جامعة العقيد الحاج لخضر - باتنة - 1 كلية العلوم االقتصادية والتجارية وعلوم التسيير قسم التعليم األساسي مادة II دروس وتطبيقات الرياضيات لطلبة السنة األولى الثاني السداسي إعداد أساتذة المادة
الفهرس العام 20 الفصل األول: الفضاءات الشعاع ة 11 التمار ن سلسلة 1 11 الفصل الثاني: التطب قات الخط ة 20 سلسلة التمار ن 2 22 الفصل الثالث: المصفوفات والمحددات 84 التمار ن سلسلة 3 الفصل الرابع: الفصل الخامس: حل جمل المعادالت الخط ة الق م الذات ة واألشعة الذات ة 84 18 14 التمار ن سلسلة 4 14 0217 / 0211 امتحان الثاني السداسي مع اإلجابة النموذجية - 1
الفصل األول الفضاءاث الشؼاػيت تعريف الفضاء الشعاعي التركيبات الخطية لألشعة االستقالل واالرتباط الخطي األساس والبعد 2
تعاريف و أمثلة: تؼزيف: لتكن E مجموعة غ ر خال ة, E )او قانون ترك ب داخل ( كل تطب ق من نسم ) ( عملية داخلية ع ىل نحو عبر التعر ف عل ان ترك ب كل عنصر ن من المجموعة هو عنصر وح د من أي: مثال: عمل ة داخل ة ف IN ل ست عمل ة داخل ة ف IN " P االتحاد و التقاطع عمل ات داخل ة ف ) )P " مجموعة اجزاء تؼزيف: لتكن E مجموعة غ ر خال ة مزودة بعمل ة داخل ة نرمز لها ب نقول ان ) ( زمرة اذا تحققت الشروط الثالثة التال ة: العمل ة ) ( تجم ع ة وجد ف عنصر ح ادي رمز له ب ) او ( بح ث : 1 2 y كل عنصر قبل نظ را بالنسبة ل بح ث 3 ا ن هو العنصر الح ادي للعمل ة ) ) اذا كانت العمل ة ) ( تبد ل ه أي: فإننا نقول ) ( انها زمرة تبديليه مالحظة: العنصر الح ادي اذا وجد فهو وح د وهو نظ ر نفسه امثلة: ( ل ست زمرة الن ) ) ل ست عمل ة داخل ة ) ( ل ست زمرة ألنه مثال 1 ل س له نظ را ف ) ( زمر تبد ل ه كل من ) 3
لتكن كما ل : بح ث + ) )*, عرف الجمع ف تؤكد من ان: ) ( زمرة تبد ل ه تؼزيف: لتكن E مجموعة غ ر خال ة, نسم عمل ة خارج ة عل بتمث ل ف كل تطب ق من نحو مثال: الضرب بعذد حقيقي ليس عملية خارجية علي, لد نا : مثال من اجل و 4
الفضاءات الشعاعية على ) ( وبعمل ة خارج ة تؼزيف: لتكن E مجموعة غ ر خال ة مزودة بعمل ة داخل ة نرمز لها ب بتمث ل ف رمز لها ب ) ( ) ( فضاء شعاع عل ( ف ش( اذا تحقق ما ل : ( زمرة تبد ل ه ) 1 تحقق الخواص التال ة: ) ( العمل ة 2 "جمع االعداد الحق ق ة توز ع بالنسبة ل ) ( " " ) ( توز ع بالنسبة ل " جمع عناصر من مالحظة: عناصر تسم اشعة و عناصر سلم ات العنصر الح ادي سم الشعاع المعدوم كل فضاء شعاع شمل عل االقل الشعاع المعدوم ومنه من غ ر الممكن ان كون خال ا قضيت: مالحظة: مثال: لنتحقق من أن هو ف ش من أجل العمل ات ) ( و( ( المعرفة كما ل : { ) ( عمل ة داخل ة عل من الواضح ان:,تجم ع ة وتبد ل ه هو العنصر الح ادي بالنسبة ل( ) 5
اذا كان ) ( فان هو نظ ر و رمز له ب من جهة أخرى: ) ( ه عمل ة خارج ة تحقق: سوف نتعامل كث را مع المجموعات التال ة: ) ( و ه مجموعة الثنائ ات ) ( بح ث ه مجموعة الثالث ات ) ( بح ث الفضاء الشؼاػي الجزئي:, نقول عن تؼزيف: لتكن مجموعة جزئ ة من ف ش وفقط إذا تحقق ما ل : أنه فضاء شعاع جزئ من إذا / مستقر بالنسبة ل ) ) { / مستقر بالنسبة ل ) ) مالحظات: " إذن: من ف ش ج غ ر خال إذن وجد " بمان و منه اي مثال: * + المجموعة الجزئ ة من المعرفة ب: ل ست ف ش ج ألن ) ( ه ف ش ج ل كل فضاء شعاع جزئ هو فضاء شعاع, إذن إلثبات أن مجموعة ما ه فضاء شعاع كف إثبات أنها فضاء شعاع جزئ ل فضاء شعاع معروف, قضيت: ل كن جزء من غ ر خال { ) ف ش ج ل ( 6
