مثال 1

لماذا بلغ عدد الكتب المستعارة من مكتبة األمير سلمان المركزية في جامعة الملك سعود عام 143 ه 330000 عدد الكتب المفهرسة 065863 كتاب ا. كتاب وبلغ إجمالي إذا كانت A(t) و B(t) تمث الن عدد الكتب المفهرسة وعدد الكتب المستعارة على الترتيب وt تمث ل السنة منذ 145 ه فإن عدد الكتب المفهرسة غير المعارة يعطى بالدالة B(t).A(t) - العمليات على : الدوال درست في الصف الثاني الثانوي عمليات الجمع والطرح والضرب والقسمة على كثيرات الحدود وفي هذا الدرس ستتعلم إحدى العمليات نفسها على الدوال.

مفهوم أساسي إذا كانت f, g دالتين يتقاطع مجاالهما فإننا نعرف عمليات الجمع والضرب والطرح والقسمة لجميع قيم x الموجودة في تقاطع المجالين على النحو اآلتي: f g x f x g x f g x f x g x الجمع : الطرح : f g x f x g x الضرب : f g x f x g x, g x 0 القسمة : في كل من الحاالت السابقة مجال الدال الجديدة يساوي تقاطع مجال الدالتين f و g باستثناء القيم التي تجعل = 0 g(x) في دالة القسمة.

f x x 4 x, g x x, h x 3x 5 : مثال 1 إذا كانت فاوجد كال من الدوال اآلتية ثم حدد مجالها f g x f x g x,, f g x x 4x x x x x g 4, f مجال الدالة هو لذا فإن مجال الدالة مجال الدالة هو تقاطع مجالي هو f, g وهو (f + g) )a

f h x f x h x x 4x 3x 5 x x x 4 3 5 f h x )b x x 5, (f - h) مجال الدالة كل من f, h هو, لذا فإن مجال الدالة

)c x 4x 3x 5 3 3x 5x 1x 0x 3 3x 7x 0x, (f. h) مجال الدالة كل من f, h هو, لذا فإن مجال الدالة

h h x 3x 5 x f f x x 4x h f x )d h f h f, x مجال الدالة كل من h, f و لكن أو هو تجعالن مقام الدالة صفرا لذا فإن مجال 4 x 0 x x 0, x 4, x R هو

فهمك تحقق من في كل مما يأتي ثم أوجد مجال كل دالة من الدوال الناتجة. 4, 9 f x x g x x f g x x 4 9 x D 3,3 f g x x 4 9 x D 3,3 f g x x 9 x 4 9 x D 3,3 f x 4 g 9 x x D 3,3 )1A

6 8, f x x x g x x f g x x 6x 8 x D 0, f g x x 6x 8 x D 0, )1B f g x x x 6x x 8 x D 0, f x x g x D 0, 6 8 x

تركيب الدوال : تنتج الدالة y x أو 3 y x 3 والدالة التربيعية y x الحظ أن هذا الدمج لم ينتج عن جمع أو طرح أو ضرب أو قسمة. وي سمى هذا الدمج تركيب الدالتين وملخصه إيجاد قيمة دالة عند قيمة دالة أخرى. مفهوم أساسي يعرف تركيب الدالتين f و g على النحو اآلتي : f g x f g x.f و يتكون مجال الدالة f g من جميع قيم x في مجال الدالة g على أن تكون g(x) في مجال. f g.g f g f f تقرأ الدالة g على النحو بعد أو تركيب حيث ت طب ق الدالة أوال ثم الدالة

مثال : إذا كانت g x x 4, f x x 1 فأوجد كال مما يأتي f g x )a f g تعريف f g x f g x g x x 4 f x 4 g(x) x 4 بتعويض x في بدال من x 4 1 بالتبسيط x 8x 16 1 x x 8 17

g f x )b g f تعريف g f x g f x 1 f x x g x 1 g(x) x في بدال من بتعويض1 x x 1 4 x = بالتبسيط x 3 a f g x f g أوجد قيمة الدالة التي حصلت عليها في الفرع عندما )c x 8x في 17 x بتعويض مكان f g 8 17 5

فهمك تحقق من : أوجد f g x, g f x, f g 3 يأتي في كل مما 3 1, 5 f x x g x x f g x 3x 16 g f x x x f g3 11 9 6 4 f x 6x 4, g x x g f x x f g3 146 f g x 6x 4x 0 6 )A )B

x x R بما أن مجال كل من g, f في المثال هو مجموعة األعداد الحقيقية فإن مجال عند وجود قيود على مجال f أو مجال g فإن مجال f g في مجال g التي تكون صورها g(x) موجودة في مجال. f يكون مقيد ا بكل قيم x : f g f g مثال 3 حد د مجال الدالة متضمن ا القيود الضرورية ثم أوجد في كل من الحالتين اآلتيتين g(x) التي 1 f x, g x x 9 x 1 x g x 9 f g )a إليجاد مجال يمكن حسابها عندما فإننا نجد قيم لجميع األعداد الحقيقية لذا فإننا نستثني من المجال جميع قيم لجميع قيم x التي تجعل f g x g x 1 و هي 8 وعليه يكون مجال x x x, x R 9 1 هو

