرا في مراقبة جودة اإلنتاج إال أنه يعتمد في حسابه على قيمتين مع إهمال باقي القيم من البيانات ويتأثر كثيرا بالقيم المتطرفة )الشاذة( لذا هو مقياس تقريبي ال يعتمد عليه. 3- االنحراف المتوسط: يعرف االنحراف المتوسط أنه متوسط االنحرافات المطلقة للقراءات عن متوسطها الحسابي ويرمز بالرمز M.D ويعر ف رياضيا كما يلي: أوال: االنحراف المتوسط في حالة البيانات المباشرة: لتكن مجموعة البيانات... 3 1 فإن االنحراف المتوسط لها يعطى بالعالقة: له أي أن: - 1 1 MD. ; ويعود السبب في أخذ القيم المطلقة لالنحرافات هو أن مجموع انحرافات القيم عن متوسطها الحسابي )مأخوذة بدون القيم المطلقة( يساوي صفرا. 118

مثال )4(: لتكن لدينا البيانات اآلتية: 37 3 17 16 1 13 1 10 9 8 لنحسب المتوسط الحسابي لها فنجد أن: 1 8 9 10 1 13 1 16 17 3 37 16 10 ويكون االنحراف المتوسط عن المتوسط الحسابي مساويا ل: MD. 8-16 9-16 10-16 1-16 13-16 10 1-16 16-16 3-16 37-16 8.8 10 10 ثانيا: االنحراف المتوسط في حالة التوزيعات التكرارية: نعلم أن المتوسط الحسابي في حالة التوزيعات التكرارية يعطى بالعالقة: 40,0 0,60 M. D 1 1. أما االنحراف المتوسط في هذه الحالة فيعطى بالعالقة التالية: 60,70 1 1 -. مثال )(: احسب االنحراف المتوسط من الجدول التكراري اآلتي: 70,80 80,90 90,100 المجموع الفئات التكرارات 9 1 11 1 40 الحل: لتسهيل الحل نكون الجدول اآلتي: 4 6 7 8 9 9 1 11 1 119

M. D 1 1 4 9 61 711 8 91 60 40 1. 66. 1 4-66,. 7-66,.11 -. 9 1 11 1-66,.9-66, ويكون المتوسط الحسابي مساويا ل: ويكون االنحراف المتوسط مساويا ل: 6-66,.1 40 8-66,. 9-66,.1 34,96 8,14 40 40 4- التباين و االنحراف المعياري: إن لتقارب القيم أو تباعدها أهمية كبيرة في المجتمع اإلحصائي لذلك نحتاج إلى رقم يعبر عنها وخير مقياس يعبر عنها هو االنحراف المعياري ويعرف بأنه الجذر التربيعي الموجب للتباين. حيث يعرف التباين. عن متوسطها الحسابي بأنه متوسط مجموع مربعات انحرافات القيم أوال: التباين واالنحراف المعياري في حالة البيانات المباشرة: 1 ( - ) وفي هذه الحالة يعرف التباين بالعالقة: 1 1 ويبرهن على أن: ويعرف االنحراف المعياري بأنه الجذر التربيعي الموجب للتشتت أي: 10

1 1 ويبرهن أن: 1 ( - ) مثال )6(: احسب االنحراف المعياري للقيم اآلتية: 1 11 10 9 1 9 10 11 1 10 الحل: نحسب المتوسط الحسابي لها: فيكون التشتت: ( - ) 1 ( - 10 ) ( 9-10) (10-10) 1 1 10.4 (11-10) (1-10) ويكون االنحراف المعياري للقيم مساويا ل: 10.4 3... 3 عندئذ 1 ثانيا: التباين واالنحراف المعياري في حالة البيانات المبوبة: لتكن لدينا مراكز البيانات:. 3 1 والتي لها التكرارات: يعطى التشتت بالعالقة: 1 1. حيث أن: 1 ( - ) 1 وبالتالي إن االنحراف المعياري يعطى بالعالقة التالية: 1 ( - ) 1 11

10 مثال )7(: احسب التباين واالنحراف المعياري لمجموعة البيانات اآلتية: 10 1 1 0 0 30 المجموع 0 الفئات 8 تكرار 1 1 10 الحل: نكتب الجدول بعد حساب المتوسط: 1 1 فئة. [- 10[ [10 -[ [1-0[ [0 -[ [ -0] 8 7. 1 1. 1 1 7. 10. 7.. 83 0 16.7 60-9. 84.64 677.1 1 0 6. 13 7. 0 83-4. 17.64 11.68 0. 8 0.64 9.60.8 33.64 36.40 10.8 116.64 83.0 1818 1 ( 1 - ) 1818 0 36,36 فيكون التباين: 1