مالحظة: عمل ا إلثبات غ ر خال أن أن نتحقق من مثال: معرف كما ل +: ) *( ل كن جزء من : لنثبت أن لد نا: ف ش ج من / ل كن: * ( / و أشعة من نضع: * ( * ( / لنتحقق ان : اذن ف ش ج ل مالحظات: هو ف ش ج تقاطع أسرة فضاءات ش ج من "االتحاد ل س صح حا ف الحالة العامة" ف ش ج من فان ف ش ج من و ف ش ج من اذا كان هو ف ش ج من ف ش إلثبات أن جزء نستخدم: ) ونب ن االستقرار بالنسبة للعمل ة الداخل ة و الخارج ة غ ر خال ( التحقق أوال أن "التعر ف او القض ة" هو تقاطع ل ف ش ج من إثبات ان المولد بؤشعة من هو الفضاء الشعاع الجزئ من إثبات ان هو نواة أو صورة تطب ق خط إثبات ان 1 2 3 تمرين: هو لد نا: ف ش ول كن بح ث: + ) *( أثبت أن هو ف ش ج من 7
التركيبات الخطية: تزكيب خطي ل شؼاع:, نسم الشعاع تؼزيف: ل كن } { P شعاعا من تركيبا خطيا لألشعة } { اذا وجدت السلم ات من IR بح ث : أمثلة: { / / /} ف 1( الشعاع / هو ترك ب خط لألشعة لد نا : / / / / أو / / / / ف مجموعة كث رات الحدود الحق ق ة -,, كث ر الحدود هو ترك ب خط لكث رات الحدود: * + )2 ( ) لد نا: فضاء شؼاػي جزئي مولذ ب شؼاع:, و لنرمز ب تؼزيف: ل كن و أشعة من للمجموعة الجزئ ة من : المكونة من كل الترك بات الخط ة لألشعة { } رمز له ب: المجموعة ه ف ش ج من و سم الفضاء الشعاع الجزئ المولد ب } { و { } 8
{ } { } أمثلة: { } )1 ل كن : لنب ن أن ف ش ج من لد نا: } + ( + ( { } + {( نالحظ أن هو مجموعة كل الترك بات الخط ة لألشعة :+ ( و + ( و منه مولد ف ش ج ( + ( + و نكتب: و باألشعة / / { / / } { / } من أجل: إذن: فهو ف ش ج من وهندس ا هو مستق م مر بالمبدأ ) ( )المنص ف األول( )2 األساس والبؼذ: P شعاع من الف ش الجملت المولذة: ل كن على الحقل نسم } { جملة مولدة ل إذا وفقط إذا كان مولد ب } { " { } " أي: مثال: نالحظ أنه من أجل كل شعاع / من لد نا : / ( * / ( * / / إذن كل شعاع من كتب كترك ب خط ل / / و منه الجملة {/ / } ه جملة مولدة ل و نكتب / / 9
بؼذ فضاء شؼاػي: نقول عن فضاء شعاع أنه ذا بعد منته إذا وجدت جملة مولدة ل منته ة "تشمل عدد منته من العناصر" مثال: هو ف ش حق ق منته البعد ألن : / / االستقالل الخطي: ل كن ف ش حق ق تؼزيف: جملة األشعة + * من مستقلة خط ا إذا كان : تؼزيف: الجملة الت ل ست مستقلة خط ا ه مرتبطة خط ا أمثلة: )1 لنب ن أن /} / { جملة مستقلة من : / بح ث: من ل كن / / / / / ومنه األشعة مستقلة خط ا اذن 2( ب ن أن االشعة {/ / } ل ست مستقلة خط ا ف / / ل كن بح ث: من { لد نا: إذن ل س بالضرورة )للجملة عدد غ ر منته من الحلول ومنه األشعة مرتبطة خط ا( )3 ب ن أن األشعة +} ( + ( + {( مرتبطة خط ا مالحظة: إذا أمكن كتابة أحد األشعة كترك ب خط للبق ة فالجملة مرتبطة خط ا 10
خواص: ه أ ضا جملة مولدة جزئ ة تحوي جملة مولدة ل كل مجموعة 1 كل مجموعة جزئ ة من جملة مستقلة ه جملة مستقلة 2 كل مجموعة تشمل شعاع معدوم ه مرتبطة 3 كل جملة تشمل شعاع وح د غ ر معدوم ه مستقلة خط ا 4 األساس: نقول عن جملة أشعة غ ر خال ة من أنها أساس ل إذا و فقط إذا كانت مستقلة و مولدة مستقلة خط ا { ) أساس ل ( مولدة مالحظة: كل فضاء شعاع ملك أساسا أمثلة: الجملة /} / { أساس ل, و سمى األساس القانون ل ل كن ف ش على ذا بعد منته و أساس ل مكون من شعاع قضيت: هو و نرمز له ب كتب و بطر قة وح دة كترك ب خط عنصرا و نقول أن بعد شمل بالضبط كل أساس آخر ل 1 (* +) ولد نا: عنصرا كل جملة مستقلة تشمل على األكثر 2 عنصرا كل جملة مولدة تشمل على األقل 3 فإن كل شعاع من أساس ل * إذا كان + 4, ل بالنسبة لألساس تسم بمركبات السلم ات, نظزيه 1 : إذا كان ف ش ج بعده فإن كل جملة أشعة مكونة من شعاع تكون أساسا ل إذا كانت مستقلة خط ا مولدة أو نظزيه 2 :)بؼذ فضاء شؼاػي جزئي( ل كن ف ش حق ق ذو بعد منته و من ف ش ج إذن: ذو بعد منته و 11
