و ازرة التعليم العالي والبحث العلمي جامعة القادسية كلية التربية قسم الرياضيات بحث تقدم به الطالب احمد عادل رزوقي وهو جزء من متطلبات نيل شهادة البكالور

النسخ

1 و ازرة التعليم العالي والبحث العلمي جامعة القادسية كلية التربية قسم الرياضيات بحث تقدم به الطالب احمد عادل رزوقي وهو جزء من متطلبات نيل شهادة البكالوريوس في قسم الرياضيات بأش ارف ندى زهير م.د ه 2018 م

2 { ق ل ه ل ي س ت و ي ال ذ ين ي ع ل م ون و ال ذ ين ل ي ع ل م ون إ ن م ا ي ت ذ ك ر أ ول و } ا ل ل ب ا ب سورة الزمر آية )9(

3 اإلهداء اهددم توىدذا هدحا الىودد الد الدديىذ ددا ه د اسدىتحىف دف هدحا الىودد الىدف ل دت الفضد اليى د دف ا دت هدحا الىودد ذىل د ي ىتلتذاضد ا اللدت دل التسد د ىتلت دتد اللدت دل التذثذقل ل ت الشي ذالىقد عد تستعدى ت الق تل. يتدت دهد دى الد يد اسدتىحىف اليد اي دف قسدي ال تضد تت ل دي يد الود ذا تى دت ذيد تد سددتعد ف ذال ت ددف القددد ذالىشدد ا. يتددت دهدددم هددحا الىوددد الدد يدد تدد قدد دي ذ دددا عددد تضتذ ل ذعس ا ىىلي االسىفتد لد ت ا ذهللا ذلف الىذ ق. الىتود ذقف دوتد عتد ت الموضوع الصفحة 1. اآل ل الي تل 2. االهداء التدخص د التقدتل 10-3 الفصل االول التقدتل ىلت ف التلتدلل الىفتضد ل التلتدلل الىفتضد ل ال ئ ل.9 5 ى ف التلتدالت الىفتضد ل ال ئ ل و التلتدلل الىفتضد ل ال ئ ل.11

4 تليذس ىوذ الىالس الش ذ االىىدائ ل ذالودذد ل ىوذ 14. الت الىالس لىلض الدذا التش ذ خذاص ( ى ل 2.7( الفصل الثاني و التلتدلل الىفتضد ل ال ئ ل ت ال ىىل (n) التلتدالت الىفتضد ل ال ئ ل الخ ل: التلتدالت الىفتضد ل ال ئ ل الخ ل حات الودذد التى ت سل ذالتلتتالت الثتىىل: و التلتدالت الخ ل حات الودذد الالتى ت سل ذالتلتتالت الثتىىل التلتدالت الىفتضد ل ال ئ ل الخ ل ت ال ىىل الثت ل حات التلتتالت التىغ قل التىغ ات قل ئ س ل د د لو التلتدلل الىفتضد ل ال ئ ل الخ ل ىدذ اسىخداي 2-3 دم ش ذ اىىدائ ل ذش ذ ودذد ل ىذاس ل اسىخداي ىوذ الىالس الت تد.24

5 الملخص:- هدفنا في هذا البحث استخدام تحويالت البالس )L.T( لحل المعادالت التفاضلية الجزئية الخطية ( S )LPDE الغير متجانسة وذات الحدود المتجانسة والمعادالت الثابتة ومن الرتبة )ى( بدون استخدام أي شروط ابتدائية )I.C( وشروط حدودية.)B.C( أ

6 المقدمة :- ما ازلت المعادالت التفاضلية منذ عهد نيوتن تستخدم في فهم العلوم الفيزيائية والهندسية والحيوية باإلضافة الى مساهمتها في د ارسة التحليل الرياضي. من ثم يمكن القول دون تجاوز او مبالغة ان المعادالت التفاضلية يمتد تأثيرها ليشمل العديد من العلوم الطبية واالجتماعية مثل علم النفس واالقتصاد واالجتماع حيث أن اغلب العالقات والقوانين الحاكمة بين متغي ارت أي مسالة هندسية أو فيزيائية تظهر على صورة معادالت تفاضلية. لفهم هذه المسائل كان البد من حل هذه المعادالت التفاضلية وتحويل البالس هو أحد الطرق لحل هذه المعادالت نن تحويل البالس عملية تجري على الدوال الرياضية لتحويلها من مجال الى آخر وعادة يكون التحويل من مجال الزمن الى مجال التردد وهو شبيه بتحويل فوريي نال أنه تطويرهما بشكل مستقل. وتحويل البالس مفيد في تحليل األنظمة الخطية )بخالف تحويل فوريي الذي يستخدم عادة في تحليل األشا ارت( كما يستخدم لحل المعادالت التفاضلية ألنه يحولها الى معادالت جبرية. ويسمى التحويل بهذا االسم نسبة الى العالم الفرنسي بيير البالس الذي عاش في القرن التاسع عشر الذي يعد اول من درس خواص معادلة البالس والتي تأخذ الشكل التالي:- 2 ψ = 0 حيث 2 رمز مؤثر البالس فيما تمثل أي دالة رياضية سلمية. وتعد معادلة البالس ابسط المعادالت التفاضلية الجزئية من الدرجة الثانية كما انها تعد كذلك حالة خاصة من معادلة هلمهولتز )0=k(. وكذلك تعد حالة خاصة من معادلة بواسون )0=f(. واي دالة تمثل حال لمعادلة البالس تدعى دالة توافقية ظهر أول استعمال لها في الميكانيكا التقليدية ثم تطور استعمالها ووجدت تطبيقات لها في علم الفلك والكهرباء 1

7 الساكنة وميكانيكا الموائع ومعادلة وما ازلت. واالنتشار والحركة الب ارونية وكذلك ميكانيكا الكم الفصل االول 2