1 ( 1 - ) 1818 0 فيكون االنحراف المعياري: 36.36 6.099 مالحظة: يمكن تبسيط دستور حساب التباين كما يلي: 1-1 نعلم أن: و أن وبالتالي فإن: 1 ( - ) 1.. 1 1 -.. -. 1 1. 1 1 -. 1 - وبالتالي فإن: - تطبيقات االنحراف المعياري: يستخدم االنحراف المعياري في جميع الدراسات واألبحاث وهو يدخل في تعريف معامل االختالف ويعتمد عليه في إنشاء مجاالت الثقة المختلفة ويدخل في صياغة العديد من المؤشرات اإلحصائية التي تعبر عن تشتت القيم X عن متوسطها ويعتمد عليه في اختبارات الفرضيات وفي اتخاذ القرارات وغير ذلك... الخ. معامل االختالف :)Coecet o Varco (CV وهو الشكل النسبي لالنحراف المعياري ويعرف بالعالقة: 13

CV 100 وهو يعبر عن التشتت النسبي للظاهرة المدروسة وإن قيمته تكون كبيرة إذا كانت أكثر من %0. إنشاء مجاالت الثقة: يستفاد من االنحراف المعياري في إنشاء مجاالت الثقة المختلفة حول المتوسط X التالية: مجال الثقة األول: وهو المجال الذي يعتمد على العبارة ± σ أي أنه هو المجال [σ ] σ, + وهو يتضمن حوالي %68 فقط من القيم المتوفرة أو غير المتوفرة X. مجال الثقة الثاني: وهو المجال الذي يعتمد على العبارة ± σ أي أنه هو المجال:.X وهو يتضمن حوالي %9 من القيم المتوفرة وغير المتوفرة [ σ, + σ] مجال الثقة الثالث: وهو المجال الذي يعتمد على العبارة ± 3σ أي أنه هو المجال:.X وهو يتضمن حوالي %99.7 من القيم المتوفرة وغير المتوفرة [ 3σ, + 3σ] ويمكننا تجسيد هذه المجاالت على المحور OX كما يلي: ويستفاد من هذه المجاالت في جميع مسائل التقدير واتخاذ القرارات. CV مثال )(: أوجد معامل االختالف ومجاالت الثقة للبيانات في المثال السابق وهكذا نجد أن معامل االختالف يساوي: 6.099 100 = 100 36.36 14 وإلنشاء مجاالت الثقة نجد أن: - المجال األول للثقة وهو:

, 36.36 6,099,36.36 6,099 30.34,4.38 المجال الثاني للثقة وهو:, 36.36 6,099,36.36 6,099 4.31, 48.41 المجال الثالث للثقة وهو: 3, 3 36.36 36,099,36.36 36,099 18.30,4.7 - - العزوم المركزية: سنقتصر على تعريف العزمين الثالث والرابع وهما: - العزم المركزي الثالث: وهو تعميم لفكرة التباين وهو عبارة عن متوسط مكعبات انحرافات القيم عن متوسطها الحسابي ويعرف بالعالقة التالية: M 1 3 ( - ) 1 ويتميز هذا العزم بأن قيمته يمكن أن تكون موجبة أو سالبة أو معدومة ألن اسه مفرد )يساوي 3(. فإذا كانت قيمته موجبة فإن هذا يحصل بسبب أن أكثر القيم تكون واقعة في جهة اليمين عن المتوسط الحسابي وهذا يعني أن التوزيع التكراري ل X يكون مائال إلى اليمين. أما إذا كانت قيمته سالبة فإن هذا يحصل بسبب أن أكثر القيم تكون واقعة في جهة اليسار عن المتوسط الحسابي وهذا يعني أن التوزيع التكراري ل X يكون مائال إلى اليسار. أما إذا كانت قيمته مساوية للصفر فإن هذا يحدث عندما تكون القيم موزعة بالتساوي تقريبا على جانبي المتوسط الحسابي وهذا يعني أن التوزيع التكراري ل X يكون متناظرا أو شبه متناظر حول المتوسط. - العزم المركزي الرابع: وهو أيضا تعميم لفكرة التباين. وهو عبارة عن متوسط األس الرابع النحرافات القيم عن متوسطها الحسابي ويعرف بالعالقة التالية: M 1 4 1 ( - ) 3 4 وإن هذا العزم يأخذ قيمة موجبة دوما )ألن أسه 4 زوجي( ويستخدم في قياس تطاول التوزيعات التكرارية للمتحوالت العشوائية. 1

Reerece 1) Bostatstcs For the Bologcal Ad Health Sceces Marc M. Trola M.D Maro F. Trola ) College Mathematcs For Busess Ecoomcs le ceces R.A Barett + M.R. Zegler + K.E. Bylee (008 edto). إضافات مدرس المقرر 16