ولد نا: رتبت جملت اشؼت: لتكن } { جملة p شعاع من ف ش حق ق رتبة نسم بعد الفضاء الشعاع الجزئ المولد ب خصائض: 1 ) مستقلة خط ا ) ( ( 2 رتبة هو العدد األكبر من األشعة المستقلة خط ا الت مكن استخراجها من 3 إذا كان ذو بعد منته فان: ) ( 4 إذا كان ذو بعد منته فان: ) جملة مولدة ) ( ( 5 مثال: ( + ( + ( + ف الف ش, من أجل األشعة : ل كن بح ث: من { { اذن: و منه األشعة مستقلة خط ا إذن ) ( الجمغ المباشز لفضاءاث شؼاػيه جزئيت: تؼزيف: هو ل كن ف ش و ف ش ج من نسم مجموع الفضاء الشعاع من المعرف كما ل : * + و رمز له ب: و لد نا: ) ( 12
ش ج " ف ش ج من تؼزيف :" الجمغ المباشز لفضائين ل كن هو ف ش و * + نقول أن مجموع مباشرا إذا كان: و رمز له ب قضيت: من أجل ف ش حق ق و ع ىل الترت ب, فإن القضا ا التال ة متكافئة: ف ش ج من و ل كن أساس ن ل المجموع اذا كان مباشر و بح ث و أساس ل فان 1 2 3 4 تؼزيف: " الفضاء الشؼاػي الجزئي اإلضافي" نقول عن فضائ ن شعاع ن جزئ ن من ف ش الحق ق إضاف ان ف إذا كان { * + اي: و منه فان: مثال: ل كن: } ) {( و } ) {( مولد ب + ( و + ( لقد سبق برهان أن هو ف ش ج من مولد ب + ( و لد نا هو ف ش ج من لنب ن أن إضاف ان ف أي, ل كن,اذن ومنه وبالتال ( + * + اذن ومنه ل كن لنع ن و بح ث, 13
و منه + ( + ( ومنه من أجل : نجد أن: + ( + ( ومنه كتب على شكل مجموع شعاع ن من و إذن : 14
15
الفصل الثاني التطبيقاث الخطيت تعريف التطبيق الخطي صورة ونواة تطبيق خطي تباين وغمر التطبيق الخطي 16
التطبيقات الخطية تعريف التطبيق الخطي:, و ل كن فضاء ن شعاع ن على نقول أن التطب ق معرف من نحو خط إذا تحقق ما ل : نرمز لمجموعة التطب قات الخط ة المعرفة من نحو ب : ) ( L مثال : ل كن : لنثبت أن: تطب قا خط ا ( ) ( ) 17
( ) إذن هو عبارة عن تطب ق خط : مالحظة 1 إذا كان ) )L إذن مثال : ل كن: لد نا: ) ) (( إذن ل س تطب قا خط ا مالحظة 2: ل كن : ) L( و 18
( + أو بطر قة ثان ة نعرف التطب ق الخط كما ل : تعريف ل كن ) ( L, نقول عن أنه تطب قا خط ا إذا تحقق ما ل : _ صورة التطبيق الخطي الغامر 2 تذك ر: نقول عن تطب ق معرف من نحو أنه غامر إذا تحقق ما ل : غامر ) ( تعريف : ل كن ) L( تعرف صورة و رمز لها بالرمز( ( مجموعة صور كل األشعة ف * + * + مالحظة 1 : إذا كان ) ( L إذن( ( ه عبارة عن فضاء شعاع جزئ من 19
مالحظة : 2, ل كن ) ( L نقول أن غامر إذا و فقط إذا تحقق ما ل : مثال 1 ل كن هو عبارة عن تطب ق خط معرف من نحو لنحسب * + وبما أن الشعاعان ) ( مستقالن خط ا فهما أساس ل إذن ) (,أي أن غامر ) ( ومنه ) ( مثال 2: ل كن : 20 هو عبارة عن تطب ق خط
ولد نا : )+ * ( و بالتال ) ( إذن ل س غامرا 3 نواة تطبيق خطي التطبيق الخطي المتباين: تذك ر: ل كن تطب قا معرفا من نحو,نقول أن متبا ن إذا تحقق ما ل : متبا ن )- (, أو متبا ن - ) (, تعريف:, مجموعة ل كن تطب قا خط ا معرفا من نحو نعرف نواة, و نرمز لها بالرمز العناصر من الت صورها معدومة أي : * + مالحظة : 1 إذا كان تطب قا خط ا معرفا من إذن نحو ه عبارة عن فضاء شعاع جزئ من مالحظة : 2, أنه متبا ن إذا و فقط إذا كان: نقول عن تطب ق خط معرف من نحو * + 21