8 1-1 مقدمة: سنتناول في هذا الفصل مجموعة من التعاريف مثل تعريف المعادلة التفاضلية وتعريف المعادلة التفاضلية الجزئية الخطية. وتعريف تحويل البالس ومكوس تحويال البالس وتعريف الشروط االبتدائية والحدودية كما سنتطرق الى نظرية تتناول تحويل البالس لبعض المشتقات الجزئية للدالة المستمرة (t z(x, بالنسبة الى بحيث > 0 t كما سنتناول تحويالت البالس لبعض الدوال المشهورة نن اول من t استعمل اسم المعادلة هو العالم األلماني ليبنيز عام 1676 وكان يقصد بالمعادلة التفاضلية عالقة )ليست متطابقة( أذن هي عالقة بين مفضلين dx, dy المعرفة a, b, c, على متغيرين,x y وعلى عدد من الثوابت وتعرف المعادلة التفاضلية كاآلتي: هي أي معادلة مكونة من دوال جبرية أو دوال متسامية وتحتوي مفضالت ومشتقات. وتقسم المعادلة التفاضلية الى قسمين:- معادالت تفاضلية اعتيادية. )1 معادالت تفاضلية جزئية. تعاريف المعادلة التفاضلية ) تعريف: هي معادلة تحتوي على دالة غير معلومة )المتغير المعتمد( وعلى مشتقات هذه الدالة بالنسبة للمتغي ارت المستقلة. مثل : واذا كانت الدالة الغير معلومة )المتغير المعتمد( هي بمتغير مستقل واحد فقط تسمى المعادلة التفاضلية بالمعادلة االعتيادية مثل : 3

9 1- y = 2 + x 1 2- y = cos (2x + 3) 3- y = 4x 3 3x y = 9y = 0 5-4y + π 2 y = 0 رتبة المعادلة التفاضلية : هي رتبة اعلى مشتقة تظهر في المعادلة التفاضلية درجة المعادلة التفاضلية: هي درجة اعلى مشتقة تظهر المعادلة التفاضلية بمعنى اخر اس اعلى مشتقة وتكون عدد صحيح موجب المعادلة التفاضلية الجزئية تعريف: المعادلة التفاضلية الجزئية هي معادلة تحتوي على مشتقات جزئية على النقيض من المعادلة التفاضلية االعتيادية حيث نن الدالة الغير معلومة تعتمد فقط على متغير واحد في المعادالت التفاضلية الجزئية الدالة الغير معلومة تعتمد على عدة متغي ارت مثل: 1- u x + u yy = sinx 2- z t + z xt = e x 3- x 2 z x + y 2 z y = e x بصورة عامة يمكن كتابة المعادلة التفاضلية الجزئية بالمتغير المعتمد u والمتغيرين المستقلين x, y بالصورة التالية:- f(x, y, u, u x, u y, u xx, u yy, u xy, u xxx, u yyy, u xyy, u yyx ) = تصنيف المعادالت التفاضلية الجزئية: 4

10 تصنف المعادالت التفاضلية بناءا على اعتبا ارت عدة والتصنيف ذو مفهوم مهم ألن النظرية العامة وط ارئق الحل عادة تطبق على صنف معن من المعادالت وتصنف المعادالت التفاضلية الجزئية كاآلتي:- رتبة المعادلة 1( التفاضلية الجزية: هي رتبة اعلى مشتقة جزئية في المعادلة. 2( درجة المعادلة التفاضلية الجزئية: هي درجة اعلى مشتقة جزئية تظهر في المعادلة التفاضلية بمعنى اخر هي اس اعلى مشتقة وتكون عدد صحيح موجب. 3( عدد المتغي ارت: هو عدد المتغي ارت المعتمدة والمستقلة التي تظهر في المعادلة التفاضلية الجزئية. 4( الخطية: تكون المعادلة التفاضلية الجزئية خطية اذا كان : أ( جميع المشتقات الجزئية من الدرجة االولى وغير مضروبة مع بعضها البعض. ب(المتغير المعتمد من الدرجة االولى وغير مضروب بالمشتقات. التجانس: تكون المعادلة التفاضلية الجزئية ذات المتغير المعتمد u والمتغير )5 المستقل x, y والتي شكلها العام Au xx + Bu xy + Cu yy + Du x + Eu y + Fu = G(x, y) G(x, y) = 0 تكون هذه المعادلة متجانسة اذا كانت وخالف ذلك تكون. G(x, y) 0 المعادلة غير متجانسة اذا كان نوعية المعامالت: تكون المعادلة معادلة تفاضلية جزئية ذات معامالت )6 ثابتة اذا كان جميع القيم,A,B,C,D,E F جميعها ثوابت. 5

11 7( االنماط الثالث االساسية للمعادلة التفاضلية الجزئية الخطية. كل معادلة تفاضلية جزئية خطية مثل هي من احد االنماط الثالث اآلتية:- أ- ب- معادلة قطع مكافئ أو تسمى معادلة من النوع المكافئ اذا كان B 2 4AC = 0 معادلة قطع ازئد اذا كان 0 > 4AC B 2 B 2 4AC < 0 ت- معادلة قطع ناقص اذا كان حل المعادلة التفاضلية الجزئية : هي تلك الدالة او العالقة بين المتغير المعتمد والمتغي ارت المستقلة وتكون خالية من المشتقات الجزئية وتحقق المعادلة التفاضلية الجزئية ويكون الحل على انواع:- 1 -الحل العام: وهو حل المعادلة التفاضلية الجزئية ويحتوي على عدد من الدوال االختيارية وتكون بقدر رتبة المعادلة التفاضلية الجزئية. 2 -الحل الخاص: هو حل للمعادلة التفاضلية الجزئية ويمكن الحصول عليه من الحل العام باختيار خاص للدالة االختيارية. 3 -الحل المنفرد: هو حل المعادلة التفاضلية الجزئية ال يمكن الحصول عليه من الحل العام باختيار خاص للدالة االختيارية. 4 -الحل التام او الكامل: هو حل للمعادلة التفاضلية الجزئية ويحتوي على عدد من الثوابت االختيارية. 6