نجد مثال اآلن3 f g x f(x) x f g تعريف f g x f g x في بدال من 9 g x x f x 9 بتعويض 9 x 1 1 9 1 x 8 1 x 8 x x 80 x الحظ أن ومن ثم يمكن كتابة غير معر فة عندما أو عندما f g x x 1 8 f g على الصورة x x, x R ومجالها

f x g 3 x g x فإننا نجد قيم g x f x x, g x x 3 مثال 3 ) b f إليجاد مجال g ثم نربع كل قيمة من قيم و نطرح منها حيث قيم لجميع. وعليه يكون مجال x x 3, x R هو f g x نجد اآلن f g تعريف f g x f g x g x x 9 f x 3 f(x) x بتعويض x 3 x في بدال من 3 f g x 3 x 5 بالتبسيط احظ أن مجال الدالة 5 x بشرط هو مجموعة األعداد الحقيقية إال أن مجال لذا فإن دالة التركيب هي في مثالنا مقيد f g x x 5 x 3

y x 3. x x 3, هومثالR x 3 أدخل الدالة استعمل اإلمكانات المتاحة في الحاسبة البيانية بالضغط تحقق : استعمل الحاسبة البيانية الختبار اإلجابة y x فيظهر التمثيل جزءا من المستقيم 5 علي المفتاح : x = 3 f علي تحديد مجال g و الذي يبدأ عند و يمتد إلي

فهمك تحقق من f x x 1, g x x 1 f g x x x x R ومجالها )3A f x x 1, g x x 1 5 f g x x x x x 0, x 1, x R ومجالها إحدى المهارات المهمة عند دراسة التفاضل والتكامل هي إعادة تكفيك الدالة إلى دالتين أبسط منها. أي أنه لتفكيك دالة مثل h فإنك تجد دالتين )g f, مثال ( بحيث يكون تركيبهما هو h. )3B

h x f g x f, g مثال 4 أوجد دالتين المحايدة بحيث يكون في كل مما يأتي: وعلى أال تكون أي منهما الدالة 3 4, g x x f x x : x 3 4 I x x 3 x h x 4 h )a الحظ أن أي أنه يمكننا كتابة هو الجذر التربيعي للدالة كتركيب للدالتين لذا فإننا نختار و عندئذ 3 4, g x x f x x 3 4 h x x g x f g x f g x h

h x x 0x 50 )b 10 5 5 h x x x x 5, g x x f x x بالتحليل إلى العوامل نكتب الدالة بالشكل: أي أنه يمكننا كتابة h(x) كتركيب للدالتين و عندئذ : 5 h x x g x f g x f g x

فهمك تحقق من f x x, g x x 1 1 f x, g x x 7 x h x x x 1 h x 1 x 7 )4A )4B يمكنك استعمال تركيب دالتين لحل مسائل من واقع الحياة.

مثال 5 من واقع الحياة مؤثرات حركية : ت صم م إحدى ألعاب الحاسوب بحيث تبدأ بصورة مستطيلة بعداها 60 بكسل في 0 بكسل. ثم يزداد كل ب عد بمقدار 15 بكسل لكل ثانية. a( أوجد دالتين تعطي إحداهما مساحة المستطيل Aكدالة في عرضه L وتعطي األخرى عرضه بعد t ثانية. حيث إن طول المستطيل يزيد على عرضه بمقدار 40 بكسل لذا يمكننا كتابة الطول على الصورة + 40 L. أي أن مساحة المستطيل A L L L 40 L 40L L 0 حيث. وبما أن عرض المستطيل يزداد بمقدار 15 بكسل في الثانية الواحدة إذن L(t) = 0 + 15t حيث t الزمن بالثواني t 0

A L وماذا تمثل هذه الدالة A L تعريف A L t L t 0 15t A 0 15t. A L أوجد )b A(L) L t t بتعويض 0 15t 400 15t 0 15 في بدال من بالتبسيط 5t 100t 100 تمث ل الدالة A L مساحة المستطيل كدالة في الزمن.

c( كم من الوقت يلزم لتصبح مساحة المستطيل 3 أضعاف مساحته األصلية مساحة المستطيل األصلي 0 x 60 وتساوي 100 بكسل. وتصبح مساحة المستطيل 3 أضعاف مساحته األصلية عندما وبحل المعادلة بالنسبة إلى t تجد أن A L t 5t 100t 100 3600 t 1.55 أو 6.88- = t. وبما أن الزمن السالب ليس جزء ا من مجال L(t) وكذلك ليس جزء ا من مجال دالة التركيب فإن مساحة المستطيل تتضاعف 3 مرات بعد 1.6 ثانية تقريب ا.

فهمك تحقق من 5( أعمال : أعلن محل تجاري عن خصم مقداره 15% على ثمن أجهزة الحاسوب لطالب الجامعات كما وز ع قسائم يستفيد حاملها بخصم مقداره 100 لاير من ثمن الحاسوب. 5A( عب ر عن هذه البيانات بدالتين c و.d c x x 100, d x 0.85x d c x وماذا يعني كل منهما أوجد c d x و c d x 0.85x 100 d c x 0.85x 85 c d x تمثل سعر الحاسوب باالستفادة من الخصم أوال ثم القسيمة c d x )5B )5C أي التركيبينd c و تمثل سعر الحاسوب باالستفادة من القسيمة أوال ثم الخصم d c االستفادة من الخصم أوال ثم القسيمة أو يعطي سعر ا أقل وضح. إجابتك c d x يجعل السعر أقل فمثال إذا أراد طالب شراء حاسوب سعره 1000 لاير فأنه يدفع 750 رياال إذا استفاد من الخصم أوال ثم القسيمة و يدفع 765 رياال إذا استفاد من القسيمة اوال ثم الخصم.