مثال : 1 برهنا سابقا بؤن هو عبارة عن تطب ق خط غامر هل تطب ق خط متبا ن لد نا إذن : إذن :,*+- ومنه ل س متبا نا 4- تركيب تطبيقين خطيين تذكير L و L و ل كن فضاءات شعاع ة و التطب ق معرف كما ل : 22
, - قض ة و ل كن تطب ق ن معرف ن كما ل : و إذن هو عبارة عن تطب ق خط معرف من نحو البرهان:, -, -, -, - خط ن و ألن, -, - 23
, - خط ن و ألن إذن تطب ق خط إيزومورفيزم الفضاءات الشعاعية تعريف: نقول عن التطب ق المعرف من نحو أنه تقابل إذا وفقط إذا كان غامرا ومتبا نا التطب ق الخط التقابل المعرف من نحو هو عبارة عن إ زومورف زم مالحظة : هذا التعر ف ؤخذ الص غة الر اض ة التال ة : نقول عن تطب ق معرف من نحو أنه تقابل إذا وفقط إذا تحقق ما ل : مهما كن وجد مرتبط بكون غامر, ووحدان ة من كون متبا ن مثال: : التطب ق الخط المعرف من ب نحو هو عبارة عن إ زومورف زم ف 24
تعريف: نقول عن الفضاءات الشعاع ة و ا زومورم إذا وجد تطب ق ا زومورف زم معرف من نحو 1- حالة الفضاءات الشعاعية المنتهية البعد صورة األساس وفق تطبيق خطي : لنفرض أن فضاء شعاع منته البعد و + * ل كن ) ( أساسا ل L إذن بخط ة التطب ق نجد أن : * + نستنتج أن ) ( مولدة باألشعة قضية: ل كن تطب قا معرفا من لد نا : نحو تطب ق متبا ن اذا وفقط اذا كانت صورة جملة مولدة مستقلة من جملة مستقلة ف ه عبارة عن 1( تطب ق غامر اذا وفقط اذا كانت صورة جملة مولدة من مولدة من ه عبارة عن جملة 2( تطب ق تقابل اذا وفقط اذا كانت صورة أساس من ه أساس ف 3( البرهان غامر إذا وفقط إذا كانت صورة جملة مستقلة ف ه جملة مستقلة ف 1: لنبرهن أن : 25
( لنفرض أن غامر } { جملة مستقلة ف إذن ) ( لتكن : لنبرهن أن : )+ ( * جملة مستقلة ف لد نا: ألن : + * ) ( )حسب متبا ن( { جملة مستقلة ف ألن } )} ( { مستقلة ف إذن نقول أن : ( لنفرض أن صورة جملة مستقلة ف ه جملة مستقلة ف لنفرض ونبرهن أن لتكن + * أساس ل إذن وجد 26
بح ث: * + بما أن : + * أساس ل إذن جملة مستقلة ف وبالتال * + نستنتج أن إذن ومنه وبالتال متبا ن بنفس الطر قة تم البرهان على النقطة )2 ) و )3 ) ف القض ة مالحظة 1: L لنفرض أن فضاء شعاع ذو بعد منته, إذن لد نا : إذا كان ومتبا ن فإن إذا كان ) ( L وغامر إذن مالحظة 2: إذا كان فضاء شعاع ذو بعد منته وكان و ا زومورف إذن هو عبارة عن فضاء شعاع منته البعد و لد نا : رتبة تطبيق خطي: تذكير 27
إذا كان تطب ق تطب ق خط معرف من نحو و ) ( ه عبارة عن فضاء شعاع جزئ, نالحظ أن ) ( من مولدة بصورة أساس من تملك جملة مولدة منته ة إذن ه عبارة عن فضاء شعاع منته البعد تعريف :, تعرف رتبة التطب ق ل كن تطب ق معرف من نحو ونرمز لها بالرمز ) ( ه بعد الفضاء ) ( أي ) ( مالحظة : )تمييز التطبيقات الخطية المتباينة والغامرة ) و ل كن فضاى ن شعاع ن منته البعد, لنفرض أن ) ( و ) ( لد نا : ول كن تطب ق معرف من نحو 1 متبا ن ) ( 2 غامر ) ( نظرية البعد نظر ة, إذن : أ ن فضاء ذو بعد منته ساوي ل كن ): ( L ( ) ( ) مثال : 28
ل كن : نالحظ أن : إذن : * + ومنه وبالتال : حالة التطبيقات الخطية بين فضاءات شعاعية بنفس البعد, نفرض أن L ل كن : لد نا التكافآت المنطق ة التال ة : غامر متبا ن تقابل تمارين تدعيميه : 29
تمرين : 1 ل كن: 1_/ برهن أن خط /_ 2 أوجد ) ( تمرين : 2 + * األساس القانون ف ل كن : لنفرض أن : + * و نعرف التطب ق نحو من كما ل : / 1 برهن أن أساس ف ) ( أحسب ) ( / 2 ل كن : 30
/ 3 برهن أن تمرين : 3 ل كن : / 1 برهن أن تطب ق خط / 2 ع ن أساس ل ) ( / 3 ع ن أساس ل ) ( 31
32