12 1-2-5 معكوس تحويل البالس z(x, t) فأن z(x, t) تعريف: لتكن (y v(x, تمثل تحويل البالس للدالة تكون معكوس تحويل البالس ويشار اليها بواسطة (((s z(x, (t = L 1 (v(x, عندما نعلم تحويل البالس يحوي دوال كسرية بالنسبة الى ( s )فأن معكوس البالس يكون يتم الحصول عليه مباشرة أو مكتوب في الكسور الجزئية. الشروط االبتدائية والحدودية تعريف: عند د ارستنا المعادالت التفاضلية االعتيادية تصادفنا في بعض االحيان معادالت تفاضلية مصحوبة بشروط معينة والمطلوب ايجاد الحل للمعادلة الذي يحقق تلك الشروط. فاذا كانت هذه الشروط لقيمة واحدة للمتغير المستقل فأن تلك الشروط تسمى شروط ابتدائية وتسمى المعادلة التفاضلية بمسألة القيم االبتدائية. واذا كانت الشروط االكثر من قيمة واحدة للمتغير المستقل فأن تلك الشروط تسمى شروط حدودية وتسمى المعادلة التفاضلية بمسألة القيم الحدودية. > 0 t فأن : نظرية : لتكن t) z(x, دالة مستمرة بحيث أن L(z t ) = sv(x, s) z(x, 0) 2- L(z tt ) = s 2 v(x, s) sz(x, 0) z t (x, 0) 3- L(z t ) = d v(x, s) dx 4- L(z xx ) = d2 dx2 v(x, s) 7

13 1- L(z t ) = e st z t dt 0 z = e st, dv = z t dt البرهان : dv = se st, v = z(z, t) L(z t ) = e st z(x, t) 0 + s z(x, t)e st dt 0 2- L(z tt ) = e st z 0 tt = z(x, 0) + sv(x, s) = sv(x, s) z(x, 0) L(z t ) = sv z(x, 0) dt z = e st, dv = z tt dt dz = se st, v = z t (x, t) L(z tt ) = e st z t (x, t) 0 + s z(x, t)e st dt 0 e st z t (x, t) 0 + sl(z t(x, t)) = z t (x, 0) + sl(z t ) = z t (x, 0) + s(sv(x, s)) z t (x, 0) 3- L(z x ) = e st z x (x, t) 0 = e 0 dt st dz(x, t) dx = d dx e st z(x, t) 0 dt dt 8

14 = d v(x, t), s > 0 dx 4- L(z xx ) = e st z xx (x, t)dt 0 = e st d2 z(x, t) dx 2 dt 0 = d2 dx 2 e st z(x, t) dt 0 = d2 v(x, s), s > 0 dx2 تحويالت البالس لبعض الدوال المشهورة L(0) = 0 2- L(1) = 1 s 3- L(1) = k s 4- L{e ax } = 1, s > a s a 5- L(sinax) = a s 2 +a 2 6- L(cosax) = s s 2 +a 2 7- L(sinhax) = a s 2 a 2 8- L(coshax) = s s 2 a 2 9- L(x n ) = n! s n L( x) = 1 2s π s 11- L ( 1 x ) = π s 9

15 1-5 خواص )نتيجة 2.7( t > 0 لتكن t) z(x, دالة مستمرة بحيث نن فأن بشكل عام L [ n z dn xn] = v(x, s) dxn n z L [ x n 1 t ] = n 1 x n 1 (L(z t)) = s dn 1 n 1 v(x, s) z(x, 0) dxn 1 xn 1 n z L [ ] = n 2 z x n 2 t2 x n 2 (L(z tt)) = s 2 dn 2 dn 2 dn 2 z(x, 0) v(x, s) s z(x, 0) dxn 2 dxn 2 dx n 2 t n z L [ x n 3 t 3] = s 3 dn 3 dn 3 v(x, s) s2 z(x, 0) dxn 3 dxn 3 s dn 3 dx n 3 z t(x, 0) dn 3 2 z(x, 0) dx n 3 t 2 L [ n z t n] = sn v s n 1 z(x, 0) n 2 z(x, 0) s t n 1 z(x, 0) t n 1 10

16 الفصل الثاني 2-1 المقدمة سنتناول في هذا الفصل حل المعادلة التفاضلية الجزئية من الرتبة (n) ويكون الحل حسب صنف المعادلة حيث نننا سنتناول حل المعادلة التفاضلية الجزئية الخطية ذا الحدود المتجانسة والمعادالت الثابتة والمعادلة التفاضلية الجزئية الخطية ذات الحدود الالمتجانسة والمعادالت الثابتة كما أننا سنتطرق الى حل المعادالت التفاضلية الجزئية الخطية من الرتبة الثانية ذات المعامالت المتغيرة كما نننا سندرس طريقة فصل المتغي ارت لحل المعادلة التفاضلية الجزئية. وسنركز الضوء على طريقة جديدة لحل المعادلة التفاضلية الجزئية بواسطة تحويالت البالس. 2-2 حل المعادلة التفاضلية الجزئية من الرتبة (n) المعادالت التفاضلية الجزئية الخطية: تكتب المعادلة التفاضلية الجزئية الخطية من الرتبة ( n ) بالمتغير المعتمد (u) والمتغيرين المستقلين (x, y) بالصورة التالية:- n n i+j u A ij (x, y) x i = f(x, y).. yi هي دوال للمتغي ارت i=0 j=0 0 u(x, y) x 0 y 0 = u(x, y), i + j n A ij (x, y), f(x, y) x, y 11