الفصل الثالث المصفوفاث والمحذداث تعريف المصفوفة المصفوفة المرافقة لتطبيق خطي عمليات على المصفوفات المحددات حساب مقلوب مصفوفة 33
1/ تعريف المصفوفة ل كن الحقل ول كن لنؤخذ المقاد ر السلم ة )األعداد الحق ق ة( من الحقل ح ث نسم مصفوفة الجدول التال : سطرا و مجموعة العناصر الت لها نفس الدل ل تسمى مجموعة العناصر الت لها نفس الدل ل األول عمودا وأنها من الدرجة سطرا و عمودا ونقول عندئذ أن المصفوفة ذات الثان والعمود قع ف السطر العنصر ) ( نرمز عادة لهذه المصفوفة بالرمز ) ( عمودا بالرمز سطرا و ونرمز لمجموعة المصفوفات ذات إذا وفقط إذا كانتا من نفس الدرجة )لهما نفس عدد, ) ( تتساوى مصفوفتان ) ( األسطر ونفس عدد األعمدة( وكانت عناصرهما المتناظرة متساو ة أي ),, ( المصفوفة الصفر ة ه الت جم ع عناصرها معدومة أي المصفوفة المربعة ه الت كون ف ها عدد األسطر ساوي عدد األعمدة ) ( وهنا نقول أنها من الدرجة وتسمى العناصر أي,,, بالقطر الرئ س للمصفوفة وتكون المصفوفة المربعة: مثلث ة علو ة إذا كانت جم ع العناصر الت تحت القطر الرئ س معدومة, ) ( مثل ة سفل ة إذا كانت جم ع العناصر الت فوق القطر الرئ س معدومة, قطر ة إذا كانت جم ع عناصرها معدومة ما عدا عناصر القطر الرئ س ل ست كلها معدومة,, ( مثلث ة علو ة 34
, ( مثلث ة سفل ة, ( مصفوفة قطر ة وإذا كان لها بالرمز ف المصفوفة القطر ة فإنها تسمى مصفوفة الوحدة و رمز, ( +, / والمصفوفة المتناظرة أوالتناظر ة ه المصفوفة المربعة الت تكون عناصرها المتناظرة بالنسبة للقطر الرئ س متساو ة ) (, مثال: + ( مصفوفة متناظرة المصفوفة المرافقة لتطبيق خطي /0 ل كن, فضاء ن شعاع ن على الحقل + * أساسا ف, ببعد ن منته ن, على التوال, ول كن: + * أساسا ف,, ول كن تطب قا خط ا من نحو صور أشعة أساس : ) (, ) ( خط ألشعة أساس على النحو التال : ه أشعة من تكتب فه على شكل ترك ب 35
ح ث ه عناصر من الحقل نسم المصفوفة:, ( بالمصفوفة المرافقة للتطب ق الخط بالنسبة لألساس + * ف + * ف ونقول أ ضا أن هو التطب ق الخط المرافق للمصفوفة واألساس الحظ أن العمود األول للمصفوفة مكون من المقاد ر السلم ة للمزج الخط ف المعادلة األولى, والعمود الثان من المعادلة الثان ة وهكذا إلى آخر عمود ) ( عدد أشعة أساس فضاء المنطلق عدد األعمدة ) ( عدد أشعة أساس فضاء الوصول)المستقر( عدد األسطر فإن المصفوفة المرافقة له تكون ذات أربعة أعمدة نحو فمثال إذا كان التطب ق الخط معرفا من وسطران, وإذا كانت المصفوفة ذات ثالثة أسطر وخمسة أعمدة فإن التطب ق الخط المرافق لها كون معرفا من نحو مالحظة إذا غ رنا األساس فإن عناصر المصفوفة أ ضا تتغ ر ( ه رتبة التطب ق الخط المرافق لها وه أ ضا أكبر عدد أشعة أعمدة ) تعر ف رتبة المصفوفة تكون مستقلة خط ا ونقصد بؤشعة أعمدة األشعة المكونة من عناصر األعمدة فكل عمود عط نا مركبات شعاع مثال: ماه رتبة المصفوفة + ( ( +, ( +, أشعة األعمدة ه + ( فإذا كانت هذه األشعة مستقلة خط ا فالمصفوفة رتبتها 3 وإذا لم تكن كذلك نبحث هل وجد شعاعان مستقالن خط ا وف هذه الحالة رتبتها 2 وإذا كانت كل األشعة مرتبطة خط ا مثنى مثنى فالرتبة 1 و مكننا البحث عن التطب ق الخط المرافق لها ثم نع ن الرتبة تمرين تطب قا ل كن خط ا معرفا كما ل : وفق األساس القانون + * ل واألساس القانون + * ل 36