17 مالحظة: اذا كانت جميع المشتقات في المعادلة * بنفس الرتبة n فأن المعادلة * تسمى معادلة تفاضلية جزئية ذات حدود متجانسة وخالف ذلك تسمى المعادلة ذات حدود غير متجانسة. المؤثر التفاضلي الجزئي:- يستخدم الرمز D في بعض المعادالت التفاضلية الجزئية ليعبر عن المشتقات الجزئية لدالة ما بالنسبة للمتغي ارت المستقلة فاذا كان المتغير المستقل فأن المشتقات الجزئية بداللة المؤثر التفاضلي الجزئي D x يكون x D x = x, D x 2 = 2 x 2,, D x n = n x n D y = y, D y 2 = 2 y 2,, D y 2 = n y n y x, y بالصورة التالية: أما اذا كان المتغير اما اذا كان التغير D x D y = D x ( y ) = x ( y ) = 2 x y اذا كان المتغير المعتمد uوالمتغي ارت المستقلة, xيمكن y كتابة المشتقات الجزئية بداللة,x y وبالنسبة للمتغي ارت المستقلة u D x u = u, D x x 2 u = 2 u,., D x 2 x n u = n u x n D y u = u y, D y 2 u = 2 u y 2,., D y n u = n u y n D x D y u = D x ( u y ) = x ( u y ) = 2 u x y 12

18 مالحظة: يمكن كتابة المعادلة التفاضلية الجزئية الخطية بداللة المؤث ارت التفاضلية الجزئية بالشكل التالي :- n n A ij (x, y) D i x D j y = f(x, y) i=0 j=0 φ(d x, D y ) = f(x, y) المعادالت التفاضلية الجزئية الخطية ذات الحدود المتجانسة والمعامالت الثابتة:- تكتب المعادلة التفاضلية الجزئية الخطية ذات الحدود المتجانسة والمعامالت الثابتة x, y u من الرتبة n بالمتغير المعتمد والمتغير المستقل بالصورة التالية :- n u a 0 x n + a n 1 u 1 x n 1 y n + + a n u n y n = f(x, y).. ( ) a 0 ثوابت اختيارية وتكتب المعادلة * بداللة المؤثر حيث ان قيم, a 1, a 2,, a n y D x, D بالصورة التالية -: a 0 D x n u + a 1 D x n 1 D y u + + a n D y n = f(x, y) n n i a i D x D i y u = f(x, y) i=0 التفاضلي ولمناقشة حل المعادلة * هنالك حالتان : الحالة االولى : اذا كان = 0 y) f(x, فأن المعادلة * تصبح متجانسة a 0 D x n u + a 1 D x n 1 D y u + + a n D y n = 0 13

19 u = (y + mx) 1( نفرض نن : a 0 D n x (mx + y) + a 1 D n 1 x D y (mx + y) + + a n D n y (mx + y) = 0 a 0 m n + a 1 m n a n = 0 (a 0 m n + a 1 m n a n ) (mx + y) = 0 0 a 0 m n + a 1 m n a n = 0 ثم نحلل المعادلة ** للحصول على جذورها المميزة u = (x + λy) 2( نفرض نن : a 0 D x n (x + λy) + D x n 1 D y (x + y) + + D y n (x + λy) = 0 a 0 + a 1 λ + + a n λ n = 0 (a 0 + a 1 λ + + a n λ n ) (x + λy) = 0 0 a 0 + a 1 λ + a 2 λ a n λ n = 0.. مالحظة : اذا كان اي نن D x n, D y موجود في هذه الحالة يمكن n a n, a 0 0 )1 اختيار اي من الفرضيتين في الحل. اذا كان هذا يعني أن موجود و D y غير موجودة في هذه n, a 0 0 )2 الحالة نستخدم الفرضية االولى. D y n D x n 0 n aهذا يعني ان اذا كان = 0 0, a غير موجودة و )3 موجودة في هذه الحالة نستخدم الفرضية الثانية. اذا كان اي ان D x n, D y غير موجودة في هذه الحالة تكتب n a 0 = )4 ) x φ(d n y, D n بالصورة التالية:- 14

20 (a 0 D n x + a 1 D n 1 x D y + + a n D n y )u = 0 φ(d n y, D n x )u = 0 φ(d n y, D n x ) = D n x D k y φ n (m+k) (D x, D y ) ومن ثم نستخدم احدى الفرضيتين في الحل. حاالت الجذور 1 -اذا كان كل من الجذور او القيم المميزة m 1, m 2, m 3,, m n اعداد حقيقية مختلفة عندئذ يكون الحل للمعادلة التفاضلية الجزئية بالشكل التالي u(x, y) = φ 1 (m 1 x + y) + φ 2 (m 2 x + y) + + φ n (m n x + y) or : λ 1, λ 2, λ 3,, λ n u(x, y) = φ 1 (x + λ 1 y) + φ 2 (x + λ 2 y) + + φ n (x + λ n y) 2 -اذا كانت الجذور او القيم المميزة m 1, m 2, m 3,, m n اعداد حقيقة ان أي متساوية m 1 = m 2 = m 3 = = m n = m فأن الحل للمعادلة التفاضلية الجزئية بالشكل التالي :- u(x, y) = φ 1 (mx + y) + xφ 2 (mx + y) + x 2 φ 3 (mx + y) + + x n 1 φ n (mx + y) or: λ 1 = λ 2 = λ 3 = = λ n = λ u(x, y) = φ 1 (x + λy) + yφ 2 (x + λy) + y 2 φ 3 (x + λy) + + y n 1 φ n (x + λy) 3 -اذا كانت المعادلة التفاضلية الجزئية من الرتبة الثانية وبمعامالت ثابتة حقيقة,α( β اعداد حقيقة λ = α + iβ وكانت λ = α + iβ و )حيث أن 15

21 وكانت λ جذ ار من جذور المعادلة المميزة لها فأن الحل العام للمعادلة التفاضلية الجزئية تكون بالشكل التالي :- u(x, y) = φ 1 (λx + y) + φ 1 (λ x + y) + i[φ 2 (λx + y) φ 2 (λ x + y)] الحالة الثانية: 0 y) f(x, عندما تكون فأن الحل العام للمعادلة التفاضلية الجزئية ذات الحدود المتجانسة والمعامالت الثابتة يتألف من الحل العام للجزء. u p المتجانس u c مضافا اليه الحل الخاص : الحاالت الخاصة (y f(x, للدالة الحالة االولى: اذا كانت F(x, y) = e ax+by φ(d x, D y )u = u p = 1 φ(d x, D y ) eax+by 1 -اذا كان (b φ(a, فأن الحل الخاص يكون بالشكل التالي u p = 1 φ(a, b) eax+by φ(d x, D y ) 2 -اذا كان = 0 b) φ(a, نعبر عن بالشكل التالي φ(d x, D y ) = (D x a r b D y) G(D x, D y ) بحيث نن 0 (b G(a, وعليه فأن الحل الخاص للمعادلة يكون بالشكل التالي : 16

22 u p = xr r! 1 G(a, b) eax+by الحالة الثانية : أذا كانت f(x, y) = sin (ax + by) or = cos (ax + by) ϕ( a 2, ab, b 2 ) 0 فأن الخل للجزء الخاص u p = 1 ϕ( a 2, ab, b 2 ) {sin(ax + by) cos (ax + by) } الحالة الثالثة : اذا كانت f(x, y) = x a y b 1 φ(d x,d y ) حيث أن,a b اعداد صحيحة غير سالبة في هذه الحالة تعبر عن D y D x D x D y بداللة مفكوك ذو الحدين للقوى المت ازيدة للمؤثر وتؤثر على هذا أو. المفكوك بالدالة x a y b v الحالة ال اربعة : اذا كانت الدالة y) f(x, y) = e ax+by v(x, حيث أن هي. دالة بداللة,x y u p = 1 φ(d x, D y ) eax+by v(x, y) وعليه فأن الحل الخاص للمعادلة هو u p = e ax+by v(x, y) φ(d x + a, D y + b) الحالة الخامسة: اذا كانت by) f(x, y) = g(ax + 17

23 اذا كان = 0 b) φ(a, فأن φ(d x, D y ) = (bd x ad y ) n )1 u p = 1 (ad x bd y ) n g(ax + by) = xn g(ax + by) n! b n حل المعادالت الخطية ذات الحدود الالمتجانسة والمعامالت الثابتة:- تقسم هذه المعامالت الى نوعين : 1 -المعادالت التفاضلية الجزئية القابلة لالخت ازل. 2 -المعادالت التفاضلية الجزئية الغير قابلة لالخت ازل. u c ويكون الحل العام لهذين النوعين من المعادالت u = u p + u c حيث نن هو الحل العام للجزء المتجانس والذي سوف نناقشه أما u p فهو الحل الخاص للجزء الغير متجانس ويتم ايجاده بنفس الطريقة التي استخدمت اليجاد الحل الخاص للمعادالت التفاضلية ذات الحدود المتجانسة. 1( المعادالت التفاضلية الجزئية القابلة لالخت ازل هي معادالت تفاضلية جزئية خطية ذات حدود غير متجانسة ومعامالت ثابتة والتي يمكن تحليل مؤثرها التفاضلي الجزئي الى عوامل من الدرجة االولى بمعامالت φ(d x, D y ) حقيقية D x, D y أي من الممكن ان نكتب بالصورة التالية:- φ(d x, D y ) = (a 1 D x + b 1 D y + c 1 )(a 2 D x + b 2 D y + c 2 ) n = (a 1 D x + b 1 D y + c 1 ) a i, b i, c i, i=1 i = 1 n حيث أن a i, b i, c i ثوابت حقيقة واليجاد الحل العام للمعادلة 18

24 φ(d x, D y )u = 0 نبحث اوال في ايجاد الحل العام للمعادلة التفاضلية الجزئية (a i D x + b i D y + c i )u = 0 a i D x u + b i D y u + c i u = 0 وهذه المعادلة هي معادلة الك ارنج التفاضلية الجزئية ومعامالتها المساعدة هي a i D x + b i D y = c i u dx a i = dy b i = du c i u dx a i = dy b i b i dx = a i dy dx a i = b i x = a i y + A 1 A 1 = b i x a i y du c i u c i a i dx + du u = 0 c i a i x + lnu = B 1 lnu = B 1 c i a i x u = e B 1 c i a i x c i x A 2 = uea i u = A 2, A 2 = e B 1 φ(a 2, A 1 ) = 0 φ(e B 1, b i x a i y) = 0 c i x uea i = ψ(bi x a i y) 19

25 dy b i = du c i u c i b i dy + du u = 0 c i b i y + lnu = B 2 lnu = B 2 c i b i y u = e B 2 c i b i y u = A3 e c i b i y, A3 = e B 2 c i y A 3 = ueb i, A1 = b i x a i y c i y F(A 3, A 1 ) = 0 F (ueb i, bi x a i y) = 0 c i ueb y i = F1 (b i x a i y) u = e c i b i y F1 (b i x a i y), b i 0 مالحظة: من ما تقدم نستنتج ما يلي :- اذا كانت 0 i b فأن الحل العام يكون في احدى الصورتين a i 0 )1 u = e c i a i x ψ1 (b i x a i y), a i 0 u = e c i b i y F1 (b i x a i y), b i 0 اذا كان 0 i b i = 0, a فأن الحل العام يكون بالصورة التالية:- )2 u = e c i a i x ψ1 (b i x a i y), a i 0 اذا كان = 0 i b i 0, a فأن الحل العام يكون بالصورة التالية:- )3 u = e c i a i y F1 (b i x a i y), = 0 )u φ(d x, D y هناك حالتان : b i 0 واليجاد الحل العام للمعادلة 20