ع ن المصفوفة المرافقة ل الحل على شكل ترك ب خط ألشعة أساس فضاء نكتب صور أشعة أساس فضاء المنطلق بواسطة المستقر: وتكون المصفوفة المرافقة للتطب ق الخط ه ( + نذكر أن )+ ( * و )+ ( ) ( ) ( * نبحث عن عناصر المصفوفة باستخدام عبارة ( ) ( ) ف المعادلة )1( نعوض ق مة ) ( نحصل على جملة ثالث معادالت وثالثة مجاه ل: { { ف المعادلة )2( نجد ثم نعوض ق مة ) ( فنحصل على الجملة: { { ( + إذن ) الحظ أن المصفوفة ذات عمود ن )بعد ) وثالثة أسطر )بعد / تمرين ع ن التطب ق الخط المرافق للمصفوفة التال ة: 37
الحل نالحظ أن المصفوفة ذات ثالثة أعمدة وسطران فالتطب ق الخط المرافق لها معرف من نحو فلنبحث عن ) ( سوف نستخدم األسس القانون ة للفضاء ن: )+ ( ) ( ) ( * أساس و )+ ( * أساس لنكتب صور أشعة أساس فضاء المنطلق بواسطة على شكل ترك ب خط ألشعة أساس فضاء المستقر بح ث تكون المقاد ر السلم ة للتراك ب الخط ة ه عناصر المصفوفة : ( ) ( ) ( ) ح ث ( ) ( ) ( ), فهو كتب على الشكل: ( ) إذن ل كن ) ( إذن شعاع من وبما أن تطب ق خط نستط ع أن نكتب ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) أخ را, التطب ق الخط المرافق للمصفوفة هو 38
عمليات على 2/ المصفوفات مجموعة المصفوفات تشكل بن ة فضاء شعاع )بالنسبة للجمع والضرب بعدد حق ق ( لذلك سنعرف طرق الحساب ف هذا الفضاء من جمع وضرب بمقدار سلم وطرح ونعرف أ ضا بعمل ة الضرب ب ن المصفوفات هذه العمل ات تعتمد ف أصلها على نفس العمل ات ب ن التطب قات الخط ة المرافقة لها فمثال جداء مصفوفت ن أصله ترك ب التطب ق ن الخط ن ) ( المرافق ن للمصفوفت ن والجمع عر ف على أساس مجموع التطب ق ن الخط ن ) ( ونفس األمر بالنسبة للضرب بمقدار سلم ) ) وسوف نقتصر على الطرق العمل ة للحساب فقط 1/ مجموع مصفوفت ن لتكن المصفوفتان, ه وعناصر فإن مصفوفة المجموع من نفس الدرجة )لهما نفس عدد األسطر ونفس عدد األعمدة( ح ث عناصر ه ) ( مكونة من العناصر ح ث وإذا كانت المصفوفتان ل ستا من نفس الدرجة فإن المجموع غ ر معر ف مثال: ( + ( + ( + ( + ب مصفوفة بمقدار سلم )عدد حق ق ( مصفوفة و عدد حق ق لحساب الجداء نضرب العدد ف جم ع عناصر المصفوفة 2 ضر/ لتكن أمثلة: / / ( + ( + من نفس الدرجة فإن عمل ة الطرح تكون بضرب 3 ط/ رح مصفوفت ن إذا كانت المصفوفتان ) (, ) ( المصفوفة الثان ة ف العدد الحق ق ) ( ثم نجمع أي أن عناصر ) ( ه مثال: / /, )نفس عمل ة الجمع لكن باستبدال ) ( بالعمل ة ) ( ( / / 39
/4 جداء المصفوفات لتكن المصفوفتان ) ( كون الجداء و, معرفا إذا كان عدد أعمدة من الدرجة و بفرض فإذا كانت مساو ا لعدد أسطر فإن ح ث ) ( من الدرجة (, (, (, فعلى سب ل المثال عمل ا, للحصول على نضرب السطر األول للمصفوفة ف العمود األول للمصفوفة وللحصول على نضرب السطر األول للمصفوفة ف العمود الثان للمصفوفة وهكذا وللحصول على نضرب السطر الثان للمصفوفة ف العمود األول للمصفوفة ومعنى سطر جداء عمود هو ناتج: للسطر العنصر الثان للعمود( )العنصر األول للسطر العنصر األول للعمود( )العنصر الثان )العنصر األخ ر للسطر العنصر األخ ر للعمود( مثال: لنحسب الجداءات التال ة 40
( + ( + ( ) ( + / ( ) ( + ( ) ( + ( ) ( + من خالل الجداء ن األخ ر ن نستنتج أن ضرب المصفوفات ليس تبديليا 5/ منقول مصفوفة ح ث ه المصفوفة فإن منقول المصفوفة ) ( لتكن المصفوفة ) (, فللحصول على منقول المصفوفة نجعل األسطر أعمدة و ) ( واألعمدة أسطرا ) ( نتج من هذا التعر ف أن تسمى مصفوفة متناظرة فإن إذا كان ولد نا أ ضا: مثال ( + ( + 41