26 الحالة الثانية :- اذا كان φ(d x, D y ) = (a 1 D x + b 1 D y + c 1 ) k n i=k+1 (a i D x + b i D y + c i ) أي بحيث أن من العوامل a i D x + b i D y + c i مستقل خطيا عن العوامل االخرى لكل قيم i = 1,, n التالية:- فأن الحل العام للمعادلة التفاضلية الجزئية يكون بالصورة k u(x, y) = e c a x x i 1 ψ i (bx ay) i=1 n + e c i a i x i=k+1 ψ i (b i x a i y) or: k u(x, y) = e c b y y i 1 F i (bx ay) i=1 n + e c i b i y Fi (b i x a i y) i=k+1 2( المعادالت التفاضلية الجزئية الغير قابلة لالخت ازل )الغير قابلة للتحليل( هي المعادلة التفاضلية الجزئية الخطية ذات الحدود الغير متجانسة والمعامالت الثابتة والتي ال يمكن تحليل مؤثرها التفاضلي الجزئي الى عوامل من الدرجة االولى وبهذه الحالة يكتب الحل العام للجزء المتجانس u c للمعادلة = 0 )u φ(d x, D y بالشكل التالي:- 21

27 u c = A i e a ix+b i y i=1 φ(a i, b i ) = 0 حيث أن A i ثوابت اختياري المعادالت التفاضلية الجزئية الخطية من الرتبة الثانية ذات المعامالت المتغيرة:- تكتب المعادالت التفاضلية الجزئية الخطية من الرتبة الثانية ذات المعامالت المتغيرة في المتغير المعتمد والمتغي ارت المستقلة,x y بالصورة التالية:- u A 1 u xx + A 2 u xy + A 3 u yy + A 4 u x + A 5 u y + A 6 u = F(x, y). i = 1,,6 x, y حيث نن y) A i (x, و دوال ل لحل هذه المعادلة سنناقش حاالت خاصة:- الحالة االولى :- عندما تظهر المشتقة الثانية في حد واحد فقط من حدود الطرف أن أي االيسر A 4 = A 5 = A 6 = 0 وواحده من الدوال A 1, A 2, A 3 0 ففي هذه الحالة نحل المعادلة بالتكامل المباشر او انها تتحول الى معادلة ذات معادالت ثابتة وحدود متجانسة ومن الممكن حلها باستخدام الطرق السابقة. الحالة الثانية:- عندما تكون كل المشتقات في الطرف االيسر بالنسبة لنفس المتغير )يعني اما كلها ل وأما كلها لy وانما تجمع بين )x,y في هذه الحالة تتحول لمعادلة x الجزئية الى معادلة اعتيادية خطية من الرتبة االولى او معادلة جزئية من الرتبة 22

28 الثانية ثم نجد الحل العام لها حسب طرق حل المعادالت التفاضلية االعتيادية ثم نكمل لهذا المتغير ونجد الحل العام للمعادلة التفاضلية الجزئية. u x او... u yy يعني نما يظهر الحد u xx او يظهر الحد او يظهر الحد تحول الى معادلة اعتيادية تحول الى معادلة اعتيادية y) 1- A 1 u xx + A 4 u x = F(x, 2- A 3 u xx + A 5 u y = F(x, y) 3- A 1 u xx + A 4 u x + A 6 u = F(x, y) 4- A 3 u yy + A 5 u y + A 6 u = F(x, y) تحول الى معادلة جزئية ألنها احتوت u في الحالة االولى )2,1( حتى تحولها الى اعتيادية نفرض u x = p A 1 p x + A 4p = F(x, y) u y = p A 3 q y + A 5q = F(x, y) الحالة الثالثة:- عندما تكون المعادلة التفاضلية الجزئية بالصورة التالية:- 1) A 2 u xy + A 4 u x = F(x, y) 2) A 2 u xy + A 5 u y = F(x, y) u x = p في النقطة االولى الحد االكثر ظهو ار هو u x نذن نفرض A 2 dp dy + A 4p = F(x, y) في النقطة الثانية الحد االكثر ظهو ار هو u y نذن نفرض 23

29 u y = q A 2 dq dx + A 5q = F(x, y) الحالة ال اربعة: تكتب المعادلة التفاضلية الجزئية بالشكل التالي:- 1) A 2 u xy + A 3 u yy + A 5 u y = F(x, y) 2) A 2 u xy + A 1 u xx + A 4 u x = F(x, y) في النقطة االولى الحد االكثر ظهو ار هو u y u y = q q A 2 x + A q 3 y + A 5q = F(x, y) في النقطة الثانية الحد االكثر ظهو ار هو u x u x = p p A 2 y + A p 1 x + A 4p = F(x, y) طريقة فصل المتغي ارت تستخدم هذه الطريقة لحل المعادالت التفاضلية الجزئية الخطية المتجانسة والتي يمكن فصلها الى معادالت تفاضلية اعتيادية بعدد المتغي ارت المستقلة الموجودة في المعادلة التفاضلية الجزئية بحيث يؤمل الحصول على حلول لها تحقق الشروط الحدودية واالبتدائية المعطاة. تتلخص طريقة فصل المتغي ارت في الخطوات التالية:- 24

30 1 -نفرض المتغير المعتمد يساوي حاصل ضرب عدد من الدوال المجهولة والتي يكون عددها بقدر عدد المتغي ارت المستقلة في المعادلة التفاضلية الجزئية وكل دالة في هذه الدوال تكون دالة في احدى المتغي ارت المستقلة. 2 -نجد المشتقات الجزئية للمتغير المعتمد بداللة الدوال المجهولة ومشتقاتها. 3 -نعوض عن المتغير المعتمد ومشتقاته الجزئية في المعادلة التفاضلية الجزئية ثم نرتب حدود المعادلة الناتجة بحيث تتكون من عدد من االج ازء الجمعية وكل جزء منها يعتمد على احد المتغي ارت المستقلة وبما أن المعادلة التفاضلية وفي هذه الحالة فأن هذه االج ازء مستقلة عن بعضها البعض أذن أن يكون كل جزء يساوي مقدا ار ثابتا )ثابت الفصل( بشرط ان يكون مجموع هذه الثوابت يساوي صفر. 4 -نحل هذه االج ازء كمعادالت تفاضلية اعتيادية الحتواء كل منهما على متغير مستقل واحد وذلك إليجاد الدوال المجهولة ومن ثم نعوض عن تلك الدوال في الخطوة رقم )1( فيكون الناتج هو حل المعادلة التفاضلية الجزئية. 2-3 طريقة رئيسية جديدة لحل المعادلة التفاضلية الجزئية الخطية بدون استخدام أي شروط ابتدائية وشروط حدودية بواسطة استخدام تحويل البالس. المعادلة التفاضلية الجزئية الخطية الغير متجانسة وذات الحدود المتجانسة t, x z والمعامالت الثابتة ومن الرتبة (n) بالمتغير المعتمد والمتغي ارت المستقلة هي معادلة بالشكل: n z A 1 x n + A n z 2 x n 1 t + + A n z n t = R(x, t).. (3.1) لحل المعادلة ( 3.1 ) بواسطة استخدام تحويل البالس نأخذ تحويل البالس لكل طرفي المعادلة )3.1( بدون استخدام أي شروط ابتدائية وشروط حدودية أي أن:- 25

31 z(x, 0), z t (x, 0),, n 1 y t n 1 z(x, 0), z x(x, 0),, n 1 y z(x, 0) xn 1 معروف وتحويل البالس ل( t R( x, معروف نحصل : n z L(A 1 x n + A n z 2 x n 1 t + + A n z n ) = L(R(x, t)) t A 1 L [ n z x n] + A n z 2L [ x n 1 t ] + + A nl [ n z ] = L(R(x, t)) t d n A 1 dx n v(x, s) + A 2s dn 1 dn 1 v(x, s) z(x, 0) + dxn 1 dxn 1 + A n s n v(x, s) A n s n 1 z(x, 0) n 2 z(x, 0) A n s t n 1 A n = L(R(x, t)) tn 1 A n s n v(x, s) = A 1 d n dx n v(x, s) A 2s dn 1 v(x, s) dxn 1 + A 2 z(x, 0) A n s n 1 z(x, 0) n 2 z(x, 0) + A n s t n A n + L(R(x, t)) tn 1 A n s n v(x, s) = D 1 (S) + L(R(x, t)) v(x, s) = D 1(s) + L(R(x, t)) A n s n v(x, s) = D 1(s) A n s n + D 1(x, s) A n s n. k(s) 26

32 نفرض R(x, t) حيث متعددة حدود بداللة )s( يمثل قاسم تحويل البالس للدالة ونفرض (s) F 1 (s). k(s) = F 2 فأن المعادلة اعاله تصبح A n s n = F 1 (s) v(x, s) = D 1(s) F 1 (s) + D 2(x, s) F 2 (s). (3.2) و F 1 (s) حيث (s) D 1 متعددة حدود بداللة )s( درجتها اصغر من درجة تمثل بسط الى تحويل البالس للدالة درجتها اصغر من R(x, t) D 2 (x, s). درجة (s) F 2 فأن المعادلة )2( تصبح :- االن بما أن s) L(Z(x, t)) = v(x, L(Z(x, t)) = D 1(s) F 1 (s) + D 2(x, s) F 2 (s) وبواسطة أخذ ) 1 L) لكال طرفي المعادلة أعاله فأننا نحصل:- Z(x, t) = L 1 [ D 1(s) F 1 (s) ] + L 1 [ D 2(x, s) F 2 (s) ].. (3.3) بما نن تمثل بسط الى تحويل البالس للدالة t) R(x, وعليه D 2 (x, s) D 2 (x, s) = H 1 (x) H 2 (s) فأن المعادلة اعاله تصبح في الشكل :- Z(x, t) = L 1 [ D 1(s) F 1 (s) ] + H 1(x)L 1 [ H 2(s) F 2 (s) ] فأن الحل الكامل يعطي بواسطة Z(x, t) = B 2 g 1 (t) + B 2 g 2 (t) + B 2 g 3 (t) + + B n g n (t) + H 1 (x)[c 1 h 1 (t) + c 2 h 2 (t) + + c m h m (t)].. (3.4) 27

33 h 1, h 2,, h n c 1, c 2,, c n حيث B 1, B 2,, B n و ثوابت g1, g2,, gn دوال بداللة. g i, i = 1,2,, n رقم الثوابت B i, i = 1,2,, n ورقم الدوال يساوي c i, i = 1,2,, n n درجة (s) F 1 التي من المفترض ان يكون ورقم الثوابت F 2 (s) ورقم الدوال n i, i = 1,2,, m يساوي درجة والتي من المفترض ان. تكون (m) نحن نستطيع ان نتخلص من بعض هذه الثوابت B 1, B 2,, B n و c 1, c 2,, c n بواسطة الحصول علي قيمتها بواسطة تعويض الحل )4( في المعادلة )1( وجدنا حل المعادلة )1( بدون استخدام أي شروط ابتدائية وشروط حدودية للمعادلة التفاضلية الجزئية الخطية بواسطة استخدام تحويل البالس. z tt z xx = xtcost 2-4 أمثلة : مثال 2-4-1: لحل معادلة الموجة L(xtcost) = x L(xtcost) = xs (s 2 + 1) 2 أذن 1) K(s) = (s عليه 1) F(s) = s 2 (s z(x, t) = L 1 [ D 1(s) F 1 (s) ] + H 1(x)L 1 [ H 2(s) F 2 (s) ] z(x, t) = L 1 [ D 1(s) F 1 (s) ] + H 2 (s) xl 1 [ s 2. (s 2 + 1) 2] 28