/ ( + 6/ أ مصفوفة مربعة لتكن المصفوفة المربعة هو مجموع عناصر القطر الرئ س و رمز له بالرمز ) ( أثر المصفوفة, أي أن مثال ( + 1/ المحددات أو الذي عطى بالعبارة التال ة: لتكن ) ( محدد )أو مع ن( المصفوفة مصفوفة مربعة ح ث هو العدد الحق ق ) ( ح ث ه المصفوفة الناتجة من حذف السطر والعمود من المصفوفة و ختار من ب ن الق م من إلى ومن األفضل اخت ار السطر الذي حوي أكبر عدد من األصفار عطى محدد المصفوفة ذات العنصر الوح د )سطر وعمود واحد( كما ل : ) ( ) أمثلة: إذا كانت المصفوفة من الدرجة الثان ة فإن محددها حسب كما ل : )لنختر أي أن / 42
/ / مثال أم ا محدد مصفوفة من الدرجة الثالثة ف حسب كما ل : )باخت ار ) ( + / / / أي أننا قمنا ب : شطب السطر األول والعمود األول ف تقاطعان عند ثم شطب السطر األول والعمود األول ف تقاطعان عند ثم شطب السطر األول والعمود األول ف تقاطعان عند مع المحافظة على تناوب اإلشارة + ثم ثم + جداء المحدد المتبق بعد الشطب جداء المحدد المتبق بعد الشطب جداء المحدد المتبق بعد الشطب مثال: لنحسب محدد المصفوفة + ( ح ث, -, -, -, -, -, - 43
الحظ أنه لو اخترنا هنا السطر الثالث بدل األول لسهلت عمل ة الحساب الحتوائه على صفر طر قة أخرى لحساب محدد مصفوفة من الدرجة الثالثة نقوم بإعادة كتابة العمود ن األول والثان أمام المصفوفة وسالبة هكذا: ثم نستعمل أسهم قطر ة مع إشارات موجبة جداء عناصر القطر النازل جداء عناصر القطر النازل الثان المحدد جداء عناصر القطر النازل األول جداء عناصر جداء عناصر القطر الصاعد الثان جداء عناصر القطر الصاعد األول الثالث القطر النازل الثالث لنطبق هذه الطر قة على المثال السابق ( + تمر ن لنحسب محدد المصفوفة التال ة: 44
(, ثم نحسب المحددات الت من الدرجة الثالثة بؤحد الطرق السابقة نجد: مالحظة )1 2( محدد المصفوفة القطر ة والمثلث ة العلو ة أو السفل ة ساوي جداء عناصر القطر الرئ س ( + أمثلة ( + ( + 1/ حساب مقلوب مصفوفة التطب ق الخط المرافق لها تقابل أشعة أعمدة وأسطر مستقلة خط ا لتكن المصفوفة قابلة للقلب قابلة للقلب قابلة للقلب نرمز لمقلوب المصفوفة ب وتعطى بالعالقة التال ة: 45
و ) ( ه مصفوفة ناتجة من ح ث و ه المصفوفة الناتجة من حذف السطر والعمود نسم ) ( بالمصفوفة المرافقة ل مثال أحسب مقلوب المصفوفة التال ة ( + قابلة للقلب إذن ( + ( + ( ) إذن ( + 46
( + ( + مالحظة 47
48
الفصل الرابع حل جمل المؼادالث الخطيت الكتابة المصفوفية للجملة طريقة كرامر طريقة قلب مصفوفة المعامالت طريقة غوس 49
جملة معادالت خطية الجملة : مجهول : نسم جملة معادلة خط ة ذات تعريف : { المصفوفة و مع عناصر من الحقل تسمى مصفوفة الجملة و رتبتها تسمى رتبة الجملة, و سمى الشعاع ) ( الطرف الثان للجملة ح ث و من عندما كون الطرف الثان معدوما نقول أن الجملة متجانسة و ه تقبل على األقل الحل )0,,0,0 ) المسمى بالحل الصفري أو الحل التافه الكتابة المصفوفية للجملة : لنعتبر الشعاع ن ) ( و, ( عندئذ نكتب الجملة )1( بالشكل : ح ث : و بالتال حل الجملة )1( إول الى إ جاد الشعاع حل المعادلة )2( 1- طريقة كرامر : نقول عن الجملة )1( أنها جملة كرامر إذا كان و كانت المصفوفة قابلة تعريف : للقلب حل جملة معادالت خطية بطريقة كرامر : 50
لتكن الجملة : نرمز ب : ) (, بتبد ل عمودها األول بالشعاع بالشعاع و هكذا إذن : و, و ب : {, ه المصفوفة الناتجة عن المصفوفة الناتجة عن بتبد ل عمودها الثان (,,, إذا كان محدد المصفوفة غ ر معدوم كون للجملة حل وح د عطى بالعالقة :,,, مثال : لتكن الجملة : { ) ( و,, لد نا :, و منه للجملة حل وح د عطى بالشكل : = -17 0 = = 1, = 2 51
0- حل جملة معادالت خطية بقلب مصفوفة المعامالت : لتكن جملة المعادالت )3(, الت شكلها المصفوف بعد ضرب طرف المساواة ف من جهة ال سار نجد:, لنفرض أن و منه مثال : حل الجملة : {, و منه : =, لد نا : إذن :, حل جملة معادالت خطية بطريقة غوس Gauss( (:,, لتكن الجملة : و -2 تعتمد طر قة غوس على طرح مضاعفات المعادلة األولى من المعادالت األخرى ف المرحلة األولى و طرح مضاعفات المعادلة الثان ة من المعادالت األخرى ف المرحلة الثان ة, و هكذا حتى نتحصل على مصفوفة مثلث ة علو ة و نحل الجملة الجد دة مباشرة مثال : لتكن الجملة : { = 1 الخطوة األولى : 0 ( سمى المفصل, )le pivot, لد نا : ( + ( + و منه حل الجملة السابقة مكافئ لحل الجملة التال ة : 52
{ ( + فنحصل على : مالحظة : عندما ظهر المفصل المعدوم جب تغ ر تلك المعادلة بالت تل ها مباشرة 53
الفصل الخامس القيم الذاتيت واألشؼت الذاتيت 54
القيم الذاتية و األشعة الذاتية تعريف 1: مصفوفة من ) (, نقول عن من أنها ق مة ذات ة للتطب ق الخط المرافق للمصفوفة المعرف على الفضاء الشعاع إذا وجد شعاع من بح ث : ) ( سمى شعاع ذات مرفق بالق مة الذات ة تعريف 0: من نقول عن الشعاع من أنه شعاع ذات للمصفوفة, تسمى إذا وجدت سلم ة بح ث كون ق مة ذات ة ملحقة بالشعاع كثير الحدود المميز : الخط المرافق ل نسم ح ث ) ( بكث ر الحدود المم ز للتطب ق جذور المعادلة ) ( تمثل الق م الذات ة للمصفوفة مثال : لتكن المصفوفة التال ة : / كث ر الحدود المم ز ل : و منه : و ه الق م الذات ة المرافقة للمصفوفة األشعة الذات ة المشاركة لهذه الق م الذات ة تحقق : من أجل لد نا : / / / / إذن الشعاع الذات المرافق للق مة الذات ة هو, و الفضاء الشعاع λ,- الجزئ الذات المشارك لهذه الق مة هو : من أجل لد نا : / / / / 55
إذن الشعاع الذات المرافق للق مة الذات ة ) ( هو, و الفضاء λ,- الشعاع الجزئ الذات المشارك لهذه الق مة هو : خواص : المشاركة للق م الذات ة األشعة الذات ة مستقلة خط ا الق م الذات ة لمصفوفة قطر ة ه عناصر القطر الرئ س لهذه المصفوفة على الترت ب -1-0 تقطير مصفوفة : نظرية 1: فضاء شعاع حق ق ذو بعد و تطب ق خط من ف إذا كان ل من األشعة الذات ة المختلفة فإن المصفوفة المرافقة ل ف هذا األساس ه مصفوفة قطر ة عدد مثال : حسب المثال السابق للمصفوفة الذي مصفوفته المرافقة ه معرف من ق مت ن ذات ت ن ف نفسها و, التطب ق الخط, و الشعاعان الذات ان ) ( حسب التعر ف لد نا : و ) ( مستقالن خط ا, فهما شكالن أساسا ل و منه المصفوفة المرافقة ل ف هذا األساس ه : / نظرية 0: تكون قابلة للتقط ر إذا كان : λ رتبة تضاعف تساوي مثال : ( + كث ر حدودها المم ز هو : (, 56
λ, فنحصل على : )-,( λ, نحدد و منه : و λ نالحظ أن : رتبة تضاعف, و منه المصفوفة غ ر قابلة للتقط ر ل كن أساس ف * و + على الحقل فضاء شعاع ذو بعد نتيجة : ف األساس المذكور إذا كانت المصفوفة المرافقة ل و ف تطب ق خط من, و المرافقة ل λ λ λ اشعة ذات ة مشاركة للق م الذات ة * + ف األساس, فإن المصفوفة المرافقة ل الى األساس مصفوفة العبور )االنتقال( من األساس ح ث :, و لتكن ه مصفوفة قطر ة وعناصر قطرها ه الق م الذات ة للتطب ق مثال : معرف بالشكل التال :, و منه : ( + المصفوفة المرافقة ل ف األساس النظام ه : ( λ ) ( λ)( λ)( λ) λ, λ, λ فنحصل على الق م الذات ة :, و األشعة الذات ة المشاركة لهذه الق م الذات ة :,,, ( + مصفوفة العبور من األساس النظام الى األساس + * ه : و منه : ( +, فنحصل على : ( + 57
58
59
60
61
62