34 = L 1 ( A s ) + L 1 ( B s 2) + x[l 1 ( C s ) + L 1 ( D s 2) + L 1 ( Es + H s ) + L 1 ( Gs + H (s 2 + 1) 2)] z(x, t) = A + Bt + Cx + Dxt + Excost + Fxsint + Gxtcost + Hxsint يمكننا أن نتخلص من بعض الثوابت بواسطة ايجاد z tt = Excost Fxsint Gxtcost 2Gxsint Hxtsint + 2Hxcost z xx = 0, xx z في المعادلة نحصل على المعادلة التالية:- وبواسطة تعويض z tt Excost Fxsint Gxtcost 2Gxsint Hxtsint + 2Hxcost = xtcost وعليه 0 = H E + 2H = 0, F 2G = 0, G = 1, بواسطة حل هذه المعادالت نحصل H = 0, E = 0, G = 1, F = 2 ثم الحل الكامل يعطى بواسطة z(x, t) = A + Bt + Cx + Dxt + 2xsint xtcost حيث A, B, C, D ثوابت. مثال : لحل معادلة الموجة z tt = z xx + z yy + z uu + xyu 2 t

35 L(xyu 2 t) = xyu 2 L(t) = xyu2 أذن s 2 K(s) وعليه = s 2 F(s) = s 2. s 2 = s 4 z(x, t) = L 1 [ D 1(s) F 1 (s) ] + H 1(x, y, u)l 1 [ H 2(s) F 2 (s) ] z(x, t) = L 1 [ D 1(s) F 1 (s) ] + xyu2 L 1 [ H 2(s) s 2. s 2] z(x, y, z, t) = L 1 ( A s ) + L 1 ( B s 2) + xyu2 [L 1 ( C s ) + L 1 ( D s 2) + L 1 ( E s 3) + L 1 ( F s 4)] = A + Bt + xyu 2 + [L 1 ( C s ) + L 1 ( D s 2) + L 1 ( E s 3) + L 1 ( F s 4)] وعليه z(x, y, u, t) = A + Bt + Cxyu E 2 u2 xyt 2 + F 6 u2 xyt 3 يمكننا أن نتخلص من بعض الثوابت بواسطة ايجاد z tt = Exyu 2 + Fxyu 2 t z uu = 2Cxy + 2D xyt + Exyt Fxyt3 z yy = 0, z xx = 0 وبواسطة تعويض 30

36 z tt, z uu, z yy, z xx في المعادلة نحصل Exyu 2 + Fxyu 2 t 2Cxy 2D xyt Exyt Fxyt3 = xytu 2 بواسطة حل هذه المعادالت نحصل E = 0, F = 1, C = 0, D = 0, 1 3 xyt3 = 0 ثم الحل الكامل يعطي بواسطة z(x, y, u, t) = A + Bt xyu2 t 3 مثال: لحل المعادلة z xxxx + z xxtt + 2z tttt = e x sinu L(e x sint) = e x L(sint) = ex s أذن K(s) = s وعليه F(s) = 2s 4 (s 4 + 1), 31

37 z(x, t) = L 1 [ D 1(s) F 1 (s) ] + H 1(x)L 1 [ H 2(s) F 2 (s) ] z(x, t) = L 1 [ D 1(s) 2s 4 ] + ex L 1 H 2 (s) [ 2s 4 (s 2 + 1) ] z(x, y, u, t) = 1 2 L 1 ( A s ) L 1 ( B s 2) L 1 ( C s 3) L 1 ( D s 4) ex [L 1 ( E ) + s L 1 ( F s 2) + L 1 ( G s 3) + L 1 ( H s 4) + L 1 ( Is+j )] s 2 +1 z(x, y, u, t) = 1 2 A Bt + C 4 t2 + D 12 t3 + E 2 ex + F 2 tex + G 4 t2 e x + H 12 t3 e x ex cost + j 2 ex sint z xxxx = E 2 ex + F 2 tex + G 4 t2 e x + H 12 t3 e x ex cost + j 2 ex sint z xxtt = G 2 ex + H 2 ex t 1 2 ex cost + j 2 ex sint z tttt = 1 2 ex cost + j 2 ex sint بواسطة حل هذه المعادالت نحصل E = 0, F = 0, G = 0, H = 0, j = 1, I = 0 2 ثم الحل الكامل يعطى بواسطة z(x, t) = 1 2 A Bt + C 4 t2 + D 12 t ex sint حيث A, B, C, D ثوابت المصادر : 32

38 1. A.D.Polyanin, Handbook of "Linear paratial Differential Equation for Engineers and scientists", chapman & Hall/ CRC Press, Boca Raton, Georgef. Carrler, "Paratial Differntial Equations Theory and Technique", I.A.MALLOKI, "Thesis of the separation Technique for non Linear partial Differential Equations: General Results and it's connection with other methods", University of Keel, April, Stanly J.Farlow, "Partial Differential Equations for scientists and Engineers", New york, طالب ناهي الخفاجي عبد السالم عبد هللا "الميكانيك لطلبة العلوم والهندسة" طبع بمطابع دار اكتب للطباعة والنشر